Fascículo 1

Semestre 1

Fascículo

1

Fundamentosde Matemáticas

Fundamentosde matemáticas Semestre 1

Fundamentos de matemáticas

Tabla de contenido Página

Presentación 1

Programación General 3

Mapa conceptual general de la asignatura 5

Competencias generales de la asignatura 5

Introducción 6

Conceptos previos 7

Mapa conceptual del fascículo 8

Lógica proposicional 8

Conceptos básicos de la lógica proposicional 9

Negación de una proposición 9

Proposiciones compuestas: Disyunción y conjunción 11

Conceptos básicos 12

Conjuntos 12

Representación gráfica de conjuntos 13

Operaciones entre conjuntos 16

Actividad de trabajo colaborativo 22

Resumen 22

Bibliografía recomendada 23

Nexo 24

Seguimiento al autoaprendizaje 25

Créditos: 3

Tipo de asignatura: Teórica - Práctica.


Semestre 1

Copyright©2008 FUNDICIÓN UNIVERSITARIA SAN MARTÍN Facultad de Universidad Abierta y a Distancia, “Educación a Través de Escenarios Múltiples”

Bogotá, D.C.

Prohibida la reproducción total o parcial sin autorización por escrito del Presidente de la Fundación.

La redacción de este fascículo estuvo a cargo de

HERNÁN ALBERTO DÍAZ GONZÁLEZ Sede Bogotá, D.C.

Orientación a cargo de;

ELIZABETH RUIZ HERRERA Directora Nacional de Material Educativo.

Diseño gráfico y diagramación a cargo de

SANTIAGO BECERRA SÁENZ ORLANDO DÍAZ CÁRDENAS

Impreso en: GRÁFICAS SAN MARTÍN

Calle 61A No. 14-18 - Tels.: 2350298 - 2359825 Bogotá, D.C., Mayo de 2008

4

Fascículo No. 1 Semestre 1


Presentación Es innegable que toda persona en cualquier momento histórico debe tener

dentro de sus conocimientos un estudio básico de las matemáticas y sus

relaciones, ya que éstas le permiten interpretar muchas de las situaciones

de la cotidianidad. Asistimos a una época en que el conocimiento y el

manejo de la información se privilegian en la práctica de las políticas de la

globalización, por lo tanto, una persona debe prepararse para responder y

asumir los retos cada vez más complejos que le sugieren y plantean los

avances científicos y tecnológicos, y en particular la proyección hacia el

manejo y construcción de los llamados ambientes virtuales de aprendizaje.

El análisis de variables, la lectura e interpretación de gráficas, el registro de

datos y la conjetura probabilística, permiten la modelación de situaciones

problémicas que se presentan en cada una de las ciencias, al igual que el

diseño de nuevas situaciones aún más complejas propias del contexto de la

finanzas y la economía.

Este primer curso de matemáticas o de fundamentos de matemáticas inicia

con un sencillo estudio de lógica y de allí partimos hacia la construcción del

concepto de conjunto, gracias a las proposiciones abiertas, las operaciones

entre conjuntos en relación con las conectivas lógicas. Posteriormente,

abordaremos el conjunto de los reales, que servirá de base al manejo

operatorio en el álgebra, que a su vez va a permitir el trabajo con variables

y por ende asociar el concepto de función y de ecuación.

A continuación, un estudio básico de la función lineal y la función

cuadrática, la solución de sistemas de ecuaciones, las matrices, las

inecuaciones y en el último fascículo, las aplicaciones de cada uno de estos

conceptos en la modelación, el planteamiento y obtención de los resultados

de situaciones problematizables del ambiente de la administración, la

5




economía y las finanzas, como son: los costos, los ingresos, la utilidad, el

equilibrio, la oferta, la demanda, el punto de equilibrio del mercado y para

terminar una aplicación de las desigualdades en algunos de los conceptos

anteriores.

