F´ısica II CF-342 Ingenier´ıa Plan Com un.´ · Una placa tiene carga +Q y la otra carga Q. La carga por unidad de area en cada placa es´ ˙= Q=A. Para determinar la capacidad

Fısica II CF-342Ingenierıa Plan Comun.

Omar Jimenez Henrıquez

Departamento de Fısica,Universidad de Antofagasta,

Antofagasta, Chile,

I semestre 2011.

Omar Jimenez. Universidad de Antofagasta. Chile Fısica II CF-342. 1

Contenidos

1 Capacidad y DielectricoCapacidadCapacitores en paraleloCapacitores en serie


Capacidad y Dielectrico

Capacitancia

Capacitor: Es un dispositivo formado pordos conductores muy proximos uno del otroy con cargas de igual magnitud pero signosdiferentes.



Capacitancia

Capacitor: Es un dispositivo formado pordos conductores muy proximos uno del otroy con cargas de igual magnitud pero signosdiferentes.

La capacitancia C, de un capacitor sedefine como la razon de la magnitud de lacarga en cualquiera de los conductores a ladiferencia de potencial entre ellos.

C =QV



Capacitancia

donde:Q: es la carga de cualquiera de los conductores,V : es la diferencia de potencial entre los conductores,C: constante de proporcionalidad entre la carga Q y ladiferencia de potencial V , llamada Capacitancia del capacitor.

En el SI la unidad de Capacitancia es el Faradio (F)

Faradio =Coulomb

Volt, 1F = 1

CV

La capacitancia es siempre una cantidad positiva y depende dela geometrıa del capacitor y del material que separa a losconductores, llamado dielectrico.



Capacitor placas paralelas

Dos placas paralelas de igual area Aestan separadas una distancia d , comoen la figura. Una placa tiene carga +Q yla otra carga −Q. La carga por unidadde area en cada placa es σ = Q/A.




Dos placas paralelas de igual area Aestan separadas una distancia d , comoen la figura. Una placa tiene carga +Q yla otra carga −Q. La carga por unidadde area en cada placa es σ = Q/A.

Para determinar la capacidad C = Q/V debemos calcular ladiferencia de potencial entre las placas. Si despreciamos losefectos de los extremos del capacitor, de la ley de Gausstenemos que el campo electrico es distinto de cero solo entrelas placas y tiene un valor de

E =σ

ε0




Ahora, la diferencia de potencial entre lospuntos A y B es:

VB − VA = −∫ B

A

~E · d ~= −∫ B

A(Ei) · (dxi)

= −∫ B

AEdx = −E

∫ B

Adx = −Ed .




Ahora, la diferencia de potencial entre lospuntos A y B es:

VB − VA = −∫ B

A

~E · d ~= −∫ B

A(Ei) · (dxi)

= −∫ B

AEdx = −E

∫ B

Adx = −Ed .

El potencial electrico disminuye al pasar del punto A al puntoB, es decir ∆V = −Ed . Luego, la capacitancia es

C =Q

∆V=

Qσdε0

=ε0Qσd

= ε0Ad

Vemos que la capacidad del capacitor de placas paralelasC = ε0

Ad , depende de la geometrıa. La cual es proporcional al

area de las placas e inversamente proporcional a la separacionentre las placas.



Capacitores en paralelo y en serie

Al analizar los circuitos electricos, a menudo conviene conocerla capacitancia equivalente de dos o mas capacitores queestan conectados de cierta manera. Por capacitanciaequivalente entendemos la de un capacitor individual quepuede sustituir a la combinacion de capacitores, sin modificarel funcionamiento en el resto del circuito.En los circuitos electricos utilizamos la siguiente simbologıa

Condensador

Baterıa

Interrumpor



Capacitores en paralelo

Inicialmente tenemos dos condensadores C1 y C2conectados en paralelo con capacitancia

C1 =Q1

V1y C2 =

Q2

V2,

pero inicialmente descargados.

Luego, conectamos una baterıa en los terminaleslo que permite generar una diferencial depotencial V y un flujo de electrones.




El flujo de carga termina cuando el voltaje atraves de los condensadores es igual al de labaterıa y en este caso los condensadores estancompletamente cargados, con lo cual

C1 =Q1

Vy C2 =

Q2

V,

el condensador C1 tiene carga Q1 y elcondensador C2 tiene carga Q2. La carga total enlos condensadores es

Q = Q1 + Q2,




El condensador equivalentedebe tener el mismo efectoque los dos originales. Esdecir, almacenar Q unidadesde carga y tener unadiferencia de potencial ensus extremos igual a V .

