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Dictado por: Profesor Aldo Valcarce
2do semestre 2014
Física:
Rotación de un Cuerpo Rígido
FIS109A – 2: Física 2do semestre 2014
Objetivo
En esta sección dejaremos de
considerar a los objetos como
partículas puntuales. En vez,
hablaremos de un cuerpo con masa
(sólido) indeformable (rígido).
Las fuerzas que actúan sobre un
sólido rígido pueden ser diferentes a
lo largo de éste.
Razón: el cuerpo humano o partes
de él no pueden ser representados
por un objeto puntual.
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Sólido Rígido Se define como un cuerpo indeformable, de modo que las posiciones
relativas de las partículas que lo constituyen se mantienen invariables.
Tipos de movimientos
Traslación
Rotación
o ambos
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Movimiento Rotacional
Herramientas Matemáticas
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Objeto Puntual
Movimiento circular uniforme Propiedades: Este objeto tiene una trayectoria circular.
El objeto demora el mismo tiempo en hacer
cada revolución (gira con la misma velocidad angular 𝜔).
Se define el período (𝑇), que es el tiempo de una revolución completa.
La magnitud de la velocidad (rapidez 𝑣) permanece constante.
La velocidad siempre tiene una dirección tangente al círculo (velocidad tangencial 𝑣 𝑡).
La rapidez de un objeto rotando en
un círculo de radio 𝒓 con período 𝑻:
La rapidez angular 𝝎:
𝑣 𝑡 =2𝜋𝑟
𝑇
𝜔 =2𝜋
𝑇
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𝝎
Rotación de un Sólido Rígido Se puede ver un sólido como un conjunto de objetos puntuales inseparables. Ejemplo, un cuerpo rotando en torno a un centro a una
rapidez angular 𝝎.
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𝒙
𝒚
𝒙
𝒚
P P
Q
𝜃1 𝜃0
¿Cuánto vale la longitud del arco entre P y Q?
¿Cuánto vale la longitud del arco entre P y Q?
Si 𝜃 = 2𝜋 hubiese avanzado la longitud del perímetro de la
circunferencia, es decir
𝑠 = 2𝜋𝑅
Con 𝑅 siendo la distancia al centro de rotación.
Ya que sólo avanzó un ángulo 𝜃, la longitud de arco es:
𝑠 = 𝜃𝑅
Definiendo la rapidez 𝒗 =𝒅𝒊𝒔𝒕𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂
𝒕𝒊𝒆𝒎𝒑𝒐
donde 𝝎 =𝜽𝒇−𝜽𝒊
∆𝒕
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𝜽𝒇 = 𝜽𝟎 + 𝜽𝟏 𝜽𝒊 = 𝜽𝟎 𝝎 =𝜽𝟏∆𝒕
En este caso particular:
=∆𝒔
∆𝒕 = 𝑹𝝎
Se define la rapidez angular
Tiene unidades de 𝑟𝑎𝑑
𝑠
Muchas veces se utiliza la unidad de revoluciones por
segundos (rps) o por revoluciones por minuto (rpm)
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𝝎 =𝜽𝒇 − 𝜽𝒊
∆𝒕
1 𝑟𝑝𝑠 = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑
𝑠 1 𝑟𝑝𝑚 =
2𝜋 𝑟𝑎𝑑
60 𝑠
Para pasar de rapidez angular a velocidad angular se
necesita definir un vector que indique el movimiento.
Como la rotación de un cuerpo se hace entorno a un
eje, hay dos posibles sentidos: horario y anti-horario
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El vector unitario que describe a la velocidad angular está
dado por el eje fijo de rotación
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El signo (positivo o negativo)
lo definiremos según cómo
rotemos el objeto
• Horario: Negativo
• Anti-horario: Positivo
𝝎 = 𝝎𝟎𝒛 𝝎 = −𝝎𝟎𝒛
𝝎𝒎𝒆𝒅𝒊𝒂 =𝜽𝒇 − 𝜽𝒊
∆𝒕𝒏
donde 𝒏 es el vector unitario que define el eje
de rotación (puede obtenerse con la regla de la
mano derecha).
Regla de la mano derecha
Si la mano derecha se cierra
sobre el eje de rotación como
se muestra en la figura:
- 4 dedos (todos menos el
pulgar) apuntan en el
sentido de la rotación.
- El pulgar indicará el sentido
de la velocidad angular a lo
largo del eje de rotación.
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Sentido de la rotación
Sentido de la velocidad angular
Al igual que en el movimiento rectilíneo, si el intervalo de tiempo es
muy corto, definimos la velocidad angular instantánea como:
𝜔 = lim∆𝑡→0
𝜃𝑓 − 𝜃𝑖∆𝑡
𝑛
La rapidez angular es el módulo de la velocidad angular instantánea,
por ende es siempre positiva.
