C.E.P. “REINA DEL MUNDO”

ORGANIZACIÓN DE BACHILLERATO INTERNACIONAL

Programa del Diploma

Matemática NM

TAREA TIPO 1

Nombre del candidato: Diego Alonso Vidal Ho

Código: 2419-023

Curso: Matemática NM

Profesor: José María Pineda

Convocatoria: Noviembre 2013

LIMA-PERU

2012

1

Índice

Índice............................................................................................................................................................2

Introducción.................................................................................................................................................3

Marco Teórico..............................................................................................................................................4

APARTADO 1................................................................................................................................................6

APARTADO 2..............................................................................................................................................20

APARTADO 3..............................................................................................................................................23

APARTADO 4..............................................................................................................................................27

APARTADO 5..............................................................................................................................................30

CONCLUSIONES..........................................................................................................................................33

BIBLIOGRAFÌA.............................................................................................................................................34

2

Introducción

Hoy en día muchas actividades del ser humano tienen relación con las funciones exponenciales. Así las matemáticas las utilizan para determinar volumen de una esfera al crecer. En Medicina para determinar número de células de un feto mientras se desarrolla en el útero materno. En una economía sin trastornos, los precios crecen exponencialmente, donde la tasa coincide con el índice de inflación. En sistemas informáticos el número de contraseñas posibles con n dígitos crece exponencialmente. En Bilogía el número de bacterias que se reproducen por por fisión binaria. En física la velocidad de un pequeño objeto sobre el que no actúan fuerzas en el seno de un fluido en reposo, la intensidad de corriente en un circuito eléctrico de continua con inductancia nula al que se le retira la tensión. En química en la medición de la acidez de las sustancias, En finanzas para el cálculo de los intereses. De aquí la importancia que reviste el estudio de las funciones exponenciales

En el presente trabajo se analizaran las funciones exponenciales del tipo

y=kabx+c+d

Para deducir patrones de comportamiento que nos ayuden a su generalización y representación grafica. Se valuaran las graficas para diferentes valores de k, de la base y del exponente, para luego con los resultados obtenidos deducir la forma y posición de las graficas.

3

Marco Teórico “Sean X y Y conjuntos de números reales. Una función real f de una variable real x de X a Y es una correspondencia que asigna a cada número de x de X exactamente un número y de Y.

El dominio de f es el conjunto X. El número y es la imagen de x por f y se denota mediante f(x), a lo cual se le llama el valor de f en x. El recorrido o rango de f se define como el subconjunto de Y formado por todas las imágenes de los números de X

Tipos básicos de transformaciones (c>0)

Gráfica original: y=f(x)

Traslación horizontal de c unidades a la derecha y=f(x-c)

Traslación horizontal de x unidades a la izquierda y=f(x+c)

Traslación vertical de c unidades hacia abajo y=f(x)-c

Traslación vertical de c unidades hacia arriba y=f(x)+c

Reflexión respecto al eje x y=-f(x)

Reflexión respecto al eje y y=f(-x)

Reflexión respecto al origen y=-f(-x)” 1

“Una función exponencial se define como y=f(x)=bx, dadas las siguientes condiciones: b>0, b≠1, x∈ R; b se llama base.

Así, en estas circunstancias, y debe ser positiva, es decir, y>0, cualquiera que sea el valor de x.

Dependiendo de cómo sea la base b, la gráfica de esta función puede ser creciente o decreciente. Si b>1 es creciente, si b ∈ (0,1), se tiene una expresión exponencial decreciente“2

“PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES

Toda función exponencial de la forma f(x) = ax, cumple las siguientes propiedades:

1. La función aplicada al valor cero es siempre igual a 1: f (0) = a0 = 1.

2. La función exponencial de 1 es siempre igual a la base: f (1) = a1 = a.

3. La función exponencial de una suma de valores es igual al producto de la aplicación de dicha función

sobre cada valor por separado.

f(m + n) = am +n = am• an = f (m)• f (n).

1 Larson Hostetler Edwards, CÁLCULO, octava edición, editorial McGraw Hill

2 Matemáticas previas al cálculo, primera edición (2005), editorial Universidad de Medellín4

4. La función exponencial de una resta es igual al cociente de su aplicación al minuendo dividida por la

aplicación al sustraendo:

5. La función y = ex

¿Qué representa el número e?. Un caso particularmente interesante de función exponencial es

f (x) = ex. El número e, de valor aproximado 2,7182818285..., se define matemáticamente como el límite

al que tiende la expresión:

(1 + 1/n)n

En este caso, el valor de n crece hasta aproximarse al infinito.

Este número es la base elegida para los logaritmos naturales o neperianos. La función expresenta algunas

particularidades importantes que refuerzan su interés en las descripciones físicas y financieras y otras

aplicaciones matemáticas.”3

3 http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/VerContenido.aspx?ID=1385405

APARTADO 1Sea la función y=ax, graficaremos en este primer apartado la función con los valores que puede asumir a y los clasificaremos para encontrar patrones y generalizar.

I. Para los naturales : NEn esta primera parte analizaré la función f(x)=ax, donde a ∈ N, a excepción de 0 y 1, que se

analizarán en los alcances y limitaciones.

