27

11.- LA FLEXIN SIMPLE. LO MS FCIL?

La Figura 11.1 muestra el ajuste de la frmula dedimensionamiento del ACI-318 con el resultado de msde doscientos ensayos de vigas. Como puede verse, ladispersin es razonablemente baja. En realidad lasfrmulas empleadas por todos los reglamentos presentanbuen ajuste con los resultados experimentales.Podramos pensar entonces que hay acuerdo generalsobre la expresin a utilizar y que esta frmula se habraconsolidado al principio mismo del tratamiento tericodel hormign armado dado que los ensayos realizadoscon el correr de los aos no aportaron nada nuevo a losrealizados en los primeros tiempos.

La realidad demuestra locontrario.

En la Figura 11.2 seaprecia la evolucin en eltiempo de los diagramas que seutilizaron en los Estados Unidosde Norteamrica pararepresentar el comportamientodel hormign tanto bajo cargasde servicio como ltimas.

Un anlisis cuidadosomuestra que luego de muchasidas y vueltas el reglamentoactual utiliza un diagramabastante parecido al propuestoen 1912.

Se observa tambin quese pas por diagramas detratamiento analticotremendamente complicadosobre todo si se tiene en cuentaque en el momento en quefueron planteados no existan lascomputadoras.

Como puede apreciarse,an los temas ms sencillos dela Teora del Hormign Armadorequirieron muchos aos paraconsolidarse dentro de unmismo pas.

Figura 11.1

Figura 11.2

28

De un pas a otro todava se encuentran marcadas diferencias en cuanto a las expresiones declculo.

En la actualidad para los clculos ordinarios de dimensionamiento y verificacin se aceptanbsicamente dos tipos de diagramas, los rectangulares y las combinaciones entre una parbola y unrectngulo.

Un tema sobre el que persistendiferencias entre reglamentos y entre autoreses la deformacin de rotura del hormign. Alos fines prcticos en la mayora de los casoseste tema no conduce a diferencias deresultados importantes. En flexin, porejemplo, los norteamericanos adoptan unadeformacin de rotura del 3 o/oo mientrasque los europeos adoptan el 3.5 o/oo1 enforma general o bien llegan a darexpresiones muy precisas para determinar ladeformacin de rotura en funcin de laresistencia del hormign. La Figura 11.3muestra resultados de ensayos al respecto.Sobran los comentarios sobre si vale la penadiscutir sobre el decimal o an el entero.

12.- FISURACIN

12.1.- Generalidades

El hormign armado es un material compuesto en el que, decimos, el acero aporta la resistenciaa la traccin y la ductilidad. La resistencia a la traccin la aporta a partir de su elevado rendimientofrente a esta solicitacin y merced a la solidaridad resistente, es decir la compatibilidad dedeformaciones que hacen a la esencia del hormign armado permitiendo la transmisin de losesfuerzos. Para que las armaduras de acero se vean sometidas a tensiones de traccin relativamenteelevadas como para que su rendimiento sea aceptable deben estirarse una cierta cantidad.Evidentemente esta deformacin especfica est muy por encima de la que el hormign es capaz desoportar.

Recordemos que el hormign rompe cuando su deformacin especfica por traccin es delorden de 0.1 %o con lo que la tensin en el acero, para esa deformacin resulta aproximadamente:

ss = 0.00001 x 210000 = 21 MPa

es decir, aproximadamente un 5% de su tensin de fluencia.

Esto significa que para que el acero trabaje bajo esfuerzos de servicio a tensiones del orden del50% de su tensin de fluencia - tensiones menores resultan antieconmicas - que el hormign habrsuperado largamente su deformacin de rotura por traccin y consecuentemente se habr fisurado.Como consecuencia se puede afirmar que en elementos flexionados de hormign armado la fisuracines inevitable.

1 Segn se comenta este nmero surgi de una negociacin entre quienes proponan el 3/oo y los partidarios del 4/oo.

Figura 11.3Concrete Strength (psi)

29

12.2.- Es esto un problema?

No hay acuerdo universal para decidir si la fisuracin es verdaderamente un problema.Y en elcaso que lo fuera, cul es su magnitud admisible y cules son las medidas necesarias paracontrarrestarla.

Se llega a discutir cuales son las consecuencias por ejemplo sobre la corrosin de las armaduraso sobre la impermeabilidad.

Tampoco hay acuerdo sobre cules son las variables ms importantes que intervienen en elfenmeno con excepcin de la tensin en el acero que todos estn de acuerdo en que tiene unaimportancia fundamental. Pero claro, que adems, tiene una importancia econmica enorme. Reducirla tensin en el acero significa colocar ms armadura o utilizar aceros de menor calidad. Ambassoluciones conducen a un mayor costo en acero.

Mientras los aceros para hormign armado presentaban tensiones de fluencia del orden de los220 MPa y consecuentemente tensiones en condiciones de servicio del orden de los 140MPa elproblema de la fisuracin puede no haber inquietado demasiado con excepcin de casos excepcionales.

A partir de la segunda mitad del siglo XX en que comienzan a utilizarse aceros con lmite defluencia de 420 o 500 MPa con su tensin de trabajo en torno a los 240 a 300 MPa el problema de lafisuracin se agudiza y hoy es el que est impidiendo la utilizacin de aceros de mayor lmite defluencia y mejor rendimiento econmico.

Coincidentemente aparece la necesidad de incorporar el control de las fisuras en las normas(por ej BA 60).

Tradicionalmente se han considerado tres consecuencias negativas de la fisuracin:

Aspectos estticos o psicolgicos.Efectivamente fisuras con aberturas importantes, superiores al medio milmetro (imagnese el trazode un lpiz 0.5 en la pared) afean la estructura y producen inquietud o temor en la mayora de laspersonas que, lgicamente, desconocen el funcionamiento del hormign armado.

Asegurar la impermeabilidad frente a lquidos o gases (incluso la radiacin). Proteger las armaduras frente a la corrosin.

A fuer de ser sinceros es menester indicar las ventajas de la fisuracin. Efectivamente esaductilidad tan necesaria y que las armaduras proveen al hormign armado se logra gracias a lafisuracin que permite grandes deformaciones.

12.3.- Cmo puede resolverse?

Una manera de resolver el problema, es decir los efectos negativos de la fisuracin, eseliminando (o reduciendo) los esfuerzos de traccin otra, es haciendo que las aberturas de las fisuras semantengan dentro de ciertos lmites que las hagan tolerables.

Los esfuerzos de traccin dentro del elemento de hormign armado pueden deberse a causasdiversas que podemos dividir en dos grandes grupos:

30

Las acciones directas resultantes del trabajo estructural es decir la respuesta del material frentea las solicitaciones externas (cargas). Dentro de este grupo podran ubicarse, tal vez, lasmicrofisuras producidas por el mecanismo de adherencia y que en principio no aparecen en elexterior del elemento.

Las deformaciones impuestas tales como la retraccin por secado (shrinkage) restringida porcondiciones de vnculo (hiperestticos) o por la presencia de armadura en el interior de la pieza,las variaciones de temperatura en estructuras impedidas de acortarse, la corrosin de lasarmaduras dentro de la masa de hormign.

Para eliminar o reducir los esfuerzos de traccin en el hormign puede introducirse elpretensado es decir una fuerza adecuadamente ubicada y cuantificada que permita darle al hormignun estado de precompresin que transforme las tracciones producidas por los esfuerzos exteriores endescompresiones es decir mantener la pieza comprimida o, eventualmente, menos traccionada.Tambin este efecto permite, al mismo tiempo, ubicar la reserva de ductilidad ms all de lascondiciones de servicio. En otras palabras se podr mantener el comportamiento dctil de la pieza peromanteniendo acotada su deformabilidad bajo cargas de servicio.

Este camino (pretensado) para controlar la fisuracin no es motivo de estas notas.

La otra forma de limitar la abertura de las fisuras de manera que sean prcticamenteimperceptibles es controlando su tamao. Esto se logra haciendo que la inevitable fisuracin estcompuesta por un nmero grande de pequeas fisuras y no por pocas fisuras de gran abertura (Figura12.1).

Entonces es menester definir cul ser laabertura admisible de manera de evitar lasconsecuencias negativas de la fisuracinmencionadas al principio2.

Por razones estticas o psicolgicaspuede decirse, a partir de estudios realizados pordiversos autores, que aberturas de fisuras delorden de 0.3 mm o 0.4 mm pasan desapercibidaspara la mayor parte de las personas.

Con referencia a la estanqueidad el problema es ms complejo depende del medio (agua, gases,radiacin) y las consecuencias de la permeabilidad, y podrn resultar valores tales como 0.1 mm paralquidos a cero (0 mm) para radiaciones.

La incidencia de la abertura de las fisuras en la corrosin de las barras de armadura es un temaque se encuentra an hoy en discusin. Existen investigaciones que demuestran que fisuras conaberturas menores que 0.4 mm no tienen incidencia significativa sobre la corrosin del acero. Noobstante la gran mayora de estos investigadores concuerdan en que hay que respetar las aberturasmximas de las fisuras recomendadas en las reglamentaciones . Tambin existen autores que vinculandirectamente la corrosin a la abertura de las fisuras. Es muy importante tener en cuenta que lacorrosin de las armaduras es, por mucho, la principal causa del deterioro de las estructuras dehormign armado limitando su vida til.

El problema no est resuelto y resulta complejo por la aleatoriedad y dispersin de los dosfenmenos involucrados, la fisuracin del hormign y la corrosin del acero. Esta ltima produce una 2 O al menos cumplir con un requisito reglamentario.

