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Fórmulas de Aritmética
Fracciones
Potencias
Potencias negativas
Radicales
Proporcionalidad
Sistema métrico decimal
Unidades inglesas
Divisibilidad
Fracciones
Número mixto
Para pasar de número mixto a fracción impropia ,
se deja el mismo denominador y el numerador es
la suma del producto del entero por el
denominador más el numerador , del número mixto.
Fracciones equivalentes
Dos fracciones son equivalentes cuando el
producto de extremos es igual al producto de
medios.
Reducción de fracciones a común denominador
1º Se determina el denominador común , que será
el mínimo común múltiplo de los denominadores .
2º Este denominador, común, se divide por
cada uno de los denominadores, multiplicándose
el cociente obtenido por el numerador
correspondiente.
Suma y resta de fracciones
Con el mismo denominador
Se suman o se restan los numeradores y se
mantiene el denominador.
Con distinto denominador
En primer lugar se reducen los denominadores a
común denominador , y se suman o se restan los
numeradores de las fracciones equivalentes
obtenidas .
Multiplicación de fracciones
El producto de dos fracciones es otra fracción que
tiene:
Por numerador el producto de los numeradores .
Por denominador el producto de los
denominadores .
División de fracciones
El cociente de dos fracciones es otra fracción que
tiene:
Por numerador el producto de los extremos .
Por denominador el producto de los medios .
.
Potencia de fracciones
Propiedades
Fracción generatriz
Pasar de decimal exacto a fracción
Si la fracción es decimal exacta , la fracción tiene
como numerador el número dado sin la coma, y por
denominador, la unidad seguida de tantos ceros
como cifras decimales tenga.
Pasar de periódico puro a fracción generatriz
Si la fracción es periódica pura , la fracción
generatriz tiene como numerador el número dado
sin la coma, menos la parte entera, y por
denominador un número formado por tantos
nueves como cifras tiene el período.
Pasar de periódico mixto a fracción generatriz
Si la fracción es periódica mixta , la fracción
generatriz tiene como numerador el número dado
sin la coma, menos la parte entera seguida de las
cifras decimales no periódicas, y por
denominador, un numero formado por tantos
nueves como cifras tenga el período, seguidos de
tantos ceros como cifras tenga la parte decimal no
periódica.
Potencias
Potencias de exponente 0
a0 = 1
50 = 1
Potencias de exponente 1
a1 = a
51 = 5
Potencias de exponente entero negativo
Potencias de exponente racional
Potencias de exponente racional y negativo
Multiplicación de potencias con la misma base
am · a n = am+n
25 · 22 = 25 + 2 = 27
División de potencias con la misma base
am : a n = am - n
25 : 22 = 25 - 2 = 23
Potencia de un potencia
(am)n=am · n
(25)3 = 21 5
Multiplicación de potencias con el mismo
exponente
an · b n = (a · b) n
23 · 43 = 83
División de potencias con el mismo exponente
an : b n = (a : b) n
63 : 33 = 23
Ejercicios
33 · 34 · 3 = 38
57 : 53 = 54
(53)4 = 512
(5 · 2 · 3) 4 = 304
(34)4 = 316
[(53)4]2 = (51 2)2 = 524
(82)3 =[( 23)2]3 = (26)3 = 218
(93)2 = [(32)3]2 = (36)2 = 312
25 · 24 · 2 = 210
27 : 26 = 2
(22)4 = 28
(4 · 2 · 3)4 = 244
(25)4 = 220
[(23 )4]0 = (21 2)0 = 20 = 1
(272)5 =[(33)2]5 = (36)5 = 330
(43)2 = [(22)3]2 = (26)2 = 212
(−2)2 · (−2)3 · (−2)4 = (−2)9 = −512
(−2)− 2 · (−2)3 · (−2)4 = (−2)5 = −32
2− 2 · 2− 3 · 24 = 2− 1 = 1/2
22 : 23 = 2− 1 = 1/2
2− 2 : 23 = 2− 5 = (1/2)5 = 1/32
22 : 2− 3 = 25 = 32
2− 2 : 2− 3 = 2
Potencias negativas
Potencias de base negativa
Para determinar el signo de una potencia de base
negativatendremos en cuenta que:
1. Las potencias de exponente par son
siemprepositivas .
26 = 64
(−2)6 = 64
2. Las potencias de exponente impar tiene
el mismo signo de la base.
23 = 8
(−2)3 = −8
Potencias de exponente negativo
La potencia de un número con exponente
negativo es igual al inverso del número elevado
a exponente positivo .
Ejercicios de potencias negativas
(−3)1 · (−3)3 · (−3)4 = (−3)8 = 6561
(−3)2 · (−3)3 · (−3)− 4 = −3
3− 2 · 3− 4 · 34 = 3− 2 = (1/3)2 = 1/9
5− 2 : 53 = 5− 5 = (1/5)5 = 1/3125
(−3)1 · [(−3)3]2 · (−3)− 4 = (−3)1 · (−3)6·
(−3)− 4 = (−3)3
Radicales
Fórmulas y propiedades de los radicales
Un radical es una expresión de la forma , en la
que n y a ; con tal que cuando a sea
negativo, n ha de ser impar.
Expresión de un radical en forma de potencia
Simplificación de radicales
Si existe un número natural que divida al índice y al
exponente (o los exponentes) del radicando, se obtiene
un radical equivalente.
Reducción de radicales a índice común
1Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices ,
que será el común índice
2Dividimos el común índice por cada uno de los
índices y cada resultado obtenido se multiplica por sus
exponentescorrespondientes.
Extracción de factores fuera del signo radical
Se descompone el radicando en factores . Si:
Un exponente es menor que el índice, el factor
correspondiente se deja en el radicando .
Un exponente es igual al índice, el factor
correspondiente sale fuera del radicando .
Un exponente es mayor que el índice , se
divide dicho exponente por el índice .
El cociente obtenido es el exponente del factor
fuera del radicando y el resto es el exponente del
factor dentro del radicando.
Introducción de factores dentro del signo radical
Se introduce los factores elevados al índice
correspondiente del radical.
Suma de radicales
Solamente pueden sumarse (o restarse) dos
radicales cuando son radicales semejantes, es decir, si
son radicales con el mismo índice e igual radicando.
Propiedades de los radicales
Producto de radicales
Radicales del mismo índice
Para multiplicar radicales con el mismo índice se
multiplican los radicandos y se deja el mismo índice .
Radicales de distinto índice
Primero se reducen a índice común y luego se
multiplican.
Cociente de radicales
Para dividir radicales con el mismo índice se
dividen los radicandos y se deja el mismo índice.
Radicales de distinto índice
Primero se reducen a índice común y luego se
dividen.
Potencia de radicales
Para elevar un radical a una potencia se eleva a
dicha potencia el radicando y se deja el mismo índice.
Raíz de un radical
La raíz de un radical es otro radical de igual
radicando y cuyo índice es el producto de los dos
índices.
Racionalizar radicales
Consiste en quitar los radicales del denominador , lo
que permite facilitar el cálculo de operaciones como la
suma de fracciones.
Podemos distinguir tres casos.
1Del tipo
Se multiplica el numerador y el denominador por
.
2Del tipo
Se multiplica numerador y denominador por .
3Del tipo , y en general cuando el
denominador sea un binomio con al menos un radical.
Se multiplica el numerador y denominador por el
conjugado del denominador.
Proporcionalidad
Razón
Proporción
Constante de proporcionalidad
Propiedad de las proporciones
Proporción continua
Medio proporcional
Tercero proporcional
Cuarto proporcional
Porcentajes
Repartos directamente proporcionales
Repartos inversamente proporcionales
Regla de tres simple directa
Regla de tres simple inversa
Regla de tres compuesta directa
Regla de tres compuesta inversa
Regla de tres compuesta mixta
Ejercicios
Ana compra 5 kg de patatas, si 2 kg cuestan 0.80 €,
¿cuánto pagará Ana?
Son magnitudes directamente proporcionales , ya
que a más kilos, más euros.
2 kg 0.80 €
5 kg x €
3 obreros construyen un muro en 12 horas, ¿cuánto
tardarán en construirlo 6 obreros?
Son magnitudes inversamente proporcionales , ya
que a más obreros tardarán menos horas.
