Una nueva geometra

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ndice1. Caos 1.1. Definicin aproximada ...... 1.2. Un caso prctico 2. Fractales 2.1. Un poco de historia: los orgenes .. 2.2. La necesidad de una nueva geometra ... 2.3. Qu es un fractal? . 2.4. Concepto de dimensin . 2.5. Teora de las funciones iteradas 2.6. Qu es un atractor? .. 3. Anlisis de diferentes fractales 3.1. Robert Brown y su partcula Browniana 3.2. El tringulo de Sierpinski .. 3.3. El conjunto de Julia 3.4. El conjunto de Mandelbrot 3.5. El fractal de Newton .. 3.6. El fractal de Cantor 3.7. La curva de Koch ... 3.8. El fractal de Zayas . 4. Fractales en diferentes mbitos 4.1. En la msica ... 4.2. En la naturaleza .. 4.3. En la poesa 4.4. En la escritura 4.5. Arte fractal . 4.6. Maurits Cornelis Escher . 4.7. Para comprimir imgenes .. pg. 3 pg. 3

pg. 5 pg. 7 pg. 7 pg. 8 pg. 10 pg. 14

pg. 15 pg. 15 pg. 18 pg. 21 pg. 25 pg. 29 pg. 29 pg. 30

pg. 32 pg. 34 pg. 36 pg. 37 pg. 37 pg. 39 pg. 40

5. Algoritmos y seudo cdigos para dibujar fractales 5.1. Algoritmo del conjunto de Julia . pg. 42 5.2. Algoritmo del conjunto de Mandelbrot . pg. 43 6. Programas para el dibujo de fractales 6.1. Fractint ... pg. 45 6.2. Ultra Fractal ... pg. 46 6.3. Programas de elaboracin propia ... pg. 46 7. Conclusin ... 8. Apndice A: los nmeros complejos, los cuaterninos y los nmeros hipercomplejos 9. Bibliografa .. pg. 50

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IntroduccinDecantarme por un trabajo de investigacin cientfica y en particular por un trabajo de matemticas fue fcil. Lo que ms me atraa de este trabajo era la estrecha relacin que existe entre las matemticas y el resto de la realidad. Otro de los atractivos que me ayudaron a elegir este trabajo fue el hecho de poder programar pequeas herramientas para as ejemplificar y mostrar conceptos relacionados con el mundo de los fractales. Si pudieras detener cada tomo en su posicin y direccin y si tu mente fuera capaz de abarcar todas las acciones que quedaran suspendidas en ese momento, y si adems fueras bueno para el lgebra, bueno de verdad, podras escribir la frmula del futuro deca Thomasina en Arcadia de Tom Stoppard. Quiz sea demasiado optimista pero el mundo se puede descomponer en matemticas ya sea de una manera ms o menos aproximada todo es reducible a cifras y nmeros. No es aventurado pensar que Thomasina tena razn pero olvid algo fundamental que se presenta de manera inesperada y desaparece de igual manera: el caos. La conducta catica est intrnsicamente ligada a muchas ecuaciones y procesos naturales. El caos es reciente, hasta hace poco ms de 40 aos se relegaba a los pies de pgina. Muchos cientficos estn dejando de creer en el determinismo de la naturaleza. Los fractales son una prueba de ello, quin puede imaginar que la red arterial del cuerpo humano tiene forma y estructura fractal. Es ms quin puede imaginar que las costas de todos los continentes tienen estructura fractal. En este trabajo se analizan diversos conjuntos fractales no sin antes introducir al lector en los conceptos necesarios para entender la geometra fractal como la dimensin, el caos o la iteracin de funciones. Otro punto destacable es el conjunto de programas que se presentan para que el lector pueda crear fractales y experimentar con ellos.

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1.- Caos1.1- Definicin aproximada El trmino caos se refiere a una interconexin subyacente que se manifiesta en acontecimientos aparentemente aleatorios. Esta definicin es difcil de interpretar ya que el caos no es un concepto fcilmente definible. Es necesario aclarar desde el comienzo, que la conducta catica es la agregacin de muchas conductas ordenadas. El caos es impredecible, pero determinable. O dicho de otro modo, el caos no es aleatorio, tiene un orden subyacente aunque pueda parecer paradjico. El caos matemtico se presenta cuando se predice por ejemplo el comportamiento de una funcin pero sta acaba comportndose de manera extraa aunque podemos intuir de manera aproximada cuan extraa y diferente se comporta de lo predicho. Por ejemplo imagine que tenemos una funcin f(x) que hasta x=1000 crece de manera proporcional pero desde el intervalo (1000, ) comienza a comportarse de manera extraa (ya no crece proporcionalmente) y toma el aspecto de una funcin del tipo seno. El caos se ha manifestado, la funcin en principio debera de continuar creciendo de manera proporcional sin embargo ahora es una funcin tipo seno. Cabe mencionar que el caos es muy sensible a las condiciones iniciales.

1.2- Un caso prctico Cuando una funcin se itera muchsimas veces el resultado puede resultar casi imprevisible, dependiendo muy sensiblemente a cualquier variacin del valor inicial. Por ejemplo coja un lpiz cualquiera pngalo vertical sobre una superficie llana y espere a que caiga. Repita el proceso pero vare ligeramente las condiciones iniciales, por ejemplo apoye el lpiz en otro punto y pngalo verticalmente. Caer en otro lugar. Otro ejemplo sencillo: vierta el contenido de un vaso y ver como, a pesar de repetir el acto de la misma forma, la forma de expandirse del lquido vara.

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Un ejemplo ms grfico del caos se muestra a continuacin: 1. Dibujar dos curvas en los mismos ejes. Escoger un punto del eje X. Este punto ser el valor inicial. 2. Dibujar una vertical desde ese punto hasta interceptar la parbola. 3. Dibujar una horizontal desde la intercepcin hasta llegar a la lnea diagonal. 4. Repetir el paso 2 con el ltimo punto obtenido. Parmetro: C= 1/4 para el valor inicial 0. La lnea que se forma se llama rbita, y tiende a 1/2.

Parmetro = -3/4. Ntese que la rbita se aproxima desde los cuatro lados al punto, pero despus de las 1000 iteraciones realizadas todava queda un punto blanco en el centro: la rbita no ha alcanzado su valor final

C= -13/16. La rbita comienza a circular alternndose entre -3/4 y -1/4.

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C= -1.3. La rbita oscila en un ciclo cudruplo entre los valores 1.2996224637, 0.3890185483, 1.1486645691, y 0.0194302923, Esta vez despus de slo 100 iteraciones la rbita parece haber alcanzado su valor final.

