Fenómenos de Transporte. Capítulo 2 - … · problemas resueltos y propuestos de fenÓmenos de transporte. mecÁnica de fluidos para estudiantes de ingenierÍa, ciencia y tecnologÍa

PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE

FENÓMENOS DE

TRANSPORTE. MECÁNICA DE FLUIDOS PARA ESTUDIANTES

DE INGENIERÍA, CIENCIA Y TECNOLOGÍA.

CAPÍTULO 2: DISTRIBUCIONES DE

VELOCIDAD EN FLUJO LAMINAR.

SISTEMAS RADIALES.

Ing. Willians Medina.

Maturín, septiembre de 2017.

Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar. Sistemas radiales.

Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 2

CONTENIDO.

CONTENIDO........................................................................................................................ 2

PRESENTACIÓN. ............................................................................................................... 4

ACERCA DEL AUTOR. ..................................................................................................... 6

2.3.- FLUJO A TRAVÉS DE UN TUBO CIRCULAR. ........................................................ 8

2.4.- FLUJO EN TUBOS CIRCULARES............................................................................ 14

Ejemplo 2.25. Flujo a través de un tubo circular. Sección 2.3 del Bird. Página 2-10. .. 14

Ejemplo 2.26. Determinación de la viscosidad a partir de datos de flujo en un tubo

capilar. ............................................................................................................................ 15

Ejemplo 2.27. Determinación del radio de un capilar mediante medidas de flujo.

Problema 2.A1 del Bird. Página 2-30. ........................................................................... 15

Ejemplo 2.28. Flujo a través de una sección de corona circular. Sección 2.4 del Bird.

Página 2.18. .................................................................................................................... 16

Ejemplo 2.29. Velocidad volumétrica de flujo a través de un anillo circular. Problema

2.B1 del Bird. Página 2.30. ............................................................................................ 17

Ejemplo 2.30. ................................................................................................................. 17

Ejemplo 2.31. ................................................................................................................. 18

Ejemplo 2.32. Flujo en tubos concéntricos con movimiento axial del cilindro interior.

Problema 2.J2 del Bird. .................................................................................................. 18

Ejemplo 2.33. ................................................................................................................. 19

Ejemplo 2.34. ................................................................................................................. 20

Ejemplo 2.35. ................................................................................................................. 20

Ejemplo 2.36. Flujo laminar de una película que desciende por el exterior de un tubo

circular. .......................................................................................................................... 21

Ejercicios propuestos. .................................................................................................... 22

Ejemplo 2.37. Flujo laminar en un tubo circular de un fluido incompresible que

obedece a la ley de potencias. Ejemplo 8.3-1 del Bird. Segunda Edición. Página 284. 28

Ejemplo 2.38. Flujo de una solución de polisopropeno en un tubo. Problema 8A.1 del

Bird. Segunda Edición. Página 301. .............................................................................. 28

Ejemplo 2.39. Bombeo de una solución de óxido de polietileno. Problema 8A.2 del

Bird. Segunda Edición. Página 301. .............................................................................. 28

Ejemplo 2.40. Flujo no newtoniano en tubos concéntricos. Problema 8B.3 del Bird.

Segunda Edición. Página 301. ....................................................................................... 29

Ejemplo 2.41. Flujo de Bingham en un tubo capilar. Ejemplo 2.3-2 del Bird. Página 2-

16. Deducción de la ecuación de Buckingham – Reiner. Problema 8B.6 del Bird.

Segunda Edición. Página 303. ....................................................................................... 30

Ejemplo 2.42. ................................................................................................................. 31

Ejemplo 2.43. Perfil de velocidad de un fluido plástico de Bingham. Ejemplo 3.5-3 del

Geankoplis. Cuarta Edición. Página 184. Problema 3.5-5 del Geankoplis. Cuarta

Edición. Página 236. ...................................................................................................... 32

Ejemplo 2.44. Caída de presión para un fluido plástico de Bingham. Problema 3.5-6 del

Geankoplis. Cuarta Edición. Página 236. ...................................................................... 32



Ejemplo 2.45. Flujo de un fluido de Bingham en un tubo circular. Problema 2.I2 del

Bird. Página 2-34. .......................................................................................................... 32

Ejemplo 2.46. ................................................................................................................. 33

Ejemplo 2.47. ................................................................................................................. 33

Ejemplo 2.48. ................................................................................................................. 33

Ejercicios propuestos. .................................................................................................... 34

BIBLIOGRAFÍA. ............................................................................................................... 36

TÍTULOS DE LA SERIE PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE

FENÓMENOS DE TRANSPORTE.................................................................................. 37

OBRAS DEL MISMO AUTOR. ....................................................................................... 38



PRESENTACIÓN.

El presente es un Manual de Ejercicios de Fenómenos de Transporte para

estudiantes de Ingeniería, Ciencia y Tecnología dictada en las carreras de Ingeniería Civil,

Industrial, Mecánica, de Petróleo y Química de reconocidas Universidades en Venezuela.

El material presentado no es en modo alguno original, excepto la solución de

algunos ejemplos con una metodología que ofrece mejor comprensión por parte del

estudiante así como la inclusión de las respuestas a algunos ejercicios seleccionados y su

compilación en atención al contenido programático de la asignatura y al orden de dificultad

de los mismos.

Dicho manual ha sido elaborado tomando como fuente la bibliografía especializada

en la materia y citada al final de la obra, por lo que el crédito y responsabilidad del autor

sólo consiste en la organización y presentación en forma integrada de información existente

en la literatura.