3 obreros 12 h
6 obreros x h
11 obreros labran un campo rectangular de 220 m
de largo y 48 de ancho en 6 días. ¿Cuántos obreros
serán necesarios para labrar otro campo análogo de
300 m de largo por 56 m de ancho en cinco días?
220 · 48 m² 6 días 11 obreros
300 · 56 m² 5 días x obreros
A más superficie más obreros. Directa.
A más días menos obreros. Inversa.
Seis grifos, tardan 10 horas en llenar un depósito
de 400 m³ de capacidad. ¿Cuántas horas tardarán
cuatro grifos en llenar 2 depósitos de 500 m³ cada uno?
6 grifos 10 horas 1 depósito 400
m³
4 grifos x horas 2 depósitos 500
m³
A más grifos menos horas. Inversa.
A más depósitos más horas. Directa.
A más m³ más horas. Directa.
El precio de un ordenador es de 1200 € sin IVA.
¿Cuánto hay que pagar por él si el IVA es del 16%?
100 € 116 €
1200 € x €
Al comprar un monitor que cuesta 450 € nos hacen
un descuento del 8%. ¿Cuánto tenemos que pagar?
100 € 92 €
450 € x €
Se asocian tres individuos aportando 5000, 7500 y
9000 €. Al cabo de un año han ganado 6 450 €. ¿Qué
cantidad corresponde a cada uno si hacen un reparto
directamente proporcional a los capitales aportados?
Se reparte una cantidad de dinero, entre tres
personas, directamente proporcional a 3, 5 y 7.
Sabiendo que a la segunda le corresponde 735 €. Hallar
lo que le corresponde a la primera y tercera.
Repartir 420 €, entre tres niños en partes
inversamente proporcionales a sus edades, que son 3, 5
y 6.
Sistema métrico decimal
Medidas de longitudkilómetro km 1000 m
hectómetro hm 100 mdecámetro dam 10 m
metro m 1 mdecímetro dm 0.1 mcentímetro cm 0.01 mmilímetro mm 0.001 m
Medidas de masa
kilogramo kg 1000 g
hectogramo hg 100 g
decagramo dag 10 g
gramo g 1 g
decigramo dg 0.1 g
centigramo cg 0.01 g
miligramo mg 0.001
g
Otras unidades de masa
Tonelada métrica
1 t = 1000 kg
Quintal métrico
1 q = 100 kg
Medidas de capacidad
kilolitro kl 1000 l
hectolitro hl 100 l
decalitro dal 10 l
litro l 1 l
decilitro dl 0.1 l
centilitro cl 0.01 l
mililitro ml 0.001 l
Medidas de superficie
kilómetro cuadrado km2 1 000 000 m2
hectómetro cuadrado hm2 10 000 m2
decámetro cuadrado dam2 100 m2
metro cuadrado m2 1 m2
decímetro cuadrado dm2 0.01 m2
centímetro cuadrado cm2 0.0001 m2
milímetro cuadrado mm2 0.000001 m2
Unidades de superficie agrarias
Hectárea
1 Ha = 1 Hm2 = 10 000 m²
Área
1 a = 1 dam2 = 100 m²
Centiárea
1 ca = 1 m²
Medidas de volumen
kilómetro cúbico km3 1 000 000 000 m3
hectómetro cúbico hm3 1 000 000m3
decámetro cúbico dam3 1 000 m3
metro m3 1 m3
decímetro cúbico dm3 0.001 m3
centímetro cúbico cm3 0.000001 m3
milímetro cúbico mm3 0.000000001 m3
Relación entre unidades de capacidad, volumen y masa
Capacidad VolumenMasa (de
agua)
1 kl 1 m³ 1 t
1 l 1 dm3 1 kg
1 ml 1 cm³ 1 g
Unidades inglesas
Medidas de longitud
Pulgada = 2.54 cm.
Pie = 12 pulgadas = 30.48 cm.
Yarda = 3 pies = 91.44 cm.
Braza = dos yardas = 1. 829 m.
Milla terrestre = 880 brazas = 1.609 kilómetros.
Milla náutica = 1.853 m.
Medidas de masa
Onza = 28.3 g.
Libra = 454 g.
Medidas de capacidad
Pinta (Gran Bretaña) = 0.568 l.
Pinta (EE.UU.) = 0.473 l.
Barril = 159 l.
Medidas de superficie
Acre = 4 047 m².
Divisibilidad
Un número es divisible por :
2, si termina en cero o número par.
24, 238, 1024.
3, si la suma de sus dígitos nos da múltiplo de 3.
36, 564, 2040.
5, si termina en cero o cinco.
45, 515, 7525.
7, cuando la diferencia entre el número sin la cifra
de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es
0 ó múltiplo de 7.
343
34 - 2 · 3 = 28, es mútiplo de 7
105
10 - 5 · 2 = 0
2261
226 - 1 · 2 = 224
Volvemos a repetir el proceso con 224.
22 - 4 · 2 = 14, es mútiplo de 7.
11 , si la diferencia entre la suma de las cifras que
ocupan los lugares pares y la de los impares es 0 ó
múltiplo de 11 .
4224
(4 + 2) - (2 + 4) = 0
Otros criterios de divisblilidad
4, si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo
de 4.
36, 404, 1 028.
6, si es divisible por 2 y por 3.
72, 324, 2 400
8, si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de
8.
4000, 1048, 1 512.
9, si la suma de sus dígitos nos da múltiplo de 9.
81, 900, 3 663.
10 , si la cifra de las unidades es 0.
130, 1440, 10 230
25 , si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo
de 25.
500, 1025, 1875.
125 , si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo
de 125.
1000, 1 125, 4 250.
Factorización de un número
Para factorizar un número o descomponerlo en
factores efectuamos sucesivas divisiones entre sus
divisores primoshasta obtener un uno como cociente .
Para realizar las divisiones util izaremos una barra
vertical , a la derecha escribimos los divisores primos y
a la izquierda los cocientes .
432 = 24 · 33
Fórmulas de Álgebra
Monomios
Polinomios
Binomio de Newton
Factorización de polinomios
Fracciones algebraicas
Ecuaciones
Sistemas de ecuaciones
Fórmulas de Álgebra lineal
Operaciones con matrices
Determinantes
Sistema Cramer
Método Gauss I
Método Gauss II
Discusión de sistemas
Monomio
Definición de monomio
Un monomio es una expresión algebraica en la
que las únicas operaciones que aparecen entre las
variables son el producto y la potencia de exponente
natural .
2x 2
y 3
z
Partes de un monomio
Coeficiente
El coeficiente del monomio es el número que
aparece multiplicando a las variables.
Parte literal
La parte literal está constituida por las letras y
sus exponentes.
Grado
El grado de un monomio es la suma de todos los
exponentes de las letras o variables.
El grado de 2x 2 y 3 z es: 2 + 3 + 1 = 6
Monomios semejantes
Dos monomios son semejantes cuando tienen
la misma parte literal .
2x 2 y 3 z es semejante a 5x 2 y 3 z
Operaciones con monomios
Suma de monomios
Sólo podemos sumar monomios semejantes .
La suma de los monomios es otro monomio que
tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es
la suma de los coeficientes.
ax n + bx n = (a + b)x n
2x 2 y 3 z + 3x 2 y 3 z = 5x 2 y 3 z
Si los monomios no son semejantes se obtiene
un polinomio .
2x 2 y 3 + 3x 2 y 3 z
Producto de un número por un monomio
El producto de un número por un monomio es
otro monomio semejante cuyo coeficiente es
el producto del coeficiente de monomio por el
número .
5 · 2x 2 y 3 z = 10x 2 y 3 z
Multiplicación de monomios
La multiplicación de monomios es
otro monomio que tiene por coeficiente el producto
de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene
multiplicando las potencias que tenga la misma
base , es decir, sumando los exponentes.
ax n · bx m = (a · b)x n +m
5x 2 y 3 z · 2 y 2 z 2 = 10 x 2 y 5 z 3
División de monomios
Sólo se pueden dividir monomios con la misma
parte literal y con el grado del dividendo mayor o
igual que el grado de la variable correspondiente
del divisor .
La división de monomios es otro monomio que
tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes
y cuya parte literal se obtiene dividiendo las
potencias que tenga la misma base , es decir,
restando los exponentes.
ax n : bx m = (a : b)x n − m
Si el grado del divisor es mayor , obtenemos
una fracción algebraica .
