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FORO SEMANA 5 Y 6 –SUMLUACIÓN GERENCIAL
JOSÉ GIOVANY BENAVIDES GONSALES
1- Como aplicaría el proceso de simulación de Montecarlo en una empresa de fabricación de automóviles eléctricos?. Señale brevemente en que parte del proceso haría el ejercicio.
2- La simulación se aplica en los deportes?. Explique con algún ejemplo
Introducción
En la actualidad el empleo de algún tipo de ´índices o modelos matemáticos aplicados a las disciplinas deportivas está bastante generalizado en todo el mundo. La práctica del deporte se ha especializado a tales niveles que necesita cada vez en mayor grado de la ayuda de la matemática aplicada para explicar, comparar, predecir y clasificar a los participantes en una competencia. Tal es el caso, en particular, del fútbol mundial, donde la Federación Internacional de Fútbol Asociado (FIFA) viene utilizando un modelo matemático para establecer y mantener actualizado un “ranking” o escala numérica, indicador de la fuerza futbolística de cada país miembro de la FIFA [2]. Otros ejemplos son el ajedrez, disciplina deportiva en donde se emplea un ´índice matemático denominado “sistema ELO” [1] con el mismo propósito, y en todas las disciplinas del atletismo, donde se utilizan ´índices matemáticos estadísticos que permiten establecer comparaciones a nivel mundial, ´índices empleados a menudo por los Comités Olímpicos Internacionales para fijar tiempos o distancias mínimos por disciplina que deben superar los atletas que aspiren a participar en las Olimpiadas. Utilizando las llamadas técnicas de “simulación de Monte-Carlo” y gracias a los recursos que nos brindan las rápidas micro-computadoras de hoy día, fue posible elaborar un modelo matemático que permite estimar las probabilidades de clasificar que tiene cada equipo participante en un torneo de futbol del tipo “todos contra todos”. La simulación de Monte-Carlo es una técnica bien conocida para el estudio de situaciones o fenómenos complejos que dependen del azar, en los cuales intervienen probabilidades de difícil cálculo o que del todo no pueden ser estimadas en forma exacta. Con esta técnica se estudian fenómenos tan disímiles como el
comportamiento de los mercados financieros en la bolsa de valores, o el funcionamiento interno de una gran industria. En esencia, la técnica consiste en repetir (o simular) el experimento o situación en estudio miles de veces, siguiendo las leyes generales que gobiernan el sistema, estimándose empíricamente la probabilidad buscada mediante la proporción de veces que el fenómeno en estudio ocurre en las simulaciones, dentro del total de las simulaciones realizadas. La terminología Monte-Carlo proviene del famoso casino de la ciudad europea del mismo nombre, lugar donde tuvo su génesis y motivación buena parte de la teoría de las probabilidades.
Empezamos mencionando que existi´o dentro del ambiente costarricense una granmotivaci´on para el desarrollo y puesta en pr´actica del modelo que aqu´ı se describe. En efecto, el f´utbol es el deporte m´as popular en Costa Rica: un deporte de masas al cual son aficionados los individuos de cualquier edad, sexo y condici´on social. M´as a´un, en ciertos per´ıodos la pasi´on por el f´utbol es la fuerza social m´as importante en el pa´ıs, al ritmo de la cual se desarrolla la vida de los costarricenses, por encima de otros asuntos tales como la pol´ıtica, el trabajo, la situaci´on general del pa´ıs, etc. El mismo fen´omeno ocurre en muchos otros pa´ıses del mundo, con menor o mayor intensidad. En el caso concreto que nos ocupa, Costa Rica disputaba una plaza para jugar el Mundial de F´utbol de Jap´on-Corea 2002, en el Torneo de Clasificaci´on de la CONCACAF, junto con M´exico, Estados Unidos, Jamaica, Honduras y Trinidad y Tobago. De estos 6 equipos, solamente hab´ıa disponibles 3 plazas para el Mundial de Jap´on-Corea2002. Despu´es de un comienzo mediocre de la selecci´on de Costa Rica al empatar 2-2 en casa en el ´ultimo minuto contra Honduras, mejor´o un poco al ganarle en casa a Trinidad y Tobago 3-0, viniendo luego la primera derrota, de visita, frente a Estados Unidos 1-0. A partir de ese momento la selecci´on de Costa Rica tuvo un notable repunte, hasta el punto de llegar a derrotar a M´exico 1-2 en el Estadio Azteca, haza˜na que ninguna selecci´on del mundo hab´ıa conseguido hasta entonces.Durante algunos meses y apoyado por los resultados positivos que se ven´ıan obteniendo
Fórmula 1, Fin, Reino Unido::
Las carreras de Fórmula 1 es uno de los deportes más emocionantes y más vistos del mundo, con una audiencia global de TV estimada de más de 600 millones de personas. Con el paso de los años este deporte se ha ido desarrollando con coches más veloces, aumentando el riesgo de los pilotos, por lo que la seguridad se ha convertido en uno de los aspectos más importantes de este deporte.
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Las carreras de Fórmula 1 es uno de los deportes más emocionantes y más vistos
del mundo, con una audiencia global de TV estimada de más de 600 millones de
personas. Con el paso de los años este deporte se ha ido desarrollando con
coches más veloces, aumentando el riesgo de los pilotos, por lo que la seguridad
se ha convertido en uno de los aspectos más importantes de este deporte.
"Ganar no es suficiente"
En los primeros tiempos de las carreras de Fórmula 1 los accidentes eran
inevitables y una parte aceptada de la experiencia del Grand Prix. Sir Jackie
Stewart, OBE, apuntaba en su libro "Ganar no es suficiente" que: "ser un piloto de
carreras entre 1963 y 1973 implicaba aceptar la posibilidad de morir, no la
probabilidad, sino la posibilidad, porque la estadísticas indicaban que, durante ese
periodo, si un piloto de Fórmula 1 iba a pilotar durante cinco o más años, tenía
más probabilidades de perder su vida que de sobrevivir y retirarse".