Graficamos: y=2x ; y=3x ; y=4x ; y=5x

GRÁFICA N°1

En primer lugar, las cuatro funciones graficadas tienen una misma intersección, el punto de corte en el eje y: (0;1). En esta primera gráfica sólo hemos trabajado con números naturales ( ), y a partir de ésta puedo concluir que toda función de tipo y=ax, donde a ∈ N, el punto de intersección con el eje y siempre será (0;1), y esto se comprueba con la siguiente tabla:

6

y=2x

y=3x

y=4x

y=5x

TABLA N°1

En la gráfica y tablas nº1 podemos ver que siempre que x tome el valor 0, es decir, para hallar la intersección con el eje y, la solución será 1, porque todo número elevado a la potencia 0 tiene como resultado 1.

Asimismo, se puede apreciar en las funciones de la Gráfica N°1 es que todas presentan una curva que va creciendo hacia le derecha. Las funciones de la gráfica mencionada son crecientes porque para cualquier par de valores de la función se cumple lo siguiente:

4

Por ejemplo, esto se puede verificar en la TABLA N°1, donde los valores de la función f(x)=2 x son crecientes en todos los casos: x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(xz) ⇔ -2 < -0.5 ⇒ 0.25 < 0.71Finalmente, las funciones de la gráfica N°1 no presentan punto de intersección con el eje x, esto se debe a que ningún número natural elevado a un valor de x que pertenezca a los reales dará como resultado 0, obviamente exceptuando el caso de la función que tiene como base de la potencia a 0.

Entonces en y=ax, y nunca valdrá 0 y la función no tendrá solución.

4 http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Funciones_crecientes_y_decrecientes7

     x -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1.4 2 2,6

 0.25  0.35  0.5  0.71 1  1.41  2 2.64  4  6.06

II. PARA LOS ENTEROS :En esta parte analizaré la función f(x)= -ax, donde a ∈ Z+, a excepción de el elemento neutro y la unidad, que se analizarán en los alcances y limitaciones.

GRÁFICA N° 2

En primer lugar, al igual que en la gráfica N°1, las cuatro funciones graficadas tienen la misma intersección, el punto de corte en el eje y: (0;-1). Toda función de tipo y=-ax siempre tendrá el mismo punto de intersección, (0;-1), y esto se puede comprobar con la siguiente tabla:

TABLA N° 2

En la tabla podemos ver que siempre que x tome el valor 0, es decir, para hallar la intersección con el eje y, la solución será -1, porque todo número elevado a la potencia 0 tiene como resultado 1, y debido al símbolo – que precede al valor elevado a 0 el resultado es -1.

8

x

y

f(x)=-2x

f(x)=-3x

f(x)=-4x

f(x)=-5x

x -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1.4 2 2,6

f(x)=-2x -0.25 -0.35 -0.5 -0.71 -1 -1.41 -1 -2.64 -4 -6.07

Al ver la GRÁFICA N°2 se comprueba la propiedad de las transformaciones de simetría en las funciones, donde al agregar el signo – a la función, y no al valor que toma x, el resultado es la función original simétrica respecto al eje x, lo cual sucederá con cualquier tipo de función.

Otra cosa en común que se puede apreciar en las funciones de la Gráfica N°2 es que todas presentan una curva que va decreciendo. Las funciones de la gráfica mencionada son decrecientes porque para cualquier par de valores de la función se cumple lo siguiente: 

5Por ejemplo, esto se puede verificar en la TABLA N°2, donde los valores de la función f(x)=-2 x son decrecientes en todos los casos: x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(xz) ⇔ -1.5 < 1.4 ⇒ -0.35 > -2.64Finalmente, las funciones de la gráfica N°2 no presentan punto de intersección con el eje x, esto se debe a que ningún número natural elevado a un valor de x que pertenezca a los reales dará como resultado 0, obviamente exceptuando el caso de la función que tiene como base de la potencia a 0.Entonces en y=-ax, y nunca valdrá 0 y la función no tendrá solución.

A continuación analizaré la función f(x)=(a)x, donde a ∈ Z-, mediante las graficas y tablas de los resultados de algunos ejemplos.

x -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2

f(x)=(-2)x 0.25 -0.5 ERROR* 1 ERROR* -2 4

TABLA N°3

*LIMITACIÓN (error, no real):Cuando x toma el valor de -0.5 en f(x)=(-2)x, y=(-2)-0.5 y=(-0.5)0.5 Y=√−0.5Cuando x toma el valor de 0.5 en f(x)=(-2)x, y=(-2)0.5 y=(-2)0.5 y=√−2Los resultados de algunos valores que toma x no tienen solución en los reales, lo cual representa una limitación en las funciones exponenciales de este tipo.

5 http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Funciones_crecientes_y_decrecientes9

x1 < x2 ⇒ f (x2) < f (x1)

x

y

GRÁFICA N°3: f(x)=(-2)x

TABLA N° 4

10

x -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2

f(x)=(-3)x 0.111 -0.333 y ∄ R 1 y ∄ R -3 9

x

y

GRÁFICA N°4: f(x)= (-3)x

A partir del análisis de las gráficas N°3 y N°4 podemos decir que las funciones de tipo y=(-a) x son discontinuas, ya que tienen puntos en los cuales una pequeña variación de la variable independiente produce un salto en los valores de la variable dependiente. Entonces, x es una variable discreta en estos casos.

