FormulariodelEGEL-IELEC

EXAMEN GENERAL PARA EL EGRESO DE LA LICENCIATURAEN INGENIERA ELCTRICA

Direccin General Adjunta de los EGEL

NOVIEMBRE 2014

formulario

Este Formulario es un instrumento de apoyo para quienes sustentarn el Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniera Elctrica (EGEL-IELEC) y est vigente a partir de noviembre de 2014. El Formulario para el sustentante es un documento cuyo contenido est sujeto a revisiones peridicas. Las posibles modificaciones atienden a los aportes y crticas que hagan los miembros de las comunidades acadmicas de instituciones de educacin superior de nuestro pas, los usuarios y, fundamentalmente, las orientaciones del Consejo Tcnico del examen. El Ceneval y el Consejo Tcnico del EGEL-IELEC agradecern todos los comentarios que puedan enriquecer este material. Srvase dirigirlos a:

Direccin General Adjunta de los EGEL Direccin de Diseo, Ingenieras y Arquitectura

Centro Nacional de Evaluacin para la Educacin Superior, A. C. Av. Camino al Desierto de los Leones #37,

Col. San ngel, Del. lvaro Obregn, C.P. 01000, Mxico, D.F. C.P. 01020 Mxico, D. F.

Tel: 01 (55) 5322-9200, ext. 5103 http://www.ceneval.edu.mx

Email: [email protected]

D. R. 2014 Centro Nacional de Evaluacin para la Educacin Superior, A. C. (Ceneval) Quinta edicin

Directorio

Direccin General Dr. en Qum. Rafael Lpez Castaares

Direccin General Adjunta de los Exmenes

Generales para el Egreso de la Licenciatura (EGEL) Lic. Catalina Betancourt Correa

Direccin del rea de Diseo, Ingenieras y Arquitectura

Mtra. Luz Mara Sols Segura

Coordinacin del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniera Elctrica (EGEL-IELEC)

Ing. Elon Alarcn Maldonado

Consejo Tcnico

Representantes de instituciones educativas

M. en C. Jorge Carlos Canto Esquivel Instituto Tecnolgico de Mrida

M. en I. Francisco Bauelos Ruedas Universidad Autnoma de Zacatecas

Dr. Joaqun Cortez Gonzlez Instituto Tecnolgico de Sonora

M. en I. Luis Cisneros Villalobos Universidad Autnoma del Estado de

Morelos

M. en C. Vctor Mata Brauer Universidad Autnoma de Baja

California Dr. Miguel ngel Gmez Martnez Universidad de Guanajuato

M. en C. Abel Eduardo Quezada

Carren Universidad Autnoma de Ciudad

Jurez

Ing. Manuel Barrueta Garca Universidad Jurez Autnoma de Tabasco

M. en I. Aurelio Hernndez Rodrguez

Universidad Autnoma de San Luis Potos

Dr. Antonio Ramos Paz

Universidad Michoacana de San Nicols de Hidalgo

Representantes de Colegios y Organizaciones gremiales

Ing. Jess Anbal Garza Macas Asociacin Nacional de Facultades y

Escuelas de Ingeniera

Ing. Hernn Lpez Cruz Colegio de Ingenieros Mecnicos y

Electricistas, A.C.

Representantes del Sector empleador

Dr. Hugo Ambriz Prez Comisin Federal de Electricidad

Contenido Administracin de los sistemas elctricos ................................................................... 11 Operacin y mantenimiento de equipos y sistemas elctricos .................................. 11

Inversin inicial .............................................................................................................. 11

Tasa mnima aceptable de rendimiento ......................................................................... 11

Tasa mnima aceptable de rendimiento mixta ............................................................... 11

Valor presente neto (con TMAR) ................................................................................... 12

Valor presente neto (con anualidad e inters) ............................................................... 12

Tasa interna de retorno .................................................................................................. 12

Periodo de recuperacin de la inversin ........................................................................ 13

Punto de equilibrio en ventas ......................................................................................... 13

Costo beneficio .............................................................................................................. 13

Ingeniera econmica ..................................................................................................... 14

Inters simple ................................................................................................................. 14 Inters compuesto ...................................................................................................... 14 Valor futuro pago nico .............................................................................................. 14 Valor presente pago nico ......................................................................................... 14 Cantidad compuesta serie uniforme .......................................................................... 14 Fondo de amortizacin ............................................................................................... 15 Recuperacin del capital de una serie uniforme ........................................................ 15 Valor presente de una serie uniforme ........................................................................ 15 Series de gradiente .................................................................................................... 15 Tasa efectiva de inters anual ................................................................................... 15 Capitalizacin continua .............................................................................................. 15 Definicin de e ........................................................................................................... 16 Pagos continuos ......................................................................................................... 16 Tasa mixta .................................................................................................................. 16 Mtodos de anlisis de inversiones ........................................................................... 17

Operacin y mantenimiento de equipos y sistemas elctricos .................................. 18 Costos de mantenimiento .......................................................................................... 18 Costo total .................................................................................................................. 18 Costo del consumo total anual ................................................................................... 18 Costos mantenimiento preventivo .............................................................................. 19 Indicadores control de trabajo .................................................................................... 20 Efectividad del sistema .............................................................................................. 21 Confiabilidad .............................................................................................................. 23 Mtodos de mantenimiento vs. costo ......................................................................... 24 Sistemas en serie ....................................................................................................... 24 Sistemas en paralelo .................................................................................................. 24 Restablecimiento de la confiabilidad .......................................................................... 25 Probabilidad de falla ................................................................................................... 25 Mantenimiento productivo total .................................................................................. 25 Disponibilidad intrnseca o de explotacin ................................................................. 26 Tiempo medio de parada por averas ........................................................................ 26

Tiempo medio entre averas MTBF (tiempo de buen funcionamiento) ...................... 26 Tiempo de funcionamiento medio .............................................................................. 26 Tasa de fallo ............................................................................................................... 26 Trabajo en mantenimiento correctivo ......................................................................... 27 Consumo de los aparatos electrodomsticos ............................................................ 27

Formulario general .......................................................................................................... 28 Matemticas ................................................................................................................... 28

lgebra ....................................................................................................................... 28 Clculo diferencial ...................................................................................................... 34 Clculo integral .......................................................................................................... 39 Geometra .................................................................................................................. 48 Geometra analtica plana .......................................................................................... 49 Geometra analtica del espacio ................................................................................. 51 Trigonometra ............................................................................................................. 55 Nmeros complejos ................................................................................................... 60 Anlisis vectorial ........................................................................................................ 61 Funcin de fracciones racionales ............................................................................... 66 Series de Fourier ........................................................................................................ 67 Transformada de Fourier ........................................................................................... 71 Transformada de Laplace .......................................................................................... 74 Probabilidad y estadstica .......................................................................................... 79

Fsica ............................................................................................................................. 84 Mecnica .................................................................................................................... 84 Electricidad y magnetismo ......................................................................................... 93

Qumica .......................................................................................................................... 98

Teora de circuitos elctricos ....................................................................................... 100 Impedancia ............................................................................................................... 100 Admitancia ............................................................................................................... 101 Reactancia ............................................................................................................... 102 Resonancia .............................................................................................................. 103 Cargas reactivas y factor de potencia ...................................................................... 104 Potencia compleja .................................................................................................... 106 Potencia trifsica ...................................................................................................... 106

Sistemas elctricos de potencia................................................................................... 108 Sistema por unidad .................................................................................................. 108 Transformadores ...................................................................................................... 108 Componentes simtricas .......................................................................................... 109 Clculo de fallas ....................................................................................................... 114 Transformadores ...................................................................................................... 115 Transformadores de instrumento (transformadores de medida) .............................. 116 Correccin del factor de potencia ............................................................................ 117 Reactores ................................................................................................................. 119 Resonancia armnica .............................................................................................. 121 Resistencia ............................................................................................................... 122 Inductancia ............................................................................................................... 122 Capacitancia ............................................................................................................ 124 Lneas trifsicas de circuitos paralelos .................................................................... 126 Clculo de lneas ...................................................................................................... 126

Lneas areas .......................................................................................................... 128 Lneas de tensin ..................................................................................................... 129 Clculo de conductores ............................................................................................ 130 Clculo de conductores para cargas especficas ..................................................... 130 Transformadores ...................................................................................................... 133

ptica e iluminacin ..................................................................................................... 137

Tensiones elctricas normalizadas .............................................................................. 149

Descripcin de los nmeros ANSI / IEEE .................................................................... 150

NMX-J-136-ANCE-2007............................................................................................... 157

EN-60617 o IEC 60617 ................................................................................................ 159

Smbolos de acuerdo a la ANSI ................................................................................... 162

Extracto de la Norma Oficial Mexicana NOM-001-SEDE-2012, Instalaciones Elctricas (Utilizacin) ..................................................................................................................................... 164

Datos prcticos ............................................................................................................ 244

Formulario para el sustentante del Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniera Elctrica (EGEL-IELEC)

Direccin de Diseo, Ingenieras y Arquitectura

11

dministracin de los sistemas elctricos Operacin y mantenimiento de equipos y sistemas elctricos

