La aceleración negativa se debe a que la fuerza de detención tiene una dirección opuesta a la velocidad inicial. Una persona sometida a una aceleración semejante experimentaría una fuerza de detención aproximadamente igual a cuatro veces su peso.

A continuación hallamos el tiempo de detención eligiendo la ecuación donde aparece t y no a. De nuevo, la ecuación (1) es la correcta

'vf + v0\ 2xt o t = -

J Vf +

2(100 m) t = ñ ™— r = 2.22 s

0 + 90 m /s

El avión experimenta una aceleración de —40.5 m /s2 y se detiene en un tiempo de 2.22 s.

- — l i — ~ ~ www , Mtsz/f f/'jrz z s ^ .*\w m »

Sr Un tren que viaja inicialmente a 16 m /s se acelera constantemente a razón de 2 m /s2 en la misma dirección. ¿Cuán lejos viajará en 20 s? ¿Cuál será su velocidad final?

Se ordenan los datos y se despejan las incógnitas de las ecuaciones.

Dados: vQ = 16 m/s Encontrar: x = ?

a = 2 m/s2 vf = ?

t = 20 s

Al elegir la ecuación (3) de la tabla 6.1, ya que contiene x y no v , se obtiene

1 ,x = vfít i— a t

= (16 m /s)(20 s) + | ( 2 m /s2)(20 s)2

= 320 m + 400 m = 720 m

La velocidad final se halla a partir de la ecuación (2):

Vf = v 0 + at

= 16 m /s + (2 m /s2)(20 s) = 56.0 m /s

El tren recorre una distancia de 720 m y alcanza una velocidad de 56 m /s.

Los signos de aceleración (a), desplazamiento (x) y velocidad (v) son interdependientes, y cada uno se determina por criterios distintos. Tal vez éste sea el aspecto que más confunde a los alumnos principiantes. Siempre que cambia la dirección del movimiento, como cuando un objeto es arrojado al aire o cuando se sujeta un objeto a un resorte que oscila, el signo corres-pondiente al desplazamiento y a la aceleración resulta particularmente difícil de visualizar. Es útil recordar que sólo el signo de la velocidad se determina por la dirección del movimiento. El del desplazamiento depende de la ubicación o la posición del objeto, en tanto que el de la aceleración queda determinado por la fuerza que hace que la velocidad cambie.

Imagine una pelota de béisbol lanzada hacia arriba, como se indica en la figura 6.3. La pelota se mueve hacia arriba en línea recta hasta que se detiene y regresa siguiendo una trayec-toria descendente en la misma línea. Consideraremos el punto de lanzamiento como el de des-plazamiento cero (y = 0). Ahora, el signo del desplazamiento será positivo en cualquier punto ubicado arriba del lanzamiento y negativo en cualquier punto por debajo de él. Observe que no importa si la pelota se está moviendo hacia arriba o hacia abajo\ sólo su ubicación (la coorde-nada y de su posición) es la que determina el signo del desplazamiento. El valor de y podría ser +1 m en su movimiento hacia arriba y +1 m en su movimiento hacia abajo. Su desplazamiento se vuelve negativo sólo cuando la pelota se encuentra por debajo del punto de lanzamiento.

= +, v = , a = -

(.Fotografía de Paul E. Tippens.)

Observe ahora los signos de la velocidad durante el vuelo de la pelota. Si suponemos que la dirección hacia arriba es positiva, la velocidad de la pelota es positiva siempre que su movimiento se dirige hacia arriba y negativa cada vez que su movimiento va hacia abajo. No importa que la velocidad cambie con el tiempo, ni tampoco su ubicación en el espacio.

Por último, considere la aceleración de la pelota durante su vuelo. La única fuerza que actúa sobre ella durante su recorrido es su peso, el cual siempre está dirigido hacia abajo. Por tanto, el signo de la aceleración es negativo (hacia abajo) durante todo el movimiento. Obser-ve que la aceleración es negativa cuando la pelota se mueve hacia arriba y también cuando se mueve hacia abajo. En esencia, la velocidad se vuelve en todo momento más negativa. Incluso cuando la velocidad pasa por cero en la parte más alta, la aceleración permanece constante en dirección hacia abajo. Para determinar si la aceleración de un objeto es positiva o negativa, no debemos considerar su ubicación ni la dirección de su movimiento; más bien debemos tener en cuenta la dirección de la fuerza que causa el cambio de velocidad. En este ejemplo, esa fuerza es el peso del objeto.

6.7 Gravedad y cuerpos en caída libre 121

Figura 6.4 En el vacío todos los cuerpos caen con igual aceleración.

Una vez que se ha elegido la dirección positiva, con las convenciones siguientes se deter-minarán los signos de la velocidad, el desplazamiento y la aceleración:

El desplazamiento es positivo o negativo de acuerdo con la ubicación o posi­

ción del objeto en relación con su posición cero.

La velocidad es positiva o negativa según la dirección del movimiento: si está

en favor o en contra de la dirección elegida como positiva.

La aceleración es positiva o negativa según esté la fuerza resultante a favor o

en contra de la dirección elegida como positiva.

Gravedad y cuerpos en caída libreGran parte de nuestros conocimientos sobre la física de los cuerpos en caída libre se deben al científico italiano Galileo Galilei (1564-1642). Él fue el primero en deducir que en ausencia de fricción, todos los cuerpos, grandes o pequeños, pesados o ligeros, caen a la Tierra con la misma aceleración. Ésa es una idea revolucionaria porque contradice lo que una persona pudiera suponer. Antes de la época de Galileo, la gente seguía las enseñanzas de Aristóteles, según las cuales los objetos pesados caían proporcionalmente más rápido que los ligeros. La explicación clásica de la paradoja radica en el hecho de que los cuerpos pesados son propor-cionadamente más difíciles de ser acelerados. Esta resistencia al cambio de movimiento es una propiedad de los cuerpos llamada inercia. Por tanto, en el vacío, una pluma y una bola de acero caerán al mismo tiempo porque el efecto inercial mayor de la bola de acero se compen-sa exactamente con su mayor peso (véase la figura 6.4.)

En la explicación de los cuerpos en caída libre de este capítulo se despreciarán totalmente los efectos de la fricción debida al aire. En estas circunstancias, la aceleración gravitacional corresponde a un movimiento uniformemente acelerado. Dicha aceleración se ha medido en el nivel del mar y a una latitud de 45°, y su valor es de 32.17 f t/s2, o 9.806 m /s2, y se repre-senta con g. Para nuestros propósitos, los valores siguientes son suficientemente precisos:

g = ±9.80 m /s2 (6>1Q)

g = ±32.0 f t/s2

Puesto que la aceleración gravitacional es una aceleración constante, se aplican las mis-mas ecuaciones generales del movimiento. Sin embargo, uno de los parámetros se conoce de antemano y no necesita darse como dato en el problema. Si la constante g se incluye en las ecuaciones generales (tabla 6.1), resultan las formas siguientes:

vf + v0(la) y = — - — t y = vt

(2a) vf = v0 + gt

(3a) y = v0t + ^ g t2

1 9(4a) y = vf t — - gt-

(5a) 2gy = vj -

Antes de utilizar estas ecuaciones conviene hacer algunos comentarios generales. En pro-blemas referidos a cuerpos en caída libre es de suma importancia elegir una dirección como la positiva y seguir ese criterio en forma sistemática al sustituir los valores conocidos. El signo de la respuesta es necesario para determinar la ubicación de un punto o la dirección de la velocidad en instantes específicos. Por ejemplo, la distancia y en las ecuaciones anteriores re-presenta el desplazamiento arriba o abajo del origen. Si la dirección ascendente se elige como positiva, un valor positivo de y indica un desplazamiento por arriba del punto de partida; si y es negativa, representa un desplazamiento por debajo de ese punto. De igual forma, los signos de v0, v y g indican sus direcciones.

122 Capítulo 6 Aceleración uniforme

w/y f > ^ í z >ó \ 1 1

Una pelota de hule se deja caer del reposo, como se muestra en la figura 6.5. Encuentre su velocidad y su posición después de 1, 2, 3 y 4 s.

Plan: Como todos los parámetros se medirán hacia abajo, es más práctico elegir la direc-ción descendente como positiva, de forma que aquéllos resulten positivos.

Solución: Organizando los datos tenemos:

Dados: v0 = 0 Encontrar: v = ?f

g — +9.80 m /s2

t = 1, 2, 3, 4 sy = ?

