Índice

*M PRESENTACIÓN......................................................................................................... 7

"Él INTRODUCCIÓN....................................................................................................... 9

*M ANÁLISIS DIMENSIONAL

Magnitudes................................................................................................................ 11

Clasificación de magnitudes...................................................................................... 11

Por su origen........................................................................................................ 11Magnitudes fundamentales.......................................................................... 11

Magnitudes derivadas................................................................................... 12

Por su naturaleza................................................................................................. 12

Magnitudes escalares................................................................................... 12

Magnitudes vectoriales................................................................................ 12

Análisis dimensional................................................................................................... 13

Problemas resueltos.................................................................................................. 17Problemas propuestos.............................................................................................. 45Claves ............................................ 54

”■ ANÁLISIS VECTORIAL

Nociones previas........................................................................................................ 55

Vector ........................................................................................................................ 56

Representación gráfica de un vector.................................................................. 56

Elementos de un vector....................................................................................... 57Módulo del vector............................................. 57

Dirección del vector...................................................................................... 57

Línea de acción............................................................................................. 58

Representación cartesiana de un vector en el plano........................................ 59

5

jos de vectores....................................................................................................... 61

Vectores colineales.............................................................................................. 61

Vectores paralelos................................................................................................ 61

Vectores opuestos................................................................................................ 62

Vectores iguales..................................................................................................... 62

Vectores coplanares............................................................................................. 62

Vectores concurrentes.......................................................................................... 63

Vector unitario ( t i ) ............................................................................................... 63

Vectores unitarios en el plano cartesiano.................................................... 64

Componentes cartesianos de un vector en el plano .............. !.......................... 65

Multiplicación de un vector por un escalar........................................................ 67

jeraciones con vectores.......................................................................................... - 68

Métodos gráficos....................................... 69

Método del triángulo....................................................................................... 69

Método del paralelogramo................................................ 70

Método del polígono.................................................................................... 71

Métodos analíticos.............................................................................................. 72

Método del triángulo.................................................................................... 73

Método del paralelogramo........................................................................... 74

ctores en el espacio................................................................................................... 75

Producto escalar................................................................................................... 78

Propiedades................................................................................................... 78

Producto vectorial................................................................................................ 79

jblemas resueltos..................................................................................................... 85

jblemas propuestos.................................................................................................. 145

aves ........................................................................................................................ 158

BLIOGRAFÍA........................................................................................................... 159

ANALISIS DIMENSIONAL

( ¥ l MAGNITUDES_____________________________________________________________________

Desde inicios de su historia, el hombre percibió la necesidad de desarrollar convenciones o signos para comunicarse con sus semejantes. Poco a poco al hombre primitivo le pareció insuficiente los sonidos onomatopéyicos o los signos, apareciendo así, progresivamente, el lenguaje. Sin embargo, le pareció tan necesario el lenguaje de las palabras como el lenguaje de medir o de la numeración. Pero las necesidades colectivas de trabajo, relación e intercambio creaban entre las personas lazos que obligaban a establecer equivalencias en las mediciones, es decir, hacer ciertas comparaciones de un objeto respecto a otro. En la actualidad, uno de los aspectos más importantes de la vida cotidiana del hombre es calcular, medir y comparar; entonces llamaremos magnitud a todo aquello que puede ser expresado cuantitativamente o, simplemente, a todo aquello que pueda ser medido.

( l í | CLASIFICACIÓN DE MAGNITUDES

POR SU ORIGEN Las magnitudes fundamentales son:

• Magnitudes fundamentales M a g n it u d U n id a d SÍM BOLO DE

FÍSICA BÁSICA b á s ic a LA UNIDAD

• Magnitudes derivadas longitud metro m

Magnitudes fundamentales

Se denominan magnitudes fundamentales a

tiempo segundo s

masa kilogramo kg

aquellas magnitudes que sirven como base para temperatura Kelvin kfijar las unidades de un sistema de unidades, en la que se expresan las demás magnitudes.

intensidad de corriente ampere A

cantidad de mol molDebemos tener en cuenta que cada una de las magnitudes fundamentales tienen una defini­ción exacta.

sustancia

intensidadluminosa

candela cd

I I

I UMBRERAS EDITORES

Magnitudes derivadasl.is magnitudes derivadas son aquellas magni­tudes que se expresan en función de magnitu­des fundamentales.

I ntre las magnitudes derivadas tenemos:

• velocidad • aceleración

• fuerza • presión

• momento lineal • energía• trabajo

Ejemplo

Respecto al Sistema Internacional de Unidades, indique las proposiciones verdaderas o falsas según corresponda.

I. El grado Celsius es unidad de una cantidad física fundamental.

II. La cantidad de sustancia y la masa son la misma cantidad física fundamental.

III. El newton es unidad de una cantidad física fundamental.

Resolución

I. Falsa

Cuando se trata de la temperatura, la uni­dad básica es el grado Kelvin.

II. Falsa

Si bien es cierto que la cantidad de sustancia y la masa son magnitudes fundamentales, sin embargo, conceptualmente ambas son diferentes.

III. Falsa

El newton es una unidad que pertenece a una magnitud derivada denominada fuerza.

POR SU NATURALEZA

• Magnitudes escalares

• Magnitudes vectoriales

Magnitudes escalares

Es aquella magnitud que queda definida por un número real y una unidad de medida.

Ejemplo

masa = 4 kg * unidad de medida

Inúmero real

tíempo = 5 S « unidad de medida

tnúmero real

Magnitudes vectoriales

Es aquella*magnitud que queda definida por un número real, una unidad de medida y una di­rección.

Ejemplo

velocidad = — 4 m/s * unidad de medida

dirección— I I— número real

fuerza = + 2 0 N unidad de medida

dirección J L número real

Otra forma de representar una magnitud vecto­rial puede ser, por ejemplo:

• velocidad = 15 m/s hacia el norte.

• fuerza=200 N hacia arriba.

la Nota ;..................................... .

Un e s tu d io m ás d e ta lla d o de las m ag­

n itu d e s v e c to r ia le s lo v e re m o s más

a d e la n te en el aná lis is v e c to r ia l.

12

A n á l is is d im e n s io n a l y v e c io h i

[área] = [base] [altura] =í.x¿=¿2

[ v e l o c M a d l . í f í ^ . - U r 1[tiem po] T

Veamos las ecuaciones dimensionales <l«• algunas magnitudes derivadas.

( Í b | a n á l is is d im e n s io n a l ________________

El análisis dimensional es una herramienta muy 2. importante que nos permite hacer mediciones o comparaciones ya sea de manera directa o indirecta. Gracias al análisis dimensional pode­mos relacionar las magnitudes fundamentales con las magnitudes derivadas, aprovechando el hecho de que las dimensiones pueden tratarse como cantidades algebraicas.

Observación if

El s ím b o lo e m p le a d o para re ­

p re s e n ta r una e cua c ió n d im e n ­

s iona l son los c o rc h e te s [ ] .

Ejemplos

1. [aceleración], se lee ecuación dimensional de la aceleración.

[volumen], se lee ecuación dimensional del volumen.

Para determinar las ecuaciones dimensiona­les de las magnitudes derivadas, tomamos como base a las magnitudes fundamentales.

M a g n i t u d f í s i c a

b á s ic a

ECUACIÓN

DIM ENSIONAL

longitud L

tiempo T

masa M

temperatura 0

intensidad de corriente j 1

cantidad de sustancia mol

intensidad luminosa J

M a g n i t u d f í s i c a

b á s ic a

E c u a c ió n

DIM ENSIONAL

área L2

volumen L3velocidad L T l

aceleración ir2

fuerza M L T 7

trabajo MÚ-r1potencia MLZT~3

energía ML2T~2

presión M C lr 2impulso M t r 1

frecuencia T-1

carga eléctrica IT

calor Mi2r 2velocidad angular r l

3. Determine la ecuación dimensional del li.i bajo W.

W/=fuerza • distancia

Resolución

Piden determinar [W \, entonces:

[l/l/] = [fuerza] ■ [distancia]

ÍW] = {m LT~2)-(L)

[ W ]=M L2r 2

i u m i ir e r a s Ed it o r e s

A Determine la ecuación dimensional de la fuerza centrípeta FCp-

(masaXveloddad)2Fcp - -

radio

Resolución

Piden calcular [ f cp], entonces

[masa][velocidad]2[radio]

m (lt

/w(í.2r ' 2)

[^ ] =

[ * , ] =

[ £ , ] =

\ f cp] = M L r

5. Si A=área y S=volumen, calcule la dimen­sión de x, siendo

x = (A-B)4.

Resolución

Piden [x] entonces

ix ] = (ÍA ]-[B ])4

[x ] = (l} -I?)4

-> [x ] = ¿20

6. Si la ecuación x+d=z3 es dimensionalmente correcta, determine las dimensiones de z.

Considere que d es la distancia.

Resolución

Debemos tener presente que en toda ecua­ción dimensionalmente correcta, los térm i­nos que se suman o se restan deben tener la misma ecuación dimensional.

Por ejemplo, si la ecuación A + B=C es dimen­sionalmente correcta, entonces se debe cumplir que [A] = [s] = [c], es decir, ambas magnitudes deben presentar la misma ecuación dimensional (a esta igualdad se le denomina principio de homogeneidad).

En el ejemplo dado se tiene

x+ d = z3

-> íx] = [d] = íz]3

Como d es la distancia

-> [d]=L- <*>

Además, como la ecuación dada es dimensio­nalmente correcta, entonces los otros términos deben tener las dimensiones de la distancia. Por lo que

[x ]= ¿ a [z f= L

[z]=L~3

7. Determine cuál o cuáles de las proposiciones son correctas.

I. LT~2-LT~2= 0

II. M 2+ M 2 = M 2

ni.i/w“ 2-n “ 2=/w“ 2rE“ 1

Resolución

I. Falsa

El hecho de restar las unidades de dos magnitudes iguales no quiere decir que resultará cero, entonces

LT~2- L r 2= L r 2

1 4

A n á l is is d im e n s io n a l y v e c io h i

II. Verdadera

De la misma manera la suma de dos magnitudes iguales resulta

M 2 + M 2= M 2

III. Verdadera

Como se trata de la multiplicación de magnitudes, no es necesario que ellas sean del mismo origen

LM~2-TL~2= M ~ 2TL~x

3. Determine las dimensiones de R y de b, para que la ecuación

(Ra) + (bF)2=\og2

sea dimensionalmente correcta.

Considere

o=aceleración y F=fuerza.

Resolución

Piden determinar [/?] y [b]

[/?][o] + ([fa][F])2 =[log2]

......................... ■, Observación i?

La ecuac ión d im e n s io n a l de to d o ángu lo,

razón tr ig o n o m é tr ic a , lo g a r itm o y, en

g en e ra l, de to d a c a n tid a d a d im e n s io n a l

es la unidad.

• [4 5 o] = 1

• [ io g ] — 1

• [c o s 3 0 ° ] = l

Entonces

[r ] lt~2+ [ó ]2 (m l t ~2)2 = 1

Del principio de homogeneidad

• [r] l t 2= 1

->■ [r ] = l~1t2

• lb ]2(MLT~2)2 =1

[b ]= M ~ 1L~1T2

19. Si se cumple que A + B = —, entonces señale

Bla proposición verdadera y la falsa.

I. A y B son magnitudes adimensionales.

II. A y B son razones trigonométricas.

Resolución

I. Verdadera

Para que esta igualdad se dé, amb<r. magnitudes deben cumplir con el prin cipio de homogeneidad

Como podemos observar, ello solo so cumple si las magnitudes son números.

II. Falsa

No solo son razones trigonométricas, sino también pueden ser logaritmos o algún ángulo dado.

10. Indique las proposiciones verdaderas o falsas según corresponda.

I. Solo se pueden sumar o restar cantidades físicas de la misma dimensión.

II. Todos los términos de una ecuación físii a deben tener las mismas dimensiones.

I IJMBRERAS EDITORES

Resolución

I. Verdadera

Por ejemplo, sea la suma

5 m + 3 m =8 m.

Podemos observar que al sumar los me­tros, nos da como resultado metros. Sin embargo, sería falso decir que se cumple

5 m + 3 s=8m/s.

Entonces, para realizar la adición o sus­tracción de cantidades físicas, estas de­ben ser de la misma magnitud.

II. Verdadera

Por ejemplo, sea la ecuación

vf=v0+at,

donde v^y v0 son la rapidez final e ini­cial, a es la aceleración y t es el tiempo. Esta ecuación será dimensionalmente correcta si las unidades de cada término son las mismas.

11. Si la ecuación E = ^2kv2 es dimensional­mente correcta, ¿cuál es la dimensión de k? (E es energía y v es velocidad).

Resolución

Determinemos cuáles son las dimensiones de la ecuación dada

[F l = [V 2 ]M M 2

ML2T~2 = l-[k ](L T ~ 1)2

m i?t ~2 = M /.2r~ 2

_>[fc] = /W

V*12. La ecuación d = --------- es dimensional-

o(sen0)mente correcta.Donded= distanciao=aceleraciónv=velocidad

¿Cuál es el valor de x?

Resolución

Del problema

r ! [ v f to ][sen0 ]

LT~2-1

L2r 2=L*rx—>x=2

10

P* PROBLEMAS RESUELTOS

N iv e l b á s ic o

PROBLEM A IM.° ISi la ecuación dada

d/Vsen30° = P

es dimensionalmente correcta, calcule las di­mensiones de N.

Considere

d: densidad

P: presión

a) r 4r _4 B) L2r 2

D) L4T~4

Resolución

Tener presente

sen30° = l /2

-a P=dNin

Ahora

[P] = íd ][N ]1/2

ML~1r 2= M r 3[N ]1/2

L2T~2= [N ]1/2

[N]=L4r A

C) LT4

e) r 4r 4

PROBLEMA N.° 2

La energía cinética viene dada por

Ec = - m V .c 2

Determine x+y, siendo m: masa y v: rapidez.

A) 2

D) 4

B) 5 C) 3

E) 1

Resolución

Dado que la energía cinética depende de la masa y de la rapidez, entonces

V[^c]

M l} r 2 = 1-M X

[ m f í v f

(l t - 'Y

ML2T~2 = M xLyT~y

Se observa que

• M = M X

-> x = l

-> y=2

x+y= 3

Clave ( D _C lave (C)

1 7

Lu m b r e r a s Ed it o r e s

PROBLEMA N .° 3

Calcule el valor xy*y en la siguiente expresión dimensionalmente correcta

d = ^¡20axt y.

Donde

d: distancia

a: aceleración

t: tiempo

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

Resolución

De la expresión dada

[d ] = [V 2Ó ][o ]*[t]y

L = l-(LT ~2Y (r)y

i = ¿xr Y -2 x

se observa que

• L=LX

> x = l

. 7°=7^_2x

0 = y -2 x

> y=2

x / y=22=A

PROBLEMA N.° 4

De las siguientes proposiciones, determine cuál(es) de ellas son correctas.

I. v=a t

^ d = - a t 2 2

II 1/2II. a = —2 d

Donde

a: aceleración

d: distancia

v. rapidez

t: tiempo

A) VFV „ B) VVF

D) VFF

Resolución

I. Verdadera

[v] = [o] [t] '

-H> LT~1 = LT~1

II. Verdadera

ld ] = [o ] [ í ]2

l= i -{lt~2)t2

L = L

Verdadera

[v ]2[o] =

LT~2 =

[2][of]

' ( /T -1 )21 -L

LT~2 = L r 2

C) VVV

E) FVV

Clave ( D C la v e (C

ih

Hf .............................

PROBLEMA N.° 5

En la siguiente ecuación física

E=Av2 + BP,

donde E: energía, v\ velocidad y P: presión, cal­cule [a / b \.

A) M r 3 B) ML2 C) MLT4

D) ML~3T E) M r 4

A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o h i ••

PROBLEMA N.° 6

Sabiendo que la siguiente expresión es dimensionalmente correcta

H =aF-bp,

donde: F: fuerza y p: impulso, indique qué mui; nitud representa a/b.

A) energía B) velocidad C) tiempo

D) fuerza E) aceleración

Resolución

Se tiene que

E=Av2+BP

Entonces

[e ] = [a ) M 2+ [ b ] [ p ]

Podemos observar que tanto E como cada su­mando debe tener las mismas dimensiones, por lo que

[E] = [A ][v] 2= [B ][p ]

De esta manera

• [E] = [A ][v ]2

m l2t ~2 = [A ] ( t r -1 )2

ML2T~2=[Á \L2r 2 [A ]= M

Resolución

Del problema

[H] = [a ] [F ]- [b ] [p ]

No deberíamos preocuparnos por las dlmen siones de H ya que esta relación cumple con el principio de homogeneidad, entonces

[H] = [a ][F ] = [b ][p ]

-> [o ][F ] = [b ]fp ]

[ a ]M L r 2 = [b ]M L r 2

[o] _ M LT '1[b ] MLT~2

Clave ( c )

[e] = [b ] [ p ] PROBLEMA N.° 7

m l 2t~2= [b ] m l ~1t~2Dada la siguiente ecuación dimensionalmente correcta

ÍB ]=L3 n _ n ¡ l

> [A /B ]=M L

A = P + - x v 2,

[fi] i} donde P: presión y v: velocidad, determine l,e.unidades de x en el S. I.

A) kg/m3 B) kg/m2 C) kg

Clave ( A ) d ) kg-s e) kg-s/m

1 ()

Lu m b r e r a s E d it o r e s

Resolución

W = [p]+ M M

Del principio de homogeneidad

ÍA] = [P] = [x][v]2

Entonces

[P] = [x ]M 2

ML h 2 = 1 -[x]{lT x)

[x ]=M L~3

Comoi- M [masa]W = t = ------------ ^

L [longitud]

Resolución

Dada la ecuación

[x | = lo | + M l t ] + [c ] [ t ]2

Del principio de homogeneidad

• [x] = [o]

-> [a ]=L

• [x] = [b ][t]

L= [b ]T

-» [ b ] = t r 1

[x ] = [c ] [ t ]2

L = l- [c ]T 2

[ c ] = t r 2

sus unidades serán kg m 3

Clave (A )

PROBLEMA N.° 8

Si la ecuación

x = a + bt + - c t 2 2

es dimensionalmente correcta, calcule x: distancia y t: tiempo

A) Tc) L r 1

d ) r 1!

B) LT'

E) LT

abc .

Piden calcular

ab. c

ab c .

[a ][b ] L -LT [c] LT

= LT

C lave (E

PROBLEMA N .° 9

Si A representa el área, ¿cuáles serán las dimen­siones de x e y, respectivamente?

7/4log20°= 2x1/2+ 5y2sen30°

A) L; L

D) L4; L

C) L, L~

E) r 4;¿ -

2 0

A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o k i s

Resolución

Dada la ecuación

[7] [A] [Iog20°] = [2] [x ]1/2+ [5] [y ]2[sen30°]

Del principio de homogeneidad

. [7 ][A ][log20“ ] = [2 ][x ]1/2

1 - L2 ■ 1 = 1 • [x ]1/2

-> [x]=¿4

• [7] [A] [Iog20°] = [5 ] [y ]2[sen30°]

1 ■ L2 -1 = 1 ■ [y ]2- 1

-> [y]=L

_ C lave ( § )

Entonces

a=b*cy (I)

[a] = [b]*[cY L r 2={L2T(T)y

LT~2 = L2xl y

Por lo que

• L=Llx l= 2 x

X = l/2

• T~2=T y -> y = -2

Reemplazando en la ecuación (I)

o= ó 1/2c - 2

C lave ( d)

PROBLEMA N.° 10

Se tiene que b = 20 m2 y c=2s. ¿Cuál sería la rela­ción correcta para representar a la aceleración o?

A) a= b /c B) a = 4 b /c C) a = 4 b -c

D) a = y fb /c 2 E) a=b /c2

Resolución

Dato

• b= 20 m2

-> [b ] = L 2

• c=2s

> [c] = T

l’iden determinar la relación correcta para re­presentar la aceleración a en términos de b y c.

N iv e l in t e r m e d io

PROBLEMA N.° 11Señale si las siguientes proposiciones son verd.ideras (V) o falsas (F):

I. Una expresión dimensional es una cantidad física cuya representación se encuentra es tablecida mediante símbolos en el S. I.

II. Se denomina ecuación dimensional a aque lia ecuación que resulta al representar las ecuaciones involucradas, en una ley física mediante sus expresiones dimensionales.

III. Una ecuación dimensional es homogénea cuando las unidades a ambos lados del signo igual son las mismas.

A) VVF B) VFV C) FVV

D) VVV E) FFV

21

I UM8RERAS EDITORESm

Resolución

I. Verdadera

Sea A una cantidad física, entonces

[A ]=LxMyTz...,

donde x; y; z son números y L; M; T;...; son símbolos que representan las cantidades físicas fundamentales en el Sistema Inter­nacional.

II. Verdadera

Sean las ecuaciones

A —B • C o A —B+C,

entonces las ecuaciones dimensionales serán

[A] = [B][C] o [A] = [B] + [C],

donde observamos que [A]; [s ] y [c ] son las dimensiones de las cantidades involu­cradas en una ecuación dada.

III. Verdadera

Sea la ecuación

A=B+C,

entonces esta ecuación será dimensionalmen­te correcta si se cumple que U ] = [fi] = [c].

Clave ( p )

PROBLEMA N.° 12

Señale si las siguientes proposiciones son verda­deras (V) o falsas (F).

I. Una longitud de 10 pm es Igual a 0.01 t]m.

II. Cuando se tiene una ecuación física, todas las constantes son adimensionales.

III. La cantidad de carga eléctrica tiene como expresión dimensional IT.

A) W V B) FVF C) W F

O) VFV E) FVV

Resolución

Veamos la siguiente tabla:

Prefijos para las unidades del S. I.

P o t e n c ia P r e f i j o A b r e v ia t u r a

io - 15 femto- f

10~12 pico- : P

10” ® na no- n

10“ 6 micro- : p

10~3 mili- m

10“ 2 centi- c

10"1 deci- d

fl.01 deca- da

103 kilo- k

1 o6 mega- M

10® gtga- G

10a tera- T

1015 peta- P

Algunas conversiones

1 cm = 10~2m

- 1 cm2 = 10“ 4m2

1 cm3=10“ 6 m3

1 litro = 1 dm3

1 dm3 = 1 0 "3m3

1 litro = 1 0 "3m3

1 kg=103g

1 g=10~3kg

1 min = 60 s

1 h=3600 s

1 km = 103m

10 m /s=36 km/h

22

A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o u i \

I Falsa

De la tabla dada

1 nm = lCT9 m

1 nm = 10~3-1 0 '6 m

Pero

1 p,m = 10-6 m

—> 1 nm = 10-3 (1 p,m)

lp .m = 103 nm

Entonces

10 |im = 1 0 x l0 3 nm

II. Verdadera

En una ecuación física, todas las constantes (números reales) son adimensionales.

III. Verdadera

La intensidad de corriente viene dada por la siguiente expresión

tDondeQ: cantidad de carga

t: tiempo

Entonces

= -> [q ] =IT

C lave (JE)

PROBLEMA N.° 13

Determine la ecuación dimensional de la cons­tante de coulomb k si se sabe que esta ley se encuentra expresada como

i~ d2

Donde F es la fuerza electrostática, d es la di-, tancia y q1 y q2 son cantidades de carga.

A) ML3r 4/ ' 2 B) MLT~2I C) ML2r 2l 1

D) ML3T r 2 E) MLTI

Resolución

Del problema

r f 1 [ f c M f t l Id ?

MLT- 2 j m nt

MLT~2 = [k ] l2T2L~2

[k ] = M t? r2T~*

_ C la v e ( a )

PROBLEMA N.° 14

Dada la siguiente ecuación

2

determine las dimensiones de k si S es adimon sional; m: masa; v: rapidez; T: tiempo

A) MLT2Q

B) ML2T~2Q~1

C) ML2T2Q

D) ML2T2Q~2

E) /WL_1r 26

2 <

Lu m b r e r a s Ed it o r e s

Resolución

De la ecuación dada

[ 5 ] =2

lm ][v l2

3_2

[k lT ]

1 = i-We[k ]=M L2r 2Q~1

Clave ( B

PROBLEMA N.° 16

La teoría nos indica que cuando un cuerpo se mueve con una velocidad cercana a la luz, su energía está dada por la siguiente ecuación

E = ^ p 2c2+ m xcy .

Si p es la cantidad de movimiento lineal y m es la masa del cuerpo, ¿cuál debe ser el valor de x+ y para que la ecuación sea dimensionalmente correcta?

A) 0,5

D) 6

B) 1 C) 2

E) 4

PROBLEMA N .° IS

Determine cuál será la expresión dimensional de una cantidad física cuyas unidades se expre­san en joule por kilogramo Kelvin.

A) /.2r 20_1 B) M ¿L¿T~¿Q C) M ¿L¿T~2/ 2-,— 2q a2¡ 2-t—2a-1

d ) i 2r 2e E) l~2t\

Resolución

Sea la cantidad física A cuyas unidades es

Jl-k

* A =[energía]

> |A =

[masa][temperatura]

[energía]

|/4|:

[masa] [temperatura]

ML2T~2M-Q

I A] = L2r “ 20~1

Clave ( A

Resolución

Del problema

• El módulo de la cantidad de movimiento p=m v

donde m = masa y v=rapidez

-> [p] = [m ] [v]

[p\=M LT~1

• c es la rapidez de la luz

[ c ] = ¿ r 1

Entonces

[E]2= [p ]2[c ]2+ [m ]x[c]y

(/wL2r “ 2)2= ( /w / . r 1)2(LT“ 1)2+/wx( / . r '1)y

M 2LAr ‘l = M 2L4T~A+ M xLvr y

Del principio de homogeneidad

M 2L4T~a= M xLyT~ y

Entonces

• M 2= M x x=2

• L4=Ly -

x+ y= 6

y -4

Clave ( D

24

A n á l is is d im e n s io n a l y v e c io h i

PROBLEMA N.° 17

Si la expresión

es dimensionalmente correcta (m : masa, t: tiempo, i/: velocidad y W: trabajo), calcule a+b+c.

A) 1

D) 4

B) 2 C) 3

E) 5

Resolución

De la expresión dada se tiene

[M/ ] = f [ t ] í’ [v ]c

J V - U r 1)'2 -2 I MM LT 2 = ( j2

M?T~2 = M aT la -Tb -LcT c

ML1r 1 = M aLcTb~c~

Lntonces

• M = M a

> 0 = 1

2o

PROBLEMA N.° 18

Determine las dimensiones de a y b si la ecuac ión

oF , l2 P = — + bd¿,

R

es dimensionalmente correcta.

Considere

F=fuerza

P=presión

R=radio

d=densidad

A) L "1

B) r 1

c) r 1d) r 1

E) r 1

/ w r 2r 2

M~^L~21 2

M ^ 1L5r 2

M ~1r 5r 2

M ~1r 1r 2

Resolución

[P ]= Í £ M + [ f c ] [ d ] 2Ir ]

/w r1! -2 =[a]MLT~

\-[b]ÍML 3

- L2=Lc

> c=2

. j - 2 _ j b - c - 2 a

■ - 2 = b - c - 2 a

- 2 = b - 2 ~ 2 ( l)

b=2

ML~1r 1= [a]M T~2+ [b]M 2L~6

Del principio de homogeneidad

• /VÍ/.'1r _2=[o ]/W r“ 2

[o ]=L - i

ML T = [b ]M L2 , - 6

Cor lo tan to a + b + c = 5

C la ve CE

[¿ > ]= /w _ 1 ¿5r 2

Clave (C J

Lu m b r e r a s Ed it o r e s

PROBLEMA N.° 19

Si la ecuación QnP2 + SP + R = ^ + esv

dimensionalmente correcta, en donde v es la rapidez, determine [p].

A) kg-C-s B) kg-A C) kg--

D) kg — E) kg--^s C

A) LT

D) LT■1/2

B) L~1/2Tx/2 C) L~1/2T

E) L2

Resolución

[Q ]" [P]2 + [S][P] + [Rl = [Q] + [5 ][|0gP]M

[q ] " [ p ]2 + [s ] [ p ]+ [/? ] =[q ] + i i

LT- 1

Se observa que [Q] = l

Entonces

i -{p}2+ [s] [ p ]+ [r ] = l ~1t

Usando el principio de homogeneidad se obtiene

[P]2=L~XT

> [ P ] = r 1/2r 1/2

CLAVE ( B )

PROBLEMA IM.° 20

Si la siguiente expresión es dimensionalmente correcta

ssen(w|3)P m-

donde m\ masa; q: cantidad de carga; w. rapidez ungular; determine la unidad de a/(3.

Resolución

ÍP] = ( [m ] + [ a ]sen(w/|3)

Para que la expresión sea dimensionalmente correcta

r n [a ][m] = —

[d ]

M =[a]IT

-> [a ]= M IT

Además, sen(w(3) debe ser un número por lo que

[w p ]= l

[w][|3] = l

^ [P ] = l

-> [p]=r

. [a ] MIT• • T -r = ------= MI

[P] T

M I - [masa] [amperio]

Por lo tanto

— tiene como unidad kg-AP

Clave ( B

/ ó

A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o u i •

PROBLEMA N.° 21

Dada la siguiente ecuación correcta

/ 3 c ' 'm -n-a = AV. eos

determine la ecuación dimensional de ac.

Donde F: fuerza; V: volumen; m y n son masas.

A) MLT

D) LT3

B) /W_1í.4r~ 2 C) ML2T~s

E) ML¿

Resolución

[m ][n ][o ] = [4][v.

M - M ■ [o] = 1 • í 3 • 1

[o] =Z.3/W~2

3c

Indique el tipo de movimiento que realiza cuerpo y cuál de las expresiones, F, G o H, dlmenslonalmente correcta.

A C2 B2F = — + B;G = — + A;H = hC

C B A

A) MRUV; H B) MRUV; F C) MRU; H

D) MRU; F E) MRUV; G

Resolución

lx ]= - [A ) + [B ] [ t ] - ÍC ] [ t ]2

L = -[A ] + [B ]T -[C ]T 2

Del principio de homogeneidad

l = [a ] + [b ] t= [ c] t2

A . , 3c . . [3 ][c ] 1Ademas, — es un numero, por lo que — - = 1.d [d]

[c] = [d]=M LT~2

[ac] = [a ][c ]= L 3M ~2- M L r 2

> [a c ]= M ~ 1L4T~2

CLAVE (B

PROBLEMA N .° 22

( onsidere la siguiente ecuación del movimiento di‘ un cuerpo

i -A + B t-C t2

(x: distancia, t: tiempo; además, A; B; Cson cons­tantes no nulas).

Entonces

[A ]=L

[B]=LT~1

[C]=LT~2

Ahora

AF = ----- FB

C

[F] J - f L + [B][C]

[F] = - ^ + ¿ r “ 1 LT

[F]=L72 + / . r 1

2 /

Lu m b r e r a s Ed it o r e s

Se observa que la ecuación dimensional de F no es correcta ya que

CL• G = — + A

B

[ C l2

[S]

LT

[G ]= L r 3+L

De igual manera, 6 es dimensionalmente Inco­rrecta.

LT~3*L

• H = — + C A

-> [H] J f j + [cl [ A ]

ÍH lj F l T l ^

[,H} = L r 2+ L T 2

[h ] es correcta.

Además, como

1 /-/] =L7 2, estas son las dimensiones de la aceleración, por lo que el movimiento será un MRUV.

C la v e (A)

PROBLEMA N .° 23

Si las expresiones dadas

myoz = xy; x =

yjy2 - v 2son dimensionalmente correctas, determine la dimensión de z. Donde m, v y a son masa, velo­cidad y aceleración.

A) LT~l

B) M r 1

C) LT

D) M r 1

E) MT*

Resolución

1_ [m][y]M =V m 2 - m 2

Para que la parte del denominador sea correcta, las dimensiones de y y v deben ser iguales, por lo tanto [y] = [v]

[x ] M[y]

-> [x ]= M

Piden calcular z a partir de la ecuación

[o] [z] = [x] [y]

(lt~2) [z] = m ■ L r 1

[z ]=M T

Clave (E

28

r A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o k i

PROBLEMA N .° 24

1.1 fuerza de rozamiento que experimenta una pequeña esfera dentro de un líquido está dada por la siguiente expresión

I k n W c,

donde k: constanté, F: fuerza de rozamiento; r: ra- (lio, v. velocidad; n: viscosidad

2b + 2 c -a

viscosidad = -masa

longitudxtiem po

( .ilcule a+b+c.

A) 1

li) 4

Resolución

I LltO

ln] =

B) 2 C) 3

E) 5

[m asaj[longitud][tiempo]

In] = — -» [n ]=M L~1T~1 LT

l n el problema

\F] = [ k ] [ n f [ r ] 2blv ]2c

MLT~2 = 1 • (mí.-1! -1 )° (L)2b (¿T-1)

MLr2=MaL2b+2c~°ra~lc

2c

L=L

l = 2b + 2\ - | -1v2/

b =

a + b+ c= 2

l= 2 b + 2 c -a

Clave ( B )

PROBLEMA N.° 25

Dada la siguiente ecuación dimensionalmenle correcta

A = Ve -Bt\

donde v: velocidad y t: tiempo, determine la di mensión de A/B.

A) LT~1

D) L ^ r 1

B) LT

Resolución

Como e es la base del logaritmo neperiano, entonces

[e] = 1

Donde

flt2=número

[s ] r 2= i

[ e ] = r 2

[fl] [ t ]2=1

I n lon ces

• M = M a -> o = l

• r 2 = r a~2c -> - 2 = —o -2 c

- 2 = - l - 2 c

c= 1/2

Del problema

[A] = [v ] [e ] -et2

[A ]= ( ir

[A /B ]:

M = i r

[A] LT

' [B] T

-1

-2 = LT

Clave ( B

?<)

I UMBRERAS EDITORES•H

PROBLEMA N.° 26

Determine las dimensiones de S, si la expresión

S I/W/cItc —(logó)3)

es dimensionalmente correcta.

Donde W\ trabajo; v: velocidad.

A) ML2T4

D) ML3T 3

B) ML T2 -r-2 C) M T

E) ML2T 3

Resolución

Para que pueda darse la diferencia tc—(logk)3, log/c debe ser un número; por lo tanto, k debe ser una constante adimensional.

De esta manera

|s ] = M [v ]|> ][(7 i-( lo g £ > )3) ]

[s] = m l 2t 2-l t 1- i - i

-4 [s] = m l 3t

C lave (D

PROBLEMA N.° 27

Cuando un cuerpo se mueve dentro de un fluido, su rapidez varía de acuerdo a la siguiente expre­sión

F_

k)]1 -e

(kn)tA

donde v: rapidez, F: fuerza, t: tiempo.

Determine la ecuación dimensional de [/cr|A].

Resolución

[F] \ - M r

[lcr\]

[kr\] = M T 1

Para que la ecuación dada sea dimensionalmentekr)t

correcta e A debe ser adimensional.

Por lo que

kr[tA

- es un numero

kr\t . A

[/CT|][t][A]

= 1

= 1

- = 1MT -T

[A]

[a] = M

[kr\A ]= M 2T 1

Clave ( D

PROBLEMA N .° 28

Si la siguiente ecuación es dimensionalmentecorrecta

x=asen(bcx),

donde [o ]=L y [c] = 7, determine la dimensión de b.

A) ML

D) M 2T 1

B) M 1r 2 C) M

E) M TA) TL

D) L

B) r-2

c) r M 1E) 71 1

to

A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o h i

Resolución

Dada la ecuación

[x ] = [o][sen(bcx)]

> [x] = L - l = L

I as dimensiones de una razón trigonométrica es l,i unidad, por lo que

[sen(ócx)] = 1

> bcx=número

[bcx] = l

[b ][c ][x ] = 1

[b ]T -L = l

[ ó ] = r 1r

C lave (C

Resolución

[o] = [R] sen 0 +vt

Como

sen 0 +vt

= 1

= [número] = 1

= 1

= 1

[v ][t ][A,]

(l t - ^ í t )[A]

[A]=L

Como podemos observar, A representa una Ion gitud.

Clave ( Á )

PROBLEMA N.° 29

i u.il debería ser la unidad de A para que la ex- lu f.lón dada sea dimensionalmente correcta?

a /fsen 0 +vtA

l 'linde

,i ai eleración

i nipidez

i in'inpo

'v| km 1 I m /s 2

l ' l ki:/m3

B) kg

E) m/s

PROBLEMA N.° 30

Un cuerpo a una cierta temperatura irradia enei gía, la cual viene expresada mediante la expresión

H=EcATy

A:área

T: temperatura

H: energía por unidad de tiempo

Q Wa = 5,67x10

Calcule y.

m V

A) 1

D) 4

B) 2 C) 3

E) 5

i I

Lu m b r e r a s Ed it o r e s

Resolución

Debemos tener en cuenta energía

H =

ÍH)

tiempo_ [energía] _ MI?T~2

[tiem po] T

H> [H ]=M L2T~3

• [£] = [número] =1

• ÍA ]=L2

• [ r ]= e

• [a ] = [5 ,6 7 x l0 “ 8]l w ]

= [5 ,6 7 x l0 -8 ] ------------ | P°tGnCÍal---------- j[distancia] [temperatura]

-> [c r ] = l -

3q - 4[o]=/wr3e

Entonces

[H] = [ £ ] [ a ] W W Y

ML2r 3 = l - M T 3e~4-L2-Q'í

ML2T~3=M T~3L2Qy~4

> o°=eY-40 = y -4 -> y=4

C lave (D

PROBLEMA N.° 31

'.i l.i siguiente ecuación es dimensionalmente ( orrccta

/Wcos0(

Ák 2+p Y

determine la ecuación dimensional de C. Donde

M: momento de una fuerza

m: masa

P: peso

A) ML

D) M _1L

B) MLT- i C) ML2

E) ML - i

Resolución

Debemos tener en cuenta que el momento de una fuerza lo podemos escribir como

M =fuerzax distancia

—» [m ] = [fuerza] x [distancia]

[M ]= M L r 2-L

[m ] = m l 2t 2

Además

peso= masaxgravedad

[peso] = [masa] x [gravedad]

[P ] = M L r 2

De la ecuación dada

[C] =[M ][cos0]

[M ]{ [k f+ [P ] )

Para poder sumar [/r]2+ [P ], ambos sumandos deben ser de la misma magnitud.

Entonces

[C] =

[C] =

[<W ]-1

[M ][P ]m i} t ~2 -i

M -MLT

[C ]= M ~1L

-2

Clave ( D

A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o h i \

PROBLEMA N .° 32

Determine bajo qué condiciones la siguienteexpresiónF{Q + b) 2f?sen0

4~r be

puede ser efectuada, siendo F: fuerza, R: radio y 0=7t/6.

A) solo es posible si £> = —

B) solo es posible si b adopta las unidades de

la aceleración y b = —2

C) solo es posible si b es una cantidad adimen- sional y lc ]= M ~ 1L~1 2T2

D) solo es posible si b y c son cantidades adi- mensionales

I ) solo es posible si la magnitud de b es igual a la de c

Resolución

Del principio de homogeneidad

|F ][0 + ¿>] [2][/?][sen0]

[RÍ|l/2 íb ][c \

i'.n.i que esta igualdad sea dimensionalmente coi recta, b debe ser una cantidad adimensional y.i que solo así podrá sumarse con 0.

\F] _ 1-[R]-11/2\R]

MLT

1-lc]

,1/2_L_

=/vr1r 1/2r2C la v e (C

PROBLEMA N.° 33

Si la siguiente ecuación dimensional es corréelakvea

- + d ,y = -sen(wf)

calcule [vkw]-

Donde

o: aceleración

E: energía

t: tiempo

d: densidad

e: base del logaritmo neperiano

a) m 1r 2r 3 B) /w_2¿_1r 2 C) M ^ T T 2

D) ML~3r l E) M ~2L~2T

Resolución

|sen(wt)J

Dado que la ecuación mostrada es dimensional mente correcta, esta debe cumplir con el princi pío de homogeneidad por lo que

r n í k ]M íe íavt)M = _ r— T 7 y T = [D][sen(wt)j

. lk ][v ][e ]{avt)[sen(wt)]

lk ][v ]

= [D]

-3■1 = MC1

[kv]=M L~3

Además

• [sen(M/t)] = l

[w ][ t] = l

[w ]T = l —> [w ] = 7 1

[vkw]=ML~3T~1

[w t] = [número] = 1

Clave ( D )

33

Lu m b r e r a s E d it o r e s

PROBLEMA N.° 34

Sobre un cuerpo actúa una fuerza que depende del tiempo según la expresión

abe„t i bc + t F = Ae sen| — :— I. Determine

Donde

t: tiempo

e: base del logaritmo natural

F: fuerza

Ad

A) M ~xL~l T B) M 1LT 1 C) ML 1F“ 1h - 1!

D) M Í L i r E) MLT~

Entonces

[b \[c ] + [t ] TId] [d ]

-> [d] = T

Además de la ecuación (I) se tiene

M L T 2= [A ]-1 -1 -> [a] =MLT~2

Piden

abeAd

[o ][bc] T~x -T[A ][d ] MLT~2-T

Resolución

[F] = [A ][e ]ot( bc + t

X ~ ~ d ~ (O

Esta ecuación es dimensionalmente correcta si

• [ e ] o t= l

[o f] = [número] = 1

[o ][t ] = l

[o ]= r _1

De igual manera ^bc + t

sen

bc + t d

lfa][c] + [t ] Id ]

= [número] = 1

= 1

,i suma será correcta si

I b][c ] = [t]

\b ][c] = T

abeAd

= M 1L 1T

Clave ( A )

PROBLEMA N .° 35

Si la siguiente expresión es dimensionalmente correcta

A B C -~ D + BF = DC[1 + AB)ZX, x

determine la ecuación dimensional de B y D.

Donde

C: trabajo

F: fuerza

A) L T 2; 1 B) r 1! " 3; 1 C) LF2; 1

D) MLT; 1 E) 1

Resolución

Para que la ecuación dada sea dimensionalmente correcta, A y B deben ser adimensionales, es decir

[AB] = 1

A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o ii i

Del principio de homogeneidad

[ABC] = - D.x .

= [b f ] = \_d c ( i + a b )zx~\

-> [a b c ] = [ d c ( i + a b )zx]

[AB][C] = [D ][C ][{1 + AB)ZX]

i • [c] = [d] [c] ■ 1

> [D ]= 1

l.imbién observamos

[ABC] = [BF]

\AB][C} = [B}[F]

1 ■ ML2T~2= [b ] ■ MLT~2

■ I B]=L

C la v e (E

Resolución

De la expresión dada, se tiene

AX + By- = ( ^ f (metros)2x + y

U ] M + [fi| [ l [ W [ met r0s]2[x ]+ [y ]2

Para que ello sea correcto [x] = [y ]2, entonces

[A ][y }2+ [B ][y ] 2

[y]2De esta manera

• [A \[y }2=L2[y ]2

-> [A\ = L2

• [s ][y ]= L 2[y ]2

-+ [B ]=L2- [y]

[B ]=L2- Í M L r 2)

[B]=M L3r 2

Clave (B

PROBLEMA N.° 36

I ' ik I.i la expresión

d i I By /—- y = V20 metros

» ' y

ilim i'iis ionalm ente correcta, determ ine las d i­mensiones de B y A si y = V 20 newton.

A| M IJr 1yM L2

(II MI ! f -2 y í.2

i I M ' r 2yL 2

H| M il 2 y L2

I I M '/ '2r 3y¿ “ 2

PROBLEMA N.° 37

Si la siguiente expresión es dimensionalmente correcta

Pcos45°=4c/V'tz, calcule (x+y)2.

Donde

P: potencia

d: densidad

v: velocidad

t: tiempo

A) 1

D) 25

B) 9 C) 16

E) 36

35

Lu m b r e r a s Ed it o r e s

Resolución

[P] [cos45°] = [4] [c/]x[v ]y[ í ]z

/W/.27 '3-l=(ML_3)X(/.r-1)y(T)zML2r 3= M xLy~3xTz~y

Entonces

• M = M X -> x = l

. L 2 = L y- 3x

2 = y -3 x

2 = y —3(1)

y=5

. r 3 = T z- y -> - 3 = z - y

- 3 = z —5

z=2

(x+y)z= ( l + 5)2

(x+y)z=36

C lave (E

Resolución

IfJW =

W =

[¿0 ]

[A]

MLT~Z ( L L

[ L ] - [ V

- 2

[k ]=M L~1T~2

Clave ( B

PROBLEMA N .° 39

Se sabe que la unidad de la viscosidad es el poise. Si esta viscosidad viene dada por

P77T 8 LV

donde T es el tiempo necesario para que un vo­lumen 1/ de líquido recorra una longitud L de un tubo de radio R sometido a una presión P.

Determine las dimensiones de la viscosidad.

PROBLEMA N.° 38

Si sobre una barra de longitud L0 y de sección transversal A se le aplica una fuerza F, esta se alarga una longitud L. Determine las dimensiones de k si se cumple la siguiente relación

A \ L - L

A) M L ^ r 1

») ML-1 r -2

0 m l ~2t~2

l>) M L ^ T 2

1) m l ~1/2t~

A) ML 1T~2

D) M r 1/2T1/2

B) ML - i T - i

Resolución

[p ] [ r ] [ f i ]4

M =

[ 8 ] [ L ] [ V ]

( /w r1r -2 )(r)¿4

|A = -m-s

C) ML~2r 2

E) ML~1/2T2

i - ¿ - r

[ja] = / w r1!"1

Entonces, sus unidades serán

kg

C la v e (B

16

VA n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o k i

PROBLEMA N .° 40

Si la siguiente expresión es dimensionalmente correcta

•fh = ír(sen40)F W t calcule b —a.

Donde /: fuerza W\ trabajok: constante adimensional

Luego en (II)

1a = —

2

■ h n 3 1 1b - a = ------- = 12 2

_CLAVE (A )

A) 1

D) 0,5

B) 2 C) 1,5

E) 2,5N iv e l a v a n z a d o

Resolución

'.i la ecuación dada la elevamos al cuadrado y lomamos sus ecuaciones dimensionales, obte­nemos

I h] = [k]2 [sen40]2 [ f 0-1]2 [vv^1?

l = i -i -(m l t ~2)2a 2(m i} t ~2)2b 2

L = ^2o-2-f2¿ )-2^2a~2+4b~4y-~4o+4-4 í)+4

lnionces, i _ ^2 a + 4 fc-6

■ l= 2 o + 4 b -6

7=2o+4b

M °= M 2a+2b~i

0 -2 o + 2 b -4

4 =2a+2b

? a+b (II)

it r l.r, ecuaciones (II) en (I) obtenemos

/, *2

PROBLEMA N.° 41

La presión (P) que ejerce un fluido en movimiento puede hallarse en cierto caso particular por

P = mv

donde m : masa; t: tiempo; s: área; a: aceleración.

Determine las unidades de k.

A)

D)m

B) — C) m3-ss

E) m-s

Resolución

[P l = [m l[v ]>

Esta ecuación será dimensionalmente correcta

si x| at — | es un numero

[ x ] | [ o ] [ t ] - j í 0 = l

37

Lu m b r e r a s Ed it o r e s

Donde

[ a ] [ t ] = ¥ \LsJ

(£r!)r-ÍLÍí2

- » [ k ] = / . 3 r _1

Por lo tanto, las unidades de k serán m3/s.

Clave ( D )

PROBLEMA N.° 42

La energía por unidad de volumen que transporta una onda que se propaga en una varilla está de-

1terminada por la ecuación p = - p xw yAz, donde

p es la densidad, w es la frecuencia angular de oscilación y A es la amplitud. Determine el valor de 2x+y+z.

A) 2 B) 6 C) 10

D) - 4 E) - 8

Resolución

Dato

_ energía volumen

[energía] _ Ml?T~z [volumen] ¿3

> [y,]=ML~1r 2

Ahora del problema

[p] = 1 • [p ]x[w ]y[/\]z

M c h '2 = (m c 3T (r_1)y (l)z

ML~1T~2=M xLz~3xT~'/

Entonces

• M = M X

-4 x=l

. / . “ 1= ¿ z_3x

—> - l = z - 3 x

- l = z - 3 ( l )

z=2

. r 2= r y-» y =2

2x+y+z=2(l) + 2+2 = 6

Clave ( B )

PROBLEMA N.° 43

La rapidez de la propagación (v) de las vibraciones acústicas en un medio determinado depende del módulo de Young (£) y de la densidad del medio (p) como se indica

v = £ V -

Si £ se expresa en /V/m2, ¿a que es igual x -y ?

A) 0 B) 1 C) 2

D) 0,5 E) 1,5

Resolución

Dato

newton

(metro)2

[fuerza] _M LT~2

[longitud]2 L2

[E ]=M L~1r 2

¡8

A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o u i

Del problema

M = [ f ] x[p F

L7” 1 = ( w f 1! -2)* {m C 3Y

LT_1 = M x+yL~x~3yr 2x

1 ntonces

. T~2 = r 2x

> - l = - 2 x

x = l/2

. M °= M x+y

> 0=x+ y

0 = - + y 2

y = ~ :

C la v e (B

PROBLEMA N.° 44

11 torque (x) en un acoplamiento hidráulico v.nía con las revoluciones por minuto (N) del■ de entrada, la densidad (p) del aceite y del ili.imetro (D) del acoplamiento. Determine una • ■■(presión para el torque. Considere k como una■ (instante adimensional.

A) kNDp

i ) kN2D5p

o) kND5p

B) k{DNp)3/2

E) kN2DAp2

Resolución

Dato2 n

N =

N-

tiempo_ [ 2 tc] _

[tiempo]

[N] = - = T~1 T

• x=fuerzaxdistancia

[t ] = [fuerza] x [distancia]

[ t ] = {m l t 2)(l)

[x] =M L2T~2

Del problema

%=kNxpyDz

Como el torque depende de N, p y D, entonces para que esta ecuación sea dimensionalmenle correcta debemos encontrar los valores de los exponentes x; y; z.

De esta manera

h } = [k ][N ]x[p ]y[DY

ML2r 2= i - [ r v)x{ML~3)y(L)z ML2T 2=T~xMyLz~3y

Entonces

• M = M y -> y = l

T~2=T~ x=2

L2=Lz~3y 2 = z -3 y

2=z—3(1)

z=5

x=kN2pDs

__CLAVE ( Ó )

3‘)

I UMBRERAS EDITORES

PROBLEMA N.° 45

La presión P de un fluido sobre una pared de­pende de la rapidez v, de su densidad D. Si su lórmula empírica es p = -s[xvxDy, determine la fórmula física correcta.

A) V3i/2D B) vD2 C) Vdv

D) 4 l v2D E) vD

Resolución

[P] = [x ]1/2[v]x [DV

Podemos observar que como x es un compo­nente, entonces debe ser un número.

Por lo tanto

[P] = l - [ v ] x[D ]y

/wr1r-2=(/.r1)x(M/r3)yML~1r 2=M yT~xLx~3y

,1/2 ■

PROBLEMA N.° 46

Dada la ecuación dimensionalmente correcta

vx=acos60°+EP2, calcule la dimensión de - ^

Donde

V: velocidad

E: energía

A) M ~1/2r 1/2T1/2

B) M ~1/2L~1/3T1/2

C) M ~1/2r 1/2T1/3

D) M _3/2L“ 1/2r 1/2

e) /vr3/2r 1/2r3/2

Resolución

[v ][x ] = [a ]1/2+ [ f ] [P ]2

Del principio de homogeneidad

[v] [x] = [o] 1/2= [ f ] [p ] 2

Lntonces

• M = M y

> y= 1

. r 1=Lx~3y

> - l = x - 3 y

- l= x - 3 ( l )

x=2

I n la ecuación dada en el problema obtenemos

P = sÍ2v2D

C la v e (D)

Entonces

L r 1[x ]=M L2T~2[P ]2 ->

LxJ

Sacando la raíz cuadrada

LT~[Pf_ =_____[x ] ML27“ 2

[P]

[x ];l/2= 4 m ~

W _ = M -1/2L-1I2T1I2[x ]1/2

C la v e (A)

40 jhsf

A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o u i

PROBLEMA N.° 47

La ecuación de estado para un gas real viene

dada por

P + - j |{ v - b ) = RT,

donde

presión absoluta del gas

v — = volumen molar n Y mol

a y b son constantes que dependen del tipo del

K.is

/( constante universal de los gases

/ Temperatura absoluta del gas

Indique las proposiciones verdaderas (V) o falsas

( I ) según corresponda

I [o] = [ó]

II [ab] = [RTv2]

III [b ]= L 3 A/-1

A) FFV B) FFF C) FVF

l>) VFF E) FVV

Resolución

I i.ilo

V =(metro)

mol

[m etro]3[mol]

\V\ = — = L3N N

R = -mol.fc

R =(energía)

(mol)-(temperatura)

ÍR] =[energía]

[mol]-[temperatura]

[R] = r ll = ML2T -2N -1Q-1N Q

Del problema

[o][P] + - y |( [v ]- [b ]) = [R ][r]

[v]

Entonces

[P líb ]:

M

[o]

[v]

Ib jM C 1 2 =—1t—2 [o]l?N 1

-> [a] = M tT ~ 2N "1[b ]

También

[o] [a lb ]

M [v ]2

-» [ó] = M = ¿ 3n - 1

[R][T]

Al

Lu m b r e r a s Ed it o r e s

Ahora

I. Falsa

[a ] * [b ]

II. Verdadera

[ab] = [RTv2]

Del principio de homogeneidad

—— = [fl ][T ]M 2

■> [ab] = [RTv2]

III. Verdadera

[b ]= L3N~1

C l a v e ( E

PROBLEMA N.° 48

La magnitud y tiene por unidades kg m3s~2. Si h es la constante de Planck y c es la rapidez de la luz, ¿cuál de las siguientes alternativas es una ecuación dimensionalmente correcta?

y=hc

y=hc2

y=/?c_1

y= h2c

y=h~1c2

Además, la constante de Planck viene dada por h=E/f, donde E es energía y /e s frecuencia.

lE]

[h] =

[ / ]

/wl2t ~2

2 - r - l(I)[b ]= M L2T

También

[c ]= L r_1

Entonces, al multiplicar (I) y (II) se obtiene

[/?][c] = (/W¿2r " 1)(L r"1)

[h ][c ] = MI?T~2

—> y=hc

C la v e (A

PROBLEMA N.° 49

Haciendo uso del análisis dimensional deduzca una ecuación empírica para hallar la fuerza centrí­peta que actúa sobre un cuerpo con movimiento circular sabiendo que depende de la masa del cuerpo, de su rapidez lineal y del radio de cur­vatura.

Resolución

Dato

y=kg m3s~2

> [ y]=M L3T~2

42

A) kmvr

B) kmv/r

C) kmr/v

D) kmv2/ r

E) km r/v2

A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o h i •.

Resolución

Dudo el movimiento

1 n este caso se presenta que depende de R, m, v.

Fcp=(m; R; v)

l ’or lo tanto

Fcp=m xRy 1/

> [Fcp] = [m ]x [R]y [ v f

M L T 2 = MxLy{L T 1)z

MLT~2= M xLy+zT1

Intonces

• M = M X

> x = l

♦ r 2= r z

> z=2

. L = Ly+z

> l= y + z

l= y + z

y = - i

Reemplazando en la ecuación (I)

Fcp= mR ^

Fcp = k ——H r

Donde k es una constante adimensional.

_CLAVE ( b )

PROBLEMA N.° 50

Una cuerda se mantiene de forma horizontal debido a la acción de una fuerza F. Si se le hace

la fuerza centrípeta osc¡|ar verticalmente, se encuentra que el periodo de oscilación T depende de su longitud (/.), de su masa por unidad de longitud (Á) y de la fuerza F aplicada.

Entonces, T es directamente proporcional a

(l) A) r \ X / F ) 1/2.

B) L(F/X)1/2.

C) (\L /F)1/2.

D) L(F/X)~1/2.

E) XLF~1/2.

Resolución

A I

Lu m b r e r a s E d it o r e s

Dato

X = -masa

longitud

[masa][longitud]

[X] = — = M¿"1 L

[periodo] = T

del problema

T=(L-, X; F)

-> T= LxXyFz

Luego

lT] = lL)x[X n F lz

T=Lx(ML~1)y(MLT~2)z

T=Lx~y+zMy+zT~2z

Entonces

T = r lz -> l = —2z

z = - 1/2

M °= M y+z -> 0=y+z

0 = y - i

1y = I

¿o—[X-y+z

1 10 = x -----2 2

x = l

0 = x -y + z

En la ecugción (I)

t = lx1/2f - 1/2\l/2

r = L- 1/2

4 4

C l a v e ( 6 )

PROBLEMAS PROPUESTOS

N iv e l b á s ic o

1. Determine las unidades de x si la siguiente expresión es dimensionalmente correcta

W Áxk

Donde

1/1/: trabajo

F: fuerza

v: rapidez

k: constante numérica

A) m B) m-s C) m -s2

D) m -s“ 2 E) m -s-1

A I og 20 = a/bC + v2.

Donde

B: área

v: rapidez

A) LT B) C) L2

d) t2 e) r 2

4. Dada la siguiente ecuación dimensional mente homogénea

A=-BCsen(w/t+(|)),

determine [A],

Considere que [fi] = [w ]2 y que C es una longitud.

2. Calcule las dimensiones de A y B para que laecuación sea dimensionalmente correcta:

x=A t3+Bt.

Donde

x: longitud

f: tiempo

A) ÍJ3; / . ! -1 B) ÍT-2 ; ÍX-4 C) L T ^ L T 1

D) ZX-1 ; LT E) ZX; ZX-3

I. Determine las dimensiones de c en la si­guiente ecuación homogénea

A) LT 2 B) L T 1 C) L2T

D) i -1 ! 2 E) /.-1 r _2

5. Determine las dimensiones de x en la ecu.i ción

1 2 = nx eos 60°,14 + 1/2

donde V1 y l/2 son velocidades.

A) M 1/2T112 . B) L1,2T2 C) M 1/2í.1/2

D) l~1,2T1/2 E) f 1/2

4'.

I IJMBRERAS EDITORES n

Calcule las unidades dexen el S. I.

2nzl}(L-R)ser\d

t 1 ADonde

L y R\ longitudes

t: tiempo

A: área

Dada la ecuación dimensionalmente correcta\2

P = \^ - + ah

donde P se mide en kg/m3 y h se mide en metros, calcule [o/b]-

A) L

d) r 1

B) L2 C) L

E) L- 2

A) m/s

B) s -2

C) m/s2

D) m2

E) es adimensional

7. Si la siguiente ecuación es dimensional­mente correcta, calcule el valor de x+y.

(^s e n B )"+ (/?2sen(3)v

(/?! eos 0)2 - (R2 eos |3)2

L; /?1; R2 son distancias

A) 2

D) 8

B) 4 C) 6

E) 10

Determine las unidades dexen la ecuación

V m sen9 d

Donde

g-. aceleración de la gravedad

m: masa

d: longitud

10. Cuando un cuerpo se encuentra en un líqui­do ya sea sumergido total o parcialmente, experimenta una fuerza denominada em­puje (f), lo cual se puede representar como

F = p W ,siendo p densidad, g la aceleración de la gravedad y v volumen.

Calcule (x+y+z).

A) 1

D) 3

B) 1/2 C) 2

E) 3/2

N iv e l in t e r m e d io

11. Determine las proposiciones verdaderas (V) o falsas (F).

I. Si en una ecuación que es dimensional­mente correcta a uno de sus términos se le multiplica por log(o(3), esta deja de ser dimensionalmente correcta.

La expresión sen(oP), donde o es la acelera­ción, es adimensional.

Dada la ecuación

y=Asen(wt) + Bsen(wt)

se podría decir que A y B tienen la misma dimensión.

II.

III

A) kg/s

D) kgs3

B) kg-s C) k g -s '

E) kg-s2

A) FVF B) FFV C) FFF

D) FVV E) VVV

4(>

A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o h i *.

17. Dada la ecuación

R= k^A -t-A ^ j + k1k2,

se puede afirmar que

A) A-l y A2 son adimensionales siempre y cuando k2 sea la aceleración.

B) R es un número.

C) Si R es un número, es porque k± tam ­bién es un número.

D) Si k2 es un número, entonces las unida­des de R serán las mismas que kx.

E) R es la aceleración.

i:i. Una de las leyes establecidas por Newton es la ley de gravitación universal, la cual viene dada por la siguiente ecuación

r _ Gm1m2 d2^ '

donde

F: fuerza

m1 y m2: masas

d: distancia

Calcule las dimensiones de G.

A) LMT~1 B) L3M T"2 C) L2MT~2

D) ¿3M _1r 2 E)

11 Calcule x + y + z , si

(log l2 )2ergios = x a /a-v/b^ Cz

Donde

A: aceleración

II: masa

C: velocidad

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4

15. Determine las dimensiones dexs ilaecua ción dada es dimensionalmente correcta.

Rx + Z + 2s[s cm = 4 ti2A cos(2ti RZ)

A) L B) L2 C) L3

d) r 1 e) r 2

16. En la siguiente ecuación dimensionalmente correcta

donde: m: masa y C la rapidez de la luz. Determine las dimensiones de E.

A) MLT~1 B) ML2T~1 C) M 2LT~1

D) MLT E) M C ^T

17. Cuando se hizo una investigación en un la­boratorio, un profesor encontró la siguiente relación

F-d=Anmx2,

donde F es la fuerza, d la longitud y m la masa. Respecto al análisis dimensional, de­termine la cantidad física que podría repre sentar x.

A) tiempo

B) aceleración

C) rapidez

D) distancia

E) trabajo

47

Lu m b r e r a s Ed it o r e s

18. Dada la expresión dimensionalmente correcta

costc/6 + yM |asdimensiones5 + P(3

de y y (3.

Donde

M: momento de una fuerza

P: peso de un cuerpo

A) /W~1¿~2r 2; M _1L_1r 2

B) MLT~2; M L T 2

C) m ^1l~ 2t 2- M ^ L T 2

D) MLT~2; /VfL-1 ! -2

E) /W_1i “ 2r 2; MLT~2

19. El ángulo de torsión (0) de un eje de sec­ción circular de diámetro D, sometido a un torque t , viene dado por

0 = ^ .GJ

Determine las dimensiones de J si G tiene las mismas dimensiones que la presión.

a) lat b) ¿2r ~2 c) /.3r _1

D) L3M E) L4

20. De la siguiente relación

V2 =Vq +2gxRy( —-----— )0 U R + h )

calcule x+y, si se sabe que V y l/0 son larapidez, h es la altura, R es el radio y g laaceleración de la gravedad.

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

21. La rapidez de una onda en la superficie de un líquido en un canal cuya profundidad es H viene dada por

V2 = í — + — |(oX)tana. Determine las d¡- \ d a j

mensiones de o.

Donde

k: fuerza /long itud

g: aceleración de la gravedad

d: densidad

X: longitud de onda

A) ML2 B) i r 2 C) L

D) MLT_1 E) r 1

22. En la ecuación

o t1= (o t2+¿)cítan0)(l+¿i):L2, calcule las di­mensiones de a.

Donde

t 1 y f2: tiempo

d: distancia

A) LT B) L T 1 C) LT2

D) LT~2 E) L2T

23. El periodo de oscilación de un M.A.S. viene dado por

T=2nmxky

m: masa

k: constante elástica (N/m)

Calcule (x+y).

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4

............................... i

48

A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o h i

24. Si la ecuación de estado para algunos gases reales es

P + - ^ r \ v - b ) = — , calcule [ a / b \ - i/2) 273

Donde

P: presión

V: volumen

k: temperatura

A) ML5r 2

B) M 2L5T~2C) ML2T3D) MLT

E) ML2r 2

¡\t La rapidez de un líquido en un tubo cilindrico a una distancia r del eje central es

v = —— ( r 2 - r 2). Calcule la dimensión de n. AnL

Donde

P: presión

R y r: radios

longitud

A) ML2r x B) M L ^ r 2 C) M L ^ r 1

D) M W 1 E) m l 2t~2

n I n un condensador, la capacitancia eléctrica(C) se define como

V i - V 2

donde

(): cantidad de carga

V, y l/2: potencia eléctrica (Joule/Coulomb).

Determine [c] -

A) M " 1/."2! 4/2

B) M -1 /.2! " 4/

C) /w_1¿ '2r 4/2

d) M~1L~2r 4r2e) /w_1¿2r 4/“ 2

27. El calor absorbido o disipado por un cuerpo cuando este varía su temperatura viene dado por

Q=mCeAT

donde

Q: calor, cuya unidad es la caloría (1 Joule=0,24 calorías)

T: temperatura

M: masa

Calcule [Ce] •

a ) ¿2r 2e b ) l 2t~ 2q~2 c ) l 2t 2q

D) L2T~2Q2 E) L2r 2B2

28. ¿Cuál será la ecuación dimensional de H

H _ m(a2Acos(üt p

F2/ 2sen|3 Donde

m: masa

F: fuerza

(o: frecuencia angular (rad/s)

A: amplitud

/ : frecuencia

A) T

B) T2

c) r 1d) r 2E) es adimensional

49

I IJMBRERAS EDITORES

29. Cuando un cuerpo es abandonado desde una cierta altura h, luego de un intervalo de tiempo adquiere una rapidez v. Si la acele­ración de la gravedad viene dada por

g = h * vy,2

calcule y*.

A) 1/2 B) 1 C) 2

D) 1/4 E) 3

32. Determine las dimensiones de y en la ecuación

J ¡ = Ásen45° (A + a)

f, donde

o: aceleración y /: frecuencia.

a ) ¿7/2r 5

b) r 5r7/2c) lst7/1

d) l3,2t 5

E) l7/2t3/2

acd

30. Si la siguiente ecuación es dimensional­mente correcta

F=o/rcx+£>sen(x2d+7i)/ determine

Donde

F: fuerza

k: constante adimensional

x: longitud

33. Si la ecuación es dimensionalmente correcta, determine a.

¿ 17+ b3 = tana-abcosx

A) 30° B) 60° C) 120°

D) 180° E) 90°

A) MLT

D) ML2r 2

B) /W 1/.2r -2 C) ML~3T2

E) ML2T2

31. Dada la siguiente expresión

y m m2 (3 p2 + aL

Donde

o: aceleración

m: masa

L: longitud

, determine [y].

a) M3/._1r b) m 3l t 1 c) /w3/._1r 1D) M 3L~2T2 E) M3L2r 2

34. Si la siguiente expresión es dimensional­mente correcta

P=aF+bp+ct2, determine [abe].

Donde

P: presión

t: tiempo

p: densidad

F: fuerza

A) M L T 6

B) ML~1T~6

C) M L ^ T 6

D) M ~1L~1T 6

E) M ~1L T e

■>()

A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o k i •,

115. En la siguiente expresión dimensionalmente correcta

m/ sen30°=-y/3 ?

Donde

w. rapidez angular

a: aceleración

t: tiempo

Calcule [xyz]-

x a - y + — ->

nz

A) LT3

D) L~2T~3

B) L T2x3 c) r 2r3E) L2T- 3

38. Determine la dimensión de k para que l.i siguiente expresión dimensionalmente co rrecta

_ i

t = — í 2g + — tan30° ] 2 L k \ 3t )

L: longitud

g: aceleración de la gravedad

t: tiempo

A) L1/2

D) r 3/2

B) L C) L

E) L

- 1/2

3/2

lli. Si la siguiente ecuación es dimensional­mente correcta

P = c(B + nH) m + \ f j b 3/2

las dimensiones de c, H y D.

DondeP: presiónB: diámetroA: áream y n : adimensionales

,2A) M i -4 ! " 2

B) /W/.-5 ! -2 ,

C) ML~4T~2,

d) /w¿“4r_2,E! m l ~at 2

L; Lc

L;L2

L2;L

L~2; L

; L '2; L~2

M En la ecuación homogénea\sen37°

R k -rk *w=

determine

KD(Ek-F)

B: altura C: masa

, determine [F].

E: fuerza

A) L2T 1

D) ¿“ 2F_1

B) l2t 2 C) L ¿T

E) L~2T2

39. Dada la ecuación de onda

y=Ae~ktsen[bt+a),

donde y es la posición de las partículas que oscilan ye es la base del logaritmo neperiano, encuentre la ecuación dimensional de

A2ks

a) L2r 2

d) ¿ r 2

B) L T 1 C) L2T 1

E) LT2

40. Si la ecuación es dimenslonalmente correcta, determine [y] en ysen0=Axe-Adlog(oxv).

Donde

a: aceleración

v: volumen

e: base del logaritmo neperiano

d: densidad

A) ML~ST~2

T 1L~2!

C) m ~1l5t 2

D) ML3T2

E) m ~2t 2l3

51

Lu m b r e r a s Ed it o r e s%

N iv e l a v a n z a d o

41. A la resistencia que los líquidos ofrecen a los cuerpos se les denomina viscosidad. La fuerza debido a la viscosidad es proporcional a la rapidez del cuerpo (Fv¡sc=/cv). Si considera­mos a un cuerpo de forma esférica, enton­ces k=6nRn. Siendo R radio, calcule [n].

a) M r 1r 1 b) iwr2¿_1 c) M ' h r 1

D) M r 2L~2 E) MT~2L

42. Si la siguiente ecuación es dimensional­mente correcta

W =Pfx+mvyR~1, determine los valores de x e y.

Donde

R: radio

W\ peso

/: frecuencia de oscilación

m: masa

P: cantidad de movimiento

A) 1; 2 B) 0; 1 C) 2 ; - 1

D) 1; 2 E) 2; 2

43. Si la ecuación es dimensionalmente correcta

^ _ P/log-y/ít . determine [ f ] •

(M -Ja -kv )

Donde

p: densidad

a: aceleración

v: rapidez

|i: coeficiente de fricción

M: momento de una fuerza

/: frecuencia de oscilación

'..2

A) L~SMT~2

B) L~8M ~1T5

C) L "sM ~ 1r 2

D) L~8MT5

e) r 8M~1r 5

44. Determine la dimensión de z si la ecuación dada es dimensionalmente correcta

P=EVxcosQ+agv0-Vbc.

Donde

P: presión

E: energía

g\ aceleración de la gravedad

v0: Rapidez inicial

V\ volumen

b\ área

Además, S = z -a xV2x.

A) M ~1L~8T~'í

B) M ^ L 3T

C) /W_1í.“ 3rD) M ~2L~3T~1

E) m ~2l ~3t~2

45. La fuerza resistiva sobre un glóbulo rojo (esférico) en la sangre depende del radio R, de la viscosidad q y de la rapidez v.

Además, experimentalmente se obtuvo que /?=2pm, v = 7 x l0 _7m/s, r | = 3 x ic r 3kg/ms y la fuerza resistiva es 2527txlO_16A/. Luego, la expresión para denotar la fuerza resistiva es

A) 6tcvr\R B) nv2r\R C) nvr¡zR

D) 6nv2r\R1/2 E) 4nvr\R2

A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o h i

1(1. En un cuerpo rígido, la energía cinética de rotación (kg m2/s2) de un cuerpo depende de su momento de inercia / (kg m2) y de la rapidez angular w.

Determine una expresión para la energía cinética de rotación en función de las va­riables dadas. Considere k una constante adimensional.

A) A. QP B) A Q2 P

m.

A) klw

D) klw2

B) kl w C) k2l2w2

E) k — w

411

En el estudio de la acústica, los decibelios vienen dados por una constante adimen- cional multiplicada por el logaritmo entre la presión P y una presión referencial P0. Determine la ecuación dimensional de los decibelios.

A) M L T 1

B) M l } r x

C) MLT

D) ML2r 2

E) adimensional

Si sobre una placa se hace incidir una cier­ta presión de agua, la presión que la placa experimenta es

P=XQxpyAz. Determine la composición f i­nal de la ecuación dada

Donde

A: constante adimensional

l>: densidad del agua

A: área de la placa

Q\ caudal

C) A

E) A

Qp

Q2p2

49. La fuerza de sustentación del ala de un avión depende del área A del ala, de la den sidad p del aire y de la rapidez v del avión. Calcule la suma de los exponentes de A y p.

A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

50. El periodo de un planeta que gira en una órbita circular depende del radio de la órbita (R), de la masa (M) y de la constante (G).

Si G se expresa en (m3/kg s2), determine la fórmula empírica para el periodo.

D) T = k

E) T = k.M 2G

53

Nivel básico1 -1 °

Nivel intermedio |

11 - 40

Nlvd avanzado 4

41-50 _ j f

1 D 11 D 21 E 31 A 41 A

2 C 12 D 22 B 32 A 42 D

3 E 13 D 23 A 33 C 43 B

4 A 14 E 24 E 34 B 44 A

5 D 15 B 25 C 35 E 45 A

6 C 16 A 26 A 36 B 46 D

7 C 17 C 27 B 37 B 47 E

8 c 18 A 28 A 38 A 48 B

9 E 19 E 29 A 39 A 49 C

10 D 20 C 30 D 40 C 50 B

54

ANALISIS VECTORIAL

NOCIONES PREVIAS

l n nuestro quehacer cotidiano existen una serie de situaciones matemáticas que por su frecuencia i', incluso, simplicidad pasan desapercibidas para la mayor parte de la gente. Por ejemplo, consido icmos tres objetos A; B y C, ubicados en diferentes lugares, tal que conocemos que la medida do l.i longitud entre A y 6 es 30 cm, y entre B y C es 50 cm. Si preguntamos qué longitud hay entre A y (, ¿esta sería 80 cm? Naturalmente, y haciendo uso del sentido común, la mayoría de las personas • ilirmarían tal respuesta, pero esto no es del todo correcto.

Veamos

I Los objetos no solo pueden estar en línea recta y en orden

A B CÍH# Lac=80 cm

30 cm 50 cm

podrían estar en cualquier otro orden, por ejemplo

50 cm

B A Ci-------------- 1--------------------1

30 cm

Lac= 20 cm

Aún más sutil sería pensar que los objetos podrían estar dispuestos tal que los segmentos que los unen formen ciertos ángulos tal es así que

I u m b r e r a s Ed it o r e s

I n estos casos, si queremos determinar la longitud que existe entre A y B debemos hacer uso no del.is reglas de la aritmética común, sino de una herramienta conocida como análisis vectorial (ele­mentos de geometría), es decir, aplicar las reglas conocidas para las operaciones con vectores, por ejemplo, en el caso en el cual forman 60°, podríamos demostrar que l-AC = 10^19 cm; en el caso en que forman 90°, se tendrá l ' AC = 10>/34 cm, y así sucesivamente.

I n el presente capítulo examinaremos los métodos y reglas básicas de las operaciones vectoriales.

Observación ,...................................................................................................................................

La importancia que tiene el uso de los vectores en física radica en que con ellos podemos representar las magnitudes vectoriales, lo cual nos permite una mejor descripción, comprensión y explicación de una gran variedad de fenómenos físicos.

• Es una herramienta matemática que sirve para representar las magnitudes vectoriales.

• Se representan geométricamente mediante un segmento de recta orientado (flecha), que pre­senta un origen y un extremo

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN VECTOR

VECTOR

Notación

Un vector se puede representar con cualquier letra del alfabeto, con una pequeña flecha en la parte superior

A; se lee vector A.

También se denota indicando el origen y el ex­tremo.

\origen del vector (P )

PQ; se lee PQ.— línea de acción

Gráfico 1

Nota

Ambas notaciones son válidas y pueden usarse indistintamente, es decir: A = PQ.

%

■A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o h i s

1 1 EMENTOS DE UN VECTOR

Módulo del vector

i In medida o el tamaño del vector y generalmente está asociado a la intensidad de la magnitud a l.i ■ u,il representa. Por ejemplo: las fuerzas son magnitudes vectoriales y son representadas medíanle In', vectores, además su unidad de medida es el newton; así, podemos representar dos fuerzas de lo N y 50 N dirigidas hacia la derecha.

Molamos que estas guardan cierta proporciona- En el gráfico 1, el módulo del vector A seHilad en sus tamaños o módulos. representa como el vector entre barras o,

nuplemente, con la letra (sin flecha).

Módulo del A: |A| o A

Dirección del vector

i a dirección del vector está definida por la medida del ángulo obtenido a partir del semieje X positivo i la línea de acción del vector, medido en sentido antihorario,

i ><•! gráfico 1

Dirección del A: 0A

5 7

Lu m b r e r a s E d it o r e s

l« Observación

E n tre ve c to re s n o está d e fin id a la re la c ió n d e o rd e n , es decir, no p o d e m o s c o m p a ra r los ve c to re s

aun si re p re s e n ta n una m ism a m a g n itu d .

A > B : no está d e f in id o

II. Lo q u e sí p o d e m o s c o m p a ra r en los ve c to re s es su m ó d u lo .

—> A < B; es to es v a lid o , sí está p e rm it id o

III. El m ó d u lo de c u a lq u ie r v e c to r s ie m p re es p o s itiv o , es dec ir, v e r if ic a la s ig u ie n te re la c ión

M Ó D U LO > 0

Linea de acción

• Es la línea Imaginaria en la cual se considera contenido el vector.

• Un vector puede ubicarse en cualquier punto de la línea de acción e incluso puede trasladarse a líneas de acción paralelas sin que se altere ni su módulo ni su dirección.

Usualmente, a estos vectores se les denomina vectores libres.

■ > K

i

A n á l is is d i m e n s i o n a l y v e c i o h i

REPRESENTACIÓN CARTESIANA DE UN VECTOR EN EL PLANO

I',ira esta representación, debemos ubicar un vector en un sistema de ejes coordenados cartesiano

Mol gráfico \

El vector PQ lo obtenemos como la diferencia de

coordenadas del extremo y el origen.

PQ = Q - P

= (Qx; Qy)~{Px; Py)

PQ = (Qx -P x;Q y-Py)

donde

Qx-P x: componente del vector PQ contenido en el ejeX.

Qy-Py. componente del vector PQ contenido en el eje Y.

Su módulo se obtiene aplicando el teorema de Pltágoras a partir del triángulo sombreado.

\PQ\ = J ( Q X- P x f + ( Q y - P y f

• Su dirección es

I templo

A partir del gráfico mostrado, determine cada vector con sus respectivos elementos (módulo y di i<•< ción).

C lu

I UMBRERAS EDITORES

Resolución

Para determinar los vectores, debemos co­nocer las coordenadas de cada punto, ya sea origen o extremo; para simplificar ello se suele colocar a cada vector de manera independiente de tal manera que su origen coincida con el origen de un sistema de ejes cartesianos.

• Para el vector A

(0; 0)

- 3 u -

A (3; 0) >----------»-A +X

1

El vector

0A = A - 0

= (3;0) — (0; 0)

OA = A = (3; 0)

Su módulo|/4| = a/32 + 0 2 = y¡9 = 3u

Su dirección QA = 0o (está sobre el semieje +X)

El vector

O B = B -0

= (0; —.2) — (0; 0)

OB=~B = {0 ;-2 )

Su módulo: |s| = /o2 +(-2)2 = V4

|s | = 2u

Su dirección: 0S=27O°

Para el vector C

Para el vector B

2 u

(0; 0 )

B

B(0;-2)

+X

El vector

O C = C -0

- (3 ; 3)—(0; 0)

OC = C = (3;3)

Su módulo: |c | = V32+32 = V Í8

|c | = 3V2 u

Su dirección: 0 C= 45°

(>0

A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o h i ■»

Para el vector D El vector

0 D = D - 0

= (-3 ; 4) — (0; 0)

OD = £> = ( - 3; 4)

Su módulo: \o d \ = V (-3)2 + 4 2 = ^|25

|od| = 5u

Su dirección: 0D= 127°

TIPOS DE VECTORES

VI CTORES COLINEALES

'.un aquellos que se encuentran contenidos en una misma línea de acción.

8 ^ * '

A, II y C son vectores colineales porque están en una misma línea de acción.

VI CTORES PARALELOS

•im aquellos que tienen sus líneas de acción respectivamente paralelas.

Nota

P odem os e xp re sa r la c o n d ic ió n de

p a ra le lis m o en fo rm a m a te m á tic a ,

in d ic a n d o que si

a = (3 —> A//~B

A y II son vectores paralelos porque sus líneas de acción son paralelas.

6J

Lu m b r e r a s E d it o r e s

VECTORES OPUESTOS

Son aquellos que presentan igual módulo, pero sus direcciones se diferencian en 180°.

+X Sea

J B UA =180° y A = 8

A qa .+x

entonces B = -A

B es el opuesto de A

VECTORES IGUALES*

Son aquellos que presentan igual módulo e igual dirección.

Nota ,•.................

Matemáticamente

S i l ^ l = l ® 1 v q ^ = q e

A=B;

los ve c to re s son igua les.

VECTORES COPLANARES

Son aquellos que se encuentran contenidos

A,B y C son vectores coplanares por estar

un mismo plano.

Como D no está contenido en el plano P, no será coplanar con los demás vectores.

el mismo plano.

i . ;

A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o u i •>

VICTORES CONCURRENTES

'.on aquellos cuyas líneas de acción se cortan en mi mismo punto.

Ejemplo

Dado el vector A cuyo módulo es de 50 u, detei mine el vector unitario del vector A.

Resolución

Determinemos el vector A como una combina clón de sus componentes

A, II y C son vectores concurrentes porque imlos van a un solo punto.

VI CTOR UNITARIO (p)

¡(.■presenta la unidad vectorial de un vector ' tialqulera y se caracteriza porque su módulo es

iK■ *■ 11 a la unidad.

-vector

-módulo

£ * = lu

Del gráfico

A = (50cos37°;50sen37°)

A = (40; 30) y A 40z +30z

Nos piden: p¿

Se sabe que

V a = T =(40; 30)

40 +30

VA(40; 30)

504 3

5 ' 5

Lu m b r e r a s Ed it o r e s

Vectores unitarios en el plano cartesiano

Sea el plano XY

Resolución

Del gráfico

>4

Se verifica

/ = (1; 0),-/=(-l; 0)/ —(0; 1), - /= (0 ; -1)

Tal que: |/ | = |/| = l

donde

I : vector unitario en el eje X (+)

-/ ': vector unitario en el eje X (-)

1 : vector unitario en el eje / (+)

- j : vector unitario en el eje Y (-)

tjemplos

1. Exprese cada vector del conjunto mostrado en términos de los vectores unitarios.

A

‘c

D ■B 1 u

A = (4; 0) = 4(1; 0) = 4/

S = (-2;0) = 2(—1;0) = 2(-/) C = (0;3) = 3(0; 1) = 3j

D = (0;-2) = 2(0;-l) = 2(-y)

2. Exprese los vectores mostrados en términos de los vectores unitarios.

Resolución

Primero debemos ubicar el origen de cada vector de tal manera que coincida con el origen de un sistema de ejes cartesianos.

• Para el vector/!

1 u

M

■A n á l is is d im e n s io n a l y v i x i o i u

Del gráfico

A = (100cos37°;100sen37°)

A = (80; 60)

A = (80; 0) + (0; 60)

A = 80(1; 0) +60(0; 1)

A = 80/ + 60j

• Para el vector 6

Del gráfico

8 = (40cos30°; -40sen30°

B = ( 20V 3 ;-20 )

B = ( 20>/3;0) + (0 ;-20)

B = 20>/3(1; 0) + 20(0; — 1)

B = 20>/3/-20/'

• i IMPONENTES CARTESIANOS DE UN VECTOR* N I L PLANO

.'■■i el plano XV; dado el vector A expresarlo en i • i minos de sus componentes cartesianos.

Del gráfico

A = AX + A y

También

A = A x i + Ayj

A demás

0 = tan i y

Nota

Representación polar de un vector

Se ve rif ic a A = (A ; 0); s ien d o

A x =A co sq

A j,= A se n q

L u m b r e r a s E d it o r e s

Ejemplo

Exprese los vectores mostrados en su forma polar.

Á

Resolución

Nos piden expresar los vectores en la forma polar

T = (r ; 6)módulo <------ 1

dirección «----------

Del gráfico

• Para el vector A

Su módulo

A = -\¡32+ 4 2

A= 5 u

Su dirección

Qa = 53°

Finalmente

A = ( 5; 53°)

t)6

• Para el vector B

Su módulo

B = V 22 +22

B = 2 iÍ2u

Su dirección

QTa = 53°

Finalmente

8 = ( 2a/2;135°)

• Para el vector C

Su módulo

C = V 32+ 4 2

C =5 u

Su dirección

0^ = 307°

Finalmente

C = (5; 307°) = (5 ;-53 °)

A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o h i ■

MULTIPLICACION DE UN VECTOR POR UN ESCALAR

'■'■.i e l v e c to r A y u n n ú m e r o re a l n, te n e m o s e l v e c to r n A , c u y o m ó d u lo s e rá n v e c e s e l m ó d u lo d e

■\ y c o lin e a l a l v e c to r A .

A

Observación

I n gen e ra l, n p ue d e ser c u a lq u ie r n ú m e ro rea l. A c o n tin u a c ió n , se p rese n ta un ta b la re sum e n re spe c to

.1 los va lo re s q u e pue d e to m a r n.

Si 0 < n < 1(n = 1 /2 ; 1 /3 ; 1 /4 ; ...)

nos da un v e c to r m ás p eq u e ñ o , pe ro en su m ism a d ire cc ión .

nA

Si n > 1(n = 2; 3 ; 4 ; . . . )

Si - 1 < n < 0( n = - l / , 2 ; - 1 /5 ; - 2 /5 ; .

Si n < - 1(,n = - 5 / 4 ; - 2 ; - 3 ; ...)

nos da un v e c to r m ás g ran d e , en su m ism a d ire cc ió n .

nos da un v e c to r m ás p eq u e ñ o y en d ire c c ió n o pu e s ta .

nos da un v e c to r de m a y o r ta m a ñ o , pe ro en d ire c c ió n o pu e s ta .

67

Lu m b r e r a s E d it o r e s

Ejemplo

Sea el vector 4 cuyo módulo es de 4 u. Grafique los vectores

2A, 1 / 2 (4 ), - 3 /2 (1 )

Resolución

Consideremos una cuadrícula donde cada celda tenga una longitud de una unidad.

Notemos

• El vector 24 tiene el doble del módulo de 4y mantiene su dirección.

• El vector 1 /24 tiene la mitad del módulo de4 y mantiene su dirección.

• El vector -3 /2 4 tiene 1,5 veces el módu­lo de 4 , pero su dirección está invertida(opuesta).

Graficando los vectores

24

Í4 i

1 ;4 ...... :..... i......

2

Nota

Sean los ve c to re s A y B . Si 4 y 8 son p a ra le los , se d eb e v e r if ic a r

|4 | = /f|s ’|i —*• I4

ta l q u e /L =|e|

(~Ü| O PERACIO NES CON VECTORES

Están referidas usualmente a la adición de vectores (donde la diferencia es también una adición), don­de la suma significa hallar la resultante, la cual puede ser determinada mediante dos métodos gene­rales, los que a su vez cuentan con otros métodos auxiliares.

111 general

- Método del triángulo- Método del paralelogramo- Método del polígono

- Método del triángulo (ley de senos)- Método del paralelogramo

(ley del paralelogramo y ley de cosenos)

Nota /............................................................................................................................ .

H ay o tra s o p e ra c io n e s , c o m o el p ro d u c to e sca la r y e l p ro d u c to v e c to r ia l, q u e se rán e s tu d ia d a s m ás

a d e la n te . j

_— ..................................................................... ........................................................... _ J

Para la suma de vectores

Métodosgráficos

Métodosanalíticos

(.8

A n á l is is d im e n s io n a l y v e c io k i

MÍ TODOS GRÁFICOS

'■"ti .iquellos en los cuales para determinar la resultante se usan instrumentos de dibujo tales como "T.l.is, escuadras, compás, escalímetros, etcétera.

i mi este método usualmente solo se puede representar gráficamente la resultante.

Método del triángulo

i i" '. permite hallar la resultante de dos vectores, consiste en graficar los vectores uno a continuación ili’l otro, tal que el extremo del primero coincida con el origen del segundo vector. Su resultante se "biiene uniendo el origen del primero con el extremo del segundo vector.

'•' .ni A y 6 los vectores

i irmplos

l A partir del gráfico que se muestra determine el vector resultante; ABCD es un rectángulo y M: punto medio.

69

Lu m b r e r a s Ed it o r e s

Resolución

Nos piden el vector resultante

’R—’p + Q + T (I)

para lo cual sumaremos los vectores agru­pándolos de a dos, usando el método del triángulo.

Trasladamos paralelamente el vector T hasta el lado AB, haciendo coincidir su ori­gen con el extremo de P.

Nótese que la suma de P y T es un vector idéntico a Q.

Luego en (I)

R = PH-Q + T

R = Q + Q

7? = 2Q

2. A partir del gráfico que se muestra, halle elvector resultante.

Resolución

Nos piden el vector resultante de los vecto­res mostrados, es decir, R = A + B,

para lo cual trasladaremos los vectores usando el método del triángulo.

Mantenemos fijo A y trasladamos paralela­mente al vector B.

fí = A + S

De la figura, se obtiene un vector paralelo al eje Y.

fi = Sj

Método del paralelogramo

Es una variante del método del triángulo, solo que en este caso debemos hacer coincidir el origen de ambos vectores y a partir de los ex­tremos trazamos rectas paralelas a los otros vectores formando así un paralelogramo.

7 0

A n á l is is d im e n s io n a l y v e c io k i

i t e mp l o

I Lulo un sistema de vectores, determine el vector M-.ultante.

Resolución

Podemos agruparlos de a dos y usar el mé­todo del paralelogramo, es decir

'r = ’a + b + c + d + e (I)si s2

Sumamos A y B

Si — A + Br

y es un vector idéntico al vector E (a)

Sumemos C y D

S2 =C + D,

es otro vector idéntico a E

Finalmente, (a) y (|3) en (I)

R — Si + S2 + E

= £ + ? + ?

' R = 3E

Método del polígono

Nos permite determinar la resultante de n vectores. Consiste en colocar los vectores uno a continuación del otro, donde el vector resul tante se obtiene uniendo el origen del primei vector con el extremo del último.

Sean los vectores libres

JZD

No interesa el orden al dibujar a los vectores pues la resultante siempre será la misma.

• Polígono cerrado

Es un caso particular. Cuando los vectores graficados cierran la figura, deben orien tarse en forma horaria o antihoraria; por lo tanto, su resultante es nula.

(P)

_^R = 0 20 II o

/ I

Lu m b r e r a s Ed it o r e s

Ejemplos

1. Para el sistema de vectores mostrados, de­termine el vector resultante.

Resolución

Nos piden determinar el vector resultante, para lo cual usaremos el método del para- lelogramo para poder reducirlo. Sabemos que

R = A + B + C + D + E + F + G (cc)

Del gráfico notamos que los vectores A, B, F y G forman un polígono cerrado y en con­secuencia se verifica que su resultante es nula, es decir

/?! = A + B + F + G — 0

En (a), tendremos

R =C +D +E

Representando nuevamente el sistema

R = C + D +E

R = £ +£

R = 2E

2. Para el sistema de vectores que se muestra, determine el módulo del vector resultante.

P

Resolución

Nos piden determinar el módulo del vector resultante, para lo cual trasladaremos ade­cuadamente los vectores.

Del gráfico

~R = N + Q + P

Su módulo

\~r \ = 4 u

MÉTODOS ANALÍTICOS

Son aquellos por los cuales mediante el uso de ecuaciones matemáticas podemos determinai el módulo y la dirección del vector resultante.

72

A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o u i

Método del triángulo

Podemos resolver un triángulo vectorial si mnocernos algunos de sus lados y ángulos, ir.ando la ley de senos.

Van A, B y C vectores que forman un triángulo i uyos módulos son A; B y C y cuyos ángulos sor/ a, |Sy 5.

'a' verifica

I Ley de senos

A B _ Csena senp sen8

II Ley de cosenos

A2=B2 + C2-2BCcosa

B2=A2+C2-2BCcos(3

C 2 = A 2 + B 2 - I A B c o s 8

I irmplos

i A partir del sistema de vectores que se muestra, determine el módulo de A.

S¡)b | = 15a/2 u .

Resolución

Nos piden el módulo del vector A.

Del triángulo vectorial, aplicaremos la ley de senos.

B _ A sen45° sen53°

15^2 A

(V2 /2 ) (4/5)

A =24u

Se tienen dos vectores de módulo igual a 10 u, tal que forman determinados ángulos con la horizontal. Determine el módulo de la diferencia de dichos vectores.

Q

,17o

71

Lu m b r e r a s E d it o r e s

Resolución

Nos piden el módulo de la diferencia de los vectores.

Debemos tener en cuenta que dicho módulo será el mismo si formamos P — Q o Q -P . Para esto uniremos los orígenes de ambos vectores.

Del gráfico

S = A + B

En módulo

I= 4 a 2+ B +2ABcos0

Además, la dirección de la resultante con res­pecto a B es

Asena0 = arctan

_B + Acosa

Ejemplos

1. Se tienen dos vectores A y B de módulos 3 u y 5 u. SI forman 60° entre sí, determine el módulo de su resultante.

Usando la ley de cosenos

ID I = V p2 + Q 2 -2PQ cos60°

102 + 102 - / ( 10)(10)- - r

í

D = 10 u

Resolución

Nos piden el módulo de la resultante entre los vectores A y B.

Consideremos que el módulo de A sea 3 u y el de B sea 5 u, hagamos una representa­ción gráfica de los vectores.

Método del paralelogramo

Conociendo los vectores y el ángulo que forman entre sí podemos determinar el módulo de su resultante, usando la ley del paralelogramo.

Sean A y B los vectores: -5 u-

A Usaremos la ley del paralelogramo

R = V a 2 + B 2 + 2A B cos6

« = V32 + 5 2 +2(3)(5)cos60°

B = V 49

R = 7 u

/A

A n á l is is d im e n s io n a l y v e c io h i

Se tienen dos vectores de igual módulo, si su resultante tiene un módulo igual a uno de ellos, determine el ángulo que forman entre sí.

Resolución

Sean A y B los vectores, y 0 el ángulo que forman entre sí. Nos piden determinar el valor del ángulo.

Hagamos una gráfica de los vectores y use­mos el método del paralelogramo.

Se sabe que

+ B +2ABcos0 O)Además R=A=B Reemplazando en (I)

A = V a 2 + A 2 + 2A 2 cos0 cosG = -1 /2 6 = 120°

................................................................................................ x Nota tf.......

De la ley del p a ra le lo g ra m o : R = *Ja 2 +B2 + 2 A B c o s 0

I. La sum a d e dos ve c to re s será m á x im a si q = 0°.

• máxima “ ®

IJ. La sum a de dos ve c to re s será m ín im a si q = 180°.

S , . = A - B ■ mínima ^

/ r.

i

Lu m b r e r a s Ed it o r e s

3. Si la suma máxima y mínima para dos vec­

tores es 15 u y 5 u, respectivamente, deter­

mine el módulo de cada vector.

Resolución

Nos piden determinar el módulo de cada vector, sean A y B los vectores, tal que A > B.

De los datos

^ 6 = 1 5 A ± p = 5

¿ = 10 y S = 5

Observación

Para el caso p a r t ic u la r en el cua l fo rm e n á ngu los

de 9 0 ° (ve c to res o rto g o n a le s o p e rp e n d ic u la re s ),

se ve rif ic a

VECTORES EN EL ESPACIO

Consideremos el sistema de ejes cartesianos X, V'yZ.

ZA

Donde A = (Ax;Ay;AzJ

/(>

En forma cartesiana: A = Axi + Ayj + Azk

módulo: A = ^ (A x f+ ^ A y f +(Az fEn

También

¿x = ¿cos|3

Ay = A eos a

A = A c o s 8

siendo a , |3 y 8 los ángulos que form an el vector

con los respectivos ejes coordenados.

Se verifica además

cos2|3 + cos2a + cos28 = 1,

denom inados cosenos directores.

mA n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o h i

l irmplos

i Sean los puntos

P = (15; -7 ; 12) y Q = (-12; 4; 9),

halle los vectores PQ y QP; además deter­mine el módulo de cada uno de ellos.

Resolución

Usando la representación cartesiana del vector y extendiéndola para el caso de tres coordenadas, tendremos que determinar cada uno de ellos de manera independiente.

Hallando el vector PQ

PQ = Q -P

PQ = { - 12; 4; 9 )- (1 5 ;-7 ; 12)

PQ = (-27; 11;-21)

Cálculo de su módulo

l = J ” 2PQ = V27 +11 +21

PG = a/1291

PQ = 35,9 u

Hallando el vector QP

Q P = P -Q

QP = ( 15 ;-7 ; 12 )-(-1 2 ; 4; 9)

QP = (27; -1 1 ; 21)

Cálculo de su módulo

PQ = V272 + l l 2 +212

Notamos a partir de los resultados que lie. vectores PQ y QP son opuestos, es dei it,

PQ = -QP.

2. En el sistema que se muestra, determine el \ módulo del vector resultante.

Z

X'X

Resolución

Nos piden hallar el módulo del vector te sultante, para lo cual trasladaremos a los vectores de manera adecuada.

Z A

b/A

4 u -- -z /\ \ /

/ // C ^ y / 4 U

PG = >/l291

PQ = 35,9 u

XX

Del gráfico: R = A + B + C

Su rínódulo será: R = 4s/2 u

/ /

Lu m b r e r a s E d it o r e s

PRODUCTO ESCALAR

Si

A = (Ax ;Ay ;Az ) y B = (Bx;B,,;B2),

entonces el producto escalar entre A y 6 es el número escalar dado por

A ' B — AXBX + AyBy + AZBZ

Si se conoce el módulo de cada vector y el ángu­lo que forman entre sí, se puede calcular como

A ■ B = ABcosQ

Geométricamente, se puede entender como el producto de un vector por el módulo de la pro­yección del otro vector sobre él.

Propiedades

Siendo A, B y C vectores y o un escalar, se ve- ulica

. Á-A = A2

• Á B = B-A

• á -(b + c ) = a -s + a -c

• (oa)-B = o (a -b ) = A -Íob)

• Ó ■ A = 0

is Nota

R especto de los v e c to re s u n ita r io s se v e r if ic a

/■/ = j- j =k-k = 1

i - j= j- k = i-k = 0

Ejemplos

1. Se sabe que los vectores

A = ( l , - 2 m )y B = (4 , - l) ,

son perpendiculares. Halle m.

Resolución

Nos piden el valor de m, sabiendo que los vectores forman 90° entre sí.

De acuerdo al producto escalar, si dos vec­tores son perpendiculares, dicho producto es cero (condición de perpendicularidad). Veamos

Se sabe que

A-B = ( l , - 2 m ) - ( 4 , - l ) = 4 + 2m = 0

resolviendo tenemos que m = -1 /2 .

2. El producto escalar del vector P de módulo 5 u y el vector Q de módulo 8 u es 32. De­termine la componente del vector P en Q.

Resolución

Nos piden la componente del vector P en Q o, en otras palabras, la proyección de P en Q. Recuerde que el resultado del producto escalar es solo un número. Graficando los vectores

/H

■ .............................

Siendo P-Q = PQcos0 = (Pcos0)Q

De los datos se tiene Pr

32 = 8 PR

Pr = 4 u

i Los vectores P y Q forman 60° entre sí y |P| = 2 u. Determine el módulo de Q para que el vector P -Q sea perpendicular a P.

A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o h i •.

Si se conoce el módulo de cada vector y el ángu lo que forman entre sí, se puede calcular como

A xB = ABsen0

Geométricamente, el nuevo vector es perpen dicular al plano que forman los vectores que lo originan, siendo su módulo el área del paralelo gramo formado por los primeros y su orienta ción se determina a partir de la regla de la mano derecha.

Resolución

Nos piden|Q|, para que P i (p - q ).

Usaremos el producto escalar sabiendo que si dos vectores forman 90° su producto escalar es cero.

Luego

p -(p - q ) = p -p - p -q = 0

P2- P - Q - cos60° = 0

4 - 2 Q — = 01 1 2

|Q| = 4u

PRODUCTO VECTORIAL

M A = (Ax; Ay) Az) y B = (Bx; By; Bz), entonces el producto vectorial entre A y B es un nuevo vector A x B que se define por

C =AxB=

i ¡ k

A X A y A z

Bx By Bz

Es decir

| C | s Área paralelogramo

Los vectores A, B y A xB forman un trío a de rechas (un sistema dextrogiro), lo que quiere decir que la dirección A x B es la que indica el dedo pulgar de la mano derecha cuando esta se cierra desde el vector A hacia el vector B, en el plano AB.

Las propiedades del producto vectorial son

1. A xB = -B x A anticonmutatividad

2. A x (b + c ) = A x B + A x C (distributivo re1, pecto de la suma)

3. m(A>iB) = (m A)xB = Ax(m B)I

siendo m un escalar

/ ' )

Lu m b r e r a s Ed it o r e s

Observación

El g rá fic o s ig u ie n te re su m e lo e n c o n tra d o , p ro ­

p o rc io n a n d o ade m á s una bue n a fo rm a de re ­

c o rd a r lo en el fu tu ro .

P ro d u c to v e c to r ia l e n tre ve c to re s .

j x i = - k

k x j = - f

i x k = - j

Ejemplos

1. Halle un vector ortogonal a U = (l; - l ; 0 ) y a V = (2; 0; 1), cuyo módulo sea ~J¡2A u.

Resolución

Nos piden un vector que sea perpendicular a los vectores U y V (aunque podemos con­siderar que dicho vector sea perpendicular al plano formado por U y V), para lo cual usaremos el producto vectorial entre U y V .

Consideremos que sea x el vector pedido, es decir

X = k{uxv) y |x j = >/24u

1. Si los vectores A y B son paralelos, enton­

ces, por definición

A xB = (ABser\Q)ü = 0

Esta es la condición de paralelismo.

2. i x i = 0; j X j = 0 ;l< x í< - 0

Según la aplicación anterior.

I. También se tiene, aplicando la definición,que

¡ x y = {(l)(l)(sen90 °)}k = k

} x k = { (l)(l)(sen90°)}f = f

k x i = {(l)(l)(sen90°)} J = /

Y según la propiedad de anticonmutativi- dad

Hallando U xV

= ( - / ) - ( / - 2/r)

= - i - j + 2 k

= ( - l ; -1 ; 2)

Ahora determinemos su módulo

/c||Z/xv] = W l 2 + l 2+22 = 4 ia

kV6 = >/24 ^ K = 2

Finalmente en (a)

x = 2 ( - l ; - l ; 2 ) = (-2 ;-2 ,4 )

jhsf

A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o h i •>

2. Halle un vector U que tenga la misma direcciÓQ de V = ( l ; - 2 ;3 ) , de tal forma que dicho veclory 1/1/= (-2; 4 ;-1 ) formen un paralelogramo de 25 u2 de área.

Resolución

Nos piden U, tal que sea paralelo con \/ = (1; — 2; 3); por lo tant^-

U = mV = m( 1; -2 ; 3)

U = (m ;-2m ;3m ) (k¿ 0)

Regla de S arruz para h a lla r el d e te rm in a n te de una m a tr iz :

/ / kSea A = (Ax ; A y ; A z ) y B = (Sx ; By ; Bz ) - >

O pe ram os

A x Ay A2

Bx By Bz

Observación

—> A x B = (re s u lta d o 1) - (re s u lta d o 2)

Ahora, para formar un paralelogramo con W, debemos obtener el producto vectorial de estos, es decir

12m1-m]+Amk 2 m f-6 m j+ 4 m k \

= (2m i-G m j+4m k)-(12m i-m j+4m k)

= (-1 0 mi - 5m j) = (-10m ; - 5m; 0)

81

Lu m b r e r a s Ed it o r e s

Luego su módulo será el área del paralelogramo

\ u x w \ = sjl00m 2 +25m 2 =25

125m2 = 625

m = ±V 5

Finalmente, serán dos los vectores que cumplan la condición

Ui=(J5 ; - 2 a / 5 ; 3 V 5 ) o U2 = (-^Í5;2S;-3^5)

3. Por medio de la combinación de productos se pueden construir expresiones más complejas.Por ejemplo, con tres vectores podemos construir las siguientes combinaciones. Identificar suvalidez.

a. A-(b -c ) b. (Á-~b )-C

e. X(sxc) f. (a -b )x C

Resolución

No todas estas combinaciones tienen sentido, analicémoslas de una en una.

a. A ■ (fi • c) es un vector colineal con A, y tiene la misma dirección, o con dirección contraria, si el escalar (fl • c) es positivo o negativo.

b. (/A • fl)- C es un vector colineal con C, y tiene la misma dirección, o con dirección contraria, si

el escalar (/A • fi) es positivo o negativo.

c. A x {b x c ) es un vector (resultado del producto vectorial entre dos vectores) que es perpen­dicular al vector BxC ; por lo tanto, se encuentra en el plano que contiene a los vectores B, y C y dentro de dicho plano en una dirección perpendicular al vector A.

d. (A x b )x C es un vector (resultado del producto vectorial entre dos vectores) que es perpen­dicular al vector A x B , por lo tanto, se encuentra en el plano que contiene a los vectores A, y B, y dentro de dicho plano en una dirección perpendicular al vector C.

e. >A ■ (b x c ) es un escalar, resultado del producto escalar entre los vectores /A y ( b x c ).

f. (/A b )xC ¡no tiene sentido! El producto vectorial es una operación entre dos vectores, no entre un escalar y un vector, es decir (/A - f l) es un escalar.

g. A x (b ■ c) ¡no tiene sentido! El producto vectorial es una operación entre dos vectores, no entre un vectory un escalar, es decir (s-c) es un escalar.

h. (a x b )-C es un escalar (resultado del producto escalar entre dos vectores).

c . A x C b x c ) d. ( a x ~ b ) x C

g. A x ( b - c ) - Ii.C axb)-C

A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o n i

Del análisis anterior podemos deducir las siguientes propiedades:

• A-[b - b )-C no verifica la asociativa (ver combinaciones a y b).

• A x (b x c ) ^ ( a x b ) x C no verifica la asociativa (ver combinaciones c y d).

• En un producto mixto entre tres vectores (combinación de producto escalar y vectorial, vei combinaciones e, f, g y h) la expresión solo tiene sentido si se realiza primero el producto vectorial y luego el escalar; es por ello que no es necesario escribir los paréntesis:

a - b x c = a - ( b x c )

1 a expresión de un producto mixto en función de las componentes de los vectores viene dada como el desarrollo de un determinante

Ax Ay *z

A ■ BxC= Bx By Bz

cx Cy Cz

y utilizando las propiedades de los determinantes se puede demostrar que

A-BxC = B-CxA = C-AxB

I I valor absoluto del producto mixto (tomamos el valor absoluto ya que el resultado podría mm negativo) es igual al volumen del paralelepípedo formando por los tres vectores, como se muosii.i en la siguiente figura

volumen = área de la base-altura =

= |fix c ||A c o s 0 | = |X (e x c ) | \

Relación entre el volumen de paralelepípedo formado por tres vectores y su producto mixto.

8 *

IUM BRERAS EDITORES

Un doble producto vectorial puede desarrollarse en productos escalares de la siguiente forma

A x ( s x c ) = { A ' C ) b

Sale del paréntesis el vector B, que es el vector más cercano al vector externo A , el cual entra en el paréntesis m u ltip li­cándose escalarmente por eí o tro vector.

(a - e je

Sale del paréntesis el vector C, que es el vector más alejado al vector externo A , el cual entra en el paréntesis multiplicándose escalarmente por el o tro vector.

Utilizando el mismo razonamiento podemos desarrollar el siguiente doble producto vectorial viendo que nos da lo mismo que el anterior

(/T x b) x c = (a • c )e - (e ■ c )a

Nota ,■............................................................................................................................

Diferencias entre el álgebra escalar y el álgebra vectorial

En los a p a rta d o s a n te r io re s h em o s v is to d ife re n te s o pe ra c io n e s e n tre v e c to re s y escalares. En una e x p re ­

s ión m a te m á tic a en la q u e aparezcan a m b o s t ip o s de m a g n itu d e s fís icas, la fo rm a de m a n e ja rla s es s im ila r

a c ó m o se o p e ra b a e n el á lg e b ra de escalares. C om o e je m p lo , su po n g am o s la s ig u ie n te re la c ió n e n tre los

escalares a y b y los ve c to re s A, B, C, D y E :

a(A-~B¡C-bD = E

Y nos p id e n q u e d e sp e je m o s el v e c to r C en fu n c ió n de las d em á s m a g n itu d e s . El p roce so sería c o m o s igue:

a{~A -7)7-bD =7 -» o( a -7 ]c = 7 + bD

t-r ^ 7+bD - r 7+b7->■ (a -b )c =-------- c = -a q{a -7)

N ótese q u e el d e n o m in a d o r de la fra c c ió n es un escalar, so lo te n e m o s esca la res: a y (a -B J.

Esta fa m ilia r id a d en el m a n e jo de los v e c to re s , de fo rm a s im ila r a o p e ra r con escalares, p u e d e c o n d u c ir a

e rro r. Si nos h u b ie sen p e d id o d e s p e ja r e l e sca la r a, e s ta ría m o s te n ta d o s de re a liza r lo s ig u ie n te

a (^A • 7 ) 7 - bD = 7 - > o ( a - 7 ) c = 7 + bD

- 7 + b D 7 + b O-> aC - - p ^ a- p - - ^ —

[A ■ B) (a • eje

|Y es ta ríam os c o m e tie n d o un grave e r ro r ! En este caso el d e n o m in a d o r d e la fra c c ió n , ( a • fi)c, es un vec to r,

y ila división por un vector ni está definida ni tiene ningún sentido! Este d e ta lle ju n to con el h ech o de

que el p ro d u c to v e c to r ia l e n tre dos ve c to re s es a n t ic o n m u ta tiv o son dos de las cosas q u e hay q u e te n e r

en cu en ta cu a n d o se m a ne ja n e xp re s io ne s con ve c to re s .

HA

PROBLEMAS RESUELTOSJS

N iv e l B á s ic o

PROBLEMA N.° I

l’ara los vectores mostrados

|a | = 8u, |B| = 10u y |C| = 6 u,

halle el módulo de R, si R = 2A -3B + 4C

A B C

A) 26 u B) 28 u C) 32 u

D) 38 u E) 42 u

Resolución

Nos piden \r \.

Nótese que los vectores son colineales, su suma dependerá de la dirección que tengan.

Siendo

|r | = |2Á-3S + 4c | (I)

Nótese que -3B y 4C tienen la misma dirección, podemos sumarlos directamente.

5 i = -3B + 4C

I uego, su módulo será

|s¡| = 3 |-fi| + 4 |c |

|? i| = 3(10)+ 4(6)

I Sil = 54u (a)

Ahora, para hallar R sumaremos2A y Si, tenii-n do en cuenta que tienen direcciones opuestas, por lo tanto su módulo será el valor absoluto (li­la diferencia de sus módulos, es decir

En (I)

R = 2A + Sí

Luego, su módulo será

|b’|= |2 /v- s1|

De (a)

|ff| = |2(8)-54|

|/?| = 38u

Clave (D )

PROBLEMA N.° 2

Dos vectores son proporcionales a 8 y 6. Si la resultante mínima es 20 u, halle el módulo de la resultante máxima.

A) 14 u

B) 28 u

C) 35 u

D) 70 u

E) 140 u

8 '.

I UMBRERAS EDITORES

Veamos

2-» 2 (2 2 ^—4 = - (1 2 ;-1 5 )= - x l 2 ; — x l5 3 3 V3 3 )

- A = (8; -10 )3

Resolución

Nos piden: 6máx

Sean A y 8 los vectores, tal que A = SAr y 8 = 6k. Sabemos que

^máx. = 4 + 6

= Zk+6k

RmSx= l A k (I)

Por dato

^mín.= 4 —6

20 = 8 k -6 k

k= 10 (a)

Luego (a) en (I)

« m á x .= 1 4 (1 0 )

••• «m áx. = 140u

Clave ( É )

PROBLEMA N.° 3

Si 4 = (12;-15), determine las coordenadas del 2 -

vector- 4 .3

A) (6 ;-5 ) B) (24 ;-30 ) C) (8 ;-10 )

D) (4 ;-5 ) E) (16 ;-20)

Resolución

Nos piden las coordenadas de un nuevo vector,— 2

obtenido al multiplicar 4 por el escalar -

Finalmente

^ 4 = (8; -10 )

C lave ( C j

PROBLEMA N.° 4

Sabiendo que A = (5;6) y S = (4;6) halle el mó­dulo de 4 + 6.

A) 9 u B) 12 u C) 15 u

D) 20 u E) 25 u

Resolución

Nos piden |a + b |.

Ordenamos los vectores, y sumamos las respec­tivas componentes.

y (5;6) y >6 = (4; 6) /

4 + 6 = (9; 12)

Luego, hallando su módulo

14 + £51 = a/92 + 122

14 + £?| = 15u

C la v e (C)

8 6

A n á l is is d im e n s io n a l y v r c m iu

PROBLEMA N.° 5

'..ibiendo que A = (13; 11) y S = (7; 3), halle el módulo de A -B .

Resolución

Nos piden1 - * - -A + 3B

A) 5u

II) 10 u

t ) 15 u

II) 20 u

I) 25 u

Resolución

Nos piden U - b|

Ordenamos los vectores y en este caso resta­mos las respectivas componentes.

A = (13; 11),

B = ( 7; 3)

A - 6 = (6; 8)

I uego, hallando su módulo

H

|a - b | = V62+82

A -B = 10u

CLAVE (B

PROBLEMA N.° 6

Sabiendo que A = (4; 6) y B = (2; 1), halle el mó­

dulo del vector — A + 3B. 2

A) 4 u

l>) 12 u

B) 6u C) 10 u

E) 15 u

Lo primero que haremos será hallar el nuevo vector

Í A = Í(4 ;6 ) = (2;3)N 2 2 N

3B = 3(2; 1) = (6; 3)(+>

-A + 3B = (8; 6)

Ahora, hallando su módulo

- A + 3B 2

- A + 3~B 2

= y ¡8 -2 + 62

= 10u

Clave

PROBLEMA N.° 7

Si A = 10 u; B = 10 u y C= 10 u, tal que A l B C, halle el ángulo entre A y B.

A) 37°

B) 45°

C) 60°

D) 90°

E) 120°

8 /

Lu m b r e r a s Ed it o r e s

Resolución

Nos piden la medida del ángulo que forman los vectores A y B.

Usando la ley del paralelogramo

I A +'b \ = J a 2 +B2 +2A6cos0

|c | = V l0 2 +102 + 2(10)(10)cos9

102 = 102+ 102+ 2(lO)2cos0 1

cos0 = —2

0 = 120°

Clave ( E )

PROBLEMA N .° 8

Dados los vectores A y B, tal que | a | = 5 u y » l 3 u, determine el módulo de su resultante.

M 8 u B) 7 u C) 6 u

>) 9 u E) 2 u

RH

Resolución

Nos piden el módulo de la resultante entre los vectores A y B.

Para hallarlo uniremos los orígenes de los vec­tores (libres), obteniendo el ángulo que forman entre sí y, finalmente, usaremos la ley del para­lelogramo.

De la ley del paralelogramo

R = ^ A 2 +B2 +2ABcos60

/? = V52 + 32+ /(5 ) (3 ) ( l/¿ )

R = a/49

.'. R = 7 u

_CLAVE (B )

PROBLEMA N.° 9

Si el módulo de la resultante máxima de dos vectores es 28 u y la mínima es 4 u, determine el módulo de la resultante cuando estos formen 90° entre sí.

A) 12 u B) 16 u C) 18 u

D) 20 u E) 25 u

................................!i

Resolución

Nos piden el módulo de la resultante cuando los vectores sean perpendiculares; para esto debe­mos conocer los vectores.

Sean A y B los vectores, tal que A > B.

Por dato

ANALISIS D IM ENSIONAL Y VECTOItl '

5 máx. - A + 6 - 2 8 U (+)

2A = 32 u/4 = 1 6 u y f í = 12u

Resolución

Nos piden el módulo del vector diferencia, p.11.1 lo cual unimos los orígenes de cada vector.

Ahora, hagamos que los vectores formen 90° entre sí, tendremos

R = Va 2 + 82

R = V l6 2 + 122

R = 20 u

Clave ( D

PROBLEMA N.° 10

Sabiendo que |a | = 5 u y |b | = 6u, determine el módulo de la diferencia entre los vectores.

De la ley de cosenos

t o - í | = Vo2 + b 2 -2obcos0

la - b| = f é + 6 2 - 2(5)(6)cos53°

.-. M = 5u

Clave ( B )

PROBLEMA N.° 11

A partir del sistema de vectores que se muesii.i, determine el vector resultante.

(ABCD: paralelogramo)

A) 3 u

0) 11 u

B) 5 u C) 7 u

E) l u

A) P

D) - P

B) 2P C) Q

E) - Q

K'l

Lu m b r e r a s Ed it o r e s

Resolución

Se pide el vector resultante R.

De la figura: R = M + N + P + Q + S (I)

se puede notar que los vectores M ,N y P for­man un polígono cerrado, por lo tanto

M + N + P = 0

En (I)

~R = 0 + Q+~S (II)

Haciendo un nuevo gráfico, se tiene

La resultante es un vector de igual tamaño que P, pero su dirección es opuesta, es decir, R = -P

Clave ( D )

PROBLEMA N.° 12

I n el gráfico adjunto, halle la resultante de los vectores mostrados.

A) F

B) 2F

C) 3 ?

D) - F

E) -2 F

Resolución

Se pide el vector resultante, para lo cual agru­paremos los vectores de manera conveniente, usando el método del polígono.

Sea

R ~ A^+ B + C + D H-E + F (I)

B

de la figura notamos

I. A + B + C = ? (a)

II. D + ? = F ((3)

Luego (a) y ((3) en (I)

R = F + ? + F

~R = 3F

__CLAvE ( C )

'10

■ A n á l is is d i m e n s io n a i y v i i m m

PROBLEMA N.° 13

l.n el sistema de vectores mostrados determine el vector resultante (M\ punto medio).

A) C B) 2 C C) -2 C

D) -C E) - 3 C

Haciendo un nuevo gráfico

Se tiene que a + d = 2c

En (II)

R = 2c

Clave ( B )

Resolución

Se pide el vector resultante. Agruparemos los vectores convenientemente.

Sea

R = a + b + c + d + e + f + g (I)

En el gráfico notamos que b ,e , f ,g y c forman un polígono cerrado, es decir

b + e + f+ g + c = 0

Hn (I)

R = a + b + c + e + f+ g + d

o

R = o + d (II)

PROBLEMA N.° 14

En el gráfico se muestra un hexágono regular de lado a. Halle el módulo de la resultante de los vectores mostrados.

A) a B) 2a C) oy/2

D) oV 3 E) o V I

' I I

1 UMBRERAS EDITORES

Resolución

Piden el módulo del vector resultante, para lo cual trasladaremos el vector A en forma parale­la hasta que su extremo coincida con el origen del vector 8; lo mismo hacemos con Cy D.

Sea

R — A + 8 + C + D (I)

Del gráfico

Si = 4 + 8 (a)

S2 =C + D (P)

Luego (a) y (P) en (I)

R = S1 +S2

Además, Si es paralelo a S2

I n módulo

fi = 51 + S2= o + a

8 = 2o

Clave (JÉ)

PROBLEMA N ." 15

A partir del gráfico mostrado, halle x en térm i­nos de A y B (G: baricentro).

Q

A) (2o + f>)/3 B) (o + 2f>)/6 C) (~a + b )/6

D) (o + f>)/3 E) (2o + 3Íb)/2

Resolución

Nos piden x en términos de A y 8, para lo cual usaremos la propiedad del baricentro: QG = 2GM-

Además, usaremos también un vector auxiliar que al final debe ser eliminado.

De la figura

En el A(l)

A + n = 3x (a)

«)2

■ A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o u i s

I nel A(ll)

8 = 3x + n

Sumando (a) y ((3)

A + B = 6x

- (a + b )

(P )

Clave (CEn el triángulo sombreado

A B - A —+ - + x = — 4 4 2

PROBLEMA N .° 16

Determine el vector x en función de los vedo- íes A y B, si rpqs es un paralelogramo.

A -B

Clave (A)

A)

<)

l > )

A -B4

2 A -3 84

A -3 6

B)A —26

E)2 A -6

Resolución

Nos piden hallar x en función de A y 8.

Nótese que el módulo de x es una base media.

PROBLEMA IM.° 17

Se tiene dos vectores A y 8, de modo que l.i suma máxima es 15 u y la mínima 5 u. Determine el módulo de cada vector.

A) 10 u; 5 u

C) 8 u; 7 u

D) 7 u; 2 u

B) 12 u; 3 u

E) 12 u; 7 u

Resolución

Nos piden el módulo de cada vector,

sabiendo que

■ máx. —15 u y 5m¡n — 5 u

Recuerde que para la Smáx , los vectores deben formar 0o y para la suma mínima 180°.

01

Lu m b r e r a s Ed it o r e sTl

I ntonces, sean A y B los vectores, tenemos

smáx. = ¿ + e = 15u

^m ín. —A — B = 5 U

A = 10 U

S = 5 u

Clave ( A ;

PROBLEMA N .° 18

11 gráfico muestra tres vectores de igual módulo. Halle la medida del ángulo 0 para que la resul- lante sea mínima.

\) 15°

)) 53°/2

B) 37°/2 C) 45°/2

E) 30°

Note que los vectores A y B ahora caen sobre los ejes de coordenadas.

Y iA + B

Se puede notar que la suma de A y 6 forma 45° con los ejes.

Para que la resultante sea mínima, el vector (A + B ) y C deben formar 180°.

Del gráfico

20 = 45°

.-. 0 = 45°/2

C lave CC

PROBLEMA N.° 19

A partir del gráfico mostrado, exprese x en fun­ción de los vectores A y B (O: centro de la cir­cunferencia).

Resolución

Mus piden 0 para que la resultante sea mínima,

n este caso, vamos a girar el sistema de vecto- i". un ángulo 0, en sentido antihorario.

••t.i acción no altera el módulo del vector re­mítante.

A) (a - £ 0 / 2

B) (2 A -B )/2

C) 3(a - 2 s ) /6

D) 4(a —fi) /3

E) (b —a )/2

14

A n á l is is d im e n s io n a l y v e c i o i i i

Resolución A) 2 u B) 4 u C) 6 u

Nos piden x en función de A y B. D) 8 u E) 10 u

Nótese que el módulo de cada vector es un diá­metro, por lo que O representa el punto medio de ambos.

Del triángulo vectorial sombreado

x + A /2 = S /2

H = (b - a )/2

Clave ( ¥ )

PROBLEMA N.° 20

En el gráfico se muestra un polígono regular de 2 u de lado. Determine el módulo del vector re­sultante del sistema mostrado.

Resolución

Nos piden el módulo de la resultante. Traslucí.i reríios de manera adecuada los vectores, p .it.i usar el método del polígono.

1 ---------------4 u-------------- *

Sea la resultante

R = P + Q + m + n

En módulo

|/?| = |'p + Q + m+"n| (I)

Además

|p + m| = |n + Cj|

En (I)

\r | = 2| P + m |

= 2(4)

.-. |/? | = 8 u

Clave ( j í )

UMBRERAS EDITORES

PROBLEMA N.° 21

n el sistema de vectores mostrado, determine ■I módulo del vector resultante.

PROBLEMA N.° 22

En el sistema de vectores mostrado determine la dirección la dirección del vector resultante.

1 u

\) VI)) 2>/3

B) 2V I C) V I

E) V I

Resolución

slos piden el módulo del vector resultante

R = a + b + c

n módulo

| h | = | o + ó + c |

)el gráfico

/? = ( 4; 2)

B) 30°A) 15°

D) 60°

Resolución

Nos piden: 0fí

Se sabe que 0fi = tan

C) 45°

E) 75°

R*(I)

Para esto debemos reducir el sistema.

/A

aliando su módulo

| r | = V 4 2 + 2 2 = 2 V I u

Cl a v e ( B

En el eje X

Rx= 10cos37°-5

Rx = 8 -5

fí = 3 u ( a )

)(>

A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o u i

I n el eje Y

R = 10sen37°-3

Ry = 6 -3

Ry = 3u

l inalmente, (a) y (¡3) en (I)

0R = 45°

((3)

Cl AVE (C )

PROBLEMA N.° 23

Un el sistema de vectores que se muestra, de­termine el módulo del vector P para que la re­sultante sea vertical.

Descomponiendo los vectores

Del gráfico

Pcos37°=20

PUJ=2°P= 25 u

Clave U

K-f20 V T

\4 5 °

X

A) 18 U B) 20 uC) 25 u

D) 30 u E) 35 u

PROBLEMA N.° 24

Sabiendo que A = 6/ +2 j y 6 = 2/ + 4y, determino el unitario del vector resultante.

A) ¿ ( 7 / + 24y)

B) |(4 ? + 3y)

C) | ( /+ J )

Resolución

Nos piden P para que la resultante sea vertical; esto se cumplirá si y solo si en la horizontal se verifica Rx = 0.

D)

El

<)7

Lu m b r e r a s Ed it o r e s

Resolución

Nos piden

(a)\R\

Hallando en primer lugar el vector resultante

A = 6i + 2j \- . . ) (+)8 = 2/ + 4; <

R = 8i + 6j jpj

Calculamos su módulo

|fí| = V82+62

|ff| = 10u (y)

Finalmente, (P) y (y) en (a)

8/ + 6/ 4 í 3 -JJLp — ------------- — — / H— J

R 10 5 5

_ C la v e ( b )

PROBLEMA N.° 25

Determine el módulo de la resultante de los

vectores mostrados ( A = 2 u ).

A) V7

B) 2-V7

C) V5

D) 2>/5

E) 5V7

Resolución

Nos piden el módulo de la resultante.

Examinemos el gráfico:

Podemos deducir que

| s j = 4u

Ahora, usaremos la ley del paralelogramo

| A + B | = v/a2 +B2 + 2ABcos0

Reemplazando los valores

| A + b| = i j l 2 + 4 2 +2(2)(4)cos60°

= ^28

| a + s | = 2 a /7 u

Clave | B )

<)H

A n á l is is d im e n s io n a l y v e c io h i •,

N iv e l in t e r m e d io

PROBLEMA N.° 26

II,ille |/?|; sabiendo que

H - A — B + 3C 2

donde

4 u-

I -2 U-H

A) 2u

D) 8 u

H h

B) 4u

-8 u -

2 B

C) 6u

E) 10 u

PRO BLEM A N.° 27

Halle la resultante del conjunto de vectore mostrados en la figura.

A) 2A B) 3E C) D + E

D) B E) O

Resolución

Nos piden el módulo de R, siendo

R = A - - f i + 3C 2

(I)

Como los vectores son paralelos, hallaremos la representación cartesiana para cada uno

A = 4 l; 8 = 4/; C = —2/

l n (I)

8 = 4 /— (4 /) + 3 ( —2/)2

fí = 4/ - 2 ¡ - 6 /

8 = - 4 /

I n módulo

|r | = 4 u

Clave ( B

Resolución

Nos piden la resultante del sistema de vectores mostrados.

Representaremos los vectores como pares or

denados. De la figura

A = [3; 2)

B = ( l;3 )

C = (2 ;-3 ) (+)

D = ( -2 ;-2 )

£ = ( -4 ;0 ) /

S=(0; 0)

5 = 0

Clave (j¡)

')■)

Lu m b r e r a s Ed it o r e s

PRO BLEM A N.° 28

Sabiendo que la cuadrícula mostrada es de 1 cm de lado, determine el vector resultante.

X(cm)

B) - 2 i C) 4/

E) 2 /+ 4 j

A) 2/

D) - 4 /

Resolución

Nos piden el módulo de la resultante. Exprese­mos los vectores en función de pares ordena­dos.

Del gráfico

A + B + C = S =(0; 4)

i inalmente

5 = 4 /

Clave ( C

PROBLEMA N.° 29

A partir del siguiente sistema de vectores, de termine el vector resultante.

A) i - j D) 2j

Resolución

B) i + j C) 2i - j

E) - j

Nos piden el módulo de la resultante del sistema de vectores mostrado.

Hallemos la representación cartesiana de cada vector y sumamos.

Del gráfico

A = (2; 2) \

B = (0 ;-3 ) (+)

C = ( - l ; 2 ) ¡

A + B + C = S =(1; 1)

S = i + j

Cla v e ( B )

LOO

A n á l is is d im e n s io n a l y v e c io u i •

PROBLEMA N .° 30

Calcule el módulo de F para que la resultante del sistema se oriente según la perpendicular al iodo AC.

PROBLEMA N.° 3 I

A partir de los vectores que se muestran dotoi mine el módulo de su resultante.

A) 16 u

li) 18 u

C) 20 u

n) 22 u

I ) 24 u

20 u

,cvá 5 3 ° 60°C

Resolución

Nos piden el módulo de F.

Como la resultante tiene dirección perpendicu­lar al lado AC; la resultante horizontal será nula. Descomponiendo los vectores.

A) 5V2

D) 5

B) V5 C) 10

E) 15

l'or condición

1 n el eje X

Fcos60°= 20cos53°

"iM iF=24 u

Cl a v e (E

Resolución

Nos piden el módulo del vector resultante.

Si notamos los ángulos, deducimos que los vec tores mostrados son colineales, es decir

y como tienen direcciones opuestas la suma será mínima.

-h riín .- 1® 5 5 U

Clave (D >

101

Lu m b r e r a s E d it o r e s

PROBLEMA N.° 32

Determine el módulo del vector resultante.

A) 30 u B) 40 u C) 50 u

D) 60 u E) 100 u

Resolución

Nos piden R.

Agrupemos convenientemente los vectores je n este caso hallaremos la resultante de los vecto­res de igual módulo y forman 60° entre sí.

I ,i resultante será

R' = 10V3-(V Í)

R‘= 30 u

I ¡nalmente, sumaremos vectorialmente R' y 40 u,

Note que forman 90° entre sí.

De la figura

R = a/402 + (/?')2

Pero: R' = 30 u

Luego

r = 4 402+302

.-. R=50 u

Clave ( c )

PRO BLEM A N.° 33

Si la resultante del sistema de vectores mostrado es vertical, determine la medida del ángulo 0.

A) 16° B) 37° C) 45°

D) 53° E) 74°

102

■ A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o u i •,

Resolución

Nos piden el módulo de la resultante sabiendo que es vertical. Vamos a descomponer los vec­tores dados en los respectivos ejes

Resolución

Nos piden el módulo de la resultante, para lo cual descomponemos los vectores adecuada mente.

2Ocos0 u X

Por dato

Como la resultante del sistema es vertical, en la horizontal la resultante debe ser nula.

Del gráfico

2Ocos0= 10cos37° + 8

2Ocos0=8+8

4cos0=—

5

.'. 0=37°

Clave ( B

5+5sen37°

Donde

Ir l = V¿2 +92

= V64 + 81

IRI = a/ 145 u

Clave ( D )

PROBLEMA N.° 35

Determine el módulo de la resultante del sistr ma de vectores mostrado (¿>=1 u).

PROBLEMA N.° 34

Dado el sistema de vectores, determine el mó­dulo de su resultante.

'79 u

í95 u

Ou

A) 2 a/ I u

D) a / Í9 u

B) . 3a/ I u C) a/ Í I u

E) 2a/ I u

10 3

Lu m b r e r a s Ed it o r e s

Resolución

Nos piden el módulo del vector resultante.

Sea R = A + B + C , en el módulo sería

|fí| = | !+ S + c |

Examinemos la gráfica

Notemos que

O P=A+C

Además

U + c | = 3u (I)

Reordenando la figura

Aplicaremos la ley de paralelogramo a los vec­

tores B y (a + c ).

r \ = \B 2+ \a + c \ 2 + 2b \a + c \ c o s 6 0 °

R| = ^ l 2+32+ 2 ( l) ( 3 ) - ^ j

PROBLEMA IM.° 36

En el trapecio se indican los vectores A y B . Determine el módulo de la suma vectorial.

(M: punto medio)

4 u

A) 4 u B) 10 u C) 12 u

D) 16 u E) 20 u

Resolución

Nos piden el módulo del vector resultante. Para lo cual trasladaremos adecuadamente al vector A.

4 u

De la figura, los triángulos sombreados son con­gruentes.

Luego

PQ=~R = A + B

De donde, en módulo será

■................................

PROBLEMA N .° 37

Dado el paralelogramo ABCD, determine el mó­

dulo del vector resultante.

B C

A D

A) 10 u B) 5u C) 15 u

D) 20 u E) 25 u

Resolución

Nos piden el módulo del vector resultante, para lo cual trasladaremos a los vectores de manera

adecuada.

Su módulo

7? = |x+"y+T| (I)

De la figura notamos que(z + y) y x son collnenlc,

Luego

En (I)

|/?| = |x| + |y + z|

= 5 + 10

|/?| = 15 u

Clave (» )

PROBLEMA N.° 38

Determine el módulo de la resultante de los vectores mostrados, si se cumple

|a| = |c ] = |>/3 b| = W 3

M: punto medio

A n á l is is d im e n s io n a l y v i c m u i •.

A) 6 u B) 8 u C) 12 u

Sea R = x + y + z D) 16 u E) 20 u

105

M im b r e r a s Ed it o r e s

Resolución

Nos piden el módulo de la resultante.

Sea R = A + B + C

Entonces: |r | = |a + B + c | (5)

De la figura

Se puede notar que el vector B es paralelo con Á i C, en (§)

Ir I= U + c I+Ib I (i)

Nótese I a | = | c |

l ’or propiedad U + c | = |a |>/3

I liego en (I)

Ir M W 3 ) V 3 + 4

Ir 1 = 16 u

Clave (6)

PROBLEMA N.° 39

II hexágono regular que se muestra tiene lado L. Determine el vector E en función del vector C,

M / ’ 2A + 2B-2D + C .

I O lí

A) 4C B) 3C C) 2C

- 3 —D) O E) -C

2

Resolución

Nos piden determinar el vector E en términos de C, para lo cual vamos a trasladar algunos vectores de manera conveniente.

Redibujando el sistema

D

De la figura sombreada

~B = C + A + D

Donde

C = -A + B -D

Multiplicamos x 2

2C = -2A + 2B -2D (I)

Del dato

E = -2A + 2S-2D + C

2CDe (I)

? = 2C + C

E = 3C

Clave ( § )

# ...............................

PROBLEMA N.° 40

En el sistema vectorial mostrado halle x en función de A y B, si ISI = 2¡ A I.

Resolución

Nos piden x , en términos de A y B. Traslada­mos de manera conveniente los vectores y com­pletamos el triángulo vectorial.

A n á l is is d im e n s io n a l y v e c i o i i i \

En el triángulo sombreado

2x + — = A 2

2x = A - - 2

x = - ( 2 A - e )4

Clavi ( E )

PROBLEMA N.° 41

Dos vectores de módulos iguales a 4 u forman 74° entre sí. Determine el módulo del vector di ferencia de dichos vectores.

A) 1,2 u B) 2,4 u C) 3,6 u

D) 4,8 u E) 5,6 u

Resolución

Nos piden el módulo de la diferencia de los vm tores.

Sean los vectores A y 6, los graficaremos segun los datos

1 0 /

I u m b r e r a s E d it o r e s

Como | A | = | S |, el triángulo vectorial OPQ es isós- i ('les. Del vértice O bajamos la ± al lado desigual y esta resulta ser la mediana, mediatriz, bisec­triz, altura.

I n el A AMP

2

|a - s| = 2/WP (I)

Además

MP = 4sen37° = 4(3/5)

.-. M P= 2,4

I inalmente, en (I)

Ia - b1 = 2(2,4)

.-. |a - s1 = 4 ,8 u

C l a v e ( D )

PROBLEMA N.° 42

n el paralelogramo mostrado, M y A/son puntos

nedios. Calcule a en función de x e y.

M

A) 3y~2x B) y - 3 x C) ( y -2 x ) /3

D) ( y - 6x ) /2 E) { 2 y - 3 x ) / A

Resolución

Se pide a en términos de x e y.

P

Introducimos el vector auxiliar P.

• En el AM C D tenemos

o + 2x = P /2

P -o = 2x (|)

2

• En el A ACD

P + 2x = y

P = y - 2 x (II)

• Luego (II) en (I)

2

y -6 x

C l a v e

0 8

A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o h i *,

PROBLEMA N.° 43

l letermine el módulo de la resultante del sistema de vectores mostrados.

A) 2u B) 4 u C) 6u

D) 8u E) 10 u

Resolución

Nos piden el módulo de la resultante

Sea la resultante

S = o ^ + c + c¡- n 2 n

S = n

En módulo

|s|=|n|=2u

C l a v e Í A

PROBLEMA N.° 44

Determine el módulode la suma de los vectores mostrados si el radio de la circunferencia de centro O es 2 u.

A) V Iu B) S u C) W 2 u

D) 2 -S u E) i S u

Resolución

Nos piden el módulo de la suma para el sistema mostrado.

Se puede notar:|o | = |b | = |e| = 2u

Usando el método del polígono.

S

1 0 ')

i i m b u i r a s Ed it o r e s

Irni'inos S = a + b + c + d + eb

)r l.i figura S = a + 2b

n módulo

\l\ = Ja2+(2bf = V 22 + 4 2

. | 's | = 2 a /5 u

C l a v e ( í )

ROBLEM A N .° 45

•etermine el módulo del vector resultante.

) l u B) 2u C) 3u

) 4 u E) 5u

esolución

os piden el módulo del vector resultante,

s.iremos el método del polígono para dos vec-H OS

En el triángulo sombreado

S = a + b

Su módulo

|s | = 2V3-cos300

.-. |s| = 3u

CLAVE (C)

PROBLEMA N.° 46

Si ABCD es un rectángulo, determine el vector resultante del sistema de vectores mostrados.

4 B

1-------- 6 u ------- *--------6 u

A) (-3 / + 4 /)u

B) ( - 6 / - 4 / ) u

C) (6 / -4 /) u

D) (4 / -8 /) u

E) (3/ + ioy)u

II )

■A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o u i

Resolución

Ñus piden determinar al vector resultante,

■..iliemos que ABCD es un rectángulo

v i

i >—►: i x

b

Usaremos el método del polígono, para lo cual nasladamos paralelamente al vector b y traza­mos la resultante.

I'.ira determinar la resultante en función de los i (imponentes de la figura

/? = (-6 /-4 y ')u

C la v e ( b )

PROBLEMA N.° 47

I n el sistema mostrado, halle el ángulo a, sa­biendo que IA I = 6 u; IB | = 5 u.

A) 16° B) 30° C) 37°

D) 45° E) 60°

Resolución

Nos piden determinar la medida del ángulo a.

A partir de la figura construyamos un triángulo.

Usaremos la ley de senos

\A\ _ \B\sena sen30°

6 _ 5sena (1/2)

sena = 3/5

a = 37°

_ C lave (C )

PROBLEMA N.° 48

Si se verifica 2A + B = 0, donde A = (x;y); S = (3;x), halle los valores d e x e y .

11 1

UMBRERAS EDITORES

lesolución

le pide determinar x e y. Para que se verifique ,3 relación

24 + 6 = 0

)el dato 2(x; y) + (3; x) = 0

(2x;2y) + (3;x) = 0 = (0; 0)

(2x + 3; 2y + x) = (0;0)~ i j t

2x+3=0 a 2y+x=0

3 3x = — a 2y — = 0

2 2

y = 3/4

C l a v e ( § )

ROBLEM A N.° 49

l R1 =A + B, Rj =C — B y

i 2 /-3 / ; 6 = 4 /+ 11/ yC = - 7 / - 7 / ,

.illn la resultante entre Ri y 62 sabiendo que irrnan un ángulo de 37°.

) 27,9 u

) 29,7 u

) ¡0,2 u

) ¡2,4 u

) 40,6 u

17

Resolución

Se pide el módulo de la resultante entre R i y 6 2 ;

hallaremos cada vector

• « 1 = (2/ - 3 / ) + (4/+ 11/)

Ri = 6 /+ 8/

• R2 = ( - 7 / - 7 . / ) - ( 4/+ 1 1 /)

Rz= ( -1 1 /-1 8 /)

Graficando los vectores Ri y R2, y usando el mé­todo del paralelogramo

Además

j« i| = 10u

|«2| = 2 1 ,1 u

Tendremos como módulo

| R | = V ^ i + + 2RiR2 eos 37o

|ff| = V l0 2+ (21 ,l)2+2(10)(21,l)(4/5)

| r | = 2 9 ,7 u

_CLAVE ( § )

A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o u i s

PROBLEMA N.° 50

l l gráfico muestra un cilindro recto de radio R y altura h. Desde el centro de la base inferior se (onstruyen 12 vectores que terminan en los 12 puntos equidistantes A, B, C, ..., entre sí. Halle el módulo del vector resultante.

A) 10h B) U h C) 12/?

D) 13/7 E) 14/7

Resolución

Nos piden el módulo del vector resultante.

Al descomponer los vectores, notamos que 2 a 2 sus componentes de la base se anulan.

Es decir

A + G = 2~h

~B+~H = 2h

C+7=2/7

~F + M = 2h

~R = 6Í2h)~R = 12h

En módulo

|r | = 12/7

Clave

PROBLEMA N.° 51 t

Halle a y | A | para que la resultante de los 3 vec tores mostrados sea nula.

Si ISI = 7 u y ICI = 25 u

A) 12 u B) 18 u C) 24 u

D) 30 u E) 36 u

Resolución

Nos piden a y el módulo del vector A, para lo cual construiremos un polígono. Como la resul tante es nula el polígono debe ser cerrado.

113

Lu m b r e r a s Ed it o r e s

De la ley de senos

A Bsen(82°-a) sen(8°+a) sen90°

Entre B y C

7__________ 25sen(8°+a) 1

7sen(8°+a) =

a = 8°

E n tre /íyC

A

25

Bsen74° sen90°

A = 24 u

C lave (C

Resolución

Nos piden determinar el vector resultante, para lo cual expresaremos los vectores como pares ordenados.

Del gráfico

A + B + C + D = R = ( - l ; 2)

R = - i + 2j

C lave (C)

PROBLEMA N.° 52

En el sistema de vectores mostrados, determine el vector resultante.

Yl

PROBLEMA N.° 53

Dado los vectores [ A (= 10 u; 18 1 = 25 u; | C | = 40 u, determine el vector D para que la resultante del sistema de vectores sea nula.

/ 6V

/

53 ° \ /(,74oX

/37 0 \ .

c . D

A) / —4/ B) - / 3/ C) - i + 2j A) 18/ B) -12 / C) 23/

D) / - 3/ E) -2 / + 4J D) -25/ E) 40/

I 14

A n á l is is d i m e n s i o n a l y v e c io u i

Resolución

Nos piden determinar el vector D.

Vamos a descomponer los vectores en los res­pectivos ejes sabiendo que la resultante en cada uno de ellos debe ser nula.

PROBLEMA N .° 54

Halle el vector x + y en función de los vectorc

o y b.

A) - b + Gr 3

B) 6 + 2cT

O 5S

D ) | í

E) b + —a 2

Resolución

Nos piden la suma de x e y en términos de lo vectores a y b. Para esto descomponemos lo vectores de manera conveniente

En el e jeX

7 + Dx =30

Dx = 23

En el eje Y

8+24 = 32+DV

Dy= 0

Finalmente

D = DX¡ + Dyj

D = 23/

(I)

( I I )

C la v e (C

Del gráfico

x = 2 n+m

y = 2 m + n

x + y = 3(m + n) (I)

Lu m b r e r a s E d it o r e s

Además

b = 2Ím + n) (II)

Luego (II) en (I)

3 -x + y = —b

Clave @

PROBLEMA N.° 55

Determine el vector x en función de los vecto­res A y B si se sabe que M y N son puntos me­dios de los respectivos lados.

A) 1 /6 (2A - b )

m - ( 2 a - b)' 3

C) - Í A - 2 b )' 3

D) -(2 A -3 B )5

I.) 1 /3 (a - b )

Resolución

Nos piden x en términos de A y B. Usaremos la propiedad del baricentro.

GR =2NGR

I 16

En el triángulo sombreado

B -» ——+ 3x = A 2 _- - B

3 x = A —2

x = - ( 2 A - b )6

_CLAVE (A )

PROBLEM A N.° 56

Halle x en términos de a y c, si P es punto me­dio del lado del paralelogramo que se muestra

en el gráfico.

A) - ( o + c) B) —(0 + 0/ 2) C) - l / 2 ( o + c)

D) - 1 / 2(0 + 2c) E) l / 2 ( o -7 )

Resolución

Nos piden determinar x en términos de o y c, para lo cual completaremos el gráfico y trasla daremos los vectores de manera conveniente.

A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o iu

1 n el triángulo sombreado

X H 1-C = 02

x = - - ( a + 2c) 2

C l a v e ( D )

PROBLEMA N.° 57

l.n el sistema mostrado, determine la suma de A y 8 en función de los vectores a,b y c .

Se verifica que

A = a + b + c

Para ^

(I)

- b

A) a + b + c B) 2(o + c) C) 2(b + c)

0) (o + fa) E) o - c

Se verifica que

~B = c - b + a

Luego hacemos (l)+ (ll)

A = o + ib + c

8 = c - ü + a

A + 8 = 2(o + c)

(II)

(+)

CLAVF i b )

Resolución

Nos piden A + B en términos de a, b y c.

Hallaremos cada vector de manera indepen­diente, para luego sumarlos

De la figura

Para A

PROBLEMA N.° 58

Sean los vectores

x = 3ti + 4 j - 5 k ; y = 2i + ( t - l ) j + k y

z = 3/ + 7y +0,5 tk.

Determine el tiempo para el cual la result.inli

de los vectores sea paralela al plano xy.

A) 2 s

D) 8 s

B) 4 s C) 6 s

E) 10 s

I /

lUM BR ER AS EDITORES

Resolución

Nos piden el tiempo para el cual la resultante sea paralela al plano xy, para esto la componente en el eje Z debe ser cero.

Es decir

"x = 347 + 4/ - 5k

~y = 2l + ( t - l ) j + k ](+)

z = 3/ +7 / +0 ,5 tk >

R = { 5 + 3 t)i + (10 + t) j + (-4 + 0,5 t)k

De la condición

( -4 + 0,5 t)í< =0

- 4 + 0,5t = 0

t = 8s

C la v e (D

PROBLEMA N.° 59

Dado el gráfico mostrado, determine

|a + B + C + d |, si se trata de un cubo de ladoigual a 4 u.

A) V 5u B) 4 ^6 u C) 4-^5 u

D) 8sÍ6u E) 4-v/3 u

Resolución

Nos piden el módulo del vector resultante. Representaremos como par ordenado cada vector y luego hallaremos el módulo pedido.

Del gráfico

A = (0; 4 ; 4 ) - (4; 0 ; 4) = ( - 4 ; 4 ; 0) \

B = (4 ; 4 ; 4 ) - (4; 0 ; 4) = (0; 4 ; 0)

C = (0; 4 ; 0) - (4; 0; 4) = ( - 4 ; 4 ; - 4)

D = (4; 4 ; 0) - (4; 0; 4) = (0; 4 ; - 4 ) I

(-0

A + B + C + D = S = ( - 8 ; 1 6 ; - 8 )

|s"| = V s 2 + 162 +-82

Is"I = S-n/6 u

Clave ( D

I 18

A n á l is is d im e n s io n a l y v e c io io

PROBLEMA N .° 60 PROBLEMA N.° 6 1

Determine el módulo de R = A + 6 + p, siendo p Determine el módulo del vector resultan..........los vectores A y B ubicados en el cubo m ostudu

un vector unitario.

A) 4 u

D) 2u

B) l u L ) á U

E) 0

Resolución

Nos piden el módulo de R. Para hallar dicha re­sultante, trasladaremos de manera conveniente los vectores.

Se sabe que

R — A H- B + JU.

Del gráfico

A + B = ¡x

En (I)

R = J I + Jl í

R = 2|I

En módulo

R = 2 u

(I)

C la ve ÍD

A) 2y¡5 u

B) 4 u

C) 6 u

D) 4 J 5 u

E) 6a/5 u

Resolución

Nos piden el módulo del vector resultante de los vectores A y B.

Hagamos coincidir el origen del vector A con el origen del sistema de ejes coordenados.

kz

k— -2 u-

I I '

Lu m b r e r a s E d it o r e s

Ahora, hallamos los vectores en función de sus componentes y sumamos.

A = (2/ + 2j +p£)u

S = ( 2 / - ^ ) u

A + S = (4/ + 2 /)u

\a + b \ = ^ 4 2 +22

|a + b | = 2 V 5 u

_ C la v e (A)

PROBLEMA N.° 62

Halle el módulo de a — b si se sabe que a=13 u, b 19 u y que el módulo de su suma es 24 u.

Por dato, tenemos la suma. Para relacionarla usaremos la ley del paralelogramo

|o + b| = a 2+ b 2 +2abcosQ

242= 132+192+2ab cos0 (II)

Sumamos (I) y (II)

| a - b f +242 = 2 ( l3 2 +192)

Operamos

| o - b f =484

|o -b f= 2 2

CLAVE ( B )

A) 21

li) 22

C) 23

D) 32

I) 33

Resolución

Nos piden el módulo de la diferencia entre los vectores o y ó .

De l.i ley de cosenos

\a -b \ = ^ a 2 +b2 -2ob-cos0

Mendo 0 el ángulo formado por los vectores

PROBLEM A N.° 63

Si a + b + c = 0 y I o I = 2, |b | = 5 y |c | = 8, calcule

o-fa.

A) 15 B) 25 C) 35

D) 40 E) 45

Resolución

Nos piden el producto escalar entre a y b, es decir

a b = a b -cos0 (I)

De la condición

o + b + c = 0

A n á l is is d im e n s io n a l y v e c i d i i i

Tomando módulos y elevando al cuadrado

|a + fa| = | — c |

De la ley del paralelogramo

! a | + 2 afocos8+|fc| = |c |

| o [ + 2 a-b +|fa| = |c |

Reemplazando los datos

22 + 2o-b + 52 = 82

Operando tenemos

o-fa = 35

Clave ©

PROBLEMA N.° 64

Dado los vectores a = (5; 2); b = (~3; 4) y c = (7;4), resolver la siguiente ecuación vecto­rial 2x + 5 o -3 b = 4c.

A) (-3 ; 9) B) (-3 ; 6) C) (3; 6)

D) (6 ;-3 ) E) (9 ;-3 )

Resolución

Al resolver la ecuación vectorial debemos encon­trar el valor de x que satisfaga dicha ecuación.

Es decir

Resolviendo tenemos

2x = (-6; 18)

x = (-3;9)

C lave (A)

PROBLEMA N.° 65

El vector c se puede expresar de la siguiente manera: c = ra + sb. Si c = (9;4), o = (2; 3) y i> = (l;2), determine sr.

A) 1 B) 49 C) 81

D) 16 • E) 25

Resolución

Debemos tener en cuenta que rysson númenc.

reales.

Reemplazando los vectores en la expresión

c = ra + sb

(9; 4) = r(2; -3 )+ s ( l; 2)

(9; 4 )= (2r+s;-3r+2s)

Identificando componentes 2r + s = 9

2 s -3 r= 4

Operando

r = 2 a s=5

2x + 5(5; 2) - 3(—3; 4) = 4(7; 4)

2x + (25; 10) + (9; -1 2 ) = (28; 16)

Finalmente, nos piden

sr=52=25

C la v e ( j F )

IUM BRERAS EDITORES

PROBLEMA N.° 66 PROBLEMA N.° 67

Halle un vector unitario paralelo a la resultante Un vector P, cuyo módulo es 6 u, tiene las trc .de los vectores A = (2; 2; 2) y B = (1; -1 ; -1). componentes de igual valor. Determine P.

A)B) v h (2;0;3) A) W i (1;1;1)

C) -2 a/3(—1; — 1; 1)

D) 2a/3(1; 1; 1)

B) -^=(1; 1; 1)

Resolución

Nos piden un vector unitario ü, tal que sea para­lelo al vector A + B; es decir, podemos determi­nar el unitario de la suma y este será el vector pedido.

(a + b)u - U a +B = ■

\a + b ¡(I)

Hallamos la suma

A = (2; 2; 2)

's = (1; — 1; — 1)(+)

A + B = (3; 1; 1)

Cálculo del módulo de la suma

\ a + b \\ = s + T + T

|a + b |= V í T

l inalmente, en (I)

„ „ 1 u = ua+b

Clave (E

Resolución

Nos piden hallar P.

