Formulas de Volumen

7/25/2019 Formulas de Volumen

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Medici del volumen de un objeto

El procedimiento a seguir para medir el volumende un objeto, depender elestado en que se encuentre: gaseoso, lido o so.

En el caso de nubes gaseosas el volumen varconsiderablemente seg? temperatura ypresitambi depende de si est o no contenido en un recipiente y, si lo

est adoptar a forma y el tama de dicho recipiente. Si la masa gaseosaest isuelta en la atmra, es difl precisar qu e entiende porvolumen.

Para medir el volumen de un lido, se emplean diversosrecipientes graduados, dependiendo de la eactitud con la que

se desee conocer dicho volumen.

!lgunos sos tienen formas sencillas y su volumen

puede calcularse en base a la geometrclca. Por ejemplo, el volumen deun so puede calcularse aplicandoconocimiento que proviene de la geometr

"idiendo sus dimensiones, y aplicando una flaadecuada, podemos determinar su volumen. !selvolumen de un paralelepdo recto se determinamidiendo las tres aristas concurrentes a un v ice y

multiplicolas# el cubo es un caso especial deparalelepdo en el que todas sus aristas son iguales ysu volumen se obtiene elevando a tres su arista.

En general, eisten procedimientos similares para obtener el volumen de otroscuerpos como los prismas y las pirdes. Estos cuerpos geom icos tienen unacaracterica que los agrupa: el volumen de los paralelepdos, los prismas y los

cilindros, $sean ellos rectos u oblicuos%, se obtiene multiplicando la medida de sua basal por la medida de su altura y en el caso de las pirdes y conos, $tambi rectos u oblicuos% su volumen es igual a un tercio del producto entre la medida dela basal y su altura. &a esfera es un caso especial, ya que su volumen es

Si un so tiene una forma a la que no es posible aplicar alguna fla conocida, sepueden aplicar otros procedimientos tales como el principio de Cavalieri o el mdo de desplazamiento de agua, en el cual dicho despla'amiento es provocadopor un cuerpo al sumergirlo en un recipiente con agua.

El volumen de un cuerpo es un n? que indica la cantidad de espacio queocupa. Este n? se acompaor una unidad de medida pertinente que permitedimensionar el volumen medido.

Volumen en cuerpos poli icos regulares

El volumen de un cuerpo regular es un n? que se obtiene comparando el volumen

del cuerpo con la unidad. (onsideraremos a la unidad como un cubo de arista uno ypor definici su volumen ser . Entonces, la medida del volumen de un cuerposer gual al n? de cubos unitarios que contenga. Por ejemplo, considerando el cubo


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unidad que se indica en la figura, el cuerpo adjunto est ormado por )* cubosunidad. Podemos afirmar entonces que el cuerpo del ejemplo tiene )* unidades devolumen .

Unidades de medida del volumen

&as unidades de volumen son estandari'aciones que permiten dimensionar el n?

que indica el volumen. (omo unidad base, se considera a un cubo cuya arista mide

un centtro o un metro, un +ilro, etc. Por definici su volumen tendr l valor ,acompa de la unidad de su arista elevada a tres. Por ejemplo, en la figurasiguiente, el volumen del cubo mide un centtro c? y se abrevia por cm-.

olumen del cubo unidad / cm-

En la siguiente tabla se muestra las unidades de medida de volumenmutili'adas:

Arista delcubo

unidad

Unidad deVolumen

asociada

Abreviatura

"iltro "iltro c? mm-

(enttro (enttro c? cm-

0ectro 0ectro c?

dm-

"etro "etro c? m-

0ectro 0ectro c? 0m-

1ectro 1ectro c? 1m-

2ilro 2ilro c? 2m-

Si la unidad de volumen del cubo unidad es el centtro c?o, entonces todos los vol?sobtenidos a partir de estar en centtros c?s. Se sigue la misma analogsi el cubounidad tiene otra unidad de volumen.

Medici del volumen de algunos cuerpos simples con dos caras paralelas


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Volumen de un cubo

3n cuboes cuerpo formado por seis caras cuadradas y en cada v ice convergen -aristas mutuamente perpendiculares.

El volumen de un cubo es igual al valor de su aristaelevada a tres, como muestra la siguiente figura: Si la

arista del cubo adjunto mide - cm entonces su volumense obtiene elevando a tres su arista:

cubo/$-cm%-/ --cm-/ )4cm-

Por lo tanto, si la arista de un cubo mide a, entonces su volumen se calcula a travde la fla:

El volumen a ? a ? a = a3de un cubo se puede tambi definir como el producto

del a de la cara basal a ? apor la altura a, es decir:

/ a ? a ? a=(a ? a )? a/ a2? a / a3

Volumen de un paralelepdo

3n paralelepdoes un cuerpo de seis caras pudiendo ser dos de ellas cuadradas$caras basales% y el resto rectangular $caras laterales%. Si las caras laterales sonperpendiculares a la altura del cuerpo entonces es le denomina paralelepdo recto,en caso contrario se trata de un paralelepdo oblicuo.