Este manual, cuyo contenido se limita al estudio de las distribuciones de velocidad

en flujo laminar para sistemas radiales, contiene los fundamentos teóricos, 24 ejercicios

resueltos paso a paso y 11 ejercicios propuestos para su resolución, y es ideal para ser

utilizada por estudiantes autodidactas y/o de libre escolaridad (Universidad Abierta) y por

estudiantes que están tomando un curso universitario de Fenómenos de Transporte o

Mecánica de Fluidos, así como por profesores que estén impartiendo clases en el área de

enseñanza de Fenómenos de Transporte o Mecánica de Fluidos para estudiantes de

Ingeniería, Ciencia y Tecnología.

Antes de abordar los conocimientos involucrados en este manual, el estudiante debe

haber tomado un curso sobre viscosidad y mecanismo del transporte.

El concepto de distribuciones de velocidad en flujo laminar es fundamental en el

estudio de los Fenómenos de Transporte, pues es la base de algunas definiciones

involucradas en el estudio de esta materia (Ecuaciones de variación para sistemas

isotérmicos, flujo a régimen permanente en canales abiertos y balances macroscópicos en



sistemas isotérmicos), y en este manual el autor presenta de manera clara y rigurosa el

espectro de situaciones involucradas en el manejo de los perfiles de velocidad en flujo

laminar para sistemas rectangulares tanto para un flujo libre sobre una lámina, como para

dos fluidos en movimiento uno encima del otro y diferentes tipos de fluidos.

Una vez comprendidos los conocimientos involucrados en este manual, el estudiante

puede abordar sin mayor dificultad el tema correspondiente a ecuaciones de variación para

sistemas isotérmicos.

Finalmente, se agradece infinitamente la dispensa y atención a esta modesta

contribución en la enseñanza y aprendizaje de los Fenómenos de Transporte y la Mecánica

de Fluidos, así como las sugerencias que tengan a bien para mejorar este trabajo, las cuales

pueden hacer llegar directamente a través de los teléfonos: +58-424-9744352, correo

electrónico: [email protected] ó [email protected], twitter: @medinawj ó

personalmente en la sección de Matemáticas, Universidad de Oriente, Núcleo de Monagas,

Maturín, Estado Monagas, Venezuela.

Ing. Willians Medina.



ACERCA DEL AUTOR.

Willians Medina (Barcelona, 1972) es Ingeniero Químico (1997), egresado de la

Universidad de Oriente, Núcleo de Anzoátegui, Venezuela y recientemente (2016) culminó

sus estudios conducentes al grado de Magister Scientiarum en Ciencias Administrativas

mención Finanzas en el Núcleo de Monagas de la misma Universidad. Fue becado por

LAGOVEN S.A (Filial de Petróleos de Venezuela, PDVSA) para cursar sus estudios

universitarios de pregrado y durante el transcurso de su carrera universitaria se desempeñó

como preparador docente en el área de Laboratorio de Química I y Termodinámica

Aplicada de la carrera de Ingeniería Química de la referida Universidad. En 1996 ingresó a

la Industria Petrolera Venezolana, (PDVSA), desempeñando el cargo de Ingeniero de

Procesos en la Planta de Producción de Orimulsión, en Morichal, al sur del Estado

Monagas hasta el año 1998, momento en el cual comenzó su desempeño en la misma

corporación como Ingeniero de Manejo de Gas en el Complejo Operativo Jusepín, al norte

del Estado Monagas hasta finales del año 2000. Durante el año 2001 formó parte del Plan

Integral de Adiestramiento (PIA) en San Tomé, Estado Anzoátegui, donde recibió cursos de

preparación integral en las áreas de producción y manejo de petróleo y gas, pasando

finalmente a la Gerencia de Manejo de Gas del Norte del Estado Monagas, en la localidad

de Punta de Mata, siendo responsable del tratamiento químico anticorrosivo de gasoductos

de la zona de producción de petróleo y gas hasta finales del año 2002. Desde el año 2006,

forma parte del Staff de Profesores de Matemáticas, adscrito al Departamento de Ciencias,

Unidad de Cursos Básicos del Núcleo de Monagas de la Universidad de Oriente (UDO),

cargo en el cual ha dictado asignaturas tales como Matemáticas I (Cálculo Diferencial),

Matemáticas II (Cálculo Integral), Matemáticas III (Cálculo Vectorial), Matemáticas IV

(Ecuaciones diferenciales), Métodos Numéricos, Termodinámica, Fenómenos de



Transporte y Estadística para estudiantes de Ingeniería. Es autor de video tutoriales para la

enseñanza de la matemática en el área de límites, derivadas y ecuaciones diferenciales a

través del portal http://www.tareasplus.com/ y también es autor de compendios de

ejercicios propuestos, ejercicios resueltos y formularios en el área de Matemáticas, Física,

Química, Mecánica Vectorial, Métodos Numéricos, Termodinámica, Estadística, Diseño de

Experimentos, Fenómenos de Transporte, Mecánica de los Fluidos e Ingeniería Económica.

En sus trabajos escritos el Ing. Medina ha dejado en evidencia su capacidad de integración

de los conocimientos en el área de la enseñanza en Ingeniería, así como el análisis riguroso

y detallado en el planteamiento y la solución de ejercicios en cada asignatura que aborda,

siendo considerado un profesional prolífico en la generación de material académico útil a

los estudiantes de Ingeniería y reconocido en lo personal y a través de sus escritos como

una referencia importante de consulta por estudiantes y profesores. En la actualidad (2017)

ha emprendido el proyecto de difusión de sus obras escritas en las áreas antes citadas a

través de internet de manera pública y gratuita (versión de sólo lectura en línea y con

privilegios limitados) en la página http://www.slideshare.net/asesoracademico/, en la cual

cuenta con un promedio de 3500 visitas diarias, y en forma privada (versión completa)

mediante la corporación http://www.amazon.com/ y su página académica

http://www.tutoruniversitario.com. Es miembro del Colegio de Ingenieros de Venezuela.



