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FILTROS ACTIVOS 1 C Ca a p p i i t t u u l l o o 1 1 F Fi i l l t t r r o o s s a a c c t t i i v v o o s s Los filtros activos son circuitos formados por resistencias, condensadores y amplificadores, en general amp-ops, que permiten que solo ciertas frecuencias seleccionadas pasen desde la entrada hasta la salida del filtro. Estos circuitos se usan para aumentar o atenuar ciertas frecuencias en circuitos de audio, generadores electrónicos de música, instrumentos sísmicos, circuitos de comunicaciones y en laboratorios de investigación para estudiar las componentes de frecuencia de señales tan diversas como ondas cerebrales y vibraciones mecánicas. Los filtros activos en casi todas las áreas de la electrónica: por tanto, merecen nuestra atención. O OB BJ JE ET TI I V VO OS S Al terminar este capitulo y contestar el autoexamen, el alumno podrá hacer lo siguiente: 1. Señalar las características principales de los filtros Bessel, Butterworth y Chebyshev. 2. Indicar las ventajas y las desventajas de los filtros activos. 3. Calcular los componentes de cada uno de los tipos de filtro activo mencionados en este capitulo, incluyendo los conectados en cascada. 4. Identificar de memoria los tipos de filtro activo explicándose en este capítulo. 5. Realizar el ejercicio de laboratorio del capítulo 1. 1 1. . 1 1 D De ef f i i n ni i c ci i o on ne es s B Bá ás s i i c ca as s D De el l F Fi i l l t t r ro o Un filtro, sea activo o pasivo (que no contiene amplificadores), permite que cierta porción del espectro de frecuencias pase por su salida. El filtro se clasifica dé acuerdo con la porción del espectro de frecuencias que deja pasar. Los filtros paso-bajos dejan pasar frecuencias desde cd hasta alguna frecuencia de corte seleccionada, f c , y atenúan todas las frecuencias superiores a f c como se indica en la figura 1.1a. A la gama de frecuencias de cero a f c se le llama banda de paso. A la gama de frecuencias superiores a f b se le llama banda de bloqueo. A la gama de frecuencias de f c a f b se le llama región de transición. La proporción en que varía la atenuación en la región de transición es una característica importante del filtro. La frecuencia a la cual el voltaje de salida del filtro cae a un valor de 0.707 de su valor en la banda de paso ( o sea, que ha disminuido en 3 dB) es la frecuencia de corte, f c. La frecuencia a la cual el voltaje de salida está 3 dB arriba del valor en. La banda de bloqueo es f b . El filtro paso-altos atenúa todas las frecuencias hasta f c y deja pasar todas las frecuencias superiores a f c hasta el límite de frecuencia del filtro paso-altos. En la figura 1.1b se muestra una característica de la frecuencia paso-altos.

Filtros Ojo

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CCaappiittuulloo 11 FFiillttrrooss aaccttiivvooss

Los filtros activos son circuitos formados por resistencias, condensadores y

amplificadores, en general amp-ops, que permiten que solo ciertas frecuencias seleccionadas pasen desde la entrada hasta la salida del filtro. Estos circuitos se usan para aumentar o atenuar ciertas frecuencias en circuitos de audio, generadores electrónicos de música, instrumentos sísmicos, circuitos de comunicaciones y en laboratorios de investigación para estudiar las componentes de frecuencia de señales tan diversas como ondas cerebrales y vibraciones mecánicas. Los filtros activos en casi todas las áreas de la electrónica: por tanto, merecen nuestra atención. OOBBJJEETTIIVVOOSS Al terminar este capitulo y contestar el autoexamen, el alumno podrá hacer lo siguiente:

1. Señalar las características principales de los filtros Bessel, Butterworth y Chebyshev. 2. Indicar las ventajas y las desventajas de los filtros activos. 3. Calcular los componentes de cada uno de los tipos de filtro activo mencionados en

este capitulo, incluyendo los conectados en cascada. 4. Identificar de memoria los tipos de filtro activo explicándose en este capítulo. 5. Realizar el ejercicio de laboratorio del capítulo 1.

11..11 DDeeffiinniicciioonneess BBáássiiccaass DDeell FFiillttrroo Un filtro, sea activo o pasivo (que no contiene amplificadores), permite que cierta porción del espectro de frecuencias pase por su salida. El filtro se clasifica dé acuerdo con la porción del espectro de frecuencias que deja pasar. Los filtros paso-bajos dejan pasar frecuencias desde cd hasta alguna frecuencia de corte seleccionada, fc, y atenúan todas las frecuencias superiores a fc como se indica en la figura 1.1a. A la gama de frecuencias de cero a fc se le llama banda de paso. A la gama de frecuencias superiores a fb se le llama banda de bloqueo. A la gama de frecuencias de f c a f b se le llama región de transición. La proporción en que varía la atenuación en la región de transición es una característica importante del filtro. La frecuencia a la cual el voltaje de salida del filtro cae a un valor de 0.707 de su valor en la banda de paso ( o sea, que ha disminuido en 3 dB) es la frecuencia de corte, fc. La frecuencia a la cual el voltaje de salida está 3 dB arriba del valor en. La banda de bloqueo es fb. El filtro paso-altos atenúa todas las frecuencias hasta fc y deja pasar todas las frecuencias superiores a fc hasta el límite de frecuencia del filtro paso-altos. En la figura 1.1b se muestra una característica de la frecuencia paso-altos.

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Un filtro paso-banda, como se ilustra en la figura 1.1c, deja pasar todas las frecuencias entre una frecuencia inferior de corte, f 1, y una frecuencia superior de corte, f2.. Todas las frecuencias inferiores a f1 y superiores a f2 son atenuadas. Las gamas de frecuencia de f1 a f1 y de f 2 a f2 son las regiones de transición. La frecuencia central (fo) se considera como la media geométrica de f1 y f2 y se encuentra a partir de esta ecuación:

21 fffo = (1-1) Un filtro rechazo de banda atenúa todas las frecuencias entre f1 y f2 y deja pasar a todas las demás, como se indica en la figura 1.l d. A un filtro rechazo de banda con una banda angosta de frecuencias atenuadas se le llama filtro ranura. Los filtros de rechazo de banda son útiles para eliminar frecuencias indeseables, como la de 60Hz, en los sistemas de audio.

a) Filtro pasa-bajas

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Figura 1.1 Características del filtro 11--11..11 VVeennttaajjaass ddee llooss ffiillttrrooss aaccttiivvooss

Los filtros pasivos están formados por inductores, condensadores y resistencias. En la gama de frecuencias en la cual los filtros activos son útiles, la mayoría de los filtros pasivos requieren inductores grandes, pesados y costosos y atenúan frecuencias de la banda de paso (aunque las frecuencias de la banda de bloqueo se atenúan más). Los inductores que se usan en los filtros pasivos tienen resistencia de arrollamiento, pérdidas en el núcleo y capacitancia entre espiras, de manera que no se comportan precisamente de manera ideal. Las ventajas de los filtros activos respecto a los pasivos son las siguientes:

1. Utilizan resistencias y condensadores que se comportan más ideal mente que los inductores.

2. Son relativamente baratos. 3. Pueden dar ganancia en la banda de paso y rara vez tienen pérdidas severas (como

las tienen los filtros pasivos). 4. El empleo de amp-ops en los filtros activos proporciona separación entre la entrada y

la salida. Esto permite que los filtros activos puedan conectarse fácilmente en cascada a fin de obtener un mejor funcionamiento.

5. Los filtros activos son relativamente fáciles de alinear. 6. Se pueden construir filtros de muy baja frecuencia usando componentes de poco

valor. 7. Los filtros activos son pequeños y ligeros.

Los filtros activos tienen desventajas. Requieren una fuente de poder y su frecuencia máxima está limitada a la frecuencia más alta de operación del amp-op. Esto limita a los filtros activos que contienen amp-ops a pocos megahertz cuando mucho. Con amplificadores discretos, es frecuencia se puede exceder. A medida que los fabricantes mejoren la respuesta de frecuencia de los amp-ops se ampliará el límite superior de frecuencia de los filtros activos.

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4

11--11..22 LLiimmiittaacciioonneess ddeell ccaappííttuulloo 11

Se han escrito libros enteros acerca de los filtros activos. Al final de este capítulo se mencionan algunos que son muy útiles. Al terminar este capítulo usted no será un experto en filtros activos, pero entenderá algunos tipos básicos, podrá construir algunos que funcionan bien y podrá aprender más. Las ecuaciones que se utilizan en el capítulo se presentan sin desarrollarlas, porque hacerlo exigiría una cantidad considerable de cálculo. Su desarrollo se puede ver en muchos de los libros de referencia mencionados al final del capítulo. 11--22 LLooss PPoollooss YY LLaa RReessppuueessttaa EEnn LLaa RReeggiióónn DDee TTrraannssiicciióónn

En todo estudio de los filtros activos se hace referencia a los polos. Por ejemplo, en este capítulo se habla principalmente de los filtros de dos polos. La palabra polo se refiere a una gráfica de las matemáticas usada para derivar las ecuaciones que se aplican para calcular las respuestas de los filtros activos. Para todo propósito práctico, un polo se refiere a la proporción en que varía la atenuación en la región de transición por causa de cada red RC utilizada para determinar la respuesta de frecuencia del filtro. Recuerde que, como se indicó en el capítulo 4, cada red RC, en un amplificador de etapas múltiples, aporta 6 dB/octava a la atenuación progresiva del amplificador. Lo mismo puede decirse de los filtros activos. Cada polo (red RC del filtro) aporta aproximadamente 6 dB/octava a la variación de la atenuación del filtro activo en su región de transición. Por ejemplo, un filtro paso-bajas de dos polos tiene un aumento de 12 dB/octava en la atenuación entre f c y f b, y un filtro paso-altas de cinco polos tiene una disminución de 30 dB/octava en la atenuación entre fb y fc.. Esto se ilustra en la figura 1.2a con referencia a un tipo de filtro paso-bajas, un Butterworth. El orden de un filtro indica simplemente el número de sus polos. Por ejemplo, un filtro paso-bajas de segundo orden es un filtro paso-bajas de dos polos y tiene una variación de 12 dB/octava en la región de transición. Un filtro de sexto orden tiene seis polos y su variación de atenuación en la región de transición es de 36 dB/octava. Los filtros de orden bajo pueden conectarse en cascada para formar filtros de orden más alto. Pueden conectarse en cascada tres filtros de segundo orden para hacer un filtro de sexto orden. Más adelante en este capítulo se explica con más detalle la conexión en cascada.

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a) Curvas de respuesta del filtro Butterworth, fc = 1 kHz.

11--33 TTiippooss DDee RReessppuueessttaa DDeell FFiillttrroo 11--33..11 EEll BBuutttteerrwwoorrtthh

La respuesta de un filtro Butterworth es muy plana en la. Banda de paso. Se dice que su respuesta es máximamente plana. La variación de atenuación de un filtro Buterworth en la región de transición es de 6dB/ octava por cada polo; de manera que un Butterworth de octavo orden tendrá una variación de atenuación de 48 dB/ octava en la región de transición. La frecuencia de fase de un filtro Butterworth no es lineal. Dicho de otro modo, el tiempo necesario para que una señal se propague a través del filtro no es lineal con la frecuencia. Por tanto, una respuesta de escalón o pulso aplicado un filtro Butterworth provocara un exceso en la salida. Este filtro se usa cuando todas las frecuencias de la banda de paso deben tener la misma ganancia. La figura 1.2a muestra la respuesta de un Butterworth paso-bajas y la figura 1.2b la respuesta de un Butterworth paso-atlas.

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Figura 1.2b Respuesta del filtro Butterworth paso-atlas, (fc = 1kHz. 11--33..22 EEll ffiillttrroo CChheebbyysshheevv Un filtro Chebyshev tendrá ondulaciones en la banda de paso, pero no en la banda de bloqueo. Mientras más alto sea el orden del filtro más ondulaciones aparecerán en la banda de paso. La amplitud de la ondulación puede establecerse en el filtro al diseñarlo y casualmente se fija a 0.5 dB, 1 dB, 2 dB ó 3 dB. Mientras más ondulación se permita más atenuación se obtendrá en la región de transición. Esto se ilustra en la figura 1.3a con referencia a un filtro Chebyshev paso-bajas de segundo orden. El filtro Chebyshev tiene una variación de atenuación en la región de transición (TRA) de más de 6 dB/octava/polo. Es muy útil cuando la atenuación en la región de transición debe ser muy rápida. Las ondulaciones en la banda de paso son el precio que se debe pagar por la respuesta en la región de transición. La variación de atenuación de un filtro Chebyshev en dicha región es:

TRA = 20 log ∈ + 6(n –1) + 20n log ω / ωo

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a) Curvas de respuesta del Chebyshev de segundo orden y paso-bajas.

Figura 8.3a donde n = orden de filtro. ∈ = una constante, entre 1 y 0, que determina la ondulación del filtro Ondulación de 0.5 dB, ∈ = 0.3493 Ondulación de 3 dB ∈ = 0.9976

Es mayor que la respuesta de un Butterworth en la región de transición por un factor de 20 log ∈ +6 (n-1). Los filtros Chebyshev pueden tener menos polos que los Butterworth y ser menos complejos, para una cantidad determinada de variación de la atenuación en la región de transición, si la respuesta de amplitud en la banda de paso no tiene que ser constante.

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Figura 1.3 b Curvas de respuestas del Chebyshev. El retraso de fase de los filtros Chebyshev es menos lineal que el de los filtros Butterworth. Mientras más alto sea el orden de un filtro Chebyshev y más ondulación tenga, menos lineal será su retaso de fase. Por lo tanto, mas exceso tendrá con entradas de escalón y de pulso. En la figura 1.3b se muestra la respuesta de un Chebyshev paso-altas, para filtros de diversos ordenes. Observe que la respuesta máxima no es a la frecuencia de corte y varia con la ondulación como se indica en la figura 1.3a. La frecuencia máxima (fp) se relaciona con la frecuencia de corte (fc ) por:

21

2α−= cp ff con un filtro paso-bajas

21

2α−= c

pff con un filtro paso-altas

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Donde á= factor de amortiguación. El factor de amortiguación se explica detalladamente mas adelante en este capítulo. 11--33..33 EEll FFiillttrroo BBeesssseell A los filtros Bessel se les llaman filtros de fase lineal o de retraso lineal en el tiempo. El retraso de fase de una señal, de la entrada a la salida, aumenta linealmente con la frecuencia. Por tanto, los filtros Bessel casi no tienen exceso con una entrada de respuesta en escalón. Esta característica hace que sean los mejores para filtrar ondas rectangulares sin alterar la forma de la onda. Los filtros Bessel tienen una variación de atenuación en la región de.transición de menos de 6 dB/ octava/ polo. La frecuencia de corte del Bessel se define como la frecuencia a la cual el retraso de fase del filtro es la mitad del retraso de fase máximo.