Dado que Q = Q1 + Q2, y Ceq =QV

luego CeqV = C1V + C2V ,

finalmente Ceq = C1 + C2.




En general, si tenemos dos o mas condensadores conectadosen paralelo, la capacitancia equivalente Ceq es la suma de lascapacitancias individuales,

Ceq = C1 + C2 + ...+ Cn.

La carga total es la suma de las cargas individuales en loscondensadores

Q = Q1 + Q2 + ...+ Qn,

y la diferencia de potencial es la misma entre loscondensadores

V = V1 = V2 = ... = Vn.



Capacitores en serie

Ahora, consideramos doscondensadores en serie concapacitancia C1 y C2 inicialmentedescargados.

C1 =Q1

V1y C2 =

Q2

V2.

Luego, conectamos una baterıa en losterminales lo que permite generar unadiferencia de potencial V y un flujo deelectrones.



Carga negativa se acumula en la placaderecha de C2 lo que produce unaacumulacion de carga positiva en laplaca izquierda de C2. Algo similarocurre con el condensador C1.Finalmente, todas las placas derechasganan carga −Q mientras que las placasizquierdas tienen carga +Q. En estecaso, tenemos

C1 =QV1

y C2 =QV2,

y los potenciales se relacionan pormedio de

V = V1 + V2.




El condensador equivalente debetener el mismo efecto que los dosoriginales. Es decir, almacenar Qunidades de carga y tener unadiferencia de potencial en susextremos igual a V .

Dado que V = V1 + V2, y Ceq =QV

luegoQ

Ceq=

QC1

+QC2,

finalmente1

Ceq=

1C1

+1

C2.




Si tenemos dos o mas condensadores conectados en serie, lacapacitancia equivalente Ceq es

1Ceq

=1

C1+

1C2

+ ...+1

Cn.

La carga total en los condensadores es

Q = Q1 = Q2 = ... = Qn,

y la diferencia de potencial

V = V1 + V2 + ...+ Vn.



Combinacion de Capacitores

Problema1) Determine la capacidad equivalente de lacombinacion de la figura, con C1 = 12µF ,C2 = 5.3µF y C3 = 4.5µF .2) Una diferencia de potencial ∆V = 12.5Vse aplica a las terminales en la figura.¿Que carga se tendra en C3?.



Energıa almacenada en un capacitor

Consideramos un capacitor de placasparalelas inicialmente descargado y por lotanto, la diferencia de potencial inicial entre lasplacas es cero.

Luego, conectamos el capacitor a una baterıa,con lo cual el capacitor se carga lentamente.

Asumimos que q es la carga en el condensador en alguninstante de tiempo durante el proceso de carga. En ese mismoinstante de tiempo, la diferencia de potencial a traves delcapacitor es V =

qC.




El trabajo necesario para transferir unincremento de carga dq desde la placa −q a laplaca +q (la cual se encuentra a un mayorpotencial) esta dada por

dW = Vdq donde V =qC,

dW =qC

dq, ⇒ W =1C

∫ Q

0qdq ⇒ W =

Q2

2C.

Dado que C = Q/V , la energıa almacenada por el capacitor sepuede expresar como

W =Q2

2C=

12

CV 2 =12

VQ.




Finalmente, el capacitor queda con carga Q ycon una diferencia de potencial V . La energıaalmacenada en el capacitor es

U =12

CV 2.

El trabajo que hemos realizado para cargar el capacitorproduce un campo electrico en una region del espacio y laexistencia de este campo lleva consigo la energıa almacenadaen el condensador.



Ejemplo

En la figura los capacitores C1 = 1,16[µF ] yC2 = 3,22[µF ] estan cargados con unadiferencia de potencial ∆V = 96,6[V ], perocon polaridad contraria, de manera que lospuntos a y c se hallan en las placas positivasrespectivas de C1 y C2, y que los puntos b y destan en las placas negativas respectivas.Luego, los interruptores S1 y S2 se cierran.

a) ¿Cual es la diferencia de potencial entre los puntos e y f?.Sol: Vf − Ve = 45,4[V ].b) ¿Cual es la carga final en C1 y C2?. Sol: q1 = 52,7[µC] yq2 = 146,2[µC].c) ¿Cual es la energıa almacenada en el campo electrico antesy despues de cerrar los interruptores?. Sol: Ui = 20,4[mJ] yUf = 4,5[mJ].



Dipolo electrico

Un dipolo consta de una carga positiva +q yuna carga negativa −q, separada por unadistancia fija d .



Dipolo electrico

Un dipolo consta de una carga positiva +q yuna carga negativa −q, separada por unadistancia fija d .