Introducir cambios era esencial para mejorar la seguridad
Sir Jackie Stewart y la Asociación de Pilotos de Fórmula 1 introdujo numerosos
cambios en el mundo de la seguridad de los deportes de motor hasta que el
profesor Sid Watkins asumió la dirección de la campaña, convirtiéndose en
delegado médico de la FIA (el cuerpo de gobierno de la Fórmula 1). Asumió esta
función durante 26 años hasta su retiro en 2004 y, durante este periodo, mejoró
los procedimientos de seguridad e introdujo nuevos procedimientos de seguridad y
normas en las carreras del Grand Prix de Fórmula 1, transformando este deporte y
mejorando de manera espectacular la seguridad de los pilotos.
Tras el retiro del profesor Watkins, el Dr. Gary Hartstein asumió las funciones de
delegado médico y actualmente desempeña la función de coordinador de rescate
médico de la FIA.
Los recientes avances en ingeniería de seguridad han reducido
espectacularmente la gravedad esperada de las lesiones que se producen en los
accidentes, lo que significa que las consecuencias para las víctimas de accidentes
dependen ahora, en gran medida, de la calidad de la asistencia que reciben.
Debido a que las intervenciones médicas en los accidentes de deportes de motor
son escasas e implican complejas interacciones interdisciplinarias, el Dr. Hartstein
y su equipo se han dado cuenta que la formación con simulación es el modo ideal
de evaluar y mejorar el proceso de asistencia. El Simulador para Soporte Vital
Avanzado (SVA) de Laerdal se introdujo como un maniquí de formación interactiva
para la simulación de una amplia gama de habilidades avanzadas para salvar
vidas en emergencias médicas.
EL simulador responde a la intervención clínica, control del instructor y escenarios
pre-programados para una práctica eficaz de diagnosis y tratamiento de un
paciente. El Simulador SVA, que dispone de respiración espontánea, control de
vías aéreas, voz, sonidos, ECG y multitud de funciones clínicas distintas, es un
simulador totalmente funcional para formación en asistencia de emergencias. El
Dr. Hartstein afirma que: "el Simulador SVA de Laerdal ofrece una herramienta
que reproduce lesiones típicas junto con la respuesta a las intervenciones para
tratamiento. Además, la posibilidad de programar el simulador nos ofrece
flexibilidad para cambiar el curso "clínico" de la simulación, reproduciendo
fielmente la naturaleza dinámica de estos pacientes".
El trabajo en equipo es fundamental
El Dr. Ian Roberts, especialista en anestesiología y cuidados intensivos del
Hospital George Eliot en Nuneaton y jefe del servicio médico de circuito de
Silverstone y del Grand Prix de Gran Bretaña añade: "El equipo médico del Grand
Prix en Silverstone está compuesto por un equipo de profesionales con
experiencia en una amplia gama de especialidades y todos ellos tienen un interés
común por los deportes de motor. Todos ejercen su función en todas las carreras
que se celebran durante la temporada en el Reino Unido y están acostumbrados a
trabajar en equipo. Ellos acuden al Gran Prix con este sentido de equipo de
trabajo profesional. Llevamos años trabajando con ejercicios de simulación
utilizando (normalmente) un voluntario que actúa como piloto herido. Sin embargo,
el uso del Simulador SVA de Laerdal amplía la dimensión del ejercicio, ya que
permite recrear las distintas lesiones que se producen en la pista y tratarlas en el
momento, durante el traslado hasta el centro médico y hasta su transferencia
definitiva. La posibilidad de trabajar juntos, con facilidad, como un equipo es
esencial en cualquier escenario pero especialmente cuando se hace frente a una
audiencia mundial".
Mark Webber, ganador del Grand Prix de Alemania y director de la Asociación de
Pilotos de Fórmula 1 afirma que: "reconocemos la lucha continua para mejorar la
seguridad que fomenta la FIA y confiamos en que el personal médico de cada circuito
en el que corremos dispone de las últimas tecnologías para mejorar sus capacidades".
Resumen: este artículo analiza el problema de gestión de demandas de transporte en unafábrica automatizada de producción. El problema tratado está inspirado en una aplicaciónreal en la industria de los semiconductores. La principal diferencia con respecto a trabajosprecedentes en la literatura radica en la naturaleza unificada del sistema de transporte, conla cual es posible disminuir el número de movimientos por vehículo y transportar elproducto en proceso directamente de una máquina a la siguiente sin necesidad de pasar porun almacenamiento intermediario temporal. Puesto que el número de vehículos es limitado,se hace necesario implementar estrategias inteligentes para satisfacer eficientemente lasdemandas de transporte. Este problema es analizado utilizando un enfoque de toma dedecisiones jerárquico basado en optimización y simulación. Se estudian así los niveles dedecisión táctico y operativo. En el primero, se emplean herramientas de optimizaciónmatemática para determinar la mejor manera de distribuir los vehículos dentro de la fábricacon el fin de satisfacer las demandas en el menor tiempo posible. Esta decisión táctica estomada a partir de estimaciones estáticas durante el horizonte de producción. A niveloperativo, la decisión táctica es implementada en un modelo de simulación con el fin deanalizar el impacto que diversas políticas de gestión pueden tener en los indicadores clave
de la producción, tomando en cuenta la evolución dinámica del sistema. Los resultados experimentales muestran la pertinencia del método propuesto a través de un mejoramientoconsiderable de los indicadores de gestión del sistema productivo.
Palabras clave: transporte automatizado, gestión de vehículos, optimización, simulación,fabricación de semiconductores.
