1

2.TRACCIÓN Y COMPRESIÓN

2.1 FUERZAS NORMALES

N=∑P+ ∫ qx dx Donde : P=Cargas concentradasqx=Intensidad de carga distribuida

2.2 ESFUERZOS NORMALES(σ)

σ=NA

Unidades⇒ [ N

m2=Pa];[Ton

m2 ]; [ klb

¿2 ]2.3 DEFORMACIÓN UNITARIA (E)

ℇ= Δ LL⇒ Adimencional

2.4 LEY DE HOOKE

σ=E ⋅E2.5 DEFORMACIÓN ABSOLUTA (Δ L)

Δ L=N ⋅LA ⋅E

= P ⋅LA ⋅E

;área de sección variable⇒ Δ L=∑ ∫N x

Ax ⋅Edx

2.6 ENERGÍA POTENCIAL DE LA DEFORMACIÓN

U = P2⋅L2 ⋅ A ⋅E

;Si la fuerza normal N varía⇒ U=∑ ∫N x

2

2⋅ A ⋅Edx

2.7 DEFORMACIÓN TRANSVERSAL . MÓDULO DE POISSON (μ)

μ=−E lateraló transversal

Elongitudinal

O sea⇒ μ=−E y

Ex

; μ=−E z

Ex

Variaciónunitaria del áreade l seccióntransversal :

σ x=E ⋅E x ;

Δ LAi

=−2 μσE

;Por la Ley de Hooke⇒σ x=E ⋅E x

E x=P

A ⋅E⇒

Δ AA i

=−2 μ ⋅PA ⋅EΔ A=−Ai ⋅2 μ Ex

Para lavariación de volumen :

ΔV =(1−2 μ ) PE

L; En forma general⇒ ΔV =(1−2μ )

E∑ ∫ N x dx

2.8 FORMAGENERAL DE LA LEY DE HOOKE

Deformacióntotal en las direcciones x , y , z :

E x=1E [ σx−μ ( σ y+σ z ) ]

E y=1E [σ y−μ (σ x+σ z ) ]

E z=1E [σ z−μ (σ x+σ y) ]

2.9 CONSIDERACIÓN DEL PESO PROPIO

∆ L= γ ⋅L2

2 ⋅E

Variaciónunitaria devolumen (Ev):

E v=Δvv

=Ex+Ey+E z=(1−2 μ )

E( σ x+σ y+σ z )

SI :

Las deformacinesunitarias en las direcciones x , y , z :

E x=Δ LL

; E y=Δaa

; E z=Δ bb

⟹ ε=σE

2

Procedimiento :1.Planteando las condiciones deequilibrio , sedeterminanlas fuerzas normales queactúan en lasdiferentes barras .2. Aplicando la Ley de Hooke , se calculan las deformacionesaxiales (alargamientos ó acortamientos )de las barras

como si cadauna de ellasestarían aisladas .3.Comoquiera que los elementos a pesar de deformarse no se separan , se plantea las condicionesde compatibilidad

de los desplazamientos ; para lo cual, enun esquema ( lo más amplio posible ) , sedibujan los alrgamientos oacortamientos en las direccionesde cadabarra.

Anec=Nmáx

[σ ]Donde : Nmáx=Fuerza normalmáxima , enabsoluto enla barraque se calcula

Condición : δ ≤ [ δ ]

σ adm=[ σ ]=σ límite

nDonde : σadm=[ σ ]=Tensiónadmisibledel material

n=Factor de seguridad o reservaderesistenciaσ límite=Tensión límite del material

Condición : σmáxima ≤ [ σ ]

2.10 DESPLAZAMIENTOS DE LOS PUNTOS DE SISTEMAS DE BARRAS ARTICULADAS

2.11TENSIONES ADMISIBLES . FACTOR DE SEGURIDAD

2.12 RESISTENCIA Y RIGIDEZ

2.13 SISTEMAS HIPERESTÁTICOS EN TRACCIÓN Y COMPRESIÓN

Procedimiento :1.Planteando todas las condicionesde equilibrio .Se constatará que tieneun mayor número de incógnitas

que ecuaciones .2. Haciendounanálisis dedeformaciones , se determinanlas deformaciones ( alargamientos oacortamientos ) delas barras elásticas en función de las fuerzasnormales incógnitas.3.Se plantean las condicionesde compatibilidad dedesplazamientos , lograndoconformar conjuntamentecon lasecuaciones de laestática un mismo númerode ecuaciones que de incógnitas.