6




Programación general Lógica y conjuntos Conceptos básicos de la Lógica proposicional Proposiciones simples cerradas y abiertas Negación de una proposición Proposiciones compuestas: Disyunción y conjunción Teoría de conjuntos Conceptos básicos Conjunto y notación de conjunto Operaciones entre conjuntos Aplicaciones Fascículo 1 __________________________________________________________

_____

Conjunto de los números reales y operaciones Conjuntos numéricos El conjunto de los números reales Operaciones y propiedades en los reales Potenciación, radicación y logaritmación Fascículo 2 __________________________________________________________

_____

Expresiones algebraicas Operaciones con polinomios: adición, producto y división Cocientes y productos notables. Factorización Fascículo 3 __________________________________________________________

_____

Ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales Ecuación Sistemas de ecuaciones Métodos de solución

7




Fascículo 4 __________________________________________________________

_____

Función lineal y función cuadrática Función Función lineal Función cuadrática Fascículo 5 __________________________________________________________

____

Matrices Operaciones con matrices Solución de sistemas de ecuaciones usando matrices Aplicaciones de las matrices Fascículo 6

Inecuaciones Desigualdades Inecuaciones de primer grado Inecuaciones de segundo grado Aplicaciones de las desigualdades Fascículo 7 __________________________________________________________

_____

Aplicaciones en economía Oferta y demanda Modelo lineal de mercado en equilibrio parcial Costos e ingresos totales Otras aplicaciones Fascículo 8 ____________________________________________________________

_

8




Hernán Díaz González

Mapa conceptual general de la asignatura

Competencias generales de la asignatura Cognitiva Posee capacidad de aplicación del pensamiento numérico y variacional a

través de la reflexión y la argumentación como fundamento de los

principios de la teoría de costos. Aplica los fundamentos algebraicos en la

modelación de situaciones del ambiente empresarial, de las finanzas y la

administración.

Comunicativa Interpreta, decodificando cada uno de los símbolos de las diferentes

formulas de la teoría de costos. Lee y traduce del lenguaje técnico de las

LÓGICA

CONSTRUIMOS

CONJUNTOS

NUMÉRICOS EXPRESIONESALGEBRAICAS

CONTIENE A CONTIENEN

REALES POLINOMIOS

PUEDE SER DAN LUGAR

RACIONALES IRRACIONALES

ENTEROS NATURALES

FUNCIÓN ECUACIÓN INECUACIÓN

PUEDE SER PUEDE SER PUEDE SER

SE UTILIZAN SE UTILIZAN SE UTILIZAN SE UTILIZASE UTILIZA SE UTILIZA SE UTILIZASE UTILIZASE UTILIZA

APLICACIONES A LA ADMINISTRACIÓNY LA CONTADURÍA

PUEDEN SER

9




matemáticas, la economía, las finanzas y la administración, al lenguaje

cotidiano y viceversa.

Valorativa Reconoce que las decisiones que se tomen a futuro acerca de muchos

cálculos numéricos tendrán unas implicaciones muy serias, ya que dan fe

de unos comportamientos financieros reales tanto contables como

administrativos. Contextual Plantea y resuelve diferentes situaciones problémicas del ambiente

empresarial, en especial de la teoría de costos en la producción, bienes y

servicios orientados preferencialmente al área económico-administrativa. Introducción Lógica y conjuntos

El estudio de algunos elementos de la lógica, nos permiten manejar ciertos principios que habrán de servir para enjuiciar razonamientos que se vayan obteniendo de forma coherente y secuencial en la construcción de estrategias diseñadas para dar solución a situaciones problematizables propias del ambiente empresarial, es decir, del área económico-administrativa. Más adelante podremos establecer relación entre éstos principios y la construcción o idea de conjunto, al igual que entre estos principios y ciertas operaciones que se pueden tener entre dos o más conjuntos. La teoría de conjuntos es una teoría matemática que estudia, básicamente, a un cierto tipo de objetos llamados conjuntos, así como a los problemas relacionados con estos. La importancia de la teoría de conjuntos radica en que a partir de ella se puede reconstruir casi toda la matemática (con algunas excepciones como la teoría de categorías). Por ejemplo, con la teoría de conjuntos se pueden definir los siguientes

10




conceptos y probar todas sus propiedades: par ordenado, relación, función,

partición, orden, estructuras algebraicas, los naturales, los enteros, los

racionales, los reales, los complejos, etc.

Conceptos previos Para tener un manejo más apropiado de los conceptos de la temática

propuesta en este fascículo, se requiere que además de tu auto-

motivación, buena disposición e interés personal, reflexiones y respondas

los siguientes interrogantes y actividades:

1. ¿Cuál es la estructura de una frase?,¿ cómo se debe desarrollar el

proceso de lecto - escritura?.

