Fisica Nuclear

Antonio Ferrer Soria María Shaw Marios

Amalia Williart Torres

FISICA NUCLEAR

indice General

Introducción 11

I Estructura nuclear 17

1 El núcleo atóm ico. Propiedades físicas 19Objetivos didácticos específicos..................................................201 .1 Introducción: El núcleo atómico..........................................21

1 .1 .1 Experimentos históricos...........................................231 .2 Tamaño y distribución de carga nuclear. Medida del radio de

los núcleos......................................................................... 251.2.1 Medida del radio de carga de los núcleos................... 271.2.2 Distribución de materia (masa) nuclear......................35

1.3 Masa y abimdancia de núclidos..........................................351.3.1 Unidad de masa atómica...........................................361.3.2 Medida de masas de núcleos......................................361.3.3 Abimdancia de núcleos............................................. 431.3.4 Energía de ligadura...................................................441.3.5 El valle de la estabilidad...........................................471.3.6 Energía de separación nucleònica..............................481.3.7 Fórmula semiempírica de la m asa..............................49

1.4 Estabilidad nuclear. Parábola de masas............................... 521.5 Elspín, paridad y momentos electromagnéticos nucleares . . . . 55

1.5.1 Espín y Paridad nucleares........................................ 551.5.2 Espín isotópico del núcleo........................................ 571.5.3 Momentos electromagnéticos nucleares......................58

1.6 Estructura de niveles energéticos nucleares.......................... 62Glosario de términos clave..........................................................65Resimien....................................................................................67

Ejercicios de autocomprobación................................................. 69Soluciones a los ejercicios de autocomprobación..........................70

2 La fuerza nuclear: El deuterón. Interacción N - N 73Objetivos didácticos específicos.....................................................742.1 Introducción..................................................................... 752.2 El deuterón: Propiedades y función de ondas........................75

2.2.1 Momento dipolar magnético del deuterón.................. 782.2.2 Momento cuadrupolar eléctrico del deuterón.............802.2.3 Función de ondas radial del deuterón....................... 83

2.3 Difusión N — N. Defasajes................................................ 8 6

2.3.1 Desarrollo en ondas parciales ................................. 8 6

2.3.2 Relación entre defasaje y potencial V ....................... 872.3.3 Aproximación de alcance efectivo............................ 8 8

2.4 Potencial de Yukawa........................................................ 902.5 Potencial N — N ............................................................. 94

2.5.1 Potencial OPEP ....................................................96Glosario de términos clave.........................................................98Resumen...................................................................................99Ejercicios de autocomprobación................................................. 101Soluciones a los ejercicios de autocomprobación..........................102

3 Modelos nucleares 105Objetivos didácticos específicos................................................... 1063.1 Introducción..................................................................... 1073.2 Modelos de partícula individual.........................................109

3.2.1 Propiedades de los núcleos con A im p a r.................. 1093.2.2 Modelo de capas ................................................... 1093.2.3 Modelo de capas esférico.........................................111

3.3 Modelos colectivos...........................................................1253.3.1 Modelo del gas de Ferm i.........................................1263.3.2 Modelo de la gota líqu ida ...................................... 1283.3.3 Propiedades colectivas de los núcleos par—p a r.......... 1293.3.4 Modelo vibracional.................................................1313.3.5 Modelo rotacional................................................... 138

3.4 Modelo unificado............................................................. 1443.4.1 Modelo de capas en núcleos deformados.................... 144

Glosario de términos clave.........................................................147

4 ÍNDICE GENERAL

Resumen..................................................................................... 148Ejercicios de autocomprobación....................................................150Soluciones a los ejercicios de autocomprobación.............................151

II Desintegraciones nucleares y radiactividad 155

4 R adiactividad y desintegración nuclear 157Objetivos didácticos específicos....................................................1584.1 Introducción...................................................................... 159

4.1.1 Generalidades..........................................................1594.2 Ley de desintegración radiactiva...........................................161

4.2.1 Periodos de semidesintegración parciales................... 1634.3 Teoría cuántica de la desintegración radiactiva..................... 1664.4 Tipos de desintegraciones nucleares. Fuentes radiactivas más

comunes...........................................................................1674.4.1 Desintegración alfa..................................................1704.4.2 Desintegración b e ta ............................................... 1704.4.3 Desintegración gamma............................................ 1724.4.4 Fisión espontánea..................................................1734.4.5 Emisión de nucleones............................................ 173

4.5 Series naturales de elementos radiactivos............................. 1744.6 Cadenas radiactivas. Ecuaciones de Bateman........................ 174

4.6.1 Aplicaciones del equilibrio radiactivo........................ 1774.7 Radiactividad artificial.......................................................1784.8 Datación radiactiva............................................................ 181

4.8.1 Datación por .....................................................1814.8.2 Datación geológica..................................................181

Glosario de términos clave........................................................... 184Resumen..................................................................................... 186Ejercicios de autocomprobación....................................................188Soluciones a los ejercicios de autocomprobación............................ 189

5 Teoría de la desintegración alfa 195Objetivos didácticos específicos................................................... 1965.1 Propiedades generales de la desintegración a lfa ..................... 197

5.1.1 Balance energético.................................................. 1985 .1 .2 Predicción de Q por la fórmula semiempírica..............199

ÍNDICE GENERAL 5

5.1.3 Regla de Geiger-Nuttal............................................ 2005.2 Modelo de Gamow de la desintegración alfa .......................2 0 2

5.2.1 Probabilidad de desintegración a lfa .......................... 2045.2.2 Emisión de otras partículas o núcleos........................208

5.3 Espectroscopia alfa y estructura nuclear ............................2095.4 Reglas de selección: Momento angular y Paridad................. 210Glosario de términos clave........................................................... 213Resumen.....................................................................................214Ejercicios de autocomprobación................................................... 216Soluciones a los ejercicios de autocomprobación............................ 217

6 Teoría de las desintegraciones beta 221Objetivos didácticos específicos................................................... 2226.1 Introducción..................................................................... 223

6.1.1 Balance energético..................................................2256.2 Teoría de Fermi de la desintegración beta............................ 228

6.2.1 Probabilidad de transición....................................... 2286.2.2 ** Elemento de matriz en la teoría V -A ..................... 2296.2.3 Densidad de estados finales .....................................232

6.3 Forma del espectro b e ta ....................................................2346.3.1 Predicción de la masa del neutrino.......................... 234

6.4 ** Periodo comparativo y transiciones prohibidas............... 2376.4.1 Tipos de transiciones y reglas de selección en la desin

tegración beta nuclear............................................2406.5 Experimento de Reines y Cowan.........................................2466 .6 Violación de la Paridad en la desintegración b e ta ...............2486.7 Desintegración doble-beta.................................................249Glosario de términos clave........................................................... 251Resimien.....................................................................................252Ejercicios de autocomprobación................................................... 254Soluciones a los ejercicios de autocomprobación............................255

7 Teoría de la desintegración gamma 259Objetivos didácticos específicos................................................... 2607.1 Introducción..................................................................... 261

7.1.1 Desarrollo multipolar............................................... 2637.2 Conservación de la energía en las desintegraciones gamma . . . 2647.3 Vidas m edias...................................................................266

6 ÍNDICE GENERAL

7.3.1 Ordenes de magnitud de transiciones gamma multipo-lares......................................................................266

7.3.2 Regla dorada de Ferm i.............................................. 2677.3.3 Estimadores de Weisskopf........................................269

7.4 Reglas de selección............................................................ 2727.4.1 Conversión interna..................................................275

7.5 Espectroscopia gamma.......................................................2787.6 Efecto Móssbauer...............................................................278

7.6.1 Emisión y absorción de gammas................................2787.6.2 Aplicaciones del efecto MOssbauer............................. 284

Glosario de términos clave........................................................... 286Resumen.....................................................................................287Ejercicios de autocomprobación................................................... 288Soluciones a los ejercicios de autocomprobación............................ 290

III Reacciones nucleares 295

8 Reacciones Nucleares 297Objetivos didácticos específicos................................................... 2988.1 Introducción........................................................................ 2998.2 Leyes de conservación......................................................... 300

8 .2 .1 Conservación de la energía-momento........................ 3018 .2 .2 Otras leyes de conservación ..................................... 305

8.3 Secciones eficaces de reacción.............................................3058.4 Tipos de reacciones............................................................ 308

8.4.1 Difusión y absorción nuclear..................................... 3108.4.2 Reacciones de núcleo compuesto................................3138.4.3 Reacciones directas..................................................314

8.5 Modelo óptico....................................................................316Glosario de términos clave........................................................... 318Resimien.....................................................................................319Ejercicios de autocomprobación................................................... 321Soluciones a los ejercicios de autocomprobación............................ 322

9 Procesos de fisión y fusión 325Objetivos didácticos específicos................................................... 3269.1 Introducción...................................................................... 327

ÍNDICE GENERAL 7

9.2 Fisión Nuclear....................................................................3279.2.1 Antecedentes.........................................................3279.2.2 Energética.............................................................. 3289.2.3 Modelo de la gota líquida para la fisión.................... 3299.2.4 Características de la reacción de fisión inducida . . . . 331

9.3 Reacción de fisión controlada .............................................3359.3.1 Tamaño crítico y constante de tiempo.......................339

9.4 Reactores de Fisión............................................................ 3419.5 Fusión N uclear................................................................. 343

9.5.1 Procesos básicos de fusión nuclear............................ 3439 .5 .2 Características de la fusión nuclear..........................345

9.6 Reactores de fusión............................................................ 3489.6.1 Reacción de fusión controlada. Criterio de Lawson . . . 350

9.7 Fusión solar y neutrinos solares.......................................... 3519.7.1 El Big-Bang. Nucleosíntesis estelar......................... 3519.7.2 Los procesos de fusión en el S o l...............................3549.7.3 ** Los neutrinos solares.........................................358

Glosario de términos clave........................................................362Resumen...................................................................................363Ejercicios de autocomprobación................................................. 364Soluciones a los ejercicios de autocomprobación..........................365

ÍNDICE GENERAL

IV Interacción de la radiación con la materia 369

10 Interacción de la Radiación con la M ateria 371Objetivos didácticos específicos....................................................3721 0 .1 Introducción.....................................................................3731 0 .2 Interacción de partículas cargadas......................................375

10.2.1 Pérdida de energía por ionización. Fórmula de Bethe-Bloch ................................................................... 375

10.2.2 Consecuencias de la fórmula de Bethe-Bloch.............38010.2.3 Difusión múltiple o culombiana. Fórmula de Ruther-

ford ......................................................................38310.3 Interacción de electrones y positrones con la materia .......... 385

10.3.1 Pérdida de energía por colisión ...............................38610.3.2 Radiación de frenado.............................................. 38610.3.3 Aniquilación de positrones.......................................390

10.3.4 Retrodifusión. A lb ed o ............................................ 39110.4 Interacción de fotones con la materia. Fenómenos de Radiación 392

10.4.1 Efecto fotoeléctrico................................................ 39210.4.2 Efecto Compton..................................................... 39310.4.3 Creación de pares...................................................39610.4.4 Atenuación de fotones........................................... 397

10.5 Efecto Cerenkov............................................................... 399Glosario de términos clave.........................................................401Resumen...................................................................................403Ejercicios de autocomprobación................................................. 404Soluciones a los ejercicios de autocomprobación............................ 405

1 1 Detectores de Radiaciones Nucleares 409Objetivos didácticos específicos................................................. 41011.1 Introducción......................................................................411

11.1.1 Clasificación de los detectores.................................41111.2 Magnitudes características de los detectores....................... 413

1 1 .2 .1 Sensibilidad...........................................................41311.2.2 Respuesta............................................................. 41311.2.3 Resolución energética..............................................41611.2.4 Eficiencia............................................................. 41811.2.5 Tiempo muerto..................................................... 421

11.3 Detectores gaseosos..............................................................42211.3.1 ** Movimiento de cargas en gases ............................ 4271 1 .3 .2 ** Avalancha...........................................................42711.3.3 ** Forma del pulso electrónico................................. 428

11.4 Detectores de centelleo........................................................ 42911.4.1 Características generales.........................................43011.4.2 ** Tipos de materiales centelleadores.......................43111.4.3 Respuesta limiinosa................................................ 43211.4.4 Eficiencia en el transporte de luz ............................43211.4.5 Fotomultiplicadores (P M ) ......................................433

11.5 Detectores de estado sólido................................................. 43611.5.1 Semiconductores...................................................43611.5.2 La imión p — n como detector.................................43711.5.3 Potencial de polarización.........................................43811.5.4 Particularidades......................................................439

11.6 Detección de partículas neutras......................................... 439

ín d ic e g e n e r a l 9

11.6.1 Detección de Neutrones por Interacción Fuerte.......... 440Gloseirio de términos clave........................................................... 441Resumen..................................................................................... 443Ejercicios de autocomprobación................................................. 444Soluciones a los ejercicios de autocomprobación..........................445

12 Introducción a la Protección Radiológica 447Objetivos didácticos específicos................................................... 44812.1 Introducción.....................................................................449

12.1.1 Bases biológicas...................................................... 45012.2 Unidades..........................................................................451

12.2.1 Actividad (.4 ).........................................................45112.2.2 Exposición X .........................................................45212.2.3 Dosis absorbida, D ................................................. 454

12.2.4 El kerma, K ........................................................... 45512.2.5 Dosis equivalente, H .............................................. 45612.2.6 Tasa de dosis .........................................................457

12.2.7 Dosis equivalente efectiva......................................... 45812.3 Sistema de limitación de dosis...........................................459

12.3.1 Justificación........................................................... 45912.3.2 Optimización.........................................................46012.3.3 Limitación de dosis individual................................. 461

12.4 Medidas de protección..................................................... 46312.4.1 BUndajes ..............................................................465

12.5 Ejemplos de dosis............................................................. 46712.5.1 Radiactividad natural nociva. El radón.....................468

Glosario de términos clave........................................................... 470Resumen..................................................................................... 471Ejercicios de autocomprobación................................................. 472Soluciones a los ejercicios de autocomprobación..........................473

Unidades 477

Constantes 478

Bibliografía 479

10 ÍNDICE GENERAL

INTRODUCCION

I. Unidades didácticas

Las Unidades Didácticas están a medio camino entre un libro de texto clásico y las lecciones presenciales de los profesores frente a la pizarra. En este último caso, el alumno puede preguntar dudas que el profesor le aclara sobre la marcha, además de ponerle después ima serie de problemas sobre los temas explicados para que lo comprenda mejor.

Los alumnos que estudian a distancia tienen el inconveniente de no tener clase presencial. Por esta razón las Unidades Didácticas pretenden de alguna manera sustituir la clase impartida por el profesor y servirles de ayuda en el estudio. Para ello proponen explicaciones y desarrollos lo más asequibles posibles, intercalan ejemplos sobre lo que se explica y ponen ejercicios de autocomprobación para que el alumno compruebe el grado de conocimiento adqvdrido.

11

Las Unidades Didácticas son una manera de facilitar el estudio al alunmo que no puede acudir a ima clase presencial. De ahí su interés especial para los alumnos de la UNED. Es necesario contar con im libro en donde se encuentren todos los temas a estudiar (sin necesidad de más textos) escrito con la suficiente claridad para que no ofrezcan demasiadas dudas y estructurado de manera didáctica.

Este no es un texto sólo privativo de los alunmos de la UNED, aimque va dedicado a ellos, ya que creemos que puede ser útil a los demás estudiantes de Física Nuclear de otras Facultades de Ciencias y Escuelas de Ingeniería.

12 Física Nuclear

II. Acerca del libro

Este texto esta basado en unos apimtes de Física Nuclear que el Prof. D. Antonio Ferrer Soria imparte en la Universidad de Valencia y que con su colaboración se han reestructurado para adaptarlo a los alumnos de la UNED, transformándolo en Unidades Didácticas, .

Es pues, una Introducción a la Física Nuclear según el temario exigido en la asignatura de Física Nuclear del vigente plan de estudios. El nivel se corresponde con los conocimientos de 5 curso de la carrera de Ciencias Físicas, por lo que requiere una cierta base de Mecánica Cuántica y Relatividad.

Las Unidades Didácticas se han estructurado en 4 bloques que abarcan básicamente todos los contenidos establecidos (véase el Esquema General) y que son:

I. Estructura Nuclear

II. Desintegraciones Nucleares y Radiactividad

III. Reacciones Nucleares

rV. Interacción de la radiación con la materia

Introducción 13

I - ESTRUCTURA NUCLEAR1 - EL NÚCLEO ATÓMICO. PROPIEDADES FÍSICAS2 - LA FUERZA NUCLEAR: EL DEUTERÓN. INTERACCIÓN3 - MODELOS NUCLEARES

II - DESINTEGRACIONES NUCLEARES Y RADIACTIVIDAD4 - RADIACTIVIDAD Y DESINTEGRACIÓN NUCTEAR5 - TEORÍA DE LA DESINTEGRACIÓN ALFA6 - TEORÍA DE LA DESINTEGRACIÓN BETA7 - TEORÍA DE LA DESINTEGRACIÓN GAMMA

III - REACCIONES NUCLEARES8 - REACaONES NUCLEARES9 - PROCESOS DE FISIÓN Y FUSIÓN

IV - INTERACaÓN DE LA RADIACIÓN CON LA MATERIA1 0 - INTERACaÓN DE LA RADL\CIÓN CON LA MATERIA11 -DETECTORES DE RADIACIONES NUCLEARES12 - INTRODUCCIÓN A LA PROTECCIÓN RADIOLÓGICA

A cada bloque temático se le ha asignado un color, de manera que el alimmo al ver el esquema al comienzo de cada capítulo, se sitúe visualmente en el bloque en que se encuentra en cada momento.

III. Los Temas

Cada capítulo consta de los siguientes apartados:

• Un esquema general de sus contenidos, del color del bloque correspondiente.

• Los objetivos didácticos marcados para la comprensión del texto.

• Los contenidos teóricos.

- Dentro de estos contenidos teóricos aparecen ejemplos desarrollados sobre el contenido de algima explicación en particular.

— Los apartados señalados con ** no entrarían en el temario, pero pueden resultar interesantes.

• Resumen de las ideas básicas para tener un conocimiento mínimo de lo explicado en ese capítulo.

• Glosario con las definiciones de los conceptos más importantes.

• Cuestiones y problemas de autocomprobación, para que el alumno intente resolverlos y pueda comprobar después las soluciones correctas que se dan posteriormente.

Además al final del libro se han añadido imos apéndices que consideramos de interés: Propiedades de los diferentes nucleidos, tablas de unidades y constantes más utiUzadas.

14 Física Nuclear

Introducción a la física nuclearLa Física Nuclear es el campo científico que estudia los núcleos atómicos,

sus propiedades y las fuerzas que actúan entre sus constituyentes: protones y neutrones, denominados genéricamente nucleones. Al tratarse de entes ffeicos de dimensiones extraordinariamente pequmas (entre 2 y 1 0 fin), su estudio debe abordarse utilizando los métodos y prescripciones de la Mecánica Cuántica, aunque también se recurre, circunstancialmente, a conceptos macroscópicos (como en el caso del modelo de la gota líquida) especialmente en el caso de núcleos con un gran número de nucleones.

Hoy es bien conocido que los nucleones están constituidos por entes más fundamentales llamados quarks, que son entes sin estructiura. Sin embargo, para el estudio de las propiedades de los núcleos no es necesario recurrir a la estructura de quarks de los nucleones. La mayoría de las propiedades de los núcleos pueden entenderse a partir de las propiedades del protón y neutrón interaccionando a través de un campo de fuerzas.

El núcleo es un sistema complejo, formado por un gran número de constituyentes entre los que actúan tres de las cuatro fuerzas fundamentales de la natiuraJeza; la fuerza nuclear (también llamada fuerza fuerte por ser la más intensa de las conocidas), la electromagnética y la débil. A pesar del gran desarrollo de la Física Nuclear en el siglo XX, todavía no se dispone

de una teoría aceptable que describa las propiedades de los núcleos; existe una visión fenomenològica de todos los procesos estudiados. No es posible describir la Física Nuclear de manera coherente, a partir de primeros principios, como la Mecánica Clásica o el Electromagnetismo. Se suele recurrir a modelos nucleares, que a primera vista parecen incompatibles.

A lo largo de los temas aquí recogidos, es indispensable adelantar conceptos que posteriormente son ampliados y aclarados. Por eso, el estudio de la Física Nuclear debe realizarse de forma iterativa.

A modo de resimien, conviene tener presente que la Física Nuclear tiene tres objetivos:

• Escrutar las partículas y sus interacciones; campo muy activo que ha dado origen a la física de partículas.

• Clasificar e interpretar las propiedades de los núcleos.

• Producir avances tecnológicos que beneficien a la sociedad.

Introducción 15

Capítulo 1

El núcleo atómico. Propiedades físicas

INTRODUCCIÓN: EL NÚCLEO ATÓMICOo EXPERIMENTOS HISTÓRICOS

TAMAÑO Y DISTRIBUaÓN DE CARGA PÍUCLEAR. MEDIDA DEL RADIO DE LOS NÚCLEOS

o MEDIDA DEL RADIO DE CARGA o DISTRIBUCIÓN DE MATERIA NUCLEAR

MASA Y ABUNDANCIA DE NÚCLIDOSo UNIDAD DE MASA ATÓMICA o MEDIDA DE MASAS DE LOS NÚCLEOS o ABUNDANCIA DE NÚCLEOS o ENERGÍA DE LIGADURA

EL VALLE DE ESTABILIDAD o ENERGÍA DE SEPARACIÓN NUCLEÒNICA o FÓRMULA SEMIEMPÍRICA DE MASAS

ESTABILIDAD NUCLEAR. PARÁBOLA DE MASAS ESPÍN, PARIDAD Y MOMENTOS ELECTROMAGNÉTICOS NUCLEARES

o ESPÍNY PARIDAD NUCLEAR o ESPÍNISOTÓPICO DEL NÚCLEO o MOMENTOS ELECTROMAGNÉTICOS

ESTRUCTURA DE NIVELES ENERGÉTICOS NUCLEARES

19

20 Física Nuclear

OBJETIVOS DIDÁCTICOS ESPECÍFICOS

• Explicar los conceptos de carga, radio y masa nuclear y describir alguno de los métodos para medir estas magnitudes; analizar los resultados que aportan cada uno de los métodos.

• Defiim· y explicar los conceptos de exceso de masa, energía de enlace de im núcleo y energía de enlace media por nucleón en función del número másico.

• Utilizar el diagrama N —Z para analizar la estabilidad nuclear y deducir las consecuencias en relación a las características de los núcleos estables.

• Estudiar los momentos nucleares (espín, dipolar magnético, cuadrupolar eléctrico) y la paridad para caracterizar el estado en el que está im núcleo.

• Describir la estructura de los niveles energéticos nucleares.

1.1 Introducción: El núcleo atómico

Los núcleos están compuestos por A nucleones (se entiende por nucleón tanto a protones, p, como a neutrones, n). A es también llamado número másico, siendo Z el número de protones y N = A - Z el de neutrones. Existen núcleos con valores de A que van desde 1 hasta A ^ 260. Se trata pues de entes constituidos por un gran número de nucleones; por eso son sistemas extensos y muy complicados. Suelen denominarse nucleidos y para distinguirlos se emplea la notación ^X.

El núcleo atómico. Propiedades físicas 21

Existen unos 350 nucleidos estables (no se desintegran espontáneamente) y más de 2000 inestables. Los núcleos con el mismo número atómico Z se denominan isótopos, con el mismo N, isótonos y con el mismo A, isóbaros. Curiosamente los únicos isótopos que han sido bautizados con un nombre diferente al del elemento químico asociado son los del Hidrógeno, llamados Deuterio (iH ) y Tritio {iH).

Más adelante se justificará que para núcleos con A impar suele haber un sólo núcleo estable, mientras que en el caso de los núcleos con A par suelen haber al menos dos isótopos estables.

Los nucleones tienen las siguientes propiedades:

Masa Vida media Cargaí 1,67262 X lO-··" kg ¡ 1 7

“ 1 938,272 MaV/c r, > 5 x 1 0“ irnos (oc) q, = +e

^ _ í 1,67492 X 10-27 kg ^~ i 939,566 MeV/c ~ ^ ^

Por lo tanto, nin « 1840 x rrie (rrie = 0,511 MeV/c^), con lo que los núcleos contienen toda la masa del átomo. La unidad de carga utilizada es e = 1,6 X 10” ® C, valor absoluto de la carga del electrón. Los nucleones son también fermiones (es decir tienen espín s = 1/2). Tienen momento dipolar magnético:

/Xp = 2,7928/x y /in = “ 1.9130/i;v

siendo = e/l/2mp = 3,152 x 10" MeV/T, el magnetón nuclear.La existencia y estabilidad de los núcleos implica la existencia de una

fuerza nuclear o fuerte, atractiva, que cohesiona todos los nucleones, de mayor intensidad que la repulsión culombiana y de corto alcance (f^ 1 fm).

La independencia de carga, responsable de la simetría de carga de la fuerza nuclear para pp y nn, que se deriva, entre otros, de las propiedades de los núcleos espejo (cuya definición aparece en la página 33), permite dotar a los nucleones de un nuevo número cuántico llamado espín isotópico o también isospfn. Se considera al protón y al neutrón como si fuesen un mismo objeto: el nucleón.

El nucleón tiene isospín total Tjsj = 1/2 y sus proyecciones son el protón p = T3 = +1/2 y el neutrón n = T: = —1/2. El sistema N — N podrá formar im estado triplete (T = 1 ) o singlete (T = 0) de isospín.

La importancia del isospín quedará clara cuando se estudie la independencia de carga de la interacción fuerte.

Los núcleos se consideran sistemas cuánticos con propiedades estáticas bien definidas,

M, R, Z, J^, T ,fi, Q ,.....

o sea masa M, radio R, número atómico Z (que da su carga eléctrica q = Zé), el espín J, la paridad 'P y el isospín T. Los momentos multipolares electromagnéticos, el dipolar magnético /x y el cuadrupolar eléctrico Q. Entre los momentos multipolares electromagnéticos no aparece por ejemplo el momento dipolar eléctrico, que es nulo, ya que no hay asimetría de cargas arriba-abajo.

Los núcleos tienen también propiedades dinámicas, como por ejemplo, la vida media r. Las propiedades dinámicas de los núcleos se estudiarán en capítulos posteriores.

Otra propiedad muy característica de los núcleos es la existencia de niveles energéticos discretos E„. En condiciones normales un núcleo se encontrará en el estado fundamental, que es el estado de mínima energía; es el más

22 Física Nuclear

accesible y por lo tanto el más fácil de estudiar. Suele ser el estado mejor conocido de dicho nucleido.

Los niveles £*„, cuantificados, de mayor energía que el estado fundamental son accesibles a través de reacciones nucleares o como consecuencia de la desintegración de núcleos. La magnitud física que caracteriza las reacciones nucleares es la sección eficaz^ que representa la probabilidad de reacción y la magnitud que caracteriza las desintegraciones nucleares es la constante de desintegración A (que da la probabiUdad de desintegración por unidad de tiempo) o su inversa la vida media r = 1/A o también la magnitud utilizada más frecuentemente en física nuclear: el semiperiodo o periodo de semidesintegración^, T1/2 = In2 /A.


1.1·! Experimentos históricos

Antes de iniciar el estudio de las propiedades nucleares es interesante recordar dos históricos experimentos, que marcan el origen de la física nuclear:

El experimento de Rutherford (1911), que estudió la colisión elástica de partículas a con el oro:

a 4- —► 79^14-ha (1.1)

permitiendo el descubrimiento del núcleo.

El experimento de Chadwick (1932), basado en el estudio de la reacción nuclear

12(7 + ^ (1 .2 )

que descubrió el neutrón.

^La sección eficaz se describe con detalle en el tema de Reacciones Nucleares.Ên algunas traducciones de textos escritos en inglés puede haber confusión entre estos

dos conceptos, Mean life(r) y Half life(Ti/2), traduciéndolas ambas como vida medias, siendo magnitudes distintas.

24 Física Nuclear

El experim ento de Rutherford

•i

II« I

I i

Ángulo de difusión, 0

Figura 1.1 - La sección eficaz diferenciaJ de Rutherford.

Se trata de la colisión elástica a-l- debida a la interacción eléctrica entre la carga de la partícula a y el núcleo de oro. Los proyectiles, con energía cinética Tq = 7, 6 8 MeV, provenían de una fuente radiactiva de Ra.

La sección eficaz diferencial, que expresa la probabilidad de colisión por elemento de ángulo sóUdo díl es

zZe2 d? 1( ^ ] . ( A \\dnj \4n£oJ ^4Tsen2(|)y 16sen‘‘ (|)

(1.3)

siendo dg la distancia de máximo acercamiento al núcleo, obtenida al igualar la energía cinética con la potencial.

1 2Ze2 (1.4)

La conclusión de las medidas realizadas por Geiger y Marsden fue que el núcleo podía considerarse como si fuese pimtual y con toda la carga eléctrica, Ze, concentrada en ese pimto.


El experimento de Chadwick

Consistió en explicar los enigmáticos rayos del Berilio, producidos en la reacción nuclear

*He+ iB e ^ l^C+ In (1.5)

Estos rayos eran desconocidos. Se trataba de neutrones, cuya detección es muy difícil. El método empleado en la época era colocando parafina detrás de la lámina de Berilio, y así se detectaban protones en un detector Geiger cercano. El contador Geiger es sensible a los protones emitidos en la colisión elástica np —> pn que tenía lugar en la parafina (material rico en hidrógeno).

Las primeras propiedades que interesa estudiar son el tamaño y el radio de los núcleos.

1.2 TEunaño y distribución de carga nuclear. Medida del radio de los núcleos

La forma del núcleo es aproximadamente esférica. Su contorno es impreciso. Su distribución de carga o materia estará caracterizada mediante dos parámetros, el radio ü y el parámetro ligado a la anchura de la corteza, t.

3J. Chadwick, Nature, (1932) 312.

26 Física Nuclear

r ( f m )

Figura 1.2 - La distribución de Saxon-Woods (i? = 5ñnyí = 0,5 &n).

Los resultados experimentales realizados para medir la densidad de carga nuclear conducen a ima distribución del tipo,

p ( r ) =Po

1 +(1.6)

llamarlfl. de Fermi o de Saxon-Woods; Po densidad máxima de carga nuclear y el radio ^

R = (1.7)

con ro « 1,2 ftn y í = 0,55±0,07 fm. Este último es un parámetro relacionado con el tamaño de la corteza nuclear, y es prácticamente el mismo para todos los núcleos.

Como suele ser habitual, el radio R representa el valor de r para e que la densidad se reduce a la mitad del valor máximo (se cumple que p{R) — Po/ )· El parámetro t, mide el intervalo de r en el que la densidad pasa del 62,2% al 37,8%. En efecto, estos son los valores de la densidad que se obtiei^n al hacer r = R ± t 12. Sin embargo, paxa tener una idea de la anchura de la corteza nuclear se suele tomar por convenio la anchura en la que a ensi ad

nuclear pasa del 90% al 10%. En cuyo caso es fácil comprobar usando (1.6) que la anchura de la corteza nuclear es 4í hi3 (= 4,39 x t).

Toda una serie de experimentos se utilizan para medir esta distribución.

• Experimentos para la medida de la carga nuclear:

— Difusión electrón-núcleo, (e +

— Rayos X de isótopos.

— AE en núcleos espejo.

• Experimentos para la medida de la m ateria nuclear:

— Difusión de Rutherford (las desviaciones).

— Desintegración a.

— Rayos X de átomos piónicos.

1.2.1 Medida del radio de carga de los núcleos

Difusión elástica e~

Deben utilizarse electrones de momento p > 100 MeV/c, para que puedan explorar zonas de tamaño A < 10 fm. La difusión e~Ai es similar a la difracción de la luz por im disco de diámetro D; la posición de los mínimos de la sección eficaz diferencial aparece en los ángulos 0 solución de la ecuación:

. 1,22Asene = —^ (1 .8 )

A partir de resultados de experimentos de difusión con electrones llevados a cabo en el laboratorio SLAC se determinó que el radio del núcleo del Oxígeno vale R{^^0) 2,6 fm, y que el del Carbono es R{^^C) 2,3 fm.

** Eactor de forma de carga nuclear. Más cuantitativamente, la densidad de carga nuclear se mide a partir del factor de forma nuclear F{q^), que se define como la transformada de Fourier de la distribución de carga Pc/i(0·

La sección eficaz de Rutherford vista en (1.1) explica la difusión culombiana no relativista entre dos cargas puntuales. Se puede reescribir en función del


^H.F. Ehrenberg 113 (1959) 666.

momento transferido entre el electrón inicial y final, q = que, al tratarsede ima difusión elástica (|p¿| = |p/|) se cimiple = 4p sen^(¿/2). Se tiene

q* ^

Si se supone un objeto extenso, se introduce el factor de forma con loque la sección eficaz de Rutherford se escribe,

( % ) = (^)pu.,u^|F(.^)l’ (1 .1 0 )

que, en función del momento transferido,

= (MI)

Sea la función de ondas nuclear del estado fundamental. La densidad de carga

p^(r) = Z|V>(r)|2 (1.12)

siendo la normalización Z = Att J factor de forma se define comola transformada de Fourier de la distribución de carga,

F{q) = J pAr)e^-^^dr (1.13)

que, al tomar la pauiie radial, queda;

Pch(x)sen{qr)rdr (1.14)

DesaiTollfindo el sen{qr) se tiene,

F{q^) = ^ y Pch{r)[Qr - + -i^d r = Z[1 - + ···] (1-15)

con lo que puede obtenerse el radio cuadrático medio (r^), y que a su vez puede determinar el radio R. Para un núcleo esférico de densidad constante p(r) = se cumple,

/ 2v ^ So r^PpdV _ fd" r^Po(47rr^dr) ^ 3 . f,% odV - /o% o(4-^^r·) 5 >

28 Física Nuclear

luego,

Ü = 1,29^P> (1.17)


Las medidas realizadas por este método dan , y/J AOQa) ~ 3,448 fm yv/P>(2O6p,) = 5,509 fm.

La distribución de medidas y/{r )/A ^ en función del número másico A da lugar a una constante para A > 50, obteniéndose,

y p ) = (0,97 ± 0,04) (1.18)

y se verifica que

R = roA ^ con ro « 1,2 fm (1-19)

También se podría conocer realizando la transformada de Fourier inver-sa:

= F{q^)sen{qr)qdq (1 .2 0 )

Este método también se emplea para medir el radio del protón. Se utilizaentonces una forma dipolar

p(r) = Poe-*> (1 .2 1 )

siendo = 0>84 GeV/c. El factor de forma (eléctrico) del protón se escribe en este caso:

G{q^) = [1 - {q/qo)r^ (1-2 2 )

Utilizando el mismo desarrollo que en la expresión (1.15), se tiene

» »

o sea, al convertirlo en unidades de longitud, (r^) = (0,81 fm) .

®Una compilación de datos y referencias puede verse en C.W. de Jager Atomic Data and Nuclear Tables 14 (1974) 479; y en la misma revista, 36 (1987) 495.

RaycMsX de isótopos

Introducción: TYansiciones atómicas. Se trata de estudiar las diferencias en las líneas espectrales de isótopos del mismo elemento. Si los núcleos fuesen puntuales, todos los isótopos del mismo elemento tendrían el mismo espectro de rayos X, ya que todos los electrones sentirían la misma carga nuclear puntual (los efectos de masa son despreciables ya que interviene la Tna.<M. reducida que es prácticamente /i — me).

El núcleo es extenso y si se supone esférico, el potencial eléctrico en su interior es,

mientras que paxa r > Res puntual y vale

V{r) = (1.25)íttSo r '

La diferencia en niveles energéticos debida al tamaño del núcleo será:

= ( f ' ) - ( f ) (1 .2 6 )

en donde se supone que las funciones de onda son iguales en los dos casos (por eso los términos de energía cinética del hamiltoniano se cancelan). Para evaluar esta última expresión, que da el incremento de energía debido a la extensión del núcleo, debe calcularse el valor esperado (V'nl lV’n)> tomando como función de ondas = V’is> la del átomo hidrogenoide en el estado Is cuya expresión es

30 Física Nuclear

J?! _ Trag

Se obtiene:

= (1.28)1 4Z'*e2

4ne, al Jq \ r 2R 2 R ^ j 5 4nSo O q

en donde oq es el radio de Bohr, oq = h¡(rueac) — 0,529 Á.Sin embargo no se tiene suficiente precisión (es del orden ~ 10“ "*) con

una sola medida. Por eUo se miden desplazamientos isotópicos, es decir diferencias respecto a vm isótopo dado, como se describe a continuación.


Desplazamiento isotópico de rayos X de la capa K. Sea la transición 2p —► l 5 , que se comparará entre 2 isótopos A y A del mismo elemento. La diferencia de energía de los rayos X de dichos isótopos será,

(1.29)= - Eu{A)) - {E,^{A') - Eu{A')) == E ^ M ' ) - E u (A)

ya que la fimción de ondas ^>210 ~ lo que implica que V’2io(0 ) = O, y sólo cabe retener la parte del estado Is cuya fimción de ondas es la fimción vista más arriba.

2/3

Figm-a 1.3 -Desplazamientos isotópicos de rayos X de la capa K en los isótopos del Hg.

En la figura, se toma la energía de los rayos X de la capa K del isótopo Hg-198 como origen y se calculan las diferencias respecto a él, hasta Hg-204.

Los rayos X tienen energías del orden de 10“®.Se ve claramente la dependencia en

tanto en los isótopos de A par como en los de A impar (Datos de P.L. Lee et al., Phys. Rev. C17 (1978) 1859).

Teniendo en cuenta que Ep ntuai es la misma para los dos isótopos, la diferencia entre las energías del mismo rayo X entre ellos será función del tamaño nuclear dado por R en la fórmula (1.28), con lo que se predice im desplazamiento isotópico 6E = Ek{A) — Ek{A ) = A E {A ) — AE(A), o sea:

6E = U'2/3 _ 2/3] 30)ü CIq

Paxa los isótopos del mercurio al ^ H g , que se representan en lafigura 1.3), se obtienen valores de 6E entre las energías de los mismos rayos X entre isótopos del orden de 0,1 a 0,5 eV, distribuidos en ima recta en fimción de y dando un parámetro tq = 1,2 fin.

Átomos muónicos. Para la medida del radio nuclear es mucho más sensible la utilización de los llamados átomos muónicos. Un átomo muónico se caracteriza porque uno de los electrones de la corteza atómica ha sido reemplazado por un muón, una partícula (leptón) que tiene las mismas propiedades que el electrón pero con mayor masa (m 105,66 MeV/c^) einestable (r^ = 2,2 fjs). Para obtener átomos muónicos, basta con bombardear el material elegido con im haz de muones. La manera de detectar la existencia de un átomo muónico es, precisamente, a través de la emisión de rayos X de mayor energía que en el caso del átomo ordinario. Recuérdese que la energía del electrón en im átomo hidrogenoide es

C n - -— — (1-31)

proporcional a la masa reducida {¡x(?) que en el caso del muón es 211 veces mayor que la del electrón. Sin embargo, las órbitas del átomo muónico estánmás cerca del núcleo ya que el radio es ~ 211 veces menor. En efecto, losradios medios de la trayectoria del e~ y del yT en el átomo hidrogenoide están relacionados,

_ _ TTle _Tn = Te— con Te = — Aq (1.32)

TTl ^

siendo oq el radio de Bohr. Por ello el fi~ es una sonda más sensible que el e~ a una estructura nuclear extensa y los desplazamientos isotópicos son más fáciles de medir, ya que dan lugar tanto a energías como a desplazamientos energéticos de los rayos X mucho mayores.

32 Física Nuclear

Energía culombiana de núcleos espejo

Los núcleos X e Y son núcleos espejo si el número de protones de uno es igual al de neutrones del otro, Zx = Ny y viceversa. Es como si uno de ellos fuese la imagen especular del otro. Por ejemplo: iH —^Ca - iqK, etc. Restringiéndose a los núcleos espejo impares, que son los únicos que interesan, se tiene la ventaja de que el neutrón impar del imo ocupa el mismo estado cuántico que el protón impar del otro (no habrá cambio de orbitales). La única diferencia entre los dos núcleos vendrá dada por su distribución de carga eléctrica. Se puede calcular la diferencia de la energía culombiana, suponiendo que esos núcleos son esferas cargadas


Si se toma Z como el número atómico del núcleo de mayor carga de los dos núcleos espejo, entonces para cualquiera de los dos núcleos espejo se cumple que A = 2Z - l y

AEc = l : ^ Ú z ^ - { Z - 1)2] = (1.34)

con lo que queda la siguiente relación entre AEc y tq:

AE, = (1 35)5 A-Kto ro

La medida de la diferencia de energía culombiana, A£'c, se hace a través de la medida de Tmaxie'*') del positrón en la desintegración entre núcleos espejo.

34 Física Nuclear

Ejemplo:

Tómese por ejemplo la desintegración

+ + (1.36)

con Ti/2 = 10 m y Q + = 2198,4 keV.El valor de Tmaxi ' ) en la desintegración (1.36) viene dado

por el valor Q de la desintegración: Q = Tmax{e' ), y Q por definición es Q = rriiniciai ~ rnfinal, la diferencia entre la masa total del estado inicial y la del estado final®. O sea

Q = {Mn - M c - me)c2 (1.37)

ya que la masa del neutrino es prácticamente nula y no interviene en este balance. La diferencia de masas entre dos núcleos espejo {N y C) vendrá dada por la diferencia de sus energías culombianas corregida por la diferencia de masas entre el neutrón y el protón.

Mn - Me = AEc - {rrin - rrip)

Con todo ello, el valor de la energía máxima del positrón emitido, Tmax{e ), vendrá dado por:

Tmax{e' ) = AEc—{mn—mp)(?—meC = AEc — 1,80 MeV (1.38)

De (1.38) se obtiene el valor de AEc, con lo que se puede calcular tq.

Otro método para medir AEc es el de la medida del umbral energético de reacciones entre núcleos espejo (de intercambio de carga); por ejemplo:

l^C{p,n)\^N o bien

Los resultados de los experimentos citados, confirman el valor de

ro = 1,22 fm

®En este ejemplo se utilizan masas nucleares, más adelante se verá que este tipo de cálculos se realizan con las masas atómicas.

1.2.2 Distribución de materia (masa) nuclear

Paxa sondar la materia nuclear es necesario utilizar proyectiles sensibles a la interacción fuerte. El método permite detectar no sólo protones (con carga) sino también neutrones, ya que estos últimos sólo tienen interacción fuerte. Se pueden utilizar los siguientes tipos de experimento:

a) Colisiones q+ núcleo. Midiendo por ejemplo la probabilidad de difusión,a un ángulo fijado, en función de la energía de la partícula a (es lo que se llama la sección eficaz diferencial), se llega a un valor a partir del cual se vence la repulsión culombiana. A partir de entonces ya no se cumple la ley de Rutherford. El valor de E^ en el que se rompe la ley de Rutherford, está relacionado con el R nuclear.

b) Rayos X en átomos tt— ó K — mésicos.

c) Absorción de neutrones. Cuya sección eficaz puede escribirse :


A( aJbs — R + - (1.39)

2nJ

en donde R da el radio de masa del blanco nuclear.

d) Difusión n + N . Estas reacciones son sensibles a la distribución de neutrones en los núcleos. En efecto, la invariancia de isospín conduce a

Í7(7r+p) a { T T - n ) ^, , ~ ---- r ~ 9 (1.4U)

a(7r+n) Or(7T“p)

ya que y 7r“n son reacciones puras de isospín T = 3/2, y se supone que la amplitud de isospín T = 1/2 es fr= i/2 ^ 0. La relación anteriorse obtiene paxa las secciones eficaces elásticas si se trabaja a energíascercanas a la producción de la resonancia Aa i(1232), debido al valor de los coeficientes de Clebsh-Gordan.

1.3 Masa y abundancia de núclidos

Experimentalmente es mucho más fácil medir masas de átomos que de núcleos. De hecho lo que suele medirse es la masa de átomos ionizados, a los que les falta algún electrón, lo que facilita su manipulación con campos

eléctricos y magnéticos. Por contra, es muy difícil medir masas de núcleos (a menos que sean muy ligeros), puesto que para aislarlos habría que ionizar los átomos completamente. Por ello en física nuclear es frecuente que se hable de masas atómicas. De hecho es lo que se suele encontrar en las tablas nucleares.

1.3.1 Unidad de masa atómica

Desde 1961 la unidad de masa atómica t¿, también representada por las iniciales u.m.a., se define tomando como unidad la masa

M m12

siendo la masa de un átomo de ^ (7. Para conocer el equivalente enkg, hay que tener en cuenta cuál es el número de átomos en un mol,

12Ma · = 0,012 kg ti = 1,66 X lO -^^ kg

lo que permite calcular la energía equivalente E = u· (? = 931,49 MeV, o también decir que la imidad de masa atómica vale:

36 Física Nuclear

(1.41)

1.3.2 Medida de masas de núcleos

La relación entre la masa atómica Ma y la masa del núcleo M„ es

zMni^X) = M a iiX ) -Z m ^ + Y^ Bjc? (1.42)

t=ldonde Bi son las energías de Ugadura de los electrones, despreciables en la anterior expresión (sus valores pueden encontrarse desde 10 eV hasta 100 keV). Se conoce una estimación empírica del término de energía de ligadura de los electrones:

z= 14,33 X eV (1.43)

i=l

Hay que insistir de nuevo en el hecho de que en las tablas de propiedades de los núcleos siempre aparecen las masas atómicas.

Se habla a veces de defecto de masa, que se define como

A = M a { Z , N ) - A - u (1.44)

en donde M se mide en wiidades de masa atómica (u.m.a.). Recuérdese que A = N-^Z esuií número adimensional, por lo que en el cálculo de A aparece multiplicado por u.


Espectroscopia de masas

Un espectroscopio es un instnunento en el que es posible variar el campo eléctrico y el magnético β, en el interior de un recinto normalmente al vacío, y en el que manteniendo los dos campos perpendiculares entre sí, se puede realizar una selección de velocidades de iones al igualar las fuerzas eléctrica Fe = qS y magnética = qvB. A la salida del espectroscopio se mantiene únicamente el campo magnético con lo que al cumplirse v = ε /β, se puede medir la masa a partir de la medida de la curvatiura de la trayectoria en el campo magnético B, o sea, como mv = qBr

(1.45)

Las masas de núcleos se determinan con precisiones del orden de una parte en un millón (1 -j-10®). Para ilustrarlo se describen a continuación los métodos más frecuentes. Primero se describe el método pionero utilizado por Thomson y se completa con métodos más actuales, por ejemplo el del doblete de masas cuya característica más destacada es que se consigue una gran precisión en la medida de masas.

La parábola de Thomson

El método utilizado por Thomson para la medida de e/m, se conoce como el método de la parábola de Thomson. Fue básico, a principios del siglo XX, j>ara la determinación de masas. Este método es el que le sirvió a Aston en 1920 para establecer por primera vez los isótopos de im mismo núcleo (“ iVe, y ^Ne) y su abundancia relativa.

38 Física Nuclear

Con los campos magnético B y eléctrico E, tal como se representa en la figura, un haz de electrones que atraviese el eje perpendicular a la figura,

al incidir en una pantalla, describe la curva a trazos.

En efecto, sea im haz de electrones que atraviesa un campo eléctrico y magnético cuya dirección sea la del eje y de la figiura 1.4. El campo eléctrico lo crea im condensador de longitud £. La trayectoria que sigue el electrón en el campo £ se deduce de

F = q£ (1.46)

o sea y = elm · £ que tiene por solución

le £ ^ 2

2 m(1.47)

Después de atravesar el campo eléctrico, entra en el campo magnético, actuando la fuerza de Lorentz F = qv x B alo largo de un recorrido de igual longitud que el campo eléctrico, í. La fuerza de Lorentz debe ser igual a la fuerza centrífuga = mv r/r^\ es decir se cmnplirá que mac = evB, en el caso de que se trate de un electrón.

La deflexión en el campo magnético vendrá dada por


luego

" = ( ' · « )

de forma que la órbita descrita por las partículas será una parábola

25 m , , y = (1-50)

independiente de la velocidad de los iones.

Según la parábola de Thomson, descrita por la expresión (1.50), la deflexión eléctrica dg/e = y (producida por el campo ¿*) y la deflexión magnética, dmag = están relacionadas y permiten determinar el cociente e/m. Los iones no deflectados (caso de que £ = B = 0) incidirán en el centro de coordenadas; por el contrario, con campos no nulos, se distribuirán a lo largo dela curva dependiendo de su velocidad.

En el caso de la espectroscopia de masas nuclear, la intensidad de las parábolas informa sobre la abundancia relativa de los isótopos.

M étodo del doblete de masas

Este método utiliza un núcleo de masa conocida y se mide la diferencia de masa con el núcleo cuya masa, desconocida, se desea determinar. De hecho se suelen utilizar elementos compuestos. Así por ejemplo, supóngase que se desea determinar la masa del hidrógeno, partiendo del hecho que el Carbono es la referencia. Se puede entonces medir diferencias de masas de compuestos (ionizados) con el mismo número de nucleones.

40 Física Nuclear

Ejemplos:

La diferencia de masas del nonano {C9H20) y la del naftaleno (CioHs). Para maximizar la resolución del espectroscopio, se ajusta a la masa aproximada de los dos compuestos (en este caso yl = 128). Se obtiene

<5 = 0,09390032 ± 0,00000012 u.m.a.

entonces dado que la diferencia entre las masas de los componentes se puede escribir:

6 = M{C9H2o) - M ( C M = U M ^ H ) - MC^C)

se llega a:

M C H ) = + A ^ 1- 00782503 ± 0,00000001 u.m.a.LZ iZ

es decir, a partir del núcleo de referencia que sirve para definir la unidad de masa atómica, se puede medir la masa del hidrógeno.

Otro ejemplo es el de la medida de la masa del nitrógeno. Para eUo puede medirse la diferencia de masas entre el etano (C2/Í4) y el propio nitrógeno, N¡, los dos con A = 28

6 = 0,02515220 ± 0, 0 0 0 0 0 0 0 2 u.m.a.

llegándose a que

MC'^N) = 14,00307396 ± 0,00000002 u.m.a.

M edida de masas a través de reacciones nucleares

Sea la reacción a + A b + B. El valor Q de la reacción se define como la diferencia de masas entre el estado inicial y el final

Q = Minicial - Mfinal (1-51)

es decir.


Q = [M{a) + M(A) - M(6) - M{B)](^ = Tt + Tb - T» - (1.52)

que es igual, por conservación de la energía, a la diferencia de las energías cinéticas entre el estado fineJ y el inicial. Generalmente el blanco A está en reposo por lo que en la anterior ecuación, Ta = 0.

Figura 1.5 - Reacción nuclesu: a + A B + b (Por ejemplo p + En el sistema laboratorio.

Si 0 es el ángulo de emisión de 6 (ver figura 1.5), al eliminar Tb (utilizando las ecuaciones de conservación de la cantidad de movimiento p), se cumple

Q = Tb{l + Mb/Ms) - T „(l - M J M b) - TT- VTaTbMaMt cos(^) (1.53)M b

de forma que, conocidos Ma, M{, y Mb , se puede determinar Q y por consiguiente Ma -

Este método es imprescindible para medir la masa de núclidos inestables.

42 Física Nuclear

Ejemplo:

Medida de la masa del AT, que es inestable y tiene im periodo de semidesintegración T1/2 = 0,01 s. Puede producirse en la reacción

p + 1 4 TV ^ 1 2 ^ ^ 3 f j

Conocido el valor de Q = —22,135 ± 0,001 MeV, y conocidas las otras masas, incluida la del tritio M{^H) = 3,016049 u.m.a., se obtiene,

Q = m C*n ) + m Ch ) - m C^n ) - m Ch )

MC^N) = M C H ) + M C * N ) - M C H ) - Q / c = = 12,018613 ± 0,000001 u.m.a.

M edida de la masa del neutrón

Un caso interesante es la medida de la masa del neutrón. Al ser ima partícula neutra, no puede utilizarse un espectrómetro de masas. Las dos técnicas siguientes utilizan la conservación de la energía en las reacciones nucleares:

• Fotodisociación del deuterón:

' y + l H — p + n

Por conservación de la energía:

+ M C n y = m„c2 + Tn + rripC + Tp.

Los fotones 7 provenían de una fuente de con = 2,62 MeV, y con una cámara de Wilson se midió el recorrido del protón obteniéndose Tp = 0,2 MeV, con lo que m„ = 1,00866 u.m.a.

• Colisión de neutrones térmicos con núcleos de

n + ] * N ^ p +

La energía de los neutrones es T„ = 0,025 eV. Se mide Tp = 0,585 MeV, se determina Ti^c/Tp = rrip/ l o que da M e — AIn = 0,156 MeV obteniéndose finalmente

Am = mn - M{\H) = 0,782 MeV

que por cierto, permitió medir por primera vez la masa del neutrino en la desintegración beta del neutrón, encontrándose que la masa del neutrino es compatible con 0.


Hoy se sabe que la masa del neutrón vale

rrin = 1,008664904 u

1.3.3 Abundancia de núcleos

La abundancia de cada isótopo sobre la Tierra estará directamente ligada a la nucleosíntesis (la frecuencia con la que cada nucleido fue originalmente producido) y a la estabilidad nuclear (la probabilidad de desintegración de cada nucleido). En la figura 1.6 puede verse la abundancia de los elementos en función de su número másico A.

Los elementos naturales aparecen con una abundancia isotópica variable. La proporción de cada núclido existente en un elemento dado se determina mediante medidas espectroscópicas. Por ejemplo, la determinación de los isótopos estables del Kripton 3 Kr da, en %,

A = 78 80 82 83 84 86% 0,356 2,27 11,6 11,5 57,0 17,3

con lo que la masa que aparece en las tablas nucleares es M (Kr) = 83,8 u.m.a., entendiéndose que se trata del valor medio de las masas de cada uno de los isótopos ponderado por su abundancia respectiva.

44 Física Nuclear

Figura 1.6 - Abundancia de los elementos en la Tierra y el sistema solar.Se ha tomado como referencia la abundancia del Silicio igual a 10®.

La abundancia se ha medido en meteoritos por espectroscopia de masas; se supone que es la misma que en todo el imiverso.

1.3.4 Energía de ligadura

La energía de ligadura o enlace nuclear, £b(Z, AT), es la energía necesaria para disociar el núcleo en sus constituyentes.

Eb {Z, N ) = [ ZMCH) + Nrrin - M (Z , N)]c^ (1.54)

en donde M (Z , N) representa la masa atómica del núcleo con Z protones y N neutrones. Por ello aparece la masa del hidrógeno en uno de los sumandos.


La energía de ligadura también puede escribirse en función de los defectos de masa A:

E b {Z, N ) = [Z A h + N A n - A (Z , N)](P (1.55)

con A h = 7,2890 MeV y A„ = 8,0714 MeV, como puede comprobarse por la definición de defecto de masa dada en (1.44).

B(MeV)

Número másico AFigura 1.7 - Variación de la energía de ligadura por nucleón, Eb/A, en MeV,

en función del número másico A.La curva a partir de 15 sigue la fórmula de masas.

La curva que representa la energía de enlace por nucleón (véase figura 1.7), € = Eb/A, es muy instructiva. Tiene un máximo en 8,8 MeV para A « 56, en la zona del hierro, y va disminuyendo hasta ~ 7,6 MeV para A ~ 240. El valor medio es 6 « 8 MeV.

Muchas son las consecuencias que se derivan de una inspección de las propiedades estudiadas,

1. Hay saturación, e ~ ate, luego la fuerza es de corto alcance. Si fuese de largo alcance variaría como A . Pero no hay colapso, ya que el volmnen aumenta linealmente con ^ y la densidad nuclear es constante con A,lo que quiere decir que hay una fuerte repulsión a muy corto alcance (< 0,5fm).

2. La fuerza nuclear es fuerte.

3. La fuerza es atractiva y mayor que la culombiana. El valor medio de la energía de ligadura por nucleón es e ~ 8 MeV, y mucho mayor que la repulsión electrostática, Ec = e /d — ahc/{2 fin )« 0,7 MeV.

4. El máximo de la curva tiene lugar para ~ 60 y clasifica los nucleidos en dos regiones

46 Física Nuclear

>1 < 60 en donde puede haber FUSIÓN (Q/im > 0)

^ > 60 ” ” ” ” FISIÓN {Qfu > 0)

5. La existencia del deuterón (estado hgado p - n ) , con espín J = 1, y la no existencia de otro estado nuclear hgado de dos nucleones {p — p 6 n—n) permite concluir de inmediato que las fuerzas nucleares dependen del espín.

6. La diferencia de valores de e en el caso de los núcleos espejo es prácticamente la diferencia de energía culombiana. Las fuerzas nucleares son independientes de la carga. La consecuencia es que si se excluye la carga se cumple que las fuerzas protón-protón son iguales que las protón-neutrón y neutrón-neutrón. Se ciunple, esquemáticamente, que las fuerzas pp = pn = nn. Esta observación dió lugar a la introducción del mimero cuántico isospín, basado en la simetría de carga (invariancia) del hamiltoniano de la interacción fuerte.

El núcleo atómico. Propiedades físicas

1.3.5 El valle de la estabilidad

47

La llamada carta o plot de Segré (ver figm-a 1.8) muestra, en el plano (Z, N), la presencia de núcleos estables. Como puede observarse, siguen una trayectoria en la que Z N para A < AO. A partir de ~ 40, el cociente N/Z va. aumentando progresivamente hasta tomar valores de N/Z ~ 1,56 (para los uránidos), o lo que es lo mismo, Z/A ~ 1/2,5.

Si se representase la masa en el tercer eje, aparecería im valle, cuya línea de máximos es la conocida línea o valle de estabilidad.

NUMERO ATOMICO Z

Figura 1.8 - Carta de los nucleidos más estudiados, con indicación de los números mágicos.

La zona central sombreada corresponde a los nucleidos estables.

De la observación de este gráfico, de las tablas de nucleidos y de las curvas de abundancia de núcleos estables se deducen las siguientes propiedades:

1. El principio de exclusión de Pauli justifica el equiUbrio numérico entre protones y neutrones {Z/N ~ 1 para A < 40), pero para núcleos más pesados {A > 40) la tendencia es al aiunento relativo del número de neutrones {ZjA ~ 1/2,5).

A Z — N Númeropar par - par 165

impar impar - par 50impar par - impar 55par impar - impar 4

48 Física Nuclear

Tabla 1.1: Número de núcleos estables según el número par o impar de nucleones.

2. Hay muchos más núcleos estables de tipo par-par (ver tabla 1.1). Esto implica que deben existir fuerzas de apareamiento. En particular los núcleos clusters de a ^®0) tienen valores grandesde la energía de ligadura e.

3. La curva de abundancia muestra gran número de núcleos estables en los números

Z ó N = 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126.

Se llaman números mágicos. Existen también núcleos con números doblemente mágicos {Z y N), por ejemplo,

4. Más allá del Plomo {Z = 82), la repulsión culombiana rompe la estabilidad nuclear y todos los núcleos son inestables bajo desintegración a.

1.3.6 Energía de separación nucleònica

Se llama energía de separación neutrónica, S'n, a la energía necesaria para arrancar un neutrón de im núcleo. Este proceso puede describirse:

^ ^-^X + n (1.56)

entendiendo que hay que suministrar energía al núcleo X inicial para arrancarle el neutrón. El valor de esta energía es:

5n(Z, N) = ~[M{Z, N) - M (Z , N - 1 ) - mn]c (1.57)

En términos de la Q de reacción = -Qn· También se puede escribü: la energía de separación en función de las energías de ligadura quedando.


S„{Z, N ) = [Eb {Z, N) - E b {Z, N - 1)] (1.58)

variando según los núcleos de 5 a 15 MeV. El valor de Sn es siempre mayor para N par; esto es consecuencia de las fuerzas de apareamiento.

La energía de separación protónica se define análogamente, Sp = —Qp\ es decir:

Sp{Z, N) = -\M{Z, N) - M ( Z - 1, N ) ~ (1.59)

que en función de las energías de ligadura queda,

Sp(Z, N ) = [Eb (Z, N) - E b {Z - 1, N)] (1.60)

variando según los núcleos de 1 a 14 MeV.De la misma manera se puede definir Sa{Z, N), la energía de separación

de una partícula a, e incluso de otros núcleos mayores.Hay picos en los valores de y Sp para ciertos valores de N y Z que

corresponden precisamente a los números mágicos. Estas energías son muy similares a las de ionización de los átomos. Reflejan la existencia de capas, puesto que toman valores elevados al pasar por ciertos números Z y/o N, que coinciden con los números mágicos vistos más arriba. Las energías de separación son también mucho mayores para los núcleos con N 6 Z par. Esto también confirma la existencia de fuerzas de apareamiento.

La fuerza de apareamiento puede determinarse para protones y neutrones separadamente. De hecho lo que se mide es el valor de la energía de apareamiento. Para protones vale Pp = Sp{Z, N ) - S p { Z - l , N), y análogamente para neutrones, P„. El valor de esta energía se encuentra alrededor de3 MeV para núcleos hgeros y va disminuyendo siguiendo una dependencia en

hasta valer algo menos de 1 MeV para el Plomo. Se suele parametrizar (Bohr, Mottelson; 1969):

11,2

VÁOtros autores utilizan dependencias con A muy parecidas.

(1.61)

1.3.7 Fórmula semiempírica de la masa

Las conclusiones a las que se ha llegado sobre las propiedades globales de los núcleos, confirman que:

i) Existe saturación de las fuerzas nucleares {EbIA oc A).

ii) La distancia media entre constituyentes es constante: d = 1,9 fm; ladensidad nuclear es constante p ~ (1/7) fin“ .

iii) La fuerza que actúa entre ellos es de corto alcance.

Todas estas propiedades son las que sustentan los éxitos parciales del sencillo modelo nuclear de la gota líquida, que se estudiará con más detenimiento en el capítulo correspondiente a los Modelos Nucleares.

Para calcular las masas atómicas,

M{Z, N) = ZM{^H) + Nrun - Eb{Z, N)/c (1.62)

Weizsäcker propuso un método basado en este concepto de gota líquida, corregido por dos términos microscópicos debidos a la naturaleza cuántica del núcleo. En este modelo, se supone que el núcleo es como una gota incompresible, o sea, de densidad constante e independiente de A; cada nucleón estará ligado con la misma energía de ligadura.

Con ello, la energía de ligadiua nuclear queda:

50 Física Nuclear

E b {Z ,A ) = o t v A - a s Á ^ ^ ^ - a c Z { Z - 1 ) A - ^ ^ ^ - a A Í A - 2 Z f A - ^ - 6 (1.63)

conocida por el nombre de fórmula de Bethe-WeiszScker. Los coeficientes a¿, se determinan ajustando las energías de ligadvu-a (o masas) de los núcleos estables.

Los tres primeros términos representan las energías de ligadm*a de volumen, superficial y de repulsión culombiana. Los dos últimos términos, que como se ha dicho no derivan de las propiedades de la gota, se pueden justificar por:

a) El principio de exclusión de Pauli, que favorece Z ^ N. Se llama término de asimetría y se parametriza con el término a a- En efecto, cuanto más diferentes son Z y N, más disminuye la energía de Ugadura y el núcleo es más inestable. Si AE es el intervalo energético entre niveles nucleares en el pozo en el que están ligados los nucleones (uno para Z protones y otro para los N neutrones), puede justificarse que paxa aumentar el número de imo de ellos respecto al otro exige un aumento de energía que varía ~ (iV - Z)ÂE/8. El factor recuerda que en im pozo de

potencial, el espaciamiento de niveles es inversamente proporcional al volumen del pozo.

b) La energía de apareamiento, ligada a la estabilidad de los núcleos par-par frente a impar-impar. Su valor es


—apA~ ^ par-par (5 = O impar-par (1-64)

impar-impar

Los valores de los parámetros que conducen a reproducir las masas de los núcleos estables son, en M eV

av as OLc cxp Autor15,8 18,3 0,7 23,2 Fernow15,5 16,8 0,7 23,0 34,0(A-3/ ) Krane16,0 17,0 0,6 25,0 25,0(A-i) Wong

No todos los autores parametrizan la energía de apareamiento según como puede verse, entre paréntesis, en la tabla anterior.

La fórmula de Bethe-Weiszácker (véase la figura 1.7) es válida para núcleos con número másico 4 > 2 0 y no puede explicar diferencias entre energías de ligadura de núcleos cercanos. Se limita a reproducir, de manera suave, la masa del más estable de los núcleos con el mismo número másico A. Para predecir masas alejadas del valle de estabilidad se usa la fórmula de Kelson- Garvey que se presenta a continuación.

Fórmula de Kelson-Garvey

Basada en un modelo microscópico, en el que se supone que existen interacciones debidas a uno y dos constituyentes. Se postula que la energía de ligadura es de la forma,

Eb {Z, N) = aN + bZ + cN{N - 1 ) + dZ{Z - 1 ) + eZN (1.65)

es decir, una suma de términos de im cuerpo {N y Z) y términos de dos cuerpos, proporcionales a los productos Z{Z — 1), N{N — 1) y ZN.

De aquí se llega a la regla,

E b {Z + 1 , N - 1 ) + E b {Z, N + 1)++ E b {Z - 1 , iV) - E b {Z, N - 1 )- (1.66)- E b {Z + 1 , iV) - E b {Z - 1 , iV + 1) = o

obteniéndose predicciones con una precisión del orden de unos 100 keV.

1.4 Estabilidad nuclear. Parábola de masas

La inestabilidad nuclear se manifiesta por la desintegración espontánea del núcleo, dando origen a otro estado nuclear. El proceso físico de la desintegración es posible porque existen núcleos que tienen menor masa (debecumplirse que la Q de desintegración sea positiva, Q > 0 ).

Los procesos de desintegración pueden ser; a, P, 7 , fisión y emisión de nucleones. Todos ellos se estudiarán con más detenimiento en capítulos posteriores. La descripción esquemática de estos procesos es la siguiente:

52 Física Nuclear

• Desintegración a

• Desintegración /?

- Desintegración I3~

— Desintegración

^ X ^ j z t Y + t H e (1.67)

—* z+l^ (1 .6 8 )

j X ^ + (1.69)

— Captura electrónica (C.E.)

Ax + e - ^ + (1.70)

Desintegración 7

^ X * - . ^ X + 7 (1.71)en donde el núcleo X* se encuentra en un estado de mayor energía que elX.

• Fisión inducida

l^Rb + il^Cs + 2n (1.72)

• Emisión de nucleones

zX ^ zZ\y+ P o también z ^ ^ ~ ^ X - \ - n (1-73)

En cada caso intervienen distintos tipos de fuerzas o interacciones. Más adelante se estudiarán con todo detalle los mecanismos de desintegración de los núcleos.

Se sabe, experimentalmente, que los núcleos estables cumplen la ley


1,98 + o,015>12/3

en donde Zmin representa el número atómico del núcleo más estable con A nucleones. Puede justificarse si se tiene en cuenta que la fórmula semiempírica es una función parabólica M = f {Z) , la conocida parábola de masas, que al calcular el mínimo, dM/dZ = O, se obtiene:

_ [mn-Mi^H) ] + acA /3 + 4a^ _ A2ac^-V3 + 8 a^>l-i ~ 2 + ^yl2/3

Esta fórmula reproduce los valores observados del cociente Z/A tanto para núcleos ligeros Z/A ~ 1 / 2 como para los pesados {A > 40), Z/A ~ 1/2,5.

La fórmula de masas reproduce por lo tanto la línea de estabilidad de los núcleos. También podría utilizarse incluso para predecir masas en las llamadas drip Unes, es decir las líneas en el plano Z, N en las que 5p = 5„ = O, o sea que los núcleos son tan inestables que se desintegran espontáneamente emitiendo un nucleón.

Usando la fórmula de masas también podría calcularse el límite de estabilidad bajo desintegración alfa. Se obtiene = 7,07 -I- 7,7 x 10“ >1, lo que implica que a partir de A = 151 el valor de €„ supera la energía de ligadura por nucleón e = Eb/A y puede tener lugar (energéticamente) la emisión espontánea de una partícula alfa.

54 Física Nuclear

Figura 1.9 - Parábola de masas para núcleos con A = 125 y A = 128.Notar la posibilidad de la desintegración doble (3 del al

Cuando se representan las parábolas de masas se llega a dos configuraciones según el número de nucleones. Si >1 es impar, sólo hay una parábola, mientras que para A par, existen dos parábolas separadas de 26, siendo 6 el coeficiente que da la energía de apareamiento de la fórmula de masas.

He aquí varios ejemplos;

(4iAT6 , 43TC, i^Rh, 47Ag) {ioZr, 42M 0, 44RU, 4/ Pd)

A — 125 {íqIti, 5oSn, si56, s^Te, 53/, 54X 6 , 55CS, êLa)

A = 128 {isln, 5iSb, 53/, ssC"«) 57

{ñoSn, 52Te, 54^6, 5eBa)

estos dos últimos casos, representados en la figura 1.9.Sucederá que los núcleos con Z menor que el más estable (el de menor

masa) se desintegrarán vía desintegración /9", y los de mayor Z, vía desintegración 0 ' , procesos que continuarán hasta llegar precisamente al núcleo más estable de la parábola de masas. Elste conjunto de núcleos estables frente a las desintegraciones /? son los que forman el referido valle de la estabilidad.

La conclusión más importante es que para los núcleos con A par pueden darse dos fenómenos que no pueden darse para A impar:

1. Un mismo núcleo puede desintegrarse de dos formas distintas. Por ejemplo

I f l ^ I fTe por (3+ o bien

128 r ^ 128


53

2. Puede darse el fenómeno de desintegración doble beta, es decir, por ejemplo l^Te -^ ^ X e + 2/3~. La importancia de este proceso es que permite obtener información sobre la naturaleza del neutrino. Para ello, se investiga si existe desintegración doble 0 con o sin neutrinos, lo que implicaría que los neutrinos son de tipo Dirac o de tipo Majorana, respectivamente.

A la vista de las dos parábolas paxa los núcleos con A par, se entiende por qué no existen casi núcleos estables de tipo impax-impar, siempre existen núcleos más estables de tipo par-par y con menor masa.

Para núcleos con A par suele haber 2 isóbaros estables y en ciertos casos hasta 3 (por ejemplo para los núcleos con = 40, 96, 124, 130, 136, 176, 180).

Para núcleos con A impar sólo existe un núcleo estable, que no tendrá desintegración beta (ejemplo, el ^ñu); pero sucede que si la diferencia de masas es pequeña, la desintegración 0 es poco probable (ej: \lÎn,Cd; ll^Sn,In·, l fSb,Te).

Se verá más adelante también que para núcleos con Z elevado, la ines- tabiüdad nuclear es debida a la fuerte repulsión culombiana. Esto da lugar a la desintegración a; además, si Z > 90 puede existir fisión espontánea, lo que es exphcable por la variación de Eb con la deformación nuclear.

1.5 Espín, paridad y momentos electromagnéticos nucleares

1.5.1 Espín y Paridad nucleares

Los núcleos son sistemas cuánticos complejos, compuestos por nucleones (protones y neutrones). Por lo tanto los núcleos tienen espín-paridad bien

definidos. Si además se supone que los nucleones se mueven en im potencial central, tendrán un momento angular orbital también habrá que tener en cuenta su espín (o sea, el momento angular intrínseco), s¿, y por lo tanto el momento angular total de cada nucleón será ji = £i Si. El espín nuclear será la simia

56 Física Nuclear

(1.76)i=l

Se cumple por lo tanto que si >1 es par, J es entero, y si >1 es impar, J es semi-entero.

Todos los estados nucleares (incluyendo el estado fundamental) tienen im momento angular finito. Peira especificíurlo, se utiliza un vector cuantizado J, que tiene por módulo

|J| = y/J{J + l)h (1.77)

en donde J es el denominado espfn nuclear y es im buen número cuántico; es decir, es un número que se conserva en todos los procesos nucleares. Según el principio de incertidimibre, J es inobservable, pero su componente según un eje de cuantización puede medirse, dando mjh, en donde mj puede tomar uno de los 2J + 1 valores comprendidos en el intervalo J > mj > —J.

La paridad P, es un operador que transforma la función de ondas (espacial) de un núcleo

Vtpiri, T2 , ...) = ip{-ru - r j , ...), (1.78)

siendo fj las coordenadas espaciales de los nucleones. Tiene dos valores propios: ± 1 ya que = I, es la identidad. extremadamente difícil de determinar la paridsid de un núcleo a partir de las paridades de los constituyentes. Pero puede obtenerse a partir de las reacciones nucleares en las que intervenga el núcleo, ya que la paridad es un número cuántico que se conserva en las interacciones fuertes ([P, if] = 0). La paridad también se conserva en las interacciones electromagnéticas.

Como el movimiento de im nucleón en un potencial queda caracterizado por im armónico esférico Yt,m, la paridad valdrá V = {—lY ya que

Ye,m{ , <i>) = (-l)'>^/.m(7r - 0, < + 7t) (1.79)

que es la operación equivalente a la reflexión espacial: r —» —f.Las partículas y núcleos tienen paridad intrínseca. Se toma por convenio

que la paridad intrínseca del protón y del neutrón son V = +\. La paridad

de un núcleo (intrínseca) es consecuencia pues de las paridades espaciales de todos los nucleones que lo componen. Habitualmente, la paridad suele ser representada sólo por el signo ±.

Los núcleos par—par tienen consecuencia de las fuerzas deapareamiento entre nucleones idénticos. Puede plantearse un modelo de partícula individual en el que J vendría dado por el nucleón no apareado, con lo que para los núcleos con A impar, J = j, siendo j el momento angular total del nucleón no apareado.


1.5.2 Espfn isotópico del núcleo

Cada núcleo tendrá im espín isotópico T, con lo cual, la tercera componente T3 es un operador que tiene valor propio distinto para cada uno de los 2T -h 1 estados de carga del mismo sistema. La interacción nuclear (el hamiltoniano) dependerá sólamente del isospín total T, consecuencia dinámica de la invariancia bajo rotaciones en el espacio de isospín.

Para los núcleos se cumple que

> 1 ^ y n = \ { Z - N ) (1.80)

Ejemplos:

El triplete de >1 = 10 (486 , 5B,

Tsil^Be) = - 1

Tsil^B) = O

m i^C ) = + 1

El doblete de ^ = 7 {3 LÍ, 4 Be).

U l L i ) = - i

U lB e ) =

El isospín refleja los estados de carga del sistema. La relación entre el ordinal de carga Q y la tercera componente del isospín viene dada por la fórmula de Gell-Mann-Nishijima, que fue inicialmente propuesta para las partículas elementales. En el caso de núcleos con A nucleones se tiene que

Q = Tz + ^ (1.81)

que también es válida para los nucleones simplemente escribiendo A = 1. En física de partículas A se sustituye por la hipercarga Y = suma de doscargas: B, el número bariónico, que vale B = 1 para los nucleones y 5 la extrañeza, que vale 5 = 0 para el protón y el neutrón.

1.5.3 Momentos electromagnéticos nucleares

Liforman sobre la distribución de carga y magnetismo nuclear originado por el movimiento de los constituyentes nucleares en el campo nuclear.

Los momentos electromagnéticos (carga, momento dipolar, etc...) son importantes porque determinan el comportamiento del núcleo (sistema de cargas y espines) en presencia de im campo eléctrico y/o magnético. Se describe a continuación el caso eléctrico.

Sea una distribución de carga p(r, 0, <p)en un campo eléctrico £ no uniforme (según el eje z) que deriva de un potencial, cuya forma será (desarrollándola en serie):

58 Física Nuclear

= Vi, + {S,)oZ + i (3z2 - r^) + ... (1.82)

La energía U, debida a la interacción de la distribución de carga con el campo exterior será

U = Jp V d r = Voq + (£ .)4 + \ eQ + ... (1.83)

con las definiciones clásicas y sus equivalencias cuánticas siguientes:

Clásica CuánticaCarga q = Jpdr q = ZeMomento dipolar d = J pzdr ^ 4 = 0

Momento eQ = f p (32 — r^) drcuadrupolar

i


ß 91 9se 1 +2,00232

n 0 -3,826

P g i r i + g 'f^rs . 1 -1-5,586

Tabla 1.2: Definición del momento magnético de los constituyentes del átomo. Se observa que el neutrón no tiene momento magnético orbital ya que se trata de una partícula con carga eléctrica nula.

Momento dipolar magnético

El momento dipolar magnético de los constituyentes del átomo, se calcula simiando el momento dipolar orbital (debido al movimiento del nucleón) y el momento dipolar intrínseco (de espín): ß =

Los momentos dipolares para los nucleones se definen

t^s=9s (1.84)

Más concretamente, en la tabla aparecen los momentos dipolares magnéticos de los constituyentes del átomo. El factor g, es el llamado factor giromagnètico, que simplemente da la relación entre momento magnético y espín. Generalizando, ge es el factor giromagnètico orbital.

En la tabla 1.2 el valor numérico de los magnetones (atómico y nuclear), como ya se ha visto, es

HB{e) = eV2me = 5,787 X 10'“ MeV/T

Mb(p) = eh/2mp = 3,152 x IQ- '* MeV/T

Los momentos magnéticos intrínsecos (debidos al espín) son pues, Me - -Mb; para el electrón, y /Xp = 4-2,79 /Xg, = -1,91 nucleones.