2.3.- FLUJO A TRAVÉS DE UN TUBO CIRCULAR.

Consideremos el flujo laminar en estado estacionario de un fluido de densidad constante

en un tubo <<muy largo>> de longitud L y radio R .

Elemento diferencial de radio.

Condiciones:

Estado estacionario.

Flujo laminar.

Fluido Newtoniano.

Propiedades del fluido constantes ( , ).

Efectos de borde despreciables.

Flujo en dirección z ( 0rv , 0v , 0zv ).

La velocidad varía en función de r : )(rvv zz .

Se analizan cada uno de los términos involucrados en el balance de cantidad de

movimiento:

L

RL

R Lp

0p

,

z

r

r

r

R



– Velocidad de entrada de cantidad de movimiento a través de la superficie cilíndrica

situada en r .

Área de contacto (Área paralela a r ): rLr2

Densidad de flujo de cantidad de movimiento: zr

Cantidad de movimiento: rzrLr 2 (2.24)

– Velocidad de salida de cantidad de movimiento a través de la superficie cilíndrica situada

en rr .



Área de contacto (Área paralela a rr ): rrLr 2

Densidad de flujo de cantidad de movimiento: zr

Cantidad de movimiento: rrzrLr 2 (2.25)

– Velocidad de entrada de cantidad de movimiento a través de la superficie anular situada

en 0z .

Flujo de cantidad de movimiento = Flujo másico Velocidad.

Flujo másico = Flujo volumétrico Densidad ( Qm ).

Flujo volumétrico = Área Velocidad ( zvAQ ).

Área de flujo: ])[( 22 rrrA

])(2[ 222 rrrrrA

])(2[ 2rrrA

0)(0 2 rr

rrA 2

Flujo volumétrico:

)(2 0 zzvrrQ

02 zzvrrQ

Flujo másico:

02 zzvrrm

02 zzvrrm

Flujo de cantidad de movimiento = )(2 00 zzzz vvrr

= 0

22 zzvrr (2.26)

Velocidad de salida de cantidad de movimiento a través de la superficie anular situada en

Lz .

Flujo de cantidad de movimiento = Lzzvrr 22 (2.27)



Fuerza de gravedad que actúa sobre la envoltura cilíndrica:

Fuerza = Peso del fluido en la dirección del flujo.

Fuerza = Masa Aceleración de la gravedad.

Fuerza = Volumen Densidad Aceleración de la gravedad.

)()()2( zg gLrrF

zg gLrrF 2 (2.28)

Fuerza de presión que actúa sobre la superficie anular situada en 0z .

Fuerza = Área Presión.

0)2( prrFp

02 prrFp (2.29)

Fuerza de presión que actúa sobre la superficie anular situada en Lz .

Fuerza = Área Presión.

Lp prrF )2(

Lp prrF 2 (2.30)

Balance de cantidad de movimiento:

022

22222

presión de Efecto

0

gravedad de Efecto velocidadde Efecto

2

0

2

viscosoEfecto

L

zLzzzzrrzrrzr

prrprr

gLrrvrrvrrLrLr

(2.31)

Como zv vale lo mismo para 0z y Lz , los términos tercero y cuarto (efecto de

velocidad) se anulan entre sí.

022222

presión de Efecto

0

gravedad de Efecto viscosoEfecto

Lzrrzrrzr prrprrgLrrLrLr (2.32)

0)(2222 0 Lzrrzrrzr pprrgLrrLrLr (2.33)

Las películas cilíndricas descendentes son de longitud L y de espesor r .



La ecuación (2.33) corresponde al balance de cantidad de movimiento en coordenadas

cilíndricas para una película cilíndrica descendente. En caso de un sistema en el cual las

coordenadas cilíndricas se encuentren en otra orientación, debe hacerse la adaptación de la

ecuación (2.33) al sistema indicado.

La ecuación (2.33) es el punto de partida para abordar cualquier problema de flujo laminar

en tuberías, bien sea que el flujo se deba a la gravedad (inclinado o vertical), a una

diferencia de presión ( 00 Lpp ) o a la transferencia de cantidad de movimiento

(movimiento de la tubería). Para su aplicación se pueden presentar los siguientes casos:

Flujo sin diferencia de presión ( 00 Lpp ).

0222 zrrzrrzr gLrrLrLr (2.34)

Tubería horizontal ( 0zg ).

0)(222 0 Lrrzrrzr pprrLrLr (2.35)

En este caso, para que exista flujo, debe estar presente por lo menos una tubería en

movimiento o ambas estáticas con el fluido sometido a una diferencia de presión.

Tubería vertical ( gg z ).

0)(2222 0 Lrrzrrzr pprrgLrrLrLr (2.36)

En este caso, el flujo puede existir a expensas de la diferencia de presión, sólo por el efecto

gravitacional. Si adicionalmente no existe diferencia de presión, la ecuación (2.36) se

reduce a:

0222 gLrrLrLr rrzrrzr (2.37)

En los ejemplos resueltos en este manual se partirá de la ecuación (2.33) directamente, pues

su deducción ya ha sido mostrada rigurosamente.

Definición de la derivada de una función:

x

ff

xd

fd xxx

xlim

0

(2.38)

Ley de Newton de la viscosidad:



rd

vd zzr (2.39)

Magnitudes relacionadas al flujo de fluidos.

Velocidad máxima. Velocidad media. Flujo volumétrico.