2. Señala cuáles de las siguientes frases corresponden a proposiciones,

justifica tu respuesta.

a) ¡Viva la Contaduría!

b) Utilidad demasiado al favor se tanto costos por

c) ¿Qué es la demanda?

d) Auditoría hace parte de la profesión contable

3. Se da la frase q:____________ es una cuenta de obligaciones laborales.

Escribe por lo menos cinco palabras que al colocarse en el lugar

subrayado completen de manera lógica la frase.

4.¿Cuándo decimos que hemos escrito un conjunto por comprensión?,

¿cuándo decimos que hemos escrito un conjunto por extensión?

5. Explica brevemente:

a) Unión, diferencia y complemento entre conjuntos

b) Conjunto referencial, diagramas de Venn

11




LAS PROPOSICIONES

SIMPLES CONECTIVAS COMPUESTAS

ABIERTAS CERRADAS

NEGACION

DISYUNCIÓN

CONJUNCIÓN

CONJUNTOS

DIAGRAMAS DE VENN OPERACIONES

COMPLEMENTO DIFERENCIA UNIÓN INTERSECCIOÓN

Mediante Forman

Con la

O

Y

Se relaciona

Se relaciona

Como

Son

Unas veces

Se obtiene su

Unas veces

Forman

Se representan con Se pueden efectuar

Hernán Díaz González

Mapa conceptual fascículo 1

Lógica y conjuntos

Al finalizar el estudio del presente fascículo, el estudiante: Identifica los conceptos básicos de la lógica y los conjuntos. Expresa conjuntos por compresión y por extensión. Identifica los diferentes tipos de operaciones entre conjuntos. Interpreta y resuelve problemas cuyas soluciones involucran teoría

de conjuntos en situaciones propias del área económico-administrativa.

LogrosLogrosLogros

12




cuenta del pasivo

p: 4444 84444 76 sujetoootér

sFinancieraesObligacionmin

4444 34444 21predicado

activodelcuentaunaes (F) q(x) : x es una

Conceptos básicos de la lógica proposicional Sabemos que un párrafo está compuesto por frases, cada una de las

cuales debe tener sentido lógico para encajar en la situación general en la

cual se enmarca. Las frases o afirmaciones con sentido lógico las

llamaremos proposiciones, es decir, una proposición es una oración con

sentido lógico de la cual podemos decir que es verdadera (v =

1) o falsa

(f = 0), lo cual se denomina valor de verdad de la proposición.

Las proposiciones se notan con las letras minúsculas: p, q, r,

etc.

Ejemplo: t: Un activo fijo que no está sujeto a depreciación es terrenos (V) r: la revisoría fiscal hace parte de la contaduría (V) s(x): x es un activo fijo

Las anteriores proposiciones reciben el nombre de proposiciones simples o

atómicas. Cada una de las proposiciones de la izquierda es una

proposición cerrada, es decir, cuando el sujeto está perfectamente

determinado, y las proposiciones de la derecha se dice que son

proposiciones abiertas, es decir, cuando el sujeto no está determinado y

puede tomar distintos valores. Su valor de verdad depende del sujeto que

se asigne a la proposición.

Negación de una proposición La negación de una proposición p simple y cerrada es otra proposición en

la cual se incluyen algunas de las palabras: no, ningún, ni, nada, no es

cierto, no ocurre que. El valor de verdad de la proposición p cambia al

p p

F 0

V 1

En uquier

13




ser negada, la negación de p se nota p¬ y se lee “no p”.

Si tenemos la proposición p: Obligaciones financieras es una cuenta del

activo (F), su negación será:

p¬ : No se tiene que obligaciones financieras es una cuenta del activo (V)

)( p¬¬ : No es cierto que Obligaciones financieras no es una cuenta del

activo (F).

Todos los distintos sujetos que hacen que una proposición abierta se

convierta en una proposición cerrada-verdadera, conforman un conjunto

específico, llamado universo de discurso de la variable x, y, o z, conjunto

que algunas veces es finito y otras es infinito.

Para la proposición r: x es una cuenta de proveedores. El universo de

discurso de la variable es: { xxUr /= ,x es una cuenta de proveedores}.

=rU {Nacionales, Del exterior}

Para la proposición t : x es una cuenta de Obligaciones Laborales. El

universo de discurso de la variable es : { xxxUt ,/= es una cuenta de

Obligaciones Laborales}

1.1.

1. Construya 5 frases u oraciones con sentido lógico que sean

proposiciones simples-verdaderas, propias del contexto económico-administrativo.

2. Construya 5 frases u oraciones con sentido lógico que sean proposiciones simples-falsas, propias del contexto económico-administrativo.

3. Dadas las proposiciones: p: Toda cuenta por pagar es una cuenta del activo. q: Los estados de resultados se presentan una sola vez cada dos meses.

a) Hallar el valor de verdad de cada una. b) Obtenga, p¬ , q¬ , )( p¬¬ y dé el valor de verdad que toman.

4. Muestra tu creatividad construyendo 5 proposiciones abiertas, propias del contexto económico-administrativo y para cada una determine el universo de discurso de la variable.

5. Convierta cada una de las proposiciones anteriores en proposiciones cerradas-verdaderas.

cual-

14




En upuestentre

En upuestentre

6. Convierta cada una de las proposiciones anteriores en proposiciones cerradas-falsas.

7. Haga un listado de cada uno de los sujetos del universo de discurso tU

Proposiciones compuestas y conectivas lógicas Con las proposiciones simples r, s podemos formar otras proposiciones

llamadas proposiciones compuestas, las cuales se obtienen mediante el

enlace de proposiciones simples con conectivas lógicas. El enlace de dos

proposiciones simples mediante la conectiva “o” recibe el nombre de

disyunción y al enlace de dos proposiciones simples mediante la conectiva

“y” recibe el nombre de conjunción.

r o s : sr ∨ : Disyunción de r con s

r y s : sr ∧ : Conjunción de r con s

El valor de verdad de una proposición compuesta depende del valor de

cada una de las proposiciones que la conforman y de la conectiva de

enlace. La conectiva lógica “y” es enfática, ya que solamente es verdadera

cuando ambas proposiciones son verdaderas y en los demás casos es

falsa. La conectiva lógica“o” es de carácter optativo, ya que es verdadera

cuando alguna de las dos proposiciones es verdadera y únicamente es

falsa si las dos lo son.

Ejemplo

Sean las proposiciones:

r: Inventarios es una cuenta de ingresos (F)

s : El capital social es una cuenta del patrimonio (V)

La disyunción de sr ∨ , se redacta: “Inventarios es una cuenta de

ingresos o el capital social es una cuenta del patrimonio” (V).

La conjunción de sr ∧ : se redacta: “Inventarios es una cuenta de

ingresos y el capital social es una cuenta del patrimonio” (F).

Una una(sdos pusualesi…ensi (↔

15




1.2.

1. Enumere los sujetos que hacen verdadera la proposición t : x es una

cuenta de Obligaciones financieras 2. Redacte y de el valor de verdad de las proposiciones : i) sr ¬∨ ii)

sr ∧¬ 3. Construya 5 proposiciones compuestas disyuntivas propias del

contexto económico-administrativo. Dé el valor de verdad de cada una de las proposiciones compuestas.

4. Construya 5 proposiciones compuestas conjuntivas propias del contexto económico-administrativo. Dé el valor de verdad de cada una de las proposiciones compuestas

Anillos concatenados Estos anillos concatenados forman 7 regiones (Figura No.1.1) en las que hay que distribuir los dígitos desde el 1 hasta el 7 de tal manera que la suma de los 4 dígitos ubicados en cada anillo sea la misma.

Figura 1.1 Anillos concatenados

Conceptos básicos de la Teoría de Conjuntos Conjunto Recordemos de lo anterior que todos los sujetos que hacen verdadera una

proposición abierta, es decir que son del universo de discurso de la variable

conforman UN CONJUNTO.

Ejemplo Sea la proposición r: x es una cuenta de obligaciones financieras. Si

hacemos un listado de los sujetos que satisfacen la proposición r, tenemos

16




el conjunto notado por extensión.

F = {Bancos nacionales, bancos del exterior, corporaciones de ahorro y

vivienda} la notación:

F = { xxx , es una cuenta de obligaciones financieras}. Cuando expresamos

el conjunto mediante una proposición abierta, recibe el nombre de notación

por comprensión.

Se puede decir que un conjunto es una agrupación o colección de objetos o

cosas bien definidos, es decir, que tienen una característica común; los

objetos o cosas reciben el nombre de elementos, los cuales se notan con

letras minúsculas y el conjunto con letras mayúsculas.

Sea H el conjunto de todos los números que se dejan dividir por cero. H por

comprensión es:

H = { xxx , es un número que se deja dividir por cero}. H por extensión es:

H = { } Representación gráfica Se acostumbra a representar gráficamente, para una mayor visualización,

los conjuntos, mediante cuadrados, rectángulos, círculos y óvalos, llamados

diagramas de Venn-Euler. Cuando un elemento por ejemplo [acciones ( )a ]

hace parte de un conjunto [Inversiones ( )I ] decimos que éste elemento ( )a

pertenece al conjunto ( )I se escribe: Ia∈ . Se lee “ a pertenece a I ”.

Cuando un conjunto ( )I hace parte de otro conjunto ( )A decimos que ( )I es

un subconjunto de ( )A o que está contenido en ( )A , se escribe AI ⊂ . Se

lee “ I está contenido en A ”. Lo anterior se representa en la figura 1.2

Podemos establecer las siguientes proposiciones a partir de ciertas

relaciones con los anteriores conjuntos:

i) Pa∉ (V) ii) Aa∉ (F) iii) Ic∉ (V) iv) PI ⊄ (V)

17




v ) AI ⊂ (V) vi ) AU ⊃ (V) vii ) UI ⊄ (F) viii ) Pp∉ (F ) U

A

I I c

P

Figura 1.2 Relación de contenencia y pertenencia.

Si tenemos los elementos acciones, bonos, cédulas y certificados, un

conjunto que los recoge o de referencia (universal) sería INVERSIONES, si

además tenemos los elementos caja, honorarios, vehículos, terrenos,

patentes, maquinaria y equipo, el conjunto de referencia ahora sería (U)

ACTIVO.

El conjunto referencial o universal es aquél que recoge todos los

elementos a los cuales se está haciendo referencia, se nota con la letra U.

Para el ejemplo anterior si se agrega el conjunto P (Pasivo) se considera

como conjunto referencial o universal el plan único de cuentas (PUC).

El conjunto que no posee elementos recibe el nombre de conjunto vacío, se

nota φ o { }.

V = { xxx ,/ es la cantidad negativa de artículos en un proceso de

producción} es un conjunto vacío.

Ahora si tomamos un conjuntoQ , el complemento de Q con respecto a U

es un conjunto que está formado por todos los elementos que están en U

pero no están en Q . Se escribe o denota Q′ o Q En la figura No 1.3 se

a b

p

como ismo

18




representa gráficamente como la parte sombreada.

Ejemplo Consideremos el conjunto

Q = xxx ,{ es un número natural impar menor que 8} por extensión Q = {1,

3, 5,7}

el universal sería U = xxx ,{ es un número digito} por extensión U = {

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

El complemento de Q es

Q′= {0, 2, 4, 6, 8,9}

Q′

Figura 1.3 Complemento de Q

El número o cantidad de elementos constitutivos de un conjunto recibe el nombre de CARDINAL del conjunto, se nota con el símbolo (#). El matemático alemán Georg Cantor fue el primero en formalizar el concepto de infinito bajo la forma de números transfinitos, debido al estudio que hizo acerca de los conjuntos infinitos, a su vez es el creador del cardinal de un conjunto. El cardinal del conjunto unitario es uno (1) y el cardinal del conjunto vacío es el cero (0).

1.3

1. Expresar por extensión y comprensión los siguientes conjuntos:

a) Conjunto de las cuentas de inventarios.

U

19




b) Conjunto de las cuentas de obligaciones financieras. c) Conjunto de los posibles resultados al lanzar un dado una sola vez.

2. Construya por comprensión dos conjuntos vacíos V y W. 3. Tomar dos conjuntos cualesquiera T, S y un tercer conjunto U que

sea referencial con respecto a los otros y crear 5 proposiciones, dando su valor de verdad.

4. Halle el complemento de cada uno de los conjuntos anteriores T y S.

5. Una empresa P elabora en su línea 50 productos diferentes, otra empresa Q elabora 30 productos diferentes, ¿cuántos productos diferentes hay entre P y Q si se sabe que tienen entre sus líneas 20 productos en común?.

Operaciones entre conjuntos También se pueden establecer otros tipos de relaciones entre los

conjuntos, adicionales a las anteriormente analizadas, como son las

operaciones entre conjuntos. La unión de dos conjuntos Q y R es un

conjunto que está conformado por todos los elementos que están en Q o

que están en R ó están en ambos, es decir, por los elementos que están en

alguno de los dos. Se escribe o denota con la letra U .

Q U R = ∈xxx ,{ Q o ∈x R }

Ejemplo Dados los conjuntos:

Q = xxx ,{ es un número natural par menor que 7} y

R = xxx ,{ es un número natural mayor que 3 y menor que 8}, para estos

conjuntos el universal sería U = xxx ,{ es un número digito}. Los anteriores

conjuntos por extensión son:

Q = { 0,2,4,6,} R = { 4,5,6,7,} U = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Q U R = {0, 2, 4, 5, 6, 7}, se representa gráficamente en la figura 1.4 como

la región sombreada

20




1 9 9 8 3

Q U R

3

Figura 1.4 Q unión R

La intersección de dos conjuntos Q y R es un conjunto que está

conformado por todos los elementos que están simultáneamente en Q y R,

es decir, por los elementos que están en ambos a la vez. Se escribe o

denota con la letra I .

Q IR = ∈xxx ,{ Q y ∈x R}

Ejemplo Tomemos los conjuntos:

Q = xxx ,{ es un número natural impar menor que 8} y




Q = { 1,3,5,7} R = { 3,4,5,6} U = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Q IR = {3, 5}, se representa gráficamente en la figura 1.5 como la región

sombreada

0 4 5 2 6 7

Q R

U

21




QIR

Figura 1.5 Q intersección R

Si la intersección Q IR = φ , es decir si los conjuntos Q y R no tienen

elementos en común, se dice que Q y R son conjuntos disjuntos. El

conjunto de cuentas del activo y el conjunto de cuentas del pasivo son

conjuntos disjuntos.

La diferencia del conjunto Q con respecto al conjunto R , que se escribe Q

– R y se lee “Q menos R” es el conjunto formado por los elementos que

están en Q pero no están en R.

Q – R = ∈xxx ,{ Q y ∉x R }

Ejemplo Si tenemos los conjuntos:

Q = xxx ,{ es un número natural impar menor que 8} y




Q = { 1,3,5,7} R = { 3,4,5,6} U = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Q – R = {1,7}

0 8 2 9 1 3 4

7 5 6

Q R

U

22




Figura 1.6 tomada (www.galeon.com/mponce/Archivos/caricaturas)

1.4

1.- Represente en un diagrama de Venn-Euler la diferencia Q – R del ejemplo anterior. 2.- Aprovecha tu creatividad y construye dos conjuntos que sean disjuntos propios del ambiente de la contaduría. Teniendo los siguientes conjuntos: M = xx

x ,{ es un número natural mayor que 12 y menor que 18

N = xxx ,{ es un número natural par mayor que 11 y menor que 17}

O = xxx ,{ es un número natural impar mayor que 10 y menor que 17}

U = xxx ,{ es un número natural entre 10 y el 20}

3. Exprese por comprensión y por extensión: a) N U O b) M U O c) M I O d) N I O e) M – N f ) N – M f ) U – O g) O

Ejemplo de Aplicación Al consultar 57 personas frente a las actividades (lectura, juegos

electrónicos y aeróbicos) que les gusta realizar en sus tiempos libres, se

obtuvo la siguiente información: 5 respondieron que únicamente LEEN, 11

que únicamente practican JUEGOS ELECTRÓNICOS, 9 únicamente

realizan AERÓBICOS, 20 leen o practican juegos electrónicos, 28 practican

23




57

57

Figura 1.7 Aplicación

Figura 1.8 Aplicación

juegos electrónicos o aeróbicos, 7 realizan la tres actividades a la vez. 27

personas entre sus prácticas tienen los aeróbicos. ¿Cuál es el número de

personas que leen y hacen aeróbicos a la vez? ¿cuántas personas no

realizan ninguna de las tres actividades consultadas?.

Valiéndonos de un diagrama de Venn-Euler, de forma lógica y coherente

vamos representando la información que al leer comprensivamente se va

captando.

El conjunto referencial o universal está

conformado por todas las personas con-

sultadas, su cardinal es # U = 57

Ubicamos tres círculos uno para cada

conjunto de actividades: A es el conjunto de

las personas que practican Aeróbicos L es el

conjunto de las personas que practican

Lectura, J es el conjunto de las personas que

practican Juegos Electrónicos.

