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8/15/2019 Flujo de Potencia 21
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FLUJO DE POTENCIA
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5.Introducción
5.1.1 DefiniciónConsiste en determinar el módulo y ángulo de fase de la tensiónde cada barra y los flujos de potencia activos y reactivos paracada línea por lo que es necesario fijar cantidades que deben sercantidades a priori para iniciar el estudio.
5.1.2 Requeri iento! de un !i!te " de #otenci".
_ Cuantitativos1.Entregar las magnitudes de potencia y energía definidas
mediante acuerdos o contratos con:suarios independientes con otros sistemas en los cuales
eventualmente pueden estar conectados.
!. "ermitir cantidades de potencia y energía que sirvan dereserva para situaciones eventuales.
#. $ue las previsiones de capacidad de la línea y los otroscomponentes garanticen los incrementos de acuerdo alcrecimiento de la demanda.
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%Cualitativos
1. &a energía debe enumerarse sujeta a restricciones en cuanto a:
% &as variaciones de la tensión cuyas magnitudes dependen delnivel de esta 'ltima.
% (ariaciones de la frecuencia en un ) * +,-#
!. El sistema de potencia debe tener una alta confiabilidad se entiende
como la seguridad de que aunque el sistema sufra perturbaciones demagnitudes apresiables/. &a probabilidad de que e0istan discontinuidaden la prestación de servicio tendra un valor ra onablmente bajo.
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5.2 $ode%" iento de %o! co #onente! de% !i!te ". &as cargas son elementos variables2 no predecibles.
5.2.1 &ener"dore! ' co #en!"dore! !(ncrono!
3: 4e regula difícilmente más que todo es de referencia 3 5 ,
P G Q G
| V | , δ Barra de referencia
Barra de referencia
| V | , δ
| V |P G ,
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5.2.2 $ode%" iento de %o! tr"n!for "dore!.
6mpedancia en corto circuito en serie y los de magneti ación enparalelo
p
pT
p
p
I
E Z I
V
10
1=q
qT
p
p
I
V
a
a Z I
V
/10/1=
IqIpIpa : 1
Vp
+
-
Vq
+
-
Ep
+
-
ZT IqIpIpa : 1
Vp
+
-
Vq
+
-
Ep
+
-
ZT
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a : fasor2 cuando el transformador es de fase cuadratura.a : 7'mero2 cuando el transformador es con relación de 89"4 fuera
de la nominal.
a : 12 cuando el transformador es sin 89"4.
ase cuadratura: 4on aquellos que tienen como objeto2 tiene relaciónde transformación nominal.
;e la matri .
9 5 a < 5 = 8 >a
C 5 , ; 5 1>a
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).!.# ?odelamiento de líneas de transmisión.
Y pq
Y shun
Z pq
p q
Y shun Y q Y p Vp
+
-
Vq
+
-
q pqqqq p V Z I V Y V ++= !"
q pqq pqq p I Z V Z Y V ++= !1"
qq p BI AV V +=
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).!.# @eactores y capacitores
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).# Clasificación de las barras
1. Variables de Control:
[ ] ==*
*
1
1
*
1
G
G
G
G
Q
P
Q
P
u
u
u
u
u
2. Variables de Estado:
[ ] ==
*
*
1
1
*
1
V
V
x
x
x
x
xδ
δ
3. Variables de Disturbio(incontrolables)
[ ] ===
*
*
1
1
*
*
1
1
*
1
D
D
D
D
L
L
L
L
Q
P
Q
P
Q
P
Q
P
P
P
P
P
P
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+. -"rr"! Ti#o P/4*4&ener"ción3
;atos : P G, |V| ( conocidas);atos : P L, Q L6ncógnitas: Q G, δ
c. -"rr" Ti#o 4*4 6Referenci"3
;atos : |V|, δ conocidas/;atos : P L, Q L6ncógnitas: P G, Q G
#is e$ae%&c ric'
P p, Q p P G, Q G
| V | P ,
#is e$ae%&c ric'
P p, Q p PG, QG
| V |, .
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En barras P-V
P*0 8iene la barra limites de operación en $ min D $ D $ ma0
Ti#o! de -"rr"! D"to! Incó nit"!|V|, δP-|V|P - Q
|V|, δ, P L, Q LPG ,|V|, P L, Q LPG, Q G, P L, Q L
PG, Q GQG, δ|V|, δ
d. *"ri"nte! de ti#o! de +"rr"!
En barra P-Q
P0* Cuando se tiene limites de operación (min
D ( D (ma0
P0R* Cuando de se tiene la barra a una tensión controladaremotamente y se controla a trav s de la potencia reactiva
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?98@6= 9;?6897C69 ;E
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5.) For u%"ción de %" "tri7 "d it"nci" 89+u!:
n
!
1
q 4 p 6 p 6 pn
6 pq
6 p! 6 p1
= pn
= pq
= p! = p1
( p "
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nnnqnq pnpnnn V Y V Y V Y V Y V Y I ++−−−−−= **11
−−−−
−−−−
−−−−−−−−
=
n
p
Y
nnnqnp pn
pn pq pp p p
nq p
nq p
n
p
V
V
V
V
Y Y Y Y Y
Y Y Y Y Y
Y Y Y Y Y
Y Y Y Y Y
I
I
I I
BUS
*
1
*1
*1
******1
1111*11
*
1
[ ] [ ][ ]V Y I BUS
=
[ ] = I ?atri de corriente de inyección (ector/
[ ] =V ?atri de corriente de inyección (ector/[ ] =Y ?atri de admitancia de barras (ector F< 4/
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[ ] =Y &a matri Fbus tiene las siguientes propiedades
Es una matri cuadrada n Gn H de barras/.
&os elementos de la diagonal son todos positivos.
&os elementos fuera de la diagonal son todos negativos.
4on sim tricos %F1! 5 %F!1 entonces2 %Fpq5 %Fqp2 a e0cepción decuando se tiene en ese elemento trafos con regulación bajo cargay con desfasamiento.
Es altamente E4"9@49.
Es una matri compleja2 sus componentes son todos complejos.
&os componentes de la diagonal son la sumatoria de todas lasadmitancias que salen de dicIa barra.
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Ejemplo2 plantear la matri admitancia del sistema el ctrico
1
* Z* / 0 01 + 0 *
Z1 / 0 0* + 0 1 Z1* / 0 0 + 0 12
0 0 0 0
0 0*
0 0*
0 01
0 01
*C Y
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0100*0100*0
112000
1!
*"!
