Instituto Politécnico de Setúbal

ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA

MODELOS

DE

FIABILIDADE E DISPONIBILIDADE

Filipe Didelet Pereira

Engenharia Electromecânica

2003

1

Índice Índice 2 Prefácio 3 1 – Sistematização de modelos de fiabilidade 4

1.1– Modelos determinísticos 5 1.2– Modelos estatísticos 6 1.3– Modelos funcionais 11

2– Distribuições de fiabilidade suplementares 13

2.1– Distribuição gama 13 2.2– Distribuição lognormal 15 2.3– Distribuições de valor extremo 16 2.4– Distribuição de Rayleigh 17

3– Estimadores de máxima verosimilhança 19 4– Diagramas de blocos 22 5– Modelos de Markov 31

5.1– Tempo discreto 37 5.2– Tempo contínuo 47

6– Modelos de Duane e de Crow 54 6.1 – Modelo de Crow 55 6.2 – Modelo de Duane 56 7– Disponibilidade de sistemas reparáveis 62 8– Fiabilidade humana 68

8.1– Categorias de erros humanos 68 8.2– Tratamento geral para os modelos de fiabilidade humana 70 8.3 – Redução do erro humano 74

9 – Selecção de um modelo de fiabilidade 76 Bibliografia 79 Anexo 81

2

3

Modelos de Fiabilidade e Disponibilidade

Prefácio

Estes apontamentos destinam-se aos alunos do 4º ano de Engenharia Electromecânica. Pretendem ser uma continuação dos elementos anteriormente compilados para a disciplina de Fiabilidade cuja consulta é indispensável para se compreenderem alguns dos aspectos aqui tratados. A estrutura adoptada segue um perfil modular, tendo-se tentado que cada capítulo fosse uma unidade autónoma, necessitando, embora, para uma boa compreensão, de alguns conhecimentos prévios, quer adquiridos na disciplina de Fiabilidade quer trazidos de outras disciplinas. Tal fica a dever-se às alterações previsíveis que se avizinham na estrutura dos cursos de engenharia da nossa escola, tornando estes materiais, na presente organização, necessariamente provisórios.

4

1 – Sistematização de modelos de fiabilidade A aplicação de modelos matemáticos em Manutenção, no que respeita ao comportamento dos materiais, baseia-se essencialmente nas diferentes leis de fiabilidade. Cada uma dessas leis origina uma distribuição que teremos que comparar com os resultados observados, como já se viu na disciplina de Fiabilidade. No caso de ajustamento de modelos paramétricos a sistemas reparáveis, a taxa de avarias aparece-nos claramente definida como função do tempo de serviço (ou igual a constante, como caso particular). Há interesse na utilização de modelos aplicados a processos pontuais não homogéneos de Poisson, processos em que a taxa de avarias depende do tempo, quando os equipamentos se encontram em situações em que a taxa de avarias tende a decrescer com o tempo. Repare-se que, em caso contrário, não é rentável investir no equipamento. É o comportamento dos materiais que vai determinar também o cálculo do MTBF e é através deste cálculo que se podem planear as intervenções de manutenção preventiva. Contudo, as substituições preventivas só devem ser feitas sobre componentes com função de risco crescente. As classificações dos modelos de fiabilidade podem ser levadas a efeito de várias formas, havendo a tendência, que começa a ser contrariada, para tratar apenas os modelos estatísticos. Por isso, há que ter em atenção que, nas situações em que tal se revele possível, se poderá recorrer à utilização de modelos determinísticos, por oposição aos modelos estatísticos, e aos modelos funcionais. Uma questão importante é a que respeita à definição de modelo de Fiabilidade porque aparecem confundidos na literatura vários conceitos tomando-se como modelo, por vezes, apenas as distribuições de variáveis. Um modelo de Fiabilidade é determinado por um número de premissas sobre a avaria dos componentes do sistema em estudo. Tomadas em conjunto estas premissas formam o modelo em que o cálculo da fiabilidade se baseia. Uma divisão fundamental entre os modelos de Fiabilidade, para além daquela que considera os modelos consoante a escala de tempos contenha

5

ou não momentos de avaria, é a que separa os modelos determinísticos dos modelos estatísticos. Os modelos determinísticos são modelos em que o tempo não contém momentos de avaria. 1.1 - Modelos determinísticos Modelos determinísticos são modelos baseados nas leis de degradação física dos componentes ou sistemas sujeitos a falha. É importante conhecer o que inicia o processo, que condições ambientais o podem acelerar ou potenciam o seu desenvolvimento e como conduzem à avaria de um dado componente; também há que controlar as formas pelas quais se consegue parar ou, normalmente, diminuir a taxa de progressão dos efeitos associados. Com base no conhecimento do processo de deterioração dominante e no da respectiva taxa de degradação, podem-se fazer previsões sobre a vida útil do componente ou sistema em causa. Se, no que diz respeito a certos componentes, se poderá, com uma margem de erro relativamente pequena, aplicar um modelo deste tipo, já no que respeita a equipamentos ou sistemas mais complexos tal se afigura bastante difícil. Com efeito, nesses casos não é possível definir qual o processo de deterioração determinante (apenas um) e, por outro lado, estes modelos não permitem o tratamento simultâneo de vários processos em conjunto. Vimos, então, que a aproximação determinística encara o estudo da fiabilidade através do conhecimento dos processos físicos que conduzem à falha/avaria. A estes processos dá-se o nome de mecanismos de falha. As consequências dos mecanismos de falha, quando estes são observados, são os modos de avaria (diferentes de componente para componente). Um dos mais conhecidos exemplos de mecanismo de falha é a corrosão. Outra situação característica é a dos componentes electrónicos cuja função de risco depende da temperatura de funcionamento. Essa dependência pode ser determinada pelo modelo determinístico de Arrhenius

6

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

= kTE

Keh (1.1)

em que h - função de risco k - constante de Boltzmann (8.63*10 eV/K) −5

T - temperatura absoluta do componente E - energia de activação do processo de falhas (eV) K - constante A equação 1.1 é importante quando se pretende calcular a função de risco a uma dada temperatura, conhecendo o valor dessa mesma função de risco a outra temperatura. Vejamos uma expressão caracterizadora desta situação com as temperaturas e as respectivas funções de risco notadas por 1 e 2.

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

= 21

11

2

1 TTkE

ehh (1.2)

1.2 - Modelos estatísticos Modelos estatísticos de fiabilidade são modelos que recorrem ao conhecimento de situações ocorridas no passado com um dado componente, sistema ou equipamento ou com entidades semelhantes para inferir sobre a condição futura dessa entidade, seja através do ajustamento de uma distribuição de tipo previamente definido ou através do cálculo de uma função própria caracterizadora da fiabilidade prevista, embora não explicitada algebricamente. No primeiro caso trata-se de modelos paramétricos e, no segundo caso, de modelos não paramétricos. Existem, contudo, outras situações caracterizadoras de modelos estatísticos; entre as principais citem-se o tipo de entidade em causa, passível de caracterização quanto à função (electrónica, mecânica, informática,etc.) e quanto às possibilidades de reparação (reparável ou não reparável). Estas situações ajudam a escolher, por exemplo, uma dada classe de funções para ajuste de um modelo paramétrico. Podem também estabelecer-se modelos que se baseiam no tipo de falha, como o modelo catastrófico, que supõe um só modo de avaria, ou no tipo

7

de variáveis, como os de Markov, baseados no estado do equipamento e no tempo de observação contado a partir do último zero; as variáveis podem ser discretas ou contínuas e a cada uma delas pode ajustar-se a distribuição que for mais conveniente. Nem um nem outro discriminam os diferentes modos de avaria nem permitem relacionar essas mesmas avarias com outras variáveis. O ajustamento de uma dada distribuição a um componente deverá pressupor que o funcionamento desse componente não é afectado pela falha de outro qualquer componente do sistema. Deve ser ainda referido que muitos autores tratam os modelos a partir da forma de consideração do processo de avaria, ou seja, os que analisam repetidas falhas na mesma entidade ou, por vezes, em entidades iguais. Entre estes modelos são muito referidos os modelos de Poisson, homogéneos ou não, talvez devido à facilidade de tratamento, nos processos homogéneos, ou à possibilidade de avaliar a evolução desse mesmo processo partindo da hipótese de que o mesmo pode ser melhorado (é o caso dos processos não homogéneos). Os mesmos autores consideram ainda a divisão entre processos pontuais, em que é considerado apenas o momento de falha, entendida esta por não funcionamento por oposição à situação de funcionamento, e processos não pontuais. Nestes últimos, a falha é considerada como o resultado de um processo de degradação. Não voltaremos, neste capítulo, a tratar os modelos estatísticos paramétricos. Os modelos paramétricos são mais eficazes quando as populações não são normais. São úteis mas põem como condição para a sua aplicação que os dados sejam independentes e identicamente distribuídos. Passaremos a abordar alguns aspectos relacionados com os modelos estatísticos não paramétricos. Por agora, vamos ver três casos de aplicação de modelos não paramétricos, a comparação de valores médios, os testes de variância e as estimativas de fiabilidade, todos aplicando uma aritmética muito simples. Começando pela comparação de valores médios, vamos ver o chamado teste do sinal. Se uma hipótese nula estipula que os valores médios de duas amostras são os mesmos, então cerca de metade dos valores de cada amostra estarão,

8

respectivamente, de um e de outro lado do valor médio. E, assim, cerca de metade dos valores das diferenças em relação à média, ou seja, ( )x xi − , serão negativos e a outra metade apresentará valores positivos. Se a hipótese nula for verdadeira e r for o número de diferenças com um dado sinal, então r apresenta uma distribuição binomial com parâmetros n e p iguais a 0.5. Podemos, então, usar a distribuição binomial e determinar os valores críticos de r para depois testar se há ou não uma diferença estatisticamente significativa entre os valores médios. A tabela 1.1 dá os valores críticos de r para o teste do sinal quando r é o número de sinais menos frequente. A hipótese nula é rejeitada se o valor de r for menor ou igual que o valor tabelado.

Valores críticos de r para o teste do sinal Tabela 1.1

Níveis de significância (%)

n 10 5 1 8 1 0 0

10 1 1 0 12 2 2 1 14 3 2 1 16 4 3 2 18 5 4 3 20 5 5 3 25 7 7 5 30 10 9 7 35 12 11 9 40 14 13 11 45 16 15 13 50 18 17 15 55 20 19 17 60 23 21 19 75 29 28 25 100 41 39 36

9

Exemplo 10 itens são testados até à falha com tempo de vida de 98, 125, 141, 72, 119, 88, 64, 187, 92, 114 Estes resultados indicam uma alteração estatisticamente significativa em relação à anterior vida média observada de 125? Resolvendo, começamos por apresentar o teste do sinal -0+----+-- Temos r=2, n=9 (como há uma diferença de 0, não a consideramos). A tabela 1.1 mostra que r é maior que o valor crítico para n=9, com um nível de significância estatística de 10 %, e, portanto, a diferença nos valores médios não é significativa a este nível. Vamos passar ao teste de análise de variância de Kruskal-Wallis. Trata-se de um teste que funciona com um número restrito de observações, podendo, por isso, ser facilmente usado. No teste de Kruskal-Wallis substituímos os valores observados pelo número da sua ordem. Se a hipótese nula (não haver diferença nas variâncias) se verificar, então os números de ordem 1…N devem distribuir-se igualmente entre os grupos e a sua média será mais ou menos a mesma em todos os grupos. Se T for o número total de números de ordem e Ti representar o total de números de ordem no grupo i, teremos

2)1( +

=NNT (1.3)

A ordem média no grupo é i

Tn

i

i, representando o denominador o número

de observações no grupo i. A soma dos quadrados dos números de ordem é

∑ ∑ +−=−

4)1( 2222 NN

nT

NT

nT

i

i

i

i (1.4)

10

O critério de Kruskal-Wallis é

∑ +−

+=−

)1(31)+N(N

12=

=ordem) de numeros dos quadrados dos (*)1(

12

2

2)1(

NnT

somaNN

i

i

niχ

(1.5)

Vai-se passar agora à apresentação da aplicação deste tipo de modelos às estimativas de fiabilidade. Neste caso, sendo estes testes tão simples, podem ser usados como uma primeira estimativa sem prejuízo da aplicação futura de testes mais precisos que podem até já ser paramétricos pois, nessa altura, poderá já ter-se uma ideia da distribuição estatística dos valores em causa. O chamado método de ordem C parte do princípio de que se n items são analisados e k falham, a fiabilidade da amostra é

[ ]ordenados valores1)+(n em 1)esimo+(k do C 1 ordemRC −≈ (1.6)

em que C representa o nível de confiança requerido, usando uma tabela de valores médios ordenados (ver apêndices). Se não houver itens a falhar pode-se usar o método de funcionamento sucedido que estima a fiabilidade do seguinte modo:

)1(1

)1( +−≈ nC CR (1.7)

Exemplo 20 itens são testados sem falha. Qual é o nível de confiança mais baixo de fiabilidade a 90 %?

