Familia de diseños para comparar tratamientos.docx

8/17/2019 Familia de diseños para comparar tratamientos.docx

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2.1. Familia de diseños para comparar tratamientos.

Los diseños experimentales más utilizados para comparar tratamientos son:

1. Diseño completamente al azar (DCA)

2. Diseño en bloque completamente al azar (DCA)!. Diseño en cuadro latino (DCL)

". Diseño en cuadro #recolatino (DC$L)

La di%erencia %undamental entre estos diseños es el n&mero de %actores de bloque que

incorporan o controlan de %orma expl'cita durante el experimento. La comparacin de

los tratamientos en cuanto a la respuesta media que lo#ran en cualquiera de estos

diseños se *ace mediante la *iptesis que se prueba con la t+cnica estad'stica

llamada Análisis de ,arianza (A-,A) con uno dos tres o cuatro criter ios de

clasi%icacin dependiendo del n&mero de %actores de bloques incorporados al

diseño.

Diseño

/actores

de

A-,A 0odelo estad'stico

DC n criterio

D 1 Dos criterios

DCL 2 3res criterios

DC ! Cuatro criterios

4 es la 5ariable de salida la media #lobal el e%ecto del i6+simotratamiento error aleatorio 7

son los e%ectos de tres %actores de bloqueo.

8l modelo estad'stico que describe el comportamiento de la 5ariable obser5ada

4 en cada diseño incorpora un t+rmino adicional por cada %actor de bloqueo

controlado.

De acuerdo con los modelos dados en la tabla para cada diseño

comparati5o se tienen al menos dos %uentes de 5ariabilidad: los tratamientos o ni5eles

del %actor de inter+s 7 el error aleatorio. 9e a#re#a una nue5a %uente de 5ariabilidad por

cada %actor de bloque que se controla directamente. 9e obser5a que los diseños suponenque no *a7 e%ectos de interaccin entre los %actores lo cual ser'a lo deseable

que ocurra de no ocurrir as' tal e%ecto se recar#a al error 7 el problema de

comparacin no se resuel5e con +xito.

n e%ecto de interaccin entre dos %actores *ace re%erencia a que el e%ecto

de cada %actor depende del ni5el en que se encuentra el otro.


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2.2. El modelo de efectos fijos

8l modelo de efectos fijos (es cuando se estudian todos los posibles tratamientos) de

análisis de la 5arianza se aplica a situaciones en las que el experimentador *a sometido al

#rupo o material analizado a 5arios %actores cada uno de los cuales le a%ecta slo a la

media permaneciendo la ;5ariable respuesta; con una distribucin normal.

8ste modelo se supone cuando el in5esti#ador se interesa &nicamente por los ni5eles del

%actor presentes en el experimento por lo que cualquier 5ariacin obser5ada en las

puntuaciones se deberá al error experimental.

Donde es el parámetro de escala com&n a todos los tratamientos llamado media #lobal

es un parámetro que mide el e%ecto del tratamiento 7 es el error atribuible a la

medicin . 8ste modelo implica que en el diseño completamente al azar actuar'an a lo

más dos %uentes de 5ariabilidad: Los tratamientos 7 el error aleatorio. La media #lobal de

la 5ariable de respuesta no se considera una %uente de 5ariabilidad por ser una constantecom&n a todos los tratamientos que *ace las 5eces de punto de re%erencia con respecto al

cual se comparan las respuestas medias de los tratamientos.

9i la respuesta media de un tratamiento particular es


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5ariabilidad: los tratamientos 7 el error aleatorio. 8n la si#uiente unidad 5eremos

diseños que consideran la in%luencia de otras %uentes de 5ariabilidad (bloques).

8ste diseño se llama completamente al azar porque todas las corridas

experimentales se realizan en orden aleatorio completo. De esta manera si durante elestudio se *acen en total - pruebas +stas se corren al azar de manera que los posibles

e%ectos ambientales 7 temporales se 5a7an repartiendo equitati5amente entre los

tratamientos.