Inversin inicial

I I CO CP CA= + + donde: II: Inversin inicial CO: Costos de operacin CP: Costos de produccin CA: Costos de administracin y ventas Tasa mnima aceptable de rendimiento

TMAR = ( * i)n donde: TMAR: Tasa mnima aceptable de rendimiento : Monto i: Tasa de inters n: Nmero de periodos a considerar Tasa mnima aceptable de rendimiento mixta

TMARmixta = [I1 + PR1 + %I1 + %PR1] + [I2 + PR2 + %I2 + %PR2] ++ [In + PRn + %In + %PRn] donde: TMARmixta: Tasa mnima aceptable de rendimiento mixta In: Inflacin PRn: Premio al riesgo %In: Inflacin 100 %PRn: Premio al riesgo 100



12

Valor presente neto (con TMAR)

=

= ++

n0 tt 1

S tV P N S(1 i)

donde: VPN = Valor presente neto SO = Inversin Inicial St = flujo de efectivo neto del periodo t n = nmero de periodos de la vida del proyecto i = tasa de recuperacin mnima atractiva Valor presente neto (con anualidad e inters)

( )( )

n

n

1 i 1V P N P A V S

i 1 i

+ = + + +

donde: VPN: Valor presente neto P: Inversin inicial A: Anualidad i: Tasa de inters VS: Valor de salvamento al final del periodo n n: Nmero de periodos Tasa interna de retorno

nnn n

1

F N E V ST I R(1 i) (1 i)

= ++ +

donde: TIR: Tasa interna de retorno FNE: Flujo neto de efectivo del periodo n, o beneficio neto despus de impuesto ms depreciacin VS: Valor de salvamento al final del periodo n i: Tasa de inters n: Nmero de periodos



13

Periodo de recuperacin de la inversin

UNROII

=

donde: ROI: Periodo de recuperacin de la inversin UN: Utilidad neta I: Inversin Punto de equilibrio en ventas

C FP EC V1V T

=

donde: PE: Punto de equilibrio CF: Costos fijos CV: Costos variables VT: Ventas totales Costo beneficio

B B DC C

=

donde: B: Beneficios asociados al proyecto C: Costo neto del proyecto D: Valor de las desventajas



14

Ingeniera econmica Glosario de trminos para ingeniera econmica I: Inversin n: Periodo i: Tasa de inters P: Valor presente F: Valor futuro A: Serie uniforme G: Gradiente Ief: Tasa efectiva R: Tasa de inters divisible m: Periodo de intervalo

A : Factor de pago continuo RC: Factor de recuperacin de capital Vs: Valor de salvamento : Tasa mixta Pr: Periodo de recuperacin B: Beneficio C: Costo D: Desventaja e: Base de logaritmos neperianos

Inters simple

I = n i P Inters compuesto

n Fi 1I

=

Valor futuro pago nico

( )1 nF P i= + Valor presente pago nico

( )1

1 nP F

i=

+

Cantidad compuesta serie uniforme

( ) + = n1 i 1

F Ai



15

Fondo de amortizacin

( )niA F

1 i 1

= +

Recuperacin del capital de una serie uniforme

( )( )

n

n

i 1 iA P

1 i 1

+ = +

Valor presente de una serie uniforme

( ) n1 1 IP A

i

+ =

Series de gradiente

( )n1A G

i n1 i 1

=

+

Tasa efectiva de inters anual

m

e fri 1 1m

= +

Capitalizacin continua

mr

m

ri l i m 1 1 e 1m

= + =



16

Definicin de e

m

m

1i l i m 1 em

= + =

mF e

P=

mP e

F

=

( )( )

m

r

e 1FA e 1

=

( )( )

r

m

e 1AF e 1

=

( )( )

r

m

e 1AP 1 e

=

( )( )

m

r

1 ePA e 1

=

m mA 1 nG 1 e e 1

=

Pagos continuos

( )me 1F rA

=

( )mA rF e 1

=

( )mm

e 1PA r e

=

m

mA reP e 1

=

Tasa mixta

= (i )/(1 )



17

Mtodos de anlisis de inversiones Valor presente

n

j 0V p F l u j o(P / F,i, j)

=

= Valor futuro

n

j 0V p F l u j o(F / P,i, j)

=

= Costo anual uniforme equivalente (CAUE)

( )nj 0

V p F l u j o(P / F,i, j) * A / P,i, j=

=

Serie uniforme equivalente

SAUE = - CAUE Recuperacin de capital

CAUE = - SAUE = RC

(P Vs)(A/P,i,n) + iVs Retiro y reemplazo

CAUE (j) = RC(j) + A(j) Tasa interna de retorno

n

j 1V p F l u j o i n i c i a l F l u j o(P / F,i, j)

=

= +

Periodo de recuperacin

ABS(f l u j o)P ri ng reso po r pe r i odo

=

Razn costo-beneficio

B DBC C

=

Nota: El ROI no se maneja en este contexto ya que es un indicador financiero.



18

Operacin y mantenimiento de equipos y sistemas elctricos Costos de mantenimiento Para obtener los costos de mantenimiento se utiliza el TCA (Trfico de Cambio Anual), el cual es un porcentaje de instrucciones que sufre un cambio por adicin o modificacin. Adems, se toma en cuenta el esfuerzo de desarrollo estimado o real por personas-mes para hallar el esfuerzo anual requerido para el mantenimiento de software. Se calcula de la siguiente manera:

EMA = 1.0 * TCA * TDS EMA = Esfuerzo de mantenimiento anual TDS = Esfuerzo de desarrollo estimado Costo total

Ct = Cm + Cc + Co Ct = Costo total Cm = Costo de mantenimiento [refacciones + lubricantes + mano de obra + planeacin] Cc = Costo de capital [valor factura + impuestos + fletes] Co = Costo de operacin [consumo total anual + mano de obra operacin] Costo del consumo total anual Consumo total anual = Potencia*F. U. * hr/da*da/sem.* Tarifa F. U. = Factor de utilizacin



19

Costos mantenimiento preventivo

Definicin Frmula de clculo Objetivos Significado IGTR ndice general de trabajos realizados

= OTE=Ordenes de Trabajo Ejecutadas OTR=Ordenes de Trabajo Recibidas

Evaluar la proporcin entre la cantidad de rdenes de trabajo ejecutadas respecto al total de rdenes de trabajo recibidas en el periodo considerado.

Permite evaluar en forma general el desempeo del personal del rea de mantenimiento. Mientras mayor es el ndice, mejor resulta el desempeo.

ITP ndice de rdenes de trabajo pendientes o en proceso

= OTPP=Ordenes de Trabajo Pendientes o en procesos OTR=Ordenes de Trabajo Recibidas

Evaluar la proporcin de rdenes de trabajo pendientes o en proceso respecto al total de rdenes de trabajo recibidas.

Permite evaluar la fraccin programada y no ejecutada de mantenimiento. Cuando mayor es el porcentaje menor es la efectividad de las acciones.

IMP ndice de mantenimiento preventivo

= HHMP=Horas de mantenimiento Preventivo THHM=Total de Horas de Mantenimiento

Determinar la proporcin del tiempo total de mantenimiento dedicado a acciones de mantenimiento preventivo.

Evala la fraccin de tiempo dedicada a los programas de mantenimiento preventivo. El ptimo se coloca entre el 20% y el 40%.

IOA ndice de rdenes abiertas

= EHH=Horas Hombre Estimadas HHD= Horas Hombre Disponibles

Establecer la relacin entre la cantidad estimada de horas hombre para ejecutar las rdenes de trabajo abiertas y el total de horas hombre disponibles para trabajos de mantenimiento.

Seala el balance entre la carga de trabajo y la cantidad de personal. Mientras menor es el valor porcentual, mejor resulta la accin desplegada por el rea de mantenimiento.

IHE ndice de horas extraordinarias o de sobretiempo

= CHE=Cantidad de Horas Estimadas THHM=Total de Horas Hombre de Mantenimiento

Expresa la relacin entre la cantidad de horas de sobretiempo respecto al total de horas empleadas en mantenimiento.

Evala la fraccin de tiempo destinado a trabajos fuera del horario. En general es aceptable en el orden de 1% o 2% del total.

ITM ndice de tiempo perdido (tiempo muerto)

= THR=Total de Horas de Retraso THHM=Total de Horas Hombre de Mantenimiento

Evala la relacin entre la cantidad de horas de retraso en la ejecucin de los trabajos (imputable a mantenimiento) y el total de horas de trabajo efectivo.