897.0)9.01( 211

9.0 =−≈R 1.3 - Modelos funcionais

11

Modelos funcionais são os que se definem a partir das condições de funcionamento dos equipamentos ou com os mecanismos que conduzem à falha. É costume incluir nas condições de funcionamento a envolvente operativa humana. Um dos aspectos que se podem incluir nesta categoria está relacionado com o funcionamento dos próprios equipamentos ou componentes e com os respectivos mecanismos que conduzem à avaria ou à falha. Entre esses mecanismos alguns dos mais importantes são: - a fadiga - o desgaste - a corrosão - os materiais - os processos de fabrico Para alguns destes mecanismos existem modelos determinísticos pelos quais podem ser tratados ou que podem ser associados aos modelos funcionais. Aspectos gerais relacionados também com estes mecanismos podem ser encontrados em diversa literatura, quer específica da mecânica ou da química quer da própria fiabilidade. Não é o que aqui interessa. Apresenta-se somente um modelo de fadiga designado por regra de Miner. Segundo esta regra, a vida de um item sujeito a fadiga é dada por

∑=

=

=++++

1

3

3

2

2

1

1

1

1....

i i

i

k

k

Nn

kou

Nn

Nn

Nn

Nn

(1.8)

em que

12

- nº de ciclos a um dado nível de carga acima do limite de fadiga ni

- nº médio de ciclos de fadiga ao nível daquela carga Ni

A vida de um item sujeito a uma carga alternativa com um valor médio 0 é

∑=

=k

iie nN

1 (1.9)

Ne é a vida equivalente e, quando usada em conjunto com um diagrama de fadiga, dá o valor da carga alternada estacionária à qual ocorrerão os danos à mesma razão que ocorreriam se o item estivesse sujeito a condições de carga variável.

13

2 – Distribuições de fiabilidade suplementares Nesta capítulo apresentam-se algumas distribuições de fiabilidade menos comuns que as que já foram apresentadas na disciplina de Fiabilidade mas que correspondem à caracterização de situações importantes em manutenção. 2.1 – Distribuição gama A distribuição gama cobre uma série de situações de variação da taxa de avarias ou da função de risco com o tempo. Cobre situações de taxa de avarias constante, crescente ou decrescente. Mas cobre particularmente a situação em que a falha de um componente que ocorra em n estágios ou a avaria de um sistema que falha quando tenham ocorrido n subavarias independentes. A distribuição gama é caracterizada por dois parâmetros, o parâmetro de forma, γ, e o parâmetro de escala, θ. Quando 0<γ<1, a taxa de avarias diminui de infinito para 1/θ à medida que o tempo varia de 0 a infinito. Para γ>1, a situação é inversa e, à medida que o tempo varia de 0 a infinito, a taxa de avarias aumenta de 1/θ a infinito. Quando γ=1, a taxa de avarias é constante e igual a 1/θ. Vamos dar as expressões referidas aos tempos x entre avarias. Temos

θγ

γ

γθ

x

exxf−−

Γ=

)()(

1

(2.1)

em que Γ(..) representa a função gama, tabelada em anexo. Quando γ>1, há um máximo da função densidade quando x=θ(γ-1). A função fiabilidade é dada por uma expressão difícil de trabalhar:

∫∞ −−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Γ=

x

dexR τθτ

γθθτγ 1

)(1)( (2.2)

14

Mas a expressão 2.2 pode ser simplificada quando γ toma valores inteiros. Nestes casos, é

∑−

=

− ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=1

0 !)(

n

k

k

x

k

x

exR θθ (2.3)

e

∑−

=

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

1

0

1

!)!1(

1

)(

n

k

k

n

k

x

n

x

xh

θ

θθ (2.4)

A vida média ou o tempo médio entre avarias (MTBF) de um sistema cuja fiabilidade seja modelada desta forma é dada por

tmédio = γθθγθγ

γγ =+Γ

Γ+1)1(

)(1 (2.5)

Exemplo Um sistema mecânico tem que ser alimentado de forma constante por corrente eléctrica fornecida por uma bateria principal cujo tempo de vida T1 obedece a uma distribuição exponencial com média de 120 horas. Mas a bateria principal é apoiada por duas baterias de rectaguarda com vidas médias T2 e T3, respectivamente. Quando a bateria principal falha entra em funcionamento a 1ª bateria de rectaguarda e quando esta falha entra em funcionamento a 2ª bateria de rectaguarda. Assim, as baterias fornecem a energia de forma independente mas sequencial. Qual é a fiabilidade do sistema e a sua função de risco às 280 horas? Qual é a sua vida média? Como os tempos de vida das baterias são variáveis aleatórias exponenciais e independentes com médias T1, T2 e T3, o tempo de vida total do sistema mecânico, T, é igual à soma dos tempos de vida de cada uma das baterias. A distribuição de T é uma distribuição gama com γ = n = 3 e θ = 120.

15

Recorrendo à equação 2.3 temos

R(280)= ∑=

−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2

0

120280

85119.0!

120280

k

k

ke

A função de risco obtem-se a partir de 2.4

h(280)= 00258.0)777.8(!2

120280

1201 2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

A vida média do sistema é igual a γθ = 3 x 120 = 360 horas. 2.2- Distribuição lognormal É utilizada para ajustar dados relativos ao tempo de vida resultante do mecanismo de falha de semicondutores simples ou a um grupo de mecanismos de falha fortemente relacionados entre si. Também se usa para prever a fiabilidade de equipamentos previamente testada a partir de testes de tempo de vida acelerado.

0 x0, - 2

1)(

2ln21

>>∞<<∞= ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−

σµπα

σµx

ex

xf (2.6)

Quando a variável aleatória T se define como T=lnX, em que X é lognormal, então T é normalmente distribuída com média µ e desvio padrão σ:

[ ] [ ] µ== )ln(xETE (2.7)

[ ] [ ] 2)ln( σ== xVarTVar (2.8)

Como X=expT, a média da lognormal pode ser encontrada a partir da distribuição normal. De facto, E(X)=E(expT) e tem-se, para a média da lognormal

16

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

2exp)(

2σµXE (2.9)

O segundo momento é dado por

( )[ ]222 2exp)()( σµ +== TeEXE (2.10)

A variância é

[ ][ ]1)(222 −= + σσµ eeXVar (2.11)

A fiabilidade vem dada por

[ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −>=>=

σµxzPxXPxR ln)( (2.12)

e a função de risco por

)(

ln

)(xRx

x

xhσσ

µφ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

= (2.13)

Em que φ representa a função densidade da normal. 2.3 – Distribuições de valor extremo As distribuições de valor extremo estão intimamente relacionadas com a distribuição de Weibull. São úteis para modelar situações em que a taxa de avarias ou a função de risco são inicialmente constantes mas depois começam a aumentar de forma rápida com o tempo. Isto acontece quando o parâmetro de forma da distribuição de Weibull é igual a 5.5. Usa-se para descrever o tempo entre avarias ou o tempo até à falha de produtos ou componentes que operam em condições normais quando as condições são as habituais mas que entram em ruptura rapidamente devido a uma causa de falha secundária como fractura ou sobreaquecimento se são sujeitos a condições de funcionamento extremas.

17

Alguns componentes electrónicos obedecem a esta distribuição. Mas o mesmo acontece com alguns órgãos mecânicos quando sujeitos a grandes tensões. É o caso de algumas caixas de engrenagens que funcionam regularmente em condições normais mas que quando sujeitas a velocidades excessivas sofrem grandes desgastes nos rolamentos, provocando desalinhamento dos veios e eventual avaria do conjunto. Teremos

h(x) = beαx (2.14)

f(x)=beαx ( )1−− xeb

eα

α (2.15)

R(x)=( )1−− xeb

eα

α (2.16)

Nas expressões anteriores b é uma constante e eα representa o aumento da taxa de risco (de que a função de risco é o limite quando ∆x tende para 0) por unidade de tempo. Por exemplo, se a taxa de risco de um componente aumenta 10% ao ano, h(x)=b(1.1)t com α=ln(1.1)=0.0953. Exemplo Os tempos entre avaria de uma ferramenta de corte de uma máquina de CNC seguem uma distribuição de valor extremo quando a ferramenta fica sujeita a vibrações excessivas provocadas por velocidade demasiado elevada. Nessa situação, a taxa de risco aumenta 15% à hora. Com b=0.1, calcular a fiabilidade da ferramenta ao fim de 10 horas a trabalhar nessas condições. α=ln(1.15)=0.1397

( ) 8042.011397.0

01.0 101397.0

)10(=−−

=xe

eR 2.4 – Distribuição de Rayleigh A distribuição de Rayleigh deriva directamente da distribuição de Weibull quando, nesta distribuição, o parâmetro de forma toma o valor 2.

18

A distribuição de Rayleigh caracteriza-se por exibir uma função de risco linearmente crescente com o tempo. Isto significa que esta distribuição se adequa aos equipamentos que estão envelhecidos e, por isso, sofrendo de degradação acentuada.

2

2

)(ax

axexf−

= (2.17)

R(x) 2

2ax

e−

= (2.18)

Para esta distribuição, devido à sua particular utilização, faz sentido apresentar uma expressão estimada para o cálculo da taxa de avarias. Teremos que ter em atenção que a taxa de avarias depende do tempo de calendário, t. Será

∑=

=n

iixt

1

e

)2/3()(

1

2Γ=

∑=

n

iix

ntλ (2.19)

Desta forma, vemos que podemos utilizar uma expressão semelhante a 2.18 para o cálculo da fiabilidade com o tempo de calendário.

19

3 - Estimadores de máxima verosimilhança Sejam variáveis aleatórias cuja distribuição conjunta é conhecida a menos de um dado parâmetro θ. Podem, por exemplo, os X’s serem independentes, distribuídos aleatoriamente de forma exponencial e terem todos o mesmo parâmetro θ. Nesse caso, a densidade de probabilidade conjunta é

X X X n1 2, ,...

f x x x f x f x f x e e en x x x n

x x

n

x

n

ni

i

n

( , .... ) ( ). ( ).... ( ) .....1 2 1 21 2

1 11 1 1= =

∑− − − =

=θ θ θ

θ θ θ

(3.1) Em 3.1, os x’s podem tomar qualquer valor superior a 0 e I pode variar entre 1 e n, inclusive. Há então que estimar θ a partir dos dados X’s observados. A função de verosimilhança representa a probabilidade de obter os valores que temos como dados. O modelo tem que calcular os coeficientes de regressão que maximizam aquela probabilidade. Nas situações em que existem observações censuradas, a verosimilhança aparece como o produto do "piatório" dos valores da função densidade de probabilidade dos casos de falha pelo "piatório" dos valores da função fiabilidade para os casos censurados. Como f x x xn( , ,... )1 2 θ representa o facto de ser verosímil que os valores x’s sejam observados quando θ é o verdadeiro valor do parâmetro, parece razoável que um estimador de θ seja aquele que conduz ao máximo valor da função anterior. Ou seja, o estimador de máxima verosimilhança, , é o que conduz à maximização daquela função que, por sua vez, é normalmente definida como a função de máxima verosimilhança.

θ^

Por vezes, como a função e o seu logaritmo natural têm máximo para o mesmo valor de θ, usa-se lnf em vez de f como função a maximizar. Vamos fazer uma aplicação através de um exercício sobre estimação pelo método da máxima verosimilhança.

