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FLUJO DE UN FLUIDO
A TRAVÉS DE UN
MEDIO POROSOCURSO: MODELACIÓN MATEMÁTICA
COMPUTACIONAL DE SISTEMAS TERRESTRES I
POSGRADOS: CIENCIAS DE LA TIERRA Y
CIENCIA E INGENIERIA DE LA COMPUTACIÓN
AUTOR: GUILLERMO DE J. HERNÁNDEZ G. UNAM
1. SUPUESTOS BÁSICOS DEL MODELO DE FLUJO
1. SUPUESTOS BÁSICOS DEL MODELO DE FLUJO
Los supuestos generalmente adoptados para modelos de flujo de fluidos en un medio poroso son:
• El medio poroso es saturado por el fluido;
• La matriz sólida permanece en reposo durante el proceso de flujo de fluido;
• La matriz sólida es elástica;
• El fluido es compresible;
• Las velocidad de las partículas de fluido cumple con la ley de Darcy:
• La masa de fluido se conserva;
• El fluido no está sujeto a procesos de difusión, τ = 0.
2. EL MODELO BÁSICO PARA
EL FLUJO DE UN FLUIDO
A TRAVÉS DE UN MEDIO POROSO
2. EL MODELO BÁSICO PARA EL FLUJO DE UN FLUIDO A TRAVÉS DE UN MEDIO POROSO
.,, producto el es modelo este de
única extensiva propiedad lascon asociada intensiva
propiedad La fluido. del densidad la es , Donde
,,
fluido. del masa la
:extensiva propiedad una soloen basado es modelo El
txtx
tx
dxtxtxtMtB
f
2. EL MODELO BÁSICO PARA EL FLUJO DE UN FLUIDO A TRAVÉS DE UN MEDIO POROSO
0
a reduce se
modelo delecuación la 0, = g sistema, elen masa
genera se no que asumiendoy 0, = separadas, especies
hay no porquedifusión a sujeto está no fluido El
:es poroso medioun de travésa fluidoun de flujo el
para básico matemático modelo el tantoloPor
vt
gvt
2. EL MODELO BÁSICO PARA EL FLUJO DE UN FLUIDO A TRAVÉS DE UN MEDIO POROSO
UvvU
Uv
gvt
1;
por asrelacionadson que es, velocidad
dos estas entre distinción laen cuidadoponer necesario Es
. Darcy, de velocidadlay , ,partículas las de velocidadla
:definidasser pueden es velocidadde clases Dos
:0 g
caso cuyoen as,distribuid externas fuentes incorporan se
entefrecuentem pozospor inyección o extracción para
asubterráne agua de regional flujo de estudiosEn
2. EL MODELO BÁSICO PARA EL FLUJO DE UN FLUIDO A TRAVÉS DE UN MEDIO POROSO
incógnita. estado de variablesola una
tienefinalecuación la , velocidadla a aplicada estado de
variablemisma la de sen término en y en cambios los
describir paraaplican se vasconstituti relaciones otras Cuando
. ,hidráulica carga la presión, de estado de
variablela víarepresenta se velocidadla que laen ecuación
una a conduce modelo elen Darcy deley la den sustitució La
h
3. MODELADO DE LA
ELASTICIDAD Y LA
COMPRESIBILIDAD
3. MODELADO DE LA ELASTICIDAD Y LA COMPRESIBILIDAD
• Bajo los supuestos dados, el producto ερ de las ecuaciones anteriores es función de la presión, exclusivamente. Para la aplicación de esas ecuaciones es necesario hacer más explícita la dependencia del producto ερ de la presión del fluido. En particular, la meta del siguiente desarrollo es expresar la derivada respecto al tiempo ερ en términos de la derivada de la presión respecto al tiempo.
• Entonces procedemos a descomponer la derivada respecto al tiempo de ερ en dos contribuciones: una debida a la compresibilidad del fluido y la otra debida a la elasticidad de la matriz sólida.
3. MODELADO DE LA ELASTICIDAD Y LA COMPRESIBILIDAD
Tal descomposición es inmediata a continuación cuando
la fórmula para la derivada de un producto es aplicada:
Aquí el término produce una contribución de la
compresibilidad del fl
t t t
t
uido, mientras que el término
produce una contribución de la elasticidad de la
matriz sólida en su conjunto (no únicamente los
granos individuales).
t
3. MODELADO DE LA ELASTICIDAD Y LA COMPRESIBILIDAD
Compresibilidad del fluido
• Aquí se hará uso de del supuesto de que el fluido
satisface una ecuación de estado, que permite
expresar la densidad como función de la presión,
ρ(p), exclusivamente.
• Por otro lado, en el procedo de flujo de un fluido la
presión es función de la posición x, y el tiempo t. No
obstante, el fluido se asume homogéneo, es decir,
satisface la misma ecuación de estado en cada punto
del espacio y del tiempo.