Mide la cantidad y efectividad del trabajo de mantenimiento preventivo



20

Indicadores control de trabajo

Control de trabajoIndicador Descripcin

1 = ODT recibidas / das hbiles del periodo

2 = ODT completadas / ODT recibidas

3 = ODT programadas completadas / ODT completadas

4 = ODT pendientes / ODT recibidas

5 = ODT prioritarias completadas / ODT completadas

6 = ODT completadas con retardo / ODT completadas

7 = > 2 ODT con ms de dos semanas de retraso / ODT recibidas

8 = HH en trabajos planeados y programados / HH en el periodo

9 = HH en trabajos segn programacin / HH asignadas para trabajos programados

10 = HH consumidas en trabajos prioritarios / HH en el periodo

11 = HH en trabajos completados con retardo / HH en el periodo

12 = HH en sobretiempo / HH en tiempo reglamentario Soporte de logstica

1 = Requisiciones abastecidas por almacn/ Requisiciones procesadas

2 = Requisiciones abastecidas con sustitutos / Requisiciones procesadas

3 = Requisiciones con material agotado / Requisiciones procesadas

4 = 1 Renglones agotados despachados con una semana de retardo / renglones despachados

5 = Renglones agotados que involucran costo de penal / renglones agotados

7 = 0 Renglones con existencia o en almacn / total de renglones

8 = Renglones con disponibilidad < punto PED / total de renglones

9 = > Valor de inventario por arriba del punto mximo / valor total del inventario

10 = > 12 Renglones con ltimo movimiento mayor a 12 meses / total de renglones

11 = > 12 Valor de inventario con ltimo movimiento mayor a 12 meses / valor total del inventario

12 = Valor total de los despachado / valor total del inventario

13 = Valor de los despachado / valor de lo comprado Uso de contratistas

1 = Contratos en marcha / total de contratos

2 = Contratos con variaciones / total de contratos



21

3 = Valor contratos en marcha / valor de contratos

4 = Valor de variaciones en contratos / valor de contratos

5 = Valor contratado por contratista / valor de contratos

6 = Valor contratos / costo de mantenimiento La organizacin

1 = Personal de mantenimiento / Total de personal

2 = Supervisores de lnea de mantenimiento / operarios de mantenimiento

3 = Personal de mantenimiento en planeacin y programacin / operarios de mantenimiento

4 = Costo de nmina de mantenimiento / costos totales de mantenimiento

5 = Pagos por sobretiempo / pago de tiempo ordinario

6 = Operarios de mantenimiento / total de produccin donde: CT = Control de trabajo ODT = Ordenes de desarrollo de trabajo HH = Horas hombre Efectividad del sistema 1 = Capacidad real / capacidad instalada

2 = ( + ) Horas de operacin / (horas de operacin + horas fuera de servicio)

3 = Horas de operacin / nmero de corridas

4 = Horas fuera de servicio / nmero de corridas

5 = Paradas programadas / paradas no programadas

6 = Horas prdidas por falla de equipo / horas fuera de servicio

7 = HH en reparacin correctiva / HH en mantenimiento de equipo

8 = HH en mantenimiento preventivo / HH en mantenimiento de equipo

9 = HH en inspeccin / HH en mantenimiento de equipo

10 = HH en reacondicionamiento / HH en mantenimiento de equipo

11 = HH en mantenimiento de equipo / HH en el periodo

12 = Trabajos de mantenimiento preventivo completados / trabajos de mantenimiento preventivo programados

13 = Produccin prdida o diferida por falla de equipo / produccin programada

Costos

1 = Costos de mantenimiento / presupuesto aprobado



22

2 = Costos de mantenimiento / costos totales

3 = Costos de mantenimiento / costos de produccin

4 = Costos de mantenimiento / unidades producidas

5 = Costos de penalizacin por produccin prdida / costos totales

6 = Costos de penalizacin por produccin / costos de mantenimiento

7 = Costos por mantenimiento preventivo / costos de mantenimiento

8 = Costos por reparaciones correctivas / costos de mantenimiento

9 = Costos por inspecciones / costos de mantenimiento

10 = Costos por reacondicionamiento / costos de mantenimiento

11 = Costos por mantenimiento preventivo / trabajos de mantenimiento preventivo

12 = Costos por reparaciones correctivas / trabajos de reparacin correctiva

13 = Costos por inspecciones / trabajos de inspeccin

14 = Costos por reacondicionamiento / trabajos de reacondicionamiento

15 = Costos de mantenimiento / valor de reemplazo de equipos

16 = Valor de los despachado / costo de mano de obra de mantenimiento

17 = Costo administrativo de mantenimiento / costos de mantenimiento



23

Confiabilidad

= + 100 donde: R: Confiabilidad MTBF: Tiempo medio entre fallas MTTR: Tiempo medio para reparacin

= 100

= 100 donde: hT: Horas trabajadas o de marcha durante el periodo de evaluacin p: Nmero de paros durante el periodo de evaluacin hp: Horas de paro durante el periodo de evaluacin



24

Mtodos de mantenimiento vs. costo

Sistemas en serie

= donde: Rs = Confiabilidad en serie Cf1, Cf2,....., Cfn son las confiabilidades de cada equipo Sistemas en paralelo

= ( ) + ( ) + ( ) + + donde: Rp = Confiabilidad en Paralelo Cf1, Cf2,...., Cfn son las confiabilidades de cada uno de los equipos. Pr1, Pr2,..., Prn son las participaciones de cada uno de los equipos en la produccin del sistema evaluado.

Generalizando para n equipos en paralelo:

=

d

Restablecim

Probabilida

Mantenimie

donde:

Dp = ManteTF = TiempoTAP = Tiem

Ex

miento de la

ad de falla

ento produc

nimiento proo disponible

mpo de parad

xamen Genera

a confiabilid

ctivo total

oductivo tota para produc

da propia (Se

al para el Egr

dad

=

al cir (Tiempo et-Up)

reso de la Lic

25

= +

real)

Focenciatura en

Direccin de

ormulario paIngeniera El

e Diseo, Inge

ara el sustentctrica (EGEenieras y Arq

tante del L-IELEC)

quitectura



26

Disponibilidad intrnseca o de explotacin

=

=

donde: Di = Disponibilidad intrnseca o de explotacin TR = Tiempo requerido, durante el cual se produce TAI = Tiempo de parado incluido (parada imprevista) Tiempo medio de parada por averas

= donde: TP = Tiempo de averas NP = Nmero de averas Tiempo medio entre averas MTBF (tiempo de buen funcionamiento)

= donde: TF = Tiempo de funcionamiento NP = Nmero de averas Tiempo de funcionamiento medio

= donde: TF = Tiempo de funcionamiento NAP = Nmero de paradas planificadas Tasa de fallo

= 1



27

Trabajo en mantenimiento correctivo Es la relacin entre los hombres horas gastados en reparaciones de mantenimiento correctivo y los hombres horas disponibles.

= ()() Consumo de los aparatos electrodomsticos

Aparatos o equipos Potencias W

Lavaplatos Cocinas elctricas Frigorficos Lavadoras Televisor Plancha Asador Secador de pelo Estufa elctrica Ventilador Aspirador Enceradora Batidora

3 500 240 - 4 000 150 - 250

2 000 - 4 000 180

500 - 1 200 700 350

500 - 2 500 200 - 2 000 250 - 600

600 400



28

Formulario general Matemticas

lgebra



29

Para matrices A y B

( )

( ) ( )( )

( )

=

=

=+

=

singular noA ;(A)det

1 )(Adet

I det(A) =A)A (Adj A AdjA

det(B) det(A)= (AB)det

)(Adet = (A)det

A B= AB

Atr a= aAtr

B tr +A tr B)tr(A

singulares no By A ;AB AB

1-

T

TTT

111

Si B = { }v1, , v , v2 n es base de un espacio V; x V y x v v vn n= + + + 1 1 2 2 ; entonces, el vector de coordenadas de x respecto a B es:

( ) ( )x B T= 1, , , 2 n Si ( )u w, , v V C espacio vectorial, entonces ( ) ( )f u v u v, |= es producto interno en V si: 1) ( ) ( )u v v| = |u 2) ( ) ( ) ( )u v w u u | v | w| + = + 3) ( ) ( ) v | vu u| = 4) ( )u | u si u> 0 0

( )v v= | v 1 2 norma de v

( ), v distancia de u a vd u v u=

( ) v uv cos = u coseno del ngulo entre u y v



30

Si { }n21 g , ,g , gB = es base ortogonal de un espacio V; v V y

( ) ( ) ( )( )vv

gBn

T= = 1 2, , , ; entonces

| g

g | i = 1, 2, , ni

i

i i Si { }e1, , e , e2 m es base ortonormal de un subespacio W del espacio V y v V ; entonces, la proyeccin de ( )v ei sobre W es: v |e i

i=1

m

Para la transformacin lineal T:VW( ) ( ){ }( ) ( ){ }

( ) ( )

T V T v | v V recorrido de V

N T v V / T v O nucleo de T

d im V = d im T V + d im N T

=

= = Para T:VW; A= { }v1, , v , v2 n base de V y B base de W la matriz asociada a T, ( )M TBA tiene por columnas a:

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]T v v T vB B

nB

1 , , , T 2 para T:VV, v V es vector caracterstico de T si:

( )T v v= con 0 y v 0



31

Frmulas para potencia y races

( ) = n n np a q a p q a m n m na a a + = m

m nn

a aa

= ( ) ( )n mm n m na a a = = 1nna a

= nn

n

a ab b

=

( )n n np a q a p q a = n n na b a b = 1

n nn

n

a a ab bb

= =

n x nm x ma a =

( ) mmn m n na a a = = a i a = ( ) ( )22 No es vlida en algunos casos; p. ej., 2 2, 2 2 = + =

