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Dirección: Dirección: Biblioteca Central Dr. Luis F. Leloir, Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad de Buenos Aires. Intendente Güiraldes 2160 - C1428EGA - Tel. (++54 +11) 4789-9293 Contacto: Contacto: [email protected] Tesis Doctoral Fenómenos de propagación en redes Fenómenos de propagación en redes complejas complejas Medus, Andrés Daniel 2015-06-12 Este documento forma parte de la colección de tesis doctorales y de maestría de la Biblioteca Central Dr. Luis Federico Leloir, disponible en digital.bl.fcen.uba.ar. Su utilización debe ser acompañada por la cita bibliográfica con reconocimiento de la fuente. This document is part of the doctoral theses collection of the Central Library Dr. Luis Federico Leloir, available in digital.bl.fcen.uba.ar. It should be used accompanied by the corresponding citation acknowledging the source. Cita tipo APA: Medus, Andrés Daniel. (2015-06-12). Fenómenos de propagación en redes complejas. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad de Buenos Aires. Cita tipo Chicago: Medus, Andrés Daniel. "Fenómenos de propagación en redes complejas". Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad de Buenos Aires. 2015-06-12.

Fenómenos de propagación en redes complejas' · Fenómenos de propagación en redes complejas Medus, Andrés Daniel 2015-06-12 Este documento forma parte de la colección de tesis

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Di r ecci ó n:Di r ecci ó n: Biblioteca Central Dr. Luis F. Leloir, Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad de Buenos Aires. Intendente Güiraldes 2160 - C1428EGA - Tel. (++54 +11) 4789-9293

Co nta cto :Co nta cto : [email protected]

Tesis Doctoral

Fenómenos de propagación en redesFenómenos de propagación en redescomplejascomplejas

Medus, Andrés Daniel

2015-06-12

Este documento forma parte de la colección de tesis doctorales y de maestría de la BibliotecaCentral Dr. Luis Federico Leloir, disponible en digital.bl.fcen.uba.ar. Su utilización debe seracompañada por la cita bibliográfica con reconocimiento de la fuente.

This document is part of the doctoral theses collection of the Central Library Dr. Luis FedericoLeloir, available in digital.bl.fcen.uba.ar. It should be used accompanied by the correspondingcitation acknowledging the source.

Cita tipo APA:

Medus, Andrés Daniel. (2015-06-12). Fenómenos de propagación en redes complejas. Facultadde Ciencias Exactas y Naturales. Universidad de Buenos Aires.

Cita tipo Chicago:

Medus, Andrés Daniel. "Fenómenos de propagación en redes complejas". Facultad de CienciasExactas y Naturales. Universidad de Buenos Aires. 2015-06-12.

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s♠♥ó♥ ♥ó♥ ♦♥tr

r♥ str♦s ③r ♥ ♣♦ó♥ s♥♦ q ♣♦r ♦♥trr♦ s ♥♥tr♥r♣♦s ♥ ♦♠♥s ♣♦r ♥ tr

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tr♦s ♠♦♦s ♣r♦♣st♦s t♠é♥ s♦s ♥ rs s♦s s♠♥ ♥ts r♦♥s q ♥ s ♦♥t rs♣t♦ ♥ó♥ ♥ ♦♥t①t♦ t♦rí ♦s ❬ ❳ r♦ ❪ ♥t ♣♦s ♥♦r♠ó♥ ♦ ♥♥ ♥r♠ ♥ sst♠ ② ♦♥♦ ♦srs♦s srr t♦s rs♦s ♦s ♥ ♦ t♦♠ ♥ só♥r♦♥ ♣rtr rt ♥ó♥ ♣♦ ❯♥ s♣t♦ str t♦♦s ♦s♠♦♦s st qí t♦s s q s♠♥ q ♥r♠ ② ♥♦r♠ó♥s♦♥ tr♥s♠ts trés ♠s♠ r

♥ s♦ ♠♦♦ ♣r♦♣st♦ ♥ ❬ ❪ s ♦♥sr ♥ ♣♦ó♥ ♥ts r♦♥s s♣st♦s s♦r ♥ r ♦♠♣ q ♥ s ♣♦str ♥ó♥ ♦♣t♥♦ ♥ strt ó♣t♠ ♥ ♥ó♥ ♣♦r s♥t♦r♥♦ st ♠♦♦ st♦ ú ♦st♦ ♥ó♥ ♦♥trst

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♣ít♦ ♥tr♦ó♥

r Pr♦ r♦t sr♠♣ó♥ ♥ ♥ó♥ ♦rtr ♥ ♦♠♣r♥ ♦s s♦s ♦♥ ♠♥s♠♦ s♠♥ó♥ ♦♣♥♦♥s rrs rss ② ♥ s♥ ♠s♠♦ rrs ♥rs r ①trí ❬té ❪

♦ ♦♥ rs♦ ♣r♦ ♥ó♥ ♥ ♥ó♥ s strts ♦♣ts♣♦r s ♥t♦r♥♦ ② ♥♥ ♥r♠ ♥ ♠r♦ st ♠♦♦t♠é♥ ♦♥sr ♥ ♠♥s♠♦ ♠tó♥ s♦ ♠s s rr♦♥♠♣st♦ ♥ ró♥ ♣♦ó♥ ♦♥ ♥ r r r♣ó♥ ♥♦s ♥♦♥♦s ♦sr ♥ ♦s r♦ts ② t♦s ♦ ♠♦♦ ❬ ❪ s♠ ♥ ♣♦ó♥ st♦s q tú♥ r♦♥♠♥t♥ ♥ó♥ s ♦♥♦♠♥t♦ ♦ ♣ró♠♥t ♠③ ♦♥ ♦tr q♠♣♠♥t rr♦♥♠♥t ♠tó♥ s♦ ♣r ♦♣tr ♥ ♦♥t

♥ st tss ♣r♦♣♦♥♠♦s ♥ ♥♦q tr♥t♦ q ♥♦r♣♦r ♦s s♣t♦s ♣r♦♠ st ♠♦♠♥t♦ ♥♦ ♦r♦s s♠♥ó♥ tr ♦♥t ♥ó♥ ② ♥s ♥tr③ ♣rs♦♥ ② ♥♦♣rs♦♥

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s♠♥ó♥ ♥ó♥ ♦♥tr

♦♥t ♥ó♥ ♦♠♦ ♥ rs♦ tr

♦♦ ①r♦

s r♦♥s s♦s ♥tr ♥♦s s st♥ ♥♠♥t♠♥t ♣rtr ♥ r♦ ♥ ♣♦r s♠♥③ s ♥r♠♥t r♥t tr♥srs♦ ró♥ ♥ ♣♦r s♠♥③ r ♥♦♠r ♦

♠♦ ♥ s ♥s s♦s ❬③rs Prs♦♥ ❪ ♦s ♠♦♦ssr♣t♦s ♥tr♦r♠♥t s♠♥ ♦♠♦♥ ♥ t♦♦s ♦s í♥♦s s♦s ♠♦♦ q t♦♦s ♦s ♦♥tt♦s rst♥ ♠♥t ♥②♥ts ♠♦♦ qqí ♣r♦♣♦♥♠♦s ♥♦r♣♦r r♦ ♦♠♦ ♥tr ♦s ♥♦s trés ♥ ♣r♦s♦ s♠♥ó♥ tr ♥s♣r♦ ♥ ♣r♦♣st♦ ♣♦r ①r♦❬①r♦ ❪ ♣r str s♠♥ó♥ tr ♥ ♥ s♦ r♣rs♥t trés ♥ r

tr♦ ♦r♥ ①r♦ ♥tr♦ ♥ ♠♦♦ s♦ ♥ ♥ts s♦s s♣st♦s s♦r ♥ r r ♦♥ N = D ×D ♥♦♦s ♥ts♦ s sr♣t♦ ♣rtr ♥ ♥ú♠r♦ rtrísts trs F ∈ N qr♣rs♥t♥ ♣♦r ♠♣♦ ss ♦♣♥♦♥s rs♣t♦ ♣♦ít ♦♥♦♠í ♣♦rtst s ③ ♥ s rtrísts ♣ ♠♥strs sú♥ ♥ ♥ú♠r♦ rs♦s q ∈ N ♣♦r ♦ q t♦♠♥ ♦rs ♥ ♦♥♥t♦ I = 1, 2, 3, ..., q st ♠♦♦ r♦ tr ♥t i strá ♥♦ ♣♦r t♦r ♣♥♥t t♠♣♦ V

i(t) = (V i1 (t), V

i2 (t), ..., V

iF (t)) ♦♥ V

i(t) ∈ IF r♠♥t ①st♥

qF ♣♦ss ♦♥r♦♥s ♣r t♦r Vi(t)♥ ♦♥t①t♦ st ♦r♠s♠♦ r♦ ♦♠♦ ht(i, j) ♥tr ♦s

♥ts i ② j s ♥t ♦♠♦ ♥ú♠r♦ rtrísts trs ♥ s q♠♦s ♦♠♣rt♥ rs♦ ♣♦r ♦ q 0 ≤ ht(i, j) ≤ F P♦r ♠♣♦ s♣♦♥♠♦sV

i(t) = (30, 41, 23, 45, 89) ② Vj(t) = (87, 41, 61, 45, 89) ♥t♦♥s ht(i, j) = 3

str q ♦r♥♠♥t ①r♦ t③ó ♦♠♦ sstrt♦ ♥ r rs♠♣ ♦♥ ♥ ♥ú♠r♦ t♦t ♥ts N = D ×D ♦♥ D = 5 10 ② 100 s♥♦♥♦♥s ♣rós ♦♥t♦r♥♦

♥♠♥t ♥á♠ ♥rá sr♣t ♣♦r s♥t ♣r♦♠♥t♦ ♦rít♠♦

♥ ♥t i ② ♥♦ ss ♥♦s j ♠♦s ♥♦r♠♠♥t ③r

♠tó♥ s♦ ♣♦r ♦♠♦ ♦♥ ♣r♦

P (i → j, t) =ht(i, j)

F

♥t i ♥trtú ♦♥ j ♥ s♦ ♦♥rtrs ♥tró♥

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♣ít♦ ♥tr♦ó♥

♥t i ♠trá ♥ rtríst n 1 ≤ n ≤ F ♥t j ♥♦r♠♠♥t ③r ♥ q ♣r♠♥t ♥♦ ♦♥í♥ s r sV in(t− 1) 6= V j

n (t− 1) ♥t♦♥s

V in(t) =

V jn (t− 1) ♦♥ ♣r♦ P (i → j, t)

V in(t− 1) ♦♥ ♣r♦ 1− P (i → j, t) .

♥r♠♥t ♣s♦ t♠♣♦r ♦rt♠♦ t = t + 1 s t♠♣♦rrtrr ♦rt♠♦ s t♥ ♥♦ sst♠ ♥③ qr♦s r ♥♦ ♥♦ ①st♥ tr♥s♦♥s ♣♦ss ♥ s♦ ♦♥trr♦ rt♦r♥ ít♠

s ♦♠♣♦♥♥ts ♦s t♦rs Vi(t) s♦♥ ♥♠♥t s ③r

♥á♠ ♠♦♦ ♦♥ ♥ tr♥só♥ s r qr♦ ♥tr♥ s ♠ttr ② ♦tr ♠♦♥♦tr s ♠ttr s rtr③♣♦r ♣rs♥tr ♥ts s♦s q r♥ ♥ ss t♦rs rtríststrs ♥trs t♥t♦ s ♠♦♥♦tr ♦rrs♣♦♥ ♦♠♦♥tr s r t♦♦s ♦s ♥ts ♦♠♣rt♥ ♠s♠♦ V

i(t) ♣rá♠tr♦ ♦r♥ tr♥só♥ s ♥ ♦♠♦ Smax/N s♥♦ Smax t♠ñ♦ ♠á①♠♦♦♠♥♦ ♦♥r♥ tr ② N ♥t t♦t ♥ts ♥ r s ♣rs♥t ♦♠♣♦rt♠♥t♦ rtríst♦ tr♥só♥ ♥ tér♠♥♦s ♠t♣ rs♦s trs

♥ ❬st♥♦ ❪ ♦s t♦rs ♠str♥ q tr♥só♥ s r ♣r r r s ♦♥t♥ s F = 2 ② ♣r♠r ♦r♥ ♥♦F > 2 P♦r ♦tr ♣rt s rtrísts tr♥só♥ t♠é♥ ♣♥♥ s♣r♦♣s t♦♣♦ós r ❬♠♠ ❪ ♥ t♥t♦ sst♠ q ♣rs♥t♥ tr♥só♥ s r qr♦ ♠♦♦ ①r♦ ú♥ ♣r♠♦s ♥trr♦♥ts t♠♥t st♦s ♥ ♦♥t①t♦ s♦♦♦í

♥ st tss ♣r♦♣♦♥♠♦s ♥ ♠♦♦ s♦ ♥ ①r♦ ♣r ①♣r s♠♥ó♥ ♦♥t ♥ó♥ ♥ ♥ s♦ ♦♥ttrá ♦♠♦ ♥ rtríst ♦♥ ♦♥ rs♦ tr ♥r♦ ♥♦r♦ ♥♦♥♦r q s s♠♥rá ♥ r s♦ s rtrísts trs rst♥ts srá♥ s rs♣♦♥ss srr♦r ♦♠♦ ♥tr ♦s st♦s♣r♦♣♦r♦♥♥♦ ♥ r♦ tr♦♥ ♦♥ ♠♦♦ q tú ♦♠♦t③♦r ♣r♦s♦ s♠♥ó♥ ♦♥t ♥ó♥

♦♠♦ ♠♦s ♠♥♦♥♦ ♥ ♦s ♣árr♦s ♣r♥ts ♠♦♦ ①r♦①♣ sr♠♥t♦ ♦♥s♥s♦ ♥ ♥ r s♦ trés s♠♥ó♥tr ♠♣♥♦ ♣r ♦ ♥ ♠♥s♠♦ ♠tó♥ s♦ ♦s♦tr♦s qí

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s♠♥ó♥ ♥ó♥ ♦♥tr

r r♥só♥ s ♦♥s♥s♦s♥s♦ ♣r ♠♦♦ ①r♦ s♦r♥ r r ♦♥ N = 50×50 ② N = 100×100 ♥ ♠♦s s♦s ♦♥ F = 10❬ ❪

s♠♦s ①♣r ♥ó♠♥♦ ♥rs♦ ó♠♦ ♠♦r sr♠♥t♦ strs ♥♦♥♦s ♥ r♥st♥s t ♦rtr ♥ ♥ Pr♦ ♥♦r♣♦r♠♦s ó♥ ♠♦♠♥t♦s ♥♦♥♦rs ♦st♥♦s sr st♦s ② ♦♣♥ó♥ rs♣t♦ ♥ó♥ stá ② ♥♦ ♠ ♣♦r ♣r♦s♦ ♠tó♥ s♦

♦s ♠♦♠♥t♦s ♥t♥ó♥ ♥r♠♥t r♥ r♠♥t♦s ♥tí♦s só♦s ♥q ♠② s♣♦rá♠♥t r♥ ú♥ ♠♠r♦ ♦♠♥ ♥tí ♦♠♦ r ❲ ♥ ② ♠♥♦♥ ♦♥tr♦rs ♥ ❱ ❬❲ ❪ ♥ ♠r♦ s ♣♦♦ r♥t q ♦s♥♦s ♥♦ s♣sts í♥ s ♥t♥♠♥t♦ trés ♠ét♦♦ ♥tí♦ ♠② ♣♦r ♦♥trr♦ t♦♠♥ ss s♦♥s ♥♥♦s ♣♦r ♥♦r♠ó♥q s s s ♥t♦r♥♦ ♣rs♦♥ ♦ trés ♠♦s tr♥t♦s st♦s ♠str♠♥t r♦ ♥ rt♦ ♥ ♣r♠r ♣rs♦♥ q srt♦r♥♦rt♠r♥ ss r ss ♦♥s ♠♦♠♥t♦ t♦♠r só♥ ♥r s ♦ r♥t♠♥t ♣♦ ② st sr ♥ ❯❯❬ss ❪ P♦r t♦♦ ♦ s♠r♠♦s q ♦s ♥ts ♦st♥♦s ♥t♥ó♥♣♥ s♣rr s ♣♦str ♣♦r ♠tó♥ s♦ ♣s ♣♦r ♦♠♦ ♥♣♥♥t♠♥t r♠♥t♦♥s r r♦♥ ♦♠♣♦rt♠♥t♦ ♦s ♥ts s♦s

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♣ít♦ ♥tr♦ó♥

♦s ♦r♥s♠♦s s ♣ú tú♥ ♠♦♦ ♥t♦♥sts ♦s r♣♦s♥t♥ó♥ Pr ♦ ♥ s♦ ♠♣ñs ♠ss ♥ó♥ q♥②♥ ♠♣ s♣♦♥ ♥s ♥ ♠r♦ ② ♠♦s ①♣t♦q s♣♦♥ ♥s ♥♦ s s♣t♦ ♠ás r♥t ♥q sí ♥sr♦ ♣r s ♥sró♥ ♥ ♦s ♣ss srr♦♦s ♠♦♦ q ♥ st tss ♥♦s♥trr♠♦s ♥ ó♥ ♠♣ñs ♠ss ♥♦r♠ó♥ ♣♦st r ♥ó♥ ♣♦r ♣rt ♦s ♦r♥s♠♦s s ♣ú s ♠♣ñstrá♥ ♦♠♦ ♥ ♠♣♦ ①tr♥♦ q ♥ ♥ ♣♦str ♥ó♥ ♦s♥ts s♦s str♦ ♦t♦ s ♠♦r ♥♠ér♠♥t t♦ ♠t♦r s ♠♣ñs

♦ ♣rt♥♠♦s ♦♥ st st♦ ♣♦rtr rs♣sts ♥ts ♣r♦♠ s♠♥ó♥ ♦♠♣♦rt♠♥t♦ s♦ ♥ ♦ q rs♣t ♦♥t ♥ó♥ str♦ ♦t♦ s ♣♦rtr ♥s rr♠♥ts ♠♦♦ q♠♦t♥ ♥♦s ♥trr♦♥ts ② ♣♦str♦rs ①♣r♠♥t♦s t♥♥ts sr♦s

Pr♦♣s státs ② ♥á♠s s r

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♦♥♦r s rtrísts t♦♣♦ós ♣rtrs s rs s♦s s ♥s♣t♦ r♥ r♥ ♣r ♣♦str♦r ♠♦♦ ♥ó♠♥♦s ♣r♦♣ó♥ s♦r s ♦s tr♦s ♥♦♥s ♥ ár r♦♥ ♥t ♥srtrísts st♥ts s rs s♦s ts ♦♠♦ ♣r♦♣ ♠♥♦

♣qñ♦ ❬r♠ ❲tts ❪ str♦♥s r♦ P (k) t♣♦ ②s ♣♦t♥s P (k) ∼ k−γ ♦♥ γ ≥ 2 ❬rs ❪ rt strtr ♦♠♥s ❬♠♥ ♠♥ s ❪ ♥tr ♦trs s ♣r♦♣s rtr③♥ s rs ♦♠♦ ♦t♦s stát♦s rst♦ ♠ó♥ ♥♦♦s ② ♥s trés ♣r♦s♦s ♥á♠♦s ♠r♦só♣♦s s♥trñr srtrísts ♣rtrs st♦s ♣r♦s♦s s♦ ♦s ①♣rt♦s r♥t♦s út♠♦s ñ♦s

♠♦♦ r♠♥t♦ rs ♠ás ①t♥♦ st s♦ ♥ ♣rr♥ ♣r♦♣st♦ ♣♦r rs ② rt ❬rs ❪ ♣r①♣r ♦r♥ s str♦♥s r♦ t♣♦ ② ♣♦t♥s ♣r♥♣♦ ♥♠♥t st q ♣r♦ q ♥ ♥♦♦ t♥ rr ♥♦s ♥s s ♣r♦♣♦r♦♥ ♥t ♥s q ② ♣♦s

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Pr♦♣s státs ② ♥á♠s s rs s♦s

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♥ s rs ♦♠♣s ♦♠♥③ó srs ♥tr q♦s q♥③♥ ♣r♦♣s t♦♣♦ós státs ② ♦s q st♥ ♥á♠ ♦s♥s ♦s ♥♥ sr♥ ② s♦♥ ♦rr♦s ♥ s rs rs ♥ t♠♣♦♠♥trs q s s♠♥ ♥trs ♥ r♣rs♥tó♥ stát ♦ stút♠ r♥t♠♥t s rst♦ ♠r ♥ t♠♣♦ ♦s ♥s q♥á♠♠♥t sr♥ ♥ r♣rs♥tó♥ r ♥ t♠♣♦ ♥ ♠r♦ ♠r ♥ t♠♣♦ ♦s ♥s sr♦s ♦s ♠♦♦s rs rs

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♣ít♦ ♥tr♦ó♥

② t♦s s ♦t♥♥ rs q ♥♦ ♣♦s♥ s rts ♦rr♦♥s ♦s ♠♣♠♥t ♦srs ♥ ♠s rs s♦s státs ♠♦♦ q ♦tr♦ ♦s ♦t♦s st tss s ♣r♦♣♦♥r ♥ ♠♦♦ q ♣r♠t ♥rr rs♦♥ ♥á♠ ♥s ② rsó♥ ♠ r♥t ♥ ♥t♥ t♠♣♦rt♥ s ♣r♦♣s t♦♣♦ós s rs s♦s státs

Prsst♥ sr♠♣ó♥

út♠♦ ♣r♦♠ ♣r♦♣ó♥ ♥ rs s♦s q trtr♠♦s ♥st tss t♠é♥ stá r♦♥♦ ♦♥ sr♠♣ó♥ ♥q ♥ st s♦♦♥ s ♣r♦ ♣rsst♥ sr♠♣ó♥ s ♥ ♥r♠ ♥♦s ①tr♠♠♥t ♦♥t♦s ♦♥tr ♥♠♥t♠♥t trés s ♠r♦♦ts ü q ♦s st♦s ♥t♦s ♠t♥ r ♦ st♦r♥r ② t ♣r♥♣♠♥t ♥ñ♦s ♥ s♦r ♣rí♦♦ t♥t s♣r♦♦♥ ♣♦r ♣r♦①♠♠♥t 8 ís ♥ ♣r♦♠♦ ♦♥ ♥r♠♦ srr♦ ♥r♠ ♣r♦ ú♥ ♥♦ ♦♥t ♠♥trs q ♣rí♦♦ ♥t♦ t♥ ♥ ró♥ ♠ 5 ís ♥ ♦s q ♥r♠♦ s ♦♥t♦s♦❬② ② ♥rs♦♥ ♥ ♦♥♥ ❪ ♥rr ♥♠♥ s ①tr♠♠♥t ♣♦♦ ♣r♦ q ♥ ♣rs♦♥ ♦♥trsr♠♣ó♥ ♦s s ♥ s

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Page 24: Fenómenos de propagación en redes complejas' · Fenómenos de propagación en redes complejas Medus, Andrés Daniel 2015-06-12 Este documento forma parte de la colección de tesis

Prsst♥ sr♠♣ó♥

r s♦s r♣♦rt♦s sr♠♣ó♥ ♠♦s s♠♥♠♥t ♣r ♥trrs ♥ ② r♠♥♥ ♥ ② ♠♦s♠♥s♠♥t ♣r ❨♦r ♥ ♣rí♦♦ ② ♦♣♥♥♥ ♥ t♦♦s ♦s s♦s s ♦sr ♥ rt ♣r♦ t♠é♥♠♥st ♥ ♦s s♣tr♦s ♣♦t♥ ♣r ♥trrs í♥ só ②r♠♥♥ í♥ tr③♦s s♣tr♦s ♣♦t♥ ♣r sr t♠♣♦r ❨♦r í♥ só ② ♦♣♥♥ í♥ tr③♦s r ①trí ❬♦r ❪

ó q ♥r♠ rst ♥é♠ ♦st♦r ♥ s s r♥s♠♥trs q ♠♦str r♦s ♣rí♦♦s ♠♥♦s s♠♥s ró♥ s♥s♦s r♣♦rt♦s ♥ s s ♠♥♦s ♣♦s st ③♦ t♠é♥ ♣♣rrs ♥ r ♦♥ s ♣rs♥t t♠♣♦ ♠♦ ♥tr r♦ts sr♠♣ó♥ ♥ ♥ó♥ 100/

√N s♥♦ N ♣♦ó♥ s s ♥

Page 25: Fenómenos de propagación en redes complejas' · Fenómenos de propagación en redes complejas Medus, Andrés Daniel 2015-06-12 Este documento forma parte de la colección de tesis

♣ít♦ ♥tr♦ó♥

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❬rttt ❪ ♣r s s t

trr ② s ♥s ♥ t r ❬rttt ❪ ♥t♦♥sr♠♦s q ♥r♠ s ♣rsst♥t ♥♦ s ♣r♦ ①t♥ó♥♣♦r ♥ ♣rí♦♦ ♠②♦r s♠♥s s ♥

♦♥ ♦t♦ ①♣r ♥ó♠♥♦ s♥♠♥t♦ ♦ ♦t rttt♥tr♦ ♦♥♣t♦ t♠ñ♦ rít♦ ♦♠♥ NC ♣rtr sr♠♣ó♥ s t♦r♥ ♥é♠♦ ♦st♦r♦ Pr ♦ ♣r♦♣♦♥ ♥ ♠♦♦ ♣é♠♦♦♠♣rt♠♥t st♦ást♦ ② srt♦ t♣♦ ♥♦ ♦♥sr ♦♥ó♥ ①♣st♦ s♠♥♦ q ♦s ú♥♦s st♦s ♣♦ss ♦s ♥ts s♦♥ ss♣t ♥t♦ ♥♠♥ ♦ rrtr♦ ❬rttt ❪ ó♥ ♥ ♠♦♦ st♦ást♦ srt♦ ♣♦r s♦r ♥♦ tr♠♥st s q ♦s ♠♦♦s tr♠♥sts ♦♥t♥♦s ♠t♥ ♣♦s r♦♥s ♥♦s♥t♦s ♥ ♥s ♦s♦♥s t♥♦ ①t♥ó♥ r♦t P♦r ♦tr ♣rt