*" 11*11*11 j j j j
Y Y Y Y Y C C +++
++
=+++=
33212*020100*041233*1104*5*111 j j j j jY −=++−+−=104*5*11* jY +−=
−∠∠∠∠−∠∠∠∠−∠
=212516* 01543*33 61010150253
543*33 615*2041101012 6*4
11015025311012 6*444651 414
busY
−+−+−+−−+−+−+−−
=24*3116*2*3562* 3041233* 11
3566* 4*065112 121104*5*11
41233* 11104*5*11332412*02*
j j j
j j j
j j j
Y bus
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).) Ecuaciones para JnK barras
[ ]
n
n
n
n
V
V
V
x
x
x
x
x
x
x
δ
δ
δ
*
*
1
1
*
1*
*
1
==
−
[ ]
Gn
Gn
G
G
G
G
n
Q
P
Q
P
Q
P
u
u
u
u *
*
1
1
*
*
1
== [ ]
Dn
Dn
D
D
D
D
n
Q
P
Q
P
Q
P
p
p
p
p *
*
1
1
*
*
1
==
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4iendo las ecuaciones de potencia para un sistema de JnK barras
( ) 0,,,,,,, 1111111 = Dn Dn D DGnGnGGnn Q P Q P Q P Q P V V f δ δ
( ) 0,, *1*1*11 =nnn p puu x x f
( ) 0,, *1*1*1* =nnn p puu x x f
•••
( ) 0,, *1*1*1* =
nnnn p puu x x f
( ) 0,, = pu x f p n p *1=
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"ara un sistema de JnK barras2 suponiendo que tiene JLK nodos degeneración2 entonces se tiene Jn M LK barras de cargas.
G P k −−−−
GQk −−−−
V n −−−−
δ −−−−n
!"* nk +
"otencias activas de generación
"otencias reactivas de generación
8ensiones de barra módulos/
Nngulos de tensión de barra
(ariables totales
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4e tiene un n'mero de ecuaciones de !n que permiten calcular !nvariables o incógnitas2 por tanto es necesario preparar !L variablespara este fin.
V k −−−−−1
G P k −−−−−1
V −−−−1
δ −−−−1
k *
"otencias activas de generación
"otencias reactivas de generación
8ensiones de barra módulos/
Nngulos de tensión de barra
(ariables especificadas
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inalmente se tiene que determinar:
GQk −−−−−1
Gk δ −−−−−1
G P −−−−1
GQ−−−−1
n*
"otencia de generación de referencia activa."otencia de generación de referencia reactiva
"otencia de generación reactiva en barra de
generación.Nngulo de tensión en barra de generación
(ariables de par determinadas
V k n −−−−−
δ −−−−− k n
?agnitud de tensión en barra de carga.
Nngulo de tensión en barra de carga.
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5.; $
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[ ] [ ]!0"!1"!0"
!0"
9 x f x x
x f Tan =
−=θ
[ ][ ]!0"!0"
!1"!0"
9 x f x f x x =−
[ ][ ]!0"
!0"!0"!1"
9 x f x f
x x −=
[ ][ ]!"
!"!"!1"
9 k k
k k
x f x f
x x −=+
na función f 0/ se puede e0pandir mediante la serie de 8aylor
[ ] [ ] [ ] 0!"999<
1!"99
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4e acostumbra truncar a partir de f OP 0 ,/ /
[ ] 0!"9!"!" !0"!0"!1"!0" =−+= x f x x x f x f
[ ] !"9!"!" !0"!0"!1"!0" x f x x x f x f −=− [ ][ ]
!0"!0"
!0"!1"
9!"
x x f
x f x f x +
−=
[ ]
[ ]!0"
!0"!0"!1"
9 x f
x f x x −=
". P"r" un !i!te " de 2 ecu"cione!". P"r" un !i!te " de 2 ecu"cione!
0!," *11 = x x f 0!," *1* = x x f
[ ] [ ][ ] [ ] !,"
*1
!,"*1
!,"!,"!,"!,"
!0"*
!0"11
*1
**!0"
**!0"
*!0"
11*1
**!0"
11
!0"
*
!0"
11*
!0"
**
!0"
*
!0"
111
!0"
11
!0"
*
!0"
11*11
+∂∂∂−+∂∂
∂−+∂
∂−+∂
∂−+=
x x f x x
x x x x f x x
x x
x x f x x x x x f x x x x x f x x f
∂∂
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[ ] [ ]
[ ] [ ] !,"*1
!,"*1
!,"!,"!,"!,"
!0"*
!0"1*
*1
**!0"
**!0"
*!0"
1**1
**!0"
11
!0"*
!0"1*
*
!0"**
!0"*
!0"1*
1
!0"11
!0"*
!0"1**1*
+∂∂∂−+∂∂
∂−
+∂∂−+∂
∂−+=
x x f x x
x x x x f x x
x x
x x f x
x x x x f x
x x x x f x x f
!"!," 1*11 x f x x f =
!"!," **1* x f x x f =
!"!," !0"1!0"
*!0"
11 x f x x f =
!"!," !0"*!0"
*!0"
1* x f x x f =
1!0"
11 x x x ∆=−
*!0"
** x x x ∆=−
!"!"*1
!"!"*1
!"!"!"!,"
!0"1
*1
**
*!0"
1
*1
**
1
!0"1
**
!0"1
11
!0"1*11
+∂∂
∂∆+∂∂
∂∆
+∂∂∆+
∂∂∆+=
x f x x
x x f x x
x
x f x
x x f x
x x f x x f
!"!"*
1!"!"
*
1
!"!"!"!,"
!0"*
*1
**
*!0"
**1
**
1
!0"*
**
!0"*
11
!0"**1*
+∂∂
∂∆+∂∂
∂∆
+∂∂∆+
∂∂∆+=
x f x x
x x f x x
x
x f x
x x f x
x x f x x f
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( )( )!"!"
!"!"
*1
!"!"
!"!"
!"
!"!"