Nota: Los exponentes para potencias y races deben ser escalares Transformacin de expresiones algebraicas usuales

( )2 2 22a b a ab b = + ( )3 3 2 2 33 3a b a a b ab b = +

( )2 2 2 22 2 2a b c a ab ac b bc c+ + = + + + + + ( )( )2 2a b a b a b = +

( ) ( )3 3 2 2a b a b a ab b+ = + + ( )( )3 3 2 2a b a b a ab b = + + 2

21,2

40 2

+ + = =

b b acax bx c xa

22

1,20 2 4p px px q x q+ + = = ( )2 2 2 22 2 2a b c a ab ac b bc c + = + + +

( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 3 31 1 21 1 2 1 2 3

n n n n n nn n n n nna b a a b a b a b b

+ = + + + + +

( )( )1 2 3 2 2 1n n n n n n na b a b a a b a b ab b + = + + +



32

Logaritmos

( )log log logx y x y = + log log logx x yy = log lognx n x=

1log logn x xn

=

log log=a n n a log 1=a alog1 0=

Binomio de Newton

( ) 1 2 2 3 30 1 2 3

n n n n nn n n na b a a b a b a b + = + + + +

Donde n tiene que ser un nmero entero

( ) ( )1 2 11 2 3

n n n n n kk k

+ =

Teorema del binomio (de Newton)

( ) ( )2

n n n 1 xnx1 x 1 . . .1! 2!

+ = + + +

Teorema binomial

( ) nn k n kk 0n

x a x ak

=

+ =

Permutaciones Nmero de permutaciones de n elementos

! 1 2 3nP n n= =



33

Combinaciones y ordenaciones

Nmero de combinaciones sin repeticin

Nmero de combinaciones con repeticin

( )!

! !nk

nnCkk n k

= =

( )

( )11 !

! 1 !+ +

= =

r nk

n kn kC

kk n

r con repeticin

Nmero de ordenaciones sin repeticin Nmero de ordenaciones con repeticin

( )!!

!n nk k k

n nO C P kk n k

= = =

r n kkO n=

donde: C: nmero de combinaciones posibles n: nmero de elementos dados k: nmero de elementos seleccionados de entre n elementos dados O: nmero de ordenaciones posibles Serie binmica o binomial

( ) ( ) ( ) 211 1 ...2!

= = + +f x x x x

es un nmero cualquiera, positivo o negativo, entero o fraccionario

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1!

+ =

nn n

Serie de Taylor (serie de McLaurin)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ''

2

1! 2!f a f a

f x f a x a x a= + + + Forma de McLaurin, cuando 0a =

( ) ( ) ( ) ( )' ''

20 001! 2!f f

f x f x x= + + +

Expansin de Taylor

2 3x x x xe 1 . . . , x

1! 2! 3!= + + + + < <



34

Clculo diferencial Relacin de cambio: Derivada Pendiente en un punto. Relacin (o intensidad) de cambio Pendiente de una curva En una curva y = f (x) , la pendiente m vara en cada punto. La pendiente de la curva en un punto P es tambin la pendiente de su tangente en dicho punto:

m = tan = y 'x '

Relacin media de cambio (cociente incremental)

La intensidad media de variacin de la funcin y = f (x) es la relacin de los incrementos yx

correspondientes al segmento de curva PP1

yx

=

f (x + x) f (x)x

Derivada (cociente diferencial) Cuando x tiende a cero, el punto P1 tiende al punto P, y la secante PP1 , a la tangente a la curva en P. De manera que la relacin de incrementos se convierte en la relacin de diferenciales, que es la derivada (o Intensidad de cambio) de la funcin en P:

y ' = limx0

yx

=

dydx

= f '(x)

Interpretacin geomtrica de la derivada Curvas de derivadas sucesivas Si para cada x de una curva se lleva la pendiente (o derivada) correspondiente y' como ordenada, se obtendr la curva de y ' = f '(x) , o de la primera derivada de la curva dada y = f (x) . Si se deriva la curva y ' = f '(x) se obtendr y '' = f ''(x ) o la segunda derivada de la curva dada y = f (x) , etc. Radio de curvatura en un punto dado x.

= (1+ y2 )3

y

V

Coordenada

Determinac

Valores m

Hgase y ' =

Si y ''(a) > 0Si y ''(a) < 0

Punto de in

Hgase y '' =

Si y ''(a) 0

Forma de la

Ex

as del centro

cin de los v

ximos y m

= 0 y sea a

habr un m habr un m

nflexin

= 0 y sea a

0 habr un p

a curva y = f

xamen Genera

o de curvatu

valores mx

nimos

el valor obt

mnimo en xmximo en x

el valor obt

punto de infle

f (x)

al para el Egr

ra C corres

a = x

b = y

ximos, mn

tenido de x .

x = a x = a

tenido de x

exin en x =

reso de la Lic

35

spondiente a

x 1 + y2

yy

y + 1 + y2

y

imos y pun

. Sustityase

. Sustityase

= a

Focenciatura en

Direccin de

a un radio

ntos de infle

e ahora x =

e ahora x =


e Diseo, Inge

exin

= a en y ''

= a en ''y


tante del L-IELEC)

quitectura



36

Crecimiento y decrecimiento y '(x) > 0 y(x) crece si aumenta xy '(x) < 0 y(x) decrece si aumenta xy '(x) = 0 y(x) tiene en x una tangente paralela al eje x

Curvatura y ''(x) > 0 y(x) ser cncava hacia arribay ''(x) < 0 y(x) ser cncava hacia abajoy ''(x) = 0 con cambio de signo y(x) tendr en x un punto de inflexin sin cambio de signo y(x) tendr en x un mximo o un mnimo

Otros casos Si para x = a

( 1)'( ) ''( ) '''( ) ( ) 0= == = = ny a y y y aa a , pero yn 0 , pueden presentarse los cuatro casos siguientes:



37

Tablas de derivadas ddx

c( ) = 0 ( )ddxcx c=

( )ddx

cx ncxn n= 1 ( )ddxu v w

dudx

dvdx

dwdx

=

( )ddx

cu cdudx

= ( )ddx

uv udvdx

vdudx

= +

( )ddx

uvw u vdwdx

u wdvdx

v wdudx

= + + ( ) ( )ddx

uv

v dudx udvdx

v

=

2

( )ddxu nu

dudx

n n=

1 dudx dx du

=

1

dFdx

dFdududx

= (Regla de la cadena)

Derivadas de las funciones exponenciales y logartmicas

[ ]ln ln-1

ln

ln

v v u v u

v v

d d du e e v udx dx dx

du dvvu u udx dx

= = =

+

loglog 0, 1aaed duu a a

dx u dx= >

lnu ud dua a adx dx

= 1ln loge

d d duu udx dx u dx

= =

u ud due edx dx

=

Derivadas de las funciones trigonomtricas y de las trigonomtricas inversas ddx

u u dudx

sen cos= ddx

u u dudx

cot csc= 2

ddx

u u dudx

cos sen= ddx

u u u dudx

sec sec tan=

ddx

u u dudx

tan sec= 2 ddx

u u u dudx

csc csc cot=

1 1

2

1cos 0 cos1

d duu udx dxu

= <



38

1

2 2

12

12

1 1sec ,1 1

0 sec sec

d du duudx dx dxu u u u

si usi u

= =

+ <

S

S

T

Clculo inte

Significado

Por integracmanera que

La integral

C es una coigual a cero

Significado

Como muesTodas las cu

La constante

La integral

La integral d

Ex

egral

o de la integ

cin se entiee la derivada

indefinida

onstante inde.

o geomtric

stra la figuraurvas y f=

e C fija una

definida

definida tiene

xamen Genera

gracin

ende el encoa ( )F x sea ig

eterminada q

o de la inte

, hay una inf

( )x son igua curva deter

e la forma:

al para el Egr

ontrar una fugual a la orig

( )F x =

( )f xque desapar

gral indefin

finidad de cuuales pero de

rminada. Si

C =

( )b

af x dx F=

reso de la Lic

39

ncin ( )F x aginal ( )f x . P

( )dF x fdx

= =

) ( )dx F x= +

rece al deriv

nida.

urvas y F=esplazadas

la curva deb

0 0( )y F x=

( ) (ba

F x F b=

Focenciatura en

Direccin de

a partir de uPor lo tanto,

( )f x

C+

var, ya que la

( )x con penparalelamen

be pasar por

) ( )b F a


e Diseo, Inge

na funcin d

a derivada d

ndiente o dernte y en la d

r el punto 0x


dada (y f x=

de una const

rivada y F =ireccin del

0, y se tendr

tante del L-IELEC)

quitectura

)x de

tante es

( )F x . eje y.

r:



40

En la integral resultante se sustituye primero el lmite superior y luego el inferior, y se resta el segundo resultado del primero. Desaparece as la constante C.