3. MODELADO DE LA ELASTICIDAD Y LA COMPRESIBILIDAD
Compresibilidad del fluido
1
por definido es cual el
fluido, del el representa Donde
11
:por definido es enteexplícitam másy ,
como conocido es cual el , parámetro el defineecuación Esta
:que implica cual Lo
,
por dada es tiempodely posición la defunción como densidad La
V
pecíficovolumen esV
dp
dV
Vdp
d
fluidolidad del compresibi
t
p
t
p
dp
d
t
txp
3. MODELADO DE LA ELASTICIDAD Y LA COMPRESIBILIDAD
Compresibilidad del fluido
1
representa el del fluido, definido por
Lo cual, en palabras, es:
que el volumen específico es el volumen por unidad de masa.
En las anteriores definiciones se ha usado la sigui
V volumen específico
V
1
ente relación
1 ln ln ln 1d d d d V dV
dp dp dp dp V dp
3. MODELADO DE LA ELASTICIDAD Y LA COMPRESIBILIDAD
Compresibilidad de poro
• El siguiente análisis es para entender el proceso que produce y determina la compresibilidad de la matriz sólida.
• Sea ptot la presión total (fuerza por unidad de área) atribuible al sistema sólido fluido (asumiendo estado de estrés isotrópico).
• Parte del sistema es soportado por la matriz sólida y la otra por el fluido. La notación pef (presión efectiva) es usada para el soporte provisto por la matriz sólida.
• Entoncesppp eftot
3. MODELADO DE LA ELASTICIDAD Y LA COMPRESIBILIDAD
Compresibilidad de poro
• La magnitud de ptot depende de las condiciones del ambiente que rodea al sistema medio poroso -fluido. Por ejemplo, si tal sistema lo constituye el suelo en el cual un edificio es localizado, ptot va a cambiar si el edificio es removido.
• En el análisis que sigue se asume que las condiciones del ambiente que rodea el sistema poro-fluido no cambia, y la presión total no cambia durante el tiempo considerado en el análisis.
ppp eftot
3. MODELADO DE LA ELASTICIDAD Y LA COMPRESIBILIDAD
Compresibilidad de poro
• En problemas considerados en mecánica de
suelos e ingeniería de cimentaciones consiste
en estudiar las modificaciones en la distribución
de la presión del fluido producida por un
cambio en ptot debida a, por ejemplo, a la
construcción de obras civiles como edificios.
• Un análisis similar no incluido aquí, puede ser
aplicado a tal problema.
ppp eftot
3. MODELADO DE LA ELASTICIDAD Y LA COMPRESIBILIDAD
Compresibilidad de poro
Cuando el supuesto adoptado es que es independiente
del tiempo, cualquier cambio en la presión del fluido es
acompañado por un cambio en la presión efectiva.
Esta observación implica que:
tot
ef
p
p p 0
Aquí el símbolo es para indicar incremento o cambio:
cuando la presión de poro tiene un incremento, la
presión efectiva sufre decremento, y el poro se expande.
totp
3. MODELADO DE LA ELASTICIDAD Y LA COMPRESIBILIDAD
Compresibilidad de poro
-1
-1
tot
La siguiente notación será usada a continuación:
densidad del material sólido
volumen específico del sólido
densidad de la matriz sólida
volumen específico de la matríz sólida
S
S
tot
tot
V
V
Las compresibilidades de la matriz sólida y
compresibilidad de los gramos sólidos son dadas por:
1 1 y
Se observa que
11 y
1
tot
S
tot S Stot S S
tot ef S ef ef
tot S tot
S
dV dV d
V dp V dp dp
V
3. MODELADO DE LA ELASTICIDAD Y LA COMPRESIBILIDAD
Compresibilidad de poro
1
ecuaciónanterior la usando escribirse puedeecuación Esta
11
:por términosegundo el
dividiendoy ndomultiplicay relación esta Derivando
11
1
identidad siguiente lacon inicia se análisis El
totS
tot
S
totS
ef
ef
S
stot
S
ef
tot
tottot
S
ef
S
tot
S
S
S
V
V
dp
d
dp
dV
VV
V
dp
dV
VV
V
dp
d
V
V
V
3. MODELADO DE LA ELASTICIDAD Y LA COMPRESIBILIDAD
Compresibilidad de poro
sólida. matriz la forma que sólido material del volumen el
en cambio el quemayor mucho es poros devolumen
elen cambio el cuando cumple secondición Esta
1
:desprecia se entoncesy , Usualmente
1
entonces Y
1
anterior lo De
t
p
dt
d
t
p
t
p
dp
d
dt
d
dp
d
dp
d
tot
SStot
Stot
Stot
ef
3. MODELADO DE LA ELASTICIDAD Y LA COMPRESIBILIDAD
Coeficiente de almacenamiento
ρq g
g
qgvgt
pS
ionaln gravitacaceleracióg
gS
S
t
p
dt
d
S
StotS
S
Stot
subtrránea hidrologíaen usual es que forma unapor
sustituida sido ha , masa, de externo suministro derazón la donde
ˆˆ
como ahora que planteada teinicialmen balance deecuación La
la es ˆ donde
1ˆ
como definido es , , específico entoalmacenami de ecoeficient El
1
así queda producto del derivada la ,anteriores resultados losCon
4. LEY DE DARCY
4. LEY DE DARCY
• Esta ley es una ecuación constitutiva que relaciona la velocidad del fluido y la distribución espacial de presión del fluido.
