formulario COPADI

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE INGENIERÍA

SECRETARÍA GENERAL

COORDINACIÓN DE PROGRAMAS DE ATENCIÓN DIFERENCIADA PARA ALUMNOS

COPADI

FORMULARIO C O P A D I

¡MÁS DE 400 FÓRMULAS DE MATEMÁTICAS!

ING. ÉRIK CASTAÑEDA DE ISLA PUGA ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

ESTA OBRA SE REALIZÓ GRACIAS A LA DGAPA, A TRAVÉS DE UN PROYECTO PAPIME

P R Ó L O G O Las asignaturas de matemáticas en la Facultad de Ingeniería, que fundamentalmente se imparten en su División de Ciencias Básicas, constituyen herramientas muy poderosas -y en ocasiones son un auténtico lenguaje- para la comprensión y aplicación de las asignaturas físicas y también para aquellas propias de las carreras de ingeniería. Son apoyos valiosos para los estudios de posgrado -maestrías y doctorados- y para el ejercicio profesional. Es por ello que, para contar con estudiantes con una formación sólida en Ciencias Básicas y que tengan buenas posibilidades de éxito en su devenir académico y profesional, resulta importante y trascendente su aprendizaje de las diferentes ramas de las matemáticas que deben estudiar como son el Álgebra, la Geometría Analítica, El Álgebra Lineal, el Cálculo con una y varias variables, las Ecuaciones Diferenciales y las Matemáticas Avanzadas. Y para esto hemos pensado en proporcionar a los estudiantes de ingeniería estos formularios, que con sus más de 400 expresiones, pretenden apoyar y hacer más eficiente el estudio y aprendizaje de las matemáticas primero y después constituirse en un manual para su quehacer futuro, ya sea académico o laboral. Esperamos que este formulario sea de mucha utilidad para el trabajo académico de alumnos y profesores de ingeniería que ven y aprecian esta disciplina como un detonante para el desarrollo de la sociedad. Es sabido que la ingeniería es unión entre los seres humanos y la naturaleza, y que uno de los principales objetivos de su quehacer es el de mejorar la calidad de la vida en el entorno de su práctica. Aprovechamos este espacio para agradecer a la Lic. Ana María Vieyra Ávila y al pasante de ingeniería Jorge Alejandro Rangel Rangel por su colaboración en las labores administrativas y de seguimiento para el logro de esta publicación.

Ing. Érik Castañeda de Isla Puga Ing. Pablo García y Colomé

Í N D I C E IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 1 CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO 2 RECTA Y CIRCUNFERENCIA 3 LAS CÓNICAS: PARÁBOLA, ELIPSE E HIPÉRBOLA 5 GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO 7 CLASIFICACIÓN DE LAS SUPERFICIES CUÁDRICAS 10 FÓRMULAS DE DERIVACIÓN ORDINARIA 11 FÓRMULAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN 13 SERIES INFINITAS 15 SERIES DE POTENCIAS 18 ALGUNAS FUNCIONES REPRESENTADAS POR SERIES DE POTENCIAS 20 FUNCIONES HIPERBÓLICAS. IDENTIDADES, DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN 22 MÁXIMOS Y MÍNIMOS. UNA O MÁS VARIABLES 24 GEOMETRÍA DIFERENCIAL. FÓRMULAS DE FRENET-SERRET. CINEMÁTICA DE UNA PARTÍCULA. 27 LONGITUDES, ÁREAS Y VOLÚMENES. LONGITUD DE ARCO, ÁREA BAJO LA CURVA, ÁREA ENTRE DOS CURVAS, ÁREA DE SUPERFICIES, VOLÚMENES 29 MASA, MOMENTOS, CENTROS DE MASA Y CENTROIDE 31 ALGUNOS CASOS DE DERIVACIÓN EXPLÍCITA EN FUNCIONES ESCALARES DE VARIABLE VECTORIAL 33 ALGUNOS CASOS DE DERIVACIÓN IMPLÍCITA EN FUNCIONES DE UNA Y MÁS VARIABLES 35 COORDENADAS POLARES, CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS 37 OPERADORES VECTORIALES GRADIENTE, DIVERGENCIA, ROTACIONAL Y LAPLACIANO 41 EN COORDENADAS CURVILÍNEAS ORTOGONALES TEOREMAS DE GREEN, STOKES Y GAUSS 42 TRANSFORMADAS DE LAPLACE 44 SERIES DE FOURIER 45

C O P A D I 1

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

CATETO OPUESTO = catop ; CATETO ADYACENTE = catad ; HIPOTENUSA = hipo

catad

catoptan

hipo

catad

hipo

catop ;cos;sen

IDENTIDADES

sen

coscot;

cos

sen;

cos

1sec;

sen

1csc tan

tantan

tan

;coscos;sensen

1cotcsc;1sec;1cossen 222222

tantan

tantantan

tantan

tantantan

1;

1

sensencoscoscos;sensencoscoscos

sencoscossensen;sencoscossensen

2

2222

tan1

tan22tan;1cos221cos2cos;cos22

sensensensen

cos1

sen

sen

cos1

2;

2

cos1

2cos;

2

cos1

2sen

tan

2cos2

1

2

1cos;2cos

2

1

2

1sen 22

sensen2

1sencos

sensen2

1cossen

coscos2

1coscos

coscos2

1sensen

C O P A D I 2

CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO

EN LA FIGURA SE PRESENTA EL CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO DE RADIO LA UNIDAD POR LO QUE EN CADA PUNTO, CORRESPONDIENTE A UN ÁNGULO DETERMINADO, LA ABSCISA ES EL COSENO Y LA ORDENADA EL SENO DEL ÁNGULO CONSIDERADO Y A PARTIR DE ESOS VALORES SE PUEDEN DETERMINAR LAS DEMÁS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y CONOCER DE TODAS ELLAS SU VALOR Y SIGNO DEPENDIENDO DEL CUADRANTE EN ESTUDIO.

C O P A D I 3

RECTA Y CIRCUNFERENCIA

LA LÍNEA RECTA

PENDIENTE DE LA RECTA: 2121

21 ; xxxx

yym

ECUACIÓN DE LA RECTA “PUNTO PENDIENTE”: 11 xxmyy

ECUACIÓN DE LA RECTA “PENDIENTE ORDENADA AL ORIGEN”: bxmy m PENDIENTE DE LA RECTA b ORDENDA AL ORIGEN

ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS 222111 ,, yxPyyxP

1121121

211 ; xxmyyxxxx

xx

yyyy

ECUACIÓN SIMÉTRICA DE LA RECTA: 1b

y

a

x

a ABSCISA AL ORIGEN b ORDENADA AL ORIGEN

FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA

0 CyBxA

FORMA NORMAL DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA 0cos psenyx

p LONGITUD DE LA NORMAL QUE VA DEL ORIGEN A LA RECTA 00 360 MEDIDO DESDE LA PARTE POSITIVA DEL EJE "" x A LA NORMAL

DISTANCIA DE UNA RECTA 0 CyBxA A UN PUNTO 11 , yx

22

11

BA

CyBxAd

CONDICIÓN DE PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD CON LAS PENDIENTES DE DOS RECTAS

SEAN 21 mym LAS PENDIENTES DE DOS RECTAS 21 y . ENTONCES:

21 y SON PARALELAS 21 mm SEAN 21 mym LAS PENDIENTES DE DOS RECTAS 21 y . ENTONCES:

21 y SON PERPENDICULARES2

1

1

mm

4 LA CIRCUNFERENCIA

ECUACIÓN CON CENTRO EN EL ORIGEN Y RADIO "" r : 222 ryx

ECUACIÓN CON CENTRO EN EL PUNTO kh , Y RADIO "" r : 222 rkyhx

FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA

022 FyExDyx

LA CIRCUNFERENCIA EXISTE, ES DECIR, TIENE RADIO DIFERENTE DE CERO SI 0422 FED Y

ENTONCES, LAS COORDENADAS DE SU CENTRO SON

2,

2

ED Y EL RADIO ES FED 4

2

1 22

ECUACIÓN MEDIANTE UN DETERMINANTE

LA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA QUE PASA POR LOS TRES PUNTOS 333222111 ,,,, yxPyyxPyxP NO COLINEALES, ESTÁ DADA POR EL DETERMINANTE

2 2

2 21 1 1 12 22 2 2 22 23 3 3 3

1

10

1

1

x y x y

x y x y

x y x y

x y x y

TRASLACIÓN DE LOS EJES COORDENADOS

SEA UN NUEVO ORIGEN DE COORDENADAS khO ,' Y SEAN RESPECTIVAMENTE ',', yxyyx

LAS COORDENADAS DE UN PUNTO, ANTES Y DESPUÉS DE LA TRASLACIÓN. ENTONCES, LAS ECUACIONES DE TRANSFORMACIÓN DEL SISTEMA ORIGINAL AL NUEVO SON:

kyyyhxx ''

ROTACIÓN DE LOS EJES COORDENADOS

SI LOS EJES COORDENADOS GIRAN UN ÁNGULO EN TORNO DE SU ORIGEN COMO CENTRO DE

ROTACIÓN Y LAS COORDENADAS DE UN PUNTO SON, RESPECTIVAMENTE, ''., yxyx , ANTES Y DESPUÉS DE LA ROTACIÓN, ENTONES LAS ECUACIONES DE