!"*
*
*1
*1
0*
*
*1
0*
**1
01
*
*1
01
*
*
1
*
0*
1
0*
*
01
1
01
0*
01
*
1 +∆∆
∂∂∂
∂∂∂
∂∂∂
∂∂∂
+∆∆
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
+= x
x
x x
x f
x x
x f x x x f
x x x f
x
x
x
x f
x
x f x x f
x x f
x f
x f x f
x f
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] *1
!"!" 000 +∆∆+∆+= x H x x J x f x f
+. P"r" un !i!te " de >n? ecu"cione!+. P"r" un !i!te " de >n? ecu"cione!( ) 0, *11 =n x x x f
•••
( ) 0, *1* =n x x x f
( ) 0, *1 =n p x x x f
( ) 0,
*1 =
nn x x x f
•••
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[ ]
[ ]1
!0"!0"1!0"
1
!0"!0"1!0"
11!0"!0"
1*1
!, ,"
!, ,"!, ,"!, ,,"
x
x x f x x
x
x x f x x x x f x x x f
n pnn
n pn pn p
∂∂−+
+∂
∂−+=
−
−
∂
∂
∂
∂
∂∂
∂∂
+=
!0"
!0"
11
1
!0"!0"1
1
!0"!0"1
1
!0"!0"1
1
!0"!0"11
!0"!0"1
!0"!0"1
!0"!0"1*
!0"!0"
11
1
1
1*
11
!, ,"!, ,"
!, ,"!, ,"
!, ,"
!, ,"
!, ,"!, ,"
!, ,"
!, ,"
!, ,"!, ,"
nn
nnnn
nnn
nn
n p
n
n
nn
n p
n
n
x x
x x
x
x x f
x
x x f
x x x f
x x x f
x x f
x x f
x x f x x f
x x f
x x f
x x f x x f
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31/113
−
−
−−
∂
∂
∂
∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
+=
!, ,"!, ,"
!, ,"!, ,"
!, ,"!, ,"
!, ,"!, ,"
!0"!0"11
!0"!0"11
!0"!0"1*1*
!0"!0"1111
001
001
01
01
1
!0"
!0"
!0"*
!0"1
*
1
nnnn
n pn p
nn
nn
n
nn
n
p p
n
n
p
n
p
x x f x x f
x x f x x f
x x f x x f
x x f x x f
L x
f L
x
f
L x f L
x f
L x f
L x f
x
x
x
x
x
x
x
x
[ ] [ ] [ ] [ ]!" !0"1!0" x f J x x ∆+= −
[ ] [ ] [ ] [ ]9!" !0"1!0" x f J x x −+=
ó d $ d d
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5.;.1 A#%ic"ción de% $
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Ejemplo !. ;ado las ecuaciones f 1 y f ! 2 calcular las raíces.
**!,"
10!,"
1*1***1*
*1*1*11
−−+=−+=
x x x x x x f
x x x x x f
−−
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
+= 0**
011
*
0*
1
0*
*
01
1
01
0*
01
!"!"
!"!"
!"
!"0
0
x x
x x
x
x f
x
x f x
x f
x
x f
x f
x f
*1
:
0*
01
==
x x
inicia $s Da!"s
4olución
0**
010
1*1**
*1*1
=−−+
=−+
x x x x
x x x
[ ] [ ] [ ] [ ][ ]000 !"0 x x J x f −+=
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
34/113
[ ] [ ] [ ][ ]000 !" x x J x f −=−
[ ] [ ][ ] [ ] !"0100 x f J x x −−=−
[ ] [ ] [ ] !"0100 x f J x x −−=
∂∂∂∂
∂∂
∂∂
−=
−
!"
!"
!"!"
!"!"
0*
01
1
*
0
*
1
0
*
*
01
1
01
0*
01
1*
11
x f
x f
x x f
x x f
x x f
x x f
x
x
x
x
12*!1"*!*!"1"*!"
610!*!"1"1!"*0
*
*01
−=−−+=−=−+=
x f
x f
1!"
*!"
1
*
01
*11
01
==
∂
∂
=+=∂
∂
x
x
x f
x x x x f
6*!"
*!"
1*
*
0*
*1
0*
=+=
∂
∂
=−=∂
∂
x x
x
x f
x x x f
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35/113
−−−=
−
126
6+1+
*1
1
1*
11
x
x
−−
−=−−
−−
−= 41141
*1
126
14460144600 160*3160
*11
*
1
1
x x
=4
14*1*
11
x
x
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
−=
−
!"
!"!"!"
!"!"
1*
11
1
*
1*
1
1*
*
11
1
11
1*
11
**
*1
x f
x f
x x f
x x f
x x f
x x f
x
x
x
x
−= −
5*6
53
314100055
14*1445
4
14* 1
**
*1
x
x
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
36/113
−−
−=5*6
53
0544005 50
0*2401 640
4
14***
*1
x
x
=0155
0 ****
*1
x
x
−= −
2 30*420
1 21*02460 **056
01550 **
1
*
1
x x
−−
−=
2 30
*420
0353003520
0*501430
0155
0 **
*
1
x
x
=0000
000**
*
1
x
x
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
37/113
−= −
0010
0010
00041*00006
000**0006
0000
000** 1
*
1
x
x
− −−= 00100010
03330033300*5401610
0000000**
*
1
x x
−= −
0
10333*10000
000**
*
1 x
x
x
= *
*
1
x
x
− −−=−= −
00
10100*5401610*
00
1*6*6*
1
2*
2
1
x x
= *2*
21
x
x *2*
21
==
x
x
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
38/113
P"r" >n? iter"cione!P"r" >n? iter"cione!
( ) 0, *11 =n x x x f
•••( ) 0, *1* =n x x x f
( ) 0, *1 =nn x x x f
[ ] [ ] [ ]!"0100 x f J x −=∆
[ ]
1
0
*
0
1
0
1
01
*
01
1
01
10
!"!"!"
!"!"!"−
−
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
n
nnn
x x f
x x f
x x f
x
x f
x
x f
x
x f
J
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
39/113
[ ] ••
•
−••
•
=
−••
•−
=∆
0
01
1
11
01
01
11
0
nnnn x
x
x
x
x x
x x
x
[ ]
( )( )
( )•••=
•••=
00*
011
00*
01*
00*
011
0
0*
01
0
,
,
,
!"
!"
!"
!"
nn
n
n
n x x x f
x x x f
x x x f
x f
x f
x f
x f
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
40/113
5.;.2 Ne=ton R"#!on en coorden"d"! #o%"re!