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Prsst♥ sr♠♣ó♥

r tí♦ r♦ 6× 6 t③♦ ♥ s s♠♦♥s st♦ásts rttt ❬rttt ❪

s t♦♥s ♠♦rás t♣♦√N ♣r♦♣s ♦s ♠♦♦s st♦ást♦s

♦♥stt②♥ ♥ ♠♣♦rt♥t ♥t ①t♥ó♥ q t♠♣♦♦ sr ♥tr♠♥t♥ ♦s ♠♦♦s tr♠♥sts ♦♥♠♥t rttt ♦♥sró ♥ strtr♠t♣♦♦♥ ♥♦r♣♦rr ♥ r♦ r♦ ♦♥ ♠r♦♥s st♦s♥t♦s ♥tr s ②♥ts r r

♥ ♠♦♦ rttt sq♠ t♠♣♦r s srt♦ ♦♥ ♥tr♦ ♥ s♠♥ ♦♠♦á♥♦s r♥ ♠str♦ ♦s rstr♦s stór♦s ♠ás ts ♥ó♥ λ ts r♣ró♥ γ ② ♠ró♥ st♦s ♥t♦s ♥tr s ε ♠♦♦ rqr ♥♦r♣♦ró♥ ♣r♠♥♥t ♥♦s ss♣ts trés ♥ ts ♠♦rá ν Pr s♦♣rtr ♥str ❯ rttt st♠ ♥ t♠ñ♦ rít♦ ♦♠♥ ♣r♦①♠♠♥t t♥ts ♦r q st ♠♥t♦s rstr♦s stór♦s ♣r s r♥ts s ♦♥sr♦♥s ♣♦str♦rstr♠♥r♦♥ q t♠ñ♦ rít♦ ♦♠♥ s ♥♥tr ♥tr t♥ts

♦♥ tr♥srrr t♠♣♦ t♥t♦ ♦s ♠♦♦s tr♠♥sts ♦♠♦ ♦s st♦ást♦s ♥r♠♥tr♦♥ ♥ t ♥ sr♣ó♥ ♦♥sr♥♦ ♣♦r♠♣♦ s t♦♥s st♦♥s ♥ ♣tró♥ ♦♥tt♦s s ♦ t♦ ❬♦♥♦♥ ♦r ❪ ♠♦♦ tr♠♥st ♦r③♦♣♦r st♦♥ ♠ás s♥♦ q ♣r♠t ♦t♥r rrr♥ ♣ró ♣

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♣ít♦ ♥tr♦ó♥

srrs ♦♠♦ds/dt = µ(1− s)− β(t)si;

de/dt = β(t)si− (µ+ σ)e;

di/dt = σe− (µ+ γ)i;

♦♥ β(t) ♦rrs♣♦♥ ts ♦♥tt♦ µ s ts ♥t♠rt st ♠♦♦ s r♠♥t ♦♥ ♥♦s ss♣ts σ s ts tr♥só♥ ①♣st♦ ♥t♦ γ r♣ró♥ ② s + e + i + r = 1 ①♣rs♦ ♥♥ss st♦♥ ♦ t♦ t ts ♦♥tt♦ ♣♦r ♦q s ♣r♦♣♦♥ β(t) = β0(1 + β1 cos 2πt) ♦♥ β0 ② β1 ♦♠♦ ♣rá♠tr♦s rsst ♠♦♦ r♣r♦ s ♦s♦♥s rrr♥ts ♥s ♥s ② tr♥s♦srs ♥ s srs t♠♣♦rs ♣r♦ ♥♦r♣♦rr ♦r③♥t β(t) ♣r♦ ♥♦rr♠♥t♦ ♣r t♠ñ♦ rít♦ ♦♠♥ ❬♦r ❪ rst♥♦ ♦r♥ 5 × 106 t♥ts ♦♦s ♣♦str♦rs ♥♦r♣♦r♥ st♥ó♥ ♦♦rts ♣♦r s ♦s ♥♦s ♦♥ tss ♦♥tt♦ r♥s βij

♥tr s ♦♦rts i ② j ❬♥③ ♦r ❪ q t♠é♥ ♠♣t ♥ ♥ó♠♥♦ ♣rsst♥

♥s ♣rsst♥ ♦♥ stró♥

t♠♣♦s

Pr rs♦r ♥♦♥sst♥ ♥ t♠ñ♦ rít♦ ♦♠♥ ♦s ♠♦♦s q ♥tr♦♥ st♦♥ ② ♦♦rts ♥ ❬♥ ♥ ♦② ❪ s ♣r♦♣♦♥ ♦♥srr str♦♥s t♠♣♦s ♥t♦s ♠ás rsts q s ①♣♦♥♥s s♦s ♦♥ s tss ♦♥st♥ts tr♥só♥ ♦s♠♦♦s tr♦♥s s♦ rs t♦rs ♦♥ stró♥ ①♣♦♥♥♦ ♥ s♠♣ó♥ ♠t♠át ♠ás q ♥ ♦rrs♣♦♥♥ ♦♥ r ❯♥ ♦r♠ ♦rr str♦♥s ♠♥♦s s♣rss s r♠♣③♥♦s ①♣♦♥♥s ♣♦r str♦♥s ♠ás ♥rs t♣♦ ♠♠

P (t) =1

Γ(k)θktk−1e−

tθ ,

s♥♦ k t♦r ♦r♠ ② θ s ❯♥ r ♦♥ stró♥ ♠♠ ♣ ♦t♥rs s♥♦ ♦ q s♠ n rs ♦♥ stró♥ ①♣♦♥♥ Γ(k = 1, θ) ♣♦r rst♦ ♥ r ♦♥ stró♥ Gamma(k = n, θ) ❬② ❪ ♠ét♦♦ tr♦♥ ♣r ♥③r♥ stró♥ ♠♠ ♣r t♠♣♦ ♥t♦ ♥ ♦♥t①t♦ ♠♦♦tr♠♥st ♦♥sst ♥ sr st♦ ♥t♦ ♥ n sst♦s

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Prsst♥ sr♠♣ó♥

❬② ② ❪

di1/dt = σe− (µ+ nγ)i1;

di2/dt = nγi1 − (µ+ nγ)i2;

.

.

.

din/dt = nγin−1 − (µ+ nγ)in.

♦♠♥ó♥ s♣ró♥ ♦s ♥♦s ♥ ♦♦rts ♥t♦ ♦♥ ♥tr♦ó♥ str♦♥s t♠♣♦ ♥t♦ ♠ás rsts r ♥ ♠♦r st ♣tró♥ ♣rsst♥ sr♠♣ó♥ ❬♦r ♥ ♥ ❪ ♥ ♠r♦ ♥ st út♠♦ ♠♦♦ s tss ♦♥tt♦ βij ♥trs r♥ts ♦♦rts ♦♥stt②♥ ♦s ♠♥t♦s ♥ ♠tr③ ♠③ ② s♦♥♣rá♠tr♦s st ♠♦♦ ♦s ♣r♦♣♦s t♦rs r♥ ♥ ♥♦r♠ó♥ s♣♠♥tr ♥ tr♦ ♣♦str♦r ❬♦♥♥ ❪ t♦♥ ♦ t ♠♦st

♣♣r♦♣rt ♠①♥ ♠tr① s r② ♠ ♥ rt rtr t♥ s♥

t♦ strtr r s♦ ♥ ♣rsst♥

♦♠♦ q r♦ ♥áss ♣r♥t ♣tró♥ ♣rsst♥ sr♠♣ó♥ rst ♠② s♥s s st♥ts r♥ts q ♥r♠♥t♥ ♥ ♦♠♣ ♠♦♦ ♠♦s st♦ q ♥♦♥r ♣t♥♠♥t ♣r♠ ♠③ ♦♠♦é♥ ♥ ♣♦ó♥ ♥tr♦r ♦♦rts ♦♥tss ♥tró♥ r♥s s t ♠r ♣rsst♥ P♦r ♦s r③♦♥ s♣rr q t♠ñ♦ rít♦ ♦♠♥ rí rs t♦ ssttr ♣ótss ♠③ ♦♠♦é♥ ♣♦r ♥ r s♦ ♥tr♦♥s ♥ ♠r♦ st ♠♥♦ ♥♦ s♦ ♠② ①♣♦r♦ ♦♥ ①♣ó♥ ❬❱rs ❪ ♦♥ s ♥③ ♥♥ ♣r♦♣ ♠♥♦ ♣qñ♦ ♥ ♣rsst♥ sr♠♣ó♥ s♦r ♥ r r ♦♥ r♦♥①ó♥ ♥s

♥ st tss ♥♦s ♣r♦♣♦♥♠♦s ①♣♦rr ♥♥ s ♦rr♦♥s ♦s♥tr ♦s ♥♦s ♥ ♣tró♥ ♣rsst♥ sr♠♣ó♥ s♦r ♥ r♦♠♣

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♣ít♦ ♥tr♦ó♥

strtr tss

♥ ♣ít♦ r♠♦s ♥ rá♣ ♥tr♦ó♥ t♦rí rs ♦♠♣s ♦♥ ♦t♦ ♣rs♥tr s rs t♦♣♦ós ss q t③r♠♦s ♦ r♦ st tss ♣ít♦ ♥tr♦ ♠♦♦ s♠♥ó♥ ♦♣♥♦♥s ♣r ♥ó♥ ♥ s ♦r♠ s♠♣ ♦♥ r stát ♥ ♣ít♦ ♥r③r♠♦s ♠♦♦ ♣ít♦ ♣r♥t ♥♦r♣♦r♥♦ ♥s ♣rs♦♥s ② ♥♦♣rs♦♥s ♥ ♠♥s♠♦ ♣tó♥ ♥ r s♦ ② ó♥ ♠♣ñs ♥ó♥ ♣ít♦ srr♦ ♠♦♦ ♦r♥ ♥ró♥ rs s♦s ♣rs♥t♦ ♥ st ♥tr♦ó♥ ♥♦ s♦ s rs ♥rs ♠♥t ♠♦♦ ♣ít♦ ♥tr♦r ♥ ♣ít♦ st♠♦s t♦ s ♦rr♦♥s ♦s r♦ ♥ ♣rsst♥ sr♠♣í♦♥ P♦r út♠♦ ♣ít♦ ♦♥t♥ ♥strs ♦♥s♦♥s ♥s ②♣rs♣ts tr♦ tr♦

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♣ít♦

r ♥tr♦ó♥ s rs

♦♠♣s

❮♥ s státs ♣r♦♣s t♦♣♦ós

stró♥ r♦

st♥ ♠ ♥tr ♥♦♦s

♦♥t str③ó♥

r♦ ♠♦ ♣r♠r♦s ♥♦s

strtr ♦♠♥s

só♥ t♦♣♦ó rs ♦♠♣s

s t♦rs

s ♥♦ Pqñ♦

s rs s

♥r♠♦s qí s ♣r♦♣s strtrs ♥♠♥ts s rs♦♠♣s r♠♦s ♥ sr♣ó♥ ♥tr♦t♦r s só♥ ♣rtr s rtrísts ♥ st ♣ít♦ ♥r♠♦s ♥s s rtrístst♦♣♦ós s♥s q srá♥ t③s ♦ r♦ ♣rs♥t tss

s státs ♣r♦♣s t♦♣♦ós

st♦ rr♦s♦ ♣r♠ s rs ♦♠♣s ♦ró ♦r ♥tr♦ ♦♠♥ ♥tí r♥t ♦s út♠♦s ñ♦s s♦ ♣s♦ ♥ q♦s ñ♦s ♦s sr③♦s s ♦♥♥trr♦♥ ♥♠♥t♠♥t ♥ sr♣ó♥ ss ♣r♦♣s t♦♣♦ós ♠♦♦ q r♦♥ ♥♠♥t ♥③s ♦♠♦♦t♦s stát♦s s rs ♦♠♣s s st♥♥ s rrs ♦ s

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♣ít♦ r ♥tr♦ó♥ s rs ♦♠♣s

st♥ts ♥rstr♦s ♥tr♥t

r ♠♣♦s rs ♦♠♣s r♦♥s s①s ♥tr st♥ts ♥ ♥rs ♥♦rt♠r♥ ❬r♠♥ ❪ 100000rt♦rs ♥tr♥t ② ss ♦♥①♦♥s íss ❬rás ❪

♣tró♥ ♦♥t tr♦é♥♦ ♦♥stt②♥ ♥ s s♥ ♥ r♣rs♥tó♥ ♠t♠át strtr ♥ sst♠ ♦♠♣♦ ♠♦t♦ ♣♦r ♥s♣rt♦ ♠♦ ♥trés ♥ ♦♠♥ ♥tí

❯♥ r ♦ r♦ G(N,L) s ♥ ♦♥♥t♦ N ♥♦♦s ♥♦s trés L

♥s r ♦s ♥♦♦s ♣♥ r♣rs♥tr ♥♦s ♦♠♣t♦rs ♦r♦♥s s♣s ♠♥trs q ♦s ♥s r♣rs♥t♥ ♣♦r ♠♣♦ í♥♦s♣rs♦♥s s♠ts ♦ ♦♥①♦♥s íss ♥tr ♦s ♥♦♦s ❯♥ ♥ lij ♥tr ♦s♥♦♦s i ② j ♣ sr r♦ rs rs ♦ ♥♦r♦ rs ♥♦rs❯♥ ♥ r♦ t♥ ♥ s♥t♦ ♣r♦ ♣♦r ♠♣♦ li→j ♦rrs♣♦♥ ♥ ♥ q ♦♠♥ ♥♦♦ i ♦♥ j P♦r ♦tr ♣rt ♦s ♥s t♠é♥♣♥ t♥r ♥ ♣s♦ s♦♦ q ♥t ♥t♥s í♥♦ ♦ s r♥ ♥ st út♠♦ s♦ r s ♥♦♠♥ r ♣s ♥ st tsstrr♠♦s ♦♥ rs ♥♦rs ② ♥♦♣ss s♦ ♦♥ s r①♣ít♠♥t ♦ ♦♥trr♦

stró♥ r♦

r♦ ki ♦rrs♣♦♥♥t ♥ ♥♦♦ i s ♥ ♦♠♦ ♥t ♣r♠r♦s ♥♦s i stró♥ r♦s P (k) ♥t ♣r♦ s♦♥r ♥ ♥♦♦ r♦ k ② s q③á rtríst t♦♣♦ó ♠ás♥ ♥ só♥ s rs ♦♠♣s Nk ♥t t♦t ♥♦♦s ♦♥ r♦ k ♥ G(N,L) ♥t♦♥s P (k) s ♥ ♦r♠♠♥t ♦♠♦

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s státs ♣r♦♣s t♦♣♦ós

❬rt ♠♥ ❪

P (k) = lımN→∞

Nk

N.

s rs ♦♥ stró♥ r♦ r s rs rs s P (k) ∼ k−ξ ♦♥stt②♥ ♥ sr♣♦ ♠② ♠♣♦rt♥t ♦ q s♦♥s ♥ ♥tr③ ❬rs rt ❪ ❲♦r ❲ ❲❲❲❲ rs ♦♥tt♦s s①s ② s rs ♦♦ró♥ ♥tr ♥tí♦s s♦♥ ♥♦s ♠♣♦s rs rs s s rs ♦♥ stró♥ r♦ t♣♦ P♦ss♦♥ P (k) = µk exp(−µ)/k! s♥♦ µ ♠ stró♥ ♦♥stt②♥ ♦tr♦ s♦ ♣r♠át♦ ♦ q sr♥ ♥tr♠♥t ♠♦♦ rösé♥② ♣r ♥ró♥ rs t♦rs❬rös rös ♠♥ ❪

st♥ ♠ ♥tr ♥♦♦s

♥ st♥ d(i, j) ♥tr ♦s ♥♦♦s i ② j ♦♠♦ ♠í♥♠ ♥t ♥s q s ♥sr♦ r♦rrr ♣r ♦♠♥r♦s ♦ st♥ ♠í♥♠♠ ♥tr sqr ♣r ♥♦♦s i, j ∈ G(N,L) ♥ ♣♦r

l =1

N(N − 1)

i 6=j

d(i, j),

♦♥ s s♠ d(i, i) = 0 s s♥♦ r q ♣r ♥ r rr l ∼N1/D s♥♦ D ♠♥só♥ r ♣♦r ♠♣♦ ♣r ♥ r ♠♥s♦♥l ∼ N1/2 ② ♣♦r ♦♥trr♦ ♣ ♠♦strrs q ♣r s♦ ♥ rt♦r rösé♥② s t♥ ❬r♦♥③ ❪

lER =lnN − γ

ln〈k〉 +1

2≈ lnN

ln〈k〉 ,

s♥♦ γ ≃ 0.5772 ♦♥st♥t rsr♦♥ ② 〈k〉 r♦ ♠♦ r ♥♦ ♦♠♦

〈k〉 =∑

k

kP (k).

①♣rsó♥ ó♥ ♠str q lER s♠♥② s♥s♠♥t ♦♥rs♣t♦ ♦t♥♦ ♣r s♦ rs rrs ♦ s♠♥t ♦rr ♣r

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♣ít♦ r ♥tr♦ó♥ s rs ♦♠♣s

s rs t♦rs ♦♥ stró♥ r♦ P (k) ∼ k−ξ ♣r s q s ♦t♥

l ∼

lnN s ξ > 3

lnNln lnN

s ξ = 3

ln lnN s 2 < ξ < 3

♣♦r ♦ q ♦♠♣♦rt♠♥t♦ ♥ ♥t♦ l s s♠♥t s♦ s rst♦rs ♥♦ ①♣♦♥♥t ξ > 3 s ♦sr ♥ ró♥ stí♣ ♣r s♦ ξ = 3 ❬♦♥ r♦♥③ ❪ ♠♥trs q s ♦♠♣♦rt♦♠♦ ♦ ♦rt♠♦ N ♥♦ 2 < ξ < 3 ❬♦♥ ❪

r ②s s ♣r C(k) ♦srs ♥ tr♦ rs rs ♥③s ❬s③ ❪ t♦rs ♦s t♦rs s ♥♥tr♥ ♦♥t♦ss tr♦♥ ♥ ♠s♠ ♣í r♦ ♦♥ s ♦♠ s♠á♥t ♦♥t ♦s ♣rs ♦♠ ♥és s s♦♥ s♥ó♥♠♦s r♦ ♦♥ ♦♥r♦ rr♥ ❲str ❲❲❲ r♦ ♦♥ ♦st♦s r♦♣♦s ♥ ❬rt ❪ r ♥tr♥t ♦♠♦ sst♠ tó♥♦♠♦ ♥♦♦ r♣rs♥t ♥ ♦♠♥♦ ♠♥trs q ♦s ♥s ♦♠♥♦♥síss ♥tr ♦s ♠s♠♦s s í♥s ♣♥ts ♥ rá♦ ♦rrs♣♦♥♥ ② ♣♦t♥s ♦♥ ①♣♦♥♥t −1

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s státs ♣r♦♣s t♦♣♦ós

♦♥t str③ó♥

tr ♠ r♥t♠♥t ♠♣ ♥ rtr③ó♥ t♦♣♦ó s rs ♦♠♣s s ♦♥t str③ó♥ C ♦♥stt② ♥ ♠tr♥t tr♥st r s r ♣r♦ q ①st♥ ♥ ♥tr ♦s ♥♦♦s j ② k ♥♦ ♠♦s ♣♦s♥ ♥ ♥♦ ♦♠ú♥ i ♥ ♦trs♣rs ♦♥t str③ó♥ s ♥rs ♦♥ ♥ rs ♦♥t ♥r q ♥♦r♠ r♥ ♦♥ q ♦s ♠♦s ♠s ♠♦s s♦♥

t♠é♥ ♠s ♠♦s ❬♦ñá ❪

P ♥rs ♦♥t str③ó♥ ♦ ♣r ♥ ♥♦♦ i ♦♠♦ ró♥ ♥s ♥tr ss ♣r♠r♦s ♥♦s j ∈ Nnn(i) rs♣t♦ t♦t ♥s ♣♦ss ♥tr ♦s ♠s♠♦s s r

Ci =∑

j,k∈Nnn(i)

ajkki(ki − 1)

,

♦♥ ki s r♦ ♥♦♦ i ② ajk s♦♥ ♦s ♠♥t♦s ♥♦♠♥ ♠tr③ ②♥s A s♦ r ts q ajk = 1 s ①st ♥ ♥♥tr ♦s ♥♦♦s j ② k ♦ ajk = 0 ♥ s♦ ♦♥trr♦ ♥t♦♥s ♦r ♠♦ ♦♥t str③ó♥ ♣r t♦ r ♣ ①♣rsrs ♦♠♦

C =1

N

i∈G

Ci .

♦♥t str③ó♥ ♠♦ C t♦♠ ♦rs 0 ≤ C ≤ 1 ♥ ♥r 0.1 ≤ C . 1 ♣r s rs ♦r♥ s♦ ♥ s q s ♦sr♦♥ rt t♥♥ ♦s ♦♥tt♦s tr♥st♦s ❬♦ss♥ts ③ ③ ♠ ❪ st út♠ r♥st♥ ♦♥ ♥ ♦r♠ tr♥t ♥r C ♦♠♦ ♣r♦ ♥♦♥trr ♥s í♦s ♥tr ♥♦♦s trá♥♦s ♠♥s♠♦ ♦r♠ó♥ st♦s ♥s í♦s ♥♦♦s r ♥♦♠r ♠♥s♠♦ rr trá♦ ② srá ♦t♦ st♦ ♥ ♣ít♦

Pr s♦ s rs t♦rs C t♦♠ ♦rs ♠② ♣qñ♦s ♦q ♦s ♥s tr♥st♦s ♠♣♥ ♣rs♥ ♦rr♦♥s ♦s ♥♦♦s q s ♥ ①♣t♠♥t rstrs ♣rs♠♥t ♣♦r ♥tr③ t♦r r ♥q st r♠ó♥ s s♦♦ ♦♠♣t♠♥t á ♥♦s ♦♥sr ♥ ♥s♠ r③♦♥s ② q ♣♥ ♣rs♥trs ♦rr♦♥s ♦s ♥ r③♦♥s ss r ❬♦♦♠r ♠♦♥ ❪ P♠♦strrs q C ♣r ♥ r t♦r t♦♠ s♥t ♦r ♦♥st♥t

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♣ít♦ r ♥tr♦ó♥ s rs ♦♠♣s

❬♠♥ rr♥♦ ❪

C =〈k(k − 1)〉2

N〈k〉3 ≃ 〈k〉N

,

♣♦r ♦ q C s ♦♠♣♦rt s♥♠♥t ♦♠♦ N−1 ♠♦♦ q ♣r rss 〈k〉 ≪ N ♥③ ♦rs ①tr♠♠♥t ♣qñ♦s

tr ♦r♠ str str③ó♥ ♥ r ♦♥sst ♥ ♥r s♣tr♦ ♦♥t str③ó♥ ♠♦ ♥ ♥ó♥ r♦ ♦s ♥♦♦sC(k)

C(k) =1

NP (k)

i∈Deg(k)

Ci ,

♦♥ Deg(k) r♣rs♥t s♦♥♥t♦ ♥♦♦s ♦♥ r♦ k Pr s♦♣rtr s rs t♦rs C(k) rst ♥♣♥♥t k ② t♦♠ ♦r ♦ ♣♦r ♦ ♦st♥t ♥ ♠s rs rs ♥③s s ♦sr♦ ♥ ♦♠♣♦rt♠♥t♦ q rs♣♦♥ ♥ ♥ó♥ s t♣♦❬❱á③q③ s③ ♠ ❪

C(k) ∼ k−β ,

♦♥ ①♣♦♥♥t t♦♠ tí♣♠♥t ♦rs β . 1 r s ♥trs♥t ♥♦tr q st ♣♥♥ ♦♥ k ♥ ♥ ♦r♥③ó♥ rárq ♥ ♦s♥♦♦s ❬s③ ❪ q ♥ ♥ ♥ strtr ♠ó♦s ♦ ♦♠♥s♥tr♦♥t♦s ❬♠♥ s ❪ r ssó♥

r♦ ♠♦ ♣r♠r♦s ♥♦s

r♦ ♠♦ ♦s ♣r♠r♦s ♥♦s ♦s ♥♦♦s r♦ k knn(k) s ♦trrtríst t♦♣♦ó s q ♥ ♦rró♥ r♦s ♥tr ♥♦♦sP♦r ♦ ♦♥stt② ♥ ♠ ♥rt ♣r♦ ♦♥♦♥ P (k′|k) t♥r ♥ ♥ ♥ ♥♦♦ r♦ k′ ♥♦ ♥♦♦ ♦r♥ s r♦k ♦ knn(k) s ♥ ♦♠♦ ❬Pst♦rt♦rrs ❪

knn(k) =∑

k′

k′P (k′|k).