Figura 12.1

31

prdida de resistencia que esta vinculada con distintos fenmenos tales como la disminucin de laresistencia de adherencia que depende de la corrosin general y por otro de la prdida local de seccinde la barra que depende de la corrosin general y de la corrosin local vinculada directamente con lafisura3.

Las distintas reglamentaciones o recomendaciones fijan valores que no es sencillo compararentre si pero que pueden asimilarse a los de la tabla siguiente:

Abertura admisible de la fisuraen correspondencia con la superficie del hormign

(wk95%)Ambiente protegido 0.40 mm

Intemperie 0.30 mmAmbiente agresivo 0.15 mm

Estanqueidad 0.10 mm

12.4.- Procedimientos para mantener acotada la abertura de fisuras mediante la adherencia

Existen ms de medio centenar de expresiones que permiten controlar la fisuracin aunque,bsicamente, existen dos enfoques utilizados para mantener las aberturas de las fisuras dentro devalores aceptables.

12.4.1.- En forma prctica

Esto es estableciendo, por ejemplo, limitaciones a los dimetros y separaciones mximas debarras.

Segn el Cdigo Modelo CEB-FIP 90

Hormign Armado Hormign PretensadoTensin enArmadura

(Mpa)f max(mm)

Sep max(mm)

f max(mm)

Sep max(mm)

160 32 300 25 200200 25 250 16 150240 20 200 12 100280 14 150 8 50320 10 100 6 - - -360 8 60 5 - - -400 6 - - - 4 - - -450 5 - - - - - - - - -

El Cdigo Modelo CEB-FIP 78 al igual que el CIRSOC 201y el PRAEH fijan slo el dimetromximo de la armadura en funcin del tipo de acero y de la agresividad del medio circundante:

3 Asimismo, los materiales producto de la corrosin generan presiones muy altas de expansin que pueden provocar roturasde recubrimientos lo que acelera el proceso de deterioro de la pieza.

32

Dimetro mximo de la armadura f max (mm)

Ambiente CIRSOC 201 PRAEHProtegido 16 18Intemperie 12 10Agresivo 8 3

12.4.2.- En forma analtica

Esto es estableciendo que la abertura de las fisuras resultante del clculo no supere los valoresmximos admisibles:

Wk W lim

Donde Wk es la abertura caracterstica (95%) es decir aquella abertura de fisura que tendr unaprobabilidad de ser superada del 5% y Wlim es la abertura mxima que se podr admitir en la estructurabajo condiciones de servicio.

Hay dos caminos bien diferenciados para valorar la abertura de las fisuras debidas a la accin delas cargas exteriores en una estructura de hormign armado:

En forma emprica mediante la regresin de los resultados experimentales de un grannmero de ensayos.

Mediante un modelo simplificado del mecanismo de formacin de las fisuras.

12.4.2.1.- Forma emprica

La frmula probablemente ms conocida fue desarrollada a partir de los trabajos de Gergely yLutz (1968) e incorporada, aunque con algunas variantes, al ACI 318-77 para determinar la abertura delas fisuras en el borde inferior de una viga sometida a flexin.

Su expresin (ajustada) es:

Donde (Figura 12.2):

w: abertura de fisura (wk 95%) en mm.h: altura total de la seccin en mmd : altura til en mm.x : profundidad del eje neutro en mm.ss: tensin en la armadura para solicitaciones de servicio en MPa.c : distancia del eje de la barra ms baja hasta la superficie inferior de la viga en mmA : rea de hormign simtrica con la armadura dividida por el nmero de barras en mm2.

(h-d) / (h-x) = b puede adoptarse simplificadamente 1,20.

3

900001

Acxhdh

w s --

= s

33

Como se desprende inmediatamente de la frmularesulta que la abertura de la fisura depende directamente dela tensin en la armadura (ss) del gradiente de tensionesrepresentado por el factor (h-d) / (h-x) = b, y delrecubrimiento y rea de hormign que rodea la barra.

En el informe del ACI Committee 224 (Fisuracin)se dice taxativamente (punto 4.2.1) que el recubrimiento esuna variable importante mientras que el dimetro de la barrano es una variable importante. Esto es a nuestro criterio unerror ya que el radicando no es otra cosa, a menos de unfactor, que:

De modo tal que se observa que el dimetro es una variable con mayor incidencia que elrecubrimiento. Adems, y exceptuando situaciones extremas, el recubrimiento puede variar en ms oen menos en un 50% mientras que el dimetro puede hacerlo en un 100%.

Otra observacin que puede hacerse a esta frmula es que si no se logra dar cumplimiento a laabertura mxima de fisura es decir no se cumple la expresin

Wk W lim

Una solucin sera disminuir el recubrimiento de las armaduras reduciendo el recubrimientoa la mitad la abertura se reduce al 80%- lo que est en contra de cualquier posibilidad de mejorar ladurabilidad de la estructura. Obsrvese que el mismo efecto, reduccin de w al 80% ,se obtienedisminuyendo dimetro de las barras un 30%.

Esta expresin o sus similares han sido eliminadas del ACI Code 318 a partir de 1995 yreemplazadas (ACI 318-99) por otra que da la separacin mxima entre barras en funcin de la tensinen la armadura y el recubrimiento;

Donde:s: separacin mxima entre barras en cm.c: distancia libre entre barra y superficie del hormign en cm.

Esto significa, prcticamente, haber eliminado la verificacin de la fisuracin en las estructurascomunes. En aquellas ubicadas en medios agresivos o que requieran estanqueidad debern hacerse losestudios correspondientes.

cMPa

ss

- 5.2)(

9450s

32

efc r

f

b

h

x

d

h-x

h-dc

Figura 12.2

34

12.4.2.2.- Modelo simplificado

La abertura de una fisura cualquiera ser igual a lo que se alarga el acero menos lo que sealarga el hormign dentro de la zona en que se ha puesto en juego la adherencia es decir en dondeambos materiales se deforman de distinta manera existiendo en consecuencia un desplazamientorelativo (slip) entre ellos y que es el resultado del mecanismo resistente de adherencia.Matemticamente lo expresamos:

Donde:

w: es la abertura de una fisura genricaesx: es la deformacin especfica del acero, variable, a lo largo de la barra.ecx: es la deformacin especfica del hormign, variable, a lo largo de la barra.sr: es la longitud en la que esx y ecx son distintos.

El problema consiste, entonces, en determinar cules son las funciones de variacin de estosparmetros.

a) Solucin de Favre

Est desarrollada para la fisuracin de un elemento sometido a traccin pura (tirante) y puedegeneralizarse con buenos resultados a la flexin, considerando un tirante ficticio constituido por laarmadura y el hormign cobaricntrico.

Consiste en suponer fisuracin sistemtica es decir que se han producido todas las fisuras quepueden producirse, adoptar valores medios para la separacin entre fisuras y consecuentemente parasus aberturas. Si adems despreciamos las deformaciones del hormign traccionado (ecx) la expresinse reduce a:

wm = srm x esm

Donde, entonces:

Wm : abertura media de las fisurasSrm: separacin media entre dos fisuras consecutivas.esm: deformacin media del acero a lo largo de la pieza.

Si se supone que la tensin de adherencia es constante e independiente del desplazamientorelativo, la distancia mnima entre dos fisuras consecutivas deber ser (Figura 12.3):

Donde c1 es la relacin entre la resistencia a traccin y de adherencia, digamos para barrasconformadas 0.4 ; y c2 es 0.25 = para traccin pura.

( )dxwsr

cxsx -= ee

rf

kkrf

==

= 214

1fbfct

ufbActfct

sro

35

A efectos de tener en cuenta que la fisura no esplana y que su forma depende bsicamente delrecubrimiento y de la separacin entre las barras (Figura12.4) se ajust la expresin anterior procurando, por otrolado, aproximarse a los resultados experimentales con elsiguiente agregado:

Donde:

c: es el recubrimiento de las armaduras.s: es la separacin entre barras.

En general el segundo trmino supera en tres o cuatroveces al primero.

En cuanto a la deformacin media del acero (esm) omejor dicho a la diferencia entre el alargamiento especficomedio del acero menos el alargamiento especfico medio delhormign su valor puede determinarse mediante la expresin:

Donde:

ss: es la tensin en la armadura en correspondencia con lafisura.ssr : tensin en la armadura al reducirse la fisura @ Ac fct / As

b1: coeficiente que depende de la conformacin de la barra (=1 conformada).b2 : depende de la duracin y/o repeticin de la carga (=1 para primera carga)

La colaboracin del hormign traccionado ubicado entre las fisuras, trmino entre corchetes enla expresin anterior, fue analizado a partir de 1960 y se lo denomin efecto tensorrigidez (tensionstiffening).