20

Pretende-se estimar, recorrendo ao método da máxima verosimilhança, os parâmetros α e β da distribuição de Weibull para os tempos entre avarias de um sistema reparável cuja função de risco é dada por:

h(t) = αβ (3.2) βt −1

com t>0 e em que α e β são constantes positivas. A expressão 3.2 pode considerar-se como uma forma geral de escrita da função de risco obtida a partir da distribuição de Weibull com parâmetros α e β. As funções densidade de falhas e densidade de falhas acumulada serão, respectivamente:

f(t) = (3.3) αβ αβ βt t− −1 exp( )e

F t( ) ) = 1- exp(- tα β (3.4) com t>0. Se X1,....Xn forem variáveis aleatórias independentes que obedeçam à distribuição de Weibull com parâmetros α e ß desconhecidos, pode-se empregar a aproximação da verosimilhança máxima para que se possam calcular aqueles parâmetros. Podemos retirar a verosimilhança

L(x1...xn) = (3.5) α β αβ βn nn i

i

n

x x x11 1

1

− −

=− ∑... exp( )β

E, tomando logaritmos:

lnL(x1...xn) = n.logα + n.logß + (ß - 1). (3.6) ln x xii

n

ii

n

= =∑ ∑−

1 1α β

Derivando agora em ordem a α e a ß obtem-se:

∂∂α α

βln ( ... )L x x xn ii

n

11

= n−

=∑ (3.7a)

∂∂β β

α βln ( ... ) ln lnL x x x x xn ii

n

ii

n

i11 1

= n+ −

= =∑ ∑ (3.7b)

21

Igualando as equações 3.7 a zero podemos obter as soluções para as estimativas de verosimilhança máxima para os parâmetros da distribuição de Weibull. Apresenta-se a seguir uma estimativa de máxima verosimilhança para o parâmetro de escala, a, da distribuição de Rayleigh. Teremos, sucessivamente

∏ ∏ ∏= =

−

=

−

===n

i

n

i

atn

ii

nat

ii

ii

etaeatxftaL1 1

2

1

2

22

)(),(

E, tomando logaritmos e derivando e igualando a 0:

lnL(a,t)=nlna+∑ ∑= =

−n

i

n

iii tat

1 1

2

2ln

021),(ln

1

2 =−= ∑=

n

iita

nda

taLd

â=∑=

n

iit

n

1

2

2 (3.8)

22

4 - Diagramas de blocos Um diagrama de blocos é uma representação gráfica que permite mostrar a lógica de ocorrência de avarias de um dado sistema porque mostra as ligações lógicas entre os diversos equipamentos ou componentes desse mesmo sistema. Note-se que um diagrama de blocos para fiabilidade não é necessariamente o mesmo que um diagrama de blocos funcional que mostra o conjunto inserido no processo que constitui o fim para a sua utilização. Para sistemas complexos pode tornar-se difícil a construção do diagrama de blocos e podem ser necessários diferentes diagramas de blocos consoante aquilo que se tome como avaria do sistema ou de cada um dos seus constituintes. Quando, na disciplina de Manutenção Centrada na Fiabilidade, se tratar o método FMECA, voltar-se-á a falar em diagramas de blocos. A análise de um diagrama de blocos consiste em reduzir o conjunto geral que é o diagrama de blocos a um sistema simples que possa ser analisado utilizando o formulário para arranjos em série e em paralelo. No que se segue considera-se que as fiabilidades dos diferentes blocos são estatisticamente independentes umas das outras. Para começar, considere-se o sistema ilustrado na figura 4.1. Nessa figura, o bloco C representa um sistema que só funciona se pelo menos dois dos 3 equipamentos estiverem a funcionar.

23

Decomposição de um diagrama de blocos Figura 4.1

O sistema mostrado na figura 4.1 pode-se reduzir da seguinte forma:

( )[ ] ( )[ ] )1(**1**11

****

9876543

1021

RRRRRRRR

RRRRRR

B

CBS

−−−−=

=

21111

311

21111

311

011

)1(3)1(1

)1(2

2*3)1(2*32*31

RRR

RRRRRC

−+−−=

−+−−=

Os diagramas de blocos complexos podem ser analisados usando os métodos dos conjuntos de corte ou dos conjuntos de nós.

24

Um conjunto de corte é produzido desenhando uma linha através dos blocos do sistema para mostrar o número mínimo de blocos que é necessário estarem avariados para que o sistema avarie. Produzem-se conjuntos de nós, desenhando linhas através dos blocos do sistema de tal modo que, se todos esses blocos estiverem a funcionar, o sistema funciona. Na figura 4.2 ilustram-se estas situações. Trata-se de um sistema que possui 3 conjuntos de corte (figura 4.2 a)) e 2 conjuntos de nós figura 4.2 b)). Os limites aproximados da fiabilidade de um sistema, tal como se deduzem a partir dos conjuntos de corte e de nós, são dados pelas expressões 4.1 e 4.2, respectivamente.

∑∏= =

−−>N

i

n

jiS RR

1 1)1(1 (4.1)

∑∏= =

<T

i

n

jiS RR

1 1 (4.2)

em que N - nº de conjuntos de corte T - nº de conjuntos de nós nj - nº de blocos no j-ésimo conjunto de corte ou de nós

25

Conjuntos de corte (a) e de nós (b) Figura 4.2

Apresenta-se de seguida um exemplo de aplicação dos diagramas de blocos referente a um motor de corrente contínua com variador de velocidade. Este exemplo foi retirado de uma aplicação real na indústria. Exemplo • Tensão alterna de alimentação 380 Volt

(trifásico) • Variação máxima permitida 10 % • Frequência na alimentação 50 Hz (±

1,5 Hz)

26

• Tensão de saída em corrente contínua 512 Volt • Intensidade de corrente nominal da corrente contínua 850

Ampere • Temperatura admissível na sala de quadros 18 a 24º C • Temperatura do ar da ventilação forçada -30 a +50

graus centígrados • Fonte de alimentação para impulsos 24 Volt Comecemos por fazer uma pequena análise ao funcionamento de um motor de corrente contínua. Quando se pretende um controlo preciso de velocidade e um binário de saída numa ampla faixa, são usados frequentemente motores de corrente contínua. Um dos modos mais comuns de controlo é o uso de um motor de excitação independente, com excitação de campo constante. A velocidade é controlada pela variação de tensão aplicada aos terminais do induzido, como acontece no accionamento em estudo. Estruturalmente, um motor de corrente contínua é constituído pelo rotor ou induzido, com um núcleo formado por um conjunto de chapas laminadas, e o respectivo enrolamento, cujas espiras são ligadas ao colector. Montadas nos pólos do estator estão as bobines de campo alimentadas por uma corrente de excitação (Ie), onde se formam campos magnéticos que geram um fluxo (φ). A relação entre o fluxo e a corrente de excitação segue a curva característica da magnetização [φ = f (Ie)]. Em vazio, o comportamento da curva característica da magnetização coincide com a curva característica sem carga [ U= f (Ie)]. Aplicando uma corrente contínua aos terminais do induzido, tal como se mostra na figura 4.3, desenvolve-se um binário (M), proporcional quer à corrente do induzido (I) quer ao fluxo de excitação. Todos as demais variáveis do motor que afectam o binário, tais como a secção ou corte transversal do núcleo, são reunidas numa única constante (K). As grandezas envolvidas são as seguintes: U - Tensão aplicado ao induzido; t – Tempo; Ie - Corrente de excitação; R - Resistência do circuito de excitação; n - Velocidade angular do motor; L - Indutância do circuito de excitação;

27

φ - Fluxo magnético gerado pela excitação; M - Binário motor produzido;

M

+

-

Ie

Ue φ

nM

+ -

I

U

Motor de corrente contínua Figura 4.3

As duas equações básicas do motor são as seguintes:

dtdILRInKvU ++= φ

IKtM ..φ=

Em condições de variações lentas de corrente, pode-se desprezar a parcela

dtdIL , resultando:

RInKvU += ..φ

A queda de tensão RI tem um valor típico situado entre os 5 e 10% do valor nominal da tensão, pelo que a parcela ( nKv ..φ ) representa 90 a 95% da tensão nominal, sendo denominada força contra-electromotriz. No nosso caso o fluxo é mantido constante pelo controlo de excitação, pelo que a força contra electromotriz tem valores directamente proporcionais à velocidade.

28

Por outro lado o binário requerido pela carga para operar a uma certa velocidade é dado pelas expressões: IKtM )..( φ= MacMtMpM ++= sendo: Mp – Binário necessário para vencer as perdas mecânicas (atritos em chumaceiras, tensionamento de feltros, resistência do ar, perdas nas transmissões, aumento de condensado nos cilindros secadores etc.) Mac - Binário necessário para acelerar as massas até à velocidade de operação. Este binário desaparece uma vez cessada a aceleração. Mt – Binário requerido para manter a tensão do papel, a uma dada velocidade. Quanto à relação motor/carga, para uma operação a velocidade constante, o binário requerido ao motor é dado pela expressão:

TtTpIKt +=)..( φ Como φ é constante, o produto (Kt.φ) também é constante. Assim, a variação da corrente no induzido representa a variação do binário fornecido à carga, sendo que a corrente do induzido é igual à soma da parcela de corrente usada para gerar o binário de perdas (Ip) e da parcela de corrente usada para gerar o binário de tensionamento do papel. Podemos então escrever:

ItIpI += No caso de máquinas de papel, situação à qual se aplica o exemplo em estudo, o binário de perdas (Ip) varia, em geral, lentamente com o tempo, tal como acontece com as perdas provocadas pelo aumento de condensado em cilindros secadores ou outras degradações de ordem mecânica.

Desta forma, podemos associar variações de corrente do induzido de um motor a variações nas condições mecânicas da máquina ou da tensão na folha de papel.

29

O controlo de velocidade funciona de acordo com o diagrama da figura 4.4. A velocidade do motor, através do sinal do taquímetro, é comparada com o valor teórico dado pelo operador no microprocessador. Caso haja diferença entre o valor teórico e o valor real, o sistema de regulação faz variar a tensão de alimentação do motor no sentido de aumentar ou diminuir a corrente, conforme a velocidade seja menor ou maior que o valor ajustado. Deste modo, do ponto de vista do controlo, o sistema reage apenas a variações de velocidade, ainda que pequenas, sendo a variação da corrente consequência da acção correctiva do regulador. A única excepção ocorre quando há variações de tensão na rede de alimentação de energia, quando o sistema de regulação tenta restabelecer a corrente programada pelo controlo de velocidade. Qualquer ajuste de velocidade feito num grupo de accionamento transmite-se a todos os grupos, garantindo uma sincronização perfeita em todos os pontos da máquina.

Equipamento alvo ( diagrama de blocos)

u 2u 1

m 2

m 1

u 3 u 4

f 1

n 1

k1

n 2

d

c 1

a 1e 1 / 2 / 3

R TS

n 3

30

LEGENDA:-CIRCUITO DE POTÊNCIA RST - Fases a - Disjuntor e1,2,3- Fusíveis de fase d - Relé auxiliar c1 - Relé principal k1 - Bobine n1 - Ponte de tiristore n2 - Ponte rectificadors n3 - Transformador auxiliar f1 - Conversos de corrente m1 - Motor DC m2 - Taquimetro-REGULAÇÃO E COMAMDO u1 - Microprocesador u2 - Regulador de velocidade u3 - Regulador de corrente u4 - Gerador de impulsos

Diagrama de blocos para o controlo de velocidade

Figura 4.4

31

5 – Modelos de Markov Vamos tratar agora de modelos que se aplicam a sistemas reparáveis e que, por isso, tomam como variável de tempo o tempo de vida. No caso dos modelos de Markov é, contudo, possível considerar aplicações a sistemas reparáveis e a componentes. Um sistema reparável caracteriza-se pelo facto de a ocorrência de uma avaria não implicar o “fim de vida” do produto (em oposição ao conceito de componente); pelo contrário, o elemento avariado vai ser substituído (ou reparado) de modo a que o sistema retorne às suas condições de operacionalidade. As avarias podem ocorrer de 3 formas diferentes: - independentes e identicamente distribuídas; - de forma que a taxa de avarias seja decrescente; - de forma que a taxa de avarias seja crescente. Se as avarias ocorrerem de forma independente e identicamente distribuída, a taxa de avarias resultante é constante. Esta situação pode ser testada recorrendo ao teste de Laplace, que formula como hipótese nula Ho=taxa de avarias constante. Note-se que, em princípio, não interessará muito considerar as situações em que a taxa de avarias aumenta pois, nessas situações estamos na parte ascendente da curva da banheira e apenas uma de duas situações são possíveis: o abate dos equipamentos ou a sua revisão geral. As situações de taxa de avaria decrescente serão analisadas em 6.1. Com a situação de taxa de avarias constante, estas ocorrem segundo um processo de Poisson com o intervalo de tempo entre avarias descrito pela distribuição exponencial negativa. Se no tempo t o sistema reparável teve x avarias, o número médio de avarias, m, é dado por m=λt=t/MTBF. A probabilidade de se obterem x avarias é dada por

!)(

xmexP

xm−

= (5.1)

32

A questão que agora se coloca é a de termos uma estimativa mas de continuarmos sem saber se de facto a fiabilidade é aceitável. Requere-se então um limite superior para a taxa de avarias, o que implica a resolução de

∑=

−

=x

i

is

m

ime s

0 !α (5.2)

em que - limite superior para o nº esperado de avarias ms

α - probabilidade de ocorrência de x ou menos avarias = 1-nível de confiança

Devido à dificuldade em resolver a equação 5.2, é vantajoso utilizar a relação entre as distribuições de Poisson e do qui-quadrado. Essa relação diz que a probabilidade de ocorrerem x ou menos avarias quando esperamos m avarias (com m igual ao valor médio da distribuição de Poisson) é igual à probabilidade da variável de qui-quadrado, com 2(x+1) graus de liberdade, exceder 2m. Ou seja

2)1(2,2 += xm αχ (5.3)

O limite superior para m quando se observam x avarias (nível de confiança 1-α) é tal que P(x ou menos avarias) = α e é dado por

2

2)1(2, += x

sm αχ (5.4)

Podemos, da mesma forma, definir o limite superior para a taxa de avarias:

tx

s 2)1(2, += αχλ (5.5)

33

No caso concreto do limite máximo do número de avarias, se houver uma avaria no momento final da observação, em vez de 2(x+1) deverá tomar-se 2x. Também se pode tomar o limite inferior da taxa de avarias, embora do ponto de vista prático tenha menos interesse; será:

2

22),1( x

im αχ −= (5.6)

Este limite inferior será tal que a probabilidade de haver x ou mais avarias será igual a α ou, dito de outra forma, a probabilidade de existirem x-1 avarias ou menos será igual a 1-α. Normalmente, quando se fala na garantia de fiabilidade de um sistema reparável, demonstra-se a mesma com base no MTBF. A duração de um teste que garanta o MTBf pretendido é igual , para um nível de confiança de 1-α, ao produto do MTBF pretendido pela equação 5.4. Mas o método assim descrito pode nunca terminar. Deste modo é conveniente definir um teste de amostragem.

