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Física C 2007
6. 0 Introducción al concepto de paquetes de ondas
Dra. Hilda Larrondo, Dr. Celso Aldao, Ing. Javier Viau.
1. La necesidad experimental de un nuevo objeto: el paquete de ondas
En el siglo XX se inicia en la física una de las revoluciones más notables, con la
aparición de dos nuevas teorías: la teoría de la relatividad y la mecánica cuántica. El estado
de situación en ese momento era el siguiente:
• La mecánica de Newton, sumamente exitosa en la explicación de todos los fenómenos
mecánicos, tenía su centro en el concepto de partícula. Una partícula que en adelante
llamaremos clásica (es decir que responde a las leyes de Newton) tiene las siguientes
características:
• Está localizada en el espacio: su posición está perfectamente definida
mediante su vector posición r.
• Está localizada en el tiempo: su posición se conoce para cada instante t.
• Transporta masa m0.
• Transporta cantidad de movimiento dada por p=m0v.
• Transporta energía cinética dada por E=m0 v2 /2
• No posee spin (ímpetu angular intrínseco)
• La teoría electromagnética de Maxwell, por otra parte había conseguido aparentemente
explicar la naturaleza de la luz y unificar las ondas electromagnéticas con los restantes
fenómenos ondulatorios conocidos (ondas mecánicas). La onda electromagnética plana
armónica tiene las siguientes características distintivas:
• No está localizada sino que por el contrario ocupa todo el espacio.
• No está localizada en el tiempo sino que es eterna.
• Transporta cantidad de movimiento. Esa cantidad de movimiento está
distribuida en todo el espacio ocupado por la onda por lo que se trabaja con
una densidad de ímpetu Pem tal que un elemento de volumen d/v posee un
ímpetu hp dado por dp= Pem dV.
• Transporta energía pero esa energía está distribuida en todo el espacio
ocupado por la onda por lo que se trabaja con una densidad de energía uem
tal que un elemento de volumen dV posee una energía dU dada por dU=
uem dV.
• La densidad de energía uem y la densidad de ímpetu Pem están relacionadas
por uem=Pem c, donde c es la velocidad de propagación (velocidad de la
luz).
• Puede poseer ímpetu angular (caso de polarización circular o elíptica), que
está distribuido en toda la región ocupada por la onda por lo que se trabaja
con una densidad de ímpetu angular Lem tal que el ímpetu de un elemento
de volumen dV está dado por dL= Lem dV.
• La densidad de ímpetu angular y la densidad de energía están relacionadas
por la expresión uem= Lem ω.
Nótese que cantidades distribuidas (masa, p, E, L) pueden también obtenerse a partir de
chorros de partículas. En efecto si imaginamos un chorro de partículas, todas con igual p,
igual Ec, igual m, y N es el número de tales partículas por unidad de volumen, resulta
u=NEc; δ=Nm; P=Np.
Sin embargo existe un experimento que permite distinguir un chorro de partículas
clásicas de ondas armónicas planas: es la difracción a través de una rendija. Imaginemos un
chorro, de sección cilíndrica, constituido por partículas clásicas. El chorro impacta sobre una
placa con un orificio circular. Las partículas pueden atravesar el orificio en cuyo caso
continúan su trayectoria recta hasta impactar sobre la pantalla donde dejan una mancha
circular del mismo tamaño que el orificio de la placa; o bien pueden impactar contra la placa
perforada en cuyo caso sólo les queda rebotar o ser absorbidas, según el tipo de choque que
sufran (elástico, inelástico, plástico).
Las ondas, por el contrario sufren difracción, que resulta apreciable sólo si la
dimensión del orificio es comparable con la longitud de onda. Otros fenómenos
característicos de las ondas son el efecto túnel, el principio de superposición, la interferencia,
etc. Dado que se había demostrado experimentalmente que la luz sufría difracción si se
interponían orificios adecuados, parecía estar clara su naturaleza de onda.
A comienzos del siglo XX habían aparecido problemas para explicar ciertos hechos
experimentales. Algunos de los más significativos para el desarrollo de la teoría cuántica
fueron:
• El efecto Compton.
• La radiación del Cuerpo Negro.
• El efecto fotoeléctrico.
Para esa misma época Einstein formuló su teoría de la relatividad restringida,
basándose en la equivalencia entre todos los sistemas inerciales. Posteriormente, sobre la base
de la equivalencia entre un sistema de referencia acelerado y un campo gravitatorio elaboró
su teoría de la relatividad general.
El propio Einstein logró explicar el efecto fotoeléctrico introduciendo el nombre de
fotón para el cuanto de luz que un poco antes había sido utilizado por Planck para explicar la
radiación del cuerpo negro. (ver el cuadro 6.1 de Ondulatoria Elemental)
En resumen, algunos hechos experimentales mostraban la conveniencia de considerar
la luz como chorro de partículas. Pero por otra parte otros hechos experimentales, como la
difracción, eran explicables si la luz es una onda. Por esa época en que no se lograba
reconciliar ambas situaciones, se habló de la dualidad onda partícula: la luz es a veces onda, a
veces partícula, pero no ambas cosas simultáneamente.
