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Educacin matemtica. EMN.
FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer
expresiones racionales yobtener sumas de expresiones ms
simples.
Hay cuatro casos:
1) Descomposicin en fracciones parciales en la cual cada
denominador es lineal.2) Descomposicin en fracciones parciales con
un factor lineal repetido.3) Descomposicin en fracciones parciales
con un factor cuadrtico irreducible.4) Descomposicin en fracciones
parciales con factor cuadrtico repetido.
Procedimiento para:Descomposicin en fracciones parciales en la
cual cada denominador es lineal.
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcin del numerador
es menor quePaso 1:la del denominador. Si es mayor debo realizar
una divisin larga para bajar el grado dela funcin del
numerador.
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de
factores lineales,Paso 2:px +q, o factores cuadrticos
irreductibles, cbxax 2 , y agrupar los factores repetidospara que
la funcin del denominador sea un producto de factores diferentes de
la forma
mqpx , donde 1m o ncbxax 2 los nmeros m y n no pueden ser
negativos.
Si son Descomposicin en fracciones parciales en la cual cada
denominador esPaso 3:lineal o fracciones parciales con un factor
lineal repetido.
...factorfactor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1:
Determinar la descomposicin en fracciones parciales de:xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador
grado 3 por lo tantono tengo que hacer una divisin larga.
Segundo: factorizo el denominador 133232 223 xxxxxxxxx
Tercero: coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
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Educacin matemtica. EMN.
Obtengo el mnimo comn denominador, lo opero y lo igualo al
numerador.
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el mtodo que ms nos
convenga: Opero losparntesis xxCxxBxxAxx 3329134 2222
Ahora formo mi primera ecuacin con los trminos al cuadrado
as
ACBAxCBAxxxACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son:4111 CBA13312 CBA
A39 Tomo la tercera ecuacin y encuentro el valor de A
A39
A
A
33
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo as los valores de B y
C
Multiplico las letras en los parntesis
Factorizo as
Los ordeno
Quito los parntesis
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73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar nicamente cuando los trminos
son lineales y norepetidos que es mucho ms fcil.
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xxObtengo el mnimo comn denominador, lo opero y lo
igualo al numerador. 31139134 2 xxCxxBxxAxx Igualo acero cada
uno de los factores del denominador de la fraccin parcial
0x3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0 31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
3001001030901304 2
x = -3 31139134 2 xxCxxBxxAxx
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Educacin matemtica. EMN.
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
3331331333931334 2
x = 1 31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
3111111131911314 2
Respuesta:
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
EJERCICIOS
1) 3218
xx
x2) 14
29
xx
x3)
124
342
xx
x
4)xx
x
4
1252
5) 3211154 2
xxx
xx6) 52
20192
xxx
xx
7)xxx
xx
54
155423
2
8) 6511137
2
xxx
Descomposicin en fracciones parciales con un factor lineal
repetido.
Ejemplo: 2
2
3
3610
xx
xxNotamos en el ejercicio que hay un trmino lineal repetido
que
es 23x Entonces lo colocamos as: 233
x
C
x
B
x
ASi fuera al cubo el trmino
repetido 33x lo pondramos: 32 333
x
D
x
C
x
B
x
A
Ejemplo resuelto por pasos:
22
3
3610
xx
xx
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Educacin matemtica. EMN.
Primero escribimos en el denominador del trmino lineal x, luego
escribimos en eldenominador el trmino repetido elevado a la 1 y por
ltimo escribimos en el denominador
el trmino repetido elevado al cuadrado as: 22
2
333
3610
x
C
x
B
x
A
xx
xxComo
tenemos trmino repetido ya no podemos usar la forma fcil de
resolver nicamente porsistemas de ecuaciones.
Pasos operamos el mnimo comn denominador y lo igualamos al
numerador.
xCxxBxAxx 333610 22
Operamos los parntesis xCxxBxxAxx 3963610 222
ACBAxBAxxxACxBxAxBxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
CxBxBxAAxAxxx
9363610
9363610
3963610
3963610
22
222
222
222
Formo mis 3 ecuaciones
369
1036
1
A
CBA
BA
Resolviendo me queda:
4
369
A
A
Sustituyo valores en la primera ecuacin:
5
14
14
1
B
B
B
BA
Sustituyo valores en la segunda ecuacin
Multiplico las letras en los parntesis
Factorizo asi
Los ordeno
Quito los parntesis
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Educacin matemtica. EMN.
1
910
109
101524
1036
C
C
C
C
CBA
respuesta
222
3
1
3
54
3
3610
xxxxx
xx
EJERCICIOS
9) 21
32
x
x10) 2
452
2
xx
x11)
23
2
53
255019
xx
xx
12)2510
102 xx
x13) 122
62
xx
x14) 22
2
11
2
xx
xx
Descomposicin de una fraccin parcial que contiene un
factorcuadrtico irreducible.
482
2915423
23
xxx
xxxPrimero observo que el grado del numerador y denominador
son
iguales por lo que tengo que realizar una divisin larga.2
482 23 xxx 29154 23 xxx81624 23 xxx
2x x 21
482
212
482
2915423
2
23
23
xxx
xx
xxx
xxx
Factorizo el denominador: 12412412482 2223 xxxxxxxx
42 x Es un trmino cuadrtico irreducible por lo que ahora opero
as:
124482
21223
2
x
C
x
BAx
xxx
xxOperamos el mnimo comn denominador
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Educacin matemtica. EMN.
CBBAxCAxxxCBBxAxCxAxxx
CCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
42221
42221
42221
41221
22
222
222
22
Formar las ecuaciones:
214
12
12
CB
BA
CA
Puedes resolverlo por el mtodo que quieras, en este caso
seguiremos practicando laresolucin por matices
21410
1021
1102
1102
21410
1021
1140
21410
1021
851700
21410
1021
5
8517
C
C
1
2021
214
B
B
CB
3
21
21
12
A
A
BA
BA
RESPUESTA:
12
5
4
132
1242
482
212
482
291542223
2
23
23
xx
x
x
C
x
BAx
xxx
xx
xxx
xxx
Multiplico las letras en los parntesis
Factorizo asi
Los ordeno
Quito los parntesis
11 RR
3312 RRR
1140
1102
2042
3324 RRR
851700
1140
841640