Figura 5.1

Na figura 5.1 temos, em abcissas, a taxa de avarias e, em ordenadas, a probabilidade de aceitação. λ1 – valor baixo da taxa de avarias associado ao qual temos uma probabilidade 1-α de aceitar o produto. α - probabilidade de se rejeitar um bom produto

34

λ2 – valor alto da taxa de avarias associado ao qual temos uma probabilidade β de acitar o produto β - probabilidade de aceitar um mau produto A metodologia consiste em definir o tempo total do teste e o número máximo de avarias admitido para os valores de α e β, previamente definidos. Aceita-se o equipamento se ao fim do tempo do teste houver c ou menos avarias. A utilização da distribuição do qui-quadrado permite simplificar os cálculos necessários à determinação do tempo de teste, T, e c. Para λ=λ1:

2)1(2),1(12 +−= cT αχλ (5.7)

Para λ=λ2:

2

)1(2,22 += cT βχλ (5.8)

Fazendo

2)1(2),1(

2)1(2,

2

1

1

2

+−

+==c

c

MTBFMTBF

α

β

χχ

λλ (5.9)

eliminamos a incógnita T e podemos resolver a equação em ordem a c. Devido à sua flexibilidade, são largamente utilizados os processos estocásticos generalizados para o cálculo da fiabilidade de sistemas críticos. Os processos estocásticos possuem um número de estados que descrevem o comportamento de um dado conjunto de variáveis aleatórias. O comportamento de um processo estocástico varia de acordo com um índice. Em engenharia de fiabilidade, esse índice é geralmente o tempo de vida do sistema. Isto significa que o processo estocástico é utilizado para descrever a dinâmica do sistema em relação ao tempo.

35

O espaço dos estados é o conjunto de todos os possíveis estados do processo. O estado dos índices é o conjunto de todos os possíveis valores dos índices. Num dado momento de tempo, o sistema estará num dos seus possíveis estados. Em cada estado, pode ocorrer um dado conjunto de acontecimentos. A distribuição das ocorrências de cada estado depende da história do sistema (todos os acontecimentos e transições de estado anteriores). Em engenharia de fiabilidade, o espaço dos estados é normalmente discreto. Por exemplo, um sistema pode ter dois estados, em funcionamento e em avaria. Há, contudo, aplicações em relação às quais o espaço dos estados pode ser contínuo. É o caso, por exemplo, do nível de água num tanque, quando as condições de falha do tanque dependem do nível da água. Se o espaço dos estados é discreto diz-se que o processo é uma cadeia. Também o espaço dos índices pode ser discreto ou contínuo. Na maioria das aplicações em engenharia de fiabilidade, o espaço dos índices é contínuo (é a escala de tempos), o que significa que os tempos entre avarias ou até à falha ou de reparação são variáveis aleatórias. Contudo, podem existir casos em que o espaço dos índices seja discreto. Uma técnica muito utilizada para estudar sistemas reparáveis é devida a Markov. Para poder ser aplicada é necessário que o comportamento do sistema se caracterize por uma falta de memória, ou seja, que os seus estados futuros sejam independentes dos estados passados, excepto para o imediatamente precedente. Aliás, o comportamento futuro de um sistema deste tipo só depende do estado presente, não interessando o seu comportamento passado ou a forma como chegou à presente condição. Além disso, o comportamento do sistema deve ser tal que a probabilidade de transitar de um dado estado para um outro é sempre a mesma em qualquer instante. Assim, designa-se por processo de Markov uma classe especial de processos estocásticos que é caracterizada por determinar o comportamento futuro do processo a partir do seu estado presente. Portanto, as distribuições de acontecimentos são independentes da história do sistema. Para além disso, as taxas de transição são independentes do momento em que o sistema atingiu o estado presente.

36

Antes de ocorrer uma transição, o tempo gasto em cada estado segue uma distribuição exponencial. As condições anteriores serão satisfeitas se todos os eventos (avarias, reparações, etc.) em cada estado ocorrem a taxas de ocorrência constantes (taxas de avarias, taxas de reparação, etc.). como o comportamento do processo é independente do tempo, estes processos designam-se por processos de Markov homogéneos. Contudo, as taxas de avaria e reparação podem depender do estado presente. Por isso, devido à restrição imposta por uma taxa de transição constante, os processos de Markov homogéneos não devem ser utilizados para modelar o comportamento de sistemas que estejam sujeitos a desgaste. Na maioria dos casos utilizam-se classes especiais de processos estocásticos que são generalizações dos processos homogéneos de Markov. Nestes modelos incluem-se os modelos semi-Markovianos e os modelos não homogéneos. Os modelos semi-Markovianos diferem dos processos homogéneos de Markov na medida em que os tempos de transição e as respectivas distribuições de probabilidades dependem do momento em que o sistema alcançou o presente estado. Isto significa que as taxas de transição num estado particular dependem do tempo já gasto nesse estado mas não dependem do modo pelo qual se atingiu esse estado. Assim, as distribuições de transição podem não ser exponenciais. Os modelos não homogéneos caracterizam-se pelo facto de os tempos de transição dependerem do tempo global em vez de dependerem do momento em que se atingiu o presente estado. Para além da sua utilização normal em fiabilidade, os modelos de Markov podem ser utilizados noutros campos como, por exemplo:

- trânsito - ocorrência de acidentes - emissão de partículas por fontes radioactivas - número de pessoas em espera numa fila

- chegada de chamadas telefónicas num dado aparelho

37

Vimos que o espaço e o tempo podem variar tanto discreta como continuamente. Normalmente o espaço é representado por uma função discreta, dado que os estados do sistema são em número limitado e perfeitamente identificáveis. É deste facto que provem a designação de cadeias de Markov, muito utilizada na literatura. No caso do tempo, a variação pode ser discreta ou contínua. 5.1 – Tempo discreto No caso do tempo ser discreto vai-se de intervalo em intervalo de tempo. Veja-se o exemplo seguinte em que as flechas indicam mudança de estado e os números que lhes estão associados representam a probabilidade de cada uma dessas mudanças de estado ocorrer. Não podemos esquecer que, quando nos referimos a tempo, nestes modelos, nos estamos a referir a tempo de calendário ou tempo de vida e não a tempos entre avarias.

1/4

1/2

1/2 3/4

Sistema com dois estados Figura 5.1

A figura seguinte ilustra um diagrama de árvore para aquele sistema com dois estados.

38

1 2 intervalos de tempo

1

1

2

1

2

1

2 1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

Diagrama de árvore para um sistema com 2 estados Figura 5.2

Neste exemplo considera-se que o sistema, de início, se encontra no estado 1. A probabilidade de estar em 2 ao fim de dois intervalos de tempo é ½.3/4+1/2.1/2=5/8. Pode-se construir a matriz de transição de um estado para outro num só intervalo de tempo. Será:

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

3/4 1/41/2 2/1

2221

1211

PPPP

Q (5.10)

Se fizermos o mesmo para dois intervalos de tempo, virá:

39

[ ] =2Q ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2221

1211

PPPP

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2221

1211

PPPP

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++++

1/16 5/165/2 2/3

)( )()( )(

2222122121221121

2212121121121111

PPPPPPPPPPPPPPPP

(5.11)

Pode-se também calcular a probabilidade de estar no estado 1 ou no estado 2 ao fim de n intervalos de tempo. Neste caso é indiferente saber-se qual a situação que deve ser considerada como inicial. Chamemos então P1 e P2, respectivamente, a cada um daqueles dois valores de probabilidade. Será:

[ ][ ] [ ]2121 PPQPP = (5.12)

A partir da equação 7.4, e tendo em conta que P1+P2=1, pode-se construir o sistema de equações

⎩⎨⎧

=+=+−

104/12/1

21

21

PPPP

(5.13)

Do sistema 5.13 resulta P1=0.333 e P2=0.667. O método de Markov pode ser explicado considerando um único componente que poderá estar em um de dois estados: A (avariado) e O (operacional). A probabilidade de transição de O para A é: , e de A para O é: AOP → OAP →

À figura que se segue chama-se diagrama de transição de estado ou diagrama estado-tempo. Na figura todos os estados, todas as probabilidades de transição, bem como as probabilidades de permanência no mesmo estado (1 – probabilidade de transição), estão representados.

40

P AO→

P OA→

Figura 5.3

Cadeia de Markov discreta Figura 5.3

No exemplo da figura 5.3 temos uma cadeia de Markov discreta, dado que utilizamos esta cadeia para descrever a situação de transição entre dois incrementos de tempo. Para tornarmos mais claro o exposto vamos considerar que o componente da figura tem as seguintes probabilidades de transição em intervalos de tempo iguais :

1,0=

→P AO ; 6,0=→P OA

Vamos agora determinar qual é a probabilidade de funcionar após 2 intervalos de tempo, assumindo que no estado inicial o sistema estava operacional. A disponibilidade do sistema encontra-se representada, intervalo de tempo a intervalo de tempo, na figura 5.4:

Figura 5.4

A P OA→−1

O

P AO→−1

O

A O

0,1 0,9

0,4 0,1 0,6

0,04 0,81 0,09 0,06

A O O A

0,9

41

Podemos agora determinar a probabilidade de o sistema se encontrar no estado operacional após dois intervalos de tempo ∑ =+= 87,081,006,00 Bem como a probabilidade do sistema se encontrar avariado após os dois intervalos de tempo. ∑ =+= 13,009,004,0A

Se calculássemos do mesmo modo os valores da disponibilidade obtidos para cada intervalo de tempo e o fizermos representar num gráfico “disponibilidade / Intervalo de tempo”, verificaríamos que ao fim de 3 intervalos de tempo a disponibilidade já se aproximaria do estado estacionário, como se pode apreciar na figura 5.5. diponibilidade de sistemas reparáveis

1,000

0,900 0,870 0,861 0,860

0,600

0,700

0,800

0,900

1,000

0 1 2 3 4 5

intervalo de tempo

disp

onib

ilida

de

Figura 5.5

O facto de a disponibilidade tender para um valor estabilizado ao fim de poucos intervalos de tempo é devido a terem-se assumido valores constantes para as taxas de avaria e de reparação bem como terem-se considerado os acontecimentos IID (Independentes e identicamente distribuídos). Vamos começar por ver sistemas complexos de um único componente. A representação do diagrama em arvore da figura 5.4, ficará rapidamente impraticável se o sistema for mais complexo que um sistema de um único componente como o descrito e analisado durante alguns (poucos) incrementos de tempo. Para sistemas mais complexos são usados métodos matriciais pois podem ter um tratamento informático adequado.

