4. ECUACIONES BSICAS DE LA DINMICA DE FLUIDOS

Ecuacin de conservacin de la cantidad de movimiento 4. Ecuaciones bsicasLa ecuacin de movimiento de un fluido expresa la Segunda Ley de Newton, esto es, que la tasade cambio de la cantidad de movimiento de una dada porcin de fluido es igual a la resultante delas fuerzas que actan sobre esta porcin. Existen diferentes formas, todas equivalentes, de es-cribir esta Ley.

Forma integral Lagrangiana (volumen material)Sea V un volumen material rodeado por una superficie (obviamente tambin material) S. La can-tidad de movimiento contenida en V es

udV

Su derivada total respecto del tiempo (derivada material) es

(4.1)

(4.2)donde usamos la ecuacin de conservacin de la masa para simplificar la expresin. Entonces, laderivada de la cantidad de movimiento contenida en el volumen V, es simplemente la suma delos productos de la masas ( dV ) por las aceleraciones ( d dt/ ) de los elementos infinitesimalesque integran el volumen material finito V.En general, sobre una porcin dada de fluido actan fuerzas de volumen y de superficie, cuyaresultante debe ser igual a la derivada temporal de la cantidad de movimiento. Si indicamos cong la resultante de las fuerzas de volumen (por unidad de masa), tenemos,

Si transformamos el ltimo trmino en otra integral de volumen (por el Teorema de Green),

(4.4)

el balance de cantidad de movimiento se expresa como

La (4.5) es la forma integral Lagrangiana de la ecuacin de movimiento.4. Ecuaciones bsicas

Ecuacin de la energa Se puede adquirir una visin ms amplia del efecto de las fuerzas de superficie en el movimientodel fluido, considerando el balance de energa en un elemento material de volumen V limitadopor la superficie (material) S.Las fuerzas de volumen y de superficie realizan trabajo sobre el fluido en V, y al mismo tiempopuede haber transferencia de calor a travs del contorno S. Parte de la ganancia neta de energase manifiesta como un incremento de la energa cintica del fluido y, el resto, de acuerdo con laPrimera Ley de la Termodinmica, aparece como un aumento de la energa interna del fluido.Por lo tanto

(4.24)

donde E es la energa del elemento material, P es la potencia desarrollada por las fuerzas que actan sobre l, y dQ dt es el flujo neto de calor (por unidad de tiempo) que entra al elemento.Analizaremos este balance para deducir una ecuacin diferencial vlida en cada punto del fluido, que exprese el balance de energa para una dada masa de fluido.La potencia (trabajo por unidad de tiempo) desarrollada sobre V es la suma de la contribucindebida a la resultante de las fuerzas de volumen ms la contribucin debida a las fuerzas de su

perficie que actan sobre S:

donde el ltimo trmino se puede escribir como

(4.25)

(4.26)

Debe quedar en claro que esta integral no se debe confundir con el trabajo efectuado por la resultante de las fuerzas de superficie sobre V.De (4.25) y (4.26) obtenemos la potencia neta por unidad de masa P desarrollada sobre un ele-mento material

El segundo trmino de (4.27) (que proviene del trabajo de las fuerzas de superficie) est relacio-nado con la pequea diferencia que hay entre los esfuerzos sobre las caras opuestas del ele-mento, y contribuye junto el primero (que proviene de las fuerzas de volumen) a la ganancia de

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energa cintica por unidad de masa de todo el volumen. En efecto, si usamos la ecuacin demovimiento general (4.6) tenemos que los primeros dos trminos del miembro derecho de la(4.27) se combinan para dar

(4.28)Por lo tanto

El tercer trmino de la (4.27), esto es

(4.30)est relacionado con la pequea diferencia de velocidades que hay entre las caras opuestas delelemento, y proviene del trabajo realizado para deformar el elemento, sin cambiar su velocidad.Este trabajo de deformacin se manifiesta completamente como un aumento de la energa in-terna del fluido.Por otro lado, la energa interna del fluido tambin se ve afectada por la cantidad de calor netaque ingresa al elemento de volumen. Supondremos que el calor se transfiere por conduccinmolecular. Entonces, la tasa de ganancia de calor por conduccin a travs de S es

(4.31)donde T es la temperatura local y k la conductividad trmica del fluido. Luego, el calor ganado

por el elemento de fluido, por unidad de tiempo y de masa, es,

De esta manera, la tasa de variacin de la energa interna por unidad de masa, e, viene dada por

La expresin del primer trmino se puede simplificar si se descompone el tensor aui /axj en unaparte simtrica y otra antisimtrica, pues el producto saturado de i j con la parte antisimtrica esidnticamente nulo. As obtenemos

donde ij es la parte simtrica de aui/ axj.Si ahora introducimos la expresin general (4.21) de ij que obtuvimos en la seccin anteriorpara fluidos Newtonianos en la ec. (4.34) para la tasa de variacin de la energa interna, y supo-nemos que el segundo coeficiente de viscosidad es nulo, encontramos

Para interpretar el primer trmino del miembro derecho de la (4.35) podemos observar que en

virtud de la ecuacin de continuidad tenemos que de modo que

(4.36)

puesV = M es la masa del elemento material. Por lo tanto este trmino representa la poten-cia por unidad de masa desarrollada por la presin (istropa) en la expansin o compresin delelemento de volumen; es negativo (e disminuye) si hay expansin y positivo (e aumenta) si haycompresin.En cuanto al segundo trmino, conviene escribirlo en la forma

que es una identidad pues ii= 3 yii= .u . De esta manera vemos que este trmino es defi-nido positivo, mostrando que cualquier deformacin del fluido est inevitablemente acompaadapor una transformacin de la energa mecnica asociada con el movimiento en energa internadel fluido. En consecuencia podemos definir la tasa de disipacin de energa mecnica por uni-

dad de masa, debida a la viscosidad como

Ntese que la disipacin de energa mecnica debida a la viscosidad es equivalente en sus efec-tos a una transferencia irreversible de calor.En resumen, el primer trmino de la expresin de la tasa de variacin de la energa interna porunidad de masade dt representa los cambios reversibles asociados con las deformaciones is-tropas, y el segundo trmino representa los cambios irreversibles asociados con las deformacio-nes puras

Si tomamos en cuenta el trmino (. u)I del el tensor de los esfuerzos, podemos ver fcil-mente que tambin las compresiones y expansiones puras dan lugar a una disipacin irreversible.En efecto, en este caso aparece un trmino adicional en de / dt que es proporcional a (.u) ypor lo tanto es siempre positivo de modo que lleva a una aumento de e. Este efecto est ligadocon el cambio de signo del trmino (.u) cuando se considera un volumen en expansin o encompresin, de resultas de lo cual en ambos casos el trabajo tiene el mismo signo (positivo).Resumiendo nuestros resultados, tenemos que la tasa de variacin de la energa por unidad de

masa est dada por

donde la tasa de variacin de la energa cintica por unidad de masa est dada por la ec. (4.29) yla tasa de variacin de la energa interna por unidad de masa est dada por la ec. (4.34)