8=emplo 1

Comparacin de c!atro m"todos de ensam#le. n equipo de me=ora in5esti#a el

e%ecto de cuatro m+todos de ensamble A C 7 D sobre el tiempo de ensamble en

minutos con un ni5el de si#ni%icancia de .>. 8n primera instancia la estrate#ia

experimental es aplicar cuatro 5eces los cuatro m+todos de ensamble en orden

completamente aleatorio (las 1? pruebas en orden aleatorio). Los tiempos de ensamble

obtenidos se muestran en la tabla 2.1. 9i se usa el diseño completamente al azar (DCA)

se supone que además del m+todo de ensamble no existe nin#&n otro %actor que in%lu7a

de manera si#ni%icati5a sobre la 5ariable de respuesta (tiempo de ensamble)

3abla 21 Diseño completamente al azar

para el e=emplo 1

0+todo de

A C D

?@

@

B

1

@

11

1

?

1

1

1

2

8=emplo 2

Comparacin de c!atro tipos de c!ero. n %abricante de calzado desea me=orar la

calidad de las suelas las cuales se pueden *acer con uno de los cuatro tipos de cuero A

C 7 D disponibles en el mercado. ara ello prueba los cueros con una máquina que

*ace pasar los zapatos por una super%icie abrasi5a la suela de +stos se des#asta al

pasarla por dic*a super%icie. Como criterio de des#aste se usa la p+rdida de peso

despu+s de un n&mero %i=o de ciclos. 9e prueban en orden aleatorio 2" zapatos seis de

cada tipo de cuero. Al *acer las pruebas en orden completamente al azar se e5itan

ses#os 7 las mediciones en un tipo de cuero resultan independientes de las demás. Los

datos (en mili#ramos) sobre el des#aste de cada tipo de cuero se muestran en la tabla 2.2

3abla 22 Comparacin de cuatro tipos de cuero (cuatro tratamientos)

3ipo de bser5aciones romedi


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A

2?" 2? 2>@ 2"1 2?22>>

2@ 22 21? 2 21!

2?

2>?

2B@

2!@

22


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Diseños completamente al azar y >2

8l análisis de la 5arianza de un criterio (A-,A de un criterio) es una

metodolo#'a para analizar la 5ariacin entre muestras 7 la 5ariacin al interior de las

mismas con 5arianzas en lu#ar de ran#os. Como tal es un m+todo estad'stico &til para

comparar dos o más medias poblacionales.

8l ob=eti5o del análisis de 5arianza en el DCA es probar las *iptesis de

i#ualdad de los tratamientos con respecto a la media de la correspondiente 5ariable de

respuesta:

Nota$ rimeramente explicare el cálculo manual tradicional para A-,A

posteriormente el simpli%icado 7 más práctico as' como su solucin utilizando un paquete computacional.

8l m+todo de A-,A con un criterio requiere del cálculo de dos estimaciones

independientes para la 5arianza poblacional com&n. 8stas dos estimaciones se

denotan por 7 .

. 9e denomina estimacin de la 5arianza entre muestras (0+todo entre)

. 9e denomina estimacin de la 5arianza al interior de las muestras (0+todo dentro)

8l estad'stico entonces resulta

una distribucin /.

7 tiene una distribucin muestral que si#ue

8stad'stico / para el A-,A con un criterio

(2,3)

8l cual se contrastara con el 5alor de encontrado en tablas en relacin a los

#rados de libertad del numerador entre #rados de libertad del denominador 7 con un

ni5el de si#ni%icancia ( ) pre%i=ado.

9e rec*aza la si

9e deduce que si es #rande se contradice la *iptesis de que no *a7 e%ectos

de tratamientos en cambio si es pequeño se con%irma la 5alidez de


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Diseños completamente al azar y >!Método dentro

8l m+todo dentro de estimacin de la 5arianza produce una estimacin 5álida sin

importar si la *iptesis nula de las medias poblacionales i#uales es cierta. 8sto se debe a

que la 5ariabilidad de los 5alores de la muestra se determina comparando cada elemento


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en los datos con la media muestral. Cada 5alor de la muestra obtenido de la poblacin A

se compara con la media muestral A cada elemento obtenido de la poblacin se

compara con la media muestral 7 as' sucesi5amente. La ecuacin para calcular la

estimacin de la 5arianza con el m+todo dentro es:

=

donde: (2")

• 8stimacin de la 5arianza muestral con el m+todo entre.• i6+simo elemento de los datos de #rupo =.• media del #rupo =• C n&mero de #rupos• n n&mero de elementos de la muestra en cada #rupo.