41

Reglas de integracin Formas fundamentales

u dv uv v du= u ue du e C= + u du

nu C nn n=

++ + 1 1 11 a du a a Cu

u

= + ln lndu u C

u= +

Formas trigonomtricas

sen cosu du u C= + csc cot cscu u du u C= + += Cuduu sencos += Cuduu seclntan += Cuduu tansec 2 cot ln senu du u C= +

2csc cotu du u C= + Cuuduu ++= tanseclnsec += Cuduuu sectansec csc ln csc cotu du u u C= +

Formas cuadrticas

a u duua u

au a u C2 2 2 2

22 2

2 2+ = + + + + + ln du

a uuaC

2 21

= + sen ( )u a u du u a u a u a u a u C2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

82

8+ = + + + + + ln +=+ Cauaua du 122 tan1

a uu

du a u aa a u

uC

2 22 2

2 2+= +

+ ++ ln duu u a a

uaC

2 211

= + sec du

u a ua ua u

C2 2 2

2 2

2+

=

++ dua u a u au a C2 2 12 = + + ln



42

( )du

a uu

a a uC

2 2 3 2 2 2 2+=

++ / duu a a u au a C2 2 12 = + + ln

a uu

dua uu

u a u C2 2

2

2 22 2+

=

++ + + + ln du

u a u aa u a

uC

2 2

2 21+

=

+ ++ ln

( )u a u du u u a a u a ua

C2 2 2 2 2 2 24

1

82

8 = + + sen a u du u a u a u

aC2 2 2 2

21

2 2 = + + sen

u dua u

ua u

au a u C

2

2 22 2

22 2

2 2+= + + + + ln du

a uu a u C

2 22 2

+= + + + ln

u a duuu a

au u a C2 2 2 2

22 2

2 2 = + + ln u du

a uua u

a uaC

2

2 22 2

21

2 2

= + + sen a uu

du a u aa a u

uC

2 22 2

2 2

=

+ + ln a uu du u a u ua C

2 2

22 2 11

= + sen du

u a u aa a u

uC

2 2

2 21

=

+ + ln ( )u u a du u u a u a a u u a2 2 2 2 2 2 2

42 2

82

8 = + + ln C

duu a u a u

a u C2 2 2 2

2 21

= + u au

du u a aauC

2 22 2 1

= + cos ( ) ( )a u du u u a a u a u

aC2 2

32 2 2 2 2

41

82 5

38

= + + sen u au

duu au

u u a C2 2

2

2 22 2

=

+ + + ln ( )

du

a u

ua a u

C2 2

32 2 2 2

=

+ duu a

u u a C2 2

2 2

= + + ln +++=

Cauuaauuauduu 22222

22

2

ln22

( )21 lnudu a bu a a bu Ca bu b= + + ++ ( )

( )( )

duu a bu

a bua n u

b na n

duu a bun n n+

=

+

+ 1 2 32 11 1

duu u a

u aa u

C2 2 2

2 2

2

=

+ ( ) ( )[ ]u dua bu b a bu a a bu a a bu C

2

32 21

24 2

+= + + + + + ln ( )3 2 2 22 2 2

du u Ca u au a

= +

( )du

u a bu au

a buC

+=

++ 1 ln du

u a bu aa bu a

a bu aC a

+=

+

+ ++ > 1 0ln , si

=

+

+



43

( ) ( )udua bu

ab a bu b

a bu C+

=

++ + + 2 2 1 ln a buu du a buu b duu a bu+ = + + + 2 2

( ) ( )du

u a bu a a bu aa buu

C+

=

+

++ 2 21 1 ln ( )udua bu b bu a a bu+ = + 23 22

( ) +

++

+=+

Cbuaabuaabua

bbuaduu ln21

2

32

2

( ) ( )u dua bu

u a bub n

nab n

u dua bu

n n n

+=

+

+

+ + 2 2 1 22 1

1

( )( )u a budub

bu a a bu C+ = + + 215 3 22 32 Otras formas trigonomtricas

3 1 12 2csc csc cot ln csc cotu du u u u u C= + + 2 1 12 4sen sen 2u du u u C= +

1 21 1sen sen cos senn n nnnudu u u udun

= + 2 1 12 4cos sen 2u du u u C= + + cos cos sen cosn n n nu du u u

nn

udu= +

1 1 21

+= Cuuduu tantan 2

= duuun

duu nnn 21 tantan1

1tan += Cuuduu cotcot 2 cot cot cotn n nu du

nu u du=

11 1 2 ( )3 21

3sen 2 sen cosu du u u C= + + sec sec secn n nu du

ntanu u

nn

u du=

+

1 1 212 2 ( )3 21

3cos 2 cos senu du u u C= + + csc cot csc cscn n nu du

nu u

nn

udu=

+

1 1 212 2 ++= Cuuduu coslntantan2

213

( )( )

( )( )

sen sensen sen

2 2a b u a b u

au bu du Ca b a b

+= +

+ 3 21

2cot cot ln senu du u u C= + ( )( )

( )( )cos cos

sen senau budu

a b ua b

a b ua b

C=

++

++ 2 2

3 1 12 2sec sec tan ln sec tanu du u u u u C= + + +

1cos sen senn n nu u du u u n u u du= ( )( ) ( )( )sen cos cos cosau bu du a b ua b a b ua b C= ++ + 2 2 sen sen cosu u du u u u C= + sen cosn mu u du

=

++

+

+sen cos sen cosn m n mu un m nn m u udu

1 121

=

++

+

+ sen cos sen cosn m n mu un m mn m u udu

1 121

cos cos senu u du u u u C= + + 1sen cos cosn n nu u du u u n u u du= + u u du

uuu u

Ccos cos =

+ 1 2 1 22 14 14 ++= Cuuuduuu 2tan2 1tan 12

1



44

u udun

u uu du

unn n

n

sen sen , + +

=

+

1 1 1

1

2

11 1

1 1 1 2sen sen 1u du u u u C = + +

u udun

u uu du

unn n

n

cos cos , + +

=

++

1 1 1

1

2

11 1

1 1 1 2cos cos 1u du u u u C = +

+

+=

++ 1,

1tan

11tan

2

1111 n

uduuuu

nduuu

nnn

( ) ++= Cuuuduu 22111 1lntantan Formas exponenciales y logartmicas

( )ue dua

au e Cau au= + 1 12 ln lnu du u u u C= + u e du

au e

nau e dun au n au n au= 1 1 ( ) ( )[ ]u u du un n u Cn

n

ln ln=+

+ ++ 1 21 1 1

( )e bu du ea b

a bu b bu Cauau

sen sen cos=+

+ 2 2 1u u du u Cln ln ln= + ( )e bu du e

a ba bu b bu Cau

au

cos cos sen=+

+ + 2 2 Formas hiperblicas

senh coshu du u C= + += Cuduu 21tanlnsech cosh senhu du u C= + += Cuduu tanhsech 2 += Cuduu coshlntanh += Cuduu cothcsch 2

coth ln senhu du u C= + += Cuduuu sechtanhsech += Cutanduu senhsech 1 += Cuduuu cschcothcsch Otras formas cuadrticas

22

22

2 22

1au u duu a

au ua a u

aC =

+

+

cos

dua u u

a ua

C2 2

1

=

+

cos u au u du

u au aau u

a a ua

C22 3

62

22

22

31

=

+

+

cos

uduau u

au u aa ua

C2

22

2 1

= +

+

cos 2

22

22 1a u u

udu a u u a

a ua

C

= +

+

cos

duu a u u

a u ua u

C2

22

2

=

+ ( ) +

++

=

Cauaauauau

uauduu 122

2

2

cos2

3223

2

2 2 222

21a u u

udu

a u uu

a ua

C

=

+

cos



45

Regla de Simpson Para curvas hasta de tercer grado

( )0 1 243ih

A y y y= + +

Para curvas de grado mayor que el tercero

( ) ( )0 2 4 2 1 3 12 ... 4 ...3 n n nh

A y y y y y y y y

= + + + + + + + + + Integrales mltiples

( )( )2

1

( ),

b f x

x a y f xF x y dydx

= = ( )( ){ }2 1( ) ,b f xx a y f x F x y dy dx= ==

Donde ( )y f x= 1 e ( )y f x= 2 son las ecuaciones de las curvas HPG y PGQ respectivamente, mientras que a y b son las abscisas de los puntos P y Q. Esta integral tambin se puede escribir as:

( )( )2

1

( ),

d g y

y c x g yF x y dxdy

= = ( )( ){ }2 1( ) ,d g yy c x g y F x y dx dy= ==

Dondex g y= 1( ) , x g y= 2 ( ) son las ecuaciones de las curvas HPG y PGQ, respectivamente, mientras que c y d son las ordenadas de H y G. Estas son las llamadas integrales dobles o integrales de rea. Los anteriores conceptos se pueden ampliar para considerar integrales triples o de volumen as como integrales mltiples en ms de tres dimensiones.

( ) ( )t

as s t r t dt= =

Es la longitud de curva correspondiente al intervalo paramtrico a t, .