La discontinuidad de las funciones se puede apreciar en los valores que asume y en la función de las tablas N°3 y N°4, los cuales alternan entre positivo y negativo, debido a que se eleva una base negativa a potencias impares e impares, por lo cual el resultado va alternando entre positivo y negativo; y entre valores no reales y reales, por lo cual no es posible graficar la función con un solo trazo, sino solo representar ciertos puntos que satisfacen la ecuación, lo cual es una limitación.

Aún así ambas gráficas presentan como intersección con el eje y a la coordenada (0;1), a partir de lo cual puedo decir que también en las funciones de tipo f(x)=(-a)x, siendo discontinuas y donde a ∈ Z+, siempre tendrán la misma intersección con el eje y, lo cual se comprueba con los datos de las tablas N°3 y N°4. En las tablas podemos ver que siempre que x tome el valor 0, es decir, para hallar la intersección con el eje y, la solución será 1, porque todo número elevado a la potencia 0 tiene como resultado 1, aun teniendo como base un número negativo.

Finalmente, estas dos últimas gráficas presentan otra característica en común con las todas las anteriores: no presenta punto de intersección con el eje x, esto se debe a que ningún número natural

11

elevado a un valor de x que pertenezca a los reales dará como resultado 0, obviamente exceptuando el caso de la función que tiene como base de la potencia a 0.

Entonces en y=(-a)x, y nunca valdrá 0 y la función no tendrá solución.

III. PARA LOS RACIONALES : QEn esta parte analizaré la función f(x)= (

ab ) x, donde

ab ∈ Q+

x

y

GRÁFICA N°5

En primer lugar, las cuatro funciones graficadas tienen una misma intersección, el punto de corte en

el eje y: (0;1). Todas las funciones de exponenciales de forma f(x)= (ab ) x donde

ab ∈ Q+ tendrán este

mismo punto de intersección con el eje y, esto se comprueba con la siguiente tabla:

TABLA N°5

En la tabla podemos ver que siempre que x tome el valor 0, es decir, para hallar la intersección con el eje y, la solución será 1, porque todo número elevado a la potencia 0 tiene como resultado 1, al igual que en todas las funciones hasta ahora explicadas en este primer apartado.

12

y= (69 y= (

19

y= (12

x -2 -1.5 -1 0 1 1.5 2

f(x)= (69 ) x 9

4 1.8432 1

69 0.54

49

Otra cosa en común que se puede apreciar en las funciones de la Gráfica N°5 es que todas presentan una curva que va decreciendo. Las funciones de la gráfica mencionada son decrecientes porque para cualquier par de valores de la función se cumple lo siguiente:

6

Por ejemplo, esto se puede verificar en la TABLA N°5, donde los valores de la función f(x)= (69 ) x son

crecientes en todos los casos: x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(xz) ⇔ -1 < 2 ⇒ 32 > 4

9

Finalmente, las funciones de la gráfica N°5 no presentan punto de intersección con el eje x, esto se debe a que ningún número natural elevado a un valor de x que pertenezca a los reales dará como resultado 0, a excepción del caso de la función que tiene como base de la potencia a 0.

Entonces en y=(ab ) x, y nunca valdrá 0 y la función no tendrá solución.

GRÁFICA N°6

En esta gráfica observamos que al poner el inverso de la base para formar otra función exponencial de tipo y=ax, se forma una función simétrica respecto al eje y, obteniendo los el inverso de los valores obtenidos en cada eje respectivamente, como se puede apreciar en la siguiente tabla:

x -2 -1 0 1 2y=3x 0.11 0.33 1 3 9x -2 -1 0 1 2y=1/3x 9 3 1 0.33 0.11

TABLA N°6

6 http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Funciones_crecientes_y_decrecientes13

x1 < x2 ⇒ f (x2) < f (x1)

x

y y=3xy=(13 y=5xy=(

15

Al analizar esto puedo concluir que y=ax es la función simétrica respecto al eje y de y=(1a )X, mientras que

a pertenezca a los enteros, por lo que se probará con los demás valores reales de a. en los alcances y limitaciones.

Ahora analizaremos la función f(x)= (- ab ) x, donde

ab ∈ Q+.

TABLA N°7Esta función presenta las misma limitaciones que f(x)=(a)x, donde a ∈ Z-, ya que al ser tener una base negativa elevada a exponentes pares en impares, los resultados alternan entre positivos y negativos, produciendo una discontinuidad en la función, que no se podrá graficar de un solo trazo, sino solo representar ciertos puntos que satisfacen la ecuación. También tenemos la limitación del error por resultado no real del mismo modo que en los casos ya mencionados, por ejemplo cuando x toma el valor 0.5, el resultado no existe dentro de R.

La gráfica es discontinua, ya que tiene puntos en los cuales una pequeña variación de la variable independiente produce un salto en los valores de la variable dependiente. Entonces, x es una variable discreta en estos casos.

