Formulario de Calculo Vectorial

FORMULARIO DE CLCULO VECTORIAL

Licenciado: Julio Cesar Barreto Garca 1 Materia: Matemtica III

VECTORES:

Norma de un

vector:

uuu nu22

2

2

1

Vector unitario:

u

u

Producto punto o producto escalar:

n

i

nnii vuvuvuvuvu1

2211

Cosenos directores:

1)(cos)(cos)(cos

;)cos(,)cos(,)cos(

222

321

u

u

u

u

u

u

Angulo entre dos

vectores:

vu

vu )cos(

Componente de v a lo largo de u:

)cos()cos( vu

vu

u

vuvcompu

Producto cruz o producto vectorial:

2222 )(

)(

vuvuvu

senvuvu

rea del paralelogramo generado

por u y v: vuA

rea del tringulo

es la mitad del rea

del paralelogramo

generado por u y v

Producto cruz o producto vectorial:

)()()( 212131313232

321

321

uvvukuvvujuvvui

vvv

uuu

kji

vu

Triple producto escalar:

321

321

321

)(

www

vvv

uuu

wvu

Volumen del paraleleppedo generado por u, v, w:

)( wvuV

Volumen de la pirmide inscrita es 1/6 del volumen

del paraleleppedo generado por u, v y w.

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO:

Ecuacin vectorial de la recta: tvrr 0 : donde v es el

vector direccin, r0=(x0,y0,z0) y t es un escalar.

Ecuaciones simtricas de la recta:

0; 3213

0

2

0

1

0

vvvconv

zz

v

yy

v

xx

Ecuaciones paramtricas de la recta:

30

20

10

tvzz

tvyy

tvxx

Ecuacin vectorial del plano: 0)( 0 rrn donde n es

el vector normal al plano, r0 =(x0,y0,z0) y r =(x,y,z).

Ecuacin escalar del plano que pasa por

P0=(x0,y0,z0) y tiene como vector normal a

n =(a,b,c):

0)()()( 000 zzcyybxxa .

Ecuaciones paramtricas del plano:

330

220

110

sutvzz

sutvyy

sutvxx

Distancia de un punto Q a un plano:

222

000)(

cba

dczbyax

n

nPQ

PQcompD n

Distancia de un punto Q a una recta L est dada por: u

uPQ

D

, donde P es un punto cualquiera de la recta.

SUPERFICIES:

Una superficie de revolucin tiene la

ecuacin:

x2 + y2 = [r(z)]2 girando en torno al eje z

y2 + z2 = [r(x)]2 girando en torno al eje x

x2 + z2 = [r(y)]2 girando en torno al eje y

Superficies cuadrticas:

Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + K = 0

Se clasifican en esferas, elipsoides, hiperboloides de una

hoja, hiperboloides de 2 hojas, cilindro elptico o circular

recto, cilindro hiperblico recto, cono recto, paraboloide

elptico, paraboloide hiperblico.



DERIVADAS PARCIALES:

Derivadas parciales de orden superior:

xyxyxy

yyyxxx

ffyx

f

yyxf

xyff

xy

f

xyxf

yx

ffyy

f

yyxf

yff

xx

f

xyxf

x

),(;),(

),(;),(

22

2

2

2

2

Gradiente de z=f(x,y) ),(),( yx ffyxf .

Gradiente de w=f(x,y,z) ),,(),,( zyx fffzyxf

Si F(x,y,z)= z f(x,y)= 0, entonces un vector normal a la superficie z est dado por:

),,(),,( zyx FFFzyxF

La derivada direccional de una funcin z=f(x,y), en la

direccin del vector unitario u=(u1,u2) en el punto (x0,y0)

est dada por: )),(),,((),(

),(),(

000021

0000

yxfyxfuu

yxfuyxfD

yx

u

Si la funcin z=f(x,y), es diferenciable en el

punto (x0,y0) entonces:

dyyxfdxyxfdzz yx ),(),( 0000

La ecuacin del plano tangente a la superficie F(x,y,z)=

0 en el punto P=(x0,y0,z0) est dada por:

0,,),,( 000000 zzyyxxzyxF

Si la superficie es z=f(x,y), la ecuacin del plano

tangente en el punto P=(x0,y0,z0) es: 0,,)1),,(),,(( 0000000 zzyyxxyxfyxf yx

La ecuacin de la recta normal a la superficie

F(x,y,z)= 0 en el punto P=(x0,y0,z0) est dada por:

tzyxFzztzyxFyytzyxFxx zyx ),,(;),,(;),,( 000000000000

Si la superficie es z=f(x,y), la ecuacin de la

recta normal en el punto P=(x0,y0,z0) es:

tzztyxfyytyxfxx yx 0000000 ;),(;),(

Para la superficie z=f(x,y), la diferencial total de z es:

dyy

zdx

x

zdz

REGLA DE LA CADENA (1. Versin) Si z=f(x,y) en donde x=x(t); y=y(t), entonces:

dt

dy

y

z

dt

dx

x

z

dt

dz

REGLA DE LA CADENA (2. Versin)

Si z=f(x,y) en donde x=g1(s,t); y=g2(s,t), entonces:

t

y

y

z

t

x

x

z

t

z

s

y

y

z

s

x

x

z

s

z

;

DERIVACIN IMPLCITA. Si F(x,y,z)= 0, en

donde z=f(x,y), entonces:

z

F

y

F

F

F

y

z

z

Fx

F

F

F

x

z

z

y

z

x

;

CRITERIO DE LAS SEGUNDAS DERIVADAS PARA PUNTOS CRTICOS DE FUNCIONES z=f(x,y).

Sea D= fxx(x0,y0)fyy(x0,y0)- f2

xy(x0,y0), donde (x0,y0) es un punto crtico de z=f(x,y), entonces:

1. f(x0,y0) Es un valor mximo relativo de z=f(x,y) si D>0 y fxx(x0,y0)0 y fxx(x0,y0)>0

3. f(x0,y0) Es un punto silla de z=f(x,y) si D



CAMBIO DE VARIABLE:

dd)dsen())cos(),)sen(sen(),)cos(sen(f(z)dxdydzy,f(x,:ESFERICAS

dzdrdrz)),rsen(),f(rcos(z)dxdydzy,f(x,:SCILINDRICA

drdr))rsen(),f(rcos(y)dxdyf(x,POLARES

2

QS

R Q

R Q

SEA C UNA CURVA (EN EL PLANO O EN EL ESPACIO) DADA POR:

.

)(

)()(

)('

)('')('

)('

)('

)(),(''

''''''

)(

'1

''

)(

)()()()()(

)(

)()()()(

)()()(

)('

)(')(

)('

)(')(

)()()('')(

)(')(

)(')(

:,)()()()(

)()()(

2

3

2322

23

2

2

22

2

2

ESPACIOELEN

CURVASAAPLICANSESOLOSVECTORIALEPRODUCTOSCONFORMULASLASQUERECUERDE

tv

tNtaK

tr

trtr

tr

tTK

ESPACIOELENOPLANOELENCURVATURALAPARAFORMULAS

tyytxxPORDADACyx

xyyxK

xfyPORDADAC

y

yK

PLANOELENCURVATURALAPARAFORMULAS

dt

dsK

tv

tatvatatNtaaNACELERACIOLADESCOMPONENTE

dt

sd

tv

tatvtTtaaNACELERACIOLADESCOMPONENTE

tNtTtBBINORMALVECTOR

tT

tTtNUNITARIOPRINCIPALNORMALVECTOR

tr

trtTUNITARIOTANGENTEVECTOR

tNatTatrtaNACELERACIOVECTOR

trdt

dstvRAPIDEZ

trtvVELOCIDADVECTOR

ENTONCESESPACIOELENCURVAktzjtyitxtr

PLANOELENCURVAjtyitxtr

TN

T

NT

R R

yx dAyxfyxfdS

SUPERFICIELADEAREA

22),(),(1

LONGITUD DE ARCO

b

a

b

a

dttztytxdttrs222

)(')(')(')('

