Ferrer

Las Matemáticas en las ingenierías

Julio 2010Universidad de Burgos

Cursos de Verano

Josep FERRER, Marta PEÑA Universitat Politècnica de Catalunya

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Aplicaciones Los números complejos:

Representación compleja de las corrientes alternas, cálculo de caídas de potencial, anulación de la potencia reactivaMatrices, Determinantes, Rango:

Controlabilidad y observabilidad de sistemas de control lineal, índices de controlabilidadSistemas de ecuaciones lineales:

Red de flujos, Modelo económico de LeontiefEspacios vectoriales, Bases, Coordenadas:

Códigos de colores, CristalografíaSubespacios vectoriales:

Estados alcanzables en un sistema de control, Análisis de circuitosAplicaciones lineales:

Descomposición de KalmanDiagonalización, Valores y vectores propios:

Direcciones principales de tensión y deformación, Matrices circulantesMatrices no diagonalizables:

Forma canónica de control, Modelo poblacional de LeslieSistemas discretos dinámicos:

Índices de accesibilidad de Gould, Modelo presa depredador

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Ingeniería eléctrica(A) Análisis de circuitos

Ejercicio 1(B) Representación compleja de las magnitudes eléctricas para corrientes alternas

Ejercicio 2Ejercicio 3

(C) Matrices circulantesEjercicio 4

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(A.1) Análisis de circuitos

Consideramos una red con N nudos, B ramas y M mallas.Se trata de determinar la distribución de corrientes y tensiones , , mediante:

LEY DE OHM: , en cada rama, donde ek es la

generación de tensión (si hay).1ª LEY DE KIRCHOFF (KCL): , en cada nudo.2ª LEY DE KIRCHOFF (KVL): , en cada malla.

,k ki u 1 k B

k k k ku R i e

0ki 0ku

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Desde un punto de vista teórico, la Ley de Ohm establece un isomorfismo entre corrientes y tensiones, de forma que nos podemos remitir sólo a un grupo de variables. Por ejemplo, a las corrientes:

(KCL) , en cada nudo.

(KVL) , en cada malla.

0ki k k kR i e

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Una de las ecuaciones de nudo es redundante. Por tanto tenemos N+M-1=B ecuaciones con B incógnitas. También queda claro que el sistema es compatible determinado ya que lo es su homogéneo asociado (si ek=0, no hay aportación de energía, y por tanto las corrientes son nulas). Por tanto:

dim {soluciones KCL}=B-(N-1)=M

dim {soluciones KVL}=B-M=N-1

Se confirma fácilmente (también por un razonamiento “práctico”) que las corrientes de malla son l.i., y por tanto son base del primer subespacio.

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(A.4) Ej.1: Dimensiones y bases de los subespacios def. como soluciones de un sistema de ecuaciones

Considerar la red:

De entre el conjunto E de distribuciones arbitrarias de corrientes, interesa el subconjunto de las que verifican la ley de Kirchoff: en cada nudo la suma de corrientes entrantes debe ser igual a la de las salientes.En la práctica no se usan las corrientes señaladas sino las corrientes de malla:

Demostrar que son coordenadas del subconjunto de soluciones.

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(B.1) Representación compleja de las magnitudes eléctricas para corrientes alternas

El tratamiento de corrientes continuas se generaliza a corrientes alternas simplemente sustituyendo la representación real de las magnitudes eléctricas por una representación compleja. Concretamente, las magnitudes eléctricas en corrientes alternas tienen la forma cosenoidal

donde M es el valor eficaz, α la fase y ω la frecuencia (constante). A cada una se le asocia el fasor complejo

Como la correspondencia es lineal, las leyes de Kirchoff resultan

(KCL) , en cada nudo.

(KVL) , en cada malla.

2 cosm t M t

iM Me

0kI 0kU

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(B.2) Representación compleja de las magnitudes eléctricas para corrientes alternas

Como tiene estructura de cuerpo también generaliza (Ohm) , en cada rama.

donde Zk es la impedancia, incluyendo no sólo el caso de resistencias

, sino también, gracias a que

el caso de condensadores y bobinas: , , donde C y L son la capacidad y la

inductancia respectivamente.

kk

k

UZI

u t Ri t U RI

'm t j m t

'i t Cu t I j CU 'u t Li t U j LI

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(B.3) Ej.2: Los números complejos

Apliquémoslo para calcular la corriente resultante de incrementar la con otras dos de valores eficaces 75% y 50%, desfasadas 120º y 90º respectivamente, es decir

1 00 '75 2 cos3

i t I t

2 00 '50 2 cos

4i t I t

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(B.4) Ej.3: Los números complejos

Deducir que para el circuito

la impedancia Z es un número real si, y sólo si,

y que entonces

A esta situación se le llama de resonancia paralela.

2LL R

C

.L

ZRC

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(C.1) Matrices circulantes

Entre los diversos tipos particulares de matrices que aparecen en Electrotecnia (simétricas,...), destacamos que las de acoplamientos magnéticos en diferentes tipos de motores, máquinas de inducción, etc., dan un operador de inductancias de la forma

caso particular de las llamadas matrices circulantes. Todas tienen los mismos VEPs, que las caracterizan:

Prop. Son equivalentes:Z es una matriz circulante.

Z diagonaliza por la transformación ortogonal

,

Desde un punto de vista técnico, los VAPs dan la descomposición en monofásicos.

1 2 3

3 1 2 3

2 3 1

c c c

Z c c c M

c c c

2

2

1 1 111

31

F a a

a a

2

3j

a e

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(C.2) Ej.4: Valores y vectores propios complejos

Demostrar que toda matriz circulante de la forma

,

diagonaliza con

donde α3 =1 , Calcular la forma diagonal.Demostrar que si A y B son circulantes, también lo son A+B y AB, y que sus valores propios son respectivamente la suma y el producto de los de A y B.

2

2

1

1

111

S

.1

acb

bac

cba

A , ,a b c

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