( ) ( )2

2/2

πθθ nmáxfc == radianes

donde

è = retraso de fase

n = orden del filtro

La frecuencia de 3 dB de un filtro Bessel no es la fc definida: Esto se lustra en la figura 1.4, que representa la respuesta de un filtro Bessel. 11--33..44 OOttrraass RReessppuueessttaass Las respuestas del Bessel, del Butterworth y del Chebyshev son las únicas que se explican en este capítulo. Entre otras respuestas posibles figuran la Chebyshev inversa que tiene una banda de paso plana pero ondula en la banda de bloqueo; la elíptica, que tiene ondulaciones en la banda de bloqueo y en la de paso pero tiene variaciones de atenuación muy amplias en la región de transición, y la parabólica, que tiene muy buena respuesta a los pulsos. Si el lector se interesa por esas respuestas, puede consultar los libros que se mencionan al final de este capítulo.

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Figura 1.4 Respuesta del Bessel de segundo orden paso-bajas. 11--33..55 AAllgguunnaass ddeeffiinniicciioonneess

EEll ffaaccttoorr ddee aammoorrttiigguuaacciióónn,, áá

El factor de amortiguación determina la forma de la región de transición y el exceso de la respuesta de banda de paso cerca de la región de transición. Por tanto, determina la forma de la respuesta del filtro y el tipo de filtro. Un filtro Butterworth de segundo orden tendrá un factor de amortiguación (á) de 1.414; un Chebyshev de segundo orden con ondulación de 3 dB tendrá un á= 0.766. Un filtro Bessel, un Butterworth y un Chebyshev podrían tener el mismo diagrama, que solo diferirá en los valores de los componentes. El factor de amortiguación determina la respuesta del filtro. En la figura 1.5 se muestran varias respuestas de paso-bajas con distintos factores de amortiguación.

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Figura 1.5 Respuestas de paso-bajas variando el factor de amortiguación.

EEll ffaaccttoorr ddee ccaalliiddaadd,, QQ

El Q es la relación entre la frecuencia central de paso-banda y las frecuencias de 3 dB en un circuito paso-banda, como se muestra en la figura 1.6.

12

21

12 ff

ff

fff

Q o

−=

−= (1-2)

donde

fo =• f1f2 = frecuencia central f1 = frecuencia inferior de 3 dB f2 = frecuencia superior de 3 dB

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Fig. 1.6 Respuestas del filtro paso-banda

En el caso de los filtros activos,

Q = 1/α Ganancia en la banda de paso, Ap La ganancia del filtro activo en su banda de paso es la ganancia de banda de paso.

ent

salp V

VA = (1-3)

La sensibilidad, S La sensibilidad es la proporción en que varia un parámetro del filtro conforme sé varia otro parámetro. Por ejemplo:

5.01

−=oRSω

donde ωo= 2πfo

R1 = R1 en el circuito del filtro activo.

Indica que ωo disminuirá en 0.5% si R 1 se aumenta en 1%. Las sensibilidades de los filtros fc, o ωo en el caso de los filtros paso-banda, y, Q en el caso de los filtros paso-banda, se calculan como usualmente se hace. El procedimiento es tedioso y requiere mucho tiempo; pero debe efectuarse si el filtro se usará con una amplia gama de temperaturas ambientales

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y si se emplearán componentes de gran tolerancia. Las ecuaciones para S varían con cada tipo de filtro y aparecen en varias de las obras de referencia indicadas al final de este capítulo. Aquí no se presentarán las muchas ecuaciones de sensibilidad. 11--33..66 CCoommppoonneenntteess

Para lograr un rendimiento optimo y alta calidad, en los filtros activos deben usarse componentes de bastante precisión. Las resistencias y los condensadores que se utilicen deben tener coeficientes bajos de temperatura y poco corrimiento con la edad. Para los filtros de segundo orden se recomiendan condensadores con tolerancias de ±5% y resistencias con tolerancias de ±2%. Para filtros de orden mayor, las resistencias a ±1% y los condensadores a ±2% son los mejores. Incluso con componentes que tengan esas tolerancias, se puede necesitar algún ajuste para fijar el factor de amortiguación y la frecuencia en los valores que se desean, tratándose de un filtro activo. Las mejores resistencias para filtros activos son las de película metálica. Tienen poco ruido, muy buena respuesta de frecuencia y coeficientes de temperatura (TC) bastante lejos. Los coeficientes de temperatura de ±100 ppm/°C (partes por millón) y de ±50 ppm/°C son fáciles de obtener, y se pueden conseguir TC de ±10 ppm/°C. Las resistencias de alambre enrollado son excelentes para filtros de baja frecuencia porque pueden conseguirse de alta precisión, tienen poco ruido y poco desajuste con la temperatura (TC de ±10 ppm/°C). Para frecuencias mas altas, incluso moderadas, las resistencias de alambre enrollado deben ser no inductivas. Se pueden obtener las resistencias de película de carbón de gran precisión, tienen un ruido aceptablemente bajo, su respuesta de frecuencia es buena y sus coeficientes de temperatura son bastante bajos. En cuanto a las resistencias de compuestos de carbón, es mejor evitarlas excepto para experimentación, porque son ruidosas y poco estables con la temperatura. Los mejores condensadores para filtros activos son los de poliestireno, los NPQ de cerámica y los de mica. Todos son bastante caros y de gran tamaño para un valor dado de capacitancia; pero tienen factores de disipación bajos y bajos coeficientes de temperatura. Los condensadores de mica sólo se consiguen de 0.01 ì F y los de y los de poliestireno de 10 ì F aproximadamente. Para aplicaciones no importante, por ejemplo en los Laboratorios escolares, se pueden usar los de mylar metalizados o los de policarbonato. Los de disco de cerámica, físicamente pequeños, deben evitarse en los filtros activos porque su capacitancia varia hasta en varios puntos de puntos de porcentaje con el voltaje, la temperatura, el tiempo y la frecuencia. Las resistencias de película metálica o de carbón y los condensadores de mylar bastarán para el ejercicio de laboratorio del final de este capítulo, ya que la estabilidad con la temperatura no constituye en factor.

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1

2

3

11--44 AAllgguunnooss TTiippooss DDee FFiillttrrooss AAccttiivvooss En esta sección se exponen las características de los filtros activos que se calcularán en la sección siguiente. 11--44..11 EEll SSaalllleenn yy KKeeyy ((VVCCVVSS))

VCVS son las siglas en ingles de fuente de voltaje controlada por voltaje. En estos circuitos, el amp-op se usa como VCVS. Los circuitos de filtros activos Sallen y Key de segundo orden, paso-bajas y paso-altas, que aparecen en la figura 1.7, son populares, poco caros y fáciles de ajustar. En cada circuito, cada RC proporciona 6 dB/ octava de variación de atenuación en la región de transición. Como hay dos circuitos RC, R l C1 y R2 C2, los circuitos que se muestran son de segundo orden. En el circuito de paso-bajas. R1 C1 y R2 C2

son integradores. En el circuito de paso-altas, R1 C1 y R2 C2 son diferenciadores. RA y RB determinan el factor de amortiguación. La retroalimentación a través de C1 en el filtro de paso-bajas y a través de R1 en el de paso-altas proporciona la forma de respuesta cerca del borde de la banda de paso. Si R1 = R2 y C1 = C2, los componentes de este filtro son fáciles de calcular.

21

21

CC

RR

==

a) Filtro paso-bajas de segundo orden

C1

RA

R1 R2

Vsal

C2 RB

Vent

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1

2

3

b) Filtro paso-altas de segundo orden

Figura 1.7 Filtros activos Sallen y Key. Los filtros Sallen y Key deben tener una ganancia fija, ya que RA y RB determinan el factor de amortiguación y, por tanto, el tipo de filtro. 11--44..22 DDee rreettrrooaalliimmeennttaacciióónn mmúúllttiippllee El filtro activo de retroalimentación múltiple es un filtro paso de banda, sencillo y de buen funcionamiento, para Qs de bajos a moderados, hasta de 10 aproximadamente. Este circuito se muestra en la figura 1.8 observe que la retroalimentación tiene lugar a través de C1 y de R3 (de ahí el nombre de retroalimentación múltiple). R1 y C1 proporcionan la respuesta paso-bajas y R3 y C2 proporciona la maximización (Q) cerca de fo. R2 se puede omitir; pero se modifica el procedimiento de cálculo de los componentes. R2 eleva la Rent y ofrece una ganancia controlable de banda de paso. En la sección siguiente se calcula el circuito de las dos maneras. También los filtros de retroalimentación múltiple se pueden construir como filtros activos paso-altas y paso-bajas.

Vsal R2

Vent

R1

RA

RB

C1 C2

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Figura 1.8 Filtros paso-banda de retroalimentación múltiple 11--44..33 DDee vvaarriiaabbllee ddee eessttaaddoo

Al circuito de filtro activo de variable de estado que se muestra en la figura 1.9a se le llama variable de estado con ganancia igual a la unidad, por que su ganancia en banda de paso es de uno. La variable de estado proporciona simultáneamente una respuesta de segundo orden en paso-bajas, en paso-altas y en paso-banda. La respuesta en paso-banda varia con la respuesta de paso-altas y en paso-bajas. Por ejemplo, si las respuestas en paso-altas y en paso-bajas son del tipo Butterworth o ambas Chebyshev con ondulación de 3 dB, puesto que los mismos componentes establecen las tres respuestas. El filtro paso-banda no se puede optimizar simultáneamente con la respuesta en paso-altas y en paso-bajas.

El fi ltro de variable de estado es muy estable, tiene bajas sensibil idades Q y á y hay

poca interacción entre los ajustes de frecuencia y el Q. Si se usa como filtro paso-banda, se puede obtener Qs estables hasta de 100. el filtro con variable de estado, llamado a veces “filtro activo universal”, se usa en muchos filtros activos comerciales. La variable de estado es complicada y requiere tres amp-ops para la versión de ganancia igual a la unidad y cuatro para la versión con ganancia independiente y ajuste á (Q en el paso de banda). Esta ultima versión se ilustra en la figura 1.9b.

1

2

3

C1

R2

R1

Vsal

C2 Vent

R3

R4 para desajuste

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a) Filtro de variable de estado de segundo orden con ganancia igual a la unidad

b) Variable de estado, ganancia variable Figura 1.9 Filtro activo de variable de estado. La teoría de operación del filtro con variable de estado se puede explicar de dos maneras. La primera se ilustra en la figura 1.10. La variable de estado puede considerarse como un circuito que resuelve la ecuación diferencial de segundo orden de un filtro activo usando integradores, en forma muy parecida al ejemplo del capitulo 6-17.

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

R2

1

2

3

1

2

3

1

2

3 LP

Rf

R5

R4

C1

R1

C2

Vent

R3

BP

HP

R’f

R1

R2 A1

A2

A3

LP

R2

R1

Rf

R5

R4

C1

RA

R2 R1

C2

RB

Vent

R3

BP

HP

Rs

RS = R1 = R2

para compensación del desajuste

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Figura 1.10 Diagrama de bloques del variable de estado

El filtro con variable de estado básico esta formado un sumador y dos integradores. Los integradores proporcionan los coeficientes de la solución que sé realimentan al sumador y el coeficiente de paso-banda se multiplica por á. Considerando cada respuesta por separado puede obtenerse una idea más clara del filtro. Dos integradores conectados en cascada proporcionaran una respuesta de segundo orden en paso-bajas. Si la salida del primer integrador sé retroalimenta con un factor variable de retroalimentación y se suma a la entrada, la respuesta cerca de la frecuencia de corte puede ajustarse. La respuesta en paso-bajas se toma del segundo integrador. La respuesta en paso-altas se obtiene sumando, fuera de fase, la respuesta paso-bajas con la entrada. Las dos se cancelan a todas las frecuencias hasta fc Arriba de fc , la respuesta en paso-bajas desaparece, permitiendo que el Vent pase por el sumador como salida paso-altas. La respuesta de paso de banda puede considerarse como la integral de la suma de las salidas de paso-altas y paso-bajas. La salida de paso-altas proporciona una disminución de la atenuación a medida que la frecuencia aumenta hasta fc , siendo integrada para obtener un aumento de la atenuación arriba de fc . Como fc es la misma para ambos integradores, solo se obtendrá una salida donde las respuestas se superponen, como puede verse en la figura 1.11. Si á = 1/Q es bajo, Q = 1/á será elevado debido a la maximización. En el circuito de variable de estado con ganancia igual a la unidad, figura 1.9a, la fc de los integradores determina la fc del filtro, R5 y Rf establecen á (o Q en el caso del paso de banda). Usualmente, R1 y C1 = C2. En el filtro de variable de estado con ganancia, figura 1.9b, RA y RB del amplificador inversor (A4) determinan á. La salida del amplificador inversor se suma ahora directamente con Vent y con la salida de paso-bajas. La ganancia paso-banda se determina con R4 y Rf. Se puede construir un filtro-ranura a partir de los filtros activos de variable de estado sumando simplemente las salidas de paso-altas y de paso-bajas que están fuera de fase. Solo se cancelaran mutuamente donde sus respuestas se superponen. Si el filtro se dispone como filtro paso-banda y muy controlable. En la figura 1.12 se muestra un sumador que puede agregarse al variable de estado para obtener una respuesta de ranura.

α

∑ ∫∫ ∫∫

H.P.

B.P.

Vent L.P.