Siguiendo la Mecánica Cuántica, el momento dipolar magnético es el valor esperado de fjLg en el estado con proyección máxima de espín, o sea en el caso de nucleones, el valor esperado del operador en el estado|5,?Ti5 >= |l/2 ,-l-l/ 2 >.

Los núcleos tendrán momento dipolar magnético:

P j = 9 J ^ J (1-85)

siendo gj el factor giromagnètico del núcleo. Recuérdese que en modelos sencillos de partícula individual puede explicarse J como suma de los momentos angulares j» de los A nucleones o de un reducido número de los mismos.

** Predicción del cociente fi jfip de momentos dipolares magnéticos

según SU{3). Según la simetría SU(3) de sabor (de quarks constituyentes), la función de ondas de los nucleones se puede escribir: \p >= \uiid > y |n >= \udd >. Debidamente simetrizada, y en el caso del protón con espín hacia arriba, por ejemplo,

\p T>= { 2 (|u T U T d i> ) - |u t U T i> +1« t W T d i> + ···} (1 -8 6 )

en donde se repiten los tres términos, cíclicamente, permutando la posición del quark d. La flecha representa el valor de la tercera componente del espín; |= -hl/2y i= -1/2.

Para quarks se tendrá con /íq = qqh/2rriq. Como las relacionesentre masas son rriu = rud se tendrá /i = —2/x¿, debido a la relación entre las cargas eléctricas de los quarks: = +|e y Qd = —

Como la definición de momento magnético es /Xp = (p | \fi\p |), se llega a

60 Física Nuclear

Mp = Im« - Ißd

Mn = tßd - |Mu(1.87)

lo que conduce a /X„//Xp = —2/i¿/(3/i¿) = —2/3. El valor experimental es— 1,91/2,79 = —0,685. O sea, una buena predicción.

Momento cuadrupolar eléctrico

Hasta ahora se ha supuesto que el núcleo es esférico, y tiene ima densidad de carga Pchif), que sólo depende del módulo de r.

El menor de los momentos multipolares eléctricos es el momento dipolar eléctrico. Para los núcleos y las partículas, el momento dipolar eléctrico es prácticamente nulo, ya que no existe asimetría de cargas arriba-abajo. El siguiente momento es el momento cuadrupolar eléctrico, el cual informa de las desviaciones a la estructura esférica de cargas.

Clásicamente el momento cuadrupolar eléctrico se define

eQo = Pch(T){^z - r^)dV (1 .8 8 )

en donde p depende de f.Cuánticamente, p viene dada por la amplitud de probabilidad

Entonces, deben calcularse los valores esperados:

Qo = Z{Z (z^) - (r^)) Z ^ { r ^ Y 2o{0,4>)) (1-89)

denominándose momento cuadrupolar intrínseco, porque se toma como eje 2:, el de simetría. Tiene dimensión de superficie y se suele medir en barns (10“ ® m^).

Puede comprobarse que si Qo = O, el núcleo es esférico, si Qo > O es prolato, y si Qo < O entonces es oblato.

Los núcleos con números mágicos (o doblemente mágicos) tienen Qo = 0. De hecho si el espín del núcleo es J < 1 entonces Qo = 0 .

Sin embargo, el eje del espín nuclear (Oz ) que coincide con el eje de simetría del núcleo y permite definir el momento cuadrupolar intrínseco Qo, no coincide con el eje fijo en el espacio (Oz), en el que se calcula y se mide el momento cuadrupolar Qj. Se demuestra que para im núcleo de espín J el momento cuadrupolar Qj está relacionado con el intrínseco por la relación,

y, experimentalmente, toma valores entre —1 y 8 barns. Se ve, además que sólo toma valores Q j 7 O si el espín nuclear es J > 1.

M om ento cuadrupolar eléctrico y forma elipsoidal. Sea un elipsoide, con semiejes a, b. La excentricidad se define como

(1,91)a‘ + »


siendo Ro el radio del núcleo si fuera esférico. Se demuestra que el momento cuadrupolar, en primera aproximación, es

eQo = leZ{a^ - tí ) = êZeW (1.92)5 5

con R — Para un núcleo esférico, 6 = 0. Se observa que para loslantánidos {A ^ 150 — 190) y para los actínidos {A > 1 2 0 ), la excentricidad suele valer:

6G[0,1, 0,2]

Se trata pues de núcleos muy desviados de la forma esférica, lo que se suele denominar como núcleos deformados. Por ejemplo, el \ Lu es el núcleo que tiene mayor momento cuadrupolar, Q = -h8 bams, lo que implica que € = 26%, mientras que el deuterón {Q = 0,00282 barns) tiene e = 4%.

1.6 Estructura de niveles energéticos nucleares

Un núcleo es una estructura compleja de A nucleones, todos ellos interaccionando. Supóngase H el hamiltoniano del sistema:

A o A

i=l * i<j=l

en donde es la masa de los nucleones y se han incluido las interacciones de los nucleones entre sí. La ecuación de Schrödinger nuclear (no relativista) se escribe

(1.94)

siendo k el conjunto de números cuánticos que definen el estado. Existirán estados nucleares bien definidos y distintos, caracterizados cada uno de ellos por una energía Ek, en completa analogía con los niveles excitados de los átomos.

Entre estos niveles destaca el estado fundamental, de menor energía, que es el más estable y mejor conocido. Los niveles nucleares de mayor energía que la del estado fundamental, llamados estados excitados podrán desexcitarse emitiendo fotones, al igual que en el caso de los átomos. Este es im proceso electromagnético que se denomina desintegración 7 . Una forma de estudiar

62 Física Nuclear

estos niveles nucleares es por espectroscopia 7 nuclear, en estados finales de reacciones nucleares o como resultado de desintegraciones nucleares.

El estado de un núcleo, cuánticamente, vendrá dado por una función de ondas que dependerá de las coordenadas: espaciales (ri), de espín (si) y de isospín (ti) de los A nucleones. Como esas coordenadas pertenecen a espacios independientes, la función de ondas será im producto


^ ( 91, 92 , - , Qa) = i’iñ, ñ, - , rU)Xj(l, 2 , 2 , A) (1.95)

que, además, debe ser una función antisimétrica bajo el intercambio de dos nucleones, como postula el principio de simetrización en el caso de fermiones idénticos. Si además, por ejemplo, se supone un modelo de partícula individual, en un potencial central, podrán definirse estados para cada nucleón de manera independiente, que al igual que en el caso del átomo de Hidrógeno serán funciones separables

en una componente radial y una componente angular; en este ultimo caso representada por los armónicos esféricos.» Los números cuánticos que definen el estado de cada nucleón serán n, £, m, el número cuántico principal, el momento angular orbital y la tercera componente de este último.

Un ejemplo de estructura de niveles nucleares, que además ilustra las propiedades de los núcleos espejo es el del I’’O y g^F (ver figura 1 .1 0 ).

3/2~ 4640

64 Física Nuclear

3/2“ 4553 5I2~ 3857

5/2“ 3843 1/2“ 3014

1/2" 3055

1/2"*· 495

1/2+ 870 5 /2 + 0

5/2"·· 0 > ^ +, F

8<?Figura 1.10 -

Esquema de niveles nucleares de los núcleos espejo y que forman un doblete de isospín (T = 1/2).

Obsérvese la similitud de la estructura de niveles.El valor de la energía de cada nivel se suele representar a la derecha y

las unidades suelen ser keV. A la izquierda de cada nivel se suelen representar los números cuánticos de espín y paridad

La escala relativa entre el Fy el O es ficticia; en realidad la diferencia de masas entre estados fundamentales es:

M C '^F )-M C Ô ) = 2 J 6 MeV.El es estable y el ^^F es inestable /3~ con T \ / 2 = 64,49 s.

Glosario de términos clave

Abundancia isotópica - (página 43) Para cada isótopo determinado, el cociente entre el número de átomos del isótopo y el número total de átomos del elemento al que pertenece.

Constante de desintegración - (página 23) Probabilidad de que un núcleo se desintegre en la unidad de tiempo.

Defecto de masa - (página 37) Para un núcleo determinado, la diferencia entre la masa atómica y el número másico.

Energía de enlace nuclear - (página 44) Es la energía necesaria para separar al núcleo en sus nucleones constituyentes.

Energía de separación - (página 48) Es la energía necesaria para quitar de un núcleo ima partícula determinada, por ejemplo un neutrón o un protón.

Espín nuclear - (página 56) Momento angular total de un núcleo.

Fórmula semiempírica de la masa - (página 49) Se deriva del modelo de la gota líquida con algunas modificaciones mecánico-cuánticas.

Fuerza Nuclear - (página 22) Fuerza de atracción de gran intensidad y corto alcance que mantiene unidos a los núcleones dentro del núcleo, es más intensa que la fuerza de repulsión culombiana entre los protones. Es la manifestación en la escala de los nucleones de la interacción fuerte entre los quarks.

Isospín - (página 2 2 ) Número cuántico asociado al módulo del operador de isospín. Puede tomar valores enteros o semienteros. Diferencia los nüembros de cada multiplete de núcleos, con la misma masa y carga eléctrica distinta.

Isótopo - (página 2 1 ) Son isótopos de un elemento químico de número atómico Z, los distintos nucleidos con el mismo numero de protones (mismo número atómico: nüsmas propiedades químicas) y con distinto número de neutrones (distinta masa atómica A: distintas propiedades nucleares).


Linea de estabilidad - (página 47) Es la línea en el plano (Z, N ) que sigue la posición media para cada A de los núcleos estables.

Masa nuclear - (página 35) Masa del núcleo. Se relaciona con la masa atómica sumándole la masa de los electrones de la corteza del átomo y restándole la energía de enlace de todos los electrones en el átomo.

Nivel de energía nuclear - (página 62) Cada uno de los valores discretos que puede tomar la energía de un núcleo.

Nucleido o núclido - (página 21) Una especie nuclear determinada con A y Z dados.

Nucleón - (página 21) Nombre genérico de los protones y neutrones, hadrones constituyentes del núcleo.

Paridad nuclear - (página 56) Paridad de la función de ondas del núcleo.

Periodo de semidesintegración - (página 23) Tiempo en el que el número de núclidos se ha reducido a la mitad de su valor inicial.

Radio nuclear - (página 25) Para un núcleo determinado y según el método utiUzado para medirlo, radio de carga o radio de materia nuclear.

Sección eficaz - (página 24) Magnitud proporcional a la probabiUdad de que se produzca una interacción deternünada entre dos partículas o entre ima partícula y un núcleo atómico. Tiene dimensiones de superficie.

Vida media - (página 23) Valor medio del tiempo que tarda un determinado conjunto de radionúclidos en desintegrarse.También es el tiempo para que el número de núcleos se reduzca un factor e.

66 Física Nuclear

Resumen

• Los constituyentes de los núcleos son los nucleones (protón y neutrón, a los que también se les denomina hadrones), tienen aproximadamente la misma masa que es 1840 veces la masa del electrón.

• La estabilidad de los núcleos se explica por la existencia de una fuerza nuclear atractiva de corto alcance y mayor que la fuerza culombiana. Esta fuerza es independiente de carga (no distingue entre protones o neutrones). Es ima fuerza que se satura, esto quiere decir que el número de nucleones con los que un nucleón puede interaccionar fuertemente es limitado.

• De las propiedades estáticas de los núcleos dependerá, en buena medida, la estabilidad o inestabilidad de un determinado isótopo.

• El radio nuclear suele utilizarse para parametrizar dos propiedades de los núcleos. Su definición dependerá de la magnitud con la que se relaciona, bien con la carga (radio de carga), que es el radio de la distribución de protones (con lo que también se estudia la distribución de carga nuclear), bien con la materia (radio de materia), que es el radio de la distribución de protones y neutrones.

• El radio de los núcleos varía como

R = siendo ro 1 , 2 fm

La distribución de carga Pc/i( ) sigue la forma de Fermi o de Saxon- Woods vista en (1.6). La densidad nucleònica es constante y vale ua = A/{^7tR^) = o, 14 X 10" nucleones/m ; la densidad másica de los núcleos es « 2 , 3 x 1 0 ^ kg/m , mientras que la densidad de cargaes Po « {Z/A)p m .

Estas conclusiones implican consecuencias directas que servirán para cimentar las ideas que deberán explicar los modelos nucleares.

• Otra propiedad elemental es la distribución de masa nuclear, pues la masa de un núcleo no es igual a la siuna de las masas de los nucleones que lo componen, sino algo menor. La diferencia entre estas dos magnitudes es lo que se denomina energía de enlace. Esta energía de


enlace marca la estabilidad o inestabilidad del isótopo. Se puede anar lizar la estabilidad nuclear relacionando la energía de enlace con otros parámetros como puede ser .4 , Z o AT. Como aparecen en las tablas de isótopos.

• Partiendo del modelo de la gota líquida se establece la fórmula semiempírica de m/isas. Mediante la parábola de masas se puede determinar la estabilidad nuclear. Para A par existen dos parábolas y para A impar sólo hay una parábola, por lo que sólo hay un núcleo estable.

• Los núcleos tienen números cuánticos bien deíhüdos, como por ejemplo el espín (momento angular total) y el isospín.

• Los núcleos poseen también momentos electromagnéticos, consecuencia de su estructura de carga . Los más importantes son: el dipolar magnético y el cuadrupolar eléctrico (el momento dipolar eléctrico es nulo)

• La paridad también caracteriza al estado nuclear, es im número cuántico que se conserva en las interacciones fuertes y en las electromagnéticas. Existen dos valores posibles de la paridad: par (-I-) o impar (-). Cada nucleido tiene una paridad bien definida.

• Un núcleo puede estar en diferentes estados caracterizados por niveles energéticos bien definidos.

• En fin, como conclusión final, lo curioso es que hay que recurrir a modelos con ideas totalmente opuestas a las del modelo de la gota Kquida visto anteriormente, como por ejemplo el modelo de capas, para poder explicar propiedades tales como el espín, la paridad, los momentos multipolares electromagnéticos, etc. Todo ello es consecuencia de la enorme complejidad del núcleo atómico.

68 Física Nuclear


Ejercicios de autocomprobación

1 . Explique qué significa que la fuerza nuclear es independiente de la carga ¿Qué consecuencia tiene paxa la existencia de los núcleos?

2. Indique lo que son las propiedades estáticas de los núcleos y cuáles de ellas tienen carácter cuántico.

3. A partir de la masa atómica de los siguientes nucleidos calcule su energía de enlace por nucleón.

(a) f C MC^C) = 1 2 , 0 0 0 0 0 0 u.m.a.

(b) ^ M ^Â g) = 106,905093 u.m.a.

(c) I fU ^ M Q U ) = 235,043922 u.m.a.

4. Utilizíindo la fórmula semiempírica de la masa de Weiszácker determine el número atómico del núcleo más estable para un número másico dado.

5. ¿Qué significado físico tienen los momentos electromagnéticos de los núcleos?

Soluciones a los ejercicios

1 . El que la fuerza nuclear sea independiente de carga, significa que su acción, atractiva o repulsiva, no se verá condicionada por la carga de alguno de los nucleones. Cada nucleón sentirá la misma repulsión o atracción por im neutrón (neutro) que por un protón (con carga).

Es una fuerza que contrarresta la repulsión coulombiana que existe entre los protones y hace que no se separe el núcleo.

2. Las propiedades estáticas de los núcleos son aquellas que no varían y son constantes de ese núcleo, no dependen del tiempo. Son la masa, la paridad, el radio, el número atónüco, el espín, el isospín y los momentos dipolar magnético y cuadrupolar eléctrico.

Tienen carácter cuántico la paridad, el espín y el isospín.

3. Por definición (página 45) la energía de enlace por nucleón es

y como según (1.55)

Eb (Z, N) = [ZAh + N A „ - A (Z, N)]

A h = 7,2890 MeV y A„ = 8,0714 MeV.

Debemos calcular previamente A (Z, N ) , defecto de masa del nucleido correspondiente. Sabemos que por definición (1.44)

A {Z, N) = M { Z , N ) - A - u

Aplicando las expresiones anteriores a los nucleidos correspondientes se obtiene:

(a)

70 Física Nuclear

A (¿2(7) = (12,000000 - 12) x 931,49 = O E 1

: ^ = X2 (6 ^ 2890 + 6x8,0714) = 7,680 MeV

(b)


IA =107 ^Âg{ Z = M

N = 60

A = (106,905093 - 107) x 931,49 = -88,405 MeV/c^

ei^'Âg) = ^ = (47x 7,2890+ 60 x8,0714+ 88,405) =

= 8 ,554 MeV

(c)

{ >1 = 235 Z = 92 iV = 143

A ( ®C/) = (235,043922 - 235) x 931,49 = 40,913 MeV/c^

e(2f{7) = = (92 x 7,2890+ 143 x8,0714-40,913) =¿óo

= 7,591 MeV

4. Según (1.63) la fórmula semiempírica de la masa es

Eb {Z,A) == avA - _ acZ{Z - 1)A-^'^ - üa{A - 2ZfA~^ - 6

donde 6 = f{A) ,no depende de Z.

Además según (1.62)

M{Z , A) = Z M C H ) + { A - Z ) m n - Eb{Z, A)/c

Por lo que sustituyendo y haciendo c = 1

M {Z ,Á ) = ZM{^H) + { A - Z ) m n --{olvA - asA > - a c Z { Z - 1)A~ ^ -

-üaÍA - 2Z )M -‘ - <5)

Paxa una A dada el núcleo más estable será aquél cuya Z haga mínima la masa, es decir

dM(Z ,A )

72 Física Nuclear

dz= 0

dM{Z,A ) dZ

= M Q H ) - m n - { - a c A - ^ l \ 2 Z ^ ^ - l ) + +4aAA-^ {A - 2 Z ^ ))

Agrupando términos y despejando

_ (mn - M C H ) ) + acA-V3 + 4a^2acA-y^ + SoaA-^

Sustituyendo los valores

0,78 + 0,7^-i/3 + 92 92,78^ + O,l,4^-i/3 + 184>l-i ~ 1,4A2/3 + 184

Para vm valor de A dado, por ejemplo A = 14 resulta

Zmin = 6 , 78 SS 7

Que es el nitrógeno, efectivamente el es estable.

5. En el núcleo existen cargas y corrientes que producen campos eléctricos (E ) y magnéticos (B). En general no hay simetría de carga esférica (puramente coulombiana) sino que el campo eléctrico tiene otros términos, que se denominan multipolos de orden í = 0 , 1 .... que van decayendo al aumentar l. El primer término, o sea, el culombiano es monopolar, el segundo es dipolar (que el núcleo es nulo), después está el cuadrupolar. Los momentos multipolares eléctricos son cantidades que caracterizan la forma de la distribución de carga y sirven para calcular el campo eléctrico con grados crecientes de exactitud.

Los momentos multipolares magnéticos son equivalentes a los anteriores, respecto a la distribución de corrientes (incluyendo la de espín). El momento monopolar es nulo, porque no existe carga magnética análoga a la eléctrica.

Los campos eléctricos más aUá del monopolar (es decir la carga total) y los magnéticos, contribuyen con pequeñas correcciones a la energía, a lo que se denomina estructura hiperñna del núcleo.

Capítulo 2

La fuerza nuclear: El deuterón. Interacción N — N

INTRODUCCION EL DEUTERÓN: PROPIEDADES Y FUNCIÓN DE ONDAS

o MOMENTO DEPOLARMAGNÉTICO o MOMENTO CUADRUPOLAR ELECTRIC O o FUNCIÓN DE ONDAS RADIAL

DI FUSIÓN iV-iV. DESFASAJESo DESARROLL O DE ONDAS PARCIALE S o RELACIÓN ENTRE DESEASAJE Y POTENCIAL VO APROXIMACIÓN DE ALCANCE EFECTIVO

POTENCIAL DE YUKAWAo POTENCIAL A -iV

74 Física Nuclear


• Justificar la necesidad de la presencia de fuerzas nucleares para explicar la existencia de los núcleos.

• Estudiar la interacción nuclear en estados ligados (deuterón) y en colisiones nucleón-nucleón.

• Describir las principales características de las fuerzas nucleares.

• Conocer los potenciales que describen este tipo de interacción.

2.1 Introducción

El Deuterio es uno de los isótopos del Hidrógeno, cuya abundancia isotópica es 1,5 X El otro isótopo del Hidrógeno es el Tritio, inestable, con Ti/2 = 12,3 años. El Hidrógeno y sus dos isótopos tienen un papel importante en Física Nuclear. Los núcleos respectivos son conocidos por un nombre distinto; protón, deuterón y tritón para el y îí, respectivamente.

En este tema se aborda el estudio del deuterón, sistema p—n más elemental ligado por la fuerza nuclear. Tiene mucha importancia porque informa sobre las propiedades de dicha fuerza. El tema se completa con una descripción de las reacciones N — N, que también ayudará a completar el estudio de la fuerza nuclear.

Para la Física Nuclear, los constituyentes de los núcleos son el protón y el neutrón, que pertenecen a la familia de los hadrones^. También se sabe que los hadrones están compuestos por entes más fundamentales llamados quarks. El modelo de quarks, exphca las propiedades del protón y del neutrón como entes compuestos por tres quarks (estados qqq).

La interacción fuerte fundamental es la que tiene lugar entre quarks y se explica por el intercambio de gluones (de espín 1 ). Esta interacción es descrita por la cromodinàmica cuántica (teoría QCD), nombre que recuerda que el origen de la fuerza fuerte es una propiedad de los quarks bautizada con el nombre de color. Esta fuerza aumenta con la distancia y confina a los quarks dentro de los hadrones. La interacción entre nucleones es ima interacción a muy pequeña distancia (algunos fm) y se exphca por el intercambio de mesones (estados qq). Se piensa que es una manifestación a gran distancia de la fuerza entre quarks (igual que las fuerzas de Van der Waals, que exphcan la formación de las moléculas por la interacción a gran distancia entre átomos).

2.2 El deuterón: Propiedades y función de ondas

El deuterón es un sistema ligado (jp, n), único sistema estable formado por dos nucleones, cuya masa atómica es mD=1876,125 MeV/c y la energía de

La fuerza nuclear: El deuterón. Interacción N-N 75

El nombre de hadrón viene del griego hadros que significa fuerte, aludiendo a que son partículas que sienten la interacción fuerte.

ligadura Eb= 2,225 MeV, que puede obtenerse, por ejemplo, mediante tres métodos distintos:

1. Por doblete de masas.

76 Física Nuclear

Ejemplo:

Se toman dos compuestos con >1 = 84 y usando el método del doblete de masas (descrito en el primer capítulo de este libro) se obtiene la masa del D (deuterón):

MiCeHu) - MiCeDs)6 = (9,289710 ± 0,000024) x 10- u.m.a M{D) = 2,014101789 ± 0 ,0 0 0 0 0 0 0 2 1 u.m.a.

M {C,Du) - M { C M 6 = (84,610626 ± 0,000090) x lO'^ u.m.a. M{D) = 2,014101771 ± 0,000000015 u.m.a.

Con los dos ejemplos se obtienen valores muy parecidos paxa la masa del deuterón. Con esta masa y aplicando la definición de energía de enlace se obtiene:

Eb = [MCH) + M „ - M C H ) ] c' = (2,3886 X 10" u.m.a.)c2 = 2,22463 ± 0,00005 MeV

2. Por captm*a radiativa, llamada así a la emisión de fotones siguiendoa la captura de im neutrón térmico (cuya energía es despreciable, ya que vale 0,025 eV); Se mide la energía del fotón emitido,que resulta ser igual a la energía de ligadura del deuterón.

3. Por foto-disociación, reacción inversa a la anterior, H ^H+n. La energía del fotón necesaria para romper el deuterón es precisamente igual a la energía de ligadiu-a.

Los números cuánticos del deuterón son:

espín-paridadisospín { }


Como siempre, la paridad (-I-) da el comportamiento de la ftmción de ondas espacial |d) bajo ima reflexión espacial respecto al origen.

Suponiendo que el deuterón es un sistema compuesto por un protón y un neutrón, sus números cuánticos podrán deducirse a partir de los constituyentes; así:

• Su momento angular total o espín podrá escribirse J = Sp -l· L.

• Su paridad vendrá dada por V{d) = V{p) x V{n) x V{L).

El valor de V{p) = V{n) = +, por convenio y V{L) es la paridad debida al movimiento orbital, ligada al comportamiento de los armónicos esféricos

Ylm{0, <i>) - 0, < + t t) = i-l) YLMÍe, <t>) (2.1)

o sea V{L) = (—1) , por lo que como la paridad del deuterón Vd = +, entonces el momento angular orbital L debe ser par. Esto implica que sólo se tienen dos posibilidades, y el deuterón será mezcla de los dos estados:

L = O (onda S): estado®5i y L = 2 (onda D): estado ^Di.

La notación utilizada para los estados es la que se sigue en espectroscopia: siendo L la denominación de la onda que corresponde al valor del

momento angular orbital, según la secuencia S,P,D,..., para L = 0 , 1 ,2,...Por supuesto, el espín J = 1 es un buen número cuántico, es decir, se

conserva; sin embargo, los dos valores del momento angular orbital L = 0,2 (que se denominan ondas S y D) son posibles y el deuterón puede encontrarse en cualquiera de los dos estados de momento angular orbital. La dinámica de las fuerzas nucleares será la que dará la probabilidad de encontrar al deuterón en cada imo de estos estados.

El tamaño del deuterón ha sido medido en experimentos de difusión e~d, obterüéndose Rj = 1,963 fm.

Sus momentos electromagnéticos son — 0 , 8 5 7 yQd = 0,288 fm (medido por Kellog et ai, 1939). Estos valores implican que el deuterón es una mezcla de estados (96%) y ^Di (4%) como sedemostrará más adelante.

^Los nucleones pertenecen al octete 1/2'*' de SU(3) de sabor de quarks.

Un sistema de dos nucleones tipo pp o nn es un sistema de fermiones (son partículas de espín 1/2) indistinguibles cuánticamente. Por lo tanto, como en el caso de sistemas de electrones, su función de ondas debe ser totalmente antisimétrica si se intercambian los fermiones (es el contenido del principio de exclusión de Pauli). Pero, si además se tiene en cuenta el isospín, entonces cualquier sistema nucleón-nucleón, como el caso np, también obedece al mismo principio de exclusión. El isospín del sistema N — N puede tomar, en principio, los valores T = 0,1 (ya que Tp = = 1/2 ). Peropor los argumentos de simetría expuestos, si se tiene en cuenta el isospín, la función de ondas del deuterón \d) = |0 (^ ) \x)j debe ser totalmente antisimétrica bajo intercambio de los dos nucleones, ya que se trata de dos nucleones idénticos. La función espacial y la función triplete de espín son simétricas. Por lo tanto, la función \ip)j, de isospín debe ser antisimétrica, o sea, singlete:

|T = 0,To = 0) = (2.2)

= ^ {|l/2 , 1/2 ), |l/2 , - 1/2 )2 - |l/2 , 1/2 )2 |l/2 , - l/ 2 ) i }

en donde los nucleones se han representado por la notación \T, Tq) que representa estados con isospín bien definido. Además, si fuera triplete, existirían los estados hgados (p,p) y (n,n). Por todo ello, el deuterón tiene isospín Td = O, es decir, es un singlete de isospín.

2.2.1 Momento dipolar magnético del deuterón

Tomando como hipótesis que el momento dipolar magnético del deuterón,es la suma del de sus constituyentes, /Xp = 2,79271 ± 0,00002 fipf y

/x„ = —1,91315 ± 0,00007 el resultado es 0,87956 ± 0,00007 fif , es decir, hgeramente mayor que el valor medido para el deuterón

= 0,8574376 ± 0,0000004

esto quiere decir que ima simple superposición de los dos momentos magnéticos de los constituyentes no exphca el valor experimental. En otras palabras, como se demostrará más adelante, el deuterón no es un estado puro en onda S (momento angular orbital entre constituyentes L = 0 ).

En efecto, el momento dipolar magnético, en función del momento dipolar magnético de los constituyentes es :

78 Física Nuclear


A = ( í ?”Íp +9Í”'5. + 5 Í : ) ^ (2.3)

en donde L es el momento angular del deuterón (L = 2£p, siendo £p el momento angular del protón respecto al centro de masas, ya que las masas del protón y neutrón son prácticamente iguales). Se puede, por lo tanto, reescribir la expresión anterior (2.3) de la forma,

~ ~ (2.4)

en donde S = Sp + Sn y J = L + S.En la expresión anterior, el término (sp—s„) se anula; no puede contribuir

ya que el deuterón es im estado triplete de espín (5 = 1) y el término {sp — s„) podría conectar el estado 5 = 1 con S = 0 y este último, el singlete de espín, no existe.

Se utilizará un sencillo modelo mezcla de los dos estados posibles que tienen el mismo espín-paridad I"··:

\tp¿) = as |^5i) + üD P-Oi) con o| + = 1 (2.5)

El cálculo teórico del momento magnético del deuterón se realiza calculando el valor esperado

fJ-d = ( V ’ d I M o I V ’ d ) ( 2- 6)de la tercera componente del operador momento magnético /x, pero calculada en estados con momento angular y espín bien definidos.

Así pues al sustituir la función de ondas del deuterón en esta última expresión, aparecerán dos sumandos:

= a|( + a l { = a| /x,(®5i) -F a% (2.7)

uno con las funciones correspondientes al estado |J, M) = \ Si) y otro conlas funciones que representan el estado | J, M ) = \^Di).

Aplicando el teorema de Laudé,

{JM\f,o\JM) = (JM|(m · J)Jo\JM) (2.8)

*En efecto, los dos estados, el triplete y el singlete de espín tienen tercera componente 5 ^ = 0 .

donde Jo la tercera componente del operador J: Jq\JM) = Mh\JM),quedará,

= l iñ r ) (2· ^

En el cálculo aparecen los productos ( S · y ( L - f j , que se calculan

recordando que J = (L+5 ), de donde se puede despejar el valor del producto buscado a partir de las expresiones de ( J - V f y de ( J - S)^.

Queda pues, para cada onda posible,

P-Á^Si) = = Mp + = o, 880 Mat

(2.10)Md("A) = i {3 - + ffñ }M N = 0,310 fif,

con lo que para explicar el valor experimental = 0,8574376±0,0000004se encuentra la mezcla de ondas posibles en las proporciones: a| = 0,96 y

= 0,04 adelantadas.

2.2.2 Momento cuadrupolar eléctrico del deuterón

Se sabe que Qd = 2,88 ± 0,02 mb. Los nucleones son partículas con simetría de carga esférica: Qp = Qn = O, lo que obliga a que para obtener un momento cuadrupolar no nulo exista una componente con L ^ O ya que si el deuterón fuese im estado puro en onda S {L = 0) sería esférico.

Por definición,

80 Física Nuclear

eQo = e(3z' - r^) = e^^r^Y2o{e,<f>) (2.11)

que, caso de existir implica que los números cuánticos del sistema ciunplan J > l y L > l .

Utilizando el mismo modelo mezcla de onda S y onda D para el deuterón según la expresión vista en (2.5) anteriormente.

Qd — 0-5 ( ( ^Di\Qo\^Di + âsa ( ^S'ilQoI^î) (2.12)

que es ima suma de tres términos.

Para calcularlo, se necesita conocer explícitamente la expresión de los estados con J, L y 5 bien definidos, que se construyen,

|L5, JM ) = (LMlSMs\JM) \LMl ) \SMs) (2.13)MlMs

siendo \LMl ) = RL{r)YLML la función de ondas espacial, y {LMlSMs\JM) el coeficiente de Clebsh-Gordan correspondiente.

El primer elemento de matriz se anula (en estados L = O —► Q = 0). El segundo, debe contener la simia de términos posibles para un valor de L dado, o sea, como L = 2, los valores posibles de la tercera componente son M l = 2,1, o, quedando

Q^L) = Y ^ iLM iS M s lJM f {LMl \Qo\LMl ) (2.14)Ml

es decir,

M j = lIQ oI'A , M j = \) = -^ e (r^)^ (2.15)

ya que es el resultado de la suma ^ () 2,2 + ^ O 2,1 + ¿ () 2,0 , cuyos coeficientes son los correspondientes Cleteh-Gordan y las respectivas integralesangulares (de Ylml ^ 0 ) valen (-1/7, 1/14 y 1/7)^^, respectivamente.

La integral (r^)^ = R*¡){r)r^Rpir) · r^dr. Tomando (r^)^ « R¿ quedaría

Qd( £>i) = -0,77fm2 (2.16)

La conclusión es que sólo con el término (onda D pura) no puede explicarse el valor experimental del momento cuadrupolar eléctrico Qd del deuterón. Esto era de suponer ima vez visto el resultado obtenido con el momento magnético dipolar.

El tercer término, que conecta estados onda S con onda D, es no nulo porque el operador momento cuadrupolar eléctrico transporta L = 2. Lo complicado es calcular Pero permite acotar a|, entre 0,04 y 0,07.


a) b)Figura 2.1 - Explicación de la deformación prolata debida a una fuerza tensorial en la que a) el espín es paralelo al vector que une los nucleones, como en el caso del deuterón o b) la fuerza es perpendicular y el núcleo

sufriría una deformación tipo oblato.

Para que exista este tipo de mezcla, es necesario que el Hamiltoniano, que no conmuta con L , conecte estados S y D, o sea ( ^Si\H\^Di) ^ O, lo que se consigue con im potencial que contenga un término tensorial.

(2.17)

El momento cuadrupolar no nulo del deuterón pone de manifiesto la necesidad de fuerzas tensoriales en la interacción N — N. Estas fuerzas favorecen que el espín y el vector posición que une el protón y el neutrón estén alineados (ct II f); por ello resulta que el deuterón es un núcleo prolato (en forma de aceituna). Ver el ejemplo de la figura 2.1. Uno de los modelos que explican la necesidad de im término como 5i2 es el modelo de intercambio de im pión, propuesto inicialmente por Yukawa.


Por consiguiente, el potencial N — N no puede ser descrito únicamente por términos centrales. La naturaleza de la fuerza nuclear es mucho más compleja que la de las fuerzas electromagnéticas y gravitatorias.

2.2.3 Función de ondas radial del deuterón

Figura 2.2 - Sencillo pozo de potencial para explicar el deuterón.

Se tomará el potencial más sencillo para describir la fuerza N — N: un pozo cuadrado de profundidad — Vq y de alcance fio· Evidentemente se trata de una aproximación puesto que este pozo tiene simetría esférica por definición y por lo tanto describe fuerzas centrales, lo que no corresponde a las fuerzas presentes en el deuterón, como se acaba de ver, en el que es necesario introducir fuerzas tensoriales (además de las centrales).

El deuterón se supone im sistema cuántico no relativista; las masas de sus constituyentes son mucho mayores que las energías de ligadura. Por lo tanto, se aphcará la ecuación de Schrödinger. Al tratarse de un potencial central la solución íp podrá escribirse de la forma:

^rUmiñ = Rne{r)Ytm{0,<Í>) (2.18)

84 Física Nuclear

siendo Rni solución de la ecuación radial

re /(pRni 2dR^\2fi \ r dr )

+ F (r) +e{e + 1) 2

2/zr2Rru = ER^ (2.19)

que paxa el estado fundamental — 0), y tras el cambio u{r) = rR„t{r) queda

í (Pu\ 2fi \dr2

+ [V(r) — E] u{r) = O (2.20)

siendo ß ~ Mp/2, la masa reducida del sistema.

Al tomar en consideración, para V (r), la forma concreta del potencial de la figura 2.2, las soluciones de la ecuación de Schrödinger son.

r < Ro — > u(r) = A sen (kir) + B eos {kir)

r > R o — u{r) =(2.21)

quedando únicamente los términos con coeficientes A y C, para que u(r) sea finita en r = O y se anule cuando r ^ oo. Se cumple

hh = ^2n{Vo + Ed)

hk2 = \Z-2fxEd(2.22)

en donde la energía de Hgadura del deuterón Ed = —2,225 MeV, se toma negativa, para recordar que se trata de un estado ligado.


Figura 2.3 - Función de ondas del deuterón.

La condición de continuidad de la función de ondas u{r) y su derivada, (^)r=fio’ conduce a:

ki cot{kiRo) = —k2 (2.23)

ecuación trascendental que relaciona Vq y Ro· Si se admite que k2 « ki, consecuencia de la pequeña energía de ligadura del deuterón, esta ecuación puede aproximarse: cota O, lo que implica que kiRo ^ f , con lo que se logra la relación aproximada entre Vo y Ro que se buscaba,

= 100 MeV · (2.24)

Tomando Ro = 1,96 ftn, radio de carga del deuterón obtenida en los experimentos de difusión e~d, se tiene Vq « 30 MeV, profundidad del pozo nuclear. Podrá decirse que el valor ®Vo ^ 30 MeV, corresponde al estado

triplete. No existe estado singlete ligado con este potencial (potencial estimado paxa el singlete Vo ~ 200 MeV). Está claro pues que la fuerza nuclear depende del espín.

La función de ondas u{r), dará la probabilidad de encontrar el nucleón a una distancia r del cdm:

P{r) = j r^\u{r)^dr (2.25)

Se puede calcular el valor medio de r, que puede aproximarse a la distancia que reduce en un factor 1/e la función de ondas vista en la ecuación (2.21), lo que representa la distancia media entre los nucleones:

( r ) ~ l « 4 , 3 f m (2.26)K2

Este valor indica que los nucleones están poco ligados y bastante alejados en promedio, lo que era de esperar ya que los nucleones están poco ligados en el deuterón, vista la energía de ligadura Ed y la profundidad del pozo Vq encontrada.

86 Física Nuclear

2.3 Difüsión N — N. Defasajes

El sistema N — N ha sido ampliamente estudiado. El método se basa en cohsiones pp, np (las fuentes de n suelen ser: reactores o en un acelerador via la reacción '^Li{p, n)^ße), que se completa con el estudio de colisiones pd y nd. El problema es que debe sustraerse la colisión no deseada (por ejemplo si se quiere estudiar pn utilizando pd, se sustraerá el ruido de fondo debido app).

2.3.1 Desarrollo en ondas parciales

La diferencia entre la presencia de un potencial o no, al resolver la ecuación de Schrödinger, se suele parametrizar introduciendo un defasaje, 6, en la onda que describe a la partícula. Este defasaje da la diferencia de fase entre la onda difundida y la onda antes de la difusión. Informa sobre:

• La forma e intensidad del potencial.

• La dependencia con la energía de la sección eficaz.


5 = 0,T = 0 5 = 1,T = 0PP a -17,1 ±0,2 fm -

Ro 2,794 ±0,015 fm -

nn a -16,6 ±0,6 fm -

Ro 2,84 ±0,03 fm -

np a -23,715 ±0,015 fm 5,423 ±0,005 fmRo 2,73 ±0,03 fin 1,73 ±0,02 fm

Tabla 2.1: Promedio experimental del alcance efectivo (Ro) y longitud de difusión (a) para el sistema N-N, en experimentos de difusión a baja energía.

Con ello se llega a una expresión para la sección eficaz de difusión,

^ ^ '''

que depende de los defasajes Se, de cada una de las ondas £ que intervienen en la difusión. A baja energía (T < 20 MeV), el tratamiento de los defasajes es muy interesante porque si im potencial tiene alcance Rq, el momento angular orbital de la difusión está limitado por

£< (2.28)

con lo que para la difusión p+p a un momento p < 100 MeV/c sólo interviene = 0, la onda s, dando lugar a

<To = 47Tsen óo

~k ^(2.29)

luego existe ima relación directa entre la sección eficaz de colisión a baja energía y el defasaje ¿o·

2.3.2 Relación entre defasaje y potencial V

Las soluciones de la ecuación radial de Schrödinger para la difusión por un pozo cuadrado.

r < Ro — > ui{r) = >lsen(/cir)(2.30)

r > Ro — > U2{r) = Csen{k2T + 6)

en donde se observa que la interacción produce un desfasaje ¿ (¿ > O si el potencial es atractivo). Se cumple

88 Física Nuclear

hh = ^ 2fi{Vo + E)(2.31)

hk2 = y/2jIE

y £■ > O, por supuesto, ya que ahora es un problema de coUsión. Como se ve, se ha considerado que el nucleón incidente tiene una energía cinética dada por la ecuación no relativista,

£ = ? = ^ (2.32)2/i 2/i ^

Para el límite de energía nula (E = 0), la solución de la ecuación de ondas sería U2 (r) = B + Dr.

En el caso en el que hubiesen estados hgados porque Vq es suficientemente profundo, se tendría U2{r) = o sea, lo visto en el caso del deuterón.La ecuíición que relaciona Vq y iío con E, aplicando de nuevo la condición de continuidad en iío, es:

k2 cot{k2Ro + 6) = ki cot(fciüo) (2.33)

de donde se puede obtener el defasaje 6.

2.3.3 Aproximación de alcance efectivo

En el Umite de energía nula —» O, suele utihzarse la parametrización de alcance efectivo,

a —»· (2-34)

siendo o la longitud de difusión, que podría definirse como

a =lim (2.35)kô k ^

por simple inspección de la fórmula (2.29) anterior y al igual que antes, = 2fjiE.

Si se normaliza t¿2(0) = 1, se tiene

U2Ír) = 1 - ^2 = o (2.36)

sen (fc2r + ¿o) .« 2 (r) = --------sen Oq

La dependencia de ¿o con la energía la da el alcance efectivo, i?o, que se obtiene al igualar en Rq las expresiones vistas en (2.36):

A:cot¿o = - - + \fíok^ (2.37)ÜL ¿ácon lo que los parámetros a, longitud de difusión y Rq, alcance efectivo,caracterizan el potencial nuclear.

El significado físico del alcance efectivo corresponde al de la distancia media de interacción entre el neutrón y el protón.

La expresión completa para la sección eficaz de colisión que se predice utilizando la ecuación de Schrödinger es:


1 -

que paxa el límite A: -+ O (energía nula) se reduce a (2.34).Los parámetros obtenidos en los experimentos de difusión N - N se dan

en la tabla 2.1 .Los defasajes son conocidos para el conjunto de números cuánticos que

puede darse en el sistema N — N y que conviene recordar.

(a) Para el sistema pp ó nn. Se trata de un estado puro de isospín T = l(llamado isovector); el principio de simetrización da lugar a las dos posibilidades siguientes,

r 5 = O ^ L par (i5ot0©2é\ S = 1 ^ L impar {^Po, ®Pi, ^P2)

(b) Para el sistema np, si se supone el caso T = 1, isovector, se tendrán losmismos estados que en el caso anterior.

(c) Paxa el sistema np, pero el isoscalar, o sea isospín T = 0; por el principio de simetrización se tendrán ahora las posibihdades,

í S = 0 — L impar (^Fi^\ s = l ^ L p a i ^^2, ^Ds)

De los datos de la tabla 2.1 anterior para pp y nn se observa que los valores de a y de i?o son similares; se deduce de ello una propiedad de la fuerza nuclear: la simetría de carga. Para que exista independencia de carga, el parámetro a debería ser igual en todas las combinaciones de carga, incluido el caso de np. Pero la diferencia que existe en el valor de a para los datos del estado np se exphca en el modelo de Yukawa porque existe im proceso, el intercambio de 7t=, que sólo puede darse en np, al contrario que el intercambio del tt® que se da en todos (( m r = 4,6 MeV). O sea, se puede admitir que efectivamente existe independencia de carga.

Se observa que si a > O existe estado ligado (el deuterón). Pero a baja energía, los resultados de las difusiones muestran que hay repulsión. De aqm' se deduce la existencia de un hard-core en los nucleones que los hace impenetrables. Deberá reflejarse en el potencial. En efecto, si se resuelve la ecuación radial de Schrödinger vista en (2.20) para im potencial = oo si r < a, o sea ima fuerza repulsiva, se obtiene:

6o = -ka (2.39)

es decir, im defasaje negativo. Por el contrario, si se tratase de ima fuerza atractiva, se obtendría im defasaje positivo.

Cuantitativamente, para el deuterón se tiene una variante de la expresión (2.37), concretamente:

k2 = - + (2.40)dt ¿

y como k2 = 0,2316 fm“ , da lugar a los valores del triplete de espín <h = 5,423 fin y = 1,73 fm que aparecen en la tabla 2.1.

2.4 Potencial de Yukawa

Clásicamente una interacción (a distancia) entre dos partículas es debida a la acción del potencial creado por ima sobre la otra.

90 Física Nuclear


N NFigura 2.4 - Diagrama de intercambio de tt de Yukawa.

H. Yukawa (en el año 1934, premiado con el Nobel de Física en 1949) utilizó la idea cuántica de que la interacción es debida al intercambio del cuanto del campo (im bosón) entre ellas. El diagrama que describe esta idea puede verse en la figura 2.4, llamado habitualmente diagrama de Feynman. Así, Yukawa introdujo la idea de que la interacción nuclear es mediada por el intercambio de mesones.

Sólo se intercambian bosones, ya que para intercambiar fermiones habría que intercambiar también el correspondiente antifermión y cumphr el principio de exclusión de PauU.

Estas ideas dieron lugar al modelo llamado OPEP {one pión exchange potential).

92 Física Nuclear

Ejemplo:

Estimación de la masa del mesón intercambiado.La única manera de que un nucleón pueda emitir una partícula

de masa m y continúe siendo ese nucleón, sin violar el principio de conservación de la energía, es que tenga lugar en un periodo de tiempo muy corto At y según el principio de incertidumbre

A t A E < h

donde AE = me?. El tiempo At será el que tarda en recorrer la partícula la distancia que hay entre los nucleones (suponiendo que se mueve a la velocidad de la luz), lo que corresponde al alcance de la fuerza, i? ~ 1 fm. Teniendo esto en cuenta

A i =c R

o h -c 6,6 X 10" MeVs x 3 x ™ , , ,,mc < —= = -------------- — ---------------- — = 200 MeV

R 1 fmDe lo que se concluye que la partícula intercambiada debe tener una masa del orden de 200 MeV.

Se dice que la partícula intercambiada es virtual, ya que su energía y su momento no cumplen la relación de Einstein = (mc ) + (pc) (lo que equivale a decir que la partícula intercambiada no está en su capa másica), y no es detectable ya que no es una partícula hbre; no se trata de una partícula real. A todos los efectos, se supone que la partícula intercambiada es puntual; no tiene estructiura.

Para calcular el potencial de intercambio de un bosón hay que recurrir a la teoría cuántica de campos relativista. Pero haciendo una sencilla analogía con la electrodinánüca, puede encontrarse una expresión para dicho potencial.

El potencial electrostático creado por una carga q en el origen cumple la conocida ecuación de Poisson:

W e ( 0 = -1

47T60que tiene por solución el conocido potencial de Coulomb,

A7rq6{f) (2.41)

Al cuantificar el campo electromagnético, aparecen los cuantos del campo llamados fotones, cuya fuente es la carga eléctrica. Es bien conocido que la fuerza electromagnética tiene alcance infinito y los fotones, cuantos del campo, tienen masa nula.

Supóngase ahora el caso del campo nuclear, cuyo cuanto tiene masa m y es el responsable de la fuerza de atracción entre nucleones. El cuanto debe de ser im bosón, emitido y absorbido por ima fuente caracterizada por una constante de acoplamiento Qg. Análogamente al caso electrostático la mejor ecuación relativista para el potencial creado por una fuente en el origen, es la ecuación relativista de Klein-Gordon:

V^(j){r) = </>(r) - gs6{r) (2.43)

válida para partículas de masa m y espín s = 0. Tiene por solución el potencial de Yukawa,


îr) = (2-44)

que suele escribirse también

m (2.46)

siendo Tq = h/mc. Se observa que si el cuanto del campo tiene una masa m, la intensidad del campo se reduce en 1/e a una distancia Vo = h/mc. O sea, ro mide el alcance de una fuerza mediada por un bosón de masa m.

El pión, m ± = 139,57 MeV/c , descubierto en 1947 por Lattes, Occhia- hni, Muirhead y Powell, da para el alcance tq ~ 1,4 fm, representando muy bién la parte de mayor alcance de la fuerza nuclear.

Los piones cargados, junto con el pión neutro (m o = 134,97 MeV/c^), con vidas medias t ± = 26 ns y r ro = 8,4 x 10“ ' s, forman un triplete de isospín (lo que asegura la independencia de carga de la interacción nuclear) y son mesones pseudoescalares (J^ = 0“ ).

94 Física Nuclear

Ejemplo:

Paxa estimax el vaJor numérico de la intensidad de la fuerza nuclear, gs, pueden utilizarse los parámetros del deuterón i? ~ 2 fm y Vo 30 MeV, sustituyéndolos en la ecuación (2.45), resultando:

2— ~ 250 MeV · fm o sea, adimensionalmente: a- = , 1 ~ 1 47t 47r/ic

que puede compararse al valor de la constante de acoplamiento, adimensional, que mide la intensidad de la interacción electromagnética, la llamada constante de estructm*a fina

1a =

Aireohc 137

— = 137 a

Así se comprende el origen de la denominación de fuerza fuerte.

2.5 Potencial N — N

Los numerosos estudios de las propiedades de la interacción N — N, y a sea a partir del estudio del estado ligado o de los estados de difusión, han conducido a la formalización de varias expresiones, fenomenológicas, del potencial N - N .

Se ha visto que es atractivo, que existe saturación (distinto al gravitatorio V = Gj^M/r, en el que un cohete es más fácil que escape de la Luna!) con una energía de hgadura media 6 ~ 8 MeV y aproximadamente constante. No tiene análogo clásico. Las reacciones nucleares demuestran que tiene un core impenetrable (repulsivo), que puede explicarse por la estructura en quarks al aplicarles el principio de exclusión de Pauli.


core (repulsivo)

potencial de Yukawa, que efectivamente permite describir el comportamiento a grandes distancias de la fuerza nuclear.

Con ello, una buena aproximación al potencial N — N 3, baja energía es el de la figiura 2.5. Si p^/2m < Vo, pueden formarse estados ligados. Si no, sólo habrá difusión. La diferencia entre el potencial creado por un n y un p vendrá dada por la existencia en este último caso de una barrera culombiana.

La dependencia con el espín viene dada, por ejemplo, por los números cuánticos del deuterón ( = 1+) y por las diferencias singlete-triplete en la difusión np a baja energía {£ = 0):

K t « 31,3 MeV at ^2,2 fm 13,4 MeV a, ?^2,7fm

También es necesaria una fuerza tensorial, que exphque el Qd ^ O del deuterón.

A gran distancia (r > 2 fm), el potencial puede ser exphcado por el intercambio de un pión. Para 1 < r < 2 fm, son necesarios bosones más

pesados que el tt, por ejemplo: p, u, o incluso dos piones. El core repulsivo puede describirse mediante un pozo infinito {V = oo, para r < 0,5 fin); también puede obtenerse mediante el intercambio de muchos piones o de mesones muy pesados.

El potencial N — N más general, conteniendo las propiedades descritas, propuesto por Okubo y Marshak, contiene 12 términos. Los 6 primeros son:

V{r) = V;(r)+ K(r)CTij &2+yLs{f)L · (cti+ $2) +Vr{r)Si2+ (2.46)Vg(r) + {ffi· {02 'Vpp{r){{Si-p){a2-p))

96 Física Nuclear

+

a los que hay que añadir los correspondientes 6 términos dependientes del isospín:

K (r ) f i · T2 -h Vsr{r){ai · a2){fi · T2) + ... (2.47)

La notación es L = + ¿2 ; 5 = -l· 0 2 , en donde ii y a i son el momentoangular orbital y el espín de los nucleones. Además, habría que tener en cuenta que los términos à · a van divididos por etc, para que la sumade términos sea dimensionalmente correcta.

La dependencia en espín aparece al calcular el valor esperado de ai · ^ 2

que para el estado triplete {S = 1) da h /4 y la fuerza es atractiva, mientras que para S = O vale -3/i /4, siendo repulsiva. Lo mismo sucede con los términos de isospín.

Se conocen actualmente dos modelos que describen bastante bién la difusión N — N, el modelo de Paris y el de Bonn. Se diferencian en el tratamiento del co'm y del efecto de la resonancia Nn, la conocida A(1232) y del antinucleón N en los núcleos.

2.5.1 Potencial OPEP

La generalización del potencial de Yukawa dió origen al modelo OFEF"^, que conduce a una expresión analítica para el potencial N — N, aunque también con ingredientes fenomenológicos. Una expresión del potencial OPEP

'‘OPEP (’’One Pión Exchange Potential”) significa potencial debido al intercambio de un pión.


frecuentemente utilizada es:

{( 2 5 2 - 3) + 2Sue ~ r / R

'V/R

en donde f es el operador de isospín, 5 = ai + ^ 2 el de espín y

S12 —U ^ -ry

(2.48)

(2.49)

el término tensorial, jiístificado por las propiedades del deuterón. El alcance i? es un parámetro cuyo valor está comprendido entre 1,4 y 2,0 fm.

Una forma de entender la dependencia con el espín (J) y el isospín (T) en el modelo OPEP es a través del intercambio de un mesón; por ejemplo puede tratarse de im pseudoescalar (J^ = 0~) o de un vector (J^ — 1~). Buenos ejemplos son el tt (pseudoescalar y triplete de isospín, T = 1) y el u; (vector y singlete de isospín, T = 0), respectivamente.


Deuterón - (página 75) Nucleido compuesto por un protón y un neutrón, ^H. Es el sistema nuclear ligado más sencillo. Es un isótopo del H.

Diagramas de Feynman - (página 91) Diagramas desarrollados por Feymnan que representan los mecanismos por los que las partículas elementales interaccionan.

Fuerzas de intercambio - (página 91) Existen interacciones entre partículas que pueden realizarse mediante el intercambio de partículas mediadoras.

Interacción - (página 90) Es un término general que indica la posibilidad del intercambio de energía y momento entre partículas o de la posibilidad de crear o aniquilar partículas.

Hadrón - (página 75) Nombre genérico para todas las partículas compuestas de quarks y antiquarks.

Partícula virtual - (página 92) Partícula que tiene una existencia transitoria, son absorbidas y emitidas en un intervalo de tiempo At más pequeño que AE/h. No se pueden observar directamente ya que durante su tiempo de existencia no satisfacen la relación. E = -\-p c ,donde m es la masa en reposo de la partícula. Se utilizan en el tratamiento teórico de ciertos problemas físicos.

98 Física Nuclear

Resumen

• Los núcleos existen debido a la existencia de fuerzas nucleares.

• Para comenzar el estudio de las fuerzas nucleares, se debe observar como se manifiestan en sistemas que sólo tengan dos nucleones, sistemas protón-protón, neutrón-neutrón y protón-neutrón. Como sistema ligado sólo es posible el deuterón (protón-neutrón).

• El deuterón es el estado ligado nuclear más sencillo y se trata de un sistema ideal para el estudio de la interacción nucleón-nucleón. Su energía de enlace es una cantidad que se ha medido de manera precisa, por lo que se puede comparar con las predicciones teóricas. Está formado por un protón y un neutrón con espín paridad I t .

• El siguiente paso es el estudio de colisiones nucleón-nucleón, ya que aunque el estudio del deuterón proporciona gran cantidad de claves para la comprensión de este tipo de fuerzas, tiene la Umitación de que no se puede encontrar en ningún estado excitado (el sistema ligado es tan débil que los ’’estados excitados” son estados no-ligados que consisten en un neutrón y un protón hbre). Para la comprensión de la interacción nucleón-nucleón en otras configuraciones se estudian las cohsiones nucleón-nucleón.

• El alcance efectivo y la longitud de difusión caracterizan el potencial nuclear del sistema N — N.

• Las principales características de la fuerza nuclear obtenidas son:

- Es fuerte, los núcleos son estados ligados a pesar de la repulsión culombiana.

- Depende del espín, hay un estado *Si hgado pero no un 5o de 2 nucleones.

- Tiene una componente tensorial, el momento cuadrupolar eléctrico del deuterón es distinto de 0.

- Tiene corto alcance, no se aprecia fuera del núcleo.

- Es independiente de la carga (simetría de carga), no distingue entre protón y neutrón.


— Se satura, la densidad nuclear es casi constante en la tabla periódica.

• Yukawa introdujo la idea de que la interacción nuclear se produce por intercambio de partículas. Estas partículas son bosones (no pueden ser fermiones). Son virtuales y no se pueden detectar.

100 Física Nuclear



1. Si la intensidad de las fuerzas nucleares es sólo unas cien veces superior a las electrostáticas, ¿cómo se explica el hecho de que en las reestructuraciones nucleares se involucren energías del orden del MeV, mientras que en los reajustes atómicos aparezcan energías de sólo algunos eV?

2. ¿De qué manera las caracterfeticas del deuterón reflejan las propiedades de la interacción fuerte?

3. ¿Qué conclusión se puede obtener de que el momento cuadrupolar del deuterón sea positivo?

4. ¿Por qué se dice que el deuterón es un estado singlete de isospín?

5. Usando el principio de exclusión de Pauli, encontrar el espín isotópico T del sistema n - p en los estados y ^D.


1. Una explicación elemental de esta diferencia reside en el hecho de quelos nucleones se encuentran empaquetados en el núcleo a una distancia del orden de I fm, vmas cien mil veces menor que el radio de las órbitas electrónicas en el átomo m).

2. (a) Els un sistema hgado, que se puede producir por captura de unneutrón térmico por el núcleo de ^H.

(b) La energía de hgadura es grande, del orden de 2,22 MeV.

(c) Su tamaño, con i? « 1,96 fm, es típico de fuerzas de corto alcance, del orden de 1 fm.

3. Su forma, el deuterón, es ’’amelonado” (técnicamente prolato). Podría se achatado en los polos (oblato) o esférico. Esto se ve con el operador cuadrupolar (2.11)

Qo = 3Z2 -

donde es la tercera componente del vector de posición y r es el raxiio. El momento cuaxlrupolax es el valor medio de esa cantidad. Si es positivo, el valor medio de es mayor que o el de por lotanto el deuterón será prolato, si fuera nulo sería esférico..

4. Como el protón y el neutrón son dos partículas casi iguales (con diferencias debidas a la estructura electromagnética del protón), resulta conveniente considerarlas como dos estados distintos de la misma partícula, el nucleón, algo así como el electrón con espín positivo y el electrón con espín negativo. Se dice que el neutrón forman un doblete de espín isotópico, con el protón con la tercera componente de isospín + y el neutrón -. Sus estados cuánticos se representan por

102 Física Nuclear

\p) =

\n) =

1 12 ’ 2

1 _1 2 ’ 2

Al ser dos estados de la misma partícula, se debe aplicar el principio de exclusión de Pauli. La función de onda debe ser antisimétrica ante el intercambio de sus posiciones o espines. Para los nucleones, el producto

de la paridad espacial, la de espín y la de espín isostópico debe ser negativo (para que sea antisimétrica, según el principio de exclusión). Como las dos primeras son -f (onda S ó D y espín total 1) la tercera, es decir el isospín debe ser -. Es decir espín isotópico O, por eso se dice que está en un estado singlete de espín isotópico.

5. La función de onda debe ser antisimétrica para fermiones (y simétrica para bosones), en el intercambio de las dos partículas.

La antisimetría la constituyen los términos (n/m) de la función de onda, es decir la parte espacial, la de espín y la de isospín. Las tres deben ser antisimétricas (-) o sólo ima.

El sistema puede tener isospines paralelos o antiparalelos, luego T = 0, 1

5 = 1, ya que 25 + 1 = 3 (triplete) L = 1 porque es P

S + L + T = impar, 2+ T = impar =>T = 1

5 = 1, ya que 25 + 1 = 3 (triplete) L = 2 porque es D

S + L + T = impar, 3 + T = impar => T = O


Capítulo 3

Modelos nuclesires

INTRODUCCION MODELOS DE PARTÍCULA INDIVIDUAL

o PROPIEDADES DE LOS NÚCLEOS CON A IMPAR o MODELO DE CAPAS

MODELOS COLECTIVOSMODELO DEL GAS DE FERJVH

o MODELO DE LA GOTA LÍQUIDAO PROPIEDADES COLECTIVAS DE LOS NÚCLEOS PAR PAR o MODELO VIBRACIONAL O MODELO ROTACIONAL

MODELO UNIFICADOo MODELO DE CAPAS ENNÚCLEOS DEFORMADOS

106 Física Nuclear


• Entender la necesidad de establecer modelos que expliquen las distintas propiedades de los núcleos, basándose en determinadas aproximaciones.

• Distinguir entre modelos de partícula individual y modelos colectivos.

• Describir, en primera aproximación, el modelo de capas y, a partir de este modelo, definir el estado fundamental y estados excitados del núcleo, así como su espín y su paridad y predecir los momentos dipolar magnético y cuadrupolar eléctrico.

• Estudiar el modelo del gas de Fermi y las principales conclusiones que se obtienen de él.

• Establecer las bases del modelo de la gota líquida y relacionarlo con la fórmula semiempírica de la masa, basada en este modelo.

• Conocer los modelos colectivos rotacional y vibracional, y en qué se basan.

• Comprender la necesidad del desarrollo de modelos unificados.

3.1 Introducción

El estudio de la estructura nuclear es imposible de abordar de manera exacta. A baja energía (< 2 MeV) los núcleos pueden considerarse como sistemas cuánticos formados por muchos nucleones que, además, interaccionan entre sí a través de un potencial N -N muy complejo.

Para resolver el problema de la estructura nuclear, habría que plantear un conjunto de ecuaciones acopladas describiendo interacciones mutuas de los A nucleones. Incluso no es evidente que sólo existan interacciones a 2 cuerpos.

A alta energía, sobre todo para exphcar las reacciones entre iones pesados, se suelen utihzar métodos derivados de la mecánica estadística (ecuación de estado).

Se sabe que existen núcleos con número atómico Z = l,2, ...,lllyA/^ = 0,1,..., 161. Y recordando lo estudiado anteriormente, sabemos que el radio nuclear es R{A) = roA ^ con ro 1,2 fm, con lo que los radios nucleares son i? < 7,5 fm. Ello es una consecuencia de la incompresibilidad de la materia, o lo que es lo mismo, la densidad nuclear, p = A/V, es constante e independiente de A. Estas características nucleares son consecuencia de la interacción N-N, fuertemente repulsiva a pequeñas distancias (menores que 0,5 ftn) y atractiva a gran distancia (entre 1 y 2 fm).

La energía de hgadura del nucleón menos hgado vale Eb ^ S MeV y su energía cinética, que predice el modelo del gas de Fenni, T ~ 33 MeV. Esto equivale a un momento bastante elevado pr 250 MeV/c, llamado el momento de Fermi, que imphca que los nucleones no están en reposo dentro de los núcleos, sino que se mueven con velocidad muy elevada. Este fenómeno es, de nuevo, consecuencia de la relativamente débil intensidad de hgadura entre nucleones. Dado que la masa de im nucleón es mc ^ 938 MeV/c se podrá abordar con una teoría no relativista.

La velocidad de un nucleón en el núcleo es

Modelos nucleares 107

m V rnc^

y la longitud de Broglie asociada

A = A ^ ^ ~ 4 , 5 f m (3.2)mv mc /j

del orden del radio nuclear, con lo que los efectos cuánticos sí serán importantes.

En cualquier caso, la ecuación básica que describirá los estados propios nucleares será la ecuación de Schrödinger estacionaria:

(3.3)Pero el problema será encontrar la expresión del hamiltoniano H.

Existen dos vías de tratar el problema; se trata de dos tipos de modelos nucleares, que intentan exphcar y predecir un conjunto de propiedades. Se suelen clasificar en:

• Modelos microscópicos. En estos modelos microscópicos, la estructura nuclear se describe en función de los grados de hbertad de los nucleones constituyentes. La función de ondas del sistema será de la forma ^(gi, Q2, ···, Qa), en donde Qí representa la posición f¿, el espíny el isospín Tí del nucleón i. Con ésto, el hamiltoniano se construye sumando las energías cinéticas de los A nucleones e incluyendo términos basados en interacciones de dos nucleones a través de un potencial de2 cuerpos:

1=1 ij

La forma del potencial nucleón-nucleón, no viene dada porninguna teoría; es fenomenològico y en general depende del problema que se quiere resolver.

El problema es que la ecuación de Schrödinger, en los casos A > 4 es engorrosa de resolver. Así, el enfoque que suele darse es el de las interacciones efectivas, en las que un nucleón interacciona con un potencial medio nuclear. Este es el concepto que da lugar a la idea de modelos de partícula individual (denominados en la hteratura modelos single-particle, abreviadamente sp), más fácil de abordar y que ha logrado muchos éxitos en el marco del modelo de capas.

• M odelos macroscópicos o colectivos. Los grados de libertad sonA

ahora las coordenadas colectivas, como i? = ^ r , centro de ma-1 = 1

Asas del núcleo, y Q20 = t 2/x(í i)í momento cuadrupolar, que como

i=l

108 Física Nuclear

puede apreciarse se escriben en función de coordenandas microscópicas (de los constituyentes) y por lo tanto pueden relacionarse ambos enfoques. El hamiltoniano también será función de propiedades colectivas (M,R,V) .

3.2 Modelos de partícula individual

3.2.1 Propiedades de los núcleos con A impar

Los modelos colectivos o macroscópicos no tienen capacidad predictiva sobre los números cuánticos (espín-paridad) de los estados fundamentales de los núcleos con A impar. Estos núcleos presentan una serie de características que es necesario abordar con otro tipo de modelos. Se puede comprobar que los núcleos con A impar reproducen con bastante precisión la idea extrema de modelo de partícula individual. En éste, se supone a los nucleones apareados en una estructura coii = O“·", de forma que las propiedades del núcleo vienen dadas por el nucleón no apareado. El nucleón individual ocupará un estado con momento angular orbital bien definido. Al tener en cuenta el espín del nucleón, se tendrá un momento angular total j] el espín del núcleo será el del nucleón no apareado, J = j, y como V = (-1)^, la paridad fija el valor correcto del momento angular orbital entre los dos posibles £ = j ±^,

Se aborda a continuación el modelo nuclear de partícula individual y se estudian soluciones de la ecuación de Schrödinger. Una vez obtenidas las soluciones de la ecuación de Schrödinger, que da los estados de nucleón individual, para realizar cálculos se podrá utihzar una base de estados con el momento angular del nucleón aislado bien definido:

rP^Jrä) = R^{r) Y^{e^j\fxam)Yt^{e, (3.4)fJUT

En lo que sigue, se representará la función de ondas 'ipj {n£) por la notación

3.2.2 Modelo de capéis

El modelo de capas es mi modelo que describe las propiedades nucleares a partir de la interacción efectiva de un nucleón con un potencial. No se


110 Física Nuclear

consideran las interacciones nucleón-nucleón, sino la de im constituyente con el potencial medio fenomenològico. De aquí el origen de la denominación de modelos de partícula individual

NFigura 3.1 - Energías de partículas a en la desintegración de los isótopos del Rn. Obsérvese el rápido aumento cuando

el hijo, Po, tiene N = 126 neutrones.

Uno de los hechos experimentales bien establecidos es el de la existencia de núcleos con números mágicos.

Z = 2,8, 20, (28), 40, 82 N = 2,8, 20, (28), 50, 82,126

cuyas propiedades más destacadas son:

a) Tienen energías de Ugadura Eb muy elevadas.

b) Tienen discontinuidades en las energías de partículas a emitidas (verfigura 3.1).

c) Tienen energías de separación Sp y 5„ mayores que en núcleos vecinos.

d) Los momentos cuadrupolaxes Q « O, y son esféricos en el estado fundamental.

e) Los doblemente mágicos son muy establesy abundantes en el universo.

Trataremos de explicar esta propiedades mediante el modelo de capas.Se trata de buscar im potencial que de lugar a una estructura de niveles

(que se llaman capas) y proceder al llenado de los estados teniendo en cuenta el principio de exclusión de Pauli.

3.2.3 Modelo de capas esférico

El modelo de capas esférico es un modelo de partícula individual que describe la interacción de los nucleones con un campo medio que representa la ligadura nuclear. No es necesaria la interacción mutua entre nucleones. El hamiltoniano se escribe

H = Y K i n ) con h,{n) = - ^ A i + V{n) (3.5)

siendo V (ri) un potencial central efectivo (tipo Hartree-Fock) que describe la interacción media de im nucleón con el resto de los nucleones del núcleo. Se trata de una interacción a im cuerpo. Este modelo predice rüveles energéticos cuantizados. Las discontinuidades energéticas estarán asociadas a las capas.

La energía se podrá escribir como suma de términos de partícula individual,

E = 'Y e{i)rii (3.6)

en donde c(t) es la energía de cada estado y tií = 0,1 es el operador número de ocupación del estado i.

Si se quiere reproducir la densidad nuclear, se puede intuir que la forma del potencial nuclear medio vendrá dada por ima expresión de tipo Fermi o Saxon-Woods,

con los valores de los parámetros,

Vo ~ 50 MeV R = con ro « 1,2 ftn


112 Física Nuclear

t = 0,55±0,07fm

en donde 4tln3 representa la conocida anchura de superficie (la anchura definida entre el 90% y el 10% de la densidad máxima). Sólo habría que tener en cuenta que para los protones, el potencial cerca de la superficie nuclear será repulsivo, y a gran distancia, igual al potencial de Coulomb (ver figura 3.2).

Los niveles energéticos predichos por estos potenciales, serán ocupados por los nucleones cumphendo el principio de exclusión de Pauh; es decir, no podrá existir más de un nucleón en un estado cuántico.

Para identificar los estados descritos por el modelo de capas, se recurre a la configuración de los nucleones. Esta, informa de manera simplificada cuál es la ocupación de los niveles energéticos. Si es un protón se llama estado 7T y si es un neutrón se llama estado ly. Los estados excitados nucleares corresponderán a estados excitados de los nucleones. Así en el caso del que se observa en la figura 3.3, el nivel 1/2“ podría provenir de im acopla

miento entre (7rpi/2)¡y2 (^^5/2)0 efectivamente, dan mi nivel con espín paridad 1/2“ . El superíndice k de la configuración, representa el número de nucleones en la subcapa incompleta. El subíndice informa del momento angular total de los k nucleones de la subcapa incompleta. Normalmente, las fuerzas de apareamiento acoplan a J = O cuando se trata de un número par de nucleones.

Una de las predicciones más efectivas del modelo de partícula individual en los núcleos con A impar, es que supone que los números cuánticos de espín y paridad del núcleo son los del nucleón no apareado.

Se estudiarán a continuación algunos ejemplos de potenciales con solución de la ecuación de Schrödinger conocida, para ilustrar la forma de los espectros obtenidos y poder compararlos con los resultados experimentales.

** Espectro del pozo esférico inñnito. Se tiene en este caso

Como el potencial es central, la solución a la ecuación de Schrödinger para h{vi) será de la forma

V’n/m(O = ßni(r)l^m(ö,0) (3.9)

en donde además Rniir) =Urü{‘r)/r quedando la ecuación radial,

■/ (Z + 1)


f? (fu[ 2/ír2

En este caso, la solución es

+ n r ) u(r) = Eu{r) (3.10)

y las soluciones para las energías:

en donde son los ceros de la función de Bessel je{KR) con K = y/2fiE/h?, con lo que se obtienen los niveles (orbitales) conocidos, que están definidos por

E1 superíndice —1 indica un estado agujero, es decir capa llena menos un nucleón; el subíndice da el espín.

114 Física Nuclear

{n£). La ocupación de cada nivel es 2{2£ + 1 ) dando lugar a una estructura de capas cuyos números de ocupación (2,8,20,40,92), no reproducen los números mágicos.

E(MeV)

—0000 -•eeeee -•eeeeo

■■•000-ee-

■o e o o o o

Figura 3.3 - Interpretaciones de niveles nucleares por el modelo de partícula individual. El estado excitado l/2 “que aparece por encima de 3 MeV

se describiría como (7rpi/2)^/2 (^^5/2)0 I * paridad — es el resultado del producto de paridades del estado pi / 2 y ¿5/2·

** Espectro del oscilador armónico. El potencial (central) del oscilador armónico.

V(fi) = (3.13)

con uq la frecuencia del oscilador, es una buena aproximación para el potencial efectivo del modelo de partícula individual. Al ser un potencial central (tiene simetría esférica), la función de ondas del sistema podrá escribirse,

(3.14)

Las soluciones paxa las funciones radiales de la ecuación de Schrödinger, para un oscilador armónico, isótropo y tridimensional son,

Rm{r) =

en donde p = r/ y/h/fjLWo y £ los polinomios de Laguerre generahzados.Los niveles de energía,

/ 3\£n = ^ 0 + 2 (3.16)

dependen del número cuántico N del oscilador, que a su vez determina los valores posibles de i.

El modelo predice huJo ~ A\/\fÄ MeV, energía necesaria para excitar un nucleón a ima capa superior.

Los estados están caracterizados por dos números cuánticos N y í,

• N, número cuántico del oscilador (O, 1, 2,...), que caracteriza la capa.

• £ = AT, TV — 2,..., 1 ó O, el momento angular orbital permitido.

Además, están relacionados por N = (2n — 1) -\-í, siendo n el número cuántico principal (o radial).

La degeneración de los estados es = 2 Y {2£ + 1) = (AT + 1){N + 2), dando como número máximo de nucleones (con todas las capas llenas)

2,8,20,40,70,112,168,...

es decir, reproduce los primeros cuatro números mágicos.Se utihza la notación {ni), siendo n el número de nodos de la función de

ondas: da el ordinal de la subcapa (n-ésima vez que aparece la onda i). El orden de llenado de las capas según lo visto es.


K [Is [ip ld,2s [lf,2p] lg,2d,3s lh,2f,3p [li,2g,3d,4s....N 0 1 2 3 4 5 6

Dn 2 6 12 20 30 42 56

E1 número cuántico n no tiene las mismas propiedades que en Física Atómica (n > ¿ H-1), sino que siempre toma los valores n = 1,2,...

Correspondiendo cada capa a AT = O, 1, 2, 3, etc. En la figura 3.4 puede observarse la estructura de capas en función de la energía.

Ejemplos de algunas funciones de onda radiales, son

Ru = 2(i.V7r)'/'‘ e—

Rip =Ru = v/2Vl5(i^V7r)'^V2e-‘' '/2

en donde v — fUjJo/h es el parámetro del oscilador, que vale « ñn“ .

Interacción espín-órbita

Es bien sabido que la interacción N -N depende del espín. La inclusión en el hamiltoniano de partícula individual de un término de interacción espín- órbita, introducida en 1949 por Mayer y Jensen (PNF 1963), Haxel y Suess, describe correctamente los números mágicos,

/i(r¿) = /ic(r¿) + as- í (3.17)

Se suele añadir un término del tipo bP, para desplazar hgeramente los valores de la energía en función del valor del momento angular í. Con esto se consigue que los resultados se asemejen más todavía a los que produce el potencial de Saxon-Woods. Eís decir que el hamiltoniano más correcto sería:

h{ri) = hc{ri) + as - £ + bP (3.18)

La interacción espín-órbita desdobla todos los estados con momento angular orbital Z > O y aumenta la diferencia entre esos niveles energéticos a medida que aumenta l,

^Nlj — (3.19)

116 Física Nuclear

Según Bohr y Mottelson (1969), Ej- — Ej+ ~ \Q{2t + 1)A MeV. Se verifica experimentahnente que el nivel de mayor j (o sea j = t + \/2)

está más ligado. Ello implica que en a£ · s, el factor a < 0. En teoría de perturbaciones, y si el factor a depende de r, la corrección se calcularía:

A5+ = ^ J a(r)|^„<(r)|2dV (3.20)

Incluyendo el término correctivo en ^ los niveles predichos para las energías solución de la Ecuación de Schrödinger serían:


/ Q\ | “ 2 j ~ 2£nij = hiüo N - + 6/ (/ -h 1) + (3.21)

- f (/ + l) j = l - \\ 2/

Ahora, el orden de ocupación de estados, se encuentra utilizando la notación { n £ j ) :

l 5 i / 2 , ( l p 3/ 2 , l P l / 2 ) , ( I C Í 5/ 2 , 2 5 i / 2 , ICÍ3/ 2 ) , 1 / 7/ 2 , ( 2p s / 2 , 1 / 5 / 2 ? 2 p i / 2 , 1 ^ 9 / 2 ) ,

( 1 ^ 7 / 2 j 2 d 5 / 2 , l h i i / 2 , 2 c Í 3 / 2 , 3 S i / 2 ) , ( I / I 9/ 2 , 2 / y / 2 , 2 / 5/ 2 , H 13/ 2 , 3 p s / 2 , 3 p i / 2 ) , . . .

El número de estados posibles en la subcapa n £ j viene dado por 2j -h 1. Se obtiene una distribución de niveles (véase la figura 3.4) en la que aparecen claramente distanciadas las capas completas que reproducen los números

N = 2,8,20,28,50,82,126, IM ,...Z = 2,8,20,28,40,82,114,126,...

prediciendo una isla de estabilidad de núcleos superpesados entre A = 298 y i4 = 310, que todavía no se ha encontrado, aunque recientemente (fines de 1998) se han observado indicios de formación del núcleo con Z = 114 y A = 289.