Ahora sabemos que la solución que explica ambas características es introducir un
nuevo objeto: los paquetes de ondas.
2. Paquete de ondas
Un paquete de ondas unidimensional es una
función de x y de t localizada espacialmente. La
forma aproximada de un posible paquete de onda puede verse en la figura
Cuando se lo mira a t=t0 fijo el paquete se convierte en una función de la variable
espacial x. Presenta una oscilación de longitud de onda λ0 que es lo que le dará la posibilidad
de sufrir difracción e interferencia cuando lo hagamos interactuar con objetos de dimensiones
comparables a dicha longitud de onda. Pero también tiene una envolvente que lo limita
espacialmente. Una gráfica similar se obtiene si fijamos x=x0 y representamos la función de t
resultante (relea ahora el punto 3.6 de Ondulatoria Elemental).
Para armar un paquete de ondas comenzamos sumando dos ondas armónicas de igual
amplitud A y diferentes pulsaciones y números de onda. El resultado puede obtenerse muy
fácilmente con Mathematica y se ve en la figura siguiente.
La oscilación tiene una pulsación ω0 igual al promedio de las pulsaciones de ambas
ondas y un número de onda k0 igual al promedio de los números de onda de ambas ondas. La
envolvente tiene un período dado por T=2*Tbat=2*2π/(ω1-ω2) y una longitud de onda dada
por λenv=2*λbat=2*2π/(k1-k2).
Incrementemos el número de senoides pero manteniendo la amplitud A, la pulsación
media ω0, el número de onda medio k0 y las separaciones entre pulsaciones y k´s contiguos
-1 -0.5 0.5 1
-2
-1
1
2
k1 k0 k2
-1 -0.5 0.5 1
-3
-2
-1
1
2
3
k1 k0 k2
(∆ω y ∆k). El resultado, obtenido nuevamente con Mathematica se muestra en las figuras
siguientes. Como puede verse, al sumar N ondas con las condiciones fijadas arriba, el período
de la envolvente no se altera, aparecen (N-2) “paquetes secundarios”, la amplitud de los
paquetes principales es proporcional a N y el ancho de los paquetes principales disminuye al
aumentar N.
-1 -0.5 0.5 1
-4
-2
2
4
-1 -0.5 0.5 1
-4
-2
2
4
k1 k2 k0 k3 k4
k3 k1 k0 k2 k4
-1 -0.5 0.5 1
-100
-50
50
100
Podemos inferir fácilmente el modo de obtener el paquete mostrado en la figura 1.
Vamos a disminuir ∆ω y ∆k para que el período de la envolvente vaya aumentando (en el
límite en que ∆ω y ∆k tienden a cero, ambos períodos de la envolvente, el espacial y el
temporal, tenderán a infinito).
Simultáneamente mantendremos constantes ω0 y k0 para que no se alteren las
características de la oscilación, iremos aumentando el número de senoides que sumamos, de
modo que cuando N tienda a infinito esperamos haber localizado el paquete.
La figura siguiente muestra el paquete obtenido (para t=t0). La curva en forma de
pulso rectangular de (a) indica que las senoides que hemos sumado tienen todas la misma
amplitud. La envolvente obtenida tiene la forma de la función sen x/x .
En forma rigurosa, el modo de hallar la distribución de amplitudes y fases de las
distintas senoides que es necesario sumar para obtener un paquete de forma dada es el cálculo
-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0.05 0.1 0.15 0.2
-100
-75
-50
-25
25
50
75
100
(b)
(a)
kmin k0 kmax
de la Transformada de Fourier. Damos a continuación una introducción al tema (Lea también
el cuadro 3.1 de Ondulatoria Elemental).
3. Series de Fourier
El teorema de Fourier establece que una función periódica puede expresarse como
suma de cosenos y senos de frecuencias correspondientes a la de la función dada y sus
armónicas. Es decir que al sumar funciones seno y coseno de frecuencias múltiplos de una
frecuencia fundamental, con una amplitud elegida apropiadamente, podremos obtener una
función periódica arbitraria.
Entonces, una función f(x) que se repite cada 2π puede expresarse como una
superposición de funciones sinusoidales de la siguiente manera
...2sensen...2coscos)( 21210 ++++++= xBxBxAxAAxf , (1)
que podemos expresar en forma más sucinta como
f (x) = An cos(nx) + Bnsen(nx)[ ]n=0
∞
∑ . (2)
La forma de la función resultante de la suma dada en la Eq. 2 depende de las amplitudes de
las funciones seno y coseno que sumemos, es decir, de los valores de An y Bn.