Para considerar la abertura caracterstica 95% puede suponerse:

wk = 1.7 wm

Obsrvese que esto significa que la dispersin medida mediante la desviacin media (s) es del42% es decir unas cuatro veces mayor que la producida en el ensayo a compresin del hormign. LaFigura 12.5 puede resultar ilustrativa de la dispersin de resultados.

rf

kk ++= 21)10/(2 scsro

s

s

s

sr

s

ssm EE

es

ss

bbs

-= 4.01

2

21

N N

fc

ss

Sro Sro

Figura 12.3

w w cc

S = 0 w w f/r

wS 0

COMBINACIN

w=k1.c+k2.f/r

Figura 12.4

36

En el caso de las deformaciones impuestas puede considerarse Wk = 1.3 Wm

Este procedimiento para la determinacin de la abertura de fisuras fue incorporado al ManualFisuracin y Deformaciones del CEB, al Cdigo Modelo CEB-78, forma parte del Eurocdigo 2 yde la Norma espaola EHE.

b) Solucin de Balzs

Resulta de aplicar las condiciones de equilibrio de fuerzas en la interfase entre la barra de aceroy el hormign (adherencia), el equilibrio entre la fuerza en la barra en correspondencia con la fisura yla suma de la fuerza en la barra y en el hormign, fuera de la fisura; y la condicin de compatibilidadentre el desplazamiento relativo y la diferencia de deformaciones del hormign y el acero. Se obtieneuna ecuacin diferencial de segundo orden (que se indica a ttulo ilustrativo):

Para la resolucin de la ecuacin diferenciales necesario definir la relacin entre eldesplazamiento relativo y la tensin de adherencia.Segn cul sea la complejidad que se est dispuestoa enfrentar en la resolucin de la ecuacindiferencial ser la funcin tensin de adherencia vsdesplazamiento relativo, constante, lineal, o unafuncin con cuatro tramos como la propuesta porel MC 90 (Figura 12.6).

Se puede obtener una solucin analtica dela ecuacin diferencial para la primera fisura la que permite obtener la expresin de la abertura de lafisura mediante:

( )0

14

1

," =

+- aaf

trax

s

maxefsex ssE

s

Figura 12.5

Figura 12.6

37

Ecuacin que tambin se agrega a ttulo ilustrativo y para considerar a la vista de la Figura12.5.

Para la fisuracin sistemtica la solucin de la ecuacin diferencial no puede resolverse enforma analtica debiendose recurrir a una solucin numrica para cada caso la que, evidentemente,requerir de una computadora y el algoritmo correspondiente.

c) Solucin del MC 90

El Cdigo Modelo CEB-FIP 1990 propone un camino similar al de su anterior versin aunqueconsiderando que la abertura caracterstica de la fisura (wk) es proporcional a la separacin mximaentre fisuras (lsmax) en lugar de la separacin media. En consecuencia:

wk = ls,max (esm - ecm - ecs)

Donde:

Ls,max: es la separacin mxima entre dos fisuras contiguas una vez alcanzada la fisuracin completao sistemtica.esm: es la deformacin especfica media del acero dentro de ls,maxecm: es la deformacin especfica del hormign (traccin) dentro de ls,maxecs : es la deformacin especfica debida a retraccin por secado (negativa).

Para la determinacin de la separacin mxima entre fisuras el MC 90 propone para lafisuracin completa:

Expresin que no difiere mucho del valor 2sro que es la separacin mxima segn la teorasimplificada de la adherencia.

La deformacin media esm no difiere sustancialmente de la utilizada anteriormente.

El MC 90 agrega expresiones que permiten estimar la abertura de la fisura en la etapa defisuracin (antes de alcanzar la fisuracin sistemtica) y tambin luego de haberse alcanzado lafluencia de las armaduras.

12.5.- Efecto de la duracin de la carga

La permanencia en el tiempo de las cargas y consecuentemente de las tensiones en lasarmaduras produce un incremento de la abertura de las fisuras.

La causa ms importante de ese aumento est generada en la disminucin de la resistencia deadherencia que es la que permite la transmisin de esfuerzos entre las armaduras y el hormign.

efsmaxs

,, 6.3 r

f

=l

( )( )

aa

ts

rafa +

++

=1

122

,

1

181

2smax

s

efse Es

w

38

Tambin la fluencia del hormign a traccin que hace que su tensin en la zona entre fisurasdisminuya y consecuentemente su efecto en la disminucin de la tensin media del acero traccionado(tensorrigidez). En las piezas sometidas a flexin tambin tiene incidencia la fluencia del hormigncomprimido.

Diversas experiencia muestran que la abertura de fisuras puede duplicarse bajo los efectos delas cargas permanentes o repetidas.

En la Figura 12.7 se han graficado, en funcin de las cuantas geomtricas (r), los momentosrelativos admisibles determinados por la condicin de fisuracin para una viga de seccin rectangularsegn distintos reglamentos. El caso particular que se grafica corresponde a armaduras de dimetro 12mm y elemento ubicado a la intemperie.

Pueden observarse diferenciasimportantes, hasta 50%, entre lasdistintas frmulas. CIRSOC 201 es laque resulta ms conservadora en todoslos casos. Existe una buenacorrespondencia entre las expresionesdel ACI 318-77 y CEB-78 similar, estaltima, al Eurocdigo 2 y la normaespaola EHE.

No obstante si se tiene encuenta la dispersin propia delfenmeno no parece muy convenientepretender acercarse con mayorprecisin a un valor medio a costade una prdida de tiempo o esfuerzo.Si este esfuerzo lo realiza una mquinaa un costo insignificante bienvenida laaproximacin al valor medio.

13.- DEFORMACIONES

13.1.- Generalidades

La Figura 13.1 muestra aspectos de unensayo sobre una viga de hormignpretensada con cable recto.

El grfico momentos-curvaturas(Figura 13.1.a) muestra una curvaturainicial an para cargas exteriores nulasdebida al pretensado.

Cuando en Resistencia deMateriales nos encontramos con unaseccin sometida a un momento flectordecimos que, con suficiente aproximacin,su curvatura vale:

0

5

10

15

20

25

0 0.5 1 1.5 2 2.5Cuanta Geomtrica (%)

M/b

d2 (

MP

a)

CIRSOC

PRAEH

CEB-90

ACI

CEB-78

Figura 12.7

Figura 13.1

relacin M-f

Momentos por cargas exteriores

Curvaturas

Nota: regin de validez de

a)

b)

c)

39

1/r = M / (EJ).

Lo anterior nos hara pensar en que los diagramas de curvaturas y de momentos deberan teneraspectos parecidos (salvo por el efecto del pretensado que como ya se dijo origina una curvatura en losapoyos). Sin embargo, se ve claramente que los diagramas presentan muy diferentes aspectos a partirde la seccin en que se alcanza el momento de fisuracin. En efecto, la fisuracin hace variar elmomento de inercia de las secciones.

Este hecho es bien conocido desde los comienzos del hormign armado.

El clculo de deformaciones en estructuras de hormign armado presenta, adems de lafisuracin, otras particularidades que hacen que haya sido necesario el desarrollo de mtodosespecficos para extender el uso de los procedimientos que la Resistencia de Materiales utiliza para elclculo de flechas. Estas particularidades tambin hacen que los resultados obtenidos puedan diferir enporcentajes importantes respecto a los valores medidos en una prueba de carga (ver punto 12) sin queel Proyectista haya cometido ningn error en sus clculos.

Todos los comentarios que haremos en este punto estn referidos a mtodos tradicionales4 declculo dado que los mtodos numricos sern abordados en otra charla de este ciclo.

Respecto a las estructuras de acero (o a las constituidas por un material ideal) encontramos queel hormign armado presenta:

a) Mdulo de elasticidad variable con el nivel de solicitacinb) Cambios en el momento de inercia por accin de la fisuracinc) Efectos de Tension Stiffening (tensorigidizacin)d) Efectos reolgicos (creep)e) Redistribucin de esfuerzos en estructuras hiperestticas por accin de la fisuracin y del creep.f) Deformaciones remanentes al descargar por encima de la carga de fisuracin o habiendo

transcurrido un tiempo significativo desde la cargag) Acumulacin de deformaciones para cargas repetidas.

Casi la totalidad de los textos y reglamentos actuales abordan el clculo simplificado dedeformaciones segn uno de dos enfoques: el norteamericano (Branson) y el del CEB-78 y Eurocdigo2 (Favre). Omitiremos el mtodo aproximado propuesto por el CEB-90 porque, a pesar de ser desimple aplicacin y gran precisin, slo permite calcular la flecha a tiempo infinito5.

La base del planteo norteamericano radica en encontrar un momento de inercia ficticio nicoque represente el estado de fisuracin para las solicitaciones en estudio de modo tal de reproducir laflecha real. El planteo europeo propone un mtodo general de clculo por integracin de curvaturasque no expondremos aqu y otro simplificado que parte de calcular dos veces las flechas, una vezconsiderando la pieza como no fisurada y otra vez considerandola totalmente fisurada. Finalmente loque propone es una expresin en la que intervienen ambas flechas con participacin variable deacuerdo al nivel de solicitacin, y por lo tanto de fisuracin, que presente la pieza. Ambos mtodosdirectos (excluimos el mtodo general) requieren conocer las solicitaciones actuantes es decir,requieren tener resuelta la estructura y estn desarrollados para elementos tipo viga es decir, sinpresencia de axiles significativos6.

4 Es decir, mtodos correspondientes a una Resistencia de Materiales particular tal como la Teora del Hormign Armado.5 El mtodo afinado de clculo propuesto por el CEB 90 consiste en la integracin de curvaturas en forma numrica6 Si la estructura que se analiza es hiperesttica el problema se complica pues las solicitaciones dependern del grado defisuracin de la pieza.

40

Los mtodos luego sufren correcciones por creep, cargas repetidas, etc.

13.2.- Tension Stiffening (Rigidizacin por Traccin o Efecto Tensorigidez)

Comentaremos una particularidad del homignarmado que aparta los clculos de deformacin de losutilizados en materiales ideales.