Dadas las condiciones actuales de competencia en un mercado cada vez más globalizado,las empresas están viendo la automatización de todos sus procesos de manufactura 3(operaciones de fabricación y de transporte y manipulación de los productos) como unamuy buena alternativa para incrementar los rendimientos del sistema productivo. Esteartículo se interesa particularmente en las operaciones de transporte del producto enproceso entre las etapas de fabricación. Esta es una parte importante en todo sistema defabricación, tanto en términos de costos como en tiempo de producción. Estudios empíricosmuestran que únicamente un 5% del tiempo total de manufactura de un productocorresponde a las actividades que le agregan valor [Askin, Goldberg, 2002]; el resto deltiempo corresponde al tiempo que el producto permanece tanto en las filas de espera comoen actividades de transporte entre las operaciones de manufactura. Como consecuencia,grandes esfuerzos se han visto en la industria y en la literatura para el diseño y operacióneficiente de los sistemas de transporte automatizado (en inglés Automated MaterialHandling Systems, AMHS). Según estudios realizados por el Material Handing Institute(MHI), los beneficios obtenidos gracias a la instalación y uso de este tipo de sistemasincluyen: disminución de los costos operativos de fabricación, mejor programación ycontrol del inventario de producto en proceso (work-in-process, WIP), flexibilidad para elmanejo de materiales, control eficiente del inventario, aseguramiento de la calidad delproducto, aumento en la producción, mejor utilización del espacio físico, entre otros [MHI,1993].E
La empresa SIMPOLI se dedica a la producción y venta de quesos. En un día,
para la producción de 9 quesos la empresa requiere de 1 persona. A cada persona
contratada se le paga un jornal de $10.000. El precio de la leche es una fuente de
variabilidad muy marcada en el entorno en que opera la empresa, se sabe que
dicho precio puede variar día a día; se ha identificado que el aumento/decremento
porcentual del precio de la leche se puede representar por medio de la siguiente
función masa de probabilidad:
El precio del litro de leche en el periodo pasado fue de $2.000 y para la producción
de un queso se requieren 1,5 litros de leche. Otra fuente de variabilidad en las
operaciones de la empresa es la demanda, se ha logrado establecer que la tasa
de crecimiento/decrecimiento de la demanda se puede representar por la siguiente
función masa de probabilidad:
Se sabe que la demanda del periodo pasado fue de 100 unidades, y se considera
que se venden unidades enteras de quesos (aproximados hacia el entero mayor).
Adicionalmente, el precio del queso en el periodo pasado fue de $5.000, se ha
observado que el precio de venta del queso aumenta cada día a una tasa de
0.1%. En algunos periodos se requerirá contratar más personal del estrictamente
necesario, dado que el número de personas a contratar debe ser un número
entero, es decir, si su demanda es de 10 quesos Ud. tendrá que contratar 2
personas. La capacidad de mano de obra que sobra será dedicada a la producción
de Sour Cream, dicho Sour Cream se vende (sin importar qué cantidad se
produzca en un día) a $500 el litro.
Para producir un litro de Sour Cream se requiere 1 litro de leche adicional. En un
día hombre se pueden producir 3 litros de Sour Cream. Se debe realizar una
simulación en Excel para las operaciones de los próximos 2000 días. En dicha
simulación deben estar parametrizados los siguientes datos:
Valor del jornal
Requerimientos de leche para la fabricación de queso y Sour Cream
Precio inicial de la leche
Demanda inicial
Además debe recopilar la información de los siguientes indicadores:
Demanda promedio para los 2000 días
Costos de mano de obra promedio para los 2000 días
Costos de materiales promedio para los 2000 días
Ingresos promedio por venta de quesos para los 2000 días
Ingresos promedio por venta de Sour Cream para los 2000 días
Utilidad promedio para los 2000 días.
DESCRIPCIÓN DEL MODELO DISEÑADO:
ANALISIS: Se simulan las operaciones de la empresa por los siguientes 2000 días
a través de la simulación de Montecarlo.
VARIABLES ALEATORIAS
Demanda de Queso
Precio de la Leche
Número de Trabajadores
VARIABLES DETERMINISTICAS
Valor del Queso
Valor del Sour Cream
VARIABLES DE RESULTADO
Promedio de la Demanda de Queso
Promedio Mano de Obra
Promedio de Leche
Ingresos
Utilidad
FORO SEMANA 5 Y 6 –SUMLUACIÓN GERENCIAL
JOSÉ GIOVANY BENAVIDES GONSALES
3- Como aplicaría el proceso de simulación en una empresa de fabricación de automóviles eléctricos?. Señale brevemente en que parte del proceso haría el ejercicio.
4- La simulación se aplica en los deportes?. Explique con algún ejemplo.
iF´utbol y matem´atica:modelo de simulaci´on de Monte-Carlo *Eduardo Piza VolioCentro de Investigaci´on en Matem´atica Pura y Aplicada (CIMPA)Universidad de Costa Rica, C´odigo Postal 2060, Costa Rica.email: [email protected] este art´ıculo se presenta la metodolog´ıa empleada por el autor para la esti-maci´on de las probabilidades de clasificaci´on de la selecci´on nacional de Costa Rica al ´ultimo Mundial de F´utbol Corea-Jap´on 2002. Se trata de un modelo matem´ati-co del tipo “simulaci´on de Monte-Carlo”, a trav´es del cual se realizan millones desimulaciones de los posibles resultados de los juegos pendientes en un torneo def´utbol (siguiendo ciertas leyes de probabilidad) en el cual solamente un n´umerolimitado de equipos puede obtener la clasificaci´on a la siguiente etapa de la compe-tici´on. El modelo toma en consideraci´on los principales factores que pueden influir en los resultados del f´utbol en este contexto, tales como por ejemplo la historia reciente, el potencial actual de los equipos y las circunstancias particulares que rodean los partidos pendientes.El modelo fue utilizado con bastante ´exito durante el desarrollo del Torneo dela CONCACAF del 2001 —de clasificaci´on al Mundial Corea-Jap´on 2002— en elcual