Pr s♦ ♣rtr rs s♥ ♦rró♥ r♦s ♣♦r ♠♣♦ rs t♦rs s♥♦ q P (k′|k) = k′P (k′)/〈k〉 s ♦t♥ knn(k) = 〈k2〉/〈k〉rst♥♦ ♥♣♥♥t k ♠♦♦ q ♥ ♣♥♥ knn(k) ♦♥ k

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s státs ♣r♦♣s t♦♣♦ós

s ♥ ♥♦r ♦rró♥ r♦s

①st♥ ♦s s♦s ♥ ♠t♦s ❬♠♥ ❪

knn(k) r♥t s q r ♣rs♥t s♦rtt ♥ r♦s st♦s ♦s ♥♦♦s t♥♥ ♦♥trs ♦♥ ♦tr♦s s ♠s♠ s ♥ ♥t♦ r♦ s rr ♦ ♦♥ ♦ t♦ ♦♥ t♦

knn(k) r♥t ♥ st s♦ r♠♦s q ①st ss♦rtt ♥ r

♦s ♣♦r ♦ q ♦s ♥♦♦s r♦ ♦ t♦ t♥rá♥ str ♥s♦♥ ♦s r♦ t♦ ♦

r r♦ ♠♦ ♣r♠r♦s ♥♦s knn(k) ♣r ♦s rs rs ♣r♦tí♥s ♦♥t♠♣♥♦ s♦♦ s ♥tr♦♥s íss trá♥♦s ♦ srt♦rs r♦s ❬s♦ ❪ ♥ st út♠♦ s♦ í♥ só r♣rs♥t ♥ ② ♣♦t♥s knn(k) ∼ k−0.6 ♦♦ró♥ ♥tr♥tí♦s ♠tr ♦♥♥s ♦♥ ♦s ♥s r♣rs♥t♥ ♦♦ró♥♥ ♣♦♥s ♥ ss rs♦♥s ♣s r♦s ② ♥♦ ♣s ír♦s❬rrt ❪

❯♥ ♦r♠ ♥tr s♦rtt s trés ♦♥t s♦r

tt r ♥♦ ♦♠♦ ♦♥t ♦rró♥ Prs♦♥ ♦s r♦s ♦rrs♣♦♥♥ts ♦s ♥♦♦s ♥ ♦s ①tr♠♦s ♥ ♥ ❬♠♥ ♠♥ ❪

r =L−1

i jiki −[

L−1∑

i12(ji + ki)

]2

L−1∑

i12(j2i + k2

i )−[

L−1∑

i12(ji + ki)

]2 ,

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♣ít♦ r ♥tr♦ó♥ s rs ♦♠♣s

r♦ s♦rtts ♣r ♥s rs ♥③s ♥ trtr❬♠♥ ♠♥ ❪

♣♦ N r σr

♦t♦rs ís ♥♦r 52909 0.363 0.002♦t♦rs ♦♦í ♥♦r 1520251 0.127 0.0004

♦s ♦t♦rs t♠át ♥♦r 253339 0.120 0.002t♦rs ♣ís ♥♦r 449913 0.208 0.0002♦♥s st♥ts ♥♦r 573 −0.029 0.037 étr ♥♦r 4941 0.003 0.013

♥♦ós ♥tr♥t ♥♦r 10696 −0.189 0.002❲❲❲ r 269504 −0.067 0.0002♥tr♦♥s ♣r♦tí♥s ♥♦r 2115 −0.156 0.010

♦ós ♠t♦ ♥♦r 765 −0.240 0.007 ♥r♦♥ r 307 −0.226 0.016

s♥♦ ji ② ki ♦s r♦s ♦s ♥♦♦s ♦s ♥ ♦s ①tr♠♦s ♥ i♦♥ i = 1, ..., L tr♠♥t ♦s ♦rs q ♣ t♦♠r ♦♥t s♦rtt s♦♥ −1 ≤ r ≤ 1 ♥ ♣rtr ♣r ♥ r t♦r s♥♦rr♦♥s r♦ s s♥♦ ♥rr q r = 0 ♥trs r > 0 ♥♦rró♥ r♦s ♣♦st ② ♣♦r ♦ s♦rtt ♥ ♠♦ r < 0 stás♦♦ ♦♠♣♦rt♠♥t♦ s♦rtt♦ ♥ r♦s

s rs ♦r♥ s♦ s♥ ♣rs♥tr ♦rró♥ ♣♦st r♦s ②♣♦r ♦ s♦♥ s♦rtts r > 0 P♦r ♦♥trr♦ ♠s s rs t♥♦ós ② ♦ós ts ♦♠♦ ♥tr♥t ❲❲❲ r étr ♥s rs♠tós ② ♥r♦♥s ♣rs♥t♥ ♦rró♥ ♥t r♦s r < 0 rr♦

q ♦rr ♦♥ C(k) ♥ ♠♦s s♦s ♦sr♦s knn(k) t♠é♥rs♣♦♥ ♥ ② ss t♣♦ knn(k) ∼ k−α r r

strtr ♦♠♥s

♦ q ♠s rs ♦♠♣s ♥③s ♥ ♣rát ♣rs♥t♥ ♦rr♦♥s ♦s ♥t♥ss ♦♥ strs ♥♦♦s ♠ás♥s♠♥t ♦♥t♦s ♥tr sí q rst♦ ♦s ♥♦♦s r stút♠ s ♣rs♠♥t ♥ó♥ ♦♠♥ ❬♠♥ ❪ ♣rt♦♥♦ rs ♦♠♣s ♥ ♦♠♥s r♦ ♠ t♥ó♥ r♥t♠♥t ♦ q ♦♥stt② ♥ ♠♦♦ ♦rr ♥ sr♣ó♥ r♥♦ rs♦ r ♦r♥ st té♥ ♣r♠t r ♦♥ s ♥♦r♠s

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s státs ♣r♦♣s t♦♣♦ós

rs s♣♦♥s ♥ t ♣♦rtr ♥ ♠♦ s q s♠♣ ♣r♦♠ ♦r♥ ó♠♦ ♥♦♥trr ♠♦r ♣rtó♥ ♥ ♦♠♥s ♣r♥ r st s ♣r♥t q ♠♦t♦ ♥ ♣rt ♠♣♦rt♥t ♥stó♥ ♥ ár s rs ♦♠♣s ♥ ♦s út♠♦s 10 ñ♦s

r Prtó♥ ó♣t♠ ♣r ♦s rs tí♣s trtr rt ❩r② ❬❩r② ❪ ♣rtó♥ ó♣t♠ ♦rrs♣♦♥♥t QN = 0.4197 ❬s ❪ Prtó♥ ó♣t♠ QN = 0.546 ❬s ❪♣r r ♦♣ró♥ ♦s ♣rs♦♥s ♦r ♦s srs ❱t♦r♦ sú♥ r♦♣ó♥ ♦♥ ♥t ❬♥t ❪

t♦r ♠ért♦ q ♥ ♣rt♦♥♦ ♥ ♦♠♥s ♥ r s ♥♦♠♥ ♠♦r ♠♥ QN ♠♦r QN ♠ ♥s ♥s ♥tr ♦s ♥♦♦s ♣rt♥♥ts ♥ str ♦ ♦♠♥rt q s ♦t♥rí ♣r s♦ ♥ q ♦s ♥s r♥ ♦♥t♦s♥♦r♠♠♥t ③r ♦♥sr♠♦s ♥ r G(N,L) ♣r q s ♣r♦♣♦♥♥ só♥ ♥ K ♦♠♥s ♥♠♦s eij ♦♠♦ ró♥ ♥s q ♥♥s ♦♠♥s i ② j ♥t♦♥s QN rst

QN =K∑

i=1

(

eii − a2i

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j eij st ♠♦♦ eii r♣rs♥t ró♥ ♥s ♣rs♥ts♥ ♦♠♥ i ♠♥trs q a

2i ♦rrs♣♦♥ ró♥ q ♥t♠♥t s

t♥rí ♣r ♠s♠ ♦♠♥ s ♦s ♥s r♥ s♣st♦s ♥♦r♠♠♥t ③r s s♥♦ ♥♦tr q QN ≃ 0 ♣r s rs t♦rs ♠♥trs q

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♣ít♦ r ♥tr♦ó♥ s rs ♦♠♣s

QN = 1 s ♠á①♠♦ ♦r ♣♦s ♣r QN s♥♦ 0.3 < QN < 0.7 ♦s ♦rstí♣♦s ♣r ♠s s rs rs ♥③s ♥ trtr ❬♠♥ ❪r♠♥t ♠♥trs ♠②♦r s ♦r QN ♠♦r srá ♣rtó♥ ♥ ♦♠♥s ♥♦♥tr ♥ r s ♣rs♥t♥ ♥♦s ♠♣♦s ♦♥rt♦s ♣rt♦♥s ó♣t♠s ♣r rs ♣r♠♥t ♥③s ♥ trtr

rs♦s ♦rt♠♦s ♥ s♦ sr♦s ♣r ♥♦♥trr ♣rt♦♥♦ ó♣t♠♦ ♦rt♠♦ r♥♠♥ ♦ r♠♦ó♥ ♥s ❬♠♥ ❪♦♥sst ♥ r ② ♠♥r ♦s ♥s ♠②♦r trá♥st♦ ♦ t♥♥ss♥t♥♥♦ q srá♥ st♦s ♦s q ♦♠♥♥ s ♥ts ♦♠♥s st ♠♦♦ s ♦t♥ ♥ s♦♥♥t♦ P1, P2, ..., PN ♣rt♦♥s ss ♥tr t♦s s ♣♦ss ♣r r G(N,L) s s♦ q q rr♦♠②♦r ♠♦r QN ♦♠♦ ♣rtó♥ ó♣t♠ st s ♦rt♠♦s s♦♦sr♥ ♣r ♥♦♥trr ♣rtó♥ ó♣t♠ ♥tr s q s♦♥ ss ② ♥♦♥sr♠♥t ♣rtó♥ ó♣t♠ ♦ t ♦♠♦ ♠♦s ♠♦str♦ ♥ ♥tr♦ ♣r♦ st tss ❬s ❪ ♥ ♦ tr♦ ♠♦s ♣r♦♣st♦ ♥♦rt♠♦ tr♥t♦ s♦ ♥ té♥ ♦♣t♠③ó♥ ♦ ♥♦♠♥r♦♦ s♠♦ ♣ s♦r t♦r ♠ért♦ QN ♥ ♥♦♥trr ♣rtó♥ ó♣t♠ ♥ s♣♦ t♦s s ♣rt♦♥s ♣♦ss G(N,L) ású♥ ♥ tr♦s r♥ts ♠♦s ♣r♦♣st♦ ♥ ♥ó♥ tr♥t t♦r ♠ért♦ QN ♠ás ♣ró①♠ ♥ó♥ ♥tt ♦♠♥ ♦♠♥③♦ st só♥ ❬s ♦rs♦ ❪

só♥ t♦♣♦ó rs ♦♠♣s

♣rtr s ♥♦♥s ♣rs s ♣♦s r③r ♥ rtr③ó♥t♦♣♦ó s rs ♦♠♣s ♥ st só♥ ♥r♠♦s ♥s s♠s rs ♠ás r♣rs♥tts ♥t♦ ♦♥ ss rtrísts st♥ts

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♥tr♦ sts s st♥ s ♥rs ♣rtr ♦rt♠♦ ♣r♦♣st♦ ♣♦rrös ② é♥② ❬rös ❪ ♥ s♥ ♦♥sst ♥ s♣♦♥r ♥s ③r ♦♥♣r♦ ♦♣ó♥ ♦♥st♥t p s♦r ♥ r ♦♠♣st ♣♦r N ♥♦♦s♥♠♥t s♦s r ♠♣♦ ♥ st ♠♦♦ ♥ í♠t N → ∞ ♠♥t♥♥♦ pN = ♦♥st♥t stró♥ r♦s rs♣♦♥ ♥P♦ss♦♥

P (k) =(pN)k

k!exp (−pN),

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só♥ t♦♣♦ó rs ♦♠♣s

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r t♦r rösé♥② ♦♥ N = 16 ② p = 1/7 ①trí♦ ❬♠♥ ❪

①st♥ ♦trs r♥ts rs t♦rs ♦♥ stró♥ r♦ rtrr P (k) sts s♦♥ ♦t♥s ♠♥t ♥♦♠♥♦ ♠♦♦ ♦♥r♦♥

❬♦♦② ♦♦② ♠♥ ❪ q ♦♥sst ♥ s♥r r♦s ♦s♥♦♦s ♦♥ ♣r♦ ♣♦r P (k) ♣r ♦ str ♦♥tt♦s ③r♥tr ♦s ♠s♠♦s ♦ ♦st♥t ♥ rtríst ♦♠ú♥ t♦s s rs t♦rs s s ♦rró♥ r♦s q s ③ s tr ♥ ♥ C t♠é♥♣qñ♦ t ♦♠♦ s ♠♦str♦ ♣r♠♥t ♥ ó♥ C ∝ N−1tr rtríst ♦♠ú♥ s rs t♦rs s s st♥ ♠ ♥tr♥♦♦s l ∝ lnN

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①♣r♠♥t♦ s♠♥ ♣só♦♦ s♦ t♥② r♠ ♣♦ ♥ ñ♦ ❬r♠ ❪ ♠♦stró q ♥ ♣r♦♠♦ s ♥sr♦ trsr t♥s♦♦ 6 ♥s ♣r ♦♠♥r ♥ ♥♦ qr ♦♥ ♦tr♦ q ♦ ♦t♦ st ♥ó♠♥♦ ró ♥♦♠r ss r♦s s♣ró♥ ♥♦♠♥ó♥ ♦♥♣t♦ ♥tr♦♦ ♣♦r t♦r ú♥r♦ r②s r♥t② ♥ s♥t♦ ♥♥s ñ♦ ❬r♥t② ❪ st r♥í ♥tr ♥♦♦s

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♣ít♦ r ♥tr♦ó♥ s rs ♦♠♣s

♥ r s ♣tr ♣♦r ♦s ♠♦♦s rs t♦rs ♥ ♠r♦ ♠s s rs s♦s ② t♥♦ós ♥③s ♥ ♣rát t♠é♥ ♣rs♥t♥t♦ C ❬♠♥ ♠♥ ❪

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r ó♥ ♣r♦s♦ r♦♥①ó♥ ♦♥ ♣r♦ p s♦r r t♣♦ ♥♦ rr ❬❲tts ❪ ♠♥tr p s ♥r♠♥t ♥t t♦s s♠♥②♥♦ l ♣r♦ ♦♥sr♥♦ ♦r t♦ C t♦ ♥r♠♥t♦ p s♦r str♥ C ② s♦r st♥ ♠ L t♠é♥♠♦s ♥♦r♠③♦s rs♣t♦ ss ♦rs p = 0

♠♦♦ rs ♥ q st♥ ♠ ♣qñ s ♥ rtríst ♥tr s rs t♦rs ♠♥trs q t str③ó♥ s♣r♦♣ s rs rrs ♠♦♦ q s rs q ♦♥♥ ♠s rtrísts ♥♦♠♥s rs ♠♥♦ ♣qñ♦ ♥ str ♠t ♠♥♦♥tr s t♦rs ② s rrs s sí ♦♠♦ ❲tts ② tr♦t③ ♣r♦♣sr♦♥ ♥♠♦♦ q ♣rt ♥ r t♣♦ ♥♦ rr ♦♥ t♦ C ♣r♦ t♠é♥t♦ l s♦r q s r③♥ r♦♥①♦♥s ③r ♥s ♦♥ ♣r♦ ps r♦♥①♦♥s s♦♥ s rs♣♦♥ss ♥♦r♣♦rr t♦r r s♠♥②♥♦ l ♦♥sttrs ♥ t♦s s♦rtts s♥ r ♠♣ ♣r♥♣♦ ♥♠♥t ♠♦♦

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só♥ t♦♣♦ó rs ♦♠♣s

s rs ♦t♥s ♣rtr ♠♦♦ ❲ttstr♦t③ ♣rs♥t♥ ♦ l♥q ♦♥sr♥♦ t str③ó♥ ♣r ♦rs ♣qñ♦s p ♥ rá♦ r s ♠str ♦ó♥ s♠tá♥ C ② l ♥ ♥ó♥ p♣r ♠♦♦ ❲ttstr♦t③ P ♦srrs q ♣r ♥ ♣r♦ r♦♥①ó♥ p = 0.01 r rst♥♦ ♣rs♥t s rtrísts ♠♥♦♣qñ♦ s rs ♦♦ró♥ ♥tr ♥tí♦s ♦t♦rs ② ♠st♥tr ♠s ♦trs rs s♦s ♣♥ t♦rs ♦♠♦ rs ♠♥♦ ♣qñ♦ ♥ ♠r♦ ♠s s ♣rs♥t♥ s ③ str♦♥s r♦P (k) ♦ ♣s q ♥ ♣r♥♣♦ ♥♦ s♦♥ r♣r♦s ♣rtr ♠♦♦ ❲ttstr♦t③

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♣ít♦ r ♥tr♦ó♥ s rs ♦♠♣s

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♦♠♦ ② ♠♦s st♦ ♥ ♣ít♦ ♥tr♦t♦r♦ strtr t♦♣♦ó r ♥ ♥ ss rtrísts ♣r♦♣ó♥ Pr s♦ ♣rtr ♥ ♥r♠ ♦♥ ♥á♠ ♣r♦♣á♥♦s s♦r ♥ r r s♦♥ P (k) ∼ k−γ ♣ rs q ♠r ♣♠ rs♣♦♥ λc = 〈k〉/〈k2〉q rst λc = 0 ♥♦ γ ≤ 3 ♦ q 〈k2〉 → ∞ ❬Pst♦rt♦rrs ❪st s t♥ s♦♦ ♥ ♠♣♦ q ♥♦t ♥ó♠♥♦ q ♣rt♥♠♦s ♥t③r♥ st tss ♠♣♦rt♥ st♦ strtr s rs ♦♠♣s② s í♥t♠ ró♥ ♦♥ ♦s ♥ó♠♥♦s ♣r♦♣ó♥

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♥③♠♦s ♥♥ ♦s r♣♦s ♥t♥ó♥ ♥ s♠♥ó♥ ♣♦str ♥♦♥ó♥ ♦str♠♦s q ♥á♠ s♥ ♠♥s♠♦♣r♦♣st♦ r ♦r♠ó♥ strs st♦s ♥♦ ♥♦s ♣♦r ♦

Page 45: Fenómenos de propagación en redes complejas' · Fenómenos de propagación en redes complejas Medus, Andrés Daniel 2015-06-12 Este documento forma parte de la colección de tesis

♣ít♦ s♠♥ó♥ ♦♣♥♦♥s ② ♥ó♥ ♠♦♦ r

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s ú♥♦ ♦ ♥ st ♠♣♠♥tó♥ ♦s ♥ts s♦s stá♥ s♣st♦s♥ ♥ r r N = 50 × 50 ♥♦♦s ♦♥ ♥s ♣r♠r♦s ② s♥♦s♥♦s ♠ás r♦ ♥s ♦♥s ♣r ♦♠♣tr ♥ r♦♥ r♦ ♥♦r♠ k = 〈k〉 = 16 r ♥ st ♣ít♦ s♦♦ ♦♥srr♠♦s ♥s ♦♠♦é♥♦s ② stát♦s ♠♥trs q ♥ ♣ró①♠♦ ♥tr♦r♠♦s ♦♥tt♦s ♣rs♦♥s tr♥s♠t♥ t♥t♦ ♦♣♥♦♥s ♦♠♦ ♥r♠s ②♥♦♣rs♦♥s s♦♦ tr♥s♠t♥ ♦♣♥♦♥s sí ♦♠♦ t♠é♥ ♥ ♠♥s♠♦ r♦♥①ó♥ ♣tt ♥s

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♦s ♠♦♦s ♠ás s♥♦s ♦♥sr♥ ♥ ♦♣ó♥ ♥r rs♣t♦ ♥ó♥ q ♥t ♦♣t ♣♦r s♠♣ ♦♣♥ó♥ ♠②♦rtr s ♥t♦r♥♦ ❬té ❪ ♦♦s ♠ás ♦♠♣♦s s♠♥ ♥ts r♦♥s q♠ás ♠♣♠♥tr ♣r♦s♦ ♠tó♥ s♦ ú♥ rs♦ ♦♥t♦ ② ♦s t♦s ♥♦♦s ♥ ♥ ♦♥t①t♦ t♦rí ♦s❬ ❳ r♦ ❪ ♥ ♠♦s s♦s s ♦♥sr q ♥♥ ♦s ♦♥tt♦s s ♦♠♦é♥ ♠♦♦ q t♦♦s ♦s ♥♦s ♥♠t♦s s♦♥♠♥t ♥②♥ts

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♣ít♦ s♠♥ó♥ ♦♣♥♦♥s ② ♥ó♥ ♠♦♦ r

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♥tr ♥ts Pr ♦ ♠♣♠♥t♠♦s ♥ r♥t ♦r♥ ♠♦♦ ♥ts ♣r♦♣st♦ ♣♦r ♣♦tó♦♦ ② ♠t♠át♦ ♦rt ①r♦ ♥ ❬①r♦ ❪ q♥ ♦ ó ♦♥ ♦t♦ ①♣r ♦r♥ ♦♥s♥s♦s♦ trés s♠♥ó♥ tr ② ♦r♠ó♥ ♦♠♥♦s ♦♥r♥ tr r

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r♦ tr ♥t s♦ ♥ st s♦ ♦♥sr♥♦ ♦♥♥t♦ st♦s s♦rs q ♥tr♥ ♠ ♥ stó♥ ♥rá ♥♦ ♣♦r F +1

rtrísts ♦♥ rtríst ♦♥ r♣rs♥t ♣♦str ♥r ♥ó♥ ♦ ♠t♣ rs♦s trs s♦ ♦♥ ♣♦strrs♣t♦ ♥ó♥ srá q = 2 ♠♥trs q rst♦ s rtrísts

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♦♦ s♠♥ó♥ tr ② ♥ó♥

t♥rá♥ ♠t♣ ♦♠♦é♥ q ≥ 2 ♠r♥ st st♥ó♥ ♣♦strrs♣t♦ ♥ó♥ s ♥♦r ♥ ♥á♠ ♣tó♥ ♣♦r ♠tó♥♦♠♦ ♥ rtríst tr ♠ás r♦ ♦♠♦ ♥tr ♦s ♥ts i② j s ♥ ♦♠♦ ♥t rtrísts ♥ s q ♦♥♥ ht(i, j) t♠♣♦ t q ♣r ♠♦♦ ①r♦ s F rtrísts trs①②♥♦ ♣♦str rs♣t♦ ♥ó♥ s ♥♦r♣♦r♥ ♥ ♠♦♦ ♦♥ ♥ srr♦r ♦♠♦ tr♦é♥ ♥tr ♦s ♥ts st ♠♦♦ s♠♥ó♥ s r♥ts ♦♣♥♦♥s ♥ ♣rtr ♥ó♥ s rá♦♥ ♠②♦r ♣r♦ ♥tr q♦s ♥ts ♦♥t♦s q ♣rs♥t♥ t♦r♦ ♦♠♦

♦t♦ s q ♦s ♥ts s♦s ♣t♥ s ♣♦str rs♣t♦ ♥ó♥ ♠t♥♦ q♦s s ♥t♦r♥♦ ♦♥ ♦s q t♥♥ t♦ r♦ ♦♠♦ st♦ s s♠♦s q ♣♦str rs♣t♦ ♥ó♥ s ♠t♦ ♥ ♥ ♣r ♥ ♦trs rtrísts trs Pr ♦ ♥♦r♣♦r♠♦s ♥ ♠r ♦♠♦ κ ♣rtr ♦s ♥ts ♦♠♥③rá♥ ♥trtr ♥ ♥str♦ s♦ ♠♦s κ = 2 ♥q t♠é♥ ♠♦s ♦♥sr♦ κ = 3 ♦t♥♥♦ tt♠♥t é♥t♦s rst♦s ♦♥ κ = 2 t♠♦s ♥tró♥ s♦ ♥tr ♦s ♥ts q s♦♦ ♦♠♣rt♥ ♣♦str ♥r ♥ó♥ ② ♦♥ ♦ s sr ♦ó♥ ♥ qr♦ s♦r♥t ♦♥s♥s♦

♦ ♣r♦ ♥tró♥ P (i → j, t) ♥tr ♦s ♥ts i ② j ♥rá ♣♦r

P (i → j, t) =

0 s ht(i, j) < κht(i,j)F+1

s ht(i, j) ≥ κ

♥♦ ♠♦♦ ♥tr♦♦ ♣♦r ①r♦ ♥♠♦s ♥ t♦r ♦♣♥♦♥sV

i(t) = (V i1 (t), V

i2 (t), ..., V

iF+1(t)) ♦♥ V

i(t) ∈ 0, 1 × IF s♥♦ ♦♠♣♦♥♥t

V iF+1(t) ♦rrs♣♦♥♥t ♣♦str rs♣t♦ ♥ó♥ ♠♦♦ q

V iF+1(t) =

0 s ♥t i s ♥♦r1 s ♥t i s ♥♦♥♦r

♦ ♣r♦s♦ ♣tó♥ ♣♦r ♠tó♥ s♦ t♦r ♦♣♥♦♥sVi(t)

srá sr♣t♦ ♥ ó♥ ♣ít♦

V in(t+ 1) =

V jn (t) ♦♥ ♣r♦ P (i → j, t+ 1)

V in(t) ♦♥ ♣r♦ 1− P (i → j, t+ 1) .