C= -1.4015. Se parece a la grfica anterior, sin embargo en sta la rbita nunca pasa por el mismo sitio sino que se ajusta a unas bandas.

C= -1.8.

De esta serie de experimentos se concluye pues que en los sistemas caticos una ligera e imperceptible modificacin de las condiciones iniciales hace variar el resultado de forma mayscula.

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2.- Fractales2.1- Un poco de historia: los orgenes La matemtica fractal haba sido, hasta los aos 70, relegada a los pies de pgina o a los mrgenes. Cuando algn matemtico se encontraba con un monstruo lo consideraba una mera ancdota. En 1919 Hausdorff ide un mtodo para medir las dimensiones y medidas de los fractales, el llamado medida y dimensin Hausdorff. Al ao siguiente Besicovitch, interesado por el trabajo de Hausdorff, en particular por la dimensin Hausdorff 1 cre la teora geomtrica de la medida. En 1963 Edward Lorenz, meteorlogo, intua el efecto mariposa al redondear unos decimales en su programa de ordenador que simulaba situaciones meteorolgicas. Al variar ligeramente el nmero de decimales despus de la coma e introducir los resultados en su ordenador el programa devolvi unos resultados sorprendentemente diferentes a los anteriores. El caos matemtico haba nacido. Efecto mariposa: Esta expresin proviene del hecho que el aleteo de una mariposa en un remoto lugar de la Tierra puede originar un tornado en otro lugar. Exageraciones a parte, el caos demuestra que unas ligeras variaciones en las condiciones iniciales pueden originar resultados impredecibles. Gastn Julia (1893-1978) fue uno de los grandes precursores de la matemtica fractal. Nacido en 1893 fue herido en la cara durante la Primera Guerra Mundial. Durante su estancia en el hospital se interes por las iteraciones de funciones complejas y finalmente public el artculo informe sobre la iteracin de las funciones racionales de 199 pginas en la revista francesa Journal de Mathmatiques Pures et Apliques. Ello le mereci un galardn por parte de la Academia de ciencias de Francia. En este artculo se mostraba lo que ms tarde se tratar en este trabajo, el conjunto de Julia. Benot Mandelbrot (1924), en los aos 70 y posteriores, se interes mucho por la posibilidad de que una regla o cierto tipo de orden determinaran el ruido que se proyectaba en las comunicaciones entre ordenadores. Este ingeniero de Imagen 1. Gustave Julia. lEcole Politecnique de Pars y actualmente IBM Fellow en el J.J. Watson Research Center y profesor de matemticas en la universidad de Harvard haba dado el primer gran paso al publicar el libro sobre el

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cual reposan los fundamentos de la matemtica fractal: The Fractal Geometry of Nature (La geometra fractal de la naturaleza 1977, 1982, 1983). En 1987, el matemtico ingls Michael F. Barnsley descubri la transformacin fractal, capaz de detectar fractales en fotografas digitalizadas. Ello permiti crear la compresin fractal para imgenes que obtiene resultados aceptables pero muy inferiores a la compresin JPEG o JPEG2000. Pero quiz el verdadero protagonista de la historia fractal haya sido el ordenador. Ese gran invento que revolucion el mundo permiti dar pasos agigantados en numerosas ciencias, entre ellas la matemtica. Los fractales quiz no hubieran sido objeto de estudio si no hubieran existido ordenadores o hubieran seguido siendo monstruos destinados a los pies de pgina o mrgenes.

Imagen 2. Benot Mandelbrot

2.2- La necesidad de una nueva geometra: Geometra fractal versus Geometra euclidiana La geometra euclidiana ha simplificado las irregularidades. En concreto ha linealizado las leyes, ha hecho una aproximacin de la ley real y ha regularizado las formas geomtricas, es decir, suponer suaves o lisas lneas o superficies que en rigor no lo son. Recientemente se ha descubierto que la naturaleza es catica, sus leyes a veces se comportan de una manera determinista y catica de manera que un ligero aumento de temperatura en un lugar de la Tierra puede tener consecuencias previsibles pero indeterminadas. La naturaleza es irregular. Por ese motivo surgi lo que hoy conocemos como geometra fractal, una parte de la matemtica que se encarga de encontrar un orden y una regla en ese caos natural igual que Dedekind racionaliz el nmero irracional.

2.3-

Qu es un fractal?

Dar una definicin correcta y sencilla de fractal no es fcil. La palabra fractal proviene del latn fractus, que significa fragmentado, fracturado, o simplemente roto o quebrado, muy apropiado para objetos cuya Pg. 7

dimensin es fraccionaria. El trmino fue acuado por Benot Mandelbrot en 1977 aparecido en su libro The Fractal Geometry of Nature. Al estudio de los objetos fractales se le conoce, generalmente, como geometra fractal. Un fractal es un conjunto matemtico que puede gozar de autosimilitud a cualquier escala, su dimensin no es entera o si es entera no es un entero normal. El hecho que goce de autosimilitud significa que el objeto fractal no depende del observador para ser en s, es decir, si tomamos algunos tipos de fractales podemos comprobar que al hacer un aumento doble el dibujo es exactamente igual al inicial, si hacemos un aumento 1000 comprobaremos la misma caracterstica, as pues si hacemos un aumento n, el dibujo resulta igual luego las partes se parecen al todo. Un conjunto u objeto es considerado fractal cuando su tamao se hace arbitrariamente mayor a medida que la escala del instrumento de medida disminuye. Por ejemplo: Sea C una curva cualquiera y k la escala del instrumento de medida. Si el lmite para cuando k se hace infinitamente pequeo y C tiende a infinito entonces se considera fractal. o lim C = k

Hay muchos objetos ordinarios que, debido a su estructura o comportamiento, son considerados fractales naturales, aunque no los reconozcamos. Las nubes, las montaas, las costas, los rboles y los ros son fractales naturales aunque finitos ergo no ideales; no as como los fractales matemticos que gozan de infinidad y son ideales. Algunas definiciones sencillas extradas de ensayos y libros acerca del tema: o Modelos infinitos comprimidos de alguna manera en un espacio finito o Bellsimos y fascinantes diseos de estructura y complejidad infinita. Resumen de las propiedades de los fractales o Dimensin no entera. Como se mostrar en el apartado siguiente la dimensin de un fractal no es un nmero entero sino un nmero generalmente irracional. o Compleja estructura a cualquier escala. Los fractales muestran estructuras muy complejas independientemente de la escala a la cual lo observemos. o Infinitud. Se consideran infinitos ya que a medida que aumentamos la precisin del instrumento de medicin observamos que el fractal aumenta en longitud o permetro. o Autosimilitud en algunos casos. Existen fractales plenamente autosimilares de manera que el todo est formado por pequeos fragmentos parecidos al todo. 2.4Concepto de dimensin

La geometra tradicional o euclidiana distingue las siguientes dimensiones: -1, 0, 1, 2, 3. o Dimensin -1 Realmente esta dimensin representa el vaco.

