View
4
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
fase 1 parte individual control individual
Citation preview
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería.
CONTROL DIGITAL
FASE 1
Actividad Individual
Presentado por:
SERGIO DAVID MARTINEZ ZARTE - CODIGO: 91540351
Grupo: 299006_7
Tutor del Curso:
DIEGO FERNANDO SENDOYA
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD
ESCUELA CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA (ECBTI)
CEAD Santa Marta
08 de Marzo de 2015
INTRODUCCIÓN
El diseño de sistemas de control es una tarea de gran importancia en la Ingeniería Electrónica para
nuestras vidas personales y profesional. Con el desarrollo del curso de Control Digital alcanzaremos la
meta de comprender en totalidad la formulación matemática de un proceso.
Durante la realización de estos ejercicios se busca el manejo de las transformadas Z, su inversa y
propiedades, herramientas necesarias para demostrar las soluciones a la expresión según la unidad de
tiempo que se plantee. Esto nos permitirá diseñar el modelo matemático de un proceso bajo los
sistemas digitales.
OBJETIVOS
Objetivo General
Solucionar los ejercicios utilizando las herramientas matemáticas (transformada z y funciones de
trasferencia) para determinar las salidas de un control digital.
Objetivos Específicos
Realizar investigaciones referentes a los diferentes métodos de transformada Z.
Comprender las bases matemáticas para la realización de modelamientos computarizados.
Aplicar funciones de transferencia sistema de lazos abierto en función de determinado tiempo.
EJERCICIOS PLANTEADOS
Ejercicio 1: (a) Encuentre los valores de y(kT) para k = 0,1,2,3,4, cuando: (b) Obtenga una solución en
forma de expresión:
𝑌(𝑧) = 𝑧
𝑧2 − 3𝑧 + 2
Aplicamos la transformada Z inversa con el método dela división directa, primero 𝑌(𝑧) se escribe
como un cociente de potencias de (𝑧−1):
𝑌(𝑧) = 𝑧−1
1 − 3𝑧−1 + 2𝑧−2
Luego se divide la expresión algebraicamente:
𝑧−1 1 − 3𝑧−1 + 2𝑧−2
𝑧−1 − 3𝑧−2 + 2𝑧−3 𝑧−1 + 3𝑧−2 + 7𝑧−3 + 15𝑧−4+….
3𝑧−2 − 2𝑧−3
3𝑧−2 − 9𝑧−3 + 6𝑧−4
7𝑧−3 − 6𝑧−4
7𝑧−3 − 21𝑧−4 + 14𝑧−5
15𝑧−4 + 14𝑧−5 + 2𝑧−3
15𝑧−4 − 45𝑧−5 + 30𝑧−6
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑦(𝑧) = 𝑧−1 + 3𝑧−2 + 7𝑧−3 + 15𝑧−4+….
Al comparar esta expresión con una serie infinita se obtiene
∑ 𝑦(𝑘)𝑧−𝑛
∞
𝑘=0
Para 𝑦(0) = 0
𝑦(1) = 1
𝑦(2) = 3
𝑦(3) = 7
𝑦(4) = 15
b) Obtenga una solución en forma de expresión cerrada para y(kT) como una función de k
𝑧−1𝑦{(𝑧)} 𝑌(𝑧) = 𝑧
𝑧2 − 3𝑧 + 2
𝑌(𝑧) = 𝑧
(𝑧 − 2)(𝑧 − 1)
Multiplicamos en cruz y se reescribe como un cociente de polinomios en 𝑧−1
𝑌(𝑧) =2𝑧−1
1 − 2−1−
𝑧−1
1 − 𝑧−1
Según a tabla de transformadas Z tenemos
Entonces,
𝑦(𝑘) = 2𝑧−1 {𝑧−1
1 − 2𝑧−1} − 𝑧−1 {𝑧−1
1 − 𝑧−1}
𝒚(𝒌) = 𝟐∗𝟐𝒌 − 𝟏 = 𝒛𝒌+𝟏 − 𝟏
Ejercicio 2: Un sistema tiene una respuesta y(kT) = kT, para k ≥ 0. Encuentre Y(z) para esta respuesta.
Se considera una unción rampa unitaria por,
𝑦(𝑡) = {𝑡, 0 ≤ 𝑡 0, 𝑡 < 0
Ya que… 𝑦(𝑘𝑇) = 𝑘𝑇, 𝑘 = 0,1,2,3, ….
Las magnitudes son proporcionales al periodo T. a transformada Z de una función rampa unitaria
puede ser escrito como:
𝑦(𝑧) = 𝑍[𝑡] = ∑ 𝑦(𝑘𝑇)𝑧−𝑘 =
∞
𝑘=0
∑ 𝑘𝑇𝑧−𝑘 = 𝑇 ∑ 𝑘𝑧−𝑘
∞
𝑘=0
∞
𝑘=0
= 𝑇(𝑍−1 + 2𝑍−2 + 3𝑍−3 + ⋯ )
= 𝑇𝑍−1
(1−𝑍−1)2
= 𝑻𝑻𝒛
(𝒁−𝟏)𝟐
Ejercicio 3: Encuentre Y(z) cuando T = 0.1 segundos, para la función:
𝑦(𝑠)5
𝑠(𝑠 + 2)(𝑠 + 10)
Aplicamos el método de Fracciones Parciales
𝑦(𝑠) =5
𝑠(𝑠 + 2)(𝑠 + 10)=
𝑟1
𝑆+
𝑟2
𝑆 + 2+
𝑟3
𝑆 + 10
Multiplicamos ambos lados por s (s+2)(s+10) y simplificar
5 = 𝑟1(𝑠2 + 12𝑠 + 20) + 𝑟2(𝑠)(𝑆 + 10) + 𝑟3(𝑠)(𝑠 + 2)
5 = 𝑟1(𝑆 + 2)(𝑆 + 10) + 𝑟2(𝑆)(𝑆 + 10) + 𝑟3(𝑆)(𝑆 + 2)
Para 𝑟1 tenemos…
5 = 𝑟1(20) ≫ 𝐴 =5
20=
1
4
Para 𝑟2 tenemos…
5 = 𝑟2(−16) ≫ 𝐵 =−5
16
Para 𝑟3 tenemos…
5 = 𝑟3(80) ≫ 𝐶 =5
80=
1
16
Entonces, la descomposición de la fracción parcial es
𝑌(𝑠) =
14𝑠
−
516
𝑠 + 2+
116
𝑠 + 10
Cuya transformada inversa es:
𝑦(𝑡) =1
4 (1) −
5
16 𝑒−2𝑡 +
1
16𝑒−10𝑡
CONCLUCIONES
Durante la solución de los ejercicios se evaluó el desarrollo de las diferentes aplicaciones de la
transformada z. Sus propiedades nos llevaron a la solución de los diferentes ejercicios, bases
necesarias para el desarrollo del modelamiento digital de los sistemas.
Se enfatizó y reconoció la importancia del modelamiento matemático de la transformada z e
inversa en los controles discretos.
REFERENCIAS
Universidad Popular del Cesar (S/F) Transformada Z: Unidad II [Modulo] Recuperado el 28
de Febrero de 2015 en: http://es.slideshare.net/davinso1/unidad-2-control2
Vásquez, V. (S/F) Transformada Z [Modulo] Recuperado el 26 de febrero de 2015 en:
http://homepage.cem.itesm.mx/vlopez/notas2p.pdf