UNIDAD 1

CINEMATICA 1

1

MOVIMIENTO RECTILINEO

Establece el comportamiento del movimiento de un móvil en función de su rapidez, velocidad y aceleración, a través de las diferentes instancias y sin considerar las causas (fuerzas) que producen el movimiento.

Movimiento: Un móvil está en movimiento relativo con relación a un sistema de coordenadas elegido como fijo, cuando sus coordenadas varían al transcurrir el tiempo. Ejemplo, el movimiento de un satélite artificial observado desde la tierra, etc.

Reposo: Un móvil está en reposo relativo con relación a un sistema de coordenadas elegido como fijo, cuando no cambian las mismas a medida que transcurre el tiempo. Ejemplo, un árbol, un edificio, etc., están en reposo respecto de la Tierra, pero están en movimiento relativo con respecto del sol.

Trayectoria: Son los diferentes puntos que ocupa la posición del móvil al moverse desde una posición a otra.

Distancia: (e) Es la longitud de la trayectoria recorrida por el móvil desde una posición a otra.

MOVIMIENTO BIDIMENSIONAL RECTILINEO UNIFORME M.R.U.

Cuando el móvil recorre distancias iguales en tiempos iguales, con rapidez y velocidad constante en módulo dirección y sentido, la aceleración es nula.

Rapidez media (Vm). Es la distancia (e) recorrida por el móvil en cada intervalo de tiempo (∆ t ¿, (es una magnitud escalar). Su formula:

Vm= e∆ t

Velocidad media (⊽m¿. Es el desplazamiento (∆r ¿ realizado por el móvil en cada intervalo de tiempo (∆ t ) en una dirección y sentido determinado, (es una magnitud vectorial)

⊽m=∆r∆ t

Rapidez y velocidad no son sinónimos en el movimiento bidimensional, en consecuencia, la rapidez es el módulo de la velocidad.

Unidades de Velocidad. Es la relación entre las unidades de longitud y las unidades de tiempo:

millash

; Kmh

; Kms

; mmin

; cms

, pero de acuerdo al Sistema Internacional SI es el ms

.

2

Velocidad instantánea. Es una cantidad vectorial tangente a la trayectoria en un punto determinado, que indica el sentido del movimiento en cualquier instante o la velocidad real que dispone el móvil.

EJEMPLO.

1. Un móvil se mueve desde P hacia Q y luego a C, como indica el gráfico en un intervalo de 30 minutos. a)¿Cuál es la rapidez?; b) ¿Cuál es su velocidad? C e= 5 Km + 2Km=7 Km, distancia

2 Km ∆r 2=PQ2+QC 2

∆r 2=√(5 Km)2+(2 Km)2

P 5 Km Q ∆r=5.39 Km.

V=e∆ t

=7 Km0.5h

= 14Kmh

⊽=∆r∆ t

= 5.39Km

0.5h = 10.78

Kmh

MOVIMIENTO UNIDIMENSIONAL M.R.U.

Si el movimiento se realiza en línea recta, siguiendo el eje (x) con velocidad constante en un tiempo (∆ t ¿ ,el movimiento se da en una sola dirección y sentido, en tales casos rapidez y velocidad serán iguales, se elimina la notación vectorial, en consecuencia la ecuación se expresa:

V= et

EJEMPLO.

1. Un atleta corre 150 m en 25 segundos. ¿Cuál es su rapidez en: a) m/s; b) Km/h ; c) m/min ; d) cm/s?DATOS:e=150 m ; t= 25 s.

V= et

= 150m25 s

=6ms

a) 6 m/s ; b) 21.6 Km/h ; 360 m/min ; 600 cm/s

2. Calcular el tiempo empleado por un cuerpo para recorrer una distancia de 4 KM. Con una velocidad de 6 Km/h.DATOS: e= 4 Km ; v= 6 Km/h ; t= ¿

3

V= et

t= ev

= 4 Km

6Kmh

= 0.666 h.

MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME VARIADO

Se establece cuando la rapidez y la velocidad de un móvil cambian uniformemente y la aceleración es constante en módulo, dirección y sentido, a medida que transcurre el tiempo: determinándose de esta manera dos tipos de movimientos:

MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME ACELERADO M.R.U.A.

Un movimiento es acelerado cuando el módulo de la velocidad del móvil se incremente progresivamente, desde un módulo de velocidad inicial (V o ¿ que puede ser cero si parte del

reposo, hasta un módulo de velocidad final (V f ¿ en un intervalo de tiempo (∆ t ¿, determinando un módulo de aceleración positiva.

ACELERACION: Es la variación que experimenta la velocidad en cada intervalo de tiempo. La aceleración tiene la misma dirección y sentido que el vector variación de velocidad.

a= ∆v∆ t

a= v f−vo

tms2 ;

cms2

v f=vo+at

vm= vo+v f

2

e=(vo+v f )

2t

e= vot+a t2

2

4

v2=vo2+2ae

e= v f t - a t2

2

SIMBOLOGIA.

v f=velocidad final

vm=¿velocidad media

vo=velocidad inicial

∆ v=variaciónde velocidad

a= aceleración

e= espacio o distancia

t=tiempo

MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME RETARDADO

Se establece cuando el módulo de la velocidad disminuye proporcionalmente, el móvil inicia el movimiento con un módulo de velocidad inicial y termina con un módulo de velocidad final que puede ser cero cuando se detiene, determinando un módulo de aceleración negativo, por lo tanto utilizamos las mismas ecuaciones del movimiento uniforme acelerado, con la única diferencia de cambiar el signo a los términos que contiene la aceleración.

v f=vo−at

e= vot−a t 2

2

v2=vo2−2ae

e= v f t + a t2

2

EJEMPLOS.

1. Si un automóvil viaja a la velocidad de 10 m/s; al entrar en una recta aumenta su velocidad hasta 70 m/s, en un tiempo de 12 s.,¿ Qué aceleración experimentará?

DATOS: vo=10m /s ; v f=70m / s ; t= 12 s ; a=¿

5

a= v f−vo

t

a= 70

ms−10

ms

12 s= 5

m

s2

Esto significa que la velocidad aumentó 5 m/s en cada 1 s.

En este movimiento, en el cual la velocidad aumenta en el tiempo, se denomina movimiento acelerado.

2. ¿Qué velocidad llevará un móvil a los 5 minutos de su recorrido si su aceleración es de 2 m/s2.

DATOS: v f=¿ ; vo=0 ; t= 5 min=5x60= 300s ; a= 2 m

s2

v f=vo+at vo=0

v f=at

v f=2m

s2300 s = 600

ms

MOVIMIENTO DE CAIDA LIBRE DE LOS CUERPOS

El movimiento de caída de los cuerpos es un movimiento rectilíneo uniforme variado: es movimiento acelerado cuando el cuerpo cae, siendo la aceleración de la gravedad considerada positiva (+g) y es movimiento uniforme retardado cuando el cuerpo es lanzado hacia arriba, la aceleración de la gravedad se considera negativa (-g) por ser el movimiento contra la gravedad de la tierra; por lo tanto, la gravedad cambia ligeramente al variar la latitud y la altura con respecto al nivel del mar. Estas variaciones tienen como consecuencia que un cuerpo cambie de peso al pasar de un lugar a otro en la Tierra aunque en mínima proporción. Para los cálculos en Física tomaremos un valor promedio de g= 9.8 m/s2.

Como el movimiento es uniformemente acelerado, por tanto las ecuaciones escalares de caída de los cuerpos son las mismas del movimiento uniformemente variado, con la diferencia de cambiar (e) por (h) y (a) por (g).

Ecuaciones de descenso Ecuaciones de ascenso

v f=vo+¿ v f=vo−¿

h=(vo+v f )

2t h=

(vo+v f )2

t

h= vot+g t 2

2 h= vot−

g t2

2

6

v2=vo2+2 ghv2=vo

2−2 gh

h= v f t - g t 2

2 h= v f t +

g t 2

2

CAIDA EN PLANO INCLINADO

A medida que el ángulo va disminuyendo con la horizontal, se hace más lenta la caída de los cuerpos en el plano inclinado, sea cual fuere la inclinación del plano. Galileo Galilei explica que las distancias recorridas son proporcionales a los cuadrados de los tiempos empleados en recorrerlos y el módulo de la aceleración es constante; es decir que un cuerpo, cuando cae va aumentando su rapidez en 9.8 m/s2, cada segundo. Por lo tanto, tenemos las siguientes ecuaciones para calcular la aceleración y la distancia cuando un cuerpo se desliza por un plano inclinado.

a= g Sen∝

e= g Sen∝t2

2

EJEMPLOS

1.- Una piedra se lanza verticalmente hacia abajo desde una torre muy alta con una velocidad inicial de 3 m/s. ¿Qué velocidad alcanzará al cabo de 5 s y qué distancia habrá recorrido en ese tiempo?

