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Sistemas de ecuaciones lineales
En los sistemas con 2 incógnitas, el universo de nuestro sistema será el plano bidimensional, mientras que cada una de las ecuaciones será representada por una recta.
Sin resolver el sistema directamente, determina si tiene:
Única solución: La solución será el punto (o línea) donde se intersequen todas las rectas que representan a las ecuaciones.
Infinitas soluciones: (tres ecuaciones o más). Si, por el contrario, la intersección de todos los planos es una recta o incluso un plano, el sistema tendrá infinitas soluciones, que serán las coordenadas de los puntos que forman dicha línea o superficie.
No tiene solución: Si no existe ningún punto en el que se intersequen al mismo tiempo todas las líneas, el sistema es incompatible, o lo que es lo mismo, no tiene solución.
Método gráfico:
1. Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos valores de las incógnitas (x, y). "Sistema compatible determinado".
2. Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. «Sistema compatible indeterminado».
3. Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución en el campo de los números reales pero si en el campo de los números complejos.
Para ello:
1. Encuentra la pendiente de cada recta.2. Los puntos de corte de la recta con los ejes coordenados.3. Luego, comprueba por el método de reducción.
Problemas:
Primer sistema lineal:
1. 3x+5y=152. 6x+10y=6
Buscamos su pendiente (m) y el intercepto (b) con el eje y. Para ello, ordenamos la ecuación en su forma canónica: f(x)= mx + b.
3 x+5 y=15
Restamos (3x) en ambos lados de la ecuación.
−3 x+3x+5 y=15−3 x
Eliminamos y ordenamos:
5 y=−3 x+15
Dividimos entre (5) en ambos lados de la ecuación:
5 y5
=−3 x5
+ 155
Reducimos y obtenemos la forma canónica: f ( x )= y=mx+b
y=−3 x5
+3
De aquí encontramos:
m=−35; b=3
Ahora buscamos los puntos de corte (El punto de corte o intersecciones) es el punto donde la gráfica "corta" o pasa ya sea por el eje (y) o por el eje (x). Ambos puntos nos dan una idea de la forma que tiene la gráfica). Para ello nos preguntamos.
¿Qué ocurre si x=0?
y=−3(0)5
+3
Reducimos y obtenemos:
y=3
Entonces encontramos el primer punto de corte C1 (0,3). Para encontrar el segundo nos preguntamos:
¿Qué ocurre si y=0?
0=−3 x5
+3
Ahora restamos (3) en ambos lados de la ecuación:
−3+0=−3x5
+3−3
Reducimos:
−3=−3 x5
Multiplicamos por (5) en ambos lados de la ecuación:
5(−3=−3 x5
)
−15=−3x
Dividimos entre (3) en ambos lados de la ecuación.
−153
=−3x3
Reducimos:
−5=−x
Eliminamos el signo menos:
5=x
Así, encontramos el segundo punto de corte C2 (5,0).
Realizamos igual procedimiento para la segunda ecuación:
6 x+10 y=6
Restamos (-6x) en ambos lados de la ecuación y ordenamos:
−6 x+6 x+10 y=−6 x+6
Reducimos y ordenamos:
10 y=−6 x+6
Dividimos entre (10) ambos lados de la ecuación:
10 y10
=−6 x10
+ 610
Reducimos y Simplificamos:
y=−6 x10
+ 610
Simplificamos:
y=−3 x5
+ 35
Una vez mostrada en su forma canónica f ( x )= y=mx+b ;
Encontramos:
m=−35; b=3
5
Ahora buscamos los puntos de corte (El punto de corte o intersecciones) es el punto donde la gráfica "corta" o pasa ya sea por el eje (y) o por el eje (x). Ambos puntos nos dan una idea de la forma que tiene la gráfica). Para ello nos preguntamos.
¿Qué ocurre si x=0?
y=−3(0)5
+ 35
y=35
Entonces encontramos el primer punto de corte C1 (0,35). Para encontrar
el segundo nos preguntamos:
¿Qué ocurre si y=0?
0=−3 x5
+ 35
Restamos (3/5) en ambos lados de la ecuación:
−35
+0=−3 x5
+ 35−35
Reducimos:
−35
=−3x5
Multiplicamos por (5) en ambos lados de la ecuación:
5(−35
=−3 x5
)
Reducimos:
−3=−3 x
Eliminamos el signo menos y dividimos entre (3):
33=3 x3
Reducimos:
1=x
Así, encontramos el segundo punto de corte C2 (1,0). Con todo esto estamos listos para graficar.