Se define la magnitud del momento dipolarelectrico p como

p = qd .

El momento dipolar electrico es un vector queapunta de la carga negativa a la carga positivaen la lınea que las une.



Dielectricos en un campo electrico

Se llama dielectrico a los materiales que no conducen laelectricidad, por lo que se pueden utilizar como aislanteselectricos.

Consideramos un dielectrico que esta compuestode momento dipolar electrico p, orientadoaleatoriamente, como se muestra en la figura.




Se llama dielectrico a los materiales que no conducen laelectricidad, por lo que se pueden utilizar como aislanteselectricos.

Consideramos un dielectrico que esta compuestode momento dipolar electrico p, orientadoaleatoriamente, como se muestra en la figura.

Luego, aplicamos un campo electricouniforme sobre el dielectrico yanalizamos el efecto sobre un dipolo.

El campo electrico ejerce un par detorsion sobre el dipolo que trata dealinearlo con el campo electrico.




Finalmente, el efecto producido por el campo electrico esalinear los dipolos al interior del material dielectrico.

A causa de la rotacion de los momentos dipolares, existe unadensidad de carga positiva en la superficie derecha y unadensidad de carga negativa en la superficie izquierda.




Estas dos densidades de carga superficialinducidas generan un campo electrico ~E ′ en eldielectrico que se opone al campo electricoaplicado ~E0.

El efecto de alinear los dipolos en el aislante se conoce comopolarizacion y el campo ~E ′ se conoce como campo depolarizacion.




Estas dos densidades de carga superficialinducidas generan un campo electrico ~E ′ en eldielectrico que se opone al campo electricoaplicado ~E0.

El efecto de alinear los dipolos en el aislante se conoce comopolarizacion y el campo ~E ′ se conoce como campo depolarizacion.

El campo neto ~E dentro del dielectrico es lasuma del campo aplicado ~E y el campo depolarizacion ~E ′,

~E = ~E0 + ~E ′.




Dado que ~E0 y ~E ′ tienen sentidos opuestos, la magnitud delcampo ~E es

E = E0 − E ′, que es menor al aplicado E0.

Al aumentar el campo aplicado ~E0, generalmente aumentara elcampo de polarizacion. En los llamados materiales lineales elcampo E ′ crece en proporcion directa con el campo aplicadoE0, es decir, E ′ ∝ E0. Si introducimos una constante deproporcionalidad tenemos,

E =1κ

E0,

donde, κe es la constante dielectrica del material, la cual esadimensional y mayor o igual a uno.



Vector Polarizacion

Un material dielectrico sometido a uncampo electrico externo origina unapolarizacion del material.

Llamamos σp

[Cm2

]a la densidad

superficial de cargas de polarizacion.

Se define el vector polarizacion como el momento dipolar por

unidad de volumen ~P[

Cm2

].



Vector Polarizacion

Un material dielectrico sometido a uncampo electrico externo origina unapolarizacion del material.

Llamamos σp

[Cm2

]a la densidad

superficial de cargas de polarizacion.

Se define el vector polarizacion como el momento dipolar por

unidad de volumen ~P[

Cm2

].

En general, los vectores ~P y ~E no son paralelos. Sin embargo,en la mayor parte de los materiales la polarizacion varıalinealmente con el campo electrico. Con lo cual

~P = ε0χ~E ,



Vector Polarizacion

~P = ε0χ~E ,

donde, χ es una constante adimensional llamadasusceptibilidad electrica que depende del material.

La polarizacion ~P es un campo vectorial que poseepropiedades matematicas similares a las de ~E . Pero el sentidode ~P es desde las cargas negativas a las positivas, de modoque ~P cumple con ∮

~P · d~A = −qp,

donde, qp es la carga de polarizacion.



Dielectrico en un condensador de placas paralelas

Si no existe un dielectrico entre las placas del capacitor, de laley de Gauss tenemos ∮

~E0 · d~A =qε0

⇒ E0A =qε0

⇒ E0 =qε0A

⇒ E0 =σ

ε0

La capacidad del capacitor sin dielectrico es

C =qV

⇒ C =σAE0d

⇒ C =ε0Ad.




Si existe un dielectrico entre las placas del capacitor, de la leyde Gauss tenemos ∮

~E · d~A =1ε0

(q − qp),

⇒ EA =1ε0

(q−qp) ⇒ E =1ε0A

(q−qp) ⇒ E =1ε0

(σ−σp).

Por lo tanto, disminuye el campo electrico al introducir eldielectrico al interior del capacitor.