DATOS: vo=3m /s ; t=5s ; h=¿ ; g= 9.8 m/s2 ; v f=¿

Velocidad que alcanza

v f=vo+¿

v f=3ms+(9.8

m

s2)(5 s) = 52 m/s

Distancia o altura recorrida

h= vot−g t2

2

7

h= 3ms

(5 s )−(9.8

m

s2 )(5 s)2

2

= 137.5 m.

2.- Un cuerpo cae libremente, al cabo de 3 s, ¿Cuál será la velocidad que lleva?, ¿Qué distancia habrá recorrido?

DATOS: vo=0 ; t=3 s ; h=¿ ; g= 9.8 m/s2 ; v f=¿

Velocidad de llegada

v f=vo+¿ ….. vo=0

v f=¿

v f=9.8m /s2( 3 s)= 29.4 m/s

Distancia o altura recorrida

h= vot+g t 2

2 ……..vo=0

h= g t2

2

h= (9.8m

s2 )(3 s)2

2

= 44.1 m

3.- Un bloque es lanzado hacia arriba por un plano inclinado, que forma un ángulo de 15 con la horizontal, y una velocidad de 20 m/s paralela al plano; no se considera el rozamiento. a) Encontrar el tiempo que empleara el bloque en regresar al punto de partida; b) Calcular la distancia que recorrerá por el plano hasta alcanzar la mayor altura.

DATOS: ∝=15 �̊ ; vo=20ms

; g=9.8 m

s2 ; v f=0 ; t=¿ ; e=¿

a) a= g Sen∝

a= 9.8 m

s2(Sen15❑̊)=2.54

m

s2

v f=vo+¿ ……………gx=a

8

t=vo−v f

a

t=

20ms−0

2.54m

s2

= 7.87 ascenso

t= 15.74 tiempo total

b) e= g Sen∝t2

2

e= 9.8

m

s2(Sen15)(7.87 s)2

2 = 78.66 m.

UNIDAD 2

9

MOVIMIENTO COMPUESTO

MOVIMIENTO COMPUESTO

Está sometido a dos movimientos: a un movimiento horizontal y otro vertical de caída libre, siendo acelerado cuando el cuerpo cae y retardado cuando el cuerpo asciende, cada movimiento se cumple independientemente.

10

TIRO OBLICUO

Cuando se dispara un proyectil se accionan dos movimientos, el horizontal (movimiento rectilíneo uniforme) y el movimiento vertical (movimiento rectilíneo uniforme variado); este movimiento, en primer lugar es retardado y luego es acelerado durante el movimiento del proyectil. Estos movimientos son simultáneos e independientes; el proyectil va ascendiendo hasta alcanzar la máxima altura y luego comienza a descender hasta tocar el suelo; el movimiento de avance es uniforme; mientras que los ascensos y descensos son movimientos uniformemente retardado y acelerado. Así tenemos el lanzamiento de un proyectil con velocidad vo y ángulo∝.

ECUACIONES DEL MOVIMIENTO PARABOLICO

Velocidad inicial horizontal (Vox) y vertical (Voy):

Vox = VoCos∝ Voy= Vo Sen ∝

Distancia horizontal recorrida, en un tiempo (t):

e= Vox t e= VoCos∝ t

Altura en que se encuentra (h) el proyectil en un tiempo determinado (t):

h= Voy t - g t2

2 h= Vo Sen ∝t− g t2

2

Velocidad vertical (Vy) en un punto (P) y en un tiempo (t):

Vy= Voy – gtVy= VoSen∝−¿

Velocidad resultante (VR):

VR2=Vox2+Vy2

Velocidad Total (VT) del proyectil:

VT2=Vo2−2Vo g t Sen∝+g2 t2

Altura máxima (hmax):

Hmax= Voy2

2g hmax= Vo

2Sen2∝2 g

Tiempo hasta alcanzar la altura máxima (ta):

ta= Voyg

ta= Voy Sen∝

g

Tiempo total o tiempo de vuelo (tv):

tv= 2Voyg

tv= 2VoSen∝

g

11

Alcance máximo (X máx):

Xmáx = Vo2Sen2∝g

X máx = Vo Cos ∝tv

Para logar el máximo alcance, depende del ángulo de tiro y de la velocidad inicial, por lo tanto sabemos que el mayor valor del seno es 1= 90 , y Sen 2 ∝=1, en consecuencia

2 ∝=90 �̊

∝=90̊�2

= 45 con este ángulo el tiro tiene máximo alcance.

EJEMPLO

1. Un proyectil es disparado con una velocidad inicial de 400 m/s, impacta en un blanco localizado a 10 Km de distancia. Determinar: a) El ángulo de tiro; b) Las componentes en x e y; c) La altura máxima; d) El tiempo de ascenso; e) El tiempo que estuvo en el aire.

DATOS: Vo= 400 m/s; Xmáx= 10 Km; g= 9.8 m

s2 ; ∝=¿; Vox=¿ ; Voy=¿ ; h

máx=¿ ;ta=¿ ; tv=¿ ; t 300m=¿.

a) Xmáx = Vo2Sen2∝g

Sen 2 ∝= Xmá xg

Vo2

Sen 2 ∝=10000m(9.8

m

s2)

(400ms

)2

2∝=37.77 �̊∝=18.88 �̊

b¿ Vox = Vo Cos∝

Vox = (400 ms

)( Cos 18.88 ) = 378.48 m/s

Voy= Vo Sen∝

Voy= (400 ms

)( Sen 18.88 ) = 129.43 m/s

c) Hmax= Voy2

2g

12

Hmax= (129.43

ms)

2

2(9.8ms2 )

= 854.30 m.

d)ta= Voyg

ta= 129.43

ms

9.8m

s2

= 13.21 s.

e) tv= 2Voyg

tv= 2(129.43

ms)

9.8m

s2

= 26.41s.

TIRO HORIZONTAL

Si desde un avión que vuela con movimiento uniforme se deja caer una bomba, ésta se mueve con movimiento compuesto, debido a que por inercia conserva la velocidad que lleva el avión , pero por la caída de los cuerpos también la bomba se mueve. El tiempo que tardará en caer la bomba a tierra será igual al tiempo que empleará si el avión estuviera quieto y dejara caer la bomba desde esa misma altura.

En consecuencia en este movimiento empleamos las mismas ecuaciones del movimiento rectilíneo uniforme y de caída libre.

ECUACIONES:

M.R.U. en el eje x M.R.U.A en el eje y

x= Vo t h= g t2

2 …. Si el cuerpo cae del reposo

Vo=0

Vo= √ g x2

2hv2=vo2+(g t)2

EJEMPLO.

13

1. Una avioneta vuela horizontalmente a 2000 m de altura a una rapidez de 200 km/h, la misión del piloto es dejar un equipaje de provisiones a un grupo de personas aisladas por la inundación debido al fenómeno del niño. a)¿A qué distancia antes de estar sobre el grupo debe soltar las provisiones?; b) ¿Qué velocidad tiene el equipaje a los 10 s del descenso?; c) Con que velocidad impacta en el suelo, si el equipaje no disponiera de paracaídas?

DATOS: h=2000m; Vo=200 Km/h=5.66 m/s; x=¿; V10=¿ ; V=¿ ; g=9.8 m

s2

a) x= Vo t

h= g t2

2

t= √ 2hg

= √ 2 (2000m)

9.8ms2

= 20.20 s

x= 5.66 ms

(20.20s)= 1123.12m

b) v2=vo2+(g t)2

v2=(55.6ms)

2

+¿¿

v=112.67ms

c) v2=vo2+2gh

v2=(55.6ms)

2

+2(9.8ms2 )(2000m)

v=205.65m /s

14

UNIDAD 3

MOVIMIENTO CIRCULAR

15

MOVIMIENTO CIRCULAR M.C

Cuando el móvil describe una circunferencia de radio (R) cuya unidad es el ángulo plano llamado radián, utilizado para medir ángulos en Física.

