Formulación de modelos de Programación LinealVIDEO 1: Introducción a la programación lineal. Tips para formular un modelo de PL. SOLUCION EJEMPLO 1: La  Smith Motors,   Inc.,   vende   automóviles   normales   y   vagonetas.   La compañía obtiene $300 de utilidad sobre cada automóvil que vende y $400 por cada vagoneta. El fabricante no puede proveer más de 300 automóviles ni más de 200 vagonetas por mes. El tiempo de preparación para  los distribuidores  es de 2 horas para cada automóvil  y 3 horas para cada vagoneta.  La compañía cuenta  con 900 horas de  tiempo de  taller  disponible  cada mes para  la preparación   de   automóviles   nuevos.   Plantee   un   problema   de   PL   para   determinar   cuántos automóviles y cuántas vagonetas deben ordenarse para maximizar las utilidades. SOLUCION EJEMPLO 2: La EZ Company fabrica tres productos de última moda, a los cuales el departamento de mercadotecnia ha denominado Mad, Mud y Mod. Estos tres productos se fabrican a partir de tres ingredientes los cuales, por razones de seguridad, se han designado con nombres en código que son Alpha, Baker y Charlie. Las libras de cada ingrediente que se requieren para fabricar una libra de producto final se muestran en la siguiente tabla.

  IngredienteProducto Alpha Baker CharlieMad 4 7 8Mud 3 9 7Mod 2 2 12

La empresa cuenta respectivamente con 400, 800, 1000 libras de los ingredientes Alpha, Baker y Charlie.  Bajo   las  condiciones  actuales  del  mercado,   las  contribuciones  a   las  utilidades  para   los productos son $18 para Mad, $10 para Mud y $12 para Mod. Plantee un problema de PL para determinar la cantidad de cada uno de los productos de última moda que deben fabricarse. SOLUCION EJEMPLO 3: La Ware Farms del Valle Schoharie, cerca de Abany, N.Y., cultiva brócoli y coliflor en 500 acres de terreno en el valle. Un acre de brócoli produce $500 de contribución a las utilidades   y   la   contribución   de   un   acre   de   coliflor   es   de   $1000.   Debido   a   reglamentos gubernamentales,  no pueden cultivarse  más de 200 acres de brócoli.  Durante   la   temporada de plantación, habrá disponibles 1200 horas-hombre de tiempo de plantadores. Cada acre de brócoli requiere 2.5 horas-hombre y cada acre de coliflor requiere 5.5 horas-hombre. Plantee un problema de PL para determinar cuántos acres de brócoli y cuántos de coliflor deben plantarse para maximizar la contribución a las utilidades. SOLUCION EJEMPLO 4: La Beta Corporation acaba de adquirir una licencia existente de operación para el servicio de automóviles entre el aeropuerto DFW y el centro de la ciudad. Antes el servicio de esos automóviles operaba una flota de 30 vagonetas; sin embargo, el volumen del negocio hace que sea fácil justificar la adición de otros vehículos. Además, la mayoría de los vehículos son muy viejos y  requieren un mantenimiento muy costoso.  Debido a  la baja  inversión que se requiere para  la adquisición de la licencia, la Beta está en posición de reemplazar todos los vehículos existentes. Se están considerando tres tipos de vehículos; vagonetas, autobuses pequeños y autobuses grandes. La compañía ha examinado cada tipo de vehículo y ha recopilado los datos que se muestra en la siguiente tabla. El consejo de administración de la Beta ha autorizado $500,000 para la adquisición 

de vehículos. La Beta ha proyectado que puede utilizar en forma adecuada cuantos vehículos pueda financiar;   sin   embargo,   las   instalaciones   de   servicio   y  mantenimiento   son   limitadas.   En   estos momentos, el departamento de mantenimiento puede manejar 30 vagonetas. En la actualidad, la compañía no desea ampliar las instalaciones de mantenimiento. Puesto que la nueva flota puede incluir   autobuses   pequeños   y   grandes,   el   departamento   de   mantenimiento   debe   estar   en posibilidades de trabajar con ellas. Un autobús pequeño es equivalente a 1 ½ vagonetas y cada autobús grande equivale a 3 vagonetas. Plantee un modelo lineal que permita a la Beta determinar el   número   óptimo  de   cada   uno   de   los   tipos   de   vehículos   que   debe   adquirir   con  el   objeto   de maximizar las utilidades anuales esperadas.

