Sabiendo que el polinomio de Legendre de grado 3 es
p3(x) =1
2
5x3 3x
se pide obtener los coeficientes de la frmula de cuadratura de
Gauss con tres puntos. Necesitamos las races queson
ui
0,3
5,3
5
Puntos de Gauss
Los coeficientes de gauss son
ci = 2
(1 ui)2
(p3(ui))2 Coeficientes de Gauss
que resultan ser
ci
8
9,5
9,5
9
Coeficientes de Gauss
La integral de Gauss es
I
2i=0
ci(ui)
Para obtener la funcin usamos la integral que nos dan
I=
72
5 (x 2)3x2
f(x)
dx (ui) = f
7 + 2
2 ui+
2 + 7
2
7 + 2
2
por lo que(ui) = 5(4,5x+ 2,5 2)
3(4,5x+ 2,5)
2 4,5
entonces(ui) {474,61, 2709,15,6311,63}
Por lo que la integral daIGauss= 28048,5
Como este mtodo puede aproximar en forma exacta a polinomios de
grado 2n+ 1 entonces n = 3 aproxima enforma exacta polinomios de
grado 7. El polinomio del integrando es de grado 5 con lo que la
integral es exacta.
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Alf Melmac, 12/12/2014
Problema 2
Sea el sistema
dx
dt =y
dy
dt = x
dz
dt =p
Para integrarlo mediante Runge Kutta de segundo orden utilizamos
el dato de la consigna que dice que
Runge Kutta 2
un+1 = un+1
2(q1+q2)
q1 = kf(tn, un)
q2 = kf(tn+k, u1+q1)
f=y
un y(tn)
Planteamos las variables que aproximarn a las reales
xn x(tn)yn y(tn)
zn z(tn)
y las funciones fpara el mtodo de Runge-Kutta que sonfx(tn, xn,
yn, zn) = yn
fy(tn, xn, yn, zn) = xn
fz(tn, xn, yn, zn) = p
El sistema quedar planteado entonces como
xn+1 = xn+
1
2(qx1+qx2)
yn+1 = yn+ 12(qy1+qy2)
zn+1 = zn+ 12(qz1+qz2)
qx1 = kfx(yn)
qx2 = kfx(yn+qy1)qy1 = kfy(xn)
qy2 = kfy(xn+qx1)qz1 = kfz
qz2 = kfz
el cual se puede dividir en dos ms pequeos ya que z es
independiente de x e y (esto se poda ver en el sistemaoriginal de
la consigna). Si se reemplazan qz1 y qz2 en la ecuacin de zn+1 se
obtiene
zn+1 = zn+kp
que es una funcin lineal (velocidad constante). En la figura se
pueden ver los resultados obtenidos para x e y.
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Alf Melmac, 12/12/2014
Figura 1: Resultados obtenidos para las variables x e y del
problema 2.