∑=
=n
qq pq p V Y I
1
p j p p $V V
δ =
p p p p V I jQ P ==+ q jqq $V V
δ =
p p p p I V jQ P ==−
pq j pq pq $Y Y
θ =q pq p
jn
j pq
j p p p $V $Y $V jQ P
δ θ δ
∑=−
=−1
θ θ θ js$n$ j −=− c's[ ]!"1
pqq p jn
q pqq p p p $Y V V jQ P
θ δ δ +−−
=∑=−
[ ]!"c's1
pqq p pqqn
q p p Y V V P θ δ δ +−= ∑
=
[ ]!"1
pqq p pqq
n
q p p s$nY V V Q θ δ δ +−= ∑
=
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
41/113
For "ción de "tri7For "ción de "tri7
∆
∆=
∆
∆=
∆
∆
V L J
% H
V J J
J J
Q
P δ δ *1
[ ] pqS$nY V V P H pqq p pqq pq
p pq ≠→+−=∂
∂= !" θ δ δ
δ
[ ]∑≠=
+−−=∂∂=
n
pqq
pqq p pqq p p
p pp S$nY V V
P H 1
!" θ δ δ δ
[ ]!" pqq p pq p
q
p
pq C"sY V
V
P % θ δ δ +−=
∂
∂=
[ ]∑≠=
+−+=∂∂
=n
pqq
pqq p pqq pp pp p
p
p pp C"sY V C"sY V
V
P %
1
!"* θ δ δ θ
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
42/113
[ ]!" pqq p pqq pq
p pq C"sY V V
Q J θ δ δ
δ +−−=
∂∂
=
[ ]∑≠=
+−=∂∂
=n
pqq
pqq p pqq p p
p pp C"sY V V
Q J
1
!" θ δ δ δ
[ ]!" pqq p pq pq
p pq S$nY V
V
Q L θ δ δ +−=
∂∂
=
[ ]!"*1
pqq p pq
n
pqq
p pp pp p
p
p pp S$nY V S$nY V
V Q L θ δ δ θ +−+−=
∂∂= ∑
≠=
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
43/113
Ejemplo #. ;eterminar la matri Qacobiana para el sistema
11 ,δ V ** ,Q P
, V P ,Q P
A
#
! 1
Por determinar lacte |V 3| e o!"ioen la matri# $Q 3
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
44/113
∆
∆
∆
∆
∆
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂ ∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂∂∂
∂∂
∂∂
=
∆
∆
∆
∆
∆
*
*
*
**
*
*
*
**
*
**
*
*
*
*
00
00
00
00
V
V
V QQQ
V QQQ
V P P P V
P
V
P P P P V P P P
Q
Q
P
P
P
δ
δ
δ
δ δ
δ δ
δ δ
δ δ δ
δ δ
∆
∆∆∆
∆
=
∆∆∆∆
∆
*
*
*****
**
*****
*
*
00
00
00
00
V
V L J J
L J J
% H H % % H H H
% H H
Q
Q
P P
P
δ δ
δ
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
45/113
∆
∆
∆
∆
∆
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂ ∂
∂
∂
∂
∂
∂∂∂
∂∂
∂∂
=
∆
∆
∆
∆
∆
*
*
**
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
00
00
00
00
V
V
V QQQV P P P V P P P
V P P
Q
V
P V P P
Q
P
P
Q
P
δ
δ
δ
δ δ
δ δ
δ δ δ
δ δ
δ δ
∆∆∆∆
∆
=
∆∆∆∆
∆
*
*
**
****
*****
*
*
00
00
00
00
V
V
L J J
% H H
% H H % H J L J
H % H
Q
P
P Q
P
δ δ
δ
; $
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46/113
;. $
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
47/113
( ) q pn
qq pq p pq pq p p V V jS$nC"s jBG jQ P ∑
=−+−−=+
1
!"!"!" δ δ δ δ
[ ] q pn
qq p pqq p pq p V V S$n BC"sG P ∑
=−+−=
1
!"!" δ δ δ δ
[ ] q pn
qq p pqq p pq p V V C"s BS$nGQ
∑=−+−=
1
!"!" δ δ δ δ
[ ] q pn
pqq
q p pqq p pq p pp p V V S$n BC"sGV G P ∑≠=
−+−+=1
*!"!" δ δ δ δ
[ ] q pn
pqq
q p pqq p pq p pp p V V C"s BS$nGV BQ ∑≠=
−+−+−=1
*!"!" δ δ δ δ
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
48/113
[ ] * p pp*
p pp1
VBVB!"!" −+−+−−==∂∂
−
≠=∑
pQ
q p
n
pqq
q p pqq p pq pp p
p V V C"s BS$nG H P
δ δ δ δ δ
*
p pp p pp V BQ H −−=
[ ]!"!" q p pqq p pqq p pqq p
C"s BS$nGV V H
P
δ δ δ δ δ −+−==∂
∂
[ ]
pp H
q p
n
pqq
q p pqq p pq p pp p
p
p V V C"s BS$nGV BV V
Q ∑≠=
−+−+−=∂∂
1
*!"!"* δ δ δ δ
p p pp pp p p
p QV B LV V
Q +−==∂∂ *
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
49/113
−−−=∂∂
=≈≈
10
!"!" q p pqq p pqq pqq
p pq C"s BS$nGV V V
V
Q L δ δ δ δ
Como:
*
p pp p V BQ
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
50/113
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]V BV L B H ===
Sub matriz
[ ] [ ] [ ] [ ]V BV B 9 =
[ ] [ ] [ ] [ ]V BV B 99 =
[ ] [ ] [ ] [ ]V BV H 9=
[ ] [ ] [ ] [ ]V BV L 99=
[ ] [ ]δ ∆=∆ H P
[ ]∆
=∆V
V LQ
∆∆
=∆∆
V
V L
H
Q
P δ La matriz
[ ] [ ] [ ] pq pq L H B ==9[ ] [ ] [ ] pp pp L H B ==99
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
51/113
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] !"9 α δ ∆=∆ V BV P
[ ] [ ] [ ] [ ] !"99 β ∆
=∆V
V V BV Q
Con!ider"cione!Con!ider"cione!
1. &a diferencia entre las matrices R
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
52/113
#. El ángulo desfasador de los transformadores condesfasamiento fase cuadratura/ son omitidos en R/ son pasados al primermiembro RU"> ( S y la influencia de los reactivos sobre losángulos son despreciados2 así mismo el valor en %V& del ladoderec'o de la ec aci n (*) e a mido en 1 p.u. lamatri R(S del lado derecIo a 1 ". .
[ ] [ ] [ ]δ ∆=∆ 9 B
V P
[ ] [ ] [ ]V B
V Q ∆=∆ 99
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
53/113
). 9mbas sub matrices R
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
54/113
-"rr" Ten!ión C"r "1 1.,!2 ,.! ,.,), ,.) ,.!)
