UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

FACULTAD DE INGENIERÍA CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA

INSTITUTO SUPERIOR DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN

MAESTRÍA EN DOCENCIA UNIVERSITARIA EN CIENCIAS DE LA INGENIERÍA

PROYECTO DOCENTE

“Campo y Potencial Eléctrico”

Trabajo presentado para optar por la promoción de Educación Virtual y Técnicas de Multimedia.

TUTORA:

MSc. Sandra Sánchez

AUTOR:

Jofre Antonio Robles Pachacama

2 009

Quito – Ecuador

FÍSICA

2 009 – 2 010

CAMPO ELÉCTRICO Y POTENCIAL ELÉCTRICO

CAPÍTULO I

CAMPO ELÉCTRICO

Se denomina Campo Eléctrico ( E ), a la región del espacio donde se pone de manifiesto los fenómenos eléctricos, dicha región situada en las proximidades de un cuerpo cargado posee unas propiedades especiales. Si se coloca en cualquier punto de dicha región una carga eléctrica de prueba, se observa que se encuentra sometida a la acción de una fuerza. Este hecho se expresa diciendo que el cuerpo cargado ha creado un campo eléctrico y no depende de la presencia de la carga de prueba en dicho punto, siempre considerada como positiva, por lo tanto podemos decir que en un punto del espacio existe un campo eléctrico cuando sobre una carga q’ colocada en dicho punto, se ejerce una fuerza de origen eléctrico. MOVIMIENTO DE CARGAS EN UN CAMPO ELÉCTRICO El campo eléctrico creado por una carga positiva q en un punto P1 donde se supone que se coloca una carga positiva q’, tiende a desplazarse en el sentido de este campo ya que tenderá el sentido de la fuerza y si el campo eléctrico es creado por una carga negativa q en el mismo sitio, tiende a desplazarse en sentido contrario.

CAMPO ELÉCTRICO ORIGINADO POR CARGAS PUNTUALES

E3

P4

P3

P2

P4

P2

E2

E4

E2

E4

q

E1

P1q

GRÁFICO

+ – E3

E1 P3

P1

Campo Eléctrico de una carga puntiforme o puntual. La intensidad de campo eléctrico en un punto se define como la fuerza que actúa sobre la unidad de carga situada en él. En forma matemática está expresada de la siguiente manera: E = F / q ; en donde se considera que el campo eléctrico es de naturaleza vectorial, por lo tanto su dirección y sentido viene dada por la dirección y sentido de la fuerza que actúa sobre una carga positiva colocada en el punto P.

Si el campo eléctrico en el punto P está dada por la relación F / q’, podemos deducir su ecuación matemática en función de la carga eléctrica ( q ) que produce dicho campo , así: E = F / q’ A ; F = [(k q q’) / r2] B Remplazando la ecuación B en la ecuación A E = [(k q q’) / r2] / q’ E = (k q ) / r2; Forma escalar E = [(k q ) / r2] ur ; Forma vectorial; k = 1 / 4 π ε 0 E = [( q r -2 ) / 4 π ε 0] ur ; Forma vectorial UNIDADES Y DIMENSIÓN FÍSICA La intensidad de campo eléctrico esta definida en forma matemática por la relación F / q’; por lo tanto la unidad de esta cantidad vectorial es N / C; y si tomamos en cuenta la ecuación E = (k q ) / r2, la deducción de su unidad será:

P

E = F / q’

+

q’ q

r

GRÁFICO

F +

E = ( k q ) / r2 ; k = ( N m2 C-2 ); q = ( C ); r = ( m ) E = ( N m2 C-2 C / m2 ) E = ( N / C ) Intensidad de Campo Eléctrico = newton por coulombio. Para determinar la dimensión física de esta magnitud tenemos que considerar la relación anterior; E = F / q’, en donde la fuerza F tiene como unidades kg m / s2 y la carga q la unidad C = A s. Entonces: [ E ] = [ N ] / [ C ] [ E ] = [ kg m / s2 ] / [ As ] [ E ] = [ kg m / s2 A s ] [ E ] = M L T-3 I-1 E e LM T-3 I-1 Campo Eléctrico creado por varias cargas puntuales. El campo eléctrico originado por varias cargas puntuales, se obtiene mediante una suma vectorial de cada uno de los campos parciales E 1, E 2, E 3 , ... E n, producidos en forma individual por las cargas q1, q2, q3,... q n, entonces: E T = E 1 + E 2 + E 3 + ... + E n Para calcular el valor de cada campo eléctrico originado por las diferentes cargas puntuales, lo realizaremos mediante la expresión E = ( k q ) / r 2; Forma escalar.

