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programacion lineal
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INVESTIGACIO OPERATIVA
Formulación de Modelos – Problemas propuestos
Para cada caso, formule el modelo de programación lineal correspondiente.
1. En una pequeña empresa se fabrican dos productos plásticos, 1 y 2. Cada producto debe
pasar por una máquina de cepillado A y otra de pulido B antes de salir a la venta. El producto
1 se vende a Bs. 60 por unidad y el 2, a Bs. 50 por unidad. El tiempo requerido por cada unidad de los productos 1 y 2 se muestra en la siguiente tabla:
Tiempo requerido por unidad de producto
Producto
1
2
Tiempo total disponible
En máquina A
2 min.
4 min.
48 min.
En máquina B
3 min.
2 min.
36 min.
Se desea determinar el número de unidades que se debe fabricar de cada producto de manera
de maximizar la ganancia (bruta) por ventas.
2. Una compañía elabora tres productos 1, 2 y 3. Cada producto requiere un cierto tiempo de
producción en cada uno de los tres departamentos A, B y C de la compañía, como se muestra en la siguiente tabla:
Tiempo en cada departamento (horas/unidad)
Producto
1
2
3
Tiempo total disponible (hr)
A
2
4
2
60
B
2
1
2
40
C
1
3
3
30
Las ganancias netas por venta de los productos son: Producto1Bs. 10/unidad
2 Bs. 20/unidad
3Bs. 12.50/unidad Construya un modelo matemático que permita determinar la cantidad de unidades que debe
fabricarse de cada producto para que la ganancia sea la máxima.
3. Una compañía fabricante de gabinetes de cocina elabora dos tipos: económico (E) y de lujo
(L), en sus tres departamentos de producción A, B y C. En A se elaboran las armaduras de
madera del tipo E; en B se elaboran las armaduras del tipo L y en C se ensamblan y se pintan los dos tipos. El tiempo de producción por cada unidad en cada departamento, así como la
ganancia neta por venta de los gabinetes, se muestra en la siguiente tabla:
Tiempos de producción por departamento
Tiempo en cada dpto.
(horas/unidad)
Producto
E
L
Tiempo disk. (hr)
MSc. Ing. Ezzard Omar Alvarez Díaz
Ganancia por unidad
(Unidad x 100)
6
10
A
2
0
8
B
0
4
24
C
6
4
36
1
La compañía desea determinar el número de unidades del modelo E y el número de unidades
del modelo L que debe fabricar a fin de maximizar las ganancias.
4. Un agricultor tiene algunas hectáreas de tierra donde puede sembrar maíz, trigo y soya. Cada
hectárea de maíz cuesta Bs. 500 en preparación, requiere 7 días-hombre de trabajo y produce una ganancia de Bs. 150. Una hectárea de trigo cuesta Bs. 600 en preparación, requiere 10
días-hombre de trabajo y produce una ganancia de Bs. 200. Una hectárea de soya cuesta Bs.
350 en preparación, requiere 8 días-hombre de trabajo y produce una ganancia de Bs. 100. Si el agricultor dispone de Bs. 500000 para preparación y puede contar con 8000 días-hombre
de trabajo, ¿cuántas hectáreas debe sembrar de cada cultivo para maximizar las ganancias?
5. Una compañía de productos químicos recibe una orden de 1200 Kg de un determinado
producto que se obtiene de la mezcla de tres ingredientes básicos. Los costos de estos
ingredientes son: Ingrediente
1
2 3
Costo (Bs/kg)
12.50
15.50 20.00
Se exige que el producto elaborado cumpla con los siguientes requisitos:
a. Debe contener al menos 198 Kg del material 2 b. No puede contener más de 350 Kg del material 1
c. Debe contener por lo menos 125 Kg del material 3
Determine la mezcla que cumple con los requisitos, a un costo mínimo.
6. Con el objeto de mejorar la calidad de un tipo de combustible se emplean dos aditivos, 1 y 2.
Se requiere que cumpla: a. La cantidad total de aditivos no debe exceder ½ Kg/barril
b. La cantidad de aditivo 2 más dos veces la cantidad de aditivo 1 debe ser por lo menos ½
Kg/barril c. 1 Kg de aditivo 1 añade 10 octanos/kg al combustible y 1 Kg de aditivo 2 añade 20
octanos/Kg. Para asegurar un buen funcionamiento de los motores donde se usa el
combustible, el número de octanos no puede ser menor de 6 d. El aditivo 1 cuesta Bs. 153/Kg y el aditivo 2 cuesta Bs. 400/Kg
Se quieren determinar las cantidades de aditivos 1 (llámese x1) y 2 (llámese x2) a fin de
minimizar el costo total.
7. Un pequeño taller manufactura 2 tipos de productos de madera, 1 y 2. Cada producto 1
requiere 4 horas de torno y 2 horas de pulitura. Cada producto 2 requiere dos horas de torno y 5 horas de pulitura. El taller disponde de dos tornos y 3 pulidoras en la semana de 40 horas.
La ganancia que se obtiene por la venta de cada producto 1 es de Bs. 15 y de Bs. 20 por la
venta de cada producto 2. ¿Cuántos artículos de cada tipo debe fabricar el taller a fin de maximizar sus ganancias? (Suponiendo que todo lo que fabrica lo puede vender)
MSc. Ing. Ezzard Omar Alvarez Díaz 2
8. Supongamos dos tipos de alimentos sintéticos A y B. Sean sus componentes nutritivos los
siguientes:
Componentes nutritivos de cada alimento
Alimento
A
B
Calorías por unidad de peso
100
200
Proteínas por unidad de peso
50
10
Grasas por unidad de peso
0
30
Las unidades en que se miden las proteínas y las grasas son arbitrarias y no es necesario
siquiera especificarlas. Del mismo modo, el número de unidades de cada componente es
totalmente artificial. Vamos a suponer que las necesidades diarias mínimas de un hombre activo son 2500 calorías; 350 de proteínas; 150 de grasas. ¿Qué alimento o combinación de
alimentos debería emplearse: 1) para cubrir las necesidades mínimas diarias de nutrición; 2)
con el mínimo de peso total ingerido?
9. Un pequeño inversionista quiere comprar acciones de dos compañías (1 y 2). Cada acción de
la compañía 1 le suministrará al final del año una ganancia estimada de Bs. 3 y cada acción de la compañía 2 le suministrará una ganancia estimada de Bs. 5. La compañía 1 no vende más
de 800 acciones. Además, cada acción de la compañía 1 cuesta Bs. 10 y cada acción de la 2
cuesta Bs. 20. El inversionista dispone de un máximo de Bs. 16000 para la compra de acciones. Designe por x1 y x2 el número de acciones que se deben comprar de las compañías
1 y 2 respectivamente. Se quiere construir un modelo matemático que permita determinar los
valores de x1 y x2 para que el inversionista maximice sus ganancias.