2.14 ESFUERZOS DE ORIGEN TÉRMICO

∆ L=L∙α ∙ Δt Donde : L=Longitud inicial de labarra

α=Coeficiente de dilataciónlineal del material en[ mm℃ ]ó [ 1

℃ ] ∆ t=Variación de temperatura en℃

2.15 ESFUERZOS DE ENSAMBLAJE (MONTAJE )(Δ )

1.Una vezrealizado el ensamblaje y aplicando las condiciones deequilibrio se plantean todaslas ecuacionesposibles , las mismas quecontienen comoincógnitas las fuerzasnormales encada barra.Las ecuaciones planteadas seráninsuficientes pararesolver el problema , puesto que los esfuerzos demontaje

sólo se presenta ensistemasestáticamente indeterminados .

2. Para completar el mismo número deecuaciones que númerode incognitas , se realiza un análisis dedeformaciones enbasea las condiciones decompatibilidad dedespalzamientos , los cuales contienen

también el valor de ∆ del error cometido .

3. Planteadasun mismo número deecuaciones quenúmero de incógnitas , se podráresolver el problema dela determinaciónde fuerzas internas y esfuerzos en todas lasbarras del sistema

Procedimiento :

3

3. ESFUERZOS CORTANTES

3.1 CÁLCULO DELESFUERZO CORTANTE

τ m=V

Acorte

3.2 DEFORMACIÓN POR ESFUERZO CORTANTE

γ=dudy

3.3 ENERGÍA DE DEFORMACIÓN CORTANTE

U ∘=UV

= γ ∙ τ2

Por la Leyde Hooke: U ∘=τ2

2 G;U ∘=

G∙ γ 2

23.4 ESFUERZO DE APLASTAMIENTO (σ apl)

σ apl=P

d ∘tsiendo :d=diámetro deaplastamiento

t=espesor del material τ= P

Acorte

≤ [ τ ] Verificación aCORTE

σ aplas=P

Aaplas

≤ [σ aplas ]Verificación aAPLASTAMIENTO

Equivalencias :

1 GPa=106 KPa=109 Pa1 MPa=103 KPa=106 Pa

1 kg≅ 10 N para; E

4

3.5 VARIACIÓN DE LAS TENSIONES EN FUNCIÓN DE LA OBLICUIDAD DE LA SECCIÓN

σ n=PA

cos2 ϕ

τ= P2 A

sin 2ϕ

⇒

⇒

σ n=σ cos2 ϕ

τ=σ2

sin 2ϕ

Maximizando σ n y τ :

(σ n )máx=σ paraϕ=0 °

τ máx=σ2

para ϕ=45 °

Tensiones σn, y τ ,

σ n, = P

Asen2 ϕ

τ ,=−P2 A

sin 2 ϕ

siendo: σ= PA

⇒σ n+σn

, =σ

τ ,=−τ

3.6 ESTADOTENSIONAL PLANO

σ n=σ x cos2 ϕ+σ y sen2 ϕτ=(σ x−σ y ) sin ϕcos ϕ⇒

⇒σ n=

(σ x+σ y )2

+( σ x−σ y )

2cos2ϕ

τ=( σ x−σ y)

2sin 2 ϕ

τ máx=(σ x−σ y )

2Cuando ϕ=π

4

Magnitudes de las tensionesnormales σn y cortantes τ sobrecualquier plano cuyaorientación estará definida por ϕ .

Maximizando σ n y τ :

(σ n )máx=σ x paraϕ=0°

(σ n )mín=σ y paraϕ=90 °

Tensiones σn, y τ ,

σ n, =

(σ x+σ y )2

−(σ x−σ y )

2cos2 ϕ

τ ,=−( σx−σ y )

2sin 2ϕ

Esfuerzoscomplementarios σn y σn,

σ n+σn, =σ x+σ y ; τ ,=−τ

Ley de RECIPROCIDAD de losesfuerzos cortantes

3.7 DIAGRAMA CIRCULAR DEL ESTADOTENSIONAL(CÍRCULO DE MOHR)

⇒

5

3.8 ESTADOTENSIONAL DE VOLUMEN

σ x>σ y>σ z

σ 1>σ2>σ3

Tensiones principales

−Esfuerzosen planos paralelos al eje III

σ n=(σ1+σ 2)