Tipo de vehículos Precio de compra Utilidad anual neta esperadaVagoneta $             6,500.00 $2,000

Autobús pequeño $           10,500.00 2800Autobús grande $           29,000.00 6500

 SOLUCION EJEMPLO 5: Un granjero desea determinar el costo diario más bajo de la mezcla de pastura para su ganado. Para cumplir con los requerimientos mínimos de nutrición, la mezcla deberá de contener al menos 10000 unidades del nutriente A, 20000 unidades del nutriente B y 15000 unidades del nutriente C. Existen 2 alimentos de pastura disponibles para él, y cada libra del primero cuesta $0.15 y contiene 100 unidades del nutriente A, 400 del nutriente B y 200 del nutriente C; y cada libra del segundo cuesta $0.20 y contiene 200 unidades del nutriente A, 250 del nutriente B y 200 del nutriente C. Formule el modelo de programación lineal.  SOLUCION EJEMPLO 6: Un fabricante de equipo de prueba, tiene tres deptos. principales para la manufactura de sus modelos S-1000 y S-2000. Las capacidades mensuales son las siguientes: 

  Requerimientos unitarios de tiempo (hrs)

Hrs. disponibles en el presente

mesModelo S-1000 Modelo S-2000Depto. de estructura principal 4.0 2.0 1600Depto. de alumbrado eléctrico 2.5 1.0 1200Depto. de ensamble 4.5 1.5 1600

 La contribución del modelo S-1000 es de $40.00 por unidad y la del modelo S-2000 es de $10.00 por unidad. Se pide formular este problema como un modelo de prog. lineal.

SOLUCION EJEMPLO 7: Considere la decisión de planeación de producción de una compañía que hace válvulas y pistones. Ambas piezas deberán ser maquinadas en torno y procesadas en un esmerilador y, además, el pistón deberá ser pulido. Cada válvula y cada pistón requieren cierta cantidad de acero. La siguiente tabla resume la cantidad de cada recurso usados en producir válvulas y pistones, la utilidad unitaria y la cantidad de recursos disponibles:

  Torno (hrs) Esmeril (hrs) Pulidora (hrs) Acero (hrs)Válvula 0.3 1.0 0.0 1.0Pistón 0.5 1.5 0.5 1.0

Recursos disponiblesTorno: 300 hrs.Esmeriladora: 750 hrs.

Pulidora: 200 hrs.Acero: 600 hrs. La compañía desea determinar el valor de las variables de decisión si las utilidades unitarias esperadas son de $3.00 y $4.00 para válvulas y pistones respectivamente. SOLUCION EJEMPLO 8: Una compañía fabrica 2 productos que pasan en forma sucesiva por tres maquinas. El tiempo por maquina asignado a los dos productos está limitado a 10 hrs/día. El tiempo de producción y la ganancia por unidad de cada producto se dan a continuación. 

Producto Tiempo de producción Ganancia ($/unid)Maq. 1 Maq. 2 Maq. 3

1 10 min. 6 min. 8 min. $202 5 min. 20 min. 15 min. $30

Tiempo disp. (hrs/día) 10 hrs.600 min.

10 hrs.600 min.

10 hrs.600 min.