particip´o Costa Rica con gran ´exito. Las estimaciones peri´odicas de las proba- bilidades de clasificar de cada uno de los equipos participantes, calculadas con laayuda de este modelo, fueron ampliamente difundidas por la prensa deportiva deCosta Rica y ocasionalmente en algunos otros pa´ıses de la regi´on de la CONCA-CAF. Tambi´en se emple´o esta metodolog´ıa en otros torneos, como por ejemplo el Torneo de Sudam´erica para clasificar al Mundial Corea-Jap´on 2002.1. Introducci´onEn la actualidad el empleo de alg´un tipo de ´ındices o modelos matem´aticos aplicadosa las disciplinas deportivas est´a bastante generalizado en todo el mundo. La pr´actica del deporte se ha especializado a tales niveles que necesita cada vez en mayor grado de la ayuda de la matem´atica aplicada para explicar, comparar, predecir y clasificar a los participantes en una competencia. Tal es el caso, en particular, del f´utbol mundial, donde la Federaci´on Internacional de F´utbol Asociado (FIFA) viene utilizando *Art´ıculo presentado al IX Congreso Boliviano de Matem´atica, Potos´ı-Bolivia, noviembre 2002Acta Nova; Vol. 3, N◦1, junio 2005 · 16
“piza” — 2005/10/30 — 18:49 — page 17 — #2Acta Nova; Vol. 3, N◦1, junio 2005 Art´ıculos Cient´ıficos · 17un modelo matem´atico para establecer y mantener actualizado un “ranking” o escala num´erica, indicador de la fuerza futbol´ıstica de cada pa´ıs miembro de la FIFA [2]. Otros ejemplos son el ajedrez, disciplina deportiva en donde se emplea un ´ındice matem´atico denominado “sistema ELO” [1] con el mismo prop´osito, y en todas las disciplinas del atletismo, donde se utilizan ´ındices matem´aticos-estad´ısticos que permiten establecer comparaciones a nivel mundial, ´ındices empleados a menudo por los Comit´es Ol´ımpicos Internacionales para fijar tiempos o distancias m´ınimos por disciplina que deben superar los atletas que aspiren a participar en las Olimp´ıadas.Utilizando las llamadas t´ecnicas de “simulaci´on de Monte-Carlo” y gracias a los recursos que nos brindan las r´apidas micro-computadoras de hoy d´ıa, fue posible elaborar un modelo matem´atico que permite estimar las probabilidades de clasificar que tiene cada equipo participante en un torneo de f´utbol del tipo “todos contra todos”. La simulaci´on de Monte-Carlo es una t´ecnica bien conocida para el estudio de situaciones o fen´omenos complejos que dependen del azar, en los cuales intervienen probabilidades de dif´ıcil c´alculo o que del todo no pueden ser estimadas en forma exacta. Con esta t´ecnica se estudian fen´omenos tan dis´ımiles como el comportamiento de los mercados financieros en la bolsa de valores, o el funcionamiento interno de una gran industria. En esencia, la t´ecnica consiste en repetir (o simular) el experimento o situaci´on en estudio miles deveces, siguiendo las leyes generales que gobiernan el sistema, estim´andose emp´ıricamente la probabilidad buscada mediante la proporci´on de veces que el fen´omeno en estudio ocurre en las simulaciones, dentro del total de las simulaciones realizadas. La terminolog´ıa Monte-Carlo proviene del famoso casino de la ciudad europea del mismo nombre, lugar donde tuvo su g´enesis y motivaci´on buena parte de la teor´ıa de las probabilidades.Empezamos mencionando que existi´o dentro del ambiente costarricense una granmotivaci´on para el desarrollo y puesta en pr´actica del modelo que aqu´ı se describe. En efecto, el f´utbol es el deporte m´as popular en Costa Rica: un deporte de masas al cual son aficionados los individuos de cualquier edad, sexo y condici´on social. M´as a´un, en ciertos per´ıodos la pasi´on por el f´utbol es la fuerza social m´as importante en el pa´ıs, al ritmo de la cual se desarrolla la vida de los costarricenses, por encima de otros asuntos tales como la pol´ıtica, el trabajo, la situaci´on general del pa´ıs, etc. El mismo fen´omeno ocurre en muchos otros pa´ıses del mundo, con menor o mayor intensidad.En el caso concreto que nos ocupa, Costa Rica disputaba una plaza para jugar elMundial de F´utbol de Jap´on-Corea 2002, en el Torneo de Clasificaci´on de la CONCACAF, junto con M´exico, Estados Unidos, Jamaica, Honduras y Trinidad y Tobago. De estos 6 equipos, solamente hab´ıa disponibles 3 plazas para el Mundial de Jap´on-Corea 2002. Despu´es de un comienzo mediocre de la selecci´on de Costa Rica al empatar 2-2 en casa en el ´ultimo minuto contra Honduras, mejor´o un poco al ganarle en casa a Trinidad y Tobago 3-0, viniendo luego la primera derrota, de visita, frente a Estados Unidos 1-0. A partir de ese momento la selecci´on de Costa Rica tuvo un notable repunte, hasta el punto de llegar a
derrotar a M´exico 1-2 en el Estadio Azteca, haza˜na que ninguna selecci´on del mundo hab´ıa conseguido hasta entonces.Durante algunos meses y apoyado por los resultados positivos que se ven´ıan obteniendo en el torneo, Costa Rica ten´ıa muy buenas opciones de ganar una de estas18 · F´utbol y matem´atica: modelo de simulaci´on de Monte-Carlo3 plazas. Surgi´o entonces en el ambiente deportivo un inter´es inusual en cuantificar las probabilidades que ten´ıa la selecci´on de Costa Rica de clasificar, o en general, las probabilidades de cada uno de los equipos participantes. Adem´as exist´ıa una pol´emica relativa a cu´al era el n´umero de puntos que deb´ıa acumular la selecci´on de Costa Rica al final del torneo, as´ı como otras cuestiones por el estilo.El autor contaba con la experiencia de haber desarrollado un modelo bastante m´as primitivo que el actual, para estudiar las probabilidades de clasificaci´on de la selecci´on de Costa Rica al pasado Mundial de F´utbol Francia 1998 [5].El modelo matem´atico de simulaci´on desarrollado responde a estas preguntas adecuadamente.Se llev´o a la pr´actica program´andolo en el lenguaje Pascal en microcomputadoras del tipo Pentium, obteni´endose un programa muy vers´atil y general, a tal grado que el mismo puede servir, luego de un m´ınimo de modificaciones f´aciles de implementar,para otros tipos de competencias deportivas que sigan una din´amica an´alogaal f´utbol. 