DISTANCIA EN EL M.C.U (e). Es la longitud del arco recorrido por el móvil

e= ∆θ R

RADIAN (rad) Es un ángulo central del que corresponde un arco, cuya longitud es igual al radio de la circunferencia.

FACTORES DE CONVERSIÓN ENTRE RADIANES Y GRADOS SEXAGECIMALES

16

Sabiendo que la longitud de la circunferencia es igual 2 π R, osea: Lc= 2 π R; por lo tanto, si un cuerpo tiene movimiento circular describe una trayectoria circular, que podemos medir en las siguientes equivalencias:

1 revol= 1 vuelta= 2 π rad= 360 = 6.2832 rad

1 rad= 57.2958 =57 17´ 44.8’’

1 = ̊π rad180

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

Este movimiento se da cuando el móvil recorre ángulos o arcos iguales en tiempos iguales, manteniéndose la velocidad angular (W) constante y la velocidad (v).

ELEMENTOS Y CARACTERISTICAS DEL MOVIMIENTO CIRCULAR

1. PERIODO (T): Es el tiempo que emplea el móvil en dar una vuelta o revolución completa con M.C.U., su período es constante y suunidad es el segundo(s).

T= tn

2. FRECUENCIA (f): Es el número de revoluciones o vueltas realizadas por el móvil en cada unidad de tiempo

f= nt

f= 1T

La frecuencia se mide en revs

; revmin

;1s(Hz)

3. DESPLAZAMIENTO ANGULAR (∆θ ¿:Es el movimiento que experimenta la posición angular del móvil con relación a un sistema de referencia en un intervalo de tiempo.

∆θ=θ−θo∆θ=2π nrad (cuando da una vuelta completa)

El desplazamiento angular lo expresamos en: grados ( ); revoluciones(rev); vueltas; radianes (rad).

4. Velocidad angular (w): Es el desplazamiento angular descrito por el móvil en cada intervalo de tiempo, la velocidad angular es constante en el M.C.U.

w= ∆θt

; w= θ−θo

t ; w=

2πradT

; w= 2 π f

La velocidad angular la expresamos en:

gradoss

; vueltasmin

; revs

; 1s

; rads

17

5. Velocidad lineal (v): En el movimiento circular uniforme, la velocidad permanece constante en módulo, pero varía en dirección y sentido la velocidad lineal por ser

siempre tangente a la circunferencia. Su unidad es: ms

v=2π RT

v= w R

6. Aceleracióncentrípeta ( ac): En el movimiento circular uniforme no hay aceleración tangencial y sólo se genera aceleración normal o centrípeta, perpendicular a la velocidad, tiene la dirección del radio y está dirigida hacia el centro. El módulo es

constante y su unidad es m

s2 , ecuaciones:

ac=v2

R ; ac=

4 π2RT 2 ; ac= w2R ; ac= 4 π2 f 2R

SIMBOLOGIA:

T=periodo w=velocidad angular

t= tiempo R=radio

f= frecuencia v=velocidad

∆θ =desplazamiento angular

n= número de revoluciones

θ=¿posición angular inicial

θo=¿posición angular inicial

e= espacio lineal o distancia

ac= aceleración centrípeta

EJEMPLOS

1. Una rueda de esmeril de 15 cm de radio da 400 rev en 5 minutos. a) Calcular la frecuencia; b) Encontrar el período, c) Hallar la velocidad angular; d) Calcular la velocidad; e) Hallar el desplazamiento, f) ¿Cuál es la aceleración centrípeta.DATOS: R= 15cm ; n=400 rev ; t= 5 min= 300s ; f=¿ ; T=¿ ; w=¿ ; v=¿ ; ac=¿.

a) f= nt

= 400 rev300 s

= 1.333 revs

b) T= tn

= 300 s

400 rev = 0.75s

18

c) w=2 π f= 2 (3.1416 radrev

)(1.33revs

)= 8.37 rads

d) v= w R= 8.37 rads

(0.15 m)= 1.26 m/s

e) ∆θ=2π nrad= 2 (3.1416)(400)rad= 2513.28 rad

f) ac= w2 R= (8.37rads

)2

(0.15m )=10.51ms2

UNIDAD 4

19

DINAMICA

DINAMICA

La dinámica es la parte de la mecánica que tiene por objeto el estudio de las causas que producen o modifican el movimiento. Consta de 3 leyes propuestas por Isaac Newton.

PRIMERA LEY O PRINCIPIO DE INERCIA

Todos los cuerpos mantienen su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme si ninguna fuerza actúa sobre ellos, obligándoles a salir de su situación especial.

También puede enunciarse afirmando que toda partícula en reposo tiende a seguir en reposo y toda partícula en movimiento tiende a seguir en movimiento. Se refiere a la resistencia que presentan los cuerpos para cambiar de estado de reposo al de movimiento o viceversa.

20

Mientras más masa tiene un cuerpo mayor será la resistencia a moverse o lo que es lo mismo mayor será su inercia.

SEGUNDA LEY O PRINCIPIO DE LA MASA O DE LA FUERZA.

La fuerza es directamente proporcional a la masa. La fuerza es directamente proporcional a la aceleración. Es decir la fuerza F es igual al producto de la masa m por la aceleración a. O sea:

F=m .a

Unidades de fuerza: Se define como la fuerza que actuando sobre la unidad de masa le imprime la unidad de aceleración.

La unidad MKS de fuerza es el Newton, y es la fuerza que actuando sobre un Kilogramo le imprime una aceleración de 1 m/s2

La unidad CGS de fuerza es la DINA, y es la fuerza que actuando sobre un gramo le imprime una aceleración de 1 cm/s2.

La unidad inglesa PLS de fuerza es el Poundal, y es la fuerza que actuando sobre una libra le imprime una aceleración de 1 pie/s2.

PESO: Es al fuerza de atracción gravitacional ejercida por la tierra sobre un cuerpo; como el peso es una fuerza, por lo tanto es una cantidad vectorial.

P=F

P=m g

MASA: Es la medida de la inercia de un cuerpo, en consecuencia es una cantidad escalar.

m= Pg

FACTORES DE CONVERSION DE UNIDADES DE FUERZA Y MASA

Unidades de Fuerza:

1 Kgf=9.8 N 1 lbf=32 poundal

1N= 0.102 Kgf 1 Kgf=2.204 lbf

1N= 105 dinas1 lbf=454 gf

1 gf=980 dinas

21

Unidades de masa:

1Kg= 1.02 x 10−1 utm

1 utm=9.8 Kg

EJEMPLOS

1- Al aplicar una fuerza de 96 N sobre un cuerpo, se acelera a razón de 12 m/

s2 , ¿cuál es sumasa?

DATOS: F=96 N ; a= 12 m/s2 ; m=¿

F=m .a

m= Fa

= 96N

12m

s2

=

96Kg

m /s2

12ms2

= 8 Kg

2.- a) Calcular la fuerza constante necesaria para detener un automóvil de 12000 N de peso en

6 segundos, que viaja con una velocidad de 60 Kmh

. b) ¿Qué distancia recorrerá hasta

detenerse?

DATOS: F=¿ ; t=6s ;P=12000 N ; Vo=60 Kmh

= 16.67 m/s ; e=¿ ; V=0

a) F= m a

m= Pg

=

12000Kgm

s2

9.8ms2

= 1224.5 Kg.

a= Vo−v

t =

16.67ms

6 s = 2.78

m

s2

F= 1224.5 kg x 2.78 m

s2 = 3404.11 N

22

b) e= Vo−v2

t=16.67

ms

2( 6s)= 50m.

TERCERA LEY O PRINCIPIO DE LA ACCION Y REACCION

Para cadaacciónexisteunareacción igual y opuesta; por lo tanto, las acciones mutuas entre dos cuerpossiempreserániguales y de sentidos opuestos.

Podemosnombraralgunosejemplos, donde se cumpleesta ley, entre los queobservamosdiariamente:

- Cuandocaminamos, con el pie hacemosunafuerzahaciaatrás (acción) y la tierrareacciona con unafuerzahaciaadelante (reacción).

- La hélice de unbarcoempuja el aguahaciaatrás, el aguareacciona y empuja la hélicehaciadelante, permitiendoque el barco se mueva.

- La fuerzaqueejerce el martillosobre el clavo, y la queejerce el clavosobre el martillo, etc.

La tercera ley se expresará de la siguientemanera:”siempreque un cuerporealizaunafuerza (acción) sobreotro, éstereacciona con unafuerza igual y opuesta a la fuerza de acción; las dos fuerzas son iguales en magnitude pero de sentidos opuestos”

DENSIDAD Y PESO ESPECIFICO

DENSIDAD (δ ¿. La densidad de uncuerpoes la masacontenidaporunidad de volume del mismo.

δ=mV

Unidades: lasunidadesestán en relación entre la unidad de masa y la unidad de volume,

lascuales se expresan a continuación: lb

pie3;Kg

dm3;

g

cm3 ; pero de acuerdo al SI su unidad es

el Kg

m3 .

PESO ESPECIIFICO

Es el peso de uncuerpoporcadaunidad de volume.

ρ= PV

P=mg

23

ρ=mV

g

ρ=δ g

Unidades: lasunidadesestán en relación entre la unidad de peso delcuerpo y la unidad de volume, lascuales se expresanasí:

lbf

pie3;Kgf

dm3;Kgf

m3;gf

cm3

EJEMPLOS

1. ¿Cuántopesa un trozo de oro de forma prismática, si la base mide 1 cm2 y la altura 4

cm, cuya densidad del oro es 19.3 g

cm3 ?

DATOS: A= 1 cm2 ;h=4cm ;δ=19.3

g

cm3=19300

Kg

m3; g=9.8

m

s2; P=¿

V= A h= 1 cm2( 4 cm) = 4 cm3

δ=mV

m=δ V = 19300 Kg

m3(0.00000 4 m2)=0.0772 Kg

P=mg = 0.0772 Kg ( 9.8m

s2¿ = 0.75656 N.

2.−¿ Un trozo de hierro de 4 dm3tiene una masa de 31.2 Kg. a) Calcular la densidad; b) Encontrar el peso específico; tanto en los polos como en el Ecuador.

DATOS: V= 4 dm3 ; m= 31.2 Kg ; gp= 9.83 m

s2 ; ge= 9.78 m

s2

a¿δ=mV

= 31.2Kg

4 dm3 = 7.8 Kg

dm3

P=mg=31.2 Kg(9.83m

s2 )=306.6N=31.28 Kghf

ρ= PV

=31.28 Kgf

4dm3 = 7.82 Kgf

dm3

24

c) P=m g= 31.2 Kg (9.78 m

s2¿=305N=31.12Kgf

δ=7.8Kg

dm3

ρ= PV

=31.12Kgf

4dm3=7.78

Kgf

dm3

LEY DE GRAVITACION UNIVERSAL

Al hombre lo que le ha motivadoes el studio por saber y conocer el Universo, el comportamiento de los cuerposcelestes en el espacio sidereal, desde el punto de vista individual, total y de manera especial ha centradosu studio astronómico en el Sistema solar queesunaminima parte de la VíaLáctea, studio que ha permitido determiner lasleyes fundamentals querigen el movimiento de los Astros (planetas, cometas, estrellas, satélites, galaxias, etc.) en el espacio sidereal; leyesquehanguiado en la actualidad el lanzamiento de cohetes y satélitesartificiales, que son de interés fundamental para los astronomers y fiascos contemporaneos en el avance de la ciencia.

Esta ley difundidapor Newton dice: Toda particular en el universe atrae a cualquierotra particular con unafuerza en razóndirectadelproducto de susmasas, y en razóninversa del cuadrado de la distanciaquelassepara.

Estarazón se sueleenunciar mediante la ecuación:

F= G m1m2

r2

Done:

m1 y m2 son lass masas de las dos partículascualquiera

r=distancia entre las dos masas

G esunaconstante de la gravitación universal fuecalculadopor el físico Henry Cavendish cuyo valor es G= 6.67 x 10−11 N .m2/Kg2 o G= 6.67 x 10−8dina . cm2/g2

EJEMPLOS

1. ¿Cuáles la fuerza de atraccióngravitacional entre dos masas de 80 Kg y 60 Kg separadas 2m?

DATOS:

25

F=¿ ; m1= 80Kg ; m2= 60Kg ; r=2m; G= 6.67 x 10−11 N m2

Kg2

F= G m1m2

r2 = 6.67 x10−11 N .m2

Kg2

(80 Kg)(60 Kg)¿¿ = 8.004 x 10−8 N.

2. Calcular la fuerza de atracciónmutua entre la tierra y la luna, si la masa de la lunaes 7.06 x 1022Kg, y la tierra tiene una masa de 5.98 x 1024 Kg , cuya distancia entre sus

centros de gravedad son de 3.84 x 108 m.

DATOS:

F=¿ ; m1= 5.98 x 1024 Kg ; m2= 7.06 x 1022Kg ; r=3.84 x 108 m ; G= 6.67 x 10−11 N m2

Kg2

F= G m1m2r2 =6.67 x 10−11 N m2

Kg2

(5.98 x 1024Kg)(7.06 x 1022Kg)(.84 x108m)2 = 1.91 x 1020N .

FUERZA DE ROZAMIENTO

ROZAMIENTO EN PLANO HORIZONTAL

1. Cuando la fuerzaaplicada al cuerpoesparalela al ´plano horizontal el cuerpoentra en movimiento.

a. Cuando el sistemaestá en reposo la aceleraciónes cero

Cuerpo m1 a=0 cuerpo m2

ƩFy=0Ʃ Fx=0 ƩFy=0

26

N=m1 .g T-fc=0 T – m2 . g

T= fc T= m2 .g

b. Cuando el sistemaestá en movimiento, ésteadquiereunaaceleración (a)

ƩFx=ma

T – fc= m a

a= T−fcm

En el rozamiento de los cuerposactúan entre otras; la fuerza normal (N), la fuerza de rozamientocinético (fc), coeficiente de rozamiento (μ¿

Fc= μc N

EJEMPLOS

1. Un tren arrastra un vagón de 1000 Kg de masa, dentro del cual viajan 40 personas de 70 Kg de masa c/u, si el coeficiente de rozamiento cinético de los carriles es 0.01. Calcular la fuerza de rozamiento.

DATOS.

m1=1000 Kg ;μc=0.01 ;mp=70 Kg x 40=2800 Kg ;mT=1000 Kg+2800 Kg=3800 Kg

P=m g fc= μc N

P= 3800 Kg ( 9.8m

s2¿ fc= 0.01 ( 37240 N)

P= 37240 Nfc= 372.4 N

2. Cuando la fuerza aplicada al cuerpo forma un ángulo con el plano horizontal

EJEMPLO

Un cuerpo de 10 Kg está sobre una superficie horizontal y el coeficiente de rozamiento cinético entre cuerpo y plano es 0.2. a) ¿Cuál es el valor de la aceleración al aplicarle una fuerza de 100 N, formando un ángulo de 30 ᵒ con la horizontal? b) ¿Qué fuerza debe realizarse para movilizar

27

el cuerpo con velocidad constante? c)¿Qu’e valor tiene la fuerza para movilizar el cuerpo con una aceleración de 2 m/s-

DATOS:

m=10 Kg; F=100N; μc=0.2θ=30 ᵒ F=¿; a=¿; a= 2 m/s

a) Determinar la aceleración del cuerpo

ƩFx= m aƩFy= 0

F cosθ - μc N= m a N + F senθ – p=0

N= p – F senθ

F cosθ –μc(p- F senθ ¿=m a

F cosθ- μc p+μc F senθ= m a

F(cosθ+ μc senθ¿ - μc p= m a

a=F (cosθ+μc senθ )−μc p

m

a=100Kg

m

s2(cos30 ᵒ+0.2 sen30 ᵒ )−0.2(10 Kg)(9.8

m

s2)

10 Kg = 7.7

m

s2

b) Determinar el valor de la fuerza aplicada al cuerpo con velocidad constante

ƩFx=0 a=0 ƩFy=0Fcosθ−fc=0 N + Fsenθ-p=0

Fcosθ−μcN=0 N= p – Fsenθ

28

Fcosθ−μc ( p−Fsenθ )=0

Fcosθ−μcp+μcFsenθ=0

F(cosθ+μcsenθ ¿−μcp=0

F=μC p

cosθ+μcsenθ= (0.2)(10 Kg)(9.8

m

s2)

cos30 ᵒ+0.2 sen30 ᵒ= 20.29 N

c) Determinar el valor de la fuerza con aceleración constante

F= ma+μc p

cosθ+μcsenθ= F=

(10Kg )(2m

s2 )+0.2(10Kg)(9.8m

s2 )

cos30 ᵒ+0.2 sen30 ᵒ

= 40.99 N

ROZAMIENTO EN PLANO INCLINADO

Si consideramos los principios del plano inclinado sin rozamiento y lo confrontamos cuando un cuerpo asciende o desciende por un plano inclinado con rozamiento, podemos determinar las ecuaciones de fuerza paralela (fp) al plano inclinado, relacionando el rozamiento entre el cuerpo, el plano y la segunda ley de Newton.