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o Dimensin 0 Un punto no tiene dimensin alguna porque no tiene longitud, anchura o profundidad. .

o Dimensin 1 Una lnea (formada por infinitos puntos) es unidimensional ya que slo tiene longitud. Si dividimos por la mitad la medida de la longitud de un objeto unidimensional, obtenemos dos objetos pequeos de idntica apariencia al objeto original

o Dimensin 2: Un plano es bidimensional porque tiene longitud y anchura. Si lo dividimos por su longitud y su anchura obtenemos 4 planos.

Plano

o Dimensin 3: Un cubo es tridimensional ya que tiene longitud, anchura y profundidad. Si dividimos exactamente por la longitud, la anchura y la profundidad obtenemos 8 cubos ms pequeos.

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De estas observaciones se puede concluir que la duplicacin ocurre a razn exponencial de 2, 4, 8 y as sucesivamente. Aritmticamente, estos nmeros pueden expresarse como:

2 = 21 4 = 22 P = n D 8 = 23

Siendo P las porciones obtenidas del nmero de divisiones n elevado a la dimensin D.

Si examinamos el valor del exponente en cada caso, encontramos que ste es idntico al valor de la dimensin de cada objeto: 1, 2 y 3. As pues esta forma de calcular la dimensin de un objeto resulta totalmente vlida. Pero qu pasa cuando medimos la dimensin de un fractal? Tomando de ejemplo el tringulo de Sierpinski (es un fractal muy autosimilar y sencillo de dibujar como se ver en los siguientes apartados) y siguiendo el ejemplo anterior

log 3 = 1.58496... log 2 Hallamos pues una dimensin fractal comprendida entre 1 y 2 que no es entera. 3 = 2D log 3 = log 2D log 3 = D log 2 D =

2.5- Teora de funciones iteradas

La construccin de un fractal puede hacerse mediante la iteracin de una frmula. A continuacin se hace una pequea demostracin del funcionamiento de este sistema de funciones que demuestra la unin que existe entre matemtica fractal y caos. Partamos de la siguiente frmula f (x) = 2x n 1 + xk siendo k un nmero entero y x n 1 la imagen de f (x 1) .

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La iteracin de una funcin consiste en introducir el valor de la imagen anterior en la imagen que se pretende conseguir. Para iniciar el proceso iterativo se debe introducir pues un valor inicial ( x o ) en la frmula, a este valor inicial se le denomina semilla. Partimos en este caso de que f (x o ) = 0.25 y k=3. El final del programa se puede ver en la figura 1.

Figura 1. Detalle del final del programa Iterame.java que acompaa a este trabajo para demostrar la existencia del caos. Los parmetros introducidos fueron: f(n-1)=0.25 y k=3.

Iteracin 0 1 1000

f (x) f (0) = 2 0.25 + 0 3 = 0.5 f (1) = 2 0.5 + 1 3 = 4

f (1000) = 6.96 10301 +3000 = 6.96 10301

Ahora una pequea demostracin del caos. Cambiamos f(n-1)=0.25 por f(n-1)=0.3 (ntese que slo hemos aumentado en 0.05 unidades f(n-1) ) El final del programa se puede ver en la figura 2. La imagen de f(10) para f(n-1)=0.25 es sustancialmente diferente a f(10) para f(n1)=0.3.

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Figura 2. Detalle del final del programa Iteracin.java que acompaa a este trabajo para demostrar la existencia del caos. Los parmetros introducidos fueron: f ( x o ) =0.3 y k=3.

Iteracin 0 1 1000

f (x) f (0) = 2 0.3 + 0 3 = 0.6 f (1) = 2 0.6 + 1 3 = 4.2

f (1000) = 7.07 10301 +3000 = 7.07 10301

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El siguiente grfico muestra las ltimas 20 iteraciones de las funciones anteriores. Observe que la diferencia entre la funcin F1 con los parmetros x 0 = 0.25 , k = 0.3 y F2 con x 0 = 0.3 , k = 0.3.Detalle de las iteraciones 980 a 10008,00E+301

6,00E+301

4,00E+301

F1(x) F2(x)

2,00E+301

0,00E+00

La diferencia entre la iteracin 1000 de la primera funcin y la iteracin 1000 de la segunda iteracin es 1,07 10300 . El siguiente grfico ilustra la diferencia entre el resultado de las ltimas 20 iteraciones que se produce entre la funcin 2 y la funcin 1.F2(x)-F1(x) 1,2E+300

1E+300

8E+299

6E+299

F2(x)-F1(x)

4E+299

2E+299

0

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A medida que las iteraciones aumentan la diferencia entre los valores de las funciones crece desmesuradamente.2.6- Qu es un atractor?

Antes de poder admirar la belleza de las frmulas matemticas y sus bellos resultados se debe aclarar un concepto que aparecer nombrado ms tarde. Un atractor no es ms que un punto o conjunto de ellos al cual tienden a aproximarse una parte de un conjunto fractal, el fractal se siente atrado. Por ejemplo si tomamos el problema clsico 3n + 1 se obtiene un atractor. El problema 3n + 1: Tomamos un nmero (semilla inicial) al que le aplicaremos un proceso iterativo consistente en que si es impar lo multiplicaremos por 3 y le sumaremos 1, en caso contrario (que sea par) lo dividiremos entre 2. Al resultado obtenido le aplicaremos el mismo procedimiento y as sucesivamente hasta que se entre en un bucle sin salida. Por ejemplo x0 = 1 4 2 1 10 5 16 8 4 2 1 P=7 x0 = 3 3 10 5 16 8 4 2 1 P=8 x0 = 6

P=3

Sea P el nmero de iteraciones calculadas antes de que la sucesin de resultados caiga en un bucle sin salida. En este caso pues el atractor es la sucesin 4, 2, 1. Los matemticos de todos los tiempos llevan preguntndose si existe otra sucesin. Todava no hay resultados. Para esta explicacin se ha elaborado el programa p3n1.java que acompaa al trabajo. Como ms adelante se mostrar los atractores pueden mostrar una belleza interminable (como en el caso del fractal de Newton) o pueden siquiera no mostrarse (visualmente hablando).