8l n&mero adecuado de #rados de libertad para el m+todo dentro se calcula como

c(n61) si el n&mero de obser5aciones en cada #rupo es i#ual. Como a cada elemento del

#rupo se le resta la media de ese #rupo slo (n61) elementos de cada #rupo pueden

5ariar. Además como se tienen c #rupos c se multiplica por (n61) para obtener los

#rados de libertad para el m+todo dentro.

$rados de libertad para

#lE C(n F 1)

Método entre

8l se#undo m+todo para estimar la 5arianza com&n de la poblacin produce unaestimacin 5álida slo si la *iptesis nula es cierta. ara entender el m+todo entrerecuerde el teorema del l'mite central. 8ste importante teorema en estad'stica estableceque la distribucin de las medias muestrales tiende a una distribucin normal con%orme

crece el tamaño de la muestra con una media µ 7 una des5iacin estándar δ√n. 9i el

error estándar de la media es δ√n entonces la 5arianza de la distribucin es i#ual alerror estándar al cuadrado δ2√n.

8sta 5arianza es una medida de las di%erencias entre todas las medias muestrales

que puedan obtenerse de la distribucin 7 la media de la poblacin. La ra'z cuadrada de

esta 5arianza es el error estándar de la media es decir la di%erencia estándar entre una

media muestral 7 la media poblacional.

8n A-,A para estimar la 5arianza de la distribucin muestral de

medias se debe estimar primero la media poblacional. La media de todos los 5alores

muestrales proporciona esa estimacin. Despu+s se determina la di%erencia entre la

media de cada #rupo 7 esta media poblacional estimada 7 estas di%erencias se ele5an alcuadrado 7 se suman. 8ste 5alor con %recuencia se llama la suma de cuadrados entre

(9C ) 8sta suma se di5ide entonces entre el n&mero adecuado de #rados de libertad


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para obtener la estimacin de la 5arianza de la distribucin muestral. La ecuacin

si#uiente da el cálculo de la estimacin de la 5arianza de la distribucin muestral de las

medias:


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=

donde: (2>)

• 8stimacin del m+todo entre de la 5arianza poblacional com&n.• media del #rupo =.• media #lobal (media de todos los 5alores) usada como estimacin de µ.• C n&mero de #rupos• n n&mero de elementos de la muestra en cada #rupo si el n&mero de

obser5aciones en cada uno es el mismo.

$rados de libertad para

#l b (C F 1)

Tabla ANOVALos resultados del análisis de 5arianza se presentan en una tabla A-,A que

resume los 5alores importantes de la prueba. 8sta tabla tiene un %ormato estándar que

usan los libros 7 los problemas de computadora que e=ecutan A-,A. La si#uiente

tabla muestra la %orma #eneral de la tabla A-,A.

8n dic*a tabla se resumen los cálculos necesarios para la prueba de i#ualdad de lasmedias poblacionales usando análisis de 5arianza. rimero se usa el m+todo dentro para

estimar δ2

. Cada 5alor de los datos se compara con su propia media 7 la suma de lasdi%erencias al cuadrado se di5ide entre los #rados de libertad c(n61).

Fuente devariación

SC GL Estimaciónde

Coeficiente F

Grupos Entre 2

c - ! "#$

!

Grupos%entro

2

c(n-) ! "#$

&ota# ∑ ∑ ( 'i ' )

donde:

• -&mero de la columna• i -&mero de la %ila• c -&mero de columnas (#rupos)• n -&mero de elementos en cada #rupo (tamaño de la muestra)

La tabla A-,A contiene columnas con las %uentes de 5ariacin las sumas de

cuadrados los #rados de libertad las estimaciones de la 5arianza 7 el 5alor F para el

procedimiento de análisis de 5arianza.