2. Modelo de simulaci´on Un modelo de simulaci´on de Monte-Carlo para estimar las probabilidades de clasificaci´on de cada equipo participante en un torneo de f´utbol (como por ejemplo el Torneo Clasificatorio de la CONCACAF, o el de Sudam´erica), consiste b´asicamente en simular al azar millones de veces los resultados de los partidos que a´un no se han jugado, contabilizando la proporci´on de veces en que cada uno de los equipos logra clasificar: ´estaes la probabilidad de clasificaci´on de cada equipo. Tambi´en de esta manera se puede contabilizar la proporci´on de veces en que un equipo en particular logra la clasificaci´on con un n´umero espec´ıfico de puntos, con el fin de estimar la probabilidad de clasificar que tiene el equipo en cuesti´on bajo el posible escenario que el mismo logre obtener no menos que ese n´umero espec´ıfico de puntos.Lo fundamental en un modelo de simulaci´on de esta naturaleza son las hip´otesisque se utilizan para “gobernar” la simulaci´on al azar de los partidos que faltan porjugar, es decir, las leyes probabil´ısticas del azar empleadas. Las hip´otesis del modelo deben ser seleccionadas cuidadosamente, de manera que se simule apropiadamente el problema en estudio, en este caso concreto, una competencia de f´utbol. Debe tomarse en consideraci´on que cada hip´otesis que se imponga dentro de un modelo de simulaci´on de Monte-Carlo inducir´a un criterio subyacente de selecci´on. Se trata pues de escoger las hip´otesis adecuadas que produzcan criterios de selecci´on objetivos y coherentes. Para tal fin deben evitarse las hip´otesis irrelevantes o subjetivas, basadas en juicios de valor o en mitos que no tienen un buen valor predictivo ni corresponden a la actualidad deltorneo. Por ejemplo, si prejuiciadamente lleg´aramos a incorporar como hip´otesis que tanto M´exico como Estados Unidos y Costa Rica son los equipos superiores
del ´area de la CONCACAF, basados por ejemplo en alguna experiencia hist´orica o en sentimientos patri´oticos, entonces inevitablemente obtendr´ıamos del modelo de simulaci´on que precisamente estos tres equipos ser´an los que tienen mayores posibilidades de obtener una plaza para el Mundial de F´utbol. ¡En tal caso por supuesto no habr´ıa mucho que “piza” — 2005/10/30 — 18:49 — page 19 — #4Acta Nova; Vol. 3, N◦1, junio 2005 Art´ıculos Cient´ıficos · 19calcular! Por otra parte, en los modelos de simulaci´on de Monte-Carlo es de fundamental importancia el empleo de un buen algoritmo generador de n´umeros aleatorios, pues constituye el coraz´on de la simulaci´on al azar. En este aspecto debe evitarse el empleo de los generadores de tipo “congruencial” o “pseudo-aleatorios” que generalmente poseen los lenguajes de programaci´on tradicionales, ya que estos generadores poseen peque˜nos sesgos estad´ısticos que los hacen inadecuados dentro del contexto de un estudio de simulaci´on al azar. En la implementaci´on de nuestro modelo en Pascal se utiliz´o un generador de n´umeros aleatorios de tipo semi-aditivo (de per´ıodo infinito) desarrolladopor Knuth y citado en Press et. al. (1990), el cual ha demostrado ser apropiado en los estudios de simulaci´on de Monte-Carlo.3. Los datos del modelo Sean n el n´umero de equipos que juegan el torneo y k el n´umero de plazas disponibles para la clasificaci´on. Por ejemplo, para el Torneo de la CONCACAF, n = 6 y k = 3. Elprograma de simulaci´on requiere a continuaci´on de la siguiente informaci´on:El nombre de los n equipos participantes, junto con alguna informaci´on adicionalreferente a si el equipo ya se encuentra clasificado, o si ya se encuentra eliminado,o si clasificar´ıa si ganara el siguiente partido, o si quedar´ıa eliminado si pierde elsiguiente partido.El n´umero de puntos que actualmente tiene cada equipo en el Ranking FIFA-CocaCola [2]. No se utiliza el orden en esta escala, sino m´as bien el n´umero de puntos.La lista de partidos ya jugados con sus resultados num´ericos y la informaci´onreferente a cu´al era el equipo local.La lista de partidos a´un no jugados, en el orden cronol´ogico en que se desarrollar´an,con la informaci´on referente a cu´al ser´a el equipo local.Adem´as de lo anterior, el programa de simulaci´on requiere de cierta informaci´onadicional, cual es: la cantidad de puntos obtenidos con una victoria (normalmente 3en el caso del f´utbol), la cantidad de puntos obtenidos con un empate (normalmente1) y si existe o no desempate con penales (no, en el caso de la CONCACAF) cuandose produce un empate. Esta informaci´on adicional est´a prevista para poder utilizar elmodelo con algunos cambios menores en otras competiciones deportivas an´alogas.
4. Las hip´otesis globales del modeloLa simulaci´on se lleva a cabo bajo una serie de hip´otesis globales o de car´actergeneral, las cuales pasamos a enumerar:ii“piza” — 2005/10/30 — 18:49 — page 20 — #5iiiiii20 · F´utbol y matem´atica: modelo de simulaci´on de Monte-Carlo1. En ausencia total de informaci´on (por ejemplo al inicio del torneo), la probabilidadde que un partido finalice empatado es alrededor del 20.4%. Este porcentaje hasido obtenido del an´alisis estad´ıstico de los resultados de miles de partidos def´utbol de clasificaci´on a mundiales a lo largo de la historia: aproximadamente el20.4% de los partidos finaliza empatado, como lo muestra la Figura 1.Figura 1: Marcador del partido: frecuencia emp´ırica de los goles anotados en los partidosempatados, en los ´ultimos 1082 partidos de f´utbol entre selecciones nacionales en torneos declasificaci´on para el Mundial de F´utbol. El 20.4% de los partidos finaliza empatado.2. En ausencia de informaci´on espec´ıfica (por ejemplo al inicio del torneo), durantela simulaci´on de un encuentro, cada equipo tiene una probabilidad equivalente deganar, esto es, alrededor del 39.8%.3. Las probabilidades de empate o victoria de los equipos en cada partido que sesimula van cambiando