−− −−

+

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Figura 1.11 Explicación del paso-banda de variable de estado. Figura 1.12 Amplificador sumador para construir un filtro de ranura de variable de estado. 11--44..44 EEll bbiiccuuaaddrrááttiiccoo ((BBiiccuuaadd))

El filtro bicuadrático (bicuad) es un filtro activo muy estable, fácil de conectar en cascada, capaz de dar Qs de mas de 100 en la aplicación paso-banda. Una de las características del bicuad es que su ancho de banda permanece constante a medida que sé varia su frecuencia, de manera que su Q aumenta con la frecuencia de los filtros ajustables. El filtro bicuad de paso-banda, que aparece en la figura 1.13, consiste en un integrador sumador que alimenta a un amplificador inversor que a su vez alimenta a un segundo integrador. Rc/R1. La frecuencia central se puede ajustar con R2. Rc determina el Q del circuito. El circuito funciona así. El integrador sumador resta una señal paso-bajas de Vent, 180° fuera de fase, hasta que se alcanza la región de transición. A medida que se llega a la banda de frecuencias de transición de segundo orden cerca de fo, la salida decreciente del

1

2

3

Variable de estado Salida Paso-bajas

Variable de estado Salida Paso-altas

R

Vsal

R

R

R/3

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20

integrador deja de cancelar la entrada, de manera que se produce una salida. Arriba de fo, la atenuación progresiva de los dos integradores en serie atenúa la señal de salida, proporcionando así una respuesta paso-banda.

Figura 1.13 Filtro bicuadrático paso-banda. 11--55 PPrroocceeddiimmiieennttooss YY EEjjeemmppllooss DDee CCáállccuulloo DDee CCoommppoonneenntteess.. En esta sección se explica el procedimiento de cálculo de componentes para cada tipo de filtro activo de segundo orden descrito en la sección 1-4. A cada procedimiento le sigue un ejemplo de cálculo. 11--55..11 FFiillttrroo SSaalllleenn YY KKeeyy DDee PPaassoo--BBaajjaass CCoonn CCoommppoonneenntteess IIgguuaalleess Como se trata del filtro cuyos componentes son iguales, R1 = R2 y C1 = C2, se comienza eligiendo un tipo de filtro y la fc El procedimiento es el siguiente:

1. Ver en la tabla 8.1 la f(3dB) / fc, correspondiente al tipo de filtro elegido. Calcular fc sí la razón f(3 dB)/ fc • 1.

( ) razónff dBc 3=

1

2

3

1

2

3

1

2

3

Rs = R2R1Rc R3 = R4 IfR1 = R2 Vsal = QVent IfR1 = (Q/Ap)Rc Vsal = ApVent

R2

R1

R5

R3

R4

Vsal

C1

RS

C2 Rc

Vent R5

23R

Page 21: Filtros Ojo

FILTROS ACTIVOS

21

2. Seleccionar C y calcular R a partir de

RCfc π2

1= (1-4)

donde

R = R1 = R2

C = C1 = C2

Si es necesario, repita este paso hasta encontrar un valor razonable de R.

3. Seleccionar en la tabla 1-1 el factor de amortiguación correspondiente al tipo de filtro elegido.

4. Elegir un valor adecuado de RA. A menudo es conveniente que RA = R. Calcular RB a partir de

RB = (2 - α)RA

Tabla 1.1 Factores de amortiguación y razones f (3 dB)/fc de filtros de segundo orden.

Tipo de filtro á f (3 dB) / fc Butterworth 1.414 1.00 Bessel 1.732 0.785 Chebyshev Ondulación de 0.5 dB 1.578 1.390 Ondulación de 1 dB 1.059 1.218 Ondulación de 2 dB 0.886 1.074 Ondulación de 3 dB 0.766 1.000 Paso-bajas fc = f(3 dB) / razón Paso-altas fc = f(3 dB)(razón)

Donde

f (3 dB) = frecuencia de corte deseada de 3 dB. fc = frecuencia usada en los cálculos

Razón = f (3 dB)/fc tomada en la tabla.

5. Calcular la ganancia paso-banda a partir de

Ap = (RB/RA) + 1

Page 22: Filtros Ojo

FILTROS ACTIVOS

22

Ejemplo 1-1 Calcular los componentes iguales para un filtro Sallen y Key paso-bajas de segundo orden. El filtro será Butterworth con f (3 dB) = 2 kHz. Solución Según la tabla 1-1

f(3 dB)/fc ) = 1 Por tanto

f(3 dB) = fc Elegir

C = 0.1µF = C1 = C2 Sea

R1 = R2 = R A partir de

RCfc π2

1=

Ω=== 796)1.0)(2(2

12

1FkHzCf

Rc µππ

Este valor de R es un poco mas bajo que el conveniente para un amp-op 741, de manera que se elige C = 0.047 ì F y se calcula nuevamente R.

Ω=== kFkHzCf

Rc

69.1)47.0)(2(2

12

1µππ

Se elige una resistencia de 1.69 k• , ± 2%. RA se elige arbitrariamente de 10k• , por lo tanto

RB = RA(2 - α) = 10 kΩ( 2 – 1.414) = 5.86 kΩ

Page 23: Filtros Ojo

FILTROS ACTIVOS

23

1

2

3

1

2

3

Se elige una resistencia de 5.9 k• ± 2%. La ganancia en banda de paso la determina el tipo de filtro elegido. Ap = (RB / RA ) + 1 = (5.9 kΩ/10 kΩ) + 1 = 1.59 Construir el filtro de la figura 1.14a con los componentes calculados. El resultado será un filtro Butterworth paso-bajas de segundo orden. Nota. Nuevamente, tal vez sea necesario hacer algún ajuste a R1, R2 y RB para establecer la fc y el á del fi ltro a los valores exactos deseados, debido a las tolerancias de los componentes. R1=R2

C1=C2 Ap=(RB/RA)+1

RCfc π2

1=

a) Filtro activo Sallen y Key paso-bajas de segundo orden con componentes iguales R1=R2

C1=C2 Ap=(RB/RA)+1

RCfc π2

1=

b) Filtro Sallen y Key paso-altas de segundo orden con componentes iguales Figura 1.14 Filtros activos Sallen y Key.

C1

RA

R2 R1

Vsal

C2 RB

Vent

C1

RA

R2

R1

Vsal

C2

RB

Vent

Page 24: Filtros Ojo

FILTROS ACTIVOS

24

11--55..22 FFiillttrroo SSaalllleenn yy KKeeyy ppaassoo--aallttaass ddee sseegguunnddoo oorrddeenn ccoonn ccoommppoonneenntteess iigguuaalleess Para el circuito de la figura 1.14b, el procedimiento es el siguiente:

1. Seleccionar el tipo de filtro y la f(3 dB). Ver en la tabla 1-1 la f(3 dB)/fc que corresponde al tipo de filtro. Calcular fc si la razón no es igual a uno:

fc = f(3 dB) (razón)

1. Siendo C = C1 = C2 y R = R1 = R2, seleccionar C y calcular R a partir de:

RCfc π2

1=

2. Ver en la tabla 1-1 el á que corresponde al tipo de fi ltro. Seleccionar RA y calcular

RB a partir de

RB = (2 - α )RA

3. Calcular la ganancia banda de paso partiendo de Ap = (RB/RA) + 1. Nota. Los filtros Sallen y Key, tanto paso-altas como paso-bajas, se ajustan de este modo:

o Ajustar f c variando C1 y C2 o R1 y R2 a la vez. o Ajustar á variando RB

Ejemplo 1-2 Calcular los componentes para un filtro Sallen y Key paso-altas de segundo orden. El filtro será un Chebyshev, 1 dB de ondulación, con f = 3kHz. Solución Según la tabla 1-1,

f(3 dB)/fc = 1.218

α = 1.059

fc = f(3 dB)(1.218) = 3 kHz (1.218) = 3.654 kHz

Sea C = C1 = C2 y R = R1 = R2. Si se elige de 0.022 ì F

Page 25: Filtros Ojo

FILTROS ACTIVOS

25

)022.0)(654.3(21

21

FkHzCfR

c µππ==

R = 1.979 kΩ

Se usara 1.96 kΩ ±2%. Sea

RA = 10 kΩ

RB = (2 - α)RA = (2 – 1.059) 10 kΩ = 9.41 kΩ

Se usara 9.53 kΩ ±2%.

Ap = (RB / RA ) + 1 = (9.53 kΩ/ 10 kΩ) + 1

Ap = 1.953

11--55..33 FFiillttrroo ppaassoo ddee bbaannddaa ccoonn rreettrrooaalliimmeennttaacciióónn mmúúllttiippllee El circuito de retroalimentación múltiple de la figura 1.15 puede o no contener a R2. Se darán los procedimientos con y sin R2. R2 permite fijar la ganancia banda de paso en un valor deseado. PROCEDIMIENTO DE CALCULO SIN R2

1. Seleccionar f1 y f2 y un amp-op con A > 2 Q2 a las f1 y f2 deseadas. 2. A partir de las f1 y f2 deseadas, calcular fc y Q aplicando

21 fffo = Si Q es mayor que 15, elegir un filtro de variable de estado o un bicuad paso-banda. Si Q es menor que 15, proseguir.

3. Seleccionar C1 = C2 = C y calcular

QCfR

oπ41

1 = (1-7)

Page 26: Filtros Ojo

FILTROS ACTIVOS

26

CfQ

Roπ2

23 = (1-8)

4. Calcular

Ap = 2 Q2 (1-9)

Figura 1.15 Filtro paso-banda con retroalimentación múltiple. PPRROOCCEEDDIIMMIIEENNTTOO DDEE CCAALLCCUULLOO CCOONN RR22

1. Seleccionar f1 y f2. Nuevamente, la Ao1 del amp-op debe ser mayor que 2 Q2 con f1 y f2.

2. Calcular fo y Q aplicando

21 fffo =

2

2 fff

Q o

−=

3. Si Q < 15, seleccionar la ganancia banda de paso deseado Ap < 2 Q2. 4. Elegir C1 = C2 = C y encontrar

poCAfQ

Rπ21 = (1-10)

1

2

3

C1

R3

R2

R1

Vsal

C2 R3

Vent

Page 27: Filtros Ojo

FILTROS ACTIVOS

27

)2(2 22po AQCf

QR

−=

π (1-11)

CfQ

Roπ2

23 = (1-12)

5. Verificar Ap a partir de

Ap = R3 / 2 R1 Para el circuito de retroalimentación múltiple, los ajustes son como sigue:

o Variar fo ajustando C1 y C2 o R1 y R2 simultáneamente. o Ajustar Q variando la razón R3/R1, manteniendo constante el producto R3 R1. o Ajustar la ganancia en el circuito con R2.

Ejemplo 1-3 Calcular los componentes de un circuito paso-banda de retroalimentación múltiple, sin R2. Esto dará la ganancia máxima banda de paso. Sea f1 =4.5 kHz y f2 = 5.5 kHz. Solución

( )( ) kHzkHzkHzfffo 975.45.55.421 ===

975.41975.4

12

==−

=kHz

kHzff

fQ o

Seleccionar C = C1 = C2 = 0.001 ì F. Según las ecuaciones 1-7 y 1-8

( )( )( )FkHzQCfR

o µππ 001.0975.4975.441

41

1 ==

=3.215 kΩ Se usara 3.32 k• ±2%.

( )( )( )FkHzCf

QR

o µππ 001.0975.42975.42

22

3 ==

Page 28: Filtros Ojo

FILTROS ACTIVOS

28

= 318 kΩ Se usara 316 k• ±2%. Según la ecuación 1-9

Ap = 2 Q2 = 2(4.975)2 = 49.5 Casi todos los amp-ops tendrán Ao1 >> 50 a 5 kHz, de manera que hay muchos para escoger.

Ejemplo 1-4 Calcular los componentes de un filtro paso-banda de retroalimentación múltiple con f1 = 760 Hz, f2 = 890 Hz y Ap =10. Con una ganancia especifica de banda de paso, se debe usar el circuito con R2. Solución

HzHzHzfffo 4.82289076021 ===

326.6760890

4.822

12

=−

=−

=HzHz

Hzff

fQ o

Elegir C1 = C2 = C = 0.0047 µF.

A partir de las ecuaciones 1-10, 1-11 y 1-12, calcular R1, R2 y R3.

( )( )100047.04.8222326.6

2 01 FHzCAf

QR

P µππ==

= 26 kΩ

Se usara 26.1 kΩ ±2%.

( ) ( )( )( )10800047.04.8222326.6

22 20

2 −=

−=

FHzAQCfQ

RP µππ

= 3.84 kΩ

Se usara 3.83 kΩ ±2%.

( )( )( )FHzCf

QR

µππ 0047.04.8222326.62

22

03 ==

= 521 kΩ

Se usara 511 kΩ ±2%. Verificar AP de acuerdo con la ecuación 1-13

Page 29: Filtros Ojo

FILTROS ACTIVOS

29

( ) 79.91.262

5112 1

3 =Ω

Ω==k

kR

RAP

Si AP = 9.79 se aproxima lo suficiente a 10 deseado, el circuito esta terminado. En caso contrario, seleccionar un valor de R3 ligeramente mas alto y un valor de R1 mas bajo. 11--55..44 FFiillttrrooss ddee vvaarriiaabbllee ddee eessttaaddoo El procedimiento de calculo de los circuitos de variable de estado con ganancia igual a la unidad, de la figura 1.16, es como se indica a continuación. PROCEDIMIENTO DE CALCULO DE LAS VARIABLES DE ESTADO CON GANANCIA IGUAL A LA UNIDAD DE PASO-ALTAS Y DE PASO-BAJAS.

1. Seleccionar f (3 dB) y el tipo de filtro. 2. Encontrar f (3 dB)/fc consultando la tabla 1.1. Calcular fc sí f(3 dB)/fc • 1.

Figura 1.16 Filtro activo de estado variable de segundo orden con ganancia igual a la unidad.

3. Sea R1 = R2 = R3 = R4 = Rf = Rf´ = R. Seleccionar C = C1 = C2 y calcular

CfR

cπ21=

4. En la tabla 1.1, seleccionar el á que corresponda al tipo de filtro y calcular R5

aplicando

( )[ ]1/35 −= αRR 1.14

R2

1

2

3

1

2

3

1

2

3 LP

Rf

R5

R4

C1

R1

C2

Vent

R3

BP

HP

R’f

R1

R2 A1

A2

A3

Page 30: Filtros Ojo

FILTROS ACTIVOS

30

Para ajustar los parámetros del filtro:

θ Ajustar fc variando R1 y R2 o C1 y C2 simultáneamente. θ Ajustar á variando Rf´.