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Getomando el problema del e%ecto de cuatro m+todos de ensamble A C 7 Dsobre el tiempo de ensamble en minutos tenemos:


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0+todo de

A C D

?

@

@

B

1

@

11

1

?

1

1

1

2

0edia ( i) 2> @> 12> 1>

0edia #lobal : B!

C " n "

"

H

H

H

Comp#etando #a ta$#a *+*, .uedando de #a si"uiente manera

Fuente de

ariación SC "# Estimación de δ2

Coeficiente F ----------------------------------------------------------------------------------------------------------Grupos entre /0,10 3 /0,!3 = 23,2 23,2!2,1 =Grupos 20,14 2 20,14!2 = 2,1----------------------------------------------------------- -----------------------------------------------&&* 04,0

Como la *iptesis a probar es

H : µ1 µ2 µ! µ" H 1: -o todas las poblaciones tienen la misma media

8l 5alor de / calculado por tabla cuando tenemos un ni5el de si#ni%icancia de

> 7 ! #rados de libertad en el numerador 7 12 #rados de libertad en el denominador es /> (!12) !"B


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Como nuestro estad'stico de prueba / (B"2) excede el 5alor cr'tico tabulado

(!"B) rec*azamos la *iptesis nula 7 aceptamos la alterna conclu7endo que s' *a7

di%erencia o e%ecto de los m+todos de ensamble en cuanto a su tiempo promedio.


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A*ora 5eremos el procedimiento 7 notacin más com&nmente utilizado para la

solucin de A-,A3abla 2.! Diseño completamente al azar (DCA)

3ratamientos

I

.

.

.

I.

.

.

.

I

Notación de puntos

9ir5e para presentar de manera abre5iada cantidades num+ricas que se pueden calcular a

partir de los datos experimentales donde representa la obser5acin en eltratamiento con 7 . Las cantidades de inter+s son las

si#uientes:

•

• • •

-ote que el punto indica la suma sobre el correspondiente sub'ndice. As' al#unas

relaciones 5álidas son:

(2.?)

donde es el total de obser5aciones.

ANOVA

Como 7a lo mencionamos el ob=eti5o del análisis de 5arianza en el DCA es probar la*iptesis de i#ualdad de los tratamientos con respecto a la media de correspondiente

5ariable de respuesta.

ara probar la *iptesis dada por la relacin:

mediante la t+cnica de A-,A lo primero es descomponer la 5ariabilidad total de los

datos en sus dos componentes: la 5ariabilidad debida a tratamientos 7 la quecorresponde al error aleatorio (equi5alente al m+todo entre 7 m+todo dentro) como se

*ace a continuacin


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es la suma total de cuadrados ( ) dada por:


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(2.)

donde es la suma de los datos en el experimento.

La suma de cuadrados de tratamientos ( ) +sta

dado por:

(2.@)

donde apreciamos que la mide la 5ariacin o di%erencias entre tratamientos 7a

que si +stos son mu7 di%erentes entre s' entonces la di%erencia tenderá a ser #rande en 5alor absoluto 7 con ello tambi+n será #rande la

La suma de cuadrados del error ( ) +sta dado por:

(2.B)

donde la mide la 5ariacin dentro de tratamientos 7a que si *a7 muc*a 5ariacin

entre las obser5aciones de cada tratamiento entonces tenderá a ser #rande en

5alor absoluto. 8n %orma abre5iada esta descomposicin de la suma total de cuadrados

se puede describir como:

(2.1)

La suma de cuadrados di5ididos entre sus respecti5os #rados de libertad se

llaman cuadrados medios. Los dos que más interesan son el cuadrado medio detratamientos ( ) 7 el cuadrado medio del error ( que se denotan por:

(2.11)

(2.12)

Con base en este *ec*o se constru7e el estad'stico de prueba como si#ue: se sabe

que 7 son independientes por lo que 7 son dos

5ariables son dos 5ariables aleatorias independientes con distribucin =i6cuadrada con

