Formulario Primer Parcial de Matemáticas Actuariales II. EECA UCV

UCV - EECA Matemática Actuarial II 1° Parcial

Estados de Vida al Primer Fallecimiento - Estados de Vida al Ultimo Fallecimiento - Estados Generales de Vidas Múltiples

La Probabilidad de que una persona de edad "x" fallezca

entre la edad "x" y "x+t"

②

F U N C I O N E S E L E M E N T A L E S

Se refiere a un conjunto de vidas que desean contratar un beneficio y se dice que existe dependiendo del número de miembros que estén con vida. Se dice que el estado no existe o desaparece al ocurrir un determinado número de muertes. Existen varios tipos de Estados: Estados de Vida al Primer Fallecimiento, Estados de

Vida al Ultimo Fallecimiento y Estados de Vida Múltiples.

Tasa Instantánea

de Mortalidad

La Probabilidad de que una persona de edad "x" llegue

con vida a la edad "x+t"

①

④

③ La Probabilidad de que una persona de edad "x" fallezca

entre las edades "x+s" y "x+s+t"

⑤

⑴

C O N M U T A T I V O S

Esperanza Completa de

Vida

⑥Esperanza Incompleta (o Abreviada) de Vida

Conmutativos para Beneficios por Muerte

ó

Conmutativos para Beneficios por Supervivencia

⑴Ninguno de Los Símbolos No expresa una definición o

característica en particular.

⑵ ó

⑶ ó ⑶ ó

⑵

Una anualidad que paga 1 u.m. durante "n" años

mientras "x" este con vida

⑴

⑵

⑶

Ninguno de Los Símbolos No expresa una definición o característica en particular.

Un Seguro que paga 1 u.m. al final del año de la muerte de "x"

Un Seguro que dura "n" años y paga 1 u.m. al final del año

de la muerte de "x".

⑸

Beneficios Continuos

Un Seguro que paga 1 u.m. al final del año de la muerte de "x"; durante "n" años o si "x" llega con vida a la edad "x+n"

Una anualidad que paga 1 u.m. mientras "x" este con vida

Una anualidad que paga 1 u.m. durante "n" años

mientras "x" este con vida

P R I N C I P A L E S B E N E F I C I O SBeneficios por Supervivencia Beneficios por Muerte

⑴

⑵

Un Seguro que paga 1 u.m. si "x" llega con vida a la edad "x+n"

⑶

Una anualidad que paga 1 u.m. mientras "x" este con vida

Un Seguro que paga 1 u.m. al instante de la muerte de "x"

Un Seguro que paga 1 u.m. al instante de la muerte de "x"; durante "n" años

⑷

⑸

⑷

Not

a:

'( )x xx

x

dLn l ldx l

μ − −= =

xμ

t xpx t

t xx

lpl+= 1t x t xp q= − . .

x t tdz dsz x s

x ot xp e e

μ μ+

− − +∫ ∫= =

.s t x s x t x sp p p+ +=

t xqx x t t x

t xx x

l l dql l

+−= = 1t x t xq p= −

. .

1 1

x t tdz dsz x s

x ot xq e e

μ μ+

− − +∫ ∫= − = −

/x s x s t t x s

s t xx x

l l dql l

+ + + +−= = / .s t x s x t x sq p q += /s t x s x s t xq p p+= −

/s t xq

0xe 0

0 0

. . . .x t x x t t xe t p dt p dtμ∞ ∞

+= =∫ ∫0

0. 1xx x

de edx

μ= − ( )0 12x xe e +

11

x t x t xt o t

e p p∞ ∞

+= =

= =∑ ∑xe

. xx x iD l V=

0x x t

tN D

∞

+=

= ∑ x u x tt u

N D∞

+ +=

=∑

x u x tt u

S N∞

+ +=

= ∑

1. x tx t x t iC d V + ++ +=

0x x t

tM C

∞

+=

= ∑ x u x tt u

M C∞

+ +=

=∑

0x x t

tS N

∞

+=

=∑0

x x tt

R M∞

+=

= ∑ x u x tt u

R M∞

+ +=

= ∑

0

. .t

t x t x x tq p dtμ += ∫

1:

. x nnn x i

x n x

DA p VD

+= =

0

. xtx t x i

t x

Na p VD

∞

=

= =∑

1/

0

. xtx t x i

t x

MA q VD

∞+

=

= =∑1

11 /: 0

.n

x x ntt x i

x n t x

M MA q VD

−++

=

−= =∑

1 1:: :

x n x x nx n

x n x n x

D M MA A AD

+ ++ −= + =

1

:0

.n

x x ntt x ix n

t x

N Na p VD

−+

=

−= =∑

0

. .tx t x ia p V dt∞

= ∫

:0

. .n

tt x ix na p V dt= ∫

0

. . tx t x x t iA p Vμ

∞

+= ∫

1: 0

. .n

tt x x t i

x nA p Vμ += ∫

( ) .t xt x x t

p pt

μ +−∂

=∂

( )x tx t

dLn ldt

μ ++

−=

Elaborado por: Eder Nunes


⑸ ⑸

E S T A D O S D E V I D A A L P R I M E R F A L L E C I M I E N T O

Existe Desaparece Supuestos Básicos

Supongamos un estado compuesto por "m" vidas (x 1,x2,…,xm)

← (Supuesto de Independencia)

⑶

⑷

La Mortalidad está condicionada según la edad (vitalidad); es decir al aumentar la edad disminuye "μx" y existe Factores externos ajenos a la edad que afectan la mortalidad "A".

x ≥ 0 ; B > 0 ; C > 1 ; A > -B

⑴ ⑵

⑶

⑷

x ≥ 0 ; B > 0 ; C > 1

⑴ ⑵

M O D E L O S D E S U P E R V I V E N C I ALey de Gompertz (1.825) Ley de Makeham (1860)

La Mortalidad está condicionada según la edad (vitalidad); es decir al aumentar la edad disminuye "μx".


①La Probabilidad de que el Estado exista al cabo

de "n" años

Not

a:

Existe mientras todos los miembros estén con Vida

Desaparece al ocurrir la Primera MuerteIndependencia entre la Sobrevivencia de las vidas que

componen el Estado

③La Probabilidad de que al menos una de las vidas del estado muera (o el estado se extinga) entre los años "n" y "n+t"

②N

ota:

La Probabilidad de que ocurra al menos una muerte dentro de "n"

años; o que el estado se extinga en los próximos

"n" años.

④Tasa Instantánea

de Mortalidad

⑤Esperanza

Incompleta de Vida


...1 2n mx x xp1 2

...1 2 1 21 2

. ... . .... ...

n n m nn n n n mm

m

x x xx x x x x x

x x x

l l lp p p pl l l+ + += =

( )... ...1 2 1 2 1 21 1 . ...n n n n n mm mx x x x x x x x xq p p p p= − = −

...1 2n mx x xq

( )1 2: : ... : mx x x

/ ... ... : :..: ... ...1 2 1 2 1 2 1 2 1 2.n t n t n n n n n tm m m m mx x x x x x x x x x x x x x xq p q p p+ + + += = −/ ...1 2n t mx x xq

1 2: :..:t t tmx x xμ + + +

1 2

0... ... : :..: ...1 2 1 2 1 2

0 0

. . . .t t tmt tm m mx x x x x x x x x x x xe t p dt p dtμ + + +

∞ ∞

= =∫ ∫0...1 2 mx x xe

... : :...:1 2 1 2n nm mx x x x x xq q=

... : :...:1 2 1 2n nm mx x x x x xp p=

0...1 2 mx x xe ... 1 ... ...1 2 1 2 1 2

1t tm m m

t o tx x x x x x x x xe p p

∞ ∞

+= =

= =∑ ∑

. xx B Cμ =

1( )( )

