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Energía mecánica en un péndulo.
Sebastián Tovar Molina*(1235115)
Departamento de Física*, Facultad de Ciencias, Universidad del Valle.
Fecha de Realización:07 de Mayo de 2013.
Fecha de Entrega: 14 de Mayo de 2013.
Resumen
Mediante el movimiento deun péndulo formado por un balín suspendidode un hilo y una cuchilla de afeitar
dispuesta de talforma que corte el hilo cuando el balín pase por el punto indicado para formar un movimiento
semi-parabolico, después de soltarse desde una altura hteniendo en cuenta una altura y se determinó
experimentalmente la relación que existe entre el cambio de energía potencial y el cambio de energía
cinética de un balínla cual evidencia la ley de la conservación de la energía mecánica al encontrar que la
altura y es una constante cuyo valor experimental es de 70 cm y que dicha constante influye de manera
directa en el alcance horizontal del balín que también depende de la velocidad con que salga del punto
indicado puesto que la velocidad aumenta al aumentar la altura h.
1.Introducción
Uno de los principios básicos de la física sostiene que la energía no se crea ni se destruye, sino que sólo se transforma de unos estados a otros. Este principio se extiende también a la energía mecánica. Así, en un sistema aislado, la suma de energías cinética y potencial entre dos instantes de tiempo se mantiene constante. [1]
Ecuación 1. Energía mecánica.
De este modo, la energía cinética se transformaen potencial, y a la inversa, pero la suma deambas siempre se conserva cuando el sistemaestá aislado y no se aplican fuerzas disipativas.
Este fenómeno se observa en elmovimiento de un péndulo formado por un balín que posteriormente se desprendería de su cuerda, al caer la cabeza del péndulo, recorre un alcance horizontalformando una trayectoria semi-parabólica, para la cual es medidacon el fin de calcular las energías potencial gravitatoria y cinéticaya que se obtiene que el alcance horizontal crece con la velocidad delbalíny por consiguiente también lo hace con la energía cinética queel balín ha adquirido. Es por esto que la ley de conservación de energía estableceque la energía cinética del balín es igual a la energía potencialgravitacional del balín antes de ser liberado.
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Ecuación 2. Ley de conservación de energía.
2. Procedimiento experimental y
resultados.
Mediante el montaje de un péndulo formado por un balín de acero suspendido de un hilo de coser que a su vez estaba sujeto a un soporte vertical desde una altura y que es igual a la altura de la mesa, se soltó elbalín desde una altura h para que en un punto A (parte inferior de la base) se cortará el hilo con una cuchilla dispuesta en este punto. De talforma que el balín describiera una trayectoria semi-parabolicahasta tocar el sueloen el punto x donde se dispone de un papel de modistería el cual marcaría el punto de impacto, tal como se muestra en la figura 1.El plano de movimiento del balín debe ser paralelo al del plano metálico, donde sedeterminará la altura h de la cual se libera elbalín. Para un mismo valor de h se libera elbalín tres veces y se determina la medida x con la ayuda de un flexómetro cuya precisión fue de ±0.1cm. Setomóocho valores diferentes de h, repitiendoel procedimiento anteriormente mencionado para cada una de estas alturas.
Figura 1.Esquema del montaje experimental.
A continuación se muestra las distancias obtenidas por cada altura probada en el experimento. Además se muestra el promedio de dichas distancias para tener un valor general por cada altura.
Tabla 1. Distancias obtenidas a partir de las
respectivas alturas después de y.
h
(±
0.1
cm)
x
(± 0.1 cm)
(cm)
x2
(cm)
x1 x2 x3
20.0 75.0 71.0 73.4 73.1 5343.6
30.0 92.1 87.4 90.8 90.1 8118.0
35.0 99.1 103.0 100.2 100.8 10160.
6
40.0 105.0 105.7 105.4 105.4 11109.
2
45.0 112.0 114.0 113.7 113.2 12814.
2
50.0 117.2 119.1 118.3 118.2 13971.
2
55.0 125.0 125.5 126.0 125.5 15750.
3
60.0 127.1 128.0 126.9 127.3 16205.
3
A partir de los datos de la tabla 1 se puede obtener una gráfica que representa la relación entre h y x, es decir, h en función de x, h=f(x).
0
10
20
30
40
50
60
0 50 100 150
h (cm)
x (cm)
Experimental.
Teórico.
3
Grafica 1. h vs x
Con la función h=f(x) experimental se obtiene
la ecuación , es decir, la relación entre h y xcon la que se determina la función h=f(x) teórica.