En parmetro arbitrario: En parmetro s:

Vector tangente unitario ( )( )( )r tt tr t

=

( ) ( )t s r s=

Vector normal principal ( ) ( ) ( )n t b t t t=

n s r sr s( )

( )( )=

Vector binormal ( )( )( )

r r tb tr r t

=

( ) ( )( )

( )r s r sb sr s

=



46

Los vectores unitarios t n b, , forman una triada positiva ( ) b t n n b t t n b= = =x x x, ,

Recta tangente en t0 Ecuacin vectorial: Ecuacin paramtrica

( ) ( ) ( ) r r t r t = + 0 0 x xx y yy z zx = = 00 00 00 Plano oscilador( ) t n, en t0 Ecuacin vectorial Ecuacin paramtrica

( )( ) ( ) ( )( ) r r t r t xr t =0 0 0 0 x x y y z zx y zx y z

=

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0

Curvatura y torsin

32 2

1 ( )

y

y =

+ ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) t

r t r tr t

tr t r t r tr t r t

=

=

x xx3 2

( ) ( )s r s = d T kNds

=

d N B kTds

=

d B Nds

=

Plano normal Ecuacin vectorial: Ecuacin paramtrica:

( )( ) ( ) r r t r t =0 0 0 ( ) ( ) ( ) + + =x x x y y y z z z0 0 0 0 0 0 0 Plano rectificante ( ) t b, en t0 Ecuacin vectorial: Ecuacin paramtrica:

( )( ) ( ) r r t n t =0 0 0 x x y y z zx y z

y z y z z x z x x y x y

- - -0 0 00 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0

=



47

Componentes tangencial y normal de la aceleracin

.T

aa Ta

= =

N

x aa Na

= =

Propiedades de la divergencia

( ) ( )) div( ) div( ) div( )

) div( ) div( ) (grad )

) div( ) rot - rot

i F G F G

ii F F F

iii F G G F F G

+ = +

= +

+ =



48

Geometra

reas

Crculo =

Trapecio A= B b+2 h

Tringulo A=ab bhsen

2 2=

Volmenes

Prismas V= SB h donde SB = rea de la base

Pirmides V=S hB3

donde SB = rea de la base

Volumen = 433 r

rea de la superficie = 4 2 r

Volumen = r h2

rea de la superficie lateral = 2 rh



49

Volumen = 132r h

rea de la superficie lateral = + = r r h r l2 2

Volumen ( )= + +13 2 2 h a a b b rea de la superficie lateral

( ) ( )( )

= + +

= +

a b h b aa b l

2 2

Geometra analtica plana Distancia entre dos puntos ( ) ( )x x y y2 1 2 2 1 2 +

Pendiente de una recta 2 12 1

y ymx x

=

Ecuacin de una recta 1 1m( ); 0y y x x Ax By C = + + =

ngulo entre rectas 1 21 2

m mtan1 m m

=+

Circunferencia 2 2 2 2 2( ) ( ) ; 0x h y k r Ax Ay Dx Ey F + = + + + + = Parbola

Eje vertical 2 2( ) 4 ( ); 0x h p y k Ax Dx Ey F = + + + =

Eje horizontal 2 2( ) 4 ( ); 0

4 e 1y k p x h By Dx Ey FLR p

= + + + =

= =

Elipse

Eje focal horizontal ( ) ( )x h

ay k

b

+

=

2

2

2

21 ; a> b

Eje focal vertical ( ) ( )x hb

y ka

+

=

2

2

2

21 ; a> b



50

22 2 2

2 2

2; ; 1

0; 0

b ca b c LR ea a

Ax Cy Dx Ey F AC

= + = =

Hiprbola

Eje focal horizontal ( ) ( )x ha

y kb

=

2

2

2

21

Eje focal vertical ( ) ( )y ka

x hb

=

2

2

2

21

2

2 2 2

2 2

2; ; 1

0; 0

b cc a b LR ea a

Ax Cy Dx Ey F AC

= + = = >

+ + + + = 9 m Factor de conversin de flujo dado por una lmpara por efecto de la suciedad prevista, o flujo til en funcin de tipo luminaria Hermtica Multiplicar flujo por 0.80 a 0.87 Ventilada Multiplicar flujo por 0.70 a 0.80 Abierta Multiplicar flujo por 0.65 a 0.75



147

Caractersticas de las lmparas fluorescentes normales

Potencia en watts(W) 6 8 14 15 20 30 40 65 100

Longitud del tubo en mm 229 305 381 457 611 914 1 219 914 1 524

Dimetro del tubo en mm 16 16 38 25 38 25 38 54 54

Tensin de trabajo del tubo 46 57 41 56 62 103 108 50 73

Tensin mnima de arranque 118 110 118 118 118 200 200 118 150

Intensidad absorbida 0.15 0.18 0.37 0.30 0.35 0.34 0.41 1.35 1.45

Consumo de la reactancia 1.5 3.5 6 7 12 12

Duracin media en horas 1 000 1 000 1 500 2 500 2 500 2 500 2 500 2 000 3 000



148

Capacidad de condensadores en f para un cos = 0.90.05

Potencia W

Capacidad en f

Intensidad servicio

Amperios

Potencia W

Capacidad en f

Intensidad W

125 V

120 V

125 V

120 V

Fluorescente Sodio baja presin (b.p.) 14-15 20-22 22-32

40 60

6 7

12 12 20

4 4 4 4

6.5

0.33 0.36 0.38 0.42 0.70

35 55 90

135 180

20 20 26 35 40

0.60 0.60 0.90 0.90 0.90

Vapor de mercurio Sodio alta presin (a.p.) 50 80

125 250 400 700

1 000 2 000

6 8

10 18 25 45 60

100

0.60 0.80 1.15 2.15 3.25 5.45 7.50 8.00

250 400

1000

36 50

100

3.00 4.40

10.30



149

Tensiones elctricas normalizadas Clasificacin Por nivel de tensin elctrica del sistema, las tensiones elctricas normalizadas se clasifican: Baja tensin: desde 100 V hasta 1000 V Media tensin: mayor de 1000 V hasta 34.5 kV Alta tensin: mayor de 34.5 kV hasta 230 kV Extra alta tensin: mayor de 230 kV hasta 400 kV

Tabla 1.- Tensiones elctricas normalizadas Clasificacin

Tensin elctrica nominal del sistema (1) V

Tensin elctrica de servicio V

Tensin elctrica

normalizada de utilizacin

V (3)

1 fase 3 hilos

3 fases 3 hilos

3 fases 4 hilos

mximo mnimo

Baja tensin 120 / 240 -- -- --

-- -- --

480

-- 220 Y/ 127 480 Y/ 277

--

126 / 252 231 / 133.3 504 / 291

504

108 / 216 198 / 114.3 432 / 249.4

432

115 / 230 208 Y / 120 460 Y / 265

460 Mediana tensin

2 400 4 160

-- 13 800

-- 23 000

-- 34 500

--

-- (2) -- -- --

13 800 Y / 7 970 --

23 000 Y / 13 280 --

34 500 Y / 19 920

2 520 4 368 7 245

14 490 14 490 / 8 366

24 150 24 150 / 13 943

36 225 36 225 / 20 915

2 160 3 744 6 210

12 420 12 420 / 7 171

20 700 20 700 / 11 951

31 050 31 050 / 17 927

2 300 4 000 6 600

13 200

Alta tensin 69 000 85 000

115 000 138 000 161 000 230 000

72 450 89 250

120 750 144 900 169 050 241 500

62 100 76 500

103 500 124 200 144 900 207 000

Extra alta tensin

400 000 420 000 360 000



150

Descripcin de los nmeros ANSI / IEEE

No ANSI /IEEE

Descripcin

1 Elemento principal es el dispositivo de iniciacin, tal como el interruptor de control, rel de tensin, interruptor de flotador, etctera, que sirve para poner el aparato en operacin o fuera de servicio, bien directamente o a travs de dispositivos, tales como rels de proteccin con retardo.

2 Rel de cierre o arranque temporizado es el que da la temporizacin deseada entre operaciones de una secuencia automtica o de un sistema de proteccin, excepto cuando es proporcionado especficamente por los dispositivos 48, 62 y 79 descritos ms adelante.

3 Rel de comprobacin o de bloqueo es el que opera en respuesta a la posicin de un nmero de condiciones determinadas, en un equipo para permitir que contine su operacin, para que se pare o para proporcionar una prueba de la posicin de estos dispositivos o de estas condiciones para cualquier fin.

4 Contacto principal es un dispositivo generalmente mandado por el dispositivo N 1 o su equivalente y los dispositivos de permiso y proteccin necesarios, y sirve para cerrar y abrir los circuitos de control necesarios para reponer un equipo en marcha, bajo las condiciones deseadas o bajo condiciones anormales.

5 Dispositivo de parada es aquel cuya funcin primaria es quitar y mantener un equipo fuera de servicio.

6 Interruptor de arranque es un dispositivo cuya funcin principal es conectar la mquina a su fuente de tensin de arranque.

7 Interruptor de nodo es el utilizado en los circuitos del nodo de un rectificador de potencia, principalmente para interrumpir el circuito rectificador por retorno del encendido de arco.