La grafica
Conclusión:
F1(x)=
F2(x)=
Ambas rectas no se cortan, las coordenadas del punto de corte son diferentes en las rectas, sus pendientes son iguales.
Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución en el campo de los números reales.
Resolución mediante el método de reducción.Primer sistema lineal:
1. 3x+5y=15
2. 6x+10y=6
Multiplicamos por (-2) a la primera ecuación y se la sumamos a la segunda:
−2(3 x+5 y=5)
Tenemos:
−6 x−10 y=−10
6 x+10 y=6
0+0=4
Por tanto, el sistema no tiene solución.
Segundo sistema lineal
1. 3x+5y=152. x+5/3y=5
Buscamos su pendiente (m) y el intercepto (b) con el eje y. Para ello, ordenemos la ecuación en su forma canónica: f(x)= mx + b:
3 x+5 y=15
Restamos (3x) en ambos lados de la ecuación.
−3 x+3x+5 y=15−3 x
Eliminamos y ordenamos:
5 y=−3 x+15
Dividimos entre (5) en ambos lados de la ecuación:
5 y5
=−3 x5
+ 155
Reducimos y obtenemos la forma canónica: f ( x )= y=mx+b
y=−3 x5
+3
De aquí encontramos:
m=−35; b=3
Ahora buscamos los puntos de corte (El punto de corte o intersecciones) es el punto donde la gráfica "corta" o pasa ya sea por el eje (y) o por el eje (x). Ambos puntos nos dan una idea de la forma que tiene la gráfica). Para ello nos preguntamos.
¿Qué ocurre si x=0?
y=−3(0)5
+3
Reducimos y obtenemos:
y=3
Entonces encontramos el primer punto de corte C1 (0,3). Para encontrar el segundo nos preguntamos:
¿Qué ocurre si y=0?
0=−3 x5
+3
Ahora restamos (3) en ambos lados de la ecuación:
−3+0=−3x5
+3−3
Reducimos:
−3=−3 x5
Multiplicamos por (5) en ambos lados de la ecuación:
5(−3=−3 x5
)
−15=−3x
Dividimos entre (3) en ambos lados de la ecuación.
−153
=−3x3
Reducimos:
−5=−x
Eliminamos el signo menos:
5=x
Así, encontramos el segundo punto de corte C2 (5,0).
Realizamos igual procedimiento para la segunda ecuación:
x+5 y3
=5
Restamos (x) en ambos lados de la ecuación:
−x+x+ 5 y3
=−x+5
Reducimos y ordenamos:
5 y3
=−x+5
Multiplicamos por (3) ambos lados de la ecuación:
3( 5 y3
=−x+5)
Reducimos y Simplificamos:
5 y=−3 x+15
Dividimos entre (5) ambos lados de la ecuación:
5 y5
=−3 x5
+ 155
Reducimos y simplificamos:
y=−3 x5
+3
Llegamos a su forma canónica f(x) = mx + b, de donde obtenemos:
m=−35; b=+3
Ahora buscamos los puntos de corte (El punto de corte o intersecciones) es el punto donde la gráfica "corta" o pasa ya sea por el eje (y) o por el eje (x). Ambos puntos te dan una idea de la forma que tiene la gráfica). Para ello nos preguntamos.
¿Qué ocurre si x=0?
y=−3 (0 )5
+3
y=3
Entonces encontramos el primer punto de corte C1 (0,3). Para encontrar el segundo nos preguntamos:
¿Qué ocurre si y=0?
0=−3 x5
+3
Restamos (3) en ambos lados de la ecuación:
−3+0=−3x5
−3+3
Reducimos:
−3=−3 x5
Multiplicamos por (5) en ambos lados de la ecuación:
5(−3=−3 x5
)
Reducimos:
−15=−3x
Dividimos entre (3) ambos lados de la ecuación:
−153
=−3x3
Eliminamos el signo menos y reducimos:
5=x
Así, encontramos el segundo punto de corte C2 (5,0). Con todo esto estamos listos para graficar.
