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F. VELA
Introducción� Un supuesto básico del modelo es la existencia
de una relación lineal entre la variable dependiente y los regresores .
� Dos formas de verificar esta suposición son:
1. Mediante la elaboración del diagrama de dispersión;
2. Graficar a los residuales (estandarizados) vs el valor de la variable de respuesta ajustada, así como vs los predictores.
ex-ante
ex-post
F. VELA
Prueba de falta de ajuste� Esta diseñada para evaluar si una relación
curvilineal podría ajustar mejor a los datos que un modelo lineal .
� Para ello la SCE se descompone en dos partes :
1. El componente de error puro; y2. El componente de falta de ajuste.
� Estos dos componentes son utilizados para construir un estadístico de prueba F particularcon el fin de contrastar la hipótesis siguiente:
F. VELA
Ho: la relación es lineal vs H1: la relación no es lineal
� La prueba requiere observaciones repetidasen al menos uno de los niveles de X.
� Las observaciones de X e Y son independientes y se encuentran normalmente distribuidas.
� La distribuciones de Y tienen la misma varianza .
F. VELA
Ho: la relación es lineal vs H 1: la relación no es lineal
Rechazar Ho ssi
� La regla de decisión esta dada por:α
cnkcFF −−> ,*
dondec= # de niveles distintos de Xp= # de variables en la ecuación de regresiónn= # de observaciones
( )( )FRF
FFR
glglSCE
glSCESCEF
−⋅⋅−=*
SCER=suma de cuadrados del error del modelo reducido.
SCEF= suma de cuadrados del error del modelo completo.
glR= grados de libertad del modelo reducido.
glF= grados de libertad del modelo completo.
F. VELA
( )( )cnnSCPE
cnSCPESCEF
−−−⋅−⋅−=∴
()2)(*
( )∑∑ −==j i
jijF YYSCPESCE 2j=1,2,…,c (niveles de X)
( )∑∑ −==j i
ijijR YYSCESCE2ˆ
)( knglR −=
)( cnglF −=
=SCPE
Observe que
Suma de cuadrados del error puro (en inglés SSPE)
F. VELA
( )( ) MSPE
MSLF
cn
SSEcnn
SSPESSE
cnnSSPE
cnSSPESCEF =
−
−−−−
=−−−⋅−⋅−=
)(
)()2(()2
)(*
SSEPSCER =
� Es común encontrar la siguiente notación:
SSESCE =
se define entonces
SSEPSSESSLF +=
donde=SSLF suma de cuadrados de falta de ajuste
observe
F. VELA
Ejemplo
Una empresa dedicada a comercializar productos de belleza utiliza los servicios de telemarketing para promover a sus mercancías.
El gerente de la División de Mercadeo de la compañía de telemarketing esta interesado en conocer el tiempo que utilizan sus empleados en una llamada para realizar sus tareas.
Para ello recolecta el número de meses (meses) que lleva en la compañía el operador y el número de llamadas telefónicas (llamadas) realizadas al día para 20 de sus empleados.
F. VELA
| meses llamadas | |------------------| 1. | 10 18 | 2. | 10 19 | 3. | 11 22 | 4. | 14 23 | 5. | 15 25 | |------------------| 6. | 17 28 | 7. | 18 29 | 8. | 20 29 | 9. | 20 31 | 10. | 21 31 | |------------------| 11. | 22 33 | 12. | 22 32 | 13. | 24 31 | 14. | 25 32 | 15. | 25 32 | |------------------| 16. | 25 33 | 17. | 25 31 | 18. | 28 33 | 19. | 29 33 | 20. | 30 34 | +------------------+
F. VELA
El promedio de llamadas al día para los 20 empleados seleccionados es de 28.95.
El gerente sospecha que pudiera haber algún tipo de relación entre la antigüedad en el trabajo y el número de llamadas, dado que el empleado puede ir especializándose.