El desafío es entonces encontrar los valores de las constantes An y Bn que debemos incorporar
en la suma de la Eq. 2 para obtener la función f(x) dada. El valor medio de f(x) debe ser dado
por el término A0 ya que las funciones seno y coseno no tienen valor medio,
A0 =1
2πf (x)dx
− π
π
∫ . (3)
Para determinar el resto de los valores An multiplicamos ambos miembros de la Eq. 2 por
cos(px) e integramos
f (x)cos( px)dx−π
π
∫ = cos( px) An cos(nx)n=0
∞
∑
dx
−π
π
∫ + cos(px) Bnsen(nx)n=0
∞
∑
dx
−π
π
∫ . (4)
Si recordamos que
pndxpxnx
siempredxpxnx
≠=
=
∫
∫
−
−
,0)cos()cos(
,0)sen()cos(
π
π
π
π,
de la Eq. 4 podemos obtener una expresión para An
An =1
πf (x)cos(nx)dx
−π
π
∫ . (5)
De igual modo, pero multiplicando ambos miembros de la Eq. 2 por sen(px), se obtiene una
expresión para Bn
Bn =1
πf (x)sen(nx)dx
−π
π
∫ . (6)
Los coeficientes An y Bn dados por las Eqs. 5 y 6 son válidos para una función de período 2π.
Este resultado se puede fácilmente extender a funciones de cualquier período T mediante los
siguientes cambios de variables. Primero definimos
w1 =2πT
wn = nw1 = n2πT
, (7)
Entonces,
x = w1t
dx =2πT
dt
nx = wnt
. (8)
Al reemplazar en las relaciones encontradas para An, An y Bn se obtienen los valores de los
coeficientes para una función de cualquier período T.
∫
∫
∫
−
−
−
=
=
=
2/
2/
2/
2/
2/
2/0
)sen()(2
)cos()(2
)(1
T
Tnn
T
Tnn
T
T
dttwtfT
B
dttwtfT
A
dttfT
A
(9)
La expansión f(t) correspondiente adopta la siguiente forma,
f (t) = An cos(wnt) + Bn sen(wn t)[ ]n= 0
∞
∑ . (10)
Si escribimos la expansión de la siguiente manera
[ ]∑∞
=
++=1
0 )sen()cos(2
)(n
nnnn twBtwAA
tf , 11)
entonces no necesitamos una definición exclusiva para A0 ya que queda incluida en la de An,
Otra manera de escribir la expansión es la siguiente
[ ]∑∞
=
++=1
0 )sen()cos(2
)(n
nnnn twbtwaTT
atf . (12)
En este caso, los coeficientes an y bn adoptan la siguiente forma
∫
∫
−
−
=
=
2/
2/
2/
2/
)sen()(
)cos()(
T
Tnn
T
Tnn
dttwtfb
dttwtfa
(13)
4. Forma exponencial de la serie de Fourier
La expansión dada por la Eq. 12 puede escribirse como
f (t) =a0
T+
2
Tan
2 + bn
2cos(wnt + Φn )
n=1
∞
∑ , (14)
donde hemos definido Φn=arc tg(-bn/an).
Ahora definimos cn=cn eiΦn
, donde cn=(an2+ bn
2)1/2
, es decir cn=an+ibn. Entonces,
∑∞
=
Φ++=1
0 )cos(2
)(n
nnn twcTT
ctf (15)
Si recordamos que cos x=(e ix
+e-ix
)/2, la Eq. 15 puede reescribirse como
{ }∑∞
=
Φ+−Φ+ ++=1
)()(0 1)(
n
twitwi
nnnnn eec
TT
ctf . (16)
Si entendemos, por definición, que w-n=-wn y Φ-n=-Φn, la Eq. 16 puede expresarse como
∑∞
−∞=
=n
tiw
nnec
Ttf
1)( (17)
Dado que cn=an+ibn, entonces
[ ]dttwitwtfcT
Tnnn ∫− −=
2/
2/)sen()cos()( , (18)
que finalmente puede escribirse de la siguiente manera
dtetfcT
T
tiw
nn∫−
−=2/
2/)( . (19)
5. Integral de Fourier
El método de Fourier no sólo es útil para analizar funciones periódicas sino que
también puede ser aplicado a funciones no periódicas. Los resultados obtenidos para
funciones periódicas pueden fácilmente ser extendidos para utilizarlos en funciones no
periódicas. En este caso, podemos considerar que el período de la función cubre el intervalo
(-∞, ∞).
La diferencia esencial que resulta de aplicar el método de Fourier a una función no
periódica respecto de una periódica radica en que el espectro resultante es continuo en lugar
de discreto. Es decir, hasta ahora tratamos con coeficientes que corresponden a valores
determinados de frecuencia (wn). El resultado para una función no periódica, por el contrario,
da lugar a un espectro continuo en el que la amplitud correspondiente a cada frecuencia está
dada por una función llamada transformada de Fourier de la función.