TRANSFORMACIÓN DEL SISTEMA ORIGINAL AL NUEVO SON. cos'''cos' ysenxyysenyxx

C O P A D I 5

L A S C Ó N I C A S: PARÁBOLA, ELIPSE E HIPÉRBOLA

P A R Á B O L A

p DISTANCIA DEL VÉRTICE AL FOCO = DISTANCIA DEL VÉRTICE A LA DIRECTRIZ FOCO SOBRE EL EJE

VÉRTICE EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL COINCIDENTE CON EL EJE "" x

xpy 42 DIRECTRIZ: px ; FOCO 0,p

VÉRTICE EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL COINCIDENTE CON EL EJE "" y

ypx 42 DIRECTRIZ. py ; FOCO p,0

VÉRTICE EN EL PUNTO kh , EJE FOCAL PARALELO AL EJE "" x

hxpky 42

VÉRTICE EN EL PUNTO kh , EJE FOCAL PARALELO AL EJE "" y

kyphx 42

LONGITUD DEL LADO RECTO = p4 ; EXCENTRICIDAD: 1e

ECUACIÓN GENERALDE LA CÓNICA: 022 FyExDyCxA ; CON 00 CóA

E L I P S E

a2 LONGITUD DEL EJE MAYOR ; b2 LONGITUD DEL EJE MENOR c2 DISTANCIA ENTRE LOS FOCOS

222 bac FOCOS SOBRE EL EJE MAYOR

CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL COINCIDENTE CON EL EJE "" x

12

2

2

2

b

y

a

x

FOCOS: 0,0, cyc

CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL COINCIDENTE CON EL EJE "" y

12

2

2

2

a

y

b

x

FOCOS: cyc ,0,0

6 CENTRO EN EL PUNTO kh, Y EJE FOCAL PARALELO AL EJE "" x

1

2

2

2

2

b

ky

a

hx

CENTRO EN EL PUNTO kh, Y EJE FOCAL PARALELO AL EJE "" y

1

2

2

2

2

a

ky

b

hx

LONGITUD DEL LADO RECTO = a

b 22 ; EXCENTRICIDAD: 1

a

ce

ECUACIÓN GENERALDE LA CÓNICA: 022 FyExDyCxA ; CON CyA DEL MISMO SIGNO

H I P É R B O L A

a2 LONGITUD DEL EJE TRANSVERSO ; b2 LONGITUD DEL EJE CONJUGADO c2 DISTANCIA ENTRE LOS FOCOS

222 bac FOCOS SOBRE EL EJE TRANSVERSO

CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL COINCIDENTE CON EL EJE "" x

12

2

2

2

b

y

a

x

FOCOS: 0,0, cyc

CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL COINCIDENTE CON EL EJE "" y

12

2

2

2

b

x

a

y

FOCOS: cyc ,0,0

CENTRO EN EL PUNTO kh , Y EJE FOCAL PARALELO AL EJE "" x

1

2

2

2

2

b

ky

a

hx

CENTRO EN EL PUNTO kh , Y EJE FOCAL PARALELO AL EJE "" y

1

2

2

2

2

b

hx

a

ky

LONGITUD DEL LADO RECTO = a

b 22 ; EXCENTRICIDAD: 1

a

ce

ECUACIÓN GENERALDE LA CÓNICA: 022 FyExDyCxA ; CON CyA DE SIGNO DISTINTO

C O P A D I 7

GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO

VECTORES

MÓDULO DE UN VECTOR: 23

22

21 aaaa

PRODUCTO ESCALAR: 332211321321 ,,;,, bababababbbbaaaa

00 1800;cos baba

ORTOGONALIDAD: bya SON ORTOGONALES 0

0 ;0

aa b

b

COMP VECTb

b

b

baa

b

; COMP ESC

b

baa

b

ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES: ba

baang

cos

ÁNGULOS Y COSENOS DIRECTORES

a

aang

a

aang

a

aang 321 cos;cos;cos

1coscoscos 222

PRODUCTO VECTORIAL: 321

321321321 ,,;,,

bbb

aaa

kji

babbbbaaaa

00 1800; senbaba

PARALELISMO: bya SON PARALELOS 0

0 ;0

aa b

b

ÁREA DEL PARALELOGRAMO = ba

PRODUCTO MIXTO: cbacbacba

8 VOLUMEN DEL PARALELEPÍPEDO = cba

LOS PUNTOS , ,A B C y D SON COPLANARES

SI EL PRODUCTO MIXTO AB AC AD

ES NULO

DOBLE PRODUCTO VECTORIAL

acbbcacba

cbabcacba

LA RECTA EN EL ESPACIO

ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA

vtPP 0 DONDE 0000 ,, zyxP ES UN PUNTO DE LA RECTA Y cbav ,, ES UN VECTOR PARALELO A ELLA

ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA

tczz

tbyy

taxx

0

0

0

ECUACIONES CARTESIANAS DE LA RECTA EN FORMA SIMÉTRICA: c

zz

b

yy

a

xx 000

ECUACIONES CARTESIANAS DE LA RECTA EN FORMA GENERAL

1 1 1 1

2 2 2 2

0

0

A x B y C z D

A x B y C z D

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA:

v

vPQd

0

; DONDE Q ES EL PUNTO

ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS: 21

21cos

vv

vvang

CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD ENTRE DOS RECTAS: 021 vv

CONDICIÓN DE PARALELISMO ENTRE DOS RECTAS: 021 vv

DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS:

21

211020

vv

vvPPd

9 EL PLANO EN EL ESPACIO

ECUACIÓN VECTORIAL DEL PLANO

srvsvrPP ,;210

DONDE 0000 ,, zyxP ES UN PUNTO DEL PLANO Y 1 21 1 1 2 2 2, , , , v a b c y v a b c SON DOS

VECTORES DE DIRECCIÓN DEL PLANO NO PARALELOS

ECUACIONES PARAMÉTRICAS DEL PLANO:

210

210

210

scrczz

sbrbyy

saraxx

ECUACIÓN NORMAL DEL PLANO QUE CONTIENE AL PUNTO 0P y CUYO VECTOR NORMAL ES N

00 NPP

ECUACIÓN GENERAL DEL PLANO: 0 DzCyBxA ,

DONDE SU VECTOR NORMAL ESTÁ DADO POR: CBAN ,,

DISTANCIA DE UN PUNTO Q A UN PLANO:

N

NPQd

0

ÁNGULO ENTRE DOS PLANOS: 21

21cos

NN

NNang

CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD: 021 NN

CONDICIÓN DE PARALELISMO: 021 NN

LA DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS PARALELOS SE CALCULA COMO LA DISTANCIA ENTRE UN PUNTO DE UN PLANO Y EL OTRO PLANO

ÁNGULO ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO: vN

vNangsen

CONDICIÓN DE PARALELISMO ENTRE UN PLANO Y UNA RECTA: 0 vN

CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD ENTRE UN PLANO Y UNA RECTA: vkN

C O P A D I 10

CLASIFICACIÓN DE LAS SUPERFICIES CUÁDRICAS

CON CENTRO: NzMyLxK 222

SI 0N Y DOS COEFICIENTES SON NULOS, EL LUGAR GEOMÉTRICO SON LOS PLANOS COORDENADOS.

SI 0N Y UN COEFICIENTE ES NULO, EL LUGAR GEOMÉTRICO SON LOS EJES COORDENADOS.

SI 0N Y TODOS LOS COEFICIENTES TIENEN EL MISMO SIGNO, EL LUGAR GEOMÉTRICO ES EL ORIGEN DE COORDENADAS.

SI 0N Y DOS COEFICIENTES TIENEN EL MISMO SIGNO, EL LUGAR GEOMÉTRICO ES EL CONO ELÍPTICO.

SI 0N Y DOS COEFICIENTES SON NULOS, EL LUGAR GEOMÉTRICO SON DOS PLANOS PARALELOS A LOS PLANOS COORDENADOS.

SI 0N Y UN COEFICIENTE ES NULO, EL LUGAR GEOMÉTRICO SON CILINDROS PARALELOS A LOS EJES COORDENADOS.

SI 0N Y TODOS LOS COEFICIENTES SON POSITIVOS, EL LUGAR GEOMÉTRICO ES EL ELIPSOIDE.

SI 0N Y DOS COEFICIENTES SON POSITIVOS Y EL OTRO NEGATIVO, EL LUGAR GEOMÉTRICO ES EL HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA O UN MANTO.

SI 0N Y DOS COEFICIENTES SON NEGATIVOS Y EL OTRO POSITIVO, EL LUGAR GEOMÉTRICO ES EL HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS O DOS MANTOS.

SIN CENTRO: 022 PzPyLxK

SI K Y L SON NULOS, EL LUGAR GEOMÉTRICO ES EL PLANO yx .

SI K Ó L ES NULO, EL LUGAR GEOMÉTRICO ES UN CILINDRO PARABÓLICO.

SI K Y L TIENEN EL MISMO SIGNO, EL LUGAR GEOMÉTRICO ES UN PARABOLOIDE ELÍPTICO.

SI K Y L TIENEN DIFERENTE SIGNO, EL LUGAR GEOMÉTRICO ES UN PARABOLOIDE HIPERBÓLICO.

