FACILITADOR: BLADIMIR ARIAS

FORMULARIO DE CÁLCULO IIGEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO

VECTOR = ( , , )Punto final= −

Punto inicial

Norma (magnitud, módulo)|| || = + + Vectores paralelos y= , ∈ Vectores ortogonales y° = 0Producto escalar= ( , , )= ( , , )° = + +

Producto vectorial = ( , , ) = ( , , )= × = = , − ,Proyección ortogonal= = ( °| | ) Angulo entre dos vectores° = ‖ ‖‖ ‖ cos‖ × ‖ = ‖ ‖‖ ‖ sin Vector unitario de= 1‖ ‖

La ley del paralelogramo +− Área = ‖ × ‖ Vector bisectriz entre y = ‖ ‖ + ‖ ‖ =‖ ‖ ‖ ‖‖ ‖‖ ‖

Volumen paralelepípedo = ° × ; Volumen tetraedro = ° ×FAMILIA DE PLANOS ( HAZ DE PLANOS) ( + + + ) + ( + + + ) = 0

LA RECTA Punto ( , , ); Vector dirección ( , , ): + = += += + = = EL PLANO Punto del plano = ( , , ) Vector normal = ( , , )( − ). = 0 ( − ) + ( − ) + ( − ) = 0+ + + = 0DISTANCIA PUNTO – RECTAPunto = ( , , ) Recta : += ×( ) = ( − ) − (( )° )

DISTANCIA PUNTO – PLANOPunto = ( , , ) Plano ( − ). = 0+ + + = 0= | ° ( − )|‖ ‖ = | + + + |√ + +

DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS (Alabeadas)NO PARALELAS QUE NO SE CORTANRectas : + : += |( × ) ° ( − )|×

SUPERFICIES

ESFERA ( − ) + ( − ) + ( − ) = Centro = ( , , ) Radio R COMPLETAR CUADRADOS + = + −SUPERFICIES CUADRATICAS

Elipsoide( ) + ( ) + ( ) = 1 Hiperboloide de dos hojas − ( ) − ( ) + ( ) = 1

Cono recto( ) + ( ) = ( )

Paraboloide elíptico( ) + ( ) = ( − )

Hiperboloide de una hoja( ) + ( ) − ( ) = 1 Paraboloide hiperbólico

( ) − ( ) = ( − )FUNCIONES CURVILÍNEAS ( ) = ( ) Longitud de curva = ∫ || ′|| Tangente = ‖ ‖ Binormal = ××Curvatura = ×

Radio de curvatura = Normal = × ×× × Torsión = × °×FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

LIMITES ITERADOS lim → lim → ( , ) = lim → (lim → ( , ))Si los límites iterados son ≠ entonces no existe el límite en el punto ( , ) PRIMERA DERIVADA DE ( , , ) ′ = ∇ = ( , , )SEGUNDA DERIVADA ( MATRIZ HESSIANA) DE ( , ) Y DE ( , , )

= = ; = =DIFERENCIAL DE ( , , )= ( , , )°( , , ) = + +2da DIFERENCIAL DE ( , , ) = ( , , ) ∗ ∗

DERIVADA IMPLÍCITA( , ) = 0, . ; = − ( , , ) = 0, , . ; = − , = −( , , , ) = 0( , , , ) = 0 , ; ,= − ( ,, )( ,, ) = − ; = − ( ,, )( ,, ) = − ; = − ( ,, )( ,, ) = − ; = − ( ,, )( ,, ) = −

REGLA DE LA CADENA ( ° ) = ( ) ∗Desarrollando tenemos ( , ) ; ( , ) ; ( , )= + ; = + DERIVADAS PARCIALES DE ( , )= lim → ( , ) ( , )= lim → ( , ) ( , )

DERIVADA DIRECCIONAL ( debe ser vector unitario)

Por definición ( , ) = lim → ( , ) ( , )Por cálculo directo ( , , ) = ∇ ∗

SIGNIFICADO DE LA DERIVADA ( donde ≈ 0, ≈ 0) ( + , + ) − ( , ) ≅ , ( , )( + , ) − ( , ) ≅ ( , + ) − ( , ) ≅ ( , ) + − ( , ) ≅ ( , ) ( usando derivada direccional )