Tres laboratorios en el mundo compiten en la búsqueda de núcleos cerca de la isla de la estabilidad, Dubna (Moscú), LBL (EEUU) y Darmstadt (D). A ellos se debe el descubrimiento de los núcleos con números atómicos comprendidos entre Z = 93 (Neptimio) y Z = 112 (sin nombre todavía). Los periodos de semidesintegración de estos núcleos son muy pequeños.

118 Física Nuclear

IJ-

5

N = 1

OSClLAIXHt

•4l-

-3d-

l i -

■2 f-

Ih-

•2rI f -

•2s--Id-

\FERMl-WOODS WOODS+SL

Ifsn2f 7(1

M»•■>11/1

'87/2

' « « 1Jin

2pw

lim*1/2

« 5/2

>«»,/21R/2

Is1/2

@

©

O

©

Figura 3.4 - Estructura de niveles predicha por el modelo de capas esférico con acoplamiento espín-órbita. Los parámetros del potencial de Fermi o

de Saxon-Woods elegidos son: Vq ^ 42 MeV y R ^ 10 fm.

Espín-paridad de núcleos con A impar

El modelo de capas permite explicar con éxito los números cuánticos del estado fundamental de los núcleos con A impar.

Para ello se toma como espín del núcleo J = j, el de la capa en la que se encuentra el nucleón aislado (no apareado), y la Paridad V = (—1) queda definida por el momento orbital £ de dicha capa.

Ejemplos:

Utihzando el gráfico de la figura 3.4 vamos a deducir el espín y la paridad de los siguientes núcleos:

r Z = 81 0 I ^ _ y neutrón aislado en lpi/2 , = 1/2 "

I ^ ~ g protón aislado en lpi/2 , = 1/2 "

8 ^ 0 I ^ _ g neutrón aislado en ICÍ5/2 , = 5/2“

f Z = 202oCa < ^ _ 21 neutrón aislado en 1/7/2, = 7/2"


También exphca los núcleos con un hueco (capa completa menos un nucleón), en los que predice el nüsmo que en nucleones aislados.

En el caso de núcleos impar-impar, conviene aphcar las reglas de Nord- heim. Se deíme el número de Nordheim por

^ — jp Ip jn

Las reglas dicen que

si Ai = O será J = \jn - jp\ siAÍ = ±1 será J = \jn T jp\

Aunque existen excepciones a estas reglas, sobre todo en núcleos ligeros. Existen incluso evidencias experimentales de la existencia de capas:

a) Estudiando las distribuciones energéticas de los protones emitidos en la reacción de knock-out ^^C(p, 2pY^B, se observa que siguen distribuciones de ondas s y p.

b) Midiendo la diferencia de la distribución de carga entre l^^Tl y el l^Pb, se observa que sigue la forma esperada por 35i/2, es decir, la del protón extra en el Pb (¡onda s con tres nodos!).

Hay algimas excepciones, en las que se debe reciurir a correcciones no esféricas del modelo de capas.

Sin embargo el modelo de capas tiene poca precisión para magnitudes tales como los momentos multipolares electromagnéticos fiy Q.

Momentos magnéticos dipolares: Líneas de Schmidt

El momento dipolar magnético del núcleo será debido al del nucleón no apareado. El momento magnético vendrá dado por el valor esperado de /i (tomando como eje z el de la dirección del campo B), calculado en el estado de máxima proyección mj = j:

120 Física Nuclear

spcon

= 0‘, m = j \j, m = j ) (3.22)

(3.23)

Para calcularlo se hace uso de la conocida fórmula de Landé,

f ‘>p " J (J T Í) ^ ^ ^

Un nucleón tiene un momento angular total j = £+s, siendo £ el momento angular orbital y s = 1/2 su espín. Por consiguiente los productos

£-J=£^ + \ { f - £ ‘ -s^) (3.25)

s-J = s + ^ { f - £ ^ - s '^ ) (3.26)

siendo fácil comprobar que se obtiene

l sp - j l 9e ± I Y (3.27)

en donde el signo ± indica cada uno de los valores que puede tomar el momento angular total del nucleón, j = i ±1/2.


2 -

-2

1^2

- ^ í- -Hf

$■ +

i t í

1=0 1 2 3 4"'

1/2 3 /2 5 /2 7 /2

Es|An Nuclear

N impar

9 /23 /2 5 /2 7 /2

EsfíSn Nuclear

Z Impar

Figura 3.5 - Las líneas de Schmidt: predicciones de momentos magnéticos para núcleos con A impar. Los valores medidos (+)

están contenidos entre las predicciones del modelo de partícula individual que supone que el momento dipolar magnético

del núcleo es debido al nucleón desapareado.

Las predicciones para las dos paridades posibles da lugar a las llamadas líneas de Schmidt (1937). Los valores experimentales se encuentran cerca de las predicciones de Schmidt, pero hay ima diferencia sistemática (ver figura 3.5). Es como si los nucleones hgados tuviesen un factor giromagnètico hgeramente distinto. La comparación podría mejorarse si se utilizara el factor empírico 0, 6 x 5 . El modelo de Yukawa sugiere que los nucleones tienen una nube piónica que podría exphcar la diferencia de valor de y«. También se concluye que la función de ondas de partícula individual es una aproximación.

Recuérdese que para núcleos con N impar, debe utilizarse los parámetros del neutrón: Qs = -3 ,83 y ge = O, mientras que para Z impar los del protón: gs = 5,59 y ge = 1 .

En cualquier caso, cuando se miden experimentalmente los momentos dipolares magnéticos de los núcleos se encuentra

(3.28)

siendo gj el factor giromagnètico nuclear, cuyo valor puede deducirse directamente de la fórmula 3.27, teniendo en cuenta que J = j.

122 Física Nuclear

núcleo estado JP (M n ) Mex (M n )

i f> N 1/2 - -0,264 -0,28315q 1/2 - +0,638 +0,719

i lds/2 5/2+ -1,913 -1,8941 7 ^

7T lds/2 5/2+ -F4,722 +4,793

Tabla 3.1: Valores teóricos y experimentales del momento dipolar magnético para varios núcleos.

Ejemplos:

1.El momento dipolar del tritio:

( Z = 1 í j = l/ 2 , l = 0^ 2 protón impar, ls i/2 < j = 1 + 1/2 ,

[ signo + en la fórmula (3.27)

~ 2 ^ ~ i I ~ 795/ÍTv

El resultado experimental es = 2,98 muy parecidoal del protón. ' 7 - ?

2.El momento dipolar del ^He:

í Z = 2 í = = °^He j neutrón impar, ls i/2 < j = Z + 1/2 ,

I signo + en la fórmula (3.27

El resultado experimental es fii^He) - —2,13 parecido al del n.

El acuerdo entre el modelo teórico y los datos experimentales es bastante bueno para núcleos ligeros. La tabla 3.1 contiene una comparación de valores para núcleos con = 15 y ^ = 17.

M omentos cuadrupolares eléctricos

El momento cuadrupolar Q, en el modelo de partícula individual en un estado \j,m >, se calcula:

{Q20) = ( ^ jm \y j^ r ^ Y 2o\jm^ = +

en donde (r^) = f dru*{r)r"û{r) = Qo es el momento cuadrupolar intrínseco.Si se trata de un núcleo con im protón aislado, fijando m = j en la

expresión (3.29),

^ ~2{j + l)

y como se puede aproximar (r^) = entonces Q ~ prediciendo valores comprendidos entre 0,015 barn (para A = 10) y 0,5 barn (para A = 220), es decir de 2 a 3 veces más pequeños que los valores medidos experimentalmente. En el caso de lantánidos y actíiñdos la diferencia es mucho mayor, pudiendo llegar a ser de hasta un orden de magnitud.

Para núcleos con un neutrón aislado se debería tener Q = O ya que el neutrón no tiene carga; sin embargo no sucede así experimentalmente. Se puede suponer que el momento cuadrupolar es debido al movimiento de los Z protones, encontrándose el neutrón aislado en ima posición dada f / { A - l ) , con lo que

Qan — (3.31)

o sea, Qsn ~ A~ / , que predice valores de 10“ a 10“ barn.


En capas con más de im protón individual, se pueden sumar las contribuciones de cada nucleón, teniendo en cuenta que un “hueco” se comporta como Q = — Qsp. Por lo tanto si se tienen protones en una capa (máximo es Tix = 2j + 1),

Q = <5.. ( l - (3-32)

124 Física Nuclear

m(Mat) (5 (barn)n -1,91 -

P 2,79 -

D 0,857 0,00288-1,89 -0,0250,09 -

4,73 -

61 Dj/ - +2,46,17 -

- + 8,0

Tabla 3.2: Valores experimentales del momento dipolar magnético y cuadrupolar eléctrico para varios núcleos

En la tabla 3.3 se muestran algimos valores experimentales de momentos magnéticos y momentos cuadrupolares eléctricos de algunos núcleos, que ilustran los conceptos desarrollados anteriormente.

La figura 3.6 muestra la distribución de momentos cuadrupolares reducidos,

Qred^Q/{Ze{R'^)) (3.33)

medidos experimentalmente en núcleos con Z 6 N impar. Esta magnitud, permite comparar las deformaciones nucleares, independientemente del tamaño del núcleo. En la figura anterior se observa que Q ~ O cerca de los números mágicos, y que abundan más los núcleos prolatos.

En conclusión, los valores de los momentos ^ y Q no los reproduce con precisión el modelo extremo de partícula individual. Sin embargo este modelo da la tendencia correcta de dichos valores y da también las variaciones relativas observadas. Las diferencias entre valores predichos y medidas experimentales aumentan en los lantánidos y actínidos, debido sobre todo a la deformación nuclear. Para Z y/o N elevados las discrepancias con las predicciones de Q en el modelo de partícula individual, llegan a ser de hasta un orden de magnitud.


T—I—I—I—I—I—I—I—r-i—I—I—r

- 0.10' 20 ' 40 feo ' 80 ' lóo' 120140

H (inpares)

Figura 3.6 - Valores experimentales del momento cuadrupolar reducido, cuya definición puede verse en la escala de ordenadas.

Ee una magnitud que permite comparar los momentos cuadrupolares de los núcleos, independientemente de su tamaño.

3.3 Modelos colectivos

Los modelos colectivos tratan de explicar propiedades globales de los núcleos. La idea básica en la que se apoyan los modelos de tipo macroscópico es la de tratar de describir el núcleo como un fluido, es decir, sólo interesa el movimiento colectivo de los nucleones.

126 Física Nuclear

3.3.1 Modelo del gas de Fermi

El modelo del gas de Fermi puede considerarse uno de los primeros modelos “colectivos” en el sentido que es capaz de explicar propiedades globales de los nucleones, sin tener en cuenta la forma del potencial nuclear responsable de la cohesión de los nucleones. Responde al concepto estadístico de un gas confinado en un volumen finito V muy pequeño. Como se trata de un gas cuántico (se aplican las leyes de la mecánica cuántica) y son fermiones, debe cimiplirse el principio de exclusión de Pauli. Como consecuencia, los nucleones van ocupando estados hasta el de mayor energía (energía de Fermi).

El estado fundamental de los núcleos puede ser descrito como un gas de Fermi degenerado.

/"i' I

I I

I 'II

Figura 3.7 - Pozo nuclear en el modelo del gas de Fermi.Los protones y neutrones tienen diferentes potenciales,

ya que los protones, tienen además carga eléctrica.

Igual que en átomos con Ng electrones, en el caso de los núcleos se sabe que los nucleones (p, n), separadamente, obedecen el principio de simetrización de Pauli, o sea deben cumphr la estadística de Fermi-Dirac. Se supone que los nucleones están confinados en un volumen espacial V y están ligados por una fuerza que se puede representar por un sencillo pozo de potencial como el de la figura 3.7.

Para N, Z » 1 se tiene un número de estados en el espacio fásico

n =/l3

rop^y h )

(3.34)

Separadamente, dado que los nucleones tienen espín 1/2, se podría escribir:

^ = 2 = 3 ^ » ) “ (3.35)

A T = O®, todos los estados están ocupados hasta el llamado momento de Fermi.

Ejemplo:

Suponiendo un núcleo con Z = N = A/2, en el que Pf = — PF'> como

V - y = \ ,r lA

teniendo en cuenta la expresión (3.35) se tendrá

7 = ^ jj3 _ 337t2;i3^ 37r2;i3


como Z = A¡2

despejando se obtiene

que como se ve es independiente de A, tomando h — 197,33 MeV-fm/c y tq = 1,2 ñn, resulta

Pf « 250 MeV/c

o sea,

£ . = | | «3 3 M e V

lo que predice para los nucleones, con energía de ligadura media ~ 8 MeV, im pozo nuclear de profundidad

Vo = Ef + ^ ^ 40 MeV

Se ha comprobado experimentalmente, al estudiar las colisiones e~ + N, que los nucleones se mueven con pp en el interior de los núcleos.

Como el gas de Fermi es im gas de fermiones, la energía Ep representa la energía del estado de mayor energía ocupado cmnpliendo el principio de exclusión. La energía media es

j ; - -E p ‘d p _ 3^

El modelo del gas de Fermi permite justificar el término de simetría que se incluye en la fórmula semiempírica de masas. En efecto, si se tienen en cuenta, separadamente, la energía de protones y neutrones:

(3.38)

basta con sustituir las densidades {1 + {Z — N )/A), y la correspondiente a p„ respectivamente, y tener en cuenta la dependencia en Z y N de E^ y E^ para obtener una desviación respecto al valor medio:

+ ....] (3.39)

en donde se observa que el segundo término tiene el mismo comportamiento que el de simetría.

Sin embargo, hay muchas propiedades nucleares inexplicables por estos modelos, por ejemplo, la estructura de niveles energéticos o los espines y paridades de los estados nucleares, la existencia de números mágicos: núcleos con gran estabihdad y muy abimdantes, los momentos eléctrico y magnético, etc. Para ello se han utilizado ideas atómicas, debido a las innmnerables evidencias de una estructura nuclear en la que los nucleones llenan capas.

3.3.2 Modelo de la gota líquida

El modelo de la gota líqmda supone el núcleo como un flmdo incompresible. Ya se ha visto una de sus predicciones más destacadas, la fórmula semiempírica de masas. Resumiendo:

1. Da cuenta de los términos dominantes de las energías de ligadura Eb {Z, N ) nucleares,

Eb/A ~ (av - asA-^/ - acZ'Â-^'^) c (3.40)

128 Física Nuclear

vista en el capítulo anterior. Incluidos los términos de simetría y de apareamiento, esta expresión describe las energías de ligadura total de los núcleos con ima precisión de ±10 MeV.

2. También predice el número atómico Z del núcleo más estable con número másico A:

Zmin = A/il, 98 + 0,015 2/3) (3 4 ^

que es el mínimo de la parábola de masas, o sea, la posición del valle de la estabilidad ¡3.

3. Incluso explica el tamaño nuclear R = debido a la incompresibilidad del fluido de A nucleones.

3.3.3 Propiedades colectivas de los núcleos par-par

El estado fundamental de los núcleos par-par tiene siempre = 0+, debido a las fuerzas de apareamiento de nucleones, cuya energía de ligadura del par o energía de apareamiento es

11,2

sÍAy va de unos 3 MeV para núcleos ligeros hasta 0,75 MeV para A = 220. La energía de apareamiento puede determinarse experimentalmente a partir de las energías de separación neutrónica:

Pn = S n {A ,Z ) -S n {A - l ,Z ) (3.43)

o la fórmula equivalente para Pp en función de Sp para el caso de protones.O sea, nucleones idénticos se acoplan dando im estado de espín 5 = 0, más hgado. Esta fuerza es responsable del término 6 (de apareamiento) de la fórmula de masas.

Sin embargo

1. Existe im nivel con = 2 , excitado, de comportamiento muy regular. Todos los núcleos con estado fundamental O"*· tienen como primer estado excitado un nivel 2+ excepto dos núcleos: ‘“ C'o y en los que el primer estado excitado tiene espín paridad 3“ . La energía de los niveles 2'*' va decreciendo muy suavemente en función de A, y es aproximadamente la mitad de la necesaria para romper un par.Entre A — 150 y 190, los valores de £ (2+) son pequeños y constantes.


P p ^ - j = MeV (3.42)

130 Física Nuclear

2. Existe también (ver figura 3.8) un segundo nivel = 4+ tal que el cociente

, O A < 150, con gran dispersión ,3 A = 150 ^190 y A>220E(4+)/Æ;(2+) = | | !

3. Los momentos dipolares magnéticos son constantes (0,7 —►l,0)/iyv·

4. Los valores de <3(2+) son pequeños para A < 150 y grandes para A = 150 ^ 190. Los momentos Q de los estados fimdamentales de los lantánidos son también muy grandes.

R 3.5

3.0

2.5

2.0

1.5

1.0

....

• ·

• ·• ·

• ·

·> · · · · ·

• ·

• . · ·

1 • | 1 1 l ·

20 40 60 80 100 120 140 N50 82 126

Figura 3.8 - Cociente R = de las energías de los dos primeros estados excitados en núcleos par-par no esféricos,

donde se observan propiedades rotacionales.

El resultado de estas observaciones es que es necesario estudiar dos tipos de movimientos de tipo colectivo:

• Vibraciones alrededor de una forma, en equilibrio, esférica para núcleos ligeros {A < 150).

• Rotaciones de sistemas no esféricos (llamados deformados) para núcleos pesados {A = 150 ^ 190 y A > 220).

Se verá en primer lugar que estos modelos colectivos dan cuenta de la estructinra de niveles energéticos nucleares obtenidos experimentalmente.

3.3.4 Modelo vibracional

Modos de vibración nuclear

El modelo vibracional describe movimientos colectivos de los núcleos, siguiendo la imagen de gota líquida. Se supone que en equilibrio el núcleo es esférico, de radio Rq, aunque es sabido que en la práctica muchos núcleos están deformados en el estado fundamental. El núcleo es un fluido homogéneo y su forma queda descrita por las coordenadas de superficie (también se suelen llamar parámetros de forma) «a/i-

R{0, ()>) = Re + ax^{t)Yx,{0, c¡>) \ (3.44)t A=0 m = - A J

Cada modo de vibración viene dado por A, y queda descrito por los 2A +1 parámetros de forma = —A,..., A), hgados por invariancia rotacionaly no todos ellos independientes. Se ciunple que los estados correspondientes a estos modos vibracionales tendrán momento angular J = Xh y paridadV = (-1)^. Existen pues infinitos movimientos vibracionales. Los más sencillos pueden asociarse al valor de A, y quedarán definidos por el armómco esférico correspondiente:

• A = O, modo monopolar, se trata de una excitación radial. El radio del núcleo cambia con el tiempo según a (í) ya que Yqo es constante. Se denomina modo respiratorio (sólo cambia la densidad). Se asocia a la conocida resonancia gigante isoescalar, que se observa en núcleos con A > 16. El valor de la energía, EO, de estos estados varía como 80/v(A MeV. Para núcleos par-par es una excitación 0+ —> Q·*·. Así se encuentra en los doblemente mágicos (^^0,*°Ca,^Zr,'^°^Pb).


®Idea original de Bohr y Mottelson, quienes propusieron el modelo colectivo geométrico. Más tarde fue desarrollado por Faessler y Greiner.

• A = 1, modo dipolar. Se trata del primer modo en el que existen cambios de forma.

- Isoescalar (T=0), desplazamiento del cdm; la estructura del núcleo no cambia, por lo que este movimiento es insensible a las fuerzas nucleares.

- Isovectorial (T = l), se desplazan ny p en oposición. Es la llamada resonancia dipolar gigante (J^ = 1“ ), estudiada desde 1940. La energía del máximo de la resonancia. El, varía en función de A como 78/<ÍA MeV (imos 20 MeV para el Fe y unos 18 MeV para el Pb) y tiene ima anchura de ^ 6 MeV, independiente de A.

• A = 2, modo cuadrupolar. Este es el modo fundamental del modelo vibracional puesto que da lugar a oscilaciones de formas no esféricas del núcleo. El núcleo oscila entre formas prolato (Q > 0) y oblato (Q < 0), pasando por esférico. Al cuantizar estos movimientos, se asocian con estados de im F o n ó n (cuanto de energía vibracional) CUADRUPOLAR

(J^ = 2" ). También se han detectado resonancias cuadrupolares con una energía E2 ~ 63^“ / MeV.

• A = 3, modo octupolar, con = 3", que corresponde a deformaciones más complejas.

Un hecho general es que los estados asociados a resonancias, ya sean del tipo E0,E1,E2, tienen energías muy elevadas. Son estados con números cuánticos bien deímidos, pero muy alejados del estado fundamental.

**Espectro vibracional de energías

El estudio de los movimientos vibracionales de los núcleos se realiza introduciendo los llamados parámetros de forma a\ ya que son mucho más apropiados que manejando las posiciones individuales de los A nucleones. El hamiltoniano vibracional de orden A, en función de estos parámetros de forma (que grosso modo representan las coordenadas de superficie) se puede escribir en el caso de pequeñas amplitudes de vibración como una suma H = T -\-V, es decir,

2

132 Física Nuclear

= (3.45)

donde

= ^ (3-46)

siendo p la densidad másica del núcleo, y el radio en equilibrio, Üq, puede aproximarse por iío = 1,2 X fm. Representa el equivalente de la “masa” mecánica,formando parte del término de energía cinética y

c , = ¿ (A - 1 ),. . ,3.47)

es el término de energía potencial (A. Bohr-B. Mottelson), que contiene la energía de superficie {as = 18,3 MeV) y culombiana {ac = 0,7 MeV) del modelo nuclear de la gota líquida que ya se han visto en capítulo anterior. Si los modos de vibración están desacoplados unos de otros, al ser H independiente del tiempo (constante del movimiento), la derivada respecto a t da lugar a la ecuación del movimiento,

D x ^ ^ + Cxax = 0 (3.48)

que es la ecuación de un oscilador armónico esférico {x 4- u^x = 0) de frecuencia


"A = (3.49)

Se aprecia que la frecuencia del oscilador deriva de las propiedades de la forma del núcleo (gota o fluido nuclear).

Al cuantizar el oscilador, los estados vibracionales quedan definidos por tres números cuánticos, \N; A/x), donde es el número de cuantos de energía vibracional de multipolaridad A (el llamado fonón, o cuanto del oscilador, por su parecido a la propagación del sonido en la materia). El fonón es un bosón de espín-paridad J = Xhy V = (—1) . En efecto, se trata de un bosón puesto que los valores de A son enteros. El significado de /i es el de la proyección de A. El vacío es el estado |0;00), y el estado correspondiente a 1 fonón se obtiene aplicando el operador creación, a dicho estado vacío.

Los operadores creación y destrucción resultan de cuantizar los parámetros de forma, considerados esta vez como operadores, debidamente normalizados y cumplen las reglas de conmutación de los operadores creación y destrucción de bosones.

K, = 0; [/?,,, = 0; [/3a.. (3-50)

134 Física Nuclear

El hamiltoniano vibracional correspondiente al modo A es:

= + (3.51)/i \ /

en donde h\ es el operador que da el número de fonones de cada proyección/i de la multipolaridad A y cuya expresión es h\y, = Si se suman lasproyecciones,

A

N x = Y ^ nx (3.52)fM=-X

se obtiene el número de fonones de multipolaridad A. De esta manera, la energía de los estados vendrá dada por

Ex = hwxJ2U><f^ + \ ) (3-53)

Puede verse que los niveles están espaciados por la cantidad hüJ\, siendo E\ = N\hüJ\ su energía y N\ el número de fonones de multipolaridad A.

Sea un núcleo par—par en el estado fundamental O“·". El estado vacío (ausencia de vibraciones), será el estado sin fonones (tendrá = 0" ).

Las excitaciones vibracionales cuadrupolares (A = 2) producirán los estados que aparecen en la tabla 3.3.

N° de fonones cuadrupolares Energía Valores posibles de JP0 (fundamental) §fiu;2 0+1 hu)2 2+2 2hW2 0+,2+, 4+3 0+, 2+, 3+, 4+, 6+

Tabla 3.3: Excitaciones debidas a vibraciones cuadrupolares.

En el caso de una vibración correspondiente a dos fonones cuadrupolares, los valores de J posibles van de O a 4, pero la simetría exigida a un sistema de 2 fonones idénticos" excluye los estados 1“*" y 3·*· con lo que los estados posibles quedan reducidos al triplete 0“ , 2" , 4“ de la tabla anterior.

Si se intercambia el fonón 1 con el 2, la función de ondas no debe cambiar de signo ya que se trata de un sistema de bosones.


De hecho se cumple que

|2; JM) = I ^ [1 + (-1)·^] (22J|mV 'M )/ ? + | 0 ;0 0 ) (3.54)

luego sólo pueden existir estados con J par.

!Í:5l6+.3+4+:

E(KeV)

1.

. - i

.06

" H T•09 j ' 1..36

20912074

193619291916

.03 .01 .03

►1615

128612701165

488

11848Cd

Figura 3.9 - Ejemplo de estructura de tipo vibracional de niveles en el ^ Cd.

Se habla de triplete (2 fonones) o quintuplete (3 fonones) cuadrupolar. La energía de cada estado de un multiplete depende del número de fonones cuadrupolares que origina el multiplete (por ejemplo en el caso de fonones cuadrupolares, N2), es decir

136 Física Nuclear

= huj2 { n 2 + 0 (3.55)

El modelo predice que todos los miembros del multiplete tienen la misma energía. O sea, en principio los tres niveles del triplete de 2 fonones cuadrupolares están degenerados en energía.

Experimentalmente se observa que los niveles del triplete (quintuplete) de 2 (3) fonones cuadrupolares no aparecen degenerados en energía, sino que tienen energías ligeramente diferentes; ello es debido a la existencia de fuerzas residuales que no se han tenido en cuenta en el hamiltoniano. Un ejemplo es el con losniveles (O, 0,558, [1,133, 1,208, 1,283]) MeV, con los números cuánticos esperados (0“ , 2" , [O···, 2·*·, 4 · ]), o su isótopo que puede verse en la figiura 3.9.

Las transiciones entre niveles vibracionales tienen lugar por emisión de fotones (son transiciones electromagnéticas). Es la espectroscopia gamma la que permite estudiar los niveles energéticos de los núcleos para compararlos a las predicciones de los modelos.

Aparte de la estructura cuántica de niveles predichos por el modelo vibracional (los debidos a fonones dipolares o multipletes de fonones cuadrupolares, etc.) existen otras predicciones que pueden entenderse por la propia natm*aleza colectiva del modelo. De entre ellas conviene tener presentes:

1. El momento dipolar magnético de estados colectivos (tanto vibracionales como rotacionales) se calculará

=(4)m(./) = [ J - , ^ (3.56)

Luego para los niveles excitados 2 , estarán comprendidos entre 0,8 y 1,0

2. El momento cuadrupolar eléctrico del estado fundamental de los núcleos par—par será prácticamente nulo, Q ^ O, ya. que en equilibrio son núcleos esféricos.

3. La relación entre niveles energéticos £ (4···)/£’(2“'") = 2,0, ya que E oc N2, número de fonones cuadrupolares, lo que puede observarse para A < 150 (lo que corresponde a < 82 en la figmra 3.8).

**Vibraciones cuadrupolares y deformación nuclear

De lo visto anteriormente se pueden ampliar las siguientes predicciones del modelo vibracional:

1. La frecuencia del oscilador, W2, puede determinarse experimentalmente a partir de la diferencia entre niveles energéticos (entre el singlete y el triplete por ejemplo), y a partir de ahí encontrar una relación entre los coeficientes C2 y D2, ya que hüü2 = hy/C^/D .

2. La deformación media de un núcleo, {oí2 ) = {N] Xfi\á2 \N; Xfj) = O, puesto que el operador á es proporcional al operador destrucción y el valor esperado anterior se anula.

3. Al contrario que en el caso de la deformación media, la deformación cua

drática media, A/x| ^ \ct2fif está relacionada con la

energía del estado vibracional:

= C2 (3.57)

En efecto, el teorema virial dice que el valor de la energía está relacionado con el valor esperado de la energía potencial: {E) = 2 (V). Al apUcarlo a las vibraciones cuadrupolares dado que E2 = h j2{N + 5/2), la energía del nivel E " se relaciona con la deformación cuadrática media del núcleo según (3.57).

Así por ejemplo, para el estado fundamental, /?q = 5/l/(2Z)2^2)·

4. A partir de la definición del radio i?, se tiene que la desviación cuadrática media del radio nuclear es (Aií^) = Üq (^^)·

5. El momento cuadrupolar de un estado excitado se calcula

Q = ^ ( íV;Am = A||Q2o||ÍV;Am = a ) (3.58)

Aquí se trata del momento cuadrupolar eléctrico colectivo, debido a la estructura de carga nuclear. Sea Po densidad de carga; como la definición del momento cuadrupolar es


Q2l = Po í r^Y2^{n)(fr (3.59)Jnudeo

resultaQ = - ^ ñ Z e P ^ (3.60)

El estudio de la estructura de niveles se lleva a cabo mediante espectroscopia 7 . La desintegración de un estado cuadrupolar viene dada por el valor esperado del operador cuadrupolar. La probabilidad de desintegración 7 , por ejemplo del estado 0" del triplete al 2+ del singlete,

B{E2,Q+ - 2+) = \ {2^W Q 2M )[ = (3.61)

en donde los factores de espín tienen en cuenta la multiplicidad de estados inicial y final. Se observa algo importante; la probabilidad de desintegración 7 (o lo que es lo mismo, la vida media del estado) informa también sobre la deformación.

Las predicciones de este modelo son bastante buenas para núcleos que en el estado fundamental son esféricos y están situados cerca de capas cerradas; sin embargo, las predicciones para el momento cuadrupolar Q y las probabilidades de desintegración B{E2) no suelen ser muy buenas.

3.3.5 Modelo rotacional

Ya se ha visto que los núcleos con capas cerradas y, por supuesto, los núcleos mágicos tienen simetría esférica. En las regiones alejadas de los números mágicos pueden encontrarse núcleos deformados, cuya forma en equilibrio no es esférica. Ello es consecuencia de la inter-relación entre:

• La fuerza nuclear de corto alcance.

• La fuerza culombiana, repulsiva, de largo alcance.

• La fuerza centrífuga de un núcleo en giro.

Típicamente los núcleos deformados suelen encontrarse:

• Entre las tierras raras, A ~ 170.

• Los actínidos, A > 220.

• Entre núcleos de la capa 5 — d, es decir los que tienen número másico A ~ 2 4 .

138 Física Nuclear


Los estados excitados de los núcleos de la familia de los lantánidos o tierras raras (150 < ^ < 190) y de los actínidos (220 < A < 250) son núcleos superdeformados. Se trata de núcleos cuyas formas en equilibrio son no esféricas.

Un núcleo deformado podrá tener distintos estados energéticos que corresponderán cuánticamente a los estados posibles de asimetría azimutal.

Hamiltoniano rotacional

Figm-a 3.10 - Sistema de referencia para un núcleo deformado con simetría axial. J es el momento angular total, / el intrínseco y

M y K las terceras componentes respecto al eje del laboratorio (z) y el eje intrínseco (z ') . ñ es el vector que representa la rotación colectiva

que se suma al momento angular intrínseco / para dar J.

Clásicamente la energía rotacional de im objeto con un momento de inercia I , girando con velocidad angular u es

(3.62)

ya que J = Xw. Cuánticamente, el hamiltoniano será

Si se supone que el núcleo tiene simetría axial y llamando = J2 = X, queda

+ (3.63)

Para realizar cálculos, pueden tomarse:

• Coordenadas intrínsecas (1,2,3). Entonces J3 IJM/C >= Kh\JMK >.

• Coordenadas laboratorio (x,y,z), en las que JM definen los estados con momento angular bien definidos. Se cumplirá:J^\JMK >= J{J + l)h^\JMK > y J,\JMK >= Mh\JMK >.

En efecto, para definir la orientación en el espacio de im objeto en rotación son necesarios tres parámetros (los ángulos de Euler a, /3,7 ). Cuánticamente, se toma \ JM K >, siendo K la proyección de J en el eje de simetría del núcleo (el sistema intrínseco). K toma los mismos valores que la proyección de J en el eje del laboratorio (M ): de — J a J.

Para cada estado intrínseco del núcleo se tiene una banda rotacional, es decir, un conjunto de niveles con momento angular J distinto y dado por:

E j = ^ J { J + 1 ) + E k (3.64)

siendo Ek el valor base de la banda rotacional, que contiene la contribución de la parte intrínseca de la función de ondas. El núcleo deformado quedará caracterizado una vez se conozca el momento de inercia I .

El momento angular total J de los estados pertenecientes a una banda rotacional, por conservación de la Paridad, toman una serie de valores que dependen del espín y paridad, de la base, que es lo mismo que decir que dependen del estado intrínseco; así si la banda rotacional comienza a partir de un estado base:

• = 0“ dará lugar a una serie de niveles con J = 0,2,4,... y V = +.

140 Física Nuclear


= O dará lugar a una serie de niveles con J = 1,3,5,... y V = —.

• K > O dará lugar a una serie de niveles con J = K, AT -h 1, A" -h 2 , y paridad + ó —.

KeV5" 827

10 + 776

.'»■ 732

1" 680

8^ 518

6+ 307

4^ 148

45

0^ 0

13» j j 92 ^

Figura 3.11 - Ejemplo de estructura tipo rotacional de niveles en el

Por ejemplo, para los núcleos par—par las bandas rotacionales que surjen del estado fundamental (O“’") serán estados con espín-paridad: O“*“, 2“··, 4“ , 6“ , 8" , Ello se encuentra efectivamente en los espectros de:

(0; 91,4; 299,5; 614,4; 1024,6; 1518,1; 2082,7) keV (0; 100; 321; 641; 1041; 1500; 2010; 2560) keV

En estos núcleos pax-pax, el movimiento intrínseco de los nucleones de valencia tiene momento angular nulo {K = 0). En estos casos los niveles nucleares se deben a la rotación colectiva exclusivamente.

Se comprueba también que este modelo predice correctamente el cociente E{4'^)/E{2'^)= 3,33, que se observa en los lantánidos y actínidos (véase por ejemplo el caso del de la figura 3.11).

La predicción para el momento dipolar magnético de estos núcleos es la misma que en el caso del modelo vibracional:

tîJ) = ( j j ) ^ (3-65)

M omentos de inercia nucleares

Puede compararse el valor del momento de inercia experimental de los núcleos con algunas formas conocidas.

Sea un núcleo de forma elipsoidal. Se introduce el parámetro de deformación:

1 / 1 6 7 t AR R s - R±' ’ “ s V T ' r · “ — R—

con lo que el elipsoide puede parametrizarse

R{e,<l>) = R[l+0Y2o{9,<P)] (3.67)

Con esta definición, el momento de inercia del elipsoide rígido toma el valor

Irig = lM R \ l + 0,3W) (3.68)5

en donde se verifica que si = O se obtiene el momento de inercia deuna esfera rígida. Tomando A « 170, valor representativo de los núcleoslantánidos, el momento de inercia vale h^/2Irig ^ 6 keV.

Si por el contrario se supone que el núcleo es im fluido (contenido por ejemplo en una vasija elipsoide), su momento de inercia vendría dado por

Ifluido = (3-69)

con lo que se obtiene, h /21 finido ~ 90 keV.Para núcleos con el primer estado excitado E{2'^) = 90 keV, se verifica

que el momento de inercia vale unos 15 keV, lo que no coincide con ninguno de

142 Física Nuclear

los casos anteriores utilizados. El núcleo tiene propiedades que se encuentran entre un sólido rígido y un fluido.

También puede relacionarse la deformación nuclear con el momento cuadrupolar intrínseco. Recuérdese que por definición el momento cuadrupolar intrínseco es:

Qo = J (3 ^ - r^)p{r)df (3.70)

si, por ejemplo, el núcleo tiene forma de elipsoide rígido,

Qo = - ^ R ^ Z 0 ( l + O,16l3) (3.71)VoTT

que relaciona el parámetro de deformación nuclear 0 con el momento cuadrupolar eléctrico intrínseco. Si se utiliza la parametrización de los semiejes del elipsoide (a, 6), se demuestra que el momento cuadrupolar es

eQo = |eZ(a2 - = êZe'^ (3.72)O o

con

Para un núcleo de A nucleones, deformado axialmente y en primer orden de la deformación ¡3, el momento cuadrupolar vale

Q o = Í < J 2 ^ Í > 0 (3-74)t=l

Experimentalmente, se mide el momento cuadrupolar en el sistema laboratorio. Su relación con el momento intrínseco es:

3 K ^ - J { J + l) .

- (J+l)(2J + 3)‘?‘·

En general, el momento de inercia nuclear puede mantenerse constante. Sin embargo para estados con espín muy elevado (como por ejemplo en el ^^í/), sucede que el momento de inercia disminuye con la frecuencia de rotación w, para después volver a aumentar. Es el fenómeno de backbending, relacionado con el apareamiento de los nucleones.

Se denomina estado yrast al de mínima energía para cada banda rotacional (cada espín).


3.4 Modelo unificado

Se denomina así al modelo que trata de asociar predicciones del modelo de capas (de partícula individual) con el modelo colectivo. Se distinguen dos variantes. El modelo de capas de muchas partículas y el modelo de capas en núcleos deformados.

En el modelo de capas de muchas partículas se supone que todos los nucleones que se encuentran en una capa no llena, contribuyen, a través de interacciones residuales, a configurar la estructura de niveles.

3.4.1 Modelo de capas en núcleos deformados

La existencia de núcleos deformados en equihbrio, produce desviaciones respecto a las predicciones del modelo de capas esférico, en el que se supone que los estados se obtienen a partir de ima partícula individual en un potencial medio esférico.

Sea un núcleo deformado axialmente. El hamiltoniano será ahora:

H = hc + h0 + ae-s + bP (3.76)

con hc(ri) = + V{ri), en donde V{ri) = es el potencial de unoscilador armóiüco isótropo tridimensional, que caracteriza la parte esférica del potencial y

hp = -tiwyí3Y20 (3.77)

representa la deformación® debida a un campo cuadrupolar. Los estados propios de este hamiltoniano reciben el nombre de orbitales de Nilsson, que fue el físico nuclear que los calculó por primera vez.

Ahora, en el caso de núcleo deformado, el momento angular j ya no es un buen número cuántico. Los núcleos esféricos tienen por números cuánticos \N£j >. En el caso de un núcleo deformado axialmente se denomina íí a la proyección del momento angular según el eje de simetría y m , la proyección de J sobre el eje del laboratorio, sigue siendo un buen número cuántico.

144 Física Nuclear

^Recuérdese que Q20 = T‘ \ J ^ y 2o, y el parámetro de deformación: 0 = 5^ / ^ ^

Los estados de Nilsson se obtienen al desarrollar

\N Ü > = Y l C m A N ejü > (3.78)ej

donde los coeficientes Cníj dependen de la deformación nuclear (3.Pero para especificar unívocamente un estado se necesitan dos números

cuánticos más:

• ri3 proyección de N según eje de simetría; N =

• A proyección de í en eje de simetría; A = ±nj_, ±(n_L - 2 ) , ± 1 ó 0.

Los niveles energéticos vienen dados ahora por la simia de las tres proyecciones

3

l/2)/kJ¿ = (ri3 -h l/2)fiu;3 -h [{N — ns) + (3.79)i=l

La frecuencia media del oscilador toma la forma uq — uj ) =|(2o;_l + o;3) siendo uq la misma frecuencia que en el caso esférico.

Ahora existe una relación entre la frecuencia y la deformación ¡3 =J UJQque es «

En el esquema de Nilsson se suele tomar fifiVnsA], o también [A^naAÍÍ] en función de 0 (véase la ñgura 3.12).

La conclusión es que ahora, la ordenación energética de niveles no es la del modelo esférico (ver figura 3.4) sino que es función de la deformación /? como acaba de verse en la figura 3.12. Así por ejemplo, núcleos por encima del van llenando las capas sd y son prolatos; al calcular los niveles energéticos, se encuentran diferencias respecto al modelo esférico. Más convincente es la predicción de espín-paridad de núcleos; por ejemplo ‘ ^Na, que deberían ser — b/2 se encuentran 1/2+, l/2+,3/2''· y 3/2''· respectivamente, de acuerdo con los resultados experimentales.

Si sólo la partícula no apareada determinase TODAS las propiedades nucleares se tendría por ejemplo que = ^Ca, lo que no sucede. En el ‘ C a deben de contar los 3 neutrones de la capa I / 7 / 2 incompleta.

Es evidente que la idea de campo central o de potencial medio nuclear no es suficiente. Por ello se habla de interacción residual, como ima fluctuación alrededor del potencial medio. En el modelo de capas, ésta es la fuerza de apareamiento.


146 Física Nuclear

-0.4 0.2 0.4- 0.2 0.0

D e f o r m a c i ó n ( p )

Figura 3.12 - Espectro de órbitas de partículas de un potencial esferoidal (iV, Z < 20) caculado por Bohr y Mottelson. Los niveles de energías están

en números de oscilador y se representan en función del parámetro de deformación /? = AR/Rq.


Capas (modelo de) - (página 109) Nombre genérico para indicar los modelos nucleares en los que se considera que los nucleones en el núcleo tienen un comportamiento análogo al de los electrones en la corteza electrónica del átomo. Así se distribuyen en capas (los nucleones) de manera semejante a la estructuración de los electrones en el átomo.

Estados rotacionales - (página 131) Estados excitados del núcleo debidos a la rotación de un núcleo deformado.

Estados vibracionales - (página 130) Estados excitados del núcleo debidos al movimiento colectivo de sus constituyentes de un modo oscilatorio.

Gas de Fermi (modelo del) - (página 126) Considera el movimiento de los nucleones en el núcleo, moviéndose independientemente como si fuera un gas degenerado.

Gota líquida (modelo de la) - (página 128) Modelo nuclear en el que el núcleo se considera que tiene un comportamiento similar al de una gota de líquido incompresible. Los nucleones del núcleo tienen el nüsmo papel que las moléculas de una gota.

Modelo Nuclear - (página 108) Imagen del núcleo que describe aproximadamente su comportamiento. Cada modelo se basa en diferentes grupos de hipótesis simplificadoras.

Número mágico - (página 110) Son los números 2, 8, 20, 28, 50, 82, 116. Cuando un núcleo tiene un número de protones o neutrones igual a un número mágico, tiene una gran estabihdad en relación con sus vecinos, consecuencia de tener llena una capa.


Resumen

• Al tratar de generalizar los resultados obtenidos en el estudio de la interacción nucleón-nucleón a núcleos más pesados, se encuentran serias dificultades ya que el tratamiento matemático para im problema de muchos cuerpos es de gran complejidad.

• Para el estudio de los sistemas se deben adoptar una serie de apro- ximaxiiones que hagan el problema más asequible, matemáticamente hablando, y que los resultados obtenidos tengan significado físico y se aproximen a los resultados experimentales. Cuando se realiza esto se establece un modelo nuclear.

• Para que un modelo nuclear sea satisfaxítorio debe seguir los siguientes criterios:

— Estar en buen acuerdo con las medidas previas de las propiedades nucleares.

- Predecir propiedades adicionales que pueden ser medidas en nuevos experimentos.

• Cada modelo se enfrenta al problema de la sistematización del núcleo desde distintos ángulos y con distintas aproximaciones y los resultados que se obtienen exphcan determinadas propiedades.

• El modelo de capas supone que los nucleones poseen órbitas individuales bien definidas. Describe las propiedades nucleares a partir de la interacción de un nucleón con un potencial. Los niveles energéticos en este modelo deben ocuparse por nucleones que cumplan el principio de exclusión de Pauli. Este modelo predice bien los espines y la paridad de los núcleos con A impar.

• La Interacción espin-órbita tiene en cuenta la interacción entre el espín y el momento cinético orbital de un nucleón dentro del núcleo. Cada l y s se combinan para formar un j.

• En el modelo del gas de Fermi los nucleones son independientes y se presentan confinados en un volmnen nuclear. Se describen por ondas planas, análogamente a los electrones en los sólidos.

148 Física Nuclear

• El modelo de la gota líquida supone al núcleo como im fluido incompresible. Predice bien la estabilidad de los núcleos a través de la fórmula semiempírica de la masa. Explica el tamaño nuclear R - debidoa la incompresibilidad de los nucleones.

• El mxKlelo vibracional describe el movimiento colectivo de los núcleos, como ocurre con una gota. Se define el fonón cuadrupolar como un cuanto de vibración colectivo, con espín-paridad 2+. Los núcleos deformados en el estado fimdamental también presentan estados excitados vibracionales.

• El modelo rotacional se aplica a núcleos superdeformados, que pueden tener estados energéticos que corresponden cuánticamente a los estados de asimetría azimutal.

• El modelo unificado trata de asociar prediciones del modelo de capas con el modelo colectivo. La energía de los nucleones de una capa varía con la deformación del núcleo.


150 Física Nuclear


1 . ¿Cómo se explica el acoplamiento espín-órbita en el modelo de capas?

2. ¿Qué significado físico tienen los números mágicos?

3. Determine el espín y la paridad de los siguientes núcleos en el estado fundamental: 27C0

4. Calcule el momento dipolar magnético de los núcleos del ejercicio anterior.

5. Aplicando el modelo de capas esférico y suponiendo que el núcleo puede ser descrito por un pozo de potencial rectangular de paredes infinitas, con Vo = 2 0 MeV y radio i? = 6 fin, deducir el esquema de niveles energéticos de los estados S.


1 . Se considera el acoplamiento espín-órbita en Física Atómica, con la diferencia de que en el caso nuclear la fuerza espín-órbita, se produce entre nucleón-nucleón. Se etiquetan los niveles con un momento angular total j = 1 + s.

Un nucleón tiene s = 1/2, de manera que los valores posibles de j son j = l + l/ 2 6 j = l - l/ 2 .

La degeneración de cada nivel es {2j -I-1) que da lugar a mj valores.

Considerando los niveles de en el modelo de capas, los 8 neutrones lum Uenado las capas, queda en cambio im neutrón desapareado. En el modelo de capas , el nucleón desapareado determina las propiedades del núcleo. El neutrón desapareado está en el nivel P1/2 . Podemos predecir que el estado fundamental del tiene espín 1 / 2 y paridad impar, puesto que la paridad la determina (-1 )'.

2 . Se llaman números mágicos a los números de protones y neutrones para los que los núcleos son especialmente estables. Corresponden a un valor alto de energía de enlace, por eso son muy estables . Los números mágicos están relacionados con el modelo de capas, que supone que los nucleones están en órbitas o capas como los electrones en el modelo atómico. Son los números de Z ó N para los que las capas están llenas.


3.

^Cr I ^ _ 2 9 Desapareado el neutrón que está en P3/2 ~ 2

% C o [

4.

_ 2y p 7"~ Desapareado el protón que está en /7/2 ^ ~ 2

“ C'rj J = Z + 1;5, = 0=^m = 5* = -1.91a n

\ Z l J = ^-l·i;5, = l= ^ / i = (J-i)5¡ + P3 = 9,29Miv

5. La ecuación general de ondas radial, expresión similar a (3.10), es

U{r) = O (3.80)

152 Física Nuclear

dr 2

donde V{r) es el potencial que describe el sistema y m la masa del nucleón. Como se trata de estados S resulta / = 0. Y para im pozo rectangular de paredes infinitas (3.8)

V{r) -Vo 0 < r < Roo r > R

La expresión (3.80) se puede simplificar, quedemdo

(PU{r)dr^

donde

-K ^ U {r ) = 0 para r < R (3.81)

La solución general de la ecuación diferencial (3.81) es del tipo

U{r) — Asen{Kr) — Bcos{Kr)

{

Si se tiene en cuenta las condiciones en los límites

r = O — > f/(0) = 0 ^ B = 0r = R ^ U{R) = O => ^lsen(iíií) = O KR = nir ^ K =

n es el número cuántico radial, que puede tomar los valores 1, 2, 3....Por lo que

U{r) ^ A s e n {^ )

La constante A se obtiene de la condición de normedización.

Despejando la energía de (3.82)

Sustituyendo los valores correspondientes

h V (6,58 X 10-22 MeV · s)2mi?2 2 x 939 MeV/c2x (6 x lO-is m)

= 6,32 X 10-‘^MeV(s/m)2 x (3 x 10® m/sf = 5,7 MeV

Por lo queEn = 5,7n , en MeV

Los primeros niveles energéticos de los estados S serán

15 — £;i5-5 ,7M eV 25 — > ^ 2 5 = 22,8 MeV 35 — £ ^ 3 5 = 51,3 MeV


Parte II

[Desintegraciones nucleares y radiactividad

Capítvdo 4

Radiactividad y desintegración nuclear

INTRODUCCIONo GENERALIDADES

LE Y DE DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA

TEORÍA CUÁINTICA DE LA DESINTEGRACIÓN RADIACTIVATIPOS DE DESINTEGRACIONES NUCLEARES

o DESINTEGRACION ALFA ; DESINTEGRACION BETA -■ DESINTEGRACION G AMULíV o FISION ESPONTANEA o E M S IÓ N DE NUCLEONES

SERIES NATURALES DE ELEMENTOS RADIACTIVOS

CADENAS RADIACTIVAS. ECUACIONES DE BATEMAN

o APLICACIONT-:S DEL EQUn.IBRIO R.\DLA.CTIVO

RADIACTIVIDAD ARTIFICIAL

DAT ACIÓN RADIACTIVA>- D ATACIO NPORC 14

DAT ACION GEOLOGICA

157

158 Física Nuclear


• Definir raxiiactividad, nucleido radiactivo, proceso radiactivo.

• Explicar las hipótesis fundamentales de las desintegraciones radiactivas.

• Definir de las diferentes magnitudes que caracterizan la evolución temporal de las sustancias radiactivas y las imidades más comimes en las que se expresan. Relacionarlas.

• Elstudiar las bases de la teoría cuántica de la desintegración radiactiva.

• Deducir las leyes de evolución temporal de una sustancia radiactiva en los posibles casos: una sola sustancia, ramificaciones, cadenas. Interpretación y reconocimiento en cada caso de las características más importantes que se pueden obtener de estas leyes.

• Estudiar las leyes que rigen la producción artificial de fuentes radiactivas.

• Describir algunas aplicaciones de la radiactividad.

4.1 Introducción

La Radiactividad es un fenómeno natural por el que un núcleo atómico emite uno o varios tipos de partículas, transmutándose o desexcitándose a un estado de menor energía. Los tipos más frecuentes son las conocidas desintegraciones a, /3 y 7 , así como la fisión y la emisión de nucleones. Esta propiedad la poseen unos 40 elementos de la corteza terrestre. Los más activos tienen Z > 80. También se han sintetizado cerca de 2000 nucleidos artificiales radiactivos. Junto con los rayos cósmicos, constituyen las fuentes naturales de partículas.

Estos fenómenos han tenido una historia enriquecedora y han infinido directamente en el progreso del conocimiento de los átomos, núcleos y partículas. También han servido para desarrollar una metodología de la experimentación, sentando las bases de los modernos detectores.

Hoy en día estas fuentes naturales de radiación son utilizadas exhaustivamente en la investigación y la industria. Siempre es necesario disponer en los laboratorios de fuentes naturales de partículas, que se obtienen fácilmente y no son muy caras.

Se estudiarán aquí las leyes que gobiernan la producción y desintegración de los materiales radiactivos.

4 .1.1 Generalidades

Eis lícito pensar que el origen de la física nuclear se debe a las emisiones radiactivas de los minerales naturales de 'Û y ^^Th, con periodos T1/2 del orden de la edad de la Tierra (propiedades descubiertas en 1896 por H. Becquerel, Premio Nobel de Física, 1903). En 1896, Henri Becquerel estudiaba fenómenos de luminiscencia de sales de uranio bajo excitación limiinosa y descubrió la emisión espontánea de radiación penetrante (atravesaba un papel negro) que revelaba papel fotográfico. Dicha emisión provenía de la desintegración 0 de elementos de la famiüa radiactiva del Uranio.

Fierre y Marie Curie^ trabajaron intensamente con la pechblenda de la mina de St. Joachimstahl, Bohemia, y obtuvieron Polonio y Radio, dos elementos con propiedades similares al Bismuto y Bario. ¡Fueron necesarias 10 Tm de pechblenda para obtener 1 g de Ra\. Encontraron en sales de Torio la misma propiedad de las sales de uranio.

Radiactividad y desintegración nuclear 159

*H. Becquerel, Comptes Rendus, (1896) 501.^Pierre et MiU'ie Ciirie, Comptes Rendus, 127 (1898) 175; (1898) 1215

Pero el físico que más ha aportado al estudio de la Radiactividad es sin duda E. Rutherford (Premio Nobel de Química en 1908). Ya desde 1897, discípulo de J.J. Thomson en el Cavendish Laboratory de Cambridge, se sintió muy atraído por el estudio de las radiaciones del Uranio. Después como profesor de física de la Universidad de McGiU de Montreal (1898-1907) reahzó muchos trabajos con el Torio, en colaboración con F. Soddy (Premio Nobel de Química de 1921). De esta época datan los gremdes progresos en los estudios de las propiedades de la radiactividad.

Recordemos tres grandes descubrimientos con los primeros estudios de la radiactividad:

• La primera transmutación (Rutherford, 1919):

a+^*N ^^ '^0 + p

donde los protones recorrían unos 40 cm en ima cámara de niebla (en vez de los 6 cm que recorrían las partículas a en una colisión elástica).

• El descubrimiento del neutrón (Chadwick, 1932):

a -I-® Be -^^^C + n

Se supo que se trataba de nuevas partículas, porque si estas partículas neutras fueran fotones deberían tener 50 MeV!, una energía enorme para dicho proceso nuclear.

• La radiactividad artificial (L y F. Joliot-Curie, 1934):

a +»0 B N* + n

El ^ N* es un núcleo inestable; se desintegra vía 0' '

y no existe en la naturaleza. Se constató gracias a la emisión de e'*'.

160 Física Nuclear

Ê. Rutherford, F. Soddy. Phil. Mag, (1902) 370; (1903) 576.

Posteriormente al descubrimiento de la radiactividad artificial en 1934 por I. y F. Joliot-Ciurie (Premio Nobel de Química, 1935). Estos mismos observaron también la reacción

a + l l A l ^ ?Op + n

utilizando partículas a de vuia fuente radiactiva de Po, seguido de la desintegración /?■'■ del 15P

con Ti/2 = 2 ,5 m.También es interesante recordar que, gracias a los estudios de la radiacti

vidad, se descubren cuatro elementos no detectados hasta entonces (huecos en la Tabla de Mendeleev): Tecnecio {4 3 TÓ), Prometio (eiPm), Astato (ssAt) y FVancio {sjFr).


4.2 Ley de desintegración radiactiva

Se denomina actividad de una sustancia radiactiva al número de átomos que se desintegran por imidad de tiempo,

f = -AW (4.1)

y es proporcional al número de átomos existentes, N. La constante A es la denominada constante radiactiva o constante de desintegración. Da la probabilidad de desintegración de un átomo por unidad de tiempo. De aquí se deduce la ley de desintegración:

N = Noe-^ (4.2)

que es la misma ley que cumple la actividad,

A - Aoe-^ (4.3)

La cantidad Xdt da pues la probabihdad de desintegración de un átomo en elintervalo (í, t + dt). El número de desintegraciones esperadas en el intervalotemporal dt es (dN) — XNdt que debe ser considerado como un valor medio. Esto quiere decir que en un experimento de medida de actividades se obtendrá

un número de desintegraciones n en im intervalo de tiempo dt que seguirá una distribución de probabilidad de Poisson con media /i = XNdt:

= (4.4)n\

La vida media de un átomo será

162 Física Nuclear

(4.5)

La semi-vida, semiperiodo o periodo de semidesintegración, Ti/2, se define como el tiempo necesario para que el número de átomos se reduzca a la mitad, N = No/2 que al aplicarlo en (4.2) nos da, sencillamente,

T,/2 - ^ (4.6)

y por lo tanto, T1/2 = 0,693 x r. Estas magnitudes ya se habían introducido en el primer capítulo de este texto.

De esta manera, partiendo de Nq núcleos de ima sustancia con semiperiodo Ti/2 , cuando haya transcurrido un tiempo igual a k periodos de semidesintegración, quedarán solamente iVo/2* núcleos intactos.

La unidad tradicional de actividad es el Curio ( 1 Ci = 3,7 xlO^° d/s), que es la actividad de 1 g de Radio. La unidad SI es el Bequereho (1 Bq = 1 des/s). Cuanta mayor masa de sustancia radiactiva, mayor actividad. La masa M de una sustancia cuya actividad es 1 Ci, puede calcularse a partir de

A = \N = \ M -^ (4.7)A

siendo Ma el número de Avogadro y A el peso atómico de la sustancia.La actividad no nos informa de qué tipo de radiación se trata, ni de sus

efectos biológicos. La medida de A en varios intervalos A i permite medir A (sólo si Ti/2 no es ni demasiado largo ni extremadamente corto).


Ejemplo:

Un gramo de cloruro de rubidio tiene una actividad de 480 d/s, debida al isótopo ' Rb, emisor /?“ , cuya abundancia en rubidio natural es el 28%. Para obtener la constante de desintegración radiactiva, se tiene que calcular primero el número de moléculas de clorinro de rubidio que hay en 1 gramo

(m(i?6) = 85,5 luna y m{Cl) = 35,5 uma)

m{ClRb) = 85,5 + 35,5 = 121 uma

Nmd = = 4,98x10^1 moléculas

Por lo que habrá 4,98 x 10 núcleos de rubidio, de los que el 28% son del

Ni '^Rb) = 0,28 X 4,98 x lO = 1,39 x lO núcleos

Según (4.7)

Y el periodo de semidesintegración se obtiene con (4.6)

Ti/2 = = 2 X 10 ® s = 6,4 X 10 ° años

4.2.1 Periodos de semidesintegración parciales

Cuando se estudia la desintegración de una sustancia radiactiva, no siempre se trata de un problema en el que todo queda explicado con una simple ley exponencial de desintegración. He aquí tres variedades de modos de desintegración que conviene tener presentes;

1 Caso más sencillo: Ni ^ N2 + x, N2 es estable y Ni no se crea. Se tienen las leyes,

Niit) = (4-8)N2Ít) = iVo(l-e-^^ ‘ )

y en cada instante se tiene Ni N2 = Nq.

2 Existen dos estados finales (dos modos de desintegración). También se dice que Ni, el elemento padre, tiene una desintegración multimodo;

Ni — > N2a + X— ► ^ 2 6 + y

La ley de desintegración viene definida sólo por = Aq + A ,

N{t) = AToe- ‘‘ (4.9)

sea cual sea el canal que se mida. Las constantes Xa y A , que por definición son las llamadas constantes de desintegración parciales, sirven para dar las proporciones a cada modo parcial, Y es decir,los cocientes de desintegración {branching ratios). Con ésto, las leyes son,

ATi(í) = iVoe- ‘‘ (4.10)N2a(t) = ATo(A„/At) (1 - e-^“ )

iV26(í) = iV o (V \ ) ( l - e - " ‘‘ )

164 Física Nuclear

Es muy frecuente encontrar núcleos o partículas con varios modos de desintegración. En general se tendrá

\ = (4.11)i

o si se expresa en periodos

=


Ejemplo:

El 89®í4c(Ti/2 = 29 h) tiene tres modos de desintegración y los periodos parciales son:

I fA c ^ T h + e- + Fe Ti/2,0 = 35 h

- ^ F r + a 1/2,a — 55 d<ñoS

^ A c + e~ ->■ ^ R a + Vg T\I2,c.b. = 170 h

Las constantes de desintegración parciales serán:

=;► = In 2/35 = 0,020 h"i = 5,5 x 10“® s-

Aa = ln2/55 = 0,013 años“ * = 4 x 10-i° s“ *

=?► Ace = In 2/170 = 4,1 x 10- = 1,1 x 10“® s~

La constante de desintegración total:

A = JÂ< = 6,6x10'® s" t

Y el periodo de semidesintegración total:

Ti/2 = = 105.016 s = 29 h

Otro caso aún más complejo es el de los modos de desintegración de las partículas elementales, que cuando se trata de partículas de masa elevada pueden tener muchos modos de desintegración. Por ejemplo el /f···(493,7 MeV/c^) tiene 6 modos de desintegración con los siguientes cocientes de desintegración {hranching ratios B.R.):

Desintegración Frecuencia {B.R.)0,635

^TT+TT« 0,212^ 7r+7r+7T+ 0,056—► 7r'''7r' 7r“ 0,017

0,032—>■ ir e Ve 0,048

3 Mezcla en el estado inicial. Este es el caso de sustancias (como el Cu natural irradiado), que tienen dos isótopos radiactivos qm'micamente inseparables: ®^Ct¿(12, 7 h) y ^^Cu{3, 3 h). En este caso la ley de desintegración es una suma de exponenciales. Para identificar la ley de desintegración de cada elemento hay que extraer las dos constantes de desintegración de los dos isótopos. Para ello, utilizando los datos a mayor tiempo, se ajusta la curva y se obtiene la constante mayor, ya que a tiempos elevados sólo existe isótopo con T1/2 mayor. La exponencial obtenida se extrapola a tiempos pequeños y se sustrae de los datos, con lo que ya se puede obtener la constante del segundo elemento ajustando los datos obtenidos.

166 Física Nuclear

4.3 Teoría cuántica de la desintegración radiactiva

Una desintegración es debida a ima interacción V' « Vo, siendo Vo el potencial que describe el sistema nuclear estacionario. El potencial del sistema es entonces V = Vo-\-V'. Puede aplicarse la teoría de perturbaciones, que dice que la probabilidad de transición entre los estados |'0 i > y >, soluciones del potencial no perturbado Vq, viene dada por la regla dorada de Fermi,

2'ir í\ = -\V}^\^p{Ef) con = J r fV ' i ’idíl (4.13)

Una función de ondas de im estado estacionario evoluciona con el tiempo según la forma bien conocida:

â (r,í)-V 'a (^ e-'^ “‘/' (4.14)

que da una probabilidad, independiente de t, de encontrar el sistema en el estado a y por lo tanto, si se calcula la energía del estado se obtendrá siempre Ea. Si el estado es inestable (se desintegra con vida media Ta), la probabilidad podrá escribirse

|â(r,í)P-|â(r,0 )|V ‘/ » (4.15)

con Ta = 1/Xa- La fvmción de ondas podrá escribirse:

â(r, t) - (4 jg)

Es como si la energía fuese ahora Ea — ih/2ra·Ya no se tiene un estado estacionario con Ea bien definida, sino con una

anchura AE = Fa = h/ra- El principio de incertidumbre da el significado de esta anchiura: para determinar la energía de im estado con una precisión AE, debe poder observarse diurante im tiempo r, hgados por AE ^ h/r.

El estado físico inestable será una superposición

í'aír, t) = j (4.17)

con a{E) la amplitud de probabilidad de encontrar al estado con una energía E. La energía media es {E) = Ea y ai igualar las dos anteriores expresiones de se puede ver que ' ' - ■ ;


y la transformada de Fourier dará la probabilidad P{E) = |o:(.£ )P de encontrar el estado con una energía entre E y E + dE alrededor del valor medio

que es una fórmula de Breit-Wigner, en la que Fq = h/Ta es la anchura del estado a. ~

La anchura Fo, llamada habitualmente anchura intrínseca del estado Ea, es mucho menor que el espaciado de los niveles nucleares, o sea que se podrá hablar de transiciones entre niveles nucleares. En efecto, como /i = 6,6 X 10" MeV- s, si r > 10“ ^ s — > F < 10“ ° MeV, que habría que comparar a separaciones entre niveles nucleares > 10“ MeV.

4.4 Tipos de desintegraciones nucleares. Fuentes radiactivas más comunes

Los núcleos se desintegran de manera que siempre tienden al estado energético más estable. A continuación se describen los tipos más frecuentes de desintegraciones nucleares. Las tablas de emisores que se presentan a continuación pueden consultarse en R. B. Firestone y V. S. Shirley; Table of Isotopes, 8th Edit, John Wiley & Sons, N.Y., 1996. También se presentan

más adelante (véase por ejemplo la figura 4.1) algunos esquemas de desintegración, en los que la escala vertical representa la energía explícitamente.

168 Física Nuclear


Figura 4.1 - Esquemas de desintegración nuclear (a , C .E . y 7)·

170 Física Nuclear

Isótopo Periodo Energías (MeV) Pracción(%)433 días 5,486 85

5,443 1 2 ,8210po 133 días 5,305 1 0 0

163 días 6,113 746,070 26

Tabla 4.1: Características de algunos emisores alfa

Los principales modos de desintegración (a, 7 ) se explicarán más detenidamente en capítulos posteriores. En este capítulo se introducen las nociones básicas de cada uno de ellos.

4.4.1 Desintegración alfa

Es la emisión de núcleos (que se denominan a) por núcleos pesados y es un proceso facilitado, entre otros, por la enorme energía de ligadura de las partículas a. La teoría que describe este fenómeno fue desarrollada por Gamow, Condon y Gourney. Es ima brillante aplicación del conocido efecto túnel de la Mecánica Cuántica.

En la desintegración a, los números másico (^ ) y atómico (Z) de los elementos que entran en juego cumplirán:

. t_\Y + \He

Por ejemplo,

2^(7 ^ T h + a (5, 6 MeV) T1/2 = 4,47 x 10® años

88®ila —> ^ R n + a (4, 8 MeV) T1/2 = 1600 años

4.4.2 Desintegración beta

Conocida como desintegración /? o de Fermi. Se trata de emisiones de e* por parte de núcleos alejados de la línea de estabilidad. El proceso es una interacción débil en la que imo de los nucleones que se encuentran en exceso, (n,p), se transforma en el otro (cambio de carga n <— > p), emitiendo im e+


Isótopo Periodo Tôx(MeV)12,33 años 0,0186

u c 5730 años 0,15632p 14,28 días 1,71033p 24,4 días 0,24835S 87,9 días 0,167^Cl 3,08x10® años 0,714

165 días 0,25292 años 0,067

905r/90y 27,7 años/64 h 0,546/2,2799Tc 2,12x10® años 0,292

2,62 años 0,224204TI 3,81 años 0,766

Tabla 4.2: Emisores β puros

o un e~ de forma que se conserve la carga eléctrica. Existen tres variantes de la desintegración /? nuclear llamadas (3~, y CE (captura electrónica).

Básicamente las tres pueden explicarse mediante transformaciones que tienen lugar entre los nucleones constituyentes:

1· ( r )

2. (/3+)

3. (CE)

n p + e~ + üe

p n+e'^+Ue

p+e~ n+t/e

Xell^ + e~ + üe

Mgi2+e'*'+i'e

Mn^+e~ Cr^+t/g

All¡

Ti/2 — 8,0 d

Ti/2 = 7,2 s

Ti/2 = 312 d

En el último caso, después de la captura electrónica (CE) debe haber emisión de un rayo X por parte del átomo, al haber sido capturado uno de los electrones de las capas internas por un protón del núcleo, dejando un hueco en la estructura atómica. Hay que tener claro que estos procesos pueden tener lugar entre nucleones ligados. Sólo así se entiende que el protón pueda transformarse en un neutrón dentro del núcleo, debido a que hay que tener en cuenta las energías de ligadura nuclear en el balance energético.

La interacción fundamental que origina esta desintegración es la interacción débil (intercambio de W^) con cambio de sabor de quarks. Así, en

el caso de la desintegración /3~ del neutrón, el proceso, en realidad es el de cambio de sabor del quark d:

d ^ u + e~ +Ve

Aunque existen emisores ¡3 pinos (tabla 4.2), en la mayoría de los núcleos inestables por desintegración beta, el núcleo final queda en un estado excitado dando lugar a desintegración 7 .

172 Física Nuclear

4.4.3 Desintegración gamma

Es el proceso de desexcitación nuclear por excelencia. La interacción responsable es la electromagnética. FVecuentemente es im proceso rápido (Ti/2 « 1 0 “® s). Si Ti/2 > 0 , 1 s, entonces a esos estados se les suele llamar isómeros. Sucede para desintegraciones entre estados con números cuánticos de espín muy diferentes. Los isómeros se representan con una m al lado del número másico del núcleo, por ejemplo el rüvel excitado 2' del ®°Co que tiene una energía de 58,59 keV y im periodo T1/2 = 10,47 m y que se denomina eomco.

Un proceso competitivo con la emisión gamma es la conversión interna (tabla 4.3), emisión de un e~ de las capas atómicas en vez de im fotón. Se trata en este caso de im e~ monoenergético. Las fuentes de conversión interna se utilizan sobre todo para la calibración energética de detectores de partículas.

El electrón emitido procede de la corteza atómica, como resultado de la desexcitación. Si la energía de ligadma del electrón es Be, la, energía del e~ de conversión interna será

E, - {Ei - Ef) - Be (4.20)

siendo Ei - E¡ la diferencia de energía entre los niveles nucleares. Como puede observarse en la tabla 4.3, existen varios valores de la energía de los electrones emitidos por estas fuentes según la capa electrónica de la que procedan. Van acompañados de rayos X debidos a los huecos dejados en las capas electrónicas.

Fuente Energías (keV)365

266; 319 624

^ B i 480; 967; 1047


Tabla 4.3: Puentes de conversión interna

4.4.4 Fisión espontánea

Suele tener lugar en núcleos transuránidos. (Por ej: Ip C f y f^Fm). Eis lui fenómeno debido a las enormes fuerzas de repulsión eléctricas creadas por la deformación nuclear. Eiste fenómeno, además de la desintegración a, explica porqué no existen núcleos estables con A elevado. A partir de A = 300, los núcleos se fisionarían espontáneamente.

4.4.5 Emisión de nucleones

Se trata de desintegraciones de núcleos que se encuentran lejos del valle de la estabilidad. Este tipo de núcleos aparecen entre los productos de la fisión. Para que la emisión espontánea de nucleones pueda tener lugar, la energía de separación nucleóidca debe ser Sp, Sn < O, ya que, por convenio, se define la energía de separación como la energía que hay que ceder al núcleo para que se pueda arrancar im nucleón. Un ejemplo de emisor de protones es el ]^Kr.

Otro proceso de emisión de neutrones es el de la fisión nuclear, en la que los neutrones se producen además de los fi-agmentos de fisión. En el caso de los neutrones de fisión, el espectro de energías sigue la distribución de Maxwell, dN/dE = y/Eexp{-E/Eo}. Un ejemplo es el H^Cf (Ti/2 = 265 años) en el que la constante Eq en la ley de desintegración anterior vale £ = 1,3 MeV. Se tiene entonces ima buena fuente de neutrones.

Se dispone también de fuentes de neutrones basadas en un montaje tipo sandwich de una fuente (que produce partículas a) y un material (que proporciona el blanco), por ejemplo '^Âm con ^Be, que producen neutrones a través de la reacción nuclear

a + 12(7 -I- n

precisamente la reacción que fue utilizada por Chadwick en el famoso experimento del descubrimiento del neutrón.

174 Física Nuclear

4.5 Series naturales de elementos radiactivos

La Tierra (y sios elementos constituyentes, Fe, O, C, Si, ...) tiene una edad estimada en unos 4,5 x 10® años. El Universo (cuyo origen se sitúa en el instante del Big-Bang) data de irnos 15x10® años. Se supone se necesitaron unos 10x10® a¿os para fusionar H y He en núcleos más pesados, estrellas, novas y supernovas. Puede decirse que la Tierra y todo lo que contiene son los deshechos reciclados de las supernovas.

La radiactividad natiural es debida a las desintegraciones de las cadenas de elementos pesados:

Serie TipoTorio 4nNeptimio 4n +1Uranio 4n + 2Actinio 4n + 3

Elemento Ti/2 (años)14,1x10®2,14x10® (no natural)

238c/ 4,47x10®0,704x10®

Estable^ P b207pb206pb207pb

Son el origen del calor interno de los planetas. Para la salud el único problema es el gas radón (Rn).

Otros elementos, producidos en colisiones de rayos cósmicos con los núcleos del aire de la atmósfera, son: el tritio; que se desintegra dando 3/í(12,33 años)^ ^He + e~ +Ve y el Carbono-14, que sigue el mismo tipo de

X desintegración: ^^C(5730 años)—» + e~ + Fe· En estos casos no existen series radiactivas como en los transuránidos. Sin embargo estos dos últimos elementos naturales radiactivos tienen interesantes apUcaciones de datación.

4.6 Cadenas radiactivas. Ecuaciones de Ba- teman

Es frecuente encontrar series de núcleos que se desintegran dando lugar a una cadena o familia radiactiva. Un caso particular de estas cadenas que conviene estudiar es el que tiene lugar con sólo tres elementos:1 2 —► 3, siendo 3 im núcleo estable. Las ecuaciones de la cadena radiactivay sus soluciones para el caso en que í = O no exista ningún núcleo hijo, es decir, ^ ’2 (0 ) = NsiO) = O, son:

‘‘Al ser su periodo de semidesintegración menor que la edad de la tierra, ya no existe esta cadena en estado natural, aunque si se puede obtener en laboratorio.


dNi . . .dt

= -X iN i Ni{t) = Noe-

^ = AiiVi - X2N2 N2Ít) = (4.21)

mdt

= X2N 2 ^ N ^ it ) = ATo | l + ( A i e - ^ ^ ‘ - A z e - ^ * ' ) |

La actividad del núcleo hijo es A 2 = A2A 2 ( ) (y no dN2/dt ). El número de núcleos hijo pasa por im máximo, que se obtiene al exigir que dN2/dt = O, que da lugar a

= (4.22,Á 2 - A l

instante en el que la actividad del hijo está en equilibrio ideal:

X2N2{tma.) = A iAT i(í^ ) (4.23)

Para cualquier otro valor de í, el cociente entre la actividad del hijo y la del padre vale

^ _ A _ í i _ e-<-^2-Xi)n (4.24)AiiVi Aa - Al ^

distinguiéndose tres casos (ver figura 4.2):

176 Física Nuclear

A.N.

equilibrio

transiente

secular

A) B)

Figura 4.2 - A) Evolución temporal del número de núcleos de cada uno de los miembros de la cadena radiactiva N\ ^ N2 ^ Ns,

siendo la sustancia 3 estable. B) Cociente de actividades A 2/A1 en función del tiempo, para cada imo de los casos descritos

en la figura, entre ellos, el equilibrio secular.

A2 >> Ai; es decir, el hijo tiene una probabiUdad de desintegración mucho mayor que la del padre. Se tiene equilibrio secular, ya que el cociente X2N2/X1N1 se hace 1 rápidamente.

Ej:

^Sr ( r ) i0~) ^ ^ Z r

Se tiene así una fuente de con T1/2 = 27,7 años (en vez de 64,8 h).

El núcleo hijo se desintegra con la misma velocidad con la que se crea, y el número de átomos sigue la ley.

N2Ít) = N o^ (1 - (4.25)

• A2 > Al ; la probabilidad de desintegración del núcleo hijo es mayor que la del padre. Se alcanza un equilibrio transiente o transitorio; el cociente de actividades va creciendo lentamente, aproximándose a una constante, A2/(A2 - Ai).

• A2 < Ai; el cociente de actividades aumenta con el tiempo. Los núcleosde tipo 1 se desintegran rápidamente y los de tipo 2 varían según la leyexponencial:

Niit) = (4.26)A l — Á2

En el caso de k generaciones 1 —» 2 —> 3... — A:, se generaliza para cualquier elemento i de la cadena:

dN-(4.27)

Si se supone que ATj(O) — O para todos los elementos de la cadena {i > 1), excepto M (0) = Nq, entonces la actividad del miembro n de la cadena vendrá dada por las ecuaciones de Bateman,

n n

An = N o '^ Ci€~^^ siendo -------- (4.28)n (\n ~ Aj)

m / t = l

teniendo en cuenta que, en el cálculo de los coeficientes sólo intervienen las n generaciones precedentes (n < m). En el denominador anterior el producto significa que deben tomarse todos los valores de i salvo i = m. Se tiene equilibrio secular si AiiVi = AaA 2 = ··· =

Si lo que se busca es el número de átomos del elemento n de la cadena radiactiva en el instante t, se podrá obtener a partir de

Nn{t) = A, · · · A„_iATi(0) ¿ „ ------ (4.29)i=l Y[ (Am “ Ai)

m ^ i= l

pudiendo comprobarse que, efectivamente, las actividades vistas en (4.28) coinciden con

(4.30)

4.6.1 Aplicaciones del equilibrio radiactivo

Se dan dos ejemplos sencillos de aplicación del concepto de equilibrio radiactivo.


Ejemplos:

Medida de T\I2 Sean dos elementos radiactivos en equilibrio

(ejemplo: Ra — U), de los que se conoce la relación de masas entre ellos: / \

= 3,4x 10"

178 Física Nuclear

M(Ra\

UJSi se conoce imo de los periodos, por ejemplo:Ti/2ÍRa) = 1602 años, se puede calcular teniendo en cuenta la condición de equilibrio:

MaNroXho. = NuXu y como N =

al despejar queda,

OOC / 1 \= 4,5 X 10® años

\ M m /

2° Masa o edad de un material en equilibrioPara calcular la cantidad de ^ P b producido anualmente por

1 g de en equilibrio,

dN = XNdt

y al tomar Ti/2{U) conocido y di = 1, se puede calcular dN y por lo tanto la masa. Para calcular la edad del material, conocida la masa de Pb existente.

