FILTRO DIGITAL PASO BAJO USANDO LA VENTANA

BLACKMANJosé Miguel Carrillo Aguirre, Edgar Iván

Barrera Granados, Rafael Ernesto González Valle, Benjamín Antonio Robles Rivas

Abstract- En este documento se presentan las nociones básicas de la elaboración de filtros digitales (FIR), específicamente un filtro paso bajo con el método de ventana de tipo BLACKMAN, técnica que nos permite elaborar filtros más exactos, el filtro se desarrollara como una herramienta ejecutable en Octave, este documento presenta la teoría básica del filtro así como los cálculos necesarios para el desarrollo del programa en lenguaje Octave.

I. INTRODUCCION

l desarrollo de la tecnología en la actualidad avanza de manera

inimaginable, desarrollando nuevas técnicas de comunicación o transmisión de datos, con lo q se busca suplir la necesidad de información y comunicación de la humanidad, esto brinda un reto muy grande para los desarrolladores e ingenieros a cargo del manejo de esta información.

E

El tratamiento de señales es sin duda unos de los pilares fundamentales de la comunicación, entre las necesidad existentes en este ámbito se presenta el desarrollo de operaciones de filtrado, lo cual significa separar elementos de interés dentro del espectro de la señal de

acuerdo a criterios establecidos (por ejemplo determinada frecuencia), esto es en otras palabras cambiar las amplitudes relativas de las componente de la señal, amplificando las de interés y atenuando las que no se desean.

Muchos son los tipos de filtro existentes, que son caracterizados por las especificaciones del tipo filtrado o señal sobre la que actuaran, nuestro estudio se basara en los filtros discretos, específicamente los filtros no recursivos o de respuesta al impulso finito. (FIR por sus siglas en ingles)

En este informe se presentan las nociones básicas y necesarias para el diseño e implementación de un filtro FIR, utilizando el método de ventaneo, siendo este desarrollado en el lenguaje de programación de la herramienta matemática de Octave.

II. MARCO TEORICO

Un filtro digital es un tipo de filtro que opera sobre señales discretas y cuantificadas, implementado con tecnología digital, bien como un circuito digital o como un programa informático.

a) Definición:

Un filtro digital es un sistema que, dependiendo de las variaciones de las señales de entrada en el tiempo y amplitud, se realiza un procesamiento matemático sobre dicha señal; generalmente mediante el uso de la Transformada rápida de Fourier; obteniéndose en la salida el resultado del procesamiento matemático o la señal de salida.

Los filtros digitales tienen como entrada una señal analógica o digital y en su salida tienen otra señal analógica o digital, pudiendo haber cambiado en amplitud, frecuencia o fase dependiendo de las características del filtro digital.

El filtrado digital es parte del procesado de señal digital. Se le da la denominación de digital más por su funcionamiento interno que por su dependencia del tipo de señal a filtrar, así podríamos llamar filtro digital tanto a un filtro que realiza el procesado de señales digitales como a otro que lo haga de señales analógicas.

Un tema muy importante es considerar las limitaciones del filtro de entrada debido a Teorema de muestreo de Nyquist-Shannon que en pocas palabras; si se desea procesar hasta una frecuencia de 10KHz, se debe tener una frecuencia de muestreo por lo menos de 20 KHz.

b) Filtros FIR

FIR es un acrónimo en inglés para Finite Impulse Response o Respuesta finita al impulso. Se trata de un tipo de filtros digitales cuya respuesta a una señal impulso como entrada tendrá un número finito de términos no nulos.

Los filtros FIR son preferibles en este caso a los filtros denominados IIR (Infinite Impulse Response) puesto que estos últimos no pueden aprovechar las bondades de la transformada rápida de Fourier para su implementación, puesto que octave necesita un número finito de puntos a muestrear.

Algunas ventajas de los filtros FIR:

Pueden diseñarse con fase perfectamente lineal

Son incondicionalmente estabales Son factibles a utilizar la transformada

rápida de Fourier Mejorar la selectividad requiere un

número de puntos M muy grande Realización eficiente en forma tanto

recursiva como no recursiva

Los filtros FIR no recursivos, son siempre estables, pues los polos que poseen siempre estarán en cero.

El filtro FIR que se tratara en este documento, se desarrollara mediante el método conocido como de la ventana para el cual se ha seleccionado el tipo de ventana BLACKMAN

c) Método de la ventana

Las ventanas son funciones matemáticas usadas con frecuencia en el análisis y el procesamiento de señales para evitar las discontinuidades al principio y al final de los bloques analizados.

En procesamiento de señales, una ventana se utiliza cuando nos interesa una señal de longitud voluntariamente limitada. En efecto, una señal real tiene que ser de tiempo finito; además, un cálculo sólo es posible a partir de un número finito de puntos. Para observar una señal en un tiempo finito, la multiplicamos por una función ventana.