El volumen del paralelepdo rectose calcula multiplicando laslongitudes de las tres aristas convergentes a un v ice. Por

ejemplo, si las aristas de un paralelepdo recto son ), - y 5 cmentonces el volumen del mismo se obtiene multiplicando ) ? - ? 5:

Por lo tanto, si las tres aristas concurrentes a un v ice miden a,

by centonces su volumen se calcula a trav de la fla:

El volumen a ? b ? c de un paralelepdorectose puede tambi definir como el

producto del a de la cara basal a ? bpor la altura c, es decir:

V = (a ? b ) ? c = a ? b ? c

El procedimiento para calcular el volumen de un paralelepdo oblicuovarrespectoal del paralelepdo recto s en que la altura debe medirse en la perpendicular


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levantada desde el plano que contiene a base inferior hasta alg? punto de la base

superior, como muestra la la roja en la figura adjunta.

Si las aristas de un paralelepdo oblicuo son ), - y 6 cm $comomuestra la figura adjunta% entonces su volu?men se obtienemultiplicando el a de la base $) ? - / 5% por la altura del

mismo $5 ? 6 / )6%, es decir:

Por lo tanto, si las aristas de la base de un paralelepdo miden ay b, y su alturamide hentonces su volumen se calcula a trav de la fla del paralelepdo recto:

El volumen a ? b ? hde un paralelepdo oblicuo de aristas basales a, by altura htambi se puede definir como el producto del a de la cara basal a ? bpor laaltura h, es decir,

V = (a ? b )? h= a ? b ? h

Volumen de un cilindro recto

3n cilindro recto, de base circular, es un cuerpo formado por dos caras circulares

paralelas, como base, cuyos centros pertenecen a un segmento de recta

perpendicular a ambos culos, y por una superficie que las rodea por su borde, comomuestra la figura adjunta.

El volumen de un cilindro rectode base circular de radio ryaltura hse obtiene multiplicando el a de la circunferenciabasal por la altura h.

Sabemos que el a de un culo de radiores:

Aculo = p ? r2

El volumen del cilindro cuya base es el culo descrito anteriormente se obtienemultiplicando el a de dicho culo por la altura del cilindro, es decir:

Vcilindro = Aculo ? h o sea:

El volumenp ? r2? h de un cilindro recto de base circular $con radio r%y altura htambi se puede definir como el producto del a de la cara basalp ? r2por la

altura h, es decir,

V/ (p ? r2)? h/p ? r2 ? h


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Volumen de un cilindro oblicuo de base circular

3n cilindro oblicuo, de base circular, es un cuerpo formado por dos carascirculares paralelas, como base, cuyos centros pasan por un segmento de recta

que, a diferencia del cilindro recto, noes perpendicular a ambos culos, y rodeado

por una superficie que ajusta a los culos, como muestrala figura adjunta.

El volumen de un cilindro oblicuode base circular deradio ry altura hse obtiene multiplicando el a de lacircunferencia basal por la altura h.

Sabemos que el a de un culo de radio res:

Aculo = p ? r2

El volumen del cilindro cuya base es el culo descrito anteriormente se obtiene

multiplicando el a de dicho culo por la altura del cilindro, es decir:

Vcilindro = Aculo ? h o sea:

Podemos resumir el c ulo del volumen de paralelepdos y cilindros en el siguienteesquema:

Medici del volumen de algunos cuerpos simples con suna cara de base

Las pirdes

3na pirde es un poliedro formado por un polno, llamado base, y por caraslaterales triangulares con un v ice com?amado v ice de la pirde. 0ependiendo

del n? de lados del polno base $o equivalentemente del n? de caras laterales% seclasifican en pirdes triangulares, cuadrangulares, etc.

Volumen de una pirde recta de base cuadrada

3na pirde recta de base cuadrada es aquella cuya base es un cuadrado de lado

ay en la que el segmento bajado desde el v ice de la pirde es perpendicular al


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plano de su base. !dem la longitud hde ese segmento se llama altura de la

pirde. er figura adjunta:

El volumen de la pirde recta de base cuadrada seobtiene dividiendo por tres al producto entre su a

basal a2y su altura h, es decir:

Volumen de una pirde oblicua de base cuadrada

3na pirde oblicua de base cuadradaes aquella

cuya base es un cuadrado de lado ay en la que el

segmento bajado desde el v ice de la pirde hastasu base noes perpendicular al plano de la base. &aperpendicular bajada desde el v ice de la pirde

hasta su base $o al plano que contiene a la base% sellama altura de la pirde. En la figura adjunta, laaltura tiene longitud h.