Sea P = {Px.Py.Pz)

Y su módulo

\p \ = y[px +Py + Pz ' Per0

Se sabe que Px=Py=Pz-

Entonces

|p | = ^ = PxV 3 = 6

Px = 2 a/3

Luego en (I)

P = ( 2^3; 2^3 ; 2^/1)

= 2^3(1; 1; 1)

.-. P = 2a/3(/+ ji+ k )

(I)

C la v e (D

122

I IA n á l is is d im e n s io n a l y v e c io u i

PROBLEMA N .° 68

Halle U x b | , si feI = 2 u y A + B + C = 6/

A) 2^3 u B) 20V3 u C) 36 u

D) 16->/3 u E) loVIu

Resolución

Nos piden el módulo del producto vectorial entre A y B.

Es decir

|A x B | = |A |s |s e n 0 (I)

Donde 0 es el ángulo entre A y B; de la figura 0=90°.

En (I)

|a x b | = |a ||b | , .1 1 1 11 1 (a)

Del dato

A + B+C = 6/; además|c| = 2u

De la figura

C está sobre el eje X

C :—2/

En el dato

A + B — 2/ = 6 i

A +~B = 8/

El vector suma entre A y B está sobre el eje 1 X

Redibujando los vectores

Podemos obtener

| a ] = 4u y | B | = 4t/3 u

Finalmente en (a)

| A x B | = 16^3 u

= 16V3u

C l a v e ( D

PROBLEMA N.° 69

Dados los vectores P = (n; 1) y Q = (2n; n), halle n para que sean paralelos.

A) -1 B) 1/3 C) 2

D) -1 /2 E) 3

12 I

UMBRERAS EDITORES

Icsolución

los piden n para que P 1t Q.

abemos que para tal condición basta con que n vector sea múltiplo del otro, es decir

P = K Q /K e R

(n; l)=K (2n ; n)

(n; 1)=(2Kn; Kn)

’ualamos los respectivos componentes

n = 2Kn -> K= 1/2

. l= K n n=2

_C LAV E (C

ROBLEM A N.° 70

ea A = ( l ; - l ; l ) y B = (2 ; l; -1 ) , halle el vector

, de tal manera que se verifique A xP = B.

) (2; 0; -1 ) B) (2 ;-1 ; 1) C) - ( l ; - 2 ;4 )

4E) — (1; — 4; — 2)

esolución

os piden P, tal que se verifique A xP = B sien- o~P = (Px -,Py-,Pz)

, decir

AxP= s

l \k + P i +P2j )

-(-Pzí +Pyi< + Px})

tdenando, tenemos

P-{~Py-Pzy + {px -Pz)i+{Py-Px)í<=( 2 ; l ; - l )

Identificando se tiene Py+Pz= -2

P*~Pz= 1

Py+Px=-1

Resolviendo

Px= l/3 ;P )/= -4 /3 y P z= -2 /3

Finalmente

P = - ( l ; - 4 ; - 2 )

CLAVE (E

PROBLEMA N.° 71

Determine qué vector debemos sumar al vectoi (3; -2 ; 4) para que se obtenga el vector (8; 0; 0).

A) (5; 2 ;-4 ) B) (4; 2 ,-1 ) C) (5; 0 ;-1 )

D) (2; 0; -1 ) E) ( - 4 ; - 2 ;0 )

Resolución

Sea el vector pedido A = (Ax;Ay;Az)

Luego, por condición del problema tenemos que

A + (3; - 2; 4) = (8; 0; 0)

(Ax;A y;A z)+(3 ;-2 ; 4)=(8; 0; 0)

(Ax+ 3; Ay- 2; Az+4)=(8; 0; 0)

Identificando las componentes

Ax+3 = 8 -> Ax=5; Ay-2 = 0 A =2

y Az+ 4= 0 Az= - 4

Finalmente, el vector A será

A = (5; 2 ;-4 )

C la v e ( A

24

A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o ii i •>

PROBLEMA N.° 72

Encuentre el producto vectorial de los vectores

A = 3i + Aj +2k y B = i + 3j -S k

A) -26 / + 17y + 5k

B) -13/ + a í

C) 7 /— l l / + Sk

D) 12/— 7/ + lOk

E) 1 1 / - 2 2 / + 5/C

A) (—1; 0; 1) B) 2(1; 0; 1) C) V 2 ( l;0 ; l)

D) e)

Resolución

Nos piden un vector unitario, perpendicular al plano formado por otros vectores.

Por definición, el vector _L al plano formado por A y B es su producto vectorial.

Resolución

Nos piden el producto vectorial entre A y 6.

Por definición

/ 7 í:A x B = *x ¿z

«x

Reemplazando los valores correspondientes

AxB = /

-(4 Í + 6 /-1 5 /) ,

- (-20/ + 9k+2j)

Ordenamos

A xB = (-26 / +17/ + 5k)

Clave ( A

PROBLEMA N.° 73

Halle un vector unitario perpendicular al plano formado por los vectores

A = (2 ;3 ;-2 ) y B = ( l ; 2 ; - 1 )

Por lo tanto

(a x b )

Ia x b I(a)

Hallamos A xB

A xB=x

{ük — 4/ — 2/) A

Ordenamos

-> ~AxB = l+ k

Su módulo

IA x fil = V2

(—3/+ 4/c-2y)

En (a)

Clave (E

12'.

I UMBRERAS EDITORES

PROBLEMA N .° 74

líos vectores A y B d e 3 u y 5 u , respectivamente, lorman un ángulo de 37°. Determine el módulo de la suma y de la diferencia e indicar el menor

módulo.

A) 1,18 B) 2 ,26C) 3,16

D) 4,32 E) 5,81

Resolución

Mos piden tanto el módulo de la suma como el ■nodulo de la diferencia,

draficando los vectores y usando la ley del para- elogramo para la suma y la ley de cosenos para ,i diferencia.

.ilculo de |A + S| del gráfico

| A + B | = -y/32 + 52 + 2(3) (5) eos 37°

|a + b | = a/58

|a + b | = 7,62u

.ilculo de |a - b | del gráfico

|Á - B | = -y/32 + 52 - 2(3)(5)cos37°

|a b | = V io

|a - b | = 3,16u

Clave ©

I 71)

PROBLEMA N.° 75

Encuentre el valor de o, de manera que los vecto res A = (-o ; z) y B = (-1; 3) sean perpendiculares

A) - 3 B) - 4C) 4

D) - 6 E) 6

Resolución

Nos piden a, tal que A _L B . Por condición de peí pendicularidad, se debe verificar que A-B = 0.

Es decir

~A-~B = (-a ; 2) • (—1; 3) = 0

o+6= 0

o = - 6

_C LAVE ©

N iv e l a v a n z a d o

PROBLEMA N .° 76

Determine el vector

R = A + f3 + C + D + £ + F + 6 , si la figura es un hexágono regular de lado a.

A n á l is is d im e n s io n a l y vec m u i

A) — (—2/ + a/ 3 / ) 3

C) | { S i - j )

D) 0 (2/ + Í3 j)

B) o ( - 2 / -2 / )

E) a- ( i + S j )

En (I)

R = 2ai + ay¡3j

R = a(2i + ¡3 j)

CLAVI ( ¡ i )

Resolución

Nos piden hallar el vector resultante del sistema de vectores mostrados.

PROBLEMA N.° 77

En el gráfico que se muestra, determine x + y.

Del gráfico

R = A + 5 + C + P + E + F + G~F

R = 2F + G

-1 X

Reconstruyendo la gráfica, nótese que

IGI = oV3 u y IFI = 2o u

A) - J la ( i+ j)

B) | 0( i - ^ ) ( - / - y )

C) £ (3

D) £ (2 - V 3 ) ( - /+ / )

E) £ ( 2 -> /2 ) ( /+ / )

12/

I UMBRERAS EDITORES

Resolución

Nos piden determinar la resultante entre x e y . Consideremos los datos geométricos del pro­blema.

PROBLEMA N.° 78

En el gráfico se muestra un cuadrado cuyo lado mide dos unidades y un arco de circunferencia. Determine el vector a.

De donde

I. En el A sombreado I

y = a —:— \¡~n (a)

En el A sombreado II

x = q\ —- l/' + n ((3)

>umando (a) y ((3)

x + y = a

A)

B) (V2-f)(-/-;)

C) £ { i + j )

D) (2 -V 2 )( -? + 7 )

E) V 2 ( / - / )

Resolución

Nos pide determinar a . En términos de los vet tores unitarios.

Examinando el gráfico

Cl a v e ( E 2-V2

178

■A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o h i •.

Sea el vector

a = mi + nj ^

Debemos determinar los valores d e m y n .

Se tiene

o = ( 2 - ^ ) ( - / ) + (2 -V 2 ) ;

a = ( 2 - J Í ) { - l + j )

C lave ( d )

PROBLEMA N.° 79

En el gráfico, halle x en función de a y b.

« (I-!)

Resolución

Nos piden x en términos de a y b.

Graficando a los vectores

Por definición

~ _ x

Ix IX = |x | j ix (I)

Se tiene

x l f n £ x = j l n = •—|

[ 1 * = ^ (M)| n |

De la figura sombreada

I UMBRERAS EDITORES

¡nalmente, ((3) y (y) en (I)

x =

x =

b - b —b - a / 2

\ b - ^ n \ /

[ b - a / l l IV 2Clave (E

PROBLEMA N .° 80

Sabiendo que la resultante de las fuerzas / 1 =(3;8)/V, F2 = ( x ; - 4 )N y F3 = ( -6 ;y) es igual .1 cero, halle el vector unitario de la resultante de F2 y F3.

A)V ll3

1

[-8 ;-7 ) B)3 _ 4

5 ' 5

q ^ d ; i)

15) V 73( - 3 ; - 8 ) E)

a/65-7; 4)

Resolución

Nos piden el unitario del vector que resulta de sumar F2 y F3.

Por definición

F2 + F 3 M- = ,f — = rr (■)

| f 2 + f 3|

Por dato tenemos

F i +F 2 + F 3 =0

(3; 8) + (x ;-4 ) + ( - 6; y) = 0

(x -3 ; 4+y) = (0; 0)

Identificamos los componentes

x -3 = 0 a 4+y= 0

x=3 a y = -4

Luego los vectores serán

F2 = (3 ;-4 ) a g = ( -6 ;-4 )

Hallamos la suma

F2 +F 3 = ( -3 ;-8 ) (a)

Cálculo de su módulo

| f 2 +F 3| = V32 + 8 2 =V73 (P)

Finalmente, (a) y ((3) en (I)

~ _ ( - 3 ; - 8 ) _ 3 - 8 -U~ V73 "

C lave (D

PRO BLEM A N.° 81

Determine p - q si ABCD es un paralelogramo en donde se cumple que AC = SAE,BC = 3BF y además EF = p U o ) + q(/4s).

A) -4 /3

B) -1 /3

C) -2 /3

D) +2/3

E) 4/3

I 30

ÉA n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o h i

Resolución

Nos piden p -q .

trafiquemos los vectores representando los datos.

De la figura

AC =AB +AD

Por dato

AC= 5AE

(a)

Reemplazando (I) y (II)

— AD AD + AB —;AB + ---- = -------------+ EF

3 5

De donde

EF

Identificando los coeficientes

2 12p = — a q = —

15 15

Finalmente

p-q =

_2__12

15 15

2

Clave (C

lin (a)

5A E=A B+AD

■■■ AE--AB + AD

Del dato

BC = 3BF

Además

ADBC = AD —> BF = -

Del polígono sombreado

AB + BF = AE + EF

(0

PROBLEMA N.° 82

En el gráfico mostrado, M es punto medio de JH. Si ¡2/A — S| = 2>/3 u y r= 2 u, calcule |á -b |.

A) -J íu

C) V5u

D) >/Í3u

B) -J7u

E) V il u

1 I I

I IJMBRERAS EDITORES

Resolución

Nos piden el módulo de la diferencia entre los vectores A y B.

Veamos el gráfico

En (II)

2| >41 = 4sen30°

\ a \ = 1 u

De la figura sombreada

PH = 2A-~B

En módulo

|w | = | 2 ^ - b | = 2V3

En el ^ J H N

= 2|/4| = 2r.sen0 = 4sen0

(I)

( M )

Utilizando la ley de cosenos

MA -B l = VA2 +B2 -2/4Scosl20°

¡ A - B I = ^ / l2 +22 — 2(1)(2) - (—1/2)

|a - b | = V 7 u

C la v e (B j

I n el HNP, aplicando la ley de senos

\p h \ _ \ñ h \ _ |fi[sen(9O°+0) sen(9O°-20) sen0

Reemplazando (I) y (II) en (a)

2^3 _ 4sen0 cos0 cos20

PROBLEMA N.° 83

(a) Halle el módulo de la resultante del sistema de vectores mostrado, si 0=120 y A = f =10u.

2sen0cos0 cos20

tan20 = ^3

20=60° 0=30°

n (oc) y reemplazando

|s| _ 2V3sen30° cos30°

B = 2 u

A) 2a/37

5

B) 5V Í7

C) 4^37

D) u25

n V 37

132

A n á l is is d im e n s io n a l y v e c iu h i

Resolución

Nos piden el módulo de la resultante.

De la gráfica

se deduce también que el A NMO es isósceles.

M P 1N O

Se tiene

A = -5 ^ /1 7 -5 / y U = |V 3 ?

Reemplazando en (I)

R = 5 (-5>/3 / — 5 /) +14 Q V3 /

R = 1 0 ^3 /-2 5 /

En módulo

|r | = -\/(io V 3)2 +(25)2

••• I/? I = 5V37 u

C la v e (B )

Pero

R = A + B + C + D + F + 4 U (Y)

Del sistema de vectores tenemos

'b = A + U-,C = A + 2U:D = A + 3U y F = A + 4Í/

En (y)

R = X + X + Ü + X + 2L/ + X + 3L/ + X + 4L/ + 4D

7? = 5A + 1AU (I)

hallamos los vectores A y U a partir del gráfico.

5V3

PROBLEMA N.° 84

En el gráfico mostrado PQ es tangente a la sumí circunferencia mostrada.

Halle x en función de A y B. MNOP es un cu.i drado

A) B) - l ~ B j C) - - A i I SBj5 5 3 3 3 3

D) - —A / - —/ 5 5

3 „ ■ B ■E) - - A , V

13 1

I UMBRERAS EDITORES

Resolución

Nos piden determinar x en términos de A y B.

Examinemos la gráfica

2 a

6 (l-sen20)

Tenemos que

x = /4cos20(-/) + fi( l-se n 2 0 )y (a)

Del sombreado0 = 53°/2 -> 20 = 53°

Reemplazamos en (a)

x = /Acos53°(-/) + S (l-sen53°)y

3 '= A ( - í ) + b ( i - í )

- 3 - 8 ?x = — Ai + —J 5 5

C la v e (E

PROBLEMA N.° 85

'><■ tienen los vectores (2a + 6b) y (2 a -3 b ) tal

que forman un ángulo de 60°. Si |o + 3b| = l,5

y 2o 3b = 5u, determine el módulo de 4o + 3b.

A) 2u

D) 6u

B) 3u C) 5u

E) 7u

Resolución

Nos piden el módulo de 4o + 3b.

Sea m = 2a + 6b y n = 2 a -3 b , se sabe que fot man 60° entre sí. Si sumamos m y n obtenemo' el vector perdido

Aplicando la ley del paralelogramo

4o + 3b = ^ m 2+ n 2+ 2mncos60°

Por dato

|m | = 2|o + 3b| = 2(l,5) = 3u

|n| = |2o -3b | = 5u

Reemplazando en

>1=./4o + 3b I = a/ 32 + 52 + 2(3)(5)cos 60°

4o + 3b = 7u

C l a v etí

PROBLEMA N.° 86

Si A xB = 24i + 7j y A-B = 25, determine la tan gente del ángulo entre A y B.

A) 1

D) - 1

B) 2 C) 1/2

E) 1/3

A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o m i

Resolución

Nos piden tan0, siendo 0 el ángulo entre A y B.

Se sabe que A xB = 24/ + 7/

Su módulo

Ia x s | = V242+ 7 2 =25

A) 0 ,23 /-0 ,72 / -0,65/c

B) 0,23/+ 0,72/ + 0,65fc

C) -0,12/ + 0,72/ + 0,67^

D) 1,2/+ 4,2/ + 3,6¿

E) 1 ,2 /-4 ,2 /-3 ,

Además

|A x e | = |A||8|sene = 25 (I)

Del otro dato

A -B = |a ||b |cos9 = 25

Luego hacemos (I) + (II)

jlí[se n 0 25

25jB |cos t

tan0 = l

(II)

Clave ( A

Resolución

Nos piden hallar el vector unitario Pj. De l.i ecuación dada

6 ^ = v + 5p (I)

Del dato v = ( - 2 t ; t ;3 t ) (II)

Nos falta ^ el cual se obtendrá de la figura que se muestra

se

sen37°

cos37°■'S 37°

PROBLEMA N.° 87

Halle el vector unitario Mi que satisface la si­guiente ecuación vectorial

6 ^ = v + 5p, siendo v = -2 t i + t j + 3tk y t: tiempo.

Tenemos que

p = (0; cos37°; sen37°)

• , _ 4 3p = 0 ; - ; -

1 5 5

Reemplazando (II) y (III) en (I)

( 4 36/Lj = ( -2 t ; t ;3 f ) + 5l 0 ;— ; —

6 Mi = ( - 2 t ; t + 4; 3t + 3)1

P-L = - ( - 2 t ; t + 4; 3í + 3)6

(III)

(5)

1 0

IJMBRERAS EDITORES

hora, como Mi es unitario, se verifica

||¿i| = i> /(2 t)2+ ( t + 4)2+ (3 f + 3)2 =1 6

l1 tiene

14t2+ 2 6 t - l l= 0

('solviendo

t=0,3551s

njlm ente, reemplazamos í en (5)

ILij = -(-2(0,3551); 0,3551 + 4; 3(0,3551) + 3) 6

, = —0,12/ + 0,72/ + 0,67¿

Clave ( C )

R OBLEM A N .° 88

l.i arista del cubo es 5 unidades, obtenga

H / ' - B h ) ( d g ) x ( a b ) 1

zA

I (>25j B) -125/ C) -525k

I i 75j E) -275/

Resolución

Nos piden determinar la expresión

M = [ ( BF ■ Bh )(d g ) \ x (as).

Busquemos información de la gráfica

Tenemos

AS = (-5 ; 0; 0) = -5 /

BF = ( 0; 0;5) = +5 k

BH = ( 5; 5; 5) = 5/ + 5j + 5k

DG = ( - 5; 0; 5) = -5 /+ 5k

Hallamos el producto escalar

BF-BH = (0;0; 5)• (5; 5; 5)

=0+0+25

••• BF-BH = 25

Ahora en la expresión

M = [2 s (—5? + 5fc) ] x (—5/)

M = -6 2 5 ( - /+ /r )x ( /)

/V7 = - 625 t^ h d + k x l), 0 T

M = -625y

_ C la v e (A)

I I ,

A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o h i

PROBLEMA N .° 89

Según la figura, simplifique Q en función de o;

y c, si AB = 3a, BC = 2b y AC = - 6 c .

Q = 2(¡CE + DB)-3(d H + Bh ) + (fE + AG)

Se tiene

• CE + DB = AB = 3a

• DF + BH = BC = 2b

• AG + FE = AC = -6 c

Reemplazando en la expresión Q!

q = 2{c e + db) - 3 ( d f + b h )+ {f e + a b )

¡ ! \ f > 1i i X i = 2 AB -3 BC - ACI I ^ 1

hL — i________1 = 2 (3o) - 3 { ib ) + (-6c

A) a - b + c

B) 2Í3a + b -7 )

C) 3 (o -2 b -c )

D) E i{ a - b - c )

E) 2a - b + c

Resolución

Nos piden simplificar la expresión Q sabiendo que

AS = 3o; BC = 2b Y AC = - 6 c .

Examinemos el gráfico

Q = 6 ( o - b - c )

Clave (D )

PROBLEMA N.° 90

En el paralelepípedo mostrado, determine el vector resultante en términos de los vectores a, b y c.

A) a -2 b + c

B) o -2 b

C) 2 a + c

D) a + b + c

E) ~b + 2c

1 U

UMBRERAS EDITORES

Resolución

Mos piden la resultante de todos los vectores.

>ea R = a + b + c + x + y + z (I)

Examinemos la figura

onemos

x + y = c

a = c + b + z

R = a+ a + c

~R = 2a + c

(a)

(P )

Resolución

Nos piden hallar 1P:A + ^ B1I^ a+bI

(I)

para lo cual determinaremos los respective, vectores unitarios y también sus módulos

n -*■ - A Í3/ + 4y) 3~ 4~ , ,• Para A \\x . = „ = \ - ^ - = - j + - j (a)U Vb2 + 4 2 5 5

• Para f i : í iB= í^ T = ~ ; = - y (fl)8 4

Para A + B:

J a + b ) _ 3 l + - f l f _~V-A+B ' = 1

¡A + t(Y)

Luego (a), ((3) y (y) en (I)

(«emplazamos (a) y (|3) en (1) +Üfl|3~ 4 - -- / + —] - j 3 j _ i

5 5 yR = a + b + c + z + x + y 1 Í*a+b| |/| 1

|Myi +Ps|_ V2

C lave (C¡M-A+el ^

Clave (? )

‘ ROBLEM A N.° 9 1

ii he denota un vector unitario asociando al vec-

iii P, calcule

'a 1 ^bKI^a+bI; sabiendo que A = 3 /+ 4/ y

i 4j .

y) ;v / ÍÓ /5 B) V lO /5 C) V 5 /2

i) J Í / 5 E) V 5 /V 2

PROBLEMA N.° 92

Se tienen dos vectores: r = rxi + ryj y s = sxi + syi y forman un ángulo de 60°, de tal forma que | s | = 1, rx = -J lry y ~r-"s = 1,5.

Determine el valor de P = rx + ry +sx +sy.

A) 8 B) - 8 C) 4

D) 10 E) - 1 0

18

mA n á l is is d im e n s io n a l y v i c io h i

Resolución

Nos piden determinar el valor de P.

Nótese que: r 2 = r 2 + ry + s2 = s2 + sy

De donde: p = r 2 +s2 (I)

Por dato

• |s| = l , es decir: s2+ s2 = 1 2 (a)

• Del producto escalar

» 3r s = -

23

r-s-cos60°= —2

r,(1)'(lH r=3 (P)Finalmente, (a) y ((3) en (I)

P=32 + l 2

P=10

_C LAV E ( 6 )

PROBLEMA N.° 93

SI se sabe que A = 2/; 8 = 4/ -3 j ,

calcule: A -b (a + A x b )

A) 2 {l+ 2 j-3 Í< ) B) 6 (/-2 y )C) 1 2 (/-£ )

D) 8 ( - ¡ -2 k ) E) 1 6 (i-3 k )

Resolución

Nos piden determinar la expresión

M = A -b ( a + A x B ) (I)

Hallaremos de manera separada los produc l<>\ entre vectores.

• Hallamos A-B

A-fi = (2;0)-(4 ;-3) = 8 (ex)

• Hallamos 2 x 8

A xB = (2 /)x (4 /-3 i)

= 8 / x / - 6 /x y

A xB = -6k (|3)

Luego reemplazamos (a) y (p) en (I)

M = &(2j + (-Gk))

M = 16 /-48^

Clave ( E )

PROBLEMA N.° 94

Los vectores a = 3i + 10j; b = bxi + byj ; yc = -1 2 /-6 y forman un polígono cerrado. Dolei mine el producto escalar ¿>-c (en valor absoluto).

A) 84 B) 70 C) 56

D) 42 E) 14

Resolución

Nos piden el valor del producto b - c . Por dalo, nos dicen que los vectores forman un polígono de tres lados, en este caso un triángulo

I t ' l

im i ih e r a s Ed it o r e s

ll (|UC

a i- b + c = 0

(i +10j +b + ( - 1 2 /-6 / ) = 0

b -=9/-4y

n,límente

ib-c = (9 /-4 y )-(-1 2 /-6 y )

= (9 ;-4 ) - ( -1 2 ; -6 )

b -c = -8 4

i valor absoluto

|fe-'c| = 84

C lave (A )

Notamos que el ángulo pedido es 0.

Usando la definición de producto escalar tenemos

(p + q ) - (p —q ) = I'p + q ||"p - q |cos0

De donde

COS0 =' p + q ) - ( p - q !

| p + q ||p - q |(i)

ROBLEMA N.° 95

P -4, Q=3, y el ángulo formado por dichos ■i lores es 60°, halle el ángulo formado por los i lores P + Q y P -Q .

e o s "1 (0,295)

eos-1 (0,271)

53°

i eos-1 (0,319)

74°

Hallaremos cada término de la expresión de manera Independiente

i. ( p + q M p - q )

= p2- q 2

=42- 3 2 = 7 (a)

|P + q | = P2+ Q2+ 2PQ .3 ■ cos60°

=42+32 + 2(4)(3)(l/2)

| p + q | = a/37 ((3)

•*olución

r, piden el ángulo formado por la suma y la lerenda de los vectores P y Q.

presentemos gráficamente la situación.

III. | p + q | = P 2 + Q 2 - 2 P Q cos60°

= 4 2+ 3 2-2 (4 ) (3 ) ( l/2 )

| p + q | = V Í3 (y)

1(1

A n á l is is d im e n s io n a l y v i < m u i

Finalmente, reemplazamos (a), ((3) y (y) en (I)

cos0 = ,—^ 7— = 0,319 V37V13

0=cos-1 (O,319)

C l a v e ( 0 )

PROBLEMA N.° 96

Halle la proyección del vector A = i + 2 j+ k so­

bre el vector B = 4/ + 4j + 7k.