10. Una compañía de productos electrónicos produce dos modelos de radio, cada uno en una línea
de producción de volumen diferente. La capacidad diaria de la primera línea es de 60 unidades y la de la segunda es de 75 radios. Cada unidad del primer modelo utiliza 10 piezas de cierto
componente electrónico, en tanto que cada unidad del segundo modelo requiere ocho piezas
del mismo componente. La disponibilidad diaria máxima del componente especial es de 800 piezas. La ganancia por unidad de los modelos 1 y 2 es $30 y $20, respectivamente.
Determine la producción diaria óptima de cada modelo de radio.
11. Un hacendado cría cerdos para su venta a distribuidores de productos de ganado porcino. El
hacendado desea determinar la cantidad de alimento que debe ser suministrado a cada cerdo,
a fin de cumplir con ciertos requisitos de nutrición y a la vez con un costo mínimo. La tabla que se muestra a continuación, da los ingredientes nutritivos básicos (por cada kilogramo de
alimento tipo 1, tipo 2 y tipo 3), el número requerido y el costo por Kg. de alimento.
Ingredientes nutritivos básicos por cada Kg de alimento
Ingredientes
nutritivos
Carbohidrato
Proteínas
Vitaminas
Costo (Bs/Kg)
Tipo
1
9
3
1
7
Tipo
2
2
8
2
6
Tipo
3
4
6
6
5
Mínimo
Requerido
20
18
15
12. Una compañía manufacturera fabrica dos productos 1 y 2. Como se indica en la tabla anexa,
cada producto requiere un tiempo de manufacturación en los tres departamentos.
Posteriormente en la tabla que sigue se indica el hecho de que cada departamento tiene
MSc. Ing. Ezzard Omar Alvarez Díaz 3
actualmente una cantidad fija de horas-hombre disponibles por semana. El problema consiste
en decidir qué cantidad de cada producto debe manufacturarse con el objeto de hacer el mejor empleo de los medios limitados de producción con el propósito de maximizar la
ganancia. La ganancia por cada unidad de producto 1 es Bs. 1 y de producto 2 es de Bs. 1.50.
(Suponiendo que todo lo que produce lo puede vender) Requerimientos de tiempo de manufacturación para producir una unidad de producto por
departamento.
Producto
1
2
Dpto A
2
2
Dpto B
1
2
Horas-hombre Disponible por
Semana
A B
C
160 120
280
Dpto C
4
2
Límites de la capacidad de producción
Departamento
13. Una planta armadora de radios produce dos modelos, HiFi-1 y HiFi-2, en la misma línea de
ensamble. La línea de ensamble consta de tres estaciones. Los tiempos de ensamble en las
estaciones de trabajo son: Tiempos de ensamble en las estaciones de trabajo
Minutos por unidad de
Estación
de
Trabajo
1
2
3
6
5
4
4
5
6
HiFi-1 HiFi-2
Cada estación de trabajo tiene una disponibilidad máxima de 480 minutos por día. Sin
embargo, las estaciones de trabajo requieren mantenimiento diario, que contribuyen al 10%,
14% y 12% de los 480 minutos totales de que se dispone diariamente para las estaciones 1, 2 y 3, respectivamente. La compañía desea determinar las unidades diarias que se ensamblarán
de HiFi-1 y HiFi-2 a fin de minimizar la suma de tiempos no usados (inactivos) en las tres
estaciones.
14. Para proveer de nitrógeno (N), fósforo (P) y cal (L) suficientes a las hectáreas de su granja, J.
Pérez compra x sacos de A e y sacos de B por Ha, siendo A y B dos clases de fertilizantes comerciales. Los datos necesarios se dan en la tabla siguiente:
Información al problema de la granja de J. Pérez
N
A
B
Mín nec. por Ha
P
2
9
85
L
8
15
235
Primer Año – Precio/Saco
$5
$ 10
Segundo Año – Precio/Saco
6
6
108
$6
$1
Hallar, para cada año, los valores de x e y que proporcionen el mínimo necesario de fertilizante con el mínimo costo por Ha.
MSc. Ing. Ezzard Omar Alvarez Díaz 4
15. En una institución ha sido acordado realizar un estudio relacionado con el problema del
rendimiento estudiantil, para lo cual serán designados miembros del personal de dos departamentos que proporcionarán sociólogos e investigadores respectivamente.
En la siguiente tabla se indican la distribución del tiempo y costos por semana:
Distribución de tiempo y costo
Número de
Horas de trabajo semanal
Sociólogos
Trabajo de campo Trabajo de investigación
Costo por semana
20 60
5000
Investigadores
30 10
3000
horas exigidas
cada semana
170 270
¿Cuántos sociólogos y cuántos investigadores deben destinarse para realizar el estudio de modo que el costo sea mínimo y de manera que se cumplan los requisitos y tiempo de trabajo
semanal?
16. La WYNDOR GLASS CO. produce artículos de vidrio de alta calidad, incluyendo ventanas y
puertas de vidrio. Tiene tres plantas. Los marcos y molduras de aluminio se hacen en la planta
1, los marcos de madera se fabrican en la planta 2 y en la 3 se produce el vidrio y se ensamblan los productos. Debido a que las ganancias se han reducido, la gerencia general ha
decidido reorganizar la línea de producción. Se descontinuarán varios productos no rentables y
se dejará libre una parte de la capacidad de producción para emprender la fabricación de uno o dos productos nuevos que han tenido demanda. Uno de los productos propuestos (producto
1) es una puerta de vidrio de 8ft con marco de aluminio. El otro (producto 2) es una ventana
grande (4x6ft) para vidrio doble con marco de madera. El departamento de mercadotecnia ha sacado por conclusión que la compañía puede vender todo lo que pueda producir de
cualquiera de los productos. Sin embargo, como ambos productos compiten por la misma
capacidad de producción en la planta 3, no es obvio que la mezcla de los dos productos sería la más redituable. Por todo esto, la gerencia pidió al departamento de investigación de
operaciones que estudiara el asunto. Después de hacer algunas investigaciones, el
departamento mencionado determinó: 1) el porcentaje de la capacidad de producción en cada planta que estará disponible para estos productos, 2) el porcentaje de esta capacidad que
requiere cada unidad producida por minuto y 3) la ganancia unitaria por cada producto. Esta
información se resume en la siguiente tabla: Capacidad usada por unidad de tasa de producción
Planta
1
2 3
Ganancia unitaria
Producto 12
1
0 3
$3
0
2 2
$5
Capacidad disponible
4
12 18
De inmediato el departamento de operaciones reconoció éste como un problema de
programación lineal clásico de mezcla de productos y emprendió la tarea de formular y
resolver el problema.