La Figura 13.3 representa las curvaturas medidasen la zona entre cargas (momento constante) de la viga dehormign armado de Figura 13.2 . Las diferentes curvascorresponden a valores diferentes del momento solicitante.Los picos representan las secciones fisuradas.Tradicionalmente suele denominarse a las seccionesfisuradas como Estado II mientras que a las no fisuradasse las asocia con el denominado Estado I. En la Figura seaprecia que, salvo para el momento de rotura, lascurvaturas de las secciones fisuradas son casi iguales paracada valor del momento solicitante. Tambin se apreciaque las curvaturas en los sectores no fisurados varan enmagnitud entre fisura y fisura y tambin presentandiferentes valores mnimos de acuerdo a la separacinentre fisuras (a mayor separacin menor valor mnimo).La respuesta a este comportamiento la encontramos en laFigura 13.4, correspondiente a un tirante de hormignarmado . En ella se aprecia la colaboracin del hormigntraccionado activado a travs de la adherencia. En efecto,la adherencia produce un efecto de descarga sobre lasarmaduras disminuyendo su tensin. Esta disminucin dela tensin en las armaduras por la accin del hormigntraccionado se denomina tension stiffening (tensorigidezen algunos textos en castellano). Lo mismo ocurre en lazona traccionada de una viga donde el hormign

Figura 13.2

Carga CargaDistancia

curv

atu

ra x

103

po

r m

Figura 13.3

FisurasInternas

carga en el hormign = Nc

carga en el acero = Ns

Longitud deTransferencia

Zona sinAdherencia

Instante Anterior a la PrimeraFisura N1 Ncr

Instante Posterior a laPrimera Fisura N2 Ncr

Fisuracin sistematicaconcluida N3 > N2

Figura 13.4

41

traccionado entre fisuras disminuye la tensin en las armaduras y por lo tanto la curvatura7.

Es conocido que a partir de un determinado valor del momento exterior no se producen msfisuras (se abren las existentes) dado que la distancia entre fisuras es insuficiente como para que lasarmaduras puedan transferir por adherencia una carga capaz de fisurar al hormign. Decimos que se haalcanzado la fisuracin sistemtica. Rigurosamente podremos hablar de secciones en Estado II yasociarles una determinada rigidez pero no podremos hacer lo mismo para las zonas en Estado I dadoque la rigidez vara de acuerdo a la distancia a la fisura.

En los modelos matemticos se trabaja con valores medios de separacin entre fisuras y se fijanleyes de variacin de tensin en las armaduras.

El Tension Stiffening ha debido incorporarse a la Teora del Hormign Armado para podergeneralizar el uso de algunos mtodos conocidos de la Resistencia de Materiales y de la Teora de lasEstructuras.

13.3.- Clculo de Deformaciones. El Enfoque Norteamericano (y de varios ms). D.E. Branson

El mtodo est basado en el anlisis estadstico ralizado en primera instancia por D.E. Bransony luego cotejado con una gran cantidad de ensayos por el Comit ACI-435. En lo que sigue, por propiacomodidad, expondremos el formato adoptado por la norma espaola que difiere slo en detalles de losutilizados por otros reglamentos, entre otros por el ACI-318.

El momento de inercia equivalente se obtiene a partir de la expresin:

Ie = (Mf / Ma)3 Ib + [ 1 - (Mf / Ma)3] Ifdonde

Ie = Momento de inercia equivalenteIb = Momento de inercia de la seccin bruta de hormignIf = Momento de inercia de la seccin fisurada homogeneizada a valores de hormignMf = Momento de fisuracin de la seccin = fc,flex Ib / y1Ma = Mximo momento flector en el tramo para el estado en consideracinfc,flex = resistencia a la traccin por flexin = 0.8 fck2/3 (todo en kg/cm2)y1 = Distancia del centro de gravedad de la seccin a la fibra ms traccionada

Comentarios: * Si Mf > Ma se toma Ie = Ib * Si la pieza ha sido cargada anteriormente con un momento mayor al que

actualmente la solicita hay que utilizar el momento mayor para el clculode Ie dado que ese es el nivel de fisuracin que presenta la pieza.

* La homogeneizacin de la seccin se hace para el mdulo instantneo

Para vigas continuas se debe hacer el clculo de los momentos de inercia equivalentes en lostramos y en los apoyos. Los momentos de inercia a utilizar en el clculo de flechas se obtienen como:

* Tramos Interiores Continuos: Ie = 0.70 Ie tramo + 0.15 (Ie apoyo izq + Ie apoyo der)* Tramos con un Extremo Continuo: Ie = 0.85 Ie tramo + 0.15 Ie apoyo continuo

7 Vale la pena hacer notar que las armaduras entre fisuras pueden trabajar a tensiones altas por lo que su deformacin esmuy superior a la deformacin de rotura por traccin del hormign. El hecho de que el hormign no se fisure indica quehay desplazamiento relativo contradiciendo una de las hiptesis ms utilizadas en el anlisis de secciones fisuradas y nofisuradas que es la de solidaridad de deformaciones.

42

Los efectos de fluencia y retraccin se evalan enforma conjunta admitiendo que la flecha diferida total seobtiene multiplicando la flecha instantnea por el factor:

l = x / (1 + 50 r)

siendo* x un coeficiente funcin de la duracin de lacarga (ver Figura 13.5)* r = As / (bd) , es decir, la cuanta geomtricade armadura comprimida

Los valores de l a considerar son:

* Piezas Simplemente Apoyadas: El valor en el centro del tramo* Voladizos: El valor correspondiente al extremo continuo* Tramos Interiores Continuos: r = 0.70 r tramo + 0.15 (r apoyo izq + r apoyo der)* Tramos con un Extremo Continuo: r = 0.85 r tramo + 0.15 r apoyo continuo

La norma espaola EHE no establece correcciones por espesor de medio de las piezas ni porhumedad relativa ni por cargas repetidas.

13.4.- Clculo de Deformaciones. El Enfoque CEB-78 y Eurocdigo 2 (y de unos pocos). R.Favre

El CEB-78 y el Eurocdigo 2 difieren ligeramente entre s. Aqu volcaremos lo indicado en elEurocdigo 2.

Como ya se ha comentado, la formula emprica que se utiliza aqu es de la forma:

f = xfII + (1 - x) fIdonde

f = flechafI = flecha calculada en seccin no fisuradafII = flecha calculada en seccin totalmente fisurada (homogeneizada)x = 1 - b1b2 (ssr / ss)2

b1 = 1 para barras de alta adherencia y 0.50 para barras lisasb2 = 1 para un ciclo de carga breve y 0.5 para cargas permanentes o repetidasss = Tensin en el acero en la seccin fisurada actuando las cargas en estudiossr = Tensin en el acero en la seccin fisurada actuando el momento de fisuracin

Los clculos de deformacin y la homogeneizacin de las secciones se hacen utilizando unmdulo de deformacin efectivo que se calcula como:

Ec,ef = Ecm / (1 + f)donde

Ecm = mdulo de elasticidad inicial = 44.100 (fck + 80)1/3

f = Coeficiente de fluencia que incluye tanto la influencia de la humedad ambientecomo el espesor medio de la pieza.

Figura 13.5

43

Ambiente Seco (Interiores)(HR = 50%)

Ambiente Hmedo (exteriores)(HR = 80%)

Espesor medio 2 Ac / U (expresado en mm)

Edad deaplicacin de la

carga en das50 150 600 50 150 600

17

2890

365

5.53.93.02.41.8

4.63.12.52.01.5

3.72.62.01.61.2

3.62.61.91.51.1

3.22.31.71.41.0

2.92.01.51.21.0

El reglamento no indica como tratar elementos hiperestticos.

13.5.- Comentarios

Tal como se ha comentado, los mtodos expuestos son de aplicacin fundamentalmente enestructuras tipo viga dejando un amplio espectro de elementos no cubiertos o cubiertos porextensiones no siempre justificadas en datos experimentales.

Como puede apreciarse, cada mtodo deja fuera de consideracin diferentes factores.

En el campo del clculo de deformaciones es tal vez donde los mtodos numricos resultanprcticamente insustituibles si se quiere describir el comportamiento global de una estructurarelativamente compleja y/o sometida a estados de carga relativamente complejos.

14.- ENFOQUE ADITIVO DEL CORTE: Vc + Vs

El hormign armado presenta uncomportamiento bastante peculiar al cortepor lo que la Resistencia de Materialestradicional resulta totalmente ineficientepara su anlisis. Se han desarrollado a lolargo del tiempo diferentes aproximacionesal tema. Las primeras, tal como ya hemoscomentado, fueron hechas por Ritter yMrsch y consistieron en reemplazar a laviga real por un reticulado equivalente.

Si se ensaya una viga con armadurade alma y se instrumenta dicha armadura seobservar que la evolucin de su tensindifiere sensiblemente de la predicha por elreticulado de Ritter-Mrsch.

Como puede observarse en la Figura 14.1, para cargas bajas las armaduras de alma casi no seencuentran solicitadas. A partir de la fisuracin del alma se produce un incremento de tensinimportante y de all en adelante la evolucin de la tensin sigue un camino paralelo al predicho por elreticulado de R-M. Este comportamiento se mantiene hasta la rotura y an bajo cargas repetidas ladistancia entre ambos comportamientos puede considerarse constante.

Figura 14.1

44

Ya Mrsch haba observado en susensayos que el ngulo de las fisuras variaba conla cantidad de armadura de alma. Posterioresensayos (Figura 14.2) han demostrado que,dentro de ciertos lmites el proyectista puedeadoptar el ngulo que las fisuras presentarn enel momento de la rotura (la fisuracin inicialpuede ser diferente).

En la dcada del 70 se hicieron grandesavances en cuanto al anlisis de la plasticidadaplicada a la torsin y al corte en hormignarmado y pretensado lo que dio lugar al

desarrollo racional de expresiones de clculo que representan mejor el comportamiento real de laspiezas.