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Velocidad angular instantánea
Aceleración Angular
Si la velocidad angular cambia en el tiempo, podemos definir una
aceleración angular:
Notar que si la rotación no cambia de eje,
la aceleración angular está descrita por
el mismo vector unitario 𝒏
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𝛼 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 =𝜔𝑓 −𝜔𝑖
∆𝑡
𝛼 = lim∆𝑡→0
𝜔𝑓 −𝜔𝑖
∆𝑡
Aceleración angular media
Aceleración angular instantánea
La aceleración angular es positiva si la rotación va acelerando
La aceleración angular es negativa si la rotación va frenando.
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Un cuerpo se está
acelerando si ambos
velocidad y aceleración
apuntan en el mismo
sentido.
Un cuerpo se está
frenando si ambos
velocidad y aceleración
apuntan sentidos
opuestos.
Rotación con aceleración angular constante
Al igual que en movimiento rectilíneo:
El gráfico velocidad angular vs tiempo
es una línea recta.
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𝜶 =𝝎 𝒕 − 𝝎𝒊
𝒕
𝝎 𝒕 = 𝝎𝒊 + 𝜶 𝒕
El signo va en los parámetros 𝜔, 𝛼, 𝜔𝑖 según el sistema de referencia.
𝜶𝒎𝒆𝒅𝒊𝒂 =𝝎𝒇 −𝝎𝒊
∆𝒕
Si la ecuación para la velocidad angular es lineal con el tiempo, se
tiene:
que usando en la definición de velocidad angular media
eliminando 𝝎𝒇 = 𝝎(𝒕) con la ecuación de la aceleración angular
constante 𝝎 𝒕 = 𝝎𝟎 + 𝜶 𝒕 se llega a la ecuación de movimiento
angular para 𝜶 = 𝒄𝒕𝒆.
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Rotación con aceleración angular constante
𝝎𝒎 =𝟏
𝟐(𝝎𝒊 +𝝎𝒇)
𝝎𝒎 =𝜽𝒇 − 𝜽𝒊
𝒕
𝟏
𝟐𝝎𝒊 +𝝎𝒇 =
𝜽𝒇 − 𝜽𝒊
𝒕
𝜽 𝒕 = 𝜽𝒊 +𝝎𝒊𝒕 +𝟏
𝟐𝜶 𝒕𝟐
Donde se ha reemplazado 𝜽𝒇 = 𝜽 𝒕
Realizando el mismo procedimiento que para el caso de un movimiento
rectilíneo acelerado para obtener la ecuación:
Se puede llegar a:
Rotación con aceleración angular constante
𝑣𝑓2 = 𝑣𝑖
2 + 2𝑎 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖
𝝎𝒇𝟐 = 𝝎𝒊
𝟐 + 𝟐𝜶 𝜽𝒇 − 𝜽𝒊
𝜃𝑓 − 𝜃𝑖 =1
2𝜔𝑖 + 𝜔𝑓 × 𝑡
𝜔𝑓 = 𝜔𝑖 + 𝛼 × 𝑡
𝜃𝑓 − 𝜃𝑖 = 𝜔𝑖 × 𝑡 +1
2𝛼 × 𝑡2
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𝜔𝑓2 = 𝜔𝑖
2 + 2𝛼 𝜃𝑓 − 𝜃𝑖
Ecuaciones de movimiento angular para 𝜶 cte
Ejercicio
Al terminar de ver una película el disco DVD comienza a detenerse. Si la velocidad angular inicial del disco es 𝜔0 = 27 𝑟𝑎𝑑/𝑠 y su aceleración angular es constante igual a
𝛼 = −10𝑟𝑎𝑑
𝑠2 responda:
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a) ¿Qué velocidad angular tiene el disco cuando han pasado 0.5 s desde
que comenzó a detenerse?
b) ¿Qué ángulo hace el segmento PQ con el eje x cuando han transcurrido
los 0.5s?
c) ¿Cuánto tiempo demora en detenerse el disco?
d) ¿Cuantas revoluciones ha dado desde que comienza a detenerse hasta
que se detiene por completo?
Resumen
Sólido Rígido
Rapidez, Velocidad y Aceleración Angular
Ecuaciones de movimiento angular para 𝛼 cte
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𝜃𝑓 − 𝜃𝑖 =1
2𝜔𝑖 + 𝜔𝑓 × 𝑡
𝜔𝑓 = 𝜔𝑖 + 𝛼 × 𝑡
𝜃𝑓 − 𝜃𝑖 = 𝜔𝑖 × 𝑡 +1
2𝛼 × 𝑡2
𝜔𝑓2 = 𝜔𝑖
2 + 2𝛼 𝜃𝑓 − 𝜃𝑖