INTEGRAL DE LNEA DE UN CAMPO VECTORIAL (TRABAJO

REALIZADO)

CC

CC

b

aCC

PdzNdyMdxdrFENTONCESktzjtyitxtr

PORDADAVIENECYkPjNiMzyxFFORMALADEVECTORIALCAMPOUNESFSI

NdyMdxdrFENTONCESjtyitxtr

PORDADAVIENECYjNiMyxFFORMALADEVECTORIALCAMPOUNESFSI

dttrtztytxFTdsFdrF

)()()()(

),,(

)()()(

),(

)('))(),(),((



INTEGRAL DE LNEA

C

b

a

C

b

a

dttztytxtztytxfdszyxf

ktzjtyitxtrPORDADAESTACSI

dtjtytxtytxfdsyxf

jtyitxtrPORDADAESTACSI

222

22

)(')(')('))(),(),((),,(

)()()()(

)(')('))(),((),(

)()()(

Sea F(x,y)=Mi + Nj un campo vectorial, F es

CONSERVATIVO si x

N

y

M

SEA F(x,y,z)= Mi + Nj + Pk un campo vectorial, F es

CONSERVATIVO si el ROTOR (O ROTACIONAL) es

nulo, es decir:

0

)(

y

M

x

Nk

z

M

x

Pj

z

N

y

Pi

PNM

zyx

kji

Frot

Sea F(x,y,z)= Mi + Nj + Pk un campo

vectorial. las siguientes conclusiones son

equivalentes:

C

C

CERRADACCURVATODAPARAdrF

CAMINODELNTEINDEPENDIEESdrF

fALGUNAPARAfFESESTOVOCONSERVATIESF

0.3

.2

..1

REA DE UNA SUPERFICIE

PARAMETRICA.

kv

zj

v

yi

v

xrk

u

zj

u

yi

u

xrDONDE

dArrdSSUPERFICELADEAREA

vu

S D

vu

,:

Sea F(x,y)= Mi + Nj un campo vectorial, si F es

CONSERVATIVO, entonces

))(),(())(),(( ayaxfbybxfdrfdrFCC

donde

F(x,y) es una funcin potencial de F, es decir:

),(),( yxfyxF

Sea F(x,y)= Mi + Nj un campo vectorial, la

DIVERGENCIA de F es y

N

x

MyxdivF

),(

Sea F(x,y,z)= Mi + Nj + Pk un campo vectorial, la

DIVERGENCIA de F es z

P

y

N

x

MzyxdivF

),,(

TEOREMA DE GREEN

(O DE GREEN-RIEMAN)

Relaciona una integral doble

extendida a un dominio del plano

con una integral curvilnea sobre

la curva cerrada frontera de ese

dominio.

RC

RRC

RC

dAFdivdsNF

dAkFrotdAy

M

x

NdrF

dAy

M

x

NNdyMdx

)(

)(

TEOREMA DE LA

DIVERGENCIA (DE GAUSS-

OSTROGRADSKI).

Relaciona una integral triple

sobre una regin slida Q, con

una integral de superficie sobre la

superficie de Q

QS

dVFdivdSNF )(

INTEGRALES DE SUPERFICIE

R

vu

S

S D

R

yx

S

S R

yx

yx

vectorialForm adArrFdSNF

escalarForm adSvuzvuyvuxfdSzyxf

aparam tricForm a

arribahacianorm alvectorialForm adAkjyxgiyxgFdSNF

escalarForm adAyxgyxgyxgyxfdSzyxf

dAyxgyxgds

yxgz

)),(),,(),,((),,(

)(),(),(

),(),(1)),(,,(),,(

),(),(1

),(

22

22

TEOREMA DE STOKES (O DEL ROTOR).Establece la relacin

entre la integral de superficie sobre una superficie orientada S y la

integral de lnea sobre una curva espacial cerrada que constituye el

borde de S. SC

dSNFrotdrF ))((

GRADIENTE

nx

xf

x

xfxfgrad 0

1

00 ,,

LAPLACIANO:

2

2

2

1

2

nx

f

x

ff

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