XN MuXu

4.7 Radiactividad artificial

En la obtención de radioisótopos por bombardeo de material (del que inicialmente se disponen No núcleos) con aceleradores de partículas o con


reactores (flujo incidente F [cm *]) se forma el elemento Ni (por ejemplo en la reacción p + No ^ Ni + q) a un ritmo,

R = FaNo (4.31)

y este elemento Ni es inestable. A continuación el elemento Ni se desintegra dando Ni ^ N2 + x con constante de desintegración radiactiva Ai y el proceso da lugar, finalmente al elemento N2 estable. Típicamente las secciones eñcaces a en la expresión (4.31) son del orden del barn y los flujos, F, del orden de 10 “* cm"^s“ S con lo que R/No « ^(10^“*) x cr(10~ ) tan pequeño que puede suponerse N„ constante. Se tiene pues.

10-1° s-i,

dNi = R d t - XiNidt ATi(í) = ^ ( l - e - ^ ^ ‘ ) ^ i(í) = i ? ( l - e - " “ ) (4.32)

t ( h o r a s )

Figura 4.3 - Evolución del número de átomos radiactivos producidos por bombardeo de un blanco de Ni en un ciclotrón que acelera deuterones.

Los valores numéricos corresponden a la reacción p + ^^N + n

que produce radiactivo que tiene un periodo de semidesintegración T1/2 = 3,3 h.

El problema queda bien descrito por las dos condiciones límites siguientes:

t « Ti/2 — ► Ai{t) « RXit (crecimiento lineal cerca de t = O) t » Ti/2 — ► Ai{t) « R (equilibrio secular)

180 Física Nuclear

Ejemplo:

Cálculo de la actividad de los dos isótopos radiactivos ^Cu y que se producen al irradiar un blanco formado por un gramo

de Cu natural, con un flujo F = 10 n/(cm^s) de neutrones de muy baja energía (térmicos) durante 15 minutos. Se tienen los procesos y las secciones eficaces de producción siguientes:

J “ C«(69%) \ r ®^C«(Ti/2 = 12,7 h), = 4,4 b ^“ C«(31%) / \ ®®Cti(Ti/2 = 5,1 m), a = 2,2 b ^

El núcleo de ^Cu se desintegra en im 39% vía /?“ a ^Zn y en un 61% vía captura electróiüca a ^Ni.

Aplicando

>l(í) = AiiVi(í) = A i^ (l - = FaNo (l -

y como en 1 g de material el número de átomos viene dado por N{0) = {/^ji/A){a%) X 1 g, en donde a% es la abundancia de cada isótopo, se obtiene finalmente,

A.M(15m) = | j5 2 ,0 ;,a d e “ C «

El tiemp>o óptimo de bombardeo puede calcularse utilizando la Tnisma. expresión obtenida para tâx en el caso del equilibrio ideal, vista en (4.22). En este caso basta con la condición ^0, lo que se consigue en im tiempo de bombardeo inferior a unas 10 vidas medias. O sea, si el elemento tiene un senúperiodo T1/2, no tiene ningiín interés bombardear durante un tiempo superior a ~ 10 x T1/2, ya que no amnenta la cantidad de material radiactivo.

4.8 Datación radiactiva

Es una aplicación importante de la ley exponencial de desintegración. Se suele distinguir entre datación arqueológica, geológica ó cosmológica, según la escala de tiempo que se desee medir.

4.8.1 Datación por

Propuesta por W. Libby (Premio Nobel de Química, 1960).El es un isótopo con Ti/2= 5730 años que se produce en la atmósfera

por el choque de rayos cósmicos con los núcleos Lo mismosucede con el tritio ( i/, T1/2 =12,33 años).

Se supone que en los últimos 50.000 años, la proporción ^^CjC = 1/10 , no ha cambiado; el método podría no funcionar dentro de miles de años por las bombas atómicas en la atmósfera durante las décadas 1950-1960, que han provocado un cambio (que será muy difícil de calcular en el futuro) de su concentración.

El Carbono natural, cuya proporción isotópica es 98,89% de y 1 ,1 1% de es absorbido por sustancias orgánicas en forma de CO2· También absorben la pequeñísima cantidad de presente. Al morir el organismo, cesa de adquirir poniendo en marcha un reloj biológico. Se puede así conseguir la datación de restos orgánicos con edades del orden de nülenios (hasta unos 10 xTi/2 « 50.000 años) al comparar la actividad específica de muestras similares (antes y ahora).

Para hacerse una idea del contenido en presente en im gramo de Carbono natin al, piénsese que una medida de la actividad de un gramo de Carbono da 13,6 desintegraciones/min o sea 0,23 Bq.

4.8.2 Datación geológica

Para tiempos geológicos, debe medirse Nq y no la actividad. Buenos elementos para medir tiempos geológicos son


Isótopo Ti/2 (años) Isótopo Ti/2 (años)1,28x10^ *38La 1,3x10**4,8xl0‘“ 3,6x10*°9,0x10*® *87fíe 5,0x10*°4,4x10*'* 238(7 4,5x10»

Para ilustrar las aplicaciones de datación geológica se estudiará el caso del RubidioEstroncio, (Rb — Sr). El Rubidio natural es una mezcla isotópica de ® i?6(72,15%), estable, y de un 27,85% de inestable, que se desintegra en H-Xe con T1/2 = 4, 8 x 10 ° años. El rubidio es llamadonúcleo padre, y el estroncio el núcleo hijo.

Si se tienen en ima muestra actual Np(ti) núcleos de Rb y Nh(ti)de Sr, y suponiendo que en ¿ = O, se tenian Np{to) y O respectivamente, o sea.

182 Física Nuclear

N, Nh

to iVp(ío) 0

h Nnih)

se cumple, Np{ti) = Np{to)e luego,

A ATp(íi) A V

ya que Np{to) = ^p(íi) + o sea, el número de núcleos permanececonstante.

Medir iV(*^5r)/iV(® i?6) permite medir Ai. El error vendrá dado por y < Ni· El método fimciona si A/*(ío) = 0.En el caso en que Nh{to) ^ O, hace falta otro dato, conocer la proporción

en to de otro isótopo estable. Un buen candidato es el ®®5r que cumple Nhiito) — Nh/{ti), y tal que la proporción Nh{to)/Nhi{to) es constante, si se trata de minerales del mismo origen.

El método consiste en calcular, para distintas muestras, el cociente:

N,{to) + NHÍto) N,{U) + N,{t^)Nnito) Nh-{U)

de forma que llamando

_ Nhih) _ Ni^-^Sr) ^ ATp(íi) ^ N{ '^Rb)Nh,{h) N i^S r) ^ Nh,{U) N i^S r)

sustituyendo en (4.34) se obtiene la ecuación de una recta; y = mx + b con pendiente m = — 1 . El ajuste de los datos permite obtener tambiénla ordenada en el origen b = Nh{to)/Nhi{to)· Los resultados experimentales conducen a una distribución lineal, obterüéndose (ver figura 4.4),

A i = 4,5 X 1 0®años y 6 = 0,7003 ± 0,0004


lo que además de confirmar la validez del método, permite determinar la edad de la Tierra en = 4,5 x 1 0®años. Lo mismo sucede con la lima y meteoritos, de los que se han medido muestras, obteniéndose los mismos resultados imphcando el mismo origen temporal que la Tierra.

" R b/“SrFigura 4.4 - Ajuste hneal del método de datación Rb — Sr,

en la que se muestra la exixtencia del en el momento inicial G.W. Wetherill, Ann. Rev. Nucí. Sci. 25 (1975) 283.

Glosario de términos claveActividad - (página 161) Número de desintegraciones nucleares que se pro

ducen en la imidíid de tiempo.

Bequerelio - (página 162) Unidad de actividad radiactiva en el sistema internacional.1 Bq = 1 desintegración/segundo.

Cadenas radiactivas - (página 174) Serie de nucleidos tales que cada uno de ellos se forma por desintegración radiactiva del anterior (partiendo de un nucleido padre), y a su vez se desintegra dando lugar a otro nucleido, hasta llegar al último de la serie que será estable.

Curio - (página 162) Unidad tradicional de actividad de una determinada muestra o material raxüactivo.1 Ci = 3,7x10*° desintegraciones/segundo.

Datación radiactiva - (página 181) Determinación de la edad de un material usando métodos radiactivos.

Equilibrio transitorio - (página 176) C!ondición en la que la relación de actividades de 2 radionucleidos o más de misma cadena de desintegración, se aproxima a una constante.

Equilibro secular - (página 176) Equihbrio en el que la relación de actividades es la unidad.

Puentes naturales - (página 159) Fuente de radiación que no está originada a causa de una actividad hinnana.

Nucleidos radiactivos artificiales - (página 159) Isótopos que hein sido originados a causa de alguna actividad humana. Se conocen también como radionucleidos antropogénicos.

Rndiactividad - (página 159) Propiedad que presentan algunos núcleos de desintegrarse, de transformarse espontáneamente (sin excitación previa) en otros nucleidos más estables mediante la emisión de partículaso radiación electromagnética. Se puede expresar también con el término Radioactividad, siendo ambos aceptados por el diccionario de la R«al Academia de la Lengua Española.

184 Física Nuclear

Transmutación - (página 160) En Física Nuclear, conversión de un elemento químico en otro. Supone un cambio en la estructura del núcleo atómico inducido por ima reacción nuclear o por una desintegración nuclear.


Resumen• Este es el primer tema sobre las propiedades dinámicas de los núcleos.

Los núcleos se van a estudiar como sistemas dinámicos que varían y se transforman. En este tema se describen las leyes que controlan esta variación en el tiempo, las leyes de desintegración radiactiva, que son esenciales para poder pasar en capítulos posteriores a estudiar cada tipo de desintegración.

• La desintegración radiactiva, mediante la cual hay una variación del número de núcleos de una determinada especie o isótopo en la unidad de tiempo, tiene un comportamiento exponencial caracterizado por la constante de desintegración, X, que es ima característica de cada isótopo y no depende de condiciones externas como puede ser la presión o la temperatura.

• Para la comprensión de las causas por las que un núcleo pueda desintegrarse se debe entender la teoría cuántica de la desintegración, donde se justifica la existencia de estados inestables como posible solución de la ecuación de Schrödinger, siendo esta solución una mezcla de estados estacionarios.

• Se realiza una primera exposición de los tipos de desintegración radiactiva, aunque los tres más importantes (a, ^ y 7 ) se desarrollan más detenidamente en capítulos posteriores.

• En la naturaleza siempre ha existido la presencia de emisores radiactivos, algunos pertenecientes a las series radiactivas naturales,

• Una vez conocidas las leyes de desintegración para una especie nuclear, es conveniente el desarrollo de la relación del número de núcleos de la especie hijo con respecto al padre, o los distintos sucesores {cadenas radiactivas), conocer la evolución temporal del número de núcleos de los distintos isótopos que intervienen en el proceso {ecuación de Bateman). También es importante el estudio de los distintos tipos de equilibrio {secular y transitorio).

• Además de los radionucleidos naturales, el ser humano es capaz de obtener elementos radiactivos artificiales, producidos en reacciones nucleares.

186 Física Nuclear

• Una aplicación muy interesante de los procesos radiactivos es la datación radiactiva, mediante la cual se puede obtener la edad de un material aplicando la ley de desintegración nuclear.



1 . La emisión radiactiva se realiza siguiendo una ley ¿Cuál es el fundamento de esa ley?¿Qué significado físico tiene la constante de desintegración radiactiva?

2. ¿Qué significado físico tiene el periodo de semidesintegración radiactiva?¿Y la vida media?¿Cuál es su relación?

3 . El tiene un periodo de 1 0 días. Si tenemos una muestra de 10

fig de masa ¿Cuánto Actinio quedará al cabo de 2 0 días? ¿Cuánto se habrá desintegrado?

4. El se desintegra por emisión a al ^ Rn. Un 94% va al estado fundamental y el 6 % a un estado excitado. At = 1,18 x 1 0 “® días, determinar los periodos parciales y el periodo total de semidesintegración.

5. Se considera la siguiente cadena radiactiva

= 12,7 d) (T2 = 40,3 h)

Al principio hay im mg de y nada de los demás ¿Cuántos núcleos se habrán transformado en estables al cabo de dos días? Determinar la relación de actividad del lantano respecto al bario, en ese momento ¿Qué tipo de equiUbrio se alcanzará con el tiempo?

6 . Se tiene úna lámina de oro (^Âu) de 1 0 0 /xm de espesor y 1 cm desuperficie, iradiándose con un flujo continuo <p = 5x 10*® n/cm s, produciéndose que por emisión (T1/2 = 2 ,7 días) se transforma en Determinar la actividad máxima y el tiempo que tarda enalcanzarla. Se supone que sólo se produce la captura de los neutrones por el blanco de p{^^Âu) = 19,3 g/cm y cr„(*® i4u) = 160 b.

188 Física Nuclear


1. Una población de núcleos radiactivos evoluciona de manera exponencial, es decir la relación entre los núcleos iniciales y los que sobreviven es exponencial.

La constante de desintegración radiactiva es la probabilidad por la unidad de tiempo de que un nucleido inestable se desintegre. Para una población de núcleos inestables a mayor probabilidad más deprisa se van desintegrando.

2. El periodo de semidesintegración es el tiempo que tarda una población de nucleidos inestables en reducirse a la mitad, mediante emisión radiactiva.

N , ln2

Al cabo de un periodo quedan N/2 núcleos, al cabo de 2 periodos N/4, al cabo de 3 quedarán N/8 y al cabo de n N/2"·.

La vida media r es el tiempo medio de desintegración, el tiempo que tarda la población irücial en reducirse un factor e.

1 _ T\/2T = — r = ——X ln2

3. Aplicando la expresión (4.2)

N{t) = AToe- ‘

donde No es la cantidad de núcleos que existen al principio, y N{t) son los que quedan al cabo de un tiempo t.

A = = 0,0693 d-i e-^‘ = 0,25

Hadiactividad y desintégreleión nuclear 189

lOx 10-«x6,023x 10“ „5 5 mNo = ------------ ----------------= 2,36x10^® núcleos de en 1 0/ig

255

N(t) = 2,36 X 10® X 0,25 = 5,9 X 10 núcleos quedan al cabo de 20 d.

Se puede observar que 2 0 d = 2Ti/2 , por lo que sin haber hecho ningií cálculo se sabe que al ser el tiempo transcurrido igual a dos periodos la cantidad se ha reducido a un cuarto de la inicial. Quedarán 5//g.

El número de núcleos que se han desintegrado será

No - N{t) - 1,77 X 10*® núcleos de

4. Según (4.11)

190 Física Nuclea

A , = ^ A ,

Al = 0,94At = l,109xl0-®d-*Az = 0,06At = 7,08 X 10“® d “ *

ri/2(l) = ^ = 6,25x 10®d

7i/2(2) = ^ = 9 , 7 9 x l 0 ® d Á2

El perido total de semidesintegración se puede calcular con At

Ti/2 = ^ = 5,87 X 10® d At

O usando la expresión (4.12)

— =1/2 1/2 (í)

T,/2 r,«(l) r,/¡(2) r„2(l) + r„,(2)

5. Se tienen que usar las expresiones (4.21)

N2Ít) =A2 Al

Nsit) = Aro|l + ^ ^ -^ (A ie - " » ‘ -A2e-^'‘ )|


Las constantes de desintegración serán

ln2Al =

Ao =

12,7 X 24= 2,27x lO“ ·" h1-3 u - 1

ln2

40,3= l ,7x 10-2 h-‘

El número de núcleos de inicial, de los otras dos especies no hay nada al comienzo, será

10-3x6,023 x 1023 , , ,,18 ,No = --------- —7;---------= 4,3 x 10 núcleos

140

Para t = 2 días = 48 h, sustituyendo en la expresión de N 3 ( t ) , resulta

A T 3 ( 4 8 h ) = 4 , 3 x l 0 ‘ ® 1 -

1,42 X 10-2"0,0149

= 1,94x10^ núcleos de ‘ ‘“’Ce

Al cabo de dos días se han transformado en estables 1 ,94 x 1 0 ^ núcleos, por lo que

1,94 X 10 ^4,3 X 1018

La relación de actividades es

= 0,045 =í> 4,5% se han transformado

Al = Aoe~ ^ = XiNoe-^^*A2A1ÍV0

A2 — Al; -A it _ g-A2Í

v4lA2e ‘^

A2 — Al 1,7 X 10-2

g-Aií _ g-A2íA2 — Al

(1-0,489) =0,0149

= 0,58 es la razón de las actividades a los dos días

Al cabo del tiempo se alcanzará el equilibrio transitorio y se observa que A2/A1 se va aproximando a A2/(A2 — Ai), al aumentar el tiempo transcurrido.

0,193x 6,023x 1023 ,„ 2 0 . , · · · , . 1 9 7 .Nq = —--------— ----------= 5,9 X 10 núcleos unciales deií7 I

Sustituyendo valores en (4.36) se obtiene


El número de núcleos de paxa ese tiempo será, sustituyendo en(4.35)

Niimax) = 2,17 x lO " (0,617 - 0,166) = 9,77 x 10*® núcleos

La actividad máxima alcanzada será

Amax = 9,77 X 10*® X 2,97 X 10"® = 2,9 x lO*'* Bq

Capítulo 5

Teoría de la desintegración alfa

• PROPIEDADES GENERALES DE LA DESINTEGRACIÓN ALFA

o BALANCE ENERGÉTICOo PREDICCION DE Q CON LA FORA'ILÍLA SEMIERIPIRICA o LEYDEGEIGER-NTJTTAL

• MODELO DE GAMOW DE LA DESINTEGRACIÓN ALFA

PROBABILIDAD DE DESINTE ORACION ALFA

• ESPECTROMETRÍA ALFA Y ESTRUCTURA NUCLEAR

• REGLAS DE SELECCIÓN: MOMENTO ANGULAR Y PARIDAD

196 Física Nuclear


• Entender por qué en determinados nucleidos se produce la emisión alfa y no otro tipo de emisión.

• Describir el proceso de emisión alfa y utilizar el estudio cinemático para interpretar sus características principales.

• Comprender los mecanismos de penetración de la barrera de potencial.

• Explicar el esquema de desintegración, relacionándolo con la estructura fina del espectro de emisión.

• Estudiar la relación entre el periodo y la energía de la radiación emitida.

• Conocer las reglas de selección en este tipo de procesos.

Teoría de la desintegración alfa 197

5.1 Propiedades generales de la desintegración alfa

Rutherford (1903), midiendo el cociente q/men campos electromagnéticos 5 y 5 , fue el primero en identificar la naturaleza de las partículas a (núcleos de He) emitidas por el Radio. Este descubrimiento fue confirmado en 1909 cuando se encontraron indicios de gas Heho en la cámara del detector que contenía la fuente radiactiva de Ra.

22890Th

(1.91 a .)

Figura 5.1 - Desintegración alfa del ^ T h .

La partícula a, cuya masa es ma(^ = 3726 MeV, puede existir como tal en el núcleo (cosa que no sucede con los electrones y fotones en el caso de las desintegraciones y 7 ). La gran energía de hgadura {Bq = 28 MeV), del también llamado cluster a, origina que la mayoría de los núcleos con A > 190 sean energéticamente inestables respecto a la emisión espontánea de partículas a (hecho que también puede tener lugar para algunos núcleos con 150 < A < 190). Para que sea observable experimentalmente una desintegración a es necesario que:

• El periodo sea detectable (Ti/2 < 1 0 ® años).

• Sea más probable que otros procesos, como el de la desintegración f3.

5.1.1 Balance energético

La conservación de la energía en el proceso

iX - * j - _ t Y + a (5.1)

suponiendo que el núcleo padre está en reposo, da lugar a:

mx(? = TUyí? + m,a(? + Ty + (5.2)

Para que la desintegración sea posible, el valor Q de la desintegración

Q = {fnx - my - ma)(^ = Ty + Tq (5.3)

debe ser Q > 0 .Teniendo en cuenta la conservación del momento lineal, Pa = P y , y como

la energía cinética puede tomarse no relativista, T = p^/2m, queda para la partícula a;

198 Física Nuclear

(1 + m jm y )lo que para núcleos con A ~ 2 0 0 implica que Ta es el 98% de Q. Aunque la energía de retroceso del núcleo hijo es baja {Ty ~ 100 keV), es suficiente para arrancarlo de su posición en el sólido.

Ejemplo:

El puede desintegrarse emitiendo una partícula alfa, según

Sabiendo que Q = 4,27 MeV, la energía cinética con la que sale la partícula a será (según 5.4)

Y la energía de retroceso del núcleo hijo

Tfi = g - = 4,27 - 4,197 = 73 keV


La medida de Tq en espectrómetros, permite determinar Q y por lo tanto medir masas atómicas.

La gran energía de ligadmra de la partícula a, es la causa de que esta desintegración sea, frecuentemente, la única posible energéticamente. Por ejemplo, en la desintegración del > F + y, los valores posibles de Q sedan en la siguiente tabla,

y Q(MeV) y Q(MeV)n -7,26 ^He +5,41

-6 ,1 2 ^He -2,59-10,70 ^He -6,19-10,24 ^Li -3,79

^He -9,92 ^Li -1,94

A veces incluso es posible que se puedan emitir núcleos como o el * (7, pero son procesos con periodo T1/2 muy grande (constante de desintegración A muy pequeña).

Otro ejemplo es el de la desintegración del "^Th:

Q(MeV)+5,5

I fA c + p -6,4

Más adelante, al presentar el modelo de Gamow, se comprenderá que aim siendo Q > O, la desintegración no es instantánea porque lo impide la barrera culombiana. Si el valor de Q fuera superior al de toda la barrera de potencial, la desintegración tendría una vida media del orden de 1 0“ * s, tiempo de salida de la partícula a en im recorrido igual al radio nuclear.

5.1.2 Predicción de Q por la fórmula semiempírica

El valor de Q escrito en función de la energía de ligadura de los núcleoses,

Q = E b C H c) + E b {Z -2 , a - 4 ) - E b {Z, A) (5.5)

A partir de la fórmula semiempírica de masas, ya se ha visto una expresión para las energías de hgadura en el primer capítulo. Tomando los parámetros propuestos por Krane, se obtiene el siguiente valor de Qcaic en el caso de algunos núcleos par-par:

200 Física Nuclear

Qaü (MeV) Qex(MeV)^ T h 7,3 8,95226Th 6 ,2 6,452Z2Th 5,2 4,08

en donde se observa una tendencia bastante correcta, al comparar estos valores con las medidas experimentídes. En la práctica hay que tener en cuenta efectos debidos a la estructma de capas nuclear, que no reproduce la fórmula de Weizsäcker, simplemente basada en un modelo macroscópico de gota líquida y que necesariamente produce una evolución muy suave de la energía de ligadura en función del número másico A.

5.1.3 Regla de Geiger-Nuttal

Geiger y Nuttal (1911), encontraron una relación sistemática entre el periodo del núcleo y la energía cinética de la partícula a (conocida a través del alcance, Ra):

®Sio 1/2 — B — A logiQ Rq (5.6)

en donde el alcance de las partículas a en el aire (Rq) viene dado en cm y el semiperiodo T1/2 en segundos, con las constantes A = 57,5 y B que depende de la serie radiactiva. Por ejemplo, para la serie del que es del tipo 4n -I- 2, vale B = 41.

Esta regla fue descubierta como consecuencia de medidas de alta precisión de alcances iniciadas por Bragg en 1906. El recorrido de la partícula a en un detector gaseoso, como en los detectores Geiger-MüUer, sigue una ley bien conocida; en el caso del aire

Ä“‘"(cm ) = 0,3T3/2 (5.7)

Ta está en MeV. Midiendo el alcance se conoce perfectamente la energía T«. La gran calidad de las medidas de es lo que permitió comprobar la validez de la regla.

Teoría de la dœintegraciôn alfa 201

Ejemplo:

Aplicando la expresión (5.7) para obtener el alcance de las partículas a de la desintegración

238p„_ 234

cuya energía es T« = 5, 6 MeV

ií“' " = 0,3(5,6)3/2 ^3,97

La relación inversa entre el periodo de la desintegración a y la energía de la desintegración (el valor Q, directamente relacionado con por (5 .4 )), puede verse en la figura 5.2, donde se muestran varias series de isótopos de núcleos par-par. Su expresión es la siguiente

logio 1/2 — C +D

(5.8)

Q ( M e V )Figura 5.2 - Ejemplos de la regla de Geiger-Nuttal, en donde, para varios núcleos par-par se observa la relación inversa entre el periodo y el valor de Q de la desintegración a. Cada línea conecta isótopos del mismo elemento.

La regla de Geiger-Nuttal puede explicar los casos extremos presentados en la siguiente tabla en la que se dan los valores de Q para dos desintegraciones del 9oTh:

J X Ti/2 Q(MeV)1,4x101“ años 1,0x10-· s 9,85

con lo que un factor 2 en Q produce un factor 1 0^ en T1/2·Los núcleos con periodos muy largos son muy difíciles de medir. Asi

sucede por ejemplo con el (T1/2 ~ 10* años) y con T„ = 2,24 MeV.

5.2 Modelo de Gamow de la desintegración alfa

La explicación de la desintegración a fue la primera confirmación del efecto túnel predicho por la mecánica cuántica.

La teoría de Gamow, y de Condon-Gourney (1928), es una teoría de un cuerpo; se supone que la partícula a está en el pozo de potencial nuclear del núcleo. Para escapar, debe superar la barrera culombiana B responsable de la pared del pozo en la posición del radio {R = a) del pozo nuclear (véase figura 5.3). En lo que sigue, se supondrá que Z es el número atónüco de núcleo padre, Z' el del hijo, con lo que se cumphrá Z = Z' -f z, siendo en este caso z = 2. El potencial electrostático creado por el núcleo Z' es

202 Física Nuclear

V{r) =1

Aneo(5.9)

habiendo expresado r en fin. O sea que la altura máxima de la barrera de potencial es

(5.10,a

siendo o el radio nuclear, que como se ha visto en capítulos anteriores es a = con ro ~ 1,4 fm. Por ejemplo Bi^Û) ~ 30 MeV. Recuérdesetambién que para el Ta = 5,60 MeV y T1/2 = 89,6 años.

Como Ta < B para que la partícula a pueda escapar del pozo, sólo puede hacerlo por efecto túnel. El fenómeno no puede exphcarse clásicamente. Se cumple B = V{a) y Ta = V{b), siendo b la distancia a la que la energía de


la partícula a es igual a la repulsión culombiana. Para denominar la energía cinética de la partícula a se utilizará T«, para distinguirla de la energía total (cinética más masa). Recuérdese también que Q con mía precisión del 2%.

puede observarse la energía potencial de una partícula a en función de su distancia al núcleo. Más allá del radio nuclear,

la curva de energía sigue la forma de Coulomb.Dentro del alcance de la fuerza nuclear, la partícula está ligada

y su energía es positiva {Kq) por lo que puede escapar del núcleo por efecto túnel.

El hecho de que la energía de Ugadura de la partícula a sea Ba = 28,3 MeV, o sea ~ 45n, siendo 5„ la energía de separación neutrónica, proporciona una energía suficiente para que la partícula a ocupe una posición Ta > O en el pozo nuclear (como se ve en la figura 5.3). Como Q > O el proceso es exotérmico, pero debe vencerse la barrera culombiana. Al ser Q > O, la energía de la partícula a en el interior del pozo es positiva y puede tomarse

Iâ ~ Q) que obviamente podemos aproximar a T«, aimque Ta es la energía cinética de la partícula a una vez expulsada del núcleo, habida cuenta del retroceso del núcleo hijo. Si la barrera B fuese menor que Ta, habría emisión espontánea con una vida media ~ lO“ ! s. Al tener ima energía Ta < B, la partícula a apeirecerá emitida a una distancia b del centro del núcleo hijo y con una energía dada por Ta = V{b).

5.2.1 Probabilidad de desintegración alfa

La teoría de Gamow expresa la probabiUdad de desintegración a como un producto:

X = PafP (5.11)

siendo:

• Pa- la probabiüdad de que la partícula a preexista como tal en el interior del núcleo jjadre (empíricamente se estima Po ~ 0 ,1 ).

• /: la frecuencia de cohsión contra la barrera culombiana,

204 Física, Nuclear

, _ ^ íe:io\* 2R 2a ’

siendo Ka la energía cinética de la partícula a dentro del pozo, que se puede aproximar Ka = T„.

Ejemplo:

Si se toma Tq = 5 , 6 MeV, como en el caso de la desintegración ^ P u —* + a y sustituyendo en (5 .1 2 )

v/(2 X 5,6 MeV)/(4 x 931,49 MeV/c2)2 X 1 ,4 X 10-15 m

0,05 X 3 X 10* m/s ,= — T7T-ÍÍ— — « 5 X 10^1 s ' i

2 ,8 X 10-15 m

lo que es una frecuencia elevadísima.

• P: coeficiente de transmisión por la beirrera, P = e~^ , siendo G el factor de Gamow

(5.13)

en donde /í es la masa reducida de la partícula a,

rriaMx'Ai = ^ — w (5.14)nía + Mx> '· ''

que, al ser Mx> » nía se cumple que fi ~ nía. Sin embargo, los cálculos deben siempre hacerse empleando fi ya que su efecto es importante puesto que interviene en el exponente.

El factor de Gamow G está directamente relacionado con el coeficiente de transmisión a través de ima barrera. En efecto, para un pozo cuadrado de altura B > T y anchura d,


= {con k = ^y/2m(B — T). En el límite k d — oo{o sea B » T ) se tiene,

P = e - ^ (5.16)

La anterior expresión puede obtenerse aphcando la definición de coeficiente de transmisión a través de ima barrera de potencial: T = jsaie/jentra, en donde ji es la densidad de corriente de una partícula. Si "í es su función de ondas entonces,

J = - t A2m

(« ' ’ V i' - S-* (5.17)

es la densidad de comente buscada (número de partículas por segundo que atraviesan el pimto r).

En el caso más general de im potencial culombiano, hay que reemplazar

'kd (H (r) - Ta) (5-18)

siendo Vb{r) el potencial culombiano con barrera centrtfiiga,

, 2Z'ahc e{e + i)h^V,(r) = (5.19)

Se observa que el momento angular orbital introduce un término en el potencial que varía como Fijada una distancia (por ejemplo r = 6), la barrera es mayor si el momento angular es í > 0. Es ima barrera que se añade a la puramente culombiana y se denomina barrera centrífuga. Penetrar una barrera centrífuga es más difícil y por lo tanto las probabilidades de desintegración serán más bajas.

Probabilidad de desintegración a en el caso £ = 0

Para ¿ = O, la integral que da el factor G visto en la expresión (5.13) es explícita, con lo que:

206 Física Nuclear

arccos y/x - y/x{l - x) (5.20)

siendo x = a/b = Ta/b. Como x << 1 , podemos aproximar la expresión dentro de los corchetes por [| — 2y/x , quedando ima expresión de la forma

G = 7 r Q ^ / ^ ^ - 4 m / ^ ^ ^ / Z ^ (5.21)V ia V ahc

siendo a = 1/137, la constante de estructura fina.El factor de Gamow queda pues de la forma:

G = C i - ^ + D i (5.22)

Si se aplica para la desintegración del “ U , dado que fj,(? = 3662,6 MeV esla masa reducida de la partícula a se llega a:

In P = 3 , 4 8 7 - 3 ,925 -^ (5.23)V

Así pues, como la probabihdad de desintegración es A = alcalcular el logaritmo,

Ên efecto, la función arccos(x) f - a: - ^ para x 0.


logioA = C2 + ^ (5.24)

con lo que se reproduce la regla de Geiger-Nuttal. En efecto, para el rango de energías de las partículas a de las sustancias radiactivas y los valores de Z de los emisores a, se cumple la aproximación

“ logio (5.25)

con lo que la regla de Geiger-Nuttal vista en (5.6) y el modelo de Gamow (5.24) son expresiones equivalentes. Además, queda de manifiesto la dependencia con Z', número atómico del núcleo hijo, en la expresión (5.23) anterior.

El periodo del núcleo inestable por desintegración a se calculará sencillamente utilizando T1/2 = In2/A, lo que da lugar a:

en donde para estimar el factor /, se ha introducido Ka, la energía cinética de la partícula a en el interior del núcleo. Normalmente se aproxima Ka^T^. También suele tomarse ^ Q como una buena aproximación (el error cometido es del orden del 2 %, como ya se ha visto).

La siguiente tabla compara, para los isótopos par-par del Torio, los periodos experimentales con los calculados por el modelo de Gamow,

A Q (MeV) Ti/2 (s), calc Ti/2 (s), exp2 2 0 8,95 3,3x10-· 1 0 -®2 2 2 8,13 6 ,3 x 1 0 -® 2,8x10-3228 5,52 2,4x10® 6 ,0 x 1 0^232 4,08 2 ,6 x 1 0*® 4,4x10*·

Se observan discrepancias que pueden llegar a 1 ó 2 órdenes de magnitud. Esto es así porque se han hecho aproximaciones muy simples al realizar el cálculo. Por ejemplo se sabe que los núcleos con A > 230 son muy deformados, es decir no son esféricos y la fórmula de Gamow es muy sensible al radio nuclear. En cualquier caso, para una teoría completa de la desintegración a debe usarse la regla dorada de Fermi, incluyendo:

- Punciones de onda nucleares

- Barrera centrífuga.

- Núcleos no esféricos. Por ejemplo, un cambio del radio nuclear, a, del 4%produce un cambio en T1/2 de un factor 5.

5 .2.2 Emisión de otras partículas o núcleos

Se puede utilizar la teoría de Gamow para calcular probabilidades de emisión de otros núcleos, por ejemplo,

a) Núcleos más pesados que a.

Proceso Q(MeV) T1/2 calculado■^Th +32Ó ~ 2 ,3 x 1 0 «s

________^216 Ra + a +8,95 ~ 3,3 x IQ-· s

Recientemente se ha puesto de manifiesto (Rose Jones, 1984) la desintegración del 223βα dando un * 0 en el estado final. Las desintegraciones se comparan:

Proceso Q(MeV) T1/2 medido■ ORa ^ ^p ¿ ,+ i4 (7 Τ3Ϊ;8 2 , 7x 1 0 años

________^219 Rn + a -m,17 11,12 días

La detección del se realizó estudiando las desintegraciones de ima fuente de 3,3 μΟΐ de en equihbrio con “ Âc (Γ1/2 = 21 años), de la serie del 238(7. Una expficación para la enorme diferencia entre las vidas medias proviene de la probabiUdad de preformación del en el núcleo del Ra, que lógicamente es muy pequeña (~ 10“®). En efecto, en la anterior tabla el cociente de probabilidades de desintegración \c/\a predicho por el modelo de Gamow es del orden de 10“3, mientras que el medido experimentalmente es de 1 0 “®.

b) Emisión de protones.

Sólo posible en núcleos muy ricos en protones, para este tipo de núcleos entonces puede darse que 5p < O y Qp > 0. Estos núcleos se obtienen

208 Física Nuclear


bombardeando iones pesados, por ejemplo reacción en laque Hofman et ai, (1982) observaron la producción del núcleo y su posterior desintegración:

151Lu 150Yb + p

con Ti/2 = 85 ± 1 0 ms mientras que la predicción utilizando el modelo de Gamow da 1,7 /xs; desacuerdo probablemente debido a la complejidad de las funciones de onda nucleares y al momento angular orbital.

5.3 Espectroscopia alfa y estructura nuclear.71 KeV 212

83Bi60.6

Figura 5.4 - Estructura fina de la desintegración alfa.Cuando se mide la energía de las partículas a se observan cinco picos de energía bien definida que corresponden a las

cinco desintegraciones. La intensidad de cada desintegración se determinará midiendo el área del pico.

Los cálculos de Gamow, usando la expresión (5.7), pusieron en evidencia la llamada estructura fina del espectro a, o sea que aparecen varios niveles nucleares, cada imo con un valor de T« (o lo que casi es lo mismo

Qa) diferente y con intensidad diferente (ver figura 5.4). Además aparecían emisiones ganmia de los niveles excitados.

La espectroscopia alfa es pues muy útil para estudiar la estructura nuclear (de los núcleos hijo). Ayuda a conocer los números cuánticos de los niveles nucleares.

5.4 Reglas de selección: Momento angular y Paridad

El momento angular y la Paridad se conservan en la desintegración a. En efecto, ello es consecuencia de la invariancia del Hamiltoniano de la interacción (fuerte y electromagnética) bajo las rotaciones y bajo la transformación de Paridad.

Así pues en el proceso X X ' a se ciunplirá

Jx = Jx> -h ía (5-27)

Px = P ;c'(-1 )'“

ya que los correspondientes números cuánticos de la partícula a son = O"*·.Siempre que exista im momento angular orbital O, se cumplirá Jx ^ Jx’ y entonces se tendrá

\Jx — + Jx') (5.28)

Las consecuencias de las reglas de selección pueden clasificarse en dos grandes conjuntos de desintegraciones, como son los casos siguientes:

a) Ttansiciones entre núcleos pjir-par. Entre estados fundamentales será un proceso O·*· ^ O·*·, como por ejemplo en

^ Pu + Q (Ti/2 = 162,8 días)

Si los valores de ía son pares, aparecen bandas rotacionales (estados con espín-paridad 0 +, 2+, 4·*·...) con distintas probabilidades de transición para cada estado debido a los distintos valores de Q y de la barrera centrífuga. También podrán tener lugar transiciones con ía impar; en este caso la paridad de los niveles cambiará y aparecerán transiciones O'*' 1~, 3“ , 5“ , etc (ver el ejemplo de la figura 5.1).

210 Física Nuclear

Por contra, no podrán existir transiciones prohibidas, como 0 4“

b) Transiciones entre núcleos con A impar.

Las reglas de selección no acotan el valor de pudiendo existir varios £a posibles. Se recurre entonces a medidas de distribuciones angulares de a, que informan sobre los momentos angulares orbitales.

He aquí algimos ejemplos de desintegraciones entre estados fundamentales:

253Es ^249 + a (20,5 d) 7/2+ ^ 7/2+

3 h) 9/2-^7/2+

2 2 9 ^225 ^ ^ 5 d) 5/2+ ^ 3/2-

La medida de los espectros nucleares se realiza mediante técnicas que facihtan la asignación correcta de los niveles iniciales y finales del núcleo. La más popular es el la conocida como coincidencia a - 7 :

• Se miden intensidades de cada desintegración a midiendo el área de los picos de las distribuciones energéticas de las partículas a.

• A continuación, se seleccionan ventanas de Ta, es decir, se selecciona una determinada desintegración a vm nivel nuclear definido, y se miden los espectros de 7 asociados.

Este método puede comprenderse ayudándose de la figura 5.4. La coincidencia a - 7 podría emplearse para identificar con precisión los niveles existentes por debajo del estado 5+ de 330 keV, seleccionando las partículas a con la energía de ese estado (que además aparecerá como im pico en el espectro q que representará el 1,7% del total) y representando el espectro de energías de fotones 7 asociados, se observarían dos picos; el de 330 keV, transición directa al estado fundamental y el de 290 keV, es decir 330 — 40 keV, que es la transición del nivel 5·*· al primer estado excitado, 4"* , del TI.

Todo esto da lugar a la detección y medida de espectros rotacioneiles^. En efecto, la energía de los niveles nucleares pertenecientes a vm espectro


^Véase el Tema sobre M odelos Nucleares.

rotacional vienen dada por

Ej = ^ J { J + 1) + Ek (5.29)

el momento angular J puede tomar ima serie de valores que dependen de los números cuánticos del núcleo base (cuyo espín es K y su energía Ek ). En el caso frecuente de núcleos con A impar y estado base con espín-paridad diferente a O·*·, se cimiple que los valores posibles de J = íí, íí + 1, íí + 2,..., varían de uno en uno.

212 Física Nuclear

Ejemplo:

En el aparecen picos con EL, = (0; 55; 122,...) keV, por lo que si se calculan:

AE21 = ^ [ ( f í + l ) ( í í + 2 ) - f i (n + l)] = g 2 ( f i + l)

AEsi = = ^ 2 ( 2 í í + 3)

se obtieneí) = 3,5±0,2

es decir íí = 7/2, lo que da lugar a la banda rotacional del estado fundíimental del : 7/2+, 9/2+, 11/2+,...

Se puede determinar el valor intrínseco de

fí?— = 6,ll±0,02keV

con lo que se puede predecir el valor de los niveles

AE21 = 201,6 keV, etc


Alfa (Partícula) - (página 197) Núcleo de emitido en im tipo dedesintegración radiactiva. Su símbolo es a.

Barrera de potencial - (página 202) Región del espacio en que la energía potencial de un campo de fuerzas presenta im máximo relativo. Clásicamente esta barrera es impenetrable, pero en circunstancias en las que la mecánica cuántica se pueda aplicar se convierte en penetrable.

Desintegración a - (página 197) Desintegración radiactiva que ocurre mediante la emisión de partículas alfa.

Efecto túnel - (página 202) Fenómeno cuántico que consiste en el hecho de que una partícula atraviesa una barrera de potencial cuya altura es superior a la energía de la partícula. Este fenómeno es el responsable de la emisión a.

Espectro a - (página 209) Distribución de las radiaciones a emitidas por diferentes emisores en función de la energía. Las partícxilas a se emiten con valores discretos de energía característicos del radioisótopo emisor.

Estructura fina - (página 209) Muchos emisores alfa presentan un espectro de líneas, correspondientes a diferentes energías, ya que existen para ima transición dada varios lüveles finales.

Ley de Geiger-Nuttal - (página 200) Ley empírica que relaciona el periodo de semidesintegración de un emisor alfa con la energía cinética de las partículas a emitidas.

Modelo de Gamow (de la desintegración a) - (página 202) Primer modelo que usó el efecto túnel de la mecánica cuántica para exphcar ima desintegración.


Resumen• Una vez analizadas, en el capítulo anterior, las leyes de desintegración

radiactiva, es imprescindible la descripción de los distintos procesos por los que puede ocurrir. Se comienza por la emisión alfa, en la que un núcleo radiactivo puede emitir espontáneamente núcleos de ^He (partículas a). Las partículas a fueron identificadas como las radiaciones menos penetrantes al comienzo del estudio de las enúsiones radiactivas.

• Muchos núcleos pesados, A > 150, sobre todo los que pertenecen a lasseries radiactivas naturales (^^í/, y actinio (^^í/)) se desintegran mediante emisión alfa.

• La primera cuestión que se debe plantear es por qué im núcleo escoge emitir partículas a, qué razón especial hay para que se emitan en lugar de deuterones (por ejemplo). La emisión alfa es efecto de la repulsión coulombiana, y ésta se hace más importante en los núcleos pesados, ya que aimienta con mientras que la energía de enlace con A. Por lo que se hace más probable en núcleos con Z alto. Además la partícula alfa es un sistema nuclear muy estable, con una energía de enlace por nucleón muy alta. Todas estas consideraciones son las que llevan a la teoría de la emisión alfa,

• Para la expUcación de la posibihdad de emisión alfa es conveniente conocer que existe una determinada probabilidad de penetrar la barrera de potencial generada por el núcleo. Esta probabiUdad de penetración de la barrera es im factor crítico para determinar la vida media.

• La partícula alfa es emitida con una deternünada energía cinética (que se puede medir y calcular), esta energía se puede obtener mediante el planteamiento del balance de energía para el proceso.

• Del estudio de la Ley de Geiger-Nuttal se pueden obtener los periodos de desintegración de un emisor alfa, partiendo de la energía cinética con la que salen las partículas a emitidas en el proceso.

214 Física Nuclear

Debido a la posibilidad de que el núcleo hijo quede en algún estado distinto del estado fundamental, al medir el espectro de emisión se puede obtener una estructura fina, con diferentes picos, cada uno de ellos correspondiente a ima energía de emisión alfa.

• En la desintegración a se conserva el momento angular y la paridad. Existen unas reglas de selección para el espín y la paridad.


Ejercicios de autocomprobación1. Explique cómo es el espectro de im emisor a y por qué.

2. ¿Por qué se encuentra con frecuencia que las emisiones alfa van acompañadas de radiación gamma?

3. Conociendo los periodos y alcances de una familia de emisores a, puede determinarse el periodo o el alcance de otro familiar. Se tiene, p)or ejemplo, la familia radiactiva

^ R a [R — 3,36 cm; Tj/2 = 1.600 años)

y{R = 3,85 cm; T1/2 = 138,4 d)

Sabiendo que el tiene un alcance de 6,97 cm, se desea conocer su periodo.

4. Se tiene la desintegración

A — > B + a

en donde se ha encontrado experimentalmente que la máxima energía con que salen las partículas alfa es de 3,46 MeV.

(a) Conociendo la masa de A, determine la de B.

(b) Calcule la energía cinética de las a y la de retroceso del núcleo hijo

(c) Si A tiene espín-paridad O·*", ¿qué deberá tener B para que sea posible?

m{A) - 145,913038 uma, m(a) — 4,001603 imia

5. El ^ C f decae al emitiendo varios alfas a diferentes nivelesexcitados del hijo. Sabiendo que las energías de los alfas del hijo son

= 6,750 MeV, 6,709 MeV y 6,616 MeV. El de mayor energía es el que va al rúvel fundamental. Determine la Q de la desintegración y las energías de excitación de los niveles.

216 Física Nuclear

Soluciones a los ejercicios1 . El espectro de un emisor a es un espectro discreto. Aparecen tantos

picos como transiciones a los niveles excitados y al nivel fundamental del núcleo hijo sean posibles, corresponden a una energía de cada grupo de partículas emitidas.El núcleo hijo puede quedar en estado fundamental o en cualquiera de sus estados excitados. Las a más energéticos corresponden a las transiciones aJ nivel fundamental del hijo. Las a emitidos tienen energías bien determinadas por eso el espectro es discreto.

2. Esta pregunta está relacionada con la anterior, al no quedarse el hijo en el estado fundamental, los estados excitados tienden a desexcitarse cayendo al fundamental o a otro nivel menos energético, emitiendo radiación 7 . A través de la medida de esta radiación gamma, se ha comprendido mejor la estrutura fina de las a.

3. Según la expresión de la ley de Geiger-Nuttal (5.6)

logio Ti/2 = B - A logio «a

Denominando:

(1) R (l) = 3,36 cm T (l ) = L600 años = 584 x 10 días

2iopo ^ (2 ) ^ ji(2) = 3 ,85 cm T(2) = 138,4 días

Planteando (5.6) para los dos:


logioT(l) = B-AlogioR(l) IlogioT(2) = B-AlogioR(2)

Restando las dos expresiones y despejando A

A = ~ lo g io ^ (2 ) _

logioií(2)-logioñ(l)

Y para BB = logio T ( l ) -l· A logio R{1) = 38,04

Por lo que para esa famiÜa

^1/2 ~ 38,04 — 61,32 log g Rq

Sustituyendo el valor del alcance para el

logio Ti,2Í^ *PÓ) = 38,05 - 61,32 logio(6,97) - -13,67

7i/2( '‘Po) = 10"* ’® - 2,14 X 10“ * días = 1,8 x 10~® s = 1,8 ps

4. (a) La energía máxima con la que salen las alfa, será aquella en queel núcleo hijo queda en reposo. Es decir, que corresponde con la Q de la desintegración

Q = Tb + Ta, s i Tb = O Q = To¡axa

Teniendo en cuenta la expresión (5.3)

Q = (m(A) - m{B) - m{a))

y despejando m{B)

m{B) - {m{A) - m{a)) ~ ^ = 141,9143 - 3,71 x 10“® =

- 141,90771 uma

(b) Usando la expresión (5.4)

TT) í 4- \T„ = Q ( l - ^ ) = 3,46 1 - — )=3 ,36M eV

veiB \ 141 /

Y la energía de retroceso del hijo

T R ^ Q -T a = 0,l MeV

(c) Como en las desintegraciones a se conserva la paridad, el estado final también tendrá paridad +. Además como

Ja — J b "I"

y Ja — O, Jb tendrá que ser también 0. El estado final es O'*·.

5. Para calcular la Q se emplea la expresión (5.4) con la energía del a que va al rüvel fundamental (la mayor)*

218 Física Nuclear

Ta Q = T „ V ^ = 6 ,750^ = 6,86MeV' A - 4 ’ 242

^La fórmula correcta es Ta = · Aquí se utiliza una aproximación rUa « 4 y^ A que puede cambiar ligeramente los resultados.

Para los niveles excitados la expresión (5.4), siendo Eex la energía de excitación del nivel correspondiente, se convierte en

Ta = { Q -E ^ ) ( l - l ) = ^ £ ^ = Q - ^ T „

Por lo que


246 Primer rüvel flexil) = 6,86 - — 6,709 = 0,040 MeV = 40 keV

246 Segundo nivel £«*(2) = 6,86 - — 6,616 = 0,135 MeV = 135 keV

Capítulo 6

Teoría de lets desintegraciones beta

INTRODUCCIONO BALANCE EKERGÉTICO

TEORÍA DE FERMI DE LA DESINTEGRACIÓN BETA

o PROBABILIDAD DE TRANSICION- ELEMENTO DE M4TRIZ EN LA TEORIA V-A o DENSIDAD DE ESTADOS FINALES

FORMA DEL ESPECTRO BETAo MEDIDA DE LA M¿vSA DEL NEUTRINO

PERIODO COMPARATIVO Y TRANSICIONES PROfflBIDASEXPERIMENTO DE REINES Y COWAN VIOLACIÓN DE LA PARIDAD EN LA DESINTEGRACIÓN BETA DESINTEGRACIÓN DOBLE BETA

222 Física Nuclear


• Conocer los tres tipos diferentes de desintegración beta.

• Poder realizar los balances energéticos para los tres tipos de desintegración.

• Estudiar la teoría de Fermi de la desintegración beta.

• Dibujar e interpretar los diagramas de Kurie.

• Poder decidir el grado de prohibición de una desintegración beta.

• Entender el significado de la violación de la paridad en la interacción débil.

• Estudiar la desintegración doble beta, que permite poner en evidencia que u ^V.

6.1 Introducción

La desintegración ¡3 nuclear es una manifestación de la interacción débil, responsable de la mayoría de las interacciones de los leptones (cargados o neutros) y de las desintegraciones de los leptones y de muchos hadrones (debidas a su vez a desintegraciones de quarks).

En los núcleos, los procesos básicos de desintegración 0 pueden identificarse como procesos que sufren los nucleones constituyentes. Pueden clasificarse en tres variantes; se denominan f3~,¡3' y captura electrónica (CE) y se explicitan en la siguiente tabla.

Ejemplos

Teoría de la desintegración beta 223

n —y p + e~ +Ve ‘^Ne — > ^ 3 -I- e “ -I- Vg

“p” ^ n -I- e··· -I- (Joliot-Curie, 1934) —>2® Mg + e' + Ue

p + e~ —m, + i/e {L. Álvarez, 1938) -I- e~ K + Ve

(3

CE

En todos ellos aparece el neutrino i/g (o su antipartícula, el antineutrino Ve), partícula de masa nula y espín 1/2, introducida por Pauli en 1931 para poder explicar la conservación de la energía en la desintegración P nuclear. En efecto, el espectro de energías de los electrones emitidos en la desintegración beta tienen ima forma parecida al de la figura 6.1, desde Te = O hasta Te = To, que es el valor máximo posible de la energía cinética del electrón.

Supóngase la desintegración 0 del neutrón:

n ^ p + e~+Ve

El valorQ = {mn - T U p - m e - mv )(? = Tp + Te + Tp (6.1)

Si de momento se toma = O, y habida cuenta de que la energía cinética del protón es despreciable (Tp sa 300 eV) queda que

Q = Te+ Tp,= 0,782 MeV

y por lo tanto To = (Te)"*“® = Q, siendo Q la magnitud que fija el valor máximo (end-point) de la energía cinética del e~. La medida experimental (Te)"*“® = 0,782 ± 0,013 MeV. Así quedó de manifiesto originalmente que la masa del neutrino podría considerarse como compatible con ima masa nula.

224 Física Nuclear

F igu ra 6.1 - Espectro energético de los electrones emitidos en la desintegración /3 de los núcleos. La energía cinética máxima Tq se conoce

como pmito final (end-point) del espectro.

También era necesaria la existencia del neutrino para conservar el momento angular total. En efecto, la desintegración del no se podía explicar puesto que el proceso " N -{-e~ no conserva el momento angular totalya que el espín del es Jiac = O y el del ^^N vale = 1.

Entre partículas, los procesos débiles se clasifican en:

Semileptónicos, por ejemplo 7t+ como en el caso nuclear.

/A’ ó K - K^ + e - + Ve,

• No-leptónicos, por ejemplo E —► n + tt ; K' ' —* tt+tt®.

• Pm-amente leptónicos, como en el caso de la desintegración fi'*' e'*' +

La interacción débil está mediada por los bosones iy^(80,6± 0,4 GeV/cP) y Z®(91,16± 0,03 GeV/c ), muy masivos, que fueron descubiertos en 1983 en los experimentos UAl (C. Rubbia) yUA2 (R Darriulat) del CERN (Ginebra, Suiza). Por ello las primeras teorías consideraban que la interacción erapuntual ya que el alcance de la fuerza

i?o = — ~ ftnmees 3 órdenes de magnitud inferior al caso del intercambio de tt de Yukawa.


B \ / V ,

y-w"{ t \

n

d ! \ e -Figura 6.2 - Diagramas de Feynman para la desintegración ^“ del

quark d (d —► t¿ -h -h 17 ), que explica la desintegración (3 del neutrón, y del pión (tt“ —> + V ).

Se distingue entre dos tipos de desintegraciones débiles; las denominadas corrientes neutras, que dan lugar a procesos sin cambio de carga (e+e" —► véPe) y corrientes cargadas, que por ejemplo cambian el sabor de los quarks (d-û-\-e~ En el lenguaje de fuerzas por intercambio(ver figura 6.2), las corrientes neutras están mediadas por el bosón y las corrientes cargadas por los bosones W^.

Inicialmente se postuló que una misma constante de acoplamiento entraba en todos los procesos (hipótesis de universalidad), la llamada constante de Fermi, que vale

G f = 1,166 X 10"“ ( h c f MeV"2

cuyo valor será determinado gracias a las medidas de la desintegración beta nuclear.

6.1.1 Balance energético

Los valores de Q para cada uno de los tres procesos (3 nucleares se calculan a continuación en función de las masas atómicas de los núcleos que entran en juego:

• Proceso /?"

X(Z, TV) ^ r (Z + 1, iV - 1) + e - +17,(6.2)

Q0- = [M{Z, N) - M { Z + 1 , N - 1)]

• Proceso (3'

226 Física Nuclear

X(Z, N) ^ Y { Z - l , N + l ) + e+ + i/*

= [M{Z, N) - M{Z - 1, AT + 1)] c2 - 2me(?

• Proceso C.E.

X{Z, N) + e- ^ Y{Z - l , N + l ) + i e

Q c .e . = [M (Z, N) - M { Z - \ , N + 1)]

(6.3)

(6.4)

Be es la energía de enlace del electrón captiurado, en la capa electrónica correspondiente. Como Be ~ 10 eV (núcleos ligeros), sólo debe considerarse en el caso de medidas precisas de la masa del v. Podrían haberse utilizado las energía de Ugadura, Eb {Z,N), en vez de masas, con lo que aparecerían términos ±0,782 MeV, que es la diferencia entre la M„ y M{^H). Por conservación de la energía, hay ciertos núcleos que pueden tener captura electrónica y no . En general es más frecuente la C.E. ya que necesita menos energía.

Ejemplo:

El \Be (Ti/2 = 53,4 d) —> \Li sólo puede desintegrarse vía captura electrónica, CE.

^Be + e~ —>■ ^Li -I- Ve

Si se realiza el balance de energías paxa esta desintegración, siendo MÍ^Be) = 7,016929 u.m.a. y MQL í ) = 7,016004 u.m.a., se obtiene aplicando la expresión (6.4)

Q c .e . = {MCBe ) -MCLi ) ) c '^ == 9,25 X 10"'* X 931,49 = 0,86 MeV > O

Lo que quiere decir que es posible. Si se obtiene la Q^+, con la expresión (6.3)

Qff+ = [M{^Be) — M ( ’L í )) (? — 2meC == 9,25 X lO"" X 931,49 - 1,022 = -0 ,162 MeV < O

No es posible la emisión ¡3' espontánea.


En la tabla 6.1 se muestran ejemplos de desintegración beta nuclear de los tres tipos descritos, paxa distintos emisores beta. Se observa que el rango de valores del periodo de semidesintegración es muy amplio y está ligado al valor de Q. Más adelante se demostrará la regla de Sargent, que relaciona la vida media de la desintegración beta con la quinta potencia de la energía disponible para la desintegración 1/r ~ A pesar de ello, es evidente que, en el caso de la desintegración beta, el rango medido de las vidas medias es más reducido que en el caso de la desintegra ción a.

Figura 6.3 - Modos de desintegración del unos de los núcleos impar-impar representativos que pueden tener desintegraciones /?“ y /?+.

La transición /?~(4~ —> 0+) es de las llamadas 3 prohibidas.

Un buen ejemplo que ilustra todos los modos de desintegración /? es el del núcleo i mpar - imparque tiene un periodo de 1,28x10 años (ver figiura 6.3). A la derecha de la figura, se puede apreciar la escala de energías. Se puede observar que el balance energético de la desintegración /?+ requiere una mayor diferencia de energía que en el caso de la captura electrónica, o sea que se necesita al menos una energía igual a 2meC para que pueda existir la desintegración /?+, como se ha visto más arriba.

El jgK tiene una abundancia isotópica igual a 10“ " en el potasio natural. Es un elemento que tiene una gran importancia para el hombre ya que la transmisión de señales del sistema nervioso se realiza intercambiando iones de potasio. Su presencia hace que contribuya en un 16% a la radiación de origen natural a la que está expuesto el cuerpo humano.

228 Física Nuclear

Desintegración Tipo Q (MeV) T\¡223^g â + e- + Ve β - 4,38 38 s

Ru + e~ + Ve β - 0,29 2,1x10® años

‘ Âl —>2® Mg + e' + Ue 3,26 7,2 s

124/ ^124 Te + e+ + í/e 2,14 4,2 días

i®0 + e~ -+i® N + i/e CE 2,75 1,22 s

4iCa + e- ^41 K + CE 0,43 1,0x10® años

Tabla 6.1: Ejemplos de emisores beta nucleares

6.2 Teoría de Fermi de la desintegración beta

Aunque se sabe que la desintegración /?, en términos de quarks está mediada por el intercambio de un bosón W virtual, se usará la teoría de Fermi (1934), que supone la interacción débil como una interacción puntual, con ima intensidad que es una pequeña perturbación si se compara con los estados estacionarios nucleares.

6.2.1 Probabilidad de transición

Se aplicará la regla dorada con lo que la probabilidad de desintegración por unidad de tiempo, viene dada por la expresión:

\ = ^\ { f\H '\ i ) fp {E f ) (6.5)

Esto es posible porque el Heimiltoniaiio nuclear puede escribirse H = Ho+H', siendo Hq el término responsable de los estados estacionarios nucleares y H' ima pequeña perturbación, con lo que se puede aplicar la teoría de perturbaciones dependiente del tiempo, que da lugar a la regla dorada de Fermi.

Al término H'ji = {f\H'\i) se le llama elemento de matriz nuclear y p{Ef) es el llamado espacio fásico.

El estado inicial es im núcleo en un estado estacionario, con momento angular bien definido:

|i) = ¡J M O (6.6)

en donde C representa los otros parámetros necesarios para definir completamente el estado nuclear (isospín, coordenadas espaciales,...).

El estado final, considerando que los dos leptones son partículas libres (ondas planas) se describirá como producto de las funciones de onda de las tres partículas del estado final:

I/) = (6.7)

en donde F es el volumen arbitrario de normalización de las funciones de onda leptónicas y (al igual que ( en el estado inicial) representa el conjunto de funciones que completan el estado final.

Se puede desarrollar:

^ ^47r(2£ + iyM kr)V (o(0 ,0) (6.8)


en donde k = ke + 0 es el ángulo entre ky f y como las energías en juegoson bajas {Q ~ MeV) se puede realizar la aproximación de longitud de onda larga:

“ ( 2 ^con lo que

I / ) = ^ í^l + i^{kr)Yio{e,0) + . . . | \JfMfO ( 6 . 1 0 )

6.2.2 ** Elemento de matriz en la teoría V-A

En principio la invariancia relativista permitiría que el elemento de matriz de la transición:

H'fi = {f\H'\i) = g J {r¡<KK)OxÍ>idV (6.11)

siendo G la constante de acoplamiento, que da la intensidad de la interacción. Las propiedades relativistas del operador Ox pueden dar lugar a términos^ X =5, F, V, A, T. El operador que describe la interacción débil es de la forma V — A, lo que fue probado después de muchos años de estudio e investigación; de aquí elnombre de la teoría. Como de |2) a |/) hay una transformación n ----> p, se puedeutilizar el operador r± de subida/bajada de isospín^.

Según la teoría V — ^ y en el límite no relativista el hamiltoniano es un operador de la forma:

H' = = {GvrÛ) + GA<7{j)r^{j)} (6.12)j=i

Se trata de una interacción puntual descrita mediante dos términos. El primero es un término vectorial; contiene la constante de acoplamiento Gy y en el límite no relativista se representa por el operador unidad multiplicado por el operador Tzp.El segundo, con la constante G 4, es un vector axial formado por el producto del operador espín y La notación 0 \^ recuerda que se trata de un tensor esférico de rango A (el subíndice /i podrá tomar los 2A + 1 valores A, A — 1,..., —A, como para cualquier momento angular), que es lo mismo que decir que el operador O transporta un momento angular igual a A. Con ello, H' es un operador cuyo primer término (vectorial), transporta A = O y el segundo (axial) transporta momento angular A = 1. De esta manera, utilizando la aproximación de longitud de onda larga vista en (6.10), quedará:

H'fi - (6.13)

= ^ E {GvrÛ) + GAa{j)rî j )} | l - i^ ik r )Y io {0 ,O )^ I W )

en donde aparecen dos tipos de términos, los asociados con el “1”, que generan las transiciones permitidas (que corresponden al valor í = 0), y los asociados con el término (krY, con í > O, que dan lugar a las transiciones prohibidas. El valor de í da lugar al rango de prohibición; de esta manera se conocen transiciones 1^-prohibidas, 2^-prohibidas, etc.

230 Física Nuclear

^Las iniciales informan del tipo de término que se trata: 5 , escalar; P, pseudoescalar; V vector polar; A vector axial y T tensor.

Îgual que en el caso de los operadores de espín (matrices de Pauli), ahora también se tiene r± = {tx ± iTy).

Teoría de ¡a desintegración beta 231

n

”

e~v.

a) b)F igu ra 6.4 - Esquema de dos posibles tipos de desintegración del neutrón:

a) Sin cambio de espín entre n y p\ corresponde a transiciones Fermi. Los leptones están ax oplados con 5 = 0. El término del hamiltoniano es (F ) .

b) Con cambio de espín entre n y p\ corresponde a transiciones Gamow-Teller. Los leptones están acoplados con 5 = 1, es decir un estado triplete de espín.

El término del hamiltoniano es (G T). La desintegración del neutrón será una mezcla (suma) de las dos transiciones. En este caso, el momento angular orbital de los leptones es ¿ = 0. Por ello la desintegración del neutrón es una

transición permitida, mezcla de Fermi y de Gamow-Teller.

Dentro de las transiciones permitidas aparecen a su vez dos tipos de términos:

(6.14)HM¡

V e {J=1

A

[nMf j = i nMf J=1

Por lo tanto, la forma más general del elemento de matriz de la teoría V — A será:

\H'ff = G l { { F f + g\ {GTf } (6.15)

en donde la integral {F) corresponde a las transiciones Fermi y la integral (GT) a las de Gamow-Teller.

La visualización gráfica de las transiciones tipo Fermi y tipo Gamow-Teller se muestra en la figura 6.4 que representa la desintegración del neutrón. En esta figura aparecen los cambios de espín posibles; si el neutrón no cambia de espín, los dos leptones tienen que ser emitidos en la misma dirección, formando un singlete de espín (transición de Fermi). Por el contrario, si el espín del neutrón y del protón son opuestos, los dos leptones son emitidos en dirección opuesta formando un triplete de espín. Todo ello es debido a que los leptones, cuando participan en la interacción débil, son levógiros (su dirección de espín es opuesta a la dirección de movimiento).

Una simplificación importante tiene lugar en las desintegraciones permitidas, ya que es constante e independiente de Tg. Esto simplificará el estudio dela forma del espectro /? y el cálculo de las vidas medias en dichas transicionespermitidas.

6.2.3 Densidad de estados finales

La densidad de estados finales en el volumen V, de partículas con momento en el intervalo {p,p + dp) en un elemento de ángulo sólido dí2 es:

» W = (6.16)

con

= (6.17)

que efectivamente da el número de funciones de onda discretas, con longitud de onda A = h/pe que pueden ocupar un volumen V.

Las energías totales de los leptones serán

Ee = Te + TTieC y E = T + (6.18)

232 Física Nuclear

y en el caso de que m„ = O entonces se simplifica = T¡, = p c, siendo Ela energía total y T la energía cinética.

Aplicando lo visto a cada uno de los leptones del estado final:

a) Para el i/g? suponiendo que rut, = O,


y en caso de que se suponga que ^ O,

V li,d p „ V T o - T .° (6-20)

en donde se ha utihzado el llamado end point (que representa el valor máximo) de las energías cinéticas del electrón, Tq, en vez de Q, puesto que Q = TN + Te + y como Tjv ~ O queda Tq = T« +

b) Para el e^, denominando Z' el número atómico del núcleo hijo,

dne = ^^pldpeF{Z\pe) (6.21)

debe de introducirse la fimción F de Fermi, que da cuenta de los efectos culombianos del al atravesar el núcleo. Es una función bien conocida y tabulada. En el línúte no relativista « c, se tiene F{Z',Te) = x/(l — e“®) siendo x = ^2-naZ'/fi (para e"'").

Con la densidad de estados finales vista más arriba, la probabihdad de transición en función del momento Pe queda:

A(pe) = (6-22)dPe

= I p F{Z\Te)pl{To - T eW in - Te)2 - (m..c^7

6.3 Forma del espectro beta

El espectro de las beta es un espectro continuo, ya que en cada proceso existe un reparto de energía entre el electrón y el neutrino. La forma del espectro llega a un punto de Temax = Q que corresponde al caso en el quen = o.

Suponiendo:

a) Que \Hf \ es constante e independiente de Te, lo que sucede en las desintegraciones permitidas.

b) Que la masa del Ue es despreciable.

Se puede predecir el espectro /?, ya que aJ calcular

234 Física Nuclear

V I F

o sea que al representar la cantidad

oc (To - Te) (6.23)

en función de Te se espera ima recta cuyo end-point es Tq. Este es el llamado Plot de Kurie o diagrama de Kurie. En esta ultima expresión êxpiPe) es el número de desintegraciones medidas experimentalmente para cada intervalo de momento del electrón, p«·

6.3.1 Predicción de la masa del neutrino

La desintegración del neutrón en reposo, da inmediatamente una predicción de la masa del Ve- (r„ = 889,0±2,1 s ó también Ti/2(n) = 615,0± 1,5 s) La medida de la energía cinética máxima del e~ es Te.moi = 0,782 ± 0,013 MeV. Como Q = (m„ - m p - r u e - mü,)c? - (0,782 - MeV, se tieneentonces que

= (O ± 13) keV


Tq, es decir el valor máximo de la energía cinética del electrón emitido en la desintegración (3.

En principio, se espera el mismo valor en la medida de la masa del neutrino que la del antineutrino. En efecto, el teorema CVT predice que las masas de las partículas deben ser iguales a las de sus antipartículas.

La determinación más precisa de se ha realizado con el tritio:-> ^He + e~ Ve (T1/2 = 12,33 años, Qfs = 18,6 keV). El bajo valor de

Qp favorece la sensibihdad para detectar Además sólo existe un nivel nuclear, el del estado fundamental del aunque dos estados atómicos. También las fuentes de tritio son fáciles de preparar.

La resolución experimental modifica el espectro de Kurie cerca del end- point En la figura 6.5 las ciu*vas a trazos, representan los casos teóricos rui, = O y m», ^ 0. Al tener en cuenta la resolución experimental esas ciu-vas cerca del end-point cambian de forma. El cambio es calculable y se tiene en cuenta. En la figura 6.6 pueden observarse los resultados de los dos experimentos basados en la medida del espectro de los electrones de la desintegración del tritio, que han dado lugar a los valores Kmites de la masa

Êste teorema se trata al estudiar las simetrías en Física de Partículas.

236 Física Nuclear

del i e y en donde aparece con claridad el efecto de la resolución experimental cerca del end point.

Figura 6.6 - Medidas de la masa del neutrón por el plot de Kurie. Se observa el efecto de la resolución experimental cerca del end-point.

(A) Experimento de Tretyakov.(B) Resultados experimentales de Bergkvist.

Las medidas actuales arrojan límites superiores

< 7eV< 0,27 MeV< 31 MeV

Si TUu > O existen importantes consecuencias físicas, que son de plena actualidad y que todavía no han podido ser establecidas:

• Podrían haber oscilaciones de neutrinos (z e —► ^t)· Esta esuna de las posibles exphcaciones a la reducción de un factor 3 del flujo de i/c solares; el conocido déficit del flujo de neutrinos solares.

• Podría explicarse la masa oscura del imiverso (basta con que^ 5 eV). Según la teoría del Big-Bang deben existir ~ 10®

con lo que se puede “cerrar” el universo.

En relación con el problema de la materia oscura del Universo, en nuestra galaxia, la propia distribución de masa visible y su movimiento circular determinan que en la cercanía del Sol, la densidad de masa oscura (dark matter) es « 0 , 3 GeVcm“ . Sea cual sea su naturaleza debe comportarse como im gas sin colisiones, con una distribución maxwelliana de velocidades {v) rsj / v ^ 300 km-s"^ No se conoce la identidad de la materia oscma; hay candidatos (no de tipo bariónico) que se denominan WIMPs (Weak Interacting Massive Particles) y se clasifican en dos grupos:

• Materia oscura caliente. Representada por v masivos (de 1 — 10 eV).

• Materia oscura fría. Los candidatos podrían ser los neutralinos (foti- nos, higgsinos, binos) de las teorías de supersimetría (con masas entre 20 — 350 GeV) y el axión (10“ — 10“ eV) que aparece para eüminar propiedades no deseables de CV fuerte en la teoría QCD.

En el caso de transiciones prohibidas, hay que incluir también un factor de forma, S{pe,piy), función de los momentos de los leptones. Por ejemplo en el caso del ^^y(l/2“ ) ^ ^^Zr(5/2· ), transición F-prohibida, el factor de forma se escribe S = pl-\-pl.


6.4 ** Periodo comparativo y transiciones prohibidas

La probabilidad de desintegración por unidad de tiempo A, que da la vida media del proceso /3 se obtiene al integrar:

A = ^ d Pe = hf {Z ' , To) I H'f, P (6.25)

en donde

238 Física Nuclear

Tomando mj = O y dado que es constante e independiente de Tg (sobre todo para las transiciones permitidas), se puede escribir:

1 r P m a x

f i z ' , To) n z ' , Te)pl{To - Tefdpe (6.27)

que es una función adimensional llamada integral de Fermi, y que se calcula numéricamente (excepto para Z = 1). El valor de la integral de Fermi puede verse en la figura 6.7 para transiciones /?” y /?'*' y para núcleos hijo con número atónücoZ'.

6

5

4

3

2

1

O

-1-2

-3

-4

-5

-6

y.

x;:

/

40

0.1 0 0.4 8 10

Te (co MeV)

F ig u ra 6.7 - Valores de la integral de Fermi definida por la ecuación (6.27). El número atómico Z' es el del núcleo hijo y las curvas para Z' positivo se

refieren a transiciones /?“ , mientras que las curvas de Z' negativo se refieren a transiciones /?+.

Tomando en el hamiltoniano de la ecuación (6.25) sólo el término de Fernü, = G5,|M„P , en donde \Mfi\ es el elemento de matriz nuclear, y suponiendo

F (la función de Fermi) constante e igual a 1 y aproximando muy burdamente Te » se obtiene la regla de Sargent"*:

2irWc3 30 (” '28)

que da la dependencia de A según la potencia 5 del valor máximo de la energiadel e". Fue una regia muy bien verificada experimentalmente, sobre todo enlas transiciones permitidas y superpermitidas, que fue utilizada inicialmente para determinar Gy-

Se define el periodo comparativo^:

í t = í(Z ',T o )T y ¡=


h\H'„ 2

y es la cantidad® más representativa para el estudio de la desintegración (3 nuclear ya que es inversamente proporcional al elemento de matriz nuclear únicotérmino del que depende.

El valor experimental del producto f t va de 10 a 10 s y suele utilizarse para clasificar las desintegraciones /? nucleares en permitidas y prohibidas. De hecho se suele tomar el log f t , con lo que en el caso de las transiciones superpermitidas (Q· Q· ) toma valores log f t= 3—4.

Para calcular el proceso de captiua electrónica habrá que tener en cuenta:

• Sólo se emite una partícula en el estado final (el z e)» es decir que la densidad de estados finales es proporcional a oc Qce-

• El elemento de matriz es idéntico al de la desintegración ¡3.

• Habrá que incluir la probabilidad |^k(0)P de que un e~ de la capa K se encuentre en el núcleo (r 0).

Con lo que

\CE = (6-29)

y al sustituir el valor de |íî^(0)p queda finalmente

^B.W. Sargent; Proc. of the Royal Society, London 139 (1933) 659-672. ®Denotamos a /T 1/2 = ft , resultando más cómodo a la hora de escribir. ®E1 valor numérico de In2/A:i = 1,23 x 10“ ^® m® s.

240 Física Nuclear

= (6.30)

siendo Oq el radio de Bohr (oq = 0 ,529 A). Si se compara Xce con Xp se observa que la captura electrónica domina a gran Z, pero que Xp domina a energía elevada. Las capturas de electrones de la capa K son mucho más probables que las capturas de electrones de otras capas más alejadas. En todo caso, la captura electrónica se detecta gracias a la presencia de un rayo X resultante de llenar el vacío que dejó el electrón capturado en el núcleo hijo.

6.4.1 Tipos de transiciones y reglas de selección en la desintegración beta nuclear

Como siempre, las reglas de selección permiten conocer la relación entre el espín y la paridad. En el caso de la desintegración /? se trata de conocer los valores del espín y paridad de los estados nucleares inicial y final.

La ley de conservación del momento angular obhga a tener en cuenta tanto los núcleos como los leptones participantes. Sin embargo, una de las propiedades más sorprendentes de la interacción débil es que la paridad no se conserva. La paridad no es im buen número cuántico para los leptones. Por ello, sólo tendrá sentido estudiar la relación entre paridades de los núcleos.

Recuérdese que el hamiltoniano se puede escribir:

\ H ' f f = Y \ { f \ O U m i ) \ ^ (6.31)m M f

El orden de la transición viene dado por el momento angular orbital £, o sea el rango del operador Oem{0) que interviene en el elemento de matriz nuclear\HU\-

Ya se ha visto que el valor de i del hamiltoniano clasifica las desintegraciones 0 en: permitidas y prohibidas según que i = O 6 í ^ 0.

Ahora bien, para cada tipo de transición deberán tenerse en cuenta las siguientes reglas:

1. La diferencia entre los espines de los estados nucleares: AJ = \ J¡ — Ji\, coincidirá con el momento angular total que poseen los leptones:Al/ = Se -|- Si,

2. La relación entre las paridades de los núcleos Vi = V/AV, en donde AV = (—1) , viene definida por el momento angular orbital £.

Por lo tanto, para cada orden (o para cada valor de £) se tendrá:


TVansiciones Fermi

Se cumplirá A J = ya que Se + 5^= 0; los elementos de matriz serán los que den cuenta del cambio de carga p <— ► n (cambio de la tercera componente del isospín);

= \/Ti(T¿ -h 1) - Tsi{Tsi =F ‘ ) JfJi6MfMi6TfTi6T3fT3i i (6.32)

A

en donde Tzp = es el isospín nuclear y Ts representa la componentej=i

z (o tercera componente) del isospín nuclear. En la expresión anterior (6.32), las deltas de Kronecker contienen explícitamente las reglas de selección de las transiciones Fermi.

• TVansiciones Gamow-Teller

En este caso se tendrá AJ = £-\-l puesto que 5e+5^= 1. También podrá existir cambio de isospín además del cambio de la tercera componente. Los elementos de matriz serán

(6-33)

calculables una vez conocidos los estados |i), |/).

Los cálculos de los elementos {f\cr{j)\i) pueden realizarse utilizando las componentes esféricas (las matrices de Pauli son tensores esféricos de rango 1) de la matriz a, relacionadas con las componentes x, y, z:

(T±i = {(Tx ± i(Ty) y <To = a (6.34)

Habrá transiciones permitidas y transiciones prohibidas en cada uno de los tipos de transiciones beta nucleares estudiadas, Fermi o Gamow-Teller, como se describe a continuación.

242 Física Nuclear

I I I i 'T n — n ~ T

B B B S u p e r p e r m i t i d a B l I P e r a i t i d a s I B P r l M e r o - p r o h i b i d a f t g m s a g u n d o - p r o h l b l c l a a r r ^ a T t t r c A r o - p r o h i b i d a s 10 c u a r t o - p r o h i b i d a m

"I— r

■ «I I I g l ill___L

3 4 5 6 7 8 9 10 n 12 13 14 J5 16 17 1® 19 20 21 22 23

legfl

Figura 6.8 - Distribución de valores observados del \ogft.