0,max,

zrrzz vv

2

0 0

2

0 0)(

R

R

z

drdr

drdrrvv

2

0 0)(

R

z drdrrvQ

Número de Reynolds.

vDRe (2.40a)

D

Q4Re (2.40b)

D

m4Re (2.40c)

D

m4Re (2.40d)

Flujo laminar 2100Re

Flujo turbulento 2100Re

Desarrollo en serie de potencias para funciones de interés.

...)1(

...5432

)1(ln15432

nn

xn

xxxxxx (2.41)

...!

...!5!4!3!2

15432

n

xxxxxxe

nx (2.42)

Integrales notables.

r

R



cea

xde xaxa 1

(2.43)

cea

xaxdex xaxa

2

1 (2.44)

cbxnn

nambx

n

mxd

bxn

axm

)(ln

2 (2.45)

caub

aub

baud

uba

ln2

11222

(2.46)

cubab

uduba

u

)(ln

2

1 222

2222 (2.47)

2.4.- FLUJO EN TUBOS CIRCULARES.

Ejemplo 2.25. Flujo a través de un tubo circular. Sección 2.3 del Bird. Página 2-10.

Consideremos el flujo laminar en estado estacionario de un fluido de densidad constante

en un tubo <<muy largo>> de longitud L y radio R .

Determinar:

a) Distribución de la densidad de flujo de cantidad de movimiento.

b) Distribución de velocidad.

c) Velocidad máxima.

d) Velocidad media.

e) Velocidad volumétrica de flujo.

L

RL

R Lp

0p

,

z

r



f) Componente de la fuerza F del fluido sobre la superficie.

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.26. Determinación de la viscosidad a partir de datos de flujo en un tubo

capilar.

Por un tubo horizontal de 30 cm de longitud y 2.5 mm de diámetro interno, fluye glicerina

(CH2OH.CHOH.CH2OH) a 26.5ºC. Para una caída de presión de 2.957 kgf/cm2 la

velocidad de flujo es 1.883 cm3/s. La densidad de la glicerina a 26.5ºC es 1.261 g/cm

3. A

partir de estos datos calcular la viscosidad de la glicerina en centipoises. (La medida del

flujo en tubos capilares es uno de los métodos corrientes para la determinación de

viscosidad; estos aparatos se denominan <<viscosímetros capilares>>).

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.27. Determinación del radio de un capilar mediante medidas de flujo.

Problema 2.A1 del Bird. Página 2-30.

Uno de los métodos para determinar el radio de un tubo capilar consiste en medir la

velocidad de flujo de un fluido viscoso a través del tubo. Hallar el radio de un capilar a

partir de los siguientes datos:

Longitud del capilar = 50.02 cm

Viscosidad cinemática del fluido = 4.0310-5

m2 /s

Densidad del fluido = 0.9552103 kg/m

3

Caída de presión a través del tubo capilar (horizontal) = 4.829105 N/m

2 = 4.766 atm.

30.00 cm

p

R

http://www.tutoruniversitario.com/producto/ejercicio-1-3/




Velocidad de flujo de masa a través del tubo = 2.99710-3

kg/s.

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.28. Flujo a través de una sección de corona circular. Sección 2.4 del Bird.

Página 2.18.

Un fluido incompresible fluye en estado estacionario a través de la región comprendida

entre dos cilindros circulares coaxiales de radios Rk y R .

Determinar.

a) Distribución de la densidad de flujo de cantidad de movimiento.

b) Distribución de velocidad.

50.02 cm

p

R

L

R

r

z

0p

Lp

Rk2

,




c) Velocidad máxima.

d) Velocidad media.

e) Velocidad volumétrica de flujo.

f) Componente de la fuerza F del fluido sobre el sólido interior.

g) Componente de la fuerza F del fluido sobre el sólido exterior.

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.29. Velocidad volumétrica de flujo a través de un anillo circular. Problema

2.B1 del Bird. Página 2.30.

Un anillo circular horizontal tiene una longitud de 8.23 m. El radio externo del cilindro

interior es de 1.257 cm y el radio interno del cilindro exterior es de 2.794 cm. Mediante una

bomba se hace circular a través del conducto anular una solución acuosa de sacarosa

(C12H22O11) al 60 por ciento a 20ºC. La densidad del fluido es de 1.286 g/cm3 y su

viscosidad 56.5 cp. ¿Cuál es la velocidad volumétrica de flujo cuando se le comunica una

diferencia de presión de 0.379 kgf/cm2?

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.30.

Un intercambiador de calor de doble tubo, concéntricos (ver figura), se utiliza para calentar

una línea de glicerina utilizando agua caliente proveniente de otro proceso. La glicerina

circula por la región anular experimentando una caída de presión a lo largo del

intercambiador de 2.1 atm. En estas condiciones:

a) Qué caudal de este producto fluye por la región anular?

b) ¿Qué fuerza ejerce éste sobre las paredes del tubo?

c) Determine si el flujo es laminar o no.

Considere que la densidad y la viscosidad de la glicerina son constantes e iguales a 1.261

g/cm3 y 65 cP respectivamente.

d) Si el mismo caudal de un plástico de Bingham ( Pa 6000 , mPa.s 800 ,

3g/cm 55.1 ) fluye por la zona anular, determine la caída de presión en este caso.





VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.31.

Por un riel cilíndrico, tal como se muestra en la figura, se desliza otro cilindro con una

velocidad V . Halle una expresión para determinar la fuerza tangencial que actúa sobre el

cilindro que se mueve. Considere que el fluido que se encuentra entre ambos mantiene sus

propiedades constantes y que la longitud del cilindro que se desliza es L .

