Teora de flujo potencial

La teora de flujo potencial pretende describir el comportamiento cinemtico de

los fluidos basndose en el concepto matemtico de funcin potencial,

asegurando que el campo de velocidades (que es un campo vectorial) del flujo de

un fluido es igual al gradiente de una funcin potencial que determina el

movimiento de dicho fluido:

Donde el campo de velocidades queda definido como:

El signo menos en la ecuacin de arriba es slo una convencin de signos sobre

la definicin de . Puede definirse sin el signo menos y la formulacin que se

obtendra sera la misma.

A un fluido que se comporta segn esta teora se le denomina fluido potencial, que

da lugar a un flujo potencial.

D'Alembert defini la funcin de corriente, , para describir la trayectoria que

tuviera cada partcula de un fluido a travs del tiempo. Esta funcin corriente est

determinada, en el plano, por dos variables espaciales y para cada valor de la

igualdad determina un lugar geomtrico llamado lnea de corriente.

De la definicin de funcin potencial se tiene que las componentes de son:

Y tambin se cumple que:

Siendo S la direccin normal a las lneas llamadas lneas

equipotenciales.

Red de corriente o de flujo

Se define Lnea de Corriente como aqulla curva cuya tangente en cualquier punto

coincide con la direccin de la velocidad del fluido en dicho punto. Cuando se trata

de un flujo estacionario, las lneas de corriente coinciden con las de flujo.

Estas curvas se cortan ortogonalmente en todo punto, ya que la velocidad es

tangente a las lneas de corriente y perpendicular a las lneas equipotenciales.

Como el lquido ideal es incompresible, satisface la ecuacin de continuidad:

Cumple con la ecuacin de Laplace indicando una funcin armnica.

No hay componentes en Z puesto que el lquido ideal es irrotacional.

Como:

Reemplazando Vx y Vy en:

Seria:

tambin cumple con la ecuacin de Laplace, siendo tambin una funcin

armnica

Ecuaciones de Cauchy-Riemann:

Estn relacionadas entre si con las funciones y en coordenadas polares y

cartesianas.

En coordenadas polares:

En coordenadas cartesianas:

Otras propiedades de la funcin potencial:

a) Las funciones tambin cumplen con la ecuacin de

Laplace.

b) La circulacin del flujo plano del lquido vale 0.

c) Una funcin potencial que satisface la ecuacin de Laplace, tendr una solucin

nica.

Ecuaciones del movimiento:

-Si estudiamos la ecuacin del movimiento a lo largo de las lneas de corriente,

obtendremos:

Si integramos esta ecuacin obtendremos la ecuacin de Bernoulli:

-Si estudiamos la ecuacin del movimiento a lo largo de una direccin normal a las

lneas de corriente, tendremos:

Donde r es el radio local de la curva de la lnea de corriente.

-Ecuacin para el flujo plano del lquido ideal, irrotacional.

Dnde:

k = cte.

r = radio local

-Ecuacin para flujo que rige en el flujo rotacional:

Tipos de flujos:

-Flujo rotacional: Es aquel en el cual el campo rot v adquiere en algunos de sus

puntos valores distintos de cero, para cualquier instante.

-Flujo irrotacional: Al contrario que el flujo rotacional, este tipo de flujo se

caracteriza porque dentro de un campo de flujo el vector rot v es igual a cero para

cualquier punto e instante.

La distribucin de velocidades es diferente en una curva horizontal.

Coeficiente de presin: El coeficiente de presin es un parmetro muy til para

estudiar el flujo de fluidos incompresibles como el agua, y tambin en fluidos con

flujos de bajas velocidades como el aire. La relacin entre el coeficiente

adimensional y los nmeros dimensionales son:

Dnde:

Es la presin esttica del fluido en el punto en el que el coeficiente de presin es evaluado.

Es la presin del flujo libre, es decir, que se encuentra fuera de cualquier perturbacin creada

por el cuerpo extrao.

Es la densidad del fluido en el flujo (Aire a nivel del mar y 15 C es 1.225 kg/m3

Es la velocidad de flujo libre del fluido, o la velocidad del cuerpo a travs del fluido.

Usando ecuacin de Bernoulli, el coeficiente de presin puede ser simplificado por

considerar el flujo incompresible, sin prdidas y estacionario:

Dnde:

V es la velocidad del fluido en un punto conocido previamente calculado.

es la velocidad del fluido.