42

Vamos seguidamente dar o exemplo de uma aplicação matricial num sistema simples reparável, no qual se pretende conhecer a disponibilidade ao fim de cada intervalo de tempo. Comecemos por criar a “matriz de probabilidade de transição aleatória” que tem a seguinte representação:

AAOA

AOOO

PP

PPP

→→

→→=

Para o exemplo anteriormente considerado constrói-se a “matriz de probabilidade de transição aleatória” que virá:

4,06,01,09,0

=P

Pela observação da matriz verifica-se que na 1ª linha se representam as probabilidades quando o sistema partiu do estado operacional; assim, a probabilidade de o sistema estar operacional após o primeiro intervalo de tempo e é dada pelo elemento da 1ª linha e 1ª coluna (0,9); sendo a probabilidade de estar avariado dada pelo elemento da 1ª linha e 2ª coluna (0,1). Na segunda linha representam-se as probabilidades quando o sistema partiu do estado avariado, teremos a probabilidade do sistema estar operacional após o primeiro intervalo de tempo, que é dada pelo elemento da 2ª linha e 1ª coluna (0,6); sendo a probabilidade de se manter avariado dada pelo elemento da 2ª linha e 2ª coluna (0,4). Para calcular a disponibilidade no 2º intervalo de tempo, elevamos a matriz ao quadrado:

22,078,013,087,0

4,06,01,09,0 2

2==P

De novo na primeira linha se representam as probabilidades quando o sistema partiu do estado operacional, representando-se na segunda linha as probabilidades do sistema quando este partiu do estado avariado. Verifica-se portanto que a probabilidade de estar operacional no final do 2º intervalo de tempo quando o sistema partiu do estado operacional é

43

dada pela 1ª linha, 1ª coluna (0,87); e a probabilidade de estar não-operacional pela 1ª linha, 2ª coluna (0,13), que será 1-0,87 = 0,13. Quando o sistema partir do estado avariado, teremos a probabilidade do sistema estar operacional após o primeiro intervalo de tempo, que é dada pelo elemento da 2ª linha e 1ª coluna (0,78); sendo a probabilidade de se manter avariado dada pelo elemento da 2ª linha e 2ª coluna (0,22). Convém notar que a soma das probabilidades de cada linha tem de ser igual à unidade, visto que representa todos os comportamentos possíveis do sistema num dado intervalo de tempo. Para o terceiro intervalo de tempo elevaríamos a nossa matriz de probabilidades ao cubo, e assim sucessivamente. Verifica-se então, que desde que se conheça o estado inicial, é possível determinar a probabilidade do sistema se encontrar num dado estado, após qualquer número de intervalos de tempo. No caso da figura 5.3, se o sistema, no inicio, se encontrar no estado operacional, o vector probabilidades iniciais é dado por:

( ) 010 =P O vector representando as probabilidades dos estados, após dois intervalos de tempo, é igual a:

( ) ( ) 202 PPP =

22,078,013,087,0

01=

13,087,0=

Em termos gerais, para os intervalos de tempo, pode-se escrever: ( ) ( ) nxPPnP 0=

P(0) é o vector probabilidade inicial que quando o sistema parte do estado operacional será:

( ) 010 =P que, quando o sistema parte do estado avariado será:

( ) 100 =P Para se determinarem os valores limites das probabilidades dos estados de um sistema, existe um método muito eficiente que a seguir se descreve.

44

Quando os valores limites das probabilidades são atingidos pela multiplicação de matrizes, qualquer multiplicação posterior utilizando este método não vai alterar esses mesmos valores. Então, representando-se por ( )lP O vector probabilidade limite ( )lPPlP =)( No caso da figura 5.3

2121 ppPpp = Em que P1 e P2 são valores limites das Probabilidades do sistema se encontrar no estado 1 ou no estado 2, respectivamente. Assim,

2121 4,06,01,09,0

pppp =

⎩⎨⎧

=+=+

221

121

4,01,06,09,0

pppppp

⎩⎨⎧

=−=+−06,01,006,01,0

21

21

pppp

Sob esta forma matricial, este sistema de equações pode ser representado por:

( ) ( ) 0=− lPIP T (5.14) Em que

1001

== tidadeMatrizIdenI

( ) IdaMatrizPTranspostaIP T −=− ( )

2

1

pp

namatrizcolulP ==

De facto,

6,06,01,01,0

1001

4,06,01,09,0

−−

=−=− IP

( )6,01,0

6,01,0−

−=− TIP

( ) ( ) 0=− lPIP T

06,01,0

6,01,0

2

1 =−

−pp

45

É evidente que as equações do sistema a) são idênticas, tornando-se por isso necessária uma terceira equação, independente das anteriores.

Esta equação adicional será: 121 =+ pp (5.15) Para sistemas de qualquer dimensão, uma das equações desenvolvidas a partir das equações da forma 5.10 ou 5.14 é sempre redundante e torna-se necessário substituí-la por uma da forma da equação 5.15. Se as equações anteriores forem utilizadas, obtém-se o sistema:

⎩⎨⎧

=+=+−

106,01,0

21

21

pppp

E, então:

⎩⎨⎧

==

143,0857,0

2

1

pp

Estes são os valores para os quais tendem os indicados na figura 5.5 Vamos acompanhar a resolução de um sistema complexo com mais de um componente. Se um sistema tiver mais de dois estados possíveis, isto é, se tiver vários componentes ou redundâncias, então a matriz de probabilidades de transição aleatória terá mais que 2 x 2 elementos. Vamos dar um exemplo, para o caso de um sistema de dois componentes. Num sistema de dois componentes os estados possíveis serão:

Componente

estado 1 2

46

1 O O 2 O A O - Operacional 3 A O A - Avariado 4 A A E a probabilidade de mudança de qualquer estado para outro será traduzido por uma matriz 4 x 4. Se as probabilidades de transição de cada um dos componentes forem iguais entre si e iguais ao exemplo anterior, então virá:

81,09,09,011

==−

xP 09,01,09,0

21==

−xP

09,09,01,031

==−

xP

01,01,01,041

==−

xP

54,06,09,012

==−

xP 36,04,09,0

22==

−xP

06,06,01,032

==−

xP 04,04,01,0

42==

−xP

54,09,06,0

13==

−xP

06,01,06,023

==−

xP 36,09,04,0

33==

−xP

04,01,04,043

==−

xP

36,06,06,014

==−

xP

24,04,06,024

==−

xP 24,06,04,0

34==

−xP

16,04,04,044

==−

xP E a matriz de probabilidade virá:

16,024,024,036,004,036,006,054,004,006,036,054,01,009,009,081,0

44342414

43332313

42322212

41312111

==

−−−−

−−−−

−−−−

−−−−

PPPP

PPPP

PPPP

PPPP

P

47

Os primeiros dois elementos da 1ª linha dão a probabilidade de estar operacional ou não-operacional após o primeiro incremento de tempo, pressupondo que o sistema partiu do estado operacional. A operacionalidade após 2 ou 3 intervalos de tempo será determinada a partir de 2P e 3P , como acontecia anteriormente com um sistema de um elemento. Como se pode ver, mesmo para sistemas bastante simples a matriz de probabilidade pode tornar-se complexa. No entanto, dada a possibilidade de aplicação informática, este tipo de análise torna-se abordável. Na figura 4 poderemos ver como o número de possibilidades se multiplica para o exemplo do sistema de 2 elementos, anteriormente considerado.

A A

1 2

AF FF AA FA

FA AF AA FF FA AF AA FF FA AF AA FF FA

AFF AA

Figura 5.6

5.2 – Tempo contínuo Mas em muitas aplicações o tempo tem de ser considerado contínuo. Neste caso as taxas de avaria e de reparação devem ser constantes, o que implicará que os processos de avaria e de reparação estejam associados a distribuições exponenciais negativas. Elas representam as taxas às quais o sistema passa de um estado a outro. De facto, normalmente, os problemas de fiabilidade referem-se a sistemas, discretos no espaço e contínuos no tempo. Convém notar que,

48

nestes casos, para que a técnica de Markov se possa aplicar, os componentes dos sistemas devem possuir taxa de avaria e taxa de reparação constantes. Isso implica que as características de falha e reparação dos componentes estejam associadas com distribuições exponenciais. Considere-se o caso de um sistema reparável de um único componente:

µ

ESTADO 1 Componente

Avariado

ESTADO O Componente Operacional

λ

Sistema reparável com um único componente e 2 estados

Figura 5.7

Seja, ( )tP0 Probabilidade do componente estar operacional no tempo t ( )tP1 Probabilidade do componente estar em falha no tempo t

λ - Taxa de avarias; µ - Taxa de reparações As funções densidade para o estado operacional e para o estado de avariado são dadas respectivamente por: ( ) tetf λλ −=0 , e ( ) tetf µµ −=1

Os parâmetros λ e µ são considerados taxas de transição, dado que representam a taxa à qual o sistema passa de um estado para outro. Referiu-se no Capítulo II que o inverso de λ é o tempo médio entre as avarias, MTBF (“mean time between failures”), em que os tempos são contados desde o momento que o componente começa a operar até ao momento da ocorrência da falha. Identicamente, o inverso da taxa de reparações é o tempo médio de reparação, MTTR (“mean time to repair”), em que os tempos são contados desde o momento em que o componente falha até ao momento em que volta a centrar-se em condições de funcionamento. Consequentemente

49

SistemadontoFuncionamedeTotalTempoTempodePeriodoDadonumSistemadoFalhasden

−−−−−−−−−−−−−−

=ºλ

SistemadoparaçãodeTotalTempoTempodePeriodoDadonumSistemadoparaçõesden

−−−−−−−−−−−−−−

=Re

Reºµ

O conceito de taxa de transição pode ser definido como

estadonessedispendidoTempoestadodadoumdepartira

ocorretransiçãoumaquevezesden

TransiçãodeTaxa−−−

−−−−−−−−−−−

=−−

º

Q pode-se construir mas com tempo dt e será:

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

dt-1dt dt 1

µµλλdt

Q (5.16)

µ representa a taxa de reparação de que um estimador é igual a

reparaçoes em gasto totaltempo tempodado num reparaçoes de nº=µ

Da equação 5.16 resulta

µλλµλ

µ

+=

+=

2

1

P

P (5.17 a), b))

Designa-se por processo de Markov um modelo aleatório de ocorrência de avarias em que o tempo varia continuamente e os estados do sistema variam de forma discreta. É esta situação que vamos abordar de seguida. Há algumas premissas que têm de ser assumidas. A primeira diz respeito aos estados do sistema. Cada estado S do sistema em observação é um elemento de um conjunto de estados possíveis, mutuamente exclusivos, a que o sistema pode chegar devido aos diferentes processos físicos que

50

constituem os modos de avaria. Quando um sistema é composto por vários elementos ou componentes, o estado do sistema é uma coluna de estados destes elementos. Veja-se um exemplo de um sistema com 2 elementos que só funciona quando ambos os elementos funcionam:

Elementos elemento1 elemento2

Sistema

1 1 S0=1 1 0 S1=0 0 1 S2=0 0 0 S3=0

Neste caso o sistema só funciona correctamente no estado S0. Mas o número de estados pode não ser só 2. Nessa situação o sistema terá uma listagem de estados mais complexa. Uma outra premissa tem a ver com as probabilidades de transição. Pij é a probabilidade de transição do estado Si para o estado Sj. O valor desta probabilidade só depende dos valores actuais de Si e Sj. Trata-se, assim, de uma probabilidade condicional de o sistema transitar para o estado Sj sabendo-se que está no estado Si. Como o tempo é contínuo tem que se ir avançando por incrementos de tempo infinitesimais. Naquelas condições a probabilidade condicional acima referida transformar-se-á numa densidade de probabilidade condicional de tarnsição entre estados. A probabilidade de transição do estado Si para o estado Sj no intervalo de tempo (t, t + ∆t) com o momento de transição (momento de avaria ou de retoma do funcionamento, por exemplo) t, considerado aqui como uma variável aleatória contínua, será:

)()()(),(

ttPttttPttttPtttpij >

∆+≤<=∆+≤<=∆+ (5.18)

Em termos de função de risco, a probabilidade anterior será igual a h(t)∆t.