ligeramente en forma din´amica, como se explica en la siguientesecci´on, de acuerdo al cambio que experimentan los criterios empleados.4. En el modelo se toman en consideraci´on los resultados de los partidos previamentejugados en el torneo, ya que es uno de los par´ametros de m´as importancia paraestablecer las diferencias en cuanto a la fuerza actual de los equipos.5. Se toman tambi´en en cuenta la posible ventaja que representa para un equipo eljugar en casa como local, contra la posible desventaja de jugar de visitante.6. De gran importancia en el modelo de simulaci´on son los resultados num´ericosde los partidos ya jugados, ya que permiten el c´alculo de la diferencia de goles(goles a favor menos goles en contra) de cada equipo al final del torneo. Este es elprincipal criterio para decidir los posibles empates en los lugares de clasificaci´on.7. El modelo tambi´en toma en consideraci´on el orden preciso en que se jugar´an los
partidos del torneo, esto es, el calendario de juegos. Este aspecto es importante,ii“piza” — 2005/10/30 — 18:49 — page 21 — #6iiiiiiActa Nova; Vol. 3, N◦1, junio 2005 Art´ıculos Cient´ıficos · 21ya que nos lleva a un esquema de tipo din´amico para el c´alculo de las probabilidadesde ganar, empatar o perder que cada equipo posee en cada enfrentamiento:influyen los resultados previos del mismo torneo en el orden real en que ocurrieron.8. El historial deportivo de los equipos tambi´en es un factor tomado en cuenta enel modelo, aunque se le asigna poca importancia relativa con respecto a otrospar´ametros. En efecto, el historial deportivo es en realidad un mito que no tienemucha influencia en el desarrollo del torneo que se est´a simulando, ya que ´estese juega con otros equipos, con distintos jugadores, en distintas condiciones, condistintas motivaciones y en otras ´epocas. A´un as´ı, no podemos obviar por completoel historial deportivo, pues entre otras cosas nos brinda una indicaci´on de laimportancia relativa que representa el f´utbol para el pa´ıs en consideraci´on, lo cualest´a asociado adem´as con la cantidad relativa de recursos econ´omicos que dedicanlos pa´ıses a la pr´actica del f´utbol, aspecto que obviamente tiene importancia y explicaalgunos buenos resultados. El historial deportivo es resumido en el presentemodelo de simulaci´on en el n´umero de puntos que tiene asignado cada pa´ıs en elranking de la FIFA, el cual var´ıa peri´odicamente.9. No se toman en cuenta dentro del modelo otros juicios de valor aprior´ısticos relativosa la fuerza futbol´ıstica de los equipos. Los prejuicios o creencias del tipo“M´exico es el equipo m´as fuerte de la CONCACAF”, por ejemplo, son inaceptablesen el modelo.10. El modelo no toma en consideraci´on algunos hechos imponderables que puedansurgir durante el desarrollo del torneo, tales como por ejemplo los sesgos producidospor errores arbitrales, los cambios de entrenadores, las posibles lesiones de los
jugadores importantes, la no-participaci´on de los denominados “jugadores legionarios”(que juegan en las ligas de otros pa´ıses), etc. Estos hechos imponderablesson dif´ıciles de modelar en forma objetiva, pues aparte de la imponderabilidadde los mismos en la pr´actica solamente nos enteramos de las particularidades delo que est´a ocurriendo con el equipo de nuestras preferencias, desconociendo amenudo cu´ales son las dificultades de nuestros adversarios.5. Probabilidades de victoria, empate y p´erdidaDentro del proceso de simulaci´on, supongamos que se enfrentan el equipo A (equipolocal) contra el equipo B (equipo visitante) en la fecha (o tiempo) t. Entonces se procedea calcular las probabilidades pA(t), pE(t) y pB(t) respectivamente de que gane A, seproduzca un empate, o gane B, donde pA(t)+pE(t)+pB(t) = 1. Est´a claro que basta concalcular pA(t) y pE(t), puesto que pB(t) se calcula por diferencia. Estas probabilidadesson din´amicas o dependientes del tiempo t, o fecha en la cual se juega el partido.La variable tiempo est´a directamente asociada al orden en que est´an programados lospartidos, esto es, al calendario del torneo.Al principio de las simulaciones se estima la probabilidad de empate pE(t) en 20.4%,que es el porcentaje emp´ırico de los partidos que finalizan en empate de acuerdo conii“piza” — 2005/10/30 — 18:49 — page 22 — #7iiiiii22 · F´utbol y matem´atica: modelo de simulaci´on de Monte-Carlolos estudios estad´ısticos. Conforme avanza el torneo esta probabilidad pE(t) de que seproduzca un empate entre el equipo A contra el equipo B se calcula mediante la f´ormulasiguiente:pE(t) = m´ın_0.15,m´ax_0.25,Nemp(t)Ntot(t) __,donde:Nemp(t) es el n´umero de partidos del torneo que han terminado empatados, antes
de la fecha t.Ntot(t) es el n´umero de partidos del torneo que ya han sido jugados, antes de lafecha t.De esta manera, la probabilidad pE(t) de que se produzca un empate entre A y Brefleja adecuadamente la tendencia de resultados empatados que ha arrojado el torneohasta el momento, con un tope superior del 25% y uno inferior del 15%, valores querepresentan una variaci´on del 5% por arriba y por debajo del promedio. Se hizo unan´alisis de sensibilidad en la selecci´on de estos topes m´aximo y m´ınimo de la probabilidadpE(t), demostr´andose en la pr´actica que la variaci´on de estos topes no ejerce unainfluencia importante en los resultados obtenidos.M´as elaborada es la estimaci´on de la probabilidad pA(t) de que resulte vencedor elequipo local A. En s´ıntesis, pA(t) est´a influenciada por tres factores principales, a saber:(i) el hecho de que A es el equipo casa, lo cual supone casi siempre una ventaja paraA (nunca una desventaja); (ii) el rendimiento hasta ahora obtenido por el equipo Aen el torneo, comparado con el rendimiento obtenido por el equipo B; (iii) el historialdeportivo de los equipos reflejado en el ranking oficial de la FIFA actualizado a la fechadel encuentro.Adem´as de estos factores principales, interviene un cuarto factor secundario —denominado “factor de imponderabilidad”— el cual incorpora alguna otra informaci´onrelevante para la estimaci´on del resultado, como por ejemplo, si alguno de los equiposA o B ya se encuentra clasificado, o eliminado, o bien si alguno de ellos clasifica conuna victoria, o ser´a eliminado con una derrota. La f´ormula definitiva empleada para elc´alculo de la probabilidad pA(t) es como sigue:pA(t) = (1 − pE(t)) ·2p_(t) + 2p_(t) + p(t)5· _(t),donde:El t´ermino (1 − pE(t)) denota la probabilidad restante, a distribuir entre pA(t) ypB(t), luego de haber calculado pE(t).El t´ermino p_(t) representa la probabilidad de que A resulte vencedor, dado aque est´a jugando como equipo casa. Se calcula como el m´aximo entre 1/2 y la