+

-

+

q 3

P

E 3

E 2

E 1 y

x

q 2 q 1

GRÁFICO

r 3

r2 r1

CAMPO ELÉCTRICO DE UNA CARGA ESFÉRICA Para calcular el campo eléctrico en un punto P exterior a la esfera, se puede considerar que toda la carga se encuentra concentrada en su centro como si se tratase de una carga puntual, su magnitud estará dada por: E = ( k q ) / r 2 y si se trata de un punto colocado muy cerca de la superficie de la esfera , su distancia al centro de está es igual a R que corresponde al radio de la esfera, entonces el campo eléctrico en este punto estaría expresado así: E = ( k q ) / R 2.

LINEAS DE FUERZA Las líneas de fuerza eléctricas indican la dirección y el sentido en que se movería una carga de prueba positiva si se situara en un campo eléctrico.

GRÁFICO

+ + + + + + + R +

q

r P E

E = ( k q ) / r2 E = ( k q ) / R2

GRÁFICO

En este diagrama se pueden observar las líneas de fuerza de un campo eléctrico creado por dos cargas de signo opuesto. Una carga de prueba positiva sería atraída por la carga negativa y repelida por la positiva. Por eso, se puede decir que las líneas de campo eléctrico salen de las cargas positivas (ya que éstas repelen la carga de prueba positiva) y llegan a las cargas negativas (porque éstas atraen a la carga de prueba positiva).

CAMPO ELÉCTRICO UNIFORME

Si se considera dos placas planas y paralelas que se encuentran separadas una distancia pequeña en comparación a sus dimensiones, las mismas que se encuentran uniformemente electrizadas con cargas de la misma magnitud pero de signos contrarios, sus líneas de fuerza serán paralelas entre sí y perpendiculares a las placas por razones de simetría; como la distancia de separación entre las láminas es constante, el campo eléctrico es también constante y no varía cuando pasamos de un punto a otro, estando orientado siempre de la placa con carga positiva a la placa con carga negativa.

APLICACIONES

Al poner en funcionamiento la máquina electrostática de Whimshurst, circulan cargas eléctricas por los conductores que se encuentran conectados, los otros extremos lo colocamos dentro del recipiente que contiene aceite y semillas de pasto, observamos que en el campo eléctrico se forman las líneas de fuerza naciendo en una carga positiva y se dirige a una carga negativa; como ocurre en un campo magnético.

+ + + + + + + + + + +

- - - - - - - - - - -

P E

+

-

r

q F

F q

Los conductores están conectados a la máquina electrostática de Whimshurst, las líneas de fuerza no se aprecian en la fotografía muy bien, pero podemos observar en el conductor de la izquierda el mismo que tiene una forma de circunferencia, en el centro no se encuentran líneas de fuerza, ya que no solo no hay cargas eléctricas sino que tampoco hay campo eléctrico, pues el mismo se detiene en la superficie de los conductores. “Este experimento realizaron las estudiante de sexto curso”. LEY DE GAUSS Gauss Karl Friedrich, fue un notable personaje cuyo talento excepcional se hizo notar desde temprana edad y antes de los 20 años había hecho varias contribuciones importantes que lo llevaron a la altura intelectual de científicos como Arquímedes, Newton y Euler, ya que enfocó sus esfuerzos a una considerable variedad de problemas, desde la teoría de los números, pasando por la geometría abstracta y la teoría de la probabilidad hasta los cálculos astronómicos y el magnetismo terrestre. La ley de Gauss no solo simplifica la solución de muchos problemas electrostáticos, sino que también es válida para las cargas en movimiento, mientras que la ley de Coulomb se restringe al caso estático. Enunciado: La componente perpendicular del campo eléctrico sumada en cualquier superficie cerrada es igual a 4 π k veces la carga neta encerrada en esa superficie. Ф = E A ; A = 4 π r 2 Ф = [ ( k q ) / r 2 ] . ( 4 π r 2 ) Ф = 4 π k q Ф = Flujo de campo eléctrico E = Campo eléctrico A = Superficie de Gauss

La ley de Gauss relaciona el flujo neto de un campo eléctrico que pasa por una superficie cerrada (superficie de Gauss) con la carga neta q que es encerrada por esa superficie. Expresada en símbolos, la ley de Gauss es Σ ( E ┴ Δ A ) = q / ε0 Ф = E A Ф = E A ; E = (k q ) / r2 Ф = ( k q ) / r 2 . A ; k = 1 / 4 π ε0

Ф = q / 4 π ε0 r 2 . A ; A = 4 π r 2 Ф = ( q / 4 π ε0 r 2 ) ( 4 π r 2 ) Ф = ( q / ε0 ); Su unidad [ N m 2 C -1 ] Densidad de carga.- Puesto que la mayoría de los conductores cargados tienen grandes cantidades de carga sobre ellos, no es práctico tratar individualmente cada una de dichas cargas puntuales, por lo tanto se habla de la densidad de carga ( σ ), la misma que es definida como la carga por unidad de área de superficie, su ecuación es: σ = q / A; y su unidad coulombio por metro cuadrado [ C / m 2 ].