El volumen de la pirde oblicua de base cuadrada se obtiene de manera an ga alde las pirdes rectas, usando la misma fla, es decir:

Volumen de conos rectos

&a figura siguiente muestra un cono rectode radio basal ry altura h. &a base delcono es un culo, cuya a es:

Aculo = p ? r2

El volumen del cono rectocorresponde a la tercera partedel producto entre el a de su base y su altura, es decir:

Volumen de conos oblicuos


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El c ulo del volumen en los conos oblicuoses an go al de los cilindros rectos.

Podemos observar en la figura adjunta, un cono oblicuo de altura hy radio basal r.Su volumen se obtiene, una ve' m de manera an ga al del cono recto y su flaes la misma:

Podemos resumir el c ulo del volumen de pirdes y conos en el siguienteesquema:

Medici del volumen de la esera

El volumen de una esfera de radio rse obtiene a trav de la fla:

Arqudeside m do simple para determinar el volumen de la esfera. 7maginasemiesfera, un cono y un cilindro juntos. Supuso que la esfera tenradio Ry tanto el

cono como el cilindro con el mismo radio basal R. 8ambi supuso que las alturasdel cono y el cilindro med Rcomo muestra la siguiente figura:


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0e estas figuras, son conocidos los vol?s:

9 0el cilindro: radio Ry altura R, o sea p?R2?R = p?R3

9 0el cono: radio Ry altura R, o sea (p?R2?R )/3 = (p?R3)/3

&uego corts tres figuras con un plano paralelo a la base del cilindro y del cono y auna distancia dde la parte superior de las figuras. &uego se preguntmo ser lassecciones determinados por este plano en la semiesfera, el cono y el cilindro:

La secciel cilindro

En el cilindro la secciue determina el plano es claramente un culo de radio Ry sua es:

La seccie la semiesera

En la semiesfera, la secciircular que determina el plano que corta a la

semiesfera, tiene un radio r$menor a R% que depende de la distancia d. &asiguiente figura muestra la situaci

El a del culo de radio r, es:


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!dem usando el !eorema de "itras, en el triulo rectulo de lados R, dy r

se cumple que:

La seccin el cono

El cono que considerqudes, tiene altura y radio basal R, por lo tanto el triulo

formado por dicho radio basal, la altura y la pared del cono es rectulo e isles.Por semejan'a de triulos, el circulo que determina el plano que corta al cono tieneradio d. &a siguiente figura lo muestra:

En el cono, la secciue determina el plano, es un culo de radio dy su a es:

#untando las las

1asta ahora sabemos que:

pero de la semiesfera obtuvimos que:

Si en el a del cilindro reempla'amos R2 por r2 d2 entonces tendremos que:


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Es decir, la suma de las as de las secciones del cono y la semiesfera es igual al

a de la secciel cilindro.

Esto ocurre para cualquier valor de d, por lo tanto, si consideramos las secciones$que forma el plano al cortar las figuras% como rebanadas finas, para cada trderebanadas tendros que:

;ebanada del cilindro / ;ebanada de la semiesfera ;ebanada del cono

0e la relacinterior podros suponer entonces que:

olumen del cilindro / olumen de la semiesfera olumen del cono

y si reempla'amos en esta relacias flas conocidas del volumen del cono y elcilindro, entonces es posible determinar el volumen de la semiesfera:

0espejando,

Por lo tanto, el volumen de la eseraes el doble del de la semiesfera:

El m do de !rqudes para encontrar el volumen de la esfera es simple e ingenioso.!rqudes quedn maravillado con que dispuso grabar en su tumba esta figura, en

recuerdo de su idea:

Clasiicaci de los cuerpos

Se puede observar del diagrama que a partir de esta clasificaci eistenbcamente tres formas de calcular su volumen: el de los cilindros, el de laspirdes y el de la esfera.


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Medici del volumen en cuerpos no regulares

"or desplazamiento de lido

(uando un so no tiene una forma geom ica que permita determinar por c ulo

su volumen, se mide e directamente. El procedimiento se le atribuyea Arqudes.

Supongamos que se desea saber el volumen de una piedra pequePorlo general las piedras tienen una forma muy irregular, por lo que esmuy difl calcular su volumen comparolo con un cubo unidad. Enestos casos se calcula su volumen por despla'amiento de agua.

En un recipiente graduado vertemos un lido y, a continuaci

sumergimos en el so cuyo volumen deseamos conocer. El aumentode nivel del lido nos permitir por sustracci determinar el volumendel so.
http://arqui%28%27arquimedes.htm%27%29/http://arqui%28%27arquimedes.htm%27%29/


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!l introducir el objeto al recipiente el agua subi nivel marcando un volumen de cm -. !ntes de introducirlo el volumen del agua marcaba = cm -por lo que ladiferencia de volumen se debe al objeto.

El volumen del objeto se obtiene restando el volumen del agua, con el objeto,menos el volumen del agua sin el objeto:

/ cm - 9 = cm - / ) cm -

Por lo tanto el objeto tiene un volumen de ) cm-.

Este m do es bastante sencillo, pero es ?spara objetos pequeque no absorbenel lido en el que son sumergidos.


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