Se plantea entonces el siguiente modelo:
umesesllamadas ++= 21 ββ
F. VELA
1520
2530
35lla
mad
as
10 15 20 25 30meses
F. VELA
reg llamadas meses Source | SS df MS Number of obs = 20 -------------+------------------------------ F( 1, 18) = 124.41 Model | 397.445862 1 397.445862 Prob > F = 0.0000 Residual | 57.504138 18 3.19467433 R-squared = 0.8736 -------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.8666 Total | 454.95 19 23.9447368 Root MSE = 1.7874 ------------------------------------------------------------------------------ llamadas | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] -------------+---------------------------------------------------------------- meses | .7435148 .0666598 11.15 0.000 .6034678 .8835619 _cons | 13.67077 1.426971 9.58 0.000 10.67281 16.66872 ------------------------------------------------------------------------------
F. VELA
predict yhat predict r, res predict res, rstandard list llamadas yhat r res +---------------------------------------------+ | llamadas yhat r reses | |---------------------------------------------| 1. | 18 21.10592 -3.105918 -1.948687 | 2. | 19 21.10592 -2.105918 -1.321276 | 3. | 22 21.84943 .1505668 .0928491 | 4. | 23 24.07998 -1.079978 -.6403641 | 5. | 25 24.82349 .1765074 .1036832 | |---------------------------------------------| 6. | 28 26.31052 1.689478 .9788621 | 7. | 29 27.05404 1.945963 1.122372 | 8. | 29 28.54107 .4589332 .2634939 | 9. | 31 28.54107 2.458933 1.411783 | 10. | 31 29.28458 1.715418 .9848256 | |---------------------------------------------| 11. | 33 30.0281 2.971904 1.708555 | 12. | 32 30.0281 1.971903 1.133653 | 13. | 31 31.51513 -.5151262 -.2983019 | 14. | 32 32.25864 -.2586411 -.1506646 | 15. | 32 32.25864 -.2586411 -.1506646 | |---------------------------------------------| 16. | 33 32.25864 .7413589 .4318593 | 17. | 31 32.25864 -1.258641 -.7331886 | 18. | 33 34.48919 -1.489186 -.8918217 | 19. | 33 35.2327 -2.2327 -1.354356 | 20. | 34 35.97622 -1.976215 -1.216709 | +---------------------------------------------+
F. VELA
-2-1
01
2S
tand
ardi
zed
resi
dual
s
20 25 30 35Fitted values
F. VELA
-4-2
02
4R
esi
dua
ls
20 25 30 35F itted values
F. VELA
-4-2
02
4R
esi
dua
ls
10 15 20 25 30meses
F. VELA
PRUEBA DE FALTA DE AJUSTE
F. VELA
Construcción de F *
� Arreglo de datos
2222 )3434(...)2222()5.1819()5.1810( −++−+−+−== SSPESCEF
j=1 j=2 j=3 j=4 j=5 j=6 j=7 j=8 j=9 j=10 j=11 j=12 j=13 j=14Replicas 10 11 14 15 17 18 20 21 22 24 25 28 29 30
i=1 18 22 23 25 28 29 29 31 33 31 32 33 33 34i=2 19 31 32 32i=3 33i=3 31
Media 18.5 22 23 25 28 29 30 31 32.5 31 32 33 33 34
X
F. VELA
� Calculo SCEF (también denominado SSPE)
5== SSPESCEF
57.504138== SCESCE R
)1420( −=Fgl
( )1420()220 −−−=Rgl
j=1 j=2 j=3 j=4 j=5 j=6 j=7 j=8 j=9 j=10 j=11 j=12 j=13 j=14Replicas 10 11 14 15 17 18 20 21 22 24 25 28 29 30
i=1 0.25 0 0 0 0 0 1 0 0.25 0 0 0 0 0i=2 0.25 1 0.25 0 i=3 1i=3 1
Sumas 0.5 0 0 0 0 0 2 0 0.5 0 2 0 0 0
X
20=n14=c2=k
F. VELA
Prueba de falta de ajuste
Ho: la relación es lineal vs H1: la relación no es lineal
Rechazar Ho ssi
α=0.05:
αcnkcFF −−> ,
00.42504.5 >∴
( )( )[ ] 5.2504
5(12)52.504(6)
1420()2205)1420(557.504* ==
−−−⋅−⋅−=F
00.405.0*6,12 =Fdonde
Se rechaza H 0 lo que implica que la relación no es lineal
F. VELA
Prueba de falta de ajuste en Stata
reg llamadas meses Source | SS df MS Number of obs = 20 -------------+------------------------------ F( 1, 18) = 124.41 Model | 397.445862 1 397.445862 Prob > F = 0.0000 Residual | 57.504138 18 3.19467433 R-squared = 0.8736 -------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.8666 Total | 454.95 19 23.9447368 Root MSE = 1.7874 ------------------------------------------------------------------------------ llamadas | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] -------------+---------------------------------------------------------------- meses | .7435148 .0666598 11.15 0.000 .6034678 .8835619 _cons | 13.67077 1.426971 9.58 0.000 10.67281 16.66872 ------------------------------------------------------------------------------
findit maxr2
F. VELA
Se rechaza H 0 lo que implica que la relación no es lineal (con αααα= 0.05 y 0.10)
maxr2 maximum R-square = 0.9890 relative R-square = 0.8833 actual adjusted R-square = 0.8666 relative adjusted R-square = 0.8768 SSLF (df) = 52.504138 (12) MSLF = 4.3753448 SSPE (df) = 5 (6) MSPE = .83333333 F (dfn, dfd) for lack-of-fit test (MSLF/MSPE) = 5.2504 (12,6) prob > F = 0.0264 number of covariate patterns = 14 as ratio of observations = 0.700
F. VELA
Bibliografía
Kutner, Michael H. et. al. (2005). Applied Linear Statistical Models, 5ª ed., McGraw Hill, Singapore (pp. 119-124).