• Fue establecida en el siglo diecinueve por el ingeniero francés Henri Darcy para flujo saturado unidimensional a través de arena, y desde entonces ha sido generalizada para considerar regímenes de flujo más complicados;
• en forma generalizada, también es ahora usada para describir flujo multifásico en medios porosos anisotrópicos. Aquí consideramos el caso en que el fluido tiene solo una fase; el flujo multifásico se discute en temas avanzados.
4. LEY DE DARCY
• Generalmente, cuando la matriz sólida es anisotrópica, el
medio poroso tiene direcciones preferenciales para el flujo de
fluidos. En este caso general, la Ley de Darcy para un fluido
monofásico es dado por la ecuación
Darcy de velocidadla es
el es
fluido del cos la es
)(un vector gravedad la a debidan aceleració la es ˆ
donde
ˆ1
U
intrínsecadadpermeabilitensor de k
dinámicaidadvis
g
gpkvU
4. LEY DE DARCY
• El tensor de permeabilidad intrínseca, k es una matriz simétrica y positiva definida.
• Es notable la similitud entre esta la ley de Darcy y las Leyes de Fourier(flujo de calor) y de Fick (flujo de masa de soluto). Sin embargo en la ley de Darcy, la fuerza de la gravedad juega un papel especial, algo que no sucede en las otras dos leyes.
• También debe notarse que en flujos en los que la ley de Darcy aplica, la presión del fluido es siempre continua. Esto es necesario porque de otra forma el gradiente de la presión sería de magnitud infinita, y también lo serían las velocidades del fluido.
4. LEY DE DARCY
• Según se estableció la ecuación aplica en el caso
general en que la matriz porosa puede ser
anisotrópica.
• En el caso particular en que la matriz sólida es
isotrópica no hay direcciones preferenciales de flujo
debidas a la matriz porosa, y el tensor de
permeabilidad intrínseca tiene la forma
Ikk
4. LEY DE DARCY
0. >k si soloy si definido positivo
es intrínseca dadpermeabili de tensor El
escalar.un esk intrínseca dadpermeabili la
forma la tieneintrínseca dadpermeabili
de tensor el ,isotrópica es sólida matriz la Si
Ikk
4. LEY DE DARCY
Dado un punto cualquiera del espacio físico,
entonces ( ) es la elevación con respecto
a un nivel de referencia dado.
La aceleración debida a la gravedad es
ˆ ˆ
ˆdonde es la magnitud de la ace
x
z x
g g z
g
leración
de la gravedad. Usando esta ecuacion obtenemos
1ˆU k p g z
4. LEY DE DARCY
Darcy de velocidadlaexpresar para petrolera industria la
en usadas comúnmenteson para ecuaciones anteriores Las
ˆ1
:isotrópica es sólida matriz la cuandoy
;3,2,1;ˆ
:indicialnotación usando
ˆ1
:esDarcy deley la paraecuación La
3
2
1
U
zgpkU
U
U
U
Uix
zg
x
pkU
zgpkU
jj
ij
i
5. NIVEL PIEZOMÉTRICO
5. NIVEL PIEZOMÉTRICOCuando se modela el flujo a través de medios porosos, especialmente
en el estudio de la hidrología del agua subterránea, el concepto de
es muy útil.
Para su int
carga piezométrica o nivel piezométrico
0
roducción, se puede iniciar con la definición de una función
auxiliar:
1,
ˆ
cuando el fluido es incompresible, ( ) es una constante independiente
de y entonces la ecuación queda como:
p
p
dH p z z
g
H p
0,ˆ
p pz z
g
5. NIVEL PIEZOMÉTRICO
xzg
ptxptxh
xzd
gtxh
xztxpHtxh
,t)xh(
xt
txp
p
ˆ
,,
bleincompresi es fluido el cuando
ˆ
1,
enteexplícitam más o
,,,
:como , co,piezométri nivel el definimos saturado,
poroso medioun de puntocualquier y tiempocualquier En
0
,
0
5. NIVEL PIEZOMÉTRICO
t
hg
t
p
ˆ
escribir podemosanterior ecuación laen baseCon
a.subterráne hidrologíaen usada eampliament esecuación última la
esto a Debido normales. scondicione bajo ecompresibl poco es agua El
5. NIVEL PIEZOMÉTRICO
hKU
kg
K
licadad hidráuconductivitensor de
hkg
U
hgzgp
comoescribir puede se previaecuación lay
ˆ
como definido es el donde
ˆ
como escritaser puedeDarcy deley La
ˆˆ
:es extensivo, usosu motiva vez
su a que co,piezométri nivel del importante propiedad Otra
5. NIVEL PIEZOMÉTRICO
Darcy. de velocidadlaexpresar para asubterráne hidrologíaen
usadas comúnmenteson para ecuaciones anteriores Las
:isotrópico caso al aaplicándoly
ˆ
como definida es lay
ˆ
,isotrópica es sólida matriz la Cuando
U
hKU
kg
K
ulicaidad hidrá conductiv
IKIkg
K
6. ECUACIÓN GENERAL
GOBERNANTE PARA EL FLUJO A
TRAVÉS DE UN MEDIO POROSO
6. ECUACIÓN GENERAL GOBERNANTE PARA EL FLUJO A TRAVÉS DE UN MEDIO POROSO
qUUt
hS
qUt
hS
t
hg
t
pqgvg
t
pS
S
S
S
ln
es que
:producen n,combinacióen que mismas
ˆ,ˆˆ
:ecuaciones siguientes las obtuvieron se previas secciones lasEn
1
6. ECUACIÓN GENERAL GOBERNANTE PARA EL FLUJO A TRAVÉS DE UN MEDIO POROSO
Cuando el fluido es poco compresible y la velocidad de Darcy moderada
ln 1 y entonces
.