8 Dispositivo de desconexin de energa de control es un dispositivo de desconexin (tal como un conmutador de cuchilla, interruptor o bloque de fusibles extrables) que se utiliza con el fin de conectar y desconectar, respectivamente, la fuente de energa de control hacia y desde la barra o equipo de control. Nota: Se considera que la energa de control incluye la energa auxiliar que alimenta aparatos pequeos como motores calefactores.

9 Dispositivo de inversin es el que se utiliza para invertir las conexiones del campo de una mquina o bien para otras funciones especiales de inversin.

10 Conmutador de secuencia es el que se utiliza para cambiar la secuencia de conexin o desconexin de unidades de un equipo de unidades mltiples.

11 Reservado para aplicaciones futuras 12 Dispositivo de exceso de velocidad es normalmente un interruptor de

velocidad de conexin directa que acta cuando la mquina embala.



151

13 Dispositivo de velocidad sncrona es el que funciona con aproximadamente la velocidad normal de una mquina, tal como un conmutador de velocidad centrfuga, rels de frecuencia de deslizamiento, rel de tensin, rel de intensidad mnima o cualquier tipo de dispositivo similar.

14 Dispositivo de falta de velocidad es el que acta cuando la velocidad de la mquina desciende por debajo de un valor predeterminado.

15 Dispositivo regulador de velocidad o frecuencia de una mquina o sistema a un cierto valor o bien entre ciertos lmites.

16 Reservado para aplicaciones futuras. 17 Conmutador para puentear el campo serie sirve para abrir y cerrar un

circuito en shunt entre los extremos de cualquier pieza o aparto (excepto una resistencia) tal como el campo de una mquina un condensador o una reactancia. Nota: Eso incluye los dispositivos que realizan las funciones de shunt necesarias para arrancar una mquina por los dispositivos 6 o 42, su equivalente, y tambin excluye la funcin del dispositivo 73 que sirve para la operacin de las resistencias.

18 Dispositivo de aceleracin o declaracin es el que se utiliza para cerrar o hacer cerrar los circuitos que sirven para aumentar o disminuir la velocidad de una mquina.

19 Contactos de transicin de arranque a marcha normal son aquellos cuya funcin es hacer las transferencias de las conexiones de alimentacin de arranque a las de marcha normal de la mquina.

20 Vlvula maniobrada elctricamente es accionada por solenoide o motor, que se utiliza en circuitos de vaco, aire, gas, aceite, agua o similares.

21 Rel de distancia es el que funciona cuando la admitancia, impedancia o reactancia del circuito disminuyen o aumentan a unos lmites preestablecidos.

22 Interruptor igualador sirve para conectar y desconectar las conexiones para actualizacin de intensidad para los reguladores del campo de la mquina o de la tensin de la mquina, en una instalacin de unidades mltiples.

23 Dispositivo regulador de temperatura es el que funciona para mantener la temperatura de la mquina u otros aparatos dentro de ciertos lmites. Nota: Un ejemplo es un termostato que enciende un calentador en un elemento de aparellaje, cuando la temperatura desciende a un valor deseado que es distinto de un dispositivo usado para proporcionar regulacin de temperatura automtica entre lmites prximos, y que sera designado como 90T.

24 Sobreexcitacin es un rel que funciona cuando la relacin V/Hz (tensin/frecuencia) excede un valor previamente ajustado. El rel puede tener una caracterstica temporizada o instantnea.



152

25 Dispositivo de sincronizacin o puesta en paralelo es el que funciona cuando dos circuitos de alterna estn dentro de los lmites deseados de tensin, frecuencia o ngulo de fase, lo cual permite o causa la puesta en paralelo de estos circuitos.

26 Dispositivo trmico es el que funciona cuando la temperatura del campo en shunt, o el bobinado amortiguador de una mquina, o el de una resistencia de limitacin de carga o de cambio de carga, o de un lquido u otro medio, excede un valor determinado con anterioridad: si la temperatura del aparato protegido, tal como un rectificador de energa o de cualquier otro medio, es inferior a un valor fijado con antelacin.

27 Rel de mnima tensin es el que funciona al descender la tensin de un valor predeterminado.

28 Detector de llama sirve para detectar la existencia de llama en el piloto o quemador principal, por ejemplo de una caldera o una turbina de gas.

29 Contactor de aislamiento es el que se utiliza con el propsito especial de desconectar un circuito de otro, por razones de maniobra de emergencia, conservacin o prueba.

30 Rel anunciador es un dispositivo de reposicin no automtica que da un nmero de indicaciones visuales independientes al accionar el dispositivo de proteccin y adems tambin puede estar dispuesto para efectuar la funcin de bloqueo.

31 Dispositivo de excitacin separada es el que conecta un circuito, tal como el campo shunt de una conmutatriz, a la fuente de excitacin separada durante el proceso de arranque, o bien se utiliza para energizar la excitacin y el circuito de encendido de un rectificador.

32 Rel direccional de potencia es el que funciona sobre un valor deseado de potencia en una direccin dada o sobre la inversin de potencia como por ejemplo, la resultante del retroceso del arco en los circuitos de nodo o ctodo de un rectificador de potencia

33 Conmutador de posicin es el que hace o abre contacto cuando el dispositivo principal o parte del aparato, que no tiene un nmero funcional de dispositivo, alcanza una posicin dada.

34 Conmutador de secuencia movido a motor es un conmutador de contactos mltiples que fija la secuencia de operacin de los dispositivos principales durante el arranque y la parada, o durante otras operaciones que requieran una secuencia.

35 Dispositivo de cortocircuito de las escobillas o anillos rozantes es el que sirve para elevar, bajar o desviar las escobillas de una mquina, o para cortocircuitar los anillos rozantes.

36 Dispositivo de polaridad es el que acciona o permite accionar a otros dispositivos con una polaridad funciona cuando la intensidad o la potencia caen por debajo de un valor predeterminado.

38 Dispositivo trmico de cojinetes es el que funciona con temperatura excesiva de los cojinetes.



153

39 Detector de condiciones mecnicas es el que tiene por cometido funcionar en situaciones mecnicas anormales (excepto las que suceden a los cojinetes de una mquina, tal y como se explica en la funcin 38), tales como vibracin excesiva, excentricidad, etctera.

40 Rel de campo es el que funciona por un valor dado, anormalmente bajo, por fallo de la intensidad decampo de la mquina, o por un valor excesivo del valor de la componente reactiva de la corriente de armadura en una mquina de CA, que indica excitacin del campo anormalmente baja.

41 Interruptor de campo es un dispositivo que funciona para aplicar o quitar la excitacin de campo de una mquina.

42 Interruptor de marcha es un dispositivo cuya funcin principal es la de conectar la mquina a su fuente de tensin de funcionamiento en marcha, despus de haber sido llevada hasta la velocidad deseada desde la conexin de arranque.

43 Dispositivo de transferencia es un dispositivo accionado a mano, que efecta la transferencia de los circuitos de control para modificar el proceso de operacin del equipo de conexin de los circuitos o de algunos de los dispositivos.

44 Rel de secuencia de arranque del grupo es el que funciona para arrancar la unidad prxima disponible en un equipo de unidades mltiples cuando falta o no est disponible la unidad que normalmente precede.

45 Detector de condiciones atmosfricas Funciona ante condiciones atmosfricas anormales, como humos peligrosos, gases explosivos, fuego, etc.

46 Rel de intensidad para equilibrio o inversin de fases es el que funciona cuando las intensidades polifsicas estn en secuencia inversa o desequilibrada o contienen componentes de secuencia negativa.

47 Rel de tensin para secuencia de fase es el que funciona con un valor dado de tensin polifsica de la secuencia de fase deseada.

48 Rel de secuencia incompleta es el que vuelve al equipo a la posicin normal o desconectado y lo enclava si la secuencia normal de arranque, funcionamiento o parada no se completa debidamente dentro de un intervalo predeterminado.

49 Rel trmico para mquina, aparato o transformador es el que funciona cuando la temperatura de la mquina, aparato o transformador excede de un valor fijado.

50 Rel instantneo de sobreintensidad o de velocidad de aumento de intensidad es el que funciona instantneamente con un valor excesivo de velocidad de aumento de intensidad.

51 Rel de sobreintensidad temporizado es un rel con una caracterstica de tiempo inverso o de tiempo fijo que funciona cuando la intensidad de un circuito de CA sobrepasa un valor dado.

52 Interruptor de CA es el que se usa para cerrar e interrumpir un circuito de potencia de CA bajo condiciones normales, o para interrumpir este circuito bajo condiciones de falta de emergencia.



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53 Rel de la excitatriz o del generador de CD es el que fuerza un campo de la mquina de CD durante el arranque o funciona cuando la tensin de la mquina ha llegado a un valor dado.

54 Reservado para aplicaciones futuras. 55 Rel de factor de potencia es el que funciona cuando el factor de

potencia de un circuito de CA no llega o sobrepasa un valor dado. 56 Rel de aplicacin del campo es el que se utiliza para controlar

automticamente la aplicacin de la excitacin de campo de un motor de CA en un punto predeterminado en el ciclo de deslizamiento.

