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Seminario especial de matemáticas .
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SEMINARIO ESPECIAL DE MATEMÁTICA
SEMESTRAL UNI – 2010
Aritmética
1. Indique la secuencia correcta de vera-
cidad (V) o falsedad (F) respecto a las
siguientes proposiciones.
I. Al simplificar [(A ∪ Bc) ∩ (Ac – B)] ∪ B,
se obtiene A ∪ B.
II. Si n(A ∆ B)=1, entonces, n(A ∆ C)=1
o n(B ∩ C)=1
III. Si A ⊂ Bc ∧ B ⊂ Cc, entonces, C ⊂ Ac.
A) FVF
B) VVV
C) VFF
D) FFF
E) VVF
2. Se sabe que
abc28 – 2cba8=(c –1)(c+1)d38 y
abc=dexyen, además, b < c. Calcule el
valor de a+b+c+d+x+y+n.
A) 25 B) 27 C) 28
D) 24 E) 30
3. Si la cantidad de divisores compuestos
de 4000 y abca(a+b) están en la rela-
ción de 3 a 4, respectivamente, siendo
dos de sus divisores primos del segun-
do numeral b y (a+b). Calcule a+b+c.
A) 11 B) 10 C) 12
D) 8 E) 14
4. El resultado de dividir los términos de
la fracción irreductible abnb30
en base n
es aea, 5 1( )d + ; y en la base siguiente
es a00, c c ad−( )1 .
Calcule el valor de a+b+c+d+e. Si n
es par.
A) 22 B) 23 C) 25
D) 24 E) 20
5. Un grupo de a obreros realiza el 50%
de una obra en m días; otros b obreros,
50% más eficientes que los anteriores,
hacen la tercera parte de lo que falta
de la obra en n días. Si para concluir
la obra solo trabajan x obreros del se-
gundo grupo (x < b), terminando lo
restante en 12 días, además, n posee 3
divisores, calcule ab
.
A) x6
B) 6m
C) 18m
D) m18
E) 9m
Seminario Especial de MatemáticaSemestral UNI
– 1 –
6. Fabiola tiene una letra que vence den-tro de 10 meses, descontada al 10% bi-mestral. Si el ahorro que obtendría por liberarse de su deuda 6 meses antes de su vencimiento en lugar de 4 meses antes lo impusiera al 10% cuatrimestral al cabo de 10 meses se convertiría en S/.2100,25. Halle el valor nominal de dicha letra.
A) S/.84 100 B) S/.1866 C) S/.16 802D) S/.18 401 E) S/.8401
7. De un grupo de 8 varones y 6 mujeres, dentro de los cuales se encuentran Ma-riano y Delia, se escogen a 3 varones y 3 mujeres; luego de esto se le hace una entrevista a cada uno de los elegidos por un lapso de 5 minutos. Si los que realizan la entrevista siempre la hacen intercalando el género de las personas, halle la probabilidad de que los dos últi-mos entrevistados sean Mariano y Delia.
A) 1/48 B) 2/9 C) 1/24D) 1/22 E) 3/16
8. La siguiente gráfica muestra los salarios semanales que tienen un grupo de obreros.
1200
148
n
mujeresvarones
salariosemanal
(S/.)
Nº deobreros
m
140 160 180 200
60%60%
75%75%
50%50%80%80%
Si hay 99 varones que ganan menos de
S/.150 semanales, ¿cuál es la diferencia
aproximada entre el salario promedio
de los varones y mujeres?
A) 4,09 B) 1,46 C) 1,52
D) 6,54 E) 4,48
Álgebra
9. Si P(x)=x2+ 1 3 2 2+ +e x e , tal que
x1 ∧ x2 son las raíces del polinomio,
entonces, determine el valor de
P Px x13
23( ) ( )−
A) e B) 1 C) 0
D) e2 1− E) e −1
10. Dadas las siguientes proposiciones res-
pecto a la ecuación de incógnita x
3x+8+n2=6 2 1 2x n x− +
indique la secuencia correcta de vera-
cidad (V) o falsedad (F).
I. Es compatible para cualquier valor
real de n.
II. Es compatible determinado para un
único valor de n.
III. Existe un n ∈ Q tal que la ecuación
presente solución.
A) VVV
B) FVF
C) VVF
D) FFF
E) FVV
Academia César Vallejo
– 2 –
11. Si se tiene que
f xe e
x
x x
( ) sgn= −
−2
2 halle la gráfica de f(1– x)+1.
A)
Y
X
B)
Y
X
C) Y
X
D)
Y
X
E)
Y
X
12. Dada la matriz
A = −
0 1 27 0 13 1 0
calcule el valor de
Traz −( )
−
=∑ 11 1 3
1A
k
k
n
A) 3n+1
B) 3n
C) n(n –1)
D) n2
E) n(n+1)
13. Determine la región en el plano com-plejo correspondiente al siguiente con-junto.
A z izz
= − − −− −
≥
1 22 1 1
0
A) ReRe
ImIm
11
– 1– 1
B) ReRe
ImIm
11
– 1– 1
C)
ImIm
ReRe00 11– 1– 1
D)
ImIm
ReRe11
– 1– 1
E)
ImIm
ReRe11
– 1– 1
Seminario Especial de MatemáticaSemestral UNI
– 3 –
14. Dadas las siguientes proposiciones res-
pecto a un problema de programación
lineal, indique la secuencia correcta de
veracidad (V) o falsedad (F).
I. La región factible siempre es un re-
cinto convexo con un número finito
de puntos extremos.
II. Si la región factible es no acotada,
entonces, la función objetivo alcan-
za su valor óptimo en un vértice.
III. Si la región factible es acotada, enton-
ces, el máximo y mínimo valor de la
función objetivo están determinados.
A) FVF
B) FFV
C) VFF
D) VFV
E) VVF
15. Si
f(x; y; z)=(x+y)z ∧ x ≠ y ∧ {x; y; z} ⊂ Z+
está sujeta a las restricciones siguientes
2 3 5 232 5 13
14
x y z
x y z
y z
y
+ + >− + <
− ><
halle el valor de fx y
z; ;
.1
A) 8 B) 1 C) 2
D) 4 E) 3
16. Se define la sucesión (xn) como
xn+1=xn+e – n; n ∈ Z+ ∧ x1=2
halle el valor de convergencia de la
sucesión (an) si se cumple que
log logxn n ee
a e= − −−
12 1
; si n ≥ 2 ∧ a1=ee
A) ee –1
B) e
C) eloge
D) logee
E) e2e
Geometría
17. Se tiene un triángulo rectángulo ABC,
recto en B. Se traza la altura BH, tal que
la circunferencia inscrita en el triángulo
BHC es tangente a AC en su punto me-
dio. Si AO interseca a BH en E, BE=a y
EH=b, calcule AB. (O: es el centro de la
circunferencia inscrita en BHC).
A) a+2b
B) b+2a
C) 2(a+b)
D) 2a+3b
E) 2a – b
18. Del gráfico, ABCD es un rombo.
Calcule mHC .
B
H
C
A D
MM
NN
αα
A) aB) 2aC) 3aD) 4a
E) 32α
Academia César Vallejo
– 4 –
19. En un triángulo ABC, de circuncentro
O, BO���
interseca a AC en M, tal que
OM=MC; además, m MBC=q.
Calcule m ABO.
A) 90º – 2qB) 90º – 3qC) 90º – 4qD) 90º – qE) 2q
20. Se tiene un triángulo ABC, de ortocen-
tro H y circuncentro O, donde OB=a y
(BH)(HD)=b2 (D es la intersección de
BH� ��
y AC���
). Calcule OH.
A) a b2 2−
B) b a2 22−
C) a b2 22−
D) a b2 2
2+
E) a b2 2
4+
21. Indique la secuencia correcta de
veracidad (V) o falsedad (F) respecto a
los siguientes enunciados.