Potencia de un monomio
Para realizar la potencia de un monomio se eleva,
cada elemento de éste, al exponente de la potencia.
(ax n ) m = a m · x n · m
(2x 3 ) 3 = 2 3 (x 3 ) 3 = 8x 9
(-3x 2 ) 3 = (-3) 3 (x 3 ) 2 = −27x 6
Ejercicios resueltos de monomios
1 Indica cuales de las siguientes expresiones
son monomios . En caso afirmativo, indica
su grado y coeficiente .
1 3x 3
Grado del monomio : 3 , coefeciente : 3
2 5x − 3
No es un monomio , porque el exponente no es un
número natural.
3 3x + 1
No es un monomio , porque hay una suma.
4
Grado del monomio : 1 , coefeciente:
5
Grado del monomio : 4 , coefeciente:
6
No es un monomio , porque no tiene exponente
natural.
7
No es un monomio , porque la parte literal está
dentro de una raíz.
2 Realiza las sumas y restas de monomios.
1 2x 2 y 3 z + 3x 2 y 3 z = 5x 2 y 3 z
2 2x 3 − 5x 3 = −3x 3
3 3x 4 − 2x 4 + 7x 4 = 8x 4
4 2 a 2 b c 3 − 5a 2 b c 3 + 3a 2 b c 3 − 2 a 2 b c 3 = −2
a 2 b c 3
3 Efectúa los productos de monomios .
1 (2x 3 ) · (5x 3 ) = 10x 6
2 (12x 3 ) · (4x) = 48x 4
3 5 · (2x 2 y 3 z) = 10x 2 y 3 z
4 (5x 2 y 3 z) · (2 y 2 z 2 ) = 10 x 2 y 5 z 3
5 (18x 3 y 2 z 5 ) · (6x 3 y z 2 ) = 108x 6 y 3 z 7
6 (−2x 3 ) · (−5x) · (−3x 2 ) = −30x 6
4 Realiza las divisiones de monomios .
1 (12x 3 ) : (4x) = 3x 2
2 (18x 6 y 2 z 5 ) : (6x 3 y z 2 ) = 3x 3 y z 3
3 (36 x 3 y 7 z 4 ) : (12x 2 y 2 ) = 3xy 5 z 4
4
5 4x 3 y + 3x 2 y 2 − 8x 8
6
5 Calcula las potencias de los monomios .
1 (2x 3 ) 3 = 2 3 (x 3 ) 3 = 8x 9
2 (-3x 2 ) 3 = (-3) 3 (x 3 ) 2 = −27x 6
3
Operaciones con polinomios
Suma de polinomios
Para sumar dos polinomios se suman los
coeficientes de los términos del mismo grado.
P(x) = 2x 3
+ 5x − 3
Q(x) = 4x − 3x 2
+ 2x 3
1. Ordenamos los polinomios , si no lo están.
Q(x) = 2x 3
− 3x 2
+ 4x
P(x) + Q(x) = (2x 3 + 5x − 3) + (2x 3 − 3x 2 + 4x)
2. Agrupamos los monomios del mismo grado .
P(x) + Q(x) = 2x 3 + 2x 3 − 3 x 2 + 5x + 4x − 3
3. Sumamos los monomios semejantes .
P(x) + Q(x) = 4x 3 − 3x 2 + 9x − 3
Resta de polinomios
La resta de polinomios consiste en sumar al
minuendo el opuesto del sustraendo.
P(x) − Q(x) = (2x 3 + 5x − 3) − (2x 3 − 3x 2 + 4x)
P(x) − Q(x) = 2x 3 + 5x − 3 − 2x 3 + 3x 2 − 4x
P(x) − Q(x) = 2x 3 − 2x 3 + 3x 2 + 5x− 4x − 3
P(x) − Q(x) = 3x 2 + x − 3
Multiplicación de polinomios
Multiplicación de un número por un polinomio
Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del
polinomio y como coeficientes el producto de los
coeficientes del polinomio por el número .
3 · ( 2x 3 − 3 x 2 + 4x − 2) = 6x 3 − 9x 2 + 12x − 6
Multiplicación de un monomio por un polinomio
Se multiplica el monomio por todos y cada uno de
los monomios que forman el polinomio .
3 x 2 · (2x 3 − 3x 2 + 4x − 2) = 6x 5 − 9x 4 + 12x 3 − 6x 2
Multiplicación de polinomios
P(x) = 2x 2 − 3 Q(x) = 2x 3 − 3x 2 + 4x
Se multiplica cada monomio del primer
polinomio por todos los elementos segundo
polinomio.
P(x) · Q(x) = (2x 2 − 3) · (2x 3 − 3x 2 + 4x) =
= 4x 5 − 6x 4 + 8x 3 − 6x 3 + 9x 2 − 12x =
Se suman los monomios del mismo grado.
= 4x 5 − 6x 4 + 2x 3 + 9x 2 − 12x
Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la
suma de los grados de los polinomios que se
multiplican.
También podemos multiplicar polinomios de
siguiente modo:
División de polinomios
Resolver la división de polinomios:
P(x) = x 5 + 2x 3 − x − 8 Q(x) = x 2 − 2x + 1
P(x) : Q(x)
A la izquierda situamos el dividendo . Si el
polinomio no es completo dejamos huecos en los
lugares que correspondan.
A la derecha situamos el divisor dentro de una
caja.
Dividimos el primer monomio del dividendo
entre el primer monomio del divisor.
x 5 : x 2 = x 3
Multiplicamos cada término del polinomio
divisor por el resultado anterior y lo restamos del
polinomio dividendo:
Volvemos a dividir el primer monomio del
dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el
resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos
al dividendo.
2x 4 : x 2 = 2 x 2
Procedemos igual que antes.
5x 3 : x 2 = 5 x
Volvemos a hacer las mismas operaciones.
8x 2 : x 2 = 8
10x − 6 es el resto , porque su grado es menor
que el del divisor y por tanto no se puede continuar
dividiendo.
x 3 +2x 2 +5x+8 es el cociente .
División por Ruffini
Si el divisor es un binomio de la forma x — a ,
entonces util izamos un método más breve para hacer
la división , l lamado regla de Ruffini .
Resolver por la regla de Ruffini la división:
(x 4 −3x 2 +2) : (x −3)
1 Si el polinomio no es completo, lo
completamos añadiendo los términos que faltan
con ceros.
2 Colocamos los coeficientes del dividendo en
una línea.
3 Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del
término independendiente del divisor.
4 Trazamos una raya y bajamos el primer
coeficiente.
5 Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y
lo colocamos debajo del siguiente término.
6 Sumamos los dos coeficientes.
7 Repetimos el proceso anterior.
Volvemos a repetir el proceso.
Volvemos a repetir.
8 El último número obtenido , 56 , es el resto .
9 El cociente es un polinomio de grado inferior
en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes
son los que hemos obtenido.