C O P A D I 11

FÓRMULAS DE DERIVACIÓN ORDINARIA

dx

duc

dx

dycxfucuy ;;

0; dx

dyccy

1dx

dyxy

u

dx

du

dx

dyxfuuy

2;

dx

duun

dx

dynxfuuy nn 1;;

dx

dv

dx

du

dx

dy

xgv

xfuvuy

;

;u f x dy dv du

y uv u vv g x dx dx dx

2

;v

dx

dvu

dx

duv

dx

dy

xgv

xfu

v

uy

dx

du

u

u

dx

dyxfuuy ;

udx

du

dx

dyxfuuy ;ln

eudx

du

dx

dybxfuuy bb log;;log

dx

due

dx

dyxfuey uu ;

12

dx

duaa

dx

dyaxfuay uu ln;;

dx

dvuu

dx

duuv

dx

dy

xgv

xfuuy vvv ln; 1

dx

duu

dx

dyxfuuseny cos;

dx

duusen

dx

dyxfuuy ;cos

dx

duu

dx

dyxfuuy 2sec;tan

dx

duu

dx

dyxfuuy 2csc;cot

dx

duuu

dx

dyxfuuy tansec;sec

dx

duuu

dx

dyxfuuy cotcsc;csc

21

;u

dx

du

dx

dyxfuuangseny

21

;cosu

dx

du

dx

dyxfuuangy

21

;tanu

dx

du

dx

dyxfuuangy

21

;cotu

dx

du

dx

dyxfuuangy

1

;sec2

uu

dx

du

dx

dyxfuuangy

1

;csc2

uu

dx

du

dx

dyxfuuangy

C O P A D I 13

FÓRMULAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN

k f u d u k f u d u

f u g u du f u du g u du

Cudu

1;

1

1

nCn

uduu

nn

Cuu

duln

Cedue uu

C

a

adua

uu ln

Cuduusen cos

Cusenduu cos

CuCuduu seclncoslntan

Cusenduu lncot

Cuuduu tanseclnsec

14

Cuuduu cotcsclncsc

Cuduu tansec 2

Cuduu cotcsc 2

Cuduuu sectansec

Cuduuu csccotcsc

C

a

uangsen

ua

du

22

Ca

uang

aau

dutan

122

Ca

uang

aauu

du

sec

122

Cau

au

aau

duln

2

122

C

ua

ua

aua

du

ln

2

122

Cauu

au

du

22

22ln

Cauu

au

du

22

22ln

C O P A D I 15

S E R I E S I N F I N I T A S

SERIE TELESCÓPICA

1;1

1

1

Snnn

SERIE GEOMÉTRICA

;0

n

nra CONVERGE SI 1r ; r

aS

1

DIVERGE SI 1r

SERIE ARMÓNICA

1

1

n n ; DIVERGENTE

SERIE ARMÓNICA "" p

1

1

npn

; 0 1p DIVERGE

1p CONVERGE

1

;1

nnnp

SSRSn

ESTÁ ACOTADO POR: 1

10

1 pn

Rpn

CONVERGENCIA O DIVERGENCIA

divergeSlim

convergeSSlima

nn

nn

nn

1

DONDE nS ES LA SUCESIÓN DE SUMAS PARCIALES

16

lim 0

lim 0

n nn

n nn

a es convergente a

a a es divergente

;

n n

n n n n

n

a b converge

a y b convergen a b converge

c a converge c

;n n

n n n n

a diverge c a diverge c

a converge y b diverge a b diverge

PRUEBA DE LA INTEGRAL

SI f ES POSITIVA, CONTINUA Y DECRECIENTE PARA 1x ENTONCES LA SERIE ...)(...)2()1( nfff

1

1

)()

)()

divergenteesdxxfsidivergeii

econvergentesdxxfsiconvergei

PRUEBA DE LA COMPARACIÓN

SEAN nn bya SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS. ENTONCES:

)

)

n n n n

n n n n

i si b converge y a b entonces a converge

ii si b diverge y a b entonces a diverge

PRUEBA DEL LÍMITE DEL COCIENTE

SEAN nn bya SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS. ENTONCES:

lim 0n

nn

las dos convergena

k ob

las dos divergen

PRUEBA DE LA SERIE ALTERNADA

17

1 10

( 1)lim 0k k n

nnn

a aa es convergente

a

CONVERGENCIA ABSOLUTA Y CONDICIONAL

n n

n n

nn

n

a es absolutamente convergente si a es convergente

a es absolutamente convergente a es convergente

a convergea es condicionalmente convergente si

a diverge

PRUEBA DE LA RAZÓN

SEA na UNA SERIE CON TÉRMINOS NO NULOS. ENTONCES:

1

1

1

) lim 1

) lim 1

) lim 1

nnn

n

nnn

n

n

nn

ai L a es absolutamente convergente

a

aii L ó a es divergente

a

aiii el criterio no decide

a

PRUEBA DE LA RAÍZ

SEA na UNA SERIE INFINITA. ENTONCES:

) lim 1

) lim 1

) lim 1

nn n

n

nn n

n

nnn

i a L a es absolutamente convergente

ii a L ó a es divergente

iii a el criterio no decide

C O P A D I 18

SERIES DE POTENCIAS

UNA SERIE DE LA FORMA

0

2210

n

nn

nn xaxaxaaxa

ES CONOCIDA COMO “SERIE DE POTENCIAS EN x ”

TEOREMA

SI nn xa ES UNA SERIE DE POTENCIAS, ENTONCES UNA DE LAS SIGUIENTES AFIRMACIONES ES CIERTA:

- LA SERIE CONVERGE SÓLO SI 0x .

- LA SERIE ES ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE PARA TODA x . - EXISTE UN NÚMERO POSITIVO r TAL QUE LA SERIE ES ABSOLUTAMENTE

CONVERGENTE SI rx Y DIVERGENTE SI rx

SI c ES UN NÚMERO REAL, UNA SERIE DE LA FORMA

0

2210

n

nn

nn cxacxacxaacxa

ES CONOCIDA COMO “SERIE DE POTENCIAS EN cx “

TEOREMA

SI nn cxa ES UNA SERIE DE POTENCIAS, ENTONCES UNA DE LAS SIGUIENTES AFIRMACIONES ES CIERTA:

- LA SERIE CONVERGE SÓLO SI 0 cx , ESTO ES, SI cx .

- LA SERIE ES ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE PARA TODA x . - EXISTE UN NÚMERO POSITIVO r TAL QUE LA SERIE ES ABSOLUTAMENTE

CONVERGENTE SI rcx Y DIVERGENTE SI rcx .

TEOREMA

SEA UNA SERIE DE POTENCIAS nn xa CON UN RADIO DE CONVERGENCIA NO NULO r

Y CONSIDÉRESE LA FUNCIÓN f DEFINIDA POR:

0

2210

n

nn

nn xaxaxaaxaxf

PARA TODA x EN EL INTERVALO DE CONVERGENCIA. SI rxr , ENTONCES:

0

12321

1

1 32'1n

nn

n

nn

nnx xanxaxaaxanxaDxf

0

0

132

210

0

1

0 1

1

3

1

2

1

12

n

x nn

n

nnnn

xxa

nxaxaxax

n

adttadttf

NOTA. ES POSIBLE PROBAR QUE ESTAS DOS SERIES DE POTENCIAS TIENEN EL MISMO

RADIO DE CONVERGENCIA QUE LA SERIE ORIGINAL nn xa .

19 TEOREMA. SERIE DE TAYLOR

SI f ES UNA FUNCIÓN TAL QUE

0n

nn cxaxf

PARA TODA x EN UN INTERVALO ABIERTO QUE CONTIENE A c , ENTONCES

nn

cxn

cfcx

cfcxcfcfxf

!!2

''' 2

SE CONOCE COMO “SERIE DE TAYLOR PARA xf EN c “

TEOREMA. SERIE DE MACLAURIN

SI 0c EN LA SERIE DE TAYLOR, SE CONSIDERA ENTONCES A LA FUNCIÓN f TAL QUE

0n

nn xaxf

PARA TODA x EN UN INTERVALO ABIERTO rr, , Y ENTONCES

n

n

xn

fx

fxffxf

!

0

!2

0''0'0 2

SE CONOCE COMO “SERIE DE MACLAURIN PARA xf “

POR LA FÓRMULA DE TAYLOR, SE TIENE QUE SU POLINOMIO DE GRADO ENÉSIMO EQUIVALE

A LA FUNCIÓN MENOS EL RESIDUO, ES DECIR, QUE

xRxfxP nn DONDE

11

1 !

nn

n

f zR x x c

n

PARA ALGÚN VALOR DE z ENTRE xyc . EN EL SIGUIENTE TEOREMA SE UTILIZA EL RESIDUO xRn PARA

ESPECIFICAR LAS CONDICIONES SUFICIENTES PARA LA EXISTENCIA DE UNA SERIE DE POTENCIAS REPRESENTATIVA DE LA FUNCIÓN xf .

TEOREMA

SEA UNA FUNCIÓN f CON DERIVADAS DE TODOS LOS ÓRDENES

A TRAVÉS DEL INTERVALO QUE CONTIENE A c . ENTONCES, SI

0lim

xR nn

PARA TODA x EN EL INTERVALO, ENTONCES LA FUNCIÓN xf ES REPRESENTADA

POR LA SERIE DE TAYLOR PARA xf EN c .