- Fuerza de rozamiento cinético en plano inclinado

Partimos del plano horizontal

fc= μc N

N=P cosθ

fc=μc pcosθ

- Determinar la fuerza paralela hacia arriba (Fp)

29

Cuando el cuerpo asciende por un plano inclinado con velocidad constante.

ƩFx=0 a=0

Fp-Psenθ−μc pcosθ=0

Fp= Psenθ+μc Pcosθ

Fp= P(senθ+μc cosθ¿

-Determinar la fuerza paralela hacia abajo (Fp)

Cuando el cuerpo desciende por un plano con velocidad constante

ƩFx=0 a=0

Psenθ−Fp−μc pcosθ=0

-Fp=- Psenθ+μc Pcosθ

Fp= Psenθ−μc cosθ ¿

Fp= P(senθ−μc cosθ ¿

-Determinar la fuerza (Fp) para que el cuerpo ascienda con aceleración constante

ƩFx=ma

Fp – Psenθ - μc Pcosθ=ma

Fp= P(senθ+μc cosθ¿+ma

a=Fp−P(senθ+μc cosθ)

m

- Determinar la fuerza (Fp) para que el cuerpo descienda con aceleración constante

ƩFx=ma

Psenθ - μc Pcosθ−Fp=ma

-Fp=- Psenθ+μc cosθ+ma

Fp=P(senθ−μc cosθ¿−ma

a=P (senθ−μc cosθ)

m si Fp=0

EJEMPLO

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Un bloque desciende por un plano inclinado que forma un ángulo de 15 ᵒ con la horizontal, si el coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y la superficie del plano es 0.06. a)¿Cuál es el módulo de la aceleración con que desciende el bloque?;¿Cuál es la rapidez al recorrer 8m, si parte del reposo el bloque?

DATOS:

θ=15ᵒ ; μc=0.06; g=9.8 m

s2 ; Vo=0 ; a=¿ ; v=¿ ; e=8m

a) ƩFx=ma

Psenθ–Fp-μc Pcosθ=ma

a= P (senθ−μc cosθ)

m

a= P (senθ−μc cosθ)

Pg

a= (senθ−μccosθ )

g = ⦏ sen15 ᵒ− (0.06 ) cos15 ᵒ ¿ ¿

9.8m

s2 = 1.96

m

s2

b) V 2=Vo2 + 2a e

V= √2(1.96ms2 )(8m) =5.6

ms

UNIDAD 5

31

ESTATICA

Sea un cuerpo que puede girar solamente alrededor de un eje fijo perpendicular al plano del dibujo en el punto O.

32

Si aplicamos la Fuerza F1 en un punto A del cuerpo éste no se mueve. Si aplicamos ahora la fuerza F2 de igual magnitud que F1 en el mismo punto A, el cuerpo gira. Si desplazamos esta fuerza al punto B el cuerpo girará más rápidamente.

Esto indica que el efecto que produce una fuerza sobre un cuerpo que puede girar con respecto a un eje fijo, depende de la dirección de la fuerza aplicada y de su distancia al eje de rotación.

Por tanto para estudiar los movimientos de rotación de los cuerpos rígidos, es necesario introducir un nuevo concepto: momento de fuerza que une fuerza, dirección y distancia con respecto al eje de rotación.

CONCEPTO DE MOMENTO DE FUERZA: Se define momento de fuerza o torque de una fuerza F con respecto al punto O, al producto de :

M= F d

Se nota que:

a. El momento de fuerza depende del punto de referencia,b. Que las unidades de momento son Kgf . mc. Diremos que el momento de fuerza es positivo, si el efecto de la fuerza es producir una

rotación alrededor de O contraria al movimiento de las agujas del reloj, y negativo cuando la rotación se produce en el mismo sentido del movimiento de las agujas del reloj.Si la dirección de la fuerza pasa por O, el movimiento de la fuerza es cero (Senθ=sen 0=0¿.

EJEMPLOS

1. El momento con respecto a O de la fuerza de la siguiente figura.

M= F d= 2 x 3 Kgf= 6 Kgf.

33

2. Calcular el momento total de fuerzas de la siguiente figura con respecto a O, a O´ , y a O’’ es:

M o= (2 x 4Kgf)- (5 X 4Kgf)= -12 Kgf

M o’=0 – (3 x 4 Kgf)= -12 Kgf

M o’’= -( 3 x 4 Kgf) – 0= -12Kgf

FUERZAS INTERNAS Y EXTERNAS

En unc cuerpo rígido las fuerzas internas son las fuerzas moleculares entre las diferentes partículas del cuerpo; son en mayoría de atracción y producen la cohesión del cuerpo rígido. Las fuerzas externas serán las producidas por otros cuerpos como la Tierra, el suelo, una pared, o una cuerda por ejemplo.

Es evidente que las fuerzas, tanto internas como externas, deben ser inferiores a ciertos límites, sin los cuales se produciría la ruptura del cuerpo rígido.

EQUILIBRIO DE UN CUERPO RIGIDO

Si se aplican fuerzas coplanarias a un cuerpo rígido, su equilibrio con respecto a un sistema de referencia inercial estará determinado por:

a) Primera condición de Equilibrio

Ʃ F= 0

Que se descompone en dos ecuaciones

ƩFx= 0 ; ƩFy=0

La suma de las fuerzas aplicadas al cuerpo es cero.

Estas ecuaciones indican que el cuerpo no tiene movimiento de traslación (si su velocidad inicial es cero).

b) Segunda condición de Equilibrio

Ʃ M= 0

La suma algebraica de los momentos con respecto a un punto de las fuerzas aplicadas es igual a cero. Esto asegura que el cuerpo no gira con respecto a ningún eje (si su velocidad angular inicial es nula).

PROBLEMAS DE EQUILIBRIO DE CUERPOS RIGIDOS

34

Para resolver los problemas de equilibrio de cuerpos rígidos se debe:

- Dibujar todas las fuerzas externas aplicadas al cuerpo rígido en estudio: estas fuerzas son en general el peso y las producidas por: las cuerdas, las varillas, el suelo, la pared y los pivots o articulaciones. Cuando se tiene duda del sentido de una fuerza se escogerá éste arbitrariamente. Si en la solución resulta, para esta un valor negativo, esto quiere decir que la fuerza realmente tiene el sentido contrario.

- Escoger un sistema de ejes de referencia sobre cuyos ejes se puede descomponer las fuerzas y aplicar la primera condición de equilibrio.

- Escoger un punto con respecto al cual se calculan los momentos de fuerza. En general se elige el punto que haga desaparecer el mayor número posible de fuerzas incógnitas en la segunda ecuación de equilibrio.

EJEMPLO

1. En la balanza romana de la figura, ¿Cuál es el peso del objeto A y qué marca el dinamómetro D?: Por la segunda ley de equilibrio con respecto al punto 0, se tiene:

Ʃ M= 0

W x 10 cm - 2Kgf x 40 cm=0

W= 8 Kgf

Y por la primera ley

ƩFy=0

T – 2Kgf-8Kgf=O

T= 10 Kgf.

COMPOSICION DE FUERZAS PARALELAS

Sea un sistema de fuerzas paralelas al eje y (figura)

35

El vector suma es.