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.32. Flujo en tubos concéntricos con movimiento axial del cilindro interior.

Problema 2.J2 del Bird.

Considerar el sistema representado en la figura, en el que la varilla cilíndrica se mueve con

una velocidad V . La varilla y el cilindro son coaxiales. Hallar la distribución de velocidad

en estado estacionario, la velocidad volumétrica de flujo y la fuerza requerida para halar la

varilla cilíndrica. Este tipo de problemas se presentan en el recubrimiento de alambres con

barniz.

L

Rk

R

V

z

r

0.20 m

0.09 m





VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.33.

En el diseño original de un sistema, se transporta agua en flujo estacionario

( 3kg/m 1000 , mPa.s 1 ) a través de una tubería horizontal de 1 m de longitud y 4

cm de radio desde un punto a otro, entre los cuales existe una caída de presión por unidad

de longitud (P0 – PL)/L = 0.05 Pa/m. Se modifica el diseño original colocando

concéntricamente en el interior del tubo de 4 cm de radio un tubo de 2 cm de radio, como se

muestra en la figura.

Si se mantiene la diferencia de presión en los extremos de la tubería y se desea que

el flujo volumétrico de agua sea el mismo que en el diseño original, determine a qué

velocidad y con qué fuerza se debe halar el tubo interior en la dirección del movimiento del

fluido. Especifique en detalle las suposiciones necesarias para resolver el problema.

Desprecie efectos gravitacionales.

Fluido a la presión 0p Fluido a la presión 0p Cilindro de radio interior R

Varilla de radio Rk

que se mueve con velocidad V

z

r

ov

z

r

0z

0PP

Lz

LPP




[Sugerencia: Para el flujo en tubos concéntricos con movimiento axial del cilindro interior,

el caudal está dado por la ecuación

2

22

2)/1(ln

)1(

2k

k

kVRQ

y la fuerza por

k

LVrFz

ln

2)(

].

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.34.

Un fluido newtoniano se encuentra entre dos cilindros concéntricos horizontales de radio

1R y 2R (ver figura). Si el cilindro interno se mueve hacia la izquierda y el externo hacia la

derecha, ambos con velocidad 0v , calcule:

a) La distribución de velocidad.

b) El caudal que pasa entre los dos cilindros.

c) Determine la posición r para la cual la velocidad del fluido es igual a cero.

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.35.

Se tiene una tubería vertical de radio 2R y dentro de ella, un fluido newtoniano que se

mueve hacia arriba. Dentro de la corriente del fluido se coloca una barra muy larga y

delgada de masa m , radio 1R y longitud L ( 1RL ) como puede verse en la figura.

Dicha barra la sostiene la corriente que fluye hacia arriba. Se pide:

a) La distribución de velocidad que hay entre los dos cilindros concéntricos.

2R

1R

ov

ov

z

r





b) La diferencia de presión p que debe haber entre los extremos de la barra para que ésta

pueda mantenerse en equilibrio.

c) El caudal que pasa entre los dos cilindros.

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.36. Flujo laminar de una película que desciende por el exterior de un tubo

circular.

En una experiencia de absorción de gases, un fluido viscoso asciende por el interior de un

pequeño tubo circular, para descender después por la parte exterior del mismo. Aplicar un

balance de cantidad de movimiento a una envoltura de película de espesor r , tal como se

indica en la figura. Obsérvese que las flechas de <<entrada de cantidad de movimiento>> y

<<salida de cantidad de movimiento>> se toman siempre en la dirección r positiva al

efectuar el balance, aun cuando en este caso ocurre que la cantidad de movimiento fluye en

la dirección r negativa.

a) Demostrar que la distribución de velocidad en la película descendente (despreciando los

efectos finales) es

m

L

12 R

1RL

2RL

2R 0p

Lp

,

r

z




R

ra

R

rRgvz ln21

4

2

22

b) Obtener una expresión de la velocidad volumétrica de flujo en la película.

c) Demostrar que el resultado de (b) se transforma en la ecuación

3

3WgQ si el

espesor de la película es muy pequeño.

VER SOLUCIÓN.

Ejercicios propuestos.

1. Para medir de forma continua la velocidad de flujo de un líquido con la densidad

3kg/m 875 , Pa.s 1013.1 3 se usa un pequeño capilar con diámetro interior

m 1022.2 3 y longitud 0.317 m. La lectura de la caída de presión a través del capilar

durante el flujo es 0.0655 m de agua ( 3kg/m 996 ). ¿Cuál es la velocidad de flujo en

m3/s sin tomar en cuenta los efectos en los extremos del tubo?

r

r Ra

R

L

R

,

r

z

Ra




Respuesta: /sm 1006.1 36Q .

2. En un laboratorio de mecánica de fluidos se cuenta con un capilar horizontal de longitud

cm 60L , dos fluidos (agua @ 20ºC y uno desconocido) e instrumentos para medir la

caída de presión en el capilar y el flujo másico.

a) Escriba un procedimiento para determinar la viscosidad del fluido desconocido.

b) Se hace circular el agua y luego el fluido desconocido a través del capilar obteniéndose

los siguientes datos:

Agua Fluido desconocido

Caída de presión (atm) 0.225 4.502

Flujo másico (kg/s) 2.94510–4

2.47410–4

Nota: Se determinó que el fluido desconocido tenía una densidad de 0.88 g/cc y las

propiedades del agua @ 20ºC son cp 1 y g/cc 1 . Verificar la validez de los

resultados.

Respuesta: cp 96.20oDesconocid .

