INTRODUCCIÓN

Se llama movimiento rectilíneo uniformemente variado el de un móvil que recorre espacios desiguales en tiempos iguales, es decir, la trayectoria de una recta y los espacios recorridos en tiempos iguales crecen o decrecen en cantidades iguales en cada unidad de tiempo.

Si los espacios crecen, el movimiento es uniformemente variado.

Si los espacios decrecen el movimiento es uniformemente retardado.

La velocidad en el Movimiento uniforme variado se calcula dividiendo un espacio recorrido a partir del instante considerado, por el tiempo.

Cuando la velocidad de un cuerpo en movimiento no es constante se entiende por velocidad del cuerpo en un momento dado el camino que en un segundo recorrería si a partir de ese momento cesara la acción de las fuerzas que determinan la variación de la velocidad.

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OBJETIVOS

Describir y reproducir el movimiento curvilíneo, componente tangencial y normal, componente radial y angular.

Interpretar el movimiento circular como un movimiento en dos dimensiones.

Desarrollar las habilidades para la construcción del material necesario para reproducir un movimiento curvo.

Movimiento curvo

Supongamos que el movimiento tiene lugar en el plano XY, Situamos un origen, y unos ejes, y representamos la trayectoria del móvil, es decir, el conjunto de puntos por los que pasa el móvil. Las magnitudes que describen un movimiento curvilíneo son:

Vector posición r en un instante t.

Como la posición del móvil cambia con el tiempo. En el instante t, el móvil se encuentra en el punto P, o en otras palabras, su vector posición es r y en el instante t' se encuentra en el punto P', su posición viene dada por el vector r'.

Diremos que el móvil se ha desplazado r=r’-r en el intervalo de tiempo t=t'-t. Dicho vector tiene la dirección de la secante que une los puntos P y P'.

Vector velocidad

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El vector velocidad media, se define como el cociente entre el vector desplazamiento r y el tiempo que ha empleado en desplazarse t.

El vector velocidad media tiene la misma dirección que el vector desplazamiento, la secante que une los puntos P y P1 cuando se calcula la velocidad media <v1> entre los instantes t y t1.

El vector velocidad en un instante, es el límite del vector velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.

Como podemos ver en la figura, a medida que hacemos tender el intervalo de tiempo a cero, la dirección del vector velocidad media, la recta secante que une sucesivamente los puntos P, con los puntos P1, P2....., tiende hacia la tangente a la trayectoria en el punto P.

En el instante t, el móvil se encuentra en P y tiene una velocidad v cuya dirección es tangente a la trayectoria en dicho punto.

Vector aceleración

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En el instante t el móvil se encuentra en P y tiene una velocidad v cuya dirección es tangente a la trayectoria en dicho punto.

En el instante t' el móvil se encuentra en el punto P' y tiene una velocidad v'.

El móvil ha cambiado, en general, su velocidad tanto en módulo como en dirección, en la cantidad dada por el vector diferencia v=v’-v.

Se define la aceleración media como el cociente entre el vector cambio de velocidad v y el intervalo de tiempo t=t'-t, en el que tiene lugar dicho cambio.

Y la aceleración a en un instante

Resumiendo, las ecuaciones del movimiento curvilíneo en el plano XY son

La primera fila corresponde, a las ecuaciones de un movimiento rectilíneo a lo largo del eje X, la segunda fila corresponde, a las ecuaciones de un movimiento rectilíneo a lo largo del eje Y, y lo mismo podemos decir respecto del eje Z.

Por tanto, podemos considerar un movimiento curvilíneo como la composición de movimientos rectilíneos a lo largo de los ejes coordenados.

Componente tangencial y normal

Las componentes rectangulares de la aceleración no tienen significado físico, pero si lo tienen las componentes de la aceleración en un nuevo sistema de referencia formado por la tangente a la trayectoria y la normal a la misma.

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Hallar las componentes tangencial y normal de la aceleración en un determinado instante es un simple problema de geometría, tal como se ve en la figura.

Se dibujan los ejes horizontal X y vertical Y.

Se calculan las componentes rectangulares de la velocidad y de la aceleración en dicho instante. Se representan los vectores velocidad y aceleración en dicho sistema de referencia.

Se dibujan los nuevos ejes, la dirección tangencial es la misma que la dirección de la velocidad, la dirección normal es perpendicular a la dirección tangencial.

Con la regla y el cartabón se proyecta el vector aceleración sobre la dirección tangencial y sobre la dirección normal.

Se determina el ángulo entre el vector velocidad y el vector aceleración, y se calcula el valor numérico de dichas componentes: at=a cos  y  an=a sen

Ejemplo:

El vector velocidad del movimiento de una partícula viene dado por v=(3t-2)i+(6t2-5)j m/s. Calcular las componentes tangencial y normal de la aceleración en el instante t=2 s. Dibujar el vector velocidad, el vector aceleración y las componentes tangencial y normal en dicho instante.