7 #rados de libertad respecti5amente. 8ntonces ba=o el supuesto de que la

*iptesis es 5erdadera el estad'stico


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(2.1!)

si#ue una distribucin con ( #rados de libertad en el numerador 7 ( )

#rados de libertad en el denominador. De la ecuacin (2.1!) se deduce que si es

#rande se contradice la *iptesis de que no *a7 e%ecto de tratamientos en cambio si


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es pequeño se con%irma la 5alidez de . As' para un ni5el de si#ni%icancia pre%i=ado

se rec*aza si donde es el percentil ( ) x 1 de

la distribucin . 3ambi+n se rec*aza si el 5alor6p donde el 5alor6p es el área

ba=o la distribucin a la derec*a del estad'stico es decir el

)

3oda la in%ormacin necesaria para calcular el estad'stico *asta lle#ar al 5alor6

p se escribe en la llamada tabla de análisis de varianza (A-,A) que se muestraen la tabla 2.". 8n esta tabla las abre5iaturas si#ni%ican lo si#uiente: %uente de

5ariabilidad (e%ecto) suma de cuadrados #rados de libertad

cuadrado medio estad'stico de prueba 5alor6p si#ni%icancia obser5ada

3abla 2." 3abla de A-,A para DCA

9C $L C0

,alor6

3ratamient

os

8r

ro

)

Análisis del e=emplo 1 (comparacin de cuatro tipos de m+todos de ensamble).

La interro#ante que se plante en el problema de la comparacin entre los cuatro tiposde m+todos de ensamble %ue: Jexisten di%erencias entre el tiempo promedio de los

di%erentes m+todos de ensambleK La respuesta a esta pre#unta es el resultado de

contrastar las *iptesis:

C%lc!los man!ales

Detalles de los cálculos para el A-,A en DCA para el tiempo de ensambleMétodos de ensamble Operaciones básicas

Observaciones A BC D 6

!!!"

# $ !6 !%

&

'(ma de los c(adrados de todas lasobservaciones o datos

&

s(ma de los datos total demediciones

media)lobal

*otal por *ratamiento + %$ ,- !N(mero de datos/n cada tratamiento + - - -Media m(estral por *ratamiento + .% #."!%.

D i i t


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1.6 9uma total de cuadrados o 5ariabilidad total de los datos:

= 1?2 6

2.6 9uma de cuadrados de tratamientos o 5ariabilidad debida a la di%erencia entre

m+todos de ensamble:

!.6 9uma de cuadrados del error o 5ariabilidad dentro de m+todos de ensamble:

".6 Cuadrados medios de tratamientos 7 del error (e%ecto ponderado de cada %uente de5ariacin):

>.6 8stad'stico de prueba:

Con toda esta in%ormacin se procede a llenar la tabla A-,A. 8l 5alor de la

si#ni%icancia obser5ada o 5alor6p es el área ba=o la cur5a de la distribucin a la

derec*a de lo cual es di%'cil de calcular de %orma manual. 9in embar#o

cuando esto no sea posible recordemos que otra %orma de rec*azar o no una *iptesis es

comparar el estad'stico de prueba contra un n&mero cr'tico de tablas. 8n el caso de las

tablas de la distribucin en donde se lee que el 5alor cr'tico para es

. Como:

entonces se rec*aza con lo cual se conclu7e que s' *a7 di%erencias o e%ecto de los

m+todos de ensamble en cuanto a su tiempo promedio

3abla A-,A

Fuente de

variacione

s

S C

G L

C M

Val

or

críti

3ratamient ?B ! 2! B" !"B

8rror 2B 1 23otal BB 1


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Gesultados arro=ados en un paquete computacional (8xcel 7 0initab) para el

e=emplo 1 de los tiempos de ensamble para los cuatro m+todos.