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Ejemplo 01: ¿Cuál es el campo eléctrico originado por una carga q en un punto P situado a una distancia x1, si esta se duplica?

E

GRÁFICO

E = q / 4 π ε0 r 2

ESFERA

r

q

Superficie esférica de Gauss centrada en una carga puntual q.

SOLUCIÓN

SI x2 es ahora 2 ( x1 ), ecuación A; E 1 = ( k q ) / ( x1 )2 , ecuación B y E2= ( k q ) / ( x2 )2 , ecuación C. Entonces: E2= ( k q ) / (x2)2 ; x2 = 2 (x1) E2= ( k q ) / (2 x1)2 E2= ( k q ) / 4 (x1)2 E2= (1 / 4 ) ( k q / ( x1 )2 ); E 1 = ( k q ) / ( x1 )2 E2= (1 / 4 ) E1 ANÁLISIS DE LA RESPUESTA Analizando la respuesta, se afirma que el campo eléctrico 2 es igual a la cuarta parte del campo 1, porque el el campo eléctrico es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia de separación, por lo tanto si se duplica el campo se reduce a la cuarta parte, si se triplica la distancia el campo se reduce a la novena parte, etc. Ejemplo 02: Una carga de 4 μC se coloca en x = 0, y = 20 cm, y una carga de - 2 μC en x = 20 cm, y = 0. Calcule el campo eléctrico en el origen.

SOLUCIÓN E 1 = (k q1 ) / r2 E2 = (k q2 ) / r2 E = ( 9.10 9 4.10-6 ) / ( 2.10-1 )2 E = ( 9.10 9 2.10-6 ) / ( 2.10-1 )2 E = 36.103 / 4.10-2 E = 18.103 / 4.10-2

+

-

( 0 , 20 ) cm

E1

ET

(0,0)

q2

y

E2

x ( 20 , 0 ) cm

q1

E = 9.103.102 N/C E = 4,5.103.102 N/C E = 9.105 N/C E = 4,5.105 N/C

ET = E 1 + E 2

(ET) 2 = (E 1) 2 + (E 2) 2

2525 )10.5,4()10.9( +=ET

1010 10.25,2010.81 +=ET

1010.25,101=ET

CNET

CNET/10.01,1

/10.06,106

5

=

=

Ejemplo 03: Un electrón es acelerado, a partir del reposo, por un campo eléctrico uniforme E = 5.105 N / C; la carga del electrón es 1,602.10 -19 C y su masa 9,109.10 -31 kg, determine: a) La aceleración adquirida por esta partícula. b) El tiempo que tarda el electrón en alcanzar una velocidad igual al 10 % de la velocidad de la luz.

SOLUCIÓN

Para determinar la solución de este problema, en primer lugar analizaremos los datos que estén en un mismo sistema de unidades y luego recurriremos a los prerrequisitos, siendo las expresiones matemáticas de dinámica, M. R. U. A. y los temas estudiados en este capítulo.

+ + + + + + + + + + +

- - - - - - - - - - -

E

-

F a

q

GRÁFICO

( ) ( )

mx

x

x

x

x

aacbbx

6828,02

3656,12

5656,08,01

25656,08,0

232,08,02

32,064,08,01.2

)08,0(1.48,08,0

24

2

2

==+

=

±=

±=

−±=

−−±−−=

−±−=

Planteamos la ecuación de campo eléctrico. Planteamos la ecuación. de la velocidad a) E = F / q b) v = vo + a . t ; vo = 0 F = E . q v = a.t F = 5.105 . 1,602.10 -19 t = v / a ; v = 3 . 10 8 m / s F = 8 . 10 -14 N t = ( 0,1 ) 3 . 10 8 / 8,78 . 10 16 Planteamos la ecuación de la fuerza. t = 0,3 . 10 8 / 8,78 . 10 16 F = m . a t = 0,034 . 10 8 . 10 - 16 a = F / m t = 0,034 . 10 – 8 s a = 8 . 10 -14 / 9,109.10 -31 t = 3,4 . 10 – 10 s a = 0,878 . 10 -14 . 10 31 a = 0,878 . 10 17 m / s2

a = 8,78 . 10 16 m / s2

Ejemplo 04: Dos cargas de + 16μC y + 8 μC están separadas 200 mm en aire. ¿En qué punto entre las cargas la intensidad de campo eléctrico es cero?

