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CONTENIDO
1. DEFINICIÓN DE CURVAS DE LISSAJOUS.
En matemáticas, una curva de Lissajous, también conocido como
figura de Lissajous o curva de Bowditch, es la gráfica de un sistema de
ecuaciones paramétricas que describen movimiento armónico complejo. Esta
familia de curvas se investigó por Nathaniel Bowditch en 1815, y más tarde
con más detalle por Jules Antoine Lissajous en 1857. La aparición de la
figura es muy sensible a la relación a/b. Para una relación de 1, la figura es
una elipse, con casos especiales, incluyendo los círculos y las líneas. Otra
figura de Lissajous simple es la parábola. Otras relaciones producen curvas
más complicadas, que se cierran si a/b es racional. La forma visual de estas
curvas es a menudo sugerente de un nudo en tres dimensiones, y de hecho
muchos tipos de nudos, incluyendo los conocidos como nudos de Lissajous,
proyecto al plano como figuras de Lissajous.
2. RESEÑA HISTORICA DE LAS FIGURAS DE LISSAJOUS.
Las figuras de Lissajous fueron descubiertas por el astrónomo y
matemático americano Nathaniel Bowditch in 1815 cuando estudiaba el
movimiento del péndulo compuesto. Bowditch (1773-1838) fue un científico
autodidacta, capitán de un navío mercante, presidente de una compañía de
seguros, actuario de la Compañía de Seguros del Hospital de Boston, y
presidente de la Academia Americana de las Artes y las Ciencias. Autor de
numerosos trabajos científicos, es recordado principalmente por su libro “The
New American Practical Navigator”, que fue adoptado por el Departamento
Americano de la Marina de Estados Unidos. Jules Antoine Lissajous (1822-
1880) fue un físico francés que, independientemente de Bowditch, estudió
ampliamente las curvas que llevan su nombre en sus investigaciones sobre
Óptica.
3. DEFINICIÓN DE FIGURAS DE LISSAJOUS.
Una figura de Lissajous es la trayectoria de un punto móvil cuyas
coordenadas rectangulares son movimientos armónicos simples. La
ecuación de un movimiento armónico simple es x = a·cos(ω t + j) donde t es
el tiempo y las constantes a, ω, y j son la amplitud, la frecuencia, y la fase
respectivamente. Las ecuaciones paramétricas de las figuras de Lissajous
son por tanto:
x = a · sen (ω t + d)
y = b · sen ( t )
Las constantes a y b determinan el tamaño de la curva mientras que
su forma depende de la razón de sus frecuencias. Si las frecuencias son
iguales, la curva es o una elipse o un segmento, ocurriendo este caso si la
diferencia de fases es un múltiplo de π. Esta propiedad puede usarse para
estudiar una señal desconocida. Si aplicamos la señal desconocida al eje
vertical de un osciloscopio y entonces variamos la frecuencia horizontal,
cuando el osciloscopio muestre una elipse hemos determinado la señal de la
frecuencia.
4. MEDICIÓN DE FRECUENCIAS CON LAS FIGURAS DE LISSAJOUS.
Componemos dos señales de direcciones perpendiculares y de
distinta frecuencia angular x, y y .Supondremos que ambas señales tiene la
misma amplitud A y el desfase d puede ser cualquier valor
x=A·sen(x ·t)
y=A·sen(y ·t+d)
La relación de frecuencias angulares se puede obtener a partir del
número de tangentes de la trayectoria en el lado vertical y en el lado
horizontal.
5. APLICACIONES PRÁCTICA DE LA FIGURAS DE LISSAJOUS.
Las Curvas de Lissajous también se pueden generar utilizando un
osciloscopio. Un circuito de pulpo se puede utilizar para demostrar las
imágenes de forma de onda en un osciloscopio. Dos desfasadas entradas
sinusoidales se aplican al osciloscopio en el modo XY y la relación de fase
entre las señales se presentan como una figura de Lissajous. En un
osciloscopio, suponemos que x es CH1 y Y es CH2, A es la amplitud de CH1
y B es la amplitud de CH2, a es una frecuencia de CH1 y b es la frecuencia
de CH2, por lo que a/b es una relación de frecuencia de dos canales,
finalmente, d es el desplazamiento de fase de CH1. Una aplicación
puramente mecánica de una curva de Lissajous con a = 1, b = 2 se
encuentra en el mecanismo de accionamiento del tipo de luz de Marte oscila
Luces de populares con los ferrocarriles a mediados de la década de 1900.