x 3 + 3 x 2 + 6x +18
Ejercicios y problemas resueltos de polinomios
1 Dados los polinomios:
P(x) = 4x 2 − 1
Q(x) = x 3 − 3x 2 + 6x − 2
R(x) = 6x 2 + x + 1
S(x) = 1/2x 2 + 4
T(x) = 3/2x 2 +5
U(x) = x 2 + 2
Calcular:
1 P(x) + Q (x) =
= (4x 2 − 1) + ( x 3 − 3x 2 + 6x − 2) =
= x 3 − 3x 2 + 4x 2 + 6x − 2 − 1 =
= x 3 + x 2 + 6x − 3
2 P(x) − U (x) =
= (4x 2 − 1) − (x 2 + 2) =
= 4x 2 − 1 − x 2 − 2 =
= 3x 2 − 3
3 P(x) + R (x) =
= (4x 2 − 1) + (6x 2 + x + 1) =
= 4x 2 + 6x 2 + x − 1 + 1 =
= 10x 2 + x
4 2P(x) − R (x) =
= 2(4x 2 − 1) − (6x 2 + x + 1) =
= 8x 2 − 2 − 6x 2 − x − 1 =
= 2x 2 − x − 3
5 S(x) + T(x) + U(x) =
= (1/2x 2 + 4 ) + (3/2x 2 +5 ) + (x 2 + 2) =
= 1/2 x 2 + 3/2 x 2 + x 2 + 4 + 5+ 2 =
= 3x 2 + 11
6 S(x) − T (x) + U(x) =
= (1/2x 2 + 4) − (3/2x 2 +5) + (x 2 + 2) =
= 1/2x 2 + 4 − 3/2x 2 − 5 + x 2 + 2 =
= 1
2 Dados los polinomios:
P(x) = x 4 − 2x 2 − 6x − 1
Q(x) = x 3 − 6x 2 + 4
R(x) = 2x 4 −2 x − 2
Calcular:
P(x) + Q(x) − R(x) =
= (x 4 −2x 2 − 6x − 1) + (x 3 − 6x 2 + 4) − ( 2x 4 − 2x −
2) =
= x 4 −2x 2 − 6x − 1 + x 3 − 6x 2 + 4 − 2x 4 + 2 x + 2
=
= x 4 − 2x 4 + x 3 −2x 2 − 6x 2 − 6x + 2 x − 1 + 4 + 2
=
= −x 4 + x 3 − 8x 2 − 4x + 5
P(x) + 2 Q(x) − R(x) =
=(x 4 −2x 2 − 6x − 1) + 2(x 3 − 6x 2 + 4) − ( 2x 4 −2 x
− 2)=
= x 4 − 2x 2 − 6x − 1 +2x 3 − 12x 2 + 8 − 2x 4 + 2 x +
2 =
= x 4 − 2x 4 + 2x 3 −2x 2 − 12x 2 − 6x + 2x − 1 + 8 + 2
=
= −x 4 + 2x 3 − 14x 2 − 4x + 9
Q(x)+ R(x) − P(x)=
= (x 3 − 6x 2 + 4) + ( 2x 4 −2 x − 2) − (x 4 −2x 2 − 6x −
1) =
= x 3 − 6x 2 + 4 + 2x 4 −2 x − 2 − x 4 +2x 2 + 6x + 1=
= 2x 4 − x 4 + x 3 − 6x 2 +2x 2 −2 x + 6x + 4− 2 + 1=
= x 4 + x 3 − 4x 2 + 4x + 3
1 (x 4 −2x 2 +2 ) · (x 2 −2x +3) =
= x 6 −2x 5 + 3x 4 − 2x 4 + 4x 3 − 6x 2 + 2x 2 − 4x +6=
= x 6 −2x 5 − 2x 4 + 3x 4 + 4x 3 + 2x 2 − 6x 2 − 4x +6 =
= x 6 −2x 5 + x 4 + 4x 3 − 4x 2 − 4x + 6
2 (3x 2 − 5x) · (2x 3 + 4x 2 − x +2) =
= 6x 5 + 12x 4 − 3x 3 + 6x 2 − 10x 4 − 20x 3 + 5x 2 − 10x
=
= 6x 5 + 12x 4 − 10x 4 − 3x 3 − 20x 3 + 6x 2 + 5x 2 − 10x
=
= 6x 5 + 2x 4 − 23x 3 + 11x 2 − 10x
3 (2x 2 − 5x + 6) · (3x 4 − 5 x 3 − 6 x 2 + 4x − 3) =
= 6x 6 − 10x 5 − 12 x 4 + 8x 3 − 6 x 2 −
− 15x 5 + 25x 4 + 30x 3 − 20x 2 + 15x +
+18x 4 − 30x 3 − 36x 2 + 24x − 18 =
= 6x 6 − 10x 5 − 15x 5 − 12 x 4 + 25x 4 + 18x 4 +
+8x 3 − 30x 3 + 30x 3 − 6 x 2 − 20x 2 − 36x 2 + 15x + 24x
− 18 =
= 6x 6 − 25x 5 + 31x 4 + 8x 3 − 62x 2 + 39x − 18
3 Dividir los polinomios :
1 (x 4 − 2x 3 −11x 2 + 30x −20) : (x 2 + 3x −2)
2 (x 6 + 5x 4 + 3x 2 − 2x) : (x 2 − x + 3)
3 P(x) = 2x 5 + 2x 3 −x − 8 Q(x) = 3x 2 −2 x + 1
4 Dividir por Ruffini :
1 (x 3 + 2x +70) : (x+4)
2 (x 5 − 32) : (x − 2)
C(x) = x 4 + 2x 3 + 4x 2 + 8x + 16 R= 0
3 (x 4 −3x 2 +2 ) : (x −3)
C(x) = x 3 + 3 x 2 + 6x +18 R= 56
Fórmula del binomio de Newton
Podemos obtener los coeficientes por:
Números combinatorios .
Triángulo de Pascal .
Cálculo de término que ocupa el lugar k
Ejercicios resueltos del binomio de Newton
1
2
3
4
5
6 Hallar el término cuarto del desarrollo de .
7 Calcular el término cuarto del desarrollo de .
8 Encontrar el término quinto del desarrollo de .
9 Buscar el término octavo del desarrollo de
10 Hallar el término independiente del desarrollo
de .
Ejercicio 1 resuelto
Ejercicio 2 resuelto
Ejercicio 3 resuelto
Ejercicio 4 resuelto
Ejercicio 5 resuelto
Ejercicio 6 resuelto
Hallar el término cuarto del desarrollo de .
Ejercicio 7 resuelto
Calcular el término cuarto del desarrollo de .
Ejercicio 8 resuelto
Encontrar el término quinto del desarrollo de .
Ejercicio 9 resuelto
Buscar el término octavo del desarrollo de
Ejercicio 10 resuelto
Hallar el término independiente del desarrollo
de .
El exponente de a con el término independiente es 0, por tanto tomamos sólo la parte literal y la igualamos a a0.
Factorización de un polinomio
Para factorizar un polinomio y calcular sus
raíces vamos a seguir los siguientes pasos, cuando
sean posibles:
1º Factor común de un polinomio
Extraer factor común a un polinomio consiste en
aplicar la propiedad distributiva .
a · x + b · x + c · x =
= x (a + b + c)
Una raíz del polinomio será siempre x = 0
Descomponer en factores sacando factor
común y hallar las raíces de:
1 x 3 + x 2 = x 2 (x + 1)
La raíces son: x = 0 y x = − 1
2 2x 4 + 4x 2 = 2x 2 (x 2 + 2)
Sólo tiene una raíz X = 0; ya que el polinomio, x 2 +
2, no tiene ningún valor que lo anule; debido a que al
estar la x al cuadrado siempre dará un número positivo,
por tanto es irreducible.
3 x 2 − ax − bx + ab = x (x − a) − b (x − a) = (x
− a) · (x − b)
La raíces son x= a y x = b.
2º Igualdad notable
1 Diferencia de cuadrados
Una diferencia de cuadrados es igual a suma
por diferencia.
a 2 − b 2 = (a + b) · (a − b)
Descomponer en factores y hallar las raíces
1 x 2 − 4 = (X + 2) · (X − 2)
Las raíces son X = − 2 y X = 2
2 x 4 − 16 = (x 2 + 4) · (x 2 − 4) = (X + 2) · (X − 2)
· (x 2 + 4)
Las raíces son X = − 2 y X = 2
2 Trinomio cuadrado perfecto
Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un
binomio al cuadrado.
a 2 ± 2 a b + b 2 = (a ± b) 2
Descomponer en factores los trinomio
cuadrados perfectos y hallar sus raíces
La raíz es x = − 3.
La raíz es x = 2.
3º Trinomio de segundo grado
Para descomponer en factores el trinomio de
segundo grado P(x) = a x 2 + bx +c , se iguala a cero
y se resuelve la ecuación de 2º grado . Si las
soluciones a la ecuación son x 1 y x 2 , el polinomio
descompuesto será:
a x 2 + bx +c = a · (x -x 1 ) · (x -x 2 )
Descomponer en factores los trinomios de
segundo grado y hallar sus raíces
Las raíces son x = 3 y x = 2.
Las raíces son x = 3 y x = − 2.
Descomponer en factores los trinomios de
cuarto grado de exponentes pares y hallar sus
raíces
x 4 − 10x 2 + 9
x 2 = t
x 4 − 10x 2 + 9 = 0
t 2 − 10t + 9 = 0
x 4 − 10x 2 + 9 = (x + 1) · (x − 1) · (x + 3) · (x −
3)
x 4 − 2x 2 + 3
x 2 = t
t 2 − 2t + 3 = 0
x 4 − 2x 2 + 3 = (x 2 + 1) · (x + ) · (x − )
4º Factorización de un polinomio de grado
superior a dos
Utilizamos el teorema del resto y la regla de
Ruffini para calcular las raíces enteras.