C O P A D I 20

ALGUNAS FUNCIONES REPRESENTADAS POR SERIES DE POTENCIAS

nn xxxxxx

11111111 432

INTERVALO DE CONVERGENCIA: 2,0

nxxxxxxx

543211

1


CONOCIDA POR ALGUNOS COMO “SERIE GEOMÉTRICA”

nn xxxxxxx

111

1 5432


nn xxxxx

2642

211

1

1


3 5 7 2 1

13! 5! 7! 2 1 !

nnx x x x

senx xn

INTERVALO DE CONVERGENCIA: ,

2 4 6 2

cos 1 12! 4! 6! 2 !

nnx x x x

xn


3 5 7 2 1

2 2 4 6 8 2 22 2 2 2 21

2! 4! 6! 8! 2 2 !

nn nsen x x x x x x

n


3 5 2 1

2 2 4 6 22 2 2 2cos 1 1

2! 4! 6! 2 !

nn nx x x x x

n


NOTA. EL TÉRMINO ENÉSIMO CONSIDERA A PARTIR DEL SEGUNDO TÉRMINO CON 1n

2 2 16 10 14

2 2 13! 5! 7! 2 1 !

nnx x x x

sen x xn


21

4 8 12 4

2cos 1 12! 4! 6! 2 !

nnx x x x

xn


3 5 7 2 1

3! 5! 7! 2 1 !

nx x x xsenhx x

n


2 4 6 2

cosh 12! 4! 6! 2 !

nx x x xx

n


2 13 5 7

2

2 !1 3 1 3 5

2 3 2 4 5 2 4 6 7 2 ! 2 1

n

n

n xx x xangsenx x

n n


121

753tan

12753

n

xxxxxxang

nn


!!3!2

132

n

xxxxe

nx


!!4!3!2

12864

22

n

xxxxxe

nx


n

xxxxxx

nn 11

4

1

3

1

2

11ln

1432


11

4321ln

1432

n

xxxxxx

nn


!4

321

!3

21

!2

111

432 xkkkkxkkkxkkkxx k

INTERVALO DE CONVERGENCIA: *1,1

* LA CONVERGENCIA EN 1x DEPENDE DEL VALOR DE "" k

C O P A D I 22

FUNCIONES HIPERBÓLICAS: IDENTIDADES, DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN

IDENTIDADES FUNDAMENTALES

xsenhxx

xsenhxxsenh

xx

xxsenh

xhx

xhx

xsenhx

senhxsenhyyxyx

senhxsenhyyxyx

xsenhyysenhxyxsenh

xsenhyysenhxyxsenh

22

21

212

21

212

22

22

22

cosh2cosh

cosh22

2coshcosh

2cosh

1csccoth

1sectanh

1cosh

coshcoshcosh

coshcoshcosh

coshcosh

coshcosh

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS

1;1

'';coth

1;1

'';tanh

1;1

'';cosh

1

'';

'cothcsc';csc

'tanhsec';sec

'csc';coth

'sec';tanh

'';cosh

'cosh';

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

uu

uyxfuuy

uu

uyxfuuy

uu

uyxfuuy

u

uyxfuusenhy

uuhuyxfuhuy

uuhuyxfuhuy

uuhyxfuuy

uuhyxfuuy

usenhuyxfuuy

uuyxfusenhuy

23

0;1

'';csc

10;1

'';sec

2

1

2

1

uuu

uyxfuuhy

uuu

uyxfuuhy

INTEGRACIÓN DE Y CON LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS

;lncosh

ln

csccothcsc

sectanhsec

cothcsc

tanhsec

tanhlncsc

tanhsec

lncoth

coshlntanh

cosh

cosh

221

22

221

22

2

2

2

1

CauuCa

u

au

du

CauuCa

usenh

au

du

Chuduuhu

Chuduuhu

Cuduuh

Cuduuh

Cduhu

Csenhuduhu

Cusenhduu

Cuduu

Csenhuduu

Cudusenhu

u

ésta, donde u > a > 0

1

2 21

1 1tanh ln ;

2

1 1coth ln ;

2

u a uC C u a

a a a a udu

a u u u aC C u a

a a a u a

ésta en forma compacta es:

auCua

ua

aua

du

;ln

2

122

auCu

a

aC

a

uh

auau

du

uCu

asenh

aC

a

uh

auau

du

0;cosh1

sec1

0;1

csc1

11

22

11

22

C O P A D I 24

MÁXIMOS Y MÍNIMOS. UNA O MÁS VARIABLES

FUNCIONES ESCALARES DE VARIABLE ESCALAR xfy

PUNTOS CRÍTICOS

SON AQUELLOS PUNTOS DONDE f ES CONTINUA Y LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN ES NULA O NO EXISTE, ES DECIR, DONDE

' 0dy dy

f x o no existedx dx

CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA CADA PUNTO CRÍTICO

0'0' xfaxf MÁXIMO RELATIVO 0'0' xfaxf MÍNIMO RELATIVO

SI NO HAY CAMBIO DE SIGNO NO HAY EXTREMO RELATIVO

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA CADA PUNTO CRÍTICO 0'' xf MÍNIMO RELATIVO 0'' xf MÁXIMO RELATIVO

SI 0'' xf NO SE PUEDE APLICAR ESTE CRITERIO

PUNTOS DE INFLEXIÓN Y CONCAVIDAD

SON AQUELLOS PUNTOS DONDE f ES CONTINUA Y LA SEGUNDA DERIVADA ES NULA O NO EXISTE Y DONDE LA CONCAVIDAD DE UNA CURVA CAMBIA

UNA CURVA ES CÓNCAVA HACIA ARRIBA CUANDO SUS TANGENTES ESTÁN POR DEBAJO DE ELLA

Y CÓNCAVA HACIA ABAJO CUANDO SUS TANGENTES ESTÁN POR ENCIMA DE ELLA 0''0'' xfaxf PUNTO DE INFLEXIÓN 0''0'' xfaxf PUNTO DE INFLEXIÓN

FUNCIONES ESCALARES DE VARIABLE VECTORIAL

yxfz ,

PUNTOS CRÍTICOS O ESTACIONARIOS SON AQUELLOS EN LOS CUALES z ES CONTINUA

Y LAS PRIMERAS DERIVADAS PARCIALES y

zy

x

z

SE ANULAN O NO EXISTEN

25 CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA

HESSIANO

22

2

2

2

2

,

xy

z

y

z

x

zyxg

0,0,0, 000000 yxfoyxfyyxg yyxx MÁXIMO RELATIVO

0,0,0, 000000 yxfoyxfyyxg yyxx MÍNIMO RELATIVO

0, 00 yxg PUNTO SILLA

0, 00 yxg EL CRITERIO NO DECIDE

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA (FORMA MATRICIAL)

PARA CADA PUNTO CRÍTICO SE CALCULA LA MATRIZ HESSIANA

yyyx

xyxx

ff

ffH

SE CALCULA E IGUALA A CERO EL DETERMINANTE 0det IH

LOS SIGNOS DE LOS VALORES CARACTERÍSTICOS 21 y DETERMINAN LA NATURALEZA DEL PUNTO CRÍTICO:

00 21 y MÍNIMO RELATIVO 00 21 y MÁXIMO RELATIVO

0

0

0

0

2

1

2

1

o PUNTO SILLA

SI POR LO MENOS UN VALOR CARACTERÍSTICO ES CERO, EL CRITERIO NO DECIDE

GENERALIZACIÓN

SEAN: LA FUNCIÓN nf : CON PRIMERAS DERIVADAS PARCIALES CONTINUAS;

nxxxfrf ,,, 21 EN UNA REGIÓN D DEL ESPACIO n-DIMENSIONAL; Dr 0 UN

PUNTO CRÍTICO TAL QUE 00 rfix Y H LA MATRIZ HESSIANA DEFINIDA POR:

ijjiji

ji

nnnn

n

n

ffxx

ff

fff

fff

fff

H

;;2

21

22221

11211

ENTONCES: 0) rfi ES UN MÁXIMO RELATIVO DE f SI LOS VALORES CARACTERÍSTICOS DE LA MATRIZ

HESSIANA VALUADA EN 0r SON TODOS NEGATIVOS. 0) rfii ES UN MÍNIMO RELATIVO DE f SI LOS VALORES CARACTERÍSTICOS DE LA MATRIZ

HESSIANA VALUADA EN 0r SON TODOS POSITIVOS. 0) rfiii ES UN PUNTO SILLA (MINIMÁXIMO) SI EXISTEN VALORES CARACTERÍSTICOS DE LA

MATRIZ HESSIANA VALUADA EN 0r CON SIGNOS DIFERENTES. )iv EL CRITERIO NO DECIDE SI UNO POR LO MENOS DE LOS VALORES CARACTERÍSTICOS DE

LA MATRIZ HESSIANA VALUADA EN 0r VALE CERO.