x

x

Ln pCLn p

+= ( ). ( ).( 1)

xx

Ln p Ln CBC C

−=

−

.( 1) ( );B

x tC C Ln Ct xp g g e

−−= =

.( 1) ( )1 ;B

x tC C Ln Ct xq g g e

−−= − =

. xx A B Cμ = +

1 2

1

( ) ( )( ) ( )

x x

x x

Ln p Ln pCLn p Ln p

+ +

+

−=

−( )1

2

( ) ( ) . ( ).( 1)

x xx

Ln p Ln p Ln CB

C C+−

=−

1 ( )0 . ;

BxC Ln C

xl l g g e−

−= =

1.( )( )

x xx

BA Ln p C CLn C

+⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟

⎝ ⎠

.( 1) ( ). ;B

x tt C C ALn Ct xp S g g e S e

−− −= = ∧ =

.( 1) ( )1 . ;B

x tt C C ALn Ct xq S g g e S e

−− −= − = ∧ =

1 21 2 1 2

: :..:: :..:

( ) ...mm m

t t tt t t t t t

x x xx x x x x x

dLn ldt

μ μ μ μ+ + ++ + + + + +

−= = + + +

....: .: :1 20

...21

udtx t x t x tm

t x x xmp eμ μ μ− + + +∫

=

... ... : :2 2 1 21 10

. : ... : .u

t x x x t x x x x t x t x tm m mq p dtμ μ μ+ + += ∫



⑴⑵⑶

⑶

⑷

⑶

⑷ Con

tinuo

s

Dis

cret

osC

ontin

uos

Beneficios con GompertzBeneficios por Supervivencia Beneficios por Muerte

⑴

Dis

cret

os

⑵

⑴

⑵

Supongamos un Estado compuestos por dos vidas de edades: (x : x+n) → (w) (Nota: En Gompertz w > x + n > x)w = x + t ; t > nCw = C x + C x+n

Cx+t = C x + C x+n

Análogamente y suponiendo "m" vidas

→

⑶

w = Edad Actuarial

Ley de Envejecimiento Uniforme con GompertzSupuestos para la Edad Actuarial (w): 1.- Cada vida se ajusta a un patrón de mortalidad que sigue la Ley de Gompertz. 2.- Los Parámetros del Modelo se ajustan para todas las vidas.

L E Y G O M P E R T Z

⑴

⑵

⑴

⑵

Beneficios ContinuosBeneficios Discretos

⑴

⑵

Un Seguro que paga 1 u.m. al final del año de la muerte (caso discreto) o al instante de la muerte (caso continuo), de alguna de las vidas que componen el estado

Beneficios por Muerte

NO

TA

Una Anualidad que paga 1 u.m. durante "n" años, mientras todas las vidas que componen el estado estén con vida

Una Anualidad que paga 1 u.m. mientras todas las vidas que componen el estado estén con vida

Un Seguro que paga 1 u.m. al final de "n" años si todas las vidas que componen el

estado sobreviven los "n" años.

⑴ ⑵

⑶

M O D E L O S D E S U P E R V I V E N C I A P A R A E S T A D O S D E V I D A A L P R I M E R F A L L E C I M I E N T O

Beneficios por SupervivenciaBeneficios Discretos Beneficios Continuos

⑴

Un Seguro que dura "n" años y paga 1 u.m. al final del año de la muerte (caso discreto) o al instante de la muerte (caso continuo), de alguna de las vidas que componen el estado

⑴

⑵ ⑵

P R I N C I P A L E S B E N E F I C I O S P A R A E S T A D O S D E V I D A A L P R I M E R F A L L E C I M I E N T O

1 2

1 2 1 2

1 2

: :..:: :..: : :..:

0 : :..:

. m

m m

m

tt i

t

x x xx x x x x x

x x x

Na p VD

∞

=

= =∑

1 2 1 2

1 21 2

1 2

1: :..: : :..:

: :..:: :..: :0 : :..:

. m m

mm

m

nn n nt

t int

x x x x x xx x xx x x

x x x

N Na p VD

−+ + +

=

−= =∑ 1 21 2 : :..:: :..: :

0

. .mm

nt

t in x x xx x xa p V dt= ∫

1 2 1 2: :..: : :..:

0

. .m m

tt ix x x x x xa p V dt

∞

= ∫

1 2

1 2

1 2 1 2

: :..:1 : :..:

: :..: : : :..:

. m

m

m m

n n nnn i

n

x x xx x x

x x x x x x

DA p VD+ + += =

()

12

12

12

...

::..:

::..:

.m

mm

mi

xx

x

xx

xx

xx

Dl

V+

++

=

1 2

1 2 1 2

1 2

: :..:1: :..: / : :..:

0 : :..:

. m

m m

m

tt i

t

x x xx x x x x x

x x x

MA q VD

∞+

=

= =∑

1 2 1 2

1 2

1 2 1 2

1: :..: : :..:1

1 / : :..:: :..: : 0 : :..:

. m m

m

m m

nn n nt

t in t

x x x x x xx x x

x x x x x x

M MA q VD

−+ + ++

=

−= =∑

1 2 1 2: :..: ...m mt t t t t t wx x x x x xμ μ μ μ μ+ + + + + += + + +

( ) 1 21 2: : ... : ( ) ... mw x x x

mx x x w C C C C→ ∧ = + + +

1 2 ... mw x x xC C C C= + + +

( 1)( )

nLn CtLn C

+=

1 2

1

: :..: : :0

.m

nt

t w in w nt

x x xa a p V−

=

=∑

1 2: :..:0

.m

tw t w i

tx x xa a p V

∞

=

= ∑

1 2: :..:0

. .m

tw t w ix x xa a p V dt

∞

= ∫

1 2: :..: : :0

. .m

nt

t w in w nx x xa a p V dt= ∫

1 2

1: :..: /

0

.m

tw t w i

tx x xA A q V

∞+

=

=∑

1 2

11

1 1 /:: :..: : 0

.m

nt

t w iw nn tx x x

A A q V−

+

=

=∑

1 2

1 1:: :..: : 0

. . .m

nt

t w w t iw nnx x x

A A p V dtμ += ∫

1 2: :..:

0

. . .m

tw t w w t ix x xA A p V dtμ

∞

+= ∫

( ) ( ) ( )1 2

1 2

... . 1 . 1 ( ): :..: ;

m

m

Bx x x t w tC C C C C C Ln Ct t wx x xp g g p g e

−+ + + − −

= ≅ = =

( ) ( ) ( )1 2

1 2

... . 1 . 1 ( ): :..: 1 1 1 ;

m

m

Bx x x t w tC C C C C C Ln Ct t wx x xq g g p g e

−+ + + − −

= − ≅ − = − =

( )1 2 11 ...

( )

mn n nLn C C Ct

Ln C

−⎡ ⎤+ + + +⎣ ⎦=

()

...1

21

::...

::

:...:

12

12

.x

xx m

mx

xx

xx

xi

mm

Cd

V+

++

+=

1 2 1 2 1 2: :..: : :..: : :..:

0

. . .m m m

tt t t t ix x x x x x x x xA p V dtμ

∞

+ + += ∫

1 2 1 2

1 2

1 : :..: : :..:: :..: : 0

. . .m m

m

nt

t t t t in

x x x x x xx x x

A p V dtμ + + += ∫



⑴⑵⑶

(El Seguro Paga cuando muere el Primero)

(El Seguro Paga cuando muere el Primero)⑵

Pros

pect

ivo

Res

erva

s Te

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Ret

rosp

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o

P R I M A S A N U A L E S Y R E S E R V A S T E R M I N A L E S P A R A E S T A D O S D E V I D A A L P R I M E R F A L L E C I M I E N T O