Page 49: Fenómenos de propagación en redes complejas' · Fenómenos de propagación en redes complejas Medus, Andrés Daniel 2015-06-12 Este documento forma parte de la colección de tesis

♣ít♦ s♠♥ó♥ ♦♣♥♦♥s ② ♥ó♥ ♠♦♦ r

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F+1(t+ 1) = V iF+1(t)

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r r♥só♥ ♦♥s♥s♦ ♥♦♥♦r ♥♦r ♥ ♥ó♥ ♠t♣ rs♦s trs q ♠ñ♦ ♥♦r♠③♦ str♠á①♠♦ ♠♦♥♦tr SM/N ♣r s ♣r♠rs F ♦♣♥♦♥s ♥ ♥ó♥ q

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Page 55: Fenómenos de propagación en redes complejas' · Fenómenos de propagación en redes complejas Medus, Andrés Daniel 2015-06-12 Este documento forma parte de la colección de tesis

♣ít♦ s♠♥ó♥ ♦♣♥♦♥s ② ♥ó♥ ♠♦♦ r

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σperco(b)

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0 500 1000 1500 2000max cluster size

4

6

8

10

12

⟨ k⟩

A

PercolaciónModelo

0 500 1000 1500 2000max cluster size

0.34

0.36

0.38

0.40

0.42

0.44

C

C

PercolaciónModelo

0 500 1000 1500 2000max cluster size

5

10

15

20

Dis

tanc

ia m

edia

(l)

B

PercolaciónModelo

0 500 1000 1500 2000max cluster size

0.550.600.650.700.750.800.850.90

Mod

ular

idad

(Q)

D

PercolaciónModelo

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♣ít♦ s♠♥ó♥ ♦♣♥♦♥s ② ♥ó♥ ♠♦♦ r

stát

♥ r ♣ít♦ ♥ r s ♥ q ♥t♦ ♠♥♦rs ♥t ♥♦♥♦s ♠②♦r ♦rtr ♥ ♠②♦rs s♦♥s sr♣♥s ♣r t♠ñ♦ ♠♦ r♦t ♥tr ♥str♦ ♠♦♦ ② qq s♠ stró♥ ③r ♦s ♥♦♥♦s ♥ st só♥ r♠♦só♠♦ st ♦ s ♠♥st ♣r ♥ s♦ ♣rtr q sts ♠r ♦rtr ♥ ❱ 95% r♦♠♥♦ ♣♦r ❬❲ ❪

0 20 40 60 80 100 120tamaño del brote

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

dens

idad

Pmodel(x≥25)=0.683ModeloPercolación

r st♦r♠ t♠ñ♦s r♦ts sr♠♣ó♥ ♦ ♦♥♦♥s 95% ♦rtr ♥ ♣r ♥str♦ ♠♦♦ s♠♥ó♥ trrrs r♦s ② ♣r ♣r♦①♠ó♥ ♣r♦ó♥ rrs ③s

♦♥sr♠♦s 100 r③♦♥s ♠♦♦ s♠♥ó♥ tr ♦♥ ♦s♣rá♠tr♦s ♣r♠♥t st♦s ♣r s s ♦rtr ♥ ♥ rst ♥tr 94.6% ② 95.4% s r ♥tr 115 ② 135 ♥♦♥♦s ♥ t♦tPr ♣♦ó♥ ♥ ♥♦♥♦s t♠é♥ s stó ♣r♦①♠ó♥ ♣r♦ó♥ ♥ ♠♦s ♠♦♦s ② s♦r ♥ s ♦♥r♦♥s ♥s ♥♦♥♦s s tr♦♥ 10000 r③♦♥s ♦rt♠♦ ♣r♦♣ó♥ sr♠♣ó♥ ♥ r s ♣rs♥t♥ ♦s st♦r♠s ♣r t♠ñ♦ ♦s r♦ts t♥t♦ ♣r ♠♦♦ s♠♥ó♥ tr ♦♠♦ ♣r ♣r♦①♠ó♥ ♣r♦ó♥ r♠♥t ♠♦♦ s♠♥ó♥ tr r r♦ts ♠②♦r t♠ñ♦ q ♦rrs♣♦♥♥t ♣r♦ó♥ ♥♠♦s ♥♣♠ ♦♠♦ ♥ r♦t q r ♠♥♦s 1% ♣♦ó♥ t♦t ♥♥str♦ s♦ N = 2500 stró♥ ♠ r P (x ≥ 25) t♥r

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♦♥s♦♥s ♣r♠♥rs

♥ r♦t ♥♦r♥♦ ♠ás 25 ♥ts s ♥ ♦♠♦

P (x ≥ 25) =∑

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Page 61: Fenómenos de propagación en redes complejas' · Fenómenos de propagación en redes complejas Medus, Andrés Daniel 2015-06-12 Este documento forma parte de la colección de tesis

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Page 63: Fenómenos de propagación en redes complejas' · Fenómenos de propagación en redes complejas Medus, Andrés Daniel 2015-06-12 Este documento forma parte de la colección de tesis

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Page 64: Fenómenos de propagación en redes complejas' · Fenómenos de propagación en redes complejas Medus, Andrés Daniel 2015-06-12 Este documento forma parte de la colección de tesis

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Page 65: Fenómenos de propagación en redes complejas' · Fenómenos de propagación en redes complejas Medus, Andrés Daniel 2015-06-12 Este documento forma parte de la colección de tesis

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Page 66: Fenómenos de propagación en redes complejas' · Fenómenos de propagación en redes complejas Medus, Andrés Daniel 2015-06-12 Este documento forma parte de la colección de tesis

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Page 72: Fenómenos de propagación en redes complejas' · Fenómenos de propagación en redes complejas Medus, Andrés Daniel 2015-06-12 Este documento forma parte de la colección de tesis

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0 500 1000 1500 2000tamaño cluster máx

34567

⟨ k⟩

A

PercolaciónModelo

0 500 1000 1500 2000 2500 3000tamaño cluster máx

34567

⟨ k⟩

B

PercolaciónModelo

0 500 1000 1500 2000tamaño cluster máx

0.200.250.300.350.40

C

C

PercolaciónModelo

0 500 1000 1500 2000 2500 3000tamaño cluster máx

0.200.250.300.350.40

C

D

PercolaciónModelo

0 500 1000 1500 2000tamaño cluster máx

101520253035

Dis

tanc

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(l) E

PercolaciónModelo

0 500 1000 1500 2000 2500 3000tamaño cluster máx

101520253035

Dis

tanc

ia m

edia

(l) F

PercolaciónModelo

0 500 1000 1500 2000tamaño cluster máx

0.650.700.750.800.850.90

Mod

ular

idad

(Q) G

PercolaciónModelo

0 500 1000 1500 2000 2500 3000tamaño cluster máx

0.650.700.750.800.850.90

Mod

ular

idad

(Q) H

PercolaciónModelo

r Pr♦♣s t♦♣♦ós ♦s strs ♠á①♠♦s ♦♦ ♥r③♦♦♥ r stát ② ♦♥ r ♣tt ♥ ♠♦s s♦s s♣rs♥t ♦♠♣ró♥ ♦♥ s ♣r♦♣s ♦s strs ♠á①♠♦s ♣r♦♥♥ts ♣r♦①♠ó♥ ♣r♦ó♥

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Page 76: Fenómenos de propagación en redes complejas' · Fenómenos de propagación en redes complejas Medus, Andrés Daniel 2015-06-12 Este documento forma parte de la colección de tesis

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0 200 400 600 800 1000q

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Mod

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Page 78: Fenómenos de propagación en redes complejas' · Fenómenos de propagación en redes complejas Medus, Andrés Daniel 2015-06-12 Este documento forma parte de la colección de tesis

ó♥ s ♠♣ñs ♥ó♥

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0 500 1000 1500 2000 2500tamaño cluster máx

34567

⟨ k⟩

A

PercolaciónModelo

0 500 1000 1500 2000 2500 3000tamaño cluster máx

34567

⟨ k⟩

B

PercolaciónModelo

0 500 1000 1500 2000 2500tamaño cluster máx

0.200.250.300.350.40

C

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PercolaciónModelo

0 500 1000 1500 2000 2500 3000tamaño cluster máx

0.200.250.300.350.40

C

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PercolaciónModelo

0 500 1000 1500 2000 2500tamaño cluster máx

5101520253035

Dis

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PercolaciónModelo

0 500 1000 1500 2000 2500 3000tamaño cluster máx

5101520253035

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tanc

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(l) F

PercolaciónModelo

0 500 1000 1500 2000 2500tamaño cluster máx

0.650.700.750.800.850.90

Mod

ular

idad

(Q) G

PercolaciónModelo

0 500 1000 1500 2000 2500 3000tamaño cluster máx

0.650.700.750.800.850.90

Mod

ular

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(Q) H

PercolaciónModelo

r Pr♦♣s t♦♣♦ós ♦s strs ♠á①♠♦s ♦♥ ♠♣♦ ①tr♥♦φ = 0.01 ♦♦ ♥r③♦ ♦♥ r stát ② ♦♥ r♣tt ♥ ♠♦s s♦s s ♣rs♥t ♦♠♣ró♥ ♦♥ s ♣r♦♣s ♦s strs ♠á①♠♦s ♣r♦♥♥ts ♣r♦①♠ó♥ ♣r♦ó♥

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♦♦ ♥r③♦ ♦♥ t ♦rtr

♥ ♣ít♦ ♥tr♦r ♥③♠♦s ♥♥ ♠♦♦ s♠♥ó♥tr ♥ q♦s s♦s ♦♥ ♥ ♦rtr Pcob ♣ró①♠ ♠t 95%

94.6% ≤ Pcob ≤ 95.4% r♦♠♥ ♣♦r r ♠strq ♠♦♦ ♥r③♦ ♣rs♥t ♥ ♣r♦ r♦t ♥♦t♠♥ts♣r♦r q s ♦t♥ ♣rtr ♣r♦①♠ó♥ ♣r♦ó♥ t♥t♦♣r r stát ♦♠♦ ♥á♠ s♠s♠♦ ♣ ♦srrs t♦ ♠t♦r ♠♣♦ ①tr♥♦ φ s♦r ♣r♦ r♦t t♠ñ♦ ♠②♦r 1% ♣♦ó♥ t♦t P (x ≥ 25)

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♦♥s♦♥s ♣r♠♥rs

0 20 40 60 80 100 120tamaño del brote

10-610-510-410-310-210-1100

dens

idad

estática

Pmodel(x≥25)=0.302

AModel φ=0.00Percolation

0 20 40 60 80 100 120tamaño del brote

10-610-510-410-310-210-1100

dens

idad

estática

Pmodel(x≥25)=0.212

CModel φ=0.01Percolation

0 20 40 60 80 100 120tamaño del brote

10-610-510-410-310-210-1100

dens

idad

estática

Pmodel(x≥25)=0.143

EModel φ=0.02Percolation

0 20 40 60 80 100 120tamaño del brote

10-610-510-410-310-210-1100

dens

idad

adaptativa

Pmodel(x≥25)=0.018

BModel φ=0.00Percolation

0 20 40 60 80 100 120tamaño del brote

10-610-510-410-310-210-1100

dens

idad

adaptativa

Pmodel(x≥25)=0.014

DModel φ=0.01Percolation

0 20 40 60 80 100 120tamaño del brote

10-610-510-410-310-210-1100

dens

idad

adaptativa

Pmodel(x≥25)=0.007

FModel φ=0.02Percolation

r st♦r♠ t♠ñ♦s r♦ts sr♠♣ó♥ ♦ ♦♥♦♥s 95% ♦rtr ♥ ♣r ♠♦♦ ♥r③♦ s♠♥ó♥tr rrs r♦s ② ♣r ♣r♦①♠ó♥ ♣r♦ó♥ rrs ③s ♣rs♥t♥ ♦s rst♦s ♣r φ = 0.00 0.01 0.02 t♥t♦ ♣r s♦ ♠♦♦♦♥ r stát ♦♠♦ ♣tt

♦♥s♦♥s ♣r♠♥rs

♥ ♣rs♥t ♣ít♦ ♠♦s ♠♦str♦ q st♥ó♥ rst ♥tr ♥s♣rs♦♥s ② ♥♦♣rs♦♥s ♠♣t ♥ ♥♥ ♠ sr♠♣ó♥ ♠♦r strtr♠♥t sr♦ s♦r s ♣r♦♣ ♦ ♦st♥tú♥ s ♠♥st ♥ó♠♥♦ str③ó♥ ♥♦♥♦rs ♥♦ ♠♥s♠♦ s♠♥ó♥ tr ♦sr♦ ♥ ♣ít♦ ♥tr♦r

♦♥♠♥t ♠♦s ♥♦ r♥t ♦♥ ♣tó♥ strtr r ♣♦r ♠♦ r♦♥①♦♥♦ ♥s ♦♠♦ ♥ r♥t ♠♦♦♥r③♦ ♣r♦♣st♦ ♦str♠♦s q r♥t ♦♥ r ♣tt ♣♦r♥ ♦ ♦r ♦r♠ó♥ strs r♥ t♠ñ♦ ♣r♦ ss ♣r♦♣st♦♣♦ós ♦s t♦r♥♥ strtr♠♥t ♠ás rás q ♦s ♦rrs♣♦♥♥ts

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♣ít♦ s♠♥ó♥ ♦♣♥♦♥s ② ♥ó♥ ♠♦♦

♥r③♦

r♥t stát ♠♦♦ P♦r st ♦ ♥♦♥tr♠♦s q ó♥ ♥ ♠♣ñ ♥♦r♠ó♥ ♥ ♦r ♥ó♥ ♥tr♦ trés ♠♣♦ ①tr♥♦ φ ♣r♦ ♥ ♠②♦r s♠♥ó♥ ♥ ♣r♦ r♦ts♦r ♠♦♦ ♥r③♦ ♦♥ r ♣tt

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♣ít♦

♥ró♥ rs s♦s ♦♥

s ♠♣ír

❮♥ t s♦ ♦♠♦ ♥r♦r tr♦♥s

strtrs

♦♦ st♦ást♦ ♥r③♦

t♦s ♠♠♦r ♥♦♠r♦♥♦s rr trá♦

♦r♠ó♥ ♥ít ♠♦♦

P♦ó♥ ♦♥st♥t γ = 0

P♦ó♥ r♥t

♦rr♦♥s r♦ t♦ ♦r♥

r♦ ♠♦ ♣r♠r♦s ♥♦s

♦♥t str③ó♥

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Pr♦♣s t♦♣♦ós

♥s♠♦ ♥ rs rs

♦♠♦ ♠♦s sñ♦ ♥ ♦s ♣ít♦s ♣r♥ts strtr srs s♦s t♥ ♥ ♠♣t♦ rt♦ ♥ ss ♣r♦♣s ♣r♦♣ó♥ s♣♦r ♦ q s ♣r♦♣s t♦♣♦ós státs s rs ♦♠♣s r♦♥♣r♦s♠♥t ♥③s ♥ trtr ♥tí r♥t ♦s ♣r♠r♦s ñ♦s st s♦

♦s sr ♦t♦s stát♦s s rs ♦♠♣s ♥ ♣rtr s ♦r♥s♦ ♣rs♥t♥ ♥ ♦ó♥ ♦♥st♥t q r ró♥ ② ♥t♠♥t stró♥ ♦♥tí♥ ♥s ② ♥♦♦s ♠♥ ♥♦♦s ♥♦s ♣♦r♥s ♦rrs♣♦♥ ♥t♦♥s t♥ s♦♦ ♥ r♣rs♥tó♥ ♠ ♥ t♠♣♦ ♥ ♣r♦s♦ ♥á♠♦ ♦ó♥ r qr r♥ ♥♦

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♣ít♦ ♥ró♥ rs s♦s ♦♥ s ♠♣ír

s t♠♣♦ rtríst♦ s ♦♠♣r ♦♥ ♦rrs♣♦♥♥t ♥ó♠♥♦ ②s st ♥ ♥r♠ ♥♦s ♦ ♥ ♦♣♥ó♥ q s ♣r♦♣ s♦r ♠s♠P♦r ♦tr ♣rt r♥t♠♥t ♦♠♥ ♥tí ♣♦ r ♦ó♥♠r♦só♣ r♥s rs ♦♥♥ ♦♥ ♥ rs♦ó♥ t♠♣♦r ② ♦♠♥③ó r③r ①♣r♠♥t♦s ♦♥rt♦s t♥♥ts r ♥á♠ ♦♥tt♦s♥tr ♥♦s ❬s ❪ ♦♥♥ó♥ t♦♦s st♦s ♠♥t♦s ♠♣só st♦ s ♠s rs rs ♥ t♠♣♦ ♦♠♦ ♥ sár ♠♣♦ s rs ♦♠♣s

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t s♦ ♦♠♦ ♥r♦r tr♦♥sstrtrs

♠♥s♠♦ stá s♦ s♦♦ ♥ ♦♥t ② rqr r♠♥t♦ ♣♦ó♥ ♣♦r r♦ ♥♦♦s ② ♥s ♣r str ♦r♠ó♥ rsrs s ♦ ♦st♥t ú♥ s st♥ ss ♦rí♥s ♠r♦só♣♦s

♥ ♦♥t①t♦ s rs s♦s rs ♥ t♠♣♦ s ♣r♦♣st♦ q stró♥ r♦s r s ♣ t♥r ♦r♥ ♥ ♥ rtríst♥trí♥s ♦s ♥ts s♦s ♥♦♠♥ t s♦ a ❬Prr ❪♥♦s ♥♦s rst♥ s♦♠♥t ♠ás t♦s q ♦tr♦s ♣♦r ♦ st♥ ♠②♦r ♥t í♥♦s s♦s q ss ♣rs ♦ s stró♥ t s♦ s ♥ ② ♣♦t♥s F (a) ∝ a−γ ♣ ♠♦strrs q stró♥ s r ♣♦r stró♥ r♦s r ♦♥tt♦s♠♦s r♥t ♥ ♥t♥ t♠♣♦r T s r PT (k) ∝ k−γ ♥tsst♦s ♥ ♣r♦♦ q t s♦ ♥♦s q ♣rt♣♥ ♥♣r♦②t♦s ♦♦rt♦s ts ♦♠♦ ❲♣ t ♠ ♥ tér♠♥♦s ♥ú♠r♦ ♣♦rts s ♦rr♦♥ rt♠♥t ♦♥ r♦ q ♦s ♠s♠♦s♥♦s qr♥ ♥ r s♦rs ❬♥ ❪

♠♦♦ ♣r♦♣st♦ ♥ ❬Prr ❪ ♦♥sr ♥ ♦♥♥t♦ N ♥♦♦s ♥♠♥t s♦♥t♦s ♥♦♦ i s s♥ ♥ t s♦ ai r♦ ♦♥ ♥ stró♥ ♣r♦ F (a) ♦r ai ♦rrs♣♦♥♥t♦♥s ts tó♥ ♥♦♦ i ♣♦r ♦ q aiδt s ♣r♦q t♥ ♥♦♦ i trs ♥ ♥tr♦ t♠♣♦ δt ♥♦ ♥ ♥♦♦ st st ♥s ♦♥ ♦tr♦s m ♥♦♦s ♦s ③r st♥ st♦s út♠♦st♦s ♦ ♥♦ ♦ ♣s♦ t♠♣♦r δt t♦♦s ♦s ♥s r s♦♥ ♦rr♦s② ♣r♦s♦ ♦♠♥③ ♥♠♥t st ♠♦♦ ♦s ♥♦♦s tú♥ ♦♠♦ ♥ts ♠r♦♥♦s s♥ ♠♠♦r ss ♦♥tt♦s ♣r♦s ♦t♦ ♣♦r r♠ t♠♣♦r♠♥t rst ♥ r t♦r ♦♥ stró♥ r♦s

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♣ít♦ ♥ró♥ rs s♦s ♦♥ s ♠♣ír

r str♦♥s ♠s t sr♦s F (x) ♠s♠♣ír♠♥t s♥♦ tr♦ ♥t♥s t♠♣♦rs r♥ts ♥ s♦ ♣♥ ♠str stró♥ t ♠ ♣r r ttr ♣r t ♦s t♦rs ♣ís sú♥ s ② ♣♥ ♣r ♦s t♦rs ♣♦♥s ♥ rst P②s ttrs P ♣♥ ♠str ♥ r♣rs♥tó♥ sq♠át ♠♦♦ ts♦ ♦♥sr♥♦ s♦♦ 13 ♥♦♦s ♠str r ♠ ♥ t♠♣♦♣r 3 ♣s♦s t♠♣♦rs ss♦s

♣rtr st ♠♦♦ r♥ ♦trs rtrísts ♥♠♥ts ♠♥♦♥s ♦♠♥③♦ st só♥ s ♣♦r ♦ q ♥ s♥t só♥ ♥♦s ♦r♠♦s srr♦r ♥ ♠♦♦ tr♥t♦ ♥♦r♦♥♦ q ♦♥sr s ♥ts ♠♦♦ ♥tr♦r ♥q ♥♦r♣♦r♥♦ s rtrísts ♦♥s ♣r♦♣s s rs s♦s rs

♦♦ st♦ást♦ ♥r③♦

Gt(N,L) r♦ ♣♥♥t t♠♣♦ t ♦♠♣st♦ ♣♦r N(t) ♥♦♦s ②L(t) ♥s ♦♠♦ ♥ s♦ s rs ♥s ♣♦r t s♦ t♠é♥ s♠r♠♦s q ♥♦♦ i ♣♦s ♥ t ♥trí♥s ai ♣♦r♥ ♣ F (a) ♥ ♠♦♦ ♦s ♥♦♦s s t♥ ♥ ♣s♦ t♠♣♦r δt♦♥ ♥ ♣r♦ ♣♦r aiδt qí ♣r♦♣♦♥♠♦s ♥ ♠♦♦ r♠♥t♦st♦ást♦ ♥r③♦ ♣r r ♦♥ ai r♣rs♥t ts

Page 88: Fenómenos de propagación en redes complejas' · Fenómenos de propagación en redes complejas Medus, Andrés Daniel 2015-06-12 Este documento forma parte de la colección de tesis

♦♦ st♦ást♦ ♥r③♦

♠r♥ ♥♦s ♥s s ♥♦♦ i st ♠♦♦ ♥ r rr♠út♣s ♥s ♥ ♣s♦ t♠♣♦r st♦s rá♥ ♥rá♥♦s ♥♦ ♣♦r ♥♦s♥♦ ♥ ♣r♦s♦ P♦ss♦♥ ♦♥ ts r ♥t♦♥s ♦s ♥s srá♥♥♦r♣♦r♦s ♦♥ ♥ ts ♣♥♥t t♠♣♦ ♣♦r

β(t) =

N(t)∑

i=1

ai .

sí ♦♠♦ ♦s ♥s s♦♥ r♦s ♠♦♦ t♠é♥ ♠t ♥ ♣r♦s♦ ♠♥ó♥ ♥s ♠♦♦ q ♥ lj s s♥ ♥ ts ♦rr♦ µj ♣r♦♥♥t ♥ ♣ FD(µ) ♥ ♦♥s♥ ts ♦rr♦t♦t ♥ ♥ó♥ t♠♣♦ srá

η(t) =

L(t)∑

j=1

µj .