MSc. Ing. Ezzard Omar Alvarez Díaz 5
17. Una industria de productos químicos decide abordar el problema de la contaminación y a la
vez incrementar las utilidades que obtiene en la venta de un producto A. Con estos objetivos la industria introduce un sistema S1 de producción, diferente al S0 que actualmente utiliza y
mediante el cual se pierden 10 gramos de un compuesto B y 50 gramos de otro compuesto C
por cada kilogramo que obtiene de A. Mediante el sistema S1 se pierden 20 y 30 gramos de B y C respectivamente por cada kilogramo del producto A. Mediante los sistemas S0 y S1 la
industria obtiene utilidades de Bs. 0.35 y Bs. 0.63 por cada Kilogramo de A. Por otra parte, la
industria no puede, debido a normas legales de contaminación, permitir emanaciones mayores que 10000 Kg y 40000 Kg de los compuestos B y C respectivamente. ¿Cuántos kilogramos del
producto A deben producirse en cada sistema para optimizar la utilidad, cumpliendo con las
normas que regulan la contaminación? ¿Cuál es la utilidad máxima?
18. Reddy Mikks Company posee una pequeña fábrica de pinturas que produce colorantes para
interiores y exteriores de casas para su distribución al mayoreo. Se utilizan dos materiales básicos, A y B, para producir las pinturas. La disponibilidad máxima de A es de 6 toneladas
diarias; la de B es de 8 toneladas por día. Los requisitos diarios de materias primas por
tonelada de pintura para interiores y exteriores se resumen en la tabla que sigue:
Requisitos diarios de materias primas por tonelada de pintura para interiores y exteriores
Toneladas de materia prima por tonelada de pintura
Exterior
Materia prima A Materia prima B
1 2
Interior
2 1
Disponibilidad Máxima
(toneladas)
6 8
Un estudio del mercado ha establecido que la demanda diaria de pintura para interiores no
puede ser mayor que la de pintura para exteriores en más de una tonelada. El estudio señala que la demanda máxima de pintura para interiores está limitada a dos toneladas diarias. El
precio al mayoreo por tonelada es $3000 para la pintura de exteriores y $2000 para la pintura
de interiores. ¿Cuánta pintura para exteriores e interiores debe producir la compañía todos los días para maximizar el ingreso bruto?
19. Una compañía desea fabricar una nueva aleación compuesta de 30% de plomo, 20% de zinc y 50% de latón. La materia prima se puede obtener de 5 materiales (1, 2, 3, 4 y 5) cuyas
propiedades y costos por Kg se señalan en la tabla siguiente:
Propiedades y costos de cada material por Kg.
Material
1
Propiedad
% plomo
% zinc % latón
Costo (Bs/Kg)
30
60 10
8.5
10
20 70
6
50
20 30
8.9
10
10 80
5.7
50
10 40
8.8
2 3 4 5
El objetivo es determinar las proporciones que deben tomarse de los materiales 1, 2, 3, 4 y 5
para formar 1 Kg de la nueva aleación a un costo mínimo.
MSc. Ing. Ezzard Omar Alvarez Díaz 6
20. Todo almacén tiene potencialmente más artículos para exhibir y vender de lo que permite el
espacio. Por consiguiente el problema que afronta el administrador de un almacén consiste en decidir cuáles articulos debe almacenar y cuánto espacio debe asignar a cada artículo. Este es
un problema de distribución de recursos escasos, que conduce por sí mismo, a una
formulación de programación lineal. Para simplificar el problema se ha restringido el número de artículos y el espacio disponible, sin embargo con cantidades más reales la formulación y el
método de solución permanecen invariables.
Se han acumulado los siguientes datos:
Número
del artículo
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Demanda
Esperada
50
35
25
20
45
50
45
40
30
50
35
50
20
25
30
20
60
35
25
45
Ganancia/
unidad, centavos
2
2
3
4
4
6
5
5
6
4
2
6
5
3
4
2
2
1
5
4
Espacio/
unidad, pulg2
10
7
9
11
11
12
14
14
10
8
14
8
11
12
9
7
10
16
11
15
Si todos los artículos fueran almacenados hasta sus niveles esperados de demanda, se
requerirían aproximadamente 8105 pulgadas cuadradas de área de armario. El administrador sólo dispone de 5760 pulgadas cuadradas de espacio para distribuir estos artículos y por
consiguiente el problema consiste en repartir el espacio para maximizar la ganancia. El
administrador quiere imponer algunas restricciones arbitrarias a causa de las preferencias de los clientes, compromisos previos, etc. El administrador requiere cantidades mínimas para la
exhibición de cuatro artículos.
Cantidades mínimas para determinados artículos
Número
del
artículo
1
12
16
17
MSc. Ing. Ezzard Omar Alvarez Díaz
Cantidad
mínima
10
10
10
10
7
21. Un chef de restaurant ha constatado que su clientela prefiere los platos mixtos de mariscos y
que puede ofrecer indistintamente: Platos mixtos de Bs. 800 que constan de: 5 calamares, 2 camarones y 1 ostra
Platos mixtos de Bs. 600 que constan de: 3 calamares, 3 camarones y 3 ostras
El dispone de 30 calamares, 24 camarones y 18 ostras ¿Cómo debe él disponer de estos mariscos para obtener un máximo de ganancia?
22. El problema de confrontar las necesidades de un trabajo a los recursos humanos disponibles, ha sido un programa de investigación continuo. El problema de asignación de personal es
primordial en esta investigación y se puede plantear y resolver como un modelo de
programación lineal. Como un ejemplo de lo anterior, tomemos un centro de reclutamiento cuando hay poco movimiento de negocio. Sólo tres reclutas están procesándose en el centro
del campo P.L.; los cuales llamaremos Manuel, Fernando y Juan. Los tres han tomado una
serie de pruebas ó tests para determinar su aptitud como radio-operadores, programador de computadoras y oficinista. Su puntuación se muestra en la siguiente tabla:
Radio-operador
Manuel
Fernando
Juan
5
6
8
Computadora
4
6
11
Oficinista
7
3
2
Mientras más alta es la puntuación, mayor es la aptitud del recluta para el trabajo
correspondiente. El problema a que se enfrenta el centro es, como deben hacerse las asignaciones de cada hombre a cada trabajo, para maximizar la utilidad de los servicios de los
reclutas.
23. Una viuda dispone de un capital de Bs. 100000 y tiene opción de invertir su dinero en dos
planes: PLAN A: Garantiza que cada bolívar invertido ganará 70 céntimos cada año PLAN B: Garantiza que cada bolívar invertido ganará Bs.2 cada dos años
¿Cómo debería colocar su capital para aumentar sus ganancias al cabo de tres años?
24. Un estudiante debe vivir con recursos económicos limitados y así debe cocinar él mismo para
lograr comer hasta fin de mes. Una vez en un inexplicable acto de generosidad, invita a comer
a tres compañeros. Decide hacer carne y papas asadas. Como conoce algo sobre requerimientos dietéticos decide que la comida debe tener por lo menos 4000 calorías y 200
gr. de proteínas. Su problema consiste en encontrar la combinación de carnes y papas que le
permita alcanzar el requerimiento mínimo de calorías y proteínas al costo mínimo. Se sabe que la carne proveerá 1200 calorías y 125 gr. de proteínas y que cuesta Bs. 1 por libra. Las
papas cuestan sólo Bs. 0.25 por libra y proporcionan 400 calorías y 12 gr. de proteínas por
libra.
25. El ejército está interesado en construir almacenes en tres estados. El costo por cada sitio es el siguiente:
Estado A: Bs 20000000
Estado B: Bs 30000000 Estado C: Bs 24000000
Las necesidades de inventario requieren la construcción de por lo menos 15 almacenes. Sin
embargo, el departamento de Planificación ha especificado que el número de almacenes en A
Prof. José Luis Quintero 8
sea al menos el doble del número de almacenes en B. Adicionalmente, el número total de
empleados no debe exceder a 4000; cada almacén en A empleará 200, en B cada uno empleará 750 y cada uno en C empleará 300. Se desea determinar la cantidad de almacenes
en A, B y C a fin de cumplir los requerimientos a un costo mínimo.
26. Suponga que una compañía opera tres plantas envasadoras de un producto de bebidas
gaseosas, localizadas en Puerto La Cruz, Maracaibo y Ciudad Bolívar. Las envasadoras pueden
llenar 250, 600 y 800 cajas de latas por día, respectivamente. Los distribuidores del producto tienen cinco almacenes localizados en Coro, Mérida, Caracas, Maturin y la Isla de Margarita.
Las envasadoras desean determinar el número de cajas que deben ser enviadas desde las tres
envasadoras hasta los cinco almacenes, de tal manera que cada almacén obtenga tantas cajas como pueda vender diariamente, a un costo total de transporte mínimo. Los costos unitarios
de transporte desde cada envasadora a cada distribuidor sean los siguientes:
1
1
Envasadoras 2
3
1.8
4.1
6.3
Distribuidores 234
2.4
6.2
4.9
0.7
5.0
0.9
5.6
3.1
0.8
5
2.3
1.8
4.0
Suponga además que los requerimientos diarios de los distribuidores 1, 2, 3, 4 y 5 son
respectivamente, 200, 400, 300, 450 y 300.
27. Suponga que una fábrica desea producir una aleación Z, con 30% del metal A, 30% del metal
B y 40% del C. Suponga además que hay nueve aleaciones en el mercado cuya composición y
precios se conocen y estan señalados en la tabla. Se desea determinar la cantidad que debe comprarse de cada una de las nueve aleaciones, para formar un kilogramo de la aleación al
menor costo posible.
Aleación
%A
%B
%C
Costo Bs/Kg
1
10
10
80
82
2
10
30
60
86
3
40
50
10
116
4
60
30
10
120
5
30
30
40
152
6
30
40
30
150
7
30
20
50
146
8
50
40
10
138
9
20
30
50
146
28. Suponga que en la fábrica F, la gerencia de producción considera conveniente descontinuar un
producto que tiene poco margen de ganancia y dedicar esa capacidad de producción para
fabricar uno, dos y hasta tres nuevos productos. La capacidad disponible en las máquinas A, B y C así como el número de horas que requiere cada unidad de los productos se muestra en la
tabla. El departamento de ventas indica que el potencial de venta para los productos 1 y 2
excede la tasa de producción y que el potencial para el producto 3 es de 20 unidades por semana. Cada unidad de los productos 1, 2 y 3 produce una ganancia neta de Bs. 300, Bs.
120 y Bs. 150, respectivamente. Se desea determinar cuánto debe producir la fábrica de cada
uno de los productos a fin de maximizar la ganancia total.
Tipo
de
Máquina
A
B C
MSc. Ing. Ezzard Omar Alvarez Díaz
Tiempo
Disponible
(h/sem)
500
350 150
Horas de máquina/unidad
Producto
1
9
5 3
2
3
4 0
3
5
0 2
9
29. Considere el problema de almacenar un determinado tipo de artículo para ser vendido en
fechas posteriores. El almacén sólo tiene capacidad para 100 artículos. Los costos de almacenamiento son de Bs. 100 por trimestre por cada unidad. En cada trimestre el precio de
compra iguala al precio de venta. Este precio varía de trimestre en trimestre de acuerdo a la
tabla; de tal manera que se puede obtener una ganancia comprando cuando el precio este bajo y vendiendo cuando el precio es alto. El objetivo es determinar el programa óptimo de
venta, almacenamiento y compra para el período de un año (en trimestres), suponiendo que
el inventario inicial es de 50 unidades.
Trimestre
1
2
3 4
El programa debe realizarse a un costo mínimo.
30. Un inversionista puede invertir en dos negocios A y B al comienzo de los primeros cinco años.
Cada bolívar invertido en A al comienzo de un año le produce una ganancia de Bs. 0.30 dos
años después (a tiempo de reinvertirlos si se desea). Cada bolívar invertido en B al comienzo de un año le produce una ganancia de Bs. 0.50 tres años después. Si se dispone además de
dos negocios C y D para invertir en los años 2 y 5. Cada bolívar invertido en C al comienzo del
año 2 devuelve Bs. 1.70 al final del año 5. Cada bolívar invertido en D al comienzo del año 5 devuelve Bs. 1.20 al final de ese año. El inversionista comienza con Bs. 10000 y desea
determinar qué plan de inversiones maximiza la cantidad de dinero que puede acumular al
comienzo del año 6. Designe por:
At
Bt
C2 D5
Rt
La cantidad de bolívares invertidos en el negocio A al comienzo del año t
(t=1,2,3,4) La cantidad de bolívares invertidos en el negocio B al comienzo del año t
(t=1,2,3)
La cantidad de bolívares invertidos en el negocio C al comienzo del año 2 La cantidad de bolívares invertidos en el negocio D al comienzo del año 5
La cantidad de dinero (bolívares) no invertido en el año t (t=1,2,3,4)
Precio
(Bs/unid)
1000
1200
800 900
31. Un mayorista almacena uno de sus productos en una edificación que puede acomodar 200
unidades. El primer día de cada mes, el mayorista puede comprar tanto como desee y va
despachando artículos a lo largo del mes. Suponga que la demanda es constante, de tal manera que no es necesario considerar ninguna distribución de probabilidad para esa
demanda. Los precios de venta y costos para los tres meses siguientes son:
Mes
Costo/unidad
Venta/unidad
1
10
12
2
11
12
3
10
15
Actualmente el mayorista tiene 50 unidades.
Designe por: x j : número de unidades compradas en el mes j (j = 1, 2, 3)
y j : número de unidades vendidas en el mes j (j = 1, 2, 3)
MSc. Ing. Ezzard Omar Alvarez Díaz 10
Hay varias restricciones que caen dentro de dos categorías: aquellas que se refieren al hecho
que el mayorista no puede vender lo que no tiene y aquellos que se refieren a no sobrepasar el límite de almacenamiento. Se desea maximizar la ganancia neta.
32. En una planta de producción que opera las 24 horas del día, se requiere una cantidad mínima de obreros que depende de la hora del día. Los requerimientos mínimos son los siguientes:
Hora del día
2
6
10 14
18
a
a
a a
a
6
10
14 18
22
Núm. de obreros
40
80
100 70
120
40 22 a 2
Cada trabajador labora 8 horas por día. El objetivo es encontrar el menor número de
trabajadores para cumplir con los requerimientos señalados.
33. A un centro de computación llegan cuatro tipos de programas, los cuales se procesan en dos
computadoras. Los tiempos de procesamiento (en minutos por programa) se muestran en la
siguiente tabla:
Tiempo de procesamiento (min) por programa
Computadora
1
2
1
2
3
2
3
2
3
4
1
4
2
2
El costo total de procesar un programa está basado directamente en el tiempo de máquina. Suponga que el costo por minuto de máquina para las computadoras 1 y 2 son Bs.10 y Bs.15.
la cantidad de minutos disponibles para todos los programas en las computadoras 1 y 2 son
600 y 420. Observación: Se obligan a pasar los programas por las 2 computadoras. Los precios que el centro de computación cobra por correr cada programa de los tipos 1, 2, 3 y 4
son, respectivamente, Bs.70, Bs.80, Bs.55 y Bs.65. Determine cuántos programas deben
procesarse de cada tipo, a fin de maximizar las ganancias del centro de computación.
34. Una corporación produce y mercadea 5 productos. Para obtener el producto final los productos
deben pasar por cuatro departamentos. La tabla que se muestra a continuación proporciona el tiempo empleado por cada unidad de producto en cada uno de los departamentos, así como la
ganancia obtenida por la venta de los productos.
Tiempo empleado (hr/unid) en cada departamento
Producto
1
2
3 4
5
Total horas Disponibles
1
3
4
2 2
5
700
2
8
3
2 1
4
600
3
2
1
0 3
4
400
4
6
0
2 4
3
900
Ganancia
(Bs/u)
90
120
150 60
180
MSc. Ing. Ezzard Omar Alvarez Díaz
11
El departamento de mercado ha estimado una demanda máxima de cada producto durante el
período en consideración y se han fijado unas metas mínimas de entrega. Estos datos se muestran en la siguiente tabla:
Producto
1 2
3
4 5
Demanda Máxima
100 50
90
70 130
Cantidad Mínima
requerida
3 0
4
0 3
En la fabricación de los productos se necesitan cinco insumos A, B, C, D y E. La tabla siguiente
proporciona la cantidad de insumos (en Kg.) que se necesita para fabricar una unidad de producto y la cantidad total de insumo disponible.
Requerimiento de material (Kg/u)
Producto
1
2 3
4
5
Disponibilidad
A
4
7 6
1
3
600
B
2
4 2
1
0
700
C
0
4 5
6
2
300
D
1
0 7
4
3
400
E
3
4 0
2
4
1100
Se desea determinar cuánto debe fabricarse de cada producto para maximizar las ganancias.
35. Una compañía tiene cinco proyectos en los cuales invertir durante los próximos cinco años. El
valor presente del retorno sobre la inversión y el capital (valor presente) requerido por cada proyecto en cada año, se muestra en la siguiente tabla:
Capital requerido/año (en miles)
Proyecto
1
2
3 4
5
Inversión
Disponible
(miles)
Determine la cantidad de dinero que debe asignarse a cada proyecto a fin de maximizar el
total del valor presente del retorno sobre la inversión.
36. Una empresa internacional desea distribuir un total de Bs.1120000 entre tres revistas (1, 2 y
3) de tal manera que se expongan sus anuncios al mayor número de lectores y además que
se cumplan las siguientes condiciones: a. Alcanzar al menos 1500000 lectores en la región 1 y al menos 6000000 en la región 2.
b. Alcanzar a lo sumo 2000000 de lectores entre 21 años y 35 años.
c. Alcanzar al menos 2500000 lectores con educación universitaria (población tipo A) La tabla siguiente ha sido recopilada por una firma especializada.
MSc. Ing. Ezzard Omar Alvarez Díaz 12
Retorno
30000
60000
45000 240000
450000
1
150
240
120 360
750
930
2
180
180
0 420
900
1290
3
210
120
0 480
1200
1530
4
240
0
0 510
0
1830
5
0
0
0 630
0
2100
Revistas
1
Costo por anuncio (Bs)
Máximo de anuncios disponibles Min. anuncios que acepta la revista
Num. lectores/anuncio en región 1
Num. lectores/anuncio en región 2 Num. lectores entre 21-35/anuncio
Num. lectores A por anuncio
Num. total de lectores por anuncio
50000
14 2
50000
550000 90000
200000
600000
2
16000
35 0
90000
160000 70000
80000
250000
3
10000
20 4
100000
90000 30000
100000
190000
37. Una compañía desea invertir Bs.400000 en publicidad. Se desea llegar a la mayor cantidad de
clientes potenciales utilizando a lo sumo la cantidad señalada. Las opciones consideran colocación de anuncios en periódicos, radio y televisión. Se tiene que:
Prensa (1)
Costo por anuncio
Núm. de personas alcanzadas/anuncio Núm. de personas en el rango /anuncio
Núm. de hombres mayores de 25 años/anuncio
Máximo número de anuncios disponibles Mínimo número de anúncios
Núm. total de personas/anuncio
Los objetivos de la compañía son:
a. Llegar a no menos de 3000 personas en el área.
b. Por lo menos el 50% de esas personas debe estar en el rango establecido. c. Llegar a no menos de 100000 hombres mayores de 25 años.