Habíamos visto que las frecuencias en las Eqs. 9, 13 y 19 vienen dadas por
wn=nw1=n(2π/T). De aquí se observa que las armónicas están uniformemente distribuidas en
frecuencia de tal modo que la diferencia entre dos armónicas sucesivas es:
∆w = wn+1 − wn =2πT
(20)
Como lo adelantamos, podemos considerar que en una función no periódica el período
es infinito. Primero escribimos la expansión dada en la Eq. 17 de la siguiente manera
wectfn
tiw
nn ∆= ∑
∞
−∞=π2
1)( , (21)
y a continuación hacemos T→∞. Note que ∆w→0 y cn se convierte en una función de w que
llamamos F(w). Con estas consideraciones podemos escribir la transformada de Fourier de
una función no periódica y su expansión de la siguiente manera
dwewFtf
dtetfwF
iwt
iwt
∫
∫∞
∞−
+
∞
∞−
−
=
=
)(2
1)(
)()(
π (22)
Si estamos tratando con una función de la posición f=f(x), entonces el par
transformado se puede escribir
dkekFxf
dxexfkF
ikx
ikx
∫
∫∞
∞−
+
∞
∞−
−
=
=
)(2
1)(
)()(
π
(23)
6. El principio de incerteza La integral de Fourier nos brinda las herramientas
matemáticas para manejarnos con “paquetes de
ondas” o “pulsos”. La onda armónica pura es una
idealización pues en la vida real es imposible
producir una onda que se extienda a todo el espacio y
que dure eternamente sino que, por el contrario, uno
siempre se enfrenta con fenómenos de duración y
extensión finitas. Por ejemplo la función de la figura
es un “paquete” obtenido al multiplicar una función
senoidal por una modulante gausiana. Como
acabamos de ver la integral de Fourier nos permite construir ese pulso o cualquier otro
sumando ondas senoidales. Comencemos viendo las características generales de una función
tipo pulso o paquete.
Dada una función g(u) de una variable cualquiera u de energía finita, lo que matemáticamente
se indica diciendo que es una función de cuadrado integrable, es decir una función que
cumple:
(24)
Se define el centro de la función por la expresión
(25)
y se define el radio de g(u) por la expresión:
(26)
Explícitamente hemos elegido la variable u para que quede claro que lo anterior puede
hacerse para una función de cualquier variable. Para cada variable u existe una variable
conjugada û y una función asociada �(û) que es la transformada de Fourier de g(u). También
pueden evaluarse utilizando las expresiones (25) y (26), el centro y el radio de �(û). Puede
demostrarse que existe una relación entre los radios de ambas funciones dada por:
(27)
relación que se conoce como “principio de incerteza”. Y también puede demostrarse que en
la ecuación (27) sólo se cumple la igualdad para el caso de una función g(u) de la forma
(28)
Donde las constantes a, b, c≠ y α>0, son constantes. Esta función se denomina función
Gaussiana y es la única que tiene esa propiedad.
Ahora relea los puntos 3.2, cuadro 3.1 y punto 3.6 del libro Ondulatoria Elemental
Luego lea los puntos 6.1, 6.2 y el cuadro 6.1.
Note que en la definición del par transformado de Fourier es posible modificar el factor de
proporcionalidad de cada integral. En el cuadro 6.1, por ejemplo se optó por una expresión
simétrica. En este apunte en cambio se adoptó el factor de normalización usual en teoría de
comunicaciones.
∞<∫∞
∞−
duug2
)(
duug
duugu
u
∫
∫∞
∞−
∞
∞−∗
⋅
=2
2
)(
)(
( )2/1
2
22
)(
)(
2
⋅−
⋅=∆
∫
∫∞
∞−
∞
∞−
∗
duug
duuguu
g
2
1ˆ
≥∆⋅∆ gg
( )α4
2
)(bu
jaueceug
−−
=
Guía de Problemas Unidad 6
1. La energía de arranque fotoeléctrico del potasio es 2 eV. Suponiendo que sobre él incide luz de
3.6 E-7 m de longitud de onda, hallar: a) el potencial que detiene a los fotoelectrones, b) la
energía cinética y la velocidad de los más rápidos electrones liberados.
2. Cuando se ilumina cierta superficie metálica con luz de diferentes longitudes de onda, se miden
los potenciales de detención de los fotoelectrones que se miden en la tabla.
λ(x 10E-7 m) V (Volts)
3.66 1.48
4.05 1.15
4.36 0.93
4.92 0.62
5.46 0.36
5.79 0.24
Representar el potencial de detención en función de la frecuencia de la luz. Determinar del
gráfico: a) el umbral de frecuencia, b) la energía de arranque fotoeléctrico del metal, c) la razón
h/e.