CRITERIO PARA HALLAR MÁXIMOS Y MÍNIMOS PARAFUNCIONES DE 2 VARIABLES∆ = ; ∆ = det( ) =∆ > 0 ∆ > 0 , í∆ < 0 ∆ > 0 , á∆ < 0 ,∆ = 0 , El criterio no da ninguna información

CRITERIO PARA HALLAR MÁXIMOS Y MÍNIMOS PARA FUNCIONES DE 3 VARIABLES

∆ = ; ∆ = ; ∆ = det( ) =∆ > 0 , ∆ > 0 ∆ > 0 , í∆ < 0 , ∆ > 0 ∆ < 0 , á

MÁXIMOS Y MÍNIMOS CONDICIONADOS (MULTIPLICADORES DE LAGRANGE) Función: ( , ) Condición: ( , ) = 0 ; ∇ = ∇INTEGRALES MÚLTIPLES

AREA = ∬ = ∬ MASA: = ∬ ( , ) DENSIDAD MEDIA: ̅ = = TEOREMA DE PAPPUS: = 2CENTRO DE MASAS ( CENTROIDE,CENTRO DE GRAVEDAD)̅ = ∬∬ , = ∬∬

INERCIAS= ∬ ,= ∬ ,= +VOLUMEN DE REVOLUCION

= 2 ∬= 2 ∬Alrededor de la recta = = 2 ∬ | − |Alrededor de la recta = = 2 ∬ | − |

VOLUMEN= ∬( − ) = MASA= ( , , ) CENTRO DE MASAS (CENTROIDE, CENTRO DE GRAVEDAD)̅ = , = , ̅ =INERCIAS CON LOS PLANOS COORDENADOS = , = , =INERCIA POLAR = ( + + )INERCIAS CON LOS EJES COORDENADOS= ( + ) , = ( + ) , = ( + ) , = ( + + )/2 AREAS DE SUPERFICIES= ∬ 1 + ( ) + ( )COORDENADAS POLARES= cos= sin ; + == tan ;,, =

COORDENADAS CILÍNDRICAS= cos= sin= ; + == tan= ;, ,, , = COORDENADAS ESFÉRICAS= sin ∅ cos= sin ∅ sin= cos ∅ ; + + == tan ( )∅ = tan ( ) ;

, ,,∅, = sin ∅INTEGRALES DE LINEA Y SUPERFICIES ∫ ( , ) 1 + = ∫ ( , ) 1 + = ∫ ( , ) +∫ ( , ) + ( , ) = ∫ ( , ) + ( , ) = ∫ ( , ) + ( , )TEOREMA DE GREEN ∮ ( , ) + ( , ) = ∬ −AREAS POR INTEGRALES DE LINEA = ∮ − TEOREMA DE LA DIVERGENCIA (GAUSS) . = ∇ °

TEOREMA DE STOKES ∮ . = ∬ ∇ × ° = | ° |SERIE P= ∑ Si:

> 1≤ 1 SERIE GEOMÉTRICA= ∑ Si:< 1≥ 1 Si es la suma se halla con:∑ = , ∑ = , ∑ =

CRITERIOS DE CONVERGENCIA

Criterio de comparación

Si:≤ ,≥ ,

Criterio de límite de comparaciónlim → = , = 0 ,= ∞ ,Criterio del cocientelim → = , < 1= 1> 1

Criterio de la raízlim → = , < 1= 1> 1Criterio de Raabelim → (1 − ) = , > 1= 1< 1Criterio de la integrallim → ∫ ( ) = = ∞

SERIE DE TERMINOS ALTERNOSLa serie alterna ∑ es Cv si:| | < | |lim → = 0 é 0Si: ∑ es y ∑ | | es ; ∑Si: ∑ es y ∑ | | es; ∑

SERIE DE POTENCIAS Para determinar el intervalo de convergencia lim → < 1Serie de Taylor ( = ) ( ) = ( ) + ( )! ( − ) + ( )! ( − ) +…+ ( )( )! ( − )Serie de Mc-Laurin ( ) = (0) + ( )! + ( )! +…+ ( )( )!