Descomposición de un polinomio de grado
superior a dos y cálculo de sus raíces
P(x) = 2x 4 + x 3 − 8x 2 − x + 6
1 Tomamos los divisores del término
independiente: ±1, ±2, ±3.
2 Aplicando el teorema del resto sabremos para
que valores la división es exacta.
P(1) = 2 · 1 4 + 1 3 − 8 · 1 2 − 1 + 6 = 2 + 1− 8 − 1 +
6 = 0
3 Dividimos por Ruffini .
4 Por ser la división exacta , D = d · c
(x −1) · (2x 3 + 3x 2 − 5x − 6 )
Una raíz es x = 1.
Continuamos realizando las mismas operaciones al
segundo factor.
Volvemos a probar por 1 porque el primer factor
podría estar elevado al cuadrado.
P(1) = 2 · 1 3 + 3 · 1 2 − 5 · 1 − 6≠ 0
P(−1) = 2 · (− 1) 3 + 3 ·(− 1) 2 − 5 · (− 1) − 6= −2 +
3 + 5 − 6 = 0
(x −1) · (x +1) · (2x 2 +x −6)
Otra raíz es x = -1.
El tercer factor lo podemos encontrar aplicando la
ecuación de 2º grado o tal como venimos haciéndolo,
aunque tiene el inconveniente de que sólo podemos
encontrar raíces enteras .
El 1 lo descartamos y seguimos probando por − 1.
P(−1) = 2 · (−1) 2 + (−1) − 6 ≠ 0
P(2) = 2 · 2 2 + 2 − 6 ≠ 0
P(−2) = 2 · (−2) 2 + (−2) − 6 = 2 · 4 − 2 − 6 = 0
(x −1) · (x +1) · (x +2) · (2x −3 )
Sacamos factor común 2 en último binomio.
2x −3 = 2 (x − 3/2)
La factorización del polinomio queda:
P(x) = 2x 4 + x 3 − 8x 2 − x + 6 = 2 (x −1) · (x +1)
· (x +2) · (x − 3/2)
Las raíces son : x = 1, x = − 1, x = −2 y x = 3/2
Raíces son racionales
Puede suceder que el polinomio no tenga raíces
enteras y sólo tenga raíces racionales.
En este caso tomamos los divisores del término
independiente dividido entre los divisores del término
con mayor grado, y aplicamos el teorema del resto y la
regla de Ruffini.
P(x) = 12x 3 + 8x 2 − 3x− 2
Probamos por: .
Sacamos factor común 12 en el tercer factor.
Ejercicios resueltos de factorización de
polinomios
Factorizar los polinomios
1 9x 4 − 4x 2 =
x 2 · (9x 2 − 4) =
x 2 · (3x + 2) · (3x − 2)
2 x 5 + 20x 3 + 100x =
x · (x 4 + 20x 2 + 100) =
x · (x 2 + 10) 2
3 3x 5 − 18x 3 + 27x =
3x · (x 4 −6 x 2 + 9) =
= 3x · (x 2 − 3) 2
4 2x 3 − 50x =
=2x · (x 2 − 25 ) =
2x · (x + 5) · (x - 5)
5 2x 5 − 32x =
= 2x · (x 4 − 16 ) =
2x · (x 2 + 4) · (x 2 − 4) =
= 2x · (x 2 + 4) ·(x +2) · (x − 2)
6 2x 2 + x − 28
2x 2 + x − 28 = 0
2x 2 + x − 28 = 2 (x + 4) · (x − 7/2)
Descomponer en factores los polinomios
1
2 xy − 2x − 3y +6 =
= x · (y − 2) − 3 · (y − 2) =
= (x − 3) · (y − 2)
3 25x 2 − 1=
= (5x +1) ·(5x − 1)
4 36x 6 − 49 =
= (6x 3 + 7) · (6x 3 − 7)
5 x 2 − 2x +1 =
= (x − 1) 2
6 x 2 − 6x +9 =
= (x − 3) 2
7 x 2 − 20x +100 =
= (x − 10) 2
8 x 2 + 10x +25 =
= (x + 5) 2
9 x 2 + 14x +49 =
= (x + 7) 2
10 x 3 − 4x 2 + 4x =
= x · (x 2 − 4x +4) =
= x · (x − 2) 2
11 3x 7 − 27x =
= 3x · (x 6 − 9 ) =
= 3x · (x 3 + 3) · (x 3 − 3)
12 x 2 − 11x + 30
x 2 − 11x + 30 = 0
x 2 − 11x + 30 = (x −6) · (x −5)
13 3x 2 + 10x +3
3x 2 + 10x +3 = 0
3x 2 + 10x +3 = 3 (x − 3) · (x − 1/3)
14 2x 2 − x −1
2x 2 − x −1 = 0
2x 2 − x −1 = 2 (x − 1) · (x + 1/2)
Factorizar y hallar las raíces de los polinomios
1 2x 3 − 7x 2 + 8x − 3
P(1) = 2 · 1 3 − 7 · 1 2 + 8 · 1 − 3 = 0
(x −1 ) · (2x 2 − 5x + 3 )
P(1) = 2 · 1 2 −5 · 1 + 3 = 0
(x −1 ) 2 · (2x −3 ) = 2 (x − 3/2 ) · (x −1 ) 2
Las raíces son: x = 3/2 y x = 1
2 x 3 − x 2 − 4
{±1, ±2, ±4 }
P(1) = 1 3 − 1 2 − 4 ≠ 0
P(−1) = (−1) 3 − (−1) 2 − 4 ≠ 0
P(2) = 2 3 − 2 2 − 4 = 8 − 4 − 4 = 0
(x − 2) · (x 2 + x + 2 )
x 2 + x + 2 = 0
(x − 2) · (x 2 + x + 2 )
Raíz: x = 2.
3 x 3 + 3x 2 −4 x − 12
{±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 }
P(1) = 1 3 + 3 · 1 2 − 4 · 1 − 12 ≠ 0
P(−1) = (−1) 3 + 3 · (−1) 2 − 4 · (−1) − 12 ≠ 0
P(2) = 2 3 + 3 · 2 2 − 4 · 2 − 12 = 8 + 12 − 8 − 12 =
0
(x − 2) · (x 2 + 5x +6)
x 2 + 5x +6 = 0
(x − 2) ·(x + 2) ·(x +3)
Las raíces son : x = 2, x = − 2, x = − 3.
4 6x 3 + 7x 2 − 9x + 2
{±1, ±2}
P(1) = 6 · 1 3 + 7 · 1 2 − 9 · 1 + 2 ≠ 0
P(−1) = 6 · (−1) 3 + 7 · (−1) 2 − 9 · (−1) + 2 ≠ 0
P(2) = 6 · 2 3 + 7 · 2 2 − 9 · 2 + 2 ≠ 0
P(−2) = 6 · (−2) 3 + 7 · (−2) 2 − 9 · (−2) + 2 = − 48
+ 28 + 18 + 2 = 0
(x+2) · (6x 2 −5x +1)
6x 2 −5x +1 = 0
6 · (x + 2) · (x − 1/2) · (x − 1/3)
Raíces: x = − 2, x = 1/2 y x= 1/3
Fracciones algebraicas
Una fracción algebraica es el cociente de dos
polinomios y se representa por:
Fracciones algebraicas equivalentes
Dos fracciones algebraicas
son equivalentes , y lo representamos por:
si se verifica que P(x) · S(x) = Q(x) · R(x) .
son fracciones algebraicas equivalentes porque:
(x + 2) · (x − 2) = x 2 − 4
Dada una fracción algebraica ,
si multiplicamos el numerador y el denominador de
dicha fracción por un mismo polinomio distinto de cero,
la fracción algebraica resultante es equivalente a la
dada.
Simplificación de fracciones algebraicas
Para simplificar una fracción
algebraica se divide el numerador y
el denominador de la fracción por un polinomio que
sea factor común de ambos.
Amplificación de fracciones algebraicas
Para amplificar una fracción
algebraica se multiplica el numerador y
el denominador de la fracción por un polinomio .