26 MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

SEA nxxxfrfz ,,, 21 UNA FUNCIÓN ESCALAR CONTINUA Y DIFERENCIABLE

EN UNA REGIÓN CERRADA nD DONDE f ESTÁ SUJETA A LAS CONDICIONES:

00,,,

00,,,

00,,,

21

212

211

oxxxg

oxxxg

oxxxg

nm

n

n

nm

Y SEA EL PROBLEMA: OPTIMIZAR LA FUNCIÓN OBJETIVO: rfz

SUJETA A LAS RESTRICCIONES: nmiorgi ,...,2,1;00

SI EXISTE UN EXTREMO RELATIVO DE f EN 0r , ENTONCES 0L , ES DECIR,

nix

L

i

,,2,10

Y ADEMÁS nmkrgk ,,2,10

ESTAS DOS EXPRESIONES FORMAN UN SISTEMA DE nm ECUACIONES,

0

0

11

11 111

nnn xmmxx

xmmxx

ggf

ggf

0,,,

0,,,

21

211

mm

n

xxxg

xxxg

DONDE m ,,, 21 SE CONOCEN COMO MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

A PARTIR DE ESTE SISTEMA PUEDEN SER DETERMINADAS LAS INCÓGNITAS mnxxx ,,,,,,, 2121 .

AQUÍ, LOS VALORES DE nxxx ,,, 21 SON LAS COORDENADAS

DEL PUNTO EN EL QUE PUEDE HABER UN EXTREMO CONDICIONADO.

PARA EL CASO DE UNA FUNCIÓN yxfz , Y UNA RESTRICCIÓN 0,, zyxg , EL SISTEMA A RESOLVER SERÍA EL SIGUIENTE:

0,,;0;0;0 zyxggfgfgf zzyyxx

Y PARA EL CASO DE LA MISMA FUNCIÓN yxfz , PERO CON DOS RESTRICCIONES,

EL SISTEMA SERÍA: 0,,;0,,;;; 21221122112211 zyxgzyxgggfggfggf zzzyyyxxx

C O P A D I 27

GEOMETRÍA DIFERENCIAL. FÓRMULAS DE FRENET-SERRET CINEMÁTICA DE UNA PARTÍCULA

tr ECUACIÓN VECTORIAL DE UNA CURVA EN 3

s PARÁMETRO “LONGITUD DE ARCO”

VECTOR TANGENTE UNITARIO: ds

rd

dt

rddt

rd

T YA QUE dt

rd

dt

ds

VECTOR NORMAL UNITARIO:

ds

Tdds

Td

N ; CURVATURA: ds

Tdk ; RADIO DE CURVATURA:

k

1

VECTOR BINORMAL UNITARIO: NTB

NyT FORMAN EL PLANO OSCULADOR

ByT FORMAN EL PLANO RECTIFICADOR

ByN FORMAN EL PLANO NORMAL

TORSIÓN = ;ds

Bd RADIO DE TORSIÓN:

1

FÓRMULAS DE FRENET-SERRET

Nds

Bd

BTkds

Nd

Nkds

Td

tr ECUACIÓN VECTORIAL DE UNA CURVA EN 3

t PARÁMETRO CUALQUIERA

VECTOR TANGENTE UNITARIO : '

'

r

rT

28

VECTOR NORMAL UNITARIO: ''''

''''

rrr

rrrN

VECTOR BINORMAL UNITARIO: '''

'''

rr

rrB

CURVATURA: 3

'

'''

r

rrk

; RADIO DE CURVATURA:

k

1

TORSIÓN : 2

'''

''''''

rr

rrr

; RADIO DE TORSIÓN:

1

CINEMÁTICA DE UNA PARTÍCULA

SEA

ktzjtyitxtr EL VECTOR DE POSICIÓN DE UNA PARTÍCULA EN MOVIMIENTO CON RESPECTO A UN SISTEMA DE REFERENCIA Y SEA "" t UN PARÁMETRO.

VELOCIDAD: dt

rdv ; RAPIDEZ: vv ; ACELERACIÓN:

2

2

dt

rd

dt

vda

EL VECTOR VELOCIDAD DE LA PARTÍCULA SIEMPRE ES TANGENTE

A LA CURVA Y TIENE LA DIRECCIÓN DEL MOVIMIENTO.

COMPONENTES DE LA ACELERACIÓN

22 vay

dt

dvaN

vT

dt

dva NT

Ta (ACELERACIÓN TANGENCIAL) Y Na (ACELERACIÓN NORMAL)

LA ACELERACIÓN DE LA PARTÍCULA ES UN VECTOR SITUADO EN EL PLANO DE LA TANGENTE Y LA NORMAL A LA CURVA (PLANO OSCULADOR) CON COMPONENTES TANGENCIAL

Y NORMAL DADAS POR dt

dv Y

2v RESPECTIVAMENTE.

LA ACELERACIÓN ES ÚNICAMENTE TANGENCIAL CUANDO EL MOVIMIENTO ES RECTILÍNEO ( )

Y ES ÚNICAMENTE NORMAL CUANDO LA RAPIDEZ ES CONSTANTE ( 0dt

dv).

COPADI 29

LONGITUDES, ÁREAS Y VOLÚMENES: LONGITUD DE ARCO, ÀREA BAJO LA CURVA, ÀREA ENTRE DOS CURVAS, ÁREAS DE SUPERFICIES,VOLÚMENES

LONGITUD DE UN ARCO DE CURVA

SEA f UNA FUNCIÓN CUYA GRÁFICA ES UNA CURVA SUAVE C , CONTINUA EN EL INTERVALO ba, . LA LONGITUD DE ARCO DE LA GRÁFICA DE f , DEL PUNTO afaA , AL PUNTO bfbB , ESTÁ DADA

POR:

b

adxxfL 21

NOTA. TAMBIÉN SE PUDE REALIZAR EL CÁLCULO EN TÉRMINOS DE LA VARIABLE "" y .

LONGITUD DE UN ARCO DE CURVA EXPRESADA EN FORMA PARAMÉTRICA

SEA UNA FUNCIÓN CUYA GRÁFICA ES UNA CURVA SUAVE (CONTINUA) C DADA PARAMÉTRICAMENTE POR LAS ECUACIONES btatgyytfx ; ; SI C NO SE CORTA A SÍ MISMA, EXCEPTO POSIBLEMENTE EN btyat , ENTONCES LA LONGITUD L DE LA CURVA C ESTÁ DADA POR:

b

a

b

adt

dt

dy

dt

dxdttgtfL

2222

LONGITUD DE ARCO DE UNA CURVA EN COORDENADAS POLARES

SI UNA CURVA SUAVE C ES LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN CUYA ECUACIÓN POLAR ES fr DE A ES POSIBLE CALCULAR SU LONGITUD L MEDIANTE LA EXPRESIÓN:

d

d

drrL

22

ÁREA BAJO LA CURVA

SI f ES UNA FUNCIÓN INTEGRABLE Y 0xf PARA TODA bax , , ENTONCES EL ÁREA DE LA REGIÓN LIMITADA POR LA GRÁFICA DE f , EL EJE DE LAS ABSCISAS

Y LAS RECTAS bxyax , SE OBTIENE A TRAVÉS DE:

b

adxxfA


ÁREA ENTRE DOS CURVAS

SI f Y g SON DOS FUNCIONES CONTINUAS Y xgxf PARA TODA bax , , ENTONCES EL ÁREA DE LA REGIÓN LIMITADA POR LAS GRÁFICAS DE f Y g

Y LAS RECTAS bxyax , ESTÁ DADA POR:

b

adxxgxfA

30 ÁREA DE UNA REGIÓN EN COORDENADAS POLARES

SI LA FUNCIÓN f (EN COORDENADAS POLARES) ES CONTINUA Y 0f EN EL INTERVALO , , DONDE 20 , ENTONCES EL ÁREA DE LA REGIÓN LIMITADA POR LAS GRÁFICAS

DE , ,r f y SE CALCULA POR MEDIO DE LA EXPRESIÓN.

drdfA 22

2

1

ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN SI f ES UNA CURVA SUAVE Y 0xf EN EL INTERVALO ba, , ENTONCES EL ÁREA DE LA SUPERFICIE

GENERADA AL GIRAR LA GRÁFICA DE f ALREDEDOR DEL EJE DE LAS ABSCISAS, SE DETERMINA CON:

b

adxxfxfS 2'12

NOTA. SI LA FUNCIÓN ES NEGATIVA EN PARTE DEL INTERVALO, ENTONCES SE PODRÍA UTILIZAR LA MISMA EXPRESIÓN CON EL VALOR ABSOLUTO DE xf .


ÁREA DE UNA SUPERFICIE SEA UNA FUNCIÓN ESCALAR DE VARIABLE VECTORIAL 0, yxf DEFINIDA EN UNA REGIÓN R EN EL

PLANO yx DONDE f TIENE PRIMERAS DERIVADAS PARCIALES EN LA REGIÓN. ENTONCES EL ÁREA DE LA SUPERFICIE (GRÁFICA DE f ) SE CALCULA MEDIANTE:

R

dAy

yxf

x

yxfA

22,,

1

NOTA. ESTA FÓRMULA TAMBIÉN PUEDE UTILIZARSE CUANDO LA FUNCIÓN ES NEGATIVA.

VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN SEA UNA FUNCIÓN f (EN EL PLANO yx ) CONTINUA EN EL INTERVALO ba, , Y SEA R LA REGIÓN

LIMITADA POR LA GRÁFICA DE f , EL EJE DE LAS ABSCISAS Y LAS RECTAS bxyax . EL VOLUMEN DEL SÓLIDO DE GENERACIÓN GENERADO AL GIRAR LA REGIÓN R ALREDEDOR DEL EJE x ES.

dxxfVb

a 2

NOTA. TAMBIÉN SE PUEDE REALIZAR EL CÁLCULO EN TÉRMINOS DE LA VARIABLE "" y .