1. Dadas las componentes de la velocidad obtenemos las componentes de la aceleración

vx =3t-2 m/s,   ax=3 m/s2

vy=6t2-5 m/s,  ay=12t m/s2

2. Los valores de dichas componentes en el instante t=2 s son

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vx =4 m/s,   ax=3 m/s2

vy=19 m/s,  ay=24 m/s2

3. Dibujamos el vector velocidad y el vector aceleración

4. Calculamos el ángulo   que forman el vector velocidad y el vector aceleración

Por el producto escalar: v·a=v·a·cos Calculando el ángulo que forma cada vector con el eje X, y restando ambos ángulos

5. Se calculan las componentes tangencial y normal de la aceleración

at=a·cos =24.1 m/s2

an=a·sen=2.0 m/s2

Podemos hallar la aceleración tangencial en cualquier instante, a partir del producto escalar del vector aceleración a y el vector velocidad v.

v·a=va·cosθ=v·at

La aceleración normal, se obtiene a partir del módulo de la aceleración a y de la aceleración tangencial at

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Componente radial

Radio de curvatura

En la figura, se muestra el radio de curvatura y el centro de curvatura de una trayectoria cualesquiera en el instante t. Se dibuja la dirección del vector velocidad v en el instante t, la dirección del vector velocidad v+dv en el instante t+dt. Se trazan rectas perpendiculares a ambas direcciones, que se encuentran en el punto C denominado centro de curvatura. La distancia ente entre la posición del móvil en el instante t, y el centro de curvatura C es el radio de curvatura ρ.

En el intervalo de tiempo comprendido entre t y t+dt, la dirección del vector velocidad cambia un ángulo dθ. que es el ángulo entre las tangentes o entre las normales. El móvil se desplaza en este intervalo de tiempo un arco ds=ρ·dθ, tal como se aprecia en la figura.

Otra forma de obtener las componentes tangencial y normal de la aceleración, es la de escribir el vector velocidad v como producto de su módulo v por un vector unitario que tenga su misma dirección y sentido ut=v/v. La derivada de un producto se compone de la suma de dos términos

El primer término, tiene la dirección de la velocidad o del vector unitario ut, es la componente tangencial de la aceleración

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El segundo término, vamos a demostrar que tiene la dirección normal un. Como vemos en la figura las componentes del vector unitario ut son

ut=cosθ·i+senθ·j

Su derivada es

El vector aceleración es

Las componentes tangencial y normal de la aceleración valen, respectivamente

Esta última fórmula, la obtuvimos de una forma más simple para una partícula que describía un movimiento circular uniforme.

Como la velocidad es un vector, y un vector tiene módulo y dirección. Existirá aceleración siempre que cambie con el tiempo bien el módulo de la velocidad, la dirección de la velocidad o ambas cosas a la vez.

Si solamente cambia el módulo de la velocidad con el tiempo, como en un movimiento rectilíneo, tenemos únicamente aceleración tangencial.

Si solamente cambia la dirección de la velocidad con el tiempo, pero su módulo permanece constante como en un movimiento circular uniforme, tenemos únicamente aceleración normal.

Si cambia el módulo y la dirección de la velocidad con el tiempo, como en un tiro parabólico, tendremos aceleración tangencial y aceleración normal

Componente angular

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La velocidad angular describe la velocidad de una rotacion. La dirección del vector velocidad angular será alrededor del eje en este caso, en sentido anti-horario.

La velocidad angular de una partícula o de un cuerpo rígido describe la tasa con que su orientación cambia. Ella es análoga a la velocidad translatorial, y es definida en los términos de la derivação de la orientación con respecto al tiempo, así como la velocidad translatorial es la derivação de la posición en función del tiempo. Se acostumbra introducir el concepto de velocidad definiéndose de entrada la velocidad media cómo siendo el desplazamiento dividido por el tiempo. En este punto la analogía con la velocidad angular no es de gran utilidad pues, por ejemplo, si un cuerpo esté rodando a una velocidad angular constante de una revolución por minuto, al fin de un periodo de un minuto la 'velocidad angular media' del cuerpo sería de cero, pues la orientación es exatemente la misma que a de el inicio del periodo de tiempo al final de una rotação.

Más precisamente, si A(t) es a transformación ortogonal linear especial que describe la

orientación, la velocidad angular es definida como . De eso sigue que la velocidad angular es una transformançao skew-adjoint linear. ES útil restringir la atención a dos o tres dimensiones y representar la álgebra de Lie tridimensional de las tranformações lineares skew-adjoint para V3(R) por R³. El comutador, que es el producto del álgebra de Lie, es representado por el producto vectorial en R³. El resto de este artículo posee su discusión utilizando este estilo.

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GLOSARIO

ACELERACIÓN: Cambio de velocidad. El cambio puede ser de magnitud, de dirección, de sentido, o de todas juntas, lo cual implica que la aceleración es vectorial.

ACELERACIÓN DE GRAVEDAD: Es la relación que ejerce la tierra hacia su centro. Esta aceleración es siempre constante y habitualmente se simboliza con la letra g. El valor de esta constante es: g = 9.8m/s2

CAMPO GRAVITACIONAL: Campo de fuerza que existe en el espacio alrededor de toda masa o grupo de masas.