 

Determine la combinación óptima de producción para maximizar las ganancias. SOLUCION EJEMPLO 9: Una compañía fabrica los productos A, B, C y D los cuales pasan por los departamentos de cepillado, fresado, taladro y ensamble. Los requerimientos por unidad de producto, en horas, la contribución, capacidad de producción de cada departamento y las demandas mínimas de venta son: 

DEPARTAMENTO (HRS/UNID.)Contrib. por unid. Prod. Cepillado Fresado Taladro Ensamble Dem. min.$80.00 A 0.5 2.0 0.5 3.0 100 u90.00 B 1.0 1.0 0.5 1.0 600 u70.00 C 1.0 1.0 1.0 2.0 500 u60.00 D 0.5 1.0 1.0 3.0 400 u

Tiempo disp. 1800 hrs. 2800 hrs. 3000 hrs. 6000 hrs.  Formule un modelo de programación lineal para maximizar las utilidades. SOLUCION EJEMPLO 10: Una corporación ha decidido producir tres nuevos artículos, ya que en sus cinco plantas tienen exceso de capacidad de producción. El costo unitario de manufacturación para el primer producto podría ser de $31.00, $29.00, $32.00, $28.00 y $29.00 en las plantas 1, 2, 3, 4 y 5 respectivamente, por unos costos unitarios de $45.00, $41.00, $46.00, $42.00 y $43.00 para el producto 2 y de $38.00, $35.00, $40.00, $29.00 y $32.00 para el producto 3, las plantas 1, 2, 3, 4 y 5 tienen capacidad de 2000, 1000, 2000, 1500 y 2500 unidades por producir de los tres nuevos artículos en sus diferentes combinaciones. Si los pronósticos de ventas indican que se podrían vender 1500, 2500, y 4000 unidades de los artículos 1, 2 y 3. ¿Cuál debería ser el numero optimo de unidades para cada artículo con el fin de minimizar los costos totales? SOLUCION EJEMPLO 11: Una compañía fabrica dos clases de cinturones de piel. El cinturón tipo A es de alta calidad y el cinturón de tipo B es de baja calidad. La ganancia esperada para cada cinturón es de $40.00 para el tipo A y de $25.00 para el tipo B. Cada cinturón del tipo A requiere el doble de tiempo de fabricación que el cinturón de tipo B. Si todos los cinturones fueran del tipo B, la compañía fabricaría 1000 unidades por día. El abastecimiento de piel es suficiente para 800 cinturones A y B combinados, el cinturón tipo A requiere una hebilla especial de las que solo se

dispone de 400 por día, por 700 de las que lleva el cinturón tipo B. Construya el modelo de programación lineal que maximice las ganancias totales. SOLUCION EJEMPLO 12: Un fabricante de gasolina de aviación vende dos clases de combustible, A y B. El combustible clase A tiene 25% de gasolina grado 1, 25% de gasolina grado 2 y 50% de gasolina grado 3. El combustible clase B tiene 50% de gasolina grado 2 y 50% de gasolina grado 3. Disponibles para producción hay 500 galones por hora de gasolina grado 1 y 200 galones por hora respectivamente de las gasolinas grado 2 y 3. Los costos son 30 centavos por galón de grado 1, 60 centavos por galón de grado 2, y 50 centavos por galón de grado 3. La clase A puede venderse a 75 por galón, mientras que la clase B alcanza 90 por galón. ¿Qué cantidad debe fabricarse de cada combustible? SOLUCION EJEMPLO 13: La Higgins Company fabrica piezas de metal de alta precisión que se utilizan en los motores de automóviles de carrera. La pieza se fabrica en un proceso de forjado y refinación y son necesarias cantidades mínimas de diversos metales. Cada pieza requiere de 40 onzas de plomo, 48 de cobre y 60 de hierro colado. Existen 4 tipos de mineral disponible para el proceso de forjado y refinación. El mineral tipo 1 contiene 4 onzas de plomo, 2 de cobre y 2 de acero colado por libra. Una libra del mineral de tipo 2 contiene 2 onzas de plomo, 6 de cobre y 6 de acero colado. Una libra del mineral 3 contiene 1 onza de plomo, 4 de cobre y 4 de acero colado. Por último, el mineral de tipo 4 contiene ½ onza de plomo, 1 de cobre y 8 onzas de acero colado por libra. El costo por libra para los cuatro minerales es de $20, $30, $60 y $50, respectivamente. A la Higgins le gustaría mezclar los minerales de manera que se satisfagan las especificaciones de las piezas y se minimice el costo de fabricarlas. Defina las variables de decisión y plantee el apropiado modelo de PL.