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6 CA12*34O Diseño de e5perimentos de

ANOVA unidireccional: A; B; C; D Minitab

Fuent G SC MC P

Facto 3 69,5 23,17 0,00

Error 1 29,5 2,46

Total 1 99,0

S = 1,568 !cua"# = 70,20$ !cua"#%a&u'ta"o( = 62,75$

)C' "e 95$ *n"*+*"uale' ara la -e"*a

.a'a"o' en /e'+#E't# arua"a

*+ 1 Me"*a /e'+#E't !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

4 7,250 0,957 %!!!!!!!!!!!!(

5 4 8,500 1,291 %!!!!!!!!!!!!(

C 4 12,75 2,363 %!!!!!!!!!!!!(

/ 4 10,50 1,291 %!!!!!!!!!!!!(

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!7,5 10,0 12,5 15,0

/e'+#E't# arua"a = 1,568

Diagrama de cajas simultáneosLos dia#ramas de ca=as es una *erramienta para describir el comportamiento e unos

datos 7 es de suma utilidad para comparar procesos tratamientos 7 en #eneral para

*acer análisis por estratos (lotes pro5eedores turnos). 8n el resultado arro=ado por

0initab se obser5a en la %i#ura (%i#ura 2.1) que el m+todo C parece di%erente al los

m+todos A 7 en cuanto a sus medias la media del m+todo D tambi+n se 5e di%erente

a la media del m+todo A. or otra parte se obser5a un poco más de 5ariabilidad en el

m+todo C que en todos los demás. Lo que si#ue es 5eri%icar que lo que se obser5a en eldia#rama de ca=as implica di%erencias si#ni%icati5as entre los distintos tratamientos por


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6 CA12*34O Diseño de e5perimentos dedia#ramas de ca=as son muestras.


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Gráfca de caja de A; B; C; D

!7

!7"

!%7

!"7"

7

7"

A B C D

8n #eneral cuando los dia#ramas no se traslapan es probable que los

tratamientos correspondientes sean di%erentes entre s' 7 la probabilidad es ma7or en la

medida que los dia#ramas están basados en más datos. Cuando se traslapan un poco

puede ser que *a7a o no di%erencias si#ni%icati5as 7 en cualquier caso es con5eniente

utilizar una prueba estad'stica para determinar cuáles di%erencias son si#ni%icati5as.8stas pruebas se 5erán en la si#uiente seccin.

/i#ura 2.1 Dia#rama de ca=as para los m+todos de ensamble

An%lisis del ejemplo 2 (comparacin de cuatro tipos de cuero). La interro#ante que se

plante en el problema de la comparacin entre los cuatro tipos de cuero %ue: Jexisten

di%erencias entre el des#aste promedio de los di%erentes tipos de cueroK La respuesta a

esta pre#unta es el resultado de contrastar las *iptesis:

8n el resultado arro=ado por 8xcel se muestra el análisis de 5arianza para este

e=emplo. Como el 5alor6p es menor que la si#ni%icancia pre%i=ada se

rec*aza 7 se acepta que al menos un par de tipos de cuero tiene un des#aste

promedio di%erente

Análisis de varianza de (n

actor en /5cel

8/'3M/N

Grupos uenta !uma "romedio Varianza

A 6 !.-" %.67666666 6#7666666B 6 !%6, %!"7. .%7

C 6 !,#. %,"7#,,,,,, %667$6666

D a t o s


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AN94:':' D/

Origen de las !uma de Grados de "romedio de los # "robabilidad Valor cr$tico

/ntre )r(pos "!$7-.#,,, , %,,$7#!$-- %%7..,..6 ,7"$#,$!Dentro de los %".67 % !"%7#%.

*otal $".7$.#,,, %


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ANOVA unidireccional: A; B; C; D Minitab

Fuent G SC MC F P

Facto 3 70 2340 0,0

Error 2 20 103Total 2 90

S = 10,14 !cua"# = 77,34$ !cua"#%a&u'ta"o( = 73,94$

)C' "e 95$ *n"*+*"uale' ara la -e"*a

.a'a"o' en /e'+#E't# arua"a

*+el Me"*a /e'+#E't# !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

%!!!!!!!!!(

/ 6 221,17 4,79 %!!!!!!!!!(

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

208 224 240 256

/e'+#E't# arua"a = 10,14

6 256, 8,29

5 6 210, 7,26 %!!!!!

C 6 230, 16,3 %!!!!

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