Reducción de fracciones algebraicas a común
denominador
1 Se descomponen los denominadores en
factores para hallarles el mínimo común múltiplo ,
que será el común denominador.
x 2 − 1 = (x+1) · (x − 1)
x 2 + 3x + 2 = (x+1) · (x + 2)
m.c.m.(x 2 − 1, x 2 + 3x + 2) = (x+ 1) · (x − 1) · (x +
2)
2 Dividimos el común denominador entre
los denominadores de las fracciones dadas y el
resultado lo multiplicamos por
el numerador correspondiente.
Operaciones con fracciones algebraicas
Suma de fracciones algebraicas
Con el mismo denomiminador
Con distinto denomiminador
En primer lugar se ponen las fracciones
algebraicas a común denominador , posteriormente
se suman los numeradores .
Multiplicación de fracciones algebraicas
División de fracciones algebraicas
Ejercicios resueltos de fracciones algebraicas
1 Simplificar las fracciones algebraicas
1
2
3
4
5
2 Suma las fracciones algebraicas
3 Resta las fracciones algebraicas
4 Multiplica las fracciones algebraicas
1
2
Opera
5 Efectúa las operaciones .
6 Realiza las operaciones .
Fórmulas de ecuaciones
Pasos para resolver ecuaciones de primer grado
1º Quitar paréntesis.
2º Quitar denominadores.
3º Agrupar los términos en x en un miembro y
los términos independientes en el otro.
4º Reducir los términos semejantes.
5º Despejar la incógnita.
Fórmula de la ecuación de segundo grado
ax 2 + bx +c = 0
Ecuaciones de segundo grado incompletas
ax 2 = 0
x = 0
ax 2 + bx = 0
x (ax + b) = 0
x = 0
ax 2 + c = 0
Propiedades de las soluciones de la ecuación de
segundo grado
Ecuación de 2º grado a partir de sus soluciones
S = x 1 + x 2 y P = x 1 · x 2
Factorización de un trinomio
a x 2 + bx +c = 0
a · (x -x 1 ) · (x -x 2 ) = 0
Ecuaciones bicuadradas
Ecuaciones racionales
Para resolverlas se multiplican ambos
miembros de la ecuación por el mínimo común
múltiplo de los denominadores.
Debemos comprobar las soluciones , para
rechazar posibles soluciones extrañas provenientes de
la ecuación transformada (la resultante de multiplicar
por el mínimo común múltiplo), pero que no lo son de la
ecuación original.
Ecuaciones bicuadradas
ax 4 + bx 2 + c = 0
Para resolverlas, efectuamos el cambio x 2 = t, x 4 =
t 2 ; con lo que genera una ecuación de segundo grado
con la incógnita t:
at 2 + bt + c = 0
Por cada valor positivo de t habrá dos valores
de x:
También se puede realizar con la fórmula:
Ecuaciones con radicales
1º Se aísla un radical en uno de los dos miembros,
pasando al otro miembro el resto de los términos,
aunque tengan también radicales.
2º Se elevan al cuadrado los dos miembros.
3º Se resuelve la ecuación obtenida.
4º Se comprueba si las soluciones obtenidas
verifican la ecuación inicial . Hay que tener en
cuenta que al elevar al cuadrado una ecuación se
obtiene otra que tiene las mismas soluciones que la
dada y, además las de la ecuación que se obtiene
cambiando el signo de uno de los miembros de la
ecuación.
5º Si la ecuación tiene varios radicales, se repiten
las dos primeras fases del proceso hasta eliminarlos
todos.
Ecuaciones de grado superior a dos
Es una ecuación de cualquier grado escrita de la
forma P(x) = 0, el polinomio P(x) se
puede descomponer en factores de primer y
segundo grado , entonces basta i gualar a cero cada
uno de los factores y resolver las ecuaciones de
primer grado y de segundo grado resultantes .
Sistemas de ecuaciones
Resolver un sistema de ecuaciones consite en
encontrar los valores desconocidos de las variables que
satisfacen todas las ecuaciones.
Estudiaremos la resolución de los siguientes tipos
de sistemas:
Sistemas de dos ecuaciones con dos
incógnitas .
Sistemas de tres ecuaciones con tres
incógnitas .
Sistemas de ecuaciones no lineales .
Sistemas de dos ecuaciones con dos
incógnitas
Método de sustitución
1 Se despeja una incógnita en una de las
ecuaciones.
2 Se sustituye la expresión de esta incógnita en la
otra ecuación, obteniendo un ecuación con una sola
incógnita.
3 Se resuelve la ecuación.
4 El valor obtenido se sustituye en la ecuación en
la que aparecía la incógnita despejada.
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución
del sistema.
Ejemplo
1 Despejamos una de las incógnitas en una de las
dos ecuaciones. Elegimos la incógnita que tenga el
coeficiente más bajo.
2 Sustituimos en la otra ecuación la variable x,
por el valor anterior:
3 Resolvemos la ecuación obtenida:
4 Sustituimos el valor obtenido en la variable
despejada.
5 Solución
Método de igualación
1 Se despeja la misma incógnita en ambas
ecuaciones.
2 Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos
una ecuación con una incógnita.
3 Se resuelve la ecuación.
4 El valor obtenido se sustituye en cualquiera de
las dos expresiones en las que aparecía despejada la
otra incógnita.
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución
del sistema.
Ejemplo
1 Despejamos , por ejemplo, la incógnita x de la
primera y segunda ecuación:
2 Igualamos ambas expresiones:
3 Resolvemos la ecuación:
4 Sustituimos el valor de y , en una de las
dos expresiones en las que tenemos despejada la x :
5 Solución :
Método de reducción
1 Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas
por los números que convenga.
2 La restamos, y desaparece una de las incógnitas.
3 Se resuelve la ecuación resultante.
4 El valor obtenido se sustituye en una de las
ecuaciones iniciales y se resuelve.
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución
del sistema.
Ejemplo
Lo más fácil es suprimir la y, de este modo no
tendríamos que preparar las ecuaciones; pero vamos a
optar por suprimir la x, para que veamos mejor el
proceso.
Restamos y resolvemos la ecuación:
Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación
inicial.
Solución:
Sistemas de tres ecuaciones con tres
incógnitas
Método de Gauss
Este método consiste en util izar el método de
reducción de manera que en cada ecuación
tengamos una incógnita menos que en la ecuación
precedente .
1º Ponemos como primera ecuación la que tenga
el como coeficiente de x: 1 ó -1 , en caso de que no
fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden
de las incógnitas.
2º Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación ,
para eliminar el término en x de la 2ª ecuación .
Después ponemos como segunda ecuación el resultado
de la operación:
3º Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª
ecuación , para eliminar el término en x .
4º Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª , trasformadas,
para hacer reducción y eliminar el término en y .
5º Obtenemos el sistema equivalente escalonado.
6º Encontrar las soluciones.
Ejemplo
1º Ponemos como primera ecuación la que tenga
el como coeficiente de x: 1 ó -1 , en caso de que no
fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden
de las incógnitas.
2º Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación ,
para eliminar el término en x de la 2ª ecuación .
Después ponemos como segunda ecuación el resultado
de la operación:
E' 2 = E 2 − 3E 1
3º Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª
ecuación , para eliminar el término en x .
E' 3 = E 3 − 5E 1
4º Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª , trasformadas,
para hacer reducción y eliminar el término en y .
E'' 3 = E' 3 − 2E' 2
5º Obtenemos el sistema equivalente escalonado .
6º Encontrar las soluciones.
z = 1
− y + 4 ·1 = −2 y = 6
x + 6 −1 = 1 x = −4
Sistemas de ecuaciones no lineales
La resolución de estos sistemas se suele hacer por
el método de sustitución , para ello seguiremos los
siguientes pasos:
1º Se despeja una incógnita en una de las
ecuaciones, preferentemente en la de primer grado .
2º Se sustituye el valor de la incógnita
despejada en la otra ecuación.
3º Se resuelve la ecuación resultante.
4º Cada uno de l os valores obtenidos se
sustituye en la otra ecuación , se obtienen así los
valores correspondientes de la otra incógnita.