Transiciones permitidas (£ = 0)

Se clasifican en dos tipos. Corresponden a los dos términos del Hamiltoniano:

a) Fermi : singlete,í AJ = 0,I AT = o, pero Ti + T f ^ O,' |at3 | = i.

Vi = Vf no hay cambio de Paridad entre los núcleos

Se llaman transiciones superpermitidas, a las transiciones Fermi puras tipo Q· —> 0" . Con ellas se puede determinar la constante de acoplamiento de Fermi Gy- En efecto, el elemento de matriz de la transición vale Bfi = Gyy/2 con lo que


f t =In 2

ki2Gl (6.35)

Ejemplos de medidas experimentales realizadas con desintegraciones ¡3 entre núcleos con espín-paridad Q···, son los siguientes

Desintegración /í(s)10(7 -»1° B 3100 ± 3114(9 ->14 N 3092 ± 426 Al ^26 ]^g 3081 ± 4^Go Fe 3091 ± 5

Se obtiene así para la constante de Fermi, Gy = 0,88 x 10“ MeV fm , que, al eliminar las dimensiones, tomando la masa del protón como imidad

queda

G v ~ l ,O x 1 0 “®

directamente comparable a a, ~ 1; a = 1/137 y Gn = 10“ ®.Ya se verá en su momento (en el estudio de las interacciones débiles

entre partículas), que al comparar con otros procesos entre partículas, la constante imiversal de Fermi, Gf, está relacionada con Gv por la expresión Gv = GF eos 9c> en donde aparece el ángulo de Cabibbo. Un proceso en el que interviene G f es la desintegración leptórüca del /x*, por ejemplo en H~ e~Uf¡Ve, puesto que Gf es la constante de acoplo universal W£u. Sin embargo, los procesos de desintegración de hadrones (y núcleos) se exphcan a través del cambio de sabor de quarks o sea, en el caso del quark u, a través de los acoplos Wud,Wus y Wvh que valen respectivamente 0,975, 0,222 y0,004 y el ángulo de Cabibbo, eos 6c = 0,975. Esta propiedad de ausencia de mezcla de generaciones leptónicas, contraria a la posibihdad de mezcla entre generaciones de quarks, tiene consecuencias observables muy importantes; entre ellas, la no existencia de hipemúcleos estables, es decir, núcleos en los que algún nucleón es reemplazado por un hiperón. Estos hipemúcleos se han observado, pero con vidas medias igual a las de los hiperones (A®, por ejemplo)®.

Ên algunos casos las transiciones que aparecen en la tabla no tienen lugar entre los niveles fundamentales de los núcleos.

*Estos conceptos se describen con más detalle cuando se estudian las interacciones débiles en Física de Partículas.

244 Fisica Nuclear

b) Gamow-Teller : ~s e + triplete,AJ = 0,±1 (0 ^ 0 )A T = 0,1 pero T + Tf ^ 0 ,IAT3 I = 1 ,Vi = V jno hay cambio de Paridad entre los núcleos

Una transición pura Gamow-Teller, permitida, es ^He —► ^Li + e~ + Vg, que es de tipo O"*" ^ I·*·.

En el caso más general en el que se den transiciones mezcla de Fermi y Gamow-Teller, el elemento de matriz nuclear ya se ha visto que vaJe:

\H'ff = G l { { F f + g^^{GTf} (6.36)

ApUcado a la desintegración del neutrón (1/2·*· —► 1/2+), que es un caso en el que existe mezcla de transición Fermi ((F)^ = 1) y Gamow-Teller((G T) I I I 3 ) permite determinar gA- La figura6.4 permite entender este proceso y el significado de los dos términos. Así pues, en este caso se tiene,

hi2

h G l { { F f T g \ { G T f }

con In 2/fciGv = 6141,2 ± 3,2 s. Para el neutrón, T1/2 = 615,0 ± 1,5 s. con ello y tomando el valor de la función integral /, se llega & f t — 1063 ± 21 s, con lo que |<;x| = 1,26, y por otras medidas se encuentra signo negativo. La mejor determinación actual de la constante gA toma el valor,

gA = -1,259 ±0,004

Es por eUo por lo que se denomina teoría V — A.

Transiciones prohibidas (£ ^ 0)

En este caso los operadores O transportarán momento angular orbitali Las probabihdades de transición A serán muy pequeñas ya que con > O habrá barreras de momento angular que inhibirán la emisión de los

leptones. De nuevo habrá dos términos:

• Fermi: conteniendo productos <t>) que inducen cambios en losespines nucleares que cumplen A J = í.

• Gamow-Teller: que contienen [a x e inducen cambios en los espines nucleares que cumplen AJ = ± 1 .

Si entre momentos angulares, por ejemplo, se cumple AJ = í, entonces esto implica que

\Ji Jf \ ^ í ^ Ji + Jf (6.38)La Paridad de los estados nucleares deberá cmnplir AV = (—1) , siendo

£ el rango del armónico V/,m( , 4>)· Las reglas de selección serán consecuencia del valor de i, combinando con singlete de espín para transiciones F y triplete de espín para las de GT.

Si bien, según la relación (6.38) existen una serie de valores del momento angular orbital í permitidos, sólo serán importantes aquellos que sean m¿is probables, que son los de menor i, y se cimiplirán las reglas de conservación de la manera que sigue:

Prm»P<vprohibida» ( í = 1) | ^ ¡ j

_________Vi = -V f__________ Ejemplo; ^ (1~ ^ 0+)


Segundo-prohibidas (í = 2) | | A = 2,3

__________ Vj = V f___________ Ejemplo; ^ N a ^ (3+ ^ 0+)

Tercero-prohibida* « = 3) | |A J| = 3,4

_________ Vi = - V f __________ Ejemplo; ^Ca (4~ 0+)

En las segundo-prohibidas (tercero-prohibidas) Gamow-Teller no cabe considerar el caso |AJ| = 1 (2 ), ya que entonces sería una transición permitida (primero-prohibida).

Incluso se conoce un caso de 4° prohibidas (|AJ| = 4,5),► ^^^5n(l/2· ), que cumple Vi = Vf y cuya transición tiene

lugar entre núcleos con |AJ| = 4. Para esta desintegración, el valor log f t= 22 J y, aunque parezca increíble, T1/2 = 6 x 1 0 " años.

Los valores del periodo comparativo log ft, se corresponden bastante bienal nivel de prohibición de las transiciones (3 nucleares dando lugar a imaclasificación de acuerdo con la siguiente tabla:

246 Física Nuclear

Tipo log/ísuper-permitidas 2,9-3,7

permitidas 4,4-6,0l°-prohibidas 6 - 1 0

2 ‘’-prohibidas 10-13S -prohibidas >15

6.5 Experimento de Reines y Cowan

En 1995 se concedió el premio Nobel de Física a F. Reines y a M. Perl. Al primero, por la primera evidencia experimental del a través de la detección de las interacciones de antineutrinos procedentes de im reactor nuclear®, sobre un blanco de CdCh y agua; al segundo por el descubrimiento de otro leptón ®, el r*, leptón que fue detectado gracias a la aniquilación e+e“ ^ T+T“ estudiada en el colisionador SPEAR del laboratorio SLAC en Stanford (EEUU). Su masa es = 1777 MeV/c , por lo tanto es el más masivo de los leptones cargados. Tiene ima vida media Tr = 0,295 X 10-12 s .

Para realizar el experimento. Reines y Cowan (1959) partieron de un flujo incidente de 1/ procedentes de un reactor nuclear (véase figura 6.9). Como se emiten, en promedio, unos 6 Vg por fisión, en un reactor de 1000 MW que es el que utilizaron (como el de Cofrentes), el flujo útil de Pe era del orden de lOi® cm“ 2 s“ i.

La probabilidad de interacción de los neutrinos (o antineutrinos) es extremadamente pequeña; considérese la reacción

Vg+p — n + é (6.39)

®F. Reines, C.L. Cowan; Phys. Rev. 113 (1959) 273-279. *®M. Perl et oi.; Phys. Rev. Lett. 35 (1975) 1489.


que puede tener lugar porque se conserva el número leptónico electrónico definido para el e y el neutrino {Le = — 1 en este caso, en ambos lados de la reacción). La sección eficaz será a = Xfíf) siendo el flujo incidente de neutrinos (proporcional a la velocidad de los neutrinos en el cdm, Vi=c), o sea:

prob. de leacctón/átomo _ _ 1 i ,2„!-------- flujo de --------------------rfV ----------

es decir,

(6.41)

ya qu e (F f = l ,g ^ (G T f ~ 3 y p representa el momento en el cdm del n ó del e"*·.

Figvira 6.9 - Esquema del experimento de Reines y Cowan que detectó antineutrinos procedentes de un reactor nuclear.

Se tiene así que para neutrinos de energías del orden de 1 MeV, la sección eficaz vale cr « 1 0“ ·* cm , o sea tienen un recorrido libre medio en el agua

248 Física Nuclear

{£) = 1 0^ cm ~ 1 0 0 años luz! de recorrido (en im medio con densidad igual a la del agua, o sea, el 10% del diámetro de nuestra galaxia, la Vía Láctea!). La detección del neutrino a partir de la reacción (6.39) quedó probada al detectar varias reacciones mediante la presencia de 2 pulsos separados entre sí de varios microsegimdos. Los pulsos electrónicos corresponden a la interacción de los fotones procedentes de la aniquilación del positrón 1 0 ” s), fenómeno casi instantáneo, seguidos de un pulso debido al fotón de la desexcitación del (7 d*, producido por captura neutrónica (proceso que tiene lugar tras el tiempo necesario de termalización de los neutrones en el agua), es decir imos 10 microsegundos después. En ambos casos los fotones eran detectados a través del efecto Compton o del efecto fotoeléctrico en el centelleador.

>Figura 6.10 - Desintegración beta del ^Co.

6.6 Violación de la Psiridad en la desintegración beta

La violación de la Paridad en la desintegración beta (T.D. Lee y C.N. Yangii, 1956) fue puesta en evidencia tras la observación de que la partícula

= 0 “ ) podía desintegrarse a dos estados finales de distinta paridad (el

"T.D. Lee, C.N. Yang; Phys. Rev. 104 (1956) 254.

estado con paridad 7 = -hl ó el estado 7r“*"7r“‘'7r“ , con paridad V = —1 ).Es lo que se denominó el puzzle 0 — r.

El estudio de la distribución angular de los electrones emitidos por el cobalto (figura 6 .1 0 ) polarizado a baja temperatiura, confirmó experimentalmente que la Paridad no se conserva en los procesos débiles. Se observó una asimetría respecto al espín del Co en la emisión de los electrones (70% de los e~ son emitidos en la dirección opuesta a la del espín del ®°Co). Este experimento fue realizado por Mme. Wu y colaboradores.


6.7 Desintegración doble-beta

La desintegración doble-beta,

A{Z, N ) ^ A { Z - l ·2 ,N -2 ) - l · 2e~ + 2í7, (6.42)

es un efecto de segundo orden, cuyo interés es profundizar en la naturaleza del neutrino (Majorana, lo que implica u = V o Dirac, que supone y Por el experimento de R. Davis (1955) en reactores, sabemos que el neutrino real, es distinto del antineutrino. En efecto, no se encontró ningún núcleo de ' Ar radiaxítivo procedente de la reacción Ve + 1 7 Cl e~ -hig Ar. Ello es consistente con la conservación del número leptónico: la reacción Ve~l· n no puede tener lugar. Pero en la reacción doble-beta, se podría tratar de neutrinos virtuales, que podrían aniquilarse en el caso de ser tipo Majorana. Entonces el doble-beta sin neutrinos sería más rápido que los procesos con neutrinos en el estado final, por cuestiones de espacio fásico.

Hay dos tipos de medidas que se llevan a cabo en el estudio de las desintegraciones doble beta.

^^C.S. Wu et ai, Phys. Rev. 105 (1957) 1413.

250 Física Nuclear

Q = -0 .9 MeV

Q = 3.0 MeV

Figura 6.11 - Desintegración doble beta del A través deuna ampliación de la zona del mínimo de la parábola de masas A = 82,

se muestra la imposibilidad de desintegración del al ya que Q < 0.

a) Por espectroscopia de masas, contando el número de átomos del núcleopadre e hijo. Por ejemplo, en rocas de Te se encuentran núcleos de Xe. La medida de Ti/2{Te) se obtiene al comparar los números de átomos de cada tipo:

Nxe = Nreil - e-"‘ ) « NtJ - ^J-l/2

Así se han determinado por ejemplo los siguientes periodos de doble beta:

lís j’e ^ 128 ( 3 , 5 ± 1,0) X lO '* años8 2 82^^ 7 ± 0,3) X 10 ° años

b)Método directo.

Si efectivamente el neutrino y el antineutrino son la misma partícula (i'e = í e)) entonces puede tener lugar la desintegración doble beta sin neutrinos en el estado final: X -+ X " + 2e~. Aparecería un pico correspondiente a la energía de los dos e~, por ejemplo en el elpico estaría situado a ima energía E{2e~) = 2,04 MeV. El experimento en el observatorio del Mont-Blanc ha medido la desintegración con neutrinos y ha obtenido T1/2 = 5 x 1 0 ^ años. Otros experimentos (imo de ellos español, en el túnel de Canfranc, en los Pirineos aragoneses), están en funcionamiento actualmente. No se tiene evidencia experimental concluyente de la existencia de desintegraciones doble beta sin neutrinos.


Desintegración /3 - (página 223) Desintegración radiactiva con emisión de partículas /?. Si se emite un electrón se denomina /?“ y si se emite un positrón También se considera proceso beta la captma por el núcleo de im electrón de la corteza electrónica, proceso que se denomina Captura Electrónica, C.E..

Emisor beta - (página 227) Nucleido que se desintegra por un proceso beta. Se denomina beta piuro si no presenta otro tipo de emisión radiactiva.

Energía máxima - (página 223) Valor máximo de la energía cinética de los electrones o positrones emitidos en ima desintegración beta.

Espectro beta - (página 234) Para un radionucleido determinado es el espectro energético de los electrones o positrones emitidos. Es un espectro continuo que va desde la energía cero hasta un valor máximo característico de cada emisor.

Interacción débil - (página 223) Es la responsable de la desintegración /3 y otros procesos de desintegración en los que intervienen leptones y quarks.

Ley de Sargent - (página 239) Ley empírica que relaciona el logaritmo de la constante de desintegración del emisor beta con la energía máxima del espectro.

Transiciones Fermi - (página 241) Desintegraciones beta en las que el sistema electrón-antineutrino (positrón-neutrino) es un sistema singlete de espín.

Transiciones Gamow-Teller - (página 241) Desintegraciones beta en las que el sistema electrón-antineutrino (positrón-neutrino) es un sistema triplete de espín.


Resumen• En este capítulo se estudia otro tipo de desintegración radiactiva, en la

que el núcleo puede emitir espontáneamente un electrón o un positrón (/?“ o ¡3' respectivamente). Existe un tercer tipo de desintegración beta, competitivo con la 0'*', que es la Captura Electrónica (C.E.).

• El estudio de este tipo de desintegración llevó al descubrimiento del neutrino, y es un claro ejemplo de interacción débil.

• Para entender los resultados del balance de energía de la emisión /?“ , donde aparentemente no se conservaba ni la energía lú el momento angular, se llegó al postulado de la existencia del neutrino.

• Para la comprensión de la emisión beta se debe desarrollar ima teoría que tiene que asumir los siguientes supuestos:

- El electrón y el antineutrino (positrón-neutrino en el caso 0' ) no existen en el núcleo antes del proceso de desintegración (creación/transformación de partículas).

- El electrón y el antineutrino tienen que ser tratados de manera relativista.

- El resultado de los cálculos tiene que proporcionar im espectro de emisión continuo de energía.

• Basándose en los puntos anteriores se desarrolla la Teoría de Fermi de la desintegracción beta.

En los diagramas de Kurie se relaciona la probabilidad de encontrar a im electrón entre p y p + dp, y la energía. Están basados en la teoría de Fermi, son su verificación experimental y además de comprobar la teoría sirven para obtener información sobre si el proceso es permitido o prohibido.

La clasificación de los emisores beta según su probabilidad de transición establece la diferencia entre transiciones permitidas = 0 ) o prohibidas ^ 0 ), y la relación con las reglas de selección (espín-paridad) de los procesos. La denominación prohibidas indica que dichas transiciones son mucho menos probables que las permitidas (y por tanto con vida media más larga).

252 FMca Nuclear

• Otra característica esencial de este tipo de desintegraciones es la violación de la conservación de la paridad, pues en la desintegración /?, como en todas las interacciones débiles, esta propiedad no tiene caracter conservativo.

• Del estudio de las emisiones doble-beta se pueden sacar conclusiones sobre la naturaleza de los neutrinos y los antineutrinos. La no existencia de doble beta sin neutrinos confirma que v ^v .



1 . Un neutrón libre ¿es radiactivo? ¿Por qué? En caso afirmativo ¿Mediante cuál proceso se desintegra? ¿Y un protón libre?

2. ¿En qué consiste un diagrama de Kurie? ¿Sobre qué nos informa?

3. El decae al ^Ca emitiendo un electrón. Determine:

(a) Si es posible.

(b) El espín y la paridad en ambos núcleos en el estado fundamental.

(c) Determine si es una transición permitida y en caso contrario qué grado de prohibición tiene.

4. El ' Ar se desintegra por captura electrónica al Determine:

(a) La Q de la desintegración.

(b) La energía de retroceso del

5. Teniendo en cuenta las reglas de selección, determine qué grado de prohibición presentan las siguientes desintegraciones beta

(a)

“ Co (2 +) — (0 +)

(b)

^ K r (0 +) ^ ^Rb (2 - )

(c)

’ Be ( f ) ^ ^Li (? " )

254 Física Nuclear

Soluciones a los ejercicios1 . El neutrón libre en caso de desintegrarse lo hará según

n —y p + 0~ +Ve

Calculando la Q

Qn = { m n - r u p - rUe) = (m„ - itih) (? =

= (1,008665 - 1, 007825)c2 =

- 8 ,4 X lO"" X 931,49 = 0,78 MeV > O

Como Q es positiva, este tipo de desintegración puede tener lugar.

En el caso del protón sería

p n + /?■’■ +

y

Qp = {rup - m„ - me) = (1,007277 - 1,008665)0 - 0,511 < O

Por lo que el protón no puede desintegrarse espontáneamente.

2. Un diagrama de Kurie está basado en la teoría de de Fermi de la desintegración beta y representa la relación entre P (número de desintegraciones medias por intervalo de momento del electrón) y la energía del electrón emitido, en relación con la función de Fermi. Sirve para determinar el pimto “end point” en la desintegración beta, correspondiente a la energía máxima de la desintegración.

La gráfica será Uneal para transiciones permitidas, lo que prueba la teoría de Fermi. En las transiciones prohibidas no es ima recta, pero puede ajustarse con un factor de forma s.

3. (a) Aphcaiido (6 .2 )

Q = {M C^K)-M {^^Ca))c^ == (43,961560 - 43,955481) == 5,66 MeV > O

Sí es posible, ya que Q > 0 .


256 Física Nuclear

(b)

Ur^19

í Z = 19 . \ N = 25 'impar-impax

El protón desapareado está en si/2 {I = 0, j = 1/2). El neutrón está en CÍ3/2 (/ = 2, j = 3/2).

3 1J =

3 12 ^ 2

> j > 7 = 2, 1

Según la regla de Nordheim, N = O, luego J* = 2' .

ToCa' 24 par-par r = o+

(c) Como AJ ^ O, no está permitida.

AJ = 2

{ Segundo prohibidaA P = +

4. (a) Según la expresión (6.4)

Q = { M f A r ) - M f C l ) ) c ^ == (36,966776 - 36,965903) == 0,81 MeV

(b) Por conservación del momento, suponiendo Ar en reposo

Pu = Pci

Se sabe quep2 = + 2Tm

Considerando la masa del neutrino igual a cero

Tci + ‘ Tcimci =

AdemásQ = n + T c i = ^ n = Q - Tci

Tqi + 2Tcimci = + Tqi — 2QTci

o . , . . , . - 3Tci =2 {mci + Q)

= 8,67 X 1 0 - MeV = 8,67 MeV

Teoría de la desintegración beta

5. (a)

257

“ Co (2 +)

(b)

88K r (0+)

(c)

62N i (0+)

1 = 2 AJ = 2

Pi = P}Segundo prohibida de Fermi

88Rb{2-)

e = 2AJ = 2

Pi = - P fPrimero prohibida Gamow-Teller

’ Be ( f ) — H i (5 ‘ ) ^

i = 0 AJ = 0 Pi = Pf

Permitida

Capítulo 7

Teoría de la desintegración geunma

INTRODUCCIÓNO DESARROLLO MLILTEPOLAR

CONSERVACIÓN DE ENERGÍA EN LAS DESINTEGRACIONES GAMMA VIDAS MEDIAS

o ORDEKES DE MAGNITUD DE TRANSICIONES GAMMA IVILILTIPLOARES REGLA DORADA DE FERMI

o ESTEVl-^DORES DE WEISSKOPE

REGLAS DE SELECCIÓNo CONV-ERSIÚN INTERNA

ESPECTROSCOHA GAMMA EFECTO MÓSSBAUER

o EMISION Y ABSORCION DE G AM 'IAS o APLICACIONES DEL EFECTO MÓSS'BALÍER

260 Física Nuclear


• Describir y analizar los diferentes mecanismos de desexcitación de un núcleo en un estado excitado; constatar las diferencias y semejanzas.

• Calcular las energías de emisión gamma y predecir la probabilidad de transición.

• Estimar los órdenes de multipolaridad de la transición.

• Estudiar el concepto de isómero y conocer algunos ejemplos.

• Comprender el proceso de conversión interna y predecir la multipolaridad del proceso, con los coeficientes de conversión interna.

• Estudiar el efecto MOssbauer y algunas de sus aplicaciones.

7.1 Introducción

Teoría de la desintegración gamma 261

Un núcleo puede ocupar una serie (infinita) de estados cuánticos. Estos, como en el caso de los átomos, tienen valores de energía discretos. En· La desintegración de los estados excitados de los núcleos

se realiza a estados de menor energía (véase el esquema de la figura 7 .1 ). Esto se puede realizar mediante los siguientes procesos:

• Por emisión de un nucleón, si su energía de excitación, Ei — Ef es mayor que la energía de separación nucleònica, Sp ó Sn·

• Vía emisión de fotones 7 (radiación gamma), sin cambio de tipo de núcleo.

E:

X

x " - X + y

Figura 7.1 - Diagrama de desintegración 7 de un estado nuclear X* de energía Ei a otro, X, de menor energía Ef.

Las energías de los fotones, E-y, van de 0,1 a 10 MeV, o sea con energías generalmente mayores que las de los conocidos rayos X de origen atómico

262 Física Nuclear

Proceso g(M eV) A(s-^)l^C + p

^ ¡*N + nA++ - , P + TT+

1,942,31154

2,5x101*'4,5x10 ®1,7x10 3

Tabla 7.1: Modos de desintegración del estado excitado de 12,15 MeV del y de la resonancia A (1232). Estos procesos no son electromagnéticos; tienen lugar por interacción fuerte.

(varias decenas de keV). Los fotones de las desintegraciones nucleares tienen energías del orden de ~ 1 0® veces la de los fotones del espectro visible emitidos por los átomos excitados (~ eV). Por ejemplo, im fotón rojo del espectro visible (A = 6 .2 0 0 Á), equivale a = 2,0 eV.

Los estados excitados nucleares resultan de las desintegraciones a ó /3 de núcleos radiactivos, o de reacciones nucleares.

La interpretación física de los estados excitados de un núcleo y la explicación de los valores posibles de los niveles energéticos En, es tema de estudio de los modelos nucleares. Siguiendo ideas del modelo nuclear de capas, la desintegración 7 puede comprenderse como el resultado de transiciones de nucleones entre niveles, al igual que las desexcitaciones de electrones en áto-mos.

Otros procesos similares a la desintegración 7 son:

X + e (conversión interna de capas K, L, M....) X + (e+e“ ) (creación de pares)

Ambos procesos son poco probables excepto en transiciones entre estados de espín-paridad O'*· ^ O···. Estas transiciones son posibles porque interviene xm fotón virtual. En efecto recuérdese que al tener = 1“ , las transicionesO ^ O no pueden tener lugar por emisión de im fotón real ya que el momento angular total no se conservaría (im fotón real sólo tiene dos polarizaciones posibles M = ± 1 , de las tres que debe tener cualquier partícula de espín 7 = 1 )

Entre partículas elementales también existen procesos de desintegración 7 , llamados a veces procesos radiativos. Si la Q de desintegración es bastante grande, esta tendrá lugar emitiendo partículas. En los núcleos pueden darse


Proceso Q A(s-i)

^ A“ + 7662 keV

76,9 MeV4,5x10-31,4x1019

Tabla 7.2: Dos ejemplos de desintegraciones gamma; ima del núcleo queaparece en la desintegración del característica de im estado nuclear delos llamados isómeros y otra del hiperón E°.

estados muy excitados, o sea con Q > |5„|, entonces puede tener lugar la emisión de un neutrón; análogamente, puede tener lugar la emisión de un protón. Un ejemplo es el estado excitado del a 12,15 MeV, que se compara con la desintegración hadrónica de la resonancia A(1232) en la tabla 7.1.

Sólo cuando el valor de Q no permite la emisión de una partícula, entonces la desintegración debe tener lugar por emisión 7 . En la tabla 7.2 se presentan dos ejemplos de emisores gamma, uno entre partículas extrañas y otro entre estados nucleares.

Los hiperones y A® son los dos bariones extraños más ligeros. Se observa que el rango de probabilidades de transición electromagnética es enorme. Los periodos van desde 10“ ® hasta 10® s. La mayoría de las transiciones tienen valores del Ti/2 del orden del nanosegundo (1 0 "® s).

Experimentahnente, el desarrollo de los detectores de estado sóhdo (sobre todo los basados en el Ge) ha hecho que la espectroscopia 7 nuclear haya avanzado mucho, ya que se trata de detectores muy eficientes y con ima resolución energética muy buena (0 ,1 %).

7.1.1 Desarrollo multipolar

Los núcleos se desintegran emitiendo fotones porque contienen cargas en movimiento que radian energía (la potencia emitida viene dada en teoría clásica del electromagnetismo por el flujo del vector de Poynting). Esta radiación puede clasificarse según su momento angular L y su paridad. Son dos buenos números cuánticos que se conservan en los procesos electromagnéticos. Para ello es habitual utihzar un desarrollo multipolar de los campos eléctrico y magnético. El orden del multipolo L es 2 . Así los términos

con L = 0 , 1,2,3,... corresponden, respectivamente, a mi monopolo, dipolo, cuadrupolo, octupolo,... Además, para cada multipolo se distinguen dos términos: el eléctrico (asociado a la distribución de cargas eléctricas) que tiene paridad (—1 )^ y el magnético (debido a las corrientes eléctricas y al espín), con paridad (—1 ) ···^ Se denominan, respectivamente, transiciones EL y ML.

El monopolo (£'0 o MO) se anula siempre, ya que una distribución de cargas con simetría esférica no emite radiación. El comportamiento del monopolo eléctrico (£"0) es idéntico al de ima carga eléctrica. En el caso del monopolo magnético (MO), aunque postulado, todavía no se ha probado su existencia.

Así pues, el proceso de desintegración 7 es debido a la estructura de cargas y al magnetismo intrínseco de los constituyentes; es un proceso electromagnético multipolar; el núcleo inicial con espín se desintegra al estado final con espín J/, emitiendo un fotón de multipolaridad L. Dado que el fotón tiene espín-paridad: = l~ {es un bosón vectorial), la multipolaridad L es debida al espín del fotón y al momento angular orbital í entre el fotón y el núcleo de retroceso. Pero el fotón sólo tiene dos polarizaciones posibles: espín paralelo o antiparalelo respecto a su dirección de movimiento. Esto explica que no existan transiciones 7 entre estados de espín O —> 0.

7.2 Conservación de la energía en las desintegraciones gamma

Un núcleo en un estado excitado con energía Ei se desintegra emitiendo un fotón 7 de energía E,y y el núcleo queda en un estado con energía Ej (que puede ser el estado fimdamental u otro estado excitado, pero en todocaso con energía menor que la inicial). Ver el diagrama que se presenta en lafigura 7.1.

Sea Ef el estado final y Ei el estado excitado, inicial. Se tiene

AE = E i - Ef (7.1)

Aplicando la conservación de la energía y del momento,

Ei = Ef + E + Tr (7.2)

O = p-y + pfi (7.3)

264 Física Nuclear

y como = p c, queda (considerando al núcleo de retroceso no-relativista):

AE = E + (7.4)

siendo M la masa del núcleo de retroceso. Al resolver para E se obtiene

que es la misma expresión si se despeja E de la expresión (7.4) y se toma E « AE.


Ejemplo:

El al emitir deja al núcleo hijo, el en im estado de excitado de 1,276 MeV. ¿Cuál será la energía del gamma emitido desde ese nivel al pasar al fundamental?

Aphcando (7.5) y teniendo en cuenta que Ei = 1 ,276 MeV y Ef = Q MeV, AE = 1,276 MeV.

1 276

= 1,2759 MeV ~ 1,276 MeV

Como se ve se puede tomar E ~ AE.

Las energías de los fotones emitidos en las desintegraciones nucleares son mucho mayores que la de los análogos en física atómica. Como ya se comentó en un ejercicio de autocomprobación anterior, ello se debe a que la separación energética entre niveles nucleares es mucho mayor. Si se relacionan las energías (o las longitudes de onda A = hc/E^) de los fotones (del orden de décimas de eV para las atómicas y centenares de keV para las nucleares) con el tamaño atómico/nuclear se obtiene:

Aat. ~ 1 0 “ · m, Rat. ~ 1 0- 1° m YA at.

10-3

~ 10'

nu.

Se verá más adelante que las probabilidades de transición (vidas medias) son proporcionales a los productos kR ~ ii/A, puesto que p = hk; es por ello que en física atómica basta con considerar radiación eléctrica dipolar (primer orden) mientras que en física nuclear, en principio, siempre hay que tener en cuenta más multipolos.

7.3 Vidas medias

Antes de pasar al cálculo de las probabilidades de transición, es muy instructivo estimar órdenes de magnitud de transiciones multipolares por argiunentos dimensionales.

7.3.1 Ordenes de magnitud de transiciones gamma multipolares

En teoría de perturbaciones, y considerando sólo el término de primer orden, la probabilidad de desintegración 7 de un átomo o de un núcleo es proporcional al elemento de matriz del operador dipolo eléctrico, d = —ef, que en efecto es el que reprênta la interacción elemental de im dipolo con el campo eléctrico: W = -d £. El elemento de matriz será:

|(/H¿)|2 = |(d)|2 (7.6)

Dimensionalmente, en el caso dipolar (L = 1 ), para la probabilidad de transición dipolar eléctrica se tendrá:

X{E1) (X acR^ (7.7)

y generalizando a cualquier multipolaridad eléctrica:

\{EL) ex +1 (7.8)

en donde se puede observar la relación entre el orden multipolar y la potencia de R. En concreto, el momento cuadrupolar eléctrico es eQ teiüendo Q dimensiones de superficie [L ], y así sucesivamente. La constante a es laconstante de estructura fina, o constante de acoplamiento de la interacciónelectromagnética cuyo valor (adimensional) es a = 1/137.

266 Física Nuclear

También puede observarse que cada aumento de ima unidad en la multipolaridad, la probabilidad se reduce por lo menos en un factor lO“ .

En física nuclear es frecuente hablar de la resonancia dipolar gigante. Su nombre viene del hecho de que se trata de im proceso catalogado como £*1 , o sea, dipolar eléctrico, en el que los protones y neutrones oscilan alrededor del centro de masas nuclear produciendo un aiunento de la sección eficaz de colisión de fotones con núcleos. Para núcleos ligeros el fenómeno tiene lugar en las interacciones con fotones de energía 25 MeV y para los núcleos pesados disnúnuye hasta E^ ~ 12 MeV. La resonancia nuclear gigante, tiene una anchiura de varios MeV y se suele desintegrar emitiendo un nucleón.

Pero existen también transiciones magnéticas, _ imilables a la interacción del espín con im campo magnético W = - ¡ I B. Dimensionalmente, en el caso dipolar magnético se tendrá

A (M l)cxac('^V ('áíV P.9)


\ 2 M )

O sea, el elemento de matriz de | (/i) p.Si la transición es de orden ML, entonces el espín nuclear puede llegar a

cambiar de im valor igual a L y queda

Por último, es útil volver a recordar que la probabihdad de transición radiativa A está relacionada con la vida media del estado nuclear y con la anchm*a intrínseca del estado por las conocidas relaciones

X = - = ^ (7.11)T-y ñ

La anchura total del nivel, F, es mayor que la determinada con las desintegraciones 7 (radiativas) porque hay que incluir la conversión interna, de forma que, como se verá más adelante At = A^(l -I- a)i.

7.3.2 Regla dorada de Fermi

En teoría de perturbaciones dependiente del tiempo, el cálculo de la probabihdad de emisión 7 por im átomo/núcleo puede realizarse en la aproximación de Bohr (primer orden de teoría de perturbaciones), de forma que

'Aquí a es el coeficiente de conversión interna.

268 Física Nuclear

la probabilidad de desintegración por imidad de tiempo viene dada por la conocida regla dorada de Fermi:

(7.12)

en donde el hamiltoniano de la interacción entre una carga q y el campo electromagnético, representado por el potencial vector Á, es

H' = H[ + /f'

siendo

m ¿m(7.13)

el término eléctrico y si se toma en cuenta la interacción de un dipolo (el espín del protón S ) con el campo magnético (recuérdese que B = V x 4):

La densidad de estados finales

con/-(£/) =

dn1Ë

:düdE

(7.14)

(7.15)

(7.16)(27r)3fic3 ya que para el fotón, E = hu> = pe.

Se Uega pues a las siguientes expresiones para la probabihdad de transición:

Itíunsiciones Eléctricas

Transiciones M agnéticas

A ,,(M i) = ¥ X í )| i )| % / «

en donde el subíndice i/ recuerda los estados de polarización del fotón.

(7.17)


A {EL) s-i L A (M L) s-i1 1 ,0 -101'* . 2/3 . ^3 1 3,15-1013 · £3

2 7,3-10 · A /3 · E^ 2 2 ,2 -1 0 · yl2/3 .

3 33,9 .42 . 3 1,04-10 - A'*/3 ■

4 1,1-10-5 · · F» 4 3,3-10-® -A^-E^

5 2,4-10-12 . AIO/3 - Eli 5 7,4-10-13 - 8/3 . £Jii

Tabla 7.3: Valores de los estimadores de Weisskopf de las probabilidades de transición \{EL) y \{ML) para transiciones multipolares eléctricas y magnéticas respectivamente, en función del número másico y de la energía del fotón emitido

en MeV.

7.3.3 Estimadores de Weisskopf

La probabilidad de desintegración por unidad de tiempo A, calculada tomando los operadores multipolares er^ entre estados de protón individual {single partióle) en el modelo de capas esférico, es decir, estados con momento angular bien definido |jm), y suponiendo que el protón en el estado final tiene momento angular orbital ¿ = O, da lugar a los llamados estimadores de Weisskopf, que se han convertido en los valores estándar por convenio.

El resultado del cálculo de Weisskopf da como probabihdades.

87t{L + 1 ) \

L + 3H,2L

\{ML) = acStt

L[{2L + l)\\y

x l i,2 L -2

m i L + 2 \ 2

\ 2

/

(7.18)

(7.19)

Los valores numéricos resultantes, en función del número másico A y de la energía del fotón se dan en la tabla 7.3.

270 Física Nuclear

1/2

E^flVfeV)

Figura 7.2 - Periodos de semidesintegración calculados por los estimadores de Weisskopf en función de la energía del fotón emitido en la desintegración.

Los valores corresponden a un núcleo con A = 100.

Puede verse el rango de valores de Ti/2 , periodo de semidesintegración 7

de los núcleos, en la figura 7 .2 .La comparación de las probabilidades obtenidas con el experimento, mues

tra diferencias de im orden de magiütud (para transiciones E2) o incluso mayores (£ 1 ), lo que demuestra que deben tenerse en cuenta los efectos colectivos nucleares. Para multipolaridades elevadas, los estimadores de Weisskopf son una buena referencia, aunque siempre sobreestiman la probabilidad; incluso en más de im orden de magnitud. Esto se entiende debido a la aproximación realizada.

La observación de las predicciones de las probabilidades obtenidas en la aproximación de Weisskopf (de partícula individual) permite extraer las siguientes conclusiones importantes:

a) Existen estados excitados que sólo pueden desexcitarse a través de transiciones de alta multipolaridad. Tienen un periodo relativamente largo, por ejemplo T1/2 > 1 0 “® s. Se dice que esos estados son isómeros. Se les reconoce con la notación de ima m en el exponente. Por ejemplo el

que aparece tras la desintegración ¡3 del y que da lugara un fotón de 662 keV. Tiene un periodo de 2,55 m, y tiene una vida tan larga porque es una transición 1 1/2 " —► 3/2· , o sea de tipo M 4 , idéntica por ejemplo a la transición del nivel de 160 keV del que se desintegra al estado fundamental con un semiperiodo de 1 1 ,8 días. Véase un ejemplo en la figura 7.3.

Este fenómeno suele darse antes del llenado completo de capas de los núcleos con números mágicos = Z = 50,82,126, es decir mientras se completan las capas l/in/2 y H13/2 del modelo de capas.

b) Existe una discrepancia sistemática en las probabilidades para las transiciones E2 entre el experimento y los valores de Weisskopf. Contrariamente a las demás transiciones, en este caso los experimentos dan probabilidades más grandes (T1/2 más pequeños) que las predichas teóricamente. Ello se asocia a fenómenos colectivos, (por ejemplo estados rotacionales, donde varios protones pueden intervenir) debidos a la deformación nuclear.

c) La creación de pares interna es posible, siempre que AE > 1 , 0 2 2 MeV.

d) Un método extendido para la determinación experimental de la multipolaridad de una determinada transición es el de las correlaciones I {6) entre fotones que se emiten en cascada 7 — 7 2 , ya que la distribución angular entre estos fotones es sensible al espín-paridad del estado y al tipo de multipolaridad EL, M L de la transición. La forma general del espectro angular entre los dos fotones 7 y 7 2 es:

L

I{e) = \ + Yâ2kCos^\e) (7.20)fc=l

y el máximo L viene dado por la multipolaridad en juego.


272 Física Nuclear

1771 i

4 ^

E2

1 IMS

2-^ ' “ 4341

0 ^ ' ^ ol

6^

10847

10»

2* X m 479

127 i

96%

633

E2

108

46Pd

m48 Cd

Figura 7.3 - Un ejemplo de un isómero: el estado 6 " de 109 keV del núcleo de

7.4 Reglas de selección

Las reglas de selección se refieren al espín-paridad de los estados nucleares intervinientes en la desintegración;

X * ^ X + j

La conservación del momento angular se expresa:

Ji = Jf L

y la de la paridad:

(7.21)

(7.22)

siendo L la multipolaridad de la radiación.El fotón es un bosón vectorial, es decir con espín-paridad 1 “ , con lo que

la multipolaridad L se obtendrá al tomar también en cuenta el momento angular orbital del movimiento del fotón respecto del núcleo.

La multipolaridad L de la transición podrá fijarse una vez conocidos los espines de los estados nucleares, y viceversa.

La relación que deben cimiplir los momentos angulares es:

\Jf - J i \ < L < J f + Ji (7.23)

por lo tanto según la multipolaridad se deberán cumplir las reglas:

El, M I : AJ = 0,±1 (0 ^ 0 )


{ E2, M2 :A J = O, ±1, ±2 (O O, O 1, 1 ^ 0 , 1 / 2 ^ 1/2)

y así sucesivamente. Como acaba de verse, P l representa la paridad del fotón multipolar. Su valor dependerá del tipo de transición. Evidentemente cuando uno de los dos núcleos tiene espín O, el otro es el que determina la multipolaridad. Se cumple,

a) P l = ( - 1)^1 para transiciones EL (recuérdese que el operador d = efes impar y es la magnitud representativa de transiciones dipolares eléctricas, o sea para L = l. Las demás transiciones cambian alternar tivamente según el orden de multipolaridad.)

b) V l — (—1) " *) para transiciones M L {ß [f x p\ es psir para L = 1 ycambia de signo alternativamente).

Ejemplo:

Consideramos un núcleo de peso medio (A ~ 125) por lo que .12/3 ^ 25

Sea la transición 3/2·*· ^ 5/2"*·, de 1 MeV de energía.Las multipolaridades posibles son: L = 1 ,2 ,3,4, y como no

hay cambio de paridad, sólo pueden tener lugar M I, E2, M3, Ei.Si el estado inicial fuese 3 /2 “ , entonces habría cambio de pari

dad y por lo tanto las transiciones permitidas serían El, M2, E3, M i.Utilizando los estimadores de Weisskopf (con las expresiones

que aparecen en la tabla 7.3), las relaciones entre las probabilidades de transición tomando A(£^l) = 1 :

A (E l) h-A(M2) Â(£;3) Â (M4)1 ^ 2 , 3 x 1 0 - · ^ ^ 2 , 1 x 1 0 - 1 0 ^ 2 , 1 x 1 0 - ^ ^

Con lo que se observa que basta con tomar en consideración la multipolaridad más baja, que será la única que contribuya a la transición en este caso ya que las demás son despreciables.

274 Física Nuclear

Según estas reglas no puede existir desintegración 7 en las transiciones 0 - ^ 0 , aunque sí puede haber conversión interna o creación de pares interna.

Generalmente pueden darse varias multipolaridades EL y ML, siempre que se cumplan las reglas de selección vistas más arriba. Sucede también que sólo la primera posible es suficiente pues las otras son despreciables. En efecto, es fácil comprobar que \{ML + 1)/\{EL) ~ 10“ , luego con el primer multipolo eléctrico permitido hay suficiente. También se ciunple que \{EL -h 1 )/A(ML) 10“ , menos claro que en el caso anterior.

3817'O ( 37 min.)

MeV

- - 5

__4

- - 3

- - 2

- - 1

-Lo

Figura 7.4 - Esquema de desintegración del ^Cl donde se muestran los tipos de transiciones multipolares permitidas, entre los estados

excitados del Âr. En la transición 3“ —> 2'*', podrían también tener lugax otras multipolaridades más elevadas, pero

de magnitud despreciable frente a la transición E\, dominante.

Hay casos extremos en los que es necesario tener en cuenta varias multipolaridades. Por ejemplo entre partículas elementales:

A+(1232) ^ p + 7


en donde Q = 294 MeV. Es una transición 3/2' —> 1/2' en la que es necesario tener en cuenta M l y E2.

Una desintegración frecuente es la 2+ ^ O'*· en los núcleos par—par, por ejemplo la transición de 90 keV al estado fundamiental del ^ H f, que debe ser una emisión E2 pura, de acuerdo con la conservación del momento angular. Sin embargo es muy frecuente encontrar transiciones en las que es necesario tener en cuenta E2 + M1, como por ejemplo 7/2“ -+ 5/2“ en el *^Ti. Ello es debido a que las transiciones E2 son frecuentemente tan elevadas como las M l.

Ejemplos de transiciones E ly E2 pueden verse en la figura 7.4 donde se muestran las transiciones entre niveles del Âr que se alcanzan por desintegración del

7.4.1 Conversión interna

2 ^ 834( 3.1 ps)

Figura 7.5 - Esquema de desintegración 7 del ^ Ge. La transición monopolar EO sólo puede tener lugar por conversión interna.

La conversión interna es una alternativa a la emisión 7 nuclear; en este caso se emite im e~ atómico, proceso que no hay que confundir con el efecto fotoeléctrico, ya que este último es una interacción 7 + e". La conversión

276 Física Nuclear

interna es una interacción mono o multipolar electromagnética, y es muy probable en núcleos pesados (con Z elevado).

El proceso de conversión interna se caracteriza por la emisión de un electrón monoenergético:

X* ^ X + e~

siendoT e ^ A E - Be (7.24)

la energía del electrón {Be es su energía de ligadura atómica).Por ejemplo, el (T1/2 = 46,6 d), = 5/2+, se desintegra al nivel

de 279,19 keV del cuyo estado fundamental tiene = 1/2' (véasefigura 7 .8 ); se emitirán electrones de una energía dados por la tabla:

Capa Be (keV) Te (keV)w 85,5 193,6{L¡), 2si/2 15,3 263,8{L n ) , 2pi/2 14,7 264,4{Lu í) , 2p3/2 1 2 ,6 266,5{M i ) 3,7 275,4

Si se dispone de una buena resolución energética, se podrán medir los niveles energéticos de los orbitales atómicos, gracias a la medida de la energía del electrón emitido, Tg. Después de la emisión del e~, quedará un hueco en la estructura atómica. Este hueco será llenado inmediatamente por otro electrón y habrá emisión de im rayo X característico del átomo.

La probabihdad de desintegración 7 total de im núcleo por unidad de tiempo será

Xt = Xy + \e = Xy{l + a) (7.25)

en donde a representa el coeficiente de conversión interna, a = Xe/^ que puede descomponerse como smna de los coeficientes parciales correspondientes a cada capa atómica a = ük + + üm + ■■■

El cálculo no relativista de los coeficientes de conversión interna se realiza tomando en cuenta la función de ondas del electrón, y debido a que se cancelan (aproximadamente) las funciones nucleares, se obtiene:

a{EL) =L + l

2meC?E

L + 5 / 2

(7.26)


en donde se pueden observar las dependencias con Z, (opuestas a la que se vió en las expresiones de A- ), L y n. Este último es el número cuántico principal atómico que da la capa; n = 1,2,3,... corresponde a las capas K,L,M ,... Vemos en particular que para núcleos con Z elevado, los coeficientes de conversión interna son importantes. El factor Z^/n viene del cálculo de |í'j_e(0 )P) que también se vió que aparece en la probabilidad de captura electrónica, siendo ^ la función de ondas de un átomo hidrogenoide y donde se ha supuesto que el núcleo es pvmtual. Ahora |i) =

Existen nmnerosas tablas de los coeficientes de conversión interna. He aquí dos ejemplos niunéricos: aKC^Ne) = 6 , 8 x 1 0 ~® y a;c(i82vi/) = 2,5x 10-3.

Pero las probabihdades de conversión interna aumentan considerablemente con L, así en el caso del se tiene o k ÍM I) = 0,10 y a¡({MA) = 30, llegando a ser más probables que las emisiones de 7 .

Las predicciones para transiciones EL y M L son tan diferentes que los valores de a permiten distingiür qué tipo de transición tiene lugar. Un caso particular lo presentan las transiciones O"·· — O"*·, para las que a = 0 0 ya que no puede haber emisión 7 (A = 0 ), caso que se da por ejemplo en la desintegración (figura 7.5) del nivel 691 keV del (T1/2 = 0,42 fjs). Se trata de una transición EO, monopolar, por lo tanto sólo posible por conversión interna.

Se ha detectado la emisión de im par e+e“ en la desintegración del estado de 6,05 MeV, es decir por producción de pares interna, así como también

se ha detectado la emisión de dos fotones:

i®0*(6,05 MeV) 7 + 7 +

al estado fundamental. Este es otro ejemplo de transiciones O"*" —> O"*·.Sin embargo entre núcleos no se ha encontrado ningún ejemplo de transi

ción O —> O con cambio de paridad. Sí que se ha detectado entre partículas. Este es el caso de la desintegración electromagnética del 7t°:

TT® -> 7 -l· 7

^No confundir a(EL)^ parámetro de conversión interna, con a, constante de estructura fina, que también aparece en la misma expresión.

que es un mesón pseudoescalax (0 “ ) que se desintegra a un sistema de dos fotones (0 " ).

7.5 Espectroscopia gamma

La espectroscopia gamma ha permitido mejorar el conocimiento de la estructura de niveles nucleares y de los números cuánticos de dichos niveles. Esto se consigue gracias al resultado combinado de las siguientes medidas:

1. Energías e intensidades de los picos gamma, o sea de los picos que se obtienen en las medidas de con buenos detectores de fotones.

2. Coincidencias entre picos gamma.

3. Cocientes ai/aj entre coeficientes de conversión interna, que informan sobre la naturaleza multipolar {EL, ML).

4. Medida de vidas medias.

278 Física Nuclear

7.6 Efecto Mossbauer

El efecto MOsbauer (Premio Nobel de Física 1961) utiliza la absorción resonante de fotones de energía Ey, con lo que permite medir variaciones de energía del orden de la anchura intrínseca del nivel nuclear, F, consiguiendo por lo tanto resoluciones

R = r/Ey ~ 10-12 - 10-1®

7.6.1 Emisión y absorción de gammas

Se llama absorción al proceso inverso de emisión, quedando el núcleo en un estado excitado. La energía del 7 en la absorción: Ey = AE Tr, es distinta al caso de la emisión que ya se ha visto anteriormente que vale E = A E —Tr. Como antes, hay que tener en cuenta el retroceso del núcleo

^ 2 M ~ 2 Mc2 ^Nimiéricamente, en el caso del nivel de 410 keV del ^^Hg, Tr = 0 ,45 eV,

y en el caso del nivel de 129 keV del \jÎr, es sólo Tr = 0,05 eV.


Ejemplo:

Aplicando lo anterior numéricamente al caso del H g, quetiene un nivel excitado en 410 keV, la energía de retroceso del núcleo, según (7.28)

Tr = » r = 4,55 X MeV = 0,46 eV" 2 x 198x 931,5

y en el caso del nivel de 129 keV del Ir, resulta ser tan solo

0 1 2Q

Anchura intrínseca de nivel

La vida media del nivel nuclear determina su anchura intrínseca mediante la relación T = h/r. Como h = 6,58 x MeV-s, se tiene para el nivel 129 keV del Ir:

De esta forma si se realiza un experimento de absorción se encuentra para la sección eficaz en función de la energía, una curva de Breit-Wigner centrada en el valor AE -h T r de la energía del fotón:

(T{Ey) = +

siendo ctq, la sección eficaz de absorción resonante, cuyo valor es:

••-(í)'IÍT Í{rb)en donde a es el coeficiente de conversión interna total y J el espín del estado nuclear correspondiente; J¡ el del excitado y Ji el del estado inicial antes de la absorción.

280 Física Nuclear

Ensanchamiento Doppler

Hasta ahora se ha supuesto que los procesos de emisión o absorción de un fotón han tenido lugar con el núcleo inicial en reposo.

Se pueden observar los efectos de ensanchamiento Doppler debido a la temperatura (Fo) y del retroceso nuclear {Tr)

en la emisión y absorción. La anchura intrínseca (o natural), F, del estado nuclear es despreciable en la escala dibujada.Para fijar valores, si se toma el nivel 412 keV del Hg,

con r = 32 ps, se tienen los siguientes valores:F = 2 X 10-êV y Fz) = 0,36 eV.

Supóngase ahora que el núcleo inicial está en movimiento con una velocidad Vx según el eje de la emisión o absorción del 7 , que a su vez se toma como eje X. Sea /3 = v^/c la velocidad del núcleo, es un caso de efecto Doppler, valiendo ahora la energía real del fotón :

(7.31)

Según el efecto Doppler relativista, la relación entre la frecuencia {v) de un fotón emitido desde una fuente que viaja a una velocidad v y la detectada (i/') en un blanco fijoes: I/' = ((1 -h 0 ) /( l — w (1 -I- (3)u, siendo (3 = v/c.

en donde el signo + es paxa la emisión y el signo — para la absorción. Se cimiple pues que, conocida la velocidad del núcleo, se puede evaluar el cambio de energía del fotón a partir de


Debido a este efecto, la agitación térmica modificará la energía del fotón enütido/absorbido por el núcleo.

En efecto, la distribución de velocidades de los núcleos a una temperatura T, sigue la forma de Maxwell:

Te x p (- ^ ) = exp

/ IM v l ’ 2 kT

o sea, una distribución de energías gaussiana con desviación típica

o lo que es lo mismo, con anchura total a media altura {FW HM )

Td = {2V f^ )(7D « 2,35aD (7.35)

que para temperatura ambiente, T = 300 K, kT = 0,025 eV, da un valor mucho mayor que la anchura intrínseca de los niveles nucleares, ri>(i®i/r) = 0,07 eV, del orden de Tr , que como se ha visto vale Tr = 0,05 eV. Así, puede verse en la figura 7.6 el perfil esperado de estas contribuciones.

Por ello, la absorción resonante nuclear es im fenómeno poco probable a temperatura ambiente. El problema consiste en tratar de salvar la diferencia 2 T r entre la energía del fotón emitido/absorbido.

282 Física Nuclear

Figura 7.7 - Experimento de autoabsorción de Móssbauer realizado con los fotones de 129 keV de una fuente de a baja temperatura.

Se podría lograr:

1 . Aumentando la temperatura, con lo que aumenta Ff) (se llama entonces resonancia fluorescente).

2 . Mediante técnicas de centrifugación: el núcleo emisor se desplaza mecánicamente hacia la fuente. En efecto, como AE^ = 2Tr, la velocidad de la fuente debe ser ¡3 = 6E/E = ITr/E . En el caso delEy = 410 keV, v = 2 ,2 x 1 0 “®c = 660 m/s (¡Mach 2 !), lo que se consigue colocando la fuente en im rotor que gire a 10 — 1 0® rpm.

3. Por efecto Mossbauer (realizado en 1958; se le concedió el Premio Nobel de Física 1961).

Mossbauer observó el fenómeno de la autoabsorción con las siguientes condiciones:

a) Sin retroceso (Uamado re c o il) del núcleo hijo { T r = 0 ).


b) Sin ensanchamiento Doppler térmico (Fo = 0).

Lo consiguió al enfriar a baja temperatura (T = 8 8 K) tanto la fuente del emisor como la del absorbente. Utilizó el en realidad una fuentede que colocó en un rotor que giraba a unos cuantos cm/s, con el quepudo observar la anchura intrínseca del nivel de 129 keV (~ 3 x 10“® eV), es decir ima medida con una resolución energética de T/Ey ~ 4 x 10“ ii (ver figura 7.7). En efecto, para conseguir medir anchuras de 2F = 6 x 1 0 “® eV es necesario im desplazamiento Doppler de velocidad v = 5x 10~“ c - = 15 mm/s.

«54«

V.L

"tasZ79J9 \

10;

”Co

• 3«·'

J » J* n "/ r ’ i ’e

Figura 7.8 - Esquema de desintegración 7 de núcleos frecuentemente usados en el efecto MOssbauer: ^^Tl, y

Utilizando una fuente de se puede llegar a resoluciones de 10“ i ya que la anchura intrínseca del nivel de 14,4 keV es F ~ 10“® eV.

Mossbauer expücó el fenómeno a través de las propiedades del movimiento vibracional de los núcleos ligados a las estructuras cristalinas, y encontró que un cierto número de núcleos se encuentran en el estado fundamental vibracional de la red, es decir, que no tienen retroceso. El coeficiente de M 5 ssbauer, /, que da la fracción de núcleos sin retroceso {T r = 0 ) en im cristal, depende de la temperatura de Debye·* del sóUdo (materiales típicos cimiplen que hwmax ~ 0,01 eV, o sea, Op ~ 10® K), y en la aproximación para bajas temperaturas:

/ 1 _2k0r

(7.36)

Así por ejemplo:

^La temperatura de Debye está relacionada con la frecuencia vibracional máxima

hWmax =

• Para el nivel de 129 keV del {9o ~ 300 K) el coeficiente deMóssbauer vale / = 0,1.

284 Física Nuclear

Para el nivel de 14,4 keV del {6d ^ 400 K) el coeficiente de Móssbauer vale / = 0,92.

Todo pasa como si la estructura cristalina, absorbiese el momento de retroceso. Lo curioso es que Móssbauer quería precisamente demostrar lo contrario; que al enfriar el emisor, desaparecería la autoabsorción debida a T r . En su experimento encontró un 1% de autoabsorción (producto de coeficientes / · / del emisor y absorbente del Ir).

7.6.2 Aplicaciones del efecto Móssbauer

Medida del desplazamiento hacia el rojo {red shift)

Uno de los fundamentos de la teoría general de la relatividad (TGR) es el principio de equivalencia, según el cual, los efectos de un campo gravitacional local uniforme no se pueden distinguir de los efectos de un sistema de referencia uniformemente acelerado. Por ello, si se observa la emisión y absorción de im fotón en un campo gravitatorio {g) en el que entre emisor y absorbente hay H metros, el tiempo que tarda en llegar el fotón del emisor al absorbente es t = H/c. En ese tiempo, es como si el absorbente hubiese adquirido una velocidad v = gH/c, por el principio de equivalencia. Por lo tanto, los fotones sufren im desplazamiento Doppler, de magnitud:

í = | = f = ^ (MT)lo que representa un efecto sobre el desplazamiento de la energía AE del orden de por metro, en el campo gravitatorio terrestre.

Otra manera de entender el efecto del principio de equivalencia es que un fotón, de energía en un campo gravitatorio debe comportarse como una partícula con masa gravitacional m = E^/(?. Así, si im fotón se desplaza hacia abajo en el campo terrestre, su energía aumentará

AE = mgH = E ^ ^ (7.38)

con lo que su longitud de onda se desplazará hacia el azul, y si su direcciónes hacia arriba tendrá un desplazamiento de magnitud —AE, o sea que su

longitud de onda se desplazará hacia el rojo, ya que pierde energía. Efectivamente, como E = /ic/A, aimientar la energía E equivale a disminuir la longitud de onda del fotón (si se trata de un fotón en el espectro visible, es pues lógico decir que hay corrimiento hacia el azul. De la misma manera se habla de corrimiento hacia el rojo cuando la longitud de onda aimienta).

En 1959, Pound y Rebka realizaron el experimento en la torre de 22,6 m de la Universidad de Harvard, utilizando una fuente cuya actividad era de 1 Ci, de ^^Co(Ti/2 = 271,8 días) para usar el nivel de 14,4 keV del {6d 400 K), cuyo coeficiente de Mossbauer es / = 0,92.

La medida se realizó moviendo la fuente con velocidades de ~ 0,75 /xm/s, lo que se logra por medios hidráuhcos. Después de cuatro meses de medidas con grandes precauciones encontraron

A/?— = (4,902 ±0,041)-10-1®E

que comparado con el valor teórico 4,905 x 10“ ^ , se considera imo de los tests más precisos de la TGR. Como se ve, se trata de medidas de energía con una resolución del orden ~ 1 0 “ ^ .

Otras apUcaciones del efecto Mossbauer son:

• Medida de espectros hiperfinos (importante para la física atómica).

• Desdoblamientos Zeeman en campos magnéticos.



Coeficiente de conversión interna - (página 276) Relación (razón) entre la probabilidad de conversión interna y la probabilidad de emisión de fotones, para mía transición gamma dada.

Conversión interna - (página 275) Proceso mediante el cual im estado nuclear excitado decae por la emisión directa de uno de sus electrones atómicos. Es im proceso, normalmente, competitivo con la emisión de fotones.

Electrón de conversión interna - (página 276) Electrón, generalmente de las capas K y L, emitido por un átomo en un proceso de conversión interna. Estos electrones son monoenergéticos con ima energía igual a la de excitación menos la de enlace de los electrones. En general, aparecen como rayas superpuestas a un espectro beta continuo de un emisor beta.

Emisor gamma - (página 263) Nucleido excitado que se puede desexcitar emitiendo rayos gamma.

Espectro gamma - (página 278) Para un emisor gamma determinado es el espectro energético de los rayos 7 emitidos. Es un espectro discreto, cada una de las líneas corresponde, aproximadamente, a una energía igual a la diferencia de las energías de los niveles nucleares entre los que se ha producido la desexcitación.

Estado isomérico - (página 271) Estado excitado de un núcleo que decae electromagnéticamente y tiene una vida media mayor que 1 0 “® s.

Isómero - (página 271) Nucleido que aparece en un estado isomérico.

Orden multipolar - (página 263) (Multipolaridad) El número cuántico L >1 , describe el cambio en el momento angular total de un sistema que radia o absorbe un fotón.

Radiación 7 - (página 261) Radiación ionizante de naturaleza electromagnética, de alta frecuencia, alta energía (superior a los rayos X) y muy penetrante, emitida por un núcleo excitado (emisor gamma).

286 Física Nuclear

Resumen

• Conocidos los principales tipos de desintegración radiactiva, se hace necesario el estudio de los modos de desexcitación de los núcleos que se encuentran en un estado nuclear excitado. Un núcleo puede ocupar diferentes estados cuánticos. Éstos, como en el caso de los átomos, tienen valores de energía discretos.

• La mayoría de los procesos alfa y beta, y casi todas las reacciones nucleares dejan al núcleo final en un estado excitado. Estos decaen rápidamente al estado fundamental con la emisión gamma. Son procesos que se realizan mediante interacción electromagnética.

• Observando las vidas medias de los niveles se comprueba que en algunos núcleos hay estados excitados que no decaen tan rápidamente al estado fundamental. Estos estados excitados tienen una vida media muy grande en comparación con otros estados, son los llamados isómeros.

• Realizando el balance energético aplicando las leyes de conservación, se obtiene la energía del fotón emitido, y con los estimadores de Weisskopf se calcula la probabiUdad de transición de un deternünado proceso gamma.

• En los procesos electromagnéticos se conserva el momento angular y la paridad. Hay que tener en cuenta que el fotón es un mesón vectorial con espín y paridad = 1~.

• Un proceso competitivo a la emisión de radiación ganmia, en la desexcitación de núcleos en estados excitados, es la conversión interna, proceso en el que el exceso de energía del estado excitado se cede a im electrón de la corteza atómica, que sale del átomo. Con el estudio de la conversión interna y el cálculo de los coeficientes de conversión interna (relación entre la probabiUdad de emisión gamma y la probabiUdad de emisión de electrones de conversión interna) se puede predecir la multipolaridad de la transición gamma estudiada.


Para finalizar se desarroUan las bases físicas del Efecto Mossbauer, basado en la absorción resonante de fotones y que permite medir variaciones de energía del orden de la anchura intrínseca del nivel nuclear.

Ejercicios de autocomprobación1 . El se desintegra emitiendo con energía máxima de 0,512 MeV,

en un 95%, a un nivel excitado del También emite /?“ con energíamáxima de 1,176 MeV, en un 5%, al nivel fundamental del ¿Cuálserá la energía de los fotones emitidos al pasar del nivel excitado al nivel fundamental del

2 . El tiene un estado excitado que decae a un estado más bajo y luego al estado fimdamental en dos transiciones de cuadrupolo eléctrico. Partiendo de esta información y sabiendo que el nivel fundamental es 0 “ ¿Cuáles son los espines y paridades de estos 2 estados excitados del

3. El núcleo de ^Li emite un 7 de 0,48 MeV en una transición que parte de un estado 1/2“ y va al fundamental con 3/2“ .

(a) ¿Cuáles son las posibles multipolaridades y la naturaleza de la transición?

(b) ¿Cuál será la más probable?

(c) Estimar la vida media del nivel excitado.

4. Un nivel excitado del con 1317 keV de energía, tiene un periodo de Ti/2 = 8 ,7 ps y emite 3 7 con las intensidades y las energías siguientes:

J5 (7 i) = 1,317 MeV (51%)

£ (7 2 ) = 0,455 MeV (39%)

í; (7 3 ) = 0,380 MeV (10%)

Los coeficientes de conversión interna se pueden considerar despreciables. Si el espín y la paridad del nivel fundamental es O'·· ¿Qué espín y paridad tendrá el nivel excitado?

5. Encontrar el número de electrones de conversión interna emitidos por segundo por una fuente de con actividad de 1 mCi. Las desintegraciones van un 46% al segundo nivel excitado del ^(7o, un 54% al primer nivel excitado del y nunca al nivel fundamental. El enúte 3 7 , el 7 del primer nivel al fundamental, el 7 2 del segundo nivel

288 Física Nuclear

al fundamental y el 7 3 del segundo al primer nivel. Los coeficientes de conversión interna son a i(7 1 ) = 1 , 8 x 1 0 ““*; 0 2 (7 2 ) = 1,4 x 1 0“ '‘ y 0 3 (7 3 ) = 7 X 10“®. La relación de probabilidades entre 7 2 y 7 3 es 1/15.


Soluciones a los ejercicios1 . La energía de los fotones será igual a la diferencia de energía de los

niveles, que también será igual a la diferencia de energías máximas de los betas correspondientes a cada nivel.

Ey = 1,176 - 0,512 = 0,664 MeV

Además la energía del nivel excitado será 0,664 MeV.

2. Según el enunciado se trata de transiciones EA, al ser eléctricas par no hay cambio de paridad, por lo que ya tenemos que las paridades de los dos niveles son +. Para obtener los espines partimos de que L = 4 y aplicamos la expresión (7.23)

\Jf — Ji| < L < \ Jf + Jj|

En el caso de la transición entre el primer excitado y el fundamental {Jf = 0) por lo que

|0-J il < 4 < |0 +Jil

la única solución posible es 4, el nivel será 4·*·.

Para la transición entre el segimdo excitado y el primer excitado, (en este caso J/ = 4)

|4-Ji| < 4 < |4 +Jil

Según la primera desigualdad

J i > 0

y según la segundaJ i < 8

Por lo que ese rüvel puede tener O < J < 8 , con paridad +.

3. (a) (üomo no hay cambio de paridad será electrica par o magnéticaimpar.

290 Física Nuclear

Aplicando (7.23)

tenemos que

3 _ 1

2 2< L <

3 12 ''' 2

1 < L < 2

Por lo que la transición puede ser M I o E2.

(b) Utilizando las expresiones de la tabla 7.3

A(M1) - 3,15 X IQi® X = 3,15 X lO ® x 0,48® = 3,5 x lO s~

\{E2) = 7,3xWxA*^^xE^ = 7,3x 10 x7“/®x0,48® = 2,5x10^ s“ !

La más probable es la M l.

(c) La vida media del estado excitado, suponiendo que la transición es la más probable M l, será

4. Para determinar el espín y la paridad del nivel excitado conociendo la del nivel fundamental, es necesario saber qué tipo de transición es la que pasa de un nivel a otro. La transición entre el nivel excitado y el nivel fundamental corresponde al gamma de 1,317 MeV y para saber de qué tipo es, hay que calcular la probabilidad de transición de ese gamma.

Primero se calcula la probabilidad de transición total

At = ^ = 8 X lO ® s-i

Como de ese nivel parten tres gammas

Ay A(l) + A(2 ) + A(3)

En general, según (7.25)

A — Ay “1“ Ag Xy (1 "I" Û;)

pero como según el enimciado las coeficientes de conversión interna son despreciables

A ~ Ay

Xt = A-yi + Xy2 + X~f3

A i = 0,51At = 4,08x101“ s~

Ay2 = 0,39Ar = 3 , 1 2 x 10i“ s-i

A 3 - O, lOAr = 8 X 10® s-i


Por lo que la probabilidad de transición de ese nivel excitado al nivel fundamental es 4,08x10*° s“ *.

Para saber qué tipo de transición es, calculamos para esa energía con los estimadores de la tabla 7.3 las probabilidades para diferentes tipos de transiciones (sólo la calculamos para las de multipolaridad menor)

£■ = 1,317 MeV A = 72\{E1) = 4 X 10*® s-i A(M1) = 7,2 x lO*® s“ *X{E2) = 8 ,7 X lO o s-i I A(M2) = 2,2 x 10 s"*

292 Física Nuclear

Comparando estos resultados con el obtenido, se concluye que se trata de una E2.

Si es E2 — > L = 2 y según la expresión 7.23

\Ji - J f \ < L < \Ji + Jf\

Como Jf = O la única posibilidad es Jj = 2, y al ser una transición eléctrica par no hay cambio de paridad, por lo que el nivel excitado será

2+

5.

A = 1 mCi = 10"® x 3,7 X lO*" Bq = 3,7 x 10 Bq

46% de 1 mCi es 1,7 x 1 0 Bq 54% de 1 mCi es 2 x 1 0 Bq

Para 7 j, siendo Peí la probabihdad de emisión de electrones de conver- sión interna en esa transición y la probabilidad de emitir fotones

Peí -h Pyi = 2 X 10 emisiones/s

ai(7i) = = 1,8 X 10-'*

Peí = 3, 6 X 10® electrones/s

El número de desintegraciones para 7 2 , al ser la relación de probabilidades entre 7 2 y 7 3 1/15

1 7 X 10’ , -----= 1 , 1 X 10® desintegraciones/s

16

El número de desintegraciones para 7 3

1,7 X 10


16X 15 = 1,6 X 10 desintegraciones/s

Por lo que

Pe2 = l , 5 X 10^ e l e c t r o n e s / s

Pe2 = 1 , 1 X 1 0® electrones/s

El número de electrones de conversión interna totales emitidos en el proceso

Pe = Peí + Pe2 + Pe3 — 1 , 1 X 1 0® electrones/s

Capítulo 8

Reacciones Nucleares

INTRODUCCIÓN LEYES DE CONSERVACIÓN

o CONSERVACIÓN ENERGÍA -MOMENTO o O TRAS LE YE S DE C ONSERV ACIÓN

SECCIONES EFICACES DE REACCIÓN TIPOS DE REACCIONES

o DIFUSIÓN Y ABSORCIÓN NUCLEAR REACCIONES DE NÚCLEO COMPUESTO

o REACCIONES DIRECTAS

MODELO ÓPTICO

298 Física Nuclear


• Estudiar las principales características de una reacción nuclear.

• Estudiar la aplicabilidad de las leyes de conservación de las reacciones nucleares.

• Obtener la energía de las partículas participantes en una reacción nuclear.

• Comprender el concepto de sección eficaz. Cálculo de secciones eficaces.

• Desarrollar el modelo del núcleo compuesto.

• Estudiar la resonancia nuclear.

8.1 Introducción

Las reacciones nucleares proporcionan un buen método de estudio de las propiedades de los núcleos.

• Por una parte permiten el conocimiento de la dinámica que interviene en las transmutaciones nucleares.

• Por otra proporcionan un método de estudio de la estructura nuclear.

Las reacciones nucleares forman un extenso campo de la física nuclear. Sobre ellas se dispone de innumerables resultados y publicaciones. A pesar de ello no existe una teoría unificada de las reacciones nucleares que sea de uso práctico. Ello es consecuencia de la dificultad teórica que existe al abordar un problema de colisión entre sistemas de muchos cuerpos, más aún cuando las fuerzas entre dichos cuerpos no son conocidas con precisión.

Una reacción nuclear entre un proyectil a y im blanco X suele representarse:

a - h X ^ b - h V o X(a,b)Y (8.1)

Para llevarlas a cabo es necesario disponer de fuentes de partículas adecuadas. De entre ellas destaca el uso de los aceleradores de partículas gracias a los cuales ha progresado mucho la física nuclear.

Entre las reacciones históricas que han marcado el progreso de las reacciones nucleares se encuentran:

• La primera transmutación nuclear (Rutherford, 1919), ejemplo de una reacción inelástica de dos cuerpos:

a + 1 0 + P

• La obtenida con el primer acelerador electrostático (Cockroft-Walton, 1930):

p -I- ^Li ‘ He + a

premiado con el Nobel en 1951 porque verificó experimentalmente que la masa y energía son equivalentes, E = me?.

• El descubrimiento del neutrón (Chadwick, 1932):

a + ^ C + n

Reacciones nucleares 299

• El descubrimiento de la radiactividad artificial (I. Y F. Joliot Curie, 1934):

a + \ ¡ A l ^ l lP + n

utilizando una fuente radiactiva de Fo, seguido de la desintegración del llP {T i/2 = 2,5 m) -h Este último proceso

(a, n), enriquece en protones a los núcleos; por ello se producen núcleos inestables bajo desintegración /3“ .

• La captura neutrónica, procesos que E. Fermi impulsó sistemáticamente para sintetizar los transuránidos. Ejemplo:

proceso llamado captura radiativa, seguido de la desintegración /? del ^^^{7 que es un núcleo inestable,

239[/(Ti/2 = 23 m) y 239^ ^ 239p^^g-^-

300 Física Nuclear

Así fue como, entre otras cosas, se descubrió por casualidad la fisión inducida por neutrones.

8.2 Leyes de conservación

De entre las más interesantes se pueden considerar las leyes de conservación de:

• E,p, la energía y la cantidad de movimiento (el momento).

• Q, la carga eléctrica.

• B, el número bariónico (el número de nucleones).

• <7 , el momento angular total y la paridad.

• T, el isospín, etc.


8.2.1 Conservación de la energía-momento

Sea de nuevo la reacción de la expresión (8.1):

a + X ^ b + V

La conservación de la energía debe de tener en cuenta el cambio de las masas por lo que se tiene:

ma<? + Ta + TUxC? + Tx — ÍTljjC + Tj, + TUyC + Ty

y

(8.2)

Como siempre, el valor Q de la reacción da el balance energético y se calcula

Q = {rriiniciai - Tnfir ai)(? (8-3)

O s e a

Q = {ma + mx - r u b - m y)^ = Ty + T b -T a ~ T x (8.4)

expresión válida en cualquier sistema de referencia. Los cálculos pueden perfectamente ser no relativistas ya que las velocidades son frecuentemente

muy bajas (sobre todo cuando las partículas que participan son muy masivas) en las reacciones nucleares. Por ello también es frecuente tomar para la masa de un núcleo, el valor entero A en unidades de masa atómica u. Si ello no fuese bastante preciso entonces es señal de que deben realizarse cálculos relativistas.

En el sistema laboratorio (figura 8.1) se ciunple Tx = O puesto que el blanco está en reposo (ver también figura 8 .2 ). Así por ejemplo para la reacción de Chadwick Q = 6 ,12 x 10“ u · (? = +5,7 MeV, e igualmente, para la de Rutherford y la de Cockroft Walton dadas más arriba se encuentra: Q = —1,19 MeV y Q = +17,35 MeV respectivamente.

En lo que respecta a la conservación del momento, siguiendo también la notación de la figura 8 .1 , se puede escribir

Pa=PbCOs9+PYCOS^ Ì> (8.5)

O = -pysen^ J

de manera que conocidos Q y Ta quedan 4 incógnitas O, Í,Pb,PY- Experimentalmente se suele conocer Ta y medir Tb y 6 con lo que la conservación del momento puede utilizarse para determinar Q:

302 Física Nuclear

myQ + Tairuy - rria) - Tbiruy + TTifc) - 2cos{9)\/T]ftím ^b (8.6)

de forma que si conocemos rUa y mj, podemos determinar my.Suprimiendo y py, a. partir de las ecuaciones de conservación de la

energía y del momento, se encuentra la siguiente relación entre Tb y 0:

V ñ = (8.7)

_ cos(g)-y/mamtTo ± [mgTnbTa cos {0) + {my -I- mb){myQ -h (my - ma)Tq)Y/'^my + rrib

El valor Q sirve para clasificar el tipo de reacción;

Q > 0 , exoenergética = O, elástica < O, endoenergética

Ejemplos:

- Exoenergéticap + ^Li a a

Aplicando la expresión

y teniendo en cuenta que

Tn{H) = 1,007825 urna m^Li) — 7,016004 urna

m(a) - 4,002603 urna

Q = 17,35 MeV > O ^ Exoenergética

- Endoenergética

p + ^He+ 12c

mC*N) = 14,003074 urna m{^He) = 3,016029 urna mQ ^C) = 12 urna

Q = —4,78 MeV < O —> Endoenergética


Muchos cálculo teóricos son más fáciles de realizar en el sistema centro de masas (cdm). En este sistema, las variables cinemáticas se escribirán con ima *, y la suma de momentos es nula:

p: + Px = 0 (8.8)

En una reacción endo-energética, la condición necesaria para que puedatener lugar es

T* > IQI (8.9)

304 Física Nuclear

donde T* es la energía cinética total en el sistema del centro de masas:

T* = 7: + 7^ (8.10)

y como p* = -p*x, o lo que es lo mismo Vx = -vernalmx, se tiene que

T* = í : ( 1 + TTtn

mx JEn el sistema laboratorio la energía cinética total es

T ~ Ta = ^maVa

cimipliéndose quev a - v : - v * x = v : ( l + ^ )

mxcomo puede comprobarse en la figura 8.2, luego

= r* f l + — ) V rnxj

con lo que la condición T* > \Q\ se escribe también

T>\Q\ 1 +m„mx J

(8.11)

(8.12)

(8.13)

(8.14)

(8.15)

Es decir, toda reacción endo-energética tiene im umbral energético para que pueda iniciarse. Dicho umbral, que se especifica en el sistema laboratorio, se calcula (con el signo = ) gracias a esta última ecuación.

LAB

m, m2v j= 0

CdM

P Î + ï Ç = O

(m,+H1, ) u = m, y. . . . . „

Figura 8.2 - Transformación de variables cinemáticas del sistema laboratorio al sistema centro de masas, u es la velocidad del cdm en el sistema laboratorio; fi es la masa reducida. Sólo se representa en la

figura el esquema antes del choque.