A partir de la gráfica podemos apreciar que la relación entre h y x, h=f(x), no es una relación lineal, por consiguiente se procede a linealizar la gráfica para poder apreciar un valor aproximado de lo que se podría tomar como pendiente,el intercepto de una función lineal
, donde y=h, m=pendiente y b=intercepto en el eje Y. Para linealizar la gráfica se tiene que h=f(x2), es decir los valores obtenidos en tabla 1.
Grafica 2. h vs x
2
Con la función de Excel estimación lineal se
obtiene la ecuación , para obtener que la altura y que desciende la partícula desde el punto A, el punto más bajo,en donde solo hay energía cinética, es la altura dada por la función h=f(x2), es decir, por la altura y el alcance horizontal obtenido experimentalmente. Esta relación se expresa en la ecuación:
Ecuación 3. Relación entre altura y.
A continuación se muestra los resultados obtenidos de la altura y con su respectivo error sabiendo que el valor teórico de dicha altura es de 69.0 cm.
Tabla 2. Altura y.
h
(± 0.1 cm)
y (cm)
% Error
20.0 70.0 1.5 30.0 70.0 1.5 35.0 70.3 1.9 40.0 70.4 2.0 45.0 70.6 2.3 50.0 70.6 2.3 55.0 70.7 2.5 60.0 70.7 2.5
Se puede observar que y es una constante puesto que es la altura del suelo a la mesa.
Conla gráfica 2 se puede observarque a medida que la altura se incrementa, el alcance horizontal del balín aumenta, es decir, cada vez que aumenta la energía potencial gravitacional del balín, también aumenta la velocidad con que este abandona al desprenderse de la cuerda. Para encontrar la velocidad en cada una de las alturas con que se desarrolló el experimento se tiene en cuenta que el balín parte de una posición inicial, es decir, velocidad inicial cero y al llegar al punto A obtiene una velocidad v. Aplicando la ley de la conservación de la energía (ecuación 2) se obtiene la velocidad del balín cuando se corta la cuerda. Estas velocidades se observan a continuación.
0
10
20
30
40
50
60
70
0 5000 10000 15000 20000
h (cm)
x² (cm)
Experimental.
Teórico.
4
Tabla 3. Velocidad en el punto A.
h
(± 0.01 m)
v
(m/s)
0.20 2.77
0.30 4.16
0.35 4.84
0.40 5.54
0.45 6.24
0.50 6.93
0.55 7.62
0.60 8.31
3. Análisis de resultados y discusión
Al realizar varios lanzamientos del balín desde una altura h, teniendo en cuenta la mesa como base de referencia se observa que para un mismo valor de h se presenta cierta dispersión en los datos del alcance máximo del balín (tabla 1), debidoprobablemente a diferentes factores causantes de disturbios en su vuelo, como el rozamiento del aire, pequeños cambios en las distancias entre la unión del hilo con el balín y el filo del bisturí. También se puede observar que el alcance horizontal depende de la altura porque entre mayor altura mayor alcance esto se debe a que la velocidad aumenta con la altura, como se observa en tabla3, ya que cada vez que aumenta la energía potencial gravitacional del balín, también aumenta la velocidad con que este abandona al desprenderse de la cuerda. Para entender esto se hace un análisis de la energía del balín. El balín que se mantiene a cierta altura h sobre el suelo no tiene energía cinética puesto que la velocidad inicial es cero, pero, hay una energía potencial gravitacional asociada que es igual a relativa al suelo si el campo gavitacional está incluido como parte del sistema. Si el balín se suelta, cae hacia el piso, y conforme cae su velocidad y en consecuencia su energía cinéticaaumenta, en tanto que la energía potencial disminuye. Si se ignoran los factores como la resistencia del aire, toda la energía potencial que el objeto pierde cuando cae aparece como energía cinética.