#
! 1 ,.,A j,.!,
,.,+ j,.A, ,.,W
j,.#,
j,.,W
j,.,A j,.,A j,.,+ j,.,W
j,.,+
E e #%o
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
55/113
1
1
1*
1*11
11S S Y Z
Y Z
Y +++=
1 *456*5*5105000401
00*0001
11 j j j j jY −=+++++=
*
*
*1
*1**
11S S Y Z
Y Z
Y +++=
5136*6631 110400050
100
*0001
** j j j j
jY −=++
+++
=
*
*
1
1
11 S S Y Z Y
Z Y +++=
160*21344*10400050
1050
00401
j j j
j j
Y −=++++
+=
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
56/113
−+−+−+−−+−+−+−−
=+160*21344*111*05*3560+++35*446+011*05*35605136*6631+1150643+34120+++35*446+050643+341201 *456*5*51
j j j
j j j
j j j
Y bus
−+−+−+−−+−+−+−−
=+153021344*111*005*3560+++30*446+011*005*3560513406631+1150640+34120+++30*446+050640+341201 *206*5*51
j j j
j j j
j j j
Y bus
50643+34120*00+0
11
1**11* j j Z
Y Y +−=+−=−==
+++35*446+0+0040
11
111 j j Z Y Y +−=+−=−==
11*05*35600050
11
*** j j Z
Y Y +−=+−=−==
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
57/113
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
58/113
5201
+0111
*1
j j j Z Z
Y −=+=+=
2*011
1*1* j j Z Y −===
2*+0
11
11 j j Z
Y −===
011
** j j Z
Y −===
501
*0111
*1*** j j j Z Z
Y −=+=+=
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
59/113
−−−− −−=
522*52 2*2269 B [ ] =
−
****0055530055530122240
9 1 B
−−−−−−
=+160*211*0+++35*
11*05136*650643++++35*50643+1 *456
99 B [ ] =−
* 3 *0032*+0
032*+014265099 1 B
[ ] ||||||9 q pq p V BV B −=
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
60/113
0*
0***
01*1
0* V Y V Y V Y I ++= 00**0110 V Y V Y V Y I ++=
823321360300* ∠= I
134120013**00* j I +−=
8**3*153000 ∠= I
155530006 *00 j I +−=
134120013**00* jS −−= 155530006 *00 jS −−=
!"!"0
* ca cu a&" p&"$sp$cifica p P P P −=∆ !"!"0 ca cu a&" p&"$sp$cifica p P P P −=∆
!013**0"*00* −−−=∆ P !006 *0"200 −−−=∆ P
1506500* −=∆ P +3*4500 −=∆ P
150650|| 0*
0* −=∆
V P +3*450
|| 00
−=∆V P
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
61/113
!134120"0200* −−−=∆Q
1+41200* =∆Q
1+4120|| 0*
0* =∆
V Q
!155530"*200 −−−=∆Q
0411100
−=∆Q
041110|| 0
0
−=∆V Q
[ ]
∆
∆
=∆
∆ −
||
||9
0
0
0*
0*
10
0*
V P
V P
B
δ
δ [ ]
∆
∆
=∆
∆ −
||
||99
0
0
0*
0*
10
0*
V Q
V Q
B
V
V
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
62/113
−−=
∆∆
+3*450150650
*****0055530055530122240
0
0*
δ δ
−=∆∆
0411101+4120
* 3 *0032*+0032*+0142650
0
0*
V
V
−−=−
−=∆∆
1361*+
1*2220061310
1500
0*
π δ δ
x
−=
∆∆
−+0
0*
10022*6
015+10
xV
V
∆ 001 δδδ
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
63/113
−−=−−+= 136 1*+136 1*+0011
*
δ δ
=−
+= − 333*30015+11
10022*6
015+10
11
+1
1*
xV
V
81*+015+111* −∠=V
8136333*301 −∠=V
∆∆+= 0
*0*
1*
δ δ
δ δ
δ δ
∆∆
+= 00
*0
0
*1
1
*
V
V
V
V
V
V
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
64/113
11*00!11*00"|||||| **** =−−=−== BV V L H
11*00!11*00"|||||| **** =−−=−== BV V L H
513406!513406"|||| **
***** −=−=−== BV L H
+14302!+14302"|||| * −=−=−== BV L H
1*
1***
11*1
1* V Y V Y V Y I ++= 11**1111 V Y V Y V Y I ++=
82416146501* ∠= I 8541262156*01 ∠= I
132+40+50+501 j I +−=0155*601446601* j I +−=
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
65/113
0043*01606501* jS −−= 1 4302005101 jS −−=
!"!"1
* ca cu a&" p&"$sp$cifica p P P P −=∆ !"!"1
ca cu a&" p&"$sp$cifica p P P P −=∆
0*3**01* −=∆ P 0005101 =∆ P
0+ 0501* −=∆Q 11401 −=∆Q
0*5430|| 1*
1* −=∆
V
P 0005110
|| 1
1
=∆V
P
0+* 010|| 1*
1* −=∆
V Q 114 30
|| 11
−=∆V Q
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
66/113
−=∆∆
00051100*5430
*****0055530055530122240
1
1*
δ δ
−−=
∆∆
114 300+* 010
* 3 *0032*+0032*+0142650
1
1*
V
V
−−=−
−=∆∆
1 250*2140
00* 60000+ 310
1501
1*
π δ δ
x
−−=
∆∆
0 1550015030
1
1*
V
V
∆ 11* δδδ
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
67/113
−−
=−−
+−−
= 66+
1 250*2140
1361*+
*
**
δ δ
=−−+=
346+10000 *1
0 1550015030
333*30015+11
*
**
V
V
86+000 *11* −∠=V
86346+101 −∠=V
∆∆+= 1
*1*
**
δ δ
δ δ
δ δ
∆∆
+= 11
*1
1
**
*
*V
V
V
V
V
V
B OLUCI N DE FLUJO DE POTENCIA
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
68/113
B. OLUCI N DE FLUJO DE POTENCIA
"ara la solución de flujo de potencia se puede utili ar lasadmitancias propias y mutuas que componen la matri admitanciade barra 9 barra2 o las impedancias de punto de operación y detransferencia que constituyen barra .Considerando una matri admitancia de barra de NxN 2 el elementoY ij tiene la forma:
ijijijijijijijijij jBG s$nY jY Y Y +=+=∠= θ θ θ cos
&a tensión en una barra típica i del sistema está dada encoordenadas polares por:
)(cos iiiiii js$nV V V δ δ δ +=∠=?ientras que la tensión en una barra típica j se escribe de manerasimilar2 cambiando solo el subíndice i por j .
… (a)
… (b)
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
69/113
&a corriente total que se inyecta a la red a trav s de la barra i ent rminos de los elementos Y in de la matri admitancia de barra estádada por:
∑=
=+++= %
nninniniii V Y V Y V Y V Y I
1**11 ...
4ean P i y Q i las potencias real y reactiva totales que ingresan a la reda trav s de la barra i 2 entonces el complejo conjugado de la potenciaque se inyecta a la barra i es:
∑=
=− %
nniniii V Y V Q P
1
*
4ustituyendo las ecuaciones a/ y b/ se tiene:
!"1
inin
%
nniinii V V Y Q P δ δ θ −+∠=− ∑
=
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
70/113
Expandiendo la última ecuación e igualando las partes real reacti!a" se tiene:
)cos( inin %
nniini V V Y P δ δ θ −+=∑
=1
)( inin %
nniini s$nV V Y Q δ δ θ −+−= ∑=1
&as dos 'ltimas ecuaciones constituyen la forma polar de las
ecuaciones de flujo de potencia2 las que dan valores calculados parala potencia real P i y la potencia reactiva Q i totales que entran a lared a trav s de una barra típica i .