8.2.2 Otras leyes de conservación

Otras magnitudes que se conservan en las reacciones nucleares son:

• Carga eléctrica, número bariónico, espín-paridad, isospín, etc.

La conservación del isospín impone condiciones sobre los posibles valores de las secciones eficaces entre distintos estados de carga de los participantes en la reacción.

Antes de entrar en el estudio de las reacciones nucleares, conviene conocer la magnitud más importante que caracteriza las interacciones: la sección eficaz.


8.3 Secciones eficaces de reacción

La sección eficaz da la probabilidad de interacción de una partícula con un blanco. El esquema presentado en la figura 8.3, muestra un experimento típico de colisión entre partículas. Puede observarse cómo las partículas

incidentes (proyectiles tipo a cuyo flujo es F [cm“ s“ ]) inciden contra un blanco material X cuya densidad de blancos por unidad de volumen es n [cm" ]. Dado im material de densidad p, es fácil calcular el número de átomos (o núcleos) por unidad de volumen:

n = (8.16)

siendo AÍa el número de Avogadro, que da el número de átomos por mol y A' el peso atómico del material que compone el blanco (en gramos por mol). No hay que confundir A' con el número másico.

En lo que sigue, se supondrá que el espesor del blanco Ax es muy delgado. El detector subtiende un ángulo sólido díí = dS/fí?.

El haz de partículas siempre suele tener un tamaño finito; en un corte transversal del haz se supone que ocupa una superficie S. De esta forma el número total de partículas incidentes por unidad de tiempo será Ni c = FS.

Como consecuencia del choque, la partícula incidente ya no sigue su dirección original (el eje x), sino que es difundida en im ángulo 6 tal que puede producirse un registro en el detector.

Sea Ns {0) el número de difusiones por unidad de tiempo en el ángulo sólido díí que subtiende el detector. Se define la sección eficaz diferencial:

^ = (817)dQ. F dÜ ’

en donde F [cm“ s“ j es el flujo de partículas incidentes como ya se ha visto anteriormente. Con ello la sección eficaz total es sencillamente

306 Física Nuclear

dÜ (8.18)

Ahora bien, al integrar AT, para todo el ángulo sóhdo se obtiene Ntot, esdecir el número total de partículas difimdidas por imidad de tiempo. ComoSnAx es el número de blancos en im material de espesor Ax, siendo n la densidad volúmica de blancos, se tiene

^tot — FSnaAx = NincUaAx (8.19)

de forma que se puede definir la probabilidad de interacción de una partícula en un material de espesor Ax como

NtotNinc

= naA x (8.20)

con lo que el concepto de sección eficaz es realmente el de la probabilidad de interacción por proyectil y por blanco.

El tipo de reacciones que se detecta, o sea la manera de seleccionar experimentalmente TVa, determina la cantidad que se mide. Si iV«, por ejemplo, cuenta el número de partículas idénticas a las incidentes y el núcleo difundido es también del mismo tipo que el blanco entonces se trata de la sección eficaz elástica. Caso contrario, se trata de secciones eficaces inelásticas.

La sección eficaz clásica vendría dada por cr = que iría aimientando con el tamaño del núcleo. Para i? ~ 2 - 7 fm se tiene a ~ 12 - 150 fm . Por ello la imidad de sección eficaz es el barn (= 100 fm = 10“ ^ m ), que tiene dimensión de superficie, aimque en física nuclear y subnuclear es mucho más frecuente ver valores de sección eficaz dadas en los submúltiplos mili- (m)y micro- ( /i), nano- (n ) e incluso picobam (p).

Se puede también calcular la probabiUdad de supervivencia del proyectil. Para eUo hay que calcular la probabiUdad de que no haya interacción a lo largo de im recorrido x, o sea, hay que resolver

P{x H- dx) = P{x ){l — nadx) (8.21)

lo que conduce a:

P{x) = (8.22)

O sea, en el caso de un haz de Nq partículas que inciden en un material de espesor x, la ley de atenuación vendrá dada por:

N = Noe~^^ (8.23)

De la misma manera se puede calcular la probabiUdad de sobrevivir hasta X e interaccionar entre x y x d x :

F{x)dx = P{x)nadx (8.24)

Otra magnitud estadística muy importante es el recorrido Ubre medio:

A = = i - (8.25)f P(x)dx na

Se suele escribir también


P(x) = = e-*“ (8.26)

siendo fi el coeficiente de absorción.Por ejemplo: la sección eficaz de la difusión Thomson {'ye —► je ) vale

g(^Th = = O’ h a ino

siendo Ve = e /mgC = 2,82 fm, el radio clásico del electrón.Teóricamente las secciones eficaces se calculan utiUzando la regla dorada

de Fermi:

que podría haberse escrito también Las variables Pb,Va y Vb vienendadas todas ellas en el centro de masas. Salvo constantes, representan el espacio fásico disponible en el estado final de la reacción, dNb/dE, como de costimibre. El término (H/i) es el elemento de matriz del hamiltoniano responsable de la interacción estudiada.

Si se aplica la expresión (8.27) a las reacciones con neutrones incidentes, por ejemplo, se tiene:

• En la difusión elástica: Va = Vb= p/mn, con lo que cr es independiente de la energía.

• En la producción de partículas a, pb y Vb son independientes de Va, con lo que

(7 Oí — (8.28)Va

O sea, inversamente proporcional a la velocidad del neutrón incidente. También es aphcable a otros proyectiles como se verá por ejemplo en el estudio de la fusión nuclear.

308 Física Nuclear

8.4 Tipos de reacciones

La clasificación de las reacciones nucleares puede hacerse según varios criterios. Los más frecuentemente utilizados son los siguientes:

a) Según la energía:

- Baja, < 10 MeV/nucleón. Se estudia la estructiura y los nivelesnucleares.

- Intermedia, 100 < E < 1000 MeV. Es el dominio de la física deproducción de mesones.

- Alta, E >1 GeV. Física de partículas, estudio de quarks, etc.

b) Según la topología. Siguiendo la notación dada en (8 .1 ):

- Difiisión elástica (a = 6), uno de cuyos ejemplos más conocidos es eldel experimento de Rutherford.

- Existen también dos ejemplos de colisiones inelásticas; que se describen a continuación guardando su denominación en inglés;

- Las de knock-out, en la que aparecen más de dos partículas enel estado final (a -h X —► K + 6 -l· c).

- Las de transfer, clasificándose éstas a su vez en reaccionesde stñpping, tales como (d,p), (d, n) o reacciones de pick-up: ip,d).

c) Según el mecanismo:

- Reacciones directas, normalmente muy rápidas (10“ ^ s) y entreellas se encuentran las reacciones inelásticas y las variantes de knock-out y pick-up.

- Formación de núcleo compuesto:

Son reacciones lentas (10“ " s), y se interpretan como debidas a procesos de reestructiuración de nucleones dentro del núcleo. Entre estas reacciones, las más conocidas son las de formación de resonancias (que se interpretan como excitaciones de modos colectivos)

Estas dos interpretaciones son paralelas a las de la estructura nuclear descrita por:

i) Modelos de partícula individual (reacciones directas).


ii) Modelos de comportamiento colectivo (reacciones de núcleo compuesto).

También existen las reacciones entre iones pesados o sea entre núcleos con elevado número másico. Actualmente existe en marcha, en el CERN un ambicioso programa de estudio de reacciones a altas energías de iones relativistas. Ello ha sido posible al conseguir acelerar iones de O, Ca e incluso de Pb, a energías superiores a 200 MeV/nucleón. Este programa pretende encontrar el estado de la materia conocido como de plasma de quarks y gluones (constituyentes elementales de los nucleones). Un estado que se alcanzaría a densidades de energía muy elevadas.

La importancia y el interés del estudio de reacciones nucleares puede resumirse en las siguientes líneas de trabajo, que tantos progresos han aportado a la Física Nuclear:

1 . Masas y niveles energéticos nucleares a través de la espectroscopia nuclear, por ejemplo en reacciones a X b Qi, con posteriordesintegración y* —> y -h 7 .

2. Tamaño y estructura nucleares.

3. Nucleosíntesis en astrofísica y cosmología.

4. Generación de potencia (fisión, ftisión) y producción de isótopos artificiales.

8.4.1 Difusión y absorción nuclear

Las nociones de difiisión y absorción son herencias del lenguaje ondulatorio. Con estas denominaciones se pretende definir qué tipo de proceso tiene lugar en ima reacción nuclear.

La palabra difiisión es casi siempre sinónimo de reacción elástica o quasi- elástica, en la que las dos partículas que entran en el choque, son las que salen, con sus mismas masas que en el estado inicial. El choque quasielástico define a los procesos en los que el proyectil no cambia de naturaleza, pero el núcleo del estado final (o si se quiere, el blanco) queda en un estado excitado. Ya no tiene la nüsma masa y por lo tanto no es ima difíisión elástica.

La absorción, al igual que en los fenómenos de interacción de la luz, denomina a las reacciones inelásticas en las que las partículas cambian totalmente.

310 Física Nuclear

^Laboratorio Europeo para la Física de Partículas, Ginebra, Suiza.

Hay un cambio de masas y de naturaleza de las partículas que intervienen en el choque.

En la difusión nuclear, siguiendo una propuesta de Weisskopf, se suelen abordar las reacciones nucleares en tres etapas:

• Antes de chocar; tiene lugar la difusión culombiana, consecuencia del largo alcance de la fuerza de Coulomb.

• En el choque se suelen distinguir reacciones de núcleo compuesto y reacciones directas.

• Por último se suele abordar el estudio del modelo óptico nuclear.

Difusión de Rutherford (culombiana)

Se trata de la difusión de partículas cargadas por un potencial tipo Coulomb:

La barrera energética que debe franquear la partícula es B = Vc{R), siendo R el radio nuclear.


Ejemplos:

Difusión de electrones por núcleos de

íZe* 6x 1,439976 MeV ftn1,25 ftn x(12)-/3 = ^

Difusión de electrones por núcleos de ‘ ^Pb

82 X 1,439976 MeV fm

= 1,25 ftn X (208)·/» =

En una colisión p-l· N, la barrera podrá ser penetrada, por efecto túnel, aunque la energía cinética del protón sea Tp < B. Este fenómeno es inexph- cable por la Física Clásica.

La sección eficaz diferencial de Rutherford es:

312 Física Nuclear

dadñ 4 7 T € „

fzZ e ^ Y 4 ,0 , ..ocosec'‘ ( - ) = — cosec'‘ ( - )416

(8.30)

Recuérdese que paxa una energía cinética T, la distancia de máximo acercamiento es do — zZe^/47reoT.

Con esta expresión se puso en evidencia la existencia del núcleo atómico.Los procesos de interacción culombiana son importantes porque son los

responsables de la excitación de iones de núcleos pesados a diferentes estados rotacionales.

Ángulo de difusión, 6 Figura 8.4 - La sección eficaz diferencial de Rutherford, calculada para Z = 79.

8.4.2 Reacciones de núcleo compuesto

Concepto introducido por Bohr en 1936. Después de la acumulación de muchos datos sobre reacciones de captura neutrónica, por ejemplo

se forma un núcleo que luego se desintegra

108^^^ io«Cd + e-+I7,

olvidando cómo se había formado.


Ejemplo:El núcleo compuesto ^Zn* puede formarse a través de dife

rentes procesos y dar lugar a varios resultados.

p + ^Cu ' í ^^Zn + n. J + n + p

a + ^N i -1- 2n

El proceso, que se representa por a + X —>6+y y que queda determinado si se conocen a y 6, se expUca por la formación de un nuevo núcleo {X* distinto de X ) que sufre una reestructuración. La sección eficaz es un producto

a6 = (8.31)

en donde b representa un determinado canal de desintegración, cuya anchura es Fb, y es uno de los posibles canales i que pueden tener lugar. La anchura total será F = r¿. En este caso se forman resonancias, cuya ley de

iprobabilidad en función de la energía cumple

la conocida forma de Breit-Wigner, como también sucede con las reacciones entre partículas. En la anterior expresión

= (2Sa + 1) {2sx + 1)

es el factor estadístico que da la multiplicidad de espín y Er es la energía en el máximo de la sección eficaz, valor que suele utihzarse para identificar la resonancia; A = h/p es la longitud de onda del proyectil.

8.4.3 Reacciones directas

Empiezan a observarse a partir de unos 5 MeV de energía del proyectil. Son generalmente interacciones que se pueden interpretar como nucleón- nucleón.

Un ejemplo de este tipo de reacciones son las reacciones de transfer:

16(9+ 17o

que son muy sensibles a la estructura en capas de los nucleones. Al igual que las reacciones de pick-up tales como {p,d), {n,d), {d,t), las de stripping son también de tipo periférico.

Sea q el momento transferido entre proyectil y la partícula en el estaydo final (ver figiura 8.1):

q = kl + kl - 2kah eos 6 = {ka - kdY + 2kakd{l - eos 0) (8.34)

El valor del momento angular orbital transferido en la reacción está relacionado con q, por definición

314 Física Nuclear

\ fx q \ = y / I{ í+ í )h (8.35)

o sea, que si la reacción es efectivamente periférica y el proyectil tiene radio Va se cimiplirá

(r„ + R)q = s ¡l{í + l)h (8.36)

lo que permite entender qué órbitas del modelo de capas han podido actuar en la reacción.

Difusión por un potencial nuclear

Al amnentar la energía de la partícula incidente, ésta puede aproximarse más al blanco hasta que llega un momento en que entran en juego las fuerzas nucleares. La distancia mínima de acercamiento do a partir de la cual falla la ley de Rutherford, da la estimación del radio nuclear. Se obtienen radios R = (1,4—1 , fm, valores ligeramente mayores que los que se obtienen en la difusión e~J\í, para el alcance de la fuerza nuclear.


Ejemplo:

Consideremos la reacción ^Zr{d,p) con Q = 5 MeV,la energía cinética con la que incide el deuterón es = 5 MeV, por lo que la energía suministrada al protón emitido será 10 MeV (despreciando la energía de retroceso del ^^Zr).

Los momentos del protón y del deuterón se pueden considerar iguales (suponemos caso no-relativista)

kd = kp= y/2nripTp = 136 MeV/c

Sustituyendo en la expresión (8.34) el momento transferido al núcleo en el estado final y teniendo en cuenta que kdkp = O

Q= 2kdkp{í — cosO) = 2k¿kp{2s&¡ - )

Zi

Consideramos que la interacción tiene lugar en la superficie del núcleo (periferia). Aplicando la expresión (8.36) donde podemos considerar R » ra

_ 2c^kdkp {2 serial)

I c^nyR?

Para el R = 1,2 x = 5,4 ftn, así que sustituyendo valores y operando se obtiene

Q£ w 7,5 sen -

Se ha obtenido una relación entre el ángulo de salida y el momento angular orbital transferido. Por ejemplo:

¿ ^ Q ^ e = Q° e = i ^ ^ wi 5°

8.5 M odelo óptico

El modelo óptico fue introducido (Feshbach, Porter y Weisskopf, 1954) por la similitud entre la difusión nuclear y las propiedades ondulatorias de la luz.

Supone que la interacción de una partícula con im núcleo es un problema de difusión de la partícula incidente por im potencial í/(r), que representa el núcleo, (como si se tratase de un sólo cuerpo) y resuelve la ecuación de Schrödinger.

Para las colisiones nucleares con proyectiles de baja energía, el potencial que explica las secciones eficaces se escribe, según el modelo óptico, de la forma V + iW con V ~ 50 MeV y VK ~ 5 MeV. Esta forma recuerda la difracción de la luz por un disco. La parte compleja del potencial exphca la absorción. En efecto, supongamos im potencial

316 Física Nuclear

U + r < R= 0 r > R

con Vo de la forma Saxon-Woods más el término de acoplamiento espín-órbita y Wo una función de la 14 y mucho menor que Vo- Entonces, el número de ondas se escribe k = kr + iki, o sea, si « K>,

t (í ;+ K,+ . iv , ) »

de modo que la función de ondas toma la forma

^ ^ ----- (g 39)r

así, el término real kr da lugar a la difusión y el imaginario es el que da ima probabilidad radial V ~ responsable de la absorción.

El modelo óptico se usa con éxito para explicar reacciones hasta energías incidentes de varios centenares de MeV y exphca el comportamiento medio de las secciones eficaces de difusión, absorción y diferenciales. Algunos valores de estas secciones eficaces pueden verse en la tabla 8.1. Los mejores resultados del modelo óptico son para energías > 10 MeV y para núcleos de número másico medio. En el caso de los núcleos masivos, las predicciones son aceptables.


Material z A<Tt

(barns)Xcoí

(g/cm )( abs

(barns)A

(g/cm ) (g/cm®)H2 1 1,01 0,0387 43,3 0,033 50,8 0,0708D2 1 2,01 0,073 45,7 0,061 53,7 0,162He 2 4,00 0,133 49,9 0,102 65,1 0,125Li 3 6,94 0,211 54,6 0,157 73,4 0,534Be 4 9,01 0,268 55,8 0,199 75,2 1,848C 6 12,01 0,331 60,2 0,231 86,3 2,265N2 7 14,01 0,379 61,4 0,265 87,8 0,808O2 8 16,00 0,420 63,2 0,292 91,0 1,14Ne 10 20,18 0,507 66,1 0,347 96,6 1,20Al 13 26,98 0,634 70,6 0,421 106,4 2,70Ar 18 39,95 0,868 76,4 0,566 117,2 1,40Fe 26 55,85 1,120 82,8 0,703 131,9 7,87Cu 29 63,55 1,232 85,6 0,782 134,9 8,96Sn 50 118,69 1,967 100,2 1,21 163 7,31W 74 183,85 2,767 110,3 1,65 185 19,3Pb 82 207,19 2,960 116,2 1,77 194 11,35u 92 238,03 3,378 117,0 1,98 199 18,95

Tabla 8.1: Propiedades Atómicas y Nucleares de varios elementos. También se muestran los valores de la sección eficaz total, ctt, la sección eficaz de absorción, ( absi y la longitud de colisión nuclear. A, para colisiones con protones y neutrones de alta energía (80 - 240 GeV/C), que dependen muy poco de la energía. La densidad, p, corresponde al estado sólido o líquido en punto de ebullición; en el caso del C es para grafito puro.


Energía umbral - (página 304) Una reacción nuclear endotérmica no puede tener lugar a menos que la energía cinética del centro de masas Te > IQI · igualdad indica el lunbral.

Núcleo compuesto - (página 309) Estado intermedio formado en una reacción de núcleo compuesto. Normalmente es uno de los estados excitados del núcleo formado por la combinación de la partícula incidente y del núcleo blanco.

Reacción directa - (página 309) Reacción nuclear que tiene lugar en un tiempo comparable con el tiempo que tarda la partícula incidente en atravesar el núcleo. Este tiempo es del orden 10“ ^ - 10“ ^ s.

Reacción nuclear - (página 299) Colisión entre núcleos, entre núcleos y partículas o entre partículas entre sí. Los constituyentes nucleares se reorganizan dando lugar a productos de reacción.

Resonancia - (página 309) Máximo en la sección eficaz (indica mayor probabilidad) asociado a un núcleo compuesto o un estado.

Sistema centro de masas - (página 303) Sistema de referencia inercia! en el que dos partículas que colisionan tienen el mismo módulo del momento y sentido contrario. En general para un sistema de dos partículas o más es el sistema de referencia en el que el vector suma de los momentos es cero.

Sistema laboratorio - (página 302) Sistema de referencia inercia! en el que se observa la colisión.

318 Física Nuclear

Resumen

• Una parte transcendental de la Física Nuclear está dedicada al estudio de las reacciones nucleares, ya que de su comprensión se pueden sacar conclusiones sobre la estructura y la dinámica nuclear (por ejemplo el tamaño y masas nucleares). Y no podemos olvidar que entre sus aplicaciones se encuentra la obtención de energía mediante la ñsión (y en el futuro esperamos que con la fusión), síntesis de isótopos artificiales (como los utilizados en medicina) y el conocimiento de la nucleosíntesis estelar.

• Entendemos por reacción nuclear un proceso en el que cambia la composición de un núcleo blanco, debido a que ha sido bombardeado con un proyectil (que puede ser otro núcleo, fotones, partículas subatómicaso subnuclear). La manera que tiene de desintegrarse un núcleo generado por ima reacción nuclear sigue las mismas leyes que un isótopo radiactivo.

• En función del tipo de proyectil, de las energías que intervienen en el proceso y del mecanismo podemos realizar una clasificación de las reacciones. En las reacciones endoenergéticas existe una energía umbral para que pueda tener lugar.

• El estudio de las leyes de conservación (carga, número de nucleones, energía total...) permite la predicción de los resultados de una reacción nuclear, una vez conocidos la partícula incidente y el núcleo blanco. Además se puede establecer el balance de energía, de tal modo que se conocen las condiciones energéticas de todos los participantes en la reacción.

• Se puede considerar que la magnitud más importante que caracteriza una reacción nuclear es su sección eficaz, que en buena medida mide la probabiUdad relativa de que una determinada reacción ocurra. Se mide en cm o en barn. El desarrollo de expresiones sencillas para su cálculo, basadas en aproximaciones, nos lleva a la expresión de B r e ig t -Wigner.

• Al igual que para el estudio de la estructura nuclear se desarrollan modelos nucleares, para el estudio de la dinámica de la reacción nuclear se emplea el modelo del núcleo compuesto. Este modelo asume que cuando el proyectil incide en el núcleo, entra en él, donde sufre colisiones


con los nucleones constituyentes del núcleo. Este nuevo sistema es lo que se denomina núcleo compuesto, que es un sistema inestable ya que tiende a desintegrarse. Un núcleo compuesto dado puede emitir de diferentes maneras dependiendo de la energía total cedida al sistema.

• Cuando el tiempo en el que ociurre la reacción nuclear es comparable con el tiempo que tarda el proyectil en atravesar el núcleo, se produce una reacción directa. La sección eficaz de estas reacciones varía lentamente con la energía. En este tipo de reacciones la partícula incidente interacciona principalmente en la superficie del núcleo, se llaman también procesos periféricos. Al contrario de lo que ociu-re con las resonancias, donde hay una alta probabilidad de que ocurra una reacción a una energía dada, es decir, con valor elevado de la sección eficaz.

• El modelo óptico supone que existe im proceso de difusión en la interacción de la partícula con el núcleo. Este modelo exphca muy bien las reacciones nucleares hasta energías de cientos de MeV. Explica el comportamiento de las secciones eficaces de difusión, absorción y diferencial.

320 Física Nuclear



1. Protones de 7,5 MeV de energía interacionan con un blanco de ' Li ¿Cuál es la energía de los protones dispersados elásticamente a 90'’?

2. En la reacción

^He-^ ^He

(a) ¿Cuál es el umbral de energía para los protones incidentes en Hel

(b) ¿Y el umbral de partículas a incidentes en hidrógeno?

3. El ^Li presenta diferentes resonancias en las reacciones con protones. Estudiando una reax:ción elástica se ha visto una resonancia para Ep = 448 keV que presenta una anchura F = 0,8 eV. Sabiendo que g = 2, determine la sección eficaz para esa resonancia y estime la vida media del

4. Se considera la reacción (n, a)^ Li que es producida por neutrones con energía cinética de 1 MeV. La partícula a sale con un ángulo de 90 con respecto a la dirección del neutrón incidente ¿Qué energía cinética tienen las partículas a? ¿Con qué ángulo sale el ^Li?¿Qué velocidad tiene?


1. Como es una reacción elástica

Q = 0

De la ecuación (8.6) y sabiendo que eos 6 = O, resulta

Tp{TTlLi — Tílp) = TpijTlLi + Tílp)

\ ^ L i / 7 + 1 o

2. En general la energía umbral se calcula con la igualdad en la expresión (8.15)

Tumbrol = \Q\ ( l +

donde a es la partícula incidente y X es el blanco.

Usando los siguientes datos

niH = 1,007825 urna = 4,002603 urna

m/f2 = 2,014102 urna rriHe = 3,016029 urna

calculamos la Q

Q = (1,007825 + 4,002603 - 2,014102 - 3,016029) x 931,49 MeV = = -18,35 MeV

(a) Si son los protones las partículas incidentes a = p y X = a. Por lo que

Tumbrai = 18,35 (^ + ^ ) = 22,94 MeV

322 Física Nuclear

(b) En este caso a = a y X = p

Tumbral — 18, 35 1 + - =91,75 MeV

Como se ve es más difícil la reacción cuando el proyectil es la partícula a; es necesario suministrar más energía.

3. Debemos utilizar la expresión (8.32)

x2 ôTbGn = ttA r


Como la reacción es elástica Fq = = F y en la resonancia E = Er,además = 2, y la ecuación queda

F2(Ta = = 47tA^5 = SttA

La longitud de onda del proyectil A, se puede expresar

A = - ^2fiEr

siendo /x la masa reducida, que en este caso vale

M = J uma = I X 931,5 - 815 MeV/c^7 + 1 O o

2 _ (6,58 X 10“ ^ ) MeV · · (3 x 10®) m /s _2 x815x0,448MeV2 ^

= 5,34 X 10-29 = 5,34 x 10“ ® cm

= 87t · 5,34 x IQ- ® = 1,34 x lO- ® cm = 13,4 b

La vida media se obtiene de

r - - = ^ T - - ~ 6>58 X 10-^ MeVs _ . 3 2 x lO"!« s 0,8xl0-6M eV -«>22x10 s

4. La reacción esn -I- ^Li -I- a

Las masas de las partículas y núcleos que intervienen son

m(n) = 1,008665 uma = 10,012937 uma = 4,002603 uma

mi^Li) -- 7,016004 uma

La Q de la reacción será

Q = =

= (1,008665 + 10,012937 - 4,002603 - 7,016004) == 2,995 X 10"® X 931,5 = 2,790 MeV

324 Física Nuclear

Aplicando (8.6) y como eos 0 = 0

L\

'O

70 = 11T„ - 6T„

= + '^=2,321 MeV

A partir de la conservación del momento se puede obtener el ángulo <f> con el que sale Ld,

miiViA sen 4> = maVa sen 6

como sen 6 = 11/2

sen TUaVa ^ / TaTHa \

fn u V iA x T iA r r iL i )

Por conservación de la energía

TLi = Q + T n -Ta = 2,790 + 1 - 2,231 = 1,469 MeV

/2 *Í21 y 4 \= 0 .9 5 0 ^ * = ^ M “ = 71-50'

La energía cinética es una fracción tan pequeña del equivalente energético de la masa en reposo, que se puede tratar el problema de forma no-relativista.

T = -mv^

Capítulo 9

Procesos de fisión y fusión

• INTRODUCCIÓN• FISIÓN NUCLEAR

o ANTECEDENTES o ENERGÉTICAo MODELO DE LA GOTA LÍQUIDA PARA FISIÓN o CARACTERÍSTICAS DE LA FISIÓN INDUCIDA

• REACCIONES DE FISIÓN CONTROLADAo TAMAÑO CRÍTICO Y CONSTANTE DE TIEMPO o REACTORES DE FISIÓN

• FUSIÓN NUCLEARo PROCESOS BÁSICOS DE FUSIÓN NUCLEAR o CARACTERÍSTICAS DE LA FUSIÓN NUCLEAR

• REACTORES DE FUSIÓNREACCIÓNDE FUSIÓN CONTROLADA. CRITERIO DE LAWSON

• FUSIÓN SOLAR Y NEUTRINOS SOLARESo EL BIG-BANG. NUCLEOSÍOTESIS ESTELAR o PROCESOS DE FUSIÓN EN EL SOL o LOS NEUTRINOS SOLARES

326 Física Nuclear


• Comprender el proceso de fisión nuclear. Estudiar los modelos que siven para explicarla.

• Describir las características de la fisión inducida.

• Entender las bases de la fisión controlada.

• Estudiar los procesos relacionados con las reacciones de fusión.

• Entender las características de la fusión nuclear.

• Explicar el funcionamiento básico de los reactores de fusión.

• Relacionar la fusión solar con la nucleosíntesis estelar.

9.1 Introducción

Se denominan ñsión y fusión nuclear a dos procesos nucleares exoener- géticos con aplicaciones importantes. Ambos procesos producen cantidades extraordinariamente elevadas de energía, y ambos son básicos en la concepción de los reactores nucleares utilizados en la producción de energía eléctrica.

La fisión es un fenómeno que atañe a los núcleos más pesados (Uranio y Plutonio principalmente). La fusión, sin embargo, es im proceso que tiene lugar de forma natural en las estrellas. Por eso brillan (emiten fotones) y además emiten otras partículas de gran interés para la Astrofísica.

La Física de Partículas está íntimamente ligada a los recientes progresos en Astrofísica y en Cosmología. En la actualidad esta relación ha originado ima nueva disciplina denonünada Astrofísica de Partículas o Física de Astropartículas. Por eso en este Tema también se abordan algunos de los fenómenos de los que se ocupa esta especialidad.

9 .2 Fisión Nuclear

9.2.1 Antecedentes

E. Fermi (Premio Nobel de Física en 1938) tras el descubrimiento del neutrón realizó experimentos de captura neutrónica en los que vm núcleo al absorber el neutrón, se transforma en un isótopo con un neutrón más, generalmente dando lugax a un núcleo inestable que decae vía desintegración P~ posterior, apareciendo así el núcleo siguiente en la Tabla de Mendeleiev. Efectivamente, al decaer por desintegración ¡3 da lugax al núcleo Z + 1. Con eUo se explicó la formación de núcleos con A > 56, en las etapas finales de las estrellas.

Hahn (Premio Nobel de Química en 1944) y Strassmann (1939), al intentar sintetizar los transuránidos advirtieron la existencia de la Fisión inducida por neutrones, una reacción exoenergética que, al existir la posibilidad de reacción en cadena, se convirtió en una reacción que tiene aplicaciones prácticas como fuente de energía, ya que originó la posibilidad de realizar reactores de fisión.

La fisión es un proceso en el que im núcleo se rompe en dos cuyos números másicos son cercanos a la mitad del número másico A del núcleo padre. Dada la riqueza en neutrones del núcleo inicial, en el proceso de fisión se suelen

Procesos de físión y fusión 327

emitir también varios neutrones

X — > Y Z n TI .

Los núcleos resultantes Y y Z son altamente inestables ya que se encuentran lejos del valle de la estabilidad, con lo que inician cadenas radiactivas.

328 Física Nuclear

9.2.2 Energética

La fisión es el resultado de la competición entre fuerzas nucleares y culombianas. Sea un núcleo X (ej. que se escinde en dos Y, Z, que conel objeto de simplificar el razonamiento se supondrá que tienen aproximadamente el mismo número másico A/2 (ej. H^Pd). La curva de estabilidad nos da, respectivamente,

{B/A)u ^ 7,Q MeV/nucleón

{B/A)p^ - 8,5 MeV/nucleón

por lo que se trata de im proceso exoenergético. En efecto:

Q = rriini - rrifin = E B {f in ) - E b {ítií) = 238(8,5 - 7,6) MeV (9.1)

por lo tanto se ceden 238 x 0,9 ~ 214 MeV por fisión. O sea, se liberan más de 6 órdenes de magnitud de energía que en el caso de las reacciones químicas (procesos atómicos).

Siguiendo im modelo tipo Gamow de la desintegración a, los dos núcleos de Pd de ñ ~ 6,1 fm ven una barrera culombiana Ve de 250 MeV, demasiado grande para franquearla de manera espontánea. La fisión espontánea de los uráiiidos es, en efecto, improbable. Así por ejemplo, la vida media por fisión para el es r/( ^®[/) = 10 ® años, aimque la probabilidad de fisión aumenta con el número másico A, de forma que es observable para el Tfii^Fm ) = 10" años = 3,8 h. El l^Fm tiene 8% de probabilidad de desintegración a y 92 % de fisión espontánea. De hecho, como se verá más adelante, la fisión espontánea es el proceso dominante para núcleos con A > 300.

9.2.3 Modelo de la gota líquida para la ñsión

Cuando se estudió la desintegración a siguiendo el modelo propuesto por Gamow y otros, se supuso un problema de una partícula (el núcleo a) en el potencial nuclear creado por el núcleo padre. Para escapar de dicho pozo de potencial, la partícula a debe de vencer la barrera culombiana debida a la carga eléctrica del núcleo hijo.

Procesos de ñsión y fusión 329

Figura 9.1 - Variación de la energía potencial con la deformación nuclear, mostrando la barrera de fisión Ef que debe superarse para que tenga lugar el proceso de fisión nuclear (según el modelo de la gota líquida).

A esta energía también se le denomina energía de activación.El valor Er en la figura es el correspondiente a la energía que se liberaría

en la fisión (214 MeV en el caso del ^ ®C/). La barrera de fisión desaparece para los núcleos que cumplen Z'^/A > 49, y entonces

la energía potencial seguiría la línea de trazos.

Ahora, en el caso de la fisión, también se trata de un problema de venci- nüento de la barrera culombiana, pero esta vez la barrera es debida a los dos núcleos resultantes de la fisión. Es más sencillo ahora pensar en un potencial debido a la deformación nuclear como se puede ver en la figura 9.1. La deformación nuclear es causada por las enormes fuerzas centrífugas del núcleo padre debidas a su estado rotacional elevado.

Si se deforma mi núcleo esférico, se observa im máximo de energía potencial en fimción de la deformación. Se llama energía de activación (del orden de 6 MeV para el Í7), la energía necesaria para franquear la barrera de fisión {Ef en la figma 9.1).

Para estudiar el origen de la energía de fisión, se utilizará im modelo en el que el núcleo es ima gota líquida de forma elipsoidal, con semieje mayor a = i 2(l + e) y semieje menor b = R/y/l-\-e y cuyo volumen es V = |7ra6 , el mismo que si fuese esférico (e = 0 ), puesto que el núcleo es incompresible. Al deformarse, la superficie aumenta^

S = 47Tñ2(i + ^ 2 ^ (9 2)O

con lo que el aumento de la energía de superficie es: E^ = y la energía culombiana disminuye,

E'c = Ec{l - + ...) (9.3)

con lo que la diferencia entre la energía de ligadura (hasta orden e ) entre el núcleo deformado y el esférico es:

AE = Eb {€) - Eb{0) =

-asA^/^ (1 + |e2) - acZÂ~^/^ ( l - ++asA^/ + olcZ'Â-^'^ + .. (9.4)

La fisión espontánea tendrá lugar si la configuración nuclear deformada es energéticamente más favorable que la esférica; para ello debe cumplirse que A E > O, o sea, \olcZ > es decir Z'^¡A > 2aslac, que numéricamente:

ZVA > 49

lo que imphca que A > 300. Casuahnente para A = 300 hay un máximode estabihdad debido a que la capa neutrónica con AT = 184 se completa.Así pues la estabilidad bajo la fisión depende de Z ‘ ¡A\ los núcleos Ugeros [A < 200) son muy estables bajo fisión.

330 Física Nuclear

Ên efecto, la superficie del elipsoide vale SgUp = 2Tro6 - r¡ + 2££ ¡L2 con

T) = \/a - l /a

La barrera de fisión es fimción de la deformación nuclear. Una esfera presenta un cociente S/V mínimo, con lo que, en este caso, la repulsión culombiana es mínima. En el supuesto que la deformación valga le| = 0,29, puede calcularse que la barrera de fisión para los uránidos vale

Ef » 0,45(49 - Z^/A) MeV

La fisión es pues un fenómento de penetración de barrera al igual que la desintegración a, pero esta vez la barrera es la creada por la energía debida a la deformación. La llamada barrera de fisión de altura Ef que aparece (véase figura 9.1) puede ser franqueada natural o artificialmente. Se distingue así la ñsión espontánea de la físión inducida por bombardeo de neutrones.

9.2.4 Características de la reacción de físión inducida

Para el uranio y algunos transuránidos, la fisión espontánea es prácticamente despreciable. Por ejemplo el lÛ tiene desintegración a y puede tener fisión espontánea con las siguientes probabilidades:

238[; _ 2 3 4 ^ A„ = 5 X lO"!«

^ ^ U ^ ^B r+ l fL a + Zn Xf = 3xlO-Û~^

por lo que la fisión espontánea representa una fracción 6 x 10“ de los casos, lo que la hace despreciable y casi indetectable.

Hay que activar la fisión, bombardeando el núcleo fisible con neutrones térmicos. Se llama así a los neutrones con una energía cercana a 0,025 eV, es decir, la equivalente a la energía kT de la temperatura ambiente (300 K). La reacción típica es

n +235 u _^93 ^ ^141 ^

Los núcleos resultantes de la fisión {X e F ) no son siempre los mismos. Existen otras posibihdades, por ejemplo: 4oZr+^2Te o también s^Kr+êBa, etc.

Se da la circimstancia que el que se forma después de la captura neutrónica tiene una energía de excitación (£'eic = 6,5 MeV), o sea, el valor de la Q de la reacción, superior a la energía de activación necesaria para vencer la barrera de fisión {Ef = 6,2 MeV en el caso del ^Û).


332 Física Nuclear

La energía de activación disminuye cuando Z'^jA aimienta (según el modelo de la gota líqmda) y para Z^/A > 49 la energía de activación es despreciable, con lo que la barrera de fisión desaparece.

Of (barn)

E „ ( e V )

Figura 9.2 - Esquema aproximado mostrando la variación de la sección eficaz de fisión para los dos isótopos del U, que se observan en la curva (a) para el donde se aprecia la gran

probabilidad de fisión para neutrones térmicos,(b) para el ^ í/, que necesita neutrones

con energía superior al MeV para fisionarse.

La energía de excitación, como se acaba de ver, es el valor Q de la reacción de captura neutrónica; o sea, simplemente la diferencia de masas:

(9.5)

y se llama de excitación porque puede interpretarse que el estado n U es en realidad "Û*, es decir, un estado excitado, de masa superior a la del estado fundamental del '^Û. Si se hace el mismo cálculo para el

se obtiene: Eexci^^Û) = 4,8 MeV mientras que = 6,6 MeV, por lo que no puede tener lugax la fisión por captura de neutrones térmicos. La diferencia entre las energías de excitación entre núcleos pares e impares puede entenderse por el término 6 de apareamiento; la diferencia entre el y el 238 es AEexc = 26. La energía de excitación es mayor para núcleos con A impar (y Z par) y casi igual a la de activación. Ello es consecuencia del mayor valor de la energía de separación Sn en los núcleos par-par.

Se cumplen las siguientes regularidades:

1. Las secciones eficaces de fisión siguen la típica ley para n térmicos G \¡v con picos de resonancias entre 1 y 100 eV. Para el se tiene g = 584 b en el caso de neutrones térmicos (T„ ~ 0,025 eV). Sin embargo para el no existe fisión a menos que En > MeV; (ver figura 9.2).

2. El número de neutrones producidos en la reacción de fisión, no essiempre el mismo sino que depende del número másico ( 4) del elemento fisible. Este número sigue una distribución cuya forma es una función de Gauss, universal, con una desviación típica cr = 1,08. Se tiene como valor medio i/n = 2,48 para el Un = 2,42 para el y i/n = 2,86 para el Se trata de neutrones rápidos {En ~ MeV),emitidos como en un proceso de evaporación (estadístico); se llaman neutrones instantáneos (prompt) porque se producen instantáneamente con la fisión, en el mismo instante en el que se producen los fragmentos r y Z .

3. Aparecen cadenas radiactivas artificiales que son debidas al elevado número medio de neutrones con los que se producen los núcleos resultantes de la fisión. Uno de los graves problemas prácticos de estas cadenas es que acaban en elementos que tienen varios miles o nüUones de años de periodo de semidesintegración:

Zr Nb

1355Í, H4 Te Xe Ba

141(75 ^ La ^ C e ^ Pr


2 Estos tres últimos núcleos son los únicos combustibles que son prácticos para originar mía reacción en cadena.

334 Física Nuclear

Estos elementos de vida media larga crean im problema de almacenamiento, transporte etc. que tiene impacto medioambiental y de seguridad.Entre ellos también aparecen venenos, como el ^ ^Xe, denominándose así a núcleos que tienen una gran sección eficaz de captiura neutrónica (cTn+Xe = 2,7 X10® b). Estos venenos hay que eliminarlos porque ponen en pehgro la reacción en cadena, ya que provocan una gran disminución de los neutrones.

-123;{1.4%

S>

éMcV

Neutrón

7.41

”SrFigura 9.3 - Esquema de la desintegración del ► ^ 5r,uno de los núcleos que se producen en la fisión. Se observa así el

origen de la radiación /? y 7 . Esta cadena muestra un proceso típico de emisión de neutrones retardados. El retardo es debido al tiempo

de desintegración ¡3 del núcleo padre ^^Rb{T\/2 = 6 s).

4. También se emiten neutrones retardados, debidos a la aparición de núcleos altamente excitados en las desintegraciones de las cadenas radiactivas. Se llaman retardados porque normalmente se producen después de la desintegración /? del núcleo padre, con lo que son temporalmente posteriores a los neutrones instantáneos. Un ejemplo de emisor

de neutrones retardados es con E* = 6 MeV, mayor que5n, energía de separación neutrónica del Sr (ver figura 9.3). Representan alrededor del 1% del total de neutrones;

5. La distribución másica de los fragmentos se acumula (paxa el ^ Í7) alrededor de Ax = 95 y Ay = 140; éste último fijo e independiente del núcleo fisionable, consecuencia de la estructinra de capas nuclear.

9.3 Reacción de ñsión controlada

El primer reactor nuclear de fisión controlada, formado por una pila de bloques de Uranio (combustible) mezclados con grafito (moderador), fue construido en la Universidad de Chicago por E. Fermi en 1942.

Una reacción típica de fisión, puede ser por ejemplo:

n +23® U Rb +J f Cs + 2n (9.6)

o sea, que un neutrón térmico (que es el neutrón incidente que provoca la fisión) da lugar a 2 neutrones rápidos (los llamados instantáneos porque se producen instantáneamente con la reacción de fisión). En la reacción (9.6) se producen exactamente 2 neutrones. Pero estadísticamente se producen otros núcleos en el estado final, dando lugar en promedio a u neutrones rápidos. La distribución energética de estos neutrones es maxwelliana

f{E )dE = sÍEe-^'^'^dE (9.7)

El valor medio de la energía de los neutrones es (JS) ~ 2 MeV. En cuanto al número medio de neutrones ya se ha visto que i/ ^ 2,42, en el caso del Varía ligeramente según el blanco de fisión.

Para entender el funcionamiento de un reactor, se estudia a continuación un modelo de reactor de fisión cuyo núcleo o pila es una mezcla de y material moderador.

Sea una pila de im reactor, que se supondrá, de momento, de tamaño infinito. Se introduce el factor de multiplicación infinito (o factor de reproducción), , que da el número de neutrones térmicos por neutrón térmico obtenido en el proceso de fisión nuclear. O sea

^ = ^ (9.8)


siendo Nn el número de neutrones térmicos de la generación n de la reacción de fisión. Existirá reacción en cadena si fcc» > 1· El núcleo del reactor y su geometría (llamada pila nuclear) tendrán tres estados posibles según el valor que tome el factor k:

k = 1, crítica ^ reacción en cadena

A: < 1, subcrítica —> se apaga la reacción

A: > 1, supercrítica —» explosión

Utilizando como combustible el U natiural, se tendría siempre k < í ya que la sección eficaz de fisión es muy pequeña con neutrones rápidos.

El principal problema es moderar (reducir la energía media) los neutrones, es decir frenar los neutrones de algún MeV hasta que alcance la energía térmica. Para ello es necesario tener material fisible (los combustibles típicos son y y material moderador (grafito, agua, aguapesada, etc). Estadísticamente, el proceso de moderación dependerá de las reacciones nucleares de los neutrones con la materia de la pila del reactor (Uranio-hmoderador).

Sea por ejemplo un neutrón de energía En que cohsiona elásticamente con un núcleo de masa A. Después del choque la energía del neutrón E' , emitido en el ángulo 9 cumple:

_ A + l + 2Acose En {A + l f

de donde se confirma que cuando A es muy ligero {A ~ 1), se logra el máximo de pérdida de energía (suponer por ejemplo eos O = — 1). Si se toma grafito como moderador, basta con unas 100 colisiones elásticas para moderar los neutrones emitidos en la reacción de fisión. El recorrido libre medio de moderación se encuentra que vale ím ~ 19 cm, y el tiempo transcurrido es muy breve tm ~ 10“ s.

El factor de m ultiplicación inñnito se obtiene a partir de la llamada fórmula de los cuatro factores:

koo = riepf (9.10)

El significado de los factores se comprende cuando se analizan los procesos que puede tener vm neutrón en vma pila nuclear.

336 Física Nuclear

• rj — Factor eta - Representa el número de neutrones producidos por fisión, por cada neutrón térmico absorbido por el combustible. Si partimos de N neutrones, quedarán r)N neutrones aptos para causar la fisión. Se estima por la fórmula

V = (9.11)a/+ aa

siendo a/ y cTa las secciones eficaces de fisión (bueno) y de absorción (malo), respectivamente.


Ejemplo:

Para el Uranio natural (99,28% de y 0,72% dese tiene:

= 0b 75 b

considerando u = 2,5. Se llega así a 7; = 1,34. Paxa enriquecido al 3%, 77 = 2,12.

Hay, sin embargo, un fenómeno de gran importancia que tiene lugar con la captxira neutrónica del :

n + 239^; 2 ^ 2 3 9 ^ p 2 ^ 2 3 9 ( 3 5 0 0 0 ^¿Os)

en el que se obtiene ‘ ^^Pu{Ti/2 = 35 x 10 años), que es fisible por neutrones térmicos. Es una manera de regenerar combustible. Pero también es una fuente de los peligrosos residuos transuránicos.

• e_ - Factor de fisión rápida - Da la ganancia en neutrones debidos a la fisión del (e = 1,03). Esta fisión tiene lugar sólo para neutrones rápidos (ver figura 9.2).

• p — Probabilidad de escape a la resonancia - Da las pérdidas por captura de neutrones en el debido principalmente a las resonancias en el intervalo 10—100 eV, en el que aa{n U) ^ 1 kbarn. Esto sucede mientras se van moderando los neutrones (se tiene p 0,9).

La probabilidad de captura de neutrones por antes de ser frenados, es muy grande. Con U natural, no existe la reacción en cadena; hay que enriquecer su contenido en hasta un 3% al menos. Hay que impedir esta captura realizando un diseño de la pila del reactor en la que el moderador y las barras de combustible estén separados por « im, recorrido hbre medio de moderación.

• / — Factor de utilización térmica - Es el factor que corrige las pérdidas debidas a la captura de neutrones térmicos por el moderador (/ ~ 0,9). Aunque la sección eficaz de captiu:a sea muy pequeña para el grafito, a{n -I- C) ~ 3,4 mbarn, hay mucho moderador.

Con estos valores se llega a ¿oo = 1, H para el U natiural, pero el problema es tener en cuenta el tamaño finito del núcleo del reactor. Entonces aparecen dos nuevos factores de origen geométrico: las probabihdades de escape de neutrones rápidos (//) y lentos (Is), con lo que el valor de la constante de reproducción real (también llamado factor de multiplicación efectivo, kef) es

= (9.12)

de forma que cuanto más grande es la pila del reactor, menos neutrones se pierden.

En algunos textos a P/ = 1 - // se le denomina probabilidad de permanencia de neutrones rápidos y & Ps = 1 -1 , probabilidad de permanencia deneutrones lentos, quedando la expresión (9.12)

fce/ = rjepfPfPs (9.13)

338 Física Nuclear

Ejemplo:

En un reactor de uranio natural y óxido de berilio, con una relación atómica de 1 a 10.000, el factor de utilización térmica es

f = ' ^ = ____<íT" + a^NJNu

Teniendo en cuenta los siguienetes datos <r“ = 683 b y a™ = 0,01 b, se obtiene

f 683 683-^0,01x104 ’

9.3.1 TEunaño crítico y constante de tiempo

Un neutrón quedará confinado en la pila del reactor nuclear siempre que la probabilidad de moderación sea grande. Para ello el tamaño de la pila es determinante.

El tamaño crítico es

ya que la probabilidad de escape de un neutrón, dimensionalmente, es

oo “ e/ = (9.15)

inversamente proporcional al área. La longitud media de migración que recorre un n antes de ser absorbido es

Procesos de fìsión y fusión 339

L„, = J e ] + i l (9.16)

Ejemplo:

Para una central de Uranio-grañto, en donde £d = 50,8 cm, es la longitud de difusión antes de ser absorbido y 4 = 18,7 cm la longitud de frenado (rápido a térmico). Vimos que = 1,1 y Lm = 54,1 cm

Así, para el caso en el que la pila del reactor tenga forma esférica Re = TrLm/yjkoo — 1 = > iíc — 5 m.

En cuanto a la evolución temporal del proceso, se introduce r la constante de tiem po de los neutrones, obtenida al suponer que si en íq hay N neutrones, enti = to-hr habrá kN neutrones, en ¿2 = ^0 + 2r habrá k N, etc, con lo que

dN = {kN - N )^ (9.17)

quedando

N{t) = (9.18)

los neutrones crecen con ima constante de tiem po dada por to = T/{k — l)·

Los reactores funcionan en modo subcrítico, y gracias a los neutrones retardados (representan aproximadíimente del orden del 1% de todos los neutrones), emitidos por los núcleos de las cadenas secimdarias de la fisión y por lo tanto son procesos con vidas medias r entre segimdos y minutos. Gracias también las barras de control (que son barras Boro o Cadmio, materiales que tienen ima probabilidad muy grande de captura de neutrones) se consigue el funcionamiento crítico.

La mayor parte de la energía producida en la fisión es debida a la energía cinética de los productos resultantes de la reacción de fisión. Esta energía car lienta enormemente el núcleo del reactor (que hay que refrigerar). El método de refirigeración da lugar a las distintas tecnologías de las centrales nucleares (BWR, de boiling water reactor, PWR, de pressure water reactor, Grafi- to-t-gas, etc...). Las altas temperaturas alcanzadas por el refrigerador (agua, gas, etc...) sirve para mover turbinas generadoras de electricidad.

También se conoce la potencia energética producida por un reactor debida a la energía cinética de las emisiones radiactivas (secundarias). Se han detemoinado las siguientes cantidades de emisiones secundarias, aproximadamente:

• n rápidos (5 MeV).

• 7 rápidos (8 MeV).

• /? radiactivo (19 MeV, de los que 12 MeV en neutrinos inofensivos).

• 7 radiactivo (7 MeV).

Al apagar un reactor, la potencia emitida no se anula inmediatamente sino que continúa según

P{t) = 4,1 X 10“ [ r ° ’2 ~ {t + T )-° ’2] MeV/s (9.19)

por watio de nivel operativo (si el reactor opera a 1 GW, hay que multiplicar por 10 2). En esta última fórmula de la potencia P{t), t significa el tiempo transcurrido desde el apagado del reactor y T el tiempo durante el cual ha permanecido activo, expresados en días.

Física Nuclear


Ejemplo:

Si un reactor ha estado trabajando diurante 1 año a una potencia de 1000 MW, al cabo de un mes después de haberse apagado, la potencia que producirá se obtiene aphcando la expresión (9.19) donde t = 30 días y T = 365 días

P (mes) /W - 4,1 X 10“ (SO- ' - 395-°’2) == 8,36 X 10 ° MeV/s por cada watio.

P(mes) = 8,36 X 10 ® MeV/s, ya que trabajaba a 10® W

P(mes) = 8,36 X 10 ® x 1,602 x lO' J/s = 1,34 x 10® W = = 1,34 MW

Produce 1,34 MW después de llevar im mes apagado. Esto es lo que se denomina potencia calorífica de la desintegración.

9.4 Reactores de Fisión

En 1994, había 423 reactores nucleares de fisión, repartidos en 29 países. La potencia total instalada se elevaba a 330 GWe, y la producción mimdial de electricidad de origen nuclear representaba el 17% del total (unos 2100 TWh). Elstados Unidos (con 112 reactores), FVancia (57), antigua URSS (45) y Japón (41) eran los más activos.

En España, desde los años 1980, más del 30% de la energía eléctrica fabricada es de origen nuclear (reactores de fisión). En el subsuelo español se tienen reservas estimadas en unas 32.000 Tm de UsOg-

En España existen tres tipos de reactores:

PWR Ahnaraz, Aseó, TrilloBWR CofrentesGrafito+Gas Vandellós

El 90% de los residuos radiactivos provienen de las centrales de fisión. De entre los residuos de baja y media actividad originados en los reactores de fisión (elementos de vida corta; T1/2 < 30 años) están:

90Sr(27,7 años), ^ Cs(30 años),®® Co(5,3 años),®® Fe{2,5 años)

342 Física Nuclear

sin embargo los más preocupantes son los residuos de vida media larga (miles de años); entre ellos se encuentran los transuránidos {Np y Am) que hay que almacenar aparte.

to0oorfo•Mntod»<iguoM(0

Figura 9.4 - Esquema de un reactor de fisión tipo BWR (Boiling Water Reactor). El núcleo contiene las barras de óxido de

uranio y las barras de control de cadmio. La generación de electricidad se obtiene gracias a una turbina movida por el vapor de agua del

circuito secundario.

Pero también se obtienen isótopos radiactivos (en reactores y sobre todo en ciclotrones) que tienen aplicación en medicina nuclear:

Núcleo

131j

(agujas), ^ Ir (hilos), ^ ‘ Au (semillas)

^^Kr

AplicaciónMalftinción pulmonar Hipertiroidismo Braquiterapia TeleterapiaTrazador y detector de fugas

La dosis de radiación mortal es del orden de unos 3 a 5 Sv (300 a 500 rem) , mientras que la dosis anual de origen natural es de unos 250 nurem (tres órdenes de magnitud inferior).

^Sv - Sievert, unidad de Dosis Equivalente.

9.5 Fusión Nuclear

Las reacciones de fusión son aquellas que tienen lugar entre núcleos ligeros que se funden deindo lugar a núcleos más pesados. Ya se vió al estudiar la curva de estabilidad de los núcleos que éste es un proceso exoenergético. El problema es que para que la reacción tenga lugar, los núcleos deben vencer la barrera culombiana. Las reacciones de fusión son las que generan la energía solar (y la de las estrellas). Este proceso es pues responsable de la evolución de la vida sobre la Tierra.

Se trata de otra vía para la obtención industrial de energía por procesos nucleares. Es ventajosa respecto a la fisión porque:

• En la Tierra hay más abundancia de núcleos ligeros.

• No se producen tantos residuos radiactivos de larga duración.

Tiene la desventaja ya apimtada de que para que la reacción tenga lugar debe disponerse de energía para superar la barrera culombiana (aunque tenga lugar por efecto túnel).

9.5.1 Procesos básicos de fusión nuclear

Para que la fusión nuclear tenga lugar, es necesario que los núcleos venzan la fuerza de repulsión culombiana. Esto imphca que los núcleos que intervienen en la reacción de fusión deben tener una energía cinética suficiente para vencer la barrera culombiana o al menos para tener una elevada probabihdad de efecto túnel. Los procesos más importantes son:

a) Reacciones D-D,

^ ^He + n (Q = 3,27MeV)^ H + ^ H ^ H + ^ H (Q = 4,03 MeV)

la más elemental —y ^He + 7 no es posible porque el ^He esinestable, y la reacción —y *He + 7 (Q = 23,8 MeV) tieneel valor de Q demasiado grande; mayor que las energías de separación nucleònica del y por lo tanto no es aprovechable.

Procesos de ñsión y ñisión 343

El rem también es una unidad de Dosis Equivalente (1 Sv = 100 rem). Estas unidades se explicarán en el tema sobre Protección Radiológica.

b) Reacción D-T,

-l· ^ " He + n (Q = 17,6 MeV)

que es una fuente de neutrones rápidos (T = 14,1 MeV), lo que la hace muy interesante para procesos en los que es necesario disponer de neutrones secundarios.

344 Física Nuclear

Ejemplo:

Para calcular la energía que se liberaría si todo el deuterio contenido en un kg reaccionara en ima reacción D-D, primero se obtiene el número de átomos que hay en 1 kg

1000X 6,023 X 10 = 3,01 X 10 ® átomos/kg

La reacción D-D, como se acaba de ver, puede ocurrir en dos formas con igual frecuencia, por lo que se puede tomar el promedio de los valores de Q

Q = + ^ g¿i

La energía que se obtendría si todo el deuterio reaccionara es

ni V iri26^ ---------------- X 3,65 = 5,49 x 10 ® MeV/kg

Se ha dividido entre dos porque cada reacción necesita 2 núcleos de deuterio. Pasando la energía a julios

5,5 X 10 ® MeV/kg = 5,5 x 10“ x 1,602 x lO' ® MJ/kg = = 8,8x10^ MJ/kg

El valor típico para la combustión del carbón es 29 MJ/kg ¡más de 10® veces inferior!

También podría utilizarse,

+ ^He ^ '‘/íe + {Q = 14,7 MeV)

aunque para ello debería disponerse de ^He.En las estrellas la energía proviene de la fusión de

^He + 2e+ + 2i/e {Q = 26,2 MeV)

El paso siguiente que tiene lugar en la fusión en las estrellas es cuando ya se dispone de suficiente *He y entonces el proceso es la síntesis del a través de;

3x

Todos estos procesos se discuten con más detalle en la sección de la Fusión Solar.

9 .5.2 Características de la fusión nuclear

Se presentan a continuación cuatro características importantes de la fusión:

a) Energética

En los procesos de fusión, la energía de los proyectiles suele ser« 1 — 10 keV, valores pequeños respecto a Q. Por lo tanto si se

desprecia Ta en el proceso a + X —y b + Y, se tiene que Q = Ti,+ Ty y como Pb ^ py se puede escribir Q = Tb{l + mb/my) con lo que se cumple

^ ^ (9.20)T y n ib

lo que implica que en la reacción D -T por ejemplo, el n es emitido con el 80% de la energía.

b) Barrera culombiana

Al igual que en la desintegración a, habrá que superar una barrera culombiana de valor

que en el caso de la reacción D -T vale Ve = O, 28ZdZt = 0,4 MeV (mayor que los ~ 10 keV habituales de los reactores de fusión), y por lo tanto tendrá lugar por efecto túnel.

Procôs de fìsión y fusión 345

c) Sección eficaz

Fuera de la región de las resonancias, y como a baja energía la sección eficaz varía como a ~ se cumple

346 Física Nuclear

a a (9.22)V

siendoÍ ^ Z a Z x e U n ^ J Q \

el factor de Gamow, que contiene el factor de penetración de la barrera culombiana y recuerda que la fusión debe tener lugar por efecto túnel. Es el mismo factor que en el caso de la desintegración a, pero ahora se cumple Q = T*, energía cdm de la reacción a X . Como Q « B queda

G = (9.24)47reo ni'

y aunque falta conocer el elemento de matriz nuclear y los factores de espín, la expresión anterior contiene toda la dependencia con la energía.

Se puede escribir

(9.25)

y se suele parametrizar

ln{Ecjax) = (9-26)

en donde los valores de las constantes A' y B' son bien conocidos experimentalmente. La observación de las curvas de la sección eficaz en función de E (véase figura 9.5) permite concluir rápidamente que, en cualquier caso, la reacción D-T es la más favorable.


Ed(KeV)Figura 9.5 - Sección eficaz de fusión para procesos D-T y D-D en

función de la energía del proyectil: el deuterón. Se aprecia que la reacción D -T es la más probable a menor energía.

d) Velocidad de reacción

El ritmo de producción de las reacciones de fusión viene dado por el valor medio del producto (crv). Por ejemplo, en el caso de la captura neutrónica este producto es constante. Para calcularlo, se supone una distribución de velocidades según Maxwell-Boltzman; el espectro de velocidades (v, v + dv) en equilibrio, a ima temperatura T, es n{v)v^dv siendo:

n{v) oc (9.27)

Paxa la fusión termonuclear se tendrá

(av) oc ^ (9.28)

Por lo tanto de nuevo se encuentra que la reacción D-T es ventajosa ya que tiene im ritmo mayor que las otras, si se compara dicho ritmo a las energías operacionales de los reactores de fusión termonuclear controlada previstos (T ~ 10 — 10® K o sea ~ 1 — 10 keV).

El ritmo de la reacción D-T a energías de 10 keV es de 10“ ® cm /s.

348 Física Nuclear

9.6 Reactores de fusión

Desde 1945 se han propuesto varias ideas para utilizar la fusión como fuente de energía:

• Por confinamiento magnético (1945, Alvarez, Fermi, Teller), utilizando imanes especiales para calentar y concentrar el plasma (tokamak).

• Por confinamiento inercia!; una pastilla de combustible {D y T ) es bombardeada desde varias direcciones por láser y por partículas.

• La llamada fusión fría, por catálisis de agua pesada (rica en deuterio) (1947, Frank, Sakharov).

Las dos primeras utilizan el confinamiento del plasma caliente de deuterio- tritio. En efecto, en principio, los procesos físicos que podrían utilizarse son procesos D-D o D-T, pero este último es más favorable energéticamente, y además tiene la sección eficaz óptima alrededor de unos 20 keV de energía cinética (ver figura 9.5).


Tmperatura (KeV)Figura 9.6 - Comparación de las pérdidas por bremsstrahlung con la

potencia emitida en las reacciones D -T y D-D, suponiendo una densidad de iones de lO /m®, en función de la temperatura. La reacción D -T supera

las pérdidas por bremsstrahlung a menor temperatura que la reacción D-D.

La fusión D -T no presenta problemas de abundancia de combustible. El deuterio se encuentra en el agua en ima proporción 1/6500. El tritio es inestable (T1/2 = 12,26 años) pero se obtiene fácilmente por bombardeo neutrónico del Litio:

n + ^ ^He +

proceso exoenergético (Q = 4,6 MeV) o también

n + * H e + ^ H + n

proceso endoenergético {Q = —2,47 MeV). Las abundancias relativas del Litio son 7,4% ^Li y 92,6% ' Li.

Los diseños de las centrales de ftisión utilizan el calor producido por estas reacciones, que calientan el Li y una vez líquido, generan vapor que puede mover turbinas. Además esta energía térmica, mantiene el plasma caliente. Todo ello, gracias a los neutrones de la reacción D -T (T = 14,1 MeV).

9.6.1 Reacción de fusión controlada. Criterio de Lawson

Para lograr la ñisión termonuclear controlada y poder extraer energía es necesario:

• Calentar el combustible {D H- T ) hasta temperaturas T ~ 10® A"{E - 10 keV).

• Mantener una densidad elevada durante un tiempo suficiente.

Los productos de reacción a elevada temperatura se encuentran en estado de plasma. El problema es la pérdida de energía por bremsstrahlung de los e~ del plasma.

Se demuestra que la densidad de potencia radiada por bremsstrahlung es

Pbr = 0,5x 10-^Z^n+ngVi^ ^ (9.29)

y se observa que los procesos D -T son ventajosos (ver figura 9.6) ya que la densidad de potencia emitida por la fusión supera rápidamente las pérdidas por bremsstrahlung (a partir de T ~ 4 keV para D -T y ~ 40 keV para D-D).

El criterio de Lawson da la condición mínima para que la energía emitida en la fusión supere las pérdidas por radiación y las del calentamiento del plasma. Sea r el tiem po de confinamiento del plasma, y n la densidad atómica (ud ~ nr ~ n/2). La energía producida por unidad de volumen en la fusión en el plasma será

Ef = (av) Qt (9.30)

siendo, en el caso D-T, Q = 17,6 MeV y la velocidad de reacción {crv)= 10“22 m3/s a la temperatura habitual de 10 keV.

350 Física Nuclear

La energía térmica necesaria para calentar iones y electrones a la tem- peratm-a T es sencillamente Et = 3nkT. Habrá producción de energía si E f > E t o sea,

12kT ^<«·“ )

es decir nr > 10 ® s/m , si la temperatura es de 10 keV.El criterio de Lawson ha sido ya alcanzado por las instalaciones experi

mentales (tokamak) de fusión. Todavía es pronto para diseñar im reactor capaz de producir energía industrialmente. Vistas las ventajas de la fusión frente a la ñsión, se dispone de una fuente de energía no contaminante, y sin problemas de combustible, para el futuro.

9.7 Fusión solsir y neutrinos solares

El mejor laboratorio de fusión termonuclear lo proporcionan las estrellas. Primero se revisan brevemente los conceptos de nucleosíntesis estelar contenidos en la teoría del Big-Bang y después se presenta el funcionamiento de la fusión en el Sol, para discutir el déficit de los neutrinos solares. Es una muestra de la conexión entre Física de Partículas y Cosmología.

9.7.1 El Big-Bang. Nucleosíntesis estelar

El Universo tiene unos 15.000 millones de años. Su edad ha sido calculada con una cierta verosimilitud gracias a la Teoría del Big-Bang y a dos resultados de experimentos cruciales; la expansión de las galaxias (Edwin Hubble, 1929) y la radiación de fondo del Universo. Se puede afirmar que estas observaciones son las rehquias del Big-Bang, y que estos descubrimientos han convertido a la Cosmología en una teoría moderna con sóhdas bases experimentales.

Según la cosmología del Big-Bang, el universo es consecuencia de una singularidad espacio-temporal. Inicialmente, la temperatura era T = oo y la densidad de materia p = oo y encontrándose en equihbrio las partículas con la radiación. La expansión imphca enfriamiento, con lo que la radiación se desacopla de la materia (los átomos se forman). La figura 9.7 muestra las fases de la evolución del Universo, representando la energía por partícula (equivalente a la Temperatura) en función del tiempo.

Hubble observó el desplazamiento al rojo de los espectros de las galaxias lejanas, y dedujo que esas galaxias se alejan con ima velocidad proporcional


a su distancia a la Tierra:

352

V = Hc)d

Física Nuclear

(9.32)

Es la llamada Ley de Hubble. Es decir, todas las galaxias se alejan entre sí y el universo se expande. El valor de la constante de Hubble es Hq = 65 km s Mpc"^ Recuérdese que la unidad convencional de distancia en astrononua es el parsec (pe).

Figura 9.7 - la evolución del universo según la teoría del Big-Bang.

" El parsec (del inglés parallax second), corresponde a la distancia desde la cual una unidad astronómica (UA= 1,49598 x 10 m, distancia del eje mayor Tierra-Sol) subtiende un ángulo de un segundo de arco (paralaje) perpendicularmente a la línea de observación. Su valor es pe = 3,26 años luz.


El fondo universal de radiación de microondas fue descubierto por Penzias y Wilson en 1964. Su medida fue A = 7,35 cm, correspondiente a una temperatura de cuerpo negro de 3,1±1,0 K. Hoy se sabe que la temperatura del fondo es:

2,7±0,1 K

gracias a las medidas del satélite COBE. De la radiación del cuerpo negro se puede obtener la densidad de fotones en función de la temperatura T:

Ny = 2,0x10'^ 7/m^ (9.33)

o sea que hoy se tienen 400 7 /cm , cuyo equivalente energético E/c? = 0,25 eV debido a los fotones primordiales por cw?. La densidad de materia es sin embargo, mucho menor: Nnucteones = 10~ Ny.

Figura 9.8 - Las medidas obtenidas por el satélite COBE de la radiaciónde fondo del universo.

La nucleosíntesis primordial empieza hacia los 3 segmidos después del Big-Bang, en los que la temperatura T « 9 x 10 K y se tiene que el cociente de neutrones y protones Nn/Np = 0,2. Puede entonces formarse el deuterio

p-hn —► d-h7

y después los otros núcleos

d + n ^ d-hd—d-\-p ^ ^He + 7 d -h GÍ —► ^He -h n

y finalmente

^ i/e + 7 ^He + n —> i/e + 7

y así se llega a explicar la abimdancia primordial del He. En el universo, el 90% de átomos son de i f y el 9% de He.

9.7.2 Los procesos de fusión en el Sol

El Sistema Solar es más joven que el Universo. Su origen es muy probablemente la consecuencia de la reagrupación gravitatoria de las cenizas deuna explosión de una gran supernova. Las medidas de la edad de los meteoritos, la luna y otros objetos celestes, han llevado a calcular la edad del Sistema Solar en unos 4.500 millones de años.

El Sol es una estrella de tamaño pequeño-mediano. Brilla porque enúte fotones (cuantos de luz) resultado de las reacciones de fusión del Hidrógeno que tienen lugar en su núcleo. El resultado de las reacciones de fusión escrear Helio a partir del Hidrógeno. El Heho es uno de los núcleos más ligadosy muy estable.

La enorme energía emitida en los procesos de fusión del Sol impide su colapso gravitatorio, ya que las fuerzas de la gravitación son enormes.

El Sol tiene los siguientes parámetros,

M@ = 1,99 X 10 kg.= 6,96 X 10® m (- 100 x Rt).

£@ = 3,86x1026 W.

354 Física Nuclear


este último es la Irnninosidawl del Sol, que equivale a ~ 2 x 1 0 “ ·* W/kg. Por ello a la Tierra llegan 1,4 kW/m . Como en cada fusión se producen 25 MeV, son n e c e s a r i a s 1 0“ fusiones/s, con lo que desaparecen 4 x 1 0“ p/s. Como en el Sol hay imos 10®® protones, todavía podrá funcionar el Sol dinante otros jlO‘° años!.

La temperatura media del Sol, T ~ 1,16 x 10 K (~ 1 keV) proviene de la energía gravitíicional:

~ G i v ^ = 3,8x lO'** J.

A esta temperatura, todos los átomos de /í y de He están ionizados (estado de plasma).

En el centro del Sol T = 1 ,5 x lO’’ K (~ 1 ,3 keV). A pesar de la alta densidad protónica, = 125 g/cm (np = 7,5 x 10 ® p/cm®), la velocidad de reacción es baja: {av) «s 5 x 1 0 “ ® s" por protón xlO®® p = 10“ /s. Se ve que hay un cuello de botella porque sólo se forma 1 d por cada 1 0 ® protones.

El Sol, como las otras estrellas, es consecuencia de un cúmulo de gas resultado de una fluctuación. Por gravitación aumenta la temperatura y cuando alcanza los 10 K (~ 1 keV, recuérdese que 1 eV= 1,16 x 10“* K), simplemente el inverso de la constante de Boltzman) se inicia el llamado ciclo P P en el seno del plasma de H :

P P I QiMeV)p + p -^ d + e + i e 0,42p + d —y ^He + 7 5,49^He + ^He ^ ^He + 2 ^H 1 2 ,8 6

PP I I g(MeV)■ He + ^He ^ + 7 i;59^Be + e~ ^Li + i/g 0,86^Li + ^H-^ *He + *He 17,35

P P I I I'‘Be+ P - » « 5 + 7

»B + e + + I /e

«Be* ^ ^He + *He

Q(MeV)0,14

14,023,03

El balance en el caso del ciclo P P I se puede concretar diciendo que se fusionan 4 átomos de ^H dando ^He + 2e' + 2i>e con Q = 26,72 MeV. Cada

356 Física Nuclear

átomo de quemado por el Sol produce 6,55 MeV de energía. Físicamente, el embudo en la producción de energía en las estrellas es la creación de deuterio, ya que es un proceso debido a la interacción débil. A energías del orden del keV: cr{pp) ~ 10" barn, que aumenta 10 órdenes de magnitud si la energía es del orden de 1 MeV.

0 7654r=8.5 eV

r= 0.0108 eV

Figura 9.9 - Esquema energético de los dos primeros niveles excitados de núcleos de Las energías están en keV.

Cuando la densidad de He es suficiente (lo que coincide con temperatiuras del orden de T ~ 10® K), puede sintetizarse gracias al nivel excitado O···, conocido también como la resonancia de 7,65 MeV. Los estados nucleares del

permiten entender los procesos que tienen lugar en el Sol. En la figura 9.9 pueden observarse estos niveles.

En efecto, a temperaturas > 10® K pueden tener lugar los procesos

a + a —> \Be —► a + a

donde el \Be, núcleo muy inestable con una vida media de 10“ ® s, vive lo suficiente para que también pueda tener lugar el proceso

a + i B e ^ l^C* + 2 7


La primera reacción es endoenergética {Q = —0,09 MeV) y la segunda, altamente exoenergética {Q = 7,367 MeV, a sólo 287 keV de la resonancia). De esta manera puede crearse el estado excitado de 7654 keV del Carbono que, al desintegrarse, alcanza de manera irreversible el estado fimdamental. Ello es posible porque la vida media del estado de 7654 keV es de 5 x lO ’ s, inferior a la de desintegración del \Be.

A partir de la existencia de núcleos de comienza el ciclo CNO, en donde el actúa como catalizador de la fusión del He, aJ igual que en los ciclos PP. Aquí llega a perderse el 5% de la energía en emisión de Ve- La- temperatura aumenta y continúan los procesos de fusión hasta llegar al ^Fe. El ciclo CNO es más rápido ya que no existe el cuello de botella de la síntesis del deuterio.

CNO I g(MeV) CNO II Q(MeV)i^C + p ^ i3 v + 7 1 ,9 4

13 13(7-1- e+-1-i/e 1,20 i3c + p ^ 14íV + 7 7,55

^ O + 'r 7,29 150^ i®AT-F e+i /e 1,73 i^N+ p ^ 12(7 + ^He 4,96

A temperaturas de 10® K, materia y radiación están en eqmhbrio (los fotones se materializan en pares e' e~ y la aniquilación e+e“ produce pares de fotones). Se hace posible de esta manera que una serie de interacciones débiles sean posibles, por ejemplo:

1 . e+e- ^ V e + V e {Q = 1 ,02 MeV).

2 . e+e" + V .

3. 7 + e* I// + i>< + e .

4. + {Z, A) ^ e (2 , A) + ue + ü(.

Todos ellos son procesos por intercambio de bosones W o Z, o producción de Z virtual.

Cuando el núcleo de la estrella llega a estas temperatiuas, el gas de electrones es degenerado. La energía de Fermi puede ser suficiente para que la captura electrónica

e + p — n + l·>e y ■P + I'e

tenga lugar.

A partir de T ~ 10 K pueden sintetizarse núcleos con A par, por ejemplo

l C -h a —>g® 0 + 7

358 Física Nuclear

Se ve pues que los núcleos resultantes de reacciones con a (núcleos pares) son más abundantes que los impares. También se ve que núcleos con 4 < 56 abundan mucho más que los que tienen A > 56.

Al consumirse el hidrógeno, se enfría la estrella, colapsa gravitacional- mente y explota (supernova); por ejemplo en 1054 dC en la constelación cangrejo o la más reciente SN1987B.

El colapso gravitacional puede dar lugar a la formación de ima estrella de neutrones (dependiendo de la masa de la estrella). Este es un buen ejemplo de un enorme sistema que puede ser descrito como un gas de Fermi.

9.7.3 ** Los neutrinos solares

En los ciclos P P de fusión que tienen lugar en el Sol, se emiten i/g. Estos neutrinos informan sobre los fenómenos que tienen lugar en el interior del Sol. Por el contrario, los fotones llegan a la superficie del Sol después de millones de años de haber sido producidos, pudiendo entonces escapar con lo que esta energía emitida en forma de fotones contribuye al calentamiento de la fotoesfera, la zona exterior del Sol donde la energía desprendida en las reacciones nucleares es finalmente convertida en luz.

El flujo de neutrinos procedentes del Sol, está siendo medido continuamente. El conocido Modelo Estándar Solar (SSM), de Bahcall et al., predice el número de neutrinos solares que son emitidos por el Sol. Estas predicciones pueden observarse en la figura , en donde para medir el flujo de neutrinos se utiliza el SNU (Solar Neutrino Unit), que mide el producto (|) , · cTi [s~ ] cuya unidad vale 10“ ® s“ . En dicha figura se ha representado el flujo de neutrinos procedentes de cada uno de los procesos dominantes en el Sol.

Procesos de fisión y fusión 359

I

Energía de los neutrinos (MeV)F igura 9.10 - Espectro de los neutrinos solares incidentes en la Tierra.Se observan los espectros continuos del proceso pp y de la desintegración

del así como los picos monoenergéticos de la captura electrónica del ^Be (capa K y L) y del proceso pep que también contribuye a la síntesis

del deuterio: p-\- e~ + i/g-

Por su importancia histórica se presentan a continuación tres experimentos dedicados al estudio de los neutrinos solares, cada uno de ellos utilizando técnicas complementarias:

• Davis et al., situado en el sur de Dakota, en una mina a 1 milla de profundidad. El detector lo forma una masa de 615 Tm de percloroetileno {C2 CI4 ), conteniendo 2,18 x 10 átomos de cuya abundancia isotópica es del 25%. Estudia la reacción

i/e +?? Cl e~ Ar {Q = - 0 ,81 MeV)

Se observan 0 ,40 ± 0 ,06 átomos de ^'Âr radiactivo por día, lo que da 2,1 SNU, mientras que el S S M predice 7,9 SNU, lo que originó el conocido

déficit de neutrinos solares.

Este experimento es insensible a los neutrinos de la cadena PPI puesto que su energía es inferior al umbral (0,81 MeV).

360 Física Nuclear

Kamiokande, detector de tipo Cerenkov situado en el Japón. Ha publicado un cociente Exp/Teór = 0,46 ± 0,05, confirmando el anterior déficit. Este experimento y el anterior son sensibles a los neutrinos del

SAGE, (Soviet American Gallium Experiment), basado en la reacción

i/e +l\ Ga ^ e- +11 Ge {Q = -0 ,23 MeV)

que es sensible a los neutrinos de la cadena PP I. En el experimento esperan 132 SNU y han reportado un resultado de 69 ± 10(error estadístico) ±20(error sistemático) SNU (con un nivel de confianza del 90%).

