FIEECS, UNI Teoría Macroeconómica II€¦ · Introducción a modelos RBC 19/41FIEECS, UNITeoría Macroeconómica II Economía poblada por un conjunto de familias idénticas que

FIEECS, UNI

Teoría Macroeconómica II

Introducción a modelos RBC

Carlos Rojas Quirozwww.carlos-rojas-quiroz.weebly.com

Octubre del 2017

1 El ciclo económico: ¿Qué es y cómo se mide?1.1 Medición del ciclo económico1.2 Hechos estilizados de ciclos económicos1.3 ¿Cómo estudiar los ciclos económicos?

2 Modelo RBC Simple2.1 Introducción a modelos RBC2.2 Modelo RBC Básico2.3 Solución analítica2.4 Sustitución intertemporal del trabajo

Índice

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• Fluctuaciones agregadas de corto plazo.• Burns y Mitchell (1946):

• Consta de expansiones que se producen más o menos almismo tiempo en muchas actividades económicas, seguidade recesiones, contracciones y recuperaciones, tambiéngenerales, que culminan en la fase de expansión del ciclosiguiente.

• Esta secuencia de cambios es recurrente, pero noperiódica.

• Duran desde más de un año hasta diez o doce años, nopueden dividirse en ciclos más breves de carácter similar yde magnitud parecida.

• Lucas (1977): desviación del Producto Bruto Internorespecto a su tendencia o producto potencial.

El ciclo económico


Figura 1: Ciclo Económico Artificial

El ciclo económico


Slutzky (1937)

Ciclos económicos pueden ser generados por una suma dechoques aleatorios.

yt = 0,95yt−1 + et

et =

{0,5 con 50 % de probabilidad−0,5 con 50 % de probabilidad

∣∣∣∣ ∀t

El ciclo económico


Lucas (1977)

• Ciclos económicos no son secuencias inevitables sobre laactividad económica (como lo ve Mitchell), tampoco esnecesario distinguir sus distintas fases.

• Lo importante son los co-movimientos en el tiempo de loscomponentes cíclicos de los agregados económicos(consumo, inversión, empleo, etc.)

El ciclo económico


• Suponemos que una serie macroeconómica de frecuenciatrimestral está compuesta de:

Yt = Y Gt Y C

t Y Et Y I

t

• Aplicando logaritmos:

yt = ygt + yc

t + yet + y i

t

• ¿Cómo aislar componentes determinísticos (ygt ∧ ye

t )? Nohay una sóla forma “correcta” de hacerlo.

Medición del ciclo económico


El componente tendencial se obtiene resolviendo lo siguiente(donde yt = yt − ye

t ):

m«ınyg

t

T∑t=1

(yt − ygt )2 + λ

T−1∑t=1

[(ygt+1 − yg

t )− (ygt − yg

t−1)]2

• Tenemos dos objetivos:• Que la tendencia se acerque lo más posible a los datos,

pero...• Que la tasa de crecimiento tendencial sea lo más suave

posible.

• λ: parámetro arbitrario, elegido por el investigador.Luego, yc

t = yt − ygt .

Filtro de Hodrick y Prescott


Figura 2: Ciclo económico - Perú

• Datos trimestrales con λ = 1600. Si λ→ 0 entoncesyt = yg

t . Si λ→∞ entonces tasa de crecimientotendencial constante.

• Tiene problemas: (i) colas, (ii) valor correcto de λ y (iii) norecoge cambios estructurales.

Filtro de Hodrick y Prescott


Figura 3: Ciclo económico peruano, diversos filtros estadísticos

Medición del ciclo económico


¿Qué co-movimientos observar?• Volatilidad:

Desviación estándar absoluta o relativa al producto (paraanalizar si la variable fluctúa más o menos con el PBI).

• Correlación contemporánea:Principalmente con el PBI. Indica si la variable esprocíclica, contracíclica o acíclica.

• Correlación con adelantos y retardosPBI en t con variables en t + i o t − i . Mide si variable seanticipa o retrasa al ciclo económico.

• Autocorrelación• Mide la persistencia de la variable de interés.

Hechos estilizados de ciclos económicos


Aguiar y Gopinath (2007) Castillo et al. (2006)Emergentes Desarrollados Perú

σy 2.74 1.34σ∆y 1.87 0.95ρy 0.76 0.75 0.60ρ∆y 0.23 0.09σc/σy 1.45 0.94 0.94σi/σy 3.96 3.41 3.67σbc/y 3.22 1.02ρbc,y -0.51 -0.17 -0.11ρc,y 0.72 0.66 0.58ρi,y 0.77 0.67 0.62



Figura 4: Correlaciones dinámicas, Perú 1979-1993 y 1994-2005

Fuente: Castillo, Montoro y Tuesta (2006)



Figura 5: Correlaciones dinámicas, Perú 1979-1993 y 1994-2005

Fuente: Castillo, Montoro y Tuesta (2006)



Figura 6: Crecimiento del PBI e Índice de Precios de Exportación

Fuente: BCRP. Elaboración propia.



