Método minimo cuadrados.- La receta minima cuadrática que ajusta el conjunto de puntos (X1 , y1) , (X2 , y2) , ….. , (xn , yn) tiene por ecuación:

Y=m.x+b

Donde la constante m y b se determinan resolviendo las dos siguientes ecuaciones, llamadas ecuaciones normales.

∑ Yi = bN + m∑ Xi

∑ XiYi = b∑ Xi + m ∑ X i2

Resolviendo este sistema de ecuaciones obtenemos:

Primero se construye una tabla de la forma:Tabla N° 02: Tabla de datos

i xi yi xiyi x i2

1 x1 y1 x1y1 x12

2 x2 y2 x2y2 x22

n Xn yn xnyn xn2

∑ n∑ x i ∑ yi ∑ x iyi ∑x i2

Y luego procedemos a calcular las sumarotias para cada columna de datos.

Luego se calcula la pendiente y el intercepto.

En el segundo caso, cuando la distribución de puntos en el papel milimentrado no es de tendendia lineal; se pasan los datos de la tabla a un papel logarítmico o semilogaritmico, en algunos de estos papeles la distribución de los puntos saldrá una recta.

2.5.2Ajuste de una curva no lineal

Parábola minima cuadrática.- Para este caso el ajuste se hara a una función parabólica.

F(x) = y = a+ bx + cx2

(13)Para obtener las ecuaciones normales que permitan calcular los coeficientes a, b y c se procede de manera similar que para el caso de la recta minimo cuadrático, tratando que:

S=D12 + D2

2 + D32 +….+ Dn

2 Tome el valor minimo

Asi resulta:

∑ Yi = a N + b ∑ Xi + c ∑ X i2

(14)

∑ XiYi = a ∑ Xi + b ∑X i2 + c ∑X i

3 (15)

∑X i2Yi = a ∑X i

2 + b ∑X i3+ c ∑X i

4 (16)

Las constantes a, b y c se ontiene resolviendo las ecuaciones (14), (15) y (16).

Función potencial.- una función potencial de la forma:(17)

Y = A.XB

Podríamos linealizar esta función aplicando logaritmos a ambos lados y obtener:

log Y = log A + B.logX (18)

Y si reemplazamos:

y = log Y, m = B, x= log X y b = log A (19)

Obtenemos la ecuación de la recta y = m.x + b

Función exponencial.- Una función exponencial es de la forma:

Y = A.Bxo Y = A.eB (20)

Para linealizar podemos tomar logaritmos decimales.

a) Sea Y = A.Bx se toma logaritmos decimales

Log Y = log A + (log B)x (21)

Haciendo las equivalencias siguientes:

Y = log Y, b = log A, m = log B x = X (22)

b) Sea Y = A.eBx se toma logaritmo natural (*)

ln Y = ln A + BX (23)

Ahora las equivalencias son las siguientes:

y = ln b = ln A m= B x = X (24)Teniendo la ecuación y = m.x + b, la cual fue tratada en las ecuaciones (11) y (12).Obs: El papel logarítmico (escala de potencias de 10) está relacionado con las funciones logarítmicas decimales, con lo cual, en el ítem b) aplicando la función logarítmico natural a la ecuación Y = A.eBx para la linealización no sería apropiada grafícarla en papel logarítmico.

2.6. FUNCIONES

a) Función Lineal.- La ecuación de una recta está definida por:

y = m x + bEn donde las constantes a determinar son: m la pendiente de la recta y b la ordenada en el origen (intercepto), siguiendo el procedimiento que se detalla a continuación.

Tal es el caso del lanzamiento vertical hacia abajo, cuya ley de movimiento está dada por:

v = g t + v 0

Si se realiza tal experiencia y se toman valores de v = f(t) se observará que al graficar la tabla de valores de v y t, obtendremos una recta (ver figura N° 04). Dicha recta nos permitirá determinar la aceleración de la gravedad g a través del cálculo de su pendiente. Además se podrá determinar v0 haciendo una extrapolación de la recta obtenida hasta cortar el eje vertical.

(25)

Por lo tanto para graficar una función tal como la indicada, se utilizará papel milimetrado (papel de uso más común cuyos ejes son ambos lineales, es decir, las divisiones están igualmente espaciadas).

v(cm/s) A

t

t (s)

g:_____

a)

ÿ - m x + b (26)

t

At Av8 = TT

b) Figura N° 04: Gráfica de la función v = g t + v0