VOLUMEN DE UN SÓLIDO MEDIANTE UNA INTEGRAL DOBLE SEA UNA FUNCIÓN ESCALAR DE VARIABLE VECTORIAL EN 3 TAL QUE 0, yxf PARA TODO yx,

EN UNA REGIÓN R DEL PLANO yx . EL VOLUMEN DEL SÓLIDO BAJO LA GRÁFICA DE yxfz , Y SOBRE LA REGIÓN R ES:

dAyxfVR ,

VOLUMEN DE UN SÓLIDO MEDIANTE UNA INTEGRAL TRIPLE SEA UNA FUNCIÓN ESCALAR DE VARIABLE VECTORIAL f EN 4 TAL QUE 1,, zyxf A TRAVÉS DE

UNA REGIÓN VOLUMÉTRICA Q . ENTONCES, EL VOLUMEN DE ESTA REGIÓN Q ESTÁ DADO POR LA INTEGRAL TRIPLE:

Q

dVV

C O P A D I 31

MASA, MOMENTOS, CENTRO DE MASA Y CENTROIDE

MOMENTO DE UN SISTEMA EN 1

EL MOMENTO CON RESPECTO AL ORIGEN DE UN SISTEMA DE MASAS nmmm ,...,, 21 , LOCALIZADAS

EN LOS PUNTOS nxxx ,...,, 21 DEL EJE DE LAS ABSCISAS, ESTÁ DADO POR

nn xmxmxmM ...22110

SI LA MASA TOTAL DEL SISTEMA ES nmmmm ...21 , SU CENTRO DE MASA ESTÁ DADO POR

m

Mx 0

MOMENTOS Y CENTRO DE MASA DE UN SISTEMA EN 2

SI SE TIENE UN SISTEMA DE MASAS PUNTUALES nmmm ,...,, 21 LOCALIZADAS EN LOS PUNTOS

nn yxyxyx ,,,,,, 2211 EN UN PLANO COORDENADO Y SEA

n

kkmm

1

LA MASA TOTAL DEL SISTEMA, ENTONCES:

A) EL MOMENTO DEL SISTEMA CON RESPECTO AL EJE x ESTÁ DADO POR:

n

kkkx ymM

1

B) EL MOMENTO DEL SISTEMA CON RESPECTO AL EJE y ESTÁ DADO POR:

n

kkky xmM

1

C) LAS COORDENADAS DEL CENTRO DE MASA DEL SISTEMA SON:

m

Myy

m

Mx xy

MOMENTOS, CENTRO DE MASA Y CENTROIDE DE UNA LÁMINA

CONSIDÉRESE UNA LÁMINA, UNA PLACA PLANA O BIEN, UNA DISTRIBUCIÓN PLANA DE MASA QUE TIENE LA FORMA DETERMINADA

POR UNA CIERTA REGIÓN R EN EL PLANO xy . SI ESTA PLACA PLANA TIENE UNA DENSIDAD SUPERFICIAL DE MASA DADA

POR yx, , FUNCIÓN CONTINUA EN R , Y SU MASA ESTÁ DADA POR R

dAyxm , , ENTONCES:

A) SU PRIMER MOMENTO O MOMENTO ESTÁTICO CON RESPECTO AL EJE x ES:

R

x dAyxyM ,

B) SU PRIMER MOMENTO O MOMENTO ESTÁTICO CON RESPECTO AL EJE y ES:

R

y dAyxxM ,

C) LAS COORDENADAS DE SU CENTRO DE MASA SON:

R

Rx

R

Ry

dAyx

dAyxy

m

Myy

dAyx

dAyxx

m

Mx

,

,

,

,

32 D) SI LA DENSIDAD DE LA PLACA ES CONSTANTE SE DICE QUE ÉSTA ES HOMOGÉNEA Y LAS COORDENADAS

DE SU CENTRO DE MASA, QUE SE CONOCE COMO CENTROIDE, ESTÁN DADAS POR LAS EXPRESIONES SIGUIENTES:

R

Rx

R

Ry

dA

dAy

m

Myy

dA

dAx

m

Mx

DE LAS CUALES SE OBTIENE QUE:

RAydAyyRAxdAxRR

DONDE R

dARA ES EL ÁREA DE LA REGIÓN, ES DECIR, DE LA PLACA.

E) SUS SEGUNDOS MOMENTOS O MOMENTOS DE INERCIA, CON RESPECTO A LOS EJES yyx , ASÍ COMO CON RESPECTO AL ORIGEN, CONOCIDO ÉSTE ÚLTIMO COMO MOMENTO POLAR DE INERCIA, ESTÁN DADOS, RESPECTIVAMENTE

POR:

yxO

R

y

R

x IIdAyxIdAyxxIdAyxyI 2222 ;,;,

MOMENTOS, CENTRO DE MASA Y CENTROIDE DE UN CUERPO

SI UN SÓLIDO TIENE LA FORMA DE UNA REGIÓN Q TRIDIMENSIONAL, ES DECIR, VOLUMÉTRICA,

Y SU DENSIDAD ES zyx ,, , FUNCIÓN CONTINUA EN Q , ENTONCES: A) SU MASA ESTÁ DADA POR:

Q

dVzyxM ,,

B) SUS MOMENTOS CON RESPECTO A LOS PLANOS COORDENADOS yzyxzxy , SON:

Q Q

yz

Q

xzxy dVzyxxMdVzyxyMdVzyxzM ,,;,,;,,

C) LAS COORDENADAS DE SU CENTRO DE MASA SON:

m

Mz

m

My

m

Mx xyxzyz ;;

D) SI Q ES HOMOGÉNEA, ENTONCES LA DENSIDAD ES CONSTANTE Y LAS COORDENADAS DE SU CENTRO DE MASA O CENTROIDE SON:

Q

Q

Q

Q

Q

Q

dV

dVz

zdV

dVy

ydV

dVx

x ;;

DE DONDE: Q Q

QVzdVzQVydVyQVxdVx ;;

DONDE Q

dVQV ES EL VOLUMEN DE LA REGIÓN, ES DECIR, DEL SÓLIDO.

E) SUS SEGUNDOS MOMENTOS O MOMENTOS DE INERCIA, CON RESPECTO A LOS EJES zyyx , , ASÍ COMO CON

RESPECTO AL ORIGEN, CONOCIDO ÉSTE ÚLTIMO COMO MOMENTO POLAR DE INERCIA, ESTÁN DADOS, RESPECTIVAMENTE POR:

Q

z

Q Q

yx dVzyxyxIdVzyxzxIdVzyxzyI ,,;,,;,, 222222

Q

O dVzyxI 222

C O P A D I 33

ALGUNOS CASOS DE DERIVACIÓN EXPLÍCITA EN FUNCIONES ESCALARES DE VARIABLE VECTORIAL

SEA yxfz , ; ENTONCES SUS DERIVADAS PARCIALES SON:

y

zy

x

z

Y LA DIFERENCIAL TOTAL ESTÁ DADA POR:

dyy

zdx

x

zdz

SEA uyxfz ,, ; ENTONCES SUS DERIVADAS PARCIALES SON:

u

zy

y

z

x

z

,

Y SU DIFERENCIAL TOTAL ESTÁ DADA POR:

duu

zdy

y

zdx

x

zdz

SEA yxfz , DONDE tgytfx ;

SUS DERIVADAS PARCIALES SON:

x

zy

x

z

SU DERIVADA TOTAL ESTÁ DADA POR:

dt

dy

y

z

dt

dx

x

z

dt

dz

Y LA DIFERENCIAL TOTAL ES:

dyy

zdx

x

zdz

DONDE dttgdyydttfdx ''

SEA uyxfz ,, DONDE tkuthytgx ;;

SUS DERIVADAS PARCIALES SON:

u

zy

y

z

x

z

,

SU DERIVADA TOTAL ESTÁ DADA POR:

dt

du

u

z

dt

dy

y

z

dt

dx

x

z

dt

dz

Y SU DIFERENCIAL TOTAL ES:

duu

zdy

y

zdx

x

zdz

DONDE dttkduydtthdydttgdx '';'

34 SEA tsgxyxfz ,

ENTONCES SUS DERIVADAS PARCIALES CON RESPECTO A tys SON:

t

x

dx

dz

t

zy

s

x

dx

dz

s

z

Y SU DIFERENCIAL ESTÁ DADA POR: dxxfdz '

DONDE dtt

xds

s

xdx

SEA yxfz , DONDE vuhyyvugx ,,

ENTONCES SUS DERIVADAS PARCIALES CON RESPECTO A vuyx ,,, SON:

y

z

x

z

;

v

y

y

z

v

x

x

z

v

z

u

y

y

z

u

x

x

z

u

z

;


dyy

zdx

x

zdz

DONDE

dvv

ydu

u

ydyydv

v

xdu

u

xdx

SEA uyxfz ,, DONDE srkusrhysrgx ,;,;,

ENTONCES SUS DERIVADAS PARCIALES CON RESPECTO A sruyx ,,,, SON:

u

z

y

z

x

z

;;

s

u

u

z

s

y

y

z

s

x

x

z

s

z

r

u

u

z

r

y

y

z

r

x

x

z

r

z

;


duu

zdy

y

zdx

x

zdz

DONDE

dss

udr

r

uduyds

s

ydr

r

ydyds

s

xdr

r

xdx

;