PROCEDIMIENTO DE CALCULO DE LAS VARIABLES DE ESTADO CON GANANCIA IGUAL A LA UNIDAD, DE PASO-BANDA

1. Seleccionar f1 y f2. AP = Q en el caso del filtro de variable de estado con ganancia igual a la unidad.

2. Calcular f0 y Q. Q puede ser hasta de 100. 3. Seleccionar C = C1 = C2 y calcular R = R1 = R2 = R3 = R4 =Rf = Rf´ a partir de

CfR

cπ21=

4. Calcular Rs aplicando

( )13'5

−= QRR f

Para variar los parámetros del filtro:

θ Ajustar fo variando R1 y R2 o C1 y C2 simultáneamente. θ Ajustar Q con Rf´.

Ejemplo 1-5 Calcular los componentes de un filtro Chebyshev de variable de estado de segundo orden, con ganancia igual a la unidad y paso-bajas. Sea f(3 dB) = 12 kHz y la amplitud de la ondulación = 2 dB. La ganancia de banda de paso del circuito se fija en uno. Solución Según la tabla 1.1

( ) 074.13 =cdB ff

α = 0.886

( ) kHzkHzff dBc 174.11074.1/12074.13 === Sea C1 = C2 = C = 0.001 µF y R = R1 = R2 = R3 = R4 = Rf = Rf´.

CfR

cπ21= = ( )( )FkHz µπ 001.0174.112

1

Page 31: Filtros Ojo

FILTROS ACTIVOS

31

= 14.2 kΩ Se usara 14 kΩ ±2%.

( ) ( )1886.0/31413'5 −Ω=−= kQRR f

Se usara 33.2 kΩ ±2%. Si se produce un desajuste apreciable en la primera etapa , usar una resistencia balanceadora (RX) como se indica en el circuito sumador-restador del capitulo 5, sección 3. Nota. Q = 1/á =1.13. la salida paso-banda tendrá un Q de 1.13, que es muy bajo. Es por esto que usualmente el filtro de variable de estado debe usarse como paso-altas y / o paso-bajas o como paso-banda, pero no ambas cosas simultáneamente. Ejemplo 1.6 Calcular los componentes de un filtro de variable de estado paso-banda con ganancia igual a la unidad, con f1 = 940 Hz y f2 = 1kHz. Solución

HzkHzHzfff 5.9691940210 ===

15.1694015.969

12

0 =−

=−

=HzkHz

Hzff

fQ

Sea C1 = C2 = C = 0.033ì F y sea R = R1 = R2 = R3 = R4 = Rf = Rf´.

( )( )FHzCfR

µππ 033.05.96921

21

0

==

= 4.97 kΩ Se usara 5.11 kΩ ±2%.

( ) ( )[ ] Ω−=−= kRQR f 11.5115.16313 '5

= 243 kΩ Se usara 237 kΩ ±2%. Balancear el sumador-restador si es necesario.

AP = Q = 16.15

Page 32: Filtros Ojo

FILTROS ACTIVOS

32

PROCEDIMIENTO DE CALCULO DE FILTROS ACTIVOS DE VARIABLE DE ESRTADO CON GANANCIA VARIABLE. Como en el caso del filtro activo de variable de estado con ganancia igual a la unidad los procedimientos para calcular los circuitos paso-altas y los circuitos paso-bajas del filtro activo de variable de estado con ganancia variable (figura 1.17) son idénticos. El procedimiento para calcular el circuito paso-banda es diferente. PROCEDIMIENTOS DE CALCULO DE VARIABLE DE ESTADO, CON GANANCIA VARIABLE, PARA PASO-ALTAS Y PASO-BAJAS.

1. Ver en la tabla 1.1 la f(3 dB)/fc y el á que corresponden al tipo de fi ltro. Calcular fc sí f(3 dB)/fc • 1.

Figura 1.17 Circuito de un filtro activo de variable de estado de segundo orden con ganancia variable. 2. Seleccionar C = C1 = C2 y R = R1 = R2 = R3 = R4 = Rf = RA; calcular R aplicando

RCfc π2

1=

3. Calcular R4 para AP. Puesto que

4R

RA f

P =

Pf ARR /4 =

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

LP

RA

R1

Rf

RB

R5

R3

R4 Vent

C1

R2

C2

BP

HP

RS

R1

R2

Page 33: Filtros Ojo

FILTROS ACTIVOS

33

4. Calcular RB siendo

RB = Rf / AP (1-16) Ajustes:

θ Ajustar á con RA o RB. θ Ajustar AP con R4. θ Ajustar fc variando C1 y C2 o R1 y R2 simultáneamente.

PROCEDIMIENTO DE CALCULO DEL VARIABLE DE ESTADO, CON GANANCIA VARIABLE, PARA PASO-BANDA.

1. Seleccionar f1 y f2, y Ap. Calcular fo y Q, siendo

210 fff =

15012

0 ≤−

=ff

fQ

2. Calcular G, la constante de proporcionalidad entre AP y Q. Puesto que

GQAP= (1-17)

G = AP / Q 3. Seleccionar C = C1 = C2. Sea R = R1 = R2 = R3 = R5 = Rf = RA y calcular R aplicando

CfR

021

π=

4. Calcular R4:

GRR f /4 = (1-18)

5. Calcular RB: RB = RA / Q (1-19)

Nota. Si RB < Vsal / Isal (máx.) del amp-op, seleccionar una RA más grande y repetir él calculo de RB. Ejemplo 1-7 Calcular los componentes de un filtro Butterworth de variable de estado de segundo orden, paso-altas con ganancia variable y con fc = 1.5 kHz y AP = 5.

Page 34: Filtros Ojo

FILTROS ACTIVOS

34

Solución Según la tabla 1.1

f(3dB)/fc = 1

α = 1.414 Elegir C = C1 = C2 = 0.0068 ì F. Sea R = R1 = R2 = R3 = R5 = Rf = RA.

( )( )FkHzCfR

c µππ 0068.05.121

21 ==

= 15.6 kΩ

Usar 15.4 kΩ ± 2%.

RB = αRA = 1.414 (15.4 kΩ )

= 21. 8 kΩ Usar 21.5 kΩ ± 2%

R4 = RF/AP = 15.4 kΩ /5 = 3.08 kΩ Usar R4 = 3.01 kΩ ± 2%.

Rs = R3 RF R4 R5= 1.934 kΩ

Usar RS = 1.96 kΩ ± 2%. Ejemplo 1-8 Calcular los componentes de un filtro de variable de estado paso-banda y ganancia variable, con f1 = 2.2 kHz, f2 = 2.3 kHz y AP = 10. Solución

kHzkHzfff 3.22.2210 ==

= 2.249 kHz

( )120 fffQ −=

= 2.249 kHz / (2.3 kHz – 2.4 kHz) = 22.5

Sea C = C1 = C2 = 0.0033 ì F y R = R1 = R2 = R3 = R5 = Rf = RA.

Page 35: Filtros Ojo

FILTROS ACTIVOS

35

( )( )FkHzCfR

µππ 0033.0249.221

21

0

==

= 21.44 kΩ

Usar 21.5 kΩ ± 2%.

Ω=Ω== 9565.22/k5.21/QRR AB

Usar 953 Ω ± 2%. Nota. Un amp-op 741 puede manejar 953 Ω, aunque es el nivel mas bajo que interesaría asignar a RB.

444.0/5.21/4 Ω== kGRR f

= 48.4 kΩ Usar 48.7 kΩ ± 2%.

Rs = R5R3R4Rf = 2.9 kΩ Usar 2.87 kΩ ± 2%.

11--55..55 EEll ffiillttrroo bbiiccuuaaddrraattiiccoo ppaassoo--bbaannddaa

El procedimiento de cálculo del bicuad paso-banda para el circuito de la figura 1.18 es así:

1. Elegir f1, f2 y AP. Calcular fo y Q siendo

210 fff =

( )120 / fffQ −= 2. Calcular G = Q/AP. (1-20) 3. Calcular R1 y Rc en esta forma:

CfG

R0

1 2π= (1-21)

CfQ

Rc02π

= (1-22)

Page 36: Filtros Ojo

FILTROS ACTIVOS

36

4. Sea R = R2 = R3 = R4 = R5. Calcular R aplicando

CfR

021

π=

Figura 1.18 Filtro bicuadrático paso-banda. Ajustes:

θ Ajustar fo con R2. θ Ajustar Q con Rc. θ Ajustar AP con R1.

Ejemplo 1-9 Calcular los componentes de un filtro bicuad paso-banda, de manera que f1 = 97 Hz, f2 = 102 Hz y AP = 10. Solución

HzHzHzfff 47.9997102210 ===

( ) ( ) 9.195/47.99/ 120 ==−= HzHzfffQ

99.110/9.19/ === PAQG

1

2

3

1

2

3

1

2

3

R1

R3

R4

Vsal

C1

RC

R2

C2

R3/2

Vent R5

R5

R1

Page 37: Filtros Ojo

FILTROS ACTIVOS

37

Sea C = C1 = C2 = 0.047 ì F. Luego, R = R2 = R3 = R4 = R5.

)47.0)(47.99(21

21

0 FHzCfR

µππ==

= 34 kΩ Usar 34.8 kΩ ±2%.

( )( )FHzCfG

Rµππ 047.047.992

99.12 0

1 ==

= 67.7 kΩ Usar 68.1 kΩ ±2%.

( )( )FHzCfQ

Rc µππ 047.047.9929.19

2 0

==

= 677 kΩ

Usar 681 kΩ ±2%. Para balancear el desajuste sea la resistencia de entrada del amp-op no inversor

Ω=Ω= kkR 4.172/8.342/3 Usar 17.4 kΩ ±2%.

Rs = Rc R1R2 = 21.9 kΩ

Usar 21.5 kΩ ±2%. 11--66 FFIILLTTRROOSS EENN CCAASSCCAADDAA Cuando se requieren filtros con mas de dos polos, pueden obtenerse si se conectan en cascada dos o más filtros de orden mas bajo. En esta sección se explica como se conectan en cascada los filtros activos para obtener filtros de orden mas alto. 11--66..11 CCoonneexxiióónn eenn ccaassccaaddaa ppaarraa rreessppuueessttaass ddee oorrddeenn mmaass aallttoo Los filtros activos de segundo y de primer orden pueden conectarse en cascada para construir todos los filtros de orden mas alto. Como se puede ver en la figura 1.19, pueden conectarse en cascada un filtro de segundo orden y uno de primer orden para formar un

Page 38: Filtros Ojo

FILTROS ACTIVOS

38

filtro de tercer orden, y pueden conectarse dos de segundo orden para formar uno de cuarto orden. Figura 1.19 Filtros conectados en cascada para respuesta de orden mas alto.

Este proceso puede continuarse para obtener un filtro de un orden cualquiera

deseado. Usualmente, los filtros de orden impar se construyen con una primera etapa de primer orden y etapas de segundo orden para el resto. Por ejemplo, un filtro de séptimo orden se forma con una etapa de primer orden y tres etapas de segundo orden. Los filtros de orden par se construyen con n/2 etapas de segundo orden, siendo n el orden deseado. Las etapas de un filtro activo en cascada no son idénticas, ya que la conexión en cascada reduce el ancho de banda. Para entender la reducción del ancho de banda vea la figura 1.20. Si se conectan en cascada dos filtros de primer orden con ganancias A1 y A2 y anchos de bandas iguales, el ancho de banda total será menor que el ancho de banda de cada etapa. Puesto que AT = A1A2 a f1, A1 = 0.707 A1 banda media y A2 = 0.707 A2 banda media, y a f2 A1 = 0.707 A1 banda media y A2 = 0.707 A2 banda media. Por tanto, a f1 AT = 0.5 A1A2 = 0.5 AT banda media y a f2 AT esta a una frecuencia más alta que f1 y la nueva f2 = 0.707 AT esta a una frecuencia más baja que f2 de los amplificadores individuales. Para n etapas de primer orden, la frecuencia superior de corte en cascada f2 y la frecuencia inferior de corte en cascada f1 se relacionan con f2 y f1 de acuerdo con:

Page 39: Filtros Ojo

FILTROS ACTIVOS

39

Figura 1.20 Reducción del ancho de banda.

12 /2

'2 −= nlff (1-23)

y

12 /1

'1 −= nlff (1-24)

Estas ecuaciones no son útiles con la mayoría de los filtros activos conectados en cascada por que en general se usan etapas de segundo orden y las ecuaciones 1-23 y 1-24 solo son aplicables a etapas de primer orden. El mismo efecto de reducción del ancho de banda se produce cualquiera que sea el orden del filtro. Conectado en cascada, un filtro con ondulación en la banda de paso tiene todavía mas ondulación. Puesto que AT = A1 A2 = A1 (dB) + A2 (dB), una ondulación de 3 dB en un filtro de segundo orden se convertirá en una ondulación de 3 dB se conectan en cascada. Para obtener resultados óptimos al conectar filtros en cascada, se ha encontrado que es necesario variar el á de cada etapa, la fc de los filtros que no sean Butterworth. De manera que, en un filtro de sexto orden, las tres etapas de segundo orden conectadas en cascada se verán iguales, pero tendrán algunos componentes cuyos valores son diferentes en cada etapa. Tabla 1.2 Tablas de filtros conectados en cascada. Butterworth

Primera etapa Segunda etapa Tercera etapa Cuarta etapa

factor factor factor factor Orden á fc á fc á fc á fc

2 1.414 1 3 1.00 1 1.00 1

A1 Primer orden

A2 Primer orden

Vent

Vsal

Page 40: Filtros Ojo

FILTROS ACTIVOS

40

4 1.848 1 0.765 1 5 1.00 1 1.618 1 0.618 1 6 1.932 1 1.414 1 0.518 1 7 1.00 1 1.802 1 1.247 1 0.445 1 8 1.962 1 1.663 1 1.111 1 0.390 1

Tabla 1.2 Chebyshev con ondulación de 0.5 dB (continúa.