♥ ♥str♦ ♠♦♦ ♠t ró♥ ② ♦rr♦ ♥s ♥ ♥ó♥ t♠♣♦ qí ♥♦s ♥trs ♥③r s ♣r♦♣s t♦♣♦ós s rs ♠s ♥ t♠♣♦ AT s ♣♦r ♦ q ♦s ♥s r♦s ♣r♠♥rá♥♥ ♥str sr♣ó♥ ♦♠♦ s r♥ stát♦s ♥ qr s♦ st♠♦sq ♠♦♦ t♠é♥ ♥♦r♣♦r ♥ ♠♥s♠♦ ♦rr♦ ♥srtrr♦

♥á♦♠♥t ♦ q s ♦♥ ♦s ♥s ♣♦ó♥ ♥♦♦s t♠é♥♣ srr ♠♦s ♥ t♠♣♦ s ♣♦r ♦ q ♠t s ③ ♦srí♠♥s ♣r ♦s ♥♦♦s ♣♦ó♥ ♦♥st♥t ♦ ♣♦ó♥ r♥t ♦♥ t♠♣♦ ♥♦♦ r♦ s ♦♥t ♥♠♥t ♥ ♥♦♦ ①st♥t trés ♥ ú♥♦ ♥

t♦s ♠♠♦r ♥♦♠r♦♥♦s rr trá♦

♦♠♦ ♠♦s sñ♦ ♣r♦♠ ♠♦♦ ♣r♦♣st♦ ♣♦r Prrt t♥ s ♦r♥ ♥ s♣♦só♥ ♥ts s♥ ♠♠♦r ss ♦♥tt♦s ♣r♦s s ♣rs♠♥t ♣♦r ♦ q s rs ♠s ♥ t♠♣♦ rst♥ s♥♠♥t rs ③r ♦♥ stró♥ r♦s t♣♦② ♣♦t♥s r♠♥t s trt ♥ ♣ótss s♠♣♦r s♥ ♦rrs♣♦♥♥ ♥ ♦♥ ♦sró♥ ♠♣ír ①st ♥ s♥tq ♥t ♦rr♦♥s r♦ t♦ ♦r♥ ♥ rs s♦s rs❬♠♥ ♠♥ ♦ss♥ts ❪ ♥♦r♣♦rr s ♦rr♦

Page 89: Fenómenos de propagación en redes complejas' · Fenómenos de propagación en redes complejas Medus, Andrés Daniel 2015-06-12 Este documento forma parte de la colección de tesis

♣ít♦ ♥ró♥ rs s♦s ♦♥ s ♠♣ír

♥s r♦ ♥ ♥str♦ ♠♦♦ ♠♣ s♠r ♠♠♦r ♦s ♦♥tt♦s ♣r♦s♥ ♦s ♥ts Pr ♦ ♠♣♠♥t♠♦s ♥ ♠♥s♠♦ ♦♥①♦♥♦ ♠①t♦q ♣r♦ s♥t ♠♦♦ ♣r r♦ ♥ ♥ lij

♥♦♦ ♥t i ♦♥ ♣r♦ ♣r♦♣♦r♦♥ s t ai

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♥s♠♦ rr trá♦ ♦♥ ♣r♦ q s ♥s♥♦ ♥♦ i q ♥♦ s ♥♥tr ♣r♠♥t ♥♦ j♦♥ ♥ rrr ♥ trá♥♦ ♣♦r tr♥st

♦♥①♦♥♦ t♦r♦ ♦♥ ♣r♦ 1− q s ♥ ♥♦♦ j ♥♦r♠♠♥t ③r

♠♥s♠♦ rr trá♦ s♦ ♣r♠♥t t③♦ ♦♥ ♦t♦ rr tr♥st ♥ ♠♦♦s r♠♥t♦ rs ❬♦ss♥ts s♥ ♦♠ ❱á③q③ ♦♦♥♥ ♥♦ ❪P♦r ♦tr ♣rt t♥ ♣♦r ♥ r♣r♦r ♠♥s♠♦ ♥ q t♠♥t s ♦sr ♥ s rs ♠st ♦s ♠♦s ♥str♦s ♠♦s ♦♥r♥ t♠é♥ tr♠♥♥ s♥♦ ♥str♦s ♠♦s s ♥ st s♥t♦ ♥ q♥♦s rr♠♦s ♥ts ♦♥ ♠♠♦r ♦ q ♣r q rst ♣♦s str ♥ í♥♦ ♥tr s♥♦s ♥♦s s ♥sr♦ q ♦s ♥ts rr♥t♦♦s ss ♦♥tt♦s ♣r♦s str q ♠♦♦ s♠ ♥tss ♦♥ ♠♠♦r ♥♥t ♥ ♣♦s s♠♣r ♥áss tr♦r

♦r♠ó♥ ♥ít ♠♦♦

♠♦♦ ♣ ♦r♠rs ♠t♠át♠♥t ♦♠♦ ♥ ♣r♦s♦ st♦ást♦ t♠♣♦ ♦♥t♥♦ Ltt∈R≥0

♦♥ ts ♥♦r♣♦ró♥ ♥s β(t)st ♣r♦s♦ t♠♣♦ ♦♥t♥♦ ♣ r♣rs♥trs tr♥t♠♥t ♦r♠♠ás s♠♣ ♦♠♦ ♥ ♣r♦s♦ st♦ást♦ srt♦ ♠♦ Lℓℓ∈N ♥ tér♠♥♦s ♥ú♠r♦ ♥s r♦s ℓ ♥ st út♠♦ s♦ s s♠♣ ♥♦t♠♥t ♦r♠ó♥ ♠t♠át ② s ♣♦str♦r ♥áss ♣r♦s♦ srt♦♠♦ s♠ ♥ ts ♥r♠♥t♦ ♣♦ó♥ ♥s 1♦ q ♣♦r ♣s♦ ♦ó♥ s ♦♥ ♥ ♥ st ♠♦♦ stss rst♥ts ♠♦♦ strá♥ rrs ts ♥tr

♥ ♦rr ♦r♠ó♥ ♠ás ♥r ♠♦♦ ♦♥sr♠♦s ♥ts r♠♥t♦ ♣♦ó♥ ♥♦♦s γ P♦r ♦ t♥t♦ ♥ú♠r♦ t♦t

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♦♦ st♦ást♦ ♥r③♦

♥s ♥rá ♦ ♣♦rL(ℓ) = L0 + (1 + γ)ℓ,

♦♥ γℓ ♣r♦♥ ♦s ♥s s♦♦s ♦♥ ♦s ♥♦♦s r♦s ② L0 s ♥t ♥ ♥s ♥á♦♠♥t ♣♦ó♥ ♥♦♦s s ♥r♠♥t♦♠♦

N(ℓ) = N0 + γℓ,

s♥♦ N0 ♥t ♥ ♥♦♦s ♥ r

♥♠♦s Pk|a(ℓ, ℓ0) ♦♠♦ ♣r♦ q ♥ ♥♦♦ ♦♥ t a

♥tr♦♦ ♥ ♣s♦ ℓ0 t♥ r♦ k ♣r ♥ ♣s♦ ♣♦str♦r ℓ > ℓ0 ♦♥♠♥t ♥♠♦s Nk|a(ℓ) ♦♠♦ ♥t ♠ ♥♦♦s ♦♥ r♦ k ♥trq♦s q ♣♦s♥ ts t a ② ①♣rsó♥ ♥ tér♠♥♦s Pk|a(ℓ, ℓ0)

rst

Nk|a(ℓ) =ℓ∑

ℓ0=1

Pk|a(ℓ, ℓ0) .

♥ ♣é♥ ♠♦strr♠♦s q Nk|a(ℓ) ♣r♦♣♦r ♠♦♦ rs♦ts ♣r♦♣st♦ ♥ ❬♦♥ ❪

♦ó♥ t♠♣♦r Nk|a(ℓ) ♣ ♦r♠rs ♠♥t ♥ sr♣ó♥ ♦♥t♥ trés s♥t sst♠ ♦♥s r♥s ♦♣s❬r♣s② r♣s② ❪

dNk|a

dℓ=q(

Θ(k − 1, a, ℓ)Nk−1|a −Θ(k, a, ℓ)Nk|a

)

+1− q

N(ℓ)

(

a

〈a〉 + 1

)

(

Nk−1|a − Nk|a

)

N(ℓ)

(

Nk−1|a − Nk|a

)

+ γδk1 ,

♦♥ ♣r♠r tér♠♥♦ ♠♠r♦ r♦ rs ó♥ ♦rrs♣♦♥ ♦♥tró♥ ♠♥s♠♦ rr trá♦ s♥♦ Θ(k, a, ℓ)

♥ú♦ s♥♦ tér♠♥♦ rs ó♥ ♦rrs♣♦♥ ♦♥tró♥ ♦s ♥s r♦s ③r st út♠♦ ♣ s♦♠♣♦♥rs♥ ♦♥tró♥ ♥♦♦ ♥t ♦ ♦♥ ♣r♦ ♣r♦♣♦r♦♥ st

1− q

N(ℓ)

(

a

〈a〉

)

(

Nk−1|a − Nk|a

)

,

s♠ ♣♦rt ♦rrs♣♦♥♥t ♥♦♦ ♦t♦ ♦ ♥♦r♠♠♥t ③r

1− q

N(ℓ)

(

Nk−1|a − Nk|a

)

.

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♣ít♦ ♥ró♥ rs s♦s ♦♥ s ♠♣ír

♦♥t♥♥♦ ♦♥ sr♣ó♥ ó♥ út♠♦ tér♠♥♦ rs ♦rrs♣♦♥ ♦♥tró♥ ①tr♠♦ rst♥t ú♥♦ ♥ q ♥ ♥t♦ ♥♦♦ t a ♥tr♦♦ sst♠ str q ♦ ①tr♠♦ ♥ s ♦♥t ♥♦r♠♠♥t ③r qr ♥♦♦ ♣rt♥♥t r ♥♠♥t út♠♦ tér♠♥♦ rs γδk1 r♣rs♥t ♣♦rt ♣♦ó♥ N1|a(ℓ) ♦s ♥♦♦s r♦s ♦♥ t a ② r♦ ♥ k = 1

♥ ♥t♦ ♥ú♦ ♠♥s♠♦ Θ(k, a, ℓ) ♥ ♥♦♦♠♦

Θ(k, a, ℓ) =a

〈a〉N(ℓ)+

k

2L(ℓ).

❯♥♦ ♦s ①tr♠♦s ♥ r♦ ♠♥t ♠♥s♠♦ s♦♥t♦ ♥ ♥♦♦ ♥t ♦ ③r ♣r♦♣♦r♦♥♠♥t s t a♥♦ ♦r♥ ♣r♠r tér♠♥♦ rs ♥trs q s♥♦tér♠♥♦ rs ♣r♦♥ ♦♥①ó♥ ①tr♠♦ rst♥t ♥ r♦ ♥ s♥♦ ♥♦ ♥♦♦ ♥t st út♠♦ tér♠♥♦ r♣rs♥t ♥♣rr♥ q sr ♥tr♠♥t ♣rtr ♠♥s♠♦ rst♦ qs ♦rrs♣♦♥ ♦♥ ♦s ♣r♠♥t r♣♦rt♦s ♥ ❬♦♠ ❱á③q③ ❪

r♣♥♦ tér♠♥♦s ♣ rsrrs ♦♠♦

dNk|a

dℓ= Nk−1|aΦγ,q(k − 1, a, ℓ)− Nk|aΦγ,q(k, a, ℓ) + γδk1

♦♥ Φγ,q(k, a, ℓ) s ♥ú♦ ♥r③♦ ♦♥①ó♥ ♦ ♣♦r

Φγ,q(k, a, ℓ) =1

N(ℓ)

(

a

〈a〉 + 1− q + γ

)

+k

2L(ℓ)q .

♦ ①♣rsó♥ ♦rrs♣♦♥♥t ♥ú♠r♦ ♠♦ ♥♦♦s ♦♥ r♦ k♥♦t Nk(ℓ) ♦♠♣r♥♥♦ ♣♦rt t♦s s tss t ♣♦ss♦♥ ♣ F (a) q ♥ ♦♠♦

Nk(ℓ) =

Ω

F (a)Nk|a(ℓ)da

s♥♦ Ω ♦♠♥♦ ♥ó♥ F (a) P♦r út♠♦ ♣♦♠♦s ♥r stró♥ r♦s ♣r ♥ ♥t ♥s r♦s ℓ ♦♠♦

Pℓ(k) = Nk(ℓ)/N(ℓ) .

♠♦♦ qí sr♣t♦ ♣rs♥t ♥ ♠♣ rst ♣r♠t♥♦

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♦♦ st♦ást♦ ♥r③♦

♠♦r t♥t♦ stró♥ ts ♦♠♦ ♦s rí♠♥s r♠♥t♦ s ♣♦♦♥s ♥♦♦s ② ♥s s ♣♦r ♦ q ♥ s ss♦♥s s♥ts str♠♦s s s♦♦♥s ♣r ♣♦ó♥ ♥♦♦s ♦♥st♥tγ = 0 ② r♥t γ > 0 tr♥t♠♥t str♠♦s ♦s ♣ t ♣r♠áts t ♦♥st♥t F (a) = δ(a− a0) ② t t♣♦ ② ♣♦t♥s F (a) ∝ a−ξ q r♣r♦ ♠♥t ♣tró♥ t ♦s ♥ts ♣r ♥s rs s♦s ♥③s ♥ trtr❬Prr ♥ ❪

P♦ó♥ ♦♥st♥t γ = 0

♥ st s♦ ♣rtr r♠♥t♦ r s♦♦ t♥ r trés r♦ ♥s s♦r ♥ ♣♦ó♥ ♦♥st♥t ♥♦♦s stt②♥♦ γ = 0

♥ ② ♦ r♠♣③r ♥ ♠s♠ ♦rrs♣♦♥♥t ①♣rsó♥♣r Φ0,q(k, a, ℓ) s ♦t♥

dNk|a

dℓ=Nk−1|a

[

1

N0

(

a

〈a〉 + 1− q

)

+(k − 1)q

2L(ℓ)

]

Nk|a

[

1

N0

(

a

〈a〉 + 1− q

)

+kq

2L(ℓ)

]

♦♥ s s♠ N(ℓ) = N0 ∀ℓ ≥ 0 ② ♣♦ó♥ ♥s r ♦♠♦ L(ℓ) =

L0 + ℓ ♥ sts r♥st♥s r♦ k ♣rs♥t ♥ rstró♥ ♥tr ♣♦r k ≤ (N0 − 1) s♠s♠♦ s♦ó♥ s♥tót ♦♣t ♦r♠tr Nk|a = N0δk,(N0−1) ∀a ≥ 0 ♦ ♦st♥t ♥ st s♦ ♥♦s ♥trs ♥③r s♦ó♥ ♥♦tr tr♥st♦r st♦ s q ré♠♥ ♣♦ó♥♦♥st♥t ♥♦♦s ♥r♠♥t s ♥♥tr s♦♦ ♦♥ ♥áss rss♦s s♦r ♥ ♥t♥ t♠♣♦r ♦s s♥t♠♥t ♣qñ ♣r q ♣ótss rst

s ♣♦s rs♦r ♣♦r ♠♦ ♥ sq♠ trt♦ ♦♠♦ s

Nk|a(ℓ) =

(

Nk|a(0) +

∫ ℓ

0

Nk−1|a(ℓ′)

Πk|a(ℓ′)Φ0,q(k − 1, a, ℓ′) dℓ′

)

Πk|a(ℓ)

♦♥ Πk|a(ℓ) = A (L0 + ℓ)−kq/2 exp (− (a/〈a〉+ 1− q) ℓ/N0) s s♦ó♥ ó♥ r♥

dΠk|a(ℓ)

dℓ= −Πk|a(ℓ)Φ0,q(k, a, ℓ).

Page 93: Fenómenos de propagación en redes complejas' · Fenómenos de propagación en redes complejas Medus, Andrés Daniel 2015-06-12 Este documento forma parte de la colección de tesis

♣ít♦ ♥ró♥ rs s♦s ♦♥ s ♠♣ír

P♦r ♦tr ♣rt s ♣♦s ♥♦♥trr s♦♦♥s ♥íts rrs ♥ ♥♦s s♦s ♣rtrs P♦r ♠♣♦ s q = 0 ♣ rs á♠♥tq s♦ó♥ rst

Nk|a(ℓ) = N0 × Pois (k;λ = ℓ(a+ 〈a〉)/(〈a〉N0)) ,

s♥♦ Pois(k;λ) = (λk/k!) exp(−λ) stró♥ P♦ss♦♥ ♦♥ ♠ λ♠♣③♥♦ ♥ s ♦t♥

Pℓ(k) =Nk(ℓ)

N0

∼ 1

ℓF

(

N0

ℓk − 1

)

,

r♣r♥♦ sí s♦ó♥ ♠♦♦ t s♦ ❬Prr ❪

str♦ ♦t♦ s ♥♦♥trr s♦♦♥s ♣r♦①♠s ♦ ♦♥♦♥s ①tr♠s q ♥♦s ♣r♦♣♦r♦♥♥ ♥ ♥tó♥ ♦♠♣♦rt♠♥t♦ ①t♦ Nk|a(ℓ) ② ♦ stró♥ r♦s s♦ Pℓ(k) ♦♥ t ♥s♠r♠♦s ♥♠♥t ♦♥ó♥ ①tr♠

1

N0

(

a

〈a〉 + 1− q

)

≫ qk

2(L0 + ℓ),

♥ rt s♦ó♥ ♣r♦①♠ rst

Nk|a(ℓ) ∼1

k!

(

a/〈a〉+ 1− q

N0

)k

e−

a/〈a〉+1−qN0

s r ♥ P♦ss♦♥ ♦♥ ♠ λ = ℓ(a/〈a〉 + 1 − q)/N0 s♦ó♥ rst ♥tt ♦ q ♦♥ó♥ ♠♣ s♣rr ó♥ tér♠♥♦ ♥ ♣rr♥ rs♣t♦ ♦rrs♣♦♥♥t ♥ ③r♣s♦ ♣♦r t ♦s ♥♦♦s

tr♥t♠♥t ♦♥ó♥ ♦♣st

1

N0

(

a

〈a〉 + 1− q

)

≪ qk

2(L0 + ℓ),

♦♥ ♦tr s♦ó♥ ♣r♦①♠ ♥ st s♦ ♣♦r

Nk|a(ℓ) ∼ (L0 + ℓ)−q/2

[

1−(

L0 + ℓ

L0

)−q/2]k−1

≈ (L0 + ℓ)−q/2 e−(k−1)

(

L0+ℓL0

)−q/2

,

Page 94: Fenómenos de propagación en redes complejas' · Fenómenos de propagación en redes complejas Medus, Andrés Daniel 2015-06-12 Este documento forma parte de la colección de tesis

♦♦ st♦ást♦ ♥r③♦

q ♠str ♠♥t♦ ①♣♦♥♥ ♥♣♥♥t t a ♥ s♦ ♦♥ó♥ ♠♥s♠♦ ♥ ♣rr♥ s q s ♠♣♦♥P♦r ♦ s♦ó♥ ♦♥ ♠♥t♦ ①♣♦♥♥ s ♦♥sst♥t ♦♥ s♣r♣r ♥ ♠♥s♠♦ ♥ ♣rr♥ ♦♥ ♣♦ó♥ ♥♦♦s ♦♥st♥t❬rs ❪

①♣rsó♥ Nk(ℓ) s ♦t♥ ♣rtr ♣r ♥ s♣ t F (a) s♦♥s ♥ ♥str♦ s♦ ♦♥st♥t F (a) = δ(a−a0)♦ ② ♣♦t♥s F (a) ∝ a−ξ

20 40 60 80 100k

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

P(k)

(a)

q=0.1

q=0.3

q=0.9

40 60 80 100k

10−10

10−9

10−8

10−7

P(k)

101 102 103 104

k

10−7

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

101

P(k)

(b)q=0.1

q=0.3

q=0.9

r stró♥ r♦ Pℓ(k) = Nk(ℓ)/N0 ♣r ré♠♥ ♣♦ó♥♦♥st♥t stró♥ t F (a) = δ(a − a0) r ♠ ♥ t♠♣♦ ♦♥ N = 105 ② 〈k〉 = 20 stró♥ t F (a) ∝a−1.5 r ♠ ♦♥ N = 105 ② 〈k〉 = 200 ♥ ♠♦s s♦s ♦s sí♠♦♦s♦rrs♣♦♥♥ ♦s ♣r♦♠♦s s♦r 100 s♠♦♥s ♥♠érs ♣r q = 0.1ír♦s ♥r♦s q = 0.3 r♦s r♦♦s ② q = 0.9 trá♥♦s rs ♦♥ ♦t♦ s♠♣r s ♦s rá♦s ♣r st♥t♦s ♦rs q ♥s♦ s♣③♦s rt♠♥t ♥ t♦♦s ♦s s♦s s í♥s sós ♦rrs♣♦♥♥ s♦ó♥ ♥♠ér ♦ ♥tr ♥ ♦♥ ♦t♦ ♦t♥r Pℓ(k) = Nk(ℓ)/N(ℓ) ♥st ♥ t ♣r ♦rs r♥s k ♥ ♦♠♣rr ♦♥ ♠♥t♦ ①♣♦♥♥ s♦ó♥ ♣r♦①♠ ♣♦r í♥ tr③♦s

♥s②♠♦s s♠♦♥s ♦♠♣t♦♥s ♦rt♠♦ ♥r♥♦ rs ♦♥ ♥ ♣♦ó♥ ♦♥st♥t N = 105 ♥♦♦s ♣r s ♦s ♣ t F (a) ♦♥srs ♠tá♥♠♥t r③♠♦s ♥tró♥ ♥♠ér s ♦♥s ② ♦♥ ♥ ♦♠♣rr s str♦♥s r♦sPℓ(k) = Nk(ℓ)/N(ℓ) ♦♥ s ♦rrs♣♦♥♥ts ♣r s rs s s♠♦♥s r ♠str ♠② ♥ r♦ ♥tr s s♦♦♥s

Page 95: Fenómenos de propagación en redes complejas' · Fenómenos de propagación en redes complejas Medus, Andrés Daniel 2015-06-12 Este documento forma parte de la colección de tesis

♣ít♦ ♥ró♥ rs s♦s ♦♥ s ♠♣ír

♥íts Pℓ(k) ② s ♦t♥s s s♠♦♥s ♦rt♠♦ ♣rF (a) = δ(a−a0) r ② F (a) ∝ a−ξ r ♦♥ st♥t♦s ♦rs q

P♦ó♥ r♥t

s♦ tr♥t♦ ♥③♦ ♥ ssó♥ ♥tr♦r ♦rrs♣♦♥ s♠r♣♦ó♥ r♥t s r ♦♥srr γ > 0 ♥ ♦ r♣rtér♠♥♦s ♣ rsrrs ♦♠♦

dNk|a

dℓ=Nk−1|a

[

1

N(ℓ)

(

a

〈a〉 + 1− q + γ

)

+(k − 1)q

2L(ℓ)

]

− Nk|a

[

1

N(ℓ)

(

a

〈a〉 + 1− q + γ

)

+kq

2L(ℓ)

]

+ γδk1

♦♥ ♦r N(ℓ) = N0 + γℓ ② L(ℓ) = L0 + (1 + γ)ℓ ♦♥trr♦ ♦ q♦rrí ♣r s♦ ♦♥ ♣♦ó♥ ♦♥st♥t γ = 0 ♦r s ♣♦s ♦t♥rs♦♦♥s s♥tóts ♥♦trs ♥♦ ❬r♣s② ❪ ♣♦♥rs q st s s♦♦♥s s♠♥ ♦r♠ ♥r Nk|a(ℓ) = nk|aℓs♥♦ nk|a ♥ ♥ó♥ s♦♥♦ ♣♥♥t r♦ k ② ts t a ♥ í♠t s♥tót♦ ℓ → ∞ ♣ rs♦rs trés ♥ ♣r♦♠♥t♦ trt♦ rr♦♥♦ s♥t s♦ó♥ ♥r

nk|a = n1|a

k−1∏

j=1

2(γ + 1)(a/〈a〉+ 1− q + γ) + qγ j

2(γ + 1) (a/〈a〉+ 1− q + 2γ) + qγ (j+ 1)

s♥♦ n1|a s♦ó♥ ♦rrs♣♦♥♥t ♦r k = 1 ♣♦r

n1|a =2γ2(γ + 1)

2(γ + 1) (a/〈a〉+ 1− q + 2γ) + qγ.

ás á ①♣rsó♥ rr♦s♠♥t ①t ♣r nk|a ♣rt♥♠♦s qrr♥tó♥ ♣rtr ♥áss s ♦♠♣♦rt♠♥t♦ ♥ s♥r♦s ♣r♦①♠♦s q ♣r ♣♦ó♥ ♦♥st♥t ♦♠♥③r♠♦s ♦♥sr♥♦ stó♥①tr♠ ♥ q ♣ s♣rrs tér♠♥♦ ♥ ♣rr♥ ♥

(

a

〈a〉 + 1− q + γ

)

〈k〉ℓ ≫ qk

Page 96: Fenómenos de propagación en redes complejas' · Fenómenos de propagación en redes complejas Medus, Andrés Daniel 2015-06-12 Este documento forma parte de la colección de tesis

♦♦ st♦ást♦ ♥r③♦

s♥♦ 〈k〉ℓ = 2L(ℓ)/N(ℓ) r♦ ♠♦ ♦ ℓ ♥s r♦s ♦ ♣s♦s ♦rt♠♦

♥tr♦♥♦ ♣r♦①♠ó♥ ♥ ② sstt②♥♦ Nk|a(ℓ) =

nk|aℓ ♦t♥♠♦s s♦ó♥ s♥tót ♦rrs♣♦♥♥t st s♥r♦ ♣r♦①♠♦

nk|a ∼(

1 +γ

a/〈a〉+ 1− q + γ

)−(k−1)

q ♠str ♥ r♦ ♠♥t♦ ①♣♦♥♥

❱♠♦s ♦r ♣r♦①♠ó♥ tr♥t

(

a

〈a〉 + 1− q + γ

)

〈k〉ℓ ≪ qk .

♦ ♦♥ó♥ t♦♠ s♥t ♦r♠ s♥tót

nk|a ∼ k−1−2(γ+1)

q ,

♠♦str♥♦ ♥ ♦♠♣♦rt♠♥t♦ t♣♦ ② ♣♦t♥s ♦♥ ①♣♦♥♥t α =

1 + 2(γ+1)q

q rst α > 3 ♥♦ 0 < q ≤ 1 ② γ > 0 ❯♥ ♦♥s♥♠♣♦rt♥t s q nk|a rst ♥♣♥♥t a ♠♦♦ q Nk(ℓ) r é♥t ♣r♦♣ ♦♣t♥♦ ♠s♠♦ ①♣♦♥♥t ♥ s ♦r♠s♥tót

Nk ∼ k−1−2(γ+1)

q .