Para una mejor comprensión se analizara brevemente el método de la ventana cuadrada el cual consiste en multiplicar la función por un rectángulo de tiempo finito definido como:

Así, cuando multiplicamos una señal s(t) por esta ventana, obtendremos únicamente los T primeros segundos de la señal: observamos la señal en un intervalo T. En vez de estudiar la señal s(t), se estudia la señal truncada: sh(t) = s(t).h(t) 

Si pasamos al dominio de la frecuencia, mediante una transformada de Fourier, obtenemos el producto de la convolucion Sh(f)=S(f)*H(f), donde H(f) es la TF de la ventana.

Como se mencionó anteriormente la ventana seleccionada para este filtro es una ventana BLACKMAN la cual está definida como:

w (n )=ao−a1cos ( 2 πnN−1 )+a2 cos( 4 πn

N−1 )Dónde:

a0 = 0.42, a1= 0.5 y a2= 0.08

Fig 1. Forma general de ventana BLACKMAN

La figura 2. Muestra la respuesta en frecuencia de la ventana tipo Blackman esto será muy útil para consideraciones del diseño del filtro.

Fig 2. Respuesta en frecuencia de la ventana BLACKMAN

d) Diseño del filtro pasa-bajos

La ecuación para un sistema FIR, sistema no recursivo es:

y [ n ]= 1a0∑k=0

M

bk . x [n−k ]

Ahora se debe proceder a obtener la respuesta al impulso, haciendo x[n] = δ [n]

y [ n ]= 1a0∑k=0

M

bk . δ [ n−k ]={bn

a0

,∧0 ≤ x ≤ L−1

x ,∧x≥ otrocaso

Se observa que la respuesta al impulso para este sistema tiene duración finita.

De las diferentes técnicas de diseño se desarrolla la técnica de ventaneo con la que primero se debe decidir las especificaciones de respuesta en frecuencia Hd(w) y determinar su correspondiente en respuesta al impulso hd(n).

Para diseñar un filtro FIR con características específicas tenemos las siguientes ecuaciones:

Hd ( w)=∑n=0

∞

hd (n )e− jwn

La ecuación de diseño para el filtro FIR resulta:

hd (n )= 12 π

∫−π

π

Hd (w ) e jwndw

En general la respuesta hd(n) es infinita pero esta es truncada mediante el ventaneo, en el

punto: n=M−1 y multiplicando por la ventana rectangular o unitaria se obtiene

hd (n )={¿ wc

π

sin π (n− M−12

)−sin wc (n−M−12

)

π (n−M−1

2)

n≠M−12

n=M−1

2

Una vez obtenida la h(n) del filtro deseado se le aplica el tipo de ventana más adecuada a las necesidades realizando la multiplicación correspondiente de acuerdo a las especificaciones en este caso la ventana elegida es la de tipo Blackman correspondiente a:

w (n )=ao−a1cos ( 2 πnN−1 )+a2 cos( 4 πn

N−1 )e) Determinación de las ecuaciones h[n],

h [e− jw], w[n] para el filtro a

desarrollar

La respuesta al impulso discreto está dada por:

h [ n ]=sen (w c . n )

πn

Se tiene una fc = 350 Hz

Entonces: h [ n ]= sen (700 π .n )πn

Dado que la ecuación puede representarse en una función SINC entonces:

h[n] = 700 sinc(700.n)

La respuesta espectral para el filtro ideal está dada por:

Para nuestro caso:

h [e− jw ]=¿

Finalmente como se planteó anteriormente la ventana seleccionada será la Blackman definida por:

w (n )=0.42−0.5 cos( 2 πnN−1 )+0.08 cos ( 4 πn

N−1 )III. CONCLUSIONES

Los filtros FIR presentan ventajas importantes respecto a los IIR en cuando a las aplicaciones deseadas en el tratamiento de señales y comunicaciones

El fenómeno Gibbs, que produce una sobre oscilación relativamente grande en las cercanías de la discontinuidad de la respuesta ideal, se produce a causa del truncamiento abrupto de la respuesta al impulso de respuesta infinita

Usando diversas funciones de ventana se puede truncar la secuencia de modo más suave y efectivo

IV. BIBLIOGRAFIA

http://es.wikipedia.org/wiki/Finite_impulse_response

http://es.wikipedia.org/wiki/Filtro_digital

http://varoitus.barcelonamedia.org/rafael/Teaching/Courses/DSP/modulo7.pdf

http://catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/documentos/lem/jauregui_v_jj/capitulo2.pdf

http://dsp1.materia.unsl.edu.ar/Filtros%20FIR%20Ejemplos.pdf

http://www.slideshare.net/kevinXD123/ss-cap7-diseno-filtros-fir

http://es.wikipedia.org/wiki/Dise%C3%B1o_de_Filtros_de_Respuesta_Finita_al_Impulso