57 Dispositivo de cortocircuito o de puesta a tierra es el que funciona debido al fallo de uno o ms de los nodos del rectificador de potencia, o por el fallo de un diodo por no conducir o bloquear adecuadamente.

58 Rel de fallo de rectificador de potencia es el que funciona debido al fallo de uno o ms de los nodos del rectificador de potencia, o por el fallo de un diodo por no conducir o bloquear adecuadamente.

59 Rel de sobretensin es que funciona con un valor dado de sobretensin.

60 Rel de equilibrio de tensin es el que opera con una diferencia de tensin entre dos circuitos.

61 Rel de parada o apertura temporizada es el que se utiliza en unin con el dispositivo que inicia la parada total o la indicacin de parada o apertura en una secuencia automtica.

62 Reservado para aplicaciones futuras. 63 Rel de presin de gas, lquido o vaco es el que funciona con un valor

dado de presin del lquido o gas, para una determinada velocidad de variacin de la presin.

64 Rel de proteccin de tierra es el que funciona con el fallo a tierra del aislamiento de una mquina, transformador u otros aparatos, o por contorneamiento de arco a tierra de una mquina de CD. Nota: Esta funcin se aplica solo a un rel que detecta el paso de corriente desde el armazn de una mquina, caja protectora o estructura de una pieza de aparatos, a tierra, o detecta una tierra en un bobinado o circuito normalmente no puesto a tierra. No se aplica a un dispositivo conectado en el circuito secundario o en el neutro secundario de un transformador o transformadores de intensidad, conectados en el circuito de potencia de un sistema puesto normalmente a tierra.

65 Regulador mecnico es el equipo que controla la apertura de la compuerta o vlvula de la mquina motora para arrancarla, mantener su velocidad o detenerla.

66 Rel de pasos es el que funciona para permitir un nmero especificado de operaciones de un dispositivo dado o equipo, o bien un nmero especificado de operaciones sucesivas con un intervalo dado de tiempo entre cada una de ellas. Tambin se utiliza para permitir el energizado peridico de un circuito y la aceleracin gradual de una mquina.

67 Rel direccional de sobreintensidad de CA es el que funciona con un valor deseado de circulacin de sobreintensidad de CA en una direccin dada.



155

68 Rel de bloqueo es el que inicia una seal piloto para bloquear o disparar en faltas externas en una lnea de transmisin o en otros aparatos bajo condiciones dadas coopera con otros dispositivos para bloquear el disparo o bloquear el reenganche con una condicin de prdida de sincronismo o en oscilaciones de potencia.

69 Dispositivo de supervisin y control es generalmente un interruptor auxiliar de dos posiciones accionado a mano, el cual permite una posicin de cierre de un interruptor o la puesta en servicio de un equipo y en la otra posicin impide el accionamiento del interruptor o del equipo.

70 Restato es el que se utiliza para variar la resistencia de un circuito en respuesta a algn mtodo de control elctrico, que, o bien es accionado elctricamente, o tiene otros accesorios elctricos como contactos auxiliares de posicin o limitacin.

71 Rel de nivel lquido o gaseoso es el que funciona para valores dados de nivel de lquidos o gases, o para determinadas velocidades de variacin de estos parmetros.

72 Interruptor de CD es el que se utiliza para cerrar o interrumpir el circuito de alimentacin de CD bajo condiciones normales o para interrumpir este circuito bajo condiciones de emergencia.

73 Contactor de resistencia de carga es el que se utiliza para puentear o meter en circuito un punto de la resistencia limitadora, de cambio o indicadora, o bien para activar un calentador, una luz, o una resistencia de carga de un rectificador de potencia u otra mquina.

74 Rel de alarma es cualquier otro rel diferente al anunciador comprendido bajo el dispositivo 30 que se utiliza para accionar u operar en unin de una alarma visible o audible.

75 Mecanismo de cambio de posicin es el que se utiliza para cambiar un interruptor desconectable en unidad entre las posiciones de conectado, desconectado y prueba.

76 Rel de sobreintensidad de CD es el que funciona cuando la intensidad en un circuito de CD sobrepasa un valor dado.

77 Transmisor de impulsos es el que se utiliza para generar o transmitir impulsos, a travs de un circuito de telemedida o hilos pilotos, a un dispositivo de indicacin o recepcin de distancia.

78 Rel de medio de ngulo de desfase o de proteccin de salida de paralelo es el que funciona con un valor determinado de ngulo de desfase entre dos tensiones o dos intensidades, o entre tensin e intensidad.

79 Rel de reenganche de CA es el que controla el reenganche enclavamiento de un interruptor de CA.

80 Rel de flujo lquido o gaseoso acta para valores dados de la magnitud del flujo o para determinadas velocidades de variacin de este

81 Rel de frecuencia es el que funciona con un valor dado de la frecuencia o por la velocidad de variacin de la frecuencia.

82 Rel de reenganche de CD es el que controla el cierre y reenganche de un interruptor de CD generalmente respondiendo a las condiciones de la carga del circuito.



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83 Rel de seleccin o transferencia del control automtico es el que funciona para elegir automticamente entre ciertas fuentes de alimentacin o condiciones en un equipo, o efecta automticamente una operacin de transferencia.

84 Mecanismo de accionamiento es el mecanismo elctrico completo, o servomecanismo, incluyendo el motor de operacin, solenoides, auxiliares de posicin, etctera, para un cambiador de tomas, regulador de induccin o cualquier pieza de un aparato que no tenga nmero de funcin.

85 Rel receptor de ondas portadoras o hilo piloto es el que se acciona o se frena por una seal y se usa en combinacin con una proteccin direccional que funciona con equipos de transmisin de onda portadora o hilos piloto de CD.

86 Rel de enclavamiento es un rel accionado elctricamente con reposicin a mando o elctrica, que funciona para parar y mantener un equipo fuera de servicio cuando concurren condiciones anormales.

87 Rel de proteccin diferencial es el que funciona sobre un porcentaje o ngulo de fase u otra diferencia cuantitativa de dos intensidades o algunas otras cantidades elctricas.

88 Motor o grupo motor generador auxiliar es el que se utiliza para accionar equipos auxiliares, tales como bombas, ventiladores, excitatrices, etctera.

89 Desconectador de lnea es el que se utiliza como un desconectador de desconexin o aislamiento en un circuito de potencia de CA o CD cuando este dispositivo se acciona elctricamente o bien tiene accesorios elctricos, tales como interruptores auxiliares, enclavamiento electromagntico, etctera.

90 Dispositivo de regulacin es el que funciona para regular una cantidad, tal como la tensin, intensidad, potencia, velocidad, frecuencia, temperatura o carga a un valor dado, o bien ciertos lmites para las mquinas, lneas de unin u otros aparatos.

91 Rel direccional de tensin es el que funciona cuando la tensin entre los extremos de un interruptor o contactor abierto sobrepasa de un valor dado en una direccin dada.

92 Rel direccional de tensin y potencia es un rel que permite y ocasiona la conexin de dos circuitos cuando la diferencia de tensin entre ellos excede de un valor dado en una direccin predeterminada y da lugar a que estos dos circuitos sean desconectados uno del otro cuando la potencia circulante entre ellos excede un valor dado en la direccin opuesta.

93 Contador de cambio de campo es el que funciona para cambiar el valor de la excitacin de la mquina.

94 Rel de disparo o disparo libre es el que funciona para disparar o permitir disparar un interruptor, contactor o equipo, o para evitar el reenganche inmediato de un interruptor en el caso de que abra por sobrecarga, aunque el circuito inicial de mando de cierre sea mantenido.



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NMX-J-136-ANCE-2007 Descripcin Smbolo Descripcin Smbolo

Circuito (conductor o tubo) confinado entecho o pared

Circuitos (conductor o tubo). Las lneas inclinadas indican nmero de conductores.

Ensamble de conductores que se conectan.

Ensamble de conductores que no se conectan.

Conexin puesta a tierra.

Interruptor

Interruptor termomagntico (automtico)

Arrancador (con proteccin contra sobrecarga)

Arrancador a tensin plena

Arrancador a tensin reducida

Fusible o

Acometida

Receptculos sencillo Receptculo doble

Receptculo trifsico Interruptor sencillo

Receptculo de piso

Receptculo de puesta a tierra

Interruptor de un polo

Interruptor de 3 polos

Salida de lmpara incandescente

Resistencia

Capacitancia Devanado

Motor o

Transformador con dos devanados o



158

Descripcin Smbolo Descripcin Smbolo

Transformador con dos devanados

o

Autotransformador

Transformador de potencial

Voltmetro

Ampermetro

Zumbador

Tablero elctrico general

Tablero de distribucin general

Tablero de distribucin de alumbrado

Medio de desconexin

Interruptor de seguridad

Apartarrayos

Transformador de corriente

Equipo de medicin o

Grupo generador

Interruptor de seguridad (desconectador de seguridad)

Barra de neutro

Barra de pu

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