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3.- Anlisis de diferentes fractales3.1- Robert Brown y su partcula Browniana

El botnico Robert Brown en 1827 observ como una partcula cualquiera flua de manera aleatoria sobre un lquido. Esta experiencia se puede tener por ejemplo cuando uno est sentado en el cine y observa como el polvo se mueve a travs de la luz del proyector. No sera ms que anecdtico sino fuera por qu si apuntamos las coordenadas de una de esas motas de polvo en un instante corto observamos como se puede dibujar una curva con dimensin fractal. Intente dibujar una tangente en esa curva, no podr. Es un fractal ya que: Su dimensin estar entre alrededor de 2 ya que prcticamente rellena el plano complejo pero no del todo. No es autosimilar pero si infinito y complejo.

Figura 1. Fractal creado con el programa que acompaa al trabajo.

Este es posiblemente el objeto fractal ms sencillo de dibujar.

3.2- El tringulo de Sierpinski

El matemtico polaco Waclaw Sierpinski introdujo este fractal en 1919. El mtodo de dibujo es el siguiente:

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Partamos (iteracin n=0) de la superficie de un tringulo equiltero de lado unidad.

Seguidamente (iteracin n=1) tomemos los puntos medios de cada lado y construyamos a partir de ellos un tringulo equiltero invertido de lado 1/2. Lo recortamos.

Ahora (iteracin n=2) repetimos el proceso con cada uno de los tres tringulos de lado 1/2 que nos quedan.

As que recortamos, esta vez, tres tringulos invertidos de lado 1/4.

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El proceso se repite infinitamente hasta obtener un tringulo de Sierpinski tan detallado como se dese.

Despus de 5 iteraciones se obtiene este resultado.

En la figura observamos hasta cinco iteraciones sucesivas. Si repetimos infinitamente el proceso obtendremos una figura fractal denominada tringulo de Sierpinski.

Existe tambin otro mtodo de dibujo relacionado estrechamente con el tringulo de Tartaglia. El tringulo de Tartaglia es una forma de ordenar los nmeros.

1 1 0 1 2 2 2 0 1 2 3 3 3 3 0 1 2 3

Recordamos: m m ( m 1) ( m 2 ) ... ( m n ) = n! n

1 121 1331

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Ahora coloreamos el fondo de los nmeros impares y obtenemos el tringulo de Sierpinski tal y como muestra la figura 2.

Figura 2. Tringulo de Tartaglia con los nmeros impares pintados de un color.

El tringulo de Sierpinski es un fractal porque cumple las tres condiciones para que se considere un fractal: log 3 1.- Tiene una dimensin fraccionaria. Es aproximadamente = 1.58496... como ya log 2 se demostr en el apartado de dimensiones. 2.- Es infinito ya que a medida que se realizan ms iteraciones se forma mejor el tringulo. 3.- Es autosimilar: este fractal es el ideal de fractal autosimilar a cualquier escala.

3.3- El conjunto de Julia

Iterar una funcin puede dar resultados muy extraos. Un ejemplo: Partimos de la funcin f (x n ) = f (x n 1 ) 2 1 cuando iteramos para los puntos iniciales comprendidos entre [, ] , es decir, los valores comprendidos entre el nmero ureo

( =

1+ 5 = 1, 618... ) y su valor negativo tienden a un punto que no es infinito 2 mientras que cuando se itera a partir de un nmero no comprendido entre el intervalo anterior la iteracin tiende directamente al infinito. El programa Iteraciones.java que acompaa al trabajo demuestra la anterior afirmacin. Un ejemplo: Escojamos un valor dentro del intervalo [, ] , por ejemplo x = 0 x f(x) x = 0 El valor inicial para la iteracin. Ntese que el valor f (0) = 02 1 = 1 est comprendido en el intervalo [, ] . x = f (0) = 1 f (1) = (1) 2 1 = 0 x = f (1) = 0 f (0) = 02 1 = 1

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Ahora un valor fuera del intervalo [, ] , por ejemplo x = 3 x f(x) x = 3 El valor inicial para la iteracin. Ntese que el 2 f (3) = ( 3) 1 = 8 valor no est comprendido en el intervalo [, ] . x = f (3) = 8 f (2) = 82 1 = 63

x = f (2) = 63 En la iteracin nmero 5 x = 6.15 1028

f (0) = 632 1 = 3968

Una vez visto el poder, de nuevo, que muestra una simple funcin polinmica iterada pasemos a iterar la funcin con nmeros complejos y a representar en un plano complejo los resultados de la manera que sigue. La nueva funcin, ahora compleja, es Zn = Zn 12 1

Mtodo de dibujo: 1.- Se selecciona un rea del plano complejo por ejemplo de (10+10i), (1010i) a (-10+10i), (-10-10i). Figura 3. Recuerde que en el plano complejo en el eje x se representa la parte real del nmero complejo y en el eje y se representa el valor imaginario del nmero complejo. 2.- Elegimos cada punto del plano complejo y lo iteramos. El proceso iterativo consistira en escoger todos los puntos delimitados por nuestra rea del Figura 3. El plano complejo elegido plano complejo en introducirla en la frmula Zn = Zn 12 1 . Para el primero proceso podra ser elegido el punto (10+10i). La iteracin sera aproximadamente: z 0 = (10 + 10i) 2 1 = 100 + 100i + 100i + 100i 2 1 = (1 + 200i)z1 = (1 + 200i) 2 1 = 1 200i 200i + 400i 2 1 = (400 400i) z 2 = (400 400i) 2 1... 3.- Al realizar unas 1000 iteraciones se comprueba si el punto es prximo al infinito. Para ganar velocidad en el proceso de dibujo se suelen hacer unas 300 iteraciones. Si el mdulo del nmero complejo z n es inferior o igual a 2 se puede considerar que orbita alrededor de un punto que no tiende al infinito. Por rbita se entiende la serie de valores que toma la iteracin de la funcin para un valor inicial. El conjunto de nmeros que no tienden al infinito (su rbita no tienden al infinito) se denomina Conjunto de Julia. 4.- Si el mdulo del nmero complejo obtenido despus de iterar no supera 2 se representa en el plano complejo con un punto negro sino no se representa.

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5.- Pasamos a otro punto de nuestro plano complejo, por ejemplo (9+10i) y continuamos con el proceso ad infinitum. Si se itera una regin grande del plano complejo y representamos sobre un plano complejo el conjunto de Julia obtenemos el siguiente dibujo (figura 4): Esta es la representacin del fractal de Julia cuando la frmula es 2 Zn = Zn 1 1 . De forma genrica se puede escribir la frmula como Zn = Zn 12 + c donde Z y C son nmeros complejos. Cabe destacar que el fractal de Julia comprende todo el plano complejo pero se trabaja con regiones delimitadas para agilizar la representacin. El plano complejo formado por los vrtices superiores (-2+2i), (2+2i) y los vrtices (-2-2i), (2-2i) es suficiente para observar el conjunto.

