CONCRETO ARMADO I

ING. MARDONIO EUSCATIGUE ASENCIOS

ESPECIFICACIONES ACI

Una especificación es un conjunto de reglas que tienen por objeto obtener una estructura segura y estable en el tiempo.

Los “Requisitos de Reglamento para el Concreto Estructural” del Instituto Americano del Concreto (ACI 318) consideran dos filosofias:

• “Diseño por Esfuerzos Permisibles” – ASD (Allowable Stress Desing)

• “Diseño por Resistencia Ultima – USD (Ultimate Strength Desing).

Los estados límites se dividen en 2 categorías: Resistencia y Servicio.

• 1) El primer estado se asocia a la máxima resistencia para los requerimientos estructurales al que va a estar sometida la estructura.

• 2) El segundo estado se asocia con la funcionalidad de la estructura (deformaciones).

USD, se resume en: Ø Rn i Qi Donde: Ø : Factor de reducción de resistencia

Rn : Resistencia nominal o teórica• Ø Rn : Resistencia de diseño del elemento o sistema estructural

i : Factor de amplificación de cargaQi : Tipo de carga considerado

• i Qi : Requerimiento o solicitud estructural esperado

• La expresión: i Qi, en realidad precisa las combinaciones de carga que pueden interactuar sobre un sistema estructural de acuerdo a las consideraciones adoptadas por el diseñador.

• Fórmula Combinación de CargaUSD

• 9-1 1.4(D + F)• 9-2 1.2(D+F+T) + 1.6(L+H) + 0.5 (S ó Lr ó R)• 9-3 1.2 D + 1.6 (Lr ó S ó R) + (0.8 W ó 1.0 L)• 9-4 1.2 D + 1.6 W + 1.0 L + 0.5 (Lr ó S ó R)• 9-5 1.2 D + 1.0 E + 1.0 L + 0.2S• 9-6 0.9 D + 1.6 W + 1.6 H• 9-7 0.9 D + 1.0 E + 1.6 H

D: Carga muerta, L: Carga viva interior, Lr: Carga viva en techo, T: Carga debida a las variaciones de temperatura, S: Carga de nieve, R: Carga por lluvia en techos planos cuando falla desague, W: Carga de viento, E: Carga de sismo, F: Carga debido al peso y presión de fluidos, H: Carga debida al peso y presión de suelos.

Por efecto del diseño estructural debe considerarse la combinación de cargas que genere el mayor resultado (mayor requerimiento estructural), teniendo presente que la resistencia de diseño sea igual o mayor que dicho requerimiento.

ANALISIS Y DISEÑO POR FLEXIÓN:

Hipótesis para determinar la resistencia nominal a flexión

El concreto no podrá desarrollar una fuerza de comprensión mayor a la de su

resistencia f´c.

El concreto tiene un resistencia a la tracción muy pequeña y que se agrieta

aproximadamente cuando esta alcanza un 10% de su resistencia f´c , por lo que se

omite en los cálculos de análisis y diseño y se asume que el acero toma toda la

fuerza total en tracción.

La relación esfuerzo-deformación del concreto se considera lineal sólo hasta

aproximadamente el 50% de su resistencia.

Prevalece la hipótesis de Bernoulli en la que las secciones planas antes de la

flexión permanecen planas y perpendiculares al eje neutro después de la flexión.

La deformación unitaria del concreto en la rotura es: cu = 0.003

La distribución real de los esfuerzos en la sección tiene una forma parábolica.

Whitney propuso que esta forma real sea asumida como un bloque rectangular cuyas

características se muestran en la figura.

El valor de 1 es 0.85 si la resistencia del concreto f´c es menor que 280 kg/cm2. Si este

no es el caso, 1 disminuirá en 0.05 por cada incremento de 70 kg/cm2 en la

resistencia del concreto, no siendo su valor menor a 0.65.

El código ACI ha adoptado como un valor límite de seguridad una deformación

unitaria máxima del concreto de 0.003, para el cual el concreto falla.

c = 0.003

70

280f´0.050.85β c

1

VIGA SIMPLEMENTE REFORZADA:

Si hacemos el equilibrio en la sección tenemos lo siguiente:

Cc = T

0.85 f’c ba = Asfs

De lo anterior, se concibe tres tipos de falla, en una sección de viga simplemente

reforzada.

1. Se conoce como falla dúctil cuando el acero en tracción ha llegado primero a su

estado de fluencia antes que el concreto inicie su aplastamiento en el extremo

comprimido; o sea cuando en la falla s > y donde y es el valor de la deformación

para el cual se inicia la fluencia del acero.