Aún así ambas gráficas presentan como intersección con el eje y a la coordenada (0;1), a partir de lo cual

puedo decir que también en las funciones de tipo f(x)= (- ab ) x, donde

ab ∈ Q+, siendo discontinuas,

siempre tendrán la misma intersección con el eje y, lo cual se comprueba con los datos de la tabla N°6. En las tablas podemos ver que siempre que x tome el valor 0, es decir, para hallar la intersección con el eje y, la solución será 1, porque todo número elevado a la potencia 0 tiene como resultado 1, aun teniendo como base un número negativo.

Las funciones de este tipo no presentan un punto de intersección con el eje x, esto se debe a que ningún número natural elevado a un valor de x que pertenezca a los reales dará como resultado 0, obviamente exceptuando el caso de la función que tiene como base de la potencia a 0.

Entonces en f(x)= (- ab ) x, donde

ab ∈ Q+, y nunca valdrá 0 y la función no tendrá solución.

14

x -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2

f(x)=(--12

)x 4 -2 y ∄ R 1 y ∄ R -0.5 0.25

IV. IEn esta parte analizaremos la función f(x)=ax, donde a ∈I+.

x

y

GRÁFICA N°7

En primer lugar, las tres funciones graficadas tienen una misma intersección, el punto de corte en el eje y: (0;1). Se puede decir entonces que toda función de tipo y=a x, donde a ∈ I, el punto de intersección con el eje y siempre será (0;1), y esto se comprueba con la siguiente tabla:

TABLA N°8

15

f(x)= (√ 2)x

f(x)= exf(x)= πx

     x -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2

f(x)=πx0.1 0.32 0.56 1 1.77 3.14 9.87

En la tabla podemos ver que siempre que x tome el valor 0, es decir, para hallar la intersección con el eje y, la solución será 1, porque todo número elevado a la potencia 0 tiene como resultado 1.

Otra cosa en común que se puede apreciar en las funciones de la Gráfica N°7 es que todas presentan una curva que va creciendo. Las funciones de la gráfica mencionada son crecientes porque para cualquier par de valores de la función se cumple lo siguiente:

7

Por ejemplo, esto se puede verificar en la TABLA N°1, donde los valores de la función f(x)= πx son crecientes en todos los casos: x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(xz) ⇔ -2 < -0.5 ⇒ 0.1 < 0.56Finalmente, las funciones de la gráfica N°7 no presentan punto de intersección con el eje x, esto se debe a que ningún número natural elevado a un valor de x que pertenezca a los reales dará como resultado 0, obviamente exceptuando el caso de la función que tiene como base de la potencia a 0.Entonces en y=ax, donde a ∈I, y nunca valdrá 0 y la función no tendrá solución.

Ahora analizaremos la función f(x)=(-a)x, donde a ∈I+. x -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2

f(x)=(-π)x 0.1 -0.32 y ∄ R 1 y ∄ R -3.14 9.87

TABLA N°9Esta función representada en la tabla n°9 presenta las misma limitaciones que f(x)=(a)x, donde a ∈ Z-, ya que al ser tener una base negativa elevada a exponentes pares en impares, los resultados alternan entre positivos y negativos, produciendo una discontinuidad en la función, que no se podrá graficar de un solo trazo, sino solo representar ciertos puntos que satisfacen la ecuación. También tenemos la limitación del error por resultado no real del mismo modo que en los casos ya mencionados, por ejemplo cuando x toma el valor 0.5, el resultado no existe dentro de R.

La gráfica es discontinua, ya que tiene puntos en los cuales una pequeña variación de la variable independiente produce un salto en los valores de la variable dependiente. Entonces, x es una variable discreta en estos casos.

Aún así ambas gráficas presentan como intersección con el eje y a la coordenada (0;1), a partir de lo cual

puedo decir que también en las funciones de tipo f(x)= (-a) x, donde ab ∈ I+, siendo discontinuas,

7 http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Funciones_crecientes_y_decrecientes16

siempre tendrán la misma intersección con el eje y, lo cual se comprueba con los datos de la tabla N°7. En las tablas podemos ver que siempre que x tome el valor 0, es decir, para hallar la intersección con el eje y, la solución será 1, porque todo número elevado a la potencia 0 tiene como resultado 1, aun teniendo como base un número negativo.

Finalmente, puedo decir que estas funciones no presentan un punto de intersección con el eje x, esto se debe a que ningún número natural elevado a un valor de x que pertenezca a los reales dará como resultado 0, obviamente exceptuando el caso de la función que tiene como base de la potencia a 0.

Entonces en f(x)= (-a) x, donde a ∈ I+, y nunca valdrá 0 y la función no tendrá solución.

V. ALCANCES Y LIMITACIONES- La primera limitación que afecta los patrones y generalizaciones encontrados a lo largo de este

apartado es el 0, ya que este es un caso especial. El siguiente caso especial es la unidad, 1, que

tampoco se subordina a las generalizaciones al ser también un caso especial.