La capacidad con dielectrico es

C′ =qV ′

⇒ C′ =σAEd

.

donde E =1ε0

(σ − σp) ⇒ σ = ε0E + σp.

Por otro lado,∮~P·d~A = −qp ⇒ ε0χEA = −qp ⇒ ε0χE = −

qp

A= −σp.

Como ya hemos considerado el sigano de la carga depolarizacion, tomamos el valor absoluto de |σp| = ε0χE , luego

σ = ε0E + σp = ε0E + ε0χE = ε0(1 + χ)E .




La capacidad con dielectrico queda

C′ = ε(1 + χ)Ad

= (1 + χ)C,

donde, κ = 1 + χ es la constante dielectrica del material, quedepende de la susceptibilidad electrica. Luego,

C′ = κC.

Como vimos anteriormente el campo electrico al interior delmaterial se puede expresar como

E =E0

κ.

Luego, la capacidad tambien se puede escribir como

C′ =σAEd

=σAE0κ d

= κε0Ad

= εAd.




C′ = εAd,

donde, ε es la permitividad del material y finalmente, laconstante dielectrica queda

κ =ε

ε0,

donde, hemos supuesto que el dielectrico llena completamenteel espacio entre las placas del condensador.

La permitividad del espacio libre es

ε0 = 8.85× 10−12 C2

N ·m2 .



Ejercicio

Un capacitor de placas paralelas tieneuna capacitancia C0 en ausencia dedielectrico. Un material dielectrico deconstante dielectrica κ y espesor d

2 seintroduce entre las placas. ¿Cual es lanueva capacitancia cuando el dielectricoesta presente?

Solucion:

Ceq =2ε

ε0 + εC0.



Ejercicio

Un capacitor de placas paralelas estalleno con dos dielectricos, como semuestra en la figura. Demuestre que lacapacitancia equivalente esta dada por

C =ε0Ad

(κ1 + κ2

2

)



Ejercicio

Un capacitor de placas paralelas estaconstruido de tres materiales dielectricos,como se muestra en la figura. Considere que` >> d . (a) Encuentre una expresion para lacapacitancia en terminos del area de la Placa,la distancia d y las constantes dielectricas κ1,κ2, yκ3. (b) Calcule la capacitancia usando losvalores A = 1[cm2], d = 2[mm], κ1 = 4.9,κ2 = 5.6 y κ3 = 2.1.

Solucion:

Ceq =ε0Ad

(κ1

2+

κ2κ3

κ2 + κ3

)⇒ Ceq = 1,76×10−12[F ] = 1,76[pF ].



Vector Desplazamiento Electrico

El vector desplazamiento electrico al interior de un dielectricose define en terminos del campo ~E al interior del dielectrico y elvector polarizacion ~P como

~D = ε0~E + ~P,

como

~P = ε0χ~E ,

luego~D = ε0κ~E = ε~E ,

Por otro lado, podemos relacionar el vector desplazamientoelectrico ~D con el campo externo aplicado ~E0, dado que

~E =~E0

κ,



Vector Desplazamiento Electrico

con lo cual tenemos,~D = ε0~E0,

ahora, aplicamos la ley de Gauss al vector desplazamientoelectrico ∮

~D · d~A = ε0

∮~E0 · d~A = q.

El vector ~D solo depende de las cargas ”verdaderas”, yodebece al teorema de Gauss pero cuya fuente son solo lascargas verdaderas. ∮

~D · d~A = q.



Ejercicio

Sean κ1 y a, κ2 y b, las constantes dielectricasy espesores de dos laminas dielectricas.Determinar la capacidad equivalente delsistema utilizando el vector desplazamientoelectrico.



Ejercicio

Sean κ1 y a, κ2 y b, las constantes dielectricasy espesores de dos laminas dielectricas.Determinar la capacidad equivalente delsistema utilizando el vector desplazamientoelectrico.Solucion:las lıneas de ~D son continuas entre las dosplacas, puesto que tienen su origen solo en lascargas ”verdaderas”. Aplicando el teorema deGauss a la superficie de separacion entre lasdos laminas dielectricas obtenemos

D1 = D2.

ε1E1 = ε2E2,

κ1E1 = κ2E2.



Ejercicio

Ahora, la capacidad es C = Q/V , como los capacitores estanen serie tenemos que

V = E1a + E2b.

Luego,

C =Q

E1a + E2b.

Para el capacitor de placas paralelas, se tiene que D = σ,luego

σ = ε1E1 = ε2E2.

Finalmente, la capacidad equivalente es

C =ε0A

aκ1

+ bκ2

.


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