3. Sea un neutrón térmico, es decir un neutrón que se desplaza con la velocidad típica de una
partícula atmosférica a la temperatura ambiente (su energía cinética vale 3/2kT, con k=1.38×10-23
J/K y T la temperatura absoluta). Encuentre la longitud de onda de De Broglie para tal neutrón.
Puede realizar experimentos de difracción de neutrones en esas condiciones? (mn=masa del
neutrón=1.67×10-27
kg).
4. A través de qué ddp deben ser acelerados electrones (q=1.6×10-19
C, m=9.1×10-31
kg) para que su
longitud de onda de De Broglie sea de tamaño típico del entramado interactómico “d” de un
cristal (d≅1nm)?
5. Los aceleradores de partículas modernos pueden imprimir con relativa facilidad una energía total
de 1GeV (=109 eV; y 1eV=1.6×10
-19 J) a un electrón. En esas condiciones, de acuerdo a la Teoría
de la Relatividad, su energía total vale E2=p
2c
2+m0
2c
4 (p=ímpetu, c=velocidad dela luz). Calcule
la longitud de onda de De Broglie para tal electrón y discuta si de acuerdo a la misma es posible
utilizar (al electrón) como “luz” para “ver” el núcleo atómico.
6. Según la teoría de la relatividad las partículas puede destruirse para transformarse en energía y viceversa. Puede un fotón crear un solo electrón? Justifique
7. Una partícula de masa en reposo m0 se mueve a velocidad v. Demuestre que en el caso en que
v<<c la relación de Einstein masa-energía se reduce a la expresión clásica.
8. Una partícula tiene una energía cinética muy elevada comparada con su energía de reposo.
Demuestre que su longitud de onda es aproximadamente igual a la de un fotón de igual energía. 9. Complete el cuadro siguiente indicando la longitud de onda central del paquete de ondas que
representaría las siguientes partículas
PARTÍCULA MASA (kg) VELOCIDAD
(m/s) λ (nm)
Bolita 2 x 10-2
1 x 10-2
Esfera de látex 1 x 10-15
3 x 10-4
Partículas α de 1MeV 6.7 x 10-27
6.9 x 106
Protón de 1Mev 1.7 x 10-27
1.4 x 107
Electrón de 100ev 9.1 x 10-31
5.9 x 106
Neutrón de 0.1 ev 1.7 x 10-27
4.3 x 103
10. Calcular la longitud de onda central del paquete de ondas que representa un electrón acelerado a
través de una diferencia de potencial de 110V. Compararla con la longitud de onda de una OEM
en el rango de rayos X.
11. Se mide la posición de un insecto de masa 10g con un error de 1nm. Determinar la incertidumbre
en su velocidad para no violar el principio de incerteza.
12. Un haz angosto, de protones monoenergéticos llega a una ranura aún más angosta que el haz
sobre una pantalla opaca. Trace los diagramas que indiquen la figura que se formará sobre la
pantalla a tiempos cada vez mayores. Qué diferencia habría si el haz no fuera monoenergético? 13. Un estado atómico excitado normal tiene una vida media de 10
-8 s. Dentro de ese tiempo se
produce la caída al estado de energía más baja. Determinar la incertidumbre mínima en la energía
del fotón generado en la transición, en J y en eV. Calcue el ancho de la línea espectral producida.
14. Dos ondas armónicas se mueven simultáneamente a lo largo de un alambre largo. Sus funciones
de onda vienen dadas por:
( ) ( )1 10.002 cos 6.01 601 e 0.002 cos 5.99 599y x t y x t= − = −
con x y t en unidades del SI. Hallar la onda resultante. ¿Cuáles son sus velocidades de fase y de
grupo? Es éste un fenómeno dispersivo?
15. Cuando se toca una cuerda de violin al mismo tiempo que un diapason de frecuencia 400HZ se
oyen los baticos de la cuerda a un ritmo de tres por segundo. Cuando la tension de la cuerda
aumenta ligeramente, disminuye la frecuencia de los batidos. ¿Cuál es la frecuencia inicial de la
cuerda del violin?. Nota: recuerde que cuando una cuerda es traccionada aumenta su frencuencia.
16. Analice la velocidad de grupo del paquete de ondas que se forma en aguas marinas teniendo en
cuenta que, en aguas profundas la velocidad de fase vale 2 /fv g k= , mientras que para aguas
playas 2
fv hg= . ¿En qué casos la relación es dispersiva?
17. Halle la gráfica para t=0 de los batidos que se producen sumando tres ondas, luego cinco ondas, y
luego siete ondas de frecuencias muy parecidas, todas ellas con la misma velocidad de fase pero
con vectores de onda y pulsaciones dados por kn=k0±δk⋅n y ωn=ω0±δω⋅n. Encuentre para cada
caso cuánto vale el producto ∆k.∆ω, donde ∆k es el ancho del paquete en k en tanto que ∆x, es la
extensión del paquete en x. Discuta qué sucede con la energía, en especial, en qué regiones
espaciales va a aparecer más localizada. Finalmente discuta la evolución temporal del paquete.