⑴

Prim

as A

nual

es

⑶

Con

tinuo

s ⑶

Con

tinuo

s

⑷ ⑷

⑴

Dis

cret

os

⑴D

iscr

etos

⑵ ⑵

Beneficios con MakehamBeneficios por Supervivencia Beneficios por Muerte

Cx+t + C x+t = C x + C x+n

Análogamente y suponiendo "m" vidas

→

Supuestos para la Edad Actuarial (w): 1.- Cada vida se ajusta a un patrón de mortalidad que sigue la Ley de Makeham. 2.- Los Parámetros del Modelo se ajustan para todas las vidas.

Supongamos un Estado compuestos por dos vidas de edades: (x : x+n) → (w : w)w = x + t ; t > nCw + C w = C x + C x+n

⑴

⑵

⑶

Ley de Envejecimiento Uniforme con Makeham

L E Y M A K E H A M

w = Edad Actuarial

M O D E L O S D E S U P E R V I V E N C I A P A R A E S T A D O S D E V I D A A L P R I M E R F A L L E C I M I E N T O

( ) 1 21 2: : ... : ( : :... : ) . ... mw x x x

mm vidas

x x x w w w m C C C C− −

→ ∧ = + + +

( ) ( ) ( )1 2

1 2

... . 1 . . 1. . ( ): :..: : :...:. . ;

m

m

Bx x x t w tC C C C m C Cm t m t ALn Ct t w w wx x xp S g S g p g e S e

−+ + + − − −= ≅ = = ∧ =

( ) ( ) ( )1 2

1 2

... . 1 . . 1. . ( ): :..: : :...:1 . 1 . 1 ;

m

m

Bx x x t w tC C C C m C Cm t m t ALn Ct t w w wx x xq S g S g p g e S e

−+ + + − − −= − ≅ − = − = ∧ =

1 2 1 2: :..: : :...:... .m mt t t t t t w w w wx x x x x x mμ μ μ μ μ μ+ + + + + += + + + =

1 2. ... mw x x xmC C C C= + + +

( 1) (2)( )

nLn C LntLn C+ −

=

1 2: :..: : :...: : :...: : :...:0

. . .m

tw w w t w w w w t w t w t ix x xA A p V dtμ

∞

+ + += ∫

1 2 : :...: : :...:: :..: : : :...: :0

. . .m

nt

t w w w w t w t w t in w w w nx x xA A p V dtμ + + += ∫

1 2: :..: : :...: : :...:0

. .m

tw w w t w w w ix x xa a p V dt

∞

= ∫

1 2 : :...:: :..: : : :...: :0

. .m

nt

t w w w in w w w nx x xa a p V dt= ∫

1 2: :..: : :...: : :...:0

.m

tw w w t w w w i

tx x xa a p V

∞

=

= ∑

1 2

1

: :...:: :..: : : :...: :0

.m

nt

t w w w in w w w nt

x x xa a p V−

=

=∑1 2

11

1 1 / : :..:: :..: : : :...: : 0

.m

nt

t w w w in w w w n tx x x

A A q V−

+

=

= ∑

1 2

1: :..: : :...: / : :..:

0

.m

tw w w t w w w i

tx x xA A q V

∞+

=

= ∑

( )1 2 11 ... ( )

( )

mn n nLn C C C Ln mt

Ln C

−⎡ ⎤+ + + + −⎣ ⎦=

1 2

1 2 1 2

1 2

: :..:: :..: : :..:

: :..:

. m

m m

m

x x xx x x x x x

x x x

AA P a Pa

= ⇒ =

( ) 1 2 1 2

1 2

: :..: : :..:: :..:

. ;0 ; . . .

m m

m

si todos vivent t t t t tpt

x x x x x xx x x

A P aV A

c o c+ + + + + +−⎧

= ⎨⎩

1 2

1 21 2 1 2

1: :..: :