C O P A D I 35

ALGUNOS CASOS DE DERIVACIÓN IMPLÍCITA EN FUNCIONES ESCALARES DE UNA VARIABLE Y DE VARIABLE VECTORIAL

UNA ECUACIÓN CON DOS VARIABLES

0, yxF

x

y

y

x

F

F

dy

dx

F

F

dx

dy ;

UNA ECUACIÓN CON TRES VARIABLES

0,, zyxF

z

y

z

x

F

F

y

zy

F

F

x

zyxfz

,

x

z

x

y

F

F

z

xy

F

F

y

xzyfx

,

y

z

y

x

F

F

z

yy

F

F

x

yzxfy

,

DOS ECUACIONES CON TRES VARIABLES

0,,;0,, zyxGzyxF

zy

GFJ

xy

GFJ

dx

dzy

GG

FF

GG

FF

zy

GFJ

zx

GFJ

dx

dy

zy

zy

zx

zx

,

,

,

,

,

,

,

,

yx

GFJ

zx

GFJ

dz

dyy

yx

GFJ

yz

GFJ

dz

dx

,

,

,

,

,

,

,

,

zx

GFJ

yx

GFJ

dy

dzy

zx

GFJ

zy

GFJ

dy

dx

,

,

,

,

,

,

,

,

NOTA. COMO SE OBSERVA, SE UTILIZAN DETERMINANTES JACOBIANOS, FORMADOS POR

LAS DERIVADAS PARCIALES DE FUNCIONES, CON RESPECTO A LAS VARIABLES DE LAS CUALES DEPENDEN.

36 DOS ECUACIONES CON CUATRO VARIABLES

0,,,;0,,, vuyxGvuyxF

yx

GFJ

vx

GFJ

v

yy

yx

GFJ

ux

GFJ

u

y

yx

GFJ

yv

GFJ

v

xy

yx

GFJ

yu

GFJ

u

x

vugy

vufx

,

,

,

,

,

,

,

,,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

vu

GFJ

yu

GFJ

y

vy

vu

GFJ

xu

GFJ

x

v

vu

GFJ

vy

GFJ

y

uy

vu

GFJ

vx

GFJ

x

u

yxgv

yxfu

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

NOTA. SE PROCEDERÍA DE MANERA SEMEJANTE CON TODAS LAS COMBINACIONES POSIBLES DE DOS VARIABLES DEPENDIENTES Y DOS INDEPENDIENTES.

TRES ECUACIONES CON CINCO VARIABLES

0,,,,;0,,,,;0,,,, vuzyxHvuzyxGvuzyxF

zyx

HGFJ

vyx

HGFJ

v

zy

zyx

HGFJ

uyx

HGFJ

u

z

zyx

HGFJ

zvx

HGFJ

v

yy

zyx

HGFJ

zux

HGFJ

u

y

zyx

HGFJ

zyv

HGFJ

v

xy

zyx

HGFJ

zyu

HGFJ

u

x

vuhz

vugy

vufx

,,

,,

,,

,,

,,

,,

,,

,,

,,

,,

,,

,,

,,

,,

,,

,,,,

,,

,,

,,

,,

,,

,,

,,

,

,

,

NOTA. SE PROCEDERÍA DE MANERA SEMEJANTE CON TODAS LAS COMBINACIONES POSIBLES DE TRES VARIABLES DEPENDIENTES Y DOS INDEPENDIENTES.

C O P A D I 37

COORDENADAS POLARES, CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS

COORDENADAS POLARES

ECUACIONES DE TRANSFORMACIÓN

LAS COORDENADAS CARTESIANAS yx, Y LAS COORDENADAS POLARES ,r SE RELACIONAN A TRAVÉS DE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES:

senryrx ;cos 222;tan yxr

x

yang

ECUACIÓN DE LA RECTA EN COORDENADAS POLARES

pr cos

DONDE r ES LA DISTANCIA DEL POLO A UN PUNTO ,rP DE LA RECTA Y p ES LA DISTANCIA

DEL POLO AL PUNTO ,pN DE LA RECTA, MEDIDA SOBRE LA PERPENDICULAR A ELLA.

ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA EN COORDENADAS POLARES

222 cos2 acrcr

DONDE r ES LA DISTANCIA DEL POLO AL PUNTO ,rP DE LA CIRCUNFERENCIA, c ES LA DISTANCIA DEL POLO A SU CENTRO EN EL PUNTO ,cC Y a ES SU RADIO.

ECUACIONES POLARES DE LAS CÓNICAS

1 cos 1

e d e dr o r

e e sen

DONDE e ES LA EXCENTRICIDAD DE LA CÓNICA Y d ES LA DISTANCIA DEL POLO A LA RECTA DIRECTRIZ. REPRESENTA A UNA CÓNICA, LA CUAL SERÁ PARÁBOLA SI 1e , ELIPSE SI 10 e E HIPÉRBOLA SI

1e

PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE

LA PENDIENTE m DE LA RECTA TANGENTE A LA CURVA DE ECUACIÓN fr EN EL PUNTO ,rP ESTÁ DADA POR

sencos

cossen

rd

dr

rd

dr

m

38 COORDENADAS CILÍNDRICAS


LAS COORDENADAS CARTESIANAS zyx ,, Y LAS COORDENADAS CILÍNDRICAS z,,

SE RELACIONAN A TRAVÉS DE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES:

zzx

yangtanyx

zzyx

;;

;sen;cos

222

DONDE CONSTANTE REPRESENTA UNA FAMILIA DE CILINDROS CUYO EJE DE SIMETRÍA ES EL EJE z , CONSTANTE REPRESENTA UNA FAMILIA DE SEMIPLANOS VERTICALES QUE CONTIENEN AL EJE z Y z CONSTANTE REPRESENTA UNA FAMILIA DE PLANOS HORIZONTALES PARALELOS AL PLANO xy .

NOTA. SE TRATA DE UN SISTEMA COORDENADO CURVILÍNEO ORTOGONAL.

DIFERENCIAL DE LONGITUD DE ARCO

22222 dzddds NOTA. SI 0z , SE TIENE EL SISTEMA ORTOGONAL PLANO DENOMINADO

SISTEMA COORDENADO POLAR.

DIFERENCIAL DE ÁREA

dddA (SISTEMA COORDENADO POLAR)

DIFERENCIAL DE VOLUMEN

dzdddV

GRADIENTE

zez

ee

1

DIVERGENCIA

321

1f

zffF

ROTACIONAL

321

1

fffz

eee

F

z

39 LAPLACIANO

zz

112

NOTA. zefefefFyz 321,,

INTEGRAL TRIPLE EN COORDENADAS CILÍNDRICAS

Q

z

z

z

z

z

zdzddzfdVzf

2

1

2

1

2

1

,

,,,,,

DONDE ES EL FACTOR DE ESCALA O JACOBIANO DE LA TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS.

COORDENADAS ESFÉRICAS


LAS COORDENADAS CARTESIANAS zyx ,, Y LAS COORDENADAS ESFÉRICAS ,,r

SE RELACIONAN A TRAVÉS DE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES:

x

yang

zyx

zangzyxr

rzsenrsenysenrx

tan;cos;

cos;;cos

222

2222

DONDE r CONSTANTE, REPRESENTA UNA FAMILIA DE ESFERAS CON CENTRO EN EL ORIGEN,

CONSTANTE REPRESENTA UNA FAMILIA DE SEMICONOS CON EL EJE z COMO EJE DE SIMETRÍA Y CONSTANTE, REPRESENTA UNA FAMILIA DE SEMIPLANOS VERTICALES QUE CONTIENEN AL EJE z .

DIFERENCIAL DE LONGITUD DE ARCO

2222222 dsenrdrdrds

DIFERENCIAL DE VOLUMEN

dddrsenrdV 2

GRADIENTE

ersen

er

er

r

11

40 DIVERGENCIA

3212

2

1rfsenrfsenfr

rsenrF

ROTACIONAL

senrsenrfrff

r

ersenere

F

r

2

321

1

LAPLACIANO

sensen

rsenr

rsenr

11 2

2

2

NOTA. efefefFyr r 321,,

INTEGRAL TRIPLE EN COORDENADAS ESFÉRICAS

2

1

2

1

2

1

,

,

2,,,,

r

rQ

dddrsenrrfdVrf

DONDE sen2r ES EL FACTOR DE ESCALA O JACOBIANO DE LA TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS.