A) 1,7

D) 3,1

B) 2,1 C) 2,2

E) 5,4

De (I)

A-B = AeB

También se sabe que

A -B = ( 1; 2; 1)■ (4; 4; 7)

A -B = (4 + 8 + 7) = 19

Finalmente, en (II)

19 = Afl • Vá2 + 42 + 72

19- t Af i= — = 2,1

8 9

(II)

C lav i (B )

Resolución

Nos piden la proyección de A sobre el vector B, para lo cual representemos de manera esquemá­tica los vectores A y B.

PROBLEMA N.° 97

Dados los vectores A = 2 i—j ; B = i+ k ;y C j 1 k. Determine

a) Un vector unitario en la dirección del ven leu A + B -3 C .

b) Un vector perpendicular al plano formado por los vectores B y C.

c) El área del paralelogramo formado por A y B.

De la figura

Proyección 1AR=Acos0

de A sobre B )

De la definición del producto escalar

A-B = ABcos0 = (/4cos0)B

(I)

Resolución

a) Nos piden un vector unitario en la direct iói del vector A + B -3 C , por definición

. ÍA + B - 3 c ) [ i= p r - » - ^ T

A + B -3C0 )

M I

m h r e r a s E d it o r e s

Hallamos A + B -3C

A = 2 i - j

S = /+íc

-3C = - 3 j - 3 k

A+~B-3C = 3 i - 4 j - 2 k

Su módulo

I A + S - 3 c | = V 3 2 + 4 2 + 22

| a + B - 3 c [ = a/ 29 = 5 ,3 9 u

En (I)

. f 3 ¡ - 4 j- 2 k|T = --- -------------------

l 5,39

£ = 0 ,5 6 / '- 0 ,7 4 / -0 ,3 7 ¿

Un vector perpendicular al plano formado por B y C; puede ser su producto vectorial

( s x c ) .

Es decir

/ ’■ ( * ) - ( / - / )

P = - l - j + k

c) Nos piden el área del paralelogramo formado por los vectores A y B, esta resulta ser el mó dulo de su producto vectorial, es decir

| a x s | = | ( - / ) - ( - £ + 2_/')|

área= I A x ¿31 = V i2 + 22 + 12

área = 2,4 u2

PROBLEMA N.° 98

Dados los siguientes vectores A = 3i +2 j +2k;

B = i - 3 j + 4 k ;y C = 2i + 3j —k, determine

a) Si A y 6 son o no perpendiculares.

b) Calcule A - ( s x c ) .

Resolución

a) Para que A y 8 sean perpendiculares se debe verificar que su producto escalar sea cero.

Es decir

A -fi = (3; 2; 2) (1; -3 ; 4)

A-"6 = 3 - 6 + 8 = 5

Por lo tanto, A y 6 no son perpendiculares.

?

r.A n á l i s i s d i m e n s i o n a l y v i t i o h i

b) La única interpretación posible de este pro­ducto , denominado producto triple, es que geométricamente representa el volumen del paralelogramo cuyas aristas son los vec­tores A, B y C .

Es decir

A - ( e x c ) = (3 ;2 ;2 )-SxC (5)

Hallando

S X C

Se tiene

= (3 / + 3fc + 8y ) - ( - 6 k + 1 2 l- j )

£3xC = —9/ + 9y + 9/c

SxC = ( - 9;9;9)

Reemplazamos en (8)

A - ( b x c ) = (3;2;2)-(-9;9; 9)

= -2 7 + 1 8 + 1 8

.'. ~A-(~Bx~C )=9 u3

PROBLEMA N.° 99

Demuestre que los vectores A = 2i + j -4 k , B = i - 3 j +5k, y C = 3 /-2 ; +£ forman un trián­gulo rectángulo.

Resolución

Hay que demostrar que los vectores forman un triángulo, para lo que se necesita que la iu m iI tante de dos de ellos sea el tercero, o que la i r sultante de los tres sea el vector nulo, como sr ve en las figuras

A + B = C A + B + C ()

De los datos tenemos

A + B = 3 l- 2 j+ k = C ,

con lo que tendremos un triángulo.

En segundo lugar, para que sea rectángulo, rl producto escalar entre dos de ellos debe mu cero.

Consideramos

I. A • £¡ = (2; 1; -4 ) • (1; -3 ; 5)

.'. A -B = - 21u

II. A -C = ( 2; 1 ;-4 )-(3 ;-2 ; 1)

A • C = 0; esto significa que A y C son pri pendiculares.

Por lo tanto, el triángulo será rectángulo.

I UMBRERAS EDITORES

PROBLEMA N .° 100

Usando el producto vectorial, demuestre la ley li' senos.

Resolución

supongamos un triángulo formado por los vec- ores A, B y C, tal como se muestra en la figura

ntonces: A + B + C = 01 Multiplicando vectorialmente por A se tiene

A x A + A xB + A xC = A x()

A x 8 + A xC = 0 (I)

’ Multiplicando vectorialmente por B

B x A + B x B + B x C = B x O

B x A + B x C = 0 (II)

Multiplicando vectorialmente por C

C x A + C x B + C x C = C x 0

C x A + C x B = 0 (III)

De (I)

A x B = C x A

De (II)

~BxA=~CxB

De (III)

C x A = B x C

De donde se tiene

A x B = C x A = B x C

Por definicfón

ABsenQAB j i = ACsen 0AC p, = BCsen 0SC (i

Como tienen la misma dirección (son vectores axiales)

/4Bsen0/,s=C/4sen0c =BCsen0BC

Además sen(18O-0)=sen0

—> ABseny=CAsenP=BCsena

Dividiendo entre A B C tendremos

seny _ senp _ sena C ~ B ~ A

Con lo cual estamos demostrando la ley de senos.

si PROBLEMAS PROPUESTOS

N iv e l b á s ic o

1. Dada la dirección de los vectores que se in­dican en la figura ¿cuál podría ser la direc­ción del vector A — 2B -C ?

3. Sean los vectores A y B no nulos, enlom < el vector C = A -B está representado poi

B

A)D)

B) C)E)

A)

D)

B) C)

E) —

Para los vectores u, v y w de la figura,¿cuál de los siguientes vectores representa

—■ - * w mejor al vector u - 2v + —?

4

4. En los casos (I) y (II), el módulo de la tca il tante es de 17 u y 7 u, respectivamente Determine el módulo de la resultante en el caso (III).

A)

D)

B) C)

E)

(I) (II)

------

(III)

A) 6 u B) 7 u C) 13 u

D) 15 u E) 24 u

1 4 '

( i m b r e r a s Ed i t o r e s

i. Calcule el módulo de A - B - C si

6 u A

A) 2u

D) 5u

B) 3u C) 4u

E) 6u

9. Para los vectores mostrados en la figura, l.i opción que mejor representa la dirección del vector x - 7 + Z es

I. Dados los vectores A = (3; 5) y B = (6; 4), de­termine el módulo de 2A -3B .

A) J 2 9 u B) 8u

D) a /ÍÍ9 u

C) 12 u

E) V Í48u

Dado los vectores A = (3; 4), B = (6;4) y

C = (9;8), determine: | a + 2 B -3 c |. '

A) 12 u B) 12a/ 2 u C) 14 u

D) 14^2 u E) 24 u

I. Para el conjunto de vectores mostrados de­termine 2A + 3B -C si

2 u

1 u

5 u

A) l u

D) 9 u

B) 3u C) 6 u

E) 12 u

A)

D)

B) C)

E)

10. Del diagrama de vectores mostrados, Indi que cuál de las ecuaciones vectoriales es falsa.

A) a - g - f = 0

B) ~b + h + g = 0

C) i = e + d

D) i + c = h

E) f + e + d - a - b - c = 0

4(>

A n á l is is d im e n s io n a l y v i < m u i ■

11. ¿Cuál de las siguientes opciones es correcta para el diagrama vectorial mostrado?

A) c = a + b

B) c = d + f + g + i

C) c = d + h + i

D) h = i + c + d

E) |o - e + / | = | / + c|

12. A partir del diagrama de vectores adjunto, y dado que |a | = | b | y | c | = |d |, encuentre el vector resultante.

A) A

B) B

C) F

D) D

E) C

B

14. Sobre los lados de un hexágono rcgul.n de lado L se encuentran vectores como se IihIm .i en la figura. La magnitud del vecloi m i i u . i

resultante es

A) L

B) 2L

C) 3¿

D) 4L

E) 6L

Tomado de ia Olimpiada de Física de Colombia d<*l i ) de septiembre de

15. Si se suman los cuatro vectores de l.i ligum la magnitud del vector resultante os

A) 0

B) 1

C) 2

D) 4

E) 8

16. Del sistema de vectores encontrar el vtv i<n resultante.

13. Los vectores mostrados en la figura tienen igual módulo. El módulo del vector resultante es

A) 0

B) 2

C) 5

D) 7

E) 10

Tomado de la Olimpiada de Física de Colombia del 21 de septiembre de 1993

A) C

D) 0

B) 2C C) 3C

E) 26

1 4 /

UMBRERAS EDITORES

7. Halle el módulo de la resultante de los vec­tores mostrados. ABCD es un rectángulo.

B

20. Determine el módulo de los vectores mos trados.

A) 10 u B) \ o 4 l u C) 20 u

D) 20^2 u E) 30 u

8. Determine la resultante del sistema de vec­tores que se muestra.

A) e

B) 2e

C) 0

D) -~e

E) - l e

9. En el sistema de vectores que se muestra, determine su resultante.

A) E

D) 0

B) 2E C) B

E) 2B

A) 0

B) 2 a

C) 0V 2

D) 2oV2

E) 4o

N iv e l in t e r m e d io

21. Determine el módulo del vector A, si se sabe que el friódulo del sistema dado es 12 u.

A) 3u

B) 5u

C) 6u

D) 12 u

E) 24 u

22. Exprese X en función de A y fi.

A) (a - 2 b ) /3

C) (a + b ) / 2

D) (a - Í ) / 3

B) (2A + 3B)/4

E) (a + 2b) /3

4H

A n á l is is d im e n s io n a l y v i ( m iu

23. Determine el menor módulo del vectorresultante de los vectores mostrados

(Ia I = 4 u).

A) 2u B) 2-s/íu C) 4>/3u

D) 4 u E) 3a/2 u

24. Dado el paralelogramo ABCD, determine elmódulo del vector resultante.

26. Determine el módulo de la result.m lr dHsistema de vectores mostrado sabiondoque|A| = 13.

A) 12 u

B) 24 u

C) 36 u

D) 48 u

E) 60 u

27. Si la resultante del sistema de vectoic.mostrados es cero, determine el módulode la resultante de A y B.

A) 12 u

B) 18 u

C) 20 u

D) 24 u

E) 30 u

A) 9u

D) 24 u

B) 10 u C) 15 u

E) 24 u

25. El módulo de la resultante máxima de dosvectores es 20 u, y cuando estos forman120° su resultante es 10 u.

¿Cuál será el módulo de la resultante cuandolos vectores formen 74° entre sí?

A) 12 u

B) 15 u

C) 16 u

D) 20 u

E) 24 u

28. Determine el módulo del vector F, si la msultante del sistema mostrado es nula.

A ) 0 ,5V Í3u B ) V Í3 u c ) 2 ^ 1 3 u

D) 4-\/l3 u E) 6a/ Í 3 u

1 4 ‘ 1

Lu m b r e r a s Ed it o r e s

29. En el cubo mostrado, determine el módulo 32. Determine el módulo de la resultante dede la resultante del sistema de vectores. los vectores mostrados.

A) 12 u

D) 48 u

B) 24 u C) 36 u

E) 4-y/38 u

A) 6u B) 8 u C) 10 u

D) 12 u E) 20 u

30. Halle la resultante de los vectores mostrados.

31. Determine X en función de los vectoreso y ó, si 2MN=NP.

A) { a - b ) / 2 B) {2a -b ) /3 C) { a - b ) / 3

D) (a + b) / 3 E) {a + 2b)/3

33. Si el módulo de la fuerza F es 10 N y P es el punto medio de dicho vector, ¿qué mó­dulo tiene la fuerza resultante del sistemamostrado?

^ - A) 5 N

B) 10 N

A) 6 U (—>) B) 7 U (4 ) C) 7,5 U ( t ) C) 15 N

D) 8 U (< -) E) 8 U (-») D) 20 N

E) 0 N

34. Si el vector b tiene un módulo de 5 u, de­termine el módulo de la resultante del sis­tema mostrado

A) 5u

B) 12 u

C) 15 u

D) 16 u

E) 20 u

ISO

A n á l is is d im e n s io n a i y v i i m u í

35. Si ABCDEFes un hexágono regular, determine 38. En ei conjunto de vectores que se mur-.ii.i el módulo de la resultante de los vectores o y ó , siendo (|o| = 2u).

A D

A) l u

D) 4 u

B) 2u C) Bu

E) 5u

36. Dados los vectores A yB , halle el módulo de A + B si 1/aI = 5 u y ISI = 2 u-

A) 72 u B) S u C) 3^5 u

D) 2 S u E) S u

37. SI PQRS es un cuadrado y además X = mA + nB, determine m+n.

A) 1

B) 2

C) 2,5

D) 3

E) 0

determine el módulo del vector rnsult.inii-

1 cm

D) l S cm

i ni

E) 4 ( in

39. Halle el módulo del vector resull.ini*- ilH sistema vectorial mostrado

(consldere:BA4= M N = ND).

A) 6 u

D) 12 u

B) 8u C) 10 u

E) 16 u

40. Sobre una estaca se aplican dos fu n /.i

Fl y F2 tal como se Indica, sabiendo i|in |F i¡ = 40N. Determine la mínim.i lucí/, que reemplace al sistema.

A) 16 N

B) 24 N

C) 32 N

D) 40 N

E) 48 N

r ,

UMBRERAS EDITORES

H. Sean los vectores oyfo, tal que a-b = 0, y

\a \ = P¡ \b \ = q Determine E = p r-= n\a — b\

A) 0 B) - 1 C) - 2

D) 1 E) 2

2. Halle un vector A paralelo al vector B = ( - 2; 1; 3), y que además A B = 28.

A) ( -1 ; 2; 3)

B) ( -2 ; 1; -3 )

C) ( -3 ; 2 ;-3 )

D) ( -4 ; 2; 6)

E) (4 ; -2 ;-6 )

3. Un vector A está dirigido a lo largo de la diagonal de un cubo. Calcule el ángulo que este vector forma con su proyección sobre el plano Y-Z.

A) 65°

B) 55°

C) 45°

D) 35°

E) 25°

l. Halle un vector cuyas componentes tengan la misma dirección que el vector 8/+9j+12/c y cuyo módulo sea 51 u.

A) 49/' + 10/+10¿

B) 10Í+10j+A9k

C) 24Í+27/+36/C

D) 30/ + 2iy W l2 6 0 ¿

I) 21í + 3 0 jW l2 6 0 ír

45. Para el gráfico de la figura, determine el vec­tor unitario del vector a + b + c.

A) —(3 /V Í4 )/ —(2 / s/ i a ) } + ( l /V l4 ) £

B) - f - j + k

C) ( i /w í6 ) / - ( 2 /V 6 ) y + ( i /V e ) ^

D) (3 /-\/l7 )/ — (2 / -s/l7)_/ + (2 /y f l7 )k

E) (3 /V Í4 ) / + ( 2 /V Í4 ) 7 - ( l /V l4 ) ¿

46. Si el vector v tiene una dirección tangente a la trayectoria circular, que es paralela al plano X -Y , entonces es cierto que los án­gulos directores para esa situación son

Z i

1

a P YA) 30° 0 30°

B) 120° 0 30°

C) 120°

0O00 OOen

D) 30° 60° 90°

E)

OOro 90° 60°

>7

A n á l is is d im e n s io n a l y v i ( m m •.

47. El vector F de la figura se dirige de acuerdo a la diagonal del paralelepípedo. Las com­ponentes ortogonales del vector F son

Zh

5 m

49. Determine el vector que al sumarse .i vectores a y b da una resultante nula.

10 m

A) 1 0 Í+ 5 /+ 10 k A) /■-10/+3/C

B) 200?+100/+50k B) 2Í-E>j+6k

c) 50?+200/+100k C) 5 j+ 6 k

D) NJ O O O o +* NJ O O D)

00IK—s

OY—i

E) 50Í+100/+50/C E) ~ 10 j+3k

48. Para los vectores mostrados en la figura, 50. Determine el vector de la suma F1 i f '.e encuentre al vector que representa a la sabe que Fi =2F i =100 unidades,suma ~ci-~b/2.

yk

i

A) 6 /-9 /+ 1 2 /C A) 7 3 /+ 6 2 .9 /+ 1 0 0 .

B) 3 /'+ 12 /+ 6¿ B) 1 2 3 Í+ 6 2 .9 /-1 5 .6 fc

C) 6 i-9 j+ 4 k C)

'£> Y—11<•—SOyH< +

<oyH

D) 4Í+&J+12k D) 7 3 /+ 6 2 .9 /-1 0 0 .6 ¿

E) 8Í+5/+10/C E) 8 3 Í+ 6 2 .9 /+ 1 0 0 .6 Í

m b r e r a s Ed it o r e s

Dados los vectores L = 2 i-3 j+ 2 k y M = i+ 2 j - k , el vector de módulo 3 u que se en­cuentra en la dirección del vector ~[+M es

55. SeanlosvectoresP=(2;3;4)yQ = 4 /-2 y + 3 k. Determine el área del paralelogramo que tiene a estos vectores por lados.

A) (3 /V ñ ) (3 i+ j+ k )B) 3i + j -\-k

C) (3 /V Í Í ) (3 i - j + k )D) 3f - j + k

E) i + j+ k

A) 17, 62 m

B) 21, 57 m2

C) 9, 72 m2

D) 31, 72 m2

E) 25, 39 m2

N iv e l a v a n z a d o56. Sean los vectores A = ( l ; - l ; l ) y B=(2;l;-1).

Halle el vector P tal que AxP=B y A P=1.

Halle un vector A que es para lelo a B = ( l; l;-1 )

y AxC=(0;2;2), donde C = (2; 1;-1). A) —( l; - 4 ;-2 ) B) -(2 ; 3; 4) 2

A) (-1 ; 2; 2)

C) V3(2;-2; 1)

D) (-2 ; 2; 2)

B) (2 ;-1 ; 2)

E) 2(—1;—1; 1)

Halle un vector A que es paralelo al vector B=(—2; 1;3); A-8=28 u.

A) (-4 ; 2; 6)

C) (3; 1; 6)

D) (-9 ; 1; -2 )

B) (-2; 2; — 1)

E) (-4 ; 6; 3)

Sea A=(3;l;2). Determine un vector en el plano xy de módulo 2 u y que sea perpen­dicular al vector A.

A) -v/s (2 / —3/)

<) J E { i - 3 j )

1» f ( h y ) E) f ( í - 3 j )

C) —(2 ;- l;4 )

D) —(1;—2;4) E) —(1;4;2)

57. Halle el ángulo que forman las diagonales de un cubo.

A) sen 1( l/3 )

C) sen“ 1( l/5 )

D) cos_1( l/3 )

B) cos_1( l/5 )

E) cos_1( l/2 )

58. Dados los vectores V = 2i + 3 ,5 j-4 ,2 k y A = A ,S i-2 ,2 j - í ,5 k - Determine el ángulo que forman estos vectores.

A) eos 1( l/5 )

C) cos_1( l/3 )

D) sen_1(l/3 )

B) sen_1( l/4 )

E) eos \ l /4)

I

*A n á l is is d im e n s io n a l y v i < m u i

59. Halle un vector paralelo al vector unitario de la suma de los vectores A = ( l;2 ; -5 ) , B =(2 ;l;-1 ) ■

A) (2;2 ;-4)/V6

B) ( l ; - l ; - 2 ) /V 3

C) ( -2 ;- l;4 ) /V 5

D) ( l;-2 ;3 )/V 3

E) (-2;2;4)/V3

60. Dado los vectores P = 2i + 3j - k y Q = 4 i - 3 j + 2k, encontrar PQ.

A) í - 6 j+ 3 k

B) 3 i+ 6 j+ k

C) 2 i-& j+ 3 k

D) 3 /-6 y -5 /c

E) 2 ¡ - j+ 5 k

61. Sean o y b dos vectores no paralelos. Se tienen los vectores c=(m +n-l)a+ (m +n)b y ~d=(m -n)a+(2m -n+ l)b . Encuentre m y n tal que c= 3 d .

63. Dados a = (1; 1; 1), b = (2; 1; -1 ) y c (2;l>, l),

calcule

a = (o x b) x (b + o x c) • (o + b)

A) -1 3

C) -4 3

D) -4 9

B) -2 3

E) -2 9

64. Sea los vectores Q = (5 ;l;2 ) y V = { l',2 \x), determine el valor de x para que U y V mmm ortogonales.

A) 12,7

C) 7,2

D) 16,5

B) 21,9

E) 14,4

65. Siendo A = (0;2;4), 6 = (3 ;- l;2 ),C (2;0, I) y D = (4;2;0), determine un vector orlogo

nal tanto a AB como a CD .

A) 9/ + j - 1 2 k

C) 13 /'-5 /+12 k

D) 7/+24y+25¿

B) 7i - j l U,k

E) 7i - ¡ i I2A

A) -1 /2 ; 1/2

C) -1 /4 ; 1/4

D) -1 /3 ;-1 /1 2

B) 2 /3 ;-1 /1 2

E) 1 /2 ;-1 /1 2

66. Sean los vectores x = (1; - 5; 2); y = (3; 4; I ), 7 = (6; 3 ;-5 ); w = (2 4 ;-2 6 ;-6 ).Halle a; b y c para que , se cumpla

ox + fay + cz = w

62. Halle m {eR ) tal que a=(m ;~2;1) y b=(2m;m ;-A) son ortogonales.

A) 3 o - 1

C) - 3 o -2

D) 2 o - 1

B) - 2 o 1

E) - 3 o 1

A) o = 3 b = 3 c = 4

D) o = 3 ¿ = -1 c = 2

B) o = 3 b = 2

c = - 2

C) o = 6 b 1 c 4

E) o = 7 b = 4C = • 4

j u r e r a s Ed it o r e s

Dados P = (1; 2; -1 ) y q = (2;1;3), se define el vector U = aP + { l - a ) q , donde a es un real.

Determine el valor de a para que U sea or­togonal al vector V = (1; 2;-2).

70. Se tiene un vector conocido no nulo, A, y uno que se desea determinar, x . Se dan como datos su producto escalar y su pro­ducto vectorial por A.

A -x = k y A x x = c. Determine el valor de x.

A) 5/2

D) 2/7

B) 3/2 C) 2/9

E) 11/2

Si o y b son dos vectores no paralelos y se definen c = (2a -3P + l)o + (a + (3 - l)b ;

d = (a + p + 2)(axf)) + 3 (c x f l)/ determine la condición que deben cumplir a y P (e R ) para que se tenga d = 2cxb .

A) 6a=-4(3+3B) 6P=4oc+3C) 3P=2a+3

D) 6a=4P+3

I ) 3 a = 2 P + l

Dados los vectores P = (1; -1 ; 2); Q = (3; 4; 5) y R = ( - 2; 3;-3), calcule la proyección de PxR sobre PxQ.

A)

B)

C)

-1 + c

+ l+ k

Ia I

y jk + C

D) 4 jc - r c ‘

E)

\A\

71. Halle un vector A que sea perpendicular al vector que pasa por los puntos P = (- l; 1; -1), R=(2; 2; 3) y cuyo módulo sea 3u; además sus componentes x e y son ¡guales.

A) ± J ; ± J ; ± J 5

A n á l is is d im e n s io n a l y v i < m m >.

72. Si U y V son dos vectores unitarios y ortogo­

nales entre s íy s e tie n e q u e a = 3 U -s j2 V yb = kU + 2^j2 V, calcule el valor de k para que el ángulo a entre los vectores a y b esté dado por a = eos-1 (l / s í l í .).

A)

D)

3±V52

1±V5

B)3±>/3

C)

E)

1±2¡3_2

5±V3

73. Para la figura que se muestra, determine el menor ángulo que forman el plano som­breado y el plano x -y .

A) 71,2°

D) 34,7°

B) 58,6° C) 61,9°

E) 68,7°

74. En la figura se muestra, un cubo de lado 4 u, determine un vector perpendicular al plano sombreado.

A) 1 2 /+ llír

B) Í2 i+ 12k

C) 1 6 /'-8 /

D) & i-8 k

E) - (16Í+16k)

75. A partir de la figura determine el .Higuln sombreado (en forma aproximada)

A) 45°

D) 74°

B) 53° C) 60°

E) 90°

76. Con los vectores A = (2/ + 6y +3fc)cm y ~B = (3 ¡+ 4 j+ 8k)cm se forma el triángulo mostrado en la figura. ¿Cuál es el valor dr la altura b?

A) 5,4 cm B) 6,2 cm C) 7,8 un

D) 8,2 cm E) 9,7 m i

I ' . /

Claues

básico20

term edi°j

L 51 .J f f

i\mtu<wAo ji

) 76 ii

1 E 20 A 39 B 58 E

2 A 21 C 40 C 59 A

3 B 22 E 41 D 60 C

4 C 23 B 42 D 61 B

5 D 24 C 43 D 62 D

6 E 25 C 44 C 63 A

7 B 26 C* ■

45 A 64 D

8 C 27 D 46 D 65 E

9 D 28 C 47 A 66 C

10 E 29 A 48 C 67 C

11 E 30 C 49 E 68 D

12 B 31 C 50 C 69 C

13 A 32 C 51 C 70 D

14 D 33 B 52 D 71 E

15 D 34 E 53 A 72 A

16 C 35 B 54 E 73 E

17 B 36 C 55 E 74 E

18 D 37 E 56 A 75 C

19 D 38 C 57 D 76 A

B ib l io g r a f ía

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