1 : :..: :: :..: : : :..: :

. m

mm m

nn

n n

x x xx x x

x x x x x x

AA P a P

a= ⇒ =

( )1 2 1 2

1 21 2 1 2

1: :..: : : :..: :

1 1: :..:: :..: : : :..: :

.;

0 ; . . .

m m

mm m

si todos vivent t

rt

t t

x x x x x x

x x xx x x x x x

AP aA AV A

c o c

⎧⎪ −⎪= ⎨⎪⎪⎩



Prim

a An

ual

Res

erva

Ter

min

al

P R I M A S A N U A L E S Y R E S E R V A S T E R M I N A L E S P A R A E S T A D O S D E V I D A A L U L T I M O F A L L E C I M I E N T O

Supongamos un Estado de dos vidas de Edades (x : y)

⑴

Beneficio por Muerte

⑵

Ejemplo: Dos Vidas (x : y) Caso Continuo

Ejemplo: Dos Vidas (x : y) Caso Continuo

Nótese que:

P R I N C I P A L E S B E N E F I C I O S P A R A E S T A D O S D E V I D A A L U L T I M O F A L L E C I M I E N T OBeneficio por Supervivencia

⑤Esperanza

Incompleta de Vida


③

④

Supongamos un estado compuesto por "m" vidas (x 1,x2,…,xm)

①La Probabilidad de que el Estado sobreviva a los "n"

años

Tasa Instantánea de Mortalidad

La Probabilidad de que el estado desaparezca (o el estado se extinga) entre los años "n" y "n+t"

②La Probabilidad de que el

estado desaparezca en los próximos "n" años

← (Supuesto de Independencia)

Nótese que:


Supuestos BásicosExiste mientras todos los miembros estén con

VidaDesaparece al ocurrir la Primera Muerte

Independencia entre la Mortalidad de las vidas que componen el Estado

E S T A D O S D E V I D A A L U L T I M O F A L L E C I M I E N T O

Existe Desaparece

1 2: :..:t t tmx x xμ + + +1 2

1 2 1 2

: :..:: :..:

( ) ...mm m

t t tt t t t t t

x x xx x x x x x

dLn ldt

μ μ μ μ+ + ++ + + + + +

−= = + + +

( )1 2: : ... : mx x x

1 21 2 1 2: :..: : :..:1 1 ( . ... )mm mn n n n nx x xx x x x x xp q q q q= − = −

1 21 2: :..: . ... mmn n n nx x xx x xq q q q=

/ / / /n t n t x n t y n t xyxyq q q q= + −

n n x n y n xyxyp p p p= + −

1... ... ...1 2 1 2 1 21

t tm m mt o t

x x x x x x x x xe p p∞ ∞

+= =

= =∑ ∑

: x y xyx ya a a a= + −

: x y xyx yA A A A= + −

1 2 1 2: :..: : :..:0

. .m m

tt ix x x x x xa p V dt

∞

= ∫

: x y xyx yA A A A= + −

:: :

:

. x y x y xyx y xyx y xy x y xy

x y xyx y

A A A AA P a P P P Pa a a a

+ −= ⇒ = = ≠ + −

+ −

( ) ( )

( )

( )

: :. ;. ;. ;

0 ; . . .

si x y y viven

si sólo vive x

si sólo vive y

x t y t xy x t y t

x t x txypt xy

y t y txy

A P aA P a

VA P a

c o c

+ + + +

+ +

+ +

−⎧⎪ −⎪= ⎨ −⎪⎪⎩

...1 2n x x xmp

...1 2n x x xmq

/ ...1 2n t x x xmq

0...1 2x x xm

e

...1 2x x xme

: : :1 2 1 2 1 2/ :...: :...: :...:m m mn t n n tx x x x x x x x xq p p+= −

: :1 2 1 2

0:...: :...:

0

.m mtx x x x x xe p dt

∞

= ∫

1 2: :1 2 1 2

1: : :...::...: :...:

0 1 1 1

. ... ( 1) .i i j mm m

m m mt m

t i x x x x x xx x x x x xt i i j

i j

p Va a a a∞

+

= = = =≠

= = − + + −∑ ∑ ∑∑

1 2: :1 2 1 2

1 1/ : : :...::...: :...:

0 1 1 1

. ... ( 1) .i i j mm m

m m mt m

t i x x x x x xx x x x x xt i i j

i j

q VA A A A∞

+ +

= = = =≠

= = − + + −∑ ∑ ∑∑



⑴ ⑴⑵ ⑵⇒ ⇒

∙

∙

②

E S T A D O S G E N E R A L E S D E V I D A M U L T I P L E

Paga mientras vivan (x ∨ y) ∧ (z ∨ w)

Paga si mueren (x ∧ y) ∨ (z ∧ w)

Paga mientras vivan (x ∧ y) ∧ (z ∨ w)

Paga si mueren (x ∨ y) ∨ (z ∧ w)∙ ∙

②

∙ Paga mientras vivan (x ∧ y) ∧ (z ∨ w)

Paga si mueren (x ∨ y) ∧ (z ∧ w)

∙

∙

∙

Paga mientras vivan (x ∧ y) ∨ (z ∧ w)

Paga si mueren (x ∨ y) ∧ (z ∨ w)

D E S A R R O L L O D E S A R R O L L O

① ①

E S T A D O S C O M P U E S T O SCASO I "Estados Compuestos al Ultimo Fallecimiento" CASO II "Estados Compuestos al Primer Fallecimiento"

Sean (u) y (v) estados tales que:

(uv) "Estado Compuesto al Ultimo Fallecimiento"

Sean (u) y (v) estados tales que:

(uv) "Estado Compuesto al Primer Fallecimiento"

(u) y (v) Son Estados al Primer Fallecimiento(u) es al Primer Fallecimiento y (v) al Ultimo Fallecimiento o viceversa

(u) y (v) Son Estados al Ultimo Fallecimiento(u) es al Primer Fallecimiento y (v) al Ultimo Fallecimiento o viceversa

Existe Desaparece Existe Desaparece

La Probabilidad de que exactamente "r" de las "m" vidas del Estado sobrevivan a los "n" años.

①

Mientras vivan al menos "r" de las "m" vidas

Cuando ocurre la muerte número (m - r + 1)

Mientras vivan exactamente "r" de las "m" vidas

Mientras No vivan exactamente "r" de las "m" vidas

F U N C I O N E S E L E M E N T A L E S F U N C I O N E S E L E M E N T A L E S

C A S O S C A S O S

Ejemplo: Ejemplo:

①La Probabilidad de que al menos "r" de las "m" vidas del Estado sobrevivan a los "n" años.

⑴Estados de Vida al

Primer Fallecimiento

⑵Estados de Vida al

Ultimo Fallecimiento

⑵

⑴

②La Probabilidad de que almenos "r" de las "m" vidas del estado mueran en los próximos "n" años.

② NO EXISTE

③La Probabilidad de que al menos "r" de las "m" vidas del estado mueran entre los años "n" y "n+t"

P R I N C I P A L E S B E N E F I C I O S P A R A E S T A D O S G E N E R A L E S D E V I D A M U L T I P L EBeneficio por Supervivencia

①Anualidad que paga mientras estén con vida al menos "r" de las "m" vidas del estado

②Anualidad que paga mientras estén con vida exactamente "r" de las "m" vidas del estado

Beneficio por Muerte

①Un Seguro que paga al ocurrir la muerte número (m - r + 1)

Z2 = npwy + npwz + npyz Z3 = npwyz Z2 = npwy + npwz + npyz Z3 = npwyz

Nótese que:

⑴Supongamos un Estado (w:y:z);

entonces:⑵

( )[ ( ) ( ) ( ) ( ) ] ( ) :u xy v zw uv xy zw= ∧ = ⇒ =

:uv xy zwa a=

:uv xy zwA A=

( ) ( )[ ( ) ( ) ( ) ] ( ) :u xy v zw uv xy zw= ∧ = ⇒ =

:uv xy zwa a=

:uv xy zwA A=

( ) ( ) ( )[ ( ) ( ) ] ( ) :u xy v zw uv xy zw= ∧ = ⇒ =

( ) ( ) ( )[ ( ) ( ) ] ( ) :u xy v zw uv xy zw= ∧ = ⇒ =

:uv xy zwa a=

:uv xy zwA A=

:uv xy zwa a=

:uv xy zwA A=

1 2: : ...:r

mx x x⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

[ ]

1 2: : ... :r

mx x x⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

...1 2n r

mx x xp [ ]

...1 2

n rmx x x

p

1 2: :...:...1 2

1( 1) ;

i i is

ms r

n r s s t x x xm s rx x x

sp Z Z p

s r−

=

−⎛ ⎞= − =⎜ ⎟−⎝ ⎠∑ ∑ [ ] 1 2: :...:

...1 2

( 1) ;i i is

ms r

n s s t x x xrs rmx x x

sp Z Z p

s r−

=

⎛ ⎞= − =⎜ ⎟−⎝ ⎠∑ ∑

...1 2...1 2

n r n mm

x x xx x x

Si r m p p= → =

...1 2...1 2

1 n r n mm

x x xx x x

Si r p p= → =[ ] ( ) ( )1 2

...1 2

( ... ) 1r m rm n n x n xr

mx x x

mSi x x x p p p

r−⎛ ⎞

= = = → = −⎜ ⎟⎝ ⎠

[ ] ( ) ( )1 11 2...1 2

( ... ) . ... .m mm n n x n x n x n xr

mx x xSi x x x p p t q p t q≠ ≠ ≠ → = + +

...1 2n r

mx x xq

... ...1 2 1 21n r n r

m mx x x x x xq p= − [ ]

...1 2

n rmx x x

q

( ) ( ) ( )1 .r m r mn x n x n x n x

mp p p t q

r−⎛ ⎞

− = +⎜ ⎟⎝ ⎠

/...1 2

n t rmx x x

q /... ... ...1 2 1 2 1 2

n t r n r n t rm m mx x x x x x x x x

q p p+= −

...1 2r

mx x xa

1 2: :...:... ...1 2 1 20

1. ( 1) ;

i i is

mt s r a a

r t r i s s x x xm mt s rx x x x x x

sa p V Z Z a

s r

∞−

= =

−⎛ ⎞= = − =⎜ ⎟−⎝ ⎠∑ ∑ ∑

[ ] [ ] 1 2: :...:0... ...1 2 1 2

. ( 1) ;i i is

mt s r a a

t i s s x x xr rt s rm mx x x x x x

sa p V Z Z a

s r

∞−

= =

⎛ ⎞= = − =⎜ ⎟−⎝ ⎠∑ ∑ ∑[ ]

...1 2r

mx x xa

...1 2r

mx x xA

2

2

awy wz yz

Awy wz yz

Z a a a

Z A A A

= + +

= + + ... ...1 2 1 21 .r r

m mx x x x x xA d a= −

32

2 2 32

1( 1) 2.

2s

n swyz s

sp Z Z Z

s−

=

−⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟−⎝ ⎠∑ [ ]

32

2 322

( 1) 3.2

sn s

swyz

sp Z Z Z

s−

=

⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟−⎝ ⎠∑

:1 2

:1 2

:...::...:

1( 1) ;

m

m

ms r A A

r s s x x xx x x s r

sZ Z A

s rA −

=

−⎛ ⎞= − =⎜ ⎟−⎝ ⎠∑ ∑


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Formulario Primer Parcial de Matemáticas Actuariales II. EECA UCV