3. Flujo a través de un tubo circular con viscosidad variable.

Resolver de nuevo el Ejemplo 2.25 para el caso de que la viscosidad dependa de la posición

en la forma siguiente: Rre /

0

, en la que 0 es la viscosidad en el centro de la tubería,

y una constante que expresa la rapidez con que disminuye al aumentar r . Demostrar

como el resultado de este problema se transforma en el obtenido en el Ejemplo 2.25 para el

caso límite de que 0 (fluido de viscosidad constante).

Respuesta: a) rL

Pzr

2

; b)

1)1(

2

/

2

2

R

ree

L

RPv Rr

z

; c)

]1)1([2 2

2

,

eL

RPv máxz ; d) ]6)663([

2

23

4

2

eL

RPvz ; e)

]6)663([2

23

4

4

eL

RPQ ; f) gLRpRRFz 22)( .

4. Flujo a través de un tubo circular con viscosidad variable.



Resolver de nuevo el Ejemplo 2.25 para el caso de que la viscosidad dependa de la posición

radial en la forma siguiente:

R

r 10 , en la que 0 es la viscosidad en el centro del

tubo, y una constante que expresa la rapidez con que disminuye al aumentar r .

Demostrar como el resultado de este problema se transforma en el obtenido en el Ejemplo

2.25 para el caso límite de que 0 (fluido de viscosidad constante).

Respuesta: a) rL

Pzr

2

; b)

)1(ln1ln1

2 2

2

R

r

R

r

L

RPvz ; c)

)]1(ln[2 2

2

max,

L

RPvz ; d) )]1(ln6632[

12

23

4

2

L

RPvz ;

e) )]1(ln6632[12

23

4

4

L

RPQ ; f) gLRpRRFz 22)( .

5. Un fluido newtoniano se transporta entre dos puntos en flujo estacionario e

incompresible mediante una tubería horizontal de sección circular. Si se mantiene la

diferencia de presión entre la entrada y la salida de la tubería y el flujo puede considerarse

desarrollado en todo momento, indique cómo cambia el flujo volumétrico de fluido si su

temperatura (la cual puede suponerse uniforme) se aumenta bruscamente mediante una

transferencia de calor desde el exterior. Justifique su respuesta. Considere las posibilidades

de que el fluido pueda ser un líquido o un gas. ¿Cómo cambia su respuesta si el ducto es de

sección cuadrada en vez de circular?

6. Por un ducto circular de diámetro cm 20D , circula un cilindro (de diámetro

cm 19d , longitud cm 30L y densidad 3kg/m 1200 ), y entre el cilindro y el ducto

hay un fluido lubricante (rellena completamente el espacio) de viscosidad cp 1000 y

densidad 3kg/m 800 . Si la fuerza aplicada al cilindro para que se mueva es de

N 100F , y suponiendo que el fluido lubricante es newtoniano y que la diferencia de

presión en la dirección de flujo es despreciable, calcule la velocidad del cilindro dentro del

ducto si:

a) El ducto está horizontal.



b) El ducto está vertical y la fuerza se ejerce hacia arriba.

Si se mantiene la diferencia de presión en los extremos de la tubería y se desea que

el flujo volumétrico de agua sea el mismo que en el diseño original, determine a qué

velocidad y con qué fuerza se debe halar el tubo interior en la dirección del movimiento del

fluido. Especifique en detalle las suposiciones necesarias para resolver el problema.

Desprecie efectos gravitacionales.

7. Flujo laminar de una película que desciende por el interior de un tubo circular.

Un fluido viscoso desciende por el interior de un pequeño tubo circular.

a) Determine la distribución de velocidad en la película descendente (despreciando los

efectos finales).

b) Obtener una expresión de la velocidad volumétrica de flujo en la película.

c) Demostrar que el resultado de (b) se transforma en la ecuación

3

3WgQ si el

espesor de la película es muy pequeño.

ov

z

r

0z

0PP

Lz

LPP



8. Viscosímetro de cilindro descendente.

Un viscosímetro de cilindro descendente consta de un largo recipiente cilíndrico vertical

(de radio R ), cerrado en ambos extremos, con un pedazo de metal cilíndrico sólido (de

radio Rk ). El pedazo de metal está equipado con aletas, de modo que su eje coincide con el

del tubo.

La velocidad de descenso del pedazo metálico en el recipiente cilíndrico puede

observarse cuando éste se encuentra lleno de fluido. Encontrar una ecuación que

proporcione la viscosidad del fluido en términos de la velocidad terminal 0v del pedazo de

metal y las diversas cantidades geométricas que se muestran en la figura.

a) Demostrar que la distribución de velocidad en la rendija anular está dada por

)/1(ln)1()1(

)/1(ln)1()1(22

22

0 kkk

k

v

vz

donde Rr / es una coordenada radial adimensional.

b) Hacer un balance de fuerzas sobre el pedazo de metal cilíndrico y obtener

L

R

,

r

z

Rk



2

2

0

2

0

1

11ln

2

)()(

k

k

kv

Rkg

donde y 0 son las densidades del fluido y el pedazo de metal, respectivamente.

9. Uno de los mayores problemas que se presentan en el transporte de petróleo crudo es

que, debido a su alta viscosidad, las caídas de presión que se generan en las tuberías de

transporte son muy altas, lo cual se traduce en altos costos de bombeo. Una alternativa para

aliviar el problema consiste en inyectar agua en la tubería. Esto hace que, en ciertas

condiciones, se obtenga un régimen de flujo anular (ver figura). Determine para este caso el

flujo volumétrico de cada fase en términos de sus propiedades físicas, iR , R , y la caída de

presión por unidad de longitud, LP / . Considere flujo estacionario unidimensional y

desprecie los efectos de la tensión superficial en la interfase agua-petróleo.