R= ƩFi= F1 + F2 - F3

Llamaremos centro de fuerzas paralelas (punto C de abscisa Xc) a la posición de esta suma cuando su momento con respecto a un punto es igual a la suma de los momentos de las fuerzas con respecto al origen:

XcR= Ʃi xi Fi= x1F1 + x2F2+ (-x3F3)

La abscisa del centro C es en consecuencia,

Xc= Ʃ xi Fi

R= x1F 1+x2 F2−x 3 F3

R

Esto indica que un conjunto de fuerzas paralelas se puede reemplazar por una sola fuerza llamada resultante, paralela al conjunto y que actúa en el centro de fuerza.

EJEMPLO

1. Encontrar la resultante de las fuerzas que actúan sobre la varilla de la figu

R= ƩFi= F1 + F2 - F3

R= 30 Kgf-20Kgf+40Kgf= 50Kgf

Y su posición con respecto a O es:

Xc= Ʃ xi Fi

R= x1F 1+x2 F2−x 3 F3

R

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Xc= (20cmx 30Kgf )− (40cm x20Kgf )+(70cm x40Kgf )

50 = 52 cm.

MAQUINAS SIMPLES.

Las palancas, poleas, tornos y planos inclinados se denominan máquinas simples, y no obstante haber sido inventadas hace miles de años, todavía reportan gran utilidad. No hay más que observar una máquina de escribir o una máquina de ferrocarril: por todos lados descubriremos palancas, tornos, poleas, engranajes, etc.

PALANCA

Una palanca es, en general, una barra rígida, que puede girar alrededor de un punto o un eje.

La condición para que una palanca esté en equilibrio, es que la suma de los momentos de la fuerza motriz y de la resistencia sea nula.

GENEROS DE PALANCAS:

Son palancas de primer género aquellas cuyo punto de apoyo está entre la resistencia y la fuerza motriz. Ejemplos: las tijeras, las balanzas de platillos, el subibaja.

Palancas de segundo género son aquellas que tienen la resistencia aplicada entre el punto de apoyo y la fuerza motriz. Ejemplos: la carretilla, el remo de un bote.

Palancas de tercer género son aquellas que tienen la fuerza motriz entre el punto de apoyo y la resistencia. Ejemplos: el pedal de la máquina de afilar.

Cualquier sea el género de palanca, la condición de equilibrio es la misma.

Muchas veces se usan palancas para ganar fuerza. Con sólo 20 Kgf se pueden levantar, por ejemplo 200 Kgf. Se ha ahorrado fuerza.

BALANZAS

Las balanzas son una aplicación de la palanca. Hay diversos tipos: pero las más comunes son las de platillos y la romana. Las primeras son palancas de brazos iguales. De modo que la resistencia y la fuerza motriz deben ser iguales. En las romanas, en cambio, el brazo de la resistencia es siempre menor.

TORNO

El torno no es sino una palanca con forma apropiada para que de muchas vueltas y pueda arrollar una soga. Lo constituye un cilindro que por medio de una manija gira alrededor de su eje, que permanece fijo.

POLEA FIJA

37

Es una rueda que puede girar alrededor de un eje fijo que pasa por su centro. En su periferia tiene una garganta, por lo que corre una soga o una cadena. Un ejemplo es la conocida roldana.

La condición de equilibrio de una polea fija es que la fuerza motriz sea igual a la resistencia.

POLEA MOVIL

En lugar de apoyarse en el eje como la fija, lo está en la cuerda. La condición para que una polea móvil esté en equilibrio, es que la fuerza motriz sea la mitad de la resistencia.

Como conclusión, podemos decir que con las máquinas simples se consigue multiplicar nuestra fuerza, o bien nuestra velocidad, o bien ganar en comodidad.

UNIDAD 6

38

TRABAJO, POTENCIA Y ENERGIA

TRABAJO

El término trabajo es muy empleado en el lenguaje cotidiano, en todas las actividades que realizamos: cuando estudiamos un libro, cuando una persona sostiene en sus brazos

39

extendidos un peso, si usted transporta de un lugar a otro un cuerpo; cuando trasladamos un peso horizontalmente, etc.

Pero a nivel del estudio de la Física, hay que darle un significado concreto y científico al concepto de trabajo; al respecto los físicos y científicos expresan que se realiza trabajo cuando actúa una fuerza sobre un cuerpo y se logra un desplazamiento, determinando una componente en dirección del movimiento. Cuando levantamos un peso y vencemos la aceleración de la gravedad, si estiramos un resorte o se lo comprime, venciendo su resistencia, cuando una persona arrastra un cuerpo sobre una superficie horizontal, etc. Se ejecuta trabajo desde el punto de vista de la física, por cuanto se ha realizado un desplazamiento.

Las ecuaciones escalares que nos permite calcular el trabajo son:

T= P h

T= m g h

T=F e

Tfc= fc e

T=F e cosθ

UNIDADES DE TRABAJO

Entre las unidades de trabajo empleadas tenemos: Kilográmetro (Kgm); Julio (J); ergio (erg); Kilovatio-hora (KWh); Libra-pie (lb pie). Unidades que se expresan: 1 Kgm=1Kg 1m; 1 erg=1

dina. 1 cm; (erg= g mc

s2cm¿; 1 Julio= 1 N. 1m; (1 J=kg

m

s2 m)

KILOGRAMETRO: Es el trabajo que realiza la fuerza de un Kgf, actúa a lo largo de una distancia de un metro, en la misma dirección y sentido que la fuerza.

JULIO: Es la cantidad de trabajo que realiza la fuerza de un Newton cuando actúa a lo largo de una distancia de un metro en la misma dirección y sentido que la fuerza.

ERGIO: Es la cantidad de trabajo que realiza la fuerza de una dina, cuando actúa a lo largo de una distancia de un centímetro, en la misma dirección y sentido que la fuerza-

KILOVATIO-HORA: Es el trabajo realizado en una hora, por una máquina que tiene la potencia de un KW.

FACTORES DE CONVERSION DE UNIDADES DE TRABAJO

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Kgm Julio erg KWh

1 Kgm 1 9.8 9.8 x 107 2.72 x 10−6

1 J 0.102 1 107 2.78 x 10−7

1 erg 1.02 x 10−8 10−7 1 2.78 x 10−14

1 KWh

3.67 x 105 3.6 x 106 3.6 x 1013 1

EJEMPLOS

1.- Un cuerpo se desplaza 500m cuando se lo somete a la acción de una fuerza de 20 Newton. Calcule el trabajo realizado por la fuerza si: a) La fuerza actúa en el mismo sentido del desplazamiento. b) La fuerza actúa en sentido perpendicular al desplazamiento. c) La fuerza actúa en sentido contrario al desplazamiento es decir, actúa con tendencia a retardar el movimiento del cuerpo.

DATOS:

e=500m; F=20N; T= ¿

a) T= F e cosθ

T= 20 N x 500m x cos 0ᵒ = 10000 N . m= 10000 J

b) T= F e cosθ

T= 20 N x 500m x cos 90ᵒ= 20N x 500m x 0=0

c) T= F e cosθ

T= 20 N x 500m x cos 180 ᵒ= 20N x 500m x (-1)= -10000 N . m=-10000 J

ENERGIA

Es la capacidad que tienen los cuerpos para efectuar un trabajo; la energía puede presentarse bajo diferentes formas: Sonora, Química, Nuclear, Eólica, Solar, otras. Conviene identificar en mecánica, dos tipos de energía: la energía cinética y la energía potencial.

Si un cuerpo realiza un trabajo, su energía tiende a disminuir en cantidad igual al trabajo realizado. En cambio, si sobre el cuerpo se ejecuta un trabajo, su energía tiende a aumentar en cantidad igual al trabajo suministrado; por consiguiente, las unidades empleadas para medir la energía son las mismas que utilizamos para medir el trabajo; el Joule.

ENERGIA CINETICA

41

La energía cinética es la energía que posee un cuerpo en virtud de su velocidad. Entonces un cuerpo posee energía cinética cuando está en movimiento. Ejemplo: un automóvil en una carrera, una molécula en un gas, etc. El valor de la energía se expresa:

Ec= mv2

2

Dónde:

m= masa del cuerpo

v= velocidad del cuerpo

ENERGIA POTENCIAL

Es la energía que posee un cuerpo en virtud de su posición o condición en que se encuentra. Ejemplo: un resorte comprimido, la energía eléctrica, la energía química, etc.