En otras palabras, si un cuerpo cae desde una altura se producirá una conversión de energía potencial en cinética. La pérdida de cualquiera de las energías queda compensada con la ganancia de la otra, por eso siempre la suma de las energías potencial y cinética en un punto será igual a la de otro punto, es decir, la ley de la conservación de la energía mecánica. [3] Esta ley se cumple puesto que las fuerzas que realizan trabajo en el balín son conservativas ya que la tensión no realiza trabajo puesto que es perpendicular al movimiento por consiguiente solo se tiene la fuerza del peso que es una fuerza conservativa. Cuando el balín llega al punto A, la cuchilla corta el hilo, se podría decir que hay una “donación” de energía, por parte de la esfera debido a la resistencia que imparte la cuchilla a la cuerda. Tal vez esta pérdida mínima de energía hace que la dirección del movimiento de la esfera se vea alterada, y pase de un movimiento circular, a uno semi-parabólico. De acuerdo a los datos obtenidos entre menor sea la altura del punto de lanzamiento del balín con relación a la distancia horizontal que ésta recorre; menor será el error porcentual obtenido, como se observa en la tabla 2 puesto que esta relaciona la altura y la distancia recorrida. De acuerdo a las observaciones del laboratorio, se puede comprobar que efectivamente la energía no se crea ni se destruye solamente se transforma, y además que la velocidad en este sistema es constante en todo el movimiento horizontal, ya que no hay una fuerza que produzca un alteración durante el recorrido de la esfera. En este experimento la alturay permanece constante (como se muestra en la tabla 2 una constante aproximada de 70), sin embargo, en elcaso de que esta sea cambiada, el alcance x del balín cambiaría también, es por esto que se presenta una dispersión en los valores de x debido a quepermanecería más tiempo con una velocidadhorizontal constante, y sabemos que elalcance a velocidad
constante depende del tiempo de la forma.
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El alcance horizontal x del balín está relacionado con la altura h mediante la
relación matemática donde su significado físico es que la pendiente indica cuanto crece la distancia recorrida con respecto a la altura porque a medida que aumenta la altura h la distancia x también aumentara y además como la pendiente de la gráfica es positiva siempre va atender a crecer. Por consiguiente si se duplica la distancia horizontal, también aumentara la velocidad en el punto inicial ya que x depende de la velocidad del balín porque crece con la velocidad ya que a mayor velocidad mayor distancia en x.
Los resultados obtenidos fueron relativamente satisfactorios ya que el error fue muy pequeño (tabla 2) , las posiblescausas de error son múltiples entre ellaspodemos encontrar dispersión en las alturasque no sean exactas, también puede ser eldesgaste de la cuchilla, al momento del corteque no deja que se describa una trayectoriacompletamente semi-parabolica, no poner elbalín en su centro de gravedad al momento del lanzamiento, el hilo puede halar el balín ycuando este se estira hace que cambie laaceleración del balín por el impulso.
4.Conclusiones
1. De los resultados experimentales se puede concluir que la distancia recorrida por el balín depende de la velocidad con que salga del punto A ya que dicha velocidad en este sistema es constante en todo el movimiento horizontal. Igualmente a medida que aumenta la altura aumenta el alcance, la velocidad depende de la altura del balín. La relación entre altura y alcance siempre va hacer creciente, si se eleva la distancia al cuadrado la velocidad también debe de aumentar para que se cumpla la ley de la conservación de la energía. Así mismo que (h) y (x) son variables dependientes y aumentan de manera uniforme. 2. También se puede concluir que la energía inicial de la esfera (energía potencial) en el momento del lanzamiento es igual a la energía final con la que llega a la mesa, solo
que es en este caso en donde es transformada en energía cinética. 3. La altura y corrobora la ley de conservación de la energía mecánica puesto que es una constante de 70 cm que influye de manera directa en el alcance horizontal x del balín.
5. Referencias
[1]. Energíamecánica. Disponible en: http://www.fisicapractica.com (Consultada 11 de Mayo de 2013) [2]. Conservación de la energía. Disponible en: http://newton.cnice.mec.es (Consultada el 11 de Mayo de 2013) [3].Serway, R; Fisica I; 6aed;Vol I; Thomson; Mexico, 2008; Cap. 8.2.
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Anexos Como se tiene una dispersión en los valores x se realiza un promedio, la media aritmética teniendo en cuenta la ecuación:
Para determinar la velocidad del balín justo en el punto A se tiene que en dicho punto la energía potencial es igual a la energíacinética.
Despejando la velocidad:
Para determinar el valor de y se tiene en cuenta que el balín describe una trayectoria semi-parabolica es decir y la altura y que desciende el balín desde el punto A esta
dada por , como el tiempo es
constante no se tiene en cuenta esta ecuación pero combinado estas dos ecuaciones se tiene:
Reemplazando esta ecuación en la energía cinética puesto que en este punto solo hay esta energía:
Despejando y:
Donde x2son los valores obtenidos al linealizar la gráfica y h la altura tomada en la experimentación. Para hallar el porcentaje de error se tiene en cuenta la expresión:
