Filosofa II: Tablas de VerdadFilosofa II: Tablas de VerdadUnatabla de verdad, es una tabla que muestra el valor de verdad de unaproposicin compuesta, para cada combinacin de valores de verdad que se pueda asignar a sus componentes.

Para establecer unSistema formalse establecen las definiciones de los operadores. Las definiciones se harn en funcin del fin que se pretenda al construir el sistema que haga posible la formalizacin de argumentos: Como razonamiento deductivo lgico-linguistico Como construccin de un sistema matemtico puro Como unaaplicacin lgicaen un Circuito de conmutacin.Verdadero

El valor verdadero se representa con la letraV, si se emplea notacin numrica se expresa con un uno:1, en un circuito elctrico, el circuito esta cerrado.Falso

El valor falso se representa con la letraF, si se emplea notacin numrica se expresa con un cero:0, en un circuito elctrico, el circuito esta abierto.Variable

Para una variable lgicaA,B,C, ... que pueden ser verdaderasV, o falsasF, los operadores fundamentales se definen as:

Negacin

La negacin es unoperador que se ejecuta, sobre un nico valor de verdad, devolviendo el valorcontradictorio de la proposicin considerada.

Conjuncin

Laconjuncin es un operador que opera sobre dos valores de verdad, tpicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdadverdaderocuando ambas proposiciones son verdaderas, yfalsoen cualquier otro caso. Es decir es verdadera cuando ambas son verdaderasLa tabla de verdad de la conjuncin es la siguiente:

Que se corresponde con la columna 8 del algoritmo fundamental.Disyuncin

Ladisyuncin es un operador que opera sobre dos valores de verdad, tpicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdadverdaderocuando una de las proposiciones es verdadera, o cuando ambas lo son, yfalsocuando ambas son falsas.La tabla de verdad de la disyuncin es la siguiente:

Que se corresponde con la columna 2 del algoritmo fundamental.Implicacin o Condicional

Elcondicional materiales un operador que opera sobre dos valores de verdad, tpicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdadfalsoslo cuando la primera proposicin es verdadera y la segunda falsa, yverdaderoen cualquier otro caso.La tabla de verdad del condicional material es la siguiente:

Que se corresponde con la columna 5 del algoritmo fundamental.Bicondicional

Elbicondicional o doble implicacin es un operador que funciona sobre dos valores de verdad, tpicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdadverdaderocuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad, y falso cuando sus valores de verdad difieren.La tabla de verdad del bicondicional es la siguiente:

Que se corresponde con la columna 7 del algoritmo fundamental.

Nmero de combinaciones

Partiendo de un nmeronde variables, cada una de las cuales puede tomar el valor verdadero:V, o falso:F, por Combinatoria, podemos saber que el nmero total de combinaciones:Nc, que se pueden presentar es:

el nmero de combinaciones que se pueden dar connvariable, cada una de las cuales puede tomar uno entre dos valores lgicos es de dos elevado an, esto es, el nmero de combinaciones:Nc, tienecrecimiento exponencialrespecto al nmero de variablen:

Si consideramos que unsistema combinacionaldenvariables binarias, puede presentar un resultado verdadero:V, o falso:F, para cada una de las posibles combinaciones de entrada tenemos que se pueden construirCpcircuitos posibles connvariables de entrada, donde:

Que da como resultado la siguiente tabla:

Para componer una tabla de verdad, pondremos lasnvariables en una lnea horizontal, debajo de estas variables desarrollamos las distintas combinaciones que se pueden formar conVyF, dando lugar a la distintasNc, nmero de combinaciones. Normalmente solo se representa la funcin para la que se confecciona la tabla de verdad, y en todo caso funciones parciales que ayuden en su clculo, en la figura, se pueden ver todas las combinaciones posiblesCp, que pueden darse para el nmero de variables dado.

