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PROBLEMAS TEMA 5 Curso 2013-14

1. Demostrar: El centro de masa de un sistema de partículas se mueve como si la masa total y la fuerza externa resultante estuvieran aplicadas a ese punto.

2. Determinar las coordenadas del centro de masa de un sistema que consta de una masa de 3 gramos en (1, 0, -1), otra de 5 gramos en (-2, 1, 3) y otra de 2 gramos en (3, -1, 1).

3. Demostrar que si el momento total de un sistema es constante, entonces el centro de masa está en

reposo o en movimiento con velocidad constante. 4. Determinar el centro de masa de una región sólida. 5. Determinar el centro de masa de la región limitada por el plano x + y + z = a y los planos x =0, y = 0,

z = 0. 6. Encontrar el centro de masa de una región semicircular de radio a. 7. Determinar el centro de masa de un hemisferio sólido uniforme de radio a. 8. Demostrar que el momento externo total sobre un sistema de partículas es igual a la variación

temporal del momento angular del sistema. 9. Sean pp y '' vr el vector de posición y velocidad, respectivamente, de la partícula p relativos al

centro de masa. Demostrar que 0'0' p p

pppp vmrm quey

10. Un sólido uniforme está formado por un cilindro de radio a y altura H colocado sobre un hemisferio

de radio a. Demostrar que el sólido estará en equilibrio estable sobre un plano horizontal si y sólo si a/H > 2 .

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13. Dar un conjunto de coordenadas generalizadas necesarias para especificar completamente el movimiento de cada uno de los casos siguientes: (a) una partícula constreñida a moverse sobre una elipse, (b) un cilindro que rueda hacia abajo en un plano inclinado, (c) las dos masas de un péndulo doble constreñidas a moverse en un plano.

14. Una pequeña esfera se desliza sin rozamiento en un alambre liso doblado en forma de cicloide cuya ecuación es x=a(-sen), y=a(1+cos), donde 0 θ 2π . Encontrar la función lagrangiana, (b) la ecuación del movimiento.

15. Estudiar el movimiento de un punto atraído por un plano proporcionalmente a la distancia que lo separa de él (F=z).

16. Una masa M2 cuelga de uno de los extremos de una cuerda que pasa sobre una polea sin rozamiento y que no rota. En el otro extremo de la cuerda hay una polea que no rota de masa M1 sobre la cual pasa una cuerda que porta las masas m1 y m2. (a) Determinar la lagrangiana del sistema. (b) hallar la aceleración de M2.

17. Dos masa iguales M penden de una polea de radio r, mediante un hilo de longitud L. Se ponen en movimiento añadiendo a una de ellas una sobrecarga M. Se suponen despreciables las masas de la polea y del hilo, así como los rozamientos. Calcular las ecuaciones de Lagrange del movimiento.

Z

X

Y

P

F

k

3

M2

m1

m2

X2

x1

X1

x2