La grafica
Conclusión:
Ambas rectas son iguales, las coordenadas del punto de corte son iguales, sus pendientes son iguales. El sistema no tiene solución. Hay una ecuación.
Resolución mediante el método de reducción.
El segundo sistema lineal:
1. 3x+5y=15
2. x+5 y3
=5
Multiplicamos por (-3) a la segunda ecuación y se la sumamos a la primera:
−3(x+ 5 y3 =5)
f 1 ( x )=−3 x5
+ 3
f 2 ( x )=−3 x5
+ 3
−3 x−5 y=−15
+3 x+5 y=+15
0+0=0
Por tanto, el sistema no tiene solución.
Tercer sistema lineal
1. 3x+5y=152. 5x-3y=-1
Buscamos su pendiente (m) y el intercepto (b) con el eje y. Para ello, ordenamos la ecuación en su forma canónica: f(x)= mx + b.
3 x+5 y=15
Restamos (-3x) en ambos lados de la ecuación:
−3 x+3x+5 y=15−3 x
Eliminamos y ordenamos:
5 y=−3 x+15
Dividimos entre (5) ambos lados de la ecuación:
5 y5
=−3 x5
+ 155
Reducimos:
y=−3 x5
+3
Llegamos a su forma canónica f(x) = mx + b, de donde obtenemos:
m=−35; b=+3
Ahora buscamos los puntos de corte (El punto de corte o intersecciones) es el punto donde la gráfica "corta" o pasa ya sea por el eje (y) o por el eje (x). Ambos puntos nos dan una idea de la forma que tiene la gráfica). Para ello nos preguntamos.
¿Qué ocurre si x=0?
y=−3 (0 )5
+3
y=3
Entonces encontramos el primer punto de corte C1 (0,3). Para encontrar el segundo nos preguntamos:
¿Qué ocurre si y=0?
0=−3 x5
+3
Restamos (3) en ambos lados de la ecuación:
−3+0=−3x5
+3−3
Reducimos:
−3=−3 x5
Multiplicamos por (5) en ambos lados de la ecuación:
5(−3=−3 x5
)
Reducimos:
−15=−3x
Dividimos entre (3) ambos lados de la ecuación:
−153
=−3x3
Reducimos:
−5=−x
Eliminando el signo menos:
5=x
Así, encontramos el segundo punto de corte C2 (5,0).
Realizamos igual procedimiento para la segunda ecuación:
5 x−3 y=−1
Restamos (5x) en ambos lados de la ecuación:
−5 x+5x−3 y=−1−5 x
Reducimos y ordenamos:
−3 y=−5 x−1
Dividimos entre (-3) ambos lados de la ecuación:
−3 y−3
=−5 x−3
− 1−3
Reducimos y Simplificamos:
y=5 x3
+ 13
Llegamos a su forma canónica f(x) = mx + b, de donde obtenemos:
m=+35; b=1
3
Ahora buscamos los puntos de corte (El punto de corte o intersecciones) es el punto donde la gráfica "corta" o pasa ya sea por el eje (y) o por el eje (x). Ambos puntos nos dan una idea de la forma que tiene la gráfica). Para ello nos preguntamos.
¿Qué ocurre si x=0?
y=5(0)3
+ 13
y=13
Entonces encontramos el primer punto de corte C1 (0,13). Para encontrar
el segundo nos preguntamos:
¿Qué ocurre si y=0?
0=5 x3
+ 13
Restamos (13) en ambos lados de la ecuación:
−13
+0=3x5
+13−13
Reducimos:
−13
=3 x5
Multiplicamos por (5) en ambos lados de la ecuación:
5(−13
=3x5
)
Reducimos:
−53
=3 x
Dividimos entre (3) ambos lados de la ecuación:
−59
=3 x3
Reducimos:
−59
=x
Así, encontramos el segundo punto de corte C2 (−59,0)
Con todo esto estamos listos para graficar.
La grafica
Conclusión:
Ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos valores de las incógnitas (x, y). "Sistema compatible determinado".