C O P A D I 41

OPERADORES VECTORIALES, GRADIENTE, DIVERGENCIA, ROTACIONAL Y LAPLACIANO, EN COORDENADAS CURVILÍNEAS ORTOGONALES

TEOREMA. GRADIENTE EN COORDENADAS CURVILÍNEAS

SEAN wvu ,, UNA FUNCIÓN ESCALAR DIFERENCIABLE Y wvuzzwvuyywvuxx ,,,,.,,,

LAS ECUACIONES DE TRANSFORMACIÓN DE UN SISTEMA COORDENADO CURVILÍNEO ORTOGONAL. ENTONCES EL GRADIENTE DE EN ESTE SISTEMA ESTÁ DADO POR:

w

w

v

v

u

u

ewh

evh

euh

111

TEOREMA. DIVERGENCIA EN COORDENADAS CURVILÍNEAS

SEA wvu ewvuewvuewvu ,,,,,, 321 UNA FUNCIÓN VECTORIAL DIFERENCIABLE EN EL SISTEMA

CURVILÍNEO ORTOGONAL DE VECTORES BASE wvu eyee , . ENTONCES LA DIVERGENCIA DE ESTE SISTEMA ES:

321

1 vuwuwvwvu

hhw

hhv

hhuhhh

TEOREMA. ROTACIONAL EN COORDENADAS CURVILÍNEAS

SEA wvu ewvuewvuewvu ,,,,,, 321 UNA FUNCIÓN VECTORIAL DIFERENCIABLE EN EL SISTEMA

CURVILÍNEO ORTOGONAL DE VECTORES BASE wvu eyee , . ENTONCES EL ROTACIONAL EN ESTE SISTEMA ES:

wuvvu

vwuwu

uvwwv

ehv

huhh

ehu

hwhh

ehw

hvhh

123123

111

TEOREMA. LAPLACIANO EN COORDENADAS CURVILÍNEAS

SEA wvu ,, UNA FUNCIÓN ESCALAR DIFERENCIABLE DOS VECES Y wvuzzwvuyywvuxx ,,,,,,,,

LAS ECUACIONES DE TRANSFORMACIÓN DE UN SISTEMA COORDENADO CURVILÍNEO ORTOGONAL. ENTONCES, EL LAPLACIANO DE EN ESTE SISTEMA ESTÁ DADO POR:

wh

hh

wvh

hh

vuh

hh

uhhh w

vu

v

wu

u

wv

wvu

12

NOTA. EN ESTAS EXPRESIONES, w

rh

v

rh

u

rh wvu

;; SON LOS “FACTORES DE ESCALA”.

C O P A D I 42

TEOREMAS DE GREEN, STOKES Y GAUSS

TEOREMA DE GREEN

SEA R UNA REGIÓN LIMITADA POR UNA CURVA SIMPLE CERRADA C. SI

x

N

y

MyxNyxM

,,,,, SON FUNCIONES CONTINUAS SOBRE R,

ENTONCES SE CUMPLE QUE:

C R

dAy

M

x

NdyNdxM

FORMAS ALTERNATIVAS DEL TEOREMA DE GREEN

CR

CR

dAFdivNF

dAkFrotrdF

INTEGRAL DE LÍNEA PARA EL ÁREA DE UNA REGIÓN

SI R ES UNA REGIÓN LIMITADA POR UNA CURVA SIMPLE CERRADA C,

ENTONCES EL ÁREA DE R ESTÁ DADA POR:

C

dyxdxyA2

1

TEOREMA DE STOKES

SEA S UNA SUPERFICIE TAL QUE SU PROYECCIÓN SOBRE LOS PLANOS , ,XY XZ YZ SON REGIONES LIMITADAS POR CURVAS SIMPLES CERRADAS. SEA TAMBIÉN zyxFF ,, UN

CAMPO VECTORIAL CONTINUO Y DIFERENCIABLE DOS VECES. Y SUPÓNGASE QUE C ES UNA CURVA SIMPLE CERRADA QUE LIMITA A LA SUPERFICIE S. ENTONCES SE CUMPLE QUE.

CSS

rdFdSNFdSNFrot

DONDE N ES UN VECTOR UNITARIO NORMAL A LA SUPERFICIE S

Y dS ES EL DIFERENCIAL DE ÁREA DE S.

43 Y, SI

kjinykzyxOjzyxNizyxMF coscoscos,,,,,,

ENTONCES ESTE TEOREMA TAMBIÉN SE PUEDE EXPRESAR COMO:

dSMNOMNOdzOdyNdxMS

yxxzzyC coscoscos

TEOREMA DE GAUSS

SI LA FUNCIÓN VECTORIAL

kzyxfjzyxfizyxfzyxF ,,,,,,,, 321 TIENE PRIMERAS DERIVADAS PARCIALES CONTINUAS EN UNA REGIÓN R DEL ESPACIO 3 , LIMITADA POR UNA SUPERFICIE REGULAR S, ENTONCES LA INTEGRAL DE VOLUMEN DE LA DIVERGENCIA DE F DENTRO DE S

ES IGUAL A LA INTEGRAL DE SUPERFICIE EXTERNA DE F SOBRE S, ES DECIR:

RS

dVFdivdSNF

Y, SI

kjiN coscoscos

ES UN VECTOR UNITARIO NORMAL A LA SUPERFICIE S, ENTONCES ESTE TEOREMA TAMBIÉN SE PUEDE EXPRESAR COMO:

RS

dVz

f

y

f

x

fdSfff 321

321 coscoscos

C O P A D I 44

TRANSFORMADAS DE LAPLACE

0; ttf

0dtetfsF st RESTRICCIONES

EN "" s

t (FUNCIÓN DELTA DE DIRAC) 1

1 s

1 0s

ate as

1 as

positivoenterontn ,; 1

!ns

n 0s

positivoenteronet atn ,; 1

! nas

n as

t

1 s

0s

atsen 22 as

a

0s

atcos 22 as

s

0s

atsenh 22 as

a

as

atcosh 22 as

s

as

atsent 222

2

as

sa

0s

att cos 222

22

as

as

0s

atsent 2 322

2232

as

asa

0s

att cos2 322

22 32

as

ass

0s

btseneat 22 bas

b

as

bteat cos 22 bas

as

as

btsenheat 22 bas

b

abs

bteat cosh 22 bas

as

abs

C O P A D I 45

SERIES DE FOURIER

DEFINICIÓN LA SERIE DE FOURIER CORRESPONDIENTE A LA FUNCIÓN f , LA CUAL SE SUPONE DEFINIDA EN EL

INTERVALO Lcxc 2 , DONDE 0Lyc SON CONSTANTES, SE DEFINE COMO:

1

0 cos2 n

nn L

xnsenb

L

xna

a DONDE

Lc

cn

Lc

cn

dxL

xnsenxf

Lb

dxL

xnxf

La

2

2

1

cos1

SI f y 'f SON CONTINUAS EN Lcc 2, SALVO EN UN CONJUNTO FINITO DE PUNTOS, EN LOS QUE

EXISTEN SUS LÍMITES LATERALES, Y SI xf ESTÁ PERIODICAMENTE DEFINIDA CON UN PERIODO DE L2 , O SEA, QUE xfLxf 2 , ENTONCES LA SERIE CONVERGE HACIA xf SI x ES UN PUNTO DE

CONTINUIDAD, Y HACIA 002

1 xfxf SI x ES UN PUNTO DE DISCONTINUIDAD.

FORMA COMPLEJA DE LAS SERIES DE FOURIER

SI SE SUPONE QUE LAS SERIES ANTERIORES CONVERGEN HACIA xf , SE TIENE QUE:

n

Lxinn ecxf / DONDE

0

2

1

02

1

02

1

1

0

/2

na

niba

niba

dxexfL

c nn

nn

LxinLc

cn

IDENTIDAD DE PARSEVAL

1

222

02 2

2

1

nnn

Lc

cba

adxxf

L

FORMA GENERAL DE LA IDENTIDAD DE PARSEVAL

1

002

2

1

nnnnn

Lc

cdbca

cadxxgxf

L

DONDE nnnn dcyba ,, SON LOS COEFICIENTES DE FOURIER QUE CORRESPONDEN

A xgyxf RESPECTIVAMENTE.

46 SERIES DE FOURIER DE ALGUNAS FUNCIONES DE USO FRECUENTE

...5

5

3

3

1

4

01

01 xsenxsensenx

x

xxf

...5

5cos

3

3cos

1

cos4

20

0222

xxx

xx

xxxxf

...

3

3

2

2

1220;

xsenxsensenxxxxf

...

75

6cos

53

4cos

31

2cos42;

xxxxsenxxf

20

0

x

xsenxxf

...

75

6cos

53

4cos

31

2cos2

2

11 xxxsenx

...75

63

53

42

31

28

0cos

0cos xsenxsenxsen

xx

xxxf

...

3

3cos

2

2cos

1

cos4

3;

222

22 xxx

xxxf

...

3

6cos

2

4cos

1

2cos

60;

222

2 xxxxxxxf

...

3

3

2

2

112;

333

xsenxsensenxxxxxxf

...3

3cos3

2

2cos2

1

cos2

20

1

00xsenxsenxsen

x

x

x

xf

47

...5

5

3

3

1

8

0;

0;333

xsenxsensenx

xxx

xxxxf

...

3

33

2

22

1

2;;

222222 xsenxsensenxsen

enteroxxsenxf

...

3

3cos

2

2cos

1

cos

2

12;;cos

2222222 xxxsen

enteroxxxf

122

cos1

2

12;

n

nx

n

nxnsennxxsenhxexf

...

3

33

2

22

1

2;

222222 xsenxsensenxsenh

xxsenhxf

...

3

3cos

2

2cos

1

cos

2

12;cosh

2222222 xxxsenh

xxxf

...

3

3cos

2

2cos

1

cos2ln0;

2

1ln

xxxxxsenxf

...

3

3cos

2

2cos

1

cos2ln;

2

1cosln

xxxxxxf

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formulario COPADI