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
71/113
FLUJO DE L NEA 9PGRDIDA
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
72/113
FLUJO DE L NEA
Cuando las ecuaciones de flujo de carga estática se Ian resuelto2entonces ya podemos determinar la potencia a trav s de las líneas detransmisión del sistema de n%barras. Consideremos la línea queconecta las barras i y j
i j Y i
*
9ijY
V i V
# i#
i *
9ijY
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
73/113
&a corriente de línea I ij que va desde la barra i Iasta la barra j es
( ) *9ij
iij jiij
'
V 'V V I +−=
El flujo de potencia S ij de la barra i a la barra j es:
=ijiijijij I V jQ P S =+=
X a/
X b/
4ustituyendo a/ en b/ se tiene:
( )*
9=*=== ijiij jiiijijij
'V 'V V V jQ P S +−=+=
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
74/113
Entonces2 para un n'mero L de líneas en el sistema de n%barras2 losflujos de línea están dados por:
;onde2 H (X,U) es el vector de las ecuaciones de flujo de línea
=
!,"9
!,"
!,"9!,"
!,"
1
1
U ( )
U ( )
U ( )U ( )
U ( H
L
L
;onde:
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75/113
( )
( ) *
*
1***1*1**1
1**11**111
****
****
'),('
'),(
'V 'V V V U ( )
'V 'V V V U ( )
+−=
+−=LINEA 1
( )
( ) *9
!,"9
*
9!,"
=1*=
1=
1=
*
=1*
1
=
1
==
11*
'V 'V V V U ( )
'V 'V V V U ( )
+−=
+−=LINEA 2
( )
( ) *
9!,"9
*9!,"
=**=
*=
*=
=***
=*
==**
'V 'V V V U ( )
'V 'V V V U ( )
+−=
+−=LINEA 3
PGRDIDA
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
76/113
PGRDIDA
tili amos la matri impedancia de barra para e0presar la fórmula dep rdidas.
@ecordemos que la potencia de barra S i inyectada a la barra i representa la potencia generada menos la carga de la barra. 9demás2para un sistema de n barras2 las p rdidas totales de la red son:
( )∑ ∑ ∑= = ==+==+n
i
n
i
n
iiiiii L L V I jQ P S jQ P
1 1 1
*
sando la matri impedancia de barra tenemos:
∑= ==n
k k ik i ni I Z V
1 ,,*,1
H. Inc%u!ión de P"r@ etro! de Contro% Adicion"%e! en %o!H. Inc%u!ión de P"r@ etro! de Contro% Adicion"%e! en %o!$
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$
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78/113
re /I E #ort #otenci K #q
re"/II I #ort" #otenci" / #q
+−−+== q
s)qqqp
pq p
a) pq
qqqp
pq pp
Y Y Y
Y Y Y Y Y
Y Y Y
−−
=q
p
qp
qqqp
pq pq pp
qp
pq
V
V Y Y
Y Y
I
I E%e ento! de %" di" on"%de %" "tri7 de %" %(ne" #/q pq
ppY
( ) ( )p VYVYYI +=
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79/113
( ) p s) p pqq p pq Y V Y V V I +−= ( ) q pq pY
p s) pq pq V Y V Y Y I
pq pp
−+=
== ?@ q pq p pq pp p pq p pq V Y V Y V I V S −==
==*
q pq p pq pp p pq pq pq V Y V Y V jQ P S −=+= ∗
pq pq j
q j
pq j
p
j
pq pp p pq jQ P $V $Y $V $Y V S
q pq p pq pp
+=−= −−
−δ θ δ
θ *
q pq p jq
j pq
j p
p
pq
p
pq $V $Y $V jQ
j P δ θ δ
δ δ
−−−=∂
∂+
∂
∂
!!"" qq p p p
pq
p
pq jba jf $ jQ
j P −+−=
∂∂
+∂∂
δ δ
pqpq Q P ++∂
+∂
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80/113
!?"@ q pq pq pq p p
pq
p
pq b$a f jb f a$ jQ
j −++−=∂+
∂ δ δ
pqq pq p p
pq H b$a f P =−=∂∂
δ pqq pq p p pq J b f a$Q =−−=∂
∂δ
pqq pq pq
pq
H a f b$ P
−=−=∂∂
δ pqq pq pq pq
J b f a$Q
−=+=∂∂
δ
!"!"
**
p pq
p p
p pq pp
jba
jq
j pq
jf $
j p
j
pq pp p p
p
pq p
p
pq $V $Y $V $Y V V V
Q jV
V
P
−
−−
+
−−=
∂∂
+∂∂ δ θ δ θ
!!""?@**
qq p p pq pp
pq pp p p
p
pq p
p
pq jba jf $ jBGV V V
Q jV
V
P −+−−=∂∂
+∂∂
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81/113
pqq pq pqq
pq % b f a$V V
P =+=∂∂
pqq pq pqq
pq Lb$a f V V
Q =−=∂∂
q pq p pq pp p p
p
pq b f a$GV V V
P −−=∂∂ *
*
q pq p pq pp p p
p
pq a f b$ BV V V
Q −+=∂∂ *
*
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
82/113
Deter in"ndo e% J"co+i"no #"r" e% i!te " Interconect"do.El control se efect'a sobre la potencia activa y reactiva.
AREA 2
" A!
$ A!
" ! 2$ !
C( 1 C 1
! AREA 1
+
A
@ef. @ef.
" A2$ A
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83/113
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
84/113
||||
||||
|||| ++
+*+
+
+*+
+
+* V V
Q jV
V P
V V
S
∂∂+∂
∂=∂∂
+*+**
+*
*
+*
*
+* j% LQ
j P S −=∂
∂+∂∂=∂
∂δ δ δ
+*+***
+**
*
+**
*
+*
|||||||||||| jL % V V Q
jV V P
V V S
+=∂∂
+∂∂
=∂∂
−+
+=∂
∂+*++
*++*+*
+*++
*++
+
+* ||||*||||
BV L j % GV V V
S
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85/113
∆∆
∆∆
∆∆
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂=
∆∆∆∆∆∆
||
||
||
00||||
||||
00||||
||||
00
00
44
4
**
*
***
*
*
*
*
***
*
*
*
*44**
44**
******
******
*
*
V V
V V
V V
V V
QQV
V QQ
V V
P P V
V P P
L J L J L J
% H % H % H
L J L J
% H % H
Q
P
Q
P
Q
P
I
I δ
δ
δ
δ δ
δ δ
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86/113
Ejemplo: ;eterminar el Qacobiano del siguiente sistema
AREA 2 " #!
$ #!