• Modelos macroeconómicos modernos, de RBC aNeokeynesianos de mediana escala.

• Dinámicos, choques estocásticos, agentes optimizadores,equilibrio general.

• Se obtienen conclusiones más cuantitativas. El númeroimporta.

• Funciones impulso-respuesta y descomposición devarianza.

• Evaluación de políticas (contrafactuales).• Descomposición histórica de choques.• Predicción (tienen una representación VAR).

• Fricciones:• nominales: precios y salarios• reales: hábitos en el consumo, costo de ajuste del capital y

la inversión.• financieras: acelerador financiero y riesgo moral.

¿Cómo estudiar los ciclos económicos?


1 El ciclo económico: ¿Qué es y cómo se mide?1.1 Medición del ciclo económico1.2 Hechos estilizados de ciclos económicos1.3 ¿Cómo estudiar los ciclos económicos?

2 Modelo RBC Simple2.1 Introducción a modelos RBC2.2 Modelo RBC Básico2.3 Solución analítica2.4 Sustitución intertemporal del trabajo

Índice


• Idea principal: las fluctuaciones económicas son causadaspor choques de productividad.

• Primeros modelos añadían proceso estocástico a modelode crecimiento neoclásico (Ramsey en tiempo discreto) yanalizaban la dinámica de la economía.

• Parámetros del modelo son calibrados realistamente y setrata de replicar las características más importantes delciclo económico con la economía artificial creada.



• ¿Sólo choques de productividad? No. También de gastopúblico, de preferencias del consumidor, de costos (preciodel petróleo), etc. Estudia choques reales.

• Un ingrediente principal para que el modelo replique loshechos observados en los ciclos económicos es elmecanismo de propagación: canal a través del cual elchoque se difunde y amplifica.

• Es difícil obtener soluciones analíticas cerradas enmodelos de equilibrio general. De ahí la importancia de losmétodos computacionales que permiten una soluciónnumérica.



• Economía poblada por un conjunto de familias idénticasque tienen vida infinita. Deciden su consumo de bienes(Ct ) y ocio Ot (u oferta de trabajo Lt = 1−Ot ) paramaximizar el valor esperado de su utilidad intertemporal:

m«ax{Ct ,Lt ,At+1}∞t=0

Vt = Et

∞∑t=0

βtU(Ct ,1− Lt )

• UC > 0,UCC < 0.• Familias reciben un salario Wt por su trabajo y una tasa de

retorno Rt por sus ahorros At a principios del período t .Además, pagan impuestos de suma alzada Tt . Larestricción presupuestaria es:

(1 + rt )At + WtLt = Ct + At+1 + Tt (1)

Modelo RBC BásicoFamilias


El lagrangiano en valor presente es:

`t = Et

∞∑t=0

βt [U(Ct ,1−Lt )+λt (Ct +At+1 +Tt−(1+rt )At−WtLt )]

En tanto, las CPO’s son:UC(Ct ,1− Lt ) = λt (2)

UL(Ct ,1− Lt ) = −λtWt (3)

βtλt = βt+1λt+1(1 + rt+1) (4)

Dividiendo 2 entre 3:

UC(Ct ,1− Lt ) =−UL(Ct ,1− Lt )

Wt(5)

Que es la condición intratemporal.



Incorporando la ecuación 2 en la 4 se llega a:

UC(Ct ,1− Lt ) = βEt {UC(Ct+1,1− Lt+1)(1 + rt+1)} (6)

Que es la condición intertemporal.INTUICIÓN: ¿Cuáles son los efectos de postergar consumo deun período a otro? Margen de decisión del consumidor.• Si sacrifico una unidad de consumo hoy, reduzco mi

utilidad en UC(Ct ,1− Lt ).• Esa unidad de consumo “sacrificada” genera 1 + rt+1

unidades en el siguiente período.• Esas unidades del siguiente período producen una utilidad

marginal de UC(Ct+1,1− Lt+1), descontada por el factorde descuento β.



Si desarrollamos el operador de expectativas de la ecuación 6:

UC(Ct ,1− Lt ) = β[Et (UC(Ct+1,1− Lt+1))Et (1 + rt+1) + ...

...+ Cov(UC(Ct+1,1− Lt+1), (1 + rt+1))](7)

• Si covarianza es negativa, la rentabilidad de ahorrar hoy(para consumir mañana) es menos atractiva, por tantoconsumo actual tiende a aumentar.



