INTRODUCCIÓN

El momento de inercia es una propiedad geométrica de una superficie o área que representa la distancia de un área con respecto a un eje dado. Se define como la suma de los productos de todas las áreas elementales multiplicadas por el cuadrado de las distancias a un eje. Tiene unidades de longitud elevada a la cuatro (longitud 4) .Es importante para el análisis de vigas y columnas, porque el diseño del tamaño de estos elementos está relacionado con el momento de inercia, ya que el momento de inercia define la forma apropiada que debe la sección del elemento estructural.

El centroide representa el punto donde se ubica la resultante del peso de un objeto, además esta posición representa un movimiento simple de un objeto al contrario si se analiza el objeto completo donde cada punto presenta un movimiento más complejo.

El centroide es proporcional a la ubicación del área asociada. Por otra parte, tenemos una medida denominada momento de inercia que no depende solamente de la ubicación del área sino de la distancia hasta un eje dado. Este trabajo se realiza con la finalidad de tener más conocimiento sobre el momento de inercia la cual se seguirá hablando del mismo.

MOMENTO INERCIA

OBJETIVOS:

Determinación experimental de los momentos de inercia con el método de oscilación de diferentes cuerpos respecto a sus ejes de simetría: cilindro macizo y cilindro hueco.

Verificar experimentalmente la validez del teorema de Steiner.

MATERIALES:

Un (01) cilindro de madera macizo Un (01) cilindro metálico hueco Un (01) Plato de asiento de metal para los cilindros macizos y hueco Un (01) Eje de torsión Un (01) Trípode (base para eje de torsión) Un (01) Disco de metal Un (01) cronometro Una (01) wincha Un (01) vernier o pie de rey

FUNDAMENTO TEORICO:

Cuando un sólido rígido se encuentra girando en torno a un eje fijo, la ecuación fundamental de la dinámica viene dada por:

Donde M es el momento resultante de las fuerzas externas respecto al eje de giro, I es el momento de inercia del sólido respecto a dicho eje y α la aceleración angular del sólido. Por otro lado, el momento, M, ejercido por un resorte espiral en el rango de deformación elástica, cumple la ley de Hooke:

Donde D es la constante de recuperación angular del resorte y φ la deformación angular del mismo. Así, para un sólido rígido sometido a la acción de dicho resorte, sustituyendo la expresión (2) en la ecuación (1) y pasando los dos términos al primer miembro, tendremos:

Que corresponde a la ecuación de un movimiento armónico simple. En la expresión, anterior el coeficiente D/I es igual al cuadrado de la frecuencia angular y por tanto, el período de oscilación, T:

Esta última relación nos permitirá calcular el momento de inercia, I, conociendo los valores del período de oscilación, T, y de la constante elástica del resorte, D.El teorema de Steiner nos da la relación existente entre el momento de inercia de un sólido rígido respecto a un eje que pase por un punto cualquiera del sólido, IA , y el

momento de inercia del sólido respecto a un eje, paralelo al anterior, que pase por su centro de masas, IG:

Donde m es la masa del sólido y d la distancia entre ambos ejes.

FIGURA Nº 1: Ejes principales de cuerpos simétricos

PROCEDIMIENTO:Determinación experimental del momento de inercia de un cilindro macizo:

1. Coloque el cilindro macizo en el soporte de oscilación giratoria y mida con el cronómetro el tiempo que tarda en realizar 5 oscilaciones en torno a su eje de simetría. Para ello, gire el cuerpo una vuelta (360º), en el sentido de compresión del resorte y suéltelo.2. Realice la medida anterior un total de 4 veces y anótelas.

Determinación experimental del momento de inercia de un cilindro hueco:3. Coloque ahora el cilindro hueco en la plataforma de oscilación giratoria y, siguiendo

el mismo procedimiento que en el apartado anterior, mida el tiempo que tarda en realizar 5 oscilaciones.

Comprobación experimental del teorema de Steiner:

4. Coloque en el soporte de oscilación giratoria, el disco taladrado, de forma que éste oscile en torno al eje que pasa por su centro de masas y determine el tiempo que tarda en realizar 5 oscilaciones. Para ello, siga el mismo procedimiento que en los apartados anteriores.5. Coloque ahora el disco de forma que oscile en torno a otro eje de rotación paralelo al anterior, para ello, sitúe el eje en otro orificio de los que dispone el disco (preferible uno de los próximos a la periferia) y siguiendo el procedimiento ya descrito, determine el tiempo que tarda en realizar 5 oscilaciones.