" ! 2$ !
C( 1 C 1
! AREA 1
" # 2$ #
A
#
@ef. @ef.
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87/113
∆∆∆∆∆∆
∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂
=
∆∆∆∆∆∆
++
+
**
*
*******
*******
++**
++**
******
******
*
*
*
*
00||||||||
00||||||||
00
00
V V
V V
V V
V V QQV V QQ
V V P P V V P P
L J L J L J
% H % H % H
L J L J
% H % H
Q
P
Q
P
Q
P
δ
δ
δ
δ δ
δ δ
∆∆∆∆
∆∆
∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂
∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂
=
∆∆∆∆
∆∆
++
+
,,
,
**
*
++,*+,*,,,*,,***,**,*
++,*+,*,,,*,,***,**,*
++,+,,,,,,**,*,
++,+,,,,,,**,*,
++*+*,,*,******
++*+*,,*,******
*,
*,
,
,
*
*
0
||||||||||||
||||||||||||
||||||||||||||||||||||||
||||||||||||
||||||||||||
V V
V V
V V
V V QQV V QQV V QQ
V V P P V V P P V V P P
V V QQV V QQV V QQV V P P V V P P V V P P
V V QQV V QQV V QQ
V V P P V V P P V V P P
Q
P
Q P
Q
P
δ
δ
δ
δ δ δ
δ δ δ
δ δ δ δ δ δ
δ δ δ
δ δ δ
H.2 Contro% re oto de ten!ión
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
88/113
En el sistema de potencia2 es posible controlar la tensión de una barradesde una fuente reactiva ubicada en una barra cualquiera de la red
En el nodo P la potencia P# es fijada y * #4 es ajustada2 considerandola restricciones para controlar remotamente la tensión de la barra 0 y
mantener la tensión en *# 2 donde además Pq y 0 q son fijados$a-$in p p p
QQQ ≤≤"ara determinar los elementos del Qacobiano se debe considerar que * # es ajustado para mantener 0 # por lo que las derivadas respecto a la
tensión de la barra 0 deben ser efectuadas sobre la barra P ósea:
p p
xq
q
x V V P
V V P
∂∂=
∂∂
p p
xq
q
x V V Q
V V Q
∂∂=
∂∂
q p Z " s
C( C
8ambi n las derivadas de 0 & respecto a 3 y magnitud de ( son cero yque todos los nodos conectados a 0 son afectados por la sustitución de
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89/113
que todos los nodos conectados a 0 son afectados por la sustitución de(q mediante la magnitud de ( p
EQE?"&[: ;eterminar el jacobiano del sistema que se muestra en la ig.11 ,δ V
,Q P +++ ,, V Q P
∆∆∆∆
∆
=
∆∆∆∆
∆
**
+
*
++++
++++
*+*
*+*
******
+
+
*
00
00
0
V V
V V
J L J
H % H
L J L J J % H % H H
% % H H
Q
P
Q P
P
δ
δ
δ
V P Ba##a −→!
#
1
A
Ref. (A 5 Constante
(! 5 Controla $ A
H., Tr"n!for "dore! con f"!e "ri"+%e +" o c"r ".
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
90/113
8ransformador con 8aps variable bajo carga.
p q = pq
F pq aF 8
F p 1%a/ F 8 F q a a%1/ F 8
T pq aY Y =T p Y aY !1" −=
T q Y aaY !" * −=
Equivalente $ de un transformador en fase de taps variables
a: @elación de 8ransformacióna: (ariable constante
?ediante estos transformadores se puede conmutar laó l l d d l f d
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
91/113
tensión en cualquier lado del transformador.
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
92/113
[ ] −
−=
+−
−+=
T T
T T
qqpqp
pq p pq
Y aaY
aY Y
Y Y Y
Y Y Y Y *
[ ] −+−−−+
=T T T
T T T
Y aaaY aY
aY Y aaY Y
!1"
!1"
E0presiones del lado controlado
∑=
=+=n
k k pk p p p p V Y V jQ P S
1
==
∑≠=
+=n
qk k
q pqk pk p p V Y V Y V S 1
====
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
93/113
==
,1
===* !"|| qT p pn
q pk k
k pk p pp p p V Y aV V Y V Y V S −++= ∑≠=
q pq p
k pk p pp
jq
jT p
j p
n
q pk k
jk
j pk
j p
j pp p p
$V $Y a$V
$V $Y $V $Y V S
δ θ δ
δ θ δ θ
−−≠=
−−−
−+
+= ∑||!||"||
||||||||||,
1
*
∑∑ = −−= ==+n
q
jq j pq j p
n
qq pq p p p
q pq p $V $Y $V V Y V jQ P 11
== |||||| δ θ δ
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
94/113
{ k pk p ppn
jk
jk
j j p p $V$Y$V$YVjQ
j P δ θ δ θ −−− +=∂+∂ ∑ ||||||||||
*
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
95/113
{
} ppq pq p j pp p jq jT p j pq pk
k pk p pp p p p
$Y V j$V $Y a$V
$V $Y $V $Y V j j
θ δ θ δ
δ δ −−−
≠
−−+∂∂ ∑
|||||||!"|||
||||||||||
*
,
[ ] pp j pp p p p p
p
p
p $Y V jQ P jQ
j P θ
δ δ −−+=∂+∂
|||| *
[ ]!"|| * pp pp p p p p
p
p
p jBGV jQ P jQ
j P
−−+=∂+∂ δ δ
pp p pp p p
p
H V BQ P
=−−=∂*
||δ
pp p pp p p
p J V G P Q
=−=∂*||
δ
;erivada 3 q
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
96/113
q
q pq p j
q
j
T p
j
pq
p
q
p
$V $Y a$V jQ
j P δ θ δ
δ δ −−
−−=∂+∂ |||!"|||
q pq p jq
j pq
j p
q
p
q
p $V $Y $V jQ
j P δ θ δ
δ δ −−−=∂+∂
||||||
[ ]!!"" qq p pq
p
q
p jba jf $ jQ
j P
−+−=∂+∂ δ δ
[ ]q pq pq pq pq
p
q
p b f a jf b j$a$ jQ
j P ++−−=∂+∂ δ δ
p b$f P
H ==
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
97/113
q pq pq
p pq b$a f H −=∂= δ
[ ]q pq pq
p pq b f a$ jQ j J +−=∂= δ
q pq p
q
p pq a$b f
Q J −−=
∂=
δ
;erivada a p
q pq p jq
jT
j p
p
p
p
p $V $Y $V a
Q ja
P δ θ δ −−−=∂+∂ ||||||
q pq p j j j p p $V$Y$VQ
j P δ θ δ −−=+ |||!"|||
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
98/113
qpqp
qT p p p p
p p
$V $Y a$V aa
jaa
−=∂+∂ |||!"|||
q pq p jq
j pq
j p p
p
p p
p
p $V $Y $V aa
Q jaa
P δ θ δ −−=∂+∂ ||||||
!!"" qq p p p p
p
p p
p
jba jf $aa
Q
jaa
P
−+=∂+∂
pqq pq p p
p
p % b f a$a
a
P =+=
∂
pqq pq p pq
p Lb$a f aa
Q=−=∂
b. Control del lado de envío q
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
99/113
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
100/113
∑=
=+k
k qk qqq V Y V jQ P 1
==
qq pqpq
k qk q
j
qqq
j
p
j
qp
j
q
n
q pk k
jk
jqk
jqqq
$Y V $V $Y $V
$V $Y $V jQ P
θ δ θ δ
δ θ δ
−−−≠=
−−
++
=+ ∑||||||||||
||||||
*
,1
[ ]qpqq pqpq
k qk q
jT
jqqq
j p
jT
jq
n
q pk
jk
jqk
jqqq
$Y a$Y V
$V $Y a$V
$V $Y $V jQ P
δ θ
δ θ δ
δ θ δ
−−
−−
≠
−−
++−+
=+ ∑
**
,
||||
|||!"|||
||||||
p GV% P *||∂
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
101/113
pq p p pq p p
p GV aa % aa
||−=∂
pq p p pq p p
p BV aa Laa
Q *||−=∂∂
qp p p
q % aa P =∂∂
qp p p
q Laa
Q=
∂
∂
0=∂∂ p pi a
a P
0=∂
∂ p
p
i aa
Q
"ara todo losnodosconectadosentre i M p.
