LABFISGE – Departamento Académico de Física Página 1

PÉNDULO FÍSICO 1. PROBLEMAS 1. Determinar el radio de giro alrededor del centro de masa de un péndulo físico. 2. Determinar la aceleración de la gravedad local mediante uso del péndulo físico. 2. CONCEPTOS RELACIONADOS Péndulo Simple Un péndulo simple es un modelo idealizado que consiste en una masa puntual suspendida de un hilo sin masa no estirable. Si la masa se mueve a un lado de su posición de equilibrio (vertical), oscila alrededor de dicha posición. Situaciones familiares como una bola de demolición en el cable de una grúa, la plomada de un teodolito y un niño en un columpio pueden modelarse como péndulos simples. La trayectoria de la masa puntual (llamada pesa) no es recta, sino el arco de un círculo de radio L igual a la longitud del hilo. Usamos como coordenada la distancia x medida a lo largo del arco. Si el movimiento es armónico simple, la fuerza restauradora debe ser directamente proporcional a x (porque x=Lθ) o a θ. En la figura representamos las fuerzas sobre la masa en términos de las componentes tangencial y radial. La fuerza restauradora F es la componente tangencial de la fuerza neta:

(1) Fuerza sobre la pesa de un péndulo simple. La fuerza restauradora se debe a la gravedad; la tensión T sólo actúa para hacer que la masa puntual describa un arco. La fuerza restauradora es proporcional, no a θ sino a senθ, así que el movimiento no es armónico simple. Sin embargo, si θ es pequeño, senθ es casi igual a θ en radianes. Por ejemplo, si θ=0.1 rad (unos 6°), sen&=0.0998., una diferencia de sólo 0,2%. Con esta aproximación, la ecuación (1) se convierte en

o sea,

(2)

La fuerza restauradora es entonces proporcional a la coordenada para desplazamientos pequeños, y la constante de fuerza es k=mg/L. La frecuencia angular w (análogo al movimiento oscilatorio producido en una masa m por un resorte elástico) de un péndulo simple para una amplitud pequeña es:

(péndulo simple, amplitud pequeña) (3)

Las relaciones de frecuencia y periodos correspondientes son:

(péndulo simple, amplitud pequeña) (4)

LABFISGE – Departamento Académico de Física Página 2

(Péndulo simple, amplitud pequeña) (5)

Observe que en estas expresiones no interviene la masa de la partícula, porque la fuerza restauradora, una componente, del peso de la partícula, es proporcional a m. Así, la masa aparece

en ambos miembros de y se cancela. (El principio físico es el mismo que hace que dos cuerpos con diferente masa caigan con la misma aceleración en el vacío). Si la oscilación es pequeña, el periodo de un péndulo para un valor dado de g depende sólo de su longitud. La dependencia de L y g en las ecuaciones (3) a (5) es justo lo esperado. Un péndulo largo tiene un periodo más largo que uno corto. Si aumenta g aumenta la fuerza restauradora, causando un aumento de la frecuencia y una disminución del periodo. Subrayamos otra vez que el movimiento de un péndulo es sólo aproximadamente armónico simple. Pero, ¿Qué tan pequeña es "pequeña"? El periodo puede expresarse con una serie infinita; si el desplazamiento angular máximo es θ, el periodo T esta dado por

(6)

Podemos calcular el periodo con la precisión deseada tomando suficientes términos de la serie. Compruebe que si θ= 15° (cada lado de la posición central), el periodo verdadero es más largo que el dado por la ecuación (5) en menos del 0.5%. La utilidad del péndulo en los relojes depende de que el periodo sea prácticamente independiente de la amplitud, siempre que ésta sea pequeña. Así, al perder impulso un reloj de péndulo y disminuir un poco la amplitud de las oscilaciones, la exactitud del reloj casi no se altera. La fuerza restauradora para un péndulo simple, F=-mgsenθ (línea curvada) se puede aproximar con F=-mgθ (línea recta) para valores pequeños de θ. Así, si los ángulos son pequeños, la fuerza restauradora es aproximadamente proporcional a θ, y las oscilaciones son armónicas simples. Un péndulo simple, o una variante de éste, también es un método preciso y práctico para medir la aceleración debida a la gravedad, g, pues es fácil medir con precisión L y T. Tales mediciones son comunes en geofísica. Los depósitos locales de mineral o petróleo afectan el valor local de g por que su densidad difiere de la del entorno. Las mediciones precisas de esta cantidad en el área estudiada a menudo proporciona información valiosa sobre la naturaleza de los depósitos subyacentes. Péndulo Físico Un péndulo físico es cualquier péndulo real que usa un cuerpo de tamaño finito, en contraste con el modelo idealizado de péndulo simple en el que toda la masa se concentra en un punto. Para