ACTIVIDAD:

Considerar la Constante elástica del resorte: D = 0.025 N.m/radA) Determinación experimental del momento de inercia de un cilindro macizo:Masa:Radio:Nº de oscilaciones:

TABLA N° 1: Medidas de tiempos cilindro macizo

B) Determinación experimental del momento de inercia de un cilindro hueco:Masa:Radio Exterior:Radio Interior:N0 de oscilaciones:

TABLA N° 2: Medidas de tiempos cilindro hueco

C) Comprobación experimental del teorema de Steiner:Masa:Radio:Nº de oscilaciones:Eje que pasa por el orificio central:

TABLA N° 3: Medidas de tiempos disco taladrado

D) Cálculos:1. Momento de inercia del cilindro macizo.a) Calcule el período de oscilación, T.b) Teniendo en cuenta la ecuación (4), calcule el valor del momento de inercia del cilindro macizo.c) Calcule, también, el valor del momento de inercia del cilindro macizo a partir de la expresión teórica

2. Momento de inercia de cilindro HuecoRepita los mismos pasos que en el caso anterior, teniendo en cuenta, para el cálculo teórico (c), que el momento de inercia de un cilindro hueco respecto a su eje de simetría es:

3. Comprobación experimental del teorema de Steinera) Siguiendo el mismo método que en los apartados anteriores determine el momento de inercia del disco taladrado respecto al eje que pasa por su centro de masas, G I , y el momento de inercia respecto a un eje paralelo al anterior, A Ib) Compruebe que se verifica el teorema de Steiner, ecuación (5).

CUESTIONARIO:

1. ¿En cuales casos de la ecuación (1) se pueden considerar el momento resultante M constante? Anote usted algunos ejemplos.

Para que M sea constante; se pueden considerar en 2 casos: y I constante  para que I sea constante debemos de trabajar con sólidos rígidos ya que estos no demostraran deformación alguna al momento de realizar la rotación angular.  Alfa constante, para lograrlo, se debe tener una fuerza externa constante, que permita una aceleración angular constante. Se puede considerar el momento resultante constante cuando la aceleración y la inercia del cuerpo varían proporcionalmente.

Ejemplo: podría ser el molino de viento.

2. ¿Si en un experimento obtenemos I constante, podríamos entonces deducir que wes también constante? Fundamente su respuesta.

No porque puede variar w, el radio. Incluso la masa de manera de que el momento de inercia sea constante al variar w.Si se obtiene que la inercia es constante sólo puedes deducir o que su densidad es homogénea y por tanto su masa no varía o que el radio o distancia con respecto a la cual tomas la inercia se mantiene constante.

No puedes deducir directamente que W es constante también porque W=V/R, entonces sólo podrías tomar W constante en caso de que el radio se mantenga igual y la velocidad no varíe del resto con estos datos no puedes concluir nada respecto a W.

Hay sistemas como bobinadores o rebobinadores donde varía masa velocidad angular y diámetro y sin embargo el momento de inercia es casi constante.

3. Explique por qué al cambiar el eje de rotación de un objeto cambia su momento de inercia.

El momento de inercia depende fundamentalmente de la distribución de masa alrededor del eje. Evidentemente, si la pieza rota alrededor de otro eje de giro, la distribución no será la misma de antes, y por lo tanto, tampoco su momento de inercia. Un mismo cuerpo puede tener muchos momentos de inercia diferentes; el número de estos será mayor cuanto más asimétrico sea el cuerpo en cuestión. El momento de inercia de un disco, por ejemplo es ½ m r² si el eje es perpendicular a las superficies mayores (caras) del disco, pasando por su centro; pero si el eje es paralelo a las caras, entonces el momento de inercia tendrá la mitad de ese valor.

4. Un objeto debe estar rotando para tener un momento de inercia diferente de cero?

Sabemos que cuando un cuerpo rígido no está en movimiento (rotación) su energía cinética será cero porque el cuerpo no se mueve. Un objeto en movimiento, ya sea de traslación o de rotación, tiene tendencia (inercia) a continuar en movimiento.

5. Dos cilindros que tienen las mismas dimensiones se ponen a rotar en torno a sus ejes largos con la misma velocidad angular. Uno es hueco y el otro está lleno de agua. ¿En cuál cilindro será más fácil detener la rotación?

MOMENTOS PRINCIPALES DE INERCIA DE UN CILINDRO HOMOGENEO DE MASA M, RADIO R Y ALTURA L, El momento de inercia I respecto al eje de simetría del cilindro se puede calcular directamente, mientras que los otros dos momentos, iguales, I x e I y, pueden

calcularse a partir del momento de inercia de un disco con respecto a un eje diametral y aplicando el Teorema de Steiner, se calcula con respecto a un eje paralelo por el centro de masas del cilindro.