H.) Tr"n!for "dore! en f"!e cu"dr"tur".
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
102/113
"ermiten controlar el . "ot. 9ctiva por deter electroducto.
p q
F qp 5 aF 8
.1%a/ F 8 .1%a/ F 8
F pq 5 aF 8
F pq
a :1 6 p q
"
( p ( q
6 q
a: Complejo
[ ]− TT aY Y pqaa φ || ∠=
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
103/113
[ ] −=
T T
T T
Y aaY Y * pq j$aa φ ||=
[ ] −
−=T T
jT
jT
Y aY $a
Y $aY Y
pq
pq
*||
||φ
φ
"ara Considerar este parámetro de control en el Qacobiano esnecesario aumentar una fila y una columna2 con la finalidad deconsiderar las variables \ pq y " pq.
&os nuevos t rminos de derivada parciales de filas y columnas son:
E0presión barra de envío:
====qpqp
n
kpkppp V Y V V Y V jQ P +=+ ∑
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
104/113
1q pq p
q * k
k pk p p p jQ ∑≠=
==
1
== !||" qT j
p
n
q * k
k pk p p p V Y $aV V Y V jQ P pqφ −
≠=
−+=+ ∑== !||" qT
j p
pq
p
pq
p V Y $a jV Q
j P
pqφ
φ φ
−−−=∂
∂+∂
∂
== ! q pq p pq
p
pq
p V Y jV Q
j P
−=∂∂+∂
∂φ φ
!!"" qq p p pq
p
pq
p jba jf $ jQ
j P
−+−=∂∂+∂
∂φ φ
QP ∂∂
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
105/113
[ ]q pq pq pq p pq
p
pq
p b f a jf b j$a$ jQ
j P
++−−=∂∂+∂
∂φ φ
( ) ( ) pq pq pq pq pq
p
pq
p f b$a j$b f aQ
j P
+−−=∂∂+∂
∂φ φ
pqq
p pq pq
pq
p H P
$b f a P
=∂∂=−=∂
∂δ φ
( ) pqq
p pq pq
pq
p J Q f b$aQ =∂∂=+−=∂
∂δ φ
E0presión barra de recepción:
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
106/113
==
1
== pqpq
n
p * k
k qk qqq V Y V V Y V jQ P +=+ ∑≠=
==
1
== !||" pT j
q
n
p * k
k qk qqq V Y $aV V Y V jQ P pqφ −
≠=
−+=+ ∑
== ! pqpq pq
q
pq
q V Y jV Q
j P
=∂∂+∂
∂φ φ
!!"" p pqq pq
q
pq
q jba jf $ jQ j P −+=∂∂+∂∂ φ φ
[ ]qq $$Q P ++∂+∂
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
107/113
[ ]q p pq pq pq pq
q
pq
q f ba jf b j$a$ jQ
j ++−−=∂+∂ φ φ
( ) ( )q pq pq pq p pq
q
pq
q f b$a j f a$bQ
j P
++−=∂∂+∂
∂φ φ
qp p
qq pq p
pq
q H P
f a$b P
−=∂∂−=−=∂
∂δ φ
qp p
qqqq p
pq
q J Q f b$aQ −=∂∂−=+=∂
∂δ φ
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
108/113
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
109/113
{ }!"!"!"||*||||
*qpqpqpqpppppp$p
pq b$a f jb f a$ jBGV +V P
−+++−=∂∂
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
110/113
|||||| q pq pq pq p pp pp p$ p p
jjV ∂
{ }!"||*||||
*q pq p pp p p
p
pq b f a$GV V V
P ++=∂∂
pq pp p p p
pq % GV V V
P +=
∂
∂ *||*||||
{ }== q pq p$q
pq V Y V j + P
−=∂
∂
δ
{ }!!"" qq p p$q
pq jba jf $ j + P
−+−=∂∂
δ
{ }!"!"$ pq fb$aj$bfa+
P +−−=∂
∂
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
111/113
{ }!! pq pq pq pq$q
f b$a j$b f a ∂δ
pq pq pqq
pq H $b f a P =−=∂∂δ
q j
pq pq
pq
$Y V V
P δ −=∂
∂=
||
{ } === |||||| q pq p
jq pq p$q
q
pq V Y V $V Y V +V V
P q ==∂
∂ − δ
{ }!!""|||| qq p p$qq
pq jba jf $ +V V
P −+=∂
∂
{ }!"|||| pq pq pq pq$q
pq $b f a j f b$a +V V
P −++=∂
∂
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
112/113
|| qV ∂
{ }==
q pq p$ pq
pq
V Y V j + P
−=∂∂φ
{ }!!"" qq p p$ pq
pq jba jf $ j + P
−+−=∂∂φ
pq pq pqqq
pq
% f b$aV V
P =++=∂
∂||||
{ }!" pq pq pq pq$ pq
pq f b f ja$ jb$a j + P
++−−=∂∂φ
ppq P P ∂∂
8/15/2019 Flujo de Potencia 21
113/113
pqq
p pq pq
pq
pq H $b f a =∂=−=∂ φ φ