# A = 27 ya que esta cantidad es el número de personas que entre sus

prácticas tienen los Aeróbicos (Figura 1. 7)

Si 7 practican las tres actividades a la vez

entonces 57#( A I LI J) =7 y lo ubicamos en

la intersección de los tres conjuntos, como 5

exclusivamente leen los ubicamos en el

sector de L que no se conecta con los otros

conjuntos, como 11 exclusivamente practican

juegos electrónicos, los ubicamos en el

sector de J que no se conecta con los otros, igualmente con los 9 que

exclusivamente hacen aeróbicos. Como 20 leen o practican juegos

)27(A L J

)27(A 10 9 3 8

5 7 11 L J

24




electrónicos, entonces entre los sectores que no se tocan con A suman 20,

pero ya hay 16 entre 5 y 11. Figura 1.8

Luego el que falta es 4, igualmente como 28 practican juegos electrónicos o

aeróbicos entre los sectores que no se tocan con L suman 28 pero ya hay

20 entre 9 y 11, luego el que falta es 8. Como # A = 27 y los sectores ya

ubicados suman 24 se deduce que los que leen y hacen aeróbicos a la vez

son 3, que es la respuesta a la primera pregunta, y si sumamos todos los

sectores entre los tres conjuntos nos da 47 luego el complemento de la

unión de los tres conjuntos es 10 que es la respuesta a la segunda

pregunta.

Los elementos del conjunto D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10} deben reemplazarse en las interrogaciones (?) que se dan en cada uno de los espacios de los conjuntos P, Q y R del diagrama, de tal forma que: i) Cada número de D se emplee una sola vez ii) La suma de cada uno de los conjuntos P, Q y R sea igual

a 27 iii) ¿Podría efectuarlo dando la suma 22?

Figura 1.9 Reto

P Q R

? ?

? ? ?

? ? ? ? ?

25




Reúnete con tu equipo de trabajo y resuelvan: 1. Se entrevista a un grupo de 65 estudiantes de un instituto similar al SENA,

de los cuales 28 se encuentran estudiando en el momento y 30 se hallan trabajando; las personas que se encuentran haciendo pasantía no pueden estudiar mientras la hacen, las personas que estudian y trabajan a la vez son 12, los que están haciendo la pasantía en la empresa oficial o trabajan en la empresa oficial a la vez son 7 y los que la hacen en la empresa privada o trabajan en la empresa privada a la vez son 9; 3 de estos últimos vienen trabajando en esa misma empresa privada, 5 de los que hacen la pasantía la realizan en la misma empresa oficial que vienen trabajando.¿Cuántos entrevistados no están ni estudiando, ni trabajando, ni haciendo pasantía en el momento?.

2. Construir o crear una situación problémica propia del ámbito de la economía

y la administración en donde se aplique la teoría de conjuntos.

Una frase con sentido lógico de la cual podemos decir que es únicamente

verdadera o falsa es una proposición simple cerrada. La negación de una

proposición, es otra proposición con valor de verdad opuesto y que se

obtiene agregando las palabras, ni, no, ningún, no es cierto, no sucede que.

Si el sujeto o el predicado en una proposición no están determinados y

pueden tomar diversos o variados valores, se dice que la proposición es

abierta y el sujeto es variable. Todos los sujetos que satisfacen una

proposición abierta conforman un CONJUNTO.

Un conjunto es una agrupación bien determinada de cosas u objetos que

está definida por una proposición, se dice que los objetos pertenecen al

conjunto y reciben el nombre de elementos. Cuando todos los elementos de

un conjunto Q pertenecen a otro P se dice que Q está incluido o que es un

26




subconjunto de P.(Q⊂P) El conjunto al cual pertenecen todos los

elementos a los que se hace referencia recibe el nombre de conjunto

universal( U). El conjunto formado por los elementos que pertenecen al

universal pero no a un conjunto Q recibe el nombre de complemento de Q

(Q′ ). La unión de dos conjuntos es otro conjunto formado por los elementos

que están en uno o en el otro, o en ambos. La intersección de dos

conjuntos es otro conjunto formado por los elementos que están en ambos

simultáneamente. La diferencia entre el conjunto P con respecto al conjunto

Q, es un conjunto formado por los elementos que están en P pero no están

en Q (P – Q).