GRÁFICA N°8

y=0x es una función única, ya que aún siendo exponencial es diferente del resto al no presentar una

curva creciente, sino formar una función lineal y además no se pueden determinar varios puntos que

satisfacen la ecuación, que son donde x≤0, ya que no se puede hallar el valor de y en estos casos

pues no existe en los reales. Esta es la única función exponencial que tiene intersecciones con el eje

x, como se demuestra en la tabla:

17

x

y

f(x)=0x

f(x)=1x

TABLA N°10*Estos valores no existen dentro del conjunto de números reales.y=1x es otro caso especial de función exponencial, pues tampoco forma una curva como el resto de

funciones de este tipo, pero mantiene el patrón del punto de corte en el eje y, (0;1), pues siempre que x tome el valor 0, es decir, para hallar la intersección con el eje y, la solución será 1, porque todo número

elevado a la potencia 0 tiene como resultado 1.

Finalmente, y=1x no presenta punto de intersección con el eje x, esto se debe a que ningún número natural elevado a un valor de x que pertenezca a los reales dará como resultado 0, obviamente exceptuando el caso de 0. Entonces en y=1x, y nunca valdrá 0 y la función no tendrá solución.

GRÁFICA N°9

x -1 -0.5 0 0.5 1 2y=(-1)x -1 y ∄R 1 y ∄R -1 1

TABLA N°11

En cuanto a y=-1x se cumple lo que se dijo en la segunda parte de este apartado: con esto se comprueba la propiedad de las transformaciones de simetría en las funciones, donde al agregar el signo – a la función, y no al valor que toma x, el resultado es la función original simétrica respecto al eje x, lo cual

18

x

y

y=-1X

y=(-1)X .

x -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2

f(x)=0x Error* Error* Error* Error* 0 0 0

sucederá con cualquier tipo de función, lo cual representa un alcance, y se demuestra que al agregar el signo – a toda la función, afectará el resultado final tan solo cambiándole el símbolo al contrario (+/-), lo cual da lugar a la función simétrica.y=(-1)X también se presenta como una función discontinua, lo cual es otra limitación, ya que al ser tener una base negativa elevada a exponentes pares en impares, los resultados alternan entre positivos y negativos, produciendo una discontinuidad en la función, que no se podrá graficar de un solo trazo, sino solo representar ciertos puntos que satisfacen la ecuación. También tenemos la limitación del error por resultado no real del mismo modo que en los casos ya mencionados, por ejemplo cuando x toma el valor 0.5, el resultado no existe dentro de R. Estas dos limitaciones, las funciones discontinuas y sus valores no reales no solo se dan en el caso de y=(-1)x, sino también en los enteros, racionales e irracionales.

- Un alcance al que se llegó en este apartado es que en y=a x, donde a ∈ R, la función siempre tendrá un solo punto de intersección con el eje y: (0;1).

- y=ax es la función simétrica del eje y de y=(1a )x, mientras que a asuma valores racionales. Esto ya se

había comprobado en los racionales, y mediante la gráfica n°10 y la comparación de las tablas n°7 con la n° 13 se terminará de comprobar esto en los reales:

x

y

GRÁFICA N° 10En las tablas n°7 y n°3 podemos comprobar que también en las funciones discontinuas se aplica la simetría de la función con el eje y colocando la inversa de a en la otra función, mientras que en la gráfica n°10 vemos que esta propiedad se cumple tanto con enteros como irracionales.

19

y=πx

y=(1π )x

y=-3xy=(- 13

- El dominio de estas funciones siempre serán los IR y el rango ira de ]0;+oo [, a excepción de las discontinuas, las simétricas y los casos especiales.

- El último alcance de este apartado es que ninguna función exponencial de tipo y=ax cortará el eje x, mientras a sea un número real, es decir, son asíntotas al eje x.

APARTADO 2Sea la función y=ax+c, graficaremos en este apartado la función con los valores que puede asumir c y los clasificaremos para encontrar patrones y generalizar.Graficamos: y=2x+1 ; y=3x-1 ; y=4x+2 ; y=5x-2

PARA LOS NATURALES : N

GRÁFICA N° 11

Al comparar la gráfica N°8 con la N°1 podemos ver que la adición y sustracción en los exponentes de las funciones las cambia según un patrón determinado.

En la función f(x)= 2x+1 se conservan todos los patrones que se observaron en el primer apartado sobre la función y=ax donde a ∈ N, a excepción de la intersección con el eje y, que pasó de (0;1) en y=2x a ser (0;2). Esto se debe a que la adición de cualquier valor que ∈ N al exponente hace que la función se corra ese valor con el símbolo contrario (+/-) en todas las coordenadas de x, para dar el mismo resultado en y, lo cual se demuestra con la siguiente tabla:

20

x

y

y=2x+1

y=3x-1

y=4x+2

y=5x-2

x -1 0 0.5 1 2f(x)=2x 0.5 1 1.41 2 4

x -2 -1 -0.5 0 1f(x)=2x+1 0.5 1 1.41 2 4

TABLA N°12

Entonces, en f(x)=ax+c ≡ f(x-c)=ax

GRÁFICA N°12

En la gráfica n°12 podemos apreciar más claramente que lo observado en la gráfica N°8. Además es visible que en las funciones de tipo f(x)=ax+c, donde el valor de c sea constante, sin importar el valor de a, mientras que ∈ Z, la intersección entre las funciones es (-c;1).