Ejemplo
La resolución de estos sistemas se suele hacer por
el método de sustitución , para ello seguiremos los
siguientes pasos:
1º Se despeja una incógnita en una de las
ecuaciones, preferentemente en la de primer grado .
y = 7 − x
2º Se sustituye el valor de la incógnita
despejada en la otra ecuación.
x 2 + (7 − x) 2 = 25
3º Se resuelve la ecuación resultante.
x 2 + 49 − 14x + x 2 = 25
2x 2 − 14x + 24 = 0
x 2 − 7x + 12 = 0
4º Cada uno de l os valores obtenidos se
sustituye en la otra ecuación , se obtienen así los
valores correspondientes de la otra incógnita.
x = 3 y = 7 − 3 y = 4
x = 4 y = 7 − 4 y = 3
Ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones
por sustitución
Ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones
por igualación
Ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones
por reducción
Ejercicios y problemas de sistemas de tres
ecuaciones con tres incógnitas. Método de Gauss
Ejercicios y problemas resueltos de sistemas
no lineales
Ejercicios de sistemas por sustitución1
2
3
4
5
6
Ejercicio 1 resuelto
Ejercicio 2 resuelto
Ejercicio 3 resuelto
Ejercicio 4 resuelto
Ejercicio 5 resuelto
Ejercicio 6 resuelto
Ejercicios de sistemas por el método de
igualación
1
2
3
4
5
6
Ejercicio 1 resuelto
jercicio 2 resuelto
Ejercicio 3 resuelto
Ejercicio 4 resuelto
Ejercicio 5 resuelto
Ejercicio 6 resuelto
Ejercicios de sistemas resueltos por el método de
reducción
1
2
3
4
5
6
7
8
Ejercicio 1 resuelto
Ejercicio 2 resuelto
Ejercicio 3 resuelto
Ejercicio 4 resuelto
Ejercicio 5 resuelto
Ejercicio 6 resuelto
Ejercicio 7 resuelto
Ejercicio 8 resuelto
Ejercicios y problemas resueltos de sistemas de
tres ecuaciones
1
2
3
4 Un cliente de un supermercado ha pagado un total de
156 € por 24 l de leche, 6 kg de jamón serrano y 12 l de aceite de oliva. Calcular el precio de cada artículo, sabiendo que 1 l de aceite cuesta el triple que 1 l de leche y que 1 kg de jamón cuesta igual que 4 l de aceite más 4 l de leche.5 Un videoclub está especializado en películas de tres
tipos: infantiles, oeste americano y terror. Se sabe que: El 60% de las películas infantiles más el 50% de las del oeste representan el 30% del total de las películas. El 20% de las infantiles más el 60% de las del oeste más del 60% de las de terror al representan la mitad del total de las películas. Hay 100 películas más del oeste que de infantiles. Halla el número de películas de cada tipo.6 Los lados de un triángulo miden 26, 28 y 34 cm. Con
centro en cada vértice se dibujan tres de conferencias, tangente entre sí dos a dos. Calcular las longitudes de los radios de las circunferencias.
Ejercicio 1 resuelto
1º Ponemos como primera ecuación la que tenga el coeficiente en x más bajo .
2º Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación , para eliminar el término en x de la 2ª ecuación . Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación:
E'2 = E2 − 3E1
3º Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el término en x.
E'3 = E3 − 5E1
4º Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminar el término en y.
E''3 = E'3 − 2E'2
5º Obtenemos el sistema equivalente escalonado .
6º Encontrar las soluciones.
z = 1
− y + 4 ·1 = −2 y = 6
x + 6 −1 = 1 x = −4
Ejercicio 2 resuelto
Ejercicio 3 resuelto
Ejercicio 4 resuelto
Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 € por 24 l de leche, 6 kg de jamón serrano y 12 l de aceite de oliva. Calcular el precio de cada artículo,
sabiendo que 1 l de aceite cuesta el triple que 1 l de leche y que 1 kg de jamón cuesta igual que 4 l de aceite más 4 l de leche.
leche x
jamón y
aceite z
leche 1 €
jamón 16 €
aceite 3 €
Ejercicio 5 resuelto
Un videoclub está especializado en películas de tres tipos: infantiles, oeste americano y
terror. Se sabe que:
El 60% de las películas infantiles más el 50% de las del oeste representan el 30% del
total de las películas.
El 20% de las infantiles más el 60% de las del oeste más del 60% de las de terror al
representan la mitad del total de las películas.
Hay 100 películas más del oeste que de infantiles.
Halla el número de películas de cada tipo.
infantiles x
oeste y
terror z
Sustituimos el valor de y en las dos ecuaciones iniciales y multiplicamos la última
obtenida por 3.
infantiles 500 películas
oeste 600 películas
terror 900 películas
Ejercicio 6 resuelto
Los lados de un triángulo miden 26, 28 y 34 cm. Con centro en cada vértice se dibujan tres de
conferencias, tangente entre sí dos a dos. Calcular las longitudes de los radios de las circunferencias.
Ejercicios y problemas de sistemas de
ecuaciones no lineales
1
2
3
4
5
6 El producto de dos números es 4, y la suma de sus
cuadrados 17. ¿Cuáles son esos números?7 Halla una fracción equivalente a cuyos términos
elevados al cuadrado sumen 11848 El producto de dos números es 4, y la suma de sus
cuadrados 17. ¿Cuáles son esos números?
Ejercicio 1 resuelto
y = 7 − x
x2 + (7 − x)2 = 25
x2 + 49 − 14x + x2 = 25
2x2 − 14x + 24 = 0
x2 − 7x + 12 = 0
x = 3 y = 7 − 3 y = 4
x = 4 y = 7 − 4 y = 3
Ejercicio 2 resuelto
Ejercicio 3 resuelto
Ejercicio 4 resuelto
Ejercicio 5 resuelto
Ejercicio 6 resuelto
El producto de dos números es 4, y la suma de sus cuadrados 17. ¿Cuáles son esos números?
Ejercicio 7 resuelto
Halla una fracción equivalente a cuyos términos elevados al cuadrado sumen 1184.
Ejercicio 8 resuelto
El producto de dos números es 4, y la suma de sus cuadrados 17. ¿Cuáles son esos
números?
Fórmulas de Álgebra lineal
Operaciones con matrices
Operaciones con matrices
Suma y diferencia de matrices
Producto por un escalar por una matriz
Producto de matrices
M m x n x M n x p = M m x p
Matriz inversa
A · A -1 = A -1 · A = I
(A · B) -1 = B -1 · A -1
(A -1 ) -1 = A
(k · A) -1 = k -1 · A -1
Cálculo de la matriz inversa
Ejercicios
Dadas las matrices:
Calcular:
A + B; A - B; A x B; B x A; A t .
Sean las matrices:
Efectuar las siguientes operaciones:
(A + B) 2 ; (A - B) 2 ; (B) 3 ; A · B t · C.
Dadas las matrices:
1 Justificar si son posibles los siguientes productos:
1 (A t · B ) · C
(A t 3 x 2 · B 2 x 2 ) · C 3 x 2 = (A t · B ) 3 x 2 · C 3
x 2
No se puede efectuar el producto
porque el número de columnas de
(A t · B ) no coincide con el nº de filas de
C.
2 (B · C t ) · A t
(B 2 x 2 · C t 2 x 3 ) · A t 3 x 2 = (B · C ) 2 x 3 · A t 3
x 2 =
=(B · C t · A t ) 2 x 2
2 Determinar la dimensión de M para que pueda
efectuarse el producto A · M · C
A 3 x 2 · M m x n · C 3 x 2 m = 2
3 Determina la dimensión de M para que C t · M sea
una matriz cuadrada.
C t 2 x 3 · M m x n m = 3
n = 3
Demostrar que: A 2 - A - 2 I = 0 , siendo:
Sea A la matriz . Hallar A n , para n
Por qué matriz hay que premultiplicar la
matriz para que resulte la matriz .
Hallar la matriz inversa de:
Calcular el rango de las siguientes matrices:
|2|=2 ≠0
r(A) = 2
r(B) = 4
Eliminamos la tercera columna por ser nula, la
cuarta por ser proporcional a la primera, y la quinta
porque combinación lineal de la primera y segunda:
c 5 = -2 · c 1 + c 2
r(C) = 2
Determinantes
Orden 1
|a 11 | = a 11
Ejemplo
|5| = 5
Orden 2
= a 11 a 22 - a 12 a 21
Ejemplo
Orden 3
Regla de Sarrus
Los términos con signo + están formados por los
elementos de la diagonal principal y los de
las diagonales paralelas con su
correspondiente vértice opuesto .