En la actualidad, aunque con diferentes formatos, todos los reglamentos nacionales tienenexpresiones de resistencia al corte del tipo aditivo es decir Vc (Resistencia aportada por elhormign) + Vs (Resistencia aportada por el acero), siendo Vc siempre funcin de la resistencia delhormign elevada a una potencia menor que uno8. Este tipo de expresiones intentan representar elcomportamiento mostrado en la Figura 14.1. Menos frecuente es encontrar reglamentos que permitanutilizar como variable de proyecto de armaduras el ngulo de inclinacin de las fisuras. Este ha sido elcaso de los ltimos reglamentos del CEB (ahora FIB).

15.- JORG SCHLAICH. EL FIN DE LAS RECETAS ?

15.1.- El equipo de trabajo

Jrg Schlaich (1934- ) recorri varias universidades durante su formacin como ingeniero(Stuttgart, Berlin y Cleveland) completando finalmente su tesis sobre el efecto arco en losas dehormign armado bajo la direccin de Fritz Leonhardt (1909-1999).

Entre 1963 y 1980 form parte del equipo del estudio Leonhardt und Andra donde realiz unacantidad abrumadora de proyectos de estructuras singulares, en particular, puentes y grandes cubiertas.

En 1980, con otros 18 colegas, se separ del estudio de Leonhardt y cre su propia firma(Schlaich und Partner) en la que sigue realizando proyectos de grandes estructuras y de construccionesrelacionadas con el aprovechamiento de la energa solar.

En octubre de 1974 sucedi a Leonhardt en la ctedra de hormign de Stuttgart. Desde hacamucho tiempo vena criticando las cajas negras del hormign armado refirindose con estaexpresin a una cantidad de temas que se calculaban a partir de recetas y no de procedimientos conuna clara base terica (nudos de prticos, mnsulas cortas, vigas de gran altura, hendidura, etc.). Paraintentar encontrar procedimientos ms cientficos para el abordaje de estos temas organiz un equipode trabajo en el que colaboraron, entre otros, Kurt Shfer, Karl-Heinz Reineck, Dietgeer Weischede yMattias Jennewwein. Este equipo extendi y refin lo que actualmente conocemos como mtodosbiela-tensor o Strut and Tie Method (STM). Dado que as se lo conoce internacionalmente, y paraacortar su escritura, denominaremos al mtodo por su sigla en ingls, STM. 8 En general suele utilizarse la misma potencia que se usa para calcular la resistencia a traccin a partir de la resistencia acompresin.

Figura 14.2

45

Los resultados de sus estudios fueron publicados en todo el mundo desde el famosoBetonkalender en Alemania al Journal of the Prestressed Concrete Institute en Estados Unidos ysirvieron como base para la redaccin de varios reglamentos internacionales entre los que se encuentrael Cdigo Modelo de 1990 del CEB (Comit Eurointernacional del Hormign) y la ltima normalespaola EHE. El Reglamento ACI-318-2002 lo incorpora en su Apndice A.

Schaich particip en varios comits redactores de reglamentos pero, segn sus propias palabras,con poco xito.

15.2.- El STM

15.2.1.- Regiones D y B

El primer paso del mtodoconsiste en la identificacin deaquellas zonas de la estructura en lasque no puede suponerse vlido elmantenimiento de las seccionesplanas. A estas zonas se las denominaD-Regions (regiones D, pordisturbed, perturbadas) encontraposicin con las zonas restantesa las que se las denomina B-Regions (regiones B, por Bernouilli).

Las perturbaciones puedentener bsicamente dos origenes: discontinuidades en la funcin carga (p.e. cargas concentradasprovenientes de reacciones o anclajes de pretensado) y discontinuidades geomtricas (p.e. nudos deprticos o pasajes de tuberas por el alma de vigas).

La Figura 15.1 muestra la divisin de una estructura en regiones D y B.

Identificados los motivos que generan la aparicin de zonas D (discontinuidades de cargas o degeometra) restara cuantificar su extensin.

Si bien no nos extenderemos aqu sobre el tema, Schlaich propone determinar dicha extensinpor aplicacin del principio de Saint Venant con ciertos procedimientos de superposicin. El resultadoprctico de dicha aplicacin a estructuras de barras conduce a que las zonas D tienen una extensinigual a la mayor dimensin de la seccin transversal de la pieza en el lugar de la discontinuidad. En lasFiguras 15.2 se ven algunas aplicaciones de este criterio a piezas con diferentes seccionestransversales, condiciones de carga y relaciones altura-luz.

De la observacin de las figuras anteriores podemos sacar algunas conclusiones interesantesreferentes a las denominadas vigas de gran altura. Los viejos textos decan que una viga de un tramose consideraba de gran altura cuando su luz era menor que dos veces su altura. Como vemos en laFigura 15.2.b, cuando una viga de un tramo sometida a carga uniforme llega al lmite anterior, lassecciones D extremas se tocan y no existe ninguna seccin que pueda calcularse suponiendomantenimiento de secciones planas. Esto confirma la regla mencionada. Sin embargo, si una vigasimplemente apoyada estuviera sometida a la accin de una carga concentrada en su punto medio, laszonas D se tocaran para una relacin Luz/altura igual a cuatro (Figura 15.2.c).

Figura 15.1

46

En la Figura 15.3 puede verse el diagrama de tensiones normales correspondiente a la seccinmedia de una viga de gran altura de un tramo sometida a la accin de una carga uniforme en su cara

superior. El diagrama muestra que el brazo de palanca interno esmuy inferior al que correspondera a una distribucin plana dedeformaciones (diagrama doble triangular). Como consecuencia, unclculo sobre esta ltima hiptesis arrojara resultados del lado de lainseguridad. Como regla general, el no identificar la existencia deuna regin D y por lo tanto realizar su clculo suponiendo que setrata de una regin B, arroja resultados del lado inseguro.

En el caso particular de las vigas de gran altura los textos yreglamentos de hace algunos aos indicaban frmulas empricas parael clculo de un brazo interno z que permitiera calcular lasarmaduras en base a expresiones del tipo: As = Md / (z fy). DondeMd es el momento solicitante mayorado (calculado segn cualquier

teora elstica lineal) y fy es la resistencia de clculo de la armadura. Estas frmulas no tenan encuenta el tipo de carga actuante e indicaban valores de z que slo eran funcin de la relacinLuz/altura.

15.2.2.- Mtodos Basados en Esquemas Biela Tensor

Como ya hemos comentado anteriormente, Ritteridealiz el funcionamiento de una viga de hormignarmado del Sistema Hennebique a travs de un reticulado(Figura 15.4). Esto ocurri en 1899. PosteriormenteMrsch (1902) refin el reticulado y lo utiliz comomtodo para el clculo de armaduras de corte primero y

torsin despus. Posteriormente en la edicin de 1922 de su libro, Mrsch expresa que si bien susmodelos presentan bielas de hormign comprimido discretas estas no hacen ms que representaresquemticamente un campo continuo de compresiones. Schlaich y su equipo no hacen otra cosa queretomar esos modelos y generalizar su uso.

15.2.3.- Las Isostticas y las Fisuras

Figura 15.2

Figura 15.3

Figura 15.4

47

Es un hecho conocido que la fisuracin en el hormign (sobre todo la fisuracin inicial) seorienta marcadamente siguiendo la trayectoria de las isostticas de compresin. Los ensayos realizadossobre mnsulas cortas, vigas de gran altura y nudos de prticos (zonas D) confirman que los patronesde fisuras iniciales mantienen razonablemente constante su aspecto general hasta la rotura9 lo quepermite identificar caminos de cargas que podremos reemplazar razonablemente por esquemas debielas de hormign comprimido y tensores de acero vinculados a travs de nudos. Los nudos se ubicanen aquellos sectores de la estructura en los que se encuentran bielas comprimidas y traccionadas o enaquellos en que las isostticas se curvan fuertemente y es necesario reorientar las bielas.

15.2.4.- Los Modelos

Las figuras 15.5.a) a 15.5.d) muestranuna viga y tres posibles modelos representativosde su comportamiento. La pregunta evidente es:cual de ellos elegir? Suele decirse que los STMrepresentan claros ejemplos del Teorema delLmite Inferior del Clculo Plstico. Si nosguiaramos exclusivamente por esta afirmacindiramos que los modelos b) y d) son los msadecuados por presentar el menor trabajo dedeformacin10. Dado que el hormign permite unacantidad limitada de deformacin plstica, si elmodelo adoptado se aparta mucho del patrn defisuracin inicial del hormign esto obligar a unaredistribucin interna que no siempre escompatible con la ductilidad disponible. Por estosmotivos se sugiere que si la pieza o regin estfuertemente solicitada, el trazado de las bielas ytensores se aproxime a las trayectorias quesugieren las isostticas obtenidas a partir de un

anlisis elstico. Teniendo en cuenta esto, el modelo ms adecuado resultar ser el b).

Schlaich propone modelos que se aproximan al plexo de isostticas por lo que presentanreservas de resistencia originadas en la capacidad de adaptacin no considerada. En otras palabras, losresultados obtenidos quedarn de lado de la seguridad.

Los modelos podran ser isostticos relativos (isostticos por lo menos para el estado de cargasen estudio), isostticos o hiperestticos. En general se obvian los modelos hiperestticos por ladificultad existente en asignar rigideces a los diferentes elementos.