Figura 4. El fractal de Julia para c=-1.

La figura 4 ha sido representada mediante el programa que acompaa al trabajo Julia.exe. Pero esta imagen no es tan atractiva como las que se suelen encontrar cuando se busca informacin sobre los fractales. Para conseguir colorido y efectos muy agradables se procede de la siguiente manera: una vez estudiada la rbita en un punto cualquiera se comprueba el nmero de iteraciones. Recuerde el lector que una vez la frmula iterada superaba el valor (en mdulo) de 2 se cesaban las iteraciones y ese punto no era representado, en lugar de ello representamos ese punto con un color determinado. Por ejemplo si el punto tiende rpidamente al infinito se representa con el color azul, si el punto iterado tarda 120 iteraciones en sobrepasar el valor 2 se le asigna otro color etc. Una muestra de ello en la figura 5.

Figura 5. Fractal de Julia coloreado.

A medida que vara el valor del parmetro C se obtienen diferentes fractales del tipo Julia. Estas imgenes han sido capturadas del programa que acompaa al trabajo Julia.exe y se les ha aplicado un efecto de inversin del color. Pg. 20

c = (0.25 + i)

c = -1.38

c = -2

c = (0.5 0.55i)

c = 0.75i

c = (0.32 0.32i)

c = (0.15 + 0.15i)

c = (0.2 + 0.45i)

c=0

El fractal de Julia puede mostrar una belleza asombrosa. Su dimensin no llega a dos debido a que hay muchas zonas del plano complejo que no pertenecen al conjunto de Julia. Es autosimilar en algunas partes determinadas y con algunos parmetros concretos, es infinito ya que podra ampliar el fractal tanto como quisiera.3.4- El conjunto de Mandelbrot

He aqu el fractal ms nombrado, ms representado y posiblemente ms estudiado de todos los existentes. La relacin con el fractal de Julia es muy estrecha como se demostrar en este apartado. Imagin el matemtico francs Benot Mandelbrot las repercusiones de la publicacin de su libro: The Fractal Geometry of Nature? Mandelbrot parti de la funcin compleja Zn = Zn 12 + c . S, no ha ledo mal, la misma funcin que representa el conjunto de Julia. Pero a diferencia del mtodo de Julia, Mandelbrot no iter el plano complejo de la forma que lo iter Julia. Mandelbrot decidi fijar z 0 = 0 e iterar los puntos del plano complejo mediante el parmetro c que no es ms que un nmero complejo.

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El fractal de Mandelbrot es infinito y prcticamente autosimilar. Mtodo de dibujo 1.- Se decide iterar una regin del plano complejo. En este caso elegimos el rectngulo que forman los vrtices superiores (-2+2i), (2+2i) y los vrtices inferiores (-2-2i), (2-2i). Vea la figura 6.

Figura 6. El plano complejo elegido.

Figura 7. La rbita del punto (0,34+0,4i) observe que acaba saliendo de la circunferencia de radio 2.

Por ejemplo iteramos el punto ( 0,37 + 0, 4i ) : c = ( 0,37 + 0, 4i )

2.- Ahora se procede a iterar un punto de ese plano elegido partiendo siempre de z 0 = 0 .

z1 = z 0 2 + c = 02 + ( 0,37 + 0, 4i ) = ( 0,37 + 0, 4i ) z 2 = z12 + c = ( 0,37 + 0, 4i ) + ( 0,37 + 0, 4i ) = ( 0,347 + 0, 696i )2

... La tabla 1 muestra el resultado de las 12 primeras iteraciones

zn z0 z1 z2 z3 z4 z5 z6

Valor de la iteracin ( 0,37 + 0, 4i )

Mduloz 0 = 0,545z1 = 0, 778 z 2 = 0,883 z3 = 0,580 z 4 = 0,375 z5 = 0, 672 z 6 = 0,948

( 0,347 + 0, 696i ) ( 0, 006 + 0,883i ) ( 0, 409 + 0, 410i ) ( 0,369 + 0, 064i ) ( 0,502 + 0, 447i ) ( 0, 422 + 0,849i )

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z7 z8 z9 z10 z11

( 0,173 + 1,117i ) ( 0,848 + 0, 014i ) (1, 089 + 0,376i ) (1, 415 + 1, 219i ) ( 0,885 + 3,850i )

z 7 = 1,130 z8 = 0,848 z9 = 1,152 z10 = 1.868 z11 = 3,950

3.- En general con 100 iteraciones es suficiente. En el momento en que el mdulo de z n es mayor a 2 se descarta el punto (no se representa) ya que est demostrado que tender al infinito. En caso de iterarse 100 veces y que se cumpla la condicin z100 2 se pinta en

el punto en cuestin ya que por cuestiones de matemtica probabilstica el punto tender a infinito. 4.- Se iteran todos los puntos del plano delimitado anteriormente. Finalmente obtenemos el conjunto de Mandelbrot formado por todos aquellos puntos que han sido iterados y han cumplido la condicin z100 2 .

Observe detalladamente las enormes irregularidades de su contorno. Pero esta representacin no es tan atractiva como las que se pueden llegar a generar. Para generar una imagen con colores atractivos se procede con el mismo mecanismo que en el caso del fractal de Julia. Generalmente se hace una paleta de colores que corresponde con el nmero de iteraciones que ha sufrido un punto hasta alcanzar el valor de su orbita. En el caso del punto anterior (0,37+0,4i) en la iteracin 11 ya escapaba al infinito (superaba en mdulo el valor 2) as pues se representara este punto con el color correspondiente a la iteracin 11.

Figura 8. Fractal de Mandelbrot.

La dimensin del fractal de Mandelbrot se ha estimado en algo inferior 2. Es autosimilar en algunos puntos es infinito y complejo en cualquier punto. Otro aspecto destacable del conjunto de Mandelbrot es cada punto de ese conjunto puede asociarse al conjunto de Julia.

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Figura 9. Una ampliacin del conjunto de Mandelbrot correspondiente a la zona coloreada de rojo.

Figura 10. Ampliacin.

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Figura 11. Otra ampliacin con otra paleta de colores.

3.5- El fractal de Newton

Este fractal se crea usando el mtodo de Newton-Raphson y su forma de generarlo es similar al de Julia. Parte de la frmula z 3 1 = 0 donde z es un nmero complejo. El Mtodo de Newton-Raphson es ampliamente utilizado para encontrar las races de las funciones polinmicas tipo f (x) = ax n + bx n 1 + c . Su definicin matemtica es f ( x n 1 ) , este mtodo consigue encontrar las races de f(x) de manera x n = x n 1 f ( x n 1 ) aproximada.