♥ q ♦♠♣♦rt♠♥t♦ s♥tót♦ t♣♦ ② ♣♦t♥s♠♦str♦ ♣♦r Nk(ℓ) rst ♥♣♥♥t ♣ t F (a) ② s s♦st♥ s♦♦ ♣rtr ♠♥s♠♦ rr trá♦ ♠♥t ♦♠♥ó♥ ♥ tér♠♥♦ ♥ ♣rr♥ ♦♥ r♠♥t♦ ♣♦♦♥ r stró♥ r♦s t♣♦ ② ♣♦t♥s t ♦♠♦ s st ♥❬rs ❪

♥ r s ♦sr ♠② ♥ r♦ ♥tr ♦s rst♦s ss♠♦♥s ♥♠érs ② s♦ó♥ ♥ít ♣r P (k) ♦F (a) = δ(a − a0) ♥ í♥ tr③♦s s ♣rs♥t♥ s♣r♣sts s s♦♦♥s♣r♦①♠s q ♣r♦♥♥ s ② r ♣rs♥t é♥t♦♠♣ró♥ ♥q ♥ st s♦ ♦♥sr♥♦ F (a) ∝ a−ξ ♦♥ ξ = 1.5

♥ s rs ② ♣ rs q ♦♠♣♦rt♠♥t♦ P (k)

♣r F (a) ∝ a−ξ s ♦♠♥♦ ♣♦r st út♠ ② ♣♦t♥s ♥ ró♥♥tr♠ ♦s ♦s s♦s ①tr♠♦s ♥③♦s

Page 97: Fenómenos de propagación en redes complejas' · Fenómenos de propagación en redes complejas Medus, Andrés Daniel 2015-06-12 Este documento forma parte de la colección de tesis

♣ít♦ ♥ró♥ rs s♦s ♦♥ s ♠♣ír

50 100 150 200 250 300k

10−7

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

101

102P(k)

(a)q=0.1

q=0.2

q=0.3

100 101 102 103

k

10−7

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

101

102

P(k)

(b)(b)(b)q=0.8

q=0.9

q=1.0

r str♦♥s r♦ Pℓ(k) = Nk(ℓ)/N(ℓ) ♣r ré♠♥ ♦♥ ♣♦ó♥ r♥t ② F (a) = δ(a − a0) ♣r rs ♠s ♥ t♠♣♦ ♦♥♣♦ó♥ ♥N = 105 ② 〈k〉 = 20 ♦s sí♠♦♦s ♦rrs♣♦♥♥ ♣r♦♠♦s s♦r100 s♠♦♥s ♥♠érs ♣r q ∈ 0.1, 0.2, 0.3 ② q ∈ 0.8, 0.9, 1.0s í♥s sós ♦rrs♣♦♥♥ s s♦♦♥s ♥♠érs ♣r♦♣♠♥t ♥♦r♠③ ♣r ♦t♥r P (k) s t♥♥s s s♦♦♥ss♥tóts s s ② r♦♥ rs ♠♥t í♥s tr③♦s♠♥t ♦s rá♦s ♦rrs♣♦♥♥ts r♥ts ♦rs q ♥ s♦ ♦♥♥♥t♠♥t s♣③♦s ♣r tr s s③ó♥

♦rr♦♥s r♦ t♦ ♦r♥

♥ st só♥ ♥③r♠♦s s rtrísts s ♦rr♦♥s r♦r♣rs♥ts ♣rtr ♦s ♥♦rs r♦ ♠♦ ♦s ♣r♠r♦s ♥♦sknn(k) ② ♦♥t str③ó♥ ♠♦ C(k) ♠♦s ♥ ♥ó♥ r♦ k ♦♠♦ ♠♦s ♠♥♦♥♦ s ♦rr♦♥s r♦ t♦ ♦r♥♦♥stt②♥ ♥ s♥tr s rs ♦r♥ s♦ s ♣♦r ♦ q ♦t♦r♠♦s ♣rtr t♥ó♥ st s♣t♦ ♦ ♦st♥t ♦r♠ó♥ ♥ít♥ st♦s s♦s s t♦r♥ rá♣♠♥t ♥trt ♣♦r ♦ q s♦♦ ♦rr♠♦s ♥trt♠♥t♦ ♥♠ér♦ ♣rtr s♠♦♥s ♥str♦ ♠♦♦

r♦ ♠♦ ♣r♠r♦s ♥♦s

❯♥ ♠ó♥ ♥rt ♦rró♥ r♦s s♥♦ ♦r♥ ♣♦t♥rs ♣rtr á♦ r♦ ♠♦ ♦s ♥♦♦s r♦ k knn(k)

Page 98: Fenómenos de propagación en redes complejas' · Fenómenos de propagación en redes complejas Medus, Andrés Daniel 2015-06-12 Este documento forma parte de la colección de tesis

♦rr♦♥s r♦ t♦ ♦r♥

100 101 102 103 104

k

10−10

10−9

10−8

10−7

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100101

P(k)

ξ = 1.5

(b)q=0.8

q=0.9

q=1.0

102 103 104 105 106

k

10−1310−1210−1110−1010−910−810−710−610−510−410−310−210−1

P(k)

100 101 102 103 104

k

10−9

10−8

10−7

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

101

P(k)

(a)(a)(a)

q=0.1

q=0.2

q=0.3

r stró♥ r♦ Pℓ(k) = N(ℓ)k/N(ℓ) ♣r ré♠♥ ♣♦ó♥ r♥t ♦♥ F (a) ∝ a−1.5 rs ♦♥ ♣♦ó♥ ♥ N = 105 ② 〈k〉 = 200♦s sí♠♦♦s ♦rrs♣♦♥♥ ♣r♦♠♦s s♦r 100 s♠♦♥s ♥♠érs ♣r q ∈ 0.1, 0.2, 0.3 ② q ∈ 0.8, 0.9, 1.0 ás í♥s sós ♦rrs♣♦♥♥ s s♦♦♥s ♥♠érs ♣r♦♠s ♠♥t ② ♣r♦♣♠♥t ♥♦r♠③ ♣r ♦t♥r P (k) ♦♥ ♦t♦ s♠♣r s ♦s rá♦s ♣r st♥t♦s ♦rs q ♥ s♦ s♣③♦s rt♠♥t ♥ t♦♦s ♦s s♦s ás í♥s sós ♦rrs♣♦♥♥ s s♦♦♥s♥♠érs ♣r♦♣♠♥t ♥♦r♠③ ♣r ♦t♥r P (k) st♥♥s s s♦♦♥s s♥tóts s s ② r♦♥ rs♠♥t í♥s tr③♦s ♥st ♥ t ♣r ♦rs r♥s k ♥ ♦♠♣rr ♦♥ ♠♥t♦ t♣♦ ② ♣♦t♥s s♦ó♥ s♥tót♣r♦①♠ ♣♦r í♥ tr③♦s

♦r♠♠♥t ♥ ♦♠♦ ❬Pst♦rt♦rrs ❪

knn(k) =∑

k′

k′P (k′|k) ,

♦♥ P (k′|k) s ♣r♦ ♦♥♦♥ q t♥ ♥ ♥♦♦ r♦ k str ♦♥t♦ ♦tr♦ ♦♥ r♦ k′ st ♦r♠ ♣♥♥ knn ♦♥k ♥t ①st♥ ♦rró♥ r♦r♦ ♥ ♣rtr ♥ q♦s s♦s ♣r ♦s s knn r r ♦♥ k r♠♦s q r ♣rs♥ts♦rtt s♦rtt r♦ ❬♠♥ ♠♥ ❪ s♦rtt r♦ s ♣rs♠♥t ♦♠♣♦rt♠♥t♦ q ♦sr♠♦s ♣r ré♠♥ ♣♦ó♥ r♥t t♥t♦ ♦♥ F (a) ♦♥st♥t ♦♠♦ ② ♣♦t♥st ♦♠♦ s ♦sr ♥ r ② P♦r ♦♥trr♦ ♠♦♦ ♦♥ ♣♦ó♥ ♦♥st♥t ② F (a) = δ(a− a0) ♣rs♥t ♥ rá♦ s♦♥st♥t

Page 99: Fenómenos de propagación en redes complejas' · Fenómenos de propagación en redes complejas Medus, Andrés Daniel 2015-06-12 Este documento forma parte de la colección de tesis

♣ít♦ ♥ró♥ rs s♦s ♦♥ s ♠♣ír

10 20 30 40 50 60 70 80k

101

102

knn(k)

(a)q=0.00

q=0.30

q=0.50

q=0.70

q=0.80

q=0.90

100 101 102 103

k

101

102

knn(k)

(b)

10 20 30 40 50 60 70 80k

101

102

knn(k)

(c)

100 101 102 103

k

101

102

knn(k)

(d)

r r♦ ♠♦ ♣r♠r♦s ♥♦s ♥ ♥♦♦ ♦♥ r♦ k knn(k) ♣r♣r s rs ♦t♥s ♠♥ts ♠♦♦ ♦♥ ♣♦ó♥ ♥ N = 105

② 〈k〉 = 20 ♥ ② ♠♥trs q N = 104 ② 〈k〉 = 20 ♣r ② ♦ssí♠♦♦s ♦rrs♣♦♥♥ ♦s ♣r♦♠♦s s♦r 100 s♠♦♥s ♥♠érs ♦s s♥ts ♦♥♦♥s P♦ó♥ ♦♥st♥t ② ♣ t F (a) =δ(a − a0) ♣♦ó♥ r♥t ② ♣ t F (a) = δ(a − a0) ♣♦ó♥ ♦♥st♥t ② ♣ t F (a) ∝ a−1.5 ♣♦ó♥ r♥t ②♣ t F (a) ∝ a−1.5

knn(k) r st ♦♠♣♦rt♠♥t♦ s ♦♠♣t ♦♥ ♦rrs♣♦♥♥t rs t♦rs rösé♥② ♣r s s knn(k′) = 〈k〉 ∀k′♥q ♥ r ♠♦strr♠♦s q t ♦rrs♣♦♥♥ s s♦♦ ♣r Pr s♦ tr♥t♦ ♦♥ F (a) ∝ a−1.5 rá♦ knn(k) s t♠é♥ ♣♥♦ ♥q♠♥t s♦rtt♦ r

Pr s♦ ♣rtr ♦♥ q = 0 ② γ = 0 ♣ ♠♦strrs r ♣é♥ ♣r ♥ ró♥ ♦r♠ q s sts s♥t ② s q

Page 100: Fenómenos de propagación en redes complejas' · Fenómenos de propagación en redes complejas Medus, Andrés Daniel 2015-06-12 Este documento forma parte de la colección de tesis

♦rr♦♥s r♦ t♦ ♦r♥

10−2 10−1 100

(2〈a〉/〈k〉)k10−4

10−3

10−2

10−1

100

(2〈a〉/〈k〉)(

knn(k)−

1)−2〈a〉

(a) 〈k〉=100〈k〉=200〈k〉=400

10−2 10−1 10010−4

10−3

10−2

10−1

100

q = 0.5

10−3 10−2 10−1 100

(2〈a〉/〈k〉)k10−4

10−3

10−2

10−1

100

(2〈a〉/〈k〉)(

knn(k)−

1)−2〈a〉

(b)

q=0.00

q=0.10

q=0.20

q=0.30

q=0.50

q=0.90

r r♦ ♠♦ ♣r♠r♦s ♥♦s ♥ ♥♦♦ r♦ k rs♦♣r rs ♠s ♥ t♠♣♦ ♦t♥s ♠♥ts ♠♦♦ ♦♥♣ t F (a) ∝ a−1.5 ② ♣♦ó♥ ♦♥st♥t N = 104 ♦s sí♠♦♦s♦rrs♣♦♥♥ ♣r♦♠♦ s♦r 100 s♠♦♥s ♥♠érs ♦♣s♦ ss♦♦♥s ♣r q = 0 ② 〈k〉 = 100 200 ② 400 ♥st ♦rrs♣♦♥ q = 0.5 í♥ tr③♦s r♣rs♥t ♣ró♥ ♥ó♥ s knn(k) rs♦ ♣r st♥t♦s ♦rs q ≥ 0

♥♦r knn(k)

2〈a〉〈k〉

(

knn(k)− 1)

− 2〈a〉 ≃ (〈a2〉 − 〈a〉2)(

2〈a〉〈k〉 k

)−1

.

♥ r s ♠str ♦♣s♦ ♣r♦ ♣♦r ② s ♣r r♥ts ♦rs 〈k〉 ♦♥ q = γ = 0 s ♠② í r♥ ①♣rsó♥ s♠r ♣r q > 0 ♦ s ♦rr♦♥s♦s ♥s ♣♦r ♠♥s♠♦ ♦ ♦st♥t ♥ r ♠♦sr♦ (2〈a〉/〈k〉)

(

knn(k)− 1)

− 2〈a〉 ♦♠♦ ♥ó♥ 2〈a〉k/〈k〉 ♣r q > 0♠♦str♥♦ q ①str ♥ ♥ó♥ s ♦♠♦ sr ♥st r ♣r q = 0.5 st rá ♣rs♥tr ♥ ♣♥♥ ♦♥ q ♦r♠(2〈a〉/〈k〉)

(

knn(k)− 1)

− 2〈a〉 ≃ F qscal (2〈a〉k/〈k〉)

Page 101: Fenómenos de propagación en redes complejas' · Fenómenos de propagación en redes complejas Medus, Andrés Daniel 2015-06-12 Este documento forma parte de la colección de tesis

♣ít♦ ♥ró♥ rs s♦s ♦♥ s ♠♣ír

♦♥t str③ó♥

tr♦ ♥♦r ①st♥ ♦rr♦♥s r♦ s ♦♥t str③ó♥ ♠♦ C(k) ♥♦ ♥ ♦♠♦

C(k) =1

Nk

i∈Deg(k)

Ci,

♦♥ Deg(k) s ♦♥♥t♦ ♥♦♦s ♦♥ r♦ k ♦♥ Nk s r♥ ② Ci s ♦♥t str③ó♥ ♦ ♥♦ ♥

♦♥t str③ó♥ s ♥♥tr s♦♦ ♦♥ r♥ ♣ró♥ ♥s tr♥st♦s ♦ st♦ ♥ ♦r♠ ♦♠étr ♦♠♦ ♣r♦ ♦rr♥ trs ♥♦♦s ♥tr♦♥t♦s trá♥♦s ♥ rs rs ♦r♥ s♦ s♠♥t ①♥ ♥ ② s ♣r C(k)

C(k) ∼ k−β ,

②♦ ①♣♦♥♥t sts β . 1 ♣r ♠s s rs ♥③s ♥ trtr ❬♠ ❪ st ② s s sts ♣♦r s rs ♠s ♥ t♠♣♦ ♥rs ♠♥t ♠♦♦ t ♦♠♦ s ♠str ♥ r st ♦♠♣♦rt♠♥t♦ ♠str q s rs ♥rs ♠♥t ♦♥♣♦ó♥ ② ♣ t ♦♥st♥ts ♥♦ s ♦♠♣♦rt♥ ♦♠♦ rs t♦rs ♦♠♦ srí r ♦ q ♥ ♦ s♦ rí♥ ♣rs♥tr C(k) ♦♥st♥t ♦rrs♣♦♥♥t rs t♦rs ② ①♣rsó♥ ①t s❬♦r♦♦ts ❪

C(k) =(〈k2〉 − 〈k〉)2

N〈k〉3 .

P♦r út♠♦ ♥ r ♠♦str♠♦s ♦♥t str③ó♥ ♣r♦♠♦ r ♥♦ ♦♠♦

C =1

N

N∑

i=1

Ci =∑

k

P (k)C(k),

♥ ♥ó♥ ♣r♦ q ♦sr ♥ ♦♠♣♦rt♠♥t♦ r♥t C ♦♥ q t ♦♠♦ rst s♣r ♣♦r ♥ó♥

Page 102: Fenómenos de propagación en redes complejas' · Fenómenos de propagación en redes complejas Medus, Andrés Daniel 2015-06-12 Este documento forma parte de la colección de tesis

s♦s st♦

100 101 102

k

10−4

10−3

10−2

10−1

100

101

C(k)

(a)

q=0.20

q=0.30

q=0.50

q=0.80

q=0.90

100 101 102 103

k

10−4

10−3

10−2

10−1

100

101

C(k)

(b)

100 101 102

k

10−4

10−3

10−2

10−1

100

101

C(k)

(c)

100 101 102 103

k

10−4

10−3

10−2

10−1

100

101

C(k)

(d)

r ♦♥t str③ó♥ ♠♦ C(k) ♦♠♦ ♥ó♥ r♦ k♣r rs ♠s ♥ t♠♣♦ ♦t♥s ♠♥t ♠♦♦ ♦♥♣♦ó♥ ♥ N = 105 ② 〈k〉 = 20 ♥ ② ♠♥trs q N = 104 ②〈k〉 = 20 ♣r ② ♦s sí♠♦♦s ♦rrs♣♦♥♥ ♦s ♣r♦♠♦s s♦r 100s♠♦♥s ♥♠érs ♦ s s♥ts ♦♥♦♥s P♦ó♥ ♦♥st♥t② ♣ t F (a) = δ(a− a0) ♣♦ó♥ r♥t ② ♣ tF (a) = δ(a− a0) ♣♦ó♥ ♦♥st♥t ② ♣ t F (a) ∝ a−1.5 ♣♦ó♥ r♥t ② ♣ t F (a) ∝ a−1.5 ♠str♥ ♦♠♦ rr♥í♥s tr③♦s ♦♥ ♣♥♥t −1 ♦rrs♣♦♥♥ts C(k) ∼ k−1

s♦s st♦

♥ st só♥ str♠♦s ♦s ♠♣♦s rs s♦s ♦♥ ♥ tr ♥ ♦♠♣ró♥ ♦♥ ♦s rst♦s ♠♦♦ ♦♠♣ró♥ srás♠tt ♦ q ♥♦ ♣rt♥♠♦s r♣r♦r ♦♥ ①tt ♦s rst♦s ♥ r s♦ ♥ ♣rtr ♣r ♦ ♥strí♠♦s ♥♦r♣♦rr ♠ás ♣rá

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♣ít♦ ♥ró♥ rs s♦s ♦♥ s ♠♣ír

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0q

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

C

without growth

with growth

0.1 0.3 0.5 0.7 0.9q

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

C

r ♦♥t str③ó♥ ♣r♦♠♦ C ♣r r ♥ ♥ó♥ ♣r♦ q ♥ ♦♦s ♦s rst♦s ♦rrs♣♦♥♥ ♣r♦♠♦ss♦r 100 r③♦♥s ♦♥ N = 104 〈k〉 = 20 ② F (a) ∝ a−1.5 ♥strst♦s ♣r ♠♦♦ ♦♥ ♦s ♣rá♠tr♦s ♣r♦s ♣r♦ ♦♥ t♦♥st♥t F (a) = δ(a− a0)

♠tr♦s ② ♠♥s♠♦s s♣í♦s ♠♦♦ s♥♦ s♦♦ ①trr ss rtrísts♥♠♥ts

♣r♠r s♦ q ♥③r♠♦s ♦rrs♣♦♥ ♥ st♦ ①♣r♠♥t ♦♥tt♦s s♦s ♣♦r ♣r♦①♠ r③♦ ♣♦r ♦♦ró♥ ♦♦Pttr♥stt♣s♦♦♣ttr♥s♦r ♦♥ ♦t♦ rstrr ♦s ♦♥tt♦ss♦s ♥tr ♦s sst♥ts ♥ r♥ó♥ s♦ s s♣♦♥♥ ♠s♦rs r♦r♥ ♥ t♦rs♦ ♥♦s ♠t♥♦ ♣s♦s ♦rrs♣♦♥♥ts st♦ ♦♥ rs♦ó♥ t♠♣♦r s♥♦s ② ♥ ♥ ∼ 1♠❬ttt♦ ❪ st ♠♦♦ ①♣r♠♥t♦ ♥♦ s♦♦ rstr ♦s ♥♥tr♦ss♥♦ t♠é♥ s ró♥ ❯♥♦ st♦s ①♣r♠♥t♦s r③♦ r♥t ♦♥r♥ ②♣rt①t r③ ♥ r♥ t ♥ s rstrr♦♥ ♦s ♦♥tt♦s s♦s r♥t ♦s ♦s ís ♦♥r♥ ♥♦s♦tr♦strr♠♦s s♦♦ ♦♥ ♦s t♦s ♣r♦♥♥ts ♣r♠r í r ♥t♦♥ N = 113 ♥♦♦s ② L = 2196 ♥s r♦♥s ❬s ❪

s♥♦ s♦ q ♥③r♠♦s s ♥ sr♦ r s♦ ♦♦ ♦rrs♣♦♥♥♦ N = 63731 sr♦s ♦♥ Ncc = 63392 ≈ 0.995 × N

♥tr♥♦ ♠á①♠ ♦♠♣♦♥♥t ♦♥t ♣rt♥♥ts r♥s ♦s♥ ❯❯ ♥♦s ♣♦r L = 817090 ♥s q r♣rs♥t♥ r♦♥s ♠st r♦♥s sr♦ r♣♦rt♦

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s♦s st♦

♥ ❬❱s♥t ❪ ♦♠♦ ♥ s♦ ♥tr♦r st r♦ t♠é♥ ♣♦rt ♥♦r♠ó♥ t♠♣♦r trés ♦♠♥③♦ ♠st ♦♥trr♦ ♦ q ♦rr ♦♥ r ① r♠♥t♦ ♣♦ó♥ ♥ ♥♦♥t①t♦ s♥ rstr♦♥s s♣s ♥trs

Pr♦♣s t♦♣♦ós

20 40 60 80 10010−4

10−3

10−2

P(k)

(a)

HT09

20 40 60 80 100

(b)

GSG model

10110−1

100

C(k)

(c)

HT09

101 102

(d)

GSG model

101

k

101

102

knn(k)

(e)

HT09

101 102

k

(f)

GSG model

r stró♥ r♦ P (k) ♦♥t str③ó♥ ♠♦ C(k)② r♦ ♠♦ ♣r♠r♦s ♥♦s knn(k) ♣r r ♠♥ t♠♣♦ ② ♣r ♠♦♦ ♦♥ ♣♦ó♥ ♦♥st♥tN = 113 〈k〉 = 38.9 ♣r♦ q = 0.8 ② ♣ t t♣♦ ② ♣♦♥t♥s ♦♥ ①♣♦♥♥t ξ = 0.79

♥ r s ♠str P (k) C(k) ② knn(k) ♣r r ♥ ♥t♦ stró♥ r♦s P (k) ♣rs♥t ♥ ♦♠♣♦rt♠♥t♦ P♦ss♦♥♥♦♣r k ♣qñ♦ ♦♥ ♥ ♠♥t♦ ♣r♦①♠♠♥t ①♣♦♥♥ ♦♠♣t♦♥ ♦t♥♦ ♣r ♥str♦ ♠♦♦ ♦♥ ♣♦ó♥ ♦♥st♥t r r P♦r ♦♥trr♦ r ♠str ♥ P (k) ♦♥ ♥ ♦♠♣♦rt♠♥t♦ t♣♦ P (k) ∼ k−α ♦♥ α ≈ 3.4 ♣r k r♥s r r st út♠♦ ♦♠♣♦rt♠♥t♦ t♠é♥ rst ♦♠♣t ♦♥ ♦sr♦ ♣r ♣r♦ ♥ st s♦ ♦♥ ♣♦ó♥ ♥♦♦s r♥t ♠♦♦ t♥t♦

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♣ít♦ ♥ró♥ rs s♦s ♦♥ s ♠♣ír

C(k) ♦♠♦ knn(k) ♣r s rs ② ①♥ tt♠♥t ♠s♠♦♦♠♣♦rt♠♥t♦ q ♥str♦ ♠♦♦ ♣r ♣♦ó♥ ♦♥st♥t ② r♥trs♣t♠♥t

100 101 102 10310−8

10−7

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

P(k)

(a)

FG

100 101 102 103

(b)

GSG model

101 102 103

10−2

10−1

100

C(k)

(c)

FG

101 102 103

(d)

GSG model

100 101 102 103

k

101

102

knn(k)

(e)

FG

100 101 102 103

k

(f)

GSG model

r stró♥ r♦ P (k) ♦♥t str③ó♥ ♠♦ C(k)② r♦ ♠♦ ♣r♠r♦s ♥♦s knn(k) ♣r r ♠ ♥ t♠♣♦ ② ♣r ♠♦♦ ♣r ♣♦ó♥ r♥t ♦♥N = 63731 〈k〉 = 25.6 ♣r♦ ♥s q = 0.8 ② ♣ t t♣♦ ② ♣♦♥t♥s ♦♥ ①♣♦♥♥t ξ = 1.5

Pr ♣rsr ♦♠♣ró♥ ♣árr♦ ♣r♦ r③♠♦s ♥ s♠ó♥ ♠♦♦ ♦♥ ♣♦ó♥ ♦♥st♥t N = 113 L = 2196 k〉 = 38.9♦♥ ♥ ♣ t ♦r♠ F (a) ∼ a−ξ ② ♥♦ ♣r♦ rr trá♦ q = 0.8 ② ó♥ srá st ♥ r st ♠♦♦ ú♥♦ ♣rá♠tr♦ st ♥str♦ ♠♦♦ rst ①♣♦♥♥t ξ F (a)st♥♦ ξ ♣♦r ♠ét♦♦ ♠á①♠ r♦s♠t s♥♦ ♠♦♦ ♦♥ ♣♦ó♥ ♦♥st♥t s♦r ♦s t♦s ♦rrs♣♦♥♥ts P (k) ♣r r ♦t♠♦s rá♦ r st s r③ó ♦♥sr♥♦ξ ∈ [0.5, 3] ♦♥ ♥ ♣s♦ r δξ = 0.01−0.1 ♦s rá♦s s rs ② ♥♦ r♦♥ st♦s s♥♦ q ♦rrs♣♦♥♥ ♦s ♣rá♠tr♦s ♣r♠♥t♦s ② ξ ♦t♥♦ st P (k) ♦♠♣♦rt♠♥t♦ ♠♦♦ rst♥ t♦♦s ♦s s♦s tt♠♥t s♠♥t ♦sr♦ ♣r r r

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s♦s st♦

♥ ♥t♦ r ♣r♦♠♦s é♥t ♦r♠ ♥q ♥ st s♦st♥♦ trés ♠♦♦ ♦♥ ♣♦ó♥ r♥t ♣rt♥♦ ♥♣♦ó♥ ♥N0 = 100 ♦♥ ♥ ts r♠♥t♦ ♥♦♦s λ = N/L s♥♦N = 63731 ② L = 817090 ♥t ♥♦♦s ② ♥s ♥s ♥str r♥r rs♣t♠♥t r rs ②

♥s♠♦ ♥ rs rs

♦ q t♥t♦ r ♦♠♦ ♥t♥ ♦♥ t♦s s ♦ó♥t♠♣♦r ♦♥ ♥ rs♦ó♥ s ♣♦s ♥③r s ♠♥s♠♦ t♥ ♦♥♦ r ♥ ♦s s♦s Pr ♦ s lt = (i, j)t ♥ q ♠r t♠♣♦t ♥♥♦ ♦s ♥♦♦s i = lt(1) ② j = lt(2) P♦r ♦tr ♣rt s d(lt, t) st♥♥tr ♦s ♥♦♦s ♥ ♥st♥t ♥♠t♠♥t ♣r♦ ♣ró♥ lt st ♠♦♦ q♦s ♥s lt ♣r ♦s s d(lt, t) = 2 ♠♦s ♥str♥st♦s s♦♥ ♣r♦t♦ ♥ ♠♥s♠♦ qr s s ♦r♥