Primera etapa Segunda etapa Tercera etapa Cuarta etapa

factor factor factor factor Orden á fc á fc á fc á fc

3 1 0.626 0.586 1.069 4 1.275 0.597 0.340 1.031 5 1 0.362 0.849 0.690 0.220 1.018 6 1.463 0.396 0.552 0.768 0.154 1.011 7 1 0.256 0.916 0.504 0.388 0.823 0.113 1.008 8 1.478 0.296 0.621 0.599 0.288 0.861 0.087 1.006

Chebyshev con ondulación de 1 dB

Primera etapa Segunda etapa Tercera etapa Cuarta etapa

factor factor factor factor Orden á fc á fc á fc á fc

3 1 0.497 0.496 0.997 4 1.275 0.529 0.281 0.993 5 1 0.289 0.715 0.655 0.180 0.994 6 1.314 0.353 0.455 0.747 0.125 0.995 7 1 0.205 0.771 0.480 0.317 0.803 0.092 0.996 8 1.328 0.265 0.511 0.584 0.234 0.851 0.702 0.997

Chebyshev con ondulación de 2 dB

Primera etapa Segunda etapa Tercera etapa Cuarta etapa

factor factor factor factor Orden á fc á fc á fc á fc

3 1 0.369 0.392 0.941 4 1.076 0.471 0.218 0.964 5 1 0.218 0.563 0.627 0.138 0.976

Page 41: Filtros Ojo

FILTROS ACTIVOS

41

6 1.109 0.316 0.352 0.730 0.096 0.983 7 1 0.155 0.607 0.461 0.243 0.797 0.070 0.987 8 1.206 0.238 0.395 0.572 0.179 0.842 0.054 0.990

Chebyshev con ondulación de 3 dB

Primera etapa Segunda etapa Tercera etapa Cuarta etapa

factor factor factor factor Orden á fc á fc á fc á fc

3 1 0.299 0.326 0.916 4 0.929 0.443 0.179 0.950 5 1 0.178 0.468 0.614 0.113 0.967 6 0.958 0.298 0.289 0.722 0.078 0.977 7 1 0.126 0.504 0.452 0.199 0.792 0.057 0.983 8 0.976 0.224 0.325 0.566 0.147 0.839 0.044 0.987

Bessel

Primera etapa Segunda etapa Tercera etapa Cuarta etapa

factor factor factor factor Orden á fc á fc á fc á fc 3 1 2.322 1.447 2.483 4 1.916 2.067 1.241 1.624 5 1 3.647 1.775 2.874 1.091 2.711 6 1.959 2.872 1.636 3.867 0.977 3.722 7 1 4.972 1.878 3.562 1.513 5.004 0.888 4.709 8 1.976 3.701 1.787 4.389 1.407 0.637 0.816 5.680 Nota. Todos los filtros de orden impar, la primera etapa es un filtro de primer orden. Todas las demás son filtros de segundo orden. En la tabla 1.2 se indica el á y el factor fc usados para conectar filtros en cascada desde el tercero hasta el octavo orden. Luego, sé vera un par de ejemplos para aclarar el empleo de la tabla. Por lo general, en los filtros paso-banda tienen una banda de paso de mas del 50% aproximadamente de fo pueden construirse con mas control usando filtros paso-bajas y paso-altas conectados en cascada. Un filtro paso-banda de cuarto orden construido así requerirá dos filtros paso-altas de segundo orden y dos filtros paso-bajas de segundo orden. Esto se ilustra en la figura 1.21. Observe que el filtro de paso-bajas determina a f2 y el filtro de paso-bajas determina a f1. El área de superposición constituye la banda de paso. En la figura 1.22 se muestran las etapas de primer orden empleadas en la conexión en cascada. Cada uno de los fi ltros que aparecen en esa figura tiene un á = 1. Observe que el filtro paso-banda de primer orden es un diferenciador compensado.

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FILTROS ACTIVOS

42

La relación fc de la tabla 1.2 es él reciproco de la relación f (3 dB)/fc de la tabla 1.1. Ejemplo 1-10 Construir un filtro Butterworth muy estable paso-bajas y de quinto orden, con AP= 10 y f(3dB) = 750 Hz. Para obtener buena estabilidad se usaran etapas de variable de estado de segundo orden. En la figura 1.23 se muestran el diagrama de bloques y el circuito que se usara. α = 1

Ap = R2 / R1 Figura 1.22 Etapas de primer orden Solución En la tabla 1.2 se encuentra el á y el factor fc correspondiente a cada etapa.

θ Etapa 1 á = 1, factor fc =1 θ Etapa 2 á = 1.618, factor fc =1 θ Etapa 3 á = 0.618, factor fc =1

Por lo tanto, f(3 dB) = fc para las tres etapas. La etapa de primer orden tiene AP =1. Se divide por igual la ganancia entre las etapas de segundo orden A2 = A3 = √AT, por tanto

16.3102 ==PA

1

2

3

C

Vent

R Vsal

1

2

3C

Vent

R

Vsal

C2

1

2

3

R1

Vsal

C1

R2 Vent

RCfc π2

1=

RC

fc π21=

α = 1 α = 1

111 2

1CR

=

222 2

1CR

=

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FILTROS ACTIVOS

43

16.3103 ==PA

Como AP se ha especificado, usar el variable de estado con ganancia variable.

a) Diagrama de Bloques

b) Circuito

Figura 1.23 Filtro Butterworth paso-bajas de quinto orden, ejemplo 8-10.

α = 1 fc = f(3 dB)

Ap = 1

α = 1.818 fc = f(3 dB) Ap = 3.16

α = 0.818 fc = f(3 dB) Ap = 3.16

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

C

RA

R1

RB

R5

R3

R4

Vsal

C1 RS

R2

C2

Vent

R

R’S = RA||RB

R2 R1

La Etapa 3 es idéntica a la Etapa 2 excepto por RB y R’S

Page 44: Filtros Ojo

FILTROS ACTIVOS

44

ETAPA 1 Elegir C = 0.01 ì F.

( )( )FHzCfR

µππ 01.075021

21

0

==

= 21.2 kΩ

Usar 21.5 kΩ ±2%. La etapa 1 esta completa. ETAPA 2 Sea C1 = C2 = C = 0.01 ì F. Puesto que R = R1 = R2 = R3 = R5 = Rf = ½ ðfc C, y C = 0.01 µF, R = 21.5 kΩ igual que en la primera etapa.

R4 = Rf/AP = 21.5 kΩ/3.16 = 6.715 kΩ

Usar R4 = 6.81 kΩ ±2%. Sea RA = R.

RB = α RA = 1.618 (21.5 kΩ) = 34.8 kΩ

Usar RB = 34.8 kΩ ±2%.

Rs = R3 Rf R4 R5 = 3.49 kΩ

Usar 34.8 kΩ ±2%. Como el desajuste se amplifica en las etapas conectadas en cascada, usar una Rs´ para controlar el desajuste en el amplificador inversor.

Ω== kRRR BAs 28.13' Usar 13.3 kΩ ±2%. La etapa 2 esta completada. ETAPA 3 La etapa 3 será idéntica a la etapa 2 con excepción de RB y Rs , ya que solo á varia.

RB = αRA = 21.5kΩ (0.618) = 13.3 kΩ Usar 13.3 kΩ ±2%.

Rs´= RA RB = 8.21 kΩ Usar 8.25 kΩ ±2%. La etapa 3 esta completada. Los ajustes de á se hacen con RB de la etapa 3.

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FILTROS ACTIVOS

45

Ejemplo 1-11 Construir un filtro Chebyshev paso-altas de sexto orden con ondulación de 3 dB. Sea f(3 dB) = 1 kHz. Para ilustrar el uso de otro circuito, se usaran tres etapas Sallen y Key paso-altas de segundo orden, como se indica en l figura 1.24. Las etapas parecerán iguales, pero los componentes varían puesto que fc • f(3 dB) y á varía en cada etapa. Solución Según la tabla 1.2: ETAPA 1 á = 0.958, factor fc = 0.298 ETAPA 2 á = 0.298, factor fc = 0.722 ETAPA 3 á = 0.078, factor fc = 0.977. ETAPA 1

( ) kHzkHzfactorfff cdBc 356.3298.0/1/3 ===

1

2

3

1

2

3

1

2

3

RA

R1

RB

Vsal

C1 C2 Vent

RA

R1

RB

C1 C2

RA

R1

RB

C1 C2 Vent

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FILTROS ACTIVOS

46

Figura 1.24 Filtro Sallen y Key de sexto orden conectado en cascada, ejemplo 1-11. Sea R = R1 = R2 =RA. Elegir C1 = C2 = 0.01 ì F

( )( )FkHzCfR

c µππ 01.0356.321

21 ==

= 4.74 kΩ

Usar 4.64 kΩ ±2%.

RB = (2 - α)/RA = (2 – 0.958)( 4.64 kΩ)

= 4. 83 Ω Usar 4.87 kΩ ±2%.

AP1 = (1 + RB/RA) = (1 + 4.83 kΩ/ 4.64 kΩ) = 2.049

ETAPA 2

( ) 722.0/13 kHzfactorfff cdBc ==

= 1.385 kHz

Sea C = C1 =C2, R = R1 =R2 =RA.

( )( )FkHzCfR

c µππ 01.0385.121

21 ==

= 14.49 kΩ

Usar 14.7 kΩ ±2%.

( ) Ω−=−= kRR AB 7.14)289.02(2 α

= 25.15 kΩ

Usar 24.9 kΩ ±2%.

69.27.14/9.241/12 =ΩΩ+=+= kkRRA ABP

ETAPA 3

( ) 977.0/13 kHzfactorfff cdBc ==

= 1.024 kHz

Sea C = C1 = C2 = 0.01 ì F, R = R1 =R2 =RA.

Page 47: Filtros Ojo

FILTROS ACTIVOS

47

( )( )FkHzCfR

c µππ 01.0024.121

21 ==

= 15.54 kΩ

Usar 15.54 kΩ ±2%.

RB = (2 - α)RA = (2 – 0.078)15.54kΩ

= 29.6 kΩ

Usar 30.1 kΩ ±2%.

954.24.151.301/11 =ΩΩ+=+= kkRRA ABP

AT = AP1 AP2 AP3 = (2.049)(2.69)(2.954)

= 16.28

Esta ganancia, al máximo de las ondulaciones de 3 dB. Ajustes ( que probablemente habrá que hacer):

θ Ajustar la ondulación con RB de la etapa 3. θ Ajustar f(3 dB) con R1 y R2 de la etapa 1.

11--77 GGIIRRAADDOORREESS Los giradores son redes RC con retroalimentación tomada de un amplificador, conectadas simulando un inductor. A veces, a los giradores se les llama inductores sintéticos. Un circuito girador permite construir un valor alto de inductancia en un paquete ligero, pequeño y económico. Este tipo de inductor activo puede amplificar algunas aplicaciones del filtro y permitir el empleo de filtros clásicos que utilizan inductores. En estos filtros, los inductores se sustituyen con giradores. La función del girador consiste en hacer que el condensador se vea como un inductor en su entrada. Las desventajas principales delos giradores son que pocos de ellos tienen respuestas de frecuencia mas allá de unos pocos kilohertz y que los circuitos que no requieren una terminal puesta a tierra son muy complejos. En la figura 1.25 se explica cómo funciona el girador. Recuerde que XL aumenta conforme aumenta la frecuencia. Por tanto, el voltaje a través del inductor sube al aumentar la frecuencia. El seguidor de voltaje que esta en el circuito girador reproduce el voltaje a través de R. Conforme aumenta la frecuencia, Xc disminuye, de manera que VR1 aumenta.

Page 48: Filtros Ojo

FILTROS ACTIVOS

48

Figura 1.25 Un girador (circuito Berndt y Dutta-Roy). Por tanto, el Vsal del seguidor aumenta. E voltaje de salida del seguidor sé retroalimenta a la entrada mediante R2, de modo que el voltaje final aumenta a medida que aumenta la frecuencia, como ocurriría con un inductor. R2 debe ser tan pequeña como sea posible; mientras más pequeña mejor. Funcionamiento mejora si el amp-op va seguido por un amplificador de corriente en la red de retroalimentación que impulsa a R2. 11--77..11 CCáállccuulloo ddee llooss ccoommppoonneenntteess ddeell ggiirraaddoorr Seleccionar R2 = la resistencia mínima que el amp-op pueda manejar. Sea R1 >> R2 (hasta 200 veces R2) y R1 < 0.1 Rent del amp-op. Seleccionar L aplicando

L = R1 R2 C (1-25)

Calcular C

C =L/R1R2

Q del girador = 2

1

21

RR

(1-26)

Ejemplo 1-12 Construir un circuito LCR sintonizado en serie con fo = 300 Hz, usando un girador. Ver la figura 1.26.

Figura 1.26 Ejemplo de girador .

1

2

3

C

VL

R1

CC

Vent

R2

1

2

3

C = 0.014µf

R1 = 1kΩ

Cr = 0.1 µf

Vent

R2 = 1kΩ

R = 1.78kΩ

Page 49: Filtros Ojo

FILTROS ACTIVOS

49

Solución Sea Cr = 0.1 µF

Partiendo de LC

fπ2

10 =

CfL 2

0241

π=

)1.0()300(4

122 FHz µπ

=

= 2.8 H

Sea el Q del inductor = 10

R2 = 1 kΩ para un amp-op 741

A partir de 2

1

21

RRQ =

R1 = 2Q2R2 = 2(100) 1kΩ = 200 kΩ A partir de L = R1R2C

Fkk

HzRRL

C µ014.0)200)(1(

8.2

21

=ΩΩ

==

Si se necesita precisión, conectar dos condensadores en paralelo, por ejemplo uno de 0.012µF y uno de 0.002 µF. Si el Q del circuito es igual a 3,

R= XC / Q del circuito

= 2πf0L/3 = 5.28 kΩ / 3

= 1.76 kΩ

Usar 1.78 kΩ ±2%. Si R es demasiado pequeña comparada con R2 , el Q del circuito no se logrará.

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FILTROS ACTIVOS

50

RREESSUUMMEENN

1. Los filtros activos se utilizan en casi todas las áreas de la electrónica y es

conveniente estudiarlos.

2. Aunque los filtros activos tienen muchas ventajas comparados con los pasivos, tienen también ilimitaciones, sobre todo en la frecuencia máxima de operación. (Se espera que esta limitación disminuirá conforme se mejoren los amp-ops.)

3. Como ya se vio, los procedimientos para calcular filtros activos no son demasiado

complejos. Incluso cuando los circuitos se ven complicados, como lo parece el de variable de estado. Para predecir totalmente el control activo deben calcularse también las sensibilidades. Las ecuaciones S pueden verse en muchas de las referencias indicadas al final de este capitulo.

4. Los filtros activos Sallen y Key y los de retroalimentación múltiple son circuitos

sencillos y confiables. Pero no tan estables como los de variable de estado y los bicuadráticos, que son más complejos. Los filtros de segundo orden pueden conectarse en cascada (con filtros de primer orden para los de orden impar). Para obtener otros de orden mas alto. Ya se vio que el procedimiento de conexión en cascada es tedioso pero fácil. El lector debe ser ahora capaz de construir activos de alto rendimiento.