Por ejemplo, para hallar las races de f (x) = x 3 + 4x 2 10 se calcula su derivada f (x) = 3x 2 + 8x . Se define el valor inicial de x, que suele ser la aproximacin de la raz. En este caso podemos intuir que la raz debe de estar alrededor de 1 ya que f (1) = 1 + 4 10 = 5 y f (2) = 8 + 16 10 = 14 por lo tanto x 0 = 1 . Para este ejemplo se ha realizado el programa metodon.java que con dos modificaciones puede adaptarse a casi cualquier ecuacin.

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Estas son las dos primeras iteraciones: x a iterar x = x0 = 1

f (x)x1 = x 0 f ( x0 ) 5 16 = 1 = f ( x0 ) 11 11

x = x1 =

16 11

x2 =

16 1,54 = 1,36 11 17,98

Despus de 10 iteraciones x = 1,36523001 luego f (1,37) 0 . A ms iteraciones ms se aproxima el resultado al valor correcto. Mtodo de dibujo para el fractal de Newton: 1.- Partimos de una nueva regin del plano completo comprendida entre los puntos (-2,2i), (2,2i), (-2,-2i) y (2,-2i). Elegimos esta regin para ganar velocidad en la representacin del fractal. 2.- Se selecciona un nmero complejo para iterar. Para este caso suponga el nmero complejo (1+0i), aunque tambin podra ser elegido el extremo (-2+2i) y barrer verticalmente todo el plano. Ahora teniendo en cuenta el mtodo Newton-Raphson paraFigura 12. La regin del plano complejo elegida, la misma en que se sita el fractal de Mandelbrot y el fractal de Julia.

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hallar races x n = x n 1

f ( x n 1 ) , nuestro nmero complejo se convierte en la x inicial f ( x n 1 )

x0 = 1. Este proceso iterativo se repite unas 1000 veces para conseguir unos resultados bastantes precisos: z0 = 1f (z 0 ) = z 03 1 = 13 1 = 0 f (z 0 ) = 3z 0 2 = 3 12 = 3 z1 = z 0 ... f (z 0 ) 0 = 1 = 1 f (z 0 ) 3

3.- Una vez terminado el proceso iterativo la representacin del punto iterado se hace en base de los tres atractores, es decir, de las tres soluciones a la ecuacin z 03 1 = 0 . El punto se pinta de un color determinado teniendo en cuenta hacia cual atractor tiende. 4.- El proceso continuara para otro punto de la regin del plano complejo.

Cuando se itera la regin anterior y se representa con los colores azul, rojo y verde se obtiene la figura 13. Ntese la gran autosimilitud de la que goza este fractal ya que en cada ampliacin del centro se obtiene el mismo fractal.

Figura 13. El fractal de Newton en la regin (-2+2i), (-2-2i), (2+2i) y (2-2i).

Cuando se trat el tema de los atractores se mencion que estos pueden tener una belleza asombrosa. Pues este es el ejemplo ms claro ya que las zonas homogneas representan los puntos que han sido atrados por estos atractores que son las soluciones a la ecuacin z3 1 = 0 siendo z un nmero complejo son las siguientes:

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z3 = 1 z= 31 (1 + 0i ) 1 z = + 2 1 2

3 i 2 3 i 2 Figura 14. Fractal de Newton con los 3 atractores marcados.

Cuando un punto iterado no tiende a ninguno de esos tres atractores se produce el caos, como queda grficamente demostrado en las zonas donde aparecen los brazos del fractal. Modificando levemente la frmula que da lugar a este fractal se aprecian los siguientes resultados:

Figura 15. Fractal de Newton para la ecuacin

Figura 16. Fractal de Newton para la ecuacin

z 1 = 05

z10 1 = 0

Figura 17. Fractal de Newton para la ecuacin Figura 18. Fractal de Newton para la ecuacin

z 50 1 = 0

z80 1 = 0

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3.6- Fractal de Cantor

Otro fractal sencillo de dibujar. Su creador fue Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918). Mtodo de dibujo: 1.- Se toma un segmento de cualquier longitud. 2.- Se divide en tres partes iguales y se elimina el segmento central. 3.- Se procede de igual manera para los segmentos restantes y as se contina infinitamente.

Figura 19. Tres iteraciones del fractal de Cantor.

Se considera un fractal ya que su dimensin est en el intervalo (0,1), es infinito y es otro claro ejemplo, junto al fractal de Sierpinski, de autosimilitud.3.7- La curva de Koch

Este fractal fue descubierto en 1904 por el matemtico Niels Helge von Koch (18701924). Es un fractal sencillo de dibujar.

Mtodo de dibujo:

1. Se traza un segmento de cualquier longitud. 2. Se divide el segmento en tres porciones proporcionales y la parte central se sustituye por dos segmentos del mismo tamao que el eliminado y formando un ngulo de 60. 3. Sucesivamente se repite el mismo proceso por cada segmento formado.

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La isla de Koch es una variante de este fractal que consiste en iniciar el proceso con un tringulo issceles y tratar cada cateto con el procedimiento anterior.

Iteracin 0

Iteracin 2

Isla de Koch tras 15 iteraciones

Es un fractal, tanto la curva de Koch como su variante, ya que cumplen las siguientes condiciones: Dimensin no entera Se ha estimado la dimensin de la curva de Koch en aproximadamente 1,2618 Autosimilitud Es un fractal muy autosimilar Compleja estructura A medida que se itera este fractal su estructura se vuelve ms abrupta y compleja.

Ntese que la isla de Koch tiene permetro o longitud infinita y rea finita.

3.8- El fractal de Zayas

El fractal de Zayas es el ttulo que le he querido dar a una modificacin del fractal de Julia. Ahora la frmula toma un parmetro ms. Z = Zo 2 + c + Zo * w Para que el fractal sea agradable a la vista w debe de comprender el intervalo [ 1,1] . El parmetro w es un nmero complejo. Se ha elaborado un pequeo programa que acompaa al trabajo para que el lector pueda experimentar con este fractal introduciendo los parmetros c y w para ms tarde representar el fractal.

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Las iteraciones se realizan del mismo modo que en el fractal de Julia. Por ejemplo para w = (1 i ) , c = 0 y el punto del plano complejo Zo = 0 zn z0 z1Valor de la iteracinZ = 0 + 0 + (1 i ) = (1 i )

Z = (1 i ) + 0 + (1 i ) (1 i ) = 1 i + 1 i i + i 2 = Z = (1 3i ) Z = (1 3i ) + 0 + (1 3i ) (1 i ) = 1 3i + 1 i 3i + 3i 2 = Z = ( 1 7i )

z2

Tras iterar todo el plano complejo se obtienen imgenes verdaderamente sorprendentes. Esta es una pequea muestra de cuatro fractales muy atractivos.