ii“piza” — 2005/10/30 — 18:49 — page 23 — #8iiiiiiActa Nova; Vol. 3, N◦1, junio 2005 Art´ıculos Cient´ıficos · 23proporci´on de veces que los equipos casa han resultado vencedores durante eltorneo, esto es:p_(t) = m´ax_12,Ncasa(t)Ntot(t) _,donde Ncasa(t) es la cantidad de veces en que los equipos casa han resultadovencedores y Ntot(t) es la cantidad de encuentros ya jugados. Obs´ervese que estaprobabilidad nunca es inferior al 50%, en concordancia con la hip´otesis de que serequipo casa nunca representa una desventaja.El t´ermino p_(t) representa la probabilidad de que A resulte vencedor en su enfrentamientocontra B, tomando en cuenta ´unicamente los rendimientos hasta elmomento obtenidos por ambos equipos. Se calcula como sigue:p_(t) =RendA(t)RendA(t) + RendB(t).Aqu´ı RendA(t) y RendB(t) denotan los rendimientos de los equipos A y B previoa la fecha t respectivamente. Se calculan tomando en consideraci´on los puntosobtenidos por los equipos A y B y la cantidad de juegos jugados por cada uno deellos, as´ı como el valor en puntos de una victoria.El t´ermino p(t) representa la contribuci´on del historial deportivo de los equiposen disputa A y B. Obs´ervese que se pondera con la mitad de importancia que losotros t´erminos. Se calcula de la siguiente forma1:p(t) =FIFAA(t)FIFAA(t) + FIFAB(t)._(t) es un factor de imponderabilidad que el usuario proporciona opcionalmentey que eventualmente modifica la probabilidad de ganar del equipo A, cuando sesabe que algunos de los equipos A o B ya se encuentra clasificado, o se encuentra
eliminado, o clasificar´ıa con una victoria, o se eliminar´ıa con una derrota. El valorde _(t) es un n´umero real cercano a 1. Valores de _(t) superiores a 1 hacen que laprobabilidad de una victoria de A aumente, mientras que valores de _(t) inferioresa 1 disminuyen la probabilidad pA(t).Los t´erminos anteriores p_(t), p_(t) y p(t) se ponderan en la f´ormula final, demanera que cada uno intervenga en la f´ormula de acuerdo a la importancia relativa delmismo. Fueron puestos en pr´actica varios esquemas de ponderaci´on, seleccion´andosefinalmente el siguiente esquema, luego de interesantes discusiones con otros expertosmatem´aticos: al t´ermino p(t) correspondiente al historial deportivo de los equipos endisputa se le asign´o la mitad de importancia que a los otros dos t´erminos p_(t) (“equipocasa”) y p_(t) (“rendimiento en el torneo”). De esa manera se explican los coeficientes1Alternativamente se puede emplear otro ranking, como por ejemplo el “World Football Elo Ratings”[3]. Aunque el rating de la FIFA ha sido muy criticado, a´un sigue siendo el m´as conocido.ii“piza” — 2005/10/30 — 18:49 — page 24 — #9iiiiii24 · F´utbol y matem´atica: modelo de simulaci´on de Monte-Carlode ponderaci´on de los t´erminos p_(t), p_(t) y p(t), otorg´andole a los dos primeros elmismo peso (2/5) y al tercero la mitad del peso (1/5).Una vez calculadas las probabilidades pA(t), pE(t) y pB(t), se procede como siguepara decidir el resultado del partido entre A y B: se genera un n´umero al azar con distribuci´on uniforme en (0, 1). Si el n´umero generado se encuentra en el intervalo (0, pA(t)),entonces se declara vencedor al equipo A. Si el n´umero generado se encuentra en elintervalo [pA(t), pA(t)+pE(t)], entonces se declara empatado el partido. Finalmente, siel n´umero generado se encuentra en el intervalo (pA(t) + pE(t), 1), entonces se declaravencedor al equipo visitante B.
6. La simulaci´on del resultado num´erico de cada encuentroUna vez determinado cu´al equipo resulta vencedor, o si se produce un empate (deacuerdo a las reglas descritas) interesa en el modelo el resultado num´erico del partido,para efectos de contabilizar al final los goles a favor y los goles en contra de cada equipo.Para ello, consid´erese la variable aleatoria X correspondiente a la diferencia de golesentre el equipo ganador y el equipo perdedor, as´ı como la variable aleatoria Y correspondientea la cantidad de goles que anota el equipo perdedor. Entonces el equipovencedor obtendr´a X + Y goles, mientras que el perdedor obtendr´a Y goles. Estos resultadosnum´ericos son por supuesto aleatorios y se simulan a partir de las distribucionesemp´ıricas de ambas variables aleatorias X y Y , de acuerdo al an´alisis estad´ıstico que elautor realiz´o, recabando los resultados num´ericos de una gran cantidad de partidos def´utbol de la Copa del Mundo en los ´ultimos 20 a˜nos. Los resultados de los partidos deanta˜no se encuentran disponibles en la p´agina Web de la Federaci´on Internacional deF´utbol Asociado FIFA. Las distribuciones emp´ıricas obtenidas se ilustran en las Figuras2 y 3.7. Las probabilidades de clasificaci´on y los puntos m´agicosSiguiendo las reglas anteriormente descritas, se completa mediante simulaci´on el torneoen cuesti´on, repitiendo este proceso millones de veces, tantas como se desee. Mediomill´on de simulaciones es m´as que suficiente para tales efectos, pues las probabilidadescalculadas ya no sufren variaciones en sus primeros 3 decimales.Luego se procede a calcular la proporci´on de veces que cada equipo participanteobtiene la clasificaci´on. En los casos que se produzcan empates en los lugares de clasificaci´on, se aplican las reglas de desempate estipuladas por la FIFA, cuales son: (i)desempate por gol diferencia; (ii) de persistir el empate, se desempata por cantidad degoles anotados. En el modelo, de persistir el empate se utiliza el azar para seleccionara los clasificados.Adem´as se calcula la proporci´on de veces que un equipo particular —Costa Rica,