SOLUCIÓN

El campo eléctrico producido por la carga 1 es E1 y el campo eléctrico producido por la carga 2 es E2; entonces para determinar en qué lugar sobre la recta el campo total es nulo, tenemos que analizar de la siguiente manera: si ubicamos el punto P a la izquierda de la q1 el campo total es la suma de - E1 y - E2, tendrá dirección hacia la izquierda y si ubicamos el punto P a la derecha, también el campo total será igual a la suma de los campos E1 y E2 cuyo sentido será hacia la derecha. Entonces si P lo ubicamos entre las cargas, se tendrá la posibilidad que en algún sitio E1 = E2 por lo tanto el campo total será nulo o igual a cero. ET = E 1 - E 2 E 1 = E 2 ; ET = 0 en el punto P.

+ +

200 mm

GRÁFICO

200 - x

x

E 2 E 1q 2 = +8.10-6 Cq 1 = +16.10-6 C

P

( )( )( )

008,08,0008,08,02

28,008,04,004,02

84,004,0164,004,0

816)4,004,0(

10.8.10.910.16.10.9)2,0(

21

2

22

22

22

22

22

2

69

2

69

22

=+−

=+−−

=+−

=+−

=+−

+−=

+−=

−=

−−

xxxxx

xxxxxx

xxxxxx

xxx

xkq

xkq

ANALISIS DE LAS RESPUESTAS La raíz x 1 = 0,682 8 m = 682,8 mm no se considera como respuesta porque la distancia está fuera de las cargas puntuales donde el campo eléctrico total no es nulo, entonces la respuesta es la que corresponde a la raíz x 2 = 1,172 m = 117,2 mm; es decir el campo eléctrico total es nulo, cuando esta ubicado a esta distancia a partir de la carga q1 como se indica en el gráfico. Ejercicio 05: Una esfera conductora uniformemente cargada, de 0,4 m de diámetro, tiene una densidad superficial de carga de 8μC / m 2. ¿Cuál es el número total de líneas de fuerza que parten de la superficie de esta esfera?

E

GRÁFICO

σ = (q / A) = ε0 E

ESFERA

D

q

SOLUCIÓN σ = q / A ( q / A ) = σ q = σ A; A = 4 π R 2, R = D / 2 q = σ . 4 π ( D / 2 ) 2 q = 8 . 10 -6 . 4 ( 3, 141 6 ) [ ( 4 . 10 -1 ) / 2 ] 2 q = 8 . 10 -6 . 4 ( 3, 141 6 ) ( 4 . 10 -2 ) q = ( 4, 021 ) 10 -6 C

CAPÍTULO II

POTENCIAL ELÉCTRICO

En el capítulo de mecánica se simplificaron notablemente los problemas estudiados al introducir el concepto de energía potencial gravitacional. En electricidad, pueden resolverse muchos problemas si se consideran los cambios de energía que experimenta una carga en movimiento. DIFERENCIA DE POTENCIAL ELÉCTRICO La diferencia de potencial también es conocida como tensión o voltaje cuyo símbolo es V. Se define como potencial eléctrico en un punto al trabajo realizado sobre la unidad de carga al desplazarla desde el infinito hasta dicho punto. En otras palabras es el trabajo que representa una cantidad de energía de la fuerza eléctrica, que imparte a la carga en su desplazamiento desde A hasta B. La diferencia de potencial eléctrico entre los puntos A y B está dada por la expresión VA – VB = TAB / q’ .

Cuando un campo eléctrico realiza un trabajo TAB sobre una carga de prueba positiva, la cual se desplaza desde un punto A hasta un punto B, la diferencia de potencial eléctrico (VAB) entre esos puntos, se obtiene mediante la relación del trabajo realizado (TAB) y el valor de la carga q’ que se desplazó, la cual esta expresada en forma matemática de la siguiente manera. VAB = TAB / q’.

Podemos destacar en el gráfico anterior que una carga positiva que se suelta en un campo eléctrico, tiende a desplazarse de los puntos donde el potencial eléctrico es mayor (A) hacia los puntos donde el potencial eléctrico es menor (B), y una carga negativa tenderá a moverse en sentido contrario, es decir, de los puntos donde el potencial eléctrico es menor (B) hacia aquellos puntos donde el potencial es mayor (A). UNIDADES Y DIMENSIÓN FÍSICA En cuanto a las unidades del potencial eléctrico, el trabajo esta expresado en julios (J) y la carga q’ en coulombios (C), por lo tanto la unidad de potencial es el voltio (V).

+ + + + + + + + +

A B+

F

q’

GRÁFICO

q

VAB = TAB / q’. VAB = ( J ) / ( C ) VAB = ( V ) Siendo su dimensión física: [ VAB ] = [ V ] [ VAB ] = [ J ] / [ C ] [ VAB ] = [ N m ] / [ A s ] [ VAB ] = [ kg m s-2 m ] / [ A s ] [ VAB ] = [ kg m s-2 m A-1 s-1 ] [ VAB ] = [ kg m2 s-3 A-1 ] [ VAB ] = [ M L2 T-3 I-1 ] VAB e M L2 T-3 I-1

POTENCIAL ELÉCTRICO EN UN PUNTO Para determinar el potencial en un punto tenemos que considerar la diferencia de potencial entre un punto A y otro que se toma de referencia, entonces para calcular el potencial en dicho punto, cogemos arbitrariamente un punto P, donde se le atribuye un potencial nulo es decir VP = 0, por lo tanto la diferencia de potencial eléctrico entre los puntos A y P será: VAP = VA - Vp; Vp=0. El potencial en A en relación a P es: VAP = VA; se puede notar que el potencial en un punto no tiene un valor único ya que depende del nivel de referencia que se escoja. Si VA = 0, entonces VAP = - VP. POTENCIAL ELÉCTRICO E INTENSIDAD DE CAMPO Si tenemos dos placas paralelas separadas una distancia r y están electrizadas con cargas iguales y de signo contrario, entonces existirá un campo eléctrico uniforme E, dirigido de la placa cargada positivamente hacia la placa con carga negativa. Para calcular el potencial eléctrico entre dos placas, soltamos una carga puntual de prueba positiva q junto a la placa A y determinaremos el trabajo que el campo realiza sobre dicha carga, cuando se desplaza hasta la placa B, debemos considerar que el desplazamiento de la carga entre las dos placas debe tomarse en dirección paralela al vector E.

El campo eléctrico es uniforme, por lo tanto el trabajo que realiza la carga al desplazarse de A hasta B, (TAB) es igual a F . r; pero conocemos también que la fuerza eléctrica F que actúa sobre q permanece constante mientras se desplaza la carga, entonces F = E . q . Como la fuerza eléctrica tiene la misma dirección y sentido que el desplazamiento tenemos: TAB = F . r ; Ecuación 1 F = E . q; Ecuación 2 Remplazamos la ecuación 2 en la ecuación 1: TAB = E q . r ; TAB / q = E . r ; V AB = T AB / q V AB = E . r ; su unidad es el voltio ( V ). En el estudio de Campo Eléctrico, su unidad estaba determinada por newton por coulombio ( N / C ); pero por la ecuación antes encontrada VAB = E.r , si despejamos el campo eléctrico E tenemos: E = V / r denominado Gradiente de Potencial, su unidad es voltio por metro (V / m ). Podemos demostrar entonces que las unidades [ N / C] = [ V / m ]; F / q = V / r ( N / C) = ( V / m ); ( V ) = ( J / C ) ( N / C) = ( ( J / C ) / m ); ( J ) = ( N m ) ( N / C) = ( ( N m / C ) / m ) ( N / C) = ( N m / m C ) ( N / C) = ( N / C )

POTENCIAL ELÉCTRICO DEBIDO A UNA CARGA ELÉCTRICA PUNTUAL

El potencial eléctrico V en un punto a una distancia r de una carga q es igual al trabajo por unidad de carga realizado en contra de las fuerzas eléctricas al traer una carga positiva desde el infinito a dicho punto. En otras palabras, el

+ + + + + + + + + + +

- - - - - - - - - - -

E

+

r

q F

A GRÁFICO

B

;1∑=

=n

iTP ViV

;1∑=

=n

i i

iTP r

kqV

potencial eléctrico en algún punto P, es igual a la energía potencial por unidad de carga, lo cual debemos considerar para la deducción de la ecuación V = k q / r. Debe tenerse en cuenta que:

El origen de potenciales ( potencial nulo ) se considera situado en el infinito.

El potencial eléctrico, a diferencia de la fuerza y el campo eléctrico, es una magnitud escalar.

El potencial creado por un carga puntual positiva es positivo. El potencial creado por un carga puntual negativa es negativo.