Resolución mediante el método de reducción.
f 1 ( x )= y=−3 x5
+3f 2 ( x )= y=5 x3
+ 13
(1.1765,2 .2941)
1.3 x+5 y=15
2.5 x−3 y=−1
Multiplicamos a la primera ecuación por (5):
5(3 x+5 y=15)
15 x+25 y=75
Multiplicamos a la segunda ecuación por (-3):
−3(5 x−3 y=−1)
−15 x+9 y=3
Sumamos ambos resultados:
15 x+25 y=75
−15 x+9 y=3
0+34 y=78
y=7834
y=2.2941
Este valor lo remplazamos en la segunda ecuación:
5 x−3 (2.2941 )=−1
5 x=6.88−1
5 x=5.88
x=5.885
x=1.1765
La solución del sistema es: x=1.1765
y=2.2941
Que son los puntos de intersección de las dos rectas.
Cuarto sistema lineal
1.4x+y=2
2.8x-y=4
Buscamos su pendiente (m) y el intercepto (b) con el eje y. Para ello, ordenamos la ecuación en su forma canónica: f(x)= mx + b.
4 x+ y=2
Restamos (4x) en ambos miembros de la ecuación y ordenamos:
−4 x+4 x+ y=−4 x+2
Reducimos:
y=−4 x+2
Como hemos llegado a su forma canónica f(x)=y=mx+b, obtenemos:
m=−4 ;b=2
Ahora buscamos los puntos de corte (El punto de corte o intersecciones) es el punto donde la gráfica "corta" o pasa ya sea por el eje (y) o por el eje (x). Ambos puntos nos dan una idea de la forma que tiene la gráfica). Para ello nos preguntamos:
¿Qué ocurre si x=0?
y=−4 (0 )+2
y=2
Entonces encontramos el primer punto de corte C1 (0,2) Para encontrar el segundo nos preguntamos:
¿Qué ocurre si y=0?
0=−4 x+2
Restamos (2) en ambos miembros de la ecuación:
−2+0=−4 x+2−2
Reducimos:
−2=−4 x
Eliminamos el signo y dividimos entre (4) ambos miembros de la ecuación:
24=4 x4
Simplificamos:
12=x
Entonces encontramos el segundo punto de corte C2 (0,12).
Realizamos igual procedimiento para la segunda ecuación:
8 x− y=4
Restamos (8x) en ambos lados de la ecuación:
−8 x+8 x− y=4−8 x
Reducimos y ordenamos:
− y=−8 x+4
Multiplicamos por (-1) en ambos lados de la ecuación:
−1(− y=−8 x+4)
Obtenemos:
y=8x−4
Como hemos llegado a su forma canónica f(x) = y = mx + b, obtenemos:
y=8x−4
m=8 ;b=−4
Ahora buscamos los puntos de corte (El punto de corte o intersecciones) es el punto donde la gráfica "corta" o pasa ya sea por el eje (y) o por el eje (x). Ambos puntos nos dan una idea de la forma que tiene la gráfica). Para ello nos preguntamos:
¿Qué ocurre si x=0?
y=8 (0 )−4
y=−4
Entonces encontramos el primer punto de corte C1 (0,-4). Para encontrar el segundo nos preguntamos:
¿Qué ocurre si y=0?
0=8 x−4
Sumamos (4) en ambos miembro de la ecuación:
4+0=8 x+4−4
Reducimos:
4=8x
Dividimos entre (8):
48=8 x8
Reducimos:
12=x
Entonces encontramos el segundo punto de corte C2 (12,0).
Con todo esto estamos listos para graficar.
La grafica
Conclusión:
Ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos valores de las incógnitas (x, y). "Sistema compatible determinado".
Resolución mediante el método de reducción.1.4 x+ y=2
2.8 x− y=4
Multiplicamos por (-2) a la primera ecuación y se la sumamos a la segunda ecuación:
−2(4 x+ y=2)
f 1 ( x )= y=−4 x+2 f 2 ( x )= y=8 x−4
( 12,0)
Obtenemos:
−8 x−2 y=−4
8 x− y=4
0−3 y=0
De aquí:
y=0
Obtenido este valor de y, lo reemplazamos en la primera ecuación:
4 x+(0)=2
Dividimos entre (4) ambos miembro de la ecuación:
4 x=2
4 x4
=24
x=12
La solución del sistema es: x=12
y=0
Que son los puntos de intersección de las dos rectas.
Con estos ejemplos de manejo de gráfica y método de reducción de solución de sistemas de ecuaciones lineales, damos nuestro segundo aporte al conocimiento.