Petróleo

Agua

R2 iR2



Ejemplo 2.37. Flujo laminar en un tubo circular de un fluido incompresible que

obedece a la ley de potencias. Ejemplo 8.3-1 del Bird. Segunda Edición. Página 284.

Deducir la expresión para la velocidad de flujo másico de un líquido polimérico, descrito

por el modelo de la ley de potencias. El fluido circula por un tubo circular largo de radio R

y longitud L , como resultado de una diferencia de presión, de gravedad o de ambas cosas.

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.38. Flujo de una solución de polisopropeno en un tubo. Problema 8A.1 del

Bird. Segunda Edición. Página 301.

Una solución al 13.5% (por peso) de polisopropeno en isopentano tiene los siguientes

parámetros de la ley de potencias a 323 K: 2.0n y nm Pa.s 105 3 . La solución se

bombea (en flujo laminar) a través de un tubo horizontal de 10.2 m de longitud y 1.3 cm de

diámetro interior. Se desea usar otro tubo de 30.6 m de longitud con la misma velocidad de

flujo másico y la misma caída de presión. ¿Cuál debe ser el radio del tubo?

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.39. Bombeo de una solución de óxido de polietileno. Problema 8A.2 del

Bird. Segunda Edición. Página 301.

Una solución acuosa al 1% de polietileno a 333 K tiene los parámetros de la ley de

potencias 6.0n y nm Pa.s 50.0 . La solución se bombea entre dos tanques, donde el

primero está a una presión 1p y el segundo está a una presión 2p . El tubo que transporta la

solución mide 14.7 m de longitud y es de 0.27 cm de diámetro interior.

Se ha decidido sustituir el tubo simple por un par de tubos de la misma longitud,

pero de diámetro interior más pequeño. ¿Qué diámetro deben tener estos tubos de modo

que la velocidad de flujo másica sea la misma que en el tubo simple?

VER SOLUCIÓN.






Ejemplo 2.40. Flujo no newtoniano en tubos concéntricos. Problema 8B.3 del Bird.

Segunda Edición. Página 301.

Volver a trabajar el ejemplo 2.32 para el flujo en tubos concéntricos de un fluido que

obedece a la ley de potencias, con el flujo impulsado por movimiento axial del cilindro

interior.

a) Demostrar que la distribución de velocidad para el fluido es

1

1)/()/1(1

)/1(1

0

n

n

z

k

Rr

v

v

b) Comprobar que el resultado del inciso a) se simplifica al resultado newtoniano cuando n

tiende a la unidad.

c) Demostrar que la velocidad de flujo másico en la región anular está dada por

2

1

)/1(3

1

1

2 2)/1(3

)/1(1

0

2k

n

k

k

vRm

n

n

(para

31n ) (8B.3-2)

d) ¿Cuál es la velocidad de flujo másico para fluidos con 31n ?

e) Simplificar la ecuación 8B.3-2 para el fluido newtoniano.

Solución.

Ejemplo 2.32 y respuestas obtenidas.

Considerar el sistema representado en la figura, en el que la varilla cilíndrica se mueve con

una velocidad V . La varilla y el cilindro son coaxiales. Hallar la distribución de velocidad

en estado estacionario, la velocidad volumétrica de flujo y la fuerza requerida para halar la

varilla cilíndrica. Este tipo de problemas se presentan en el recubrimiento de alambres con

barniz.


Varilla de radio Rk




Distribución de velocidad: k

Rr

V

vz

ln

)/(ln

Velocidad volumétrica de flujo:

2

22

2)/1(ln

)1(

2k

k

kVRQ

Fuerza requerida para halar la varilla cilíndrica: k

LVrFz

ln

2)(

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.41. Flujo de Bingham en un tubo capilar. Ejemplo 2.3-2 del Bird. Página 2-

16. Deducción de la ecuación de Buckingham – Reiner. Problema 8B.6 del Bird.

Segunda Edición. Página 303.

Un fluido cuyo comportamiento se ajusta muy aproximadamente al modelo de Bingham

circula por un tubo vertical en virtud de un gradiente de presión y/o la aceleración de la

gravedad. El radio y la longitud del tubo son, respectivamente, R y L . Se desea obtener

una relación entre la velocidad volumétrica de flujo, Q , y la combinación de las fuerzas de

presión y gravedad que actúan sobre el fluido.


Varilla de radio Rk


z

r




VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.42.

Se tiene una tubería horizontal de longitud L con un fluido Bingham dentro de ella (ver

figura). Si se quiere que la mitad del fluido (en volumen) se mueva con una velocidad

uniforme, calcule, despreciando los efectos de la gravedad: a) Perfil de velocidades, b) La

caída de presión por unidad de longitud ( Lp / ) que hay que ejercer en el fluido, c) El

caudal que pasa por la tubería y d) La fuerza F necesaria para mantener la tubería fija.

VER SOLUCIÓN.

L

p

,,0

R

L

RL

R Lp

0p

00 ,,

z

r





Ejemplo 2.43. Perfil de velocidad de un fluido plástico de Bingham. Ejemplo 3.5-3 del

Geankoplis. Cuarta Edición. Página 184. Problema 3.5-5 del Geankoplis. Cuarta

Edición. Página 236.

Una solución de pigmento para impresión en barniz, 10% en peso

( 2

0 N/m 4.0 , Pa.s 25.00 ), fluye por una tubería con diámetro de 1.0 cm y longitud

de 10.2 m. Se está empleando una fuerza propulsora de presión de 4.35 kN/m2:

a) Calcúlese la velocidad de flujo Q en m3/s.

b) Calcule la velocidad para la región de flujo de taponamiento en r = r0.

c) Calcule la velocidad para valores de r de 0.35 cm, 0.45 cm y 0.50 cm, y grafique el perfil

de velocidad completo contra la posición radial.