El haz en algunas versiones traza una figura-8 desequilibrado patrón con el
"8" acostado de lado.
¿Qué sucede cuando a es igual a b?
Cuando la entrada a un sistema LTI es sinusoidal, la salida es
sinusoidal con la misma frecuencia, pero puede tener una amplitud diferente
y algo de cambio de fase. El uso de un osciloscopio que puede trazar una
señal contra otro para trazar la salida de un sistema LTI contra la entrada al
sistema LTI produce una elipse que es una figura de Lissajous para el caso
especial de a = b. La relación de aspecto de la elipse resultante es una
función del desplazamiento de fase entre la entrada y la salida, con una
relación de aspecto de 1 que corresponde a un desplazamiento de fase y de
una relación de aspecto de la correspondiente a un desplazamiento de fase
de 0 o 180 grados. La siguiente figura resume cómo cambia la figura de
Lissajous más diferentes cambios de fase. Los desplazamientos de fase son
todos negativos por lo que la semántica de retardo se puede utilizar con un
sistema LTI causal. Las flechas muestran la dirección de rotación de la figura
de Lissajous.
6. APLICACIONES REALES DE LAS FIGURAS DE LISSAJOUS.
Figuras de Lissajous se utilizan a veces en el diseño gráfico como logos.
Algunos ejemplos son:
Secuencia del título The Alfred Hitchcock película Vértigo está basada
en las figuras de Lissajous
La Australian Broadcasting Corporation
El Laboratorio Lincoln del MIT
La Universidad de Electro-Comunicaciones, Japón.
En informática, las figuras de Lissajous son algunos protectores de
pantalla.
7. ALGUNAS REPRESENTACIONES GRAFICAS DE LAS FIGURAS DE
LISSAJOUS.
8. PROCEDIMIENTO PRÁCTICO EN EL LABORATORIO.
CALCULO DE LA FRECUENCIA DE UNA SEÑAL DESCONOCIDAD
CON LAS FIGURAS DE LISSAJOUS EN CORRIENTE ALTERNA Y EL
OSCILOSCOPIO CON FRECUENCIA CONOCIDA (60 MHZ).
1. Generamos una señal Sinusoidal con el generador de Frecuencias.
2. Ajustamos la Amplitud de la Señal.
3. Conectamos el osciloscopio al generador y visualizamos los puntos de
tangencia de las curvas mostradas haciendo variar la perilla del
generador de frecuencias, teniendo en cuenta que el osciloscopio
debe estar en modo dual para poder ver las dos señales.
4. Una contados los puntos de tangencia usar la siguiente ecuación:
Y luego Multiplicar el valor de fracción obtenido por el valor de la
frecuencia conocido. Leyéndose esta relación fraccionaria como x a y,
es decir, si x = 2 y y =1se lee “2 a 1”. Y su representación gráfica
seria la siguiente:
INTRODUCCIÓN
El hombre en la búsqueda siempre en el ¿Por qué de las cosas? para
poderle darle las soluciones matemáticas y las explicaciones científicas a los
hechos o fenómenos que ocurren en este planeta, a lo largo de toda la
historia de la humanidad en esa búsqueda encontramos al Astrónomo,
Matemático Nathaniel Bowditch que en 1815 descubrió las Hoy Llamadas
Figuras de Lissajous que llevan el nombre el físico Francés Jules Antoine
Lissajous (1822-1880), ya que fue el que independientemente de Bowditch
las estudio a fondo y las analizo a profundidad en sus estudios de óptica por
ese motivo llevan su nombre. Siguiendo en esa búsqueda de ese ¿Por qué?