HAEUSSLER, Ernest F. Matemáticas para Administración, Economía,

Ciencias Sociales y de la Vida. Editorial Prentice Hall. Octava Edición,

2001.

SOO TANG, Tan. Matemáticas para administración y economía.

Internacional THOMPSON. 1999

SMITH CHARLES, Dossey Keedy Bittinger. Álgebra. Editorial Addison

Wesley Iberoamericana.1992

LAURENCE D Hoffmann, Gerald L. Bradley. Cálculo para Administración,

Economía y Ciencias sociales. Editorial Mc Graw Hill. Septima edición.2001

SOLER, Francisco, NUÑEZ, Reinaldo, ARANDA Moisés. Fundamentos de

cálculo. ECOE ediciones. Segunda edición.2002

BITTINGER. Cálculo para ciencias económico-administrativas. Editorial

addison Wesley. Septima edición

BUDNICK, Frank S. Matemáticas aplicadas para Administración, economía

y ciencias sociales. Editorial Mc Graw Hill. Tercera edición.1998

27




En el siguiente fascículo se presentarán los diferentes sistemas numéricos,

es decir, los conjuntos numéricos con una serie de relaciones y operario-

nes entre sus elementos. Para abordar el próximo fascículo debes repasar

los conceptos de: número, números naturales, números enteros, números

racionales, números irracionales, números reales, la potenciación, la

radicación y las operaciones junto con cada una de sus propiedades.

28




Seguimiento al autoaprendizajeSeguimiento al autoaprendizajeSeguimiento al autoaprendizaje

Fundamentos de Matemáticas - Fascículo 1 Nombre_____________________________________________________

__

Apellidos ________________________________ Fecha:

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Ciudad___________________________________Semestre: _______________

1. Entrar a la página www.gestiopolis.com, tomar un artículo sobre economía y a partir del texto escriba 5 proposiciones simples que sean verdaderas y 5 que sean falsas (cite la dirección completa del recurso utilizado).

2. Niega cada una de las anteriores proposiciones a. b. c. d. Se tienen los conjuntos: P = { 110100, quemenoryquemayorparnaturalnúmerounesxx

x }

Q = { 10898, quemenoryquemayorparnaturalnúmerounesxx

x }

R = { 11199, quemenoryquemayorimparnaturalnúmerounesxx

x }

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U = { 11299, quemenoryquemayornaturalnúmerounesxxx }

3. Al efectuar P UQ se tiene: A. P UQ = {102, 104,106} B. P UQ = {100, 102, 104, 106,108} C. P UQ = {100,108} D. P UQ = {108} 4. Al efectuar P IQ se tiene: A. P IQ = {102, 104,106} B. P IQ = {100, 102, 104, 106,108} C. P IQ = {100,108} D. P IQ = {108} 5. Al efectuar P – Q se tiene: A. P – Q = {102, 104,106} B. P – Q = {100, 102, 104, 106,108} C. P – Q = {100,108} D. P – Q = {108} 6. De 200 estudiantes, 50 toman el curso de matemáticas I, 140 el curso de

Contabilidad I y 24 ambos cursos. Como ambos cursos programaron exámenes el día siguiente sólo los estudiantes que no están en ninguno de estos dos cursos podrán ir a la fiesta. El número de estudiantes que podrá ir a la fiesta es de:

A.114 B.34 C. 166 D.164 Preguntas de selección múltiple con múltiple respuesta Este tipo de pregunta consta de un enunciado y cuatro opciones de respuesta identificadas con los números I, II, III y IV. Sólo dos de estas opciones responden correctamente el enunciado.

Si I y II son correctas, marca la respuesta A Si II y III son correctas, marca la respuesta B Si III y IV son correctas, marca la respuesta C Si II y IV son correctas, marca la respuesta D

7. En una empresa se tienen tres líneas de inversión A (acciones), B

(bienes raíces), C (cdt´s). El 20% se invierte en acciones, el 16% en bienes raíces y el 14% en cdt´s. Sin embargo el 8% en acciones y bienes raíces, el 5% en acciones y cdt´s, el 4% en bienes raíces y cdt´s, el 2% en las tres inversiones.

I. 69 % II. 35 % III. 21% IV. 65 % ¿Qué porcentaje se invierte al menos en alguna de las tres líneas? De ellos ¿Qué porcentaje se invierte en acciones o bienes raíces? A. B. C. D.

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Fascículo 1