LABFISGE – Departamento Académico de Física Página 3

pequeñas oscilaciones, el análisis del movimiento de un péndulo real es casi tan fácil como el de uno simple. La figura muestra un cuerpo de forma irregular que puede girar sin fricción alrededor de un eje que pasa por el punto O. En la posición de equilibrio el centro de gravedad está directamente por debajo del pivote; en la posición mostrada en la figura, el cuerpo está desplazado del equilibrio un ángulo θ que usamos como coordenada para el sistema. La distancia de O al centro de gravedad es d, el momento de inercia del cuerpo alrededor del eje de rotación es I y la masa total es m. Cuando el cuerpo se desplaza como se muestra, el peso mg causa un momento de torsión de restitución

(7) El signo negativo indica que el momento de torsión es horario si el desplazamiento es antihorario, y viceversa. Si se suelta el cuerpo, oscila alrededor de su posición de equilibrio. El movimiento no es armónico simple porque el momento de torsión r es proporcional a sen6, no a 0, pero sí O es pequeño podemos aproximar senθ por θ en radianes, y el movimiento es aproximadamente armónico simple. Entonces,

La ecuación del movimiento es , así que

(8)

El papel de (k/m) en el sistema masa resorte lo desempeña aquí la cantidad (mgd/I), así que la frecuencia angular está dada por:

(péndulo físico, amplitud pequeña) (9)

La frecuencia f es 1/2π veces esto, y el periodo T es

(péndulo físico, amplitud pequeña) (10)

La ecuación (10) es la base de un método común para determinar experimentalmente el momento de inercia de un cuerpo que tiene una forma compleja. Primero se localiza el centro de gravedad del cuerpo por balanceo. Luego se suspende el cuerpo de modo que oscile libremente alrededor de un eje, y se mide el periodo T de las oscilaciones de amplitud pequeña. Usando la ecuación (9), puede calcularse el momento de inercia I del cuerpo alrededor de ese eje a partir de T, la masa del cuerpo m y la distancia d del eje al centro de gravedad. Los investigadores en biomecánica usan este método para calcular los momentos de inercia de los miembros de un animal. Dinámica de un péndulo simple

LABFISGE – Departamento Académico de Física Página 4

Teorema de ejes paralelos El teorema de ejes paralelos afirma que el momento de inercia respecto a cualquier eje que sea paralelo al eje que pasa por el centro de masa y se encuentra a una distancia L de él, es:

I = Ic+mL2 (11)

Donde IC es el momento de inercia respecto al centro de masa. Si:

Ic=mK2 (12) con K= radio de giro alrededor del centro de masa. La ecuación (11) queda:

l = m(K2 + L2) (13) Reemplazando (13) en (10),

(14)

Se pueden usar estos resultados para medir el radio de giro y el momento de inercia de cuerpos planos. Si se localiza el centro de masa y se mide L, se pueden obtener de una medida del periodo. La ecuación (14) se reduce a la del periodo del péndulo simple cuando K = 0, es decir, cuando toda la masa se concentra en el centro de masa (K de una masa puntual es cero). 3. METODOLOGÍAS Y TÉCNICAS Un péndulo físico se desvía ligeramente de su posición de equilibrio y se deja oscilar libremente. Se mide el semiperiodo de oscilación para valores fijos de la distancia entre los puntos de suspensión y el centro de masa. Disponer el equipo como se muestra en la figura. Calibrar el cronómetro a cero. Medir la distancia (L) entre los puntos de suspensión (hueco en el que se colocó el eje de giro) y el centro de la masa del péndulo. Desviar el péndulo físico, un ángulo pequeño alrededor de su posición de equilibrio; luego soltarlo (cuando el péndulo cruce el haz de luz, se activará automáticamente el cronómetro digital, y al regresar por el mismo haz, quedará registrado el tiempo correspondiente a un semiperiodo). Detener el péndulo físico cuando regrese a la posición desde la cual se soltó. 4. DISPOSITIVOS, INSTRUMENTOS Y MATERIALES 1 péndulo físico (varilla rectangular, 2 masas cilíndricas, base sujeta a la pared con eje triangular (pivote)). 1 cronómetro digital con sensor de barrera fotoeléctrica. 1 regla milimetrada 1m/mm.

LABFISGE – Departamento Académico de Física Página 5