Ya se trate de isostticos relativos o de isostticos el clculo de solicitaciones en las barras delos STM resulta elemental. En general lo que se hace es realizar el clculo general de la estructura porcualquier procedimiento y luego aplicar las solicitaciones as obtenidas a las fronteras de la regin Den estudio. En el caso de que toda la estructura se una regin D (p.e. mnsulas cortas y vigas de granaltura) las cargas exteriores se aplican directamente sobre el STM y se calculan las reacciones ysolicitaciones.

9 Siempre y cuando las armaduras tengan un trazado razonablemente acorde al indicado por el plexo de isostticas.10 Dado que las bielas de hormign son mucho menos deformables que los tensores, la mayor parte del trabajo interno dedeformacin se concentra en los tensores. Como primera aproximacin puede decirse que los modelos que presenten menorlongitud total de tensores sern los que desarrollen menores trabajos internos de deformacin. En el caso de la figura dosmodelos presentan igual longitud de tensores por lo que el trabajo mnimo lo desarrollar el que tenga su tensor menossolicitado, es decir, el primero de ellos.

a) b)

c) d)

Figura 15.5

48

15.2.5.- Geralidades sobre el Dimensionamiento y Verificacin de Elementos

El dimensionamiento de los tensores es elemental dado que si estamos trabajando con cargasmayoradas, ser suficiente con dividir su esfuerzo por la resistencia minorada del acero.

El caso de las bielas y de los nudos es algo ms complicado. Si bien los tensores tienendimensiones finitas no ocurre lo mismo con las bielas comprimidas y con los nudos. Lo que enrealidad existen son campos de compresiones y zonas de encuentro de bielas.

a) Los Nudos

Los nudos de un modelo pueden representar cambios muy fuertes en la direcci de lasisostticas (nudo singular o concentrado) o cambios ms suaves (nudos distribuidos o continuos). Losnudos A y B de la Figura 15.6 muestran dos ejemplos de lo dicho.

Por otra parte los nudos puden ser nombrados de acuerdo a los esfuerzos que las barrasintroduzcan en ellos. Se indica con C a las barras comprimidas que llegan a un nudo y con T a lastraccionadas. De esta forma tendremos nudos CCC, CCT, CTT y TTT. Ejemplos de estos nudospueden verse en la Figura 15.7.

b) Criterios de Rotura para el Hormign Comprimido

De la observacin de modelos se desprendeque los campos de compresiones presentan siemprealguna de las siguientes formas bsicas: prisma,botella y abanico (Figura 15.8)

Es conocido que la resistencia del hormignse ve disminuida por la presencia de tensionestransversales de traccin. De hecho, existenexpresiones que, partiendo de la resistenciacilndrica fc permiten estimar la resistencia

efectiva si se conocen las magnitudes de las deformaciones especficas transversales11. Schlaichpropone algunas simplificaciones en sus anlisis y afirma que, a los fines prcticos, tanto para bielascomo para nudos, puede adoptarse una resistencia de clculo f*cd dada por:

11 Volveremos sobre el tema al comentar los trabajos de Collins y Vecchio.

CCC

CCT

Figura 15.6

Figura 15.7

Figura 15.8

49

f*cd = 1.0 fcd Valor aplicable a estados uniaxiales de compresin o sea, a elementos tipoprisma. El valor de fcd se obtiene dividiendo la resistencia cilndrica por elcoeficiente de minoracin parcial que indique el reglamento en uso (en el casodel CEB se tiene que fcd = 0.85 fc / 1.5).

f*cd = 0.8 fcd Se aplica cuando existen tensiones de traccin tranversales o barras traccionadasque al cruzar el campo comprimido puedan originar fisuras paralelas al eje de labiela. Se aplican tambin a nudos en donde se anclan o a travs de los cualespasan barras traccionadas.

f*cd = 0.6 fcd Valen los comentarios del punto anterior pero cuando se esperen fisuras quecrucen en forma oblicua al eje de las bielas.

f*cd = 0.4 fcd Este valor se utiliza cuando se esperen fisuras oblicuas de gran abertura. Estopuede darse cuando los modelos adoptados se aparten fuertemente del flujo detensiones previsto por la teora de la elasticidad.

c) Regla General

Dado que los nodos tienen siempre distribuciones de tensiones tipo botella, puede suponerseque la totalidad de una regin D es segura si la presin bajo la placa de anclaje o apoyo (o superficiede aplicacin de cualquier carga concentrada) es menor que 0.6 f*cd y si todas las fuerzassignificativas de traccin han sido resistidas con armaduras adecuadamente ancladas. Si el trazado debarras fuera poco armnico con la distribucin de isostticas el valor anterior debera ser reemplazadopor 0.4 f*cd.

Si se considerara necesario un anlisis ms detallado, habr que estudiar la resistencia de cadauno de los nudos de acuerdo a las pautas que se presentan en forma somera a continuacin.

d) Resistencia de Nudos Singulares

Los nudos singulares se originan principalmente en lugares donde se aplican reacciones (u otrotipo de fuerzas concentradas), barras ancladas mediante placas o ganchos y en discontinuidadesgeomtricas. Si bien no los desarrollaremos listaremos los pasos a seguir para su verificacin:

d.1) Ajustar la geometra del nudo con las fuerzas aplicadasd.2) Verificar que las tensiones en el hormign no superen las resistencias disponiblesd.3) Asegurar el adecuado anclaje de los tensores en los nudos.

e) Resistencia de Nudos Distribuidos y Bielas Comprimidas

Dado que los nudos distribuidos y las bielas son menos crticos que los nudos singulares, si seha chequeado el nudo singular ms comprometido puede darse por sentada la verificacin automticade la totalidad de la regin D. Igualmente, en la bibliografa especializada se encuentran mtodosdetallados de anlisis de estos elementos.

f) Hormign Traccionado

50

En los cursos tradicionales de Hormign Armado estamos acostrumbrados a decir que elhormign es un material con una resistencia a traccin baja y poco confiable. Es posible que sea msapropiado decir que el hormign tiene una resistencia a traccin suficiente y suficientemente confiablecomo para que el hormign armado pueda existir. De hecho si las losas no tienen armadura de corte esporque la resistencia a traccin del hormign presenta estas caractersticas. Si queremos darle un pocoms de dramatismo al tema, digamos que slo porque el hormign presenta estas caractersticas esposible la existencia del hormign armado dado que las elevadas tensiones de adherencia queutilizamos en las barras conformadas slo son posibles por la existencia de tensiones radiales detraccin alrededor de las barras. Estas tensiones son resistidas por el hormign.

Aplicando el STM en una escala muy afinada y con expresiones relativamente complicadaspara la resistencia a traccin, pueden reproducirse razonablemente bien las expresiones para el clculode longitudes de anclaje que se obtienen en forma experimental.

15.3.- Ayudas de Clculo

Los autores del mtodo han desarrollado un catlogo de elementos D que permite, mediante elensamble de elementos del catlogo, cubrir gran parte de los problemas que se presentan en la prcticadiaria. Asimismo, se encuentran disponibles programas de computacin comerciales y no comercialesque facilitan el planteo y resolucin de estos modelos.

15.4.- Comentarios

Si se sigue el criterio de Schlaich respecto a no apartarse demasiado de las isostticas al hacerel trazado de los reticulados, el mtodo suele conducir a resultados del lado seguro dado que se esthaciendo una baja explotacin de la capacidad de redistribucin plstica que tienen las piezas dehormign armado (si estn adecuadamente armadas).

El mtodo es vlido para el anlisis de regiones D y tambin de regiones B si se estableceel brazo interno de los reticulados a partir de un anlisis convencional de secciones. De hecho, lavinculacin de las regiones D con el entorno debe hacerse a partir de haber resuelto las regiones Baledaas.

Desde un punto de vista prctico el uso de este mtodo se justifica ampliamente para el anlisisde las regiones D pero resulta poco prctico para el resto de la estructura. Para estructuras ordinariasde barras, sin singularidades muy especiales, su uso suele resultar injustificado.

16.- COLLINS Y VECCHIO. LAS NUEVAS HIPTESIS

16.1.- Generalidades

Collins y Vecchio han desarrollado un enfoque interesante en su intento de llevar la Teora delHormign armado un paso adelante. Respecto a los STM encontramos aqu que no solamente serespeta en forma explcita el equilibrio y en forma implcita la compatibilidad de deformaciones sinoque esta ltima es considerada en forma explcita.

51

El mtodo, conocido como Modified Compression FieldTheory (Teora Modificada del Campo de Compresiones) fueoriginalmente calibrado a travs de 30 ensayos realizados en elequipo que se muestra en la Figura 16.1.

El equipo est dotado de 37 gatos de doble accin capaces desometer a los elementos de prueba de 0.89m x 0.89m x 0.07m acualquier estado plano de tensiones.

Los elementos ensayados contaban con diferentes cuantas dearmaduras segn las direcciones paralelas a los lados.

16.2.- Modified Compression Field Theory (Teora Modificada del Campo de Compresiones)

Si bien la teora contempla la presencia de armaduras en las dos direcciones, en lo que sigue, ypara no extender demasiado estas notas, analizaremos lo que ocurre en una viga doble T simtrica quepresenta solamente armaduras verticales en su alma. Existe abundante bibliografa que permitir a losinteresados profundizar en el tema.

En la Figura 16.2 puede verse el aspectoque presenta el alma de una viga doble Tsometida a un esfuerzo de corte.

La teora MCFT trabaja con tensiones ydeformaciones medias sin hacer consideracionesespeciales en cuanto a su distribucin. Esteprimer anlisis lo haremos considerandosolamente la accin de un esfuerzo de corte.