Este resultado es usado para derivar modelos de flujo de un fluido monofásico
en un medio poroso
S
U
hS U q
t
. Cuando la ley de Darcy se incorpora en la anterior ecuación
se obtiene
.
Esta es la ecuación diferencial básica que es usada extensivamente en aplicaciones,
particularmente de hidrolog
S
hS K h q
t
ía subterránea.
6. ECUACIÓN GENERAL GOBERNANTE PARA EL FLUJO A TRAVÉS DE UN MEDIO POROSO
Cuando el medio poroso es isotrópico:
.
Si la matriz sólida es homogénea, sus propiedades son independientes de la posición:
S
S
hS K h q
t
hS
t
Formas especiales de la ecuación diferencial gobernante
2
2
.
O aplicando la notación :
.
Que a su vez puede ser escrita como:
.K
donde .
S
S
K h q
hS K h q
t
h qh
t
K S
6. ECUACIÓN GENERAL GOBERNANTE PARA EL FLUJO A TRAVÉS DE UN MEDIO POROSO
La ecuación tiene interés desde la perspectiva del análisis dimensional
y de similaridad, si por un cambio de variable, en el que ,
puede ser transformada en la ecuación del calor, cuando 0:
αt t
q
h
t
0
Otro caso de interés especial es cuando el sistema fluido- poro es incompresible.
Entonces 0:
.
y .
y K.
Por otro lado, en problemas de estado estacionario, la derivada respe
S
h
S
K h q
K h q
h q
cto al tiempo
se anula y las anteriores ecuaciones también se aplican.
7. PROBLEMAS BIEN
PLANTEADOS
7. PROBLEMAS BIEN PLANTEADOSIntroducción
• La clase de problemas que son bien planteados para
los modelos es determinada por el tipo de ecuación
diferencial gobernante. En el caso de flujo a través de
medios porosos, dos tipos de ecuaciones diferenciales
serán encontradas: parabólicas y elípticas. Para el
caso dado por la ecuación
.qhKt
hSS
7. PROBLEMAS BIEN PLANTEADOSIntroducción
• La anterior es una ecuación diferencial parcial parabólica, siempre
que SS > 0, porque el tensor de conductividad hidráulica, K, es
siempre una matriz positiva definida.
• Sin embargo cuando SS = 0 y para modelos de estado estacionario, la
ecuación diferencial gobernante se reduce a una ecuación diferencial
parcial de tipo elíptico. Estos dos tipos de ecuación también ocurren
cuando se estudia el transporte de solutos por un fluido libre descrito
en el capítulo correspondiente y, consecuentemente, la discusión
siguiente es muy similar a la presentada allí.
• Sin embargo, a pesar de las similitudes entre los modelos
matemáticos gobernando estos dos tipos de sistemas hay diferencias
significativas entre la física que debe ser entendida.
7. PROBLEMAS BIEN PLANTEADOSIntroducción
• La ecuación gobernante para transporte de un soluto por un fluido libre es
de tipo parabólica; cuando es comparada con la de flujo exhibe diferencia
relevantes que reflejan los dientes principios físicos que intervienen.
• Una muy importante, que tiene implicaciones significantes en su
tratamiento numérico y en las propiedades de las soluciones numéricas
resultantes, es el hecho de que la ecuación de transporte tiene un término de
advección (o convección), cv, que está ausente en la ecuación de flujo.
• Debido a este hecho, el operador diferencial envolviendo las coordenadas
espaciales asociadas con la ecuación de flujo es un operador simétrico,
mientras que es no-simétrico para la ecuación de transporte.
• El coeficiente de la derivada de segundo orden es el escalar D, en la
ecuación de transporte, mientras que es una matriz K en la ecuación de
flujo.
7. PROBLEMAS BIEN PLANTEADOSModelos de estado estacionario
• Para empezar, se considerarán los problemas bien planteados
para modelos para estado estacionario, para los cuales las
ecuaciones diferenciales gobernantes son de tipo elíptico. En
este caso los problemas bien planteados son problemas de
valores a la frontera que buscan obtener una función h(x) que
satisfaga las ecuaciones gobernantes para flujo estacionario en
un dominio Ω en el espacio físico y que satisface condiciones
de frontera en su frontera ∂Ω.