DEDUCCIÓN DE LA ECUACION DEL POTENCIAL VP = T / q’; Ecuación 1. T = F . r ; Ecuación 2. F = E . q’; Ecuación 3 VP = F r / q’ ; Remplazo ecuación 2 en la ecuación 1 y luego ecuación 3. VP = E q’ r / q’ ; Remplazo E = (k q ) / r2 en la ecuación. VP = [ ( k q ) q’ r / r2 q’) ] VP = [ ( k q ) / r ] VP = ( k q ) / r ; k = 1 / 4 π ε 0 VP = q / 4 π ε 0 r

POTENCIAL ELÉCTRICO DEBIDO A UN SISTEMA DE CARGAS

El potencial eléctrico originado en un punto por varias cargas puntuales eléctricas, se determina utilizando la ecuación anteriormente demostrada, ya que el potencial es un escalar y obedece al principio de superposición, entonces el potencial eléctrico total en dicho punto P, es igual a la suma algebráica de sus potenciales parciales originados por las diferentes cargas: V T P = V 1 + V 2 + V 3 + . . . + V n

+

VP = k q / r

GRÁFICO

r

EP

q

VT P = [( k q 1) / r1] + [ ( k q2) / r2] + [ ( k q3) / r3] + ... + [ ( k q n) / r n]

De acuerdo al gráfico anterior, podemos determinar el potencial eléctrico total en el punto P originado por tres cargas puntuales: VT P = [ k ( - q 1) / r1 ] + [ ( k q2 ) / r2 ] + [ k ( - q3) / r3 ]. La diferencia de potencial entre dos puntos de un circuito se mide con un voltímetro, instrumento que se coloca siempre en derivación entre los puntos del circuito cuya diferencia de potencial se quiere medir. ENERGÍA DE POTENCIAL ELÉCTRICO La conservación de la energía mecánica permitió definir ciertas cosas en relación con los estados inicial y final de los sistemas sin necesidad de analizar el movimiento entre estados. La existencia de una energía potencial única es consecuencia del hecho de que la fuerza gravitacional es conservativa, en forma análoga podemos decir que la fuerza electrostática es conservativa, por lo tanto podemos asociar una energía potencial a todo sistema en el que una partícula cargada este situada en un campo eléctrico y reciba la acción de una fuerza electrostática. Definición: La diferencia de energía potencial electrostática (Δ EP) de una carga q’ entre dos puntos en el espacio es el trabajo negativo realizado por la fuerza electrostática al transportar dicha carga puntual desde la posición A hasta la posición B. Δ Ep = - TAB Tomando en consideración la ecuación VAB = TAB / q’, podemos determinar que: TAB = VAB q’ TAB = ( VB - VA ) q’ TAB =[[ k ( q ) / rB ] - [ k ( q ) / rA ] ] q’ TAB = k q q’ [ (1 / rB) – ( 1 / rA) ] Δ Ep = k q q’ [ (1 / rB) – ( 1 / rA) ] Podemos señalar que:

El trabajo realizado por fuerzas conservativas es independiente de la trayectoria.

-

+ -

-q1 r1

r2 r3

GRÁFICO

-q3

P VTP

+q2

El trabajo realizado por fuerzas conservativas sólo depende de las coordenadas de las posiciones inicial y final.

Las fuerzas electrostáticas son conservativas.

EL ELECTRÓN – VOLT Definición.- Un electrón – volt ( eV ) es el aumento de energía potencial de una carga elemental e, tal como el electrón o del protón al ser elevada a través de una diferencia de potencial eléctrica de un volt. T = q . E . r ; V = E . r T = q e . V; q e = 1,602 . 10-19 C T = ( 1,602 . 10-19 C ) . ( 1 V ) T = ( 1,602 . 10-19 C V ) T = 1,602 . 10-19

J; entonces un electrón – volt es equivalente a una energía de 1,602 . 10-19 J. El potencial eléctrico ( V ) y la energía de potencial eléctrico ( EP ) son cantidades muy diferentes, así lo muestran las unidades respectivas y no deben confundirse, ya que el potencial eléctrico es una propiedad de un campo eléctrico, sin considerar si un objeto cargado se ha situado en dicho campo, por otro lado la energía potencial eléctrica es la energía de una carga puntual colocada en un campo eléctrico externo.

APLICACIONES

Generador electrostático de Van de Graaff para aceleración de partículas que tiene una gran aplicación no sólo en la física atómica y nuclear, sino también en la medicina y en la industria, construido con material casero por las estudiantes.