Los términos con signo - están formados por los
elementos de la diagonal secundaria y los de
las diagonales paralelas con su
correspondiente vértice opuesto .
=
a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 -
- a 13 a 22 a 31 - a 12 a 21 a 33 - a 11 a 23 a 32.
Ejemplo
=
3 · 2 · 4 + 2 · (-5) · (-2) + 1 · 0 · 1 -
- 1 · 2 · (-2) - 2 · 0 · 4 - 3 · (-5) · 1 =
= 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) =
= 44 + 4 + 15 = 63
Orden 4
Una de las líneas del determinante tiene que estar
formada por elementos nulos, menos uno: el elemento
base o pivote , que valdrá 1 ó -1.
Seguiremos los siguientes pasos:
1. Si algún elemento del determinante vale
la unidad , se elige una de las dos líneas: la fila o la
columna , que contienen a dicho elemento (se debe
escoger aquella que contenga el mayor número
posible de elementos nulos ).
2. En caso negativo:
1. Nos fijamos en una línea que contenga el mayor
número posible de elementos
nulos y operaremos para que uno de los elementos
de esa línea sea un 1 ó -1 (operando con alguna línea
paralela ).
2. Dividiendo la línea por uno de sus
elementos , por lo cual deberíamos multiplicar el
determinante por dicho elemento para que su valor no
varie. Es decir sacamos factor común en una línea de
uno de sus elementos.
3. Tomando como referencia el elemento
base , operaremos de modo que todos los elementos
de la fila o columna , donde se encuentre, sean
ceros .
4. Tomamos el adjunto del elemento base , con lo
que obtenemos un determinante de orden
inferior en una unidad al original.
= 2(-58)
Propiedades de los determinantes
1. |A t |= |A|
El determinante de una matriz A y el de su
traspuesta A t son iguales.
2. |A|=0 Si:
Posee dos líneas iguales
Todos los elementos de una línea son nulos .
Los elementos de una línea son combinación
lineal de las otras.
F 3 = F 1 + F 2
3. Un determinante triangular es igual
al producto de los elementos de la diagonal
principal. .
4. Si en un determinante se cambian entre sí
dos líneas paralelas su determinante cambia de
signo.
5. Si a los elementos de una línea se le suman
los elementos de otra paralela multiplicados
previamente por un nº real el valor del
determinante no varía.
6. Si se multiplica un determinante por un
número real, queda multiplicado por dicho número
cualquier línea, pero sólo una.
7. Si todos los elementos de una fila o
columna están formados por dos sumandos, dicho
determinante se descompone en la suma de dos
determinantes.
8. |A·B| =|A|·|B|
El determinante de un producto es igual al
producto de los determinantes.
Método Cramer
El método de Cramer sirve para resolver sistemas
de ecuaciones lineales. Se aplica a sistemas que
cumplan las dos condiciones siguientes:
El número de ecuaciones es igual al número de
incógnitas .
El determinante de la matriz de los coeficientes
es distinto de cero .
Tales sistemas se denominan sistemas de
Cramer .
Sea Δ el determinante de la matriz de coeficientes.
Y sean:
Δ 1 , Δ 2 , Δ 3 ... , Δ n
los determinantes que se obtiene al sustituir
los coeficientes del 2º miembro (los términos
independientes) en la 1ª columna , en la 2ª
columna, en la 3ª columna y en la enésima
columna respectivamente.
Un sistema de
Cramer tiene una sola solución que viene dada por las
siguientes expresiones:
Ejercicios
Resolver por la método de Cramer:
Método Gauss
El método de Gauss consiste en transformar un
sistema de ecuaciones en otro equivalente de
forma que éste sea escalonado.
Para facilitar el cálculo vamos a transformar el
sistema en una matriz , en la que pondremos los
coeficientes de las variables y los términos
independientes (separados por una recta).
Sistemas de ecuaciones equivalentes
Obtenemos sistemas equivalentes por eliminación
de ecuaciones dependientes. Si:
Todos los coeficientes son ceros.
Dos filas son iguales.
Una fila es proporcional a otra.
Una fila es combinación lineal de otras.
Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones
1º Si a ambos miembros de una ecuación de un
sistema se les suma o se les resta una misma
expresión , el sistema resultante es equivalente .
2º Si multiplicamos o dividimos ambos
miembros de las ecuaciones de un sistema por un
número distinto de cero , el sistema resultante
es equivalente .
3º Si sumamos o restamos a una ecuación de un
sistema otra ecuación del mismo sistema ,
el sistema resultante es equivalente al dado.
4º Sin en un sistema se sustituye una ecuación
por otra que resulte de sumar las dos ecuaciones
del sistema previamente multiplicadas o divididas
por números no nulos, resulta otro sistema
equivalente al primero.
5º Si en un sistema s e cambia el orden de las
ecuaciones o el orden de las incógnitas , resulta
otro sistema equivalente .
Ejercicios
Método Gauss
El método de Gauss consiste en util izar el método
de reducción de manera que en cada ecuación
tengamos una incógnita menos que en la ecuación
precedente .
1º Ponemos como primera ecuación la que tenga
el como coeficiente de x: 1 ó -1 , en caso de que no
fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden
de las incógnitas.
2º Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación ,
para eliminar el término en x de la 2ª ecuación .
Después ponemos como segunda ecuación el resultado
de la operación:
E' 2 = E 2 − 3E 1
3º Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª
ecuación , para eliminar el término en x .
E' 3 = E 3 − 5E 1
4º Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª , trasformadas,
para hacer reducción y eliminar el término en y .
E'' 3 = E' 3 − 2E' 2
5º Obtenemos el sistema equivalente escalonado .
6º Encontrar las soluciones.
z = 1
− y + 4 ·1 = −2 y = 6
x + 6 −1 = 1 x = −4
Ejercicios
Discusión de sistemas
1. Hallamos el rango de la matriz de los
coefecientes.
2. Calculamos el rango de la matriz ampliada.
3. Aplicamos el teorema de Rouché.
r = r' Sistema
Compatible.
o r = r'= n Sistema
Compatible Determinado.
o r = r'≠ n Sistema
Compatible Indeterminado.
r ≠ r' Sistema
Incompatible.
4. Si el sistema es compatible determinado se
resuelve por la regla de Cramer (tambíén se puede
resolver mediante el método de Gauss).
5. Si el sistema es compatible indeterminado
se resuelve teniendo en cuenta que :
El número de ecuaciones = rango
El número de parámetros = nº de incógitas
menos el rango
Sistemas homogéneos
Si un sistema de m ecuaciones y n incógnitas
tiene todos los términos independientes nulos se
dice que es homogéneo .
Admiten la solución trivial: x 1 = x 2 =... = x n = 0.
La condición necesaria y suficiente para que un
sistema homogéneo tenga soluciones distintas de la
trivial es que el rango de la matriz de los
coeficientes sea menor que el nº de incógnitas , o
dicho de otra forma, que el determinante de la
matriz de los coeficientes sea nulo .
r < n
Ejercicios
Estudiar y resolver, si es posible, el sistema:
1. Tomamos la matriz de los coeficientes y le
hallamos el rango.
r(A) = 3
2. Hallamos el rango de la matriz ampliada
r(A') = 3
3. Aplicamos el teorema de Rouché.
4. Se resuelve el sistema, si éste no es
incompatible, por la regla de Cramer o por el método
de Gauss
Tomamos el sistema que corresponde a la submatriz
de orden 3, que tiene rango 3, y lo resolvemos.
Estudiar y resolver, si es posible, el sistema:
Estudiar y resolver, si es posible, el sistema:
Estudiar y resolver, si es posible, el sistema:
Discutir y resolver el sistema cuando sea
compatible.
1. Hallamos el rango de la matriz de los
coefecientes.
2. Hallamos el rango de la matriz ampliada.
3. Aplicamos el teorema de Rouché
4. Resolvemos el sistema compatible
determinado por la regla de Cramer (tambíén se
puede resolver mediante el método de Gauss).
Discutir y resolver el sistema cuando sea
compatible.
Fórmulas y tablas de Geometríahttp://www.vitutor.net/formulas/formulas_geometria.html
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