7. PROBLEMAS BIEN PLANTEADOSModelos de estado estacionario
frontera la de travésa dominio del fuera fluye que
área, de unidadpor co volumétriflujo el es
1
,
:forma siguiente lacon
; como conocida una
es frontera decondición de clase general más La
ecuación la Para
22
nxU
xxxhxnxU
a Robinde frontercondición
qhK
7. PROBLEMAS BIEN PLANTEADOSModelos de estado estacionario
xxxhxn
hK
xxxhxxhKn
,
isotrópico es poroso medio el Cuando
,
:sustituye seDarcy deley la Si
7. PROBLEMAS BIEN PLANTEADOSModelos de estado estacionario
xxnxU
xxhxh
,
esecuación su y
0)=( dogeneralizaNeumann problema al ecorrespond Robin, de
dageneraliza frontera decondición la de extremo caso otro El
,
esecuación su y 0)=(Dirichlet problema al ecorrespond Una
Robin. de
dageneraliza frontera decondición la de extremos casos dosHay
prescrito ovolumétric flujo con Problemas
prescrita capiezométri carga con Problemas
7. PROBLEMAS BIEN PLANTEADOS
Problemas dependientes del tiempo
• La ecuación diferencial gobernante para problemas
dependientes del tiempo cuando SS>0 es parabólica. Entonces
los problemas bien planteados problemas con valores iniciales
y de frontera, que buscan una función h(x,t) que satisfaga la
ecuación de transporte en el dominio Ω, junto con condiciones
de frontera definidas en un intervalo de tiempo especificado.
• Estas condiciones de frontera pueden ser cualquiera de las
definidas para estado estacionario. Además la función h(x,t)
debe satisfacer adicionalmente las condiciones iniciales
xxhxh ,0, 0
8. MODELOS CON UN NÚMERO DE
DIMENSIONES ESPACIALES REDUCIDO
8. MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES ESPACIALES REDUCIDO
Introducción• En toda la discusión hasta aquí, el espacio físico ha sido
modelado como un espacio euclidiano tridimensional (3-D).
En algunos problemas de ingeniería y ciencia es útil aplicar
modelos bidimensionales y unidimensionales, esto se justifica
por razones que dependen del problema considerado.
• Por ejemplo en hidrología subterránea las dimensiones
horizontales de los acuíferos son frecuentemente mucho
mayores que su espesor y, cuando se estudian, las variaciones
de parámetros como carga piezométrica en la dirección vertical
son tan pequeñas que pueden ser despreciadas.
• Para el uso de los modelos simplificados en forma
confiable se necesita información sobre su rango de
aplicabilidad, que se adquieren por medios teóricos o
empíricos. Frecuentemente el análisis teórico de los
errores introducidos por modelos con un número de
dimensiones reducido es tan complicado que no es
práctico llevarlo a cabo, y entonces los únicos medios
para establecer los rangos de aplicabilidad son
empíricos.
8. MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES ESPACIALES REDUCIDO
Introducción
• Hay unos pocos modelos de dimensión
reducida que son basados en completos y poco
complicados fundamentos teóricos. A
continuación se describe un ejemplo cuyo
análisis es también útil para introducir e
ilustrar en forma natural algunas ideas y
conceptos que son básicos para esa clase de
modelos.
8. MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES ESPACIALES REDUCIDO
Introducción
• Considérese el acuífero
confinado de la figura, los
siguientes supuestos son
adoptados:
1. Su espesor es uniforme;
2. El acuífero es verticalmente
homogéneo (las propiedades del
material que constituyen la
matriz sólida no dependen de su
coordenada vertical;
8. MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES ESPACIALES REDUCIDO
Derivación teórica de un modelo bidimensional para un acuífero confinado
3. La dirección vertical es un eje de
simetría para el tensor de
conductividad hidráulica (es decir,
cualquier vector en la dirección
vertical es un vector propio de la
matriz de conductividad hidráulica); y
4. El estrato que constituye el acuífero es
limitado por dos estratos de baja
permeabilidad y sobreyaciendo y
subyaciendo (es decir, el acuífero es un
acuífero confinado)
8. MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES ESPACIALES REDUCIDO
Derivación teórica de un modelo bidimensional para un acuífero confinado
b.z0 que el para
espacio delporción esa ocupa acuífero el que Asumimos
z
definimos,,por dado es espacio del punto cada
cual elen Cartesiano scoordenada de sistemaun Tomando
3
321
x
xxxx
qz
U
x
U
t
hS
bUUnxU
a
S
32
1
33
así escribe se flujo deecuación la Ahora
00 entonces ,0 si Entonces
8. MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES ESPACIALES REDUCIDO
Derivación teórica de un modelo bidimensional para un acuífero confinado
8. MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES ESPACIALES REDUCIDO
Derivación teórica de un modelo bidimensional para un acuífero confinado
dzqQybdzSS
da de áreado por unital extraivolumen to
enamientoe de almaccoeficient
dzqdzx
Udzh
tS
U
bzz
bb
S
bb
a
b
S
00
0
2
100
por dadosson
ely El
para sexpresione lascon y
, hasta 0 desdeecuación la Integrando
8. MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES ESPACIALES REDUCIDO
Derivación teórica de un modelo bidimensional para un acuífero confinado
. la es donde
:es hidráulica dadconductivi
de tensor del simetría la asumiendo Darcy, deley La
1;
1
:por dadasson
promedio velocidadlay promedio capiezométri carga La
esdefinicion las Usando
2
1
ntaldad horizoconductiviK
x
hKU
dzUb
Uyhdzb
h
Qx
Ub
t
hS
H
H
b
o
b
o
a
8. MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES ESPACIALES REDUCIDO
Derivación teórica de un modelo bidimensional para un acuífero confinado
H
aa
bKT
Tilidadtransmisib
Qx
hT
xt
hS
es,, la donde
en a transformse flujo deecuación laanterior loen baseCon
2
1
8. MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES ESPACIALES REDUCIDO
Derivación teórica de un modelo bidimensional para un acuífero confinado
• La ecuación de flujo obtenida es una ecuación
exacta para la carga promedio y de allí que
cuando es sujeta a condiciones inicial y de
frontera apropiadas, hace posible en principio,
obtener los valores exactos de la carga promedio.