• GALLEX. Situado en el Laboratorio del Gran Sasso, cerca de Roma, en un túnel bajo 3500 m equivalentes de agua, que reducen el flujo de cósmicos en un factor 10® respecto a la superficie. Después de dos años de funcionamiento, el flujo de neutrinos medido es de 79 ib 10 db 6 SNU, cifra muy inferior a los 128 ± 10 SNU esperados.

Se puede concluir que existe un déficit de neutrinos solares en la Tierra. Es el conocido problema de los neutrinos solares. Una de las ideas que más fuerza está adquiriendo es que esta desaparición de neutrinos es debida a las oscilaciones entre famihas.

procesos de ñsión y fusión 361

Figura 9.11 - Resumen actual de los resultados sobre oscilaciones

de neutrinos. Las manchas negras señalan la zona de valores posibles

para la masa del neutrino (Am ^) y el ángulo de la mezcla 6.


Emisor de neutrones retardados - (página 334) Producto de fisión que emite neutrones después de una o más desintegraciones beta.

Fisión - (página 327) División del núcleo de átomos pesados, como el uranio o el plutonio, en dos partes aproximadamente iguales, a lo que acompaña la liberación de una cantidad de energía relativamente grande y generalmente uno o más neutrones.

Pasión - (página 343) Combinación de dos núcleos atómicos ligeros para formar un núcleo más pesado, ocasionando además una pérdida de masa. A la fusión le acompaña liberación de energía.

Material fisil - (página 331) Material en el que el núcleo tiene ima gran probabilidad de sufrir una fisión después de una captura neutrónica.

Moderación - (página 336) Proceso en el que se reduce la energía de los neutrones.

Moderador - (página 336) Material en el que los neutrones rápidos pierden la energía por colisiones elásticas con los núcleos y si no son capturadoso escapan alcanzan la misma temperatura que el material.

Nucleosíntesis - (página 351) Síntesis por reacciones nucleares de núcleos complejos partiendo de neutrones y protones.

Plasma - (página 348) Gases ionizados, es decir un gas descompuesto en iones positivos y electrones que se mueven libremente en un número eléctricamente equivalente. El sol, por ejemplo, es un plasma.

Reacción termonuclear controlada - (página 350) Fusión nuclear que tiene lugar bajo condiciones controladas.

Supernova - (página 354) Explosión estelar en la que una estrella sufre una rápida evolución con la emisión de gran parte de su masa. Puede llevar a la destrucción completa de la estrella o a la creación de una estrella de neutrones o un agujero negro.

362 Física Nuclear

Resumen• En este capítulo se estudian las dos reacciones nucleares más impor

tantes la fisión y la fusión.

• La energía de activación es la energía necesaria para franquear la barrera de fisión. Es del orden de 6 MeV para el uranio y es fimción de la deformación nuclear.

• La estabilidad para la fisión depende de Z^/A. La fisión espontánea se produce cuando la barrera de fisión puede ser firanqueada naturalmente. Esto ocurre principalmente para A > 300.

• La fisión inducida se produce artificialmente por bombardeo de neutrones.

• Los neutrones térmiœs son aquellos que tienen energía próxima a 0,025 eV que es la equivalente a la energía kT de la temperatura ambiente (300 K).

• En la fisión se producen neutrones instantáneos, en el mismo instante que los fragmentos de fisión. Además se producen los neutrones retardados después de la desintegración de los productos de fisión.

• Se denominan venenos a los productos de fisión que tienen una gran sección eficaz de captura neutrónica.

• En la fusión nuclear es necesario superar la barrera coulombiana entre los núcleos.

• Para lograr la fusión termonuclear controlada son necesarias dos condiciones:

- Alcanzar temperaturas de ~ 10* K.

- Mantener una densidad elevada un tiempo suficiente.

Esto es lo que se denomina criterio de Lawson.



1. ¿Cuál es el significado físico del factor de multiplicación fce/?¿Cuántos neutrones habrá después de 100 generaciones, si el proceso de fisión empieza con 1000 neutrones y kef = 1,05?

2. En un reactor de investigación de una Universidad se cumple lo siguiente:

364 Física Nuclear

(a) 12% de los neutrones de fisión se absorben en resonancias por U-238.

(b) 8,5% se escapan del núcleo del reactor durante la moderación.

(c) 3% se escapan mientras se difunden como neutrones térmicos.

(d) De los que no han escapado, el 84% se absorben en el material combustible.

(e) De los neutrones absorbidos en el material combustible 78% es absorbido por U-235. Considerar para el U-235 v = 2,08.

¿Cuánto vale el factor de multiplicación?

3. ¿Qué influencia tiene la alta sección eficaz de captura para los neutrones térmicos del (que es un veneno) en la cinética del reactor?

4 El “* ([7/ es un emisor a en el 99,998% de sus desintegraciones y también puede sufrir fisión espontánea. Si su periodo es de 1,487 días ¿Cuántas fisiones espontáneas por gramo y por día producirá?

5. Estime la masa de deuterio necesaria para alimentar un reactor D-D de 1.000 MW de potencia durante un mes. Se supone que el plasma puede mantenerse estabihzado hasta un grado de quemado del 10%.



1._ neutrones de generación (¿ + 1)

neutrones de generación i

Para calcular el número de neutrones que habrá despues de 100 generaciones

neutrones de generación (i -M ) = kgf x neutrones de generación i

neutrones de generación (i + 2) =

= kef X neutrones de generación (* +1) = k f x neutrones generación i

neutrones de generación (i + 3) =

= kef X neutrones de generación (i + 2) = k f x neutrones generación i

En general:

neutrones de generación (¿ -|- n) = k f x neutrones de generación i

Por lo que:

neutrones de generación (100) = klj x neutrones de generación 1

Neutrones generación 100 = 1000 x 1,05®® = 125,239 x 10 neutrones

2. (a) Eactor de fisión rápida, e, no tiene.

(b) p, probabilidad de escape a la resonada. 1 -p = 0,12 —> p = 0,88.

(c) Pf, probabilidad de permanencia de neutrones rápidos. l - F / = 0,085-^P/ = 0,915.

(d) Ps, probabilidad de permanencia de neutrones térmicos.1 - P , = 0,03-^P, = 0,97.

(e) Absorción por el material combustible, f , factor de utilización térimca. / = 0,84.

(f) Neutrones producidos por fisión por cada neutrón térmico absorbido por el combustible, 77 = 2,08 x 0,78 = 1,62.

Y por último según (9.13)

kef = mpfPfPs = 0,88 x 0,915 x 0,97 x 0,84 x 1,62 = 1,06

3. Se llega a un punto de eqmlibrio en el que disminuye la reactividad, hay neutrones que son capturados y no llegan a intervenir en la fisión.

4. La mayoría de las desintegraciones del ocurren mediante emisión alfa

2A^Cf^ ^ C m + a

pero en im 0,002% puede fisionarse espontáneamente.

En un gramo de habrá

^ 0 ^ 6,023 X 10^ = 2,45 X 10 núcleos 246

El número de fisiones espontáneas en un tiempo t será

Nfisianesit) = (ATo-iVo exp(-Aí)) xO, 00002 = 0,00002iVo (1 - exp(-Aí))

En ima hora

/ / ln2 WN fis io n es ilh ) = 0,00002 X 2,45 X 10 ( 1 - exp 4 3 7 24 J J ^

= 9,42 X 10 “* fisiones/h

5. La Q media de los posibles procesos D-D es 3,65 MeV, como se ha visto anteriormente. La potencia de 1.000 MW durante im mes equivale a una energía de

10® MJ/s X 30 X 24 X 3600 s = 2,59 x 10 ® J

Por lo que el número de fusiones para conseguir esa potencia será

2,59 X 10 5 J

366 Física Nuclear

3,65 MeV/fusión x 1,6 x IQ-i^ J/MeV= 4,4 X 10 fusiones

Como en caxia fusión se necesitan 2 átomos de deuterio

iV = 2 X 4,4 X lO ’ = 8 , 8 X núcleos de deuterio se necesitan

Lo que corresponde a una masa

M = 8,8 X 10 X 2,014102 uma x 1,6610 x 10“ ’ kg/uma = 29,44 kg

Se necesitan 29,44 kg de deuterio para conseguir 1.000 MW de potencia. Esta es una cantidad enorme de energía, mucho mayor que lo previsto en un tokamak, por lo que deberá introducirse el combustible por partes, y a mayor frecuencia que en uno de fisión, paxa evitar el deterioro del tokamak.


Parte IV

Interacción de la radiación conla materia

Capítulo 10

Interacción de la Radiación con la Materia

INTRODUCCIÓN INTERACCIÓN DE PARTÍCULAS CARGADAS

o PÉRDIDA DE ENERGÍA POR lOKEZACIÓN. FÓRJVIULA DE BE THE

o CONSECUENCIAS DE LA FÓRMULA DE BETHE-BLOCH o DIFUSIÓN MÚLTIPLE CITLOMBIANA. FÓRIVIULA DE

RUTHERFORD

INTERACCIÓN DE ELECTRONES Y POSITRONES CON LA MATERIA

o PERDIDA DE ENERGIA POR COLISIÓN o RADL4CIÓN DE FRENADO o ANIQUILACIÓN DE POSITRONES o RETRODIFUSIÓN. ALBEDO

INTERACCIÓN DE FOTONES CON LA MATERIA. FENÓMENOS DE RADIACIÓN

o EFECTO FOTOELÉCTRICOo EFECTO COMPTON c CREACION DE PARES ■: ATENUACION DE FOTONES

EFECTO CERENKOV

372 Física Nuclear


• Definir, describir y clasificar los procesos de interacción de las partículas cargadas con la materia.

• Definir e interpretar físicamente las magnitudes principales que caracterizan la interacción de las partículas cargadas.

• Precisar el campo de aplicabilidad de las fórmulas analíticas y de las expresiones empíricas que permiten estimar algunas de estas magnitudes y diferenciar, si fuera el caso, las partículas cargadas de los electrones y positrones.

• Definir, describir y clasificar los procesos de interacción de los fotones con la materia.

• Analizar comparativamente los principales mecanismos de pérdida de energía en la interacción de los fotones con la materia y relacionarlo con los fundamentos físicos del proceso.

10.1 Introducción

El estudio de las interacciones de la radiación (tanto de partículas como de raxiiación electromagnética) con la materia es un capítulo fundamental de la física nuclear y de partículas (también llamada subnuclear) que proporciona el método más corriente de obtener información relativa a los núcleos que componen la materia (tamaño, forma, niveles energéticos, etc.) y además permite profundizar en las propiedades de las propias partículas.

Cualquier experimento en física nuclear o subnuclear, generalmente tiene por objetivo el estudio de reacciones entre partículas o núcleos y en otros casos estudia la desintegración de las partículas o núcleos. Se comprende así que existen tres componentes: una fuente de partículas, un blanco material (del que conocemos su composición atómica y nuclear) y un detector de partículas.

Se suelen considerar tres fuentes de partículas (o de radiación):

• Radiactividad (natural o artificial).

• Radiación cósmica (natural).

• Aceleradores de partículas (artificial).

El funcionamiento de los detectores de partículas explota generalmente fenómenos electromagnéticos, es decir está basado en el conocimiento de la interacción electromagnética de las partículas cargadas con el material (gas, líquido o sólido) que compone el propio detector. Uno de los fenómenos más frecuentes es el de la ionización, en el que la energía perdida por la partícula es utilizada para arrancar electrones de los átomos (ionizar) de la materia.

La interacción electromagnética es la más probable de las interacciones, aunque no es la más intensa. Su alcance es infinito y la sección eficaz de ionización es del orden de cm o sea ¡10 -10® barns! Para elestándar de secciones eficaces nucleares estos valores son gigantescos.

Los fenómenos producidos por el paso de partículas cargadas a través de la materia suelen clasificarse según la masa del proyectil en:

Interacción de la Radiación con la Materia 373

1 barn = 10 cm^.

374 Física Nuclear

Partículas cargadas masivas.

Partículas cargadas ligeras (e^ ).

Choques con e : pérdida de energía.

Choques con núcleos: cambio de dirección.

Choques con e~: pérdida de energía.

Choques con núcleos: cambio de dirección.

Bremsstrahlimg: emisión de radiación gamma.

Las partículas neutras no tienen interacción electromagnética y por lo tanto, puede suceder que atraviesen im detector sin dejar ninguna señal observable. En particular no ionizan directamente . La detección de las partículas neutras debe realizarse gracias a otros tipos de interacción que den lugar en el estado final a la aparición de partículas cargadas.

He aquí tres casos frecuentes ilustrados con ejemplos:

- Fotones (7 ). Interacción electromagnéticaefecto fotoeléctrico

a través de fenómenos: efecto Comptoncreación de pares

- Neutrones (n). Interacción fuerte por ejemplo: n-\-p n -h p (elástica)

- Neutrinos (i/g, Interacción débilpor ejemplo: Ue-\-n e -hp

Esto produce partículas secimdarias cargadas que son capaces de ionizar, y que una vez detectados, permiten calcular las magnitudes físicas de las partículas neutras.

Ên general se denominan Radiaciones Directamente Ionizantes a las partículas cargadas y Radiaciones Indirectamente Ionizantes a la radiación electromagnética (rayos X y gamma) y las partículas neutras.

El objetivo de este capítulo será pues abordar de una manera completa los fenómenos más frecuentes que se producen cuando las partículas atraviesan la materia, de forma que puedan utilizarse las señales inducidas en los detectores.

10.2 Interacción de partículas cargadas

La electrodinámica cuántica (abreviadamente QED) es la teoría que describe la interacción electromagnética entre partículas cargadas. En ella, la magnitud física que entra en juego es la carga eléctrica. La interacción se describe mediante el intercambio de fotones, partícula gauge de la propia teoría QED, invariante gauge. Será la interacción entre la carga de la partícula y los átomos del detector los que darán una señal observable que será la que caracterizará las propiedades del detector.

La magnitud más importante que caracteriza las interacciones es la sección eficaz, esta magnitud se ha descrito en el tema dedicado a las reacciones nucleares. En este caso se tratará de secciones eficaces de interacción.

La interacción partícula-átomo puede visualizarse gracias al parámetro de impacto, 6, que corresponde cuánticamente al momento transferido en la colisión. Esta magnitud se comparará a rg, el radio clásico del electrón que ya ha sido definido anteriormente. Sib:$> Ve entonces es muy probable que el átomo quede excitado. En el caso en que b ^ Ve se produce un choque partícula—e” ; el e“ puede ser arrancado y hay ionización. Por último si 6 < rg se produce una difusión culombiana, es decir una interacción con la carga del núcleo.

Ya se ha visto anteriormente que la interacción de una partícula cargada con los átomos, dará lugar a dos fenómenos distintos:

• Pérdida de energía por ionización (colisiones con e").

• Cambio de dirección (difusiones elásticas con núcleos).

10.2.1 Pérdida de energía por ionización. Fórmula de Bethe-Bloch

Una partícula cargada, moderadamente relativista, pierde energía en la materia principalmente por ionización. Para ilustrar el fenómeno de pérdida de energía es muy apropiado seguir el cálculo clásico de Bohr:


Sea una partícula masiva, con masa M > rrie, velocidad v y carga Zie. Incide sobre un átomo y el parámetro de impacto es b. Se supondrá de momento que el choque tiene lugar sobre un electrón. La energía transferida en el choque es

con p el momento transferido

p = j Fdt = e J Ej_dt = e J (10.2)

que, aplicando el teorem a de Gauss sobre el cilindro que define el electrón

J E±2Trbdx = AirZie (10.3)

queda

376 Física Nuclear

y, al sumar sobre todos los electrones en el volumen dV:

-dE{b) = AE{b)nedV = (10.5)

dondene = (10.6)

es el número de electrones por unidad de volumen, con lo que queda

dE ánZie" , b ax—-J- = -----T-n* In 7— (10.7)

dx rrieV bmin

habiendo realizado la integral sobre el parámetro de impacto entre los valores que tienen sentido físico:

femin = (10.8)jrrieV^dado por el valor máximo de la energía transferida en un choque frontal,

^^msx ~ ~ 2?7ig {'yPe) (10.9)


femax = Y (10.10)

que se obtiene al suponer el tiempo de interacción t 1/'yv similar al de lafrecuencia orbital media de los electrones, r ^ Ifv quedando finalmente

dE 47tZiV 'r^mv^- ^ = ---- In ^ (10.11)

dx rrieV Z\e v

Esta es la llamada fórmula de Bohr. En las fórmulas anteriores, se ha introducido el factor 7 relativista para corregir el cálculo clásico.

Si la velocidad de la partícula incidente es mayor que la de los electronesorbitales (~ ac), y no se trata de im electrón con lo que no existe radiaciónde frenado (bremsstrahlung), entonces la pérdida específica media de energía, al realizar un cálculo relativista completo, viene dada por

dx l /?(10.12)

que es la fórmula de Bethe-Bloch, y es válida para energías > 100 keV. La constante vale

Z?e = = 5,0989 x 10“ ® MeV · cm (10.13)

/ es el potencial de excitación del medio, llamado también potencial m edio de excitación. Se ha medido experimentahnente y en función del número atómico Z2 , expresando I en eV, se han obtenido las siguientes expresiones semiempíricas:

/ = 12 Z2 + 7 (Z2 < 13)(10.14)

7 = 9,76^2 + 58,8/ 2°' ® {Z2 > 13)

Como sólo es el logaritmo de I lo que interviene en la expresión del poder de frenado, los valores que se obtienen con las fórmulas anteriores tienen la precisión suficiente para la mayoría de las aplicaciones. Cuando el material es un compuesto o una mezcla, el potencial medio de exitación se puede calcular con

n \ n l = Y^NiZi\n{Ii) (10.15)

donde n es el número total de electrones en el material, Ni el número de átomos de cada uno de los compuestos, el número atómico y U el potencial medio de excitación correspondientes.

378 Física Nuclear

Ejemplo:

El potencial medio de excitación del agua {H2O) se calcula a partir de los potenciales medios del hidrógeno y del oxígeno. Aplicando (10.14) para el i í y para el O

/h = 12 X / + 7 = 19 eV

7o = 9,76x8 + p;;í^ = 117,7eV

Las densidades electrónicas se pueden calcular rápidamente, sin embargo como sólo se necesita las razones NiZi/n, que son más fáciles de usar se sustituyen directamente. La molécula de agua tiene 1 0 electrones, 2 pertenecen al hidrógeno y 8 al oxígeno, por lo que

H I h,o) - ^ In 19 + In 118 = 4,405

/H,o-81,86eV

La pérdida específica de energía se suele denominar también poder de fi-enado o poder frenante, y como se verá inmediatamente, se acostumbra a hablar de longitud reducida de = pdx, con lo que la longitud se mide en g· cm“2.

En la fórmula de Bethe-Bloch (10.12) observamos claramente las sigmen- tes propiedades:

1. Es independiente de la masa, M, de la partícula incidente.

2 . A baja energía varía como \/v .

3. A alta energía ( 7 = E jM ) varía como ln7 .

4. La dependencia con el medio de la pérdida de energía másica d{E/p)/dx es pequeña.

5. Tiene un mínimo dE/de « 2 MeV/(g x cm~ ) paxa 7/9 ~ 3 (/? « 0,96).


Figura 10.1 - La fórmula de Bethe-Bloch (calculada para el ^Cu).

Para colisiones de partículas ultrarrelativistas con medios densos, es necesario corregir la fórmula de Bethe, añadiendo unos términos empíricos cuya magnitud es pequeña. El corchete de la ecuación (10.12) quedaría:

(10.16)

en donde 6 representa el efecto densidad que para partículas muy energéticas se aproxima a 2 in7 más una constante y C representa la corrección de capas, importante cuando la velocidad de la partícula es ~ ac, o sea, del orden de la velocidad orbital de los electrones atómicos. La fórmula de Bethe es váhda sólo hasta unos varios %. Estas correcciones relativistas y cuánticas reducen el aumento de dE/dx con la energía, por lo que tiene sentido hablar de partículas en el mínimo de ionización y partículas mínimo ionizantes {mip). Así, después del mínimo aparece el llamado platean de Fermi. Para cálculos muy refinados debería consultarse la hteratura especiahzada.

Por ejemplo: el mínimo del poder de frenado dEfdx es 1,82 MeV/(g* cm“2) para el aire y 1,13 MeV/(g· cm“ ) para el Pb. El aire de la atmósfera terrestre equivale a 1000 g· cm“ , con lo que sólo protones cósmicos con una energía > 2 GeV podrán alcanzar el nivel del mar (sólo considerando ionización).

A baja energía la pérdida de energía es grande; un protón de 10 MeV se para completamente en 0,25 mm de Cu.

Conviene ahora comparar la pérdida de energía por choques con electrones y con núcleos de masa M^:

ya que Mn ~ 2Z2mp. ¡La pérdida de energía es debida a los choques con los electrones del medio!.

380 Física Nuclear

10.2.2 Consecuencias de la fórmula de Bethe-Bloch

Ley de mezclas

Para ima mezcla de elementos con número atómico Ai, siendo fi = üiAi/Am la fracción de peso molar de cada uno de ellos y Am = se cumple

dEde

(10.18)

R elación alcance-energía

La ionización provoca una pérdida gradual de la energía de las partículas. Eis un fenómeno estadístico ya que el número de choques fluctúa de un evento al otro.

Se deñne el alcance medio R para partículas de energía Eq:

De hecho se utiliza una fórmula semiempírica:

R ( n ) ^ R ( T ^ „ ) ^ r ^ i E (10,20)

ya que la fórmula de Bethe es válida sólo a partir de im valor Tmin de la energía.

Si se mide la ciurva de transmisión experimentalmente, se observa que la cwrva. pasa suavemente de 1 a 0. De hecho el espectro de alcances para una energía determinada Tq, sigue una distribución gaussiana. Es lo que se denomina straggling, y está directamente relacionado con el straggling de energía debido a que la fórmula de Bethe estima un valor medio, válido estadísticamente;


ídE\^ —

— < R - R > ^ (10.21)\dx J

< E - E > ^ =

A lcances:Se espera que RocT^ con n ss 2 ya que dE/dx r\j T \ siendo T ía

energía cinética. Existen varias expresiones fenomenológicas para el alcance:

• Para protones y partículas a de baja energía en el aire (si STP,Paire = 1,293 X 10" g· cm-3):

R(m) = {T/ToY'^ (10.22)

con ToÍp ) = 9,3 MeV y To{a) = 37,2 MeV.

• Para partículas a tales que T « <200 MeV

fía(cm) = 0 , 3 1 8 [2 en MeV] (10.23)

• Para partículas /3 en materiales (Al,Cu,...), se utiliza la fórmula de Feather (donde está en MeV, es la energía máxima de emisión beta):

Rfsig · cm ) = 0,542T^-0,133 0,8 < T ^ < 3

(10.24)0,407Tj·^ 0,15 <T^ <0,8

En general las relaciones alcance-energía han sido muy utilizadas para calcular la energía de las partículas. También son importantes para calcular el espesor de los blindajes contra la radiación.

382 Física Nuclear

Ejemplos:

Las partículas a emitidas por el tienen una energíaalrededor de 5,5 MeV (hay varias emisiones posibles de energías muy parecidas), utilizando la expresión (10.23) el alcance será

Ra{cm) = 4,1 cm

Para las partículas (3~ emitidas por el ®°(7o, con energía máxima de 0,318 MeV y utilizando la expresión (10.24)

i?^(g cm“ ) = 0,084 g cm“^

Este sería el alcance másico, para saber el alcance hneal, por ejemplo en aluminio p = 2,75 g cm“®

f i , ( c m ) - : ^ í i íü 2 = o,03cm

La curva de Bragg

La curva de Bragg da la ionización en función de la profundidad. Es de gran interés médico: la ionización aumenta hacia el final de la trayectoria de la partícula {v pequeña), con lo que sirve para tratar tumores, locahzados, sin dañar excesivamente el resto del cuerpo.

También se conoce como curva de ionización específica, o sea el número de pares de iones producidos en función de la profundidad (ver figura 10.2). Sea w la energía necesaria para crear un par e~X~ (en el aire, tt; ~ 35,5 eV, y en gases it; 25 — 50 eV), entonces, si AE es la energía total perdida, el número total de pares N± = AE/w.

La ley de Bragg-Kleeman

La ley de Bragg pernüte relacionar alcances entre distintos medios, para una misma partícula:

R - ^ = ate (10.25)VA

con lo que conocido para un medio como por ejemplo el aire {Paire = 1? 226 x 10“ g· cm“ y y/Aaire = 3,82), se tiene para otro material

iíi(cm) « 3,2 X 10-*— Raire{cm) (10.26)Pi

expresión que reproduce los resultados con un error inferior al 15%.


Figura 10.2 - La curva de Bragg.

Reglas de escala

A partir de la dependencia

dE/dx = Z¡f{P)

puede demostrarse fácilmente las siguientes relaciones de escala

[ z a j dx^^”Mb'Z b \ dTg,,

W t t )

Rb{Mb,Zb,Pb) =MbMa

MRa{Ma,Za,PbJ^)

Mb

(10.27)

(10.28)

(10.29)

10.2.3 Difusión múltiple o culombiana. Fórmula de Rutherford

Según la fórmula de Bethe, la dependencia de la pérdida de energía varía como m ~ ^ , siendo m la masa del blanco. La pérdida de energía por ionización

debida a choques con núcleos es despreciable comparada a la de los choques con los electrones.

Por el contrario, la difusión con los núcleos puede introducir cambios importantes en la trayectoria de la partícula incidente.

La fórmula de Rutherford es

válida para partículas de espín 0. En el caso de partículas de espín 1/2, la sección eficaz viene dada por la fórmula de Mott,

Además de probar la existencia del núcleo en el famoso experimento de Geiger y Marsden, sirvió para determinar la carga de los núcleos. En 1920 Chadwick la utilizó paxa medir Zcu = 29,3 ± 0,45 y Zpt = 77,4 ± 0,77.

Se puede observar que según la fórmula de Rutherford:

da{e)\ 1 1

384 Física Nuclear

pv ) (10-32)J sen4(f)

la probabilidad de difusión es mayor para ángulos pequeños, pero pueden existir difusiones a gran ángulo con los núcleos ya que la sección eficaz es proporcional a mientras que para los electrones es proporcional a Z2 , puesto que cada imo interviene con carga 1.

A este cambio de trayectoria dominada por difusiones con los núcleos se denomina difusión múltiple o también difusión culombiana.

La difusión culombiana es un fenómeno estadístico. Para pequeños ángulos, la distribución de probabihdades del ángulo de difusión sigue la ley de Gauss,

1 _ p la n o

p { e ) d e = — = e d e (10.33)6 ov27t

El valor esperado de 0, vendrá dado por

02 = Lua í 0 2 ^ ^ d í í (10.34)J di I r


= (10.35)

d o n d e Ua e s e l n ú m e r o d e á t o m o s p o r im id a d d e v o lu m e n y L la lo n g itu d .

A p r o x im a d a m e n te d a

En el cálculo del ángulo medio de difusión múltiple interviene Xq, un parámetro llamado longitud de radiación, que depende del material Z2 y cuyovalor es,

1 100— - 4(Tona In -^ = (10.37)

siendo (Tq = orlZ l- Será estudiado en el próximo apartado.Definiendo

E, = \J^rnc^ = 21,2 MeV (10.38)

obtenemos la ecuación de Rossi-Greisen

e , = ^ z J ^ (10.39)pv \ Xo

10.3 Interacción de electrones y positrones con la materia

La f>equeñez de la masa de los electrones (me= 0,511 MeV/c^) introduce ciertas diferencias en la pérdida de energía respecto a las partículas de mayor masa (piones, protones, etc.). Hay que tener en cuenta también que son partículas idénticas a los electrones del material. Lo más notable es que en presencia de campos eléctricos intensos (la carga nuclear), los pueden emitir fotones (radiación denominada bremsstrahlung^ del alemán: radiación de frenado). Este es el mismo fenómeno que sucede en los aceleradores de electrones con trayectoria curvada (los sincrotrones) en los que existe emisión de radiación sincrotrón

La expresión de la pérdida de energía será pues,

( - S ) - ( - iL - ( - f ) .

en donde aparecen dos términos, mío para cada tipo de pérdida de energía .

10.3.1 Pérdida de energía por colisión

En el límite relativista, la pérdida de energía de electrones y positrones por unidad de recorrido en un medio homogéneo debida a las cohsiones con los electrones del medio es muy similar a la pérdida de energía de partículas de masa elevada M > rUe

386 Física Nuclear

( -dE\ 1

<íx L “ 2 ° ' " 'U J2 ln ? ^ + 3 1 n 7 - l,9 5 (10.41)

10.3.2 Radiación de frenado

Este es el mecanismo dominante de pérdida de energía de los electrones y positrones a alta energía. En presencia de im campo eléctrico intenso, los electrones son frenados, y emiten fotones. Este es el origen del continuo de los espectros de rayos X o de la radiación sincrotrón en trayectorias curvas. El electrón de energía Ei emite un fotón de energía E tal que E = Ei — Ef. El ángulo de emisión es independiente de E y vale 6 ~ rrieC fEi.

El cálculo semiclásico de la sección eficaz de bremstrahlung para partículas relativistas da

es decir es a (1/M)^, por lo que sólo es importante para También se observa que la dependencia con el medio es según

Clásicamente se conoce la potencia radiada por una carga con aceleración

dE 2 ,

El cálculo de la sección eficaz de este proceso, según QED, se realiza teniendo en cuenta el apantallamiento de la carga nuclear, lo que se caracteriza por una variable

E1 signo — indica que se trata de pérdida de energía.


y donde í = O representa apantallado total y >> 1, sin apantallamiento. para energías relativistas (>MeV), la sección eficaz de bremsstrahlung (según Koch y Motz) es,

(10.45)

4cToE,

dEy

r-^ iM _ iin Z 2 -/ (Z 2 ) r -^ ^ _ lln Z 2 -/ (Z 2 ) }con e = Ei/Ef ao = OíZ r y en donde dos funciones de apantallamiento que se calculan en el marco del modelo de Thomas-Fermi y /(^2) es una pequeña corrección culombiana a la aproximación de Born.

En el límite relativista { E i » m e ? ) y para apantallamiento total = 0),

da 4cTodE E^

e‘‘‘ 9

La pérdida de energía por radiación queda entonces.

da, , , Ey- na-r=rdE-y

J rad Jo dEy

siendo Eü¡^ = Ei — me?. Podemos extraer Ei quedando

L

(10.46)

(10.47)

( -dE\ dx ) rad

donde

rad = 1 f~ Ei Jo

(10.48)

(10.49)UEy

que en el caso de apantallamiento completo y en el límite relativista resulta ser

ln(183Z2" / ) + 1/18 - /(Z2)( rad = 4<To (10.50)

que es independiente de E,. También puede incluirse el bremsstrahlung debido a la interacción con los e ~ del átomo, paxa lo que debe cambiaxse ^ 2 * + 1).

El resultado más importante es que la pérdida de energía por radiación aumenta linealmente con Ei. Esta es pues la pérdida dominante a alta energía.

388 Física Nuclear

Material Z ATía Tie I

(eV)Lo

(cm)Xo

(g/cm2) (g/cm3)H2 1 1,01 0,423 0,423 21,8 865 61,28 0,0708He 2 4,00 0,188 0,376 41,8 757 94,32 0,125Li 3 6,94 0,463 1,39 40,0 155 82,76 0,534Be 4 9,01 1,230 4,94 63,7 35,3 65,19 1,848B 5 10,81 1,320 6,60 76 22,2 52,69 2,37C 6 12,01 1,146 6,82 78 18,8 42,70 2,265N2 7 14,01 0,347 2,43 85,1 47,0 37,99 0,808O2 8 16,00 0,429 3,43 98,3 30,0 34,24 1,14Ne 10 20,18 0,358 3,58 137 24,0 28,94 1,207Al 13 26,98 0,603 7,84 166 8,89 24,01 2,70Si 14 28,09 0,500 6,99 173 9,36 21,82 2,33Ar 18 39,95 0,211 3,80 188 14,0 19,55 1,40Fe 26 55,85 0,849 22,1 286 1,76 13,84 7,87Cu 29 63,55 0,845 24,6 322 1,43 12,86 8,96Zn 30 65,39 0,658 19,6 352 1,75 12,43 7,14Kr 36 83,80 0,155 5,59 330 5,26 11,37 2,16Ag 47 107,87 0,586 27,6 352 0,85 8,97 10,5Sn 50 118,69 0,371 18,5 470 1,21 8,82 7,31W 74 183,85 0,632 46,8 727 0,35 6,76 19,3Pt 78 195,08 0,662 51,5 790 0,305 6,54 21,45Au 79 196,97 0,577 45,6 790 0,34 6,46 18,88Pb 82 207,19 0,330 27,0 823 0,56 6,37 11,35U 92 238,03 0,479 44,1 890 0,32 6,00 18,95

Tabla 10.1: Propiedades electromagnéticas de varios elementos. Ua y ríe dan el número de átomos y electrones por unidad de volumen (xlO^^cm” ), respectivamente; I es el potencial medio de excitación; Lo y Xo representan la longitud de radiación del elemento. La densidad, p, corresponde al estado sólido o líquido en el punto de ebullición; en el caso del C es para grafito puro

L on gitu d d e rad iación Xo

A alta energia, dado que arad es prácticamente constante, se puede definir un recorrido libre medio de radiación

1


= Tlaarod (10.51)

que sólo depende del medio y que se denomina longitud de radiación cuyo significado físico se puede observar al integrar la expresión

resultandoE - (10.53)

Para calcular Xo se utiliza la expresión (10.51), sustituyendo el valor de (10.50). Se prueba que

^ ° ~ Z.(Z, + l)K 287/V ^ ) I® " ·" '“!

Ejemplo:

Para el Plomo {A = 208, Z = 82) y utilizando la expresión (10.54)

TT / -2\ 716 X 208 „ „„ _oXo (g cm ) « --------------- --------= - = 6,33 g cm

’ 82 (82 + 1) In (287/V82)

como la densidad es p = 11,35 g cm- 3

6,33 g cm 11,35 g cm-

Xo (cm) - oe _ „ _3 - o, 56 cm

De manera análoga se obtieneXo{aire) = 300,5 m y X o (N a l) = 2,59 cm

En la tabla 10.1 pueden encontrarse valores para otros elementos.

Energía crítica

Es aquélla en la que las pérdidas por ionización igualan a las de radiación.O sea que como

{dE/dx)î 1600mc{dE/dx\^ ^

se igualan para la energía crítica:

390 Física Nuclear

(10.55)

Ec = ^ MeV (10.56)¿12

dando por ejemplo para el Ph un valor de unos 10 MeV.El alcance para es mucho más impreciso que para las partículas ma

sivas. Ello es debido a la difusión múltiple que también es importante conlos electrones atómicos, dando lugar a trayectorias más imprecisas.

Se puede hablar de la absorción de electrones ¡3, que es consecuencia de la forma del espectro de desintegración 0. La ley de atenuación es la típica exponencial:

I = /oe“ '*’"* (10.57)

donde es el coeficiente de absorción másico y a: es el espesor másico. Se da también la circimstancia que la medida del coeficiente de absorción permite determinar la energía máxima del espectro fi, o sea que estima la masa del neutrino. Se encuentra un valor empírico para el coeficiente

Mm = [cm^g (10.58)

La tabla 10.1 muestra una relación de varias propiedades electromagnéticas de algunos elementos.

10.3.3 Aniquilación de positrones

Los positrones de gran energía tienen pérdidas por ionización y radiación igual que los electrones. A muy baja velocidad, el y el e~ forman el positronio, un estado ligado muy parecido al átomo de Hidrógeno, pero sus estados ligados son dos veces menos espaciados que los del H:

iic oP'E = (10.59)

es decir E « —6 , S/n eV, ya que la masa reducida del positronio es

^ ^ (10.60)m-\- M 2

la mitad que la del átomo de H.El positronio se desintegra con una probabilidad igual a la de la super

posición de las funciones de onda. Este fenómeno se denomina aniquilación. Definiendo 7 = E^/mc^, siendo E^ la energía del positrón, la sección eficaz de aniquilación en función de 7 es:


2 1 r 7 -l· 4 7 + 1 j-z— - 7 + 3= ' ’-.7TT y - i

(10.61)

que tiene un máximo alrededor de 7 = 1 .La aniquilación del positronio puede tener lugar a través de un proceso

eê~ —► 7 7

en el que el positronio está en estado singlete (J = 0), denominado para- positronio. La energía de cada fotón es de 0,511 MeV (aniquilación al reposo). La vida media de este estado es r = 10" ° s.

Si la desintegración se realiza en el estado triplete (J = 1 ), se denomina entonces orto-positronio. Su desintegración es a través de tres fotones:

eê~ 7 7 7

y su vida media es r = lO“ * s.

10.3.4 Retrodifusión. Albedo

Una consecuencia de la difusión múltiple para e"·" y e“ es el fenómeno de la retrodifusión. Es im fenómeno que se produce principalmente para energías inferiores a 1 MeV. Un electrón o positrón al entrar en un material puede sufrir difusiones a gran ángulo que pueden llegar a difundirlo en la dirección opuesta a la de incidencia (de ahí el nombre de retrodifusión).

El coeficiente de retrodifusión A, también llamado albedo, mide la probabihdad del fenómeno; suele ser constante hasta energías del orden de 1

MeV y se anula para valores de unas decenas de MeV. Es característico del material. Para metales como Au, Ag, etc. se tiene A 50%.

Este fenómeno explica pérdidas importantes en la detección de electrones de muy baja energía. Así, con un detector de Nal, cerca del 80% de los electrones emitidos por fuentes radiactivas son retrodifundidos y por tanto no dan señal en el detector.

392 Física Nuclear

10.4 Interacción de fotones con la materia. Fenómenos de Radiación

En la interacción de partículas cargadas con la materia, hemos visto que si bien van frenando y acaban parándose, su naturaleza no cambia. Un fotón para poder ser detectado, debe interaccionar y dar lugar a partículas cargadas.

Las interacciones de los fotones con la materia siempre se abordan bajo su aspecto corpuscular. Se habla de propiedades corpusculares de la radiación.

"lYes son los fenómenos físicos que describen la interacción de los fotones con la materia, con distinto comportamiento energético:

• Efecto fotoeléctrico, « 1/E®, importante para < 500 keV.

• Efecto Compton, w l/E. , domina para ~ 1 MeV.

• Creación de pares e+e~, constante con Ej y cuenta para E^> 5 MeV.

Otros fenómenos son la difusión coherente (difusión Rayleigh), que es una difusión con los electrones del material, sin llegar a excitarlos (fenómeno despreciable a partir de energías de rayos X), y la absorción fotonuclear, proceso en el que se arranca un neutrón del núcleo y es importante en la región conocida como la de la resonancia gigante (entre 10 y 25 MeV).

10.4.1 Efecto fotoeléctrico

Un electrón atómico absorbe totalmente im fotón (al estar hgado, puede conservarse el momento),

7 + Z ^ Z* ^ + e-

siguiendo emisión de un e~ (denominado fotoelectrón) de energía E g = Ey — Eb, en donde Eb es la energía de ligadura del e ~ . Einstein propuso Ey = hv y explicó los experimentos de Millikan en los que se pusieron de manifiesto las firecuencias de corte dependientes del material (o sea las energías de ligadura atómicas).

Los cálculos de la sección eficaz son complejos. Por encima de la capa K pero Ey « rueí? en la aproximación de Born, la sección eficaz del efecto fotoeléctrico por átomo es,


(10.62)

con (TTh = sección eficaz Thomson que, como se ha visto, da el límite clásico de 'ye —>■ 'ye. Se observa, en particular, una fuerte dependencia con el Z2 del material (~ Z|). En el caso de Pb, por ejemplo, cr {Ey = 1 MeV) «1 barn y sube hasta ~ 1 kbarn cerca del pico de la capa K (88 MeV)

Existen picos para los valores de E que coinciden con los de las capas K,L,M,.. . Así, en el Pb, para E-y > 88 keV ya se pueden arrancar e~ de la capa K.

10.4.2 Efecto Compton

Se trata de la difusión elástica

7 + e“ ^ 7 + e“

como si el electrón atómico estuviera hbre.La conservación del cuadrivector energía-momento (ver figura 10.3) se

escribe:Ey + rUeC = E' + Ee

(10.63)P-y=f j+Pe

donde se observa que el electrón inicial se considera en reposo y se puede escribir Eg = 'ymeC y P-y = Ey/c. Suponiendo que el fotón es difimdido según un ángulo 6, y escribiendo e = Eylrn^c? (energía reducida del fotón) y X = 1 — eos Q se obtiene:

E' = (10.64) 1 -t- ex ^

394 Física Nuclear

con lo que la máxima energía del fotón = E^) se obtiene para 0 = O y la mínima {E! ^ mc^/2) para 9 = ISO''. Si se escribe en términos de longitudes de onda del fotón

A' — A = — (1 — eos 9)me (10.65)

entonces la constante Ae = h/mc = 0,0243 Á recibe el nombre de longitud de onda Compton del electrón.

La sección eficaz (QED) fue calculada por Klein-Nishina:

( d(j\ rl 1 ( 2/) A

que al integrarla queda

1 -

2(e + l)ln(2e+l) + i + - -

2 e 2(2eVii.)

(10.66)

(10.67)

donde (TTh es la sección eficaz de Thomson (que ya se ha visto en el tema de reaxíciones nucleares)

< Th = = o, 67 bam (10.68)O

Se verifica que cuando e —> oo se tiene que

Jnteracción de la Radiación con la Materia 395

^(TTh ( In 2e + 0 (10.69)

o sea que, por átomo, va como ZijE^.Análogamente se puede ver que

T e ^ E ^ - E ! ^ ^ E A \ - - ^ ) (10.70)

Se puede expresar la energía del electrón expulsado en función del ángulo de difusión

E U 1 - C O S 0 )

También se observa que existe un valor máximo de la energía del electrón (llamado el borde Compton), para un choque con cos0 = - 1 , y aproximando nu? w 0,5 MeV, se tiene

Este máximo corresponde al mínimo de la energía del fotón difundido:

que suele aparecer en los espectros de las fuentes radiactivas 7 como un pico muy ancho Uímiado pico de retrodispersión (backscattering), puesto que corresponde al efecto fotoeléctrico en el detector de los fotones con energía

emitidos tras una difusión hacia atrás del fotón inicial E . Para valores elevados de Ey el pico de retrodispersión tiende a. E' k, nu?/2, es decir, cercano a unos 250 keV.

396 Física Nuclear

Ejemplo:

La energía del borde Compton del espectro 7 del queemite im 7 de energía = 0,662 MeV será aplicando la expresión (10.72)

Tmax ^ Q 4gQ

El espectro Compton se obtiene a partir de la sección eficaz, y su expresiónes

dadTe

2-1-e2 ( l - t f +

1 - í V een donde se ha escrito t = Te/E .

(10.74)

10.4.3 Creación de pares

El proceso7

en presencia de un campo eléctrico intenso, es posible si > 1,022 MeV ya que la conservación de la energía exige que

E — T_|_ + TTí(? -|- T_ H“ TTi(? (10.75)

donde T _ es la energía cinética del positrón creado y T_ la del electrón. El ángulo de emisión del par a alta energía sigue 6 ~ mc^/Ee. Se trata del proceso dominante para Ey > 5 MeV. Físicamente se trata del proceso inverso del bremsstrahlung. El cálculo, hecho por Bethe y Heitler, tiene de nuevo en cuenta el apantallamiento de la carga nuclear. Para ello se usa el parámetro

^ lOOmcÊy ^ EÊ.Z^/^

que cuando O representa apantallamiento total.En la aproximación de Born, y en el caso de apantallamiento total ( = 0),

la sección eficaz diferencial para producir im positrón de energía E^ es

(10.76)

da 4<7odE^

’ { e i + E l + -E+E_ +E+E^

(10.77)

en donde la función /(Z2) se introduce para tener en cuenta la interacción de los pares creados con la carga nuclear.

Al integrar, en el caso de apantallamiento total se obtiene,

= 4<To [ln(183/Z2 /") - /(Z^)] - ¿ } (10.78)

También puede incluirse la creación de pares por interacción con los e~ delátomo; para ello debe cambiarse Z| —► ^2 ( ^ 2 + 1)·

L on gitu d d e crea ció n d e p ares X p a r

Al igual que en el bremsstrahlung se puede introducir la longitud de creación de pares,

(10.79)^par 7-^0

ya que como puede comprobarse, apar — IcTrad-Por ejemplo, para el centelleador Nal, se ha visto que X q = 2,59 cm.

(9,49 g cm“2), o sea Xpar — 3,33 cm. (1220 g cm“ ).

10.4.4 Atenuación de fotones

La probabilidad de absorción total de im fotón será,

a — a + Zâc + apar (10.80)

La p rob ab ilid ad d e a b so rció n p o r u n id ad d e lo n g itu d será

fí = na-a.y = ^fxT-y (10.81)

llamado coeficiente de absorción total. Si se representa la variación con la energía del coeficiente de absorción total de los fotones se encuentra la dependencia que se muestra en la figura 10.4, donde se ha tomado como blanco el Plomo. Esta figura contiene la dependencia de todos los efectos estudiados: fotoeléctrico, Compton y creación de pares.

La fracción de fotones que sobrevive al atravesar una distancia x de materia es:


398 Física Nuclear

y es válida para toda energía. Se suele utilizar también el coeficiente de absorción másico,

/m = m/p (cmVg)A altas energías, domina la producción de pares, y como apar es constante

se puede definir la longitud de conversión, Xc,

— " a par ~ ' ' a rad — 9 ^ (10.83)Ac y 7-^0

en función de la longitud de radiación Xq. Por lo tanto, para alta energía,

I = 7oe-*/ ' (10.84)

La intensidad de un haz de fotones se atenúa exponenciahnente.La teoría de Klein-Nishina da el coeficiente de absorción para »

que, por ejemplo, para el agua resulta ser

E

(10.85)

M „s«. = ^ ( l ,8 6 + hi£;)[m-i]

I £

10" i

(MeV)

Figura 10.4 - Coeficiente de absorción para fotones en un detector de Nal.

Se habla de espesor de semirreducción^ de fotones, Xi/2, se le denomina también capa hemirreductora, se define como aquel recorrido en el que la intensidad disminuye de un factor 2. Es fácil de comprobar que

Xi/2 = ^ (10.86)

Así, por ejemplo, se puede comparar el espesor de semirreducción en el aluminio {pai — 2,75 g· cm~2) para varios tipos de partículas de 1 MeV de energía (comparándolo con el alcance), dando Ra ^ 3/xm, Rp w 1,6 mm,

Sí 4,3 cm.

10.5 Efecto Cerenkov

Se estudia aquí, otro fenómeno que puede tener lugar cuando las partículas atraviesan la materia, pudiendo ser utilizado para su detección: se trata del conocido efecto Cerenkov

Cuando una partícula atraviesa un medio a ima velocidad superior a la de la luz en el medio v > cjn, se produce emisión de luz en la dirección

cos6c = ^ (10.87)

Se trata de un fenómeno similar al de la producción de una onda de choque sonora.

Existe un valor umbral de la velocidad para que se produzca efecto Cerenkov: = 1/ , por ejemplo en el agua (n = 1,33), = 0,75, o sea quesi se trata de electrones, la energía cinética mínima será

Te = E - n u ? \)rm? = 0,26 MeV (10.88)

El ángulo de emisión variará con fi, o sea con la energía, hasta llegar a un valor máximo que vendrá dado por cosO'^^ = l/n que en el caso del agua vale 0c = 41°30'.

La electrodinámica clásica prueba que la energía perdida por la partícula al atravesar un espesor L, al emitir fotones de frecuencia w es,

^ = Z¡a— L sen 0 (10.89)dw c


" Para la radiación gamma no es correcto emplear el concepto de alcance, ya que no se puede reducir totalmente la intensidad del haz de emisión.

Suponiendo L muy delgado, se puede integrar esta última expresión para dar la pérdida de energía por recorrido,

dE fz f— — = Z\a- I wsen'Ôcdw (10.90)

dx c J

que entre 350 run y 550 nm, sólo representa ~ 10“ MeV / g cm“ . Por lotanto, en los materiales sólidos (> 1 g cm“ ) la pérdida de energía debida alefecto Cerenkov es unas mil veces menor que la de ionización.

El espectro de fotones Cerenkov (dado que E = Nhw) sigue la ley

400 Física Nuclear

cPNdwdx

o sea que en el espectro visible,

dN

= Zi — sen Oc (10.91)

dx= 475 · Z{ sen 6c [fotones/cm] (10.92)

Glosario de términos claveAlcance - (página 380) Para una partícula cargada determinada que incide

perpendicularmente sobre la superficie de un medio material determinado, es la distancia máxima de penetración en ese medio.

Atenuación - (página 397) Disminución de la intensidad de la radiación emitida por una fuente al atrevesar un espesor en un medio material, que resulta de las diferentes interacciones con la materia.

Coeficiente de absorción - (página 397) Para radiaciones indirectamente ionizantes (radiación gamma en este caso), probabilidad de que un fotón interaccione por unidad de recorrido. En el caso de una fuente colimada de partículas beta, es la probabilidad de que la partícula experimente una colisión por unidad de recorrido. Se indica con la letra /i y tiene las dimensiones del inverso de ima longitud, si es másico /i las unidades serán cm^g"^

Creación de pares - (página 396) Producción simultánea de un electrón y un positrón como resultado de la materialización de un fotón, de energía superior a 1,022 MeV. Por extensión también se utiliza este término para la producción simultánea de una partícula y su antipartícula. La probabilidad de que se produzca es porporcional al cuadrado del número atómico y a la diferencia entre la energía del fotón incidente y 1,022 MeV.

Curva de Bragg - (página 382) Para las partículas cargadas que atraviesan un material determinado, es la curva que refleja la variación de la ionización específica en función de la distancia recorrida en ese material.

Efecto Cerenkov - (página 399) Fenómeno por el cual las partículas cargadas que se mueven en un medio material a velocidades superiores a la de la luz en ese medio, emiten radiación luminosa.

Efecto Compton - (página 393) Difusión entre un fotón y un electrón libre o débilmente ligado, en la que parte de la energía del fotón incidente se comunica al electrón y el fotón difundido tiene una longitud de onda superior a la del incidente. La probabilidad de que se produzca varía proporcionalmente con el número atómico y es inversamente proporcional a la energía del fotón incidente.


Efecto fotoeléctrico - (página 392) Es una interacción de un fotón con un electrón ligado del átomo y no se puede producir con electrones libres. Emisión de un electrón por un átomo como consecuencia de la absorción de im fotón. Una parte de la energía del fotón se utiliza en vencer la energía de enlace del electrón y el resto se le comunica a éste, en forma de energía cinética, ya que la energía de retroceso del átomo es despreciable. La probabilidad de que ociurra varía proporcionalmente con una potencia de número atómico, de exponente comprendido entre3 y 5, y es inversamente proporcional al cubo de la energía del fotón incidente.

Fórmula de Bethe - (página 377) Expresión que describe el poder de frenado de partículas cargadas pesadas en un material detemünado. Tiene en cuenta las pérdidas de energía por ionización y excitación. Se han deducido expresiones similares para electrones y positrones.

Fotoelectrón - (página 393) Electrón hberado por efecto fotoeléctrico.

Espesor de semirreducción - (página 399) Para ima determinada radiación es el espesor de material necesario para reducir el flujo a la mitad del inicial.

Parámetro de impacto - (página 376) En una difusión de una partícula por un núcleo, es la distancia del centro del núcleo difusor a la trayectoria inicial de la partícula difundida.

Poder de frenado o pérdida lineal de energía - (página 378) Para una sustancia determinada y para deternünadas partículas cargadas que la atraviesan, es la energía perdida en el material por unidad de recorrido.

Potencial medio de excitación o energía media de excitación - (página 377) Media de los potenciales de excitación e ionización de los átomos del medio considerado. Es uno de los parámetros de la fórmula de Bethe- Bloch para el poder de frenado.

402 Física Nuclear

Üesumen• Una vez conocidos los tipos de emisión y las diferentes partículas emi

tidas, pasamos a estudiar en este capítulo los procesos mediante los cuales la radiación interacciona con la materia.

• Estos procesos son básicos para poder comprender, posteriormente, la base física de funcionamiento de los detectores, los conceptos básicos de la protección radiológica y la importancia que tienen las radiaciones ionizantes tanto para obtener beneficio de su uso como para el estudio del riesgo que conllevan.

• A todas las emisiones estudiadas en capítulos anteriores se les denomina radiaciones ionizantes distinguiendo entre directamente ionizantes (partículas cargadas) e indirectamente ionizantes (fotones y neutrones).

• Las partículas cargadas interaccionan mediante colisiones culombianas, o emitiendo radiación (cuando son poco masivas y energéticas). Una magnitud básica para comprender la pérdida de energía en los procesos es el poder de frenado variación de energía de la partícula incidente por unidad de recorrido al paso por el medio material, y otra el alcance espesor de material recorrido antes de frenarse totalmente. Se establecen fórmulas empíricas para el cálculo de estas magnitudes para distintos tipos de emisión y diferentes materiales y energías.

• Tanto el poder de frenado como el alcance dependen del tipo y de la energía de la partícula, y del material atravesado.

• La radiación electromagnética los fotones gamma, no ionizan directamente la materia, sino que a su paso producen ima serie de efectos, que posteriormente darán como resultado ionizaciones. Estos efectos son el efecto fotoeléctricoj el efecto Compton y la creación de pares.

• Cuando un haz de fotones gamma atraviesa un medio material se atenúa según una ley exponencial, por lo que la aphcabilidad de los conceptos alcance y poder de frenado no tienen sentido aquí.

• Otro fenómeno que imphca la emisión de radiación (la mayor parte ultravioleta) es el efecto Cerenkov.


404 Física Nuclear


1 . Calcule el poder de frenado por colisiones del agua para electrones de 1

MeV de energía cinética. Considere que la energía media de excitación del agua es Ih20 = 81,9 eV.

2 . ¿Cómo atenuaría totalmente un haz de positrones, de rayos X, de rayos gamma? ¿Y cómo conseguiría el 50% de la atenuación?¿Qué materiales utihzaría?

3. Se desea apantallar un haz de radiación 7 de 1,15 MeV, de manera que la intensidad se atenúe un factor 4. Si ponemos una lámina de plomo de - {fj,/p) - 0,08 g cm"2 y p = 11,35 g-cm“®.

(a) ¿Qué espesor se deberá poner?

(b) Determine la sección eficaz de atenuación.

4. Un electrón y un protón atraviesan un medio con índice de refracción n = 1,45 dando lugar a emisión de radiación Cerenkov. Determine las energías umbrales para que se pueda producir.


1 . Se aplica la expresión (10.41)

Interacción de ¡a Radiación con la M ateria 405

Donde De es una constante que según (10.13) vale:

De = 5,0989 X 10“ “ MeV cm

Ue es el número de electron^ por unidad de volumen, que paxa el agua y usando la ecuación (1 0 .6 ) es:

P Â , „ 1 g c m “ ® X 6 ,0 2 3 x 10^® „ríe = Z i - r - = 10----------- —--------------- = 3,35x10 ® electrones cm

A 18 g

Para obtener 0 {0 = v/c) aplicamos

E = me? = iUeC + T = —

Despejando 0

2 , f meC? \ = ! - ( X = l - ( V = 0\T + me(^J Vl + 0,51i; ’

886+ TTleC J

Y como 7 = E/{me<?) ^ 7 = 1/0,511 = 1,957.

Sustituyendo todos los valores se obtiene

_ 1 5,0989 X 10-2 MeV cm x 3,35 x 10 cm~®\ dx) 2 0,886 ^

2 1n2x0,511

( -

V81,9 X 10

dE\

+ 31n(l,957)-l,95

dx )= 1,826 MeV cm- 1

col

2. Para atenuar totalmente un haz de positrones se pondría im espesor de material correspondiente al alcance de esas partículas en el medio. Para partículas cargadas (electrones, positrones) de gran energía, lo correcto es poner aluminio primero, para evitar la emisión de radiación de frenado, y luego un material con número atómico más elevado, como puede ser el plomo. Está claro que para conseguir el 50% de la atenuación se pondría la mitad del espesor del alcance.

En cambio es imposible atenuar totalmente los rayos X o gamma, ya que ambos son radiación electromagnética que se atenúa exponencialmente al atravesar la materia, lo que quiere decir que no se puede eliminar nunca en su totalidad. Lo que sí se puede hacer es poner un espesor de semirreducción, lo que atenuará al 50% (la mitad) la intensidad del haz.

3. (a) Vamos aphcar la ecuación (10.82)

/ = loe-^

donde x es el espesor de plomo que buscamos.

/X = /x · p = 0,08 X 11,35 = 0,908 cm“ ^

406 Física Nuclear

= -1 ,:

1,386 1,386 ,X = ------= = 1,526 cmfi 0,908

1,53 cm es el espesor de plomo que se debe colocar para reducir el haz un factor 4.Este resultado también se puede obtener utilizando el concepto de espesor de semirreducción, según (10.86)

hi2 hi2 „

Este sería el espesor necesario para reducir el haz a la mitad, para reducirlo a un cuarto deberíamos poner

2 X 1/2 = 2 X 0,763 = 1,526 cm

(b) Paxa determinar la sección eficaz utilizamos (10.81)

Ixiteracción de la Radiación con la Materia 407

donde

= 11, = 3,29 X nùcleos/cm®ZiXJo

Asì que

0,908cm“ „ 2 r.„ 1a = — —— — 55— ■.— r = 2,76 X 10 cm = 27,6 b

3,29 X 1022 n/cm®

A f j .s e le denomina también sección eficaz macroscópica, mientras que a a sección eficaz microscópica.

4. Según (10.87)

cosO =n/3

En el umbral eos 0 = 1 —> /3 = l/n.

Y como n = 1,45 ^ = 0,69 ^ ^ 0,48

La energía cinética umbral para el electrón será

= " · · “’ ( t T ^ - i ) = 0.511 - l ) = o, 198 MeV

Y para el protón ^

(tt - *) = ( v f ^ - O =Como se puede observar, para producir radiación Cerenkov se necesita menos energía para electrones que para protones. Es evidente que

'Umbral _ ^

Capítulo 11

Detectores de Radiaciones Nucleares

• INTRODUCCIÓNO CLASIFICACIONDE LOS DETECTORES

• MAGNITUDES CARACTERÍSTICAS DE LOS DETECTORES

o SENSIBILIDAD RESPUESTA

o RESOLUCIÓN ENERGÉTICA o EFICIENCIA

o TIEIVIPO MUERTO

• DETECTORES GASEOSOSM O ™ n E N T O DE CARGAS EN GASES

- AVALANCHAo FORJVLA DEL PULSO ELECTRÓNICO

• DETECTORES DE CENTELLEO- CARACTERISTICAS GENERALESo TIPOS DE MATERIALES CENTELLEADORES- RESPUESTA LUMINOSA■ EFICIENCIA EN EL TRANSPORTE DE LUZ

o FOTOMLÍLTIPLICADORES

• DETECTORES DE ESTTADO SÓLIDOo SE M CO ND UCTO RES

LA UNION P-N COMO DE TE C TOR- POTENCLAL DE POLARIZACION ’ PARTICULARIDADES

• DETECTORES DE PARTÍCULAS NEUTRASDETECCIONDE NEUTRONES POR INTERACCIÓN FUERTE

410 Física Nuclear


• Estudiar las características de los detectores de radiación.

• Distinguir entre los distintos tipos de detectores, según su base física de funcionamiento y sus características.

• Distinguir el detector más útil para cada caso particular de energía, intensidad o tipo de partícula.

• Adquirir los conocimientos previos necesarios para realizar medidas experimentales.

• Comprobar el interés y la necesidad de los detectores para el estudio de las emisiones radiactivas.

11.1 IntroducciónEl principio de funcionamiento de un detector es sencillo: una partícula

cargada pierde energía, ioniza el medio (además de producir excitaciones) y como consecuencia da una señal observable y accesible al observador. Cuando la radiación incidente no está formada por partículas cargadas, por ejemplo radiación gamma (radiación electromagnética), la detección se realiza gracias a algún fenómeno o efecto de la interacción de la radiación de este tipo con la materia, que producirá electrones, siendo el proceso posterior similar al producido por las partículas cargadas.

11.1.1 Clasificación de los detectores

Una primera clasificación de las detectores, en función de su base física de funcionamiento, es la siguiente:

Detectores eléctricos. Los e~ emitidos por ionización son acelerados por un potencial y a su vez producen más ionización, con lo cual la señal final es amplificada. Si el medio es un gas, funcionan por las descargas en gases (cámaras de ionización, contadores proporcionales, tubos de Geiger-Müller). En los cristales semiconductores, son los pares e“ —hueco creados por el paso de la partícula los que determinan la señal.

Contadores de centelleo y Cerenkov. Las partículas cargadas excitan los átomos del medio. La emisión luminosa producida en la desexcitación es convertida en pulso eléctrico por efecto fotoeléctrico y amphfi- cada en un fotomultiphcador.

Detectores de trazas. La trayectoria de la partícula se hace visible; por ejemplo, en cámaras de niebla o de Wilson, de burbujas, de chispas, emulsiones, etc.

La única manera de poder detectar partículas neutras es conseguir que interaccionen con el detector y que se produzcan en el estado final partículas cargadas. Gracias a la detección de las partículas cargadas (secundarias) se podrán reconstrmr las características de la partícula neutra incidente. Los detectores que se diseñen para partículas neutras deben ser sensibles a las interacciones siguientes:

Detectores de Radiaciones Nucleares 411

Si se quiere detectar fotones (7 ), hay que aprovechar la interacción electromagnética de dichos fotones, es decir el efecto fotoeléctrico, el efecto Compton o la creación de pares.

Si se quiere detectar neutrones (n), hay que utilizar la interacción fiierte, por ejemplo, la cohsión elástica np —► np, de forma que el protón adquiere energía y es el que se detecta.

Si se pretende detectar neutrinos (i/), debe existir previamente interacción débil. Pero esto es sólo posible si se dispone de flujos muy intensos ya que la probabihdad de interacción de un neutrino es insignificante.

La noción de detector engloba también la electrónica asociada. El tratamiento electrónico de las señales, los ordenadores, etc., juegan un papel esencial en la detección de partículas.

La información que se extrae de los detectores es muy variada; he aquí las magnitudes que se suelen medir en los detectores:

Actividad, flujo - Realizando el recuento de los sucesos que llegan al detector. Contando el número de partículas incidentes.

Energía - Mediante la obtención de espectros de emisión con los diferentes tipos de espectrómetros. Cuando una partícula radiactiva deposita toda su energía en el medio detector y como respuesta sale im impulso proporcional a esa energía, se puede obtener un histograma de energías, o espectro. El espectro es la distribución energética de las emisiones.

La ordenada en el espectro representa la intensidad de la emisión. La abcisa representa la energía de la partícula. También puede observarse la anchura de las líneas discretas y la distribución de la porción continua. Para ello es necesario un sistema de adquisición de datos junto al detector. Este sistema de adquisición de datos puede ser monocanal o multicanal.

También se puede obtener la energía midiendo alcances en detectores de trazas, o a más alta energía en calorímetros.

Masa - Se puede realizar la identificación de la partícula. En detectores de trazas, normalmente la traza es debida a la ionización, que es una función f(/?, Z), de la velocidad de la partícula y de su carga eléctrica. Además suele utihzarse un campo magnético B, que curva las partículas

412 Física Nuclear

en fimción de su momento. También puede identificarse una partícula gracias a los detectores Cerenkov.

S ecc io n es eficaces de interacción o vidas medias - Midiendo las longitudes medias de interacción A/ o de desintegración en detectores de trazas.

D irecc ió n y tiem p o d e p aso - Con detectores de trazas, y utilizando técnicas de coicidencias.


11.2 M agnitudes características de los detectores

Se tiene que partir de la idea de que no existe un detector de partículas universal. Para cada tipo de partícula, y dependiendo del rango de energías interesa mi tipo distinto de detector.

Existen varias propiedades físicas de los detectores que conviene analizar antes de decidir su uso. En cualquier caso, es siempre necesario conocer magnitudes tales como la resolución energética y la eficiencia. A continuación se definen una serie de magnitudes características de los detectores.

11.2.1 Sensibilidad

La sensibilidad de im detector es su capacidad para producir una señal útil. La sensibilidad depende de la sección eficaz, cr, y de la masa del detector. Ambas deternünarán la probabilidad de interacción de la partícula en el medio del detector (o en el caso de fotones, la probabilidad de conversión de la radiación incidente). Como se ha comentado antes, no todos los detectores serán sensibles a todos los tipos de radiación y a todas las energías.

Detectores con poca masa detectarán ima pequeña parte de la energía y serán poco sensibles a partículas neutras. Por el contrario el material envolvente del detector y el rindo (del detector y de la electrónica) fijarán el mírümo de señal detectable.

11.2.2 Respuesta

Además de detectar la presencia de radiación, muchos detectores son capaces de proporcionar alguna información de la energía de la radiación. Esto

es posible ya que la cantidad de ionización producida por la radiación en el detector es proporcional a las pérdidas de energía en el volumen sensible.

En general la señal de salida en los detectores electrónicos tiene forma de un pulso de corriente. La cantidad de ionización se refleja en la carga eléctrica contenida en la señal.

La relación entre la energía de la radiación y la carga total, o amplitud del impulso generado de la señal de salida, se denomina respuesta del detector.

Sea una partícula que al atravesar un detector pierde una cantidad de energía Erad· La respuesta del detector se define como

siendo V ó Qla señal (en voltaje o en carga) del detector. La respuesta debe ser lo más lineal posible.

Punción respuesta

Se trata en este caso de medir la energía de las partículas. Una partícula de energía E atraviesa un detector, depositando toda su energía. La señal del detector, que frecuentemente es un pulso electrónico caracterizable por su altiu-a PH{E) (llamado altura del pulso, en inglés pulse hight), es la respuesta del detector. Idealmente la respuesta de un detector a partículas de energía E, debería ser una distribución delta de Dirac ¿(£" — E). Lo más frecuente es que sea ima función de Gauss, y a veces la función respuesta p(£", E) es más complicada. La función respuesta da la energía obtenida en el detector £", cuando la energía de la partícula es E. Entonces, partiendo de un espectro teórico S{E) (por ejemplo, la curva de respuesta al paso de un fotón de energía £* en un detector de centelleo tipo Nal, como puede verse en la figura 11.1) el espectro experimental de alturas de pulso, PH{E), que se obtendría sería el resultado de la convolución:

PH{E) = J S{E')p{E',E)dE' (11.2)

Normalmente esta es la expresión que se utiliza para determinar el espectro de origen S{E), conocida la función respuesta del detector. Una vez medido el espectro experimental (es decir, las alturas de pulso), debe de invertirse la expresión anterior, lo que se convierte en un problema de desconvolución.

414 Física Nuclear


E jem plos:

a) Sea una fuente radiactiva que emite 5o partículas/s de energía Eq. El espectro teórico será S{E) = SoS{E — Eq). Si las partículas se miden con un detector cuya función respuesta es /?(£", E), el espectro de altiuras de pulso que se obtendrá será

PH{E) = j p{E', E)So6{E', Eo)dE' = Sop{E, Eo) (11.3)

b) Si se trata de un espectro teórico cuya forma sigue la función uniforme (cuadrada) entre E iy E2 y la función respuesta es ima función de Gauss

fr{E') = — = e ^ (11.4)(7rV27r

cuya desviación estándar es cr ; entonces la distribución experimental será

PH{E) = r d E ' f r S { E ' ) = (11.5)Jo

pE2- 5o / frdE' =

JEi

2erf

E 2 - E \ [El - E- erf ^ , (11.6) \ a\/2 J V <T\/2 / J

es decir, la distribución experimental será una suma de funciones error. Recuérdese que la función error es:

c) Si se trata de un espectro teórico cuya forma sigue la función de Gauss /«(/x = Eq.cFs) y la función respuesta es también una función de Gauss cuya desviación estándar es entonces

es decir, la distribución experimental será ima función de Gauss pero con

= + (11.9)

416 Física Nuclear

E

Figura 11.1 - Espectro ideal de energías de electrones, medibles en un detector al paso de fotones de energía Eq. El pico en Eq

representa el efecto fotoeléctrico y la distribución continua es debida al efecto Compton con su máximo en el extremo del espectro

(llamado borde Compton o Compton edge).

11.2.3 Resolución energética

Se define la resolución energética de im detector como el cociente

R =AE

(11.10)

siendo AE la anchura total a media altura (FWHM) de la curva de Gauss correspondiente a la medida de un haz monoenergético de energía E, también llamada en este caso curva de resolución. Por ejemplo para 7 de 1 MeV, im detector de centelleo tipo Nal tiene una resolución de « 8 %.

Representa la capacidad de distinguir dos emisiones de energías muy próximas en un espectro.

Para detectores delgados (en los que la pérdida de energía por unidad de recorrido dE/dx es pequeña), el número de ionizaciones N± es pequeño y entonces se aplica la estadística de Poisson, con lo que, partiendo de

N^ = - w

(11.11)

siendo w la energía necesaria para crear un par se tiene que cr = N±,con lo que la resolución en energía viene dada por el error estadístico que se tiene sobre la determinación de N±:


íw

- 2 ’ 3 Vipuesto que

F W H M = 2V21n2 cr = 2,35 a (11.13)

Si la partícula pierde toda la energía, entonces ya no existen las fluctuaciones debidas a dE/dx y siguiendo a Fano se cumple que = FN±, siendo F el factor de Fano, que para gases vale F < 0,01, y para centelleadores F « 1. Entonces se tendrá una resolución mejor:

i? = 2 ,3 5 y ^ (11.14)

El cálculo de la resolución total del detector se hará svunando cuadráti- camente la resolución anterior a la debida a la electrónica y a la de otros factores que puedan intervenir.

Ejemplo:

La anchura a semialtura del pico de 0,662 MeV del que se ha medido con un detector de Ge(Li) es de 2,5 keV. La resolución de ese detector para esa energía será

„ F W H M 2,5x10-®R = ----;;---- = — = 3,8 X 10"® =í> 0,38%

0,662

R esolución espacial y tem poral

Se suele dar en forma de desviación típica: ax,at. Representan el poder separador espacial y temporal respectivamente.

418 Física Nuclear

11.2.4 Eñciencia

Un detector no es perfecto. Generalmente, no responde al paso de todas las partículas que lo atraviesan. Se define la eñciencia total de un detector de partículas como el cociente entre el número de partículas detectadas y el número de partículas emitidas. La eficiencia total se puede descomponer en eficiencia geométrica Sgeo y eficiencia intrínseca £int. La eficiencia geométrica, es consecuencia del tamaño finito del detector y de su distancia a la fuente de partículas. Se deduce una vez conocida la probabilidad de la emisión de la radiación en función del ángulo.

Si la emisión es isótropa, entonces

dii 2n sen 6d6 -------—

es decir, como era de esperar, la probabilidad de emisión entre un ángulo O y 9 + dO es

P{e)de = \sened0 (11.16)

Dicho de otra manera, la eficiencia geométrica representa la porción de ángulo sóhdo que subtiende el detector. A veces se le denomina también factor geométrico.

geométrica de un detector.

La eficiencia intrínseca, viene dada por la probabilidad de interacción de la radiación en el detector, o sea es función del recorrido hbre medio de

las partículas en el detector, A¿, o lo que es lo mismo de la sección eficaz de interacción,

= (11.18)

con lo que la eficiencia total se puede factorizar quedando,

dStot « dSgeo ■ Sint (11.19)

Utilizando las definiciones anteriores, se puede hablar de eficiencia absoluta y eficiencia relativa. La determinación de eficiencias absolutas es generalmente un problema muy complejo. Más fáx il y frecuente es la determinación de eficiencias relativas, para las que es necesario disponer de un estándar, ciunphéndose la siguiente defición:

, . eficiencia absolutaeficiencia relativa = ------------ -------- (11.20)

estándar

E ñ cíen cia d e los d e te c to r es d e fo to n es

En el caso de los detectores de fotones, cuando se habla de eficiencia de un detector hay que tener en cuenta que puede tratarse de una de las definiciones siguientes:

1. Eficiencia total del detector (Stot)·

2. Eficiencia del detector a determinadas señales muy concretas. Sea el caso de un fotón con > 1,022 MeV. Si existe creación de pares, el positrón se aniquila y produce dos fotones de 0,511 MeV, pudiendo escapar del detector uno (escape simple) o los dos fotones (doble escape). Esto tiene como consecuencia la aparición de picos en el espectro:

(a) El pico de energía total (fotopico).

(b) El pico de escape simple.

(c) El pico de doble escape.


(d) Otro pico posible es el llamado de retrodispersión (backscattering). Se trata de sucesos en los que tras el efecto Compton, el electrón sale del detector sin ser detectado. Queda el fotón difundido cuya energía mínima es

^ 1 + 4E· (11.21)

valor en el que hay im pico de retrodispersión.

La eficiencia total absoluta vale £tot = Sint x £geo siendo Sgeo la firacción de ángulo sólido subtendido por el detector, igual que en el caso generalpresentado más arriba. La eficiencia intrínseca se podría escribir

£int = (1 - (11.22)

donde fjL{E) es el coeficiente de absorción total y L la longitud del detector. La eficiencia geométrica se calcula de la misma manera que en el caso general.

Sea por ejemplo el esquema de la figura 11.2. Supóngase que el detector detecta r partículas por segundo (una vez corregido el efecto del tiempo muerto y sustraído el ruido de fondo) y que >4 es la actividad de la fuente radiactiva. La eficiencia del detector viene dada por:

AÜTiE)

donde ^{E ) — fa · fb··· es ima combinación de factores de corrección que hay que aplicar para tener en cuenta varias pérdidas como por ejemplo, la autoabsorción en la fuente, la retrodispersión, pérdidas en el aire y en la ventana del detector, etc... A este factor .F se le suele llamar a cep ta n c ia , y en general depende de la energía de la partícula detectada.

El factor geométrico íí o ángulo sólido, en el caso en el que se suponga una fuente puntual como la de la figura es:

En conclusión, al medir la actividad A de una fuente (el número total de partículas emitidas), se obtendrá experimentalmente un número de cuentas r dado por:

420 Física Nuclear

r = n T { E )£ A (11.25)

y todos los factores que intervienen, CIJ (E)£, representan la eficiencia total del proceso, con lo que a partir de la medida de r, puede calcularse la actividad de la fuente simplemente despejando en la fórmula anterior A :

11.2.5 Tiempo muerto

El tiempo muerto representa el tiempo de inoperatividad del detector originado al pasar ima partícula que crea una señal. Es importante conocer el tiempo muerto r del detector, ya que limita la capacidad de recuento. Se suele distinguir entre tiempo muerto extensible y no extensible. En el caso extensible, si ima partícula atraviesa el detector en el tiempo muerto, lo prolonga. Se estudia a continuación el caso no extensible.

En el caso de tiempo muerto no extensible, si durante im tiempo T el contador registra un número K de cuentas, o sea, k = K/T cuentas por segundo, entonces el número verdadero de cuentas por segimdo m cumple

mT = kT + mkr (11.27)

con lo que

m = ^ (11.28)

Para determinar r puede utilizarse el método de las dos fuentes. Se cuentan separadamente las partículas de dos fuentes radiactivas, obteniéndose ri y T2 cuentas por segundo, respectivamente. Se procede a continuación id recuento de las dos jimtas, obteniéndose ri2. Si los números de cuentas verdaderos son ni y ri2, se cumple:


"1 = n / ( l - r i T ) (11.29)

«2 = r2/(l-r2T)m + n2 = ri2/(l - ri2T)

y de aquí, ^ nr2 - v/rir2(ri2 - ri)(ri2 - r2)

rir2ri2(11.30)

Se trata de un método práctico aimque es un poco pesado y suele dar resultados con una precisión del 5 — 10%.

La corrección del efecto del tiempo muerto es, pues, inmediata. Sea el caso descrito por la ecuación (11.23). Si /c es el número de cuentas/s que se miden en el detector y 6 el número de cuentas/s del ruido de fondo, entonces el valor neto de cuentas/s, r, se calculará

r = - í. (11.31)

siendo r el tiempo muerto del detector.

422 Física Nuclear

Ejemplo:

Suponiendo que en un contador Geiger el tiempo muerto es de 200 /xs. Para una muestra cuya actividad es de 500 Bq resulta que según la expresión (11.28)

500

Es decir, que se pierde aproximadamente un 9% de las cuentas.

Tiem po de respuesta

Es el tiempo que transcurre entre el paso de la partícula y la formación de la señal. Viene determinado por el flanco de subida del pulso electrónico. Contribuye al tiempo muerto del detector que se ha visto anteriormente.

11.3 Detectores gaseosos

La primera idea de estos contadores se debe a Rutherford y Geiger* quienes observaron que era posible amplificar la señal en un detector de gas.