2. Se conoce como falla balanceada si simultáneamente se inicia la fluencia del

acero y el aplastamiento del concreto, es decir cuando en la falla ocurre que s =

y.

b f' 0.85f A

ac

ss

3. Se conoce como falla frágil si primeramente se inicia el aplastamiento del

concreto antes que el inicio de la fluencia del acero en tracción, es decir cuando

en la falla s < y.

c f’c 0.85 f’c

cc

(d – a/2)

T = As fsT = As fs

cca = 1c

s

EjeNeutro

h

b

d

c

Sección transversal de viga

Diagrama de DeformaciónUnitaria

Esfuerzos realesEn la sección

Esfuerzos equivalente

CUANTÍA DEL ACERO EN TRACCIÓN:

Definimos como cuantía del acero en tracción (p):

Y, se define como cuantía mecánica o índice de refuerzo a:

bd

As

c

y

f'

fρω

CONDICIÓN DE FALLA BALANCEADA:

Determinaremos el valor de la cuantía para la cual la sección se encuentra en la falla balanceada, por lo que existirá un valor de As, a, c para el estado balanceado.

De la figura tenemos:

Haciendo el equilibrio, Cc = T, y despejando As tenemos:

c = 0.003

y

EjeNeutro

d

cb

Diagrama de DeformaciónUnitaria

)d(0.003

0.003C

0.0030.003

dc

yb

y

b

Conocemos que el valor del módulo de elasticidad del acero es: Es = 2 x 106, entonces:

bc

ba

dyfb

c

tenemosreemplazoelEfectuando

y

*

)(6000

6000

:

610 x 2

yf

sEy

f

1

Donde cb: Distancia del eje neutro a la fibra extrema en comprensión en una sección

con cuantía balanceada.

yy

c1b f6000

6000ff'

0.85βρ

ANÁLISIS DE SECCIONES DE VIGA CON FALLA DÚCTIL:

Partiendo de nuestra expresión de equilibrio tenemos:

Cc = T, donde fs = fy

0.85 f’c ba = As fy

Tomando momentos respecto a un eje que pasa por el centroide del acero tenemos:

Mn = As fy (d - a/2)

Mu = Mn = As fy (d - a/2)

Donde es el factor de resistencia que para vigas su valor es 0.9.

b f' 0.85

f Aa

c

ys

DISEÑO POR FLEXIÓN:

Para el diseño por flexión debemos saber que el tipo de falla deseable es la falla dúctil con la cual la sección ha desarrollado grandes deformaciones.

El Código ACI da los límites de cuantía para el diseño:

• Cuantía Máxima:

máx = 0.75 b

Para zona sísmica se tomará como cuantía máxima el valor de 0.5 b

• Cuantía Mínima:

Se tomará el valor mayor de las dos siguientes expresiones:

Donde f’c y fy están en kg/cm2.

f

f'0.8ρ

f14

ρy

cmin

ymin

• Dimensionamiento de una viga:

Teniendo estas consideraciones, seleccionamos un valor para la cuantía con el cual

dimensionaremos la sección:

Sabemos:

Luego: Mu = Mn = As fy (d - a/2)

Finalmente: Mu = bd2 f’c (1 - 0.59 )

Esta última expresión es la expresión de dimensionamiento, donde los valores

desconocidos so “b” y “d”, los cuales el diseñador escogerá apropiadamente.

bf'*0.85

fA*

21

df'f'

fbdρφM

c

ysc

c

yu

c

y

c

ys

f'

fρω;

bf'0.85

fAa

• Cálculo del Acero:

a. Proceso Iterativo:

Una vez dimensionada la sección, el cálculo del acero se efectuará simplemente haciendo una iteración entre las siguientes dos expresiones:

Se sugiere como primera aproximación que “a” sea igual a “d/5”.

b. Calculando la cuantía mecánica, usando la expresión:

Mu = f’c bd2 (1 - 0.59 )

Hallamos , luego:

bf' 85.0

fAa

)2/ad(f M

A

c

ys

y

us

9.0;bdA

ff'

s

y

c

ANÁLISIS DE SECCIONES SOBRE REFORZADAS : S < Y

Aunque no es de nuestro interés las secciones de viga sobre reforzadas, presentamos en esta sección el análisis para fines académicos.