38. La compañía “Telares HM” elabora tres tipos de telas de algodón en tres plantas de producción T1, T2 y T3. La maquinaria en cada planta de producción produce cada uno de los tres tipos
de telas, sin embargo, la velocidad de producción es diferente; es decir, el número de Kg de
tela por huso y por tres turnos de 40 horas difiere entre las fábricas. Aun cuando el problema es simplificado, la metodología es la misma empleada, con ligeras modificaciones, en telares
de cualquier tamaño. Las dos tablas muestran los datos más relevantes para un determinado
período de producción. Las tres telas diferentes están representadas por 10, 16 y 20, designando las dimensiones del producto terminado. Puesto que cada una de los diferentes
tamaños de telas pueden ser manufacturadas en cada una de los tres telares, es conveniente
definir las variables de tal manera que refleje este hecho; es decir: Producida en
Tipo de tela
10
16
20
Telar
1
X1
X4
X7
Telar
2
X2
X5
X8
Telar
3
X3
X6
X9
10000
10000 7000
5000
- 0
100000
Radio (2)
4000
3000 1000
500
100 7
380000
TV (3)
100000
75000 50000
25000
20 2
630000
MSc. Ing. Ezzard Omar Alvarez Díaz
13
TELAR 1
A
10
16 20
B
12000
15000 4000
E
A: Tipo de tela C: Kg. por hiladas en 120 horas
E: Hiladas disponibles
C
6
8 3
D
0.10
0.20 0.50
TELAR 2
C
10
5 4
15000
D
0.12
0.16 0.40
TELAR 3
C
12
6 2
25000
D
0.08
0.25 0.30
10000
B: Mínimo requerido (Kg) D: Costo por Kg
Se desea determinar la cantidad de tipo de tela que debe producirse en cada una de las plantas para minimizar el costo total de producción.
39. Una corporación tiene una planta de producción donde se elaboran productos P y Q en las máquinas K y L durante los meses 1, 2 y 3. La corporación tiene un almacén propio (W) pero
también necesita alquilar (A) espacio de almacenamiento. Se estima que la demanda de
productos para los meses 1, 2 y 3 son las siguientes: Meses
Producto
P
Q
1
1200
800
2
1400
900
3
1550
1150
Las capacidades de producción de las máquinas no varían de un período a otro. Estas capacidades (unidad/día) y los días disponibles de cada máquina en cada período se muestran
en las siguientes tablas:
Capacidades (unid/día)
Producto
P Q
1
K
L
26
28
K
40 35
2
26
27
L
50 42
3
29
30
Días disponibles por mes
Para cada producto y cada tipo de almacenaje (propio o alquilado), hay tres combinaciones
posibles de manufactura-retiro de producto de los almacenes. Así, por ejemplo, para el
producto P y el almacén propio, se pueden considerar las opciones siguientes: Opción 1-2: Producir en el período 1 y retirarlo en el 2
Opción 1-3: Producir en el período 1 y retirarlo en el 3
Opción 2-3: Producir en el período 2 y retirarlo en el 3 El objetivo es determinar cuántos días de producción deben dedicarse a P y a Q en cada uno
de los períodos y las unidades involucradas en cada una de las combinaciones de
manufactura-retiro de productos de los almacenes, de tal manera que los costos totales sean los mínimos. Los costos de operación de las máquinas (Bs/día) en cada uno de los períodos y
para cada producto son los siguientes:
MSc. Ing. Ezzard Omar Alvarez Díaz 14
Costos Operación (Bs/día)
Período
1
K
L
P Q
P
Q
100 102
105
108
2
90 92
95
98
3
80 82
85
88
Los costos involucrados en el almacenamiento de los productos P y Q, por tipo de almacenaje
y por combinación manufactura-retiro, son los siguientes (Bs/unidad) Almacén propio (W),Producto P
Produce en 1, retira en 2
1, 2,
“ “
3 3
Costo: 8
8 7
Producto Q
Costo: 9 9
8
Producto P Costo: 12
14
11 Producto Q
Costo: 13
15 12
Almacén Propio (W),
Produce en 1, retira en 2 1,“3
2, “ 3
Almacén Alquilado (A), Produce en 1, retira en 2
1, “ 3
2,“3 Almacén Alquilado (A),
Produce en 1, retira en 2
1, 2,
“ “
3 3
40. Considere una corporación que tiene dos plantas de producción, 1 y 2. En las plantas se producen los productos P y Q, procesándose en las máquinas K y L de la planta 1 y en las
máquinas M, N, O de la planta 2. Debido a la distancia entre las plantas, debe tomarse en
consideración los costos de transporte de productos entre las plantas 1 y 2. Se admite que el intercambio de productos entre las plantas es en los dos sentidos, es decir, se pueden enviar
productos de 1 a 2 y viceversa. Las demandas de los productos P y Q en las plantas 1 y 2,
respectivamente, son las siguientes: Demanda (unidades)
1
P Q
1400 1020
2
1350 1820
Las capacidades de producción de las máquinas (unidades/día) y el tiempo disponible (días) de cada máquina en cada planta, se muestran en la siguiente tabla:
1
K
P
Q
Disponible
(días)
Los costos de transportar una unidad de producto entre las plantas son las siguientes:
40
35
30
L
50
42
24
M
35
32
30
2
N
50
45
28
O
60
58
30
MSc. Ing. Ezzard Omar Alvarez Díaz 15
Producto P
De planta 1 a planta 2: 10 De planta 2 a planta 1: 10
Producto Q
De planta 1 a planta 2: 12 De planta 2 a planta 1: 12
Los costos de operación de las máquinas en las plantas 1 y 2 son los siguientes:
Costos (Bs/día)
Producto
P Q
K
100 102
L
105 108
M
92 94
N
104 107
O
110 113
El objetivo es determinar cuántos días de producción deben dedicarse a los productos P y Q en
cada una de las plantas y cuántas unidades deben intercambiarse, para cumplir con la demanda a un costo total mínimo. (Considere 1 mes de período de producción)
41. El Departamento de Nutrición del Hospital General de San Luis prepara 30 menús de cena, uno para cada día del mes. Una comida consiste en espagueti, pavo, papas en escalope,
espinacas y pastel de manzana. Como director del Departamento de Nutrición, usted ha
determinado que esta comida debe proporcionar 63000 miligramos (mg) de proteínas, 10 mg de hierro, 15 mg de niacina, 1 mg de tiamina y 50 mg de vitamina C. Cada 100 gramos de
esta comida proporciona la cantidad de cada nutriente y grasas indicadas en la tabla.