Esto se demuestra por ejemplo con las funciones f(x)=5x-2 y f(x)=4x-2, ambas tienen diferentes valores en la base de la potenciación pero el mismo valor modificando el x del exponente, por lo que ambas se interceptan en el punto (2;1), como se explica en la siguiente tabla n°13, lo cual es el resultado del movimiento horizontal, donde se conserva el punto de intersección entre todas las funciones exponenciales tipo y=ax, que en el apartado 1 se demostró porque era (0;1), en este caso pasó a ser (2;1).

21

x

y

x=2y=6x-2 y=1y=5x-2 y=1y=4x-2 y=1

TABLA N° 13

Este patrón comprueba la propiedad de transformaciones de funciones del marco teórico, traslación horizontal a la izquierda y derecha. Sea f(x)=ax-c, donde a ∈ N, cuando a>0 hay un desplazamiento horizontal hacia la derecha, y cuando a<0 ocurre un desplazamiento horizontal hacia la izquierda.

Cabe resaltar que esto sucede sin importar el valor de c, mientras este pertenezca a los reales. Como se puede apreciar en las tablas n°14 y 15, para racionales e irracionales respectivamente.

TABLAS N° 14 Y 15

ENTEROS, RACIONALES E IRRACIONALES

x

y

22

y=-2x+1

y=(13 )x+1

y=(23 )x+1

y=πx+1

x=πy=6x-π y=1y=5x-π y=1y=4x-π y=1

x=0.5y=6x-0.5 y=1y=5x-0.5 y=1y=4x-0.5 y=1

GRÁFICA N° 13

Podemos ver gracias a la gráfica n°13 que se mantienen las propiedades y patrones identificados en la

primera parte de este apartado, por lo cual las generalizaciones se amplían a los reales, a excepción

de los casos especiales que son los mismos que en el primer apartado.

ALCANCES Y LIMITACIONESSe presentan las mismas limitaciones que en el primer apartado, es decir los casos de las funciones que tienen como base (a) a los números 0; 1 ó tienen esta forma y=(-a)x+c, pues todos estos casos son especiales y no se subordinan a los patrones que se hallan, y la función y=(-a) x+c además de ser discontinua, presenta otra limitación, pues al intentar hallar algunos puntos que satisfacen la función, el resultado no existe dentro de los reales.

Al igual que en el primer apartado, todas las funciones del tipo analizado en este apartado son asíntotas al eje x.

El principal alcance es que la adición de cualquier valor que ∈ R a la variable en el exponente hace que la función se corra ese valor con el símbolo contrario (+/-) en todas las coordenadas de x, para dar el mismo resultado en y.

APARTADO 3Sea la función y=ax+d, graficaremos en este primer apartado la función con los valores que puede asumir d y los clasificaremos para encontrar patrones y generalizar.Graficamos: y=2x+2 ; y=3x+1 ; y=4x-2 ; y=5x-3

23

y=2x+2

y=3x+1

y=4x-2

y=5x-3

x

y

x

y

GRÁFICA N° 14

Al comparar la gráfica N°14 con la N°1 podemos apreciar que la adición y sustracción de números enteros a toda una función, mas no al valor de x, la cambia siguiendo un patrón determinado.

En la función f(x)= 2x+2 se conservan todos los patrones que se observaron en el primer apartado sobre la función y=ax donde a ∈ N, a excepción de la intersección con el eje y, que pasó de (0;1) en y=2x a ser (0;3). Esto se debe a que la adición de cualquier valor que ∈ N a la función hace que esta se corra ese valor en todas las coordenadas de y, para dar el mismo resultado con el valor respectivo de x en la función y=2x, como se puede comprobar mediante la siguiente tabla.

x -1 0 0.5 1 2f(x)=2x 0.5 1 1.41 2 4

x -1 0 0.5 1 2f(x)=2x+2 2.5 3 3.41 4 6

TABLA N°16

Entonces en y=ax+d ≡ y=f(x)+d=ax

24

y=2x+2

y=2x-2

y=6x-π

y=3x-2

y=6x-0.25

y=3x+2

GRÁFICA N° 15

En la gráfica N°15 se aprecia mejor lo dicho anteriormente respecto a la gráfica N° Y. Además podemos ver que en las funciones de tipo f(x)=ax+d, donde d sea constante, sin importar el valor de a, mientras que

En la gráfica n°11 podemos apreciar más claramente que lo observado en la gráfica N°8. Además es visible que en las funciones de tipo f(x)=ax+c, donde el valor de c sea constante, sin importar el valor de a, mientras que ∈ Z, la intersección entre las funciones es (0;1+c).

Esto se demuestra por ejemplo con las funciones f(x)=2 x+2 y f(x)=3x+2, ambas tienen diferentes valores en la base de la potenciación pero el mismo valor para d, por lo que ambas se interceptan en el punto (0;3), como se explica en la siguiente tabla n°17, lo cual es el resultado del movimiento vertical, donde se conserva el punto de intersección entre todas las funciones exponenciales tipo y=ax, que en el apartado 1 se demostró porque era (0;1), en este caso pasó a ser (0;3).

x=0y=2x-2 y=-2y=3x-2 y=-2

TABLA N° 17

Este patrón comprueba la propiedad de transformaciones de funciones del marco teórico, traslación vertical hacia arriba y abajo. Sea f(x)=ax+d, donde a ∈ N, cuando a>0 hay un desplazamiento vertical hacia la arriba, y cuando a<0 ocurre un desplazamiento vertical hacia abajo.