De la figura tenemos:

c = 0.003

s

EjeNeutro

d

c

Diagrama de DeformaciónUnitaria

cc)-(d

003.0c

c)-(ds

c

s

Sabemos que:

fs = Es s = 2 x 106 s

Efectuando el reemplazo tenemos:

:,

)/(a

a)-d(6

)/(a

a)-d(6000

21

21

tenemosTCcequilibrioelHaciendo

cmtff

cmkgff

ys

ys

0.85 f’cba = As fs ’ reemplazando fs:

0.85 f’cba2 = 6As 1d - 6As a

Ordenando los términos tenemos: 0.85 f’cba2 + 6As a - 6As 1d = 0

Donde f’c esta en t/cm2, si resolvemos la ecuación cuadrática obtenemos el valor de “a” con el cual obtenemos el valor del momento último resistente.

Mu = As fs (d - a/2)

APLICACIONES:

Análisis de flexión de una sección simplemente reforzada

APLICACIÓN Nº 01:

Se tiene una viga de sección rectangular, mostrada en figura, con f’c = 280 kg/cm2

determine si la sección de viga está sobreforzada o subreforzada, y si satisface los

requerimientos del código ACI 318 para cuantías máximas y mínimas para:

a) fy = 4200 kg/cm2 y

b) fy = 2800 kg/cm2

50.0

25.0

rn

e

As = 61’’

3/8

Solución:

varilla.ladeDiámetro

cm.0.953/8stribodelDiámetro

4cm.:problemaelparanto;Recubrimier

2rhd:Donde

cm30.425.07*6*16A

0.028342006000

6000*

4200280

*0.85 *0.85ρ

f60006000

ff'

0.85βρ

4200kg/cmf,kg/cm280f'a)

v

e

n

ven

2s

b

yy

c1b

2y

2c

e

frágil).zado(fallaSobrerefor

:tantoporρρquetieneSe

0.029541.24*25

30.42bdA

ρ

41.24cm.

2.54/22.540.95450d

b

s

cumpleNoρρ

Conformeρρ

0.0033420014

f14

ρ

0.00324200

2800.8

f

f'0.8ρ

0.0212ρ0.75ρ

Cuantía de Requisitos

máx

mín

ymín

y

cmín

bmáx

).Conforme" No Diseño("

ACIdel cuantía de ntosrequerimie los con cumple No

Dúctil)(FalladosubreforzaSección

:portantoρρTenemos

0.0295bdA

ρ

0.85;β0.0493f6000

6000ff'

0.85βρ

kg/cm2800f,kg/cm280f'b)

b

s

1yy

c1b

2y

2c

Conformeρρ

Conformeρρ

0.005280014

f14

ρ

0.00484200

2800.8

f

f'0.8ρ

0.0369ρ0.75ρ

Cuantía de Requisitos

mín

máx

ymín

y

cmín

bmáx

No

APLICACIÓN Nº 02:

Para la sección de la viga que se muestra, calcular el momento nominal con fy = 4200

kg/cm2 y:

a) f’c = 210 kg/cm2;

b) f’c = 350 kg/cm2 y

c) f’c = 630 kg/cm2.

Solución:

Calculamos la cuantía de la sección, d = 40 – (4 + 0.95 + 2.54/2) = 33.78 cm.

40.0

30.0

As = 41’’

3/8

a/2);(dfAM :Luego

reforzada-subSección

:por tantoρρTenemos

0.021342006000

6000*

4200210

*0.85*0.85ρ

kg/cm4200f,kg/cm210f'a)

f60006000

f

f'0.85*βρ:además

0.02033.78*305.07*4

bd

Aρ

ysn

b

b

2y

2c

yy

c1b

s

mt22.0M

0.159/2)(0.338*4.2*20.28M

cm.15.9130*0.21*0.85

4.2*20.28a

bf'0.85

fAa

n

n

c

ys

Conforme. es No Diseño elACI al acuerdoDe

Conforme.Noρρ

Conformeρρ

0.00334200

14

f

14ρ

0.00284200

2100.8

f

f'0.8ρ

0.0159ρ0.75ρ

Cuantía de Requisitos

máx

mín

ymín

y

cmín

bmáx

mt73.24M

)2/0954.0338.0(*2.4*28.20M

cm54.930*35.0*85.0

2.4*28.20a

)2/ad(fAMn

;b'f85.0

fAa:Luego

REFORZADA-SUB:tantoporρ020.0ρTenemos

0.0333ρ

420060006000

*4200350

*85.0*80.0ρ

kg/cm0042f,kg/cm350f'b)

n

n

ys

c

ys

b

b

b

2y

2c

Conforme. es Diseño el ACIal acuerdoDe

Conforme.ρ020.0ρ

Conformeρ020.0ρ

0.0033420014

f14

ρ

0.003564200

3500.8

f

f'0.8ρ

0.0250ρ0.75ρ

Cuantía de Requisitos

máx

mín

ymín

y

cmín

bmáx

24.03504200

*0.020f'

fρ

c

y

Puede usarse para la condición subreforzada la expresión:

Mn = bd2 f’c (1 – 0.59 )

Donde,

Mn = 0.30 * 33.782 * 0.35 * 0.24 * (1 - 0.59 * 0.24) = 24.7 t-m

c) f’c = 630 kg/cm2, fy = 4200 kg/cm2

1 = 0.60

b = 0.045

Tenemos = 0.020 < b por tanto: SUB-REFORZADA

42006000

6000*

4200630

*85.0*60.0ρb

mt53.26M

)2/053.0338.0(*2.4*28.20M

cm30.530*63.0*85.02.4*28.20

a

)2/ad(fAM;b'f85.0

fAa

:Luego

n

n

ysnc

ys

Conforme. es Diseño el ACIal acuerdoDe

Conformeρ020.0ρ

Conformeρ020.0ρ

0.0033420014

f14

ρ

0.004784200

6300.8

f

f'0.8ρ

0.0338ρ0.75ρ

Cuantía de Requisitos

máx

mín

ymín

y

cmín

bmáx

Discusión de resultados

Fc = 210 kg/cm2; Mn = 22.0 t-m Mn = Mno

Fc = 350 kg/cm2; Mn = 24.73 t-m Mn = 1.12 Mno

Fc = 630 kg/cm2; Mn = 26.53 t-m Mn = 1.21 Mno

La calidad del concreto no influye en forma significativa en el valor del momento

nominal.

APLICACIÓN Nº 03:

Para la sección de la viga que se muestra en la figura determine el momento

nominal, indicando el tipo de falla.

f’c = 280 kg/cm2;

fy = 4200 kg/cm2 y

Solución:

0283.042006000

6000*

4200280

*85.0*85.0ρ

cm/kg280'fpara85.0

f60006000

f'f

85.0ρ

b

2c1

yy

c1b

50.0

25.0

As = 6Nº 8

3/8

As = 61’’ = 6 * 5.07 = 30.42 cm2

d = 50 – (4 + 0.95 +2.54 +2.54/2) = 41.24 cm

Se tiene > b , por lo tanto:

Sección Sobre Reforzada (falla frágil).

Del diagrama de deformaciones unitarias:

0295.024.41*25

42.30bdA

ρ s

)/(6

)/(/102

003.0

21

223

cmtfaad

f

cmtfcmtxEf

ccd

ccd

ys

yssss

sc

s

c = 0.003

s

EjeNeutro

d

c

Haciendo el equilibrio Cc = T, tenemos:

0.85 f’c ba = As fs , reemplazando fs:

0.85 f’c ba2 = 6As 1 d – 6 As a

Ordenando los términos tenemos:

0.85 f’c ba2 + 6As a – 6As b1d = 0

0.85 * 0.28 * 25a2 + 6 * 30.42a –

6 * 30.42 * 0.85 * 41.24 = 0

Resolviendo: a = 20.86cm

Luego: Mn = As fs (d – a/2)

Mn = 30.42 * 4.08 (0.4124 -0.2086 / 2) = 38.24 t-m

22s /2.4/08.4

86.20)86.2024.41*85.0(

6f cmtfcmt y

APLICACIÓN Nº 04:

Diseñar la viga en voladizo que se muestra en la figura. Para el dimensionamiento de

la sección rectangular considere una cuantía no mayor de 0.5 b se conoce WD = 1.84

t/m, WL = 0.75 t/m, b = 0.40 m, f’c = 350, fy = 2800 kg/cm2.

Solución:

2318.0f'

fρ0290.0ρ5.0ρ

0580.0f6000

6000f'f

85.0*ρ

mt89.2025.3

*41.3M

m/t41.375.0*6.184.1*2.1W

:Iterativo proceso a)

c

yb

yy

c1b

2

u

u

3.5 m

wu

suficienteEscm42.6acm27.27A

cm45.640*35.0*85.0

8.2*40.27b'f85.0

fAa

cm40.27)62.33*9.0(2800*9.0

10*89.20)2/ad(f

MA

cm62.33dcm40h:Usar

cm16.352/86.295.0478.28h

cm78.28d56.828d

)2318.0*59.01(2318.0*d40*350*9.010*89.20

)59.01(bd'fM

2s

c

ys

25

y

us

2

25

2cu

2

2

2

2u

22

58.25,021.0

17.059.015.0

)59.01(62.33*4.0*35.0*9.089.20

)59.01('M

:exp)

.4044.3586.2*486.2*595.0*22*4

)10.32cm6.42*(59 Nº 5:Usar

cmA

bdf

mecánicacuantíaladeresiónlaUsandob

cmbb

cm

s

c

mín