Nutriente (mg/100 g)
Proteínas
Espagueti Pavo
Papas
Espinacas Pastel de manzana
5000 29300
5300
3000 4000
Hierro
1.1 1.8
0.5
2.2 1.2
Niacina
1.4 5.4
0.9
0.5 0.6
Tiamina
0.18 0.06
0.06
0.07 0.15
Vitamina C
0.0 0.0
10.0
28.0 3.0
Grasa
5000 5000
7900
300 14300
Para evitar demasiada cantidad de un tipo de comida, no debe incluirse en ella más de 300
gramos de espagueti, 300 gramos de pavo, 200 gramos de papas, 100 gramos de espinacas y 100 gramos de pastel de manzana. Como director del departamento de nutrición, usted desea
determinar la composición de una comida que satisface los requerimientos nutricionales y
proporciona la mínima cantidad de grasas.
42. BlubberMaid fabrica tres productos de caucho: Airtex (material esponjoso), Extendex
(material elástico) y Resistex (material rígido). Los tres productos requieren los mismos tres polímeros químicos y una base. La cantidad total de cada ingrediente usada por libra del
producto final se muestra en la tabla:
Ingrediente (oz/lb de producto)
Producto
Airtex Extendex
Resistex
Polímero A
4 3
6
Polímero B
2 2
3
Polímero C
4 2
5
Base
6 9
2
BlubberMaid tiene el compromiso de producir al menos 1000 libras de Airtex, 500 libras de Extendex y 400 libras de Resistex para la próxima semana, pero la gerencia de la compañía
sabe que puede vender más de cada uno de los tres productos. Los inventarios actuales de los
ingredientes son 500 libras del polímero A, 425 libras del polímero B, 650 libras del polímero C
MSc. Ing. Ezzard Omar Alvarez Díaz 16
y 1100 libras de la base. Cada libra de Airtex produce a la compañía una ganancia de $7, cada
libra de Extendex una ganancia de $7 y cada libra de Resistex una ganancia de $6. Como gerente del deparatmaneto de producción, usted necesita determinar un plan de producción
óptimo para esta semana.
43. Steel Company produce tres tamaños de tubos: A, B y C, que son vendidos, respectivamente
en $10, $12 y $9 por pie. Para fabricar cada pie del tubo A se requieren 0.5 minutos de
tiempo de procesamiento sobre un tipo particular de máquina de modelado. Cada pie del tubo B requiere 0.45 minutos y cada pie del tubo C requiere 0.6 minutos. Después de la
producción, cada pie de tubo, sin importar el tipo, requiere 1 onza de material de soldar. El
costo total se estima es $3, $4 y $4 por pie de los tubos A, B y C, respectivamente. Para la siguiente semana, MTV Steel ha recibido pedidos excepcionalmente grandes que totalizan
2000 pies del tubo A, 4000 pies del tubo B y 5000 pies del tubo C. Como sólo se dispone de
40 horas de tiempo de máquina esta semana y sólo se tienen en inventario 5500 onzas de material de soldar, el departamento de producción no podrá satisfacer esta demanda, que
requiere un total de 97 horas de tiempo de máquina y 11000 onzas de material de soldar. No
se espera que continúe este alto nivel de demanda. En vez de expandir la capacidad de las instalaciones de producción, la gerencia de MTV Steel está considerando la compra de algunos
de estos tubos a proveedores de Japón a un costo de entrega de $6 por pie del tubo A, $6 por
pie del tubo B y $7 por pie del tubo C. Estos diversos datos se resumen en la tabla. Como gerente del departamento de producción, se le ha pedido hacer recomendaciones respecto a la
cantidad de producción de cada tipo de tubo y la cantidad de compra a Japón para satisfacer
la demanda y maximizar las ganancias de la compañía.
PRECIO
TIPO
A
B C
DE VENTA ($/FT)
10
12 9
DEMANDA
TIEMPO DE
(FT)
2000
4000 5000
MÁQUINA (MIN/FT)
0.50
0.45 0.60
40 hr
MATERIAL
PARA SOLDAR (OZ/FT)
1
1 1
5500 oz
COSTO DE
PRODUCCIÓN
COSTO DE
COMPRA ($/FT)
6
6 7
($/FT)
3
4 4
Cantidad disponible
44. Al gerente de cartera de Pension Planners se le ha pedido invertir $1000000 de un gran fondo
de pensiones. El departamento de investigación de Inversiones ha identificado seis fondos
mutuos con estrategias de inversión variables, resultando en diferentes rendimientos potenciales y riesgos asociados, como se resume en la tabla:
Fondo
1
Precio ($/acción)
Devolución esperada (%) Categoría de riesgo
45
30 Alto
2
76
20 Alto
3
110
15 Alto
4
17
12 Mediano
5
23
10 Mediano
6
22
7 Bajo
Una forma de controlar el riesgo es limitar la cantidad de dinero invertido en los diversos
fondos. Para ese fin, la administración de Pension Planners ha especificado las siguientes pautas:
a. La cantidad total invertida en fondos de alto riesgo debe estar entre 50 y 75% de la
cartera. b. La cantidad total invertida en fondos de mediano riesgo debe estar entre 20 y 30% de la
cartera.
MSc. Ing. Ezzard Omar Alvarez Díaz 17
c. La cantidad total invertida en fondos de bajo riesgo debe ser al menos de 5% de la
cartera. Una segunda forma de controlar el riesgo es diversificar, esto es, esparcir el riesgo invirtiendo
en muchas alternativas diferentes. La gerencia de Pension Planners ha especificado que la
cantidad invertida en los fondos de alto riesgo 1, 2 y 3 deben estar en la tasa 1:2:3 respectivamente. La cantidad invertida en los fondos de mediano riesgo 4 y 5 debe ser 1:2.
Con estas pautas, ¿qué cartera debería usted, gerente de cartera, recomendar para maximizar
la tasa esperada de retorno?
45. Birdeyes Real es propietaria de 800 acres de terreno no urbanizado a orillas de un lago
panorámico en el corazón de las Montañas Ozark. En el pasado, se aplicaban muy pocas regulaciones, o ninguna, a las nuevas urbanizaciones alrededor del lago. En la actualidad, las
playas del lago están salpicadas de casas para vacacionistas. Debido a la carencia de servicios
de aguas negras, se utilizan extensamente las fosas sépticas, que se instalan en forma por demás inapropiada. A lo largo de los años, las filtraciones de las fosas sépticas han dado por
resultado un grave problema de contaminación del agua. Para frenar una mayor degradación
en la calidad del agua, los funcionarios del condado aprobaron reglamentos muy estrictos, aplicables a todas las futuras urbanizaciones.
a. Sólo se pueden construir viviendas familiares individuales, dobles y triples y las viviendas
de una sola familia deben sumar por lo menos 50% del total. b. Para limitar el número de fosas sépticas, se requieren lotes de una superficie mínima de 2,
3 y 4 acres para las viviendas familiares individuales, dobles y triples, respectivamente.