Cabe resaltar que esto sucede sin importar el valor de d, mientras este pertenezca a los reales. Como se puede apreciar en las tablas n°18 y 19 , para racionales e irracionales respectivamente.

tablas n° 18 y 19

25

x=0y=6x-0.5 y=0.5y=5x-0.5 y=0.5y=4x-0.5 y=0.5

x=0y=6x- π y=-2.14y=5x- π y=-2.14y=4x- π y=-2.14

ENTEROS, RACIONALES E IRRACIONALES

GRÁFICA N°16

Podemos ver gracias a la gráfica n°16 que se mantienen las propiedades y patrones identificados en la

primera parte de este apartado, por lo cual las generalizaciones se amplían a los reales, a excepción

de los casos especiales que son los mismos que en el primer y segundo apartado.

ALCANCES Y LIMITACIONESSe presentan las mismas limitaciones que en el primer apartado, es decir los casos de las funciones que tienen como base (a) a los números 0; 1 ó tienen esta forma y=(-a)x+d, pues todos estos casos son especiales y no se subordinan a los patrones que se hallan, y la función y=(-a) x+d además de ser discontinua, presenta otra limitación, pues al intentar hallar algunos puntos que satisfacen la función, el resultado no existe dentro de los reales.

El principal alcance de este apartado es a que la adición de cualquier valor que ∈ R a la función hace que esta se corra ese valor en todas las coordenadas de y, para dar el mismo resultado en x, en cualquier función de tipo y=ax+d, a excepción de los casos especiales ya mencionados.

APARTADO 4Sea la función y=abx+c+d, graficaremos en este apartado la función con los valores que puede asumir d para encontrar patrones y generalizar.

26

x

y

Se ha colocado el valor de 0 a c y d porque estos valores solo trasladarían la función horizontal y verticalmente, lo cual complicaría el estudio del efecto de b, pues las transformaciones de estos dos tipos ya han sido estudiadas en los dos anteriores apartados.

x

y

GRÁFICA N°17

En esta gráfica podemos ver muy claramente el efecto de b en la función y=abx, que es el encogimiento de la función. Para entender el encogimiento hay que darnos cuenta que al coger una coordenada al azar de la función y=2x y multiplicar y.b, da el resultado de la coordenada equivalente en la función y=bx, pero esto solo si b>1 y b∈ ]-∞;-1].

Por ejemplo, al tomar la coordenada (1;2) de y=2x, multiplicamos 2.2 y obtenemos la coordenada (1;4), que es la coordenada correspondiente a la función encogida.

27

y=2-2X

y=20.5X

y=22Xy=2πx y=2X

x

y

y=28X

y=2xy=22x

GRÁFICA N° 18

Todas las funciones graficadas tienen la misma intersección con el eje y: (0;1). Todas las funciones de tipo y=abx+c+d, donde c y d tengan un valor de 0 y a ∈ N, tendrán la coordenada (0;1) en común como intersección con el eje y. Esto se debe a que siempre que x tome el valor de 0 para hallar la intersección con el eje y, la solución será 1, porque cualquier valor que tome b multiplicado por 0 dará 0 y al elevar la base a la potencia 0 el resultado será siempre 1.

Otra característica es que ninguna de las funciones corta al eje x, esto se debe a que ningún número natural elevado a un valor de x que pertenezca a los reales dará como resultado 0, a excepción de la que tenga como base de la potencia a 0. Entonces en las funciones de tipo y=abx+c+d, donde d tenga un valor de 0 y a ∈ N – {0}, y nunca valdrá 0 y la función no tendrá solución.

Sin embargo, al asignar valores negativos a d, la función podría trasladarse horizontalmente hacia abajo y cortar al eje x.

Si b>1, el crecimiento de la función será más cerrado, es decir, se encoge, donde mientras mayor sea el valor de b, más se encogerá la gráfica, pues a un menor valor de x hay valores más altos de y. Sin embargo, cuando -1>b<1, la función sufrirá un estiramiento, como se puede apreciar en la siguiente gráfica:

28

y=20.2X

x

yy = 2^x

y = 2^(0.5x)

y = 2^(0.1x)

Gráfica n°19

En esta gráfica vemos que cuando -1>b<1, la función se expande, y para comprobar esto tomamos cualquier punto de que satisface la función y=2x, en este caso (2;4) y multiplicamos del mismo modo que cuando ocurre engomiento, osea 4x0.5=2, y la coordenada correspondiente expandida es (2;2).

ENTEROS, RACIONALES E IRRACIONALES

GRÁFICA N°20

29

y=2x

y=20.5X

y=20.1x

y=2-0.1x

x

y

y=2x

y=π 0.5x

y=23

0.5x

y=-2 0.5x

Mediante gráfica n°20, vemos que el encogimiento ocurre también cuando la base de la función

exponencial, es decir a en y=abx, asume cualquier valor dentro de los reales, por tanto se aplican

también los patrones vistos anteriormente en este apartado.