• Producen bienes alquilando capital y trabajo en uncontexto de competencia perfecta. Su función deproducción es:

Yt = ZtF (Kt ,Lt )

• Zt es la PTF, Kt es el stock de capital y Lt el trabajo. Elproblema de la empresa es el siguiente:

m«ax{Kt ,Lt}∞t=0

Πt = ZtF (Kt ,Lt )− (rt + δ)Kt −WtLt

Donde δ es la tasa de depreciación. Las CPO’s son:

Wt = ZtFL(Kt ,Lt ) (8)

rt = ZtFK (Kt ,Lt )− δ (9)

Modelo RBC BásicoEmpresas


Equilibrio general:• Hogares maximizan su utilidad.• Empresas maximizan beneficios.• Todos los mercados están en equilibrio.

En nuestro modelo, el equilibrio general se da cuando secumplen las ecuaciones 5, 6, 8 y 9, además de asegurarnosque todos los mercados estén en equilibrio.

Modelo RBC BásicoEquilibrio general


El único activo del modelo es el capital, luego Kt = At .Reemplazando las ecuaciones 8 y 9 en la restricciónpresupuestaria (ecuación 1) se tiene:

(1 + ZtFK (Kt ,Lt )− δ)Kt + ZtFL(Kt ,Lt )Lt = Ct + Kt+1 + Tt

ZtFK (Kt ,Lt )Kt + ZtFL(Kt ,Lt )Lt = Ct + Kt+1 − (1− δ)Kt + Tt

Teorema de EulerSi F = f (x1, x2) es linealmente homogénea, entonces:

x1∂f∂x1

+ x2∂f∂x2≡ F

Función homogénea de grado r : f (jx1, jx2) = j r f (x1, x2). Sir = 1 la función es linealmente homogénea.



Tomando en cuenta Teorema de Euler, se tiene:

Yt = Ct + Kt+1 − (1− δ)Kt + Tt

Además, la inversión es: It = Kt+1 − (1− δ)Kt . Por tanto:

Yt = Ct + It + Tt

Política fiscal está en equilibrio Gt = Tt :

Yt = Ct + It + Gt (10)

Igualdad entre oferta de bienes y el gasto:

ZtF (Kt ,Lt ) = Ct + Kt+1 − (1− δ)Kt + Gt (11)

Equilibrio de mercados de bienes y capital. Mercado de trabajoestá en equilibrio por la ley de Walras.

El modelo no tiene solución analítica!



• El modelo combina ingredientes lineales (depreciación oreparto de la producción en consumo, inversión y gastopúblico) y no lineales (función de producción ypreferencias).

• Si queremos obtener una solución analítica del modelo,debemos considerar algunos supuestos simplificadores:

• Depreciación completa, o δ = 1.• No hay gasto fiscal, o Gt = 0.• Función de Utilidad instantánea logarítmica:

Ut = θLog(Ct ) + (1− θ)Log(1− Lt )

• Función de producción Cobb-Douglas con rendimientosconstantes a escala:

Yt = ZtLαt K 1−α

t

Intentando una solución analítica


Tomando en cuenta la forma funcional de la Utilidad delconsumidor, obtenemos ecuaciones 5 y 6:

θ

Ct=

1− θ1− Lt

1Wt

(12)

1Ct

= βEt

{1 + rt+1

Ct+1

}(13)

Considerando la forma funcional de la función de producciónse obtienen las ecuaciones 8 y 9:

Wt = αYt

Lt= αZt

(Kt

Lt

)1−α(14)

1 + rt = (1− α)Yt

Kt= (1− α)Zt

(Lt

Kt

)α(15)



Condición de equilibrio de mercado, ecuación 11, es:

ZtLαt K 1−αt = Ct + Kt+1 (16)

Podemos simplificar más el modelo. Incorporando la ecuación14 en 12:

1− θ1− Lt

= Ztα

Ct

(Kt

Lt

)1−α(17)

Luego, incorporando la ecuación 15 en 13:

1Ct

= βEt

{(1− α)Zt+1

Ct+1

(Lt+1

Kt+1

)α}(18)



• Dado supuesto de utilidad logarítmica, efecto sustitución eingreso del trabajo ante un cambio en el salario real Wtson de igual magnitud pero diferente signo, por lo que secancelan1. Luego, se puede asumir que Lt = L.

• ES (⇑ Lt ): ante un choque de productividad, seincrementan los salarios actuales respecto a los del futuro.Aumenta la oferta laboral. Este efecto depende de laelasticidad salario de la oferta de trabajo.

• EI (⇓ Lt ): ante un choque de productividad, aumenta elahorro de los hogares, y por tanto su riqueza. Luego, haymenos incentivos a trabajar (o mayores incentivos al ocio).Este efecto depende de la persistencia del choque.