51

Se num modelo de Markov as taxas de transição não dependem do tempo (o que implica taxas de avaria constantes) diz-se que estamos perante um modelo homogéneo de Markov, como já se referiu. Caso contrário o modelo é não homogéneo. Vejamos agora um exemplo muito simples de um componente não reparável com um só modo de avaria. A probabilidade de o componente estar em S0 em t+∆t será Ps0(t+∆t). Esta probabilidade é igual à probabilidade Ps0(t) de o componente estar em S0 no momento t vezes a probabilidade de o componente não falhar em ∆t, dada por 1-h(t)∆t, mais a probabilidade de o componente se encontrar em S1 em t vezes a probabilidade de ser reparado em ∆t. Como o componente não é reparável, esta última probabilidade é nula e virá:

[ ] )(0)()(1)(100

tPtPtthttP SSS +∆−=∆+ (5.19) Se o componente estiver em S1 em t+∆t, será:

[ ] )(1)()()(101

tPtPtthttP SSS +∆=∆+ (5.20) As equações anteriores podem ser postas na forma diferencial. Para isso vamos escrevê-las da seguinte forma:

0)()()()(

0)()()()(

0

11

0

00

=+∆

−∆+

=+∆

−∆+

tPtht

tPttP

tPtht

tPttP

SSS

SSS

(5.21 a) b))

Se tomarmos o limite quando ∆t tende para 0, de forma a obtermos a situação de tempo contínuo, teremos então as equações escritas na forma diferencial:

52

0)()()(

0)()()(

0

1

0

0

=+

=+

tPthdt

tdPe

tPthdt

tdP

SS

SS

(5.22 a) b))

Resolvendo o sistema por separação de variáveis obtém-se:

∫ +−=

−=

t

S

S

S

CdtthtP

donde

dtthtPtdP

0)()(ln

)()()(

0

0

0

(5.23)

Para encontrarmos a constante C tem que se ter em conta a condição inicial Ps0(t) = α, com α entre 0 e 1. Isto vai dar como resultado:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−== ∫

t

S dtthtPtR0

)(exp)()(0

α (5.24)

Para Ps1(t) vem:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−= ∫

t

yS dtthtP )(exp1)(

1α (5.25)

Não temos que resolver esta última equação porque sabemos que a soma das duas probabilidades é igual a 1. Para h(t)=h a solução é muito simples. Outra questão que se pode colocar, e que simplifica ainda mais a situação anterior, é o valor normalmente assumido para R(0), ou seja, R(0)=1. Nas expressões anteriores tomou-se fez-se R(0)=α.

Para modelos de Markov mais complexos, com 3 ou mais estados, muitas vezes só há uma solução analítica para a fiabilidade se o sistema de equações diferenciais só contiver coeficientes constantes. É o caso em que temos taxas de transição (taxas de avaria ou de reparação ou funções de risco) constantes. Nessas situações a forma mais simples de resolução das equações diferenciais é o recurso às transformadas de Laplace que

53

transformam as equações diferenciais a coeficientes constantes em equações lineares. Há tantas equações quantos os estados do sistema em estudo. As equações diferenciais também podem ser obtidas directamente a partir do modelo de estado. Aqui a derivada em ordem ao tempo da probabilidade de o sistema se encontrar num dado estado Si é igual à soma dos sinais chegados de outros estados menos a soma dos sinais que partem para outros estados. As probabilidades de ficar no mesmo estado, como não contam para as equações diferenciais, não devem ser tidas em conta pelo que devem ser omitidas. É o que se faz na equação seguinte:

∑≠=

≠=−= n

ikk

n

iKk ikSkiS

S thtPthtPdt

tdPik

i0 0 )()()()(

)(∑ (5.26)

com i=0,1…n.

54

6 - Modelos de Crow e de Duane Há situações em que a taxa de avarias não pode ser considerada como constante. Uma dessas situações diz respeito aos casos em que se considera que um dado equipamento tem taxa de avarias elevada e se encetam acções de Manutenção com vista a tornar essa taxa de avarias mais baixa. Note-se que, em princípio, não interessará muito considerar as situações em que a taxa de avarias aumenta pois, nessas situações estamos na parte ascendente da curva da banheira e apenas uma de duas situações são possíveis: o abate dos equipamentos ou a sua revisão geral. De facto, hoje, existem produtos de tal forma complexos que requerem que as empresas que os produzem estabeleçam planos e processos detalhados com vista a assegurarem o controlo sobre as respectivas fiabilidades e manutibilidades ao longo, pelo menos, de um determinado período. Surgem, assim, os modelos de fiabilidade crescente que se referem a processos bem definidos para identificar e corrigir os problemas de fiabilidade que vão sendo identificados durante as fases de projecto e/ou de arranque, de tal modo que a fiabilidade vai crescendo à medida que essas imperfeições vão sendo corrigidas e o produto submetido às alterações daí resultantes. O princípio básico de qualquer modelo de crescimento de fiabilidade é a aplicação dos resultados dos testes que vão sendo realizados para determinar se a fiabilidade do produto já cresceu o suficiente para satisfazer as necessidades e os índices de qualidade desejados. Os tipos de dados usados para prever o crescimento de fiabilidade são:

- Dados de fiabilidade Regista-se a fiabilidade em diferentes momentos como a razão entre o número de unidades em funcionamento e o número inicial de unidades colocadas em teste;

- Dados de falha/sucesso Testa-se uma unidade durante um dado período de tempo e indica-se se falhou ou não; pode-se também atribuir um código

55

ao modo de falha; podem-se testar várias unidades e indicar o número de falhas verificado;

- Dados de tempo até à falha

Os dados recolhidos graças aos testes realizados durante a fase de protótipo são utilizados para determinar se os objectivos em relação à fiabilidade, definidos para o período que se pretende como padrão para o funcionamento do produto, foram atingidos ou, até, excedidos. Entre os modelos de crescimento de fiabilidade mais utilizados estão os modelos de Crow e de Duane.

6.1 – Modelo de Crow No modelo de Crow a taxa de avarias é estimada por

∧−

∧∧∧1 = )( ϕϕφλ tt (6.10)

O modelo de Crow pode ser limitado por tempo ou por número de avarias. Se for limitado por tempo, tem-se: ϕ

∧

=∑

= m

lnTT

0

i

m

i 1

, parâmetro de forma

e φ

ϕ

∧

∧ = m

T0

, parâmetro de escala

com a representar o tempo total durante o qual se observaram m avarias.

T0

Se for limitado por número de avarias, será

∑=

∧

1-m

1 i

m

TTln

m =

i

ϕ , parâmetro de forma

e

∧

∧

ϕφ

mT

m = , parâmetro de escala

com a representar o tempo ao fim do qual ocorre a avaria nº m. Tm

56

Note-se que com 0 se tem um modelo de crescimento de fiabilidade.

1< <∧

ϕ

6.2 – Modelo de Duane Vamos ver agora um outro modelo do mesmo tipo, o modelo de Duane. O modelo de Duane é um modelo cujo estabelecimento radica exclusivamente na observação de situações em que se verificava aumento de fiabilidade. De facto, Duane observou, em aplicações aeronáuticas, um conjunto de situações em que havia aumento de MTBF. Duane observou que o MTBF acumulado (θc), ou seja, o tempo total dividido pelo número de avarias, era representado como função do tempo, em papel logarítmico, como uma linha recta. A inclinação dessa recta (α) dava uma indicação do crescimento da fiabilidade (ou do MTBF). Será

)ln(lnlnln 00 TTC −+= αθθ (6.11)

Na expressão 6.11 temos θ0 - MTBF acumulado no início do período de monitorização T 0

Nas condições expressas pela expressão 6.11, podemos então estabelecer a expressão 6.12 que nos dá a relação entre o MTBF acumulado ao longo de um dado período de tempo e esse mesmo período.

α

θθ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

00 T

TC (6.12)

A inclinação α dá uma ideia da taxa de crescimento do MTBF e, portanto, da adequação do programa de fiabilidade destinado a corrigir os modos de avaria. Duane observou que α variava normalmente entre 0.2 e 0.4 e que esse valor estava fortemente ligado à intensidade dos esforços de melhoria da fiabilidade. O modelo de Duane, tal como o de Crow, é aplicável a populações cujo número de modos de avaria vá sendo progressivamente corrigido e em

57

que os diferentes itens vão contribuido com diferentes tempos de funcionamento para o tempo total. Mas o modelo de Duane não é aconselhável para os períodos de arranque; nesses casos deve aplicar-se sempre o modelo de Crow pois é este que cobre os períodos de teste. O modelo de Duane serve para verificar da justeza das medidas e acções de manutenção correctiva. Continuando a nossa análise, podemos agora deduzir uma expressão para o MTBF instantâneo θi da população em estudo, partindo da diferenciação de 6.12. Teremos

nT

C =θ (6.13)

com n a representar o número de avarias e a permitir-nos escrever as suas relações com os tempos.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

==

−

0

0)1(

00

θ

θθ

αα

α

TT

TT

TTnC

(6.14)

T0

0

α

θ⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ é uma constante. Por isso a diferenciação vai-nos dar

C

TTTT

dTdn

θα

θα

θα

ααα

−=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= −

1

1)1()1(0

0

0

0

(6.15)

58

Como sabemos, θidTdn

= , com a variável T a continuar a representar o tempo de funcionamento acumulado. Nestas circunstâncias, teremos também

idTdn

θ1

=

donde

αθθ−

=1

Ci (6.16)

Face a este resultado, podemos deduzir que a representação do MTBF instantâneo é, em escala logarítmica, uma recta paralela à do MTBF acumulado. Assim, um programa de melhoria da fiabilidade dos equipamentos tanto pode ter em vista o aumento do MTBF instantâneo ou o aumento do MTBF acumulado. Podemos representar graficamente esta situação da forma seguinte:

ln MTBF

θ0

T0 ln T

Comparação entre a variação do MTBF instantâneo (a tracejado) e a do

MTBF acumulado Figura 6.1

Na figura anterior as rectas fazem com a horizontal um ângulo α. Quando se aplicam estes tipos de modelos, deve ter-se sempre em atenção que a extrapolação de valores de fiabilidade de um conjunto de condições para outro deve sempre ser considerada apenas como uma tentativa de aproximação. Mesmo assim, o modelo de Duane fornece uma aproximação razoável para o planeamento e o acompanhamento do crescimento do MTBF para sistemas complexos.

59

O modelo de Duane pode também ser aplicado para aferir o tempo necessário para atingir um determinado valor de MTBF. Se o valor do MTBF é conhecido num determinado momento inicial, pode-se estimar o tempo necessário para atingir o valor requerido se se assumir o valor de α. O valor escolhido para este parâmetro deve estar interligado com a eficácia esperada do programa de detecção e correcção das causas de avaria. Um dos problemas que se coloca no início é precisamente o de prever a eficácia daqueles programas de melhoria da fiabilidade. O conhecimento sobre a eficácia de programas anteriores é sempre uma boa base de trabalho. Contudo, como muitas vezes estes valores também não estão disponíveis, deixamos aqui um conjunto de valores guia para α. De 0.4 a 0.6 Programa dedicado à eliminação de modos de avaria como primeira prioridade. Uso de testes de vida acelerada (sobretensão). Análise imediata de todas as avarias e medidas de correcção imediata das mesmas. De 0.3 a 0.4 Prioridade à melhoria da fiabilidade. Enquadramento normal e funcionamento a valores nominais. Análise bem gerida e acções de correcção imediata para os principais modos de avaria. 0.2 Atenção normal à melhoria de fiabilidade. Funcionamento de acordo com as necessidades. Acções correctivas para os principais modos de avaria. De 0 a 0.2 Melhorias de fiabilidade não enfatizadas. Dados relacionados com avarias não analisados. Acções correctivas para os principais modos de avaria mas com baixa prioridade. Para melhor se compreenderem estes parâmetros e a sua aplicação, apresenta-se de seguida um exemplo simples ao qual se seguirá uma breve análise dos valores encontrados. Exemplo Um equipamento está a apresentar 11 avarias em 600 horas sem qualquer predominância de um modo de avaria em especial. As especificações do

60

fornecedor apontam para um MTBF mínimo de 500 horas em funcionamento normal. Durante quanto tempo se deverá testar um programa de melhoria de fiabilidade, assumindo valores de α de 0.3 e de 0.5? Para começar, estima-se o valor de θo.

h4.5411600

0 ==θ

Quando θi são 500 horas, tem-se

⎩⎨⎧==

−=

0.5)= (para 2500.3)= (para 350

)1(500

αααθC

Recorrendo ao valor calculado acima para o MTBF acumulado no início, 54.4 horas, e usando a equação 6.12, obtemos:

0.5)=(h 1267054.4250600=

0.3)=(h 2972004.54

350600

5.01

3.01

1

00

α

α

θθ α

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= CTT

Ora, constata-se que um dos resultados, ao apresentar um valor de cerca de 300000 horas, é irrealista. Teremos por isso que optar por um programa de melhoria de MTBF que dure cerca de 12000 horas com um valor de α de 0.5. Este exemplo serve também para mostrar que o modelo de Duane é muito sensível às condições iniciais. Basta verificar o que aconteceria se o mesmo MTBF inicial de 54.4 horas fosse obtido com um funcionamento inicial de 200 horas em vez das 600 consideradas. Chegar-se-ia à conclusão que se atingiria o MTBF de 500 horas com a implementação de um programa de melhoria que poderia durar apenas cerca de 4000 horas.