c. Se deben establecer áreas recreativas de un acre cada una, en una proporción de un área por cada 200 familias.
d. Para preservar la ecología del lago, las aguas freáticas no pueden bombearse para uso
doméstico o de jardinería. El presidente de Birdeyes Real está estudiando la posibilidad de urbanizar los 800 acres de la
compañía. La nueva urbanización incluirá viviendas familiares individuales, dobles y triples. Se
calcula que 15% de la superficie se consumirá en abrir calles y en instalaciones para servicios públicos. Birdeyes calcula las utilidades de las diferentes unidades habitacionales como
Unidad habitacional Individual Doble Triple
Utilidad neta por unidad ($)100001200015000 El costo de conectar el servicio de agua al área es proporcional al número de unidades
construidas. Sin embargo, el condado estipula que se debe cobrar un mínimo de 100000
dólares para que el proyecto sea económicamente factible. Además, la expansión del sistema de agua, más allá de su capacidad actual, está limitada a 200000 galones al día durante los
períodos pico. Los siguientes datos resumen el costo de la conexión del servicio de agua, así
como el consumo de agua, suponiendo una familia promedio: Unidad habitacionalIndividualDobleTriple
Costo del servicio
de agua por unidad ($) Consumo de agua
por unidad (galones/día)
1000
400
1200
600
1400
840
800
450
Área recreativa
46. Cierta compañía tiene tres plantas cada una con cierta capacidad de producción. Las tres
pueden fabricar un determinado producto. El producto puede hacerse en tres tamaños:
grande, mediano y pequeño, que darán una ganancia neta de Bs. 420, Bs. 360 y Bs. 300,
MSc. Ing. Ezzard Omar Alvarez Díaz 18
respectivamente. Las plantas tienen capacidad de mano de obra y equipo para producir 750,
900 y 450 unidades diarias, sin importar el tamaño o la combinación de tamaños de que se trate. La cantidad de espacio disponible para almacenar material en proceso impone también
una limitación en las tasas de producción del nuevo producto Se cuenta con 13000, 12000 y
5000 metros cuadrados de espacio en las plantas 1, 2 y 3, para los materiales en proceso de la producción diaria de este producto. Cada unidad grande, mediana y pequeña que se
produce requiere 20, 15 y 12 metros cuadrados, respectivamente. Los pronósticos de
mercado indican que se pueden vender 900, 1200 y 750 unidades diarias, correspondientes a los tamaños grande, mediano y pequeño. El gerente quiere saber cuántas unidades de cada
tamaño debe producir en cada planta para maximizar la ganancia.
47. Una tienda de alimentos naturistas empaca tres tipos de alimentos: Chewy, Crunchy y Nutty;
los cuales resultan de la mezcla de los ingredientes:
Alimento
Chewy
Crunchy
Nutty
Girasol
X
Al menos 60%
A lo sumo 20%
Pasas
Al menos 60%
X
X
girasol, pasas y maní. Las
Maní
A lo sumo 20%
X
Al menos 60%
Bs/Kg
200
160
120
especificaciones para las mezclas se presentan en la tabla siguiente:
Las equis en la tabla indican la no limitación de ingredientes en las respectivas mezclas. Los
suministros de los ingredientes se realizan de acuerdo a un máximo de 100 Kg de girasol a
razón de Bs. 100 por Kg, 80 Kg de pasas a razón de Bs. 150 por Kg y 60 Kg de maní a razón de Bs. 80 por Kg. Se desea determinar el esquema de mezcla que maximice la ganancia de la
tienda.
48. Una empresa elabora tres productos P1, P2 y P3, los cuales requieren procesarse en dos tipos
de máquinas A y B. La empresa posee dos máquinas tipo A (A1 y A2) y tres máquinas del tipo
B (B1, B2 y B3). El producto P1 puede elaborarse en cualquiera de las máquinas A y B. El producto P2 puede elaborarse en cualquiera de las máquinas tipo A, pero debe procesarse en
la máquina B1. El producto P3 puede elaborarse solamente en A2 y en B2. El tiempo (en
minutos) requerido por cada unidad de producto en cada máquina, el tiempo total disponible, T, en cada semana y los costos de operación por minuto (en bolívares), C, de cada máquina,
se muestran en la siguiente tabla:
PRODUCTO
1
A1
A2
B1
B2
B3
50
70
60
40
70
2
100
90
80
-
-
3
-
120
-
110
T
60000
100000
40000
70000
40000
C
0.5
1
0.25
1
0.5
El departamento de mercadeo estima que no se podrán vender más de 800 unidades del
producto P1. Los costos de la materia prima para elaborar los productos P1, P2 y P3, así como
los precios de venta son (en bolívares), respectivamente: 20, 50, 70 y 200, 350, 500. Suponga que el costo de operación de las máquinas es proporcional al tiempo de operación y
que este costo incluye todo a excepción del costo de la materia prima. Se desea determinar
cuánto debe producirse de cada producto a fin de maximizar las ganancias. Formule el modelo de programación lineal correspondiente.
MSc. Ing. Ezzard Omar Alvarez Díaz 19
49. La compañía manufacturera CASCADA, produce tres productos 1, 2 y 3 en cinco plantas de
producción. Los tiempos de máquinas en cada una de las plantas y por cada producto, se muestran en la siguiente tabla:
Tiempos de producción (min/un) en las plantas
Producto
1
2
3
Total
Disponible 7000 4000 9000 6000 7000
(min) Los costos de operación (por minuto) en cada planta son:
Producto
1
2
3
1
10.0
2.4
-
2
2.0
-
-
3
9.0
18.0
11.0
4
8.0
3.2
-
5
4.0
-
7.3
1
4
8
-
2
5
-
-
3
6
7
9
4
4
6
-
5
6
-
10
Las demandas mínimas de los productos 1, 2 y 3 son las siguientes:
Producto
1
2
3
costos.
50. Dada la siguiente situación de demanda del material de unas minas, formule el modelo de
programación lineal para cumplir con la demanda al menor costo posible. La demanda
semanal de material de alta, media y baja pureza es de 12, 8 y 24 toneladas, respectivamente. La mina A produce 6, 2 y 4 toneladas diarias de alta, media y baja pureza,
respectivamente. La producción de la mina B es de 2, 2 y 12 toneladas, respectivamente. Los
costos diarios de operación son 200000 Bs. Para la mina A y 160000 Bs. Para la mina B. ¿Cuántos días por semana debe operar cada mina para cumplir con la demanda al menor
costo?
Demanda Mínima
750
500
250
Determine el programa de producción (cuánto producir y en cuáles plantas) que minimizan los
MSc. Ing. Ezzard Omar Alvarez Díaz 20