Todo cuerpo que se encuentra a una altura h respecto a un nivel dado, posee una energía potencial gravitacional porque puede realizar un trabajo al caer. Entonces el valor de la energía potencial se expresa:

Ep= m g h

Dónde:

m=masa del cuerpo

g= aceleración de la gravedad

h= altura

CONSERVACION DE LA ENERGIA MECANICA

Un cuerpo puede poseer a su vez energía cinética y energía potencial. La energía total de un cuerpo es la suma de todas las formas de energía que posee.

El principio de la conservación de la energía dice: “La cantidad total de energía del universo es constante. No se crea ni se destruye, solo se transforma”.

Los innumerables fenómenos que ocurren continuamente permiten las transformaciones o intercambio de energía entre los cuerpos, lo cual ha hecho que el hombre avance en el desarrollo de la tecnología y aproveche de la mejor manera los recursos naturales. De acuerdo a su utilización, la energía puede ser transformada en: energía eléctrica, calorífica, radiante,

42

térmica, química, etc. Un ejemplo claro y de gran utilidad es el siguiente. Si liberamos el agua que está represada a gran altura (energía potencial), se transforma en energía cinética al caer.

Si las fuerzas que actúan sobre un cuerpo se consideran conservativas, la energía mecánica total inicial, será igual a la energía mecánica total final. Dicha expresión es:

Eco + Epo = Ec + Ep

EJEMPLOS

1. ¿Cuál es la energía cinética de un automóvil cuya masa es 1400 Kg si posee una velocidad de 20 m/s?

DATOS:

Ec= ¿ m=1400 Kg; v=20m/s

Ec= mv2

2

Ec= 1400Kg(20

ms)

2

2 = 280000J

2. Una peña de 100 Kg, se encuentra al borde de un precipicio de 200m de altura. Calcular la energía potencial.

DATOS:

m= 100 Kg; h=200m; Ep= ¿

Ep= m g h

Ep= 100 Kg x 9.8 m

s2x200m= 196000J

43

UNIDAD 7

FUERZAS INTERMOLECULARES

44

Las fuerzas moleculares como su nombre lo indica, son las fuerzas que unen moléculas. Cabe recordar que no todas las sustancias forman moléculas.

El hecho de que todos los cuerpos sean agregados de moléculas indica que entre las moléculas se ejercen fuerzas que las mantienen unidas. En los sólidos, esas fuerzas son muy intensas. En los líquidos las fuerzas intermoleculares son también intensas, pero están contrarrestadas en parte, por la mayor energía cinética de las moléculas, que les confiere más movilidad. En los gases, por el contrario, las fuerzas intermoleculares son muy débiles y predomina la agitación molecular.

La interacción molecular producida entre moléculas de una misma clase recibe el nombre genérico de cohesión. Además, existen fuerzas entre moléculas diferentes químicamente. Las fuerzas entre moléculas de distinta clase reciben el nombre genérico de adhesión. Ejemplo: la adhesión del vidrio con el aceite, el mercurio con el plástico, el vidrio con el agua, etc.

CARACTERISTICAS DE LAS FUERZAS INTERMOLECULARES.

Los átomos y moléculas son estructuras complicadas, formadas por partículas cargadas eléctricamente y por tanto entre ellos se ejercen fuerzas intensas. Estas fuerzas son las que dan lugar a que varios átomos se unan para formar una molécula o varias moléculas se junten para formar un cuerpo.

Las fuerzas intermoleculares son de corto alcance, es decir, solo son apreciables cuando las moléculas (o los átomos) están muy próximos. A medida que las moléculas se aproximan, la fuerza de atracción aumenta, adquiriendo su valor máximo a una distancia del orden de 10−7 cm. Y que se llama radio de acción molecular.

Las moléculas de todos los cuerpos poseen cierta energía cinética y por tanto, en un sólido las moléculas están continuamente vibrando alrededor de sus posiciones de equilibrio.

La situación es del todo similar en los líquidos, pero en este caso debido a la movilidad de las moléculas, no hay una estructura regular. El equilibrio se produce más bien como un resultado estadístico, o sea, calculando el promedio de las acciones ejercidas por las moléculas circundantes.

ENERGIA SUPERFICIAL.

La situación es diferente para las moléculas situadas a una distancia de la superficie inferior al radio de acción molecular. En el caso de un sólido, en el que las moléculas forman una estructura más o menos rígida, la única consecuencia es que el sólido tiene una superficie bien definida.

45

Pero en caso de un líquido, en el que las moléculas tienen gran movilidad, el resultado es que el número de moléculas próximas a la superficie tiende a disminuir.

Por consiguiente, todo líquido tiende a que su superficie sea lo más pequeña posible, es decir, un mínimo. En otras palabras, la superficie de un líquido tiende a contraerse presentando así la misma tendencia que una membrana elástica en tensión.

TENSIÓN SUPERFICIAL.

Es la fuerza de contracción de la superficie de un líquido por unidad de longitud. Para medirla basta con determinar el trabajo que es necesario realizar para aumentar en una unidad el área de la superficie libre del líquido. En la superficie libre de un líquido se forma una pequeña película y si nos referimos al agua, sobre dicha superficie podemos hacer flotar una aguja engrasada, una hoja de afeitar, esta película se denomina tensión superficial, la misma que favorece a que los insectos acuáticos puedan andar sobre la superficie, como su peso es liviano, la película se deforma pero no se rompe. En consecuencia, la superficie de un líquido se manifiesta como si fuera una membrana elástica que resiste pequeñas fuerzas, como las antes descritas, pero no debemos olvidar que la tensión superficial disminuye si la temperatura sube, llegando a tal punto a anularse a una determinada temperatura.

La tensión superficial es igual: Ts=F2l

Donde:

F= fuerza ejercida por la superficie

l= longitud.

FUERZAS EN LA TENSION SUPERFICIAL Y PRESION.

Partiendo de la gota de agua que adopta una forma esférica al caer y con la influencia de la presión hidrostática interna (Pr) ésta, está sometida a la acción de dos fuerzas. La fuerza que actúa hacia arriba (↑F) y la fuerza hacia abajo o peso (↓P).

Considerando los principios geométricos vemos que cuando apenas abrimos un grifo, se forman gotas esféricas de agua que para caer tienen que adquirir un peso considerable para vencer la tensión superficial; de acuerdo con lo analizado podemos decir que mientras mayor sea la tensión superficial de un líquido, éste tiende a mojar menos.

↑F= 2 π r Ts. ↓P=π r2 Pr.

Para calcular la presión en el interior de una gota de agua tenemos la siguiente ecuación:

Pr=2Tsr

Para determinar la presión en una pompa o burbuja de gas:

Pr=4Tsr

46

UNIDADES DE LA TENSION SUPERFICIAL.

Las unidades empleadas para medir la tensión superficial son: dinascm

,kgfm

pero considerando

el Sistema Internacional SI, su unidad la expresamos en Nm

. La tensión superficial de un

líquido, podemos determinarla por medio del tensiómetro.

UNIDAD DE MASA ATOMICA.

Se indica que la masa atómica M Aes la masa relativa de los elementos químicos cuando se le asigna al carbono el valor 12.000. La masa de un átomo de carbono ha sido medida con gran

precisión utilizando diversos métodos. La unidad de masa atómica (u.m.a.), se define como 1

12

de la masa de un àtomo de carbono, expresada en gramos. Su valor es.

1 u.m.a.= 1.66 x 10−24 g.

Para obtener la masa en gramos de un átomo de cualquier otro elemento, se multiplica la u.m.a por la masa atómica M A del elemento. Así la masa de un átomo de oxígeno (masa

atómica M A=16.004) es 1.66 x 10−24 x 16.004= 2.657 x 10−23 g.

Luego en general:

Masa de un átomo= 1.66 x 10−24 x M A g.

NUMERO DE AVOGRADO.

Se llama número de AvogradoN A al número de moléculas (o átomos) que hay en un mol (o en un átomo-gramo) de cualquier substancia. Es una constante universal válida para todas las substancias. Se obtiene así:

N A=1

1.66 x 10−24 = 6.02 x 1023 moléculas.