61

Outra questão que se coloca é a da dificuldade que normalmente existe em obter dados de fiabilidade nos primeiros tempos de funcionamento de um dado equipamento. Nestas condições poderá ser vantajoso usar uma combinação dos dados disponíveis e de análise de engenharia. Vê-se também que é importante começar a detectar as anomalias de funcionamento o mais cedo possível e corrigi-las imediatamente. O modelo de Duane é criticado na medida em que se trata de um modelo empírico que está sujeito a variações de valores muito grandes, como vimos. Também se argumenta que o desenvolvimento de melhorias de fiabilidade não se dá de forma progressiva mas sim em degraus, à medida que se vão corrigindo os modos de avaria. Contudo, o modelo é muito fácil de usar e pode fornecer um guia para o planeamento das melhorias de fiabilidade dos equipamentos e para a monitorização das mesmas, nomeadamente através do recurso às várias técnicas de controlo de condição.

62

7 - Disponibilidade de sistemas reparáveis Os conceitos de fiabilidade e disponibilidade estão intrinsecamente ligados e ambos estão relacionados também com o conceito de manutibilidade. Se os conceitos de manutenção e fiabilidade já foram suficientemente definidos nas disciplinas com os mesmos nomes, os conceitos de manutibilidade e disponibilidade devem merecer-nos ainda alguma atenção. A maioria dos sistemas sofrem Manutenção, isto é, são reparados quando avariam (Manutenção curativa) ou são alvo acções preventivas quando atingem um determinado grau de degradação (Manutenção preventiva). A quantidade de Manutenção curativa a efectuar é determinada pela fiabilidade dos sistemas. Por sua vez, a Manutenção preventiva, efectuada de modo planeado, afecta directamente a fiabilidade. A manutibilidade pode ser simplesmente descrita como sendo a fiabilidade com que as reparações e o restante trabalho de manutenção é efectuado e afecta directamente a disponibilidade dos equipamentos para efectuarem o serviço requerido. Os tempos gastos a reparar as avarias e a efectuar as operações de manutenção preventiva (com paragem ou diminuição drástica da produção) retiram o sistema do estado disponível. A manutibilidade de um sistema depende do projecto desse sistema porque é nessa fase que são determinados parâmetros como acessibilidade aos componentes, facilidade de diagnóstico, acções preventivas necessárias, lubrificação, etc. Por isso se associa a manutibilidade à facilidade de exercer manutenção sobre um dado sistema. Face a estes pressupostos, vamos ver de seguida as definições destes dois conceitos, manutibilidade e disponibilidade. Manutibilidade é, pois, a probabilidade de recuperar um sistema nas condições de funcionamento especificadas, em prazos de tempo

63

estabelecidos, quando as acções de manutenção são efectuadas nas condições e com os meios previstos. A variável t que aparece seguidamante na formulação matemática do conceito de manutibilidade deve ser entendida como tempo de reparação ou tempo de intervenção da manutenção. Será então

M(t)=Prob(TTR<t) (7.1)

em que M(t) - função manutibilidade TTR - tempo técnico de reparação Introduzindo a função densidade de probabilidade da variável aleatória t, que vamos designar por g(t), teremos:

∫= dttgtM )()( (7.2)

Pode-se agora expressar matematicamente o conceito de taxa de reparações:

)(1)()(tM

tgt−

=µ (7.3)

Normalmente, e face aos dados existentes oriundos da experiência industrial, a taxa de reparações é constante e pode-se escrever

tetM µ−−=1)( (7.4)

A esperança matemática associada é o conceito de média dos tempos técnicos de reparação (MTTR), dado pelo inverso da taxa de reparações:

µ1)( == MTTRtE (7.5)

Passando agora à disponibilidade, podemos defini-la como a probabilidade de bom funcionamento de um dispositivo no instante t. Assim, um bem disponível é um bem que se pode utilizar.

64

Uma chamada de atenção para a variável t: no que respeita ao conceito de disponibilidade, voltamos a entender como t o tempo de vida. A disponibilidade depende: - do nº de avarias ⇒ fiabilidade - da rapidez com que as avarias são reparadas ⇒ manutibilidade - do tipo de manutenção ⇒ manutenção - da qualidade dos meios e sua interdependência⇒ logística A disponibilidade aparece, assim, como a proporção, em relação ao tempo total de existência útil de um equipamento, em que esse mesmo equipamento está em condições de ser usado. A disponibilidade, A(t), é função da taxa de avarias e da taxa de reparações. A proporção, em relação ao tempo total, em que um item está disponível é a disponibilidade média ou intrínseca. É dada por:

MTBFMTTRMTTRMTBF

MTBFA+

=+

=+

=1

1µλ

µ (7.6)

MTTR/MTBF é a chamada relação de manutenção. A probabilidade de um item estar disponível num instante t é a disponibilidade instantânea, A(t):

tetA )()( λµ

λµλ

λµµ +−

++

+= (7.7)

Se fizermos o limite, quando t tende para infinito, de 7.7 obtemos 7.6. Podemos ainda considerar a chamada disponibilidade global, Ag, tomada em conta para os sistemas automatizados. Será:

MTPMTBFMTBFAg +

= (7.8)

com MTP a significar a média dos tempos de paragem.

65

Muitas vezes, em vez da disponibilidade, usa-se a indisponibilidade.

µλλ+

=

A-1=mediailidadeIndisponib (7.9)

teilidadeIndisponib )(

+= ainstantane µλ

µλλ

µλλ +−

+− (7.10)

Exemplo Para os caminhos de ferro, uma disponibilidade particular, indicador da qualidade do serviço, é a Segurança de Pontualidade, SP. SP representa a probabilidade de que o atraso de uma composição não ultrapasse x segundos sobre o horário. Pode-se escolher o modelo

MTBFKT

eMTTRMTBF

MTBFSPA−

+== (7.11)

em que T - duração média de um trajecto MTTR - duração média de C atrasos MTBF - t/C = Duração de viagens em horas de ponta/nº atrasos em

horas de ponta

Em sistemas complexos, uma fiabilidade alta não é, por si só, suficiente para assegurar que os sistemas vão estar disponíveis quando necessário. Há também que assegurar que sejam reparados rapidamente. Por isso é que manutibilidade é um aspecto importante aquando do projecto de um equipamento em termos de disponibilidade. A disponibilidade também é afectada pela existência de redundâncias. Se um equipamento em “stand-by” pode ser reparado enquanto o equipamento primário está em serviço, obviamente que a disponibilidade do sistema aumenta bastante. A seguir apresentam-se as disponibilidades médias para algumas situações de associação de equipamentos, entre as quais se encontram

66

situações relacionadas com redundâncias. Lembramos que o aspecto das redundâncias, em termos de fiabilidade, foi objecto de estudo na disciplina de Fiabilidade. Nas situações cuja disponibilidade se apresenta a seguir, as taxas de avarias e de reparações são tomadas como constantes para cada equipamento e considera-se que as avarias são detectadas e reparadas assim que ocorrem. Note-se que, na prática, estas situações nem sempre ocorrem. Por exemplo, os equipamentos em “stand-by” têm que ser periodicamente testados para que as suas avarias sejam de facto detectadas e corrigidas assim que ocorrem. O primeiro caso é o de n sistemas em série. A sua disponibilidade é dada por

∏= +

=n

i ii

iA1 µλ

µ (7.12)

Para uma redundância activa de n equipamentos ( para que o sistema funcione basta que funcione um dos equipamentos), a disponibilidade é

∏= +

−=n

i i

iA1

1µλ

λ (7.13)

Numa situação em que o sistema de n elementos só funciona se m desses n elementos funcionarem, a disponibilidade será

( )∑−

=

−

+−=

1

0)(11

m

i

inn

inA µλµλ

(7.14)

A disponibilidade de um sistema composto por dois equipamentos em paralelo, com as mesmas taxas de avarias e de reparações, em que um dos equipamentos só é chamado a funcionar quando o equipamento primário avaria (situação de “stand-by”) é

22

2

2λµλµµλµ++

+=A (7.15)

67

68

8 - Modelos de fiabilidade humana Os erros humanos são um factor muito importante a ter em conta nos sistemas mecânicos ou na fiabilidade dos equipamentos. O seu impacto na fiabilidade dos equipamentos é muito maior do que se pode supor à primeira vista. Um estudo realizado nos Estados Unidos e referido em Dhillon revelou que 82% dos defeitos de produção analisados numa determinada empresa tinham ficado a dever-se a erro humano. Este valor não vale por si mas mostra como é importante que tenhamos em conta este aspecto nos estudos de fiabilidade. 8.1 – Categorias de erros humanos Os erros humanos podem ser distribuídos pelas seguintes categorias:

- operação - projecto - manutenção - produção - inspecção

Os erros de operação ocorrem quase só na utilização dos equipamentos no campo e resultam da utilização incorrecta do equipamento. Podem-se sub-dividir em:

- erros de motivação - utilização de procedimentos errados - falha no seguimento de procedimentos ou no acompanhamento de

processos Os erros de projecto resultam de projecto inadequado que pode ser provocado por distracção, falha de conhecimentos, validação ou verificação, negligência na consideração de factores não desprezáveis ou erro nos testes de protótipos, entre outros. Os erros de manutenção resultam de reparações ou instalações incorrectas. Os mais vulgares são erros de:

- calibração - reparação - instalação em condições erradas ou defeituosas de componentes ou

equipamentos

69

Os erros de produção ou fabrico podem ser devidos a:

- falta de qualificação - utilização incorrecta de componentes ou matérias primas - falha no seguimento de instruções

Os erros de inspecção mais vulgares são:

- aceitação de itens fora das tolerâncias devidas - falha na selecção de itens a inspeccionar

Os erros humanos podem ter consequências que se classificam nas 3 categorias a seguir indicadas. Categoria I Suspensão na operação do equipamento Categoria II A operação do equipamento não chega a ser interrompida mas é fortemente atrasada devido a repetição de passos, sequências ou fases Categoria III Não há atrasos significativos na operação dos equipamentos mas estes ficam expostos a situações não fiáveis, ou seja, há uma diminuição significativa da fiabilidade. As seis causas principais de erro humano são:

- fraca qualificação ou formação - projecto inadequado do equipamento que se está a utilizar - enquadramento ou supervisão fracos - falta de motivação - ferramentas impróprias, nomeadamente por degradação - procedimentos inadequados

Os erros na operação dos equipamentos podem, por outro lado, classificar-se de acordo com o tipo de causa: atenção, memória, interpretação, identificação e operação propriamente dita. Quer os erros de atenção quer os erros de memória são erros por omissão em que o operador humano tem um papel passivo. São erros que ocorrem a partir de acções que o operador deixa de realizar. Nos erros de atenção, por qualquer motivo, o operador deixa de dar atenção a coisas que a requeriam. Nos erros de memória o operador esquece-se de realizar

70

alguma tarefa ou esquece-se da maneira correcta de levar a cabo alguma tarefa. Os erros de interpretação, operação e identificação são erros de empenho ou comissão em que o operador tem um papel mais activo. Estes erros ocorrem a partir de acções que o operador, de facto, realiza. Os erros de interpretação acontecem quando o operador não compreende o significado da informação recebida. Um erro de operação é qualquer acção em que o movimento de controlo é incorrecto, tendo em vista a obtenção do efeito que se pretendia. Um erro de identificação ocorre quando um item é identificado de forma incorrecta e, por isso, considerado como sendo o correcto sem o ser. 8.2 – Tratamento geral para os modelos de fiabilidade humana Vamos começar por apresentar dois modelos encadeados (na perspectiva em que um é a continuação do outro) que se aplicam aos chamados grandes erros e que são utilizados no cálculo de probabilidades de ocorrência de erros em estruturas. Considera-se como grande erro qualquer engano básico e significativo nos processos associados com as estruturas e que possa tornar-se uma causa potencial de falha. Os processos são

- planeamento - projecto e construção - utilização - manutenção

As fontes dos grandes erros são:

- inspecção (falha na detecção de grandes defeitos) - construção (construção incorrecta, má interpretação de desenhos,

erro de fabrico) - projecto de concepção (pressupostos errados, tendo em vista o tipo

de utilização ou não reconhecimento de potenciais modos de falha) - utilização (sobrecargas ou negligência na manutenção) - projecto e análise (má interpretação, omissão de cargas, erro

computacional, erro de unidades)

71

As causas para o erro humano em estruturas podem ficar a dever-se a:

- negligência - autoridade inadequada - falta de capacidade de comunicação - educação inadequada - incompetência - qualificações formais inadequadas - prática muito dirigida e específica - experiência inadequada

Das causas acima indicadas, a experiência inadequada é normalmente a maior causa de erro. Vejamos, então, o primeiro modelo. É um modelo de caso binário, ou seja, o erro ocorre ou não. Vai-se calcular a probabilidade de ocorrência de erro. Seja X a definição do estado da estrutura. Se X<0, a estrutura colapsa. Se X>0, a estrutura resiste.