CIRCUNFERENCIA: Es un conjunto de puntos del plano equidistantes de otro fijo, llamado centro; esta distancia se denomina radio

ENERGÍA: Propiedad de un objeto a un sistema que le permite realizar trabajo; se mide en joules.

ENERGÍA CINÉTICA: Energía en movimiento; es igual (en condiciones no relativas) a la mitad de la masa multiplicada por la rapidez al cuadrado.

ENERGÍA POTENCIAL: Energía de posición. Por lo común se relaciona con la posición relativa de dos cuerpos, como una piedra y la tierra o un electrón y un núcleo.

FRECUENCIA: Número de sucesos (ciclos, vibraciones, oscilaciones o cualquier suceso repetitivo) por unidad de tiempo; se mide en hertz (o sucesos por unidad de tiempo). Es el inverso del periodo.

FUERZA: Cualquier influencia que tiende a acelerar un objeto; efecto de tirar o de empujar; se mide en Newton. Es una cantidad vectorial.

FUERZA CENTRÍFUGA: Fuerza ficticia que tiende a desplazar hacia fuera los objetos en rotación. Es ficticia en el sentido de que no es una interacción, sino que se debe a la tendencia de un cuerpo en movimiento a describir una trayectoria recta.

FUERZA CENTRÍPETA: Fuerza dirigida hacia el centro que hace que un objeto siga una trayectoria curva (a veces circular).

HERTZIO: hercio o hertz (Símbolo Hz), es la unidad de frecuencia del Sistema Internacional de Unidades. Un hercio representa un ciclo por cada segundo, entendiendo ciclo como la repetición de un suceso. Por ejemplo, el hercio se aplica en física a la medición de la cantidad de veces por un segundo que se repite una onda (ya sea sonora o electromagnética), magnitud denominada frecuencia y que es, en este sentido, la inversa del período. Un hercio es la frecuencia de una partícula en un período de un segundo.

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INERCIA: Resistencia que todo objeto material opone a los cambios en su estado de movimiento. La masa es una medida de la inercia.

INERCIA ROTACIONAL: Resistencia que opone un objeto a los cambios en su estado de rotación; está determinada por la distribución de la masa del objeto y la ubicación del eje de rotación o revolución.

JOULES: Unidad de trabajo y de todas las demás formas de energía en el sistema internacional (S.I). Se realiza un Joule (J) de trabajo cando se ejerce una fuerza de un Newton sobre un objeto que se desplaza un metro en dirección de la fuerza

LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL: Dos objetos cualesquiera se atraen mutuamente con una fuerza directamente proporcional al producto de las masas de los objetos, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa sus centros de masa.

LEY DE INERCIA: Todo cuerpo conserva su estado de reposo, o de movimiento en línea recta con rapidez constante, a menos que una fuerza resultante que se ejerce sobre él lo obligue a cambiar dicho estado. Se conoce también como primera ley de Newton.

NEWTON: Unidad de fuerza del S.I. 1 Newton (N) es la fuerza que aplicada a una masa de un Kg. produce una aceleración de 1 metro por segundo al cuadrado.

PERÍODO: Tiempo necesario para una órbita completa o tiempo necesario para que un péndulo complete una oscilación en ambos sentidos. En general, el tiempo necesario para completar un ciclo.

RAPIDEZ: Que tan aprisa se mueve algo; distancia recorrida por unidad de tiempo. Magnitud del vector de velocidad.

REVOLUCIÓN: Movimiento que describe un cuerpo alrededor de un eje externo.

ROTACIÓN: Movimiento que describe un cuerpo sobre un eje interno.

SEGUNDA LEY DE NEWTON: La aceleración que una fuerza resultante produce en un cuerpo es directamente proporcional a la magnitud de la fuerza resultante, tiene la misma dirección que la fuerza y es inversamente proporcional a la masa del cuerpo.

TEORÍA: Síntesis de un acervo grande de información que incluye hipótesis probadas y verificadas acerca de un aspecto del mundo natural.

TRABAJO (W): Producto de una fuerza que se ejerce sobre un objeto por la distancia que recorre el objeto bajo la acción de la fuerza (cuando la fuerza es constante y el movimiento es en línea recta en la dirección de la fuerza); se mide en joules.

TRAYECTORIA: Es el lugar geométrico de las posiciones sucesivas por las que pasa un cuerpo en su movimiento. La trayectoria depende del sistema de referencia en el que se describa el movimiento; es decir el punto de vista del observador.

VELOCIDAD: Rapidez en conjunto con la dirección y sentido del movimiento.

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CONCLUSIÓN

Con el presente trabajo analizamos como se mueven los objetos de manera curvilinea ya sea de forma uniforme y/o acelerada, estos son movimientos que nos acompañan desde la formación del universo como son el movimiento de traslación y rotación de los planetas, hasta el simple rotar de una rueda.

También pudimos descubrir que en ausencia de fuerzas, el movimiento en línea recta y a velocidad constante continúa indefinidamente. En cambio el movimiento curvo, necesita fuerzas para existir. 

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BIBLIOGRAFIA

www.google.com www.es.wikipedia.org Fisica conceptual, Paul G. Hewitt (3ª edición). Fisica general, Alvarenga - Máximo (4ª edición).

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