18. Imagine que una antena o un laser o maser, en régimen pulsado, está produciendo trenes de onda
electromagnéticos (paquetes de onda) de una extensión finita, digamos ∆x=10-6
m. Por otra parte
está Ud. emitiendo tan poca potencia, que está seguro d eno enviar más de un paquete por
segundo al aire. Cómo describiría Ud. la llegada de esos paquetes al detector (o receptor)? Sería
un proceso continuo o discreto. Conociendo que la OEM pueden producir empuje, sería continuo
o discreto este empuje en el receptor? Discuta.
19. a) En el problema anterior, cuál sería el valor más probable de la longitud de onda promedio del
paquete: λ=10-4
m, λ=10-6
m, λ=10-8
m. b) Suponga ahora que la OEM del mismo problema
atraviesa una pantalla provista de dos rendijas. Aparecerá el fenómeno de interferencia?
20. De acuerdo a lo discutido en los tres problemas anteriores, qué observaría en la pantalla colocada
luego de las dos rendijas a medida que pasa el tiempo y van arribando los paquetes?
21. A la luz del principio de incerteza de Heisenberg discuta la posibilidad de comportamiento
ondulatorio en los siguientes casos: a) una partícula de polvo, de 1µm de diámetro, masa≅10-15
kg
y velocidad de 1mm/s. b) Un electrón en órbita atómica (Sugerencia: trate de ver si es posible que
las indeterminaciones ∆x y ∆p son despreciables respectivamente a los tamaños e ímpetus
involucrados).
22. En un monitor de TV de una computadora, se sabe que el punto en que inciden los electrones en
la paantalla tiene una dimensión máxima de 1/3 mm. Dichos electrones han sido acelerados a
través de una ddp de 14000 V y recorren unos 50cm antes de impactar. Estime el tamaño
longitudinal de los electrones. Repita la estimación para el tamaño en dirección transversal. A qué
se parecen esos electrones?
23. Escriba la ecuación de onda de Schrödinger dependiente del tiempo y a continuación, la misma
ecuaión pero conjugando ambos miembros. Operando con ambas ecuaciones trate de deducir una
ecuación de continuidad para ψ2=ρ. Recuerde la expresión de las ecuaciones de continuidad
que Ud. aprendió al estudiar la conservación de la carga, la masa y la energía. Cuál es ahora el
vector densidad de corriente J?
24. Una forma de entender la Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo es a través de la
Ecuación de Onda independiente del tiempo, también llamada Ecuación de Helmholtz. Suponga
que la solución de la ecuación de onda es más complicada que una simple onda armónica viajera,
pero que posee frecuencia bien definida, es decir suponga que tiene la forma y(x,t)=ψ(x)e-iωt
y
escriba la ecuación que satisface ψ(x). Utilice esta ecuación para hallar los modos de oscilación de
una cuerda vibrante de longitud L sujeta por un extremo y libre por el otro.
25. Repita el procedimiento del problema anterior para el caso de la Ecuación de Schrödinger, en la
cual existe energía potencial distinta de cero (la partícula descripta no es libre) pero la energía
total se conserva. Obtenga la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo.
Ecuación de Schrödinger y Corrientes de Probabilidad
Ing. Daniel Zarlenga
Ecuación de Schrödinger En cuanto a ondas electromagnéticas, ya vimos que su comportamiento está regido por las ecuaciones de Maxwell. También hemos visto que a una partícula con masa se le puede asignar una ecuación de onda. En tres dimensiones: mientras que en una dimensión: La función Ψ es en general compleja, y posee parte real e imaginaria. No es un vector, sino un escalar. En lugar de las ecuaciones de Maxwell, ¿cuál es la ecuación que debe satisfacer Ψ?. La respuesta es: la ecuación de Schrödinger. La ecuación de Schrödinger es, en tres dimensiones donde Ψ=Ψ(x,y,z,t), y EP es la energía potencial a que está sometida la partícula. Por lo general, esta energía es del tipo electrostática, por lo cual: donde q es la carga de la partícula que se está considerando, y v(x,y,z,t) es el potencial electrostático que