La calavera. c = 1 y w = 1

El escorpin. c = i y w = 1

Galaxia. c = i y w = i

La Vera Cruz. c = 1 y w = 1

Puede catalogarse como conjunto fractal ya que es infinito, muestra una compleja estructura y no tiene dimensin entera. Su dimensin la he estimado en inferior 2 ya que no cubre todo el plano complejo.

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4.- Fractales en diferentes mbitosEncontrar fractales, por ejemplo en la naturaleza, resulta muy fcil. Y es que los fractales tienen menor o mayor presencia en los diferentes entornos y objetos que podemos encontrar en la realidad. Posiblemente el caso ms espectacular es la demostracin de que la msica clsica contiene formas fractales en su interior. La msica clsica de Beethoven es un ejemplo muy representativo. Pero tambin existe poesa fractal e incluso formas de escritura fractal que ponen de manifiesto la relacin que existe entre la realidad y las matemticas.

4.1- En la msica

Beethoven, junto con Bach y Mozart pasaron a la historia como grandes compositores de obras clsicas de increble majestuosidad y belleza. Pero lo que revel hace aos el estudio de los fractales es que tambin estn integrados en obras clsicas. El mtodo que siguieron estos compositores, ya sea de manera intencionada o no, para integrar fractales y matemticas era mediante una analoga entre una dimensin fractal y el nmero y la disposicin de las diferentes notas de una obra o pieza. A continuacin hay un completo anlisis de la pieza Primera Escossaien de Beethoven donde se demuestra que existe una estructura fractal interna en la obra.

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Como la imagen muestra la pieza esta formada por un total de 32 unidades o compases que se dividen en 2 secciones de 16 unidades cada una. A: de la 1 a la 16; B: de la 17 a la 32. A su vez se dividen en 2 perodos. Periodo A: 1 y 2; periodo B: 3 y 4, que se fraccionan en 2 partes: a y a' compuestas por 4 unidades (1, 2, 3, 4) agrupadas cada una 16 8 4 2, una de a 2 (1 y 2). En conjunto pues la obra se divide en 32 sucesin binaria que goza de autosimilitud propia de una estructura fractal.

Pero la unin msica-fractal no queda ah. Actualmente algunos sintetizadores son usados para crear msica techno con bases fractales. Tambin hay autores que estn experimentando con este tipo de msica que promete. Richard F. Voss fsico estadounidense conjetura que existe una filiacin entre la manera en que nuestro sistema sensorial enva la informacin al sistema nervioso y las dimensiones fractales de manera que la msica con estructura fractal es grata al odo humano.

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El programa Generador Voss de msica fractal que acompaa el trabajo es un pequeo ejemplo de cmo integrar msica y fractales. El programa reproduce el mtodo que Richard F. Voss propone para crear melodas fractales. El funcionamiento es el siguiente: 1.- Se escogen tres dados de diferentes tamaos pero de 6 caras. 2.- En la primera tirada se lanzan los tres y se anota la suma de los tres valores obtenidos. 3.- En la tirada 2 se lanzan los dados pequeo y mediano y se suman los resultados junto al primer valor del dado mayor. 4.- En la tirada 3 se lanza el pequeo y se suma el valor obtenido a los valores del mayor de la primera tirada y del mediano de la segunda tirada. 5.- Se reinicia el proceso y se contina ad infinitum. Ejemplo de resultado:Paso 1 2 3 4 Dados Mayor, mediano y menor Mediano y menor Menor Mayor, mediano y menor Valores obtenidos 5, 3, 6 2, 1 3 1, 4, 3 Suma 5 + 3 + 6 = 14 5+2+1=8 5 + 2 + 3 =10 1+4+3=8

Si a estos valores les hacemos corresponder un determinado sonido de un instrumento o simplemente un tono se obtienen melodas que bien parecen creadas artificialmente an habiendo sido creadas aleatoriamente.4.2- En la naturaleza

Encontrar fractales en la naturaleza es tan sencillo como alzar la vista al cielo, y es que las nubes tienen forma y dimensin fractal (figura 1). Ms all, las galaxias tambin tienen estructura fractal. Si por el contrario miramos una parcela de terreno desecada (figura 2) veremos un fractal del tipo rbol. Una coliflor veremos los siguiente figura 3. Si cortamos esa coliflor podemos ver como la estructura se repite como muestra la figura 4. La coliflor pues goza de autosimilitud. An ms, si medimos su permetro ste aumenta a medida que medimos trozos ms pequeos, ergo la coliflor goza de dimensin fractal. Para la medicin del permetro se puede usar un hilo que vaya resiguiendo el permetro de la coliflor (una seccin de 2 cm. de grosor es suficiente). Tambin las ramificaciones de los rboles se asemejan a estructuras y modelos fractales. Hay rboles como el helecho que sus hojas estn formadas por pequeas partes autosemejantes (ver figura 5). Nuestro cuerpo tambin tiene estructura fractal, o al menos su interior ya que la distribucin de nuestras venas y capilares es muy similar. Por ejemplo nuestra red arterial y venosa cubre todo nuestro cuerpo a pesar de representar una pequea fraccin del mismo (alrededor del 3% 1 ).

1

Estructuras fractales y sus aplicaciones, pg. 58

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Queda demostrado que vivimos en un mundo formado por fractales. Seguramente la ciencia en unos aos nos demuestre que el resto del universo tambin tiene estructura fractal.

Figura 1. Las nubes tienen estructura y forma fractal.

Figura 2. Terreno desecado donde las grietas forman una estructura fractal.

Figura 3. Coliflor comn (Brassica oleracea botry).

Figura 4. Coliflor comn partida. Ntese la similitud con la Figura 3.

Figura 5. Hoja de helecho creada a partir de un fractal

Figura 6. Capilares presentes en el corazn. Se asemejan en gran manera a un fractal del tipo rbol.

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4.3- En la poesa

Los fractales han llegado hasta el mbito de la lengua. Es el caso de la poesa fractal. En noviembre de 2004 tuve la ocasin de asistir a una conferencia, en concreto a Poemtics: matemtiques i poesia, una aproximaci celebrada en la Residncia dInvestigadors de Barcelona donde el poeta irlands Desmond Egan ley varios poemas con estructura fractal a dos voces. El cuadro 1 muestra uno de esos poemas de Egan.