Como se puede apreciar en la fotografía, el generador electrostático en funcionamiento, en el mismo que existe una banda que transporta las cargas al interior del recipiente metálico, se transfieren totalmente hacia él, acumulándose en su superficie externa lo que hace que se separen las láminas delgadas de papel. EL POTENCIAL DEBIDO A UN DIPOLO ELÉCTRICO El dipolo eléctrico es un tipo de distribución de carga que se presenta frecuentemente en los dieléctricos, el mismo que está formado por una carga positiva + q y otra negativa – q del mismo valor que se encuentran separadas una distancia x.

Dipolo eléctrico.- El potencial en el punto P, cuya distancia a la carga –q es r 1 y a la carga + q es r 2 esta expresado de la siguiente manera: VP = k q [ (1 / r 2 ) – ( 1 / r 1 ) ] ; k = 1 / 4 π ε 0 VP = [ q / 4 π ε 0 ] [ (1 / r 2 ) – ( 1 / r 1 ) ] VP = [ 2 q x / 4 π ε 0 r 2 ] ( cos α ) Es importante destacar, que el potencial debido a un dipolo eléctrico disminuye con el inversa del cuadrado de la distancia r, mientras que para una carga puntual disminuye con el inverso de r.

POTENCIAL ELÉCTRICO DE UN ANILLO UNIFORMEMENTE CARGADO EN UN PUNTO SOBRE SU EJE

Tomando en consideración que el potencial originado por una carga puntual en determinado punto es: VP = ( k q ) / r ; k = 1 / 4 π ε 0 VP = q / 4 π ε 0 r, en un anillo debemos considerar que la distancia r está en función de x y R, donde x es la distancia perpendicular del centro del anillo al punto P y R el radio de dicho anillo; por lo tanto tendremos la ecuación siguiente: r 2 = x 2 + R 2 ; r = ( x 2 + R 2 ) 1/2 VP = ( k q ) / r ; VP = ( k q ) / ( x 2 + R 2 ) 1/2 ; k = 1 / 4 π ε 0 VP = ( q / 4 π ε 0 ) / ( x 2 + R 2 ) 1/2

α

r1 r r2

+q

y

x x x

-q

P

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Ejercicio 01: Dos cargas, q = + 5 μC y q’ = - 5 μC, están separadas 10 centímetros, como se muestra en la figura. Determinar el potencial eléctrico a) en el punto A, b) en el punto B.

SOLUCIÓN

a) Para determinar el potencial en el punto A utilizaremos las ecuaciones: V1 = ( k q1 ) / r 1 V2 = ( k q2 ) / r2 V1 = ( 9.109 . 5.10-6 ) / ( 4.10-2 ) V2 = 9.109 ( - 5.10-6 ) / ( 6.10-2 ) V1 = ( 45.103 ) / ( 4.10-2 ) V2 = (- 45.103 ) / ( 6.10-2 ) V1 = ( 11,25 ) . 103.102 V V2 = ( - 7,5 ).103.102 V V1 = ( 11,25 ). 105 V V2 = ( - 7,5 ).105 V VA = V 1 + V 2 VA = ( 11,25 ). 105 V - ( 7,5 ).105 V VA = ( 3,75 ) . 10 5 V

q1 = +5μC

4 cm r1

q 2= - 5μC

6 cm r2

4 cm r3

A B

r4= 10cm

r

r R

y

x x

+q

P

b) Para determinar el potencial en el punto B utilizaremos las ecuaciones: V1 = ( k q 1 ) / ( r 3 + r 4 ) V2 = ( k q 2 ) / r 3 V1 = ( 9.109 . 5.10-6 ) / ( 4.10-2 + 10.10-2) V2 = ( - 45.103 ) / (4.10-2) V1 = ( 45.103 ) / ( 14.10-2) V2 = -11,25.10 3.10 2 V1 = ( 3,21 ).103 .10 2 V V2 = (-11,25 ).10 5 V V1 = ( 3,21 ).10 5 V Como el potencial eléctrico es una magnitud escalar, procedemos a sumar sus módulos de la siguiente manera. VB = V 1 + V 2 VB = (3,21). 105 V + ( - 11,25).105 V VB = ( - 8, 04 ) . 10 5 V Ejercicio 02: Los puntos A, B y C están en las esquinas de un triángulo equilátero de 100 mm de lado. Dos cargas de + 8 μC y - 8 μC se localizan en A y B respectivamente.

a) ¿Cuál es el potencial en C? b) ¿Cuál es el potencial de un punto D que está a 20 mm de la carga de - 8

μC, en una línea que une A y B? c) ¿Cuánto trabajo es realizado por el campo eléctrico al mover una carga de

+ 2 μC desde el punto C al punto D?

SOLUCIÓN

a) Potencial en el punto C. VC = V A + V B VC = [( k q A ) / r ] + [( k q B ) / r ] VC = [( 9.109 . 8.10-6 ) / ( 10.10-2 ) ] + [( 9.109 . (-8.10-6 ) / ( 10.10-2 )] VC = [( 72.103 ) / ( 10.10-2 ) ] + [( -72.103 ) / ( 10.10-2 )] VC = [( 7,2.103 .102 ) ] + [( -7,2.103 .102 )]

GRÁFICO

r = 100 mm

r2=20 mmr1=80 mm

A D

VC C

B + -

r = 100 mm

;4

1∑=

=i

TP ViV

;1∑=

=n

iTP ViV

VC = [ ( 7,2 ).105 + ( -7,2 ).105 ] V VC = 0 V b) Potencial en el punto D. VD = V A + V B VD = [( k q A ) / r 1 ] + [( k q B ) / r 2 ] VD = [( 9.109 . 8.10-6 ) / ( 8.10-2 ) ] + [( 9.109 . ( - 8.10-6 ) / ( 2.10-2 )] VD = [( 9.103.102 ) + ( -36.103 .102 )] V VD = [( 9.105 ) + ( -36.105 )] V VD = - 27 . 10 5 V VD = - 2,7 M V c) El trabajo realizado es: TCD = ( V C - V D ) q CD TCD = [ 0 – ( - 2,7 . 10 6 ) ] ( + 2 . 10-6 ) V. C TCD = ( 2,7 . 10 6 ) ( + 2 . 10-6 ) V. C TCD = ( 5,4 . 10 6 . 10-6 ) J TCD = ( 5,4 ) J Ejercicio 03: ¿Cuál es el potencial eléctrico en el punto P, ubicado en el centro del cuadrado de cargas puntuales ilustrado en el gráfico? La distancia x es de 1,3 m, y las cargas son q1 = + 12 nC, q2 = - 24 nC, q3 = + 31 nC, q4 = + 17 nC.

SOLUCIÓN

VT P = [( k q 1) / r] + [ ( k q2) / r] + [ ( k q3) / r] + [ ( k q 4) / r ] VT P = k [( q 1) / r] + [ ( q2) / r] + [ ( q3) / r] + [ ( q 4) / r ] VT P = k [ ( q 1+ q2 + q3 + q 4) / r ]

x = 1,3 m r

P

q4

GRÁFICO q1 q2

q3

r1

r2

mrr

r

r

rrr

919,02)65,0(

)65,0(2

)65,0()65,0(

)()(

2

22

22

21

==

=

+=

+=

r 1 = r2

VT P = 9.109 ( Nm2C-2) [ ( 12 nC – 24 nC + 31 nC + 17 nC ) / ( 0,919 m ) ] VT P = 9.109 ( Nm2C-2) [ ( 36 nC ) / ( 0,919 m ) ] VT P = 9.109 ( Nm2C-2) [ ( 36.10 -9 C ) / ( 0,919 m ) ] VT P = [ ( 324 ) / ( 0,919 ) ] V VT P = ( 352,56 ) V Ejercicio 04: En x = 4 m, y = 0 m se localiza una carga de 8 μC. ¿Dónde se deberá colocar una carga de – 16 μC para que V = 0 en el origen?

SOLUCIÓN

Para determinar la distancia a la cual se debe colocar la carga puntual negativa para que el potencial sea nulo en el origen, lo ubicaremos a la izquierda del origen de coordenadas, por lo tanto tendremos:

VT = V1 + V2 ; VT = 0; 0 = V1 + V2 ; V1 = - V2 en el origen V1 = ( k q1 ) / x 1 V2 = ( k q2 ) / x2

( k q1 / x 1 ) = - ( k q2 / - x 2 ) x 2 es negativo (ubicada a la izquierda del origen de coordenadas)

q1 / x 1 = - q2 / - x 2 8 . 10 -6 / 4 = - ( - 16 . 10 -6 ) / - x 2

8 . 10 -6 . x 2 = - 4.( 16 . 10 -6 ) x 2 = - [ 4.( 16 . 10 -6 ) ] / 8 . 10 -6

x 2 = - [ 4.( 16 ) ] / 8 x 2 = - 8 m

Si a la carga puntual negativa q2 lo ubicamos a la derecha del origen de coordenadas, entonces la distancia será: x2 = 8 m.

(0, 0)

q2 = - 16 μC

GRÁFICO

x(4, 0)m

y

x1 x2

q1 = 8 μC

(-x2, 0)m