Cuando las variaciones de carga a través del
espesor del acuífero son pequeñas, su promedio
vertical constituye una buena aproximación de suvalor en cualquier punto a través del acuífero.
8. MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Método para flujo de acuitardos filtrantes
8. MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Método para flujo de acuitardos filtrantes
• En 1960 M. S. Hantush planteó la posibilidad de que el
material sobre la frontera superior de un acuífero pueda ser
permeable, y de permeabilidad baja (de un acuitardo). Bajo
estas circunstancias el agua puede entrar al acuífero a través
de filtración vertical.
8. MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Método para flujo de acuitardos filtrantes
• En la figura se ilustra el sistema cuyo análisis se toma de
Pinder y Celia, 2006. En el sistema el acuífero es limitado por
arriba por una capa de baja permeabilidad (capa A). Esta capa
es capaz de proveer agua al acuífero vía filtración vertical. La
base del acuífero limitada también por una capa de baja
permeabilidad (capa B).
8. MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Método para flujo de acuitardos filtrantes
• Bajo este acuitardo hay una capa casi impermeable. Se asume
que el agua en as capas de baja permeabilidad se mueve solo
verticalmente. Sobre la capa A hay un acuífero sin bombeo que
mantiene una carga constante durante la prueba de bombeo. Se
asume que el acuífero es de espesor constante, de extensión
infinita y homogéneo.
8. MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Método para flujo de acuitardos filtrantes
mente.respectiva
B,y A capas las de shidráulica dadesconductivi lasson y donde
0,,1
,
:obtenida la varianteuna es sistema el describe que flujo deecuación La
2
2
KK
z
h
T
K
z
h
T
Ktrh
tT
Strh
rrtrh
r
BA
mente.respectiva
B,y A capas las de entoalmacenami de escoeficient losson y donde
0,,
0,,
:acuitardo elen carga de oriaón transitdistribuci ladescribir
para usa se osubterráne flujo deecuación la de onalunidimensi forma La
SS
tzhzz
tzhtbK
S
tzhzz
tzhtbK
S
BB
AA
8. MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Método para flujo de acuitardos filtrantes
• La solución de este conjunto de ecuaciones
requiere condiciones iniciales y de frontera
paracada una de las variables de estado h, hA y
hB. Se define al abatimiento s=H-h y sn=Hn-hn,
donde n=A, B; y H, y Hn son los valores de
carga inicial del sistema. Las condiciones de
frontera y las condiciones iniciales se pueden
establecer a continuación:
8. MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Método para flujo de acuitardos filtrantes
figura. laen definen se ,,,, donde
,,,
es base laen y
0,,
es frontera decondición lasuperior acitardo el Sobre
00,,
es inicialcondicion lasuperior acuitardo el Para
4321
3
4
zzzz
trstzrs
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zrs
A
A
A
T
Q
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r
r
2lim
es pozo deln perforació pequeña nteinfinitame elen frontera decondición La
0,lim
es en frontera decondición lay
0r,0s
es inicialcondición la acuífero el Para
8. MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Método para flujo de acuitardos filtrantes
• El significado físico de esta relación se ve por la
multiplicación cruzada de r y T. ahora se puede ver que el flujo
al pozo es balanceado por el flujo a través del perímetro del
pozo, con una circunferencia de 2πr.
0
,,s
es base laen y
,,,
es )( frontera decondición lainferior acuitardo del topeelEn
.00,,
es inicialcondición la inferior, acuitardo el Para
1B
1
2
2
z
tzr
zz
trstzrs
zz
zrs
B
B
8. MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Método para flujo de acuitardos filtrantes
• Una solución para tiempos cortos a este sistemas de ecuaciones fue
sugerido por Hantush y es discutido por Batu, 1998.
2
1
2
12
4;
4
erfc,
,4
essolución la de forma La
1010
son rtos tiemposcoparasolución la de aplicación la para necesarias scondicione Las
2
1
2
1
TSb
SK
TSb
SKr
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dyuyy
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y
euH
donde
uHT
Qr,tS
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Sb
u
y
8. MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Aproximación de ecuaciones integrodiferenciales
• La aplicabilidad de de las soluciones de Hantush es restringida a periodos cortos de tiempo. Esta clase de solución analítica es útil en hidrología subterránea cuando el análisis de un solo pozo se lleva a cabo, tal como en interpretación de pruebas de bombeo, en las cuales la restricción de tiempos cortos es frecuentemente satisfecha. Neuman y Witherspoon(1969) desarrollaron una solución que no está sujeta a tales restricciones. Por otro lado, los cálculos de filtraje transitorio son necesarios en el análisis de sistemas acuíferos regionales en el cual el flujo del agua subterránea en unidades confinantes es una componente significativa del total del balance de agua.
8. MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Aproximación de ecuaciones integrodiferenciales
• En tales casos hay que apoyarse con códigos computacionales basados en modelos numéricos (Leake, S. A., P. Leahy, A. S. Navoy, 1994). Un minucioso y profundo estudio basado en ecuaciones integrodiferenciales, que ha sido una base para la construcción de modelos numéricos regionalesdesistemas acuíferos semiconfinados fue introducido y desarrollado por Herrera y colaboradores:Herrera, I. y V. Figueroa,1969; Herrera, I, 1970; Herrera, I and L. Rodarte , 1973; Herrera, I, 1974; Herrera, I and R. Yates,1977; Herrera, I, J.P. Hennart and R. Yates, 1980.
8. MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Aproximación de ecuaciones integrodiferenciales
• Aquí se explicará la aproximación por ecuaciones
integrodiferenciales para el sistema de dos acuíferos
separados por un acuitardo mostrado en la figura. Por
simplicidad se discutirán solo las ecuaciones que
gobiernan el acuífero 1, y similares ecuaciones aplican
al acuífero 2.
8. MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Aproximación de ecuaciones integrodiferenciales
0
2
2
2
21
que implica flujo deecuación la acuíferoprimer el para
, o,abatimient del sen término que implica flujo deecuación La
z
L
L
z
s
T
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s
x
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s
tyxstbyxstyxstyxs
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s
z
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tzyxs
,,,,,,,,,0,,
,00,,, donde
0,0,1
scondicione las satisface ,,,
2
2
2
8. MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Aproximación de ecuaciones integrodiferenciales
bzzvzu
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tzvytzudonde
dtzvtyxt
sdtzutyx
t
stzyxs
tyxstyxs
tt
0,00,,00,
0,1,0,0,
0,0,1,0
a sujetasy anterior
ecuación lacon cumple que auxiliares funcionesson ,,
,,,,,,,,,
:1973) Rodarte,y Herrera(ver
Duhamel de integrales las de mediopor expresadaser puedesolución su
planteado;bien está definido problema el dados,son ,,y ,, Cuando
2. acuífero al refiere se 2 subíndice ely
acuitardo, del spropiedade distinguir para usadasson primas las siguiente loEn
0
2
0
2
8. MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
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Aproximación de ecuaciones integrodiferenciales
,0,0
,,,,,,
1973 I., Herrera, véaseecuación anterior la mediante
s evaluandoy para dada definición la Aplicando
(1973), Rodartey Herreraen dada es
frontera dey iniciales valoresde problemas estos desolución La
22
0
22
0
2
0
z
vbbtgy
z
ubbtf
donde
dbthtyxt
s
bT
Kdbtftyx
t
s
bT
KtyxQ
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L
zL
8. MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
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Aproximación de ecuaciones integrodiferenciales
2. acuífero el parasimilar ecuación unacon acoplada esecuación última esta general,En
,,,,
1
así queda gobernante flujo deecuación La
0
22
0
2
2
2
2
2
tt
dbthtyxt
s
bT
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t
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s
x
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t
s
.apropiadas frontera dey inicial scondicionepor
adacomplement es cuando nteseparadame resueltaser puede Y
,,1
a reduce se flujo deecuación la 0)2( tiempodel travésa
doimperturba permanece 2 acuífero del capiezométri carga la cuando embargoSin
0
2
2
2
2
2
t
dbtftyxt
s
bT
K
y
s
x
s
t
s
s
8. MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Aproximación de ecuaciones integrodiferenciales
12
2
1
2
22
21
222
211
21
:esequivalent
sexpresione dos tienefunción la homogéneo acuífero sistemaun Para
n
ttbn
n
btn
ebt
btf
ebtf
f
. f deón aproximaci éstacon erencialintegrodifecuación la de
exactasolución la es cortos tiemposparaHantush desolución La
1
:corto mentesificiente es tiempoel Cuando
21
2
2
btbtf
t
8. MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
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Aproximación de ecuaciones integrodiferenciales
1
222 222
21
es relevante es que expresar de manera Otra
n
btnebtgdondebtgbtf
f
1960). S., M. (Hantush, largos emposHantush ti
por dadasolución la esecuación esta de exactasolución La
,,1
siguiente forma la tomaflujo deecuación la resultado esteen baseCon
0
2
2
2
2
2
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y
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8. MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Aproximación de ecuaciones integrodiferenciales
1
2 222
121
por dada es función La .00,,
es 1 acuífero del oabatimient el para
inicialcondicion la que asume se sigue que loEn
n
btnnebth
hyxs
8. MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
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Aproximación de ecuaciones integrodiferenciales
Dirac de delta3
por dado es largos tiemposparaHantush por provistasolución laEn
1994). al,et A., S. Leake, 1977; Yates,(Herreray
dosdesarrolla sidohan n integració de espaciales tosprocedimen algunos
erencialesintegrodif ecuaciones las de eficiente numérico uso el Para
22 bbg
g
.31
:porque es Esto ocurre. oabatimient el cuando amenteinstantáne
liberado es acuitardo del completo entoalmacenami el que significaón aproximaci Esta
0
22
dbgb
8. MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Otros modelos bidimensionales para acuíferos
• Cuando se están desarrollando modelos aproximados, se deben distinguir dos etapas:
1. La formulación del modelo; y
2. La evaluación del error.
• Por definición, un modelo aproximado debe predecir el comportamiento del
sistema excepto para pequeños errores, dentro de un rango apropiado de
aplicaciones. En muchos procedimientos para derivar modelos
aproximados las dos etapas están cercanamente relacionadas, de modo que
es difícil separarlas. Sin embargo hay casos en los que la formulación es
bastante independiente de la evaluación del error. Este es el caso cuando el
modelo aproximado propuesto es sugerido no tanto por el análisis matemático como por la experiencia práctica.
8. MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
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Otros modelos bidimensionales para acuíferos
• Un procedimiento que produce una más amplia clase de modelos de acuíferos que
los presentados para acuíferos semiconfinados, es basado en la aplicación del
método axiomático, en el espacio bidimensional, para derivar modelos de sistemas
continuos. Usándolo es posible obtener modelos bidimensionales que pueden ser
aplicados no solo a acuíferos semiconfinados, sino también a los no- confinados. Ellos se basan en los siguientes supuestos.
1. El acuífero es verticalmente homogéneo;
2. La dirección vertical es un eje de simetría para el tensor de conductividad hidráulica;
3. El acuífero es confinado en su base por una capa impermeable, y puede ser confinado o no-confinado en su superficie superior;
4. Cada sección vertical del acuífero está en equilibrio hidrostático, es decir, la carga piezométrica, h, es independiente de la elevación z; y
5. El fluido es incompresible.
8. MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
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Otros modelos bidimensionales para acuíferos
nales.bidimensio
cuerposán considerar se sdimensione dosen axiomático método elaplicar Para
. de ntesindependie e eshorizontaln son tambié fluido de partículas las de es velocidadLas
,,
:por dada esy , de nteindependie ,horizontal esDarcy de velocidadla Además
modelo. del derivación la durante )21(escribir puede sey y
scoordenada dos las defunción es solo capiezométri carga la dados, supuestos los Bajo
21
z
txhKtxUv
z
, xxx xx
H
8. MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
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Otros modelos bidimensionales para acuíferos
.,0con junto que tales puntos
sus unode cada decondición lapor adocaracteriz es cilindro El . tienpoelen y en
cilindro del altura la especifica quefunción una es , Aquí ., es alturasu y es base cuya
cilindroun es ional tridimenscuerpo Este figura).(ver asociado es ional tridimenscuerpoun
nalbidimensio cuerpo cadaCon . fluido de partícula de velocidadlacon mueve se
que nalbidimensio plano del dominioun tiempocualquier en ocupa así cuerpoCualquier
nales.bidimensio cuerposán considerar se sdimensione dosen axiomático método elaplicar Para
txbztBxtB,zx
tBttBx
txbtxbtB
tB
tBv
tB
8. MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Otros modelos bidimensionales para acuíferos
especies. las deión concentrac la de ni ra temperatula de ni
función es noy bleincompresi es fluido el que ya constante es fluido, del densidad la
, que yde acuífero del verticaladhomogeneid la de supuesto el uso hecho ha se donde
,,,
por dada es cilindro eseen contenido fluido de masa La
0
tBtB
b
f dxtxtxbdxdztxM
extensiva. propiedad única la como masa asumiendo axiomático método elpor
derivará se deseado nalbidimensio modelo ely , sobre áres de integral una como
dada definición lapor dada masa la asocia se nalbidimensio cuerpo cadaCon
tB
tB
8. MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
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Otros modelos bidimensionales para acuíferos
tzxtxb,tx ,,,
:decir es
,definición la de integrando ientecorrespond el es asociada intensiva propiedad La
tiempo.de unidadáreapor de unidadpor totalextracción de volumen el es
,,,
,,,
es global masa de balance deecuación La
txqtxbtxQ
donde
dxtxQdxtxqtxbtdt
Md
tBtB
f
8. MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
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Otros modelos bidimensionales para acuíferos
QUbt
bε
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t
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es local masa de balance del ldiferenciaecuación La
QhbKt
hS
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bε
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Qx
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hS
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bε
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HS
2
1
en convierte seecuación La
8. MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
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Otros modelos bidimensionales para acuíferos
ón.aproximaci diferente una usando flujo deecuación la recuperado ha se Donde
a reduce seecuación lay Entonces tiempo.del nteindependie es
acuífero, delespesor el , donde ;confinados acuiferos a es primera La
es.aplicacion doshacen se resultado este De
QhTt
hS
t
b
b
8. MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Otros modelos bidimensionales para acuíferos
libre superficie de acuíferos de to tratamienel para
regionales estudiosen aplicada entefrecuentem esecuación Esta
:en convierte se olinealizadser puede
tiempo,del nteindependie , fijoun valor a cercana es capiezométri carga la Cuando
dad.aplicabili de orestringid rangoun tienelineal-no suformaen y
;literatura laen conocidabien lineal-noecuación una es Esta
es.ecuación la , donde libre; acuiferoes el cuando esón aproximaci otra La
QhTt
hS
xb
QhhKt
hS
hb
H