RREEFFEERREENNCCIIAASS PPAARRAA OOBBTTEENNEERR DDAATTOOSS SSOOBBRREE FFIILLTTRROOSS AACCTTIIVVOOSS Allen, Philip E., Modern Design Techniques and Applications of Active Filters, Department of Electrical Engineering and Computer Science, Santa Barbara Calif.,1974. Berlin, Howard M., Design of Active Filters with experiments. Howard w. Sams & Co., Indianapolis, lnd., 1977. Hilburn, J. L., y Johnson, D.E., Manual- of Active Filter Design, Mc Graw Hill, Nueva York, N. Y., 1973 Johnson, David E., introduction to Filter Theory, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1978. Johnson, David E., y Hilburn, John L., Rapid Practical Design of Ac Filters, John Wiley & Sons, Nueva York, N.Y.,1975. Johnson, D. E., Johnson, J .R., y Moore, H. p ..A Handbook of Active, Filters, prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J ., 1980. Lancaster, Don, Active Filter Cookbook, Howard w. Sams & Co., Indianapo1is. Ind., 1975. Toby, Gene E., Graeme. Jerald G., y Huelsman, Lawrence P., Operational Amplifiers, Design and Application. McGraw-Hill, Nueva York. N. Y..1971. Wong, Yu Jen. y Ott. William E.. Function circuits, Design and Application, Mc Graw-Hill, Nueva York. N.Y..1976.

Page 51: Filtros Ojo

FILTROS ACTIVOS

51

AAUUTTOOEEXXAAMMEENN

1-1 Mencione cuatro ventajas de los filtros activos comparados con los pasivos. 1-2 Señale dos desventajas de los filtros activos. 1-3 Dibuje de memoria la curva de respuesta de un filtro paso-bajas de un paso-altas y de un paso-banda. 1ndique la banda de paso, la banda de bloqueo y la región de transición. 1-4 Explique cuál es la relación entre un polo y la variación de atenuación en la región de transición de un filtro activo. 1-5 Mencione una ventaja de la respuesta de cada uno de los filtros siguientes: Butterworth, Chebyshev y Bessel. 1-6 1ndique la relación entre el factor de amortiguación (a de un filtro y su respuesta cerca de fc. 1-7 Calcule los componentes de un Sallen y Key de segundo orden con componentes iguales para un filtro Butterworth de paso-bajas. siendo f(3 dB) = 5 kHz. Sea C = 0.015 F. 1-8 Calcule los componentes de un Sallen y Key de segundo orden para un filtro Butterworth paso-altas. Sea f3 dB)= 7 kHz y C = 0.012 µF. 1-9 Calcule los componentes de un filtro paso-banda de segundo orden con retroalimentación múltiple, siendo f1 = 1 kHz, f2 = 1.2 kHz y AP = 5. Sea C = 0.0033µF. 1-10 Calcule los componentes de un filtro paso-altas de variable de estado, de segundo orden con ganancia igual a la unidad. El filtro debe ser un Chebyshev con ondulación de 1 dB, con f(3dB)= 8 kHz y C = 0.001µF. 1-11 Calcule los componentes de un filtro de variable de estado, de paso-banda, con ganancia igual a la unidad, siendo f1 = 1.1 kHz y f2 = 1.15 kHz. Sea C = 0.022 µF. 1-12 Calcule los componentes de un filtro paso-bajas de variable de estado de segundo orden, con ganancia variable. El filtro será un Chebyshev con ondulación de 2 dB, y con f (3dB)= 2.5 kHz, C = 0.033 F y Ap = 8. 1-13 Calcule los componentes de un filtro de paso-bajas de variable de estado de segundo orden de 2 dB y con f (3 dB) = 2.5 kHz, C = 0.033 µF y Ap = 8. 1-14 Calcule los componentes de un filtro bicuad paso-banda siendo, f1 = 740 Hz, f2 = 760 Hz, AP = 10 y C = 0.0047 µF. 1-15 Calcule los componentes de un filtro Chebyshev con ondulación de 2 dB, paso-bajas y de cuarto orden. Use dos etapas Sallen y Key de segundo orden. Sea f (3 dB) = 3 kHz y C = 0.0033 µF. 1-16 Indique el á y el factor de cada una de las etapas de un fi ltro Chebyshev con ondulación de 1 dB, paso-altas y de octavo orden. 1-17 Explique la función de un girador. 1-18 Mencione las ventajas de las resistencias de película metálica.

Si no puede contestar algunas preguntas, ponga una marca al lado y repase las partes correspondientes del texto para encontrar las respuestas.

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FILTROS ACTIVOS

52

EEJJEERRCCIICCIIOO DDEE LLAABBOORRAATTOORRIIOO

OObbjjeettiivvoo Después de realizar este ejercicio de laboratorio, el alumno debe ser capaz de calcular los componentes, conectarlos y verificar la respuesta de frecuencia de los filtros activos siguientes: Sallen y Key, de retroalimentación múltiple, de variable de estado y bicuadratico. EEqquuiippoo

1. 5 amplificadores operacionales Fairchild • A 741 u otros equivalentes. 2. Surtido de resistencias con tolerancias de ± 2%. 3. Fuente de poder, ±15V. 4. Osciloscopio con entrada horizontal exterior. 5. Generador de barrido de audio (se puede usar un generador de señales de audio si

no se dispone de uno de barrido). 6. Surtido de condensadores de mylar metalizados, de preferencia con tolerancia de

±5%. 7. Tableta de montaje, por ejemplo un El Instruments SK-10.

En todo este ejercicio de laboratorio se seguirán los procedimientos de cálculo de componentes explicados en la sección 8-5. Procedimiento

1. Conexión del equipo de prueba. El generador de barrido y el osciloscopio pueden conectarse de manera que muestren la respuesta de frecuencia de un filtro activo. La manera de conectarlos se indica en la figura 1.27. La analogía de frecuencia del generador de barrido es un voltaje en rampa usado para activar el amplificador horizontal del osciloscopio. Los barridos horizontales representaran la amplitud, como se indica en la figura 1.28. El ajuste de ganancia variable del amplificador horizontal tendrá que ajustarse para que el tamaño del trazo horizontal se adapte a la pantalla TRC. Nota. Si el generador de barrido no tiene borrado el retroceso, aparecerá en el TRC un patrón de frecuencia más débil durante el repaso. Esto se puede minimizar con un barrido mas lento; pero no se elimina del todo. Incluso con borrado de retroceso, los barridos excesivamente rápidos producirán una imagen inestable en el osciloscopio.

Page 53: Filtros Ojo

FILTROS ACTIVOS

53

Figura 1.27 Conexión del osciloscopio para que muestre la respuesta de frecuencia. Dibujo 302 Figura 1.28 Imagen de un filtro paso-altas en la pantalla del oscilador, con el equipo conectado como se indica en la figura 1.27. La medición precisa de f(3 dB), de f1 de f2 y de la ganancia se logra mejor poniendo el generador de barrido en continuo, el osciloscopio en el modo de voltaje normal contra el tiempo y ajustando manualmente la frecuencia. Conecte el equipo de prueba como se indica en la figura 1.27. Ajuste la ganancia horizontal del osciloscopio para que aparezca una señal a todo lo ancho del TRC con la señal del generador de barrido. 2. Filtro Sallen y Key. a) Calcule los componentes de un filtro activo Sallen y Key para un Butterworth de segundo orden paso-bajas. Sea f (3 dB) = 1 kHz. El circuito aparece en la figura 1.29. Busque á en la tabla 1.1.

ch1

Vsal

Tierra

Filtro que se prueba

Osciloscopio

Vent Vsal

ch2

Entrada Horizontal

Ext. Entradas verticales

Generador de barrido

Salida de Frecuencia analógica

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54

1

2

3

R1 = R2 = R

C = C1 = C2

RC

fc π21

=

RB = RA(2 - α) Ap = (RB / RA) + 1 Figura 1.29 Filtro Sallen y Key paso-bajas.

21 fffo =

12 ff

fQ o

−=

poCAf

QR

π21 =

)2(2 22

po AQCfQ

R−

Cf

QR

oπ22

3 =

Ap = R3 / 2 R1 C1 = C2

Figura 1.30 Filtro de retroalimentación múltiple. b) Monte el circuito. c) Verifique la respuesta de frecuencia f(3 dB), la variación de la atenuación en la región de transición de 300 a 600 Hz (debe ser de 12 dB) y la ganancia de banda de paso. Compare los resultados de ±5%, sus resultados deben estar dentro del 10%. 3. Filtro de retroalimentación múltiple. a) Calcule los componentes de un filtro de retroalimentación múltiple (figura 1.30) siendo f1 = 900 Hz y f2 = 1,100 Hz. Sea AP = 6. b) Monte el circuito. c) Verifique f0. f1, f2, Q y AP.

C1

RA

R2 R1

Vsal

C2 RB

1

2

3

C1

RA

R2

R1

Vsal

C2

RB

Vent

Page 55: Filtros Ojo

FILTROS ACTIVOS

55

4. Variable de estado con ganancia igual a la unidad. a) Calcule los componentes de un filtro Chebyshev de variable de estado de segundo orden, paso-altas, con ganancia igual a la unidad y ondulación de 2 dB. El circuito se

muestra en la figura 1.31. Recuerde que tiene que encontrar la razón f(3 dB)/fc y • en la tabla 1.1. b) Conecte el circuito. c) Verifique f(3 dB), la unidad de la ondulación en dB y AP con la ondulación máxima. C = C1 = C2 R = R1 = R2 = R3 = R4 =Rf = Rf´

RC

fc π21

= ( )13'5 −= QRR f

Figura 1.31 Filtro de variable de estado con ganancia igual a la unidad. 5. Variable de estado con ganancia variable.

a)Conecte un circuito variable de estado con ganancia variable como filtro paso-banda, con f1 = 900 Hz, f2 = 920 Hz y AP = 20 ( vea la figura 1.32a). b) Conecte el circuito. c) Verifique fo, f1, f2, Q y AP. d) Conecte el sumador de la figura 1.32b a las salidas paso-bajas y paso-altas. e) Verifique fo, f1, f2, Q y 1/AP de la respuesta de ranura.

R2

1

2

3

1

2

3

1

2

3 LP

Rf

R5

R4

C1

R1

C2

Vent

R3

BP

HP

R’ f

R1

R2 A1

A2

A3

Page 56: Filtros Ojo

FILTROS ACTIVOS

56

6. Bicuadrático a) Calcule los componentes de un filtro bicuad paso-banda para f1 = 800 Hz, f2 = 820 Hz y AP = 10 (figura 1.33). b) Conecte el circuito. c) Verifique fo, f1, f2, Q y Ap. 7. Sección optativa, conexión en cascada. a) Calcule los componentes de un filtro activo Butterworth de tercer orden en cascada, paso-bajas. Use una etapa de primer orden tomada de la sección 1-7.1 y una etapa variable de estado de segundo orden con ganancia variable. Sea f (3 dB) = 2 kHz y AP = 5. Recuerde buscar en la tabla 1.2 el factor fc y á. a) Diagrama del circuito b) Sumador en un filtro de ranura C = C1 = C2 R = R1 = R2 = R3 = R5 =RA= Rf

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

LP

RA

R1

Rf

RB

R5

R3

R4 Vent

C1

R2

C2

BP

HP

RS

R1

R2

1

2

3Vsal

10 kΩ

3.33 kΩ

10 kΩ 10 kΩ

Page 57: Filtros Ojo

FILTROS ACTIVOS

57

RC

fo π21= 21 fffo =

QAG P= 12 ff

fQ o

−=

Figura 1.32 Filtro paso-banda de variable de estado, con ganancia variable.

QAG P= C = C1 = C2 R2 = R3 = R4 = R5 =R

CfR

oπ21

= Cf

GR

oπ21 = Cf

QR

cc π2

=

Figura 1.33 Filtro paso-banda bicuadratico.

b) Conecte el circuito.

c) Verifique f (3 dB), Ap y la variación de atenuación de 2.5 a 5 kHz.

d) Calcule los componentes de un filtro Chebyshev paso-altas de cuarto orden, con

ondulación de 1 dB. Use etapas Sallen y Key de segundo orden. Sea f (3 dB) = 4 kHz.

e) Conecte el circuito del paso d).

f) Verifique f (3 dB), la amplitud de la ondulación en dB, AP y la variación de atenuación en

la región de transición, de 1.5 a 3 kHz.

1

2

3

1

2

3

1

2

3

R2

R1

R5

R3

R4

Vsal

C1

RS

C2 Rc

Vent R5

23R

21 fffo =12 ff

fQ o

−=

Page 58: Filtros Ojo

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58

CCaappiittuulloo 22 Circuitos logarítmicos

Los circuitos logarítmica y antilogaritmicos se usan para efectuar la multiplicación y la división analógica, proporcionar compresión de señal y tomar logarítmicos y exponenciales. Aunque no se examinaran detalladamente los circuitos de precisión compensados por temperatura, se trataran formas básicas de esos circuitos. Objetivos.

Al terminar este capitulo y contestar el auto examen, el alumno podrá hacer lo siguiente:

11.. Dibujar de memoria un circuito a diodo y transistor, logarítmico y antilog. 22.. Dados los componentes y las especificaciones de los componentes, calcular el

voltaje de salida de un circuito logarítmico o antilog. 33.. Dibujar el diagrama de bloques y explicar el principio de operación de un circuito

para dividir y multiplicar mediante circuitos logarítmicos y antlilog. 44.. Dados los componentes, dibujar la gráfica Vent contra Vsal de un sintetizador de

funciones. 55.. Explicar el uso y el principio de operación de un circuito compresor de señal. 66.. Realizar el ejercicio de laboratorio del capitulo 2.