por ejemplo— obtiene la clasificaci´on con una cantidad de puntos mayor o igual a cierton´umero predeterminado de puntos. De esa forma se obtiene denominada tabla de puntosii“piza” — 2005/10/30 — 18:49 — page 25 — #10iiiiiiActa Nova; Vol. 3, N◦1, junio 2005 Art´ıculos Cient´ıficos · 25Figura 2: Diferencia de goles entre el ganador el perdedor (variable X).Figura 3: Goles del perdedor (variable Y ).m´agicos (ver Figura 5), que reflejan las probabilidades que posee el equipo en cuesti´onde clasificar en caso que lograra obtener al final del torneo cierta cantidad total depuntos.ii“piza” — 2005/10/30 — 18:49 — page 26 — #11iiiiii26 · F´utbol y matem´atica: modelo de simulaci´on de Monte-CarloProbabilidades de clasificar al Mundial de F´utbol 2002Antes del partidoEquipo contra Trinidad Si ganara Si quedaran Si ganarael 1 de setiembre Costa Rica empatados TrinidadCosta Rica 95.2% 98% 92% 86%Estados Unidos 94.8% 95% 95% 96%Honduras 45.3% 45% 45% 58%Jamaica 32.7% 31% 33% 34%M´exico 31.9% 31% 33% 33%Trinidad y Tob. 0.3% 0% 2% 3%Figura 4: Probabilidades de clasificar al Mundial de Jap´on-Corea 2002 del Torneo de laCONCACAF, bajo diversos escenarios, previo al partido entre Costa Rica contra Trinidad.8. Comentarios finales y algunas conclusiones
El modelo matem´atico de simulaci´on elaborado ha demostrado ser un instrumentovalioso que ayuda a comprender mejor el verdadero panorama y las perspectivas de´exito de las selecciones en disputa, a lo largo del desarrollo del torneo de clasificaci´on.Sin embargo, debe tenerse presente que debido a la naturaleza misma de un deportecomo el f´utbol, en el cual intervienen mucho las situaciones azarosas as´ı como una grancantidad de factores imponderables, cualquier modelo matem´atico de tipo probabil´ısticotiene m´as valor descriptivo de una realidad que valor predictivo. Debe comprenderse queen el fondo esta metodolog´ıa ayuda a describir una realidad, basado en la informaci´ondisponible hasta el momento, ofreciendo resultados en forma de probabilidades. Pero,obviamente es imposible predecir con certeza el futuro, y menos en un deporte tanaleatorio como el f´utbol. Comp´arese por ejemplo con los resultados que pueden esperarseen otros deportes como la nataci´on, el atletismo y el ajedrez, en los cuales surgen menossorpresas que en el f´utbol.El bajo valor predictivo del modelo es un aspecto que no siempre fue bien comprendidopor la prensa deportiva, que le brind´o una amplia cobertura a los c´alculosrealizados con este modelo. Por ejemplo, en cierta oportunidad se public´o un art´ıculoen uno de los peri´odicos de mayor circulaci´on, muy bien elaborado en todo su contenidoPuntos totales obtenidos 13 14 15 16 17 18Probabilidades de clasificar 18% 56% 87% 93% 99.9% 100%Figura 5: La “tabla de los puntos m´agicos”. En la fecha 1 de setiembre del 2001, faltando a´un 4encuentros para finalizar el torneo, Costa Rica lleg´o a 13 puntos. Obviamente sus posibilidadesde clasificar al Mundial eran muy altas. Para tener certeza absoluta, se requer´ıa ganar 5puntos adicionales. Sin embargo, con solamente 2 puntos adicionales se ten´ıa muy buenasprobabilidades: 87%.ii“piza” — 2005/10/30 — 18:49 — page 27 — #12i
iiiiiActa Nova; Vol. 3, N◦1, junio 2005 Art´ıculos Cient´ıficos · 27Figura 6: Evoluci´on de las probabilidades de clasificar de las selecciones, luego de efectuadoscada uno de los partidos de la hexagonal de la CONCACAF.a excepci´on del t´ıtulo del mismo, que con grandes letras rezaba “¡Matem´atico predicela clasificaci´on de nuestra selecci´on!”.La amplia publicidad brindada por los medios (prensa, radio y televisi´on) a losresultados del presente modelo de simulaci´on gener´o mucha pol´emica a todos los nivelesy en cierto sentido contribuy´o a subir la moral a los aficionados costarricenses, quienesen su mayor´ıa consideraban muy buena noticia que su equipo contara con la bendicionesde los n´umeros, mientras los jugadores realizaban las verdaderas haza˜nas en la cancha.En cuanto al modelo matem´atico en s´ı, algunos aspectos podr´ıan objetarse y modelarsede otra manera. En la elaboraci´on del modelo se sigui´o una pol´ıtica de establecerun conjunto peque˜no de hip´otesis de trabajo o factores de influencia en las probabilidades,tratando de mantener el modelo lo m´as simple posible. Esta metodolog´ıa brindauna base a partir de la cual se pueden elaborar otros posibles estudios, con algunasvariaciones de las hip´otesis.Finalmente, estas ideas de simulaci´on de Monte-Carlo que condujeron al modelo desarrolladopodr´ıan utilizarse, con ligeras modificaciones seg´un sea el caso, al pron´osticode resultados en otras disciplinas deportivas que se rigen de acuerdo a una din´amicasimilar al f´utbol, esto es, en competencias del tipo “todos contra todos”, tales como porejemplo el voleibol, el b´eisbol, el baloncesto y el ajedrez, entre otros.ii“piza” — 2005/10/30 — 18:49 — page 28 — #13iiii
ii28 · F´utbol y matem´atica: modelo de simulaci´on de Monte-CarloReferencias[1] Arpad Elo: Chess Ratings Developer. www.cais.net/sunburst/chess/hof elo.html.2001.[2] The FIFA / Coca ColaWorld Ranking. www.fifa.com/fifa/media/history.teamrank.html.2001.[3] World Football Elo Ratings. www.eloratings.net. 2002.[4] W. Press; B. Flannery; S. Teukolsky y W. Vetterling. Numerical Recipes: The Artof Scientific Computing. Cambridge University Press, Cambridge., 1990.[5] Eduardo Piza V. Simulaci´on y f´utbol. Memorias del XI Simposio Internacional deM´etodos Matem´aticos Aplicados a las Ciencias, pp. 145-155. Editorial conjuntaUCR-ITCR, Santa Clara, Costa Rica.[6] Eduardo Piza V. Un modelo de simulaci´on de los resultados de un torneo de f´utbol.Revista del CIEMI, A˜no 8, Volumen 32, pp.33-44, San Jos´e.