I. Si una recta es perpendicular a un
plano, entonces, cualquier recta que
pase por su pie será perpendicular a
ella.
II. Si dos rectas son paralelas a un plano,
entonces, el plano determinado por
ellas será paralelo al plano inicial.
III. El ángulo triedro es un conjunto
convexo.
A) VFF B) VVF C) FFV
D) FVF E) FFF
22. Del gráfico, se muestran un tetraedro
regular y un cubo. Calcule la razón de
sus volúmenes.
A) 23
B) 64
C) 3
3
D) 34
E) 26
23. Se tiene un prisma regular ABCDEF -
MNPQRS. Si la medida del diedro entre
las regiones MNPQRS y ABPS es 45º,
calcule la medida del ángulo entre BS���
y el plano MPR.
A) 15º
B) 53º/2
C) 37º/2
D) 30º
E) 37º
Seminario Especial de MatemáticaSemestral UNI
– 5 –
24. Se tiene un cono, al cual se traza un
plano secante y paralelo a la base del
sólido. Si los sólidos parciales son equi-
valentes, calcule la razón de alturas de
dichos sólidos.
A) 13
B) 23
3
C) 123
D) 12 13 −
E) 23
3
Trigonometría
25. Del gráfico, calcule 4 5 5−( )tanq+8
si T, A y B son puntos de tangencia,
además MN=1 y RP=2.
A
θBR P
T
NM
A) 3 5
B) 2 5
C) 4 5
D) 5
E) 5 5
26. Si sen2x=n y sen2y=m, calcule
(cos(x+y)+sen(x – y))2 en términos de
m y n.
A) (1 – n)(1 – m)
B) (1+n)(1+m)
C) (1 – n)(1+m)
D) (1 – m)(1+n)
E) m2n2
27. Del gráfico, calcule el área de la región
sombreada si AB=6 y MN=4.
θθ
A B
M
N2θ
A) 23
21 3 2+( ) u
B) 43
21 3 2+( ) u
C) 43
21 2 2+( ) u
D) 23
97 7 2+( ) u
E) 43
97 7 2+( ) u
Academia César Vallejo
– 6 –
28. En la circunferencia trigonométrica
mostrada, halle ab en términos de q.
θθ
Y
X
(a; b)
A) −cosθ2
B) −senθ2
C) – cosq
D) –senq
E) senqcosq
29. Determine el rango de la función f,
cuya regla de correspondencia es
f x x x x( ) cos cos tan= − +1 8 2 2
si x∈
23
34
π π; .
A) − 3 1;
B) [0; 1]
C) − 3 0;
D) [– 1; 1]
E) − 3 3;
30. Calcule el dominio de la función defi-nida por
f xx
( )arctan arctan arctan( )
=
+
−4
7311
2
sen 2arccos(2xx)3
−
π
A) −
− −
12
12
14
34
; ;
B) −
− −
12
12
34
14
; ;
C) −
− −{ }1
212
14
;
D) −
−
12
12
34
;
E) −
−{ }1
212
0;
31. Resuelva la ecuación
(tan ) (cot ) (cot ) ( )α α απ
arcsen arcsenx x=−2 2
Considere a constante.
A) −3
3
B) 3
3
C) ± 33
D) −12
E) 12
Seminario Especial de MatemáticaSemestral UNI
– 7 –
32. En el gráfico se muestra una parábola en el sistema X’Y’, cuyo vértice es V y foco F. Halle la ecuación de la parábola en dicho sistema.
Y
Y ' X '
XF
V(1; 1/6)
85
715
; –
37º
A) ( ' ) 'x y− = − −
116
2
B) ( ' ) 'x y− = −
1 616
2
C) ( ' ) 'x y− = −116
2
D) ( ' ) 'x y− = −
116
16
2
E) ( ' ) 'x y− = − −
1 616
2
Lima, 10 de agosto de 2010
Academia César Vallejo
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