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.44. Caída de presión para un fluido plástico de Bingham. Problema 3.5-6

del Geankoplis. Cuarta Edición. Página 236.

Cierto fluido plástico de Bingham tiene un valor de 2

0 N/m 2.1 y una viscosidad

Pa.s 4.00 . El fluido fluye a /sm 1070.5 35 en una tubería de 2.5 m de largo con

diámetro interno de 3.0 cm. Calcule la caída de presión Lpp 0 en N/m2 y r0. (Sugerencia:

Esta solución puede obtenerse por medio del método de prueba y error. Como primera

aproximación, asuma que 00 .

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.45. Flujo de un fluido de Bingham en un tubo circular. Problema 2.I2 del

Bird. Página 2-34.

Un tubo vertical está lleno de un fluido de Bingham y cerrado por el extremo inferior

mediante una lámina. Al separar la lámina, el fluido puede salir o no del tubo por gravedad.

Explíquese este hecho y establézcase un criterio de flujo para este experimento.

VER SOLUCIÓN.






Ejemplo 2.46.

Un tubo vertical de radio interno 3 cm está lleno de un fluido de Bingham ( Pa 6000 ,

3kg/m 2000 ) y cerrado por el extremo inferior mediante una lámina. Al separar la

lámina, el fluido puede o no fluir por el extremo inferior debido a la gravedad. Determine si

el fluido sale o no del tubo.

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.47.

Se conecta un tubo de 3 mm de d.i. y de 100 mm de longitud a la base de un bote de

mostaza dirigido recto hacia abajo. Cuando el bote está lleno (altura de 1 m) la mostaza sale

por el tubo, pero cuando la altura en el tanque desciende hasta 0.4 m el flujo se para. A

partir de la información anterior encuéntrese la tensión de fluencia de la mostaza, un

plástico de Bingham de densidad 3kg/m 1200 .

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.48.

Se dispone de un tanque A, tapado en su extremo inferior con una lámina removible, tal

como se muestra en la figura. Determine el tiempo necesario para llenar el tanque B (de 50

L de capacidad) a partir del tanque A, una vez removida la tapa, si:

a) El fluido es Newtoniano:

rd

vd zzr ; 3kg/m 1150 ; cp 80 .

b) El fluido sigue la ley de la potencia:

n

zzr

rd

vdm

2cm/sdina 5.2 nm ; 6.0n ; 3kg/m 1150 .

c) El fluido sigue el modelo de Bingham:





0 zr : 0rd

vd z

0 zr : rd

vd zzr 0

3000 Pa; 3kg/m 1150 ; 80 cp.

VER SOLUCIÓN.

Ejercicios propuestos.

10. ¿Qué diámetro de tubo vertical permitiría a la mayonesa ( 3kg/m 1200 ) fluir bajo su

propio peso?

11. Flujo no – newtoniano en un tubo.

a) Deducir la fórmula análoga a la de Hagen – Poiseuille para el modelo de Ostwald – de

Waele (ley de potencia). Al hacer la deducción debe de eliminarse primeramente el signo

del valor absoluto. Como para el flujo en un tubo rd

vd z es siempre negativo, la ley de la

potencia se transforma en este caso en

n

zz

n

zz

n

zzr

rd

vdm

rd

vd

rd

vdm

rd

vd

rd

vdm

11

(2.H-1)




Explicar cuidadosamente las transformaciones de la ecuación 2.H-1.

b) Deducir una expresión de la velocidad volumétrica para el flujo en un tubo de un fluido

de Ellis

zrzrzrz

rd

vd

1

10

.



BIBLIOGRAFÍA.

BIRD, R. B, STEWART, W y LIGHTFOOT, E. Fenómenos de Transporte. Editorial

Reverté., Barcelona, 1996.

BIRD, R. B, STEWART, W y LIGHTFOOT, E. Fenómenos de Transporte, Segunda

Edición. Editorial LIMUSA, S.A de C.V. Grupo Noriega Editores., México, 2006.

ÇENGEL, Y y CIMBALA, J. Mecánica de Fluidos. Fundamentos y Aplicaciones, Segunda

Edición., McGraw-Hill / Interamericana Editores S.A de C.V., México, 2012.

GEANKOPLIS, C., Procesos de Transporte y Principios de Procesos de Separación,

Cuarta Edición. CECSA., México, 2006.

GILES, R, EVETT, J y LIU, C, Mecánica de los Fluidos e Hidráulica, Tercera Edición.,

Mc-Graw Hill / Interamericana de España, S.A.U., Madrid, 1994.

MOTT, R, Mecánica de Fluidos Aplicada, Cuarta Edición., Editorial Prentice Hall.,

México, 1996.

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SHAMES, I. Mecánica de Fluidos, Tercera Edición. Editorial McGraw Hill Interamericana

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STREETER, V y WILYE, E, Mecánica de los Fluidos, Octava Edición., Editorial Mc-

Graw Hill., México, 1988.

STREETER, V, WILYE, E y BEDFORD, K, Mecánica de Fluidos, Novena Edición.,

Editorial Mc-Graw Hill., México, 2000.

WELTY, J. Fundamentos de Transferencia de Momento, Calor y Masa, Segunda Edición.

Editorial LIMUSA S.A de C.V., México, 2006.



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Fenómenos de Transporte. Capítulo 2 - … · problemas resueltos y propuestos de fenÓmenos de transporte. mecÁnica de fluidos para estudiantes de ingenierÍa, ciencia y tecnologÍa