INTERACCION MOLECULAR.

Consideremos una molécula sencilla tal como la de hidrógeno. Se sabe que la energía para separar los dos átomos de hidrógeno que constituyen la molécula es igual a 4.24 x

10−12 erg .Sedetermina, por ejemplo, midiendo la energía que se desprende cuando se forma un mol de hidrógeno y dividiendo por el número de Avogrado. Esta energía nos indica el orden de magnitud de la energía potencial de interacción entre los átomos.

47

Como vemos en el ejemplo la energía potencial gravitatoria tiene un valor insignificante en comparación con la energía de interacción entre los dos átomos de hidrógeno.

Se obtiene un resultado similar si se calcula la energía de interacción de dos moléculas. Por ejemplo, en caso del agua (o de cualquier otro líquido), es posible obtener un estimado midiendo la energía necesaria para vaporizar un mol de agua y dividendo entre el número de Avogrado.

Concluimos pues, que las fuerzas intermoleculares (e interatómicas) no son de origen gravitatorio.

CAPILARIDAD.

La atracción molecular entre las partículas se manifiesta por cohesión, cuando existe una atracción molecular entre dos moléculas semejantes o de la misma especie y por adhesión, cuando la atracción se realiza entre dos moléculas diferentes.

En consecuencia, la adherencia de un líquido en función de la tensión superficial, es la unión de dos cuerpos de distinta calidad; es decir, es la fuerza de atracción entre moléculas de distinta clase; por consiguiente, en el ascenso de un líquido por un tubo capilar influye la adherencia y la tensión superficial.

TUBOS CAPILARES.

Los tubos capilares son cuerpos de pequeños diámetros, en cuyo interior, las pequeñas cantidades de líquido no están sujetas a las leyes de la hidrostática, en especial de los vasos comunicantes; por lo tanto, en la línea de contacto entre la superficie libre del líquido y el sólido asoma una fuerza dirigida hacia arriba o hacia abajo, según la clase de líquido que moje o no al sólido. Es decir, que la capilaridad está sujeta entre otras a la ley de JurinBorelli.

La elevación del líquido en los tubos capilares se debe a la fuerza de adhesión de las moléculas, el líquido asciende en el tubo hasta una determinada altura en contra de la aceleración de la gravedad y por la acción de la adhesión de las moléculas, aquella columna de agua no se corta; en consecuencia el líquido asciende por la acción de la tensión superficial hasta lograr un equilibrio en la columna entre el peso del líquido y la fuerza que realiza la tensión superficial.

Debemos recordar que el ascenso o descenso de un líquido por un tubo capilar depende del diámetro interno y por lo tanto obedece a la ley de JurinBorelli, es decir, que si introducimos varios tubos capilares de diferente diámetro en un mismo líquido, adquiere mayor altura el líquido en el tubo de menor diámetro.

F= 2 π R Tscos Θ fuerza hacia arriba.

F= π r2hδ g Fuerza hacia abajo.

Como existe equilibrio entre la fuerza hacia arriba producida por la acción de la tensión superficial y el peso del líquido hacia abajo podemos determinar la ecuación que nos permita encontrar la elevación o depresión (h) que expresa la ley de JurinBorelli:

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h= 2Ts cosΘr δ g

si Θ= 0 ; cos 0 =1

h=2Tsr δ g

.

La altura o depresión que adquiere un líquido en el interior del tubo capilar, es directamente proporcional al duplo de la tensión superficial y al ángulo de contacto e inversamente proporcional al radio del tubo, a la densidad del líquido y a la gravedad o lugar donde se realiza la experiencia.

EJERCICIOS:

1.- ¿La tensión superficial de un líquido es de 65 dinas/cm. ¿Qué fuerza será necesaria para extraer del mismo un alambre en forma de U de 10 cm. De longitud?.

DATOS: Ts= 65 dinas/cm; l=10cm

Ts= F2l

de donde F= Ts x 2l

F= 65 dinas/cm x 2(10cm)= 1300 dinas.

2.- ¿Cuál es la tensión superficial de un líquido en el cual para extraer un alambre de 8 cm. De longitud hace falta una fuerza de 1.2 gf?

3.- Se empleó un alambre de platino de 15 cm. De longitud para determinar la tensión superficial del agua a 25 C. ¿Cuál fue el valor de la fuerza?

4.- Para extraer un alambre de 4 cm de longitud se ejecuta una fuerza de 0.012 N. Calcular la tensión superficial del líquido.

5.- Una varilla maciza de vidrio de 0.015 m. de radio, cuyo extremo está sumergido

verticalmente en agua, si la tensión superficial es 0.075 Nm

. Encontrar la fuerza hacia abajo,

ejercida por la tensión superficial sobre la varilla.

DATOS: r=0.015m ; Ts= 0.075 N/m.

Pr=2Tsr

= 2(0.075

Nm

)

0.015m = 10 Pa

F= πr2 Pr = 3.1416 (0.015 m) ( 10N

m2¿

F= 7.06 x 10−3 N .

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6.- En un tubo de ensayo de 2cm de diámetro interior, se introduce lastre para que el tubo pueda flotar verticalmente en el agua Ts=7.5 x 10−2 N/m. ¿Cuál será la fuerza que ejerce hacia abajo el líquido sobre el tubo?

7.- Una burbuja de 0.5 cm de radio se forma en la superficie libre de un tanque de almacenamiento de agua, cuya tensión superficial es 0.074 N/m. a) ¿Qué fuerza mantiene unida la burbuja?; ¿Cuál es la precisión en el interior de la burbuja sobre la presión atmosférica?

8.- Un depósito de 2m. de ancho, dispone de una pared divisoria en la mitad, la una parte contiene alcohol y la otra glicerina. ¿Cuál será la fuerza resultante contra la pared, debido a la tensión superficial. Si la tensión superficial del alcohol es 0.022 N/m y de la glicerina 0.065 N/m.

9.- Un aro de platino de 2cm de radio, se introduce horizontalmente en agua, cuya tensión superficial es 0.073 N/m. ¿Qué fuerza se necesita realizar para extraer el líquido?

10.- Una gota de agua tiene un radio de 0.2 cm, si la tensión superficial es de 0.075 N/m. Calcular la presión en el interior de la gota.

11.- ¿Cuál es la presión de una pompa de agua jabonosa de 2 cm. De radio, si la tensión superficial es 0.035 N/m?

12.- Un aro pesa 0.0294 N, y tiene un perímetro de 8cm, se coloca horizontalmente en un líquido, si la fuerza debido a la tensión superficial para extraer el aro del líquido equivale a 0.044 N. Calcular la tensión superficial del líquido.

13.- Suponiendo que el ascenso de la sabia en los vegetales sea sólo producto de la capilaridad, la misma que tiene una densidad de 1200 Kg/m3, y una tensión superficial de 6 x

10−2 N/m.¿Qué radio deben tener los tubos capilares de un árbol de 10m de altura?

DATOS: δ= 1200 Kg/m3 ; Ts= 6 x 10−2 N/m ; h=10m. ; r=?

h=2Tsr δ g

despejando r= 2Tshδ g

r= 2(6 x10

−2Nm )

10m(1200Kgm3 )(9.8

ms2 )

r=

0.12Nm

117600N

m2

= 1.02 x 10−6m.

14.- Un líquido tiene una densidad δ= 0.79 g/cm3, se eleva 100 cm a través de un tubo capilar de 0.02 mm de diámetro y suponemos que el ángulo de contacto es de 10 grados. ¿Cuál es la tensión superficial del líquido?.

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15.- ¿Qué altura asciende el agua δ=1000 Kg/m3 por un tubo capilar de 1mm de diámetro, si la tensión superficial a 15 grados C., vale 0.0735 N/m?

16.- Un tubo capilar de 1mm de diámetro se introduce en una cubeta de mercurio a 15 C, la tensión superficial equivale 0.513 N/m y su densidad 1.36 x 104 Kg/m3, suponemos que el ángulo de contacto es nulo. ¿Qué altura descenderá la superficie del menisco?

17.- ¿Qué densidad tiene un líquido que se eleva 24 mm por un tubo capilar de 0.5 mm de radio, si la tensión superficial equivale a 0.05 N/m?

BIBLIOGRAFIA

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