La velocidad hacia abajo en función del tiempo aparece en la ecuación (2a), donde vQ = 0.

v/ = vo + Sf = 0 + gt = (9.80 m /s2)t

Después de 1 s tenemos

vf = (9.80 m /s2)(l s) = 9.80 m /s (hacia abajo)

Con las sustituciones para t = 2, 3 y 4 s se obtienen velocidades finales de 19.6, 29.4 y 39.2 m /s, respectivamente. Todas estas velocidades son positivas porque se eligió la direc-ción descendente como positiva.

La y positiva en función del tiempo se calcula a partir de la ecuación (3a). Como la velocidad inicial es cero, escribimos

1 1y = v0t + ~ g r = ~ g t¿

Después del tiempo de 1 s, el desplazamiento descendente será

y = “ (9.80 m /s2)(l s)2 = 4.90 m

v = 0 m/s

v = 9.80 m/s

y = 0

y = 4.90 m

v = 19.6 m/s y = 19.6 m

v = 29.4 m/s (^ ) y = 44.1 m

g = +9.80 m/s2

1

v = 39.2 m/s y = 78.4 m

Figura 6.5 Un cuerpo en caída libre tiene una aceleración constante hacia abajo de 9.80 m /s2,

6.7 Gravedad y cuerpos en caída libre 123

Cálculos semejantes para t = 2, 3 y 4 s producen desplazamientos de 19.6, 44.1 y 78.4 m, respectivamente. Note que cada desplazamiento es positivo (en dirección descendente). Los resultados se resumen en la tabla 6.2.

Tabla 6.2

Velocidades y desplazam ientos de una pelota arrojada desde el reposo

Tiempo t, s Velocidad al final Desplazamiento al final

del tiempo t, m /s del tiempo t, m

0 0 01 9.80 4.902 19.6 19.6

3 29.4 44.1

4 39.2 78.4

Suponga que una pelota se arroja hacia arriba con una velocidad inicial de 96 ft/s; expli-que, sin utilizar ecuaciones, cómo el movimiento ascendente es exactamente inverso al movimiento descendente.

Solución: Vamos a suponer que la dirección hacia arriba es positiva, lo que hace que la aceleración debida a la gravedad sea igual a —32 f t/s2. El signo negativo indica que un objeto arrojado verticalmente hacia arriba verá reducida su velocidad en 32 ft/s cada se-gundo que se eleve. (Véase la figura 6.6.)

Figura 6.6 Una pelota arrojada verticalmente hacia arriba vuelve al suelo con la misma velocidad.

124 Capítulo 6 Aceleración uniforme

Si su velocidad inicial es 96 ft/s , su velocidad después de 1 s se reducirá a 64 ft/s. Después de2 s su velocidad será de 32 ft/s , y después de 3 s su velocidad queda reducida a cero. Cuando la velocidad llega a cero, la pelota ha alcanzado su máxima altura y empieza a caer libremente partiendo del reposo. Sin embargo, ahora la velocidad de la pelota va a incrementarse en 32 ft/s cada segundo, ya que tanto la dirección del movimiento como la aceleración de la gra-vedad están en la dirección negativa. Su velocidad después de 4, 5 y 6 s será de —32, —64 y —96 f t/s z, respectivamente. Excepto por el signo, que indica la dirección del movimiento, las velocidades son las mismas a iguales alturas en relación con el piso.

Ejemplo 6.10F

Una pelota de béisbol arrojada verticalmente hacia arriba desde la azotea de un edificio alto tiene una velocidad inicial de 20 m /s. (a) Calcule el tiempo necesario para que alcance la altura máxima, (b) Determine la altura máxima, (c) Determine su posición y su veloci-dad después de 1.5 s. (d) ¿Cuáles son su posición y su velocidad después de 5 s? (Véase la figura 6.7.)

Plan: Elegimos la dirección ascendente como positiva, puesto que la velocidad inicial se dirige hacia arriba. Ello significa que la aceleración será —9.8 m /s2 para todos los incisos. En cada parte del problema adoptaremos la misma estrategia aplicada a los problemas de aceleración en general.

Figura 6.7 Una pelota arrojada verticalmente hacia arriba asciende hasta que su velocidad es cero; entonces cae con creciente velocidad hacia abajo.