2-1 EL CIRCUITO LOGARÍTMICO

Para producir una respuesta logarítmica del amplificador, hay que dispones de un mecanismo, con características logarítmicas, que se colocará dentro de la red de retroalimentación. La unión pn de los semiconductores es un dispositivo con esas características. Recuerde que, de acuerdo con la teoría, la corriente que circula por un diodo semiconductor es:

kTqV

SkT

qV

SD

DD

eIeII ≅

−= 1 (2-1)

Donde

IS = corriente de fuga con polarización inversa baja (debida a la generación térmica de pares electrón-agujero) q = carga del electrón (1.6 X 10-19 coulombs) VD = voltaje del diodo k = constante de Boltzmann (1.38 X 10-23 joule/°K) T = temperatura absoluta en grados Kelvin

De igual manera, en un transistor de base común la corriente de colector es

Page 59: Filtros Ojo

FILTROS ACTIVOS

59

−= 1kT

qV

ESC

BE

eII (2-2)

= kT

qV

ESC

BE

eII

Las relaciones de corriente, tanto en el caso de la corriente del diodo como de la

corriente de colector del transistor, presentada aquí, son de la misma forma; de manera que el argumento utilizado en un caso es aplicable para otro. Tanto el diodo como el transistor puede no usarse para obtener una respuesta logarítmica. Un diodo, D, se conecta como se indica la figura 2.1 para tener un amplificador logarítmico.

Para ver cómo el empleo del diodo en la red de retroalimentación hace que la respuesta sea logarítmica, se resolverá la ecuación 2-1 para VD, que viene a ser Vsal. Al resolver

kTqV

SD

D

eII =

Se obtiene ln ID = ln IS + qVD/ kT

ln ID – ln IS= qVD/ kT

por lo tanto Vsal = VD = kT/q(ln ID- ln IS)

Puesto que

ID = IR1= V1/R1

Vsal = kT/q(ln V1/R1- ln IS)

Usualmente, kT/q es de unos 26 mV a 25°C. Conviene ver la forma de onda del

voltaje de salida. Al representar gráficamente a ID contra Vsal, Vsal = VD, en una escala lineal se obtiene la gráfica logarítmica VI característica de un diodo (Fig. 2.2 a). Si se representa

1

2

3

−= s

ssal I

RV

qkT

V lnln1Vsal

D V1 R1

Page 60: Filtros Ojo

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60

a Vsal contra logaritmo de I (sobre papel semilog) (figura 7.2 b) se obtiene una recta con una pendiente de 26 mV. Observe que el Vsal alcanza un máximo de 0.6 V aproximadamente. Si se requiere una salida mayor, debe amplificarse e voltaje de salida.

Figura 2.2 Salida del amplificador logarítmico. El amplificador logarítmico tendrá una respuesta logarítmica de mas de unas tres décadas de la corriente de entrada, dependiendo del diodo. Por lo general, la respuesta logarítmica del diodo cesa a 1 mA aproximadamente. Él término In IS será una constante, un termino de error pequeño, que debe conocerse para el diodo de que se trate si es apreciable. La salida de un amplificador logarítmico en una sola dirección, determinada por la dirección del diodo. Por ejemplo, el circuito de la figura 2.1 tiene un voltaje negativo de salida en respuesta a un voltaje positivo de entrada. Si el diodo se invierte, la salida será positiva, con una respuesta logarítmica a un voltaje negativo de entrada. Un transistor conectado en base común puede usarse también como elemento logarítmico en la retroalimentación, como se indica en la figura 2.3, para obtener una gama de entrada más amplia. Si se observa que IC = -IR1 puede comenzarse con la ecuación 2-2 y resolver para VBE , obtenido

Vsal = VBE = kT/q(ln V1/R1 – lnIES ) (2-3)

En la figura 2.3, el voltaje de salida se vuelve negativo en respuesta a una entrada positiva. Un transistor PNP daría lugar a una salida positiva en respuesta a una entrada negativa. Los circuitos logarítmicos presentados en esta sección funcionan, pero no están compensados por temperatura ni corregidos para cancelar In IS. Habría que hacerlo para lograr un funcionamiento preciso con una amplia gama de temperaturas. Ello requiere un circuito más extenso. Un amplificador logarítmico utilizable de amplia gama requiere un amp-op cuyo voltaje de corrimiento y corriente de polarización sean bajos de por sí.

Page 61: Filtros Ojo

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61

( )( )ESsal IRVlqkTV lnln 11 −=

( )

( ) LR

opampsalE ImáxI

VR

+= −

1

siendo IR1 (máx.) = IE (máx.)

Figura 2.3 Amplificador logarítmico a transistor.

Ejemplo 2-1

Disponer un amplificador logarítmico del tipo que se muestra en la figura 2.3a y calcular el Vsal con una entrada de +2 V cd.

Solución

Primero, tiene que elegirse R1 de manera que el VBE del transistor (la curva VBE contra IE) continúe siendo logarítmico al voltaje máximo de entrada que se desea. Suponga que éste está a IE = IC = 0.1 mA. Como

1

2

3

1

2

3

Vsal

Vent Vsal

R1

CC

RE

IC IR1 R1

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62

IC = IR1 y

IR1 = 1R

Vent

( )E

ent

IV

Rmax

1 =

1R = mAV

1.010

= 100kÙ

Suponga que la IES medida es igual a 40 nA. El valor de kT/q es aproximadamente 26 mV para un transistor a la temperatura del local. Encontrar Vsal sí Vent = + 2V cd.

Vsal = kT/q (ln Vent /R1 – ln IS)

= 0.026 V[ln(2 X 10-5) – ln (4 X 10-8)]

= 0.026 V[ln(2 X 10-5) – ln (4 X 10-8)]

= 0.026 V ln(2 X 10-5/4 X 10-8)

= 0.026 V ln 5(105)

= 0.026 V[ln 5 + 2(2.303)]

= 0.026 V(1.61 + 4.606) = 0.1616 V

El procedimiento y la respuesta correspondientes al ejemplo 2-1 serán los mismos, sea que se use un diodo o un transistor, siempre que IS = IES. El amplificador logarítmico de la figura 2.3a puede mejorarse si se agregan dos componentes, como se indica en la figura 2.3b. La resistencia R1 conectada a la entrada no inversora permite compensar la corriente de polarización. RE proporciona gran resistencia de carga para el amp-op puesto que re, la resistencia ca de emisor del transistor (26 mV / IE ), puede ser muy baja con corrientes de emisor moderadas. Con 1 mA, re = 26 Ù y con 0.1 mA, re = 260 Ù. RE se elige dé manera que se puedan suministrar la corriente de carga y la corriente de emisor máxima.

RE = acE

sal

ImáxIopampV

arg)()(

+−

Si Vsal (máx.) del ejemplo 2-1 es 14 V y la carga Icarga = 1 mA. RE 12.7 kÙ. CC se usa para lograr estabilidad adicional, cuando se necesite. Por lo general, CC = 100 pF.

Page 63: Filtros Ojo

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63

Los amp-ops de entrada TEC, por sus bajas corrientes de polarización, son los preferidos para los amplificadores logarítmicos. 22--22 UUNN CCIIRRCCUUIITTOO LLOOGG MMÁÁSS PPRREECCIISSOO En la figura 2-4 puede observase cómo obtener un amplificador logarítmico de alta precisión. El circuito utiliza el hecho de que

VEB = kT/q (ln IC – ln IS ) (2-4)

Donde IS = corriente emisor base de saturación, IEBO La diferencia en el voltaje de emisor base del par de transistores diferenciales igualados Q1 y Q2 es

VBE1 – VBE2 = kT/q (ln IC1 – ln IS) – kT/q (ln IC2 – ln IS)

=kT/q ln IC1 – kT/q ln IC2

= kT/q ln IC1/IC2

Puesto que VBE1 – VBE2 es VX, e IC1 = V!/R1, se ve que

VX = kT/q ln (V!/R1IC2),

= kT/q [ln V! – ln (1/R1IC2)]

IC2 es la salida de la fuente de corriente constante Ic3. En general, Ic2 se establece dé manera que R1/Ic2 = 1; de otro modo el desajuste del amplificador 2 se establece dé manera que sea igual (kT/q) ln (1/RIc2). Si la ganancia del amplificador 2 se establece dé manera que sea igual a q/kT, la salida del circuito de la figura 2.4 es Vsal = ln V1 . El termistor que aparece en la red de retroalimentación del amp-op 2 sirve para compensar las variaciones de temperatura del termino kT/q. Si no se usa el termistor, el circuito es menos que constante con los cambios de temperatura. Este circuito es preciso dentro de los límites de 5 décadas de la gama de corrientes de entrada.

Page 64: Filtros Ojo

FILTROS ACTIVOS

64

Fig. 7.4 Amplificador logarítmico de alto rendimiento

Los transistores Q1 y Q2 se pueden sustituir con diodos igualados si la fuente de corriente constante se ajusta dé manera que su corriente de salida sea igual a la corriente inversa del diodo. 22--33 EELL AAMMPPLLIIFFIICCAADDOORR AANNTTIILLOOGG Para convertir a partir de logaritmos ( es decir, para obtener antilog), debe tomarse la exponencial del logaritmo, puesto que elnX = X. Al tomar la exponencial de un logaritmo se obtiene el antilog. Usando un dispositivo logarítmico como elemento de entrada de un amplificador, como se indica en la figura 2.5, se obtiene una respuesta exponencial y, por lo tanto, se obtiene un amplificador antilog. En la ecuación 2-2 se ve que

kTqV

ESC

BE

eII =

ahora

Vsal = R1I1 = -R1IC

Luego

Vsal = Rf kTqV

ES

BE

eI = RfkT

qV

ES

BE

eI

Es lo mismo que decir

Vsal = -R1 ESI antilog (V1q/kT) (2-5)

Page 65: Filtros Ojo

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65

Donde V1 es un logaritmo.

Puede usarse un diodo como elemento de entrada en vez de un transistor, en cuyo caso,

Vsal = -R1 SI antilog(V1q/kT) (2-5 a)

El transistor funcionará mejor

Se puede usar un diodo en lugar de Q1

−=

kTqV

antiIRV sfsal1log

Figura 2.5 Amplificador antilog. Si la entrada es negativa en vez de positiva, el transistor de entrada debe ser del tipo npn, o el diodo, en su caso, debe usarse con el cátodo hacia V1. Ejemplo 2-2 Conecte un circuito antilog como el de la figura 2.5. Establezca If = 0.1 mA cuando Vsal = 10 V. La IES del transistor es de 40 nA. Encontrar el valor de R. Solución Como el voltaje en el punto de suma es aproximadamente 0 V e IRf = Ic,

Ω== kmAV

R 1001.0

10

Ejemplo 2 -3 Encontrar el Vsal del circuito del ejemplo 2-2 sí

Vent = 0.1616 V y α ≅ 1

1

2

3

Vent

Vsal

Rf Q1

Page 66: Filtros Ojo

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66

Solución

Vsal = -RfIES antilog (Vent q/kT)

= -100kΩ(4 X 10 –8 A) antilog (0.1616 /0.026)

= -0.004 V antilog 6.216

= -0.004 V e6.216

= -0.004 V (500) = -2V

Sería útil ver nuevamente el ejemplo 2-1. 22..44 EELL CCIIRRCCUUIITTOO MMUULLTTIIPPLLIICCAADDOORR Con logaritmos, puede usarse la relación

ln = (a x b) = ln a + ln b Para construir un circuito multiplicador. El circuito multiplicador se construye como se indica en la figura 2.6. El logaritmo de V1 y el logaritmo de V 2 se suman para obtener In V1 + In V2. Luego toma el antilog de la suma para encontrar V1V2. El Circuito no esta limitado a dos entradas, pero se requiere un amplificador logarítmico por separado para cada entrada. La salida de cada amplificador logarítmico es

Vsal1 = kT /q ln V1/R1 – kT/q ln I1

y

Vsal2 = kT /q ln V2/R2 – kT/q ln I2 La salida del sumador será entonces

Vsal3 = kT /q (ln V1/R1 + ln V2/R2 – ln I1 – ln I2) La salida del circuito es

Vsal3 = Rf Is4 antilog (ln V1/R1 + ln V2/R2 – ln I1 – ln I2)

= Rf Is4 antilog [ ln (V1 V2/R1 R2 I1 I2)]

= (/Rf Is4 /R2 I1 I2) V1 V2

Page 67: Filtros Ojo

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67

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

Si

Rf Is4 = R1R2 I1 I2 entonces

Vsat4 = V1 V2 (2-6) Los valores IS, tienen que medirse y se aproximan mucho a IEBO medida con un bajo voltaje inverso emisor-base. El circuito puede construirse con diodos en vez de transistores en los amplificadores log y antilog. Se supone que todos los amplificadores que figuran en el circuito están totalmente compensados en fase Existen multiplicadores comerciales que son estables dentro de una amplia gama de condiciones y temperaturas de operación. Esos circuitos son complejos y de buena cualidad, con sencillos diagramas de bloque parecidos a la figura 2.6. . Figura 2.6 Circuito multiplicador

V2

R

Q1

R2

R1

V1

Q2

R

R

ln V1

ln V2

Vsal = V1 V2

Nota: Las constantes se dejan fuera de las ecuaciones en esta figura 21

21

lnlnln

VV

VV

+=

Rf

Page 68: Filtros Ojo

FILTROS ACTIVOS

68

Algunos multiplicadores pueden funcionar con dos entradas de una sola polaridad y por ello se les llama multiplicadores a, de dos cuadrantes, mientras que otros funcionan con dos entradas de cualquier polaridad y se les llama multiplicadores de cuatro cuadrantes. Los multiplicadores se usan en 1os circuitos moduladores, en circuitos demoduladores detección de fase, circuitos de cómputo analógico para control industrial, generación de ondas no lineales y linealización de 1as salidas no lineales de los transductores en el área de la adquisición de datos, para mencionar sólo algunas aplicaciones. Una fuente excelente de información detallada.cuca de la construcción y uso de circuitos no Lineales es el Nonlinear Circuits Handbook, Design¡ng With Analog Function Moduls, and IC´s, escrito por el personal de ingeniería de Analog Devices, Inc. 22--55 EEll CCiirrccuuiittoo DDiivviissoorr Puesto que

ln a / b = ln a – ln b Puede aplicarse el principio en el cual se basa el multiplicador para construir un circuito divisor. La única diferencia es que emplea un sumador restador en vez de sumador inversor del circuito multiplicador. El diagrama del circuito se muestra en la figura 2.7. Las salidas de los amplificadores logarítmicos son

Vsal1 = kT/q (ln V1 / R1 – ln Is1)

y

Vsal2 = kT/q (ln V2 / R2 – ln Is2)

Page 69: Filtros Ojo

FILTROS ACTIVOS

69

Figura 2.7 Circuito divisor. (Nota: En esta figura, las constantes se han omitido en las ecuaciones.) Para encontrar V1 /V2, la salida del amp log 1 se alimenta a la entrada positiva del sumador-restador y la salida del amp log 2 a la entrada negativa. La salida del sumador-restador es

Vsal3 = kT/q (ln V1 / R1– ln Is1 - ln V2 / R2 + ln Is2) Usualmente

Is1 ≅ Is2 y

R1 = R2

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

2

112 lnlnln

VV

VV =−

2

1

VV

Vsal =

V2

R

D1

R2

R1

Rf

V1

D2

R R

D3

ln V1

ln V2

R

Page 70: Filtros Ojo

FILTROS ACTIVOS

70

por lo tanto

Vsal3 = kT/q [ln (V1 / R1) – ln (V2 / R2) = kT/q ln (V1 R2 /V2 R1)

= kT/q ln V1 V2

La salida del amplificador antilog es

Vsal4 = RIs3 antilog (ln V1/ V2) (2-7)

=RIs3V1/V2 (2-7a)

Si Is3 es tal que Rf Is3 se puede hacer igual a uno, entonces Vsal4 = V1 /V2. Como en el caso de los multiplicadores, en el comercio se pueden conseguir módulos de circuitos divisores de alta calidad. La lista de sus aplicaciones es virtualmente tan extensa como la de los multiplicadores. 22--66 EEll CCiirrccuuiittoo DDee RRaazzóónn LLooggaarrííttmmiiccaa La salida del sumador-restador de la figura 2.7 es una razón logarítmica con

V sal = (Rf / R1)(kT/q)ln V1 V2 donde

Rf = ambas resistencias de retroalimentación del sumador-restador.