Estos detectores utilizan la ionización {N± pares e~X'^) producida por la partícula cargada, proporcional a la energía perdida en el gas del detector. En efecto, la energía perdida dE/dx, calculable por la fórmula de Bethe, es debida a los procesos de:

'Proc. Roy. Soc. A81 (1908) 141


1. Excitación, qX —► qX* del átomo X (paxa gases nobles, a ~ 10 barns y potencial de excitación ~ 10 eV).

2 . Ionización, qX — qX~ e~ (para gases nobles, a ~ 10® barns, potencial de ionización 15 eV). Este proceso tiene mayor umbral que el anterior. A veces se producen e~ muy energéticos (rayos (5), que a su vez, ionizan.

La señal básica (los N± pares) es amplificada gracias a un campo eléctrico creado entre el ánodo y el cátodo del contador, produciendo un incremento del voltaje o sea una señal eléctrica:

AN±eCqL

(11.32)

siendo A la ganancia o factor de amplificación, L, la longitud del detector,

27T6Co = ln(rc/r„)

(11.33)

la capacitancia por imidad de longitud del detector y e, la constante dieléctrica del gas.

Se supone un detector de forma cilindrica, con Tc y ra los radios del cátodo y del hilo anòdico respectivamente. La tensión aphcada al ánodo es Vq, y el cátodo, cuya pared cilindrica es conductora, se conecta a la masa (ver figura11.3).

424 Física Nuclear

Al aplicar la tensión Vq, el campo eléctrico E en el interior del contadores

E{r) = CoVo Vo(11.34)

2ner r\n{rc/ra)

Se suele tener una capacidad, C, en el ánodo para aislar Vo de la señal, cumpliéndose que C >> Co, ya que Cq ~ 10 pF/m, es muy pequeña.

El mismo diseño de la ñgura sirve para obtener tres tipos de detectores, cuyas señales pueden compararse utilizando (ver ñgura 11.4) la curva de Montgomery (1941):

• Cámara de ionización.

• Contador proporcional.

• Contador Geiger-Müller.

Para la mejor comprensión, se tomarán dos tipos de partículas:

1. Un n cósmico, relativista, que normalmente dejará irnos 50 pares e~ en 1 cm de gas. Recuérdese que ií; ~ 3 5 eV y la pérdida de energía en 1 cm de Ar es de unos 2 keV.

2. Una partícula a de ima fuente radiactiva (~ 5 MeV), que dejará unos 10" pares e~X~ al atravesar 1 cm de gas.

En función de Vq se distinguirán los siguientes fenómenos:

Recombinación . Fenómeno que tendrá lugar para Vq 0. Hay emisión de 7 como consecuencia del proceso

El número de iones recombinados será

dn = Pn^ri-dt (11.35)

con ¡3 coeficiente de recombinación que dependerá del gas. Se tendrá dn = (3n dt, por lo que

n = , ^ (11.36)1 + (in^t

siendo tiq la concentración inicial de iones. La vida media de im ión (para recombinarse) r = l//3no da el orden de magnitud de duración del proceso. Valores normales de (3 van de 10“® a 10~® cm s“ ^

Cámara de ionización (I). En la zona Vq < 250 V, las señales son proporcionales a la ionización producida (que a su vez es proporcional a la pérdida de energía dE/dx). Se mantendrá la relación AVa/Ay^ 10" /50 Por eso reciben el nombre de cámaras de ionización.


La señal será

O sea, al introducir la carga del electrón

A F (V ) = 1 , 6 x 1 0 - ^ ^ (11.38)

una señal extremadamente débil (< mV).

Contador proporcional (P ). Hasta unos 500 V, la energía de los e~ primarios, acelerados por el campo eléctrico más intenso, permite ionizar a su vez. Se forma una cascada secundaria. La señal es ahora

A V ( V ) ^ 1 , 6 x 1 0 - ^ ^ (11.39)

siendo A el factor de ampliñcación, o ganancia, función de Vq. Para obtener ganancias del orden de 1 0® - lO’ , es necesario mezclar gases. En el régimen proporcional se sigue teniendo AVa/AV^ « 10‘‘/50.

Al aumentar la tensión hasta los 750 V, fenómenos de carga espacial limitan la señal y se entra entonces en una zona de proporcionalidad hmitada (LP).

Contador Geiger-Müller (G M ). Para valores aún mayores, alrededor de 1000 V, los átomos excitados cerca del ánodo, emiten fotones que pueden a su vez producir más electrones dando lugar a una reacción en cadena (descarga). Se entra en la región llamada de Geiger-Müller. La descarga se para gracias a la presencia de gases que puedan absorber los fotones (extinción, quenching). En la zona Geiger, se observa una meseta o platean, en el que la saturación de la señal no permite distinguir entre distintas ionizaciones primarias. Así, ahora se tendrá que AVJAV^ = 1 .

Si se continúa aumentando Vq, se Uega a la ruptura del contador.En todos estos detectores gaseosos, la resolución energética es la vista en

(11.14):

con F factor de Fano para gases, F < 0,1 y í/;, energía necesaria para crear un par w ^35 éV para el aire y ií; « 30 eV para gases.

Estos tres tipos de detectores gaseosos todavía se usan en la práctica. En los experimentos de física de altas energías se utilizan variantes de estos detectores gaseosos tales como: las MWPC (Cámaras proporcionales multi-hilos), las cámaras de deriva y más recientemente las TPC (cámaras de proyección temporal), capaces de medir las tres coordenadas espaciales de la trayectoria de las partículas cargadas. El detector Geiger-Müller no puede utihzarse como espectrómetro, pues no es capaz de distinguir diferentes energías.

426 Física Nuclear

Estos detectores poseen muy buena eficiencia para electrones y partículas a, del orden del 1 0 0% en cambio para la radiación 7 tienen mucha menor eficiencia, del orden del 1%.

El tiempo muerto es relativamente alto, entre 10 y 200 /xs, variable de irnos a otros. Elsto hace que no sea posible medir actividades muy altas.

11.3.1 ** Movimiento de cargas en gases

La teoría cinética de los gases enseña que el movimiento de e~ y en equihbrio térmico sigue una distribución de Maxwell con


- ^ = V ^ (n.40)

lo que a temperatura ambiente (T = 300 K), imphca ~ 10® cm s~ y^ 10" cm s“ Los recorridos libres medios de los iones entre choques pueden

calcularse mediante la conocida expresión A = 1/na. Si se estima la sección eficazgeométrica a = ttR con i? ~ 1 A, se obtiene A ^ 1 0 “ cm. Los iones tienenrecorridos muy pequeños entre choques.

La velocidad de deriva en presencia de un campo eléctrico es

= i^S (11.41)

con la movihdad del ión correspondiente. Esta velocidad se superpone a la térmica, eV = \kT, que para T = 300 K vale unos 0,04 eV y, en general, es mucho más pequeña. Por ejemplo para el Argón, = 1200 cm* cm“ ),y /i" (para los e~) es unas 1 0 veces mayor.

11.3.2 ** Avalancha

Se llama así al proceso de multiphcación de los e~ secundarios, formando una especie de gota. Si a es la probabilidad de ionización por cm (A = 1/a es entonces el recorrido libre medio de un e” ), entonces, a partir de n electrones, el número de e~ creados en un recorrido dx será dn = nadx con lo que

n = noe“ (11.42)

o sea que el factor de amplificación es

A = — = e' (11.43)no

cuyo límite es ax w 20, llamado límite de Raether, que permite valores del factor de amplificación hasta A < 10®. Más allá hay ruptura.

428 Física Nuclear

11.3.3 ** Forma del pulso electrónico

Se ha visto que para una cámara con capacitancia por unidad de longitud Cq, la señal obtenida al paso de una partícula es

A r = ^ (11.44)

siendo L la longitud del cilindro del contador. Es fácil demostrar que la forma del pulso debido a una carga en r es

V (r) = ln(r/r.) = 1" ^ (U ·« )

luego

4TreL

en donde la constante

V{t) = - - ^ l n ( l + P\ (11.46)*0/

Trer

lo que se obtiene al integrar la velocidad de deriva

que al integrar da

Posteriormente, la señal se amortigua al pasar por un circuito diferenciador con constante de tiempo r = ñC, de forma que para t = r éí pulso queda reducido aVo/e = 0,37xVo.


11.4 Detectores de centelleoLos detectores de centelleo se basan en la emisión de luz (luminiscencia)

al desexcitarse los átomos, después de haber sido excitados por el paso de las partículas cargadas. Este mecanismo es complejo y diferente para materiales orgánicos e inorgánicos. En los primeros, es la desexcitación de los estados moleculares (ver figura 11.5) la que produce radiación ultravioleta. En los segundos (cristales), la captura de electrones por impiurezas (los centros de activación del cristal) producen emisión de luz al desexcitarse.

La emisión de luz (fotones) sigue ima ley exponencial,

Td(11.50)

Se distinguen dos tipos de emisión: fluorescencia, muy rápida (r ~ 10“® s.) y fosforescencia, que puede llegar a ~ /is, o incluso horas!. Por supuesto, para física de partículas se prefieren los materiales con tiempos de desexcitación r, rápidos.

El primer detector de este tipo fue el spinthariscope de Crookes (1903), usado por Geiger y Marsden (el famoso experimento de difusión a-\- Au de

Rutherford). El material era SZn. Pero con el descubrimiento del fotomultiplicador (PM) por Curran y Baker en 1944 se impuso extraordinariamente el uso de centelleadores. Su fiabihdad pronto excedió a la de los contadores gaseosos.

11.4.1 Características generales

Un montaje típico de un detector de centelleo puede observarse en la figura 11.6.

430 Física Nuclear

Figura 11.6 - Diseño de un contador de centelleo.

La información que proporciona este tipo de detectores es:

1. Sensible a la energía depositada (respuesta lineal).

2. Respuesta rápida (buen timing).

3. Capaz de identificar el tipo de partícula por el tipo de pulso producido {pulse shape discrimination).

Por lo que se exige de ellos:

1. Gran eficiencia de emisión de luz.

2. Transparencia a la radiación fluorescente.

3. Espectro de emisión similar al de los fotomultiphcadores.

4. Tener una constante muy corta.

11.4.2 ** Tipos de materiales centelleadoresA ORGÁNICOS: Hidrocarburos aromáticos con anillos de benceno. Muy rápi

dos (Td ~ ns). La luz es debida a la desexcitación de electrones de valencia en orbitales tt—moleculares (ver figura 11.5). La luz emitida no es fácilmente absorbida ya que hay muchos estados vibracionales y la energía del fotón es menor que la necesaria para excitar el electrón desde Sq (estado fundamental). Todas las transiciones entre estados singlete (5, S*) son rápidas. Entre tripletes son lentas. Se tiene

N ~ (11.51)

siendo el término rápido (r/) dominante.

A continuación se realiza un sencilla clasificación de los diferentes tipos de centelleadores orgánicos.

a) Cristales: Antraceno (C14Í/10), patrón de luminosidad (r 30 ns.);trans-stilbeno; naftaleno {CioHg). No muy isótropos y de difícil corte.

b) Líquidos: Se suele usar dopante centelleador, por ejemplo: p-terfenil(C18Í/14), PBD (C20ÍÍ11O7V2), PPG iCisHiiNO),POPOP {C24H1QN2O2) disueltos en concentraciones del orden de 3 g/1 en disolventes tales como: xyleno, tolueno, benceno, fenilclorohexano, etc.

c) Plásticos: Se usan los mismos centelleadores que en el caso anterior,pero ahora se disuelven en concentraciones del orden de unos 10 g/£ en plásticos sólidos como: poliviniltolueno, polifenilbenceno o poliesti- reno. Son los más fáciles de utilizar y de obtener industrialmente. El espectro de 7 va de unos 350 a unos 500 nm. y tienen pico de emisión en la zona de 440 nm. Son muy rápidos {r ^ 2 ns).

B CRISTALES INORGÁNICOS: Son cristales alcalinos con impiurezas activadores. El más conocido es el Nal (T í). También el CsI(TÍ). Son higroscópicos y producen señal lenta. Otros ejemplos son CsI(Na) y LiI(Eu). El BGO (permanganato de bismuto: Bi^Ge^0 i2) y BaF2 no son higroscópicos. Son más eficientes pero con respuesta luminosa menor.

C GASES: Generalmente los gases nobles. También el N2. Emiten en el UV; por ello se necesita utilizar material wls (wave length shifter).

D VIDRIOS: Como el silicato de boro.


11.4.3 Respuesta luminosa

La respuesta luminosa de un centelleador es la energía necesaria para crear un 7 de centelleo: e = AE/Nj. Cuanta más energía pierda una partícula al atravesar un centelleador, más fotones de centelleo se producirán. Recuérdese que en im material de densidad p « 1 g/cm , como en el caso de los plásticos, una partícula relativista pierde aproximadamente 2 MeV/cm.

La respuesta luminosa puede entenderse como la eficiencia del detector para producir ima señal. A esta eficiencia habrá que añadir la del fotomultiphcador, que suele ser < 30%.

La siguiente tabla muestra la respuesta luminosa de materiales centelleadores frecuentemente utilizados:

€ =eV / 7

432 Física Nuclear

Antraceno 60Nal 25Plásticos 1 0 0

BGO 300

La emisión luminosa es hneal con la energía {N oc £*), pero existe dependencia con la temperatura, excepto en los cristales inorgánicos.

La forma del pulso luminoso permite (en centelleadores Kquidos) discriminar el tipo de partícula incidente, sobre todo entre n y 7 .

En la siguiente tabla se comparan las características de algunos centelleadores para distintos tipos de radiación.

Centelleador Tipo de radiación £{%) £;„.in(MeV)SZn{Ag) a 1 0 0 1

Plástico con terfenilo 0 80 0,03NaI{Tl) 7 60 0,05

11.4.4 Eficiencia en el transporte de luz

En el dispositivo de la figura 11.6, la luz producida por el paso de una partícula en cualquier punto del detector, debe llegar al fotocátodo del fotomultiphcador para que de una señal. Existen diversas pérdidas de los fotones que hay que conocer.

La propia luz de centelleo, al propagarse por el centelleador se atenúa según la ley de atenuación:

N{x) = N o e-^ (11.52)

El coeficiente μ es el coeficiente de atenuación de la luz en el medio.La propagación de la luz de centelleo se realiza por reflexión total. Sean

n = 1,58 y 71o = 1 , 0 los índices de refracción del centelleador y del aire, respectivamente. Un fotón incide con un ángulo Θ . El ángulo crítico es sen 0c = no/n, y se toma respecto a la perpendicular a la superficie del centelleador. La fracción de luz transnútida será:


1 1 / — 1 \f = — 27Tsen0d0 = x í 1 - ------- ) (11.53) Jo 2 \ n J ^

o sea, para n = 1,58, / = 11,3%.También habrá que tener en cuenta las pérdidas en la guía de luz, así

como, por último, el teorema de Liouville, que dice que el porcentaje máximo de fotones que entrarán en el fotomultiphcador viene dado por el cociente entre superficies del fotomultiphcador y del centelleador f i = Spm /Sc ·

11.4.5 Fotomultiplicadores (PM)

Son tubos electrórücos que convierten pulsos de luz en pulsos de corriente eléctrica. Sus componentes son el fotocátodo, los dínodos y el ánodo.

a) Fotocátodo. Hecho de material semiconductor, por ejemploSb + {Na,K,Cs), con gran probabilidad de efecto fotoeléctrico. La energía del electrón arrancado es

Ee = E ^ ~ Be (11.54)

siendo Be la energía de hgadura del electrón en su correspondiente capa atómica. Es la llamada función de trabajo {work function). Hablando de fotomultiplicadores es costumbre distingmr entre fotoelectrones, nombre que reciben los electrones emitidos por efecto fotoeléctrico, que se denominarán 7 y los fotones que inciden en el cátodo,

La eficiencia cuántica del cátodo es

numero de 7 ^^

es decir, la probabihdad de efecto fotoeléctrico sobre el cátodo y suele valer 20 o 30% para fotones de una longitud de onda de unos 440 nm.

b) Dfnodos. En ellos se produce la multiplicación de electrones como consecuencia del choque de los electrones acelerados por el campo eléctrico existente, sobre la superficie del dínodo. En cada dínodo se produce emisión secundaria de S electrones por electrón incidente. El material de los dínodos suele ser de mezclas tales como Ag - Mg, Cu - Be ó Cs - Sb.

c) Ánodo. En él se recoge la avalancha final de electrones dando lugar alpulso eléctrico, que en general será un voltaje en función del tiempo, V{t).

La ganancia del PM es el factor de ampUficación de la cadena de dínodos;

G = S" = {kViY (11.56)

siendo n el número de dínodos (entre 10 y 14). Ganancias típicas son G « 10 y ¿ ~ 8 — 10. Vd es el potencial entre dínodos.

El mínimo voltage total Vr para una ganancia G vale,

Vt = nVi = (11.57)

y a partir de dVr/dn = O se obtiene:

n = L·G (11.58)

y la variación de G respecto al Vp será

dC J V , dVr

es decir im 1% de cambio en Vt produce un n% de cambio en la ganancia.

** Forma del pulso electrónico

El circuito equivalente de un PM es el de un generador de corriente. Si N es el número de fotoelectrones se tiene que cumplir

434 Física Nuclear

I(t) = (11.60)

V comoV dV

m = ^ + C - (11.61)


para r = r,(11.62)

GNeRT - T s

o-t/rs _ p-tir

En general C se suele mantener pequeña pF) para maximizar la amplitud.Suelen darse dos modos de operación:

- Corriente; con amplitudes pequeñas y tiempo de subida (rise-time) rápido. Casor <<

- Voltaje; más lento y menos sensible a ñuctuaciones. Es útil para bajas frecuencias y r >> Ts.

Resolución temporal

Los centelleadores, acoplados a fotomultiplicadores, suelen ser detectores muy rápidos. Por ello tienen aplicaciones importantes en la medida de tiempos y es muy importante conocer su resolución temporal. La resolución temporal de un detector de centelleo será menor cuanto más rápido sea el decrecimiento de la luminiscencia de la sustancia detectora.

La resolución temporal, en inglés viene causada principalmente,por dos tipos de fluctuaciones:

Fluctuaciones del tiempo de tránsito de los electrones, debido a las trayectorias en el campo eléctrico. Suele valer ~ 0,5 ns.

Fluctuaciones debidas al ruido, que a su vez suele clasificarse en:

i) Negro o termoiònico, que obedece la ecuación de Richardson

/ = (11.63)

del orden del nA.

ii) Estadístico, con desviación cuadrática media (rms) dada por(A/2) = le/r.

436 Física Nuclear

Otros factores ambientales que afectan el funcionamiento de los PM son la luz y el campo magnético B. Incluso el pequeño campo magnético terrestre (cuya magnitud es del orden del gauss) afecta a los fotomultiplicadores sensibles. Por ello, siempre se suelen proteger con un cilindro exterior metálico {mu-metcd y hierro) para apantallarlo.

11.5 Detectores de estado sólido

Denominados también Detectores de Semiconductor. Basados en las propiedades de los cristales de Si y Ge. Su principio de operación es similar al de los contadores gaseosos, salvo que ahora se crean pares electrón-hueco en vez de pares e~—ión. Son buenos detectores de partículas cargadas y 7 . En efecto, el parámetro más importante que caracteriza las propiedades de los semiconductores como detectores de partículas es la energía necesaria para producir un par e~—hueco: ujsí = 3,62 eV para el Si (a 300 K) y es aún menor para el Ge: uce — 2,96 eV (a 77 K).

Así por ejemplo, un protón de 3 MeV pierde toda su energía en 100 (xm en el Si (una partícula a de 10 MeV en 40 ^m).

O O

O

o

o

o

o

o

o

o

n - -

Figura 11.7 - Principio de operación de una unión p — n como detector de psirtículas.

11.5.1 Semiconductores

Son cristales tetravalentes {Si, Ge) con impurezas tipo p {B, In, Ga) o tipo n {P, As, Sb), tales que el gap entre las bandas de valencia y conducción es del orden de ~ 1 eV, comparado a los 6 eV de los aislantes.

Para temperaturas > O K, algunos e~ y huecos se hberan respectivamente en las bandas de conducción y valencia. Aparecen dos tipos de corriente, la


de los e~, donantes en la banda de conducción y la de los huecos, receptores minoritarios en la banda de valencia.

En equilibrio térmico la concentración de portadores

np (11.64)

ya que(11.65)

Las concentraciones típicas son muy bajas; por ejemplo a T = 300 K se tiene:

~ 2 ,5 X 1 0 * cm® para el Ge (o sea 1 átomo en 10®)1,5 X 10 “ cm® para Si (o sea 1 átomo en 10* )

La recombinación de pares es debida a la presencia de impurezas, que deben mantenerse < 1 0 ° cm~®. Sin embargo existen impurezas con efectos positivos: dopantes tipo n o tipo p.

Figura 11.8 - Distribución de carga y potenciíd en la unión p — n.

11.5.2 La unión p - n como detector

En la imión p - n se produce ima compensación de portadores que crean un potencial eléctrico que impide la existencia de cargas en la unión. Aparece la denominada zona libre de carga (desierta), visible en la figura 11.7.

Un sencillo modelo de carga espacial permite calculíir el potencial eléctrico y el tamíiño de la zona libre de carga: sean Np y Nr las densidades de donantes y receptores de las zonas n y p, respectivamente. Si x„ y Xp dan los tamaños de la zona sin carga en las respectivas partes de la unión en el cristal (que es neutro), se tendrá que cumplir: NpXn = NnXp. El potencial

438 Física Nuclear

es la solución de la ecuación de Poisson,( fV _ p(x) dx €

siendo c la constante dieléctrica del semiconductor. La solución es:

(1L66)

p I\I-V{x) = [x T xix) + Ci (U.67)

siendo el potencial de contacto (en x„)

Vi, - ¿ {NdxI + Nnxl) (11.68)

Las constantes de integración desaparecen al exigir V{x) = Vq en Xn y V(x) = O en —Xp.

Podemos deducir las dimensiones

que también se cumple para Xp, sustituyendo No por Nr y viceversa con lo que

¡2eVo Nr + Nd e NrNd

La densidad de corriente J = pv = pfiS = aS, siendo a = r~ la conductividad y r la resistividad. Para un cristal tipo p, N r » No se cumple que d ^ XnV como r~ = enot e se cimiple:

d = xp + x„ = ^l (11.70)

(11.71)

para la región n que será la región desierta.Por ejemplo para el Si de alta resistividad, r ~ 20 kfi cm y Vo = 1 V,

queda d « 75 p,m lo que da lugar a una zona libre de carga muy pequeña.

11.5.3 Potencial de polarización

Si se aplica im potencial externo (potencial de polarización Vb), puede ampliarse el tamaño de la zona desierta (ver figura 11.8).

Al aumentar el tamaño, la capacitancia disminuye, porque C — eS/d, lo que mejora el ruido, pero sobre todo aumenta la zona desierta que es el verdadero detector. Se obtienen tamaños del orden del mm.

No debe aumentarse Vb indiscriminadamente. Puede forzarse la conducción eléctrica a través del cristal llegando a romperse. El límite viene dado por la resistividad.

11.5.4 Particularidades

a) Se realizan contactos óhmicos (p^, n' ), conectando preamplificadores decaxga de bajo rnido.

b) La energía necesaria para crear un par e“ -hueco es «; = 3,62 (2,96) eVpara el Si (Ge).

c) La señal V = Q/C = rjE/wC es lineal si pierde toda la energía. 77 es laeficiencia de colección de portadores.

d) La resolución R = 2,35^/^, con F = 0,12 para el Si, Ge. Así porejemplo, para ima partícula a de 5 MeV, R = 0,07% (3,5 keV), que en la práctica es de 18 keV debido a la electrónica.

e) El ruido, debido a la corriente de fuga, es del orden de nA/cm . Lasimpurezas o los efectos de superficie aumentan esta corriente hasta nA/cm?. Se suele medir en equivalentes de carga. Si es el ruido, entonces, ENC - eCVrmalw· Es importante mantener C pequeña.

f) El pulso es rápido (del orden del ns).

Se suelen utilizar dos tipos de detectores: los de unión de barrera de superficie o los compensados con ütio.

El detector de barrera de superficie, muy apto para partículas cargadas (a, (3), no precisa de enfiriamente previo. Los compensados con Utio deben su nombre a que como impureza compensadora se pone Utio. Son indicados para el estudio de partículas pesadas muy energéticas y para electrones. La eficiencia en los detectores de siücio compensado con litio es baja, y se prefiere los detectores de germanio compensado. Actualmente se utiUzan los ultrapuros.


11.6 Detección de pgirtículas neutras

La detección de partículas neutras es posible gracias a la detección de las partículas cargadas producidas en la interacción de dichas partículas neutras. Sólo la interacción electromagnética de las partículas cargadas produce señales observables y accesibles en los detectores.

La técnica empleada en la detección de las partículas neutras dependerá fundamentalmente de la energía y del tipo de interacción. Para fotones de baja energía se pueden construir buenos detectores de 7 como ya hemos visto (Nal, Ge, BGO, etc.). A alta energía se han desarrollado los calorímetros, detectores de partículas neutras por excelencia.

En todo caso, la detección de partículas neutras está basada en el tipo de su interacción con la materia:

• 7 , electromagnética.

• n, fuerte.

• I/, débil.

11.6.1 Detección de Neutrones por Interacción Fuerte

El neutrón fue descubierto en 1932 por Chadwick, como ya hemos visto, al bombardear beriho con partículas a de una fuente de Polonio, es decir, \Be{a, n)¿^C, seguido de un blanco de parafina en el que detectó la colisión elástica

n-hp —►p + n

El neutrón , en estado hbre, tiene ima vida media muy larga:Tn = 898 ± 16 s. La desintegración del neutrón es debida a la interacción débil. Es la conocida desintegración beta del neutrón. Antes de desintegrarse sólo tiene colisiones por interacción fuerte.

Las reacciones de interés para detectar neutrones térmicos son frecuentemente con el Boro,

i‘’B(n,a)^Li + 2,78MeV

440 Física Nuclear

Glosario de términos claveDetector - (página 411) Material o dispositivo sensible a algún agente físico

y que en su presencia puede producir una señal medible.

Detector de centelleo - (página 429) Dispositivo conteniendo una sustancia fluorescente (sulfuro de zinc, cristal de ioduro de sodio, ciertos compuesto orgánicos...), un tubo fotomultiplicador y los circuitos electrónicos apropiados para contar y analizar los destellos originados en dicha sustancia por las radiaciones ionizantes.

Detector gaseoso - (página 422) Detector de radiación constituido por una cámara de gas inerte, con dos electrodos conectados a una fuente de tensión eléctrica continua, en la que la radiación incidente provoca la ionización parcial del gas de llenado de la cámara y con ello una corriente eléctrica que es medida por el instrumento adecuado.

Detector tipo semiconductor - (página 436) Dispositivo constituido por la unión de dos zonas de semiconductor, ima de tipo p y otra de tipo n, polarizadas inversamente por una tensión continua, lo que determina la formación de una zona intermedia exenta de portadores de carga, hasta que la llegada de una radiación ionizante provoca la hberación de tales portadores electrón-hueco y con ello la aparición de un impulso eléctrico.

Eficiencia de detección - (página 418) En un detector de radiaciones es la razón entre el número de partículas o fotones detectados en un intervalo de tiempo y el de los que incidieron sobre el detector en ese tiempo.

Espectro - (página 412) Distribución energética de las partículas o fotones que emite un determinado isótopo radiactivo o que aparecen en ima reacción nuclear.

Fotomultiplicador - (página 433) Es im tubo electrónico que convierte los impulsos de luz en impulsos de corriente por medio de un fotocátodo y después son multiphcados al atravesar unos dinodos.

Resolución energética - (página 416) Es la anchura a semialtura de una línea con relación a la energía. Indica la capacidad que tiene el detector de separar energías próximas.


Tiempo muerto - (página 421) En nn detector de radiación, tiempo que sigue a la detección de una partícula o fotón y durante el cual el dispositivo es incapaz de detectar ima nueva partícula o fotón incidentes. Corresponde al tiempo que tarda en desaparecer del detector el efecto de la detección anterior, como es, en el caso de un detector de ionización gaseosa, la recogida por el campo eléctrico de los iones producidos en cada suceso.

442 Física Nuclear

Resumen

• En este tema se estudian los distintos tipos de detectores de emisiones nucleares, las bases físicas de funcionamiento y sus características principales.

• El principio básico de funcionamiento de un detector es la ionización o excitación en el medio que lo compone.

• Este tema se comprenderá mucho mejor al realizar las prácticas de laboratorio, donde se verán y exphcarán “in situ” los distintos detectores.

• Las características intrínsecas de los detectores principales son la sensibilidad, la respuesta, la resolución energética, la eficiencia y el tiempo muerto.

• Basándose en el principal efecto producido en el detector se describen los detectores de ionización gaseosa (Geiger, Cámara de ionización y contador proporcional), detectores de centelleo, detectores de ionización sólida o semiconductor.


444 Física Nuclear


1. ¿Cuál será la razón de la alta sensibilidad de lui contador Geiger- MüUer?

2. Semejanzas y diferencias entre im contador Geiger y una cámara de ionización gaseosa.

3. Una muestra que contiene y que están en equilibrio transitorio, se analiza usando un espectrómetro a (por ejemplo SZn{Ag)). En el espectro obtenido se observan dos picos de emisión a en los canales 430 y 1515, que corresponden a las emisiones a de 6,1 y 8,78 MeV respectivamente. Se mide una nueva muestra a y se observa im pico en el canal 800 ¿Qué energía tendrá esa emisión?

4. Se desea detectar neutrones rápidos por medio de una cámara de ionización llena de gas hidrógeno. Para ello se utiliza la reacción (n, p) y se mide la corriente de protones que se ha producido. Se tiene un detector con volumen de 0,3 Htros y el gas está a 20"C y una presión de1,5 atm. La cámara recibe un flujo de 10 neutrones/cm .s de 1 MeV de energía. La sección eficaz de dispersión es 4,3 b. Supóngase que el neutrón al dispersarse le transfiere al protón la mitad de su energía cinética, y que se necesitan 36,3 eV para ionizar al hidrógeno. Determine la intensidad de la corriente de ionización que se produce en la cámara.

Soluciones a los ejercicios1. La razón de su alta sensibilidad es que cualquier suceso ionizante que

cause ionización primaria en el gas de llenado del contador Geiger- Müller ocasionará una avalancha de ionización secundaria que se transmite al volumen total del detector. Los iones primarios tienen energía suficiente p>ara ionizar posteriormente (ionización secimdaria).

2. Los dos son detectores gaseosos, cuyo principio de funcionamiento es la ionización que se produce en un gas al paso de la radiación, y la formación del impulso posterior. Este impulso en el caso de las cámaras de ionización es proporcional a la energía que ha disipado la partícula, ya que sólo se produce ionización primaria. En el caso del Geiger, y debido a la aparición de ionización secimdaria, el impulso no será proporcional a la energía incidente, por lo que con este tipo de detectores no se puede hacer espectroscopia.

3. Para realizar este problema nos basamos en la UneaJidad entre la energía (E ) y el canal (C)

E = A -C + B

Donde A y B son constantes. Con los datos del problema podemos plantear dos ecuaciones con dos incógnitas:


}

= I r aB = 6,1 - 2,47 X 10"® x 430 = 5,04 MeV

Teniendo en cuenta estas constantes la relación entre el canal y la ener- gía para este caso es

f; = 2,47x 10"®C-l-5,04

Lo que quiere decir que un pico que esté en el canal 800 tiene una energía de

E = 2, i7 x 10"® X 800 -1- 5,04 = 7,02 MeV

4. En el volumen de la cámara habrá

PVN = — x 2 x N ^ =

= 2,26 X 10 átomos de H2

El número de reacciones/s que se producirán debido a la dispersión (n,p) será

Ra = (T-(t>-N = 4,3x xlO^” x 2,25x = 9,67x 10® protones/s

La energía transferida/s en dichas dispersiones, teniendo en cuenta que el neutrón transfiere la mitad de su energía en cada interacción

Et = = JlO® X 9,67 x 10® = 4,84 x 10 “ eV/sZi Ji

Como se necesitan 36,3 eV paxa producir un par electrón-ión en el hidrógeno, el número de pares producidos es

«pare» = = 1,32 X 10‘® parcs/s

Por lo que tendremos una corriente

I = U p a r e , X 9 = 1,32 X 10 ® X 1,6 X 10" = 2,12 X 10“® A = 2,12 nk

446 Física Nuclear

Capítulo 12

Introducción a la Protección Radiológica

INTRODUCCIÓNBASES BIOLOGICAS

UNIDADESACTRTDAD

o EXPOSICION DOSIS ABSORBIDA

o DOSIS EQUr\'ALENTE TASA DE DOSISDOSIS E Q m \ ALEmE EFECTIVA

DETECTORES GASEOSOSM O m n E N T O DE CARGAS EN GASES

' AVALANCHAFORMA DEL PULSO ELECTRONICO

SISTEMA DE LIMITACIÓN DE DOSISJIíSTIFICACIONOPTEVnZACIONLEVnTACION DE DOSIS INDIVIDLiVl,

MEDIDAS DE PROTECCIÓN- BLINDAJES

EJEMPLOS DE DOSISRADIACTIVIDAD NATURAL NOCIVA. Eí RADON

448 Física Nuclear


• Conocer las magnitudes básicas de protección radiológica.

• Comprender el sistema de limitación de dosis.

• Desarrollar las medidas básicas de protección.

• Calcular y diseñar blindajes sencillos para los distintos tipos de radiación.

12.1 Introducción

El hombre ha estado siempre expuesto a fuentes naturales de radiaciones ionizantes: rayos cósmicos, materiales radiactivos que se encuentran en la corteza terrestre, en el aire o incorporados a los ahmentos, e incluso sustancias radiactivas que se encuentran en el interior del organismo humano (potasio, carbono, etc..). A las radiaciones producidas por esta causa se les denomina de fondo o natiu*ales y forman parte del medio ambiente.

Además de la radiación de fondo natural, el hombre está expuesto a fuentes de radiaciones artificiales. La utihzación de fuentes de radiaciones ionizantes, aparatos de rayos X, sustancias radiactivas naturales o radioisótopos producidos artificialmente, en actividades de la medicina, la industria, la agricultura o la investigación ha reportado muchos beneficios a la humanidad, pero también la hacen estar sometida a ciertos riesgos que no quedan limitados a un pequeño grupo de personas, sino a numerosos trabajadores y a la población en su conjunto.

A finales del siglo XDC, se vieron los efectos biológicos nocivos de las radiaciones en los primeros usuarios de los rayos X y materiales radiactivos concentrados. Esto creó la necesidad de protegerse contra los efectos perjudiciales y a partir de 1928 se inicia la elaboración de normas de Protección Radiológica, un organismo internacional denominado “Comisión Internacional de Protección contra los rayos X y el Radium” que agrupaba a una serie de profesionales en el tema. Después de una interrupción de esta comisión durante la segimda guerra mundial, pasó a partir de 1950 a denominarse “Comisión Internacional de Protección Radiológica (ICRP)” .

La finahdad de la Protección Radiológica es “la protección de los individuos, sus descendientes y la humanidad en su conjimto contra los riesgos que se derivan de las actividades humanas que por las características de los materiales y equipos que utilizan pueden implicar irradiaciones” .

La ICRP ha sido y continúa siendo el Organismo encargado de establecer la filosofía de la protección radiológica, proporcionando las recomendaciones generales y fundamentales para la utilización segura de las radiaciones ionizantes, en las múltiples aphcaciones que han hecho posible el ampho y rápido desarrollo de la energía nuclear y de las aplicaciones de los radionucleidos y de los equipos emisores de este tipo de radiaciones.

Introducción a la Protección Radiológica 449

450 Física Nuclear

Las radiaciones no afectan únicamente a los tejidos sino que la exposición del tejido germinal se traduce en efecto para los descendientes.

La magnitud de los efectos provocados por el ataque a tejidos y órganos, depende de las características del tejido y de su capacidad para compensar y reparar los daños causados.

Hay distintas posibilidades para clasiñcar los efectos de las radiaciones. Aquí vamos a referirnos a la que más frecuentemente se utiliza en Protección Radiológica, que hace referencia a la transmisión celular de los efectos y su relación con la dosis: Estocásticos y Deterministas.

12.1.1 Bases biológicas

EFECTO DETERM IN ISTALa gravedad depende de la dosis.

Se relaciona con la letalidad.EFECTOS GENÉTICOS

HereditariosEFECTOS SOMÁTICOS

No hereditariosEj; Anemias, caída del cabello

esterihdad

EFECTO ESTOCÁSTICOLa gravedad no depende de la dosis.

Se relaciona con mutaciones.EFECTOS GENÉTICOS

HereditariosEj: Anomalías hereditarias

EFECTOS SOMÁTICOSNo hereditarios

Ej: Carcinogénesis

• Efectos estocásticos: Incluso a dosis muy bajas es posible que se deposite energía suficiente en una célula como para provocar una transformación o la muerte celular. La muerte de una o varias células, en la mayoría de los casos, no tendrá repercusiones sobre un tejido. Sin embargo las modificaciones en las células aisladas tales como modificaciones genéticas o transformaciones que conducen ulteriormente a la malignidad, tendrán serias consecuencias. Existe una probabihdad de que se produzca este tipo de efectos estocásticos, incluso a dosis extremadamente bajas. No hay evidencia científica de que exista o pueda existir un umbral por debajo del cual no se produzcan efectos negativos en la salud. Si la dosis aumenta, la frecuencia de estos efectos también

aumenta, sin embargo no es de esperar que aumente la severidad de los efectos, al contrario de lo que sucede con los efectos deterministas.

• Efectos deterministas: A dosis más elevadas, puede producirse un grado importante de muerte celular, suficiente para que se detecten cambios en el tejido. Para cualquier daño no estocástico definido debe haber perecido un determinado número de células para que el nivel de detección sea alcanzado. Ello constituye un umbral, cuya magnitud dependerá del daño elegido, por debajo del cual la pérdida celular y los daños producidos en la función del tejido u órgano no son detectables. En este tipo de efectos la severidad es función de la dosis recibida.


1 2 .2 Unidades

Desde el comienzo de las aphcaciones médicas, científicas e industriales de las fuentes de radiaciones ionizantes, se hizo necesario definir magnitudes y unidades que permitieran caracterizar de manera cuantitativa la radiación. Las magnitudes de interés metrológico son la Actividad (que ya se ha definido en capítulos anteriores), que sirve para caracterizar la emisión de radiación (radiactividad), y la Exposición, Kerma y Dosis Absorbida que definen su interacción con el medio material (dosimetría).

Las unidades de radiación tradicionales siguen teniendo uso extendido, sin embargo desde 1975 el Comité Internacional de Pesas y Medidas recomendó el uso de las imidades en el llamado Sistema Internacional de Unidades Físicas(S.I.)·

La tabla 12.1 resume las cantidades medidas y las unidades empleadas.

12.2.1 Actividad (.4)

Recordando lo estudiado anteriormente, la actividad es el ritmo de desintegración. La actividad de una sustancia radiactiva no depende (ni informa) del tipo de radiación (a, ,7 , etc.) ni de su energía. Fs simplemente ima unidad de recuento. La unidad histórica es el Curio. Su valor es

1 Ci = 3,7 X 10 ® desintegraciones/s

452 Física Nuclear

Magnitud medidaUnidad

tradicionalUnidad

en el S.I.Actividad (^ )= Velocidad de desintegración

Curie (Ci) Becquerel (Bq)

Exposición (X )= Ionización en aire

Roentgen (R) c/kg

Dosis absorbida (D, Da) = Absorción de energía

rad Cray (Gy)

Dosis equivalente (i/. De) = Efectividad biológica

rem Sievert (Sv)

Tabla 12.1: Magnitudes y unidades usadas en dosimetría.

En el sistema SI la unidad es el Bequerelio (recibe el nombre del descubridor de la radiactividad H. Becquerel). Su valor es, simplemente,

1 Bq = 1 desintegración/s

La actividad es una noción física ligada a la constante de desintegración A. La masa de ima sustancia radiactiva, M, y su actividad, A, son proporcionales,

(12.1)A = \N = XM'A’

siendo AÍa el número de Avogadro y A' el peso atómico de la sustancia (en gramos por mol, si M viene dada en gramos). Por lo tanto no es una buena unidad que sirva para comparar efectos biológicos de distintos tipos de desintegración de diferentes núcleos.

12.2.2 Exposición X

El concepto de exposición se introdujo originalmente para permitir la comparación de las “cantidades de radiación” suministradas por tubos de rayos X relacionando su interacción con la materia. La Exposición mide la carga liberada por unidad de masa en el aire, es decir Q/M y la unidad en el sistema SI será C/kg. Es ima magnitud que se aplica a radiación electromagnética (rayos X o rayos 7 ).

En efecto, es bien sabido que las radiaciones ionizan el medio, a su paso a través de la materia. La ionización produce pares de cargas electrón-ión

en la sustancia que atraviesan. La ionización está provocada por partículas cargadas. Los fotones (partículas neutras) provocan ionización gracias a los tres tipos de interacción que tienen con los átomos de la materia, que acaban produciendo electrones y positrones. Estos son los conocidos (que se han estudiado anteriormente):

• Efecto fotoeléctrico: en el que un electrón del átomo es arrancado y se lleva toda la energía del fotón incidente (menos la de ligadura del electrón al átomo).

• Efecto Compton: que es un choque elástico del fotón con un electrón del átomo como si el electrón estuviese hbre.

• Producción de pares e= : es el fenómeno de materialización de los fotones. Este proceso tiene, por supuesto, un umbral de energíaEy > 2meC , y es el fenómeno dominante cuando se trata de fotones de alta energía.

El Roentgen R, es la unidad tradicional de exposición a rayos X; mide la cantidad de rayos X (o 7 ) necesarios para crear una carga igual a 1 esu (la carga del electrón es = 4, 8 x 10“ ^ esu) en un cm de aire en condiciones estándar de presión y temperatura (lo que se denomina STP y se refiere a O C y 760 mm de Hg). La masa de un cm de aire es âire = 1, 293 X 10“ g.


Ejemplo:

Si se calcula la equivalencia entre Roentgen y la unidad en el SI [C/Kg] se obtiene pues.

Se puede calculax el número de pares de iones (cargas unidad) necesarios para producir un Roentgen,

«±/kg = = 1,61 X 10* iones/kg

lo que también puede convertirse por unidad de volmnen en

n±/cm® = 1,61x10^^x1,293x10“® = 2,08x10® iones/cm® de adre

También puede convertirse en energía depositada. Para ello es necesario conocer el valor del parámetro w que representa la energía necesaria (que debe depositar la partícula en el aire) para crear un par electrón-ión. En el caso del aire, w = 34 eV, y de esta manera puede calcularse la energía depositada utilizando E = n±w. Luego un R corresponde a n±w = 7,08 x 10 MeV/cm . En suma,

1 R = 8 8 erg/g

Exposiciones < 25 R son despreciables, pero > 600 R provocan muerte segura (en dos semanas).

A veces se usa la dosis unitaria de radiación 7 , que es igual a, (f) · E · fi, y se mide en R/h.

El uso de la exposición como magnitud de radiación es inadecuado puesto que se aplica sólo a rayos X y gamma y sus efectos en aire. Se introduce el concepto de DOSIS ABSORBIDA como generalización de la exposición para cualquier tipo de radiación y en cualquier medio.

12 .2.3 Dosis absorbida, D

Se introduce para medir la energía depositada por imidad de masa. Se define como la energía depositada por cualquier radiación ionizante por unidad de masa de material irradiado. Los efectos que la radiación produce en una sustancia están determinados por la energía que dicha sustancia absorbe y podrán ser cuantificados con esta magnitud.

La dosis absorbida es el cociente

D = ^ (12.2)dm

donde dEm es la energía media impartida por la radiación ionizante a una masa dm. Se entiende como energía impartida la suma de la energía incidente (suma de las energías de las partículas ionizantes, cargadas o no, que llegan al volumen), menos la energía saliente (suma de las energías de todas las partículas, cargadas o no, que salen del volumen), más la suma de todos los cambios de masa en reposo de las núcleos y partículas que se producen en cualquier transformación nuclear dentro de ese volumen.

La unidad histórica de dosis es el rad = 1 0 0 erg/g; en el sistema SI, es el Cray.

1 Gy = J/kg = 100 rad

454 Física Nuclear


También se tiene 1 Gy = 6,24 x 10 MeV/kg.Distintos materiales absorben de manera distinta la radia<:ión. Se ha visto

que para el aire la dosis debida a una exposición de 1 R es 0,88 rad. En el caso del tejido animal, la dosis absorbida equivalente a 1 R es 93 erg/g, o lo que es lo mismo 1 R = 0,93 rad.

La relación entre la exposición y la dosis absorbida viene dada por la expresión

Z?(Gy) = /-X(C/kg) (12.3)

donde el factor / es ima función del coeficiente de absorción másico del tejido, y depende de la energía y la composición del tejido. En la tabla siguiente aparecen distintos factores en función de la energía:

Energía de la radiación (M eV ) Agua Hueso Músculo0,010 35,4 135 35,80,015 35,0 150 35,80,020 34,7 158 35,80,030 34,4 165 35,70,040 34,5 157 35,90,050 35,0 137 36,10,060 35,6 113 36,50,080 36,7 75,4 36,90,10 37,2 56,2 37,20,15 37,6 41,3 37,40,20 37,7 38,1 37,40,30 37,8 36,6 37,40,40 37,8 36,3 37,40,50 37,8 36,2 37,40,60 37,8 36,1 37,40,80 37,8 36,1 37,41,0 37,8 36,1 37,41,5 37,8 36,1 37,42,0 37,8 36,1 37,4

12.2.4 El kerma, K

El kerma (acrónimo de Kinetic Energy Heleased to Matter), es el cociente

dEtrK =

dm(12.4)

Radiación QX,7 1e , / i 1

n térmicos 5

n, p > 20 MeV 5n de 2-20 MeV 10n de 100 keV a 2 MeV 20a y fragmentos 2 0

456 Física Nuclear

Tabla 12.2: Factores de peso, Q, de la radiación

donde dEtr es la suma de energías cinéticas iniciales de todas las partículas ionizantes cargadas producidas por partículas ionizantes neutras en una masa dm. Su imidad también es el Gy.

12.2.5 Dosis equivalente, H

Sin embargo, cada tipo de radiación produce efectos biológicos diferentes para ima misma dosis absorbida; la probabilidad de destrucción de células por cada radiación es distinta. Se puede afirmar que 1 rad de partículas a es más peligroso que 1 rad de partículas /? o 7 . Se dice que tienen diferente Efectividad biológica relativa (RBE). Esta se define como el cociente (dosis de la radiación)/(dosis de rayos X que produce el mismo efecto biológico). Pero esta comparación es muy difícil de realizar; por ello para cuantificarlo, se introduce el Uamado factor de peso de la radiación, Q. El factor de peso (a veces ha sido llamado factor de calidad) se calcula a partir de la energía depositada por unidad de recorrido (la fórmula de Bethe-Bloch). Depende de la energía y toma valores comprendidos entre 1 y 2 0 como puede verse en la tabla 1 2 .2 .

La Dosis Equivalente mide los efectos de la radiación sobre los seres vivos. Su definición es

H = Q D (12.5)

La unidad histórica es el rem {Roentgen equivalent man). Se cumphrá que

1 rem = Q · rad (12.6)

En el sistema Internacional, la miidad es el Sievert,

1 Sv = Q . Gy

siendo 1 Sv = 100 rem.


(12.7)

12.2.6 Tasa de dosis

La exposición a radiación gamma o X, la dosis absorbida y la dosis equivalente de cualquier radiación, se han definido independientemente del tiempo que ha podido durar la irradiación. Pero no es lo mismo absorber la dosis total de un rad, por ejemplo, en un minuto en un campo de radiación intenso,o en un año por estar en im campo de radiación débil.

Se hace necesario definir unas magnitudes que dependen del tiempo, las tasas. La tasa de exposición (X ), tasa de dosis (tanto absorbida, D, como equivalente, H ) son la exposición o la dosis que recibirá en condiciones constantes, por unidad de tiempo.

La tasa de exposición (que también se denomina ritmo de exposición) está relacionado con la actividad. A,

X = ^ = v A At cP

(12.8)

r : Constante específica de tasa de exposición 7 de la fuente

En la tabla siguiente aparecen los valores de la constante de tasa de exposición para algmios radionucleidos utilizados en gammagrafía.

Radioisótopo Constante de tasa de exposiciónr (C mVkg s Bq)

2,52 X 10-^^6,29x 10- 19,01 X 10"^^

458 Física Nuclear

Ejemplo:

Calcular la dosis recibida cuando se está trabajando a 50 cm de una fuente de 100 /iCi de ‘ ^Na {¡3 con T1/2 = 2,6 años).

Se sabe que la constante específica de la fuente de Na es râ = 1,2 [R m /h Ci]. Entonces según (12.8)

A X 10“ " CiX = — = 1 ,2(RmVhCi) % - 4,8x IQ-'* R/h = 0,48 mR/h

ZAi' u, O m

Recordando la relación entre la exposición y la dosis absorbida(12.3), / = 0,93 para aire y cuando las unidades utilizadas son los R.

D = ^ = = 0,93 X 0,48 = 0,45 mrad/h

Para calcular las dosis de radiación hay que medir exposiciones y convertirlas en dosis, como se acaba de ver.

Una dosis de 300 rad (~ 3 Cray) en todo el cuerpo, produce la muerte en el 50% de los casos. Sin embargo la media anual de dosis recibida por el hombre está entre 40 y 400 mrad.

Para fotones de energía la tasa de dosis absorbida en un punto está relacionada con el flujo de fotones 0 , por la relación

= (12.9)

donde {fJ-a/p) representa el coeficiente másico de absorción del material para esa energía. Utilizando imidades del S.I. se obtiene ima expresión equivalente para la tasa de exposición

X = 0,M34>Ê R/s (12.10)

12.2.7 Dosis equivalente efectiva

Una vez depositada la radiación en un órgano del cuerpo, hay que tener en cuenta el daño específico que produce esa radiación en esa parte del orgar nismo. Pues el daño biológico producido depende de la sensibihdad para la absorción de la sustancia radiactiva que presente un órgano determinado.

Se define entonces la dosis equivalente efectiva como la media ponderada de la dosis equivalente recibida en distintos órganos. Se expresa

He = J 2 w iH i (12.11)i

siendo Wi el factor de ponderación para el órgano i frente al total. Y Hi la dosis equivalente recibida en el órgano i.


Ejemplo:

Una persona ha sido expuesta a una dosis equivalente de 0,5 rem en el pecho y de 3,2 rem en el tiroides. Sabemos que el factor de ponderación para el tiroides es 0,03 y el del pecho 0,15 por lo que la dosis equivalente efectiva recibida es

He = ' ^ WiHi = 0,03 X 3,2 + 0,15 X 0,5 = 0,171 rem

12.3 Sistema de limitación de dosis

El Sistema de Limitación de Dosis está basado en tres criterios u objetivos parciales fundamentales:

• Justificación.

• Optimización.

• Limitación de dosis individual.

12.3.1 Justificación

La justificación de una nueva práctica o modificación de una antigua debe basarse en un análisis coste-beneficio, con el fin de comprobar que el conjunto de perjuicios resultantes es compensado por los beneficios derivados de la misma.

El conjunto de perjuicios que constituye el detrimento total, comprende todos los costes y aspectos negativos de la actividad propuesta.

El proceso de justificación puede representarse esquemáticamente por la expresión

B = V - { P - l · X - l · Y ) (12.12)

donde:

es el benefico neto resultante de la actividad.

V es el valor bruto de la actividad, que incluye el valor del producto resultante, el de los beneficos sociales tangibles y no tangibles y los beneficios de cualquier otra índole.

P representa los costes de producción, incluidos los costes para la sociedad de los detrimentos no radiológicos y los costes de protección contra los riesgos radiológicos.

X es el coste de la protección radiológica.

y es el coste para la sociedad del detrimento radiológico, que es proporcional a la dosis efectiva colectiva, Se ·

12.3.2 Optimización

El objetivo principal de la optimización es consecuente con la idea de que cualquier dosis implica un riesgo, por lo tanto hay que mantener todas las exposiciones ’’tan bajas como sea razonablemente posible “A LA R A (As Low As Reasonably Achievable) teniendo en cuenta las condiciones socioeconómicas aplicables.

El valor “ALAHA” corresponde al nivel de dosis efectiva colectiva por debajo del cual el coste de cualquier medida adicional de protección radiológica sería mayor que el valor de la reducción del detrimento para la salud que con ella se conseguiría. Este criterio se ha venido denominando como optimización de la protección radiológica.

La determinación del nivel más bajo de exposición que puede alcanzarse razonablemente puede realizarse por distintas técnicas. Una de ellas es el análisis diferencial de coste-beneficio con el fin de obtener la combinación óptima de protección adecuada y coste bajo del detrimento. Esta, técnica es aplicable sólo cuando los integrantes de la función pueden ser cuantificados en términos de coste monetario.

460 Física Nuclear

La protección radiológica podrá ser optimizada cuando la simia del coste de la protección, X, y del detrimento radiológico para la salud. Y, sea mínima.

La optimización de la protección radiológica debe efectuarse tanto en el diseño como en la ejecución de toda operación justificable que pueda contribuir de manera significativa a la irradiación de los profesionales y el público.

12.3.3 Limitación de dosis individual

Para poder desarrollar un sistema de protección radiológica se precisa un conocimiento cuantitativo de cómo la probabilidad de los efectos estocásticos y la gravedad de los efectos deterministas varían con la dosis. Sin embargo la ausencia de datos epidemiológicos sobre todo a dosis y tasas de dosis bajas, hace necesario asumir toda una serie de suposiciones para poder llegar a establecer las curvas dosis-respuesta.

La relación que mejor se ajusta a los datos epidemiológicos disponibles de los efectos estocásticos es la hneal-cuadrática. Para dosis de radiación bajas resulta muy improbable que el núcleo de una célula sea atravesado por más de una traza, por lo que la curva dosis-respuesta para efectos en una célula debería ser hneal e independiente de la tasa de dosis. Luego, bajo las suposiciones mencionadas, la relación matemática entre la dosis recibida y la probabihdad de aparición de un efecto atribuible a la radiación, por ejemplo, la generación de cánceres, está casi obhgada a ser hneal y a no tener un umbral de dosis. Así, para estimar la probabihdad de los efectos de la exposición a dosis bajas de radiación con propósitos de protección radiológica, se usa la expresión

P = ß D

donde í ) es la dosis y /? la pendiente de la curva, es decir la probabilidad del efecto considerado por unidad de dosis.

La hnütación de dosis que las personas profesionalmente expuestas y las del púbhco en general puedan recibir, es el requisito establecido para asegurar una protección adecuada, incluso para las que están más expuestas. Los hmites recomendados representan los valores inferiores de la dosis efectiva y de la dosis equivalente, que no deben ser sobrepasados en las circunstancias en que las personas se vean imphcadas durante la realización de las distintas prácticas con radiaciones.


Es importante tener en cuenta que los límites de dosis no deben ser considerados como la línea divisoria entre la seguridad y el peligro y que han de ser realmente considerados como la exposición a un riesgo aceptable.

Límites de dosis para las personas profesionalmente expuestas

En las recomendaciones de 1976, y con el fin de controlar la incidencia de efectos estocásticos, se establecieron límites correspondientes a la dosis equivalente efectiva. Para ello se estimó que podía considerarse aceptable, tanto en la industria nuclear, y en general para todo trabajo en presencia de radiaciones ionizantes, un riesgo equivalente al existente en aquellas industrias o trabajos que poseen el más elevado índice de seguridad. Para este tipo de industrias o trabajos, el promedio de mortalidad anual derivado del trabajo se encuentra en el orden de 10" , es decir que puede morir una persona entre 10000. Por tanto, tomando este valor de riesgo como referencia, la probabiUdad media de muerte a causa de inducción de tumores malignos no debía sobrepasar ese índice de 10“ y que para los máximamente expuestos no debería ser superior a 10“ .

A partir de los factores de riesgo que entonces se habían determinado se llegó a la conclusión de que una dosis efectiva no superior a 5 mSv por año impUcaría un riesgo del orden de 10“ para la mortalidad por cáncer.

La dosis limitativa se puede expresar como una dosis recibida uniformemente a lo largo de toda la vida laboral, o como una dosis anual recibida cada año de trabajo.

El establecimiento de un límite para la exposición de 50 mSv por año, daba lugar, considerando la experiencia de los años anteriores con distintos grupos de personas profesionalmente expuestas, a un valor de la media artitmética de dosis recibidas inferiores a 5 mSv por año.

Para la prevención de “efectos deterministas” los Kmites se establecieron en función de las dosis umbrales para los efectos no estocásticos, estableciendo un límite de dosis equivalente anual de 0,5 Sv para cualquier de órgano, con excepción de las cataratas del cristalino, para las que se recomendó un h'mite anual de 0,15 Sv.

Estos límites se consideraban válidos tanto para la irradiación de un sólo tejido u órgano como para la del conjunto de ellos, si su incidencia en la dosis efectiva no sobrepasa el Kmite para ésta y tenían por objeto limitar las irradiaciones que ya cumplían la limitación correspondiente a los efectos estocásticos.

462 Física Nuclear

Lím ites de dosis para el público

Haciendo consideraciones análogas a las efectuadas para establecer los riesgos de las personas profesionalmente expuestas, la ICPR asumió que un nivel de riesgo de mortalidad del orden de 10“® a 10“ por año, podría ser aceptable para el caso del público. En consecuencia recomendó para cualquier individuo un límite anual de dosis de 5 mSv, siempre y cuando a lo largo de la vida, la dosis acumulada no fuese superior a 70 mSv. Este criterio fue posteriormente modificado, en 1985, para recomendar un límite de dosis, para exposiciones prolongadas, de 1 mSv por año, aceptando que algunos años pudieran recibirse 5 mSv siempre y cuando la dosis a los 70 años no fuese superior a 70 mSv.

Estos límites deben aplicarse a todas las exposiciones sujetas al sistema de protección, a que puedan verse sometidos los individuos como consecuencia de todas las actividades en que se vean implicados y supongan un riesgo de exposición a las radiaciones ionizantes. Se excluyen especialmente las exposiciones médicas (como paciente) y en el caso del público la exposición a la radiación natural.


12.4 Medidas de protección

La dosis de radiación recibida por una persona que permanezca en las pro- xinüdades de una fuente de radiaciones ionizantes, depende de tres factores fundamentales:

• Tiempo de permanencia.

• Distancia entre la fuente y la persona.

• Blindaje interpuesto entre ambos.

La dosis acumulada por el individuo al permanecer un tiempo t en las proximidades de una fuente es (recordando la definición de tasa de dosis)

D = b t (12.13)

por lo que, evidentemente, es conveniente estar el menor tiempo posible.

464 Física Nuclear

LIMITES ANUALES DE DOSIS (ICRP-26 1977)Téjido u órgano Personal Dosis Límite recomendado

Todos excepto cristalino Profesionalmenteexpuesto

Equivalente 0,5 Sv (50 rem)

Crista.lino Profesionabnenteexpuesto

Equivalente 0,15 Sv (15 rem)

Totalidad organismo uniformemente o a determinados órganos o tejidos

Profesionalmenteexpuesto

Ekjui valente efectiva

50 mSv (5 rem)

Totalidad organismo imiformemente o a determinados órganos o tejidos

Individuos del público en general

Equivalenteefectiva

5 mSv (0,5 rem)

Cualquiera incluidospiel ycristalino

Individuos del público en general

Equivalente 50 mSv (5 rem)

Tabla 12.3: Límites anuales de dosis permitidas para el público en general, establecidos por el comité ICRP

La radiación 7 o rayos X, considerando la fuente de emisión puntual, se propagan en el espacio siguiendo la conocida ley de proporción inversa al cuadrado de la distancia

D ~ ^ (12.14)

Según esto, al alejarse de la fuente, la intensidad de radiación disminuye en la misma proporción y viene expresado por

° M - í

Se observa con esto que la dosis recibida en un mismo intervalo de tiempo a un metro de la fuente disminuirá a 1/4, al alejarse a 2 metros, como puede comprobarse viendo la ecuación (12.15).

En el caso de la radiación a o (3, hay que tener en cuenta su alcance hmitado en aire, que depende de su energía umbral.

12.4.1 Blindajes

Existen casos en los que no se puede reducir el tiempo de permanencia y la distancia de operación. Entonces se recurre a poner im blindaje.

El blindaje interpuesto entre la fuente y el individuo es un material absorbente de las radiaciones ionizantes de que se trate, con la finalidad de tener a la salida una disminución adecuada de la radiación.

Según el tipo de radiación y la energía de la fuente se pueden clasificar los bhndajes en tres grupos:

• Para radiación directamente ionizante (partículas cargadas, a, 0...).

• Para radiación 7 y rayos X.

• Para neutrones.

Blindajes para partfcvilas cargadas

Los bhndajes para partículas a no ofrecen problemas especiales debido a su corto alcance. Basta con conocer el alcance de la partícula para esa energía en ese material y aumentar hgeramente el espesor de material.

Para partículas /? aparece el problema de la existencia de la radiación de frenado, que hay que tener en cuenta a la hora de diseñar el bhndaje


correspondiente, pero el alcance de los electrones es corto, del orden del metro en aire. Un blindaje adecuado en este caso sería una capa de absorbente de número atómico bajo (plástico o alunünio) para minimizar el efecto de la radiación de frenado (recordar que es proporcional Z), seguido de una capa fina de plomo para atenuar la radiación de frenado producida en el primer absorbente.

Blindajes para radiación gamma y rayos X

En el estudio de los blindajes para radiación gamma y rayos X, es necesario tener en cuenta diversos factores: naturaleza y forma de la fuente emisora, la energía de emisión y el fiujo que se quiere obtener al otro lado del blindaje.

Para hacer im cálculo sencillo, se puede considerar que la fuente es puntual emitiendo S fotones/s y se le interpone im absorbente de espesor r, con coeficiente de absorción /x. Resulta que a la salida del absorbente el flujo será

* = (12.16)

donde el numerador representa la atenuación sufrida al atravesar el espesor r.

Este flujo de radiación se puede medir en magnitudes útiles en dosimetría, como la tasa de dosis, haciendo los cambios de unidades correspondientes.

Al deducir esta sencilla expresión, no se ha considerado el hecho de que los fotones en su recorrido en el material sufren no solo absorción sino que también pueden sufrir colisiones dispersivas (Compton, creación de pares) y como consecuencia se puede producir radiación en otras direcciones. Se dice que se produce un efecto de acmnulación. Para contabilizar este efecto, se introduce otro término en la ecuación (12.16) llamado ’’ factor de acimiulación” Bp y que considera el incremento de radiación producido. El término Bp{¡i^r) depende del recorrido del fotón en el material y del coeflciente de atenuación ¡jl. Por lo que queda finalmente

Los factores de acumulación están tabulados para diferentes materiales y energías.

466 Física Nuclear

Blindajes para neutrones

Paxa atenuar la radiación neutrónica se utilizarán blindajes de distintos materiales. Para estimar su tamaño se tiene en cuenta las propiedades de interacción de los neutrones con la materia, que varían en ftmción de la energía.

Los neutrones rápidos (muy energéticos) se moderan en colisiones elásticas con materiales ligeros (Z bajo). Los neutrones térmicos (baja energía) pueden ser absorbidos en materiales con alta sección eficaz de absorción (boro, cadmio).

El blindaje para neutrones debe cumplir dos misones: la primera, rebajar la energía de los neutrones hasta alcanzar el equilibrio térmico y la segunda, absorberlo una vez termalizados.

Generalmente los neutrones se producen a diferentes energías y además, suelen ir acompañados de radiación 7 . Un completo blindaje para neutrones sería el siguiente:

• Un espesor de material hidrogenoide (bajo Z) para moderarlos hasta térmicos.

• Un espesor de Cd o B, para absorberlos.

• Un espesor de alto Z (Pb) para detener la radiación 7 , que acompaña a los neutrones.


12.5 Ejemplos de dosis

La dosis letal (50% de probabiUdad de muerte en 30 días) es de 100 a 300 rems (1-3 Sv). En Hiroshima y Nagasaki se recibieron dosis superiores a 100 rem (1 Sv).

Habitualmente se distingue entre dosis altas (> 1 Sv) que son muy destructivas (leucocitos de la sangre, células intestinales, médula) y si se reciben en poco tiempo (algunas horas) pueden causar la muerte, y dosis bajas. Para estas últimas es muy difícil fijar un umbral de peligro. Los efectos parece ser que son proporcionales a la dosis total integrada.

La tabla 12.4 resume la relación de dosis anuales medias que puede recibir una persona por emisiones naturales o por placas de rayos X.

468 Física Nuclear

Origen mrem/añoplaca X 50cósmicos 3540r 20T h + ^ R n 60^ R a 50Total 240

Tabla 12.4: Ejemplos de dosis medias

Se ha determinado que la dosis anual que reciben las tripulaciones de los aviones es de 5 mSv. Recuérdese que la densidad de la atmósfera equivale a irnos 4 metros de cemento y que si se viaja a 10 km de altura, la atmósfera remanente equivale ya a sólo un metro de cemento.

En la determinación de dosis debidas al Radón se han llegado a medir hasta 200 mrems (2 mSv), aimque el valor medio es 0,5 mSv, como aparece en la tabla 12.4.

El 25 X 10® años), representa el 1,17 x 10“ del potasio natural.Es un electrolito crítico en la sangre. Puede estimarse que una persona de 70 kg, recibe una autodosis de 10“ Ci sólo debido a los elementos radiactivos en su interior: *°K y

12.5.1 Radiactividad natural nociva. El radón

El Radón es el único gas que aparece en las cadenas radiactivas naturales (por ejemplo del ^^Th, y Û), compone el fondo radiactivo natural. Se calcula que unos 9000 cánceres de pulmón/año en EEUU son debidos a la desintegración del Rn y sus hijos, acumulado en el interior de las casas. Se acumula sobre todo en sótanos y edificios poco ventilados. Sólo el ^ Rn (Ti/2 = 3,824 d) es importante; es el que proviene de la desintegración del ^^®i?a(Ti/2 = 1602 años) que decae

226^ _,222 ^ „ ^ ^

Las desintegraciones son.


~^'^Rn^ 2i8Po-l-a 3,82 d 5,49 m jj

^^Rn ^ -1- a 55,6 s 6,28 232Th

2i5po-|-a 3,96 s 6,82 235

En un kg de suelo se producen unos 40 átomos de “ iín/s. La concentración del en el suelo es de 1 pCi/g, luego el Rn arroja una concentración media en el suelo* de 25-100 Bq/m , cantidad que puede llegar a ser im orden de magnitud superior en los sótanos poco ventilados de las viviendas. (1 Bq/m = 0,027 pCi/£). Se estima que la dosis inhalada a cielo abierto, debida al Rn es del orden de 10 a 20 mrem por año.

^W.J.Makofeke, M.R. Edektein; Radon and the environment. Noyes Pub., N.Y. 1988.


Blindaje - (página 465) Espesor de material interpuesto entre la fuente de emisiones y el personal o zona de trabajo, como medida de protección.

Dosis absorbida - (página 454) La energía absorbida por unidad de masa. Se entiende que es la dosis promediada sobre un tejido u órgano.

Dosis efectiva - (página 458) Suma de todas las dosis equivalentes ponderadas en todos los tejidos y órganos del cuerpo, debidas a las irradiaciones internas y externas.

Dosis equivalente - (página 456) Dosis absorbida ponderada en función del tipo y la calidad de la radiación.

Exposición - (página 452) Acción y efecto de someter a las personas a las radiaciones ionizantes. También es una magnitud que describe la cantidad de carga liberada por unidad de masa, como consecuencia del paso de radiación electromagnética.

Fondo radiactivo natural - (página 468) Conjunto de radiaciones ionizantes que provienen de fuentes terrestres o cósmicas (en la medida en que la exposición que de ellas resulte no se vea aumentada de manera significativa por la acción humana).

Limites de dosis - (página 461) Valores máximos fijados por la correspondiente normativa, para las dosis resultantes de la exposición de los trabajadores y miembros del púbhco, a las radiaciones ionizantes.

Trabajadores expuestos - (página 462) Personas sometidas a una exposición a causa de su trabajo, que pudieran entrañar dosis superiores a alguno de los hmites de dosis para el púbhco en general.

470 Física Nuclear

Resumen

• La justificación de la inclusión de este capítulo en vm temario de Física Nuclear es que, una vez conocidos los efectos que producen las emisiones nucleares al pasar por la materia, y que esto conlleva vm riesgo, se deben saber las medidas de protección para minimizar los efectos nocivos.


• Los efectos estocásticos se caracterizan porque la probabilidad de recibir un daño, aimque la dosis sea baja, no tiene umbral.

Los efectos deterministas o no estocásticos se caracterizan porque a medida que aumenta la dosis aumenta el daño, a partir de una dosis umbral.

• Para eUo se introducen las magnitudes más importantes usadas en dosimetría: Exposición, Dosis absorbida, Dosis equivalente y las relaciones existentes entre cillas.

El conocimiento del sistema de limitación de dosis (justificación, oj)- timización y limitación de dosis) y por qué se establece este sistema de limitación, lleva a un conocimiento más profundo de las medidas de protección contra las radiaciones ionizantes. Las medidas básicas de protección son: distancia a la fuente, tiempo de permanencia en sus proximidades y blindaje interpuesto.

• Es conveniente, también el estudio de los distintos blindajes utilizados, en función del tipo de emisión y de la energía de la radiación.

Es interesante el diseño de algunos blindajes sencillos.


1 . Calcular la tasa de dosis absorbida en aire a 1 ,2 m de una fuente puntual de de 0,27 mCi. Este isómero emite un 7 de 0,393 MeV con unperiodo de 105 m. {fJ Jp)aire = 2,95 x 10“ m /kg.

472 Física Nuclear

2. Un individuo que trabaja en ima central nuclear recibe una dosis de 20 mrem en todo el cuerpo al día. Queremos saber si es peligroso y está dentro de los límites permitidos.

3. Una persona que asiste a un accidente nuclear recibe las siguientes dosis

5 /xSv procedente de neutrones térmicos {En < 1 0 keV).

23 /iSv de radiación 7 .

1 fiSv procedente de desintegraciones a.

Suponiendo que se reparte por todo el cuerpo, determine la dosis total absorbida.

4. Una fuente de (emisión gamma de 0,662 MeV), con una actividad de 370 MBq ¿Qué dosis equivalente producirá en agua, a 2 m de la fuente, cuando ha pasado 1 / 2 hora?

5. Se tiene una fuente de 1 Ci de Co en un aparato de cobaltoterapia. Es necesario ponerle un bhndaje de plomo, de manera que la radiación que reciba a 1 m de la fuente sea 1 mCi ¿Qué espesor de plomo es necesario poner?.(/i/^)pj = 0,058 cmVg; Ppt = 11,35 g/cm ; = 0,0233cm^/g; = 1,293 x 10“ g/cm®;


1. La actividad gamma expresada en Bq (d/s) es

A = 0,27 X 10" Ci x3,7 x 10*° Bq/Ci == 9,99xl0®Bq~10^Bq

Eíste quiere decir queS - 10 fotones/s

El flujo de fotones suponiendo la emisión isótropa

S 104> = -— r = ------= 5,53 X 10® fotones/m .s

4Trr2 47T X 1,22 '

La energía se tiene que poner en unidades del S.L

= 0,393 X 10® eV = 0,393 x 10® x 1,6 x 10"*® = 6,3 x 10“ * J

Y por último aplicando la expresión (12.9)

i) = ( f £; = 5,53xl0®x2,95xl0"®x6,3xl0-*“ =\ P J

= l ,03x 10"*° Gy/s == 1,03 X 10-® rad/s = 1,03 x lO'^ /xrad/s = 37,1 ^ r a d /h


2.

¿> = 20 mrem/día

Esto equivale a

£> = 20 X 365 = 7300 mrem/año = 7,3 rem/año = 73 mSv/año

El límite de dosis está en 5 rem al año para todo el cuerpo (para el personal profesionalmente expuesto), por lo que el individuo está recibiendo más de lo permitido. Deberá permanecer ima temporada alejado de esa zona de trabajo, pues ya ha recibido más del límite permitido para xm año.

3. Sabemos que, según (12.5)

H = Y^WiDii

De la tabla 12.2

g (a ) = 20 Q(n) = 5

Q{l) = 1

iy = 2 0 x l + 5x5- l -23x l = 68 /íSv — 0,68 mSv

Esta es la dosis recibida en un día, como no puede recibir más de 1 mSv al año (no es profesional), deberá tener cuidado el resto del año.

4. Teniendo en cuenta la relación entre la tasa de exposición y la actividad (12.8), y que para el

r = 6,29xlO“ *®CmVkgsBq

X = = 6,29 X 10-*® X ^ = 5,8 X 10-** C/kg.s

En media hora, x 60 x 60 = 1800 s

X = 5,8 X 10"** X 1800 = 1,04 x 10" C/kg

Si tenemos en cuenta la relación entre la dosis absorbida y la exposición(12.3), y que el factor para esa energía en el agua es 37,8

D = 37,8 X 1,04 X lO"· = 3,9 x 10-® Gy

Como se trata de fotones Q = 1,

/í(Sv) = D(Gy)

i í = 3,9 X 10"® Svw4/xSv

5. Se tiene que aphcar la siguiente expresión

A = Aoe-f^

474 Física Nuclear

donde a; es el espesor de absorbente necesario.


t Pb= ( - i\ p j

X ppb = o, 058 X 11,35 = 0,658 cmPb

- 1

Este es el espesor de plomo paxa obtener 1 mCi a la salida del absorbente. A 1 m habrá que tener en cuenta también el espesor de aire atravesado, x' = 1 m.

Maire = ( ~ ^ X Paire 0,0233 X 1, 293 X 10~ = 3 x 10'® c m ~ ^\p/aire

' = 3x l0 "^= í>e - ' “ ' = 0,997Hx

Como se ve en un metro se atenuará muy poco, sólo un 0,3%. Por lo que en primera aproximación se puede considerar que un blindaje de10,5 cm de plomo, es adecuado.

Física Nuclear 477

UNIDADES MAS UTILIZADAS

M agnitudUnidad

delS.L

Otrasunidadesutilizadas

Equivalencias

Longitud m(metro) /x(micra)A(àngstròm)

1 /x=10"^ m 1 A=10-io m

Superficie Sección eficaz

m^ cm^b(barn)

1 cm^=10” m 1 b=10"28 m2

Masa kg(kilogramo) u.m.a.MeV/c2

1 u.a.m.=l,66x 10"^ kg 1 MeV/c2=l,78x10-30 kg 1 u.a.m.=931,5 MeV/c^

Cantidad de sustancia

mol

Fuerza N(newton) dyn(dina) 1 dyn=lQ-^ N

Presión Pa(pascal) At(atmósfera)bartorr(mm Hg)

1 A t=l,013x10^ Pa 1 bar=lxlQ5 Pa 1 torr=l,33x10^ Pa

Momento N.m(newton-metro) MeV/c 1 MeV/c=5,34x10-^ N.m

Energía J(julio) erg(ergio) eV (electronvoltio) Wh(vatio-hora) cm“^

1 erg=10“’ J 1 eV=l,602xlQ-i^ J 1 Wh=3,6xlQ3 J 1 cm -i= l,99x10-23 J

Temperatura K (kelvin) °C(grado Celsius) keV

T(^C)=T(K)-273,16 1 keV=8,6xlQ-® K

Potencia W( vatio) CV(caballo de vapor) erg/s

1 CV=735,5 W 1 erg/s=lQ-^ W

Cargaeléctrica

C (culombio) ueq 1 ueq=3,33x10-10 C

Tensión V( voltio)

Campoeléctrico

V/m ues 1 ues=279,79 V/m

Corriente A(amperio)

Inducciónmagnética

T(tesla) G(gauss) 1 G=10-^ T

Campomagnético

Am“^ Oe(oersted) 1 Oe=79,57 Am-^

478 Física Nuclear

CONSTANTES MAS UTILIZADAS

Nombre Símbolo Valor

Velocidad de la luz c 2,99792458x10® m/s

Carga del electrón e 1,602189x10" C

Constante de Boltzmann k 1,38066x10-23 J/K 8,6174x10"^ eV/K

Constante de Planck h

k=h/2'K

6,62618x10- J.s 4,13570x10” ^ eV.s 1,054589x10" J.s 6,58217x10" ® eV.s

Constante de la Gravitación G 6,6726x10" NmVkg^

Número de Avogadro Na 6,022045x10 3 mol"

Constante universal de los gases R 8,3144 J/mol.K

Constante de Stefan-Boltzmann (j 5,6703X10"® W/m .K"

Constante de Rydberg Roe 1,0973732x10* m"^

Energía de ionización del Hidrógeno 13,60580 eV

Radio de Bohr ao 5,291771x10-11 m

Masa del neutrón mn 1,008665 u.a.m. 939,6 MeV/c^

Masa del protón mp 1,007277 u.a.m. 938,3 MeV/c^

Masa del electrón 5,4860x10“ u.a.m. 0,511 MeV/c2

Magnetón de Bohr Mb 9,27408 xlO-^-* J/T 5,78838x10"® eV/T

Magnetón nuclear Mn 5,05084x10-2^ j/T 3,15245x10-® eV/T

Contantes de estructura fina ahehe

e /ATTCo

1/137,0360 1239,835 MeV.fm 197,329 MeV.fm 1,439976 MeV.fm 8,988.10® N.m2/C2

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