La Figura muestra con ms detalle lo queocurre en la viga anterior. Del crculo de Mohrde la obtenemos:

f2 = 2 v - f1 = (tan q + 1 ) v - f1 = (tan q + 1 ) V - f1 (1) sen 2q tan q tan q bv dv

Las diagonales comprimidas tienden a alejar los cordones superior e inferior mientras que lastensiones diagonales de traccin tienden a acercarlas. La diferencia entre las resultantes de ambastensiones debe ser tomada con la armadura de alma. Suponiendo que la separacin entre estribos es spodemos plantear la siguiente ecuacin de equilibrio:

(f2 sen2 q - f1 cos2 q) bvs = Av fv (2)

Operando sobre las dos ecuaciones anteriores:

V = Avfv dv + f1bvdv (3) s tan q tan q

Figura 16.1

Figura 16.2

52

Planteando ahora el equilibrio de fuerzas horizontales, veremos cual es la fuerza desequilibradaque debe ser tomada por el cordn inferior:

Nv = (f2 cos2 q - f1 sen2 q) bvs (4)

Sustituyendo f2 por el valor obtenido en la primera de estas ecuaciones:

Nv = V - f1bvdb (5) tan q

Basados en sus experiencias sobre paneles de hormign armado sometidos a esfuerzos de cortepuro, Vecchio y Collins recomiendan la siguiente relacin entre tensiones medias de traccin ydeformaciones medias de traccin:

Que pueden expresarse analticamente como:

si e1 ecr se toma f1 = Ec e1 (6)si e1 > ecr se toma f1 = a1 a2 fcr (7)

1 + (500 e1)1/2

donde

a1 = factor que tiene en cuenta las caractersticas de adherencia de las armadurasa1 = 1.0 para barras conformadasa1 = 0.7 para barras lisas, cables o alambres adherentesa1 = 0.0 para armaduras no adherentes

a2 = factor que tiene en cuenta la existencia de cargas de larga duracin o repetidasa2 = 1.0 para cargas monotnicas de corta duracina2 = 0.7 para cargas sostenidas y/o repetidas

Veamos ahora con ms detalle qu es lo que ocurre, siempre en trminos de valores medios,con dos cortes realizados en el alma de la viga (Figura 16.4), uno de ellos realizado por el interior deuna biela comprimida y el otro siguiendo una fisura.

Como es obvio, en la fisura no tendremos tensiones de traccin en el hormign, y la tensin enlas armaduras ser superior a la tensin media indicada en el interior de la biela comprimida. En elcaso de que la fuerza de corte fuera lo suficientemente elevada como para hacer entrar en fluencia a lasarmaduras cortadas por la fisura, cualquier aumento de la fuerza de corte deber ser tomado por

Figura 16.3

53

tensiones rasantes en la fisura (vci). La capacidad para transmitir corte de la interfase de una fisuradepende de la apertura w de la misma. A partir de valores experimentales se ha propuesto que12:

vci = 0.17 (fc)1/2 (8) 0.3 + 0.6 w

Donde vci est expresado en MPa y w en mm.

Igualando en el instante de la rotura las resultantes verticales de las tensiones medias actuantesen los cortes a travs de la biela y a travs de la fisura - que no es otra cosa que el corte - se tiene que:

V = Avfv dv + f1bvdv = Avfvy dv + vci bvdv (9) s tan q tan q s tan q

Operando sobre la ecuacin anterior llegamos al mximo valor al que podra llegar f1 alencontrarse limitado por la posibilidad de transferir esfuerzos de la fisura:

f1 = vci tan q + Av (fvy - fv) (10) sbv

El ancho de fisura w a utilizar en el clculo de vci debera ser el ancho medio obtenido apartir de:

w = e1 smq (11)

Donde e1 es la deformacin media de traccin y smq es la separacin media entre fisuras dealma. La separacin de las fisuras inclinadas depender de las caractersticas de control de fisuracinque se impongan para las armaduras longitudinales y para las transversales. Se sugiere que dichaseparacin podra estimarse como:

smq = 1 /( sen q + cos q ) (12) smx smv

Donde smx y smv son los valores correspondientes al control de fisuras fijados para lasarmaduras longitudinal y transversal respectivamente.

12 Existen otras expresiones que incluyen inclusive el tamao mximo del agregado grueso. Las expresiones ms generalesy completas incluyen la tensin de compresin que acta sobre la fisura por lo que, como resulta obvio al tratarse de unfenmeno fuertemente friccional, la expresin aqu volcada conduce a resultados conservadores al no contemplar laexistencia de esta tensin.

Figura 16.4a) b)

54

A pesar de que las separaciones anteriores pueden calcularse en forma terica, a los efectosprcticos sus valores pueden adoptarse iguales a las respectivas separaciones de barras pero, en ningncaso, menores a 100 mm.

Como ya es sabido desde hace aos, la tensin principal de compresin f2 es funcin nosolamente de la deformacin principal de compresin e2, sino tambin de la deformacin principal detraccin concomitante e1 (ver Figura 16.5).

Las relaciones empricas propuestas para la resistencia del hormign a compresin son:

f2 = f2max [2 ( e2 / ec ) - ( e2 /ec )2] (13)

conf2max / fc = 1 1.0 (14) n 0.8 - 0.34 e1 /ec

siendofc = resistencia cilndrica del hormignec = deformacin de rotura por compresin de la probeta cilndricaf2max = tensin de rotura para el estado combinado de deformacionese1 y e2 = deformaciones principales de traccin y compresin respectivamente

Si dibujamos ahora el crculo de Mohr correspondiente a las deformaciones en el alma (Figura16.6) surgen las siguientes expresiones:

tan2 q = (ex - e2) / (et - e2) (15)

Figura 16.5 Figura 16.6

55

e1 = ex + et - e2 (16)

16.3.- Aplicacin para una Solicitacin de Corte Puro

El procedimiento para determinar el comportamiento al corte de una viga es iterativo. Lospasos a seguir son los siguientes:

Paso 1: Elegir el valor de e1 para el que se realizarn los clculos (def. de traccin en las bielas)Paso 2: Estimar un valor de q (inclinacin de las fisuras)Paso 3: Calcular w con las ecuaciones (11) y (12) (ancho medio de la fisura inclinada)Paso 4: Estimar un valor de fv (tensin en las armaduras de alma)Paso 5: Calcular f1 con las ecuaciones (6), (7) y (10), adoptando el menorPaso 6: Calcular V (corte) con la ecuacin (9)Paso 7: Calcular f2 con la ecuacin (1)Paso 8: Calcular f2max = fc / (0.8 - 0.34 e1 / ec)Paso 9: Verificar si f2 f2max. Si f2 > f2max la solucin no es posible. Regresar al Paso 2 y elegir

un valor mayor de q o al Paso 1 y elegir un valor menor de e1Paso 10: Calcular e2 = ec [ 1 - (1 - f2 / f2max)1/2]. Ecuacin deducida de la ecuacin (13)Paso 11: Calcular ex y et de las ecuaciones (15) y (16)Paso 12: Calcular fv = Es et fvy (tensin de fluencia)Paso 13: Comparar el valor anterior con el del paso 4. Si es necesario volver al paso 4.Paso 14: Calcular fsx = Es ex fy (verificacin de la tensin en las armaduras pasivas) y

fpx = Ep (ex + Dep) fpy (verificacin de la tensin en las armaduras pasivas sumandolos valores correspondientes a la deformacin actual ms el estiramiento por pretensado.

Paso 15: Clculo del esfuerzo axil resultante:N = Asx fsx + Apx fpx - V / tan q + f1 bvdv - fc (Ac - bvdv)donde Asx y Apx son las secciones de armaduras activas y pasivas respectivamente, fces la tensin de compresin en la seccin por fuera del alma y Ac es la seccin total dehormign. Si ex es una deformacin de traccin, el valor de fc ser nulo en casocontrario, valdr:

fc = fc [2 ( ex / ec ) - ( ex /ec )2] Paso 16: Verificar que la fuerza axil resultante sea igual a la fuerza axil exterior solicitante. De

no existir otra solicitacin deber verificarse que sea nula. Si el valor no fuera elrequerido se deber volver al Paso 2 y adoptar un nuevo valor de q recordando que alaumentar q tambin aumenta N.

Para obtener la respuesta completa de la viga se deben repetir los clculos anteriores paravalores crecientes de e1 hasta que el valor del corte resistido comience a disminuir. Usualmente suelepartirse del valor de fisuracin, es decir de una deformacin especfica de alrededor de 0.0001.

16.4.- Aplicacin para una Solicitacin de Corte y Flexin

En la Figura 16.7 se aprecian dos enfoques posibles de este problema. En el primero (Figura16.7.a), la seccin es dividida en capas que se analizan cada una siguiendo los pasos vistos en el puntoanterior. Dado que la distribucin de tensiones tangenciales es tambin una de las hiptesis de partida,deber verificarse su cumplimiento. Esto que parece algo sencillo operativamente implica el clculo dedos secciones muy prximas calculando los esfuerzos tangenciales a partir de las diferencias en lasresultantes de las integraciones normales en cada una de las capas.

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El segundo enfoque est admitido por elreglamento canadiense y consiste en hacer unanlisis en la mitad de la altura de la seccin(ver Figura 16.7.b). Esta aproximacin implicasuponer una distribucin uniforme de tensionesde corte y por lo tanto se obvia una cantidadmuy grande de trabajo. De hecho esto no es unhecho muy significativo dado que, por loextenso de los clculos, se hace en todos loscasos imprescindible recurrir como mnimo aluso de una planilla de clculo.