2+

(σ1−σ2 )2

cos2 α

−Esfuerzosen planos paralelos al eje II

τ=( σ1−σ2 )

2sin 2 α

p=√σn2+τ2=√σ 1

2cos2 α+σ 22 sen2 α

σ 3=0⇒

;

σ n=(σ1+σ 3)

2+

(σ1−σ3 )2

cos2 β

τ=( σ1−σ3 )

2sin 2 β

; p=√σn2+τ2=√σ 1

2cos2 β+σ 32 sen2 β

−Esfuerzos en planos paralelos al eje I

σ 2=0⇒

σ n=(σ2+σ 3 )

2+

(σ 2−σ3 )2

cos2 φ

τ=( σ2−σ3 )

2sin 2 φ

;p=√σn

2+τ2=√σ 22cos2 φ+σ3

2 sen2 φ

σ 1=0⇒

3.9 TENSIONESOCTAÉDRICAS

σ ∘=13

(σ1+σ 2+σ3 )

τ∘=13 √( σ1−σ 2 )2+ (σ2−σ3 )2+(σ 3−σ1 )2

P∘=√ 13

(σ12+σ2

2+σ 32)

U =12

( σ1 ε1+σ2 ε2+σ3 ε3 ) ; U= 12 E [ σ1

2+σ 22+σ3

2−2 μ (σ1 σ2+σ 2σ 3+σ3 σ1 ) ]−La energía potencialunitaria debida a lavariación de la formaes :

U f=1+μ6 E [ ( σ1−σ2 )2+ (σ2−σ3 )2+(σ 3−σ1 )2 ]

−La energía potencialunitaria correspondiente a la variaciónde volumen :

U vol=1−2 μ

6 E(σ 1+σ2+σ3 )2

−La energía potencialunitaria de la deformación alástica vale :

6

3.10CRITERIOS O HIPÓTESIS DE RESISTENCIA :TENSIÓN EQUIVALENTE

1.Criteriode latensiónnormal máximao de RANKINE

σ eqI=σ 1≤ [ σ ] Materiales frágiles⇒

2. Criterio de ladeformación longitudinalmáxima ode SAINT−VENANT

σ eqII=σ 1−μ ( σ2+σ 3) ≤ [ σ ] ⇒ Materiales dúctiles

3. Criterio de latensión tangencial máxima o deTresca

σ eqIII=σ1−σ3=√σ2+4 τ2≤ [ σ ] ⇒ Materiales dúctiles

4. Criterio de laenergía dedistorcióno deVON MISES

σ eqIV=√ 1

2[ (σ1−σ2 )2+(σ 2−σ3 )2+( σ3−σ1 )2 ] ≤ [ σ ] ⇒ Materiales dúctiles

5. Criterio de los estados tensionales límitesde MOHR

σ eqV=σ1−K σ 3 siendo: K=

[ σ trac ][σ com ]

3.11CASO GENERAL DE TENSIÓN EN EL PLANO

σ n=(σ x+σ y )

2+

( σ x−σ y )2

cos2 ϕ−τ xy sin 2 ϕ τ=( σ x−σ y)

2sin 2 ϕ+τ xy cos2 ϕtan2 ϕ=

−2 τ xy

σ x−σ y

Para localizar los planos de máxima y mínima tensiónnormal σn

Los planos de tensiónnormal máxima y mínima son perpendiculares entre sí .

tan2 ϕ s=σ x−σ y

2 τ xy

Localización de los planos de esfuerzoscortantes máximos τmáx

σ máxmín

=σ12

=(σ x+σ y )

2±√( σx−σ y

2 )2

+( τ xy )2 ; τ máx=±√( σ x−σ y

2 )2

+(τ xy )2

σ n+σn, =σ x+σ y τ xy

, =−τ;

3.12 CÍRCULO DE MOHR

7

4. RECIPIENTES DE PARED DELGADA

rmíncur

≥ 10 e Condición derecipientes de pared delgada

4.1 CÁLCULO DE LOS ESFUERZOS DE MEMBRANA σm y σ t

σ t

r t

+σm

rm

= pe

Ecuaciónde ℒ

a¿ Depósito esférico sometido a una presióninternauniforme p :