Akeldama you can discover them roped across the carriageway to the interior the 350 Kildaremen eliminated by countrymen of Judge Clinch at Gibbet Rath 1789 their shouts and sobs still scream quietly across the fields as Christs death does in a snowdrop never can I pass without getting the smell of fresh blood never and often I imagine whati it might mean to be a Jew Traduccin de Dolors Udina:*Haceldama: campo que Judas compr con las 30 monedas. (Hecho de los Apstoles, 1; 18-19)

evening of the human beginning to blacken in gas and dust from the usual almost anonymous gloved fingers of tose who could only be by destroying true spartans unable to leave anything of themselves

pots descobrir-los lligats a travs / de la calada cap a linterior // els 350 homes de Kildare eliminats per / paisans del jutge Clinch / a Gibbet Rath el 1789 // els seus crits i laments encara / ressonen silenciosos a travs dels camps / com la mort de Crist a la campaneta d hivern // no puc mai passar-hi sense sentir / lolor ds sang fresca // mai // i tot sovint m imagino / qu podria significar / ser jueu vespre / dels humans // comena a ennegrir-se / de gas i pols / dels habituals / gaireb annims / dits enguantats // d aquells que / noms podien / ser destruts // veritables espartans / incapaos de deixar / res dells / mateixos Cuadro 1. Akeldama, poesa de Desmond Egan poeta irlands que experimenta con poesa fractal extrada de In the Holocaust of Autumn (En el holocausto del otoo) 1995.

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4.4- En la escritura

Ramn Dachs propone un tipo de escritura fractal basada en los conceptos: materia, conflicto, resolucin. Un ejemplo de este tipo de escritura:MuroAgujero Rotura

Brazo

Tela

BrechaEn otro tringulo pero volteado 180 respecto a la horizontal del anterior se escribe en sus extremos tres conflictos o problemas

Se dibuja un tringulo y en los extremos se escriben tres materias.

Muro Agujero Escayola Brazo Brecha Rotura Parche Tela Cemento

Uniendo todos los conceptos y aadiendo las soluciones se obtiene una curva de Koch

En Codex Mundi de Ramn Dach se profundiza en este tipo de escritura fractal y se proponen nuevas formas de escritura.4.5- Arte fractal

Las formas de arte nuevas no han dejado escapar a los fractales. Artistas como Linda Allison, Robert William, Mark Townsend, Paul DeCelle, Dan Kuzmenka utilizan programas informticos para obtener imgenes fractales y componen verdaderas obras de arte con ellas. El proyecto The fractal Alhambra Project 1 consisti en reproducir partes de la Alhambra con fractales.Figura 7. Creado por Linda Allison para The fractal Alhambra Projecthttp://www.sc.ehu.es/mathema1/Alhambra.htm

1

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Los resultados fueron impresionantes. La figura 7 es un ejemplo de ello. Se pueden encontrar verdaderas obras de arte que nada tienen que envidiar a los tradicionales lienzos. Hubiera sido interesante ver que hubiera hecho Velzquez con una computadora y un programa para representar fractales. Explorar, por ejemplo, el fractal de Mandelbrot puede dar resultados increbles. Slo hay que elegir qu combinacin de colores aplicar y qu rea del plano complejo representar.

Figura 8. Composicin creada por Robert William.

Figura 9. Ampliacin del fractal de Mandelbrot despus de aplicarle un efecto grfico con el software Adobe Photoshop.

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Figura 10. Otra ampliacin de Mandelbrot con un efecto diferente que le proporciona volumen.

4.6- Maurits Cornelis Escher

Maurits Cornelis Escher (1898-1972), fue un dibujante holands. Sus litografas y grabados han ilustrado muchsimas pginas de libros. La obra de Escher presenta numerosos rasgos fractales a pesar de que se desconoce si investig y se document sobre el tema.

Figura 11. Cirkkellimiet IV, xilografa, 1960. Comprela con la figura 13. Figura 12. Slangen, grabado en madera, 1969.

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En su honor nacieron los fractales escherianos, fue como un pequeo reconocimiento que se le hizo ya que l los descubri sin necesidad de frmulas matemticas tan slo con su imaginacin.

Figura 13. Fractal escheriano: Julia-escher.

4.7- Para comprimir imgenes

En 1987 Michael F. Barnsley 1 , matemtico ingls, descubri que los fractales podan servir para comprimir imgenes. Su patente nmero 4.941.193 restringa el uso de la tecnologa de compresin de imgenes y es que las patentes de software son impedimentos para la mejora y la evolucin de la informtica. Comprimir imgenes mediante el algoritmo de compresin fractal se basa en lo siguiente: 1.-Se analiza la imagen en busca de puntos similares 2.-Se procede a buscar frmulas matemticas que describan estos puntos similares. 3.-Los puntos que no son similares se comprimen mediante otro algoritmo. 4.-Se guarda el archivo comprimido. Sus resultados son pobres y de baja calidad, actualmente la tcnica de compresin fractal no supera el estndar de compresin de imgenes JPEG ni el JPEG2000.

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http://www.iterated.com

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Con toda seguridad si se liberara este algoritmo en cuestin de meses se converta en un nuevo estndar y se mejorara en velocidad y efectividad.

Figura 14. Imagen original a comprimir.

Figura 15. Puntos en comn que aparecen en la imagen.

En este caso observe el lector que en la figura 15 existen dos regiones de la imagen que son prcticamente similares. Este mtodo de compresin se encargara de guardar slo informacin del rea mayor y generar el rea menor a partir de la grande. As se consigue ahorrar espacio ya que las reas repetidas o similares slo se guardan una vez y el resto de reas se generan a partir de la guardada.

Figura 16. Imagen comprimida mediante un algoritmo de compresin fractal basado en puntos comunes.

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5.- Algoritmos y seudo cdigos bsicos para dibujar fractalesEste captulo trata de explicar los algoritmos bsicos para dibujar los fractales ms famosos: Mandelbrot y Julia. Cualquiera con conocimientos bsicos sobre programacin puede adaptar estos algoritmos. El seudo cdigo es la manera ms genrica para adaptar el cdigo a diferentes lenguajes. Todo este material se distribuye con licencia GPL 1 .5.1- Algoritmo del conjunto de JuliaInicio del programa

Toma del parmetro C

Coger un punto del plano Iterar

S

Supera en mdulo el valor 2?

No

Pintar el punto segn el nmero de iteraciones

S

Fin del plano complejo ?

No

Fin del programa

1

http://www.gnu.org/home.es.html

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Inicio del programa. Inicializacin de variables: Z, Zo, x, y, iteraciones, i. Toma del parmetro C. Divisin del rea de dibujo en un plano de ancho de -2 a 2 de -2 a 2. while (x < 2) { while (y < 2) { while ((i < iteraciones) && (|Z|