Siempre sobre el segundo enfoque, elclculo podra resumirse de la siguiente forma. Los pasos 1 a 13 se realizaran segn lo vistoanteriormente, de all en adelante los pasos a seguir seran:

Paso 14: Calcular Nv con la ecuacin (5)Paso 15: Utilizando una distribucin plana de deformaciones que respete el ex adoptado para la

mitad de la altura se deber encontrar un diagrama de tensiones normales quereproduzca el momento exterior deseado y se calcular la resultante axil Np

Paso 16: Verificar si Np - Nv equilibran a la fuerza axil exterior. Si no es as se modificar elvalor de q y se repetir el clculo a partir del Paso 2. Aumentando q se aumenta Np -Nv.

Aplicando el procedimiento anterior se puede obtener el mximo valor de corte que puede serresistido para un determinado valor de momento. Repitiendo los clculos para diferentes valores delmomento se puede obtener un diagrama de interaccin momento-corte.

16.5.- Comentarios

En la bibliografa se desarrollan aplicaciones del mtodo para otras solicitaciones, algunas deellas poco o mal cubiertas por los reglamentos (por ejemplo la combinacin de flexin, corte yesfuerzos de traccin) contemplando, como ya se coment, armaduras arbitrarias en dos direccionesortogonales.

El contraste con resultados experimentales permite afirmar que, an cuando algunas de lashiptesis efectuadas (en particular el trabajo con valores medios) pueden resultar llamativas, losresultados son buenos y, en comparacin con la mayora de los mtodos recogidos por losreglamentos, resulta una herramienta de mucho mayor ajuste con la realidad.

A diferencia de los mtodos biela tensor contemplan la compatibilidad de deformacionesaunque, al partir de una distribucin plana de deformaciones no sirven para el anlisis de lasdenominadas secciones D.

Su aplicacin requiere del uso de computadoras. Las solicitaciones ms complejas requieren eluso de programas especficamente desarrollados.

Figura 16.7

a)

b)

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17.- LOS CLCULOS CON OCHO DECIMALES

Existe una diferencia central entre la Resistencia de Materiales Clsica y las Resistencias deMateriales Particulares tales como la Teora del Hormign: la primera trata con materiales ideales, lassegundas con materiales reales.

Imaginemos dos probetas de la misma forma, fabricadas con el mismo pastn de hormign,curadas en iguales condiciones, ensayadas en la misma mquina, por la misma persona y con la mismavelocidad de carga. En resumen dos piezas iguales . Sabemos que no resistirn la misma carga derotura y ni a compresin ni a traccin.

Podramos decir que las probetas no son iguales porque el cemento en ellas no tiene la mismahidratacin en todos los puntos de ambas probetas. O que no son iguales porque la distribucin delagregado grueso no es la misma en ambas. Tambin podramos decir que el operador que ensay lasegunda probeta era media hora ms viejo que el que ensay la primera. As podramos seguir hasta elinfinito (o hasta el infinitsimo).

Podramos intentar reducir la dispersin mediante el control de las variables como lasmencionadas tarea que est a cargo de los especialistas de cada rea: tecnologa del hormign ysiderrgica. An cuando confiemos en la capacidad de estos profesionales intuimos que la dispersinno desaparecer.

Otra alternativa podra ser aceptar que el material que estamos ensayando es disperso que habrprobetas que resisten ms y otras que resisten menos. Lo mismo podramos decir de las deformaciones,unas que se deformarn ms y otras menos.

Si el material es disperso podremos definir su resistencia media o caracterstica o algn otrovalor que la represente s, que la represente.

Con este valor que representa la resistencia y otro que represente la resistencia del acero y otropara la resistencia de adherencia y con un modelo que represente el funcionamiento conjunto podemosobtener una herramienta (frmula) que nos permita predecir algunos aspectos del comportamiento deun elemento estructural.

Podremos predecir un valor que represente la resistencia, la deformabilidad etc. No podremospredecir la resistencia.

Esto es, a partir de una variable probabilstica (aleatoria) ninguna frmula nos dar un resultadodeterminstico.

A partir de un valor medio, llegaremos a un valor medio.

Una pregunta que podemos formularnos es con que precisin queremos aproximarnos a esevalor medio?. La respuesta depende de cun grande sea el esfuerzo que sea necesario para lograr dichaaproximacin y, por supuesto, de cual sea la dispersin propia del fenmeno que estamosaproximando.

Por ejemplo con una frmula sencilla13:

rfs = skw

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Podemos calcular la abertura media de las fisuras con una precisin, digamos de 10% conuna regla de clculo.

Con una frmula algo ms complicada:

Podremos obtener, tal vez, el valor medio de la abertura de las fisuras con una precisin de 1% ahoracon el auxilio de una calculadora electrnica.

Y luego utilizando la ecuacin diferencial:

Que deberemos integrar numricamente definiendo la funcin t = f(s) podremos calcular la aberturamedia de las fisuras con una precisin, quizs, del 0.1% claro que requeriremos del auxilio de unacomputadora.

Cada una de las expresiones tiene su precisin y su costo pero en cualquier caso hemoscalculado la abertura media de las fisuras abertura que podr variar en 40% en el mejor de los casos.

Esta situacin planteada para la fisuracin se repite frente a otras situaciones como ladeformabilidad y tambin la resistencia.

Entonces Tiene sentido el desarrollo de mtodos complejos para analizar el comportamientode elementos de hormign armado? Si esto no es a costa de una prdida de tiempo o esfuerzo larespuesta es s. Ellos permiten incluir un mayor nmero de variables que en su momento nos ayuden adeterminar la sensibilidad del fenmeno frente a cada una de ellas y controlar que la dispersin delmodelo de clculo no sea mayor que la del fenmeno que se esta queriendo representar. En cualquierotro caso, la respuesta es no.

La existencia de mtodos complejos y de mejor ajuste con los valores medios no invalida laexistencia de la frmula sencilla que permite una cuenta rpida y una verificacin intuitiva que, aldecir de Maillart, muchas veces permite la deteccin de un error grosero. Lo que nunca debemosperder de vista es la dispersin propia de los fenmenos que estamos estudiando para no caer en latrampa intelectual de una falsa exactitud.

18.- QU EST PASANDO CON LOS REGLAMENTOS ?

El reglamento ACI-318-47 estaba impreso en un formato de 5 por 8 pulgadas y tena apenas 64pginas. Su edicin de 2002 est impresa en un formato de 8.5 por 11 pulgadas y cuenta con 443pginas. En nmeros redondos, 16 veces ms superficie de papel impreso.

13 Ver nomenclatura en el punto referidoa fisuracin

( )

-

++=

2

1102s

sr

s

s

Ekscw

ss

bs

rf

( )0

14

1

," =

+- aaf

trax

s

maxefsex ssE

s

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Ni los captulos de dimensionamiento a flexin o a corte han crecido en semejante proporcin,tal vez alguno de ellos hasta se haya achicado. Dnde buscar la diferencia?

Los nuevos reglamentos hacen mucho mayor hincape en las cuestiones relacionadas con losestados lmites de servicio (p.e. fisuracin, deformaciones) y sobre los aspectos relacionados con elcomportamiento (detalles constructivos, longitudes de anclaje y empalme) y sobre la durabilidad(recubrimientos, separaciones, calidad de construccin).

No debemos dejar de lado tampoco el aumento del conocimiento sobre algunos temas y laincorporacin de otros que, en 1947, ni siquiera formaban parte del reglamento (p.e. fisuracin,pretensado, mtodo de las bielas, etc.).

19.- DESIGN BY TESTING

Como final de estas notas haremos algunos comentarios referentes a la validacin del proyectode estructuras mediante ensayos (Design by Testing).

Como hemos visto en los albores del uso del hormign armado como material estructural laexperimentacin, la experiencia o la resolucin emprica fue una de las formas, tal vez la msfrecuente o eficaz, de resolver los problemas.

Claro, quin se poda oponer con argumentos tericos al resultado prctico de un ensayo. Estofue as, digamos, hasta 1920.

Con el tiempo, el avance de los conocimientos tericos y la preponderancia en los comits deredaccin de los reglamentos de los cientficos (investigadores) frente a los constructores, hizo queel manejo de los contenidos de las reglamentaciones quedaran en manos de los primeros.

Las reglamentaciones actuales CEB-78 o CEB-90 permiten, con mucho recelo, en formaprovisional y dentro de un apndice, el proyecto de elementos de hormign mediante laexperimentacin (Design by Testing).

Mientras el CEB-78 dejaba una pocas situaciones libradas a su corroboracin experimental elCEB-90 limita esta posibilidad, prcticamente, a lo especificado en el citado apndice. Y agrega quepuede contradecirse el anlisis terico slo para la determinacin de la resistencia de la seccin (no seincluye el anlisis estructural) y para aquellos casos que el anlisis terico no haya podido resolveradecuadamente o cuando conducen a soluciones antieconmicas o cuando se requiere mayorprecisin (SIC!!).

En todos los casos el ensayo deber ser ejecutado por el proyectista es decir por un terico,avalado por un organismo competente y aprobado por el comitente. Adems deber contarse con unanlisis terico previo que permita valorar la confiabilidad del ensayo.

Tambin se requiere que este incluya la consideracin de los efectos de larga duracin.

En definitiva se abre la posibilidad de proyectar a partir del anlisis experimental pero con unacantidad importante de condiciones que vistas por la sociedad en su conjunto pueden no resultarexcesivas teniendo en cuenta que se estn contradiciendo algunos aspectos tericos.