σ t=σm=pr2 e

b¿Cilindro cerrado con placas en sus extremos y sometido auna presióninternauniforme p :

P=σm 2πxesin αSi P=resultanteaxial de las fuerzas exteriores¿

de la presión y tomando encuenta si es líquido o gas po que provoca a p¿⇒

x=variable

σ m=P

2π r t e cos2 αExpresando xen función dert : ⇒ cos α= x

rt

⇒ x=r t cosα⇒

4.2 CASOS PARTICULARES DE RECIPIENTES DE PARED DELGADA

⇒σ m=σ t

rm=rt=r

σ t

r t

+σm

rm

= pe

0

σ t=pre

↓

Haciendoun corte transversalP=pA=p π r2

∑V =0 ;σ m2πre=pπ r2

↓

σ m=pr2e

5.TORSIÓN

5.1 MOMENTOTORSOR .

1¿ Inducen esfuerzos cortantes⇒ τ=M t ∙ ρ

I p

2¿ Provocandeformaciones⇒φ=M t ∙ L

G ⋅ I p

M t=∑ M+∑∫mdxDonde :∑ M=Sumatoriade momentos de los pares de fuerzas exterioresconcentradas .

m=Intensidad de momentos distribuidos enla derecciónlongitudinal de labarra .

P=M ∙ n

M (kg−cm )=71620P [ cv ]

n [r . p .m ]

Cuando un árbol gira avelocidad n trasmitiendo cierta potenciael M t ,sedetermina de la siguiente relación . ⇒

M= Pϖ

= Nϖ

; Relación entre elmomento M [ N ∙ m ] , la velocidad angular ϖ [ rad /s ]

M=71620Pn

enel SI

Relación entreel M del par de fuerzasen [ kg ∙ cm ] ,el número der . p .m n y , la potencia N .

⇒ P [ cv ]

Convenciónde signos :

M t ¿

8

M=97360Pn

⇒ P [ kw ]

5.2 FÓRMULA DE LA TORSIÓN .

M t=τ ∙ I P

ρFórmula de latorsión . Despejando τ ; τ=

M t ⋅ ρ

I P⇒

Esfuerzo cortante máximo : τ máx=M tmáx

⋅r

I P

Llamando a :I P

r=W P=Módulo polar deresistencia de sección circular : τ máx=

M tmáx

W P

⇒

Para dimensionamiento : τ máx=M tmáx

⋅d

2 ⋅ I P

≤ [ τ ]

5.3 ÁNGULO DE TORSIÓN .(φ)

En ; [kg/m2 ]

φ=Mt ⋅L

G ⋅ I p

Para un M t constante .

Generalizada : Silabarra tienevarios tramosen los que M t varía segúnuna u otraley : φ=∑∫

Mt x⋅dx

G ⋅ I Px

5.4 ENERGÍA DE DEFORMACIÓN PO TORSIÓN .

U=M t

2 ⋅L2 ⋅G ⋅ I P

Para M t constante . U=∑∫M t x

2 ⋅dx

2 ⋅G ⋅ I Px

Generalizada :

5.5 TORSIÓN DE BARRAS DE SECCIÓN NO CIRCULAR.

τ A=τmáx=M tmáx

W tor

Donde :W tor=β ⋅b3

τ B=γ ⋅τ máx

φ=M t ⋅L

G⋅ I tor

Donde : Itor=α ⋅b4

Siendoα ,β , γ coeficientes y dependende la fracciónhb

y vienentabulados ( APÉNDICE1 Miroliubov )

Hipótesis de secciones planas

I P=π

32d4= π

32(2 r )4=π

2r4 Parauna sección circular deradio r ó diámetrod .

I P=π

32( D4−d4 ) Sección tubular grueso

Donde :W P=I P

r=π ⋅r3

2=π ⋅ d3

16

Energía :U=∑∫M tx

2

2 ⋅G⋅ I tor x

dx

9

5.6 RESISTENCIA Y RIGEDEZ

τ máx=M máx

W tor

≤ [ τ ] Condiciónde resistencia.

φ=Mt máx ⋅L

G ∙ I tor

≤ [ φ ] Condición de rigidez .

Secciónno circular .