6.7 Gravedad y cuerpos en caída libre 125

Solución (a): El tiempo para alcanzar la altura máxima se halla tras reconocer que la velocidad de la pelota será igual a cero en ese punto. Los datos se ordenan como sigue:

Dados: vQ = 20 m /s Encontrar: t = ?

vf = 0 y = 7

g = -9 .8 m /s2

El tiempo requerido para llegar a la altura máxima se determina a partir de la ecuación (2a):

t = V /~ Vp = _ Vq

8

—20 m /s2.04 s

—9.8 m /s2

Solución (b): La altura máxima se halla igualando vf = 0 en la ecuación (la).

vf + v° \ f _2 J 2

20 m/s-(2.04 s) = 20.4 m

z

Solución (c): Para determinar la posición y la velocidad después de 1.5 s debemos esta-blecer condiciones nuevas

Dados: vQ = 20 m /s Encontrar: y = 7

g = —9.8 m /s2

t= 1.5 sv/ = ?

Ahora podemos calcular la posición como sigue:

1 ,y = v0t + - g r

= (20 m/s)(1.5 s) + ~ ( —9.8 m /s2)(1.5 s)2

= 30 m - 11 m = 19 m

La velocidad después de 1.5 s se obtiene con

vf = v o + S t

= 20 m /s + (—9.8 m /s2)(1.5 s)

= 20 m /s — 14.7 m /s = 5.3 m /s

Solución (d): Las mismas ecuaciones se aplican para determinar la posición y la veloci-dad después de 5 s. Por tanto,

1 2

y = v0t + ~ g r

= (20 m/s)(5 s) + ^-(-9 .8 m /s2)(5 s)2

= 100 m — 123 m = —23 m

El signo negativo indica que la pelota se halla a 23 m por debajo del punto de lanzamiento.

126 Capítulo 6 Aceleración uniforme

La velocidad después de 5 s está dada por

vf = v o + S 1

= 20 m /s + (—9.8 m /s2)(5 s)

= 20 m /s — 49 m /s = —29 m /s

En este caso, el signo negativo indica que la pelota se desplaza hacia abajo.

Movimiento de proyectiles

Hemos visto que los objetos lanzados verticalmente hacia arriba o hacia abajo, o que se de-jan caer a partir del reposo sufren una aceleración uniforme en el campo gravitacional de la Tierra. Ahora estudiaremos el caso más general de un cuerpo que se lanza libremente, en una dirección no vertical, en un campo gravitacional, como se observa en la figura 6.8, donde una pelota de fútbol se patea hacia el espacio. En ausencia de fricción, ese movimiento es otro ejemplo de aceleración uniforme o constante.

Figura 6.8 Una pelota de fútbol pateada es un proyectil que se lanza libremente al espacio sólo bajo la in-fluencia de la gravedad. Si se desprecia la resistencia del aire, la única fuerza que actúa sobre ella es su peso.

Un objeto que se lanza al espacio sin fuerza de propulsión propia recibe el nombre de proyectil. Si se desprecia la resistencia ejercida por el aire, la única fuerza que actúa sobre el proyectil es su peso W, que provoca que su trayectoria se desvíe de una línea recta. El pro-yectil experimenta una aceleración constante hacia abajo debido a la fuerza gravitacional que se ejerce hacia el centro de la Tierra; pero difiere de los movimientos estudiados previamente pues, en general, la dirección de la gravedad no coincide con la dirección de la velocidad inicial. Como ninguna fuerza actúa horizontalmente para cambiar la velocidad, la aceleración horizontal es cero; esto produce una velocidad horizontal constante. Por otra parte, la fuerza de gravedad hacia abajo causa que la velocidad vertical cambie uniformemente. Por ende, en condiciones normales el movimiento de un proyectil ocurre en dos dimensiones y debe ser estudiado en esa forma.

| 2 J Proyección horizontal

Si un objeto se proyecta horizontalmente, la mejor manera de describir su movimiento es considerar por separado el movimiento horizontal y el vertical. Por ejemplo, en la figura 6.9 un dispositivo electrónico está ajustado para proyectar al mismo tiempo una pelota horizon-talmente, mientras deja caer otra, desde su posición de reposo, a la misma altura. La veloci-dad horizontal de la pelota proyectada no cambia, como lo indican las flechas, que son de la misma longitud a lo largo de toda su trayectoria. La velocidad vertical, por otra parte, es cero al principio y aumenta de manera uniforme de acuerdo con las ecuaciones que obtuvimos con anterioridad para el movimiento en una sola dimensión. Las pelotas golpearán el piso en el mismo instante, a pesar de que una de ellas se mueve también horizontalmente. Por tanto, los problemas se simplifican en gran medida si se calculan por separado las soluciones para sus componentes horizontal y vertical.