se presentó una interrogante luego del descubrimiento de la electricidad y
con ello todo lo relacionado a esta, ¿Cómo podemos medir el ángulo y la
frecuencia de dos señales alternas? ¿Qué aparato usar? ¿Cuál es el
procedimiento?, a raíz de todas estas interrogantes Lissajous observo que el
osciloscopio instrumento grafico que nos sirve para medir frecuencia y
amplitud de señales en corriente alterna, también nos permitiría hacer esta
medición con una simple relación “X es a Y”, y luego multiplicarla por la
frecuencia estándar conocida para así obtener los valores de las frecuencias
desconocidas por tales motivos este presente trabajo tiene como principal
objetivo el aprender el uso del osciloscopio para medir la frecuencia de una
señal no conocida comparándola con la frecuencia generada en el
transformador interno del mismo, para poder lograrlo se definirán que son las
figuras de Lissajous, se esbozara una breve reseña histórica de las mismas,
sus aplicaciones prácticas y reales, algunas de sus representaciones gráficas
y por ultimo un procedimiento de laboratorio para poner en practica todo lo
aprendido. Teniendo como objetivos segundarios el aprendizaje para futuras
mediciones de frecuencia de señales alternas desconocidas y por ultimo
afianzar los conocimientos en la práctica de la Ingeniería eléctrica e
electrónica dentro de nuestro campo profesional.
INDICE
PRESENTACIÓN.
INDICE.
INTRODUCCÓN.
CONTENIDO.
1. DEFINICIÓN DE CURVAS DE LISSAJOUS.
2. RESEÑA HISTORICA DE LAS FIGURAS DE LISSAJOUS.
3. DEFINICIÓN DE FIGURAS DE LISSAJOUS.
4. MEDICIÓN DE FRECUENCIAS CON LAS FIGURAS DE
LISSAJOUS.
5. APLICACIONES PRÁCTICA DE LA FIGURAS DE LISSAJOUS.
6. APLICACIONES REALES DE LAS FIGURAS DE LISSAJOUS.
7. ALGUNAS REPRESENTACIONES GRAFICAS DE LAS FIGURAS
DE LISSAJOUS.
8. PROCEDIMIENTO PRÁCTICO EN EL LABORATORIO.
CONCLUSIÓN
BIBLIOGRAFÍA.
CONCLUSIÓN
Al finalizar dicha investigación podemos afirmar que este trabajo nos
sirvió para afianzar nuestros conocimientos en el uso del osciloscopio como
herramienta que nos permite hacer mediciones exactas de la frecuencia de
señales sinusoidales desconocidas generadas por un generador de
frecuencia, dichas mediciones se realizaron con el procedimiento practico
escrito en el último punto del contenido. Igualmente profundizamos en
conocer más acerca de estas curvas o figuras de Lissajous tales como su
definición, aplicación y como se usan en el la vida popular o real, siendo su
algo muy interesante y útil para todos nosotros los estudiantes de ingeniería
eléctrica e electrónica ya por ultimo nos preparó más para afrontar el
mercado laboral con conocimientos solidos acerca de las materias
primordiales y fundamentales de nuestra carrera.
BIBLIOGRAFÍA
Web:
www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/lissajous/lissajous.htm.
fisica.udea.edu.co/~mpaez/lissajous/Fig2p.html.
www.euclides.dia.uned.es/.../lissajous_es_Figuras_de_Lissajous.html.
centrodeartigos.com/articulos-noticias.../article_145720.html.
cef.uca.edu.sv/labsfisica/Figuras%20de%20Lissajous.pdf.
es.wikipedia.org/wiki/Curva_de_Lissajous.
Textos:
GUÍA PARA MEDICIONES ELECTRÓNICAS Y PRÁCTICAS DE
LABORATORIO. Stanley Wolf, Richard F.M. Smith. 1992. Pag. 192.
CÁLCULO. Edwin Joseph Purcell, Steven E. Rigdon, Dale E. Varberg.
2007. Pág. 536.
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”EXTENSIÓN MARACIBO
FACULTAD DE INGENIERÍAESCUELA DE ELECTRÓNICA
LABORATORIO CIRCUITOS ELECTRICOS I
TRABAJO PRÁCTICO DE INVESTIGACIÓN
“FIGURAS DE LISSAJOUS”
AUTORES:
RUBIO, Robert.
HUERTA, José.
Profesor: Ing. José Moran. Sección: “A” Nocturno
MARACAIBO, ENERO 2.014