As podemos ver que para dos variables binarias:AyB,n= 2 , que pueden tomar los valoresVyF, se pueden desarrollar cuatro combinaciones:Nc= 4, con estos valores se pueden definir diecisis resultados distintos,Cp= 16, cada una de las cuales seria una funcin de dos variables binarias. Para otro nmero de variables se obtendrn los resultados correspondientes, dado el crecimiento exponencial deNc, cuandontoma valores mayores de cuatro o cinco, la representacin en un cuadro resulta compleja, y si se quiere representar las combinaciones posiblesCp, resulta ya complejo paran= 3.Para cero variables

Un circuito sin variables, puede presentar una combinacin posible:Nc=1, con dos circuitos posibles:Cp=2. Que seran el circuito cerrado permanentemente, y el circuito abierto permanentemente.12

VF

En este caso se puede ver que no interviene ninguna variable.Cada uno de estos circuitos admite una nica posicin y hay dos circuitos posibles.Para una variableEl caso de una variable binaria, que puede presentar dos combinaciones posibles:Nc=2, con 4 circuitos posibles:Cp=4.1234

AAAAA

VVVFF

FVFVF

Los casos 1 y 4 coinciden con los de cero variables, el caso 2 la salida es la de la variable y el caso 3 la negacin de la variable.Para dos variablesConsidrese dosvariables proposicionalesAyB. Cada una puede tomar uno de dos valores de valores de verdad: o V (verdadero), o F (falso). Por lo tanto, los valores de verdad deAy deBpueden combinarse de cuatro maneras distintas: o ambas son verdaderas; oAes verdadera yBfalsa, oAes falsa yBverdadera, o ambas son falsas. Esto puede expresarse con una tabla simple:

Considrese adems a "" como unaoperacin ofuncion logicaque realiza unafuncin de verdadal tomar los valores de verdad deAy deB, y devolver un nico valor de verdad. Entonces, existen 16 funciones distintas posibles, y es fcil construir una tabla que muestre qu devuelve cada funcin frente a las distintas combinaciones de valores de verdad deAy deB.12345678910111213141516

ABABABABABABABABABABABABABABABABAB

VVVVVVVVVVFFFFFFFF

VFVVVVFFFFVVVVFFFF

FVVVFFVVFFVVFFVVFF

FFVFVFVFVFVFVFVFVF

Las dos primeras columnas de la tabla muestran las cuatro combinaciones posibles de valores de verdad de A y de B. Hay por lo tanto 4 lneas, y las 16 columnas despliegan todos los posibles valores que puede devolver una funcin "".De esta forma podemos conocer mecnicamente, mediante algoritmo, los posibles valores de verdad de cualquier conexin lgica interpretada como funcin, siempre y cuando definamos los valores que devuelva la funcin.Se hace necesario, pues, definir las funciones que se utilizan en la confeccin de un sistema lgico.De especial relevancia se consideran las definiciones para elCalculode deduccin naturaly laspuertas lgicasen los circuitos electrnicos.Tablas de verdadLas tablas nos manifiestan los posibles valores de verdad de cualquier proposicin molecular, as como el anlisis de la misma en funcin de las proposicones que la integran, encontrndonos con los siguientes casos:Verdad Indeterminada o Contingencia

Se entiende por verdad contingente, o verdad de hecho, aquella proposicin que puede ser verdadera o falsa, segn los valores de las proposiciones que la integran. Sea el caso:.Su tabla de verdad se construye de la siguiente manera:Ocho filas que responden a los casos posibles que pueden darse segn el valorVoFde cada una de las proposiciones A, B, C.(Columnas 1, 2, 3)Una columna(Columna 4)en la que se establecen los valores deaplicando la definicin del disyuntor a los valores de B y de C en cada una de las filas.(Columnas 2,3 4)Una columna(columna 5)en la que se establecen los valores resultantes de aplicar la definicin de la conjuncin entre los valores de A(columna 1)y valores de la columna,(columna 4)que representarn los valores de la proposicin completa, cuyo valor de verdad esVoFsegn la fila de los valores de A, B, y C que consideremos.(Columnas 1,4 5)Donde podemos comprobar cundo y por qu la proposicinesVy cundo esF.

Contradiccin

Se entiende por proposicin contradictoria, o contradiccin, aquella proposicin que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor siempre es F. Dicho de otra forma, su valor F no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino de laforma en que estn establecidas lasrelaciones sintcticasde unas con otras. Sea el caso:

Procederemos de manera similar al caso anterior. Partiendo de la variableAy su contradiccin, la conjuncin de ambos siempre es falso, dado que siAes verdad su contradiccin es falsa, y siAes falsa su contradiccin es verdad, la conjuncin de ambas da falso en todos los casos.Tautologas

Se entiende por proposicin tautolgica, o tautologa, aquella proposicin que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor siempre es V. Dicho de otra forma, su valor V no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino de laforma en que estn establecidas lasrelaciones sintcticasde unas con otras. Sea el caso:

Siguiendo la mecnica algortmica de la tabla anterior construiremos su tabla de verdad, tenemos la variableAen disyuncin con su contradiccin, siAes verdad, su negacin es falsa y siAes falsa su negacin es verdad, en cualquier caso una de las dos alternativas es cierta, y su disyuncin es cierta en todos los casos. EJEMPLOSi tu hermana no pasa el examen, estars en graves problemas.10Identicamos las proposiciones atmicas y les asignamos una variable:P: Tu hermana pasa el examenQ: Estars en graves problemasDe esta manera, podemos formalizar (15) como (~P)Q y construir su tabla de la siguiente manera:Desarrollo del algoritmo fundamental en lgica de circuitos[editar]Artculo principal:Formas cannicas (lgebra de Boole).Artculo principal:Circuito de conmutacin.La definicin de la tabla de verdad corresponde a funciones concretas, en cada caso, as como a implementaciones en cada una de las tecnologas que pueden representar funciones lgicas en binario, como las puertas lgicas o los circuitos de conmutacin. Se entender como verdad la conexin que da paso a la corriente; en caso contrario se entender como falso. Veamos la presentacin de los diecisis casos que se presentan con dos variables binariasAyB: Caso 1Artculo principal:Tautologa (lgica).

El primer caso en una funcin lgica que para todas las posibles combinaciones de A y B, el resultado siempre es verdadero, es un caso de tautologa, su implementacin en un circuito es una conexin fija.

Caso 2Artculo principal:Disyuncin lgica.

En este segundo caso el resultado solo es falso si A y B son falsos, si una de las dos variables es verdad el resultado es verdad.La funcin seria:

Caso 3

En el tercer caso es verdad si A es verdad y cuando A y B son falsos el resultado tambin es verdad.Su funcin seria:

Caso 4

En el cuarto caso la funcin es cierta si A es cierta, los posibles valores de B no influyen en el resultado.La funcin solo depende de A:

Caso 5Artculo principal:Condicional material.

En el quinto caso si A es falso el resultado es verdadero, y si A y B son verdaderos el resultado tambin es verdadero, puede verse que este caso es idntico al tercero permutando A por B.Y si funcin es:

Caso 6

En el sexto caso la funcin es cierta si B es cierta, los valores de A no influyen en el resultado.La funcin solo depende de B:

Caso 7Artculo principal:Bicondicional.

El sptimo caso corresponde a la relacin bicondicional entre A y B, el resultado solo es verdad si A y B son ambos verdad o si A y B son ambos falsos.

Caso 8Artculo principal:Conjuncin lgica.

En el octavo caso el resultado es verdad si A y B son verdad, en el resto de los valores de A y B el resultado es falso, corresponde a la conjuncin de A y B, equivalente a un circuito en serie.

Caso 9

En el noveno caso el resultado solo es falso si A y B son verdad, en el resto de los valores de A y B el resultado es verdadero, corresponde a la disyuncin de la negacin A y de B, equivalente a un circuito en paralelo de conexiones inversas.

Caso 10Artculo principal:Disyuncin exclusiva.

Podemos ver que el dcimo caso es lo opuesto a la bicondicional, solo es verdad si A y B discrepan, si A y B son diferentes el valor es verdad, si A y B son iguales el resultado es falso.

Caso 11Artculo principal:Negacin lgica.

En este caso podemos ver que cuando B es verdad el resultado es falso y que cuando B es falso el resultado es verdadero, independientemente del valor de A, luego la funcin solo depende de B, en sentido inverso.

Caso 12

En el caso doce, vemos que solo hay un combinacin de A y B con resultado verdadero, que es A y la negacin de B.

Caso 13Artculo principal:Negacin lgica.

En el caso decimotercero podemos ver que el resultado es el opuesto de A, independientemente del valor de B:

Caso 14

Caso decimocuarto, el resultado de la funcin solo es verdad si A es falso y B verdadero, luego es equivalente a un circuito en serie de A en conexin inversa y de B en conexin directa.

Caso 15

En el caso decimoquinto, el resultado solo es verdad si A y B son falsos, Luego es necesario que tanto A como B sean falsos para que el resultado sea verdadero.

Caso 16Artculo principal:Contradiccin.

Por ltimo en el caso decimosexto, tenemos que el resultado siempre es falso independientemente de los valores de A o de B.