6. Describa usted el movimiento de la tierra con respecto a su momento y velocidad angular.

El movimiento de rotación de la Tierra alrededor de un eje diametral no es tan uniforme como aparenta el sucesivo cambio de días y noches. A lo lar o de muchos años se pudo observar que la dirección del eje de rotación efectúa un giro (como el de una peonza); este giro, tiene un período de 26.000 años, es decir, que si ahora la prolongación del eje de la Tierra pasa junto a la estrella Polar (en la constelación de la Osa Menor), En total se le podrían contar hasta diez movimientos distintos a la Tierra; pero sin lugar a dudas los principales son el de traslación alrededor del Sol (que da lugar al año), el de rotación sobre la misma (da lugar a días y noches) y los ya citados de precesión y nutación, aunque estos dos en menor grado de importancia. La inercia en el movimiento de traslación depende Únicamente de la masa del objeto.

Cuanto mayor sea la masa mayor es la inercia. Así cuesta más poner en movimiento o parar un camión que un coche. La inercia a la rotación depende no solo de la masa del objeto sino también, de cómo este distribuida esta con respecto al eje de giro. Cuanto mayor sea la masa mayor es la inercia. Cuanto más alejada está la masa del objeto, del eje de giro, mayor es la inercia.

El momento de inercia, se define de tal manera que combina ambos efectos, el de la masa y el de su distribución en torno al eje de giro. Cuanto mayor es el momento de inercia de un objeto, mayor es su inercia a la rotación. El momento de inercia es un parámetro muy importante en el estudio del movimiento de la Tierra.

7. Deducir la energía cinética de rotación de un cuerpo rígido con respecto a un eje principal.

Momento angular de un solido rígido:

Las partículas de un solido rígido en rotación alrededor de un eje fijo describen circunferencias centradas en el eje de rotación con una velocidad que es proporcional al radio de la circunferencia que describe:

Vi=w*ri

En la figura se muestra, el vector momento angular Li de una partícula de masa (mi) cuya posición está dada por el vector posición (ri) y que describe una circunferencia de radio R con velocidad Vi.

RECOMENDACIONES:

Fijarse bien al momento de controlar las vueltas de los objetos y el tiempo en la que las hace, porque sino el resultado experimental será mucho mayor o menos al resultado teórico.

Redondear los decimales a solo tres cifras para una mayor facilidad al remplazar los datos en las formulas dadas por el profesor.

Usar los materiales con mayor precisión, ya que en esa cuestión tendremos mayor eficacia a la hora de la demostración.

CONCLUSIONES

Los resultados obtenidos tuvieron un margen de error debido al margen de fuerza y rozamiento.

Se pudieron comprar dos momentos de Inercia, la Experimental y la referencial.

Se pudieron comparar dos métodos para hallar la inercia de los cuerpos: Por medio de la relación de sus radios y sus masas.

El momento angular es un concepto importante en física, ya que bajo ciertas condiciones es una cantidad que se conserva. Un cuerpo rígido, es aquel en el que sus partículas no cambian de posición y no sufre deformaciones por alguna fuerza externa. Cuando se aplica una fuerza a un cuerpo rígido alrededor de un eje el objeto tiende a rotar alrededor de dicho eje. A esta tendencia se le llama torca, la cual es una cantidad vectorial y aumenta conforme F y d lo

hacen. Durante la práctica, la torca sobre el cuerpo alrededor del eje de rotación fue proporcional a la aceleración angular experimentada por el objeto, siendo el momento de inercia el factor de dicha proporcionalidad y el cual depende deleje de rotación y del tamaño de la forma y del objeto. Nuestros resultados no tuvieron tanta precisión requerida ya que el hilo se rompió durante la práctica y esto perjudico nuestras mediciones.

Cuando se tiene una torca nula sobre el cuerpo y se encuentra rotando respecto a un eje fijo o respecto a un eje en su centro de masa, su dirección no cambia. A esto se le conoce como momento angular; y dice que: “el momento angular total de un cuerpo en rotación permanece constante si la torca total externa que actúa sobre él es cero”.

En conclusión podemos decir que el momento de inercia, es similar a la inercia, excepto en que se aplica a la rotación más que al movimiento lineal. La inercia es la tendencia de un objeto a permanecer en reposo o a continuar moviéndose en línea recta a la misma velocidad.

OBSERVACIONES:

Al momento de comprobar el teorema de Steiner tendremos que tomar los datos de los radios con mayor precisión.

No jugar, con los materiales de clase, ejm: al momento de girar el resorte en contra del movimiento, el resorte tiende a estirarse mucho y a deformarse.

Medimos los radios internos y externos de cada material usado.