R1= ambas resistencias de entrada del sl1mador-restador

A la conexión de los dos amps log y el sumador-restador, como se muestra en la figura 2.7, se le llama circuito de razón logarítmica. 22--77 SSiinntteettiizzaaddoorr DDee FFuunncciioonneess Cualquier salida no lineal puede obtenerse aproximadamente mediante una serie de salidas lineales con pendientes diversas. De esta manera pueden realizarse con los amplificadores operacionales gran variedad de funciones no lineales. En la figura 2.8 se muestra un sencillo circuito de síntesis para ilustrar el principio. La pendiente de voltaje dc salida comparado con el de entrada precisamente

S1 = Vsal / V1 = - Rf /R1

Page 71: Filtros Ojo

FILTROS ACTIVOS

71

a) Circuito de síntesis

b) Salida Vs. Entrada

Figura 2.8 Sintetizador de funciones sencillo.

hasta que el primer diodo zener, Z1,tenga ruptura, como se indica en la figura2.8a mientras el voltaje de entrada V1 este entre V1 y V2, el voltaje de salida es

Vzal = -V1Rf /R1 – V1Rf /R2

1

2

3 Vsal

R2

R3

Rf

+ V1

R4

Z1

Z2

Z3

R1

321 ZZZ VVV <<

++−=•

+−=•−=

3213

212

11 R

R

R

R

R

RS

R

R

R

RS

R

RS ffffff

+++−=

43214 R

R

R

R

R

R

R

RS ffff

Page 72: Filtros Ojo

FILTROS ACTIVOS

72

haciendo que la pendiente de la curva de transferencia sea

S2 = Vsal / V1 = -(Rf / R1 + Rf / R2) Análogamente, cuando VZ 2 ≤ V1 < Vz 3 ,

S3 = - (Rf / R1 + Rf / R2 + Rf / R3) y cuando V1 > V23

S4 = - (Rf / R1 + Rf / R2 + Rf / R3 + Rf / R4)

Mientras más corto sea cada segmento de la línea, mayor será la aproximación no lineal y más complejo se volverá el circuito. Este ultimo responderá un voltaje de entrada negativo si los diodos zener se invierten. El circuito de la figura 2.8 no es practico, debido al ruido que generan los diodos zener operados en ruptura inversa y de los ángulos pronunciados que producen los voltajes zener de ruptura. Los voltajes de ruptura obtenidos de los diodos zener son demasiado limitados para que este circuito pueda tener gran flexibilidad. En la figura 2.9a se ilustrara una forma más versátil de este circuito. El uso de la conducción hacia delante, característica de los diodos, para variar las pendientes produce esquinas mas redondeadas, lo que a menudo es una ventaja. El circuito puede disponerse de manera que responda tanto a circuitos en entrada negativos como positivos, lo que también es una ventaja. Esencialmente, el diodo zener se sustituye con un divisor de voltaje y un diodo que esta polarizado inversamente mientras el voltaje de entrada no exceda al voltaje establecido por el divisor de voltaje. Observe que se usa un voltaje negativo para polarizar inversamente al diodo, es decir, para que conduzca con una señal de entrada positiva y viceversa. Las redes sintetizadoras de funciones de las figuras 2.8 y 2.9 están en paralelo con R1. Si se ponen en paralelo con Rf, los circuitos tendrán una ganancia que disminuye a medida que Vent aumenta, de manera que la pendiente de la salida disminuirá con el aumento del Vent. Esto puede verse en la figura 2.10. Si se incluyen segmentos suficientes en un circuito sintetizador de funciones donde la ganancia disminuye a medida que Vent aumenta, se puede generar una onda sinusoidal con muy poca distorsión a partir de una señal triangular de entrada.

Page 73: Filtros Ojo

FILTROS ACTIVOS

73

a) Circuito sintetizador

b) Salida Vs. Entrada

Figura 2.9 Un circuito sintetizador más flexible.

1

2

3

+V

Vsal

R2

R3

Rf

V1

R4

R1

R5

R7

R6

R8

R9

+V

Page 74: Filtros Ojo

FILTROS ACTIVOS

74

Los circuitos sintetizadores pueden proporcionar funciones no lineales muy estables de amplia gama dinámica. Se usan para producir funciones no lineales tales como log10, In, antilog, raíces cuadradas y potencias. Existen muchas variedades y tipos de circuitos sintetizadores. Para Amplifiers, Desing and Applications, de Tobey, Graeme y Huelsman, de la Burr Brown Research Corporation y también la obra ya mencionada Nonlinear Circuits Handbook, de Analog Devices, Inc. 22--88 CCoommpprreennssiióónn DDee SSeeññaall A veces, en un sistema, una señal tiene una gama dinámica demasiado amplia para que pueda manejarse convenientemente. Si la señal se reduce linealmente, la información de mas bajo voltaje puede quedar tapada por el ruido o ser difícil de distinguir. Si la señal se reduce con una respuesta logarítmica (comprimida), la información de voltaje mas alto se reduce en amplitud mas que la información de bajo voltaje, como se indica en la figura 2.11c. En la figura 2.12 aparece un circuito de compresión sencillo. Observe que el circuito es bilateral. Como un diodo esta polarizado inversamente Figura 2.10 Sintetizador de funciones, pendiente decreciente Figura 2.11 formas de onda en la comprensión de señal

1

2

3 Vsal

Ra

Rf Vent

Z

R1

Page 75: Filtros Ojo

FILTROS ACTIVOS

75

Figura 2.12 Circuito de compresión. Cuando el otro lo esta en directa, eso es posible. Aunque básicamente el circuito es un amplificador logarítmico, no es un verdadero amp log, puesto que la función logarítmica es discontinua a cero. Rf proporciona un cruce lineal de cero así como menos atenuación de señales muy pequeñas. El circuito de la figura 2.12 funcionara como circuito de expansión si D1 y D2 se ponen en paralelo con R1. Se usa un circuito de expansión para volver las señales comprimidas a su forma original o para ampliar señales pequeñas de amplitud similar a fin de distinguirlas.

RREESSUUMMEENN

1. Se puede obtener un amplificador logarítmico si se usa una red de retroalimentación con respuesta logarítmica. Para logaritmos naturales, puede usarse un diodo semiconductor o la unión emisor-base de un transistor. El voltaje de salida de un amplificador logarítmico es proporcional al logaritmo de su voltaje de entrada.

2. Un amplificador antilog debe tener una respuesta exponencial a la amplitud del voltaje de entrada. Una red logarítmica de entrada a un amplificador ofrece la respuesta adecuada. Esa red de entrada puede ser un diodo no la unión emisor-base de un transistor, para el antilog de un logaritmo natural.

3. Puede utilizarse una combinación de amplificadores logarítmicos, amplificadores antilog y sumadores para construir circuitos capaces de multiplicar, dividir y tomar diversas razones.

4. Los sintetizadores de funciones son circuitos que pueden ofrecer muchas respuestas no lineales de entrada contra salida. Se construyen con redes de entrada o de salida que proporcionan la respuesta deseada. Las redes se componen de redes más pequeñas, cada una de las cuales de la salida deseada con una gama estrecha de voltajes de entrada.

5. Los sintetizadores de funciones se usan para obtener del amplificador respuestas precisas logarítmicas, antilog potencias, raíces y otras no lineales.

1

2

3

1

2

3 Vsal

D1

RB Rf V1

D2

RA R1

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FILTROS ACTIVOS

76

6. La compresión de señal permite procesar una señal con circuitos cuya gama dinámica es mas reducida que la que seria posible de otra manera. Un amplificador logarítmico especial lleva a cabo la compresión de señal.

AAUUTTOOEEXXAAMMEENN

1) Mencione los componentes necesarios para obtener la respuesta logarítmica de los

amplificadores log. 2) Si no están compensados, los circuitos de los amplificadores log son muy sensibles

a la temperatura. Mencione las dos causas principales de ese fenómeno. 3) Indique la diferencia entre un amplificador antilog y uno logarítmico. 4) Explique el principio de operación del circuito sintetizador de funciones de la figura

7.9. 5) Explique el uso de un compresor de señales. 6) Un circuito logarítmico como el de la figura 2.1 tiene una R1 = 200k• y el diodo

tiene una Is = 15 nA. Si Vent =5 V, calcule el Vsal. 7) Un circuito antilog como el de la figura 2.5 tiene una Rf =100k• y el diod o tiene

una Is = 4 nA. Si Vent =0.1 V, calcule el Vsal. 8) Dibuje el diagrama de bloques de un circuito capaz de elevar un numero a una

potencia (por ejemplo, “X”). No se preocupe por los coeficientes. 9) Explique que se debe hacer con el circuito sintetizador de funciones de la figura 2.9

para obtener una salida en que la ganancia disminuya a medida que el Vent aumente. 10) Explique como se descomprime la señal proveniente de un compresor de señales

como el que aparece en la figura 2.12. 11) Explique la función de la resistencia RE en la figura 2.3b.

Si no se puede contestar algunas preguntas, ponga una marca al lado y repase las partes correspondientes del texto para encontrar las respuestas.

EEJJEERRCCIICCIIOO DDEE LLAABBOORRAATTOORRIIOO OObbjjeettiivvoo Después de realizar este ejercicio de laboratorio, el alumno debe ser capaz de calcular los componentes para, y luego construir un amplificador logarítmico, un amplificador antilogarítmico y un amplificador sintetizador sencillo, así como un compresor de señales. EEqquuiippoo

1. Dos amplificadores operacionales Fairchild ì A 741 u otros equivalentes. 2. Surtido de resistencias 2%.

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FILTROS ACTIVOS

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3. Fuente de poder, ± 15 V cd. 4. Generador de señales de audio. 5. Dos diodos zener, Vz ≅ 2 V y V z ≅ 4V. 6. Dos transistores npn, 2N3710 o equivalentes (será mejor un par igualado, por

ejemplo un 2N2461). 7. Dos diodos, 1N914 o equivalentes. 8. Osciloscopio. 9. Dos potenciómetros de 10k• , con película de carbón o metálica, no con espiral

de alambre. 10. Tableta con receptáculos para Cl, por ejemplo un EL Instruments SK-10. 11. Trazador de curvas de transistores (optativo, pero conveniente).

PPrroocceeddiimmiieennttoo

2. Amplificador logarítmico. a) Mida la IES de un transistor npn con bajo voltaje inverso emisor-base, VBE ≅

1 V. b) Conecte el circuito de la figura 7.13, eligiendo R1 de manera que IR 1 = 0.1

mA con V1 = 10 V. Nota . Una resistencia de 20M• a través de las terminales emisor a colector del transistor resolverá los problemas de anulación del desajuste, pero introducirá algún error. Si se producen oscilaciones, un pequeño condensador (≅ 0.001 ì F) a través del transistor, de emisor a colector, podrá suprimirlas.

c) Calcule y mida el voltaje de salida con Vnte = + 3 V y con Vent = + 6 V. d) No desarme el circuito.

3. Amplificador antilog.

a) Mida la IES del transistor. Debe ser aproximadamente el valor obtenido con el transistor usado en la parte 1.

Figura 2.13 Amplificador log.

b) Conecte el circuito antilog de la figura 2.14. Elija Rf de manera que If = 0.1 mA con Vsal = 10 V.

1

2

3 Vsal

Rf V1

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FILTROS ACTIVOS

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c) Conecte la salida del amplificador logarítmico construido en la parte 1 a la entrada del amplificador antilog.

d) Calcule y mida el Vsal con la entrada del amplificador logarítmico a +3 V y a 6 + V. Anote sus medidas.

4. Sintetizador de funciones.

a) Conecte el circuito de la figura 2.15 Vz1 ≅ 2 V Vz2 ≅ 4 V

Rf = R2 = R3 = Rf = 100 kΩ

b) Represente gráficamente Vsal contra + Vent desde Vent = 0 hasta Vent =+ 8V. Con la información que aparece en la figura 2.8, compare sus resultados con los que esperaría de los cálculos.

Figura 2.14 Amplificador antilog. 5. Compresión de señal.

Construya el compresor de señales de la figura 2.16 sea R1 = Rf = 100 kΩ, RA = 20 kΩ y D1 y D2 serán 1N914 o equivalentes.

Figura 2.15. Sintetizador de funciones.

1

2

3

1

2

3

Vsal

Rf V1

Vsal

R2

Rf

Vent

Z1

Z2

R1

R3

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a. Represente gráficamente Vsal contra V b. Observe la compresión de señal con una señal sinusoidal de entrada y con

cualquier otra forma de onda que le interese. Esto se observara como una variación de la ganancia de voltaje a medida que varié la amplitud del Vent.

EEssttuuddiioo En cada parte del ejercicio de laboratorio, examine las causas potables de cualquier discrepancia entre sus mediciones y los valores teóricos. Figura 2.16 Circuito de compresión.

1

2

3

1

2

3 Vsal

D1

RB Rf V1

D2

RA R1