1Véase sección 4.5 del libro de Macroeconomía Avanzada de Romer paraun mayor detalle.



Utilizamos la ecuación 16 y suponemos que la distribución delingreso entre consumo e inversión es constante:

Ct = γ0ZtLαK 1−αt

Kt+1 = γ1ZtLαK 1−αt

Donde γ0 + γ1 = 1. Reemplazando en la ecuación 18:

1γ0ZtLαK 1−α

t

= β(1− α)Et

{Zt+1

γ0Zt+1LαK 1−αt+1

(L

Kt+1

)α}

1γ0ZtLαK 1−α

t

= β(1− α)1

γ0γ1ZtLαK (1−α)t



Operando se llega a:

γ1 = β(1− α) (19)

γ0 = 1− β(1− α) (20)

Reemplazando lo obtenido hasta el momento en la ecuación17, se llega a:

L =αθ

αθ + (1− θ)(1− β(1− α))(21)

L es constante! Asumirlo fue un buen supuesto. Observe:L < 1. Además:

Ct = (1− β(1− α))ZtLαK 1−αt (22)

Kt+1 = β(1− α)ZtLαK 1−αt (23)



Encontramos la solución del modelo para L, Ct y Kt+1. ¿Cómoevolucionan en el tiempo ante un choque de productividad?Suponemos proceso autoregresivo para Zt en logaritmos:

lnZt = ρZ lnZt−1 + εt (24)

Donde εt ∼ N(0, σ2). Además |ρZ | < 1. Aplicando logaritmos ala ecuación 23

lnKt+1 = ln(φ0) + (1− α)lnKt + lnZt (25)

Donde φ0 = γ1Lα. Reemplazando la ecuación 24:

lnKt+1 = ln(φ0) + (1− α)lnKt + ρZ lnZt−1 + εt (26)



De la ecuación 25 se sabe que:

lnZt = lnKt+1 − ln(φ0)− (1− α)lnKt

lnZt−1 = lnKt − ln(φ0)− (1− α)lnKt−1

Que se introduce en la ecuación 26:

lnKt+1 = (1− ρZ )ln(φ0) + (1− α + ρZ )lnKt − ρZ (1− α)lnKt−1 + εt(27)

Zt sigue un proceso AR(1), mientras Kt+1 e Yt siguen unproceso AR(2).



Puede realizarse lo mismo para obtener el proceso delConsumo. Aplicando logaritmos a la ecuación 22:

lnCt = ln(φ1) + (1− α)lnKt + lnZt (28)

Donde φ1 = γ0Lα. Haciendo uso del operador de rezagos, L,en la ecuación 26:

[1− (1− α)L]lnKt = lnφ0 + lnZt−1 (29)

Reemplazando en 28:

lnCt = ln(φ1) + (1− α)lnφ0 + lnZt−1

[1− (1− α)L]+ lnZt (30)



Teniendo en cuenta que lnZt = εt(1−ρZL) y multiplicando ambos

lados de la ecuación 30 por (1− ρZL)(1− (1−α)L), se llega a:

lnCt = (1− ρZ )αlnφ1 + (1− ρZ )(1− α)lnφ0 + ...

...+ (1− α + ρZ )lnCt−1 − ρZ (1− α)lnCt−2 + εt(31)

Consumo también tiene proceso AR(2), con los mismoscoeficientes para los rezagos, pero con distinta constante.



Figura 7: Funciones Impulso Respuesta, choque de productividad



• El modelo simplificado no es realista: no hay fluctuacionesdel empleo.

• ¿A qué se deben estas fluctuaciones? A la sustituciónintertemporal del trabajo (SIT).

• Incentivos a trabajar cambian a través del tiempo. Puedeser óptimo traspasar ocio entre períodos.

Sustitución intertemporal del trabajo


Si hogar optimiza sólo el primer período:

m«ax Ut = θLog(Ct ) + (1− θ)Log(1− Lt )

Sujeto a:Ct = WtLt

La condición intratemporal es:

1− θ1− Lt

= θWt

Ct

Reemplazando la restricción presupuestaria:

Lt = θ

Efectos sustitución e ingreso se cancelan.



Si hogar optimiza en dos períodos, t y t + 1:

m«ax Ut = θLog(Ct ) + (1− θ)Log(1− Lt ) + ...

...+ β[θLog(Ct+1) + (1− θ)Log(1− Lt+1)]

Sujeto a:

WtLt +Wt+1Lt+1

1 + rt+1= Ct +

Ct+1

1 + rt+1

Luego, considerando las CPO’s para Lt y Lt+1, se tiene:

1− Lt

1− Lt+1=

Wt+1

Wt

1β(1 + rt+1)

(32)



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