X =Y – L (8.1)

Em que L é o efeito da carga total e Y a resistência. Para o caso binário podem considerar-se funções densidade de probabilidade da variável X, g(x), para a realização com erro, e m(x), para a realização sem erro. Será, então

∫ ∫∞− ∞−

+−=x x

c dxxgpdxxmpxF 1111 )()()1()( (8.2)

em que Fc(x) representa a função distribuição de x, p representa a probabilidade de ocorrência de erro e (1-p) representa a probabilidade de não ocorrência de erro. Fazendo

72

∫

∫

∞−

∞−

=

=

x

x

dxxgG

dxxmM

11

11

)(

)(

pode-se escrever a probabilidade de ocorrência de erro, Q, como

Q = Fc(X=0) = (1-p)M+pG = p(G-M)+M (8.3)

O segundo modelo, que agora se vai apresentar, está encadeado no primeiro na medida em que se trata de um modelo de cálculo da probabilidade de ocorrência de erro, p, que figura na equação 8.3. Será

∏=

−=k

jdjc FPp

1)1( (8.4)

em que k – nº de controlos independentes Fdj – probabilidade de detecção de erro no controlo j Pc – probabilidade de ocorrência de erro sem verificações De modo a obter uma relação entre a probabilidade de ocorrência de erro e o custo das inspecções e verificações, assume-se que o custo de verificação é proporcional ao número de verificações e que a probabilidade de detecção de erro para o controlo j é constante. Então, considerando k contínuo, a probabilidade de ocorrência de erro é

p = Pce-(kh1/k

h2) (8.5)

em que kh1 – custo de verificação

73

kh2 – atenuação do custo de verificação (custo de verificação correspondente a p=Pc/e) Pc – probabilidade de ocorrência de erro quando kh1 = 0 Vamos apresentar agora um modelo que representa um sistema mecânico com erro humano, recorrendo a um modelo de Markov. Vamos considerar três estados: Estado 0 – o sistema opera normalmente Estado 1 – modo de falha 1 (falha devida a erro humano) com taxa de avarias λh

Estado 2 – modo de falha 2 (falha de “hardware”) com taxa de avarias λg Assume-se que:

- as falhas do sistema podem ser separadas de acordo com o modo de falha

- um erro humano pode causar a falha do sistema - as taxas de avaria são constantes

No que segue tem-se i – estado do sistema (0, 1 ou 2, como acima se viu) Pi(t) – probabilidade de o sistema se encontrar no estado i no momento t t – tempo λh – taxa constante de erro humano λg – taxa de avaria do “hardware” do sistema

0)()()(0

0 =++ tPdt

tdPgh λλ (8.6)

0)()(0

1 =− tPdt

tdPhλ (8.7)

0)()(0

2 =− tPdt

tdPgλ (8.8)

Temos sempre Pi(0)=0.

74

A resolução do sistema de equações diferenciais conduz a

( )[ ]tghetP λλ +−=)(0 (8.9)

( )[ ]t

gh

h ghetP λλ

λλλ +−−+

= 1)(1 (8.10)

( )[ ]t

gh

g ghetP λλ

λλλ +−−+

= 1)(2 (8.11)

A expressão 8.9 representa a fiabilidade do sistema mecânico. O MTBF do sistema é o inverso da soma das duas taxas de avarias. Exemplo Um sistema mecânico pode falhar devido a avaria do equipamento ou a erro humano. A taxa de avarias do equipamento é 0.0006 avarias/hora e a taxa de erro humano é de 0.0001 erros/hora. Calcule a probabilidade de o equipamento estar avariado devido a erro humano para t = 50h. Assuma que o sistema inicia o seu funcionamento em t = 0. Na equação 8.10 vamos substituir do seguinte modo t = 50 λh = 0.0001/h λg = 0.0006/h e obtemos P(50) = 0.0001/(0.0001+0.0006)(1-exp(-(0.0001+0.0006)50)) = 8.3 – Redução do erro humano Há que tentar reduzir a probabilidade de ocorrência de erro humano. Para este objectivo ser levado a cabo, devemos considerar as seguintes fases:

75

- identificação de erros prováveis através de rotinas de vigilância, de discrepâncias observadas, de relatórios de operação, etc.

- investigação das causas - implementação de medidas de prevenção e/ou correcção, incluindo

alterações ao projecto, aos procedimentos e ao controlo do pessoal - verificação da eficácia das alterações efectuadas

Mas, para a redução do erro humano, o projecto dos equipamentos assume uma importância primordial. Assim, aquando do projecto deve-se

- prevenir erros de ligação que são importantes em trabalhos de montagem ou de manutenção

- ter em conta os factores humanos, ou seja, devemos educar-nos para os termos em conta

- obter informações sobre os problemas relacionados com o factor humano em sistemas semelhantes já em funcionamento

- realizar o projecto tendo em conta o operador humano e o meio que o envolve

- ter em atenção que as tarefas em causa são interessantes - ter sempre em atenção que os seres humanos não são muito fiáveis

76

9 – Selecção de um modelo de fiabilidade Este capítulo não será mais do que um conjunto de pequenas notas que pretendem constituir um guia para a selecção de um modelo de fiabilidade quando se está perante um problema concreto em relação ao qual existem dúvidas de tratamento. Só serão aqui considerados os modelos já abordados nas disciplinas de Fiabilidade e de Modelos de Fiabilidade e Disponibilidade. Outros modelos existentes ficarão necessariamente de fora. Desses, alguns virão a ser abordados em disciplinas que constam do programa do curso de Engenharia Electromecânica mas que são desenvolvidas em fases posteriores. É o caso, por exemplo, das árvores de falhas. Muitas das questões relacionadas com a selecção de um modelo já foram sendo abordadas ao longo dos programas das disciplinas já referidas. Vamos começar por uma pequena sistematização. Como é óbvio, a primeira distinção começa por se fazer em termos da reparabilidade ou não reparabilidade do item que estamos a estudar. O tipo de abordagem, o tipo de dados e a escala de tempos começam por se definir por aí. Depois, há situações que são tipicamente abordadas a partir de um histórico de avarias ou de falhas que possa estar disponível para tratamento ou, mesmo, já tratado. Nessas situações podemos utilizar um modelo estatístico paramétrico, ajustando uma distribuição de fiabilidade através de uma rotina de regressão fornecida, hoje, por muitos suportes informáticos existentes no mercado. A distribuição de Weibull, pela sua flexibilidade, é sempre uma hipótese a ter em conta. A questão da reparabilidade determina o tipo de histórico e a forma de encarar a fiabilidade. Os tipos de situações a que cada distribuição está mais adequada já foram apresentados anteriormente. Os modelos determinísticos utilizam-se se, em vez da anterior, tivermos uma situação em relação à qual é, por exemplo, conhecido um modelo físico que determina a degradação ou a ocorrência de colapso. As condições específicas terão sempre que ser analisadas caso a caso. Os modelos funcionais utilizam-se quando se pretendem avaliar condições de interacção entre os itens e a envolvente e, nomeadamente,

77

quando estão em jogo diferentes condições de utilização. Poderão ser utilizados em conjunto com modelos estatísticos. Mas poderemos estar perante sistemas complexos em relação aos quais interesse mais compreender as interacções entre os seus componentes e os diferentes modos de falha do que conhecer um histórico. Em muitos destes casos, estando o sistema suficientemente decomposto, pode-se recorrer a tabelas de fiabilidade (taxa de avarias, função de risco) padrão para os seus componentes típicos. Assim, a falha de um sistema depende da combinação e sequência das falhas de componentes. Se a falha do sistema puder ser completamente expressa apenas com base nas combinações das falhas dos componentes, estaremos perante um modelo do tipo combinatório. São os casos dos diagramas de blocos e dos modelos de Markov. Nestas situações, para modelar de forma eficiente um sistema, deve-se

- compreender a configuração geral do sistema e o seu comportamento; - ser capaz de definir as distribuições de falha (e de reparação) de cada constituinte;

- ser capaz de representar visualmente a estrutura do sistema. É o conhecimento anterior do sistema que permite suportar a análise matemática que posteriormente venha a ser realizada. Postas as questões anteriores, comparemos um pouco os diagramas de blocos e os modelos de Markov. Os diagramas de blocos não podem modelar temporalmente a ordem dos eventos. Isto significa que, usando esta metodologia, não interessa se o componente 1 falha primeiro ou depois do componente 2. Mas se o componente 2 só é utilizado depois da falha do componente 1, então a ordem dos eventos é importante. Ora, só os modelos de Markov podem considerar a ordem dos eventos e os momentos efectivos da respectiva ocorrência. Por isso, os modelos de Markov são os únicos adequados para a modelação de sistemas complexos em que exista elevada dependabilidade entre os seus componentes.

78

Assim, os modelos de Markov servem para modelar cenários complexos como reparações, prioridades, situações de “stand-by” ou cargas repartidas. Mas ambos os tipos de modelos têm vantagens e inconvenientes. Em termos de vantagens, os diagramas de blocos são fáceis de compreender e podem ser tratados por meio de métodos analíticos. Permitem, ainda, integrar vários componentes e sub-sistemas através de sub-blocos, especificar prioridades de componentes e modelar facilmente a redundância. Mas modelam apenas um modo de avaria, combinando todas as falhas numa só, não modelam erros humanos e podem lexigir tempos de computação elevados para sistemas complexos. Os modelos de Markov são bastante flexíveis, servem para modelos complexos e modelam a ordem temporal e consideram a dependência entre taxas de transição de um estado para outro. Mas, em compensação, só admitem distribuições exponenciais, são mais difíceis para compreender e modelar, exigem tempo de computação elevado e os utilizadores têm de ter já alguma experiência nestas lides. Situações como as associações de sistemas ou equipamentos ou modelos particulares como os de Crow ou de Duane são para utilizar quando as situações em análise o requeiram expressamente. Muito mais se poderia dizer. Mas existem outros tipos essenciais de modelos que ainda não foram tratados ou não virão a sê-lo e a experiência no tratamento destes problemas terá que fazer necessariamente o resto sem esquecer que, em todos estes processos, uma tarefa essencial é a recolha de dados e o conhecimento sobre os equipamentos e o seu funcionamento.

79

Bibliografia Ascher, Harold e Feingold, Harry Repairable Systems Reliability - Modeling, Inference, Misconceptions and their causes Marcel Dekker, Inc. New York, 1984 Berk, Joe Systems Failure Analysis Butterworth- Heinemann London, 2002 Cannon, A. G. e Bendell, A. Reliability data banks Elsevier Applied Science Londres, 1991 Elsayed A. Elsayed Reliability Engineering Addison Wasley Longman, inc. Reading, 1996 Ferreira, Luís Andrade Uma Introdução à Manutenção Publindustria, Edições Técnicas Porto, 1998 Ireson, W. Grant e Coombs, Clyde F. Handbook of Reliability Engineering and Management McGraw-Hill London, 1988 Jardine, A. K. S. Maintenance, Replacement and Reliability Pitman Publishing Ontario, 1979 Klaasen, Klaas B. System Reliability, concepts and applications Edward Arnold London, 1989

80

Lyonnet, Patrick La maintenance - mathématiques et méthodes Technique et Documentation - Lavoisier Paris, 1989 Modarres, M. What every engineer should know about Reliability and Risk Analysis Marcel Dekker, New York, 1993 O'Connor, Patrick Practical Reliability Engineering John Wiley and Sons, 1992 Pereira, Filipe José Didelet Modelos de Fiabilidade em Equipamentos Mecânicos Tese de Doutoramento Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto Porto, 1996 Pereira, Filipe José Didelet Fiabilidade EST Setúbal (folhas da disciplina) 2003 Smith, David Reliability, Maintainability and Risk Butterworth- Heinemann London, 2002 Villemeur, Alain Reliability, Availability, Maintainability and Safety Assessment (2 vols.) John Wiley & Sons Chichester, 1992

81

Anexo

Distribuição gama

(retirado de Elsayed)

82

83

84

85

86

87

88