recibe dicha carga, a causa de otras cargas. En una dimensión, la ecuación de Schrödinger se reduce a: y se llama ecuación de Schrödinger unidimensional, dependiente del tiempo. Esto es porque Ψ es función no sólo de x, sino también de t. Aún escrita en una dimensión, hallar las soluciones de esta ecuación diferencial puede tornarse complicado. Pero todo se facilita si la energía potencial EP sólo depende de x, es decir si EP no varía con el tiempo: (1) En este caso, la ecuación de Schrödinger puede resolverse en dos partes: una para la variable “x” (cuya solución depende del caso particular), y la otra para la variable “t” (dando esta última siempre la misma solución). Para demostrar esto, escribiremos Ψ(x,t) como producto de dos funciones: una depende solamente de x y la otra solamente de t:
( )tzyx ,,,Ψ
( )tx,Ψ
( )t
jtzyxEm P ∂
Ψ∂=Ψ⋅+Ψ∇⋅− hh ,,,2
22
( ) ( )tzyxvqtzyxEP ,,,,,, ⋅=
( )t
jtxExm P ∂
Ψ∂=Ψ⋅+∂
Ψ∂⋅− hh ,2 2
22
( )t
jxExm P ∂
Ψ∂=Ψ⋅+∂
Ψ∂⋅− hh2
22
2
(2) y reemplazamos la (2) en la (1): (3) Dividimos ambos miembros de la (3) por el producto Φ⋅τ: (4) En (4), hay una igualdad de dos funciones, una de “x” y una de “t”. Dicha igualdad debe cumplirse para todo x y para todo t. Solución: ambas son iguales a una constante, la cual posee dimensiones de energía. La llamamos E: (5) En este caso, la E resulta ser la energía total de la partícula considerada, es decir la suma de la energía cinética y la energía potencial EP. Dado que la fuerza electrostática es conservativa, la E es una constante que no depende de x ni de t. La (5) son dos ecuaciones diferenciales, escritas como si fuera una sola. La primera es sólo en la variable “t”: (6) La solución de (6) es sencilla: por tablas, cada vez que tenemos una ecuación diferencial de la forma: la solución siempre es: donde K es una constante que depende del caso a resolver. Aplicando esto en la (6), hallamos su solución como: (7) en la cual hicimos K=1. Esta es siempre la solución temporal, lo cual facilita mucho las cosas, ya que lo único que debemos resolver en cada caso particular es la ecuación diferencial (8) en la variable “x”. La segunda ecuación diferencial que sale de la (5) es:
( ) ( ) ( )txtx τ⋅Φ=Ψ ,
( )t
jxExm P ∂
∂Φ=⋅Φ⋅+∂
Φ∂⋅⋅− τττ hh2
22
2
( )t
jxExm P ∂
∂=+∂
Φ∂⋅Φ
⋅− ττ11
2 2
22
hh
( ) Et
jxExm P =
∂∂=+
∂Φ∂⋅
Φ⋅− τ
τ11
2 2
22
hh
01
=
+
∂∂
⇒=∂∂
jEt
Et
jh
hτττ
τ
0=+ay
dxdy
axeKy /−⋅=
h/jEte −=τ
( ) ExEdxd
m P =+Φ⋅Φ
⋅− 2
22 12h
(8) La (8) se llama ecuación unidimensional de Schrödinger independiente del tiempo. En cada caso particular que nos toque, siempre que EP no dependa del tiempo, hallamos la solución de (8): Φ(x) y luego la multiplicamos por el factor (7). El producto resulta ser Ψ.
Corriente de probabilidad En el curso de física 2, vimos que la corriente I podía expresarse como la integral de la densidad de corriente J: (9) El área Σ puede ser abierta o cerrada. Si el área es cerrada, entonces encierra un volumen V. En ese caso, la corriente total de cargas en toda la superficie Σ se produce a costa de una disminución de la carga encerrada en el volumen. (Fig. 1) Es decir: (10) donde ρ es la densidad volumétrica de cargas. Pero, de acuerdo al teorema de la divergencia: (11) Combinando las dos anteriores: (12) De donde: (13)
( ) Φ⋅=Φ⋅+Φ⋅−⇒ ExEdxd
m P2
22
2h
∫Σ⋅=⇒ AdJI
rr
QENC V
J dA
J
J
dA
dA Σ
∫∫ −=−=⋅Σ V
ENC dVdtd
Qdtd
AdJ ρrr
∫∫ ⋅∇=⋅Σ V
dVJAdJrrr
∫∫ −=⋅∇VV
dVdtd
dVJ ρr
dtd
Jρ
−=⋅∇r
Es decir, la divergencia de J es igual a la rapidez en que disminuye la densidad de carga. Esto es válido para todo punto (x,y,z) y para todo tiempo. En mecánica cuántica no se suele analizar lo que ocurre con las cargas, haciéndoles “un seguimiento de cada una” como lo hace la mecánica clásica. En cambio, se trabaja con probabilidades. Entonces, en lugar de tener cargas encerradas en un volumen V, tenemos una probabilidad “Pr” encerrada de encontrar una carga. Como toda probabilidad, puede tener un valor de entre 0 (si es imposible que esté dentro de V) y 1 (si es seguro que está dentro de V). ¿De qué nos sirve tener estas probabilidades?. En que si hay muchas cargas en juego (digamos millones o más) los promedios terminan siendo la realidad. Por ejemplo, si hubiera una sola carga y la probabilidad es de 0,6, entonces no sabemos si la carga está allí o no (sí que hay un 60% de probabilidades de que sí esté). Pero si hay 1.000.000 de cargas y la probabilidad es de 0,6, entonces habrá una cantidad muy cercana a 600.000 partículas encerradas en V. Multiplicando ese número de cargas por la carga unitaria, se llega a saber la carga encerrada con suficiente precisión. Ahora, si lo que hay encerrado es una probabilidad, entonces, haciendo una comparación con las ecuaciones (9) a (13) y la fig. 1, existirán las siguientes dualidades:
Caso de la carga determinista Caso de la probabilidad Carga encerrada QENC Probabilidad encerrada Pr Densidad de carga ρ Densidad de probabilidad |Ψ(x,y,z,t)|2 Corriente I Corriente de probabilidad IP
Densidad de corriente J Densidad de corriente de probabilidad JP En este caso, entonces, la ecuación dual con la (13) debería ser: (14) Si estamos en una sola dimensión, la (14) queda simplemente: (15) ¿Cómo podemos calcular JP(x,t)?. La solución está en resolver el ejercicio 23 de la nueva guía 6. Para esto, escribimos la ecuación de Schrödinger unidimensional dependiente del tiempo: (16) Y luego la conjugamos. Conjugar es fácil: si aparece un número complejo en la forma binomial: (a+jb), el conjugado es (a-jb). Si aparece un número en formato polar: AejΘ, el conjugado es Ae-jΘ. En definitiva, ¡siempre se cambia “j” por “-j”!. Si hay una combinación de sumas, restas, productos, cocientes, exponenciales, etc., de varios números complejos, se cambia “j” por “–j” en cada uno de los componentes de esa combinación. Pero no siempre hay un número conocido. Puede haber una constante, por ejemplo C, que se sabe que es compleja, pero no se conoce su valor exacto. En este caso, se indica su
( )2,,, tzyxdtd
J P Ψ−=⋅∇r
( ) ( ) 2,, txt
txJx P Ψ
∂∂
−=∂∂
( )t
jtxExm P ∂
Ψ∂=Ψ⋅+∂
Ψ∂⋅− hh ,2 2
22
conjugado mediante un asterisco: C*. Y otras veces, se trata de funciones complejas, por ejemplo Ψ. En ese caso, se indica también su conjugado mediante Ψ*. Si ahora nos tocara multiplicar C por C*, nos da |C|2. Y si multiplicamos la función Ψ por Ψ* nos da |Ψ|2. ¿Por qué es así?. Porque si por ejemplo C=c1+jc2, entonces C*=c1-jc2 y por lo tanto CC*=( c1+jc2)( c1-jc2)= c1
2-jc1c2+jc1c2+c22=c1
2+c22=|C|2.
Ahora sí, estamos en condiciones de conjugar la (16), cuyo resultado es: (17) Ahora, observemos los miembros derechos en (16) y (17), ¿cómo podemos manipularlos para obtener el término de derivada de |Ψ|2 respecto del tiempo, como el de la ecuación (15)?. ¡Hay que pensarlo!. Luego de operar algebraicamente, se llega a que la ecuación de la densidad de corriente de probabilidad en una dimensión es: (18) ¿Cómo usamos la ecuación (18)?. Veamos un ejemplo: si cierta partícula con masa está representada por: (ver ecuaciones 2 y 7), entonces: (en general la constante A es compleja). Reemplazando en la (18), nos da: (19) es decir, es igual a p/m (velocidad de la partícula), multiplicado por la densidad de probabilidad |A|2. Otro ejemplo: si cierta partícula con masa está representada por: (ver ecuaciones 2 y 7), entonces: Reemplazando en la (18), nos da: (20)
( )t
jtxExm P ∂
Ψ∂−=Ψ⋅+∂
Ψ∂⋅−*
*2
*22
,2
hh
Ψ
∂Ψ∂
−Ψ∂Ψ∂
=xxmj
J P
**
2h
2Amk
J P
h=
2Amk
J P
h−=
( )h/EtkxjeA −⋅=Ψ
( )h/** EtkxjeA −−⋅=Ψ
( )h/EtkxjeA +−⋅=Ψ
( )h/** EtkxjeA +⋅=Ψ
Es decir, la corriente de probabilidad es negativa (partícula que viaja hacia –x). Otro ejemplo: si cierta partícula con masa está representada por: (ver ecuaciones 2 y 7), entonces: Reemplazando en la (18), nos da: (21) Los resultados (19), (20), y (21) son conocidos “de memoria” y se usarán ampliamente en la bolilla 7.
0=PJ
h/jEtkx eeA −− ⋅⋅=Ψ
h/** jEtkx eeA ⋅⋅=Ψ −