ALCANCES Y LIMITACIONESSe presentan las mismas limitaciones que en el primer apartado, es decir los casos de las funciones que tienen como base (a) a los números 0; 1 ó tienen esta forma y=(-a)bx, pues todos estos casos son especiales y no se subordinan a los patrones que se hallan, y la función y=(-a) bx además de ser discontinua, presenta otra limitación, pues al intentar hallar algunos puntos que satisfacen la función, el resultado no existe dentro de los reales.

El principal alcance de este apartado es a que la multiplicación de un número a la variable que se encuentra en el exponente puede producir estiramiento y encogimiento en la función. Cuando b>1 ∧ b∈]-∞;-1], se produce un encogimiento, sin embargo, cuando -1>b<1 hay estiramiento, en las funciones de tipo y=abx, a excepción de los casos especiales ya mencionados.

APARTADO 5Sea la función y=kabx+c+d, graficaremos en este primer apartado la función con los valores que puede asumir k para encontrar patrones y generalizar.Graficaremos colocándole valores constantes a b, c y d y diferentes valores para k. A b se le asignará siempre 1, para que no modifique la función, pues sus efectos ya han sido analizados en el anterior apartado, y a c y d se les asignará el valor de 0 por la misma razón.

NATURALES

GRÁFICA N° 21

30

x

y

y = 2^x

y = 2*2^x

y = 2^x+1

y=2x

y=2X+1y=2.22X

En la gráfica N°21 podemos ver el efecto de k en la función y=kax. En el caso de y=2.2x, primero ocurre una traslación horizontal que se demuestra en y=2x+1 y luego hay un encogimiento que origina la nueva función. No se puede determinar exactamente un patrón en estas funciones, ya que es otro parámetro de traslación, pues hay varios movimientos que no siguen ningún patrón que determine exactamente como sucede el movimiento, sin embargo al probar con varias funciones de este tipo, se pueden hacer algunas generalizaciones.

GRÁFICA N°22

Podemos ver que el valor de k determina el punto de corte en el eje y, mientras que no se le asignen otros valores a la función y=kabx+c+d, pues si colocáramos un valor diferente a b, c y d, ya no se conservaría este patrón.

ENTEROS, RACIONALES E IRRACIONALES31

x

y

y=2.2xy=2.3x

y=3.4x

y=3.6x

Gráfica n°23

Sucede lo mismo cuando asignamos cualquier otro valor real a k, y se mantienen las generalizaciones hechas en este apartado.

ALCANCES Y LIMITACIONESSe presentan las mismas limitaciones que en el primer apartado, es decir los casos de las funciones que tienen como base (a) a los números 0; 1 ó tienen esta forma y=k(-a)x, pues todos estos casos son especiales y no se subordinan a los patrones que se hallan, y la función y=k(-a) x además de ser discontinua, presenta otra limitación, pues al intentar hallar algunos puntos que satisfacen la función, el resultado no existe dentro de los reales.

El principal alcance de este apartado es a que el valor de k determina el punto de corte en el eje y, mientras que no se le asignen otros valores a la función y=kabx+c+d

CONCLUSIONES

32

x

y

y= π.2x

y= 0.5πx

y= -0,75.2x

- En y=ax, donde a ∈ R, la función siempre tendrá un solo punto de intersección con el eje y: (0;1).

- y=ax es la función simétrica del eje y de y=(1a )x, mientras que a asuma valores reales.

- Ninguna función exponencial de tipo y=ax cortará el eje x, mientras a sea un número real.

- El dominio de las funciones y=ax siempre serán los IR y el rango ira de ]0;+oo [, a excepción de las discontinuas, las simétricas y los casos especiales.

- La adición de cualquier valor que ∈ R a la variable en el exponente hace que la función se corra ese valor con el símbolo contrario (+/-) en todas las coordenadas de x, para dar el mismo resultado en y.

- La adición de cualquier valor que ∈ R a la función hace que esta se corra ese valor en todas las coordenadas de y, para dar el mismo resultado en x, en cualquier función de tipo y=ax+d, a excepción de los casos especiales ya mencionados.

- La multiplicación de un número a la variable que se encuentra en el exponente puede producir estiramiento y encogimiento en la función. Cuando b>1 ∧ b∈]-∞;-1], se produce un encogimiento, sin embargo, cuando -1>b<1 hay estiramiento, en las funciones de tipo y=a bx, a excepción de los casos especiales ya mencionados.

- El valor de k determina el punto de corte en el eje y, mientras que no se le asignen otros valores a la función y=kabx+c+d

- http://es.scribd.com/doc/49873681/Transformaciones-de-funciones ENCOGIMIENTO PUEDE SER HORIZONTAL Y VERTICAL

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BIBLIOGRAFÌA

Páginas de internet

http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Funciones_crecientes_y_decrecientes (25 JUNIO 2012)

http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/VerContenido.aspx?ID=138540 (25 JUNIO 2012)

Libros

Larson Hostetler Edwards, CÁLCULO, octava edición, editorial McGraw Hill

Matemáticas previas al cálculo, primera edición (2005), editorial Universidad de Medellín

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