♦ ♥♠♦s Nd(T ) ♦♠♦ ♥ú♠r♦ ♠♦ ♥s ♦♥ d(lt, t) = d

♣r t < T s♠s♠♦ ♥♠♦s d(lt, t) = 0 ♥♦ ♥♦ ♦s ♥♦♦s lt(1)

♦ lt(2) s ♥♦ ♥ r ② d(lt, t) = ∞ ♥♦ ♥♦ ①st ú♥ ♠♥♦ qr st♥ q ♥ ♦s ♥♦♦s ♣r♦ ♦♥ró♥ lt ♦q ♥♦ s ♣r♠t♥ ♠út♣s ♥s ♥tr ♥♦♦s ♦♥sr♠♦s Nd=1(T ) = 0♦ ♦ ♥tr♦r stró♥ st♥s ♣ ♥rs ♦r♠♠♥t ♦♠♦

PT (d) = lımL→∞

Nd(T )

L

s♥♦ L =∑

i∈N0Ni(T ) ♥ú♠r♦ t♦t ♥s

stró♥ st♥s PT (d) ♣♥ ♦r♥ t♠♣♦r ♦s ♥s ltt≤T ② s ♣♦r st ♠♦t♦ q ♣r♦ ♥♦r♠ó♥ ♦s r ♠♥s♠♦ r♠♥t♦ r ♦♥ ♦t♦ rr s s q ①st♥ ♠♥s♠♦ q ♣r ♣ró♥ ♥s tr♥st♦s d = 2 ♣r ♦ss♦s qí ♥③♦s ♦♠♣r♠♦s stró♥ PT (d) ♣r ♦r♥ t♠♣♦rr ♦s ♥s l1, l2, ..., lT ♦♥ stró♥ ♣r♦♠♦ 〈PT (d)〉rand s♦r100 ♣r♠t♦♥s t♦rs lσtt=1,...,T ♥ ♣r♠tó♥ t♦r ♦♥σt ∈ Perm(T ) ♣rt♥ ♦♥♥t♦ ♣r♠t♦♥s T í♥s Perm(T ) ♥t♦♥s lσtt=1,...,T ♥r ①t♠♥t ♠s♠ r ♠ t♠♣♦T ♣r♦ ♦♥ ♥ stró♥ P σ

T (d)

r ♠str PT (d) ♣r s rs r ② r ♥t♦ ♦♥ 〈PT (d)〉rand ♥ s♦ ♥ ♠♦s s♦s s ♦sr

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♣ít♦ ♥ró♥ rs s♦s ♦♥ s ♠♣ír

2 3 4 5 6d

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

PT(d)

(a)HT

HT random order

2 3 4 5 6d

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

PT(d)

(b)FB

FB random order

r stró♥ ♣r♦ st♥s PT (d) ír♦s ③s② ss ♦rrs♣♦♥♥ts ♦rs ♣r♦♠♦ s♦r 100 ♣r♠t♦♥s t♦rs ssó♥ r ♥s ♦r♥ ♥ t♠♣♦ r♦s r♦♦s ♣r r ♦♥tt♦s rr ② sr♦ ♠sts ♦♥♥ ♦srr♦rs st♥r rst♥ ♠ás ♣qñ♦s q ♦s sí♠♦♦s

♥ r♥s s♥ts ♥tr PT (d) ② 〈PT (d)〉rand ♥ ♣rtr PT (d) <

〈PT (d)〉rand ♣r d > 2 ♠♥trs q PT (2) > 〈PT (2)〉rand ♣r ♠s rs ② rt sr♣♥ ♣r d = 2 ♣ ♥trs ♣rtr á♦ zs♦r ♥♦ ♦♠♦

z =PT (2)− 〈PT (2)〉rand

σrand

,

♥♦ ♣♦r rst♦ zHT = 32 ② zFG = 185 P♦r ♦tr ♣rt ♦s ♥str♥st♦s rst♥ r♠♥t ♣r♦♠♥♥ts ♥ ♠♦s s♦s ♥③♦s ♦♥PT (2) = 0.91(2) ♣r ② PT (2) = 0.77(4) ♣r st♦s ♦ ♥ ♥t ♥ rt t♦ ♠♠♦r ♥ ♠♥s♠♦ r♠♥t♦ r q r ♥ ♣r♦♠♥♦ ♥s ♦ tr♥st♦s

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♣ít♦

Prsst♥ sr♠♣ó♥ s♦r

rs s♦s

❮♥ ♠♦♦

r s♦

ss tr♥só♥

Ps♦ t♠♣♦r

♣r♦①♠ó♥ ♠t♥♦♠

♥áss ♣rsst♥

①t♥♦♥s ♣♦st♣é♠s ♦♥ ♠♣♦rtó♥ ♣r♠♥♥t

♥t♦s

♠♦s s♦ ♣s♦ ♠t♠át♦ ♥és r rttt ♠♦stróq ♥ r ♣r♥ sr♠♣ó♥ rst ♥é♠♦ ♦st♦r♦ ♥ sr♥s ♦♥ ♣♦ó♥ > 250000 ♠♥trs q ♣rs♥t ①t♥♦♥s ②rr♦ts ♥ s ♣qñs s sí ♦♠♦ ♥ó ♥ t♠ñ♦ rít♦ ♦♠♥

250000 − 500000 ♣♦r ♥♠ s ♦srrí ♣rsst♥ sr♠♣ó♥ ♥ ♣♦♦♥s ss ❬rttt rttt ❪ ♦ ♦st♥t♠♦♦s ♠ás s♦st♦s ♠♦strr♦♥ q ♠r ♣r♦♣st♦ ♣♦r rttt srt♠♥t ♣♥♥t s str♦♥s ♦s t♠♣♦s rtríst♦s tr♥só♥ ♥tr ♦s st♥t♦s st♦s ❬♥ ♦② ❪

P♦r ♦tr ♣rt t♠é♥ s ♠♦stró q ♣♥ s tr♦♥s ♥ s r♥s ♦♥tt♦s ♥tr ♦s st♥t♦s r♣♦s tr♦s ② t♦rs st♦♥s ♥♦s ♦♥ ♦ t♦ ❬♦r ♦r ❪♥ ♠r♦ s ♦ ♠② ♣♦ t♥ó♥ ♠♣t♦ s tr♦♥s ♦♥tt♦s ♥tr ♥♦s r♥t♠♥t sr♣t♦s ♠♥t ♥ r♦♠♣ ♥tr s sss ①♣♦♥s ♣♦♠♦s tr tr♦ tt ♥ ② ♦♦r♦rs ❬♥ ❪ r ♠♦♦ ♣r♦①♠ó♥ ♣rs

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♣ít♦ Prsst♥ sr♠♣ó♥ s♦r rs s♦s

♦♥sst♥t ♥ ♣r♦①♠r ♥♦♥s ♦rró♥ 3 r♣♦s ♦♠♦ ♣r♦t♦s ♦rr♦♥s 2 r♣♦s ♣♦ ♣r♦♣ó♥ ♥ ♥r♠ ♥♦s s♦r ♥ r ♦♠♣ P♦r ♦tr ♣rt t♠é♥ str tr♦ ❱rs ② ♦♦r♦rs ❬❱rs ❪ ♦♥ ♦s t♦rs st♥ ♦s t♦s ♣r♦♣ ♠♥♦ ♣qñ♦ ♥ ♦s r♦ts rrr♥ts sr♠♣ó♥ trés st♦s ♥♦qs s ①♣♦r♦ ♠♣t♦ stró♥ r♦s② ♦ s♠♦ s ♦rr♦♥s ♦s r♣♦s ♥tr ♦s r♦s ♦s ♥♦♦s ♥♠r♦ sú♥ ♥str♦ sr ② ♥t♥r st ♠♦♠♥t♦ s s♦♥♦ s ①st♥ ♦rr♦♥s ♦s ♦r♥ s♣r♦r ♥tr ♦s ♥♦♦s ♦♠♦ ssr♣ts ♣♦r ♦♥t str③ó♥ C r t♥♥ ú♥ ♠♣t♦♥ ♣tró♥ ♣rsst♥ sr♠♣ó♥

♥ st ♣ít♦ ♣rs♥t♠♦s ♥ ♠♦♦ st♦ást♦ ② s♦ ♥ ♥♦ ♣r str ♣r♦♣ó♥ sr♠♣ó♥ ♥ t♣ ♣r♥ó♥ ♣rtr ♠♦str♠♦s q ♣rsst♥ s♠♥② ♥r♠♥tr C strtr ♦rr♦♥s ♦s r srá ♦♥tr♦ ♣rtr ♣r♦ ♥s tr♥st♦s q ♥tr♦ ♥ ♠♦♦ ♥r♦r rs s♦s ♣ít♦

♠♦♦

❯♥ ♠♦♦ ♦♠♣rt♠♥t s♣t①♣st♦♥t♦rtr♦ t♣♦ st♦ást♦ rst ♠ás ♣r♦♣♦ ♣r srr ♣rsst♥ sr♠♣ó♥ ❯t③♠♦s ♣r ♦ s♠♦♥s ♥♠érs ss ♥ ♥♦ ♦♥sr♥♦ s rs ♥rs ♥ ♣ít♦ ♣r♥t

♥t r ♣ ♦♣tr ♥♦ ♦s tr♦ st♦s ♣♦ss ss♣t ①♣st♦ ♥t♦ ♦ rrtr♦ ❯♥ ♥t ss♣t s♦♦ ♣♦♥trr sr♠♣ó♥ ♥♦ ss ♥♦s rt♦s ♥t♦s ♣r rstr ①♣st♦ ♦s ♥ts ①♣st♦s ♥♦ ♦♥t♥ ♥r♠ st t♥t♦②♥ qr♦ r r ♥sr ♣r sr ♦♥sr♦s ♥t♦s ♥♠♥t ♦s ♥t♦s ♣s♥ st♦ rrtr♦ ♦♥ qr♥ ♥♠♥♣r♠♥♥t ♦♥♠♥t ♦♥sr♠♦s ♥ ts ♠♦rt µ ② ♦tr ♥t ν ♠♦♦ q ♠s rst♥ s ♦♥sr♥♦ sí ♣♦ó♥ r ♦♥st♥t ♥só♥ t♦rs ♠♦rá♦s ♥ ♣r♦♠ rsts♥ ♣r r♥♦r ♣♦ó♥ ss♣ts

♠♦♦ st♦ást♦ s♦ ♥ ♥♦ q ♠♦s ♣r str ♣rsst♥ sr♠♣ó♥ s ♥ ♥ r♦ ♠♣♦ srt♦ st♦ s st♦ sst♠ t♠♣♦ t+δt s♦♦ ♣♥ st♦

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♠♦♦

t♠♣♦ t ó♥ ♠ás r♥t ♥ ♦s ♠♦♦s ♠♣♦ ♠♦ s trr♦♥ ♥ ♥ r♦ ♠♣♦ ♦♥t♥♦ ♥ ♠r♦ ó♥ rqr ♥ t♠♣♦ ó♠♣t♦ ♣r♦t♦ ♣r s ♣r♦♠q ♦r♠♦s qí ♥♦r♥♦ ♣♦♦♥s ♦r♥ N ∼ 106 ♥♦s ♥♦ ♦♥ s ts ♦♥t♦ ♥ ♣♥♥t ♥t♦r♥♦ st ♠♣♠♥tó♥ rí r t♥ts tss tr♥só♥ ♦♠♦ ♥♦s ② ♥ ♣♦ó♥ st ♠♦♦ s♦ó♥ ①t ♥ ♣rtr ♦rt♠♦ s♣ ❬s♣ ❪ rst ①tr♠♠♥t ♥t ♣r ♠♦♦s s♦s♥ ♥♦ ♦♠♦ qí ①♣st♦

r s♦

r s♦ ♠♣ ♥ s♦ s ♥r ♠♥t ♦rt♠♦ ♣ít♦ ♥tr♦r ♣r ♣♦ó♥ ♦♥st♥t ♦s ♥♦♦s ② ♥s r♣rs♥t♥ ♦s ♥♦s ② ss í♥♦s s♦s ♣s tr♥s♠tr ♥ ♥r♠♥♦s rs♣t♠♥t ♥ ♣rtr s♠♦s ♥rr rs ♦♥ r♥t♥ ♦rr♦♥s ♦s rs ♣♦r ♣r♦ ♥ tr♥st♦q ♦♥ ♥ ♥③r s ♠♣t♦ ♥ ♣rsst♥ sr♠♣ó♥ s♦r rr♠♦s ♦♥ rs státs r♦ ♠♦ 〈k〉 ② ♣♦♦♥s ♦♠♣r♥s♥tr 100000 ≤ N ≤ 3000000 ♥♦s

♦ str♠♦s tr♦♥s ♥tr ♦s ♥♦s ♠ás á s ♣r♦♥♥ts r ♦♥tt♦s ♦♥ ♦t♦ r♥srr ♥str♦ ♥áss t♦ s♦ stás út♠s ♥ ♣rtr ♥♦ ♦♥srr♠♦s tr♦♥s ♥tr r♣♦s tr♦s ② ss r♥ts r♥s ♦♥tt♦ ♠ástrr♠♦s ♦♥ stró♥ ♥♦r♠ t ♣r ♦s ♥ts s♦s♠♣♦♦ ♥♦r♣♦rr♠♦s t♦r st♦♥ s♦♦ ♥r♠♥t♦ r♥ ♦♥tt♦s ♥tr ♥ñ♦s ♣qñ♦s r♥t ♦ t♦

ss tr♥só♥

s ♣r♦s tr♥só♥ ♣♦r ♥♦ ♥tr ♦s st♥t♦s st♦s s♦♥s♥♠♥t s sr♣ts ♥ ♣é♥ s♦ r♦ ♥ ts ♠♦rt µ = 4.2 × 10−5 ♦♠♣t ♦♥ ♥ ①♣tt 65 ñ♦s♦♥sr♥♦ ♦♠♦ rr♥ ♦rrs♣♦♥♥t ♥trr ♥ é 1950 r♥t s ♠②♦rs ♣♠s sr♠♣ó♥ ♥ r ♣r♥ó♥ ❬tt♣♦♥s♦❪ P♦r ♦ ①♣t♦ ♥tr♦r♠♥t ts ♥♠♥t♦ s♦♥sr ♠rt ν = µ s st♥ts ♣r♦s tr♥só♥♣r ♥ ♥♦ i r♥t ♥ ♥tr♦ t♠♣♦r δt s rs♠♥ ♥

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♣ít♦ Prsst♥ sr♠♣ó♥ s♦r rs s♦s

♥ ♣rtr ♣r♦ ♦♥t♦ ♣r ♥ ♥♦♦♥♦ i ss♣t♦ ♥ ♥ú♠r♦ z(i) ♥♦s ♥t♦s s ♥ ♦♠♦

P i(S → E) = 1− (1− δt c/〈k〉)z(i)

s♥♦ c/〈k〉 ts ♣r♦♠♦ ♦♥t♦ ♣♦r ♥ ♣r ♥ r ♦♥ r♦♠♦ 〈k〉 ♦r ♣rá♠tr♦ c s ♥ c = 2.8 ♠♦♦ q ♥ú♠r♦r♣r♦t♦ ás♦ rst ♦♠♣t ♦♥ ♦♥♦♦ ♣r sr♠♣ó♥ 12 ≤R0 ≤ 18 ❬♥rs♦♥ ❪

r♦ Pr♦s tr♥só♥ ♣♦r ♥♦s ♣r ♠♦♦ ♣♠♦ó♦

r♥só♥ Pr♦S → E 1− (1− δt c/〈k〉)z(i)E → I σδtI → R γδtS,E, I, R → ♠rt µδt→ S ♥♠♥t♦ S µδt

r sq♠ s ♣r♦s tr♥só♥ ♣♦r ♥♦ ♣r ♠♦♦

str q ♦s ♥♦s ♦s qr s s st♦ s♦♥ sstt♦s ♣♦r ré♥ ♥♦s ss♣ts s♠s♠♦ ♦♥srr♠♦s q ♣r♦ ♠rt ♦ t♥r s♥♥ s ♥♣♥♥t st♦ ♣♠♦ó♦ ♦s ♥♦s ♦ s♦♦ ♦♥ ♥str♦ ♠♦♦ ♣r sr♠♣ó♥s r♣rs♥t♦ ♥ r

♠ás s ② ♠♥♦♥s tss ♥♠♥t♦ ② ♠rt rst♥tstss ♠♣s ♦ r♦ st ♣ít♦ s ♦t♥♥ ♣rtr ♦s t♠♣♦s

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♠♦♦

♣r♠♥♥ ♥ st♦ ①♣st♦ TE = 8 ís σ = 0.125í ♥t♦TI = 5 ís γ = 0.2í

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♣ít♦ Prsst♥ sr♠♣ó♥ s♦r rs s♦s

♣r♦①♠ó♥ ♠t♥♦♠

Pr ♠♣r ♥♦q ♥ ♣♦♦♥s ♦♥sr♠♦s s♦ ♦s ♥♦♦s ♥ st♦ t♠♣♦ t ♥ ♣s♦ t♠♣♦r ♦s ♥♦♦s ♣♥r③r tr♥só♥ st♦ ♦♥ ♥ ♣r♦ pI = σδt ♣♥ ♠♦rrs♠tá♥♠♥t ♥♦ r ♥ ré♥ ♥♦ ♦♥ ♣r♦ pd = µδt ♦♣♥ ♣r♠♥r ♥ st♦ ♦♥ ♣r♦ ps = 1− (σ+µ)δt t♦s ♣♦r♥♦ st♦ s ♦s ♥♦♦s ♥ sr r♣rt♦s ♥tr 3 st♦s ♣♦ss ♥♦ rtr③♦ ♣♦r ♥ ♣r♦ ♦rr♥ ♦♥st♥t ♦r♠ ♦♥rtr♦ s trés stró♥ ♠t♥♦♠ MX1,X2,X3 ♦♥ stró♥ ♣r♦ pM ♣♦r

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♥áss ♣rsst♥

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♥áss ♣rsst♥

〈k〉 = 40 ② ♣r♦ ♥s tr♥st♦s q

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♣ít♦ Prsst♥ sr♠♣ó♥ s♦r rs s♦s

Pr ♣♦ó♥ N ∈ [105, 3× 106] t♠♦s 100 r③♦♥s ♠♦♦ ♣r♦♣ó♥ ♥t♦♥s ♥♠♦s ró♥ r③♦♥s ①t♥ts Pextin ♥ts ♠♥ó♥ s♥♦ ♣rí♦♦ 30 ñ♦s♦♠♦ ♥♦r ♣r♦ ♣rsst♥ sr♠♣ó♥ ♥ r

Pextin =r③♦♥s ①t♥ts

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sr♠♦s ♥ r q t♠ñ♦ rít♦ ♦♠♥ s ♥♥tr ♥ ♥tr♦ [5× 105, 106] ♣r q = 0 ② ♥ [106, 2× 106] ♣r q = 0.9

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♥áss ♣rsst♥

♠♦s ①♥ ♦s ♦rs ♦sr♦s ♣r s srs t♠♣♦rs ♥♥♥ ♥♦ ❯♥♦ r♥t s és 1940 ② 1950 st♦ s s♣r ♦q ♥ ♥str♦ ♠♦♦ s♠♣♦ ♥♦ ♠♦s ♦♥sr♦ t♦rs st♦♥s♥♦s ♣♦r ♦ t♦ ♥ tr♦♥s í♥♦s ♥tr st♥t♦s r♣♦s tr♦s ❬♦r ♥ ♥ ❪ ♥tr ♦tr♦s r♥♠♥t♦s ♠♦♦ t♦♦s ♠♦♦s rst♦ qí ♣rs♥t♦ s s♠♠♥t ♥trs♥t ♦ q ♠str ♥ s♣t♦ s♠r♦ ♥ ♦s ♠♦♦s ♣r♦s ♥♥ ♥ ♣rsst♥ s ♦rr♦♥s ♠♣sts ♣♦r strtr ♦♥tt♦s r♦ ♠♦ 〈k〉 ♣r♦ ♦♥t♦ ♣♦r ♦♥tt♦ ♥tr ♥♦s S I ② s r♥ts tss tr♥só♥ ♥tr st♦s s ♥ ♠♥t♥♦♥r♥ts s r ♠♦s ♦♥sr♦ t♦♦s ♦s ♣rá♠tr♦s q t♠♥ts ♦♥sr♥ r♥ts ♥ ♦s ♠♦♦s ♣♠♦ó♦s ♠♣♦ ♠♦ st♦s st ♦ q ♠♦s ♦s ♣rá♠tr♦s ♥ s♦ st♦s ♥♣♥♥t♠♥t ♣rtr ♦♥sr♦♥s ♦ós ② ♥♦ ♦♠♦ ♣rá♠tr♦s st ♥ ♠♦♦ ♣rtr ♦♠♦ ♦rr ♣r ♥♦q ♠t♣♦♦♥♦♥ r♣♦s tr♦s ♣r♦♣st♦ ♥ ❬♦r ♥ ♦♥♥ ❪

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Epost =①t♥♦♥s ♣♦st♣é♠s♦t r♦ts ♣é♠♦s

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♣ít♦ Prsst♥ sr♠♣ó♥ s♦r rs s♦s

♥ó♥ Epost ♥st ♥ rtr♦ ♣r str á♥♦ ② ♥r♦t ♣é♠♦ ② á♥♦ ♥ ①t♥ó♥ ♣♦st♣é♠ ♥ ♥str♦ s♦ ♦♣t♠♦s ♣♦r sr rtr♦ t③♦ ♥ ❬♦♥♥ ❪ ♦♥sr♥♦ ♥ ①t♥ó♥♣♦st♣é♠ ♥♦ tr♥srr♥ trs s♠♥s ♣♦str♦rs ♥ r♦t s♥♥t♦s

♥ ♦ q rs♣t ♦s r♦ts ♣é♠♦s ♥ ❬rttt ❪ rttt ♦♣tó♣♦r ♦♥srr ♥ ♠r r♦t ♣é♠♦ 1 ♥♦ s♦ ♥ó♥ ♣♦r 4000 t♥ts ♣r ♥ ♥tr♦ t♠♣♦r ♥ s♠♥ ♥ ♠r♦ ♣r♣♦♦♥s ♣qñs st rtr♦ rst ♣♦♦ rstrt♦ sr t♦♥s st♦ásts ♠♦rás ♦♠♦ r♦ts ♣é♠♦s s ♣♦r ♦ q rtttt♦ q ♠♣♠♥tr ♥ ♠♦ó♥ ♦ ♣r ♣♦♦♥s N . 105 t♠♦♦ q s ♥s♣ó♥ s s srs t♠♣♦rs ♦♥r ♦♥ só♥ rtr♦ ♦t♦ ♥ s q ♠r ♦ s s♥t♣r q ♦s ♣♦s ♦s r♣♦rts s♠♥s ♥♥ ♥ s srs t♠♣♦rsrs ♦ s♠s s♥ s♦s ♦♠♦ r♦ts ♣é♠♦s ② q s ♣qñst♦♥s s♥ srts ♠♥t sr♠♦s rtr♦ ♠ás s♥s♠♣st♦ ♥ ❬♦♥♥ ❪ ♦♥ r♦♥ ♥ ♠r 1 ♥♦ ♥t♦♣♦r 2000 t♥ts ♥ ♥ ♣rí♦♦ ♥ s♠♥

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ñ♦s ② ♦ s st♠ Epost s♦r ♦s 30 ñ♦s s♥ts ♥ r ♠♦str♠♦s Epost ♥ ♥ó♥ t♠ñ♦ ♣♦ó♥ ♣r ♦s ♠s♠♦s ♣rá♠tr♦s♣♠♦ó♦s ♥tr♦r♠♥t r♣♦rt♦s ♠♥t ♦♠♣r♠♦s ♦s s♦s♦rrs♣♦♥♥ts rs ♥rs ♣rtr ♠♦♦ ♣ít♦ ♦♥ q = 0.0

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♣ít♦ Prsst♥ sr♠♣ó♥ s♦r rs s♦s

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♣ít♦

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♣ít♦ ♦♥s♦♥s ♥s ② Prs♣ts

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Pr♦♠♥t ♦♥só♥ ♠ás ♠♣♦rt♥t ♠♦♦ ♦s ♣ít♦s ② s ♠♣t♦ str③ó♥ ♥♦♥♦s s♦r r ♥♣♦r ♠♥s♠♦ ♠tó♥ s♦ ♠♦ ♣♦r ♦♠♦ ♥ ♥♠♥ r♣♦ ♦s ♠♦♦s ♠♣♦ ♠♦ ♣r♥ q ♥ ♦rtr ♥ 95% srí s♥t ♣r ♣r♥r r♦ts sr♠♣ó♥ ♣r♦t♥♦ sí ♦s q ♥♦ ♥ s♦ ♥♦s ♣♦r r③♦♥s r③ ♠②♦r ♦s♦tr♦s ♠♦str♠♦s trés s♠♦♥s ♥♠érs q st ♠r ♣♦rí sr ♥s♥ts s ♦♥sr strtr ♦♥tt♦s s♦s ♥ ♦♥♥t♦ ♦♥ ♥ ♣r♦s♦ s♠♥ó♥ ♦♣♥♦♥s ♦ ♦st♥t ♥q ♦s t♦s str③ó♥ ♥♦♥♦s ♣r♦s ♣♦r ♥str♦ ♠♦♦ ♥ s♦ r♦s ♥ ♥♠r♦

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ss ♦♣♦rt♥s ❬② té ❪ ú♥ rst♥ ①♣r♥s ♦♥tr♦sq ♦r③♥ ♥ ♥tí ts ♦♠♦ s r♥t♠♥t r③s ♣r s♦ r♣ ❬r② ❪ st ♦♥♦♠♥t♦ ♦♥rt♦ ♣r♠trí str♥s ♣♦íts ♥ó♥ ② ♠♣ñs ♣r♥ó♥ ♦③s ♥ rró♥ ♥t sr♠♣ó♥ ♦s rst♦s ♣rs♥t♦s ♥ ♦s ♣ít♦s ② ♥ s♦ ♥♦s ♣r s ♣ó♥ ❬s ❪

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♠♦s st♦ q ♦s s♣t♦s t♦♣♦ó♦s s rs s♦s rst♥ r♥ts ♥ ♣r♦♠s s♠♥ó♥ ♦♣♥♦♥s ② ♥r♠s ♥♦ss s♣♦r ♦ q rs♦s tr♦s s ♥ ♦♦ st♦ s♣í♦ t♥t♦ ss♣r♦♣s státs ♦♠♦ ♥á♠s s ♣r♦♣s t♦♣♦ós státs ♠ás♦srs ♥ s rs ♦r♥ s♦ s♦♥ t♦ ♦♥t str③ó♥♣r♦♠♦ C ♦♠♣r ♦♥ ♥s rs rrs ② st♥ ♠♥tr ♥♦♦s l ♦r♥ ♦rrs♣♦♥♥t rs t♦rs l ∼ lnN ♥♠r♦ r♥ts tr♦s ♦s ♥á♠ ♠r♦só♣ ♦s ♥ss♦s ♥ ♣r♦♣st♦ ♠♦♦s rs rs ♥ t♠♣♦ ♥♦ r rs ♠s q ♥♦ ♦♥t♠♣♥ sts ♣r♦♣s státs ♥ts ♠♥♦♥s ❬Prr tr♥♥ tr♥♥ ❪ ♥ st♦s ♣tr♥ ♦rrt♠♥t s ♣r♦♣s ♥á♠s ♦s ♥s r♥ ró♥ t ♥♦sts♥ s ♣r♦♣s státs s rs ♠s ♥ t♠♣♦ q ♥s♦ ♦srs ② ♠♦s t♥t♦ ♥ t ♦♠♦ ♥ ♣s♦ r♥t

♥ ♣ít♦ ♣r♦♣s♠♦s ♥ ♠♦♦ r♠♥t♦ rs q ♥♦r♣♦r ♥á♠ ♦r♠ó♥ ♥s trés ♦♥♣t♦ t s♦❬Prr ❪ t ♠♦♦ q s rs ♠s ♥ t♠♣♦ ♥rs sts♥ s ♣r♦♣s t♦♣♦ós ss Pr ♦ ♥♦r♣♦r♠♦s ♥ s♣t♦st ♠♦♠♥t♦ s♦s②♦ ♥ ♦s ♠♦♦s rs rs ♥ t♠♣♦ rátr ♥♦♠r♦♥♦ ♦s ♥ts s♦s st♦ s ♦♥sr♠♦s t♦s ♠♠♦r r♦ ♣③♦ ♥ ♦s ♥ts ♥ ♦♥tr♣♦só♥ ♦s ♠♦♦s qst♥ ♥á♠ ♦s ♥s s♦s r♥t♠♥t s♠♥ ♥ts ♠r♦♥♦s q s ♦♠♣♦rt♥ ♦♠♦ ♠♥♥ts t♦r♦s st♥♦ í♥♦s

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♣ít♦ ♦♥s♦♥s ♥s ② Prs♣ts

♦♥ ♦tr♦s ♦s ③r ❬tr♥♥ ❪

♦str♠♦s q ♠♥s♠♦ rr trá♦ ♠♦♦ sr♣t♦♥ ♣ít♦ ♦r ♥tr♦r s ♦rr♦♥s t♦ ♦r♥ s♠♥t ♦srs ♥ s rs ♦r♥ s♦ ♠s ♥ t♠♣♦ Pr♦♣s♠♦s ♦sr♥ts ♠♦♦ ♣r ♣♦ó♥ ♥♦♦s ♦♥st♥t ② r♥t sr♠♦s ♥ít♠♥t s str♦♥s r♦ ♥ ♠♦s s♦s ② st♠♦s ♦♠♣♦rt♠♥t♦ s♥tót♦ s♦♦ s ③ ♠♦str♠♦s q s rtrístst♦♣♦ós s rs ♥rs ♠♥t ♥str♦ ♠♦♦ s ♦rrs♣♦♥♥ ♦♥s ♦srs ♥ ♦s s♦s st♦ ♥ sr♦ r s♦ ♦♦❬❱s♥t ❪ ② ♥ r ♦♥tt♦s rr ♦t♥ ♣r♦②t♦ ♦♦Pttr♥s ❬ttt♦ s ❪ ♥q ♠♦♦ ♥♦ stá ♥tr♦ ♥♥♥♥ ♥á♠ ♣rtr ♦r♠ó♥ ② ♦rr♦ ♥s r ♥♠r♦ tór♦ ♥tr♦ á ést ♣♦rí ♥tr♦rs

♦♥♠♥t ♠♦str♠♦s q ♠♥s♠♦ r♠♥t♦ rs qí♥tr♦♦ ♦♥t♥ ♠♦♦ rs ♦ts ❬♦♥ ❪ ♦♠♦ s♦♣rtr ♦s rst♦s ♣ít♦ r♦♥ ♣♦s ♥ ❬s ❪

♥♠♥t ♥ ♣ít♦ t③♠♦s s rs ♥rs ♥ ♣ít♦ ♣r♥t ♣r str ♥♥ tr♥st ♥ ♣♦r ♠♥s♠♦ rr trá♦ ♥ ♣rsst♥ sr♠♣ó♥ s♦r r srr♦♠♦s ♥♦rt♠♦ st♦ást♦ t♠♣♦ srt♦ s♦ ♥ ♥♦ ② t♣♦ ♣r str ♣r♦♣ó♥ sr♠♣ó♥ ♦♠♦ ♣rt st ♦rt♠♦ ♦r♥ t③♠♦s ♣r♦①♠ó♥ ♠t♥♦♠ ♥ ♣♦♦♥s ♦♥ ♥ rr t♠♣♦ ó♠♣t♦ ♥♦♥tr♠♦s q ♣rsst♥ s♠♥② ♥r♠♥tr ♣r♦ rr trá♦ q st ♦ s r ♣r ♦s♦s rtr♦s ♣rsst♥ ♥tr♦♦s

♦s rst♦s ♣ít♦ ♠str♥ q ♦♥♦♠♥t♦ s♣í♦ t♦♣♦♦í ♥ r s♦ ♣ t♥r ♥ ♠♣t♦ ♥♦t ♥ st♦ ♣rsst♥ sr♠♣ó♥ sí ♦♠♦ t♠é♥ ♦trs ♥r♠s ♥♦sstr♥s♠ts ♣♦r ♦♥tt♦ st♦s rst♦s srá♥ ♥♦s ♣r s ♣ó♥ r ♦♠♦ tr♦ tr♦ rst ♦♥srr ♥ ♠♦♦ ♠ás t♦q ♥♦r♣♦r ♥ ♥á♠ sr♠♥t♦ ② ♦rr♦ t♥t♦ ♥s ♦♠♦ ♥♦♦s P♦r ♦tr ♣rt ♠♦♦ t♠é♥ ♣♦rí ♥♦r♣♦rr ♦♦rts ♥③s ♣rr♥♠♥t ♣♦r ♦♠♦ st♦ s ♣r♦ ♥ ♥tr ♦s♥♦s ♠s♠ ♦♦rt ♣♦rí rstr s♣r♦r ♦rrs♣♦♥♥t ♣r ♦tr♦s ♦s ♣rt♥♥ts ♦♦rts st♥ts s♠s♠♦ ♣♦♠♦s ♥tr♦rstr♦♥s t♠♣♦s s♣r ♠ás rst t♣♦ ♠♠ ② str s♠♣♦rt♥ rt ♦♥ rs♣t♦ ♠♣t♦ ♦s t♦s t♦♣♦♦í

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r ♠♦s ♦♠♥③♦ trr s♦r ♥s sts í♥s

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♣é♥

♦♦ ♣♠♦ó♦

sr♠♣ó♥ s ♥ ♥r♠ r ♥♦s s ♣♦r ♥ ♣r♠①♦rs s♥♦ sr ♠♥♦ s ú♥♦ és♣ ♦♥♦♦ trt ♥ ♥r♠t♠♥t ♦♥t♦s ♥♠♥t♠♥t tr♥s♠t ♣rs♦♥ ♣rs♦♥ ♣♦rí ér trés s ♠r♦♦ts ü ♠ts r ♦ st♦r♥rt ♣r♥♣♠♥t ♥ñ♦s ♣qñ♦s ♥ ♣r♠r s♦r ② s ♥ s ♣r♥♣s ss ♠♦rt ♥♥t ♥ ❱ ♠♥str ♦♠♥t s ♥s é ♣r♦ ♥♠♥ ♦♥tr sr♠♣ó♥ s ♣♣rs ② r♦

♦♦ ♦♠♣rt♠♥t st♦ást♦

♦ r♦ ♣rs♥t tss t③♠♦s ♥ ♠♦♦ ♣♠♦ó♦ st♦ást♦ ♦♠♣rt♠♥t t♣♦ s♣t①♣st♦♥t♦rtr♦♣r sr♠♣ó♥ ♦♦ q♦s ♥♦s ♥t♦s s♦♥ ♣s tr♥s♠tr ♥r♠ ♠♥trs q ♦s ♥♦s r♣r♦s qr♥ ♥♠♥♣r♠♥♥t st♦ rrtr♦ ♦♥sr♠♦s ♥ strtr ♦♥tt♦s ♥tr ♥ts sr♣t ♣♦r ♠♦ ♥ r ♦♠♣ G(N,L) ♦♠♣st N ♥♦♦s ② L ♥s ♥tr ♦s ♠s♠♦s ♦s t♦s ♠♦rá♦s s ♦♥sr♥s♣rs

s ♣r♦s tr♥só♥ ♥tr st♦s ♣♦r ♥♦ ② ♣r ♥ ♥tr♦ t♠♣♦r δt s ♥♥ ♥ r s♣ t♥ó♥ tr♥só♥ st♦ ss♣t rrtr♦ P (S → E) ♠♠♦s z(i) ♥t ♥♦s ♥t♦s ♣r ♥t i r ② 〈kp〉 r♦ ♠♦ ♥s♣rs♦♥s ♣♦r ♥t ♥t♦♥s ♣r♦ ♦♥t♦ ♥t i ♥ ♦♥tt♦ ♥ ♥tr♦ t♠♣♦r δt ♦♥ ♥♦ ss ♥♦s ♥t♦s ♥ ♣♦r δt c/〈kp〉 ♦♥ c/〈kp〉 ♦rrs♣♦♥ ts ♦♥t♦ ♣♦r ♥♦ ♣r♦ q ♥t i ♦♥tr ♥r♠ ♥ δt ♣r♦t♦

tt♣♦♥t♠♥trtstss♥

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♣é♥ ♦♦ ♣♠♦ó♦

ss ♥♦s ♥♦s♦s s

P i(S → E) = 1− (1− δt c/〈kp〉)z(i) .

r♦ Pr♦s tr♥só♥ ♣♦r ♥♦ ♣r ♠♦♦ t③♦

r♥só♥ Pr♦S → E 1− (1− δt c/〈kp〉)z(i)E → I σδtI → R γδt

♥ st tr♦ ♦♥sr♠♦s c = 2.8 ♦r ♦♠♣t ♦♥ ♥ú♠r♦ r♣r♦t♦ ás♦ sr♠♣ó♥ 12 ≤ R0 ≤ 18 ♣r ♦s ♠♦♦s tr♠♥sts❬♥rs♦♥ ❪ P♦r ♦tr ♣rt ♦♥sr♠♦s q t♠♣♦ rtríst♦ tr♥só♥ ①♣st♦ ♥t♦ s TE = 8 ís ② ♥t♦ rrtr♦TI = 5 ís ❬♦② ♦♥♥ ❪ st ♠♦♦ s ♦rrs♣♦♥♥ts tss tr♥só♥ s ♥♥ ♦♠♦ σ = 1/TE = 0.125 ② γ = 1/TI = 0.2

♥♠♦s ♦♠♦ St Et It ② Rt s ♣♦♦♥s ♥ts ss♣ts ①♣st♦s ♥t♦s ② rrtr♦s t♠♣♦ t rs♣t♠♥t ♠♦♦ st♦ást♦ ♦♥ r ♦♠♣ ♣r♦♣st♦ r♣rs♥t ♥ ♣r♦s♦ r♦ ♣s♦ srt♦ δt ♦ ♦rt♠♦ t③ s♥ró♥♠♥t s ♣♦♦♥s st♦ ♣r ♥ ♣s♦ t♠♣♦r δt = 1/2 í s♥t ♠♦♦

♥t ss♣t i ∈ St s ①♣st♦ ♦♥ ♣r♦ ♥ s♦♦ ♦♥sr♥♦ q♦s ♥ts ♥t♦s j ♣rt♥♥ts s ♥t♦r♥♦ j ∈ It ♣♦ó♥ ss♣ts s t③ ♣r s♥t ♣s♦ t♠♣♦r St+δt

♥t ①♣st♦ i ∈ Et s ♥t♦ ♦♥ ♣r♦ σδt ♣♦ó♥ ♥ts ①♣st♦s s t③ ♣r s♥t ♣s♦ t♠♣♦rEt+δt

♥t ♥t♦ i ∈ It s r♣r ♦♥ ♣r♦ γδt ♣♦ó♥ ♥ts ♥t♦s s t③ ♣r s♥t ♣s♦ t♠♣♦r It+δt

t③ t♠♣♦ t = t+δt rt♦r♥♥♦ ♣s♦ st q Et+It = 0

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♦♦ ♦♠♣rt♠♥t st♦ást♦

♦t♠♦s q ♦rt♠♦ ♥tr♦r ♥♦ t③ ♣♦ó♥ rrtr♦s ♦q ♠♥t♥rs ♣♦ó♥ t♦t N ♦♥st♥t st ♣ rrs ♣rtr s rst♥ts

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♣é♥

r ♥tr♦ó♥ ♠♦♦

rs ♦ts

♦♦ rs ♦ts

s ♠♦♦s ♦♥ rs ♦ts ♦♥sr♥ ♥ ♣r♦♣ ♥trí♥s ♦s ♥♦♦s q tr♠♥ ♦♠♣t♠♥t s ♣r♦♣s r❬♦♥ ❪ ♠♦♦ ♦♠♥③ ♦♥ N ♥♦♦s s♦♥t♦s ♥♦ s♦♦ ♦♥ ♥ r ♦t h ♦t♥ ♠♥t ♥ stró♥ ♣r♦ ρ(h) P♦str♦r♠♥t ♦s ♥s s st♥ ♣rtr ♥ ♣r♦ ♦♥①ó♥ s♠étr r(hi, hj) st ♠♦♦ t♥t♦ ρ(h) ♦♠♦ r(hi, hj) tr♠♥♥ ♦♠♣t♠♥t s ♣r♦♣s t♦♣♦ós ♥ r t♦r r♦♥s ♣r♦♣s t♦♣♦ós s♦♥ ♦t♥s ♥ ♥ó♥ r ♦t h

② ♦ ♥ ♣r♦♣♦r g(k|h) ♣r♦ tr♥s♦r♠ó♥ s h r♦s k ♣r♦♣♦r g(k|h) r♣rs♥t ♣r♦ ♦♥♦♥ q ♥♥♦♦ ♦♥ r ♦t h rst ♥♠♥t ♦♥ r♦ k st ♦r♠ stró♥ r♦ ♣ sr srt ♦♠♦

P (k) =∑

h

g(k|h)ρ(h).

♠♦♦ s t♠é♥ ♣♦s ♦t♥r r♦ ♠♦ ♦s ♥♦s ♥♠t♦s ♥ ♥♦♦ ♦♥ r♦ k ♦♠♦ ❬♦♥ ❪

knn(k) = 1 +1

P (k)

h

g(k|h)ρ(h)knn(h),

♦♥ knn(h) s ♥ ♦♠♦

knn(h) =N

k(h)

h′

ρ(h′)k(h′)r(h, h′),

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♣é♥ r ♥tr♦ó♥ ♠♦♦ rs ♦ts

♦♥ k(h′) r♦ ♠♦ ♥ h′♥♦♦ ♦ ♣♦r

k(h) = N∑

h′

ρ(h′)r(h, h′).

♦♥♠♥t ♦♥t str③ó♥ ♠♦ ♦♠♦ ♥ó♥ r♦k ♣ sr srt♦ ♦♠♦

C(k) =1

P (k)

h

ρ(h)g(k|h)C(h)

♦♥ C(h) s ♥

C(h) =∑

h′,h′′

P (h′|h)r(h′, h′′)P (h′′|h),

♦♥ P (h′|h) ♣r♦ ♦♥♦♥ ♦♥①ó♥ ♥tr ♥ h♥♦♦ ② ♥ h′♥♦♦ ♣♦r

P (h′|h) = Nρ(h′)r(h, h′)

k(h).

♥ ♠♦♦ ♥tr♦♦ ♥ ♣ít♦ t a r♦ r ♦t ♦♥ ♣ t F (a) t♦♠♥♦ r stró♥ρ(h) ♥ ♥ ♦r♠ó♥ ♦♥t♥ ♥ ♠r♦ s rs rs ♥ t♠♣♦♦t♥s trés ♠♦♦ rst♥ ♥♦r♦♥s ♦ s ♦rr♦♥s ♦s ♥s ♣♦r ♠♥s♠♦ rr trá♦ ①♣t♦ ♣r s♦ ♦♥ q = 0 s♠s♠♦ ♥ ♣ít♦ ♠♦s ♦t♥♦ Nk|a ♦♠♦ ♥q♥t ♣r♦♣♦r ♦rrs♣♦♥♥t ♠♦♦ rs ♦ts ♣rqr q ≥ 0 ♥ ♠r♦ ♥♦ ♥♦s ♣♦s rr s ♦rr♦♥s r♦ t♦ ♦r♥ s♦♦ ♣rtr ♦♥♦ ♣r♦ ♦♥①ó♥ r(a, a′)

♦♠♦ ♦rr ♣r ♠♦♦ rs ♦ts st♦ s sí ♦ q ♠♥s♠♦ ♦♥①♦♥♦ ♥tr♦ ♦rr♦♥s r♦ ♠ás á s♠♣sts ♣♦r ♠♥s♠♦ ♥♦ ♣♦r t s♦ ♦s ♥ts ♦♦st♥t ♣♠♦s srr t♦s s ♣r♦♣s t♦♣♦ós s rs ♥③ ♦♥♦s F (a) ② r(a, a′) ♣r s♦ ♣rtr ♦♥ q = 0

P♦r út♠♦ r♠♦s ♦s ♥♠♥t♦s ♥rs ♣r ♥ ró♥ ♥ó♥ s ♥ st s♦ ♣rtr t♥♠♦s q = 0 ② ♣♦rst r③ó♥ ♣♦♠♦s ♦t♥r ♥ ①♣rsó♥ ♣r♦①♠ ♣r ♣r♦rℓ(i, j) q ♦s ♥♦♦s i ② j ♦♥ ts ai ② aj rs♣t♠♥t rst♥♦♥t♦s ♦ ℓ ♥s r♦s sℓ(i, j) = 1−rℓ(i, j) ♣r♦

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♦♦ rs ♦ts

q ♥♦ s st③ ♥ ♦♥①ó♥ ♥tr q♦s ♦s ♥♦♦s ♥♦ ℓ ♥sr♦♥ r♦s sí ♣♦♠♦s srr sℓ(i, j) ♦♠♦ ❬tr♥♥ ❪

sℓ(i, j) =∑

zi,zj

Pℓ(zi)Pℓ(zj)

[

zi∏

n=1

(

1− 1

N − n

)

][

zj∏

m=1

(

1− 1

N −m

)

]

,

♦♥ Pℓ(zi) Pℓ(zj) ♣r♦ q zi zj ♥s ♠r♥ i j ♦ ℓ ♥s r♦s ♣♦r

Pℓ(zi) =

(

zi

)(

aiN〈a〉

)zi (

1− aiN〈a〉

)ℓ−zi

,

s♥♦ ai/(N〈a〉) ♣r♦ r ♥♦♦ i ♦♥ t ai ♥trt♦ ♣♦ó♥ ♦♥sr♥♦ zi, zj ≪ N ♥ t♥♠♦s ♥t♦♥s

zi,j∏

n=1

(

1− 1

N − n

)

≃(

1− 1

N

)zi,j

.

♦ sstt②♥♦ ♥ ♥t♦ ♦♥ ♣r♦①♠ó♥ ♦t♥♠♦s rℓ(ai, aj) ♦♥

rℓ(ai, aj) = 1− sℓ(ai, aj) ≃ 1−(

1− aiN2〈a〉

)ℓ(

1− ajN2〈a〉

)ℓ

,

q ♣ sr ♣r♦①♠ ♣♦r

rℓ(ai, aj) ≃ 1− exp

(

− ℓ

N2〈a〉(ai + aj)

)

.

trés ♦rrs♣♦♥♥ ρ(h) → F (a) r(h, h′) → rℓ(a, a′) g(k|h) → Nk|a

② r♠♣③♥♦ ①♣rsó♥ ♥ s s ② rr♠♦s ♥ó♥ s ó♥ s♥♦ ♣r♦♠♥t♦ sr♣t♦ ♥❬tr♥♥ ❪

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♦rí

❬rt ❪ rt ♦♥ ♥ rs ♠tr ♦ t ❲♦r

❲ ❲ tr ♦ ♣s r ♣á

❬rt ❪ rt ♥ rás ttst ♠♥s ♦ ♦♠♣①

♥t♦rs ♦ P②s ♦ ♥♦ ♣s ♥r② r ♣á

❬♥rs♦♥ ❪ ♥rs♦♥ ♥ ② ♥t♦s sss ♦ ♠♥s②♥♠s ♥ ♦♥tr♦ ①♦r ❯♥rst② Prss ❯ r ♣á ②

❬♥r ❪ ♥r ♦♦② ♦ ♠♥s tt ♦♥ ❲ ♦ Pt♦ ♥t♦s♠ ♥ ♠tt❱♥t♦♥ rt② rs ss st② t ♥ ♥qt② ♦r

❲♦r t r♥ ♦ ♥♦ ♣s rr② r ♣á

❬①r♦ ❪ ①r♦ ss♠♥t♦♥ ♦ tr ♦ t ♦

♦♥r♥ ♥ ♦ P♦r③t♦♥ ♦♥t s♦t ♦ ♥♦ ♣s r ♣á ②

❬② ❪ ♦r♠♥ ② sttst ♠t♦ ♦ st♠t♥ t ♣r♦s

♦ ♥t♦♥ ♥ ♥t♦♥ ♦ ♥ ♥t♦s ss r ♣á

❬② ❪ ♦r♠♥ ② ♥ st♠t♥ t t♥t ♥ ♥t♦s ♣r♦s

♦ ♠ss ♠s t t♦ ss♣ts ♦♥② ♦♠tr ♣s r ♣á

❬② ❪ ♦r♠♥ ② ♦♠ st♦st ♠♦s ♦r s♠ ♣♠s ♥

r ♣♦♣t♦♥s ♣♣ ttsts ♣s r ♣á

❬② ❪ ♦r♠♥ ②t ♠t♠t t♦r② ♦ ♥t♦ssss ♥ ts ♣♣t♦♥s rs r♥ ♦♠♣♥② t r♥♦♥trt ❲②♦♠ s P r ♣á ②

❬rs ❪ rs ♥ rt ♠r♥ ♦ s♥ ♥ r♥♦♠

♥t♦rs ♥ ♦ ♣s r ♣á

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♦rí

❬rs ❪ rs ♥ rt ♠r♥ ♦ s♥ ♥ r♥♦♠

♥t♦rs ♥ ♦ ♥♦ ♣ r ♣á ②

❬rás ❪ rt rás ♣②ss ♦ t ❲ P②ss❲♦♥♥ ♦r♥ ② r ♣á

❬r② ❪ ❱t♦r r② ♠♦ ♠s③ ♥♣♥ ♦♦♥ ♦♥tt ♥② ♦♥♥ ♦ ♠r ❯③♥♥ ♥ r téP♦st ♥t♦r ss♦rttt② ♦ ♥♥③ ♥t♦♥ t s♦♦

♠♣t♦♥s ♦r ♦tr rs ♥ r ♠♠♥t② P♦ ♦ ♥♦ ♣ r ♣á

❬rrt ❪ rrt rté♠② Pst♦rt♦rrs ♥ ❱s♣♥♥ rttr ♦ ♦♠♣① ❲t t♦rs Pr♦♥s ♦ t t♦♥ ♠② ♦ ♥s ♦ ♥♦ ♣s r♣á

❬rttt ❪ rttt tr♠♥st ♥ st♦st ♠♦s ♦r rrr♥t

♣♠s ♥ Pr♦♥s ♦ t tr r② s②♠♣♦s♠ ♦♥ ♠t♠t sttsts ♥ ♣r♦t② ♦♠ ♣ ❯♥rst② ♦ ♦r♥ Prss r② r ♣á

❬rttt ❪ r rttt ss ♣r♦t② ♥ ♦♠♠♥t② s③♦r♥ ♦ t ♦② ttst ♦t② rs ♥r ♣s r ♣á ②

❬ ❪ rs s♦♥ P ♥ ♥ r♥ r♦♣

♥trst rss s♥trst ♥ s♠♣♦① ♥t♦♥ ♣♦② Pr♦♥s♦ t t♦♥ ♠② ♦ ♥s ♦ ♥♦ ♣s r ♣á

❬ ❪ rs ♥ r♥ ❱♥t♦♥ ♥ t t♦r② ♦

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Page 139: Fenómenos de propagación en redes complejas' · Fenómenos de propagación